Conceptos Teóricos Fase 5

FÍSICA MODERNA

Conceptos Fase 3

2017

Mecánica cuántica Se utiliza para explicar el comportamiento de las partículas a nivel microscópico.

Microscopio de efecto túnel

Función de onda



:

Es

una cantidad física. (Todo aquello que puede medirse, de algún modo. Ejemplos: distancia, tiempo, energía, presión, velocidad, carga eléctrica, etc.) Debe

describir algo acerca de la localización de la partícula en el universo espacio-tiempo.



  es interpretación probabilística y proporcional a la probabilidad por unidad de longitud de encontrar a la partícula en un punto y en un instante dado. Tiene



El número imaginario se define como:

  1

  1

o

En general un número complejo por ejemplo la siguiente manera:

   

   + 

 se escribe de  

Donde y son números reales. Al número se le llama parte real de y al número se le llama parte imaginaria de .



 

 

El complejo conjugado del número por ∗ y estará dado por:



   +  se denota

∗    

Función de onda unidimensional



La probabilidad de encontrar una partícula en una región determinada en el intervalo es:

 a ≤  ≤  b   b        ∗ 

    * es el complejo conjugado de

Donde   * y la función de onda

Condición de normalización de la función de onda es:

∞   −∞    1

Una vez conocida la función de onda para una partícula, es posible calcular la posición promedio a la que se espera hallarla después de muchas mediciones:

   

∞ ∗  −∞   ∞ ∗  −∞  

Valor esperado para la posición x



Valor esperado una función f(x)

Ejemplo: Considere una partícula cuya función de onda es:

   − ¿Cuál es el valor de A, si se normaliza la función? Solución: Observe que como la función partícula libre.



no es sinusoidal, la particular no es una

Ahora bien, primero apliquemos el concepto de normalización:

∞   −∞    1 ∞

 ∗   1

Entonces: Como

   −

su complejo conjugado sería por lo tanto:

∗   − ,

∞ −∞∗   1 ∞ − −∞ 

  −   1

Desarrollando la multiplicación:

∞  − ∞ −  −∞      −∞   1 Función simétrica:

una función es simétrica respecto al eje y si la función es par, es decir si se cumple que:

Ya que el integrando es una función simétrica, podemos expresar el integrando como:

∞ − ∞ −     −∞   2      1 Y por lo tanto, haciendo uso del curso de cálculo integral, recordemos que:

∞ −     21

 

Aplicando dicho concepto a nuestra integral tenemos:

∞ −   2     2  

1

  tenemos: 2 21 2  1   2  1

Y finalmente despejando

   1  2 2 Ahora sacando raíz a ambos lados:

   2

Entonces el valor A es:

La función de onda

  2 2        

   − quedaría de la siguiente manera:   2     −

Ecuación de Schrödinger

La partícula cuántica bajo condiciones de frontera:  Una

partícula en una caja.  Una partícula en un pozo de altura finita.  Efecto túnel a través de una barrera de energía potencial

UNA PARTÍCULA EN UNA CAJA

UNA PARTÍCULA EN UNA CAJA Energía cuantizada:

La expresión anterior muestra que la energía esta cuantizada. La energía mínima corresponde al estado fundamental   “que es el estado de energía mínima para cualquier sistema, para este caso se presenta cuando n=1”.

UNA PARTÍCULA EN UNA CAJA Ejemplo: Calcule la energía para un electrón que se encuentra en una caja en su estado fundamental y cuya dimensión de la caja es de 0.5nm: Solución: Recordemos que la energía esta dada por:

  ℎ   8     1,2,3,… Pero como el electrón se encuentra en su estado fundamental n=1, por lo tanto:

= 

  ,×   −  ,× ,×  1   2,4 1×10  

La energía para el electrón que se encuentra en el estado fundamental − d t d j d h 05 d

   241 10   1,5eV

PARTÍCULA EN POZO DE ALTURA FINITA 

Existencia de las regiones I, II y III.



Energía potencial U es cero dentro de la región II.



Ancho de la región es  L.



La energía potencial U es finita en las regiones I y III.



Existe probabilidad finita de encontrar la partícula fuera del pozo.

EFECTO TÚNEL A TRAVÉS DE UNA BARRERA DE ENERGÍA POTENCIAL 

Existencia de las regiones I, II y III.



Energía potencial es constante y del altura U dentro de la región II. Tamaño o ancho L.

 

La energía potencial es cero en las regiones I y III.



Existe probabilidad de penetrar la barrera o efecto túnel.

EFECTO TÚNEL A TRAVÉS DE UNA BARRERA DE ENERGÍA POTENCIAL



Coeficiente

de

transmisión

(T):

Probabilidad de que la partícula penetre al otro lado de la barrera. 

Coeficiente

de

reflexión

(R):

Probabilidad de que la partícula sea reflejada por la barrera.

 +  1

EFECTO TÚNEL A TRAVÉS DE UNA BARRERA DE ENERGÍA POTENCIAL Expresiones para calcular el coeficiente de transmisión:

Caso I: U>E

Caso II: UE

 ΙΙ  sinh   1+   4  1  Donde

ΙΙ  2 ℏ  

−

  1,672× 10− ΙΙ  2 ℏ   −−   1,6×10   1,6×10 −  22 1,1,672×10  47 0,43 35 11    0,5 6 72 × 10 ΙΙ  1,055×10−  ΙΙ  5,80 ×10−  ΙΙ −  sinh −   1×10−   1+    1 + sinh  5,80×10 0,43 4 1  4  0,0,453 1  0,5

  7,93× 10−  0

−

Entonces:

0   0% ≈ 0%

Lo que indica que aproximadamente ninguna partícula traspasó la barrera de potencial.

v

v



Ejemplo:

Calcule la probabilidad de que un electrón cruce con éxito una barrera de potencial de 0,47eV y de ancho de 0,60nm, si el electrón tiene una energía de 0,53eV.

Solución: El problema nos da la siguiente información: Masa de electrón:

  0,47   0,6   0,53

  9,11× 10− Entonces calculamos el coeficiente de transmisión así:

E>U Donde

−   − 1, 6 ×10   1,6×10 − −  22 9,1,672×10  0,53 47 0,47 35 11 1 1 × 10  ΙΙΙ 1,055×10− 

 ΙIΙ −  sin   1+   4   1 ΙΙΙ  2 ℏ  

 ΙIΙ  sin   1+   4   1

−

 1,25 × 10− ∗ 0,610− sin  1+  0,53  1 4 ∗ 0,0,543 7 0,47

Entonces:

 ≈ 0,552  ≈ 55,2%  52% Lo que indica que aproximadamente 52 de 100 electrones traspasan la barrera de potencial.

−

Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno

Este modelo propuesto por Bohr no permitió describir con total éxito el átomo de hidrógeno, aunque se obtuvieron interesantes resultados como los siguientes: Energías permitidas del átomo de hidrógeno

Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno Este modelo propuesto por Bohr no permitió describir con total éxito el átomo de hidrógeno, aunque se obtuvieron interesantes resultados como los siguientes:

Frecuencia de un fotón emitido por el hidrógeno.

Longitud de onda de un fotón emitido por el hidrógeno.

  1,097 × 10−

Constante de Rydberg

Modelo de Bohr del átomo de hidrógeno Un electrón en un átomo de hidrógeno hace una transición del nivel de energía n=3 al nivel de energía fundamental, ¿Cuál es longitud de onda y frecuencia del fotón emitido? Datos:  3

   1

Longitud de onda de un fotón emitido por el hidrógeno.

1  1,097 × 10− 1  1  1 3 1  9,75 × 10−    102,5

   

/  3×10   102,5nm  2,92 × 10

La longitud de onda y la frecuencia del fotón emitido

Gracias por su atención

NOTA: Las imágenes que se encuentran en la presentación, fueron tomadas del libro: Física para Ciencias e Ingeniería,

Serway, Vol 2.