´ CONCEPTOS BASICOS DE VIBRACIONES Y ONDAS Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ on on
´ CONCEPTOS BASICOS DE VIBRACIONES Y ONDAS Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ on on
Abdel Rahim Garzon, Gladys Patricia Conceptos Concep tos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas / Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ on.– on.– Bogot´ a : Universidad Distrital Francisco Jos´ e de Caldas, 2014. 290 p´ aginas aginas : ilustraciones, fotos ; 24 cm. ISBN: 978-958-8832-73-9 1. F´ısica 2. Mec´ anica a nica anal anal´ıtica ıtica 3. Vibrac Vibracion iones es 4. Ondas Ondas - Movim Movimien iento to 5. Electr Electromagnet omagnetismo ismo I. T´ıt. 531.32 cd 21 ed. A1449723 ´ CEP-Banco de la Rep´ ublica-Biblioteca ublica-Biblioteca Luis Angel Arango
c Universidad Uni versidad Distrital Distrit al Francisco Francisc o Jos´e de Caldas c Facultad Tecnol´ ogica ogica c Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ on on ISBN: 978-958-8832-73-9 Primera edici´ on: on: Bogot´ a D.C., noviembre de 2014 Direcci´ on Secci´ on de Publicaciones
Rub´en en Eli´eecer ce r Carvaj Car vajalin alino o C. Coordinaci´ on editoria l
Miguel Fernando Ni˜ n no o Roa Correcci´ on de estilo
Paula Liliana Santos Diagramaci´ on en LAT E X
Daniel Contreras Ni˜ no no Montaje de cubierta
Martha Liliana Leal Editorial UD Carrera 24 No. 34-37. Tel´ eefono: fono: 3239300 ext. 6202 Correo electr´ onico: onico:
[email protected] Todos los derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo por escrito de la Secci´ on o n de Publicaciones de la Universidad Distrital Francisco Jos´ e de Caldas Impreso y hecho en Colombia Printed and made in Colombia
Contenido
Introducci´ on on
Onda On dass mec´ me c´ anic an icas as Movimiento Arm´onico onico Simple (M.A.S) . . . . . . . . . . Conceptos b´asicos asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de movimiento masa-resorte masa-resorte . . . . . . . Ener En ergg´ıa mec´ me c´anica anica del sistema masa-resorte . . . . . Sistema masa-cuerda masa-cuerd a o p´endulo endulo simple . . . . . . . . . . Ecuaciones Ecuacion es de movimiento del p´endulo endulo simple . . . Ener En ergg´ıa de dell p´endu en dulo lo simp si mple le . . . . . . . . . . . . . . Laboratorio: la ley de la elasticidad o ley de Hooke Resortes en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . Resortes en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resortes en paralelo paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laboratorio: resortes en serie y paralelo . . . . . . . Laborat Lab oratori orio: o: p´endulo endu lo sim simple ple . . . . . . . . . . . . . P´eendul nduloo f´ısic ıs ico, o, real rea l o compu com pues esto to . . . . . . . . . . . Oscilaciones amortiguadas . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscil Osc ilad ador or sub s ubcr cr´´ıtic ıticoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscil Osc ilad ador or cr´ cr´ıtico ıti co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
V
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Osci lador Oscilad or supercr sup ercr´´ıtico ıti co . . . . . . . . . . . . . . . . Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laboratorio: movimiento arm´onico onico amortiguado . Movimiento ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . Perturbaci´on on en un medio . . . . . . . . . . . . . Pulsos de ondas longitudinales y transversales . . Reflexi´on on y transmisi´on on de ondas . . . . . . . . . Velocidad de propagaci´on on de la onda en cuerdas . Ondas senoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´on on de una onda senoidal . . . . . . . . . . . Superposici´on on e interferencia de ondas . . . . . . Interferencias constructivas y destructivas . . . . Laboratorio ondas: cubeta de agua . . . . . . . .
Superposici´ on on y ondas estacionarias Nodos y antinodos . . . . . . . . . . . . Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . Antinodos . . . . . . . . . . . . . . Laboratorio: ondas estacionarias 1 1 . Laboratorio: ondas estacionarias 2 2 .
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99 100 100 101 119 125
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Sonido 129 Cara Ca ract cter´ er´ısti ıs tica cass f´ısica si cass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Fen´omenos omen os f´ısicos ısi cos del sonido son ido . . . . . Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . Cinem´ atica atica del efecto Doppler . Laboratorio: efecto Doppler . .
Ondas de Luz La propagaci´oon n de la luz . . . . . . . Propiedades de la luz . . . . . . . . . Reflexi´on on de la luz . . . . . . . . . . Leyes de la reflexi´on on . . . . . . Laboratorio: reflexi´on on de la luz luz . Laboratorio: espejos planos planos . . . Espejos curvos curvos . . . . . . . . . . ii
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134 138 140 147
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149 149 150 154 155 157 159 160
Im´ agenes agenes que se forman por un espejo c´ooncavo ncavo . Im´ agenen agenen que se forma por un espejo convexo . La ecuaci´on on del espejo . . . . . . . . . . . . . . Laboratorio: Labor atorio: espejos esp ejos esf´ericos ericos . . . . . . . . . . Refracci´ on on de la luz luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ley de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´Indice de refracci´oon n . . . . . . . . . . . . . . . . El Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gu´´ıas de luz (fibra Gu (fibr a optica) ´optica) . . . . . . . . . . . . Principio de Fermat Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . Laboratorio: lentes . . . . . . . . . . . . . . . . Laboratorio: Labor atorio: ´ındice de refracci´on on . . . . . . . . . Lentes delgados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laboratorio: reflexi´on on y refracci´on on . . . . . . . .
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Laboratorio: ley odeconvergente Snell y reflexi´ on on interna Lente biconvexa delgado . . .total . . . Lente bic´oncava oncava o divergente delgados delgados . . . . . . . El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laboratorio: Laborat orio: c´amara amara oscura . . . . . . . . . . . .
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119902 193 203 207
Ond as el Ondas elect ectrom romag agn´ n´ etica eti cass Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas electromagn´ electroma gn´eticas eticas de Heinrich Hertz Hertz . . . . . Ondas electromagn´ electroma gn´eticas eticas planas simples . . . . . . Energg´ıa tran Ener transp sporta ortada da po porr onda ondass electro ele ctromagn´ magn´eticas etic as .
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Momento y presi´oon n de radiaci´on on . . . . . . . . . . . . . . Radiaci´on on de una l´amina amina de corriente infinita . . . . . . ¿Wi-Fi para fre´ fre´ır el cerebro? . . . . . . . . . . . . . Laboratorio: longitud de onda . . . . . . . . . . . . Laboratorio: ondas de radio . . . . . . . . . . . . . Laboratorio: Ondas producidas por el celular celular . . . . Laboratorio: Experimento de Michelson y Morley . Laboratorio: Labor atorio: efecto fotoel´ foto el´ectrico ectrico . . . . . . . . . . . Laboratorio: efecto de gases . . . . . . . . . . . . . Labortorio: Microondas - difracci´oon n de Bragg Bragg . . . .
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227 227 237 242 245 246 247 249 257 261
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Introducci´ o on n
Este libro ha sido elaborado con el fin de brindar a los estudiantes una herramienta pedag´oogica gica accesible que contribuya al mejoramiento de la ense˜ nanza nanza y el aprendizaje de la f´ısica. Ense˜ nar nar f´ısica ha mostrado que, en muchos muchos casos, existe una gran dificultad en la comprensi´on on de los conceptos b´asicos, asicos , de ah ah´´ı que se haga necesario el uso de herramientas pedag´ogicas ogicas que contribuyan y faciliten dicho proceso de ense˜ nanza-aprendizaje. nanza-aprendizaje. Entre las diversas herramientas que debe poseer toda instituci´on on que imparte esta area ´area del conocimiento conoc imiento es est´ t´an an los lo s lab laboratorios, oratorios, espacios donde el alumno aplica sus conocimientos: observa, manipula objetos, mide, elabora tablas y gr´aficas, aficas, analiza, compara variables sirvi´endose endose del c´alculo, alculo , de la f´ısica te´orica orica y obteniendo sus propias conclusiones. Esto permite la comprensi´on on de los conceptos conce ptos f´ısicos ısico s a trav´es es de la pr´actica. actica. Este texto presenta diversos conceptos, ejercicios resueltos, talleres y laboratorios de la f´ısica de ondas, que contribu contribuyen yen como herramienta herramienta pedag´oogica gica y aportan al desarrollo del proceso ense˜ nanza-aprendizaje nanza-aprendizaje de la f´ısic ıs ica. a.
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Onda On dass mec´ me c´ anic an icas as
Movimiento Arm´ o onico nico Simple (M.A.S) La importancia de estudiar ondas mec´anicas anic as y elect e lectroma romagn´ gn´eeticas tic as se debe a su relaci´on on con la f´ısica ısic a mod m oderna erna.. Las L as ondas onda s de d e llaa f´ısica ısic a mod m oderna erna siguen las mismas reglas que las ondas mec´anicas anic as y electroma elect romagn´ gn´eticas. eti cas. En la vida cotidiana todos los seres vivos tenemos experiencias con las ondas, por ejemplo: si colocamos un corcho en un estanque con agua y tiramos una piedra, se forman una serie de ondas que se propagan conc´entricamente entricamente desde el punto donde cay´ o la piedra, el corcho se limita a subir y bajar sin desplazarse del lugar que ocupa. Estas ondas constituyen uno de tantos ta ntos ejemplos ejemp los que q ue presentan p resentan ccaracter aracter´´ısticas an´alogas alogas a las ondas. El mundo est´a ll lleno eno de ondas: ondas sonoras; mec´anicas anicas tales como las ondas que se propagan propagan en una cuerda de guitarra; guitarra; ondas s´ısmicas ısmicas que pueden transformarse en terremotos; ondas de choque, que se producen cuando, por ejemplo, un avi´on on supera la velocidad del sonido, y otras m´as as particulares que no son tan f´acilmente acilmente captadas con los sentidos o no es tan sencillo interpretar su origen, como las ondas electrom elec tromagn´ agn´eeticas. tic as. De estas esta s ultimas u ´ ltimas podemos tomar como ejemplos las ondas emitidas por la luz, la televisi´on, on, el radar, la radiotelefon radiote lefon´´ıa o la comunicaci´on v´ıa sat at´´elite.
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El concepto de onda es abstracto. Las ondas que viajan en un medio material las llamamos ondas mec´anicas, anicas, un ejemplo son las ondas de agua que requieren la presencia de agua como medio para existir. Igualmente, si fijamos uno de los extremos de una cuerda a una pared y movemos el otro extremo hacia arriba y hacia abajo, vemos que a lo largo de la cuerda se mueve una onda. Sin la presencia de la cuerda no existir existir´´ıa onda. Las ondas sonoras viajan via jan a trav´es es del aire y son el resultado de las variaciones de presi´on on en el aire punto a punto. En todos los casos, lo que se deduce es que una onda corresponde a la perturbaci´on on de un medio o de un cuerpo, en consecuencia, una onda puede considerarse como el movimiento de una perturbaci´on. on. El movimiento de la perturbaci´on on (el estado del medio o la onda en si misma) no debe confundirse con el movimiento oscilatorio de las part´´ıculas que conforman part co nforman el medio; me dio; luego, l uego, las ondas o ndas mec´ me c´aanicas nicas requieren para su existencia unapuede fuenteserdeperturbado perturbaci´on o(agua, n (la piedra al mar) y un mediodeque aire). que se tira Con relaci´on on a las ondas electromagn´ electro magn´eticas, eticas, muchos f´ısicos durante a˜nos nos se han planteado la pregunta de que si la luz se comporta como una onda deber´ deber´ıa propagarse propagars e en alg´un un medio, med io, qu quee despu´ des pu´eess lla llamar maron on ´eter. eter. Se hablaba de ´eter eter como co mo el medio de transferencia transferen cia de estas ondas, ond as, al buscar sus propiedades Albert Abraham Michelson (Premio Nobel de F´ısica, 1907) y Edward Edward Morley hallaron hallaron la primera prueba contra contra la teor´ teor´ıa del ´eter, eter , hoy en d´ıa, se sabe sab e que las ondas llamadas llam adas electroma elect romagn´ gn´eticas eti cas no necesitan de ning´ u un n medio para propagarse, es decir, se pueden propagar prop agar en el vac´ vac´ıo. El estudio de las ondas se facilita mucho debido a que todo se basa en su representaci´on on gr´afica, afica, que es la forma de la funci´on on senoidal o seno. Si bien no todas las ondas siguen estas funciones, el teorema de Fourier demostr´o que cualquier onda puede ser descompuesta como una suma unica u ´ nica de ondas, componentes senoidales. Este teorema facilita el estudio profundo de la mec´aanica nica ondulatoria y permite representar gr´aaficamente ficamente lo que es una onda, dado que la funci´on on seno o senoidal es la que se forma en una cuerda cuando movemos sus extremos hacia arriba y hacia abajo muy r´apidamente. apidamente.
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Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
Conc Co ncep epto toss b´ asic asicos os
Figura 1
Amplitud, A
La amplitud de un movimiento oscilatorio, ondulatorio o se˜nales nales electromagn´eticas eticas es una medida de la variaci´on on m´axima axima del desplazamiento u otra magnitud f´ısica que var´ ar´ıa peri´odicamente odicamente o cuasi peri´odicamente odicamente en el tiempo. Es la distancia m´axima axima entre el punto m´aass alejado de una onda y el punto en equilibrio o medio. La amplitud es notada como A. Elongaci´ on, x
Corresponde a la posici´on on que tiene en cada momento la part´ part´ıcula vibrante respecto de la posici´on on de equilibrio. Se suele representar mediante la letra x ´o y . Unidades del Sistema Internacional de medidas (SI) en metros. El periodo, T
Tiempo (t) empleado en una oscilaci´on on completa (n), siempre es t n
positivo, T = . La unidad en el SI es el segundo. 3
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La frecuencia, f
N´umero umero de oscilaciones en la unidad de tiempo ( f = nt ), siempre es positiva. La unidad de frecuencia en el SI es el hertz: 1 hertz = 1 Hz o s−1 . Esta unidad unid ad se llama llam a as´ as´ı en honor hono r del f´ısico ısic o alem´ alem ´aan n Heinrich Hertz (1857-1894), pionero en la investigaci´on on de las ondas electromagn´ electroma gn´eeticas. ticas. La frecuencia angular o velocidad angular, w
Representa la raz´on on de cambio entre una cantidad angular y el tiempo, no est´a necesariamente relacionada con un movimiento de rotaci´ on. on. Se mide en radianes sobre segundo: w =
rad s
∆θ ∆t
A partir de las definiciones de periodo T y frecuencia f , la velocidad angular se define como:
2π w = 2πf = T Velocidad de propagaci´ on de la onda, v
La velocidad de propagaci´oon n de la perturbaci´on on depender´a de la proximida pro ximidad d de las part´ part´ıculas del medio y de sus fuerzas de cohesi´ on. on. As´´ı, la veloci As velocidad dad de propagaci´ propagac i´on on ser´a mucho mayor en los s´olidos olidos que en los l´ıquidos, ıquidos, y sobre todo, to do, en los gases. Por ejemplo, ejemplo, a la presi´ on on normal de 1 atm y 20 0 C , en un ambiente seco, la velocidad del sonido es de 5600 ms en el acero, 1460 ms en el agua y 340 ms en el aire. v = λf
m s
N´ umero de onda circular o n´ umero de onda angular, k
Es representado con la letra k que da el sentido de avance de la umero umero de perturbaci´ on, o n, y se considera de m´odulo odulo λ1 . Es pues, el n´ on repeticiones por unidad de longitud. Donde, k es igual a 2λπ o la raz´on entre la frecuencia angular y la velocidad de propagaci´oon n k = wv . 4
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
En f´ısica ısic a modern mo dernaa el n´u umero mero de onda es proporcional a la frecuencia o la ener energg´ıa del fot´ fot ´oon, n, por ese motivo, el n´ umero umero de onda es usado en unidades de energ´ energ´ıa en espectroscopia. En el SI el n´umero umero de onda est´a dado en m−1 . El n´ u umero mero de onda angular es expresado en radianes por metro (rad/m). Longitud de onda, λ
La letra griega λ (lambda) se utiliza para representar la longitud de onda en ecuaciones. λ se define como la distancia entre 2 puntos consecutivos que poseen la misma fase: 2 m´aximos, axim os, 2 m´ınimos, ınim os, 2 cruc cruces es por cero. Por ejemplo, la distancia recorrida por la luz azul (que viaja a una velocidad de c = 299, 299,792 792,,458 ms ) durante el tiempo transcurrido entre 2 m´aximos aximos consecutivos de su campo el´ectrico ectrico o magn´etico. etico.
Otro ejemplo podr´ podr´ıa ser la longitud longitud de onda de las ondas de sonido, sonido, en el intervalo que los seres humanos pueden escuchar, oscila entre menos de 2 cm y aproximadamente 17 metros. Las ondas de radiaci´on on electromagn´etica etica que forman la luz visible tienen longitudes de onda entre 400 nan´ometros ometros (luz violeta) y 700 nan´ometros ometros (luz roja). En el SI la unidad de medida de la longitud de onda es el metro, como la de cualquier otra longitud. Seg´un un los ordenes ´ordenes de magnitud de las longitudes de onda con que se est´ e trabajando, se suele recurrir a subm´ ultiplos ultiplos como el mil´ mil´ımetro (mm), el micr´ ometro ometro (µm) y el nan´oometro metro (nm). Leyes de Newton Primera ley:
Con ocida Conoc ida tambi´en en como com o Ley de inerc´ in erc´ıa ıa , nos dice que si sobre un cuerpo no act´ ua ua ning´ un un otro, este permanecer´a indefinidamente movi´endose endose en l´ınea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo, que equivale a velocidad cero). Como sabemos, el movimiento es relativo, es decir, depende de cu´aall sea el observador que describa el movimiento. La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales , que son aquellos 5
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sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actua ninguna fuerza neta. O que est´ e en reposo o se mueve mueve con velocidad constante. En realidad, es imposible encontrar un sistema de referencia inercial, puesto que siempre hay alg´u un n tipo de fuerzas actuando sobre los cuerpos, pero siempre es posible encontrar un sistema de referencia en e l que que el prob proble lema ma que que este estemo moss estu estudi dian ando do se p pue ueda da tra trata tarr como como si estuvi´ estuvi´esemos esemos en un sistema inercial. En muchos muchos casos, suponer a un observador fijo en la Tierra es una buena aproximaci´on on de sistema inercial. Segunda ley:
La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos que laon neta aplicada sobre un es proporcional a ladice aceleraci´ onfuerza que adquiere dicho cuerpo. La cuerpo constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relaci´oon n de la siguiente manera: → −
→ F = m − a
La unidad de fuerza en el SI es el Newton y se representa por N . Un Newton es la fuerza que hay que ejercer sobre un cuerpo de un kilogramo de masa para que adquiera una aceleraci´on on de 1 sm , o sea: 2
1N = 1kg × 1
m
s2 La expresi´on on de la segunda ley de Newton que hemos dado es v´alida alida para cuerpos cuya masa es constante, si la masa varia, como en un → − → F = m − a . cohete que va quemando combustible, no es v´alida alida la relaci´on on F Vamos a generalizar la segunda ley de Newton para que incluya el caso de sistemas en los que pueda variar la masa. → −
→ p = m − v
→ p , p , se define Si la cantidad de movimiento que se representa por la letra − como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad, es decir: → → d− v d− p F = m = dt dt
→ −
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Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
Si la masa es contante: → d− v → a F = m = m − dt
→ −
Si la masa no es constante, tenemos: → d− v dm − → F = m v + dt dt
→ −
Otra consecuencia de expresar la segunda ley de Newton usando la cantidad de movimiento es lo que se conoce como principio de conservaci´ on de la cantidad de movimiento . Si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es cero, la segunda ley de Newton nos dice que: 0=
→ d− p
dt Es decir, que la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es cero. Esto significa que la cantidad de movimiento debe ser constante en el tiempo (la derivada de una constante es cero). Esto es el principio de conservaci´oon n de la cantidad de movimiento: si la fuerza total que actua sobre un cuerpo es nula, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante en el tiempo. Tercera ley: de acci´ on ycuerpo reacci´ on t ercera terce ra si ley,untambi´ en en conocida cono cida como nosLa dice que cuerpo A ejerce una principio acci´oon n sobre otro B ,, este realiza sobre A otra acci´on on igual y de sentido contrario. Hay que destacar que, aunque los pares de acci´on on y reacci´on on tengan el mismo valor y sentidos contrarios, no se anulan entre si, puesto que act´ uan uan sobre cuerpos distintos. Energ´ıa cin´etica
En f´ısi ısica, ca, la energ ene rg´´ıa cin´etica eti ca de un cuerp cue rpoo es aqu aquell ellaa energ ene rg´´ıa que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa determinada, desde el reposo hasta la l a velocidad velo cidad indicada. Una vez conseguida conseguid a esta energ energ´´ıa durante dur ante la 7
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aceleraci´ on, on, el cuerpo cuerp o mantiene su energ´ energ´ıa cin´etica etica salvo que cambie su velocidad. Para que el cuerpo regrese a su estado de reposo se requiere un trabajo traba jo negativo de la misma magnitud que su energ´ energ´ıa cin´etica. etica. Suele notarse como K y y se define como:
1 K ≡ mv 2 2 y sus unidades pueden darse como: 2
1. 1Joule =1J= 1N×1m= 1kg×1 ms , 2
2
2. 1Ergio= 1Dina×1cm= 1g×1 cm s 2
3. 1eV= 1, 602 × 10−19 J. Energ´ En erg´ıa ıa poten potenci cial al
En un sistema sis tema f´ısico, ısi co, la ener energg´ıa potenci pot encial al es la energ ener g´ıa que mide la capacidad que tiene dicho sistema para realizar un trabajo en funci´on, on, exclusivamente, de su posici´on on o configuraci´on. on. Puede pensarse como la energ´ energ´ıa almacenada en el sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Se nota con la letra U y se mide en las mismas unidades unidade s de la energia cin´etica. etica. La energ´ energ´ıa pot potencial encial puede presentarse como energ´ energ´ıa pot potencial encial gravitatoria, vitato ria, energ´ energ´ıa potencial pot encial electrost´ electro st´aatica, tica, y energ´ energ´ıa potencial pot encial el´astica. astica.
M´as as rigurosamente, la energ´ energ´ıa potencial es una magnitud escalar asociada a un campo de fuerzas (o como en elasticidad un campo tensorial de tensiones). Cuando la energ´ energ´ıa potencial est´a asociada a un campo de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A. 1. La energia potencial potencial gravitacio gravitacional nal se define como: U g ≡ mgh
Donde U es la energ ener g´ıa potenc po tencial, ial, m la masa, g la aceleraci´on on de la gravedad, y h la altura. 8
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
nico (caso unidimensional), unidimensio nal), dada una part´ part´ıcula 2. El Potencial arm´oonico en un campo de fuerzas que responda a la ley de Hooke, como el caso de un muelle, se puede calcular estimando el trabajo necesario necesar io para mover la part´ part´ıcula una distan distancia cia x: W ≡ −
→ − F ·
→ d− x
si es un muelle ideal cumplir´ cumplir´ıa la ley de Hooke F = −kx
El trabajo desarrollado desarrollado (y por tanto tanto la energ´ energ´ıa potencial) que tendr nd r´ıamos mo s ser´ıa: → − ·
≡ −
W
→ −
F d x =
−
−
kx 2 kxdx = 2
Las unidades est´an an en julios . La k ser´ıa ıa la consta con stante nte el´astica astica del muelle o del campo de fuerzas. Ley de la conservaci´ on
Si un sistema no interacciona con su entorno de ninguna manera, determinadas propiedades mec´anicas anicas del sistema no pueden cambiar. Algunas veces nos referimos a ellas como constantes del movimiento. Estas cantidades se dice que son conservadas y las leyes conservaci´ on on resultantes se pueden considerar como los principios m´as asdefundamentales fundamen tales de la mec´anica. anica. En mec´aanica, nica, ejemplos de cantidades conservativas son la energ en erg´´ıa, el e l momento mome nto y el momento mo mento angular. angul ar. Las leyes le yes de conservaci´on on son exactas para un sistema aislado. Conservaci´ on del momento
El momento de un sistema aislado es una constante. La suma de → → vectores de momentos − p = m− v de todos los objetos de un sistema, no pueden ser cambiados por interacciones dentro del propio sistema. Esto supone una fuerte restricci´on on a los tipos de movimientos que pueden ocurrir en un sistema aislado. Si a una parte del sistema se le 9
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n
da un determinado momento en una direcci´on on determinada, entonces alguna otra parte del sistema obtendr´a simult´aneamente, aneamente, exactamente el mismo momento en direcci´on on opuesta. Hasta donde podemos decir la conservaci´on on del momento momento es una simetr´ simetr´ıa absoluta de la naturaleza. O sea, no conocemos nada en la naturaleza que lo viole. Ley de la conservaci´ on de en energ´ erg´ıa ıa
La ley de la conservaci´on on de la energ energ´´ıa afirma que la cantida cantidad d total de energ´ energ´ıa en cualquier sistema aislado (sin interacci´on on con ning´ un un otro sistema)) permanece in sistema inv variable ariable con el tiempo, aunque dicha dicha energ´ energ´ıa puede transformarse en otra forma de energ´ energ´ıa. En resumen, la ley de la conservaci´on on de la energ energ´´ıa afirma que la energ energ´´ıa no puede crearse ni destruirse, s´olo olo se puede cambiar de una forma a otra. Implica que la
ener en ergg´ıa mec´ me c´anica anica (E M ) que se define como: E M + U e + U g M = K +
Y la ley de la conservaci´on on de la energ ener g´ıa mec´anica anica definida como la igualdad entre las energ´ energ´ıas inicial y final ( E i = E f f ), implica que: K i + U ei gf ef + U gf f + U ef gi = K f ei + U gi
siendo E ci energg´ıa ci cin´ n´etic eticaa in inic icia ial,l, U ei energg´ıa poten po tencia ciall el el´astica ´astica inicial ci ener ei ener y U gi energg´ıa pote potencial ncial gravitacional gravitaciona l inicial. inicia l. gi ener
Sistema masa-resorte En la naturaleza existen muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo, estos son llamados movimientos peri´odicos. odicos. En f´ısica se ha idealizado un tipo de movimiento movimiento oscilatorio, en el que se considera que sobre sistemas que describen este tipo de movimiento no existe la acci´oon n de las fuerzas disipativas o de rozamiento, es decir, la ener en ergg´ıa mec´ me c´anica anica del sistema se conserva y el movimiento se mantiene invariable. Un M.A.S. es un movimiento vibratorio bajo la acci´on on de una fuerza recuperadora (que se orienta hacia la posici´on on de equilibrio). Algunos ejemplos sencillos son: el sistema masa-resorte y el sistema cuerda-masa o p´endul end uloo simpl si mple. e. 10
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
El M.A.S. es un tipo de oscilaci´on on que ocurre debido a una fuerza restauradora, en este caso corresponde a la fuerza que ejerce el resorte reso rte sobre sobre el bloque. bloque. Esta Esta fuerza fuerza es linealm linealmen ente te proporci proporciona onall al desplazamiento y siempre est´a dirigida hacia el equilibrio, es opuesta al desplazamiento (Figura 2). Esto significa que cuando la masa se desplaza hacia la izquierda de x, entonces F se dirige hacia la derecha. La fuerza el´astica astica es la fuerza neta que act´u uaa sobre el cuerpo, que es igual a: F neta neta = −kx (1) Por la segunda ley de Newton, tenemos que: d2 x F neta (2) neta = m dt2 2
Igualando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos que −kx = m ddtx . Que 2
se puede escribir como una ecuaci´oon n diferencial de segundo orden: d2 x k + x = 0 (3) dt2 m La ecuaci´on on que soluciona la ecuaci´on on (3) es: x(t) = Asen(wt + ϕ) (4)
Para comprobarlo aplicamos la (4) a la (3) d2 x k + x = 0 dt2 m sen(wt + ϕ) + k Asen(wt + ϕ) = 0 m Donde se deduce que: k w2 = (5) m Para que se de la igualdad. Como la frecuencia angular se define como w2 = 4T π obtenemos el periodo y frecuencia del sistema masa-resorte as´ı: −Aw
2
2
2
m (6) k
T = 2π f =
1 2π
11
k (7) m
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n
Donde el periodo de oscilaci´oon n y la frecuencia dependen de la constante el´astica astica del resorte y de la masa. Ecuaciones de movimiento masa-resorte
Figura 2
Retomando la ecuaci´on on (4) usando las derivadas obtenemos las ecuaciones de velocidad y aceleraci´on on instant´anea. anea. Luego, las ecuaciones generales del funciones M.A.S quedel corresponden on, velocidad y aceleraci´ on on como tiempo, son: a la posici´on, x (t) = Asen (wt + ϕ) v (t) = Aw cos(wt + ϕ) (8) a(t) = −Aw2 sen (wt + ϕ) (9)
La Figu Figura ra 2 muestra uestra la lass di direc reccio cione ness que que tendr tendr´´ıa la veloci elocida dad d y aceleraci´on on en cada cada ins insta tan nte de de tiempo tiempo.. Obse Observ rvee qu quee en esta esta mism mismaa 2 figura figu ra los puntos puntos x = ±A, la aceler aceleraci aci´´oon n es m´aaxima xima (am´ax ax = ±Aw ) y la velocidad es cero; mientras que en x = 0 la aceleraci´on on es cero y la velocidad es m´axima axima (vm´ax ax = ±Aw ). 12
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
Ener En erg g´ıa me mec´ c´ anica del sistema masa-resorte
Las fuerzas involucradas en un movimiento arm´onico onico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, se puede definir energ rg´ ´ıa potenci potencial al el´ astica (U e ) asociado a la un campo escalar llamado ene fuerza el´astica astica (−kx ). Para hallar la expresi´on on de la energ´ energ´ıa potencial pote ncial el´astica, astica, basta con integrar la expresi´on o n de la fuerza el´aastica stica (esto es extensible a todas las fuerzas conservativas) y cambiarla de signo, donde la energ´ energ´ıa potencial el´astica astica es igual al trabajo que hace la fuerza el´astica astica para cambiar la posici´on on de un objeto de masa m, as´ı obtenemos que: x
U e =
kx 2 (10) (kx )dx = 2
0
La energ´ energ´ıa cin´etica etica viene dada por la siguiente siguie nte expresi´ expresi on: ´on: mv 2 (11) K = 2
Si la energ ene rg´´ıa mec´ mec anica ´anica o total del sistema es la suma de la energ´ energ´ıa potencial el´astica astica y la energ´ energ´ıa cin´etica etica (las sup superficie erficiess en contacto no kA presentan fricci´oon) n) entoces E ttot ot = 2 . Para demostrarlo realizamos el siguiente procedimiento: 2
E tot tot = U e + K k [Acos (wt )]2 m [−Awsen (wt )]2 E tot + tot = 2 2 k [A2 cos2 (wt )] m [A2 w 2 sen2 (wt )] E tot + tot = 2 2 kA 2 cos2 (wt ) + sen2 (wt ) E tot tot = 2
kA 2 E tot (12) tot = 2
donde se observa que la energ´ energ´ıa mec´anica anica del sistema masa-resorte es una constante. 13
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La gr´afica afica mostrada en la Figura 3 muestran muestran la energ energ´´ıa potencial y la ener en ergg´ıa cin´ cin´eetic ticaa en func funci´ i´on on tiemp tiempo[20]. o[20]. La Figura 4 muestra la energ energ´´ıa potencial en funci´on on de la posici´ pos ici´on on en x = ±A y la correspondiente energg´ıa es la tota ener total. l.
Figura 3
Figura 4
14
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
Sistema masa-cuerda masa-c uerda o p´ endulo endulo simple El p´endulo endulo simple es otro sistema mec´anico anico que se mueve en un movimiento movim iento oscilatorio. Se compone de una masa puntual m, suspendida por una cuerda ligera de longitud L, donde el extremo superior de la cuerda est´a fijo, como muestra la Figura 5.
Figura 5
El movimiento ocurre en un plano vertical y siempre que el angulo ´angulo θ sea peque˜ no, no, no mayor a 150 (esto con el fin de que el p´endulo endulo no describa una trayectoria c´onica), onica), el movimiento ser´a oscilador arm´onico onico simple. Las fuerzas que act´ uan uan sobre la masa m son:
1. La fuerza de tensi´on on T (fuerza que ejerce la cuerda sobre la masa) y 2. La fuerza gravitacional mg (fuerza que ejerce la tierra sobre la masa).
Observe que la componente tangencial de la fuerza gravitacional ( F x = ±mgsenθ) act´ ua ua hacia la posici´on on de equilibrio y siempre est´a dirigida en direcci´on on opuesta al desplazamiento (S ), ), esta esta ser ser´ıa la
15
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n
fuerza neta que act´ u uaa sobre la masa cuando se separa de la posici´on on de equilibrio: F neta neta = −mgsenθ (1) Por la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza neta es igual a la masa por la aceleraci´on: on: d2 S F neta (2) ´x = m neta = ma max a dt2 Igualando las ecuaciones (1) y (2), donde S es es el desplazamiento (arco descrito por sistema cuerda-masa), donde S = Lθ , as´ı: d2 θ L −mgsenθ = m dt2 d2 θ −gsenθ = L dt2
que se puede escribir como: d2 θ g + senθ = 0 dt2 L Para angulos ´angulos peque˜ nos nos tenemos que senθ ≈ θ, luego retomando la ecuaci´on on anterior, tenemos: d2 θ g + θ = 0 (3) dt2 L La ecuaci´on on que soluciona esta ecuaci´oon n diferencial de segundo orden se serr´ıa igual igual a: θ(t) = Asen (wt + ϕ) (4)
donde se deduce que:
g (5) L y w2 = 4T π , as´ıı,, el period per iodoo y la frecuencia frecue ncia del p´endulo endul o son respectivaresp ectivamente: w2 =
2
2
2π T = = 2π w f =
1 2π
L (6) g
g (7) L
De esta manera, se muestra que el periodo y la frecuencia no dependen del sistema cuerda-masa, lo que fue descubierto por Galileo.
16
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
Ecuaciones de movimiento del p´ endulo endulo simple
Retomando la ecuaci´oon, n, usamos las derivadas para hallar la velocidad y la aceleraci´oon n angular instant´aanea nea para el p´endulo endulo simple, simple , respectivamente: θ (t) = Asen (wt + ϕ) v (t) = Aw cos(wt + ϕ) (8) a(t) = −Aw2 sen (wt + ϕ) (9)
La velocidad y aceleraci´on on m´axima axi ma del sis sistema tema ser´ ser´ıan ıan:: v
m´ ax ax
= ±Aw y a
m´ ax ax
= ±Aw2
Ener En erg g´ıa de dell p´ endu en dulo lo si simp mple le
Como el desplazamiento desplazamiento del p´eendulo ndulo simple se define como S = Lθ , entonces la velocidad instant´anea anea es: v (t) =
dθ dS d (θL) = = L = Lw dt dt dt
porr lo tanto po tanto,, la energ ener g´ıa cin´etica etic a asocia aso ciada da al p´eendulo nd ulo es: 1 2 1 K = mv = m (Lw)2 (10) 2 2
Debido que eeluna pesofunci´ es la ude nica fuerza asociada asociada al movimiento del p´ endulo, endul o,aexiste exist funci on ´on´unica energ energ´ ´ıa potencial (U g ), que resulta de: dU g dy dU g mg = dy dU g = mgdy F =
U g
y
dU g = mg
dy
0
0
U g = mgy
17
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n
pero, como y = L (1 − cos θ ): mgL L (1 − cos θ) (11) U g = mg 2
Para angulos ´angulos peque˜ nos nos se tiene que cosθ = 1 − θ , entonces: 2
θ2 1 mgL L 1−1+ U g = mg = mgLθ2 2 2 La energ´ energ´ıa ıa mec mec´anica ´anica o total es: 1 1 2 m (Lw )2 mgLθ E U E ttot + = + = c g ot 2 2 Aceptamos que w 2 = Lg ,
θ(t) = A cos(wt ) dθ −
w(t) = dt = wAsen (wt ) g Asen (wt) w(t) = − L
por lo que:
g 1 1 2 2 E tot mgL A wt mL Asen (wt ) = [ cos( )] + tot L 2 2 1 1 2 g 2 2 A2 sen2 (wt ) mL mgLA wt E tot cos ( ) + = tot L 2 2
Luego:
2
1 mgLA2 cos2 (wt + ϕ) + sen2 (wt ) 2 1 mgLA2 E ttot (12) = ot 2 Esto corresponde corresp onde a la energ´ energ´ıa potencial gravitatoria en el momento de desplazamiento angular m´aximo. aximo. E ttot ot =
Ejemplos: M.A.S. 1. Una masa unida a un resorte horizontal vibra en un M.A.S. La condici´on on inicial es que en ti = 0 el bloque est´a en xi = A . Halle las ecuaciones de movimiento. 18
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
Respuesta
De acuerdo a las condiciones iniciales las ecuaciones de posici´on, on, velocidad y aceleraci´oon n como funciones del tiempo son respectivamente: x(t) = A cos wt v (t) = −Awsenwt a(t) = −Aw2 cos wt
advierta que el valor m´aximo aximo o m´ınimo de la velocidad y aceleraci´on on son: v a
m´ ax ax
m´ ax ax
= =
±Aw ±Aw
2
2. Hallar las ecuaciones de movimiento de una masa unida a un resorte, ubicada sobre una superficie horizontal sin fricci´on, on, donde la masa se suelta desde el reposo en x(0) = 0. Respuesta
De acuerdo a las condiciones iniciales x(0) = 0, la velocidad del sistema es m´axima axima y la aceleraci´on on es cero en ese punto. Luego las ecuaciones de posici´on, on, velocidad y aceleraci´on on como funciones del tiempo son respectivamente: x(t) = A cos(wt − π/2) v (t) = −Awsen (wt − π/ 2) a(t) = −Aw 2 cos(wt − π/ 2)
Otras ecuaciones que satisfacen esta condici´on on inicial son respectivamente: x(t) = Asen (wt ) v (t) = Awcos (wt ) 2 a(t) = −Aw sen (wt )
19
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n N que oscila 3. Una masa de 1 kg est´a unida a un resorte de 39 , 44 m sobre una pista horizontal sin fricci´on. on. En ti = 0 la masa se suelta desde el reposo en x(0) = 3 m. Calcule las ecuaciones de movimiento que cumplan con estas condiciones y grafique cada una de ellas.
Respuesta
De acuerdo con las condiciones iniciales las ecuaciones de movimiento son respectivamente: x(t) = (3m) cos (2πt ) rad m t sen 2π v (t) = − 6π s s rad 2m t a(t) = − 12π 2 cos 2π
s
2π rad s
Para gr´aficar aficar x (t) = (3 m) cos tes pasos:
s t , realizamos los siguien-
Calculamos los tiempos para los cuales x(t) = 3 m. x(t) = (3 m) cos
2π
rad t s
3 m = (3 m) cos 2π rad t s t 1 = cos 2π rad s cos−1 (1) = 2π rad
s
0 =
2π
rad t s
t = 0s
Este valor corresponde al primer tiempo en el que x(t) = 3 m. Incrementando π rad en la ecuaci´on: o n: 0 = 2πt , obtenemos los otros valores de los tiempos 1π rad = 2π rad =
rad t =⇒ t = 0, 5 s s rad t =⇒ t = 1, 0 s 2π s 2π
20
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
Ahora, calculamos los tiempos para x(t) = 0 m. x(t) = (3 m) cos
2π
rad t s
t 0 = (3 m) cos 2π rad s t 0 = cos 2π rad s cos−1 0 = 2π rad t s
π rad t rad = 2π s 2 t = 0, 25 s
Este valor de tiempo corresponde al primer valor para el cual x(t)Incrementando = 0 m. t, obtenemos π rad en la ecuaci´o on: n: π2 rad = 2π rad s los otros valores para la cual x(t) = 0 m.
3 π rad = 2 5 π rad = 2
rad t =⇒ t = 0, 75 s s rad t =⇒ t = 1, 25 s 2π s
2π
Finalmente, construimos la tabla 1 y su correspondiente Figura 6. Tabla 1 t(s) x(m)
0 3
0, 25 0
0, 50 −3
0, 75 0
1, 00 3
1, 25 0
1, 50 −3
1, 75 0
2, 00 3
Para graficar la velocidad en funci´on on del tiempo, primero determinamos los tiempos para la cual v (t) = 0 ms v (t) = −
18, 84 m sen s 21
2π rad t s
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n
4 Posición en función del tiempo
3 2
) m 1 ( n 0 ó i c i s -1 o P -2 -3 -4 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Tiempo (s) Figura 6
t 2π rad s
0 = − 18, 84 ms sen t 0 = sen 2π rad s sen−1 0 = 2π rad t s
0 =
2π
rad t s
t = 0s
Este corresponde al primer tiempo para el que v (t) = 0 ms . Ahora, incrementamos incrementamos π rad, en la ecuaci´on: o n: 0 = 2πt y obtenemos los otros valores del tiempo para los que v (t) = 0 ms .
rad t =⇒ t = 0, 50 s s rad 2π t =⇒ t = 1, 0 s s
1π rad =
2π
2π rad =
Ahora, calculamos los tiempos para los que v = −18, 84 ms . v (t) = −
m sen 18, 84 s
22
2π
rad t s
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas m m −18, 84 s = − 18, 84 s t 1 = sen 2π rad s t sen−1 1 = 2π rad s
t 2π rad s
sen
π rad t rad = 2π s 2 t = 0, 25 s
Este corresponde al primer tiempo en el cual v = −18, 84 ms . t obtenemos Incrementamos π rad, en la ecuaci´oon: n: π2 rad= 2π rad s los otros valores del tiempo para los que v = −18, 84 ms .
3 π rad = 2
2π
rad t =⇒ t = 0, 75 s s
5 π rad = 2
2π rad t =⇒ t = 1, 25 s s
Finalmente obtenemos la tabla 2 junto con la gr´afica afica de la Figura 7. Tabla 2 t(s) v ( ms )
0 0
0, 25 −18, 84
0, 5 0
0, 75 18, 84
1 0
1, 25 −18, 84
1, 5 0
1, 75 18, 84
2 0
Para graficar la aceleraci´on on en funci´on on del tiempo. Calculemos los tiempos para la cual la aceleraci´on on es a = −118,32 sm . 2
a(t) = − m −118,32 s2 = − 1 = cos 2π rad s rad −1 cos 1 = 2π s
m 118, 32 2 cos s
118, 32 sm cos t t
2
t 2π rad s
rad
0 = 2π s t = 0s 23
t
rad t 2π s
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n
Velocidad en función del tiempo ti empo
20 15
) 10 s / m 5 ( d 0 a d i c -5 o l e -10 -10 V -15 -15 -20 -20 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Tiempo (s) Figura 7
Este corresponde al primer tiempo en el cual la aceleraci´on on es a = m −118,32 s Incrementamos π rad, en la ecuaci´oon: n: 0 = 2π rad t obtenemos los s otros valores del tiempo para la cual a = −118, 32 sm . 2
2
rad t =⇒ t = 0, 5 s s
1π rad =
2π
2π rad =
2π rad t =⇒ t = 1, 0 s s
Ahora calculemos los tiempos para la cual a = 0 sm 2
a(t) = − 118, 32
0 = − 118, 32 sm cos t cos−1 0 = 2π rad s 2
m cos s2
2π
t 2π rad s
π rad = 2
t =
2π
1 s 4
24
rad t s
rad t s
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
Este corresponde al primer tiempo en el cual a = 0 cm s . t obtenemos Incrementamos π rad, en la ecuaci´on: on: π2 rad = 2π rad s los otros valores del tiempo para la cual a = 0 sm . 2
2
32 π rad =
2π rad s t =⇒ t = 0, 75 s
Finalmente obtenemos la Tabla 3 y con su correspondiente Figura 8. Tabla 3 t(s) a sm
0
2
−118, 32
15 150 0
0, 25 0
0, 5 118, 32
0, 75 0
1 −118, 32
1, 25 0
Ac Acel eler erac ació ión n en fun funci ción ón del del ttie iem mpo
10 100 0
) s 50 / m ( n 0 ó i c a r e -5 -50 0 l e c A -100
2
-150 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Tiempo (s) Figura 8
part´ıcula parte de su posici´on on de equilibrio en ti = 0. Si la 4. Una part´ amplitud de su movimiento es de 2 cm y la frecuencia angular es . Determine: de 2π rad s a ) Las ecuacio ecuaciones nes de movimien movimiento to con ϕ = 0. b ) Las gr´ aficas aficas de: x vs. t, v vs. t y a vs. t. c ) La magnit magnitud ud de la velocidad velocidad y aceleraci aceleraci´on ´on m´axima. axima.
25
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n
Respuesta
a) Las ecuaciones de movimiento son:
2π rad t s rad cm t v (t) = 4π cos 2π s s rad cm t a(t) = − 8π 2 2 sen 2π s s
x(t) = (2 cm) sen
b) Observamos en la Figura 9 que al comparar x vs. t, v vs. t y a vs. t, vemos que los tiempos son los mismos para las tres variables, mientras que la amplitud cambia.
80 n ó i c a r e l e c a y d a d i c o l e v , n ó i c i s o p
a vs t
60 40 20 x vs t
0 v vs t
-2 -20 0 -4 -40 0 -6 -60 0 -8 -80 0 0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Tiempo (s) Figura 9
c) Los valores de la velocidad y la aceleraci´oon n m´axima axima son respecti a ±18π 2 cm vamente: v = ±6π cm s . s y = 2
5. Conver Convertir tir 4 radianes a grados. 26
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
Respuesta
Si 1800 = πrad, se calcula cu´aantos ntos grados son 4 rad usando la regla de tres simple, luego: 0
×4 rad = 229, 30 , as´ 3,14 rad x = 180 as´ı: 4 rad = 229 22 9, 30
6. El desplaza desplazamie mien nto de un objeto est´ a definido por la funci´on: on: x(t) = (8 cm) sen
rad π t + rad 2 s 8
Donde x est´a en cent cent´´ım ımetr etros os y t en segundos, calcule: a ) La vel velocid ocidad ad y la acelerac aceleraci´ i´ oon n en t = π2 s. b ) La velocidad m´axima axima el tiempo anterior mayor que cero en el cual la part part´ ´ıcula ytiene esta velocidad. c ) La aceleraci´ on on m´axima axima y el tiempo anterior anterior mayor mayor que cero
en el cual la part part´´ıcula tiene esta aceleraci´ oon. n. Respuesta
a) La velocidad en t = π2 s es: v (t) = v (t) =
16
cm
cos
9π rad
s cm s
−14, 78
8
La aceleraci´on on en t = π2 s, es:
cm 9π sen rad s2 8 cm a(t) = 24, 49 2 s a(t) =
−
64
b) La velocidad m´aaxima: xima: v
m´ ax ax
= ±16 27
cm s
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n
Y el tiempo tiempo en el cual cual la part part´´ıc ıcul ulaa ti tiene ene esta esta velocid elocidad ad es de t = 0, 43 s. c) La aceleraci´on on m´axima: axima: a
m´ ax ax
= ±64 cm s2
y el tiempo tiempo en el cual cual la part part´´ıcula ıcula tiene tiene est estaa ace aceler leraci aci´´oon n es de t = 0, 43 s. 7. Una masa se une al extremo de una cuerda para formar un p´enendulo simple. El periodo de su movimiento arm´onico onico se mide para desplazamientos angulares peque˜ nos nos y tres longitudes, midiendo el tiempo del movimiento en cada caso con un cron´ometro, ometro, durante 50 oscilaciones. Para, la longitud de 1 m, 0 , 75 m y 0, 5 m se miden tiempos totales de 99, 8 s, 86, 6 s y 71, 1 s. a ) Dete Determine rmine el periodo del movimien movimiento to para cada longitud. b ) Determine el valor medio de g obtenido a partir de las
tres mediciones independientes y comp´aarelo relo con el valor aceptado. Respuesta
a) Datos: n = 50 oscilaciones L (m) t (s) T (s) T 2 (s2 ) 1 99, 8 1, 996 3, 98 0, 75 86, 6 1, 772 3, 14 0, 5 71, 1 1, 422 2, 02
b) Si la gravedad se define como: 4π 2 L g = T 2
28
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
tenemos que: L (m) T 2 (s2 ) g sm 1 3, 98 9, 97 0, 75 3, 14 9, 42 0, 5 2, 02 9, 78 2
El valor promedio de la gravedad es de 9 , 7 sm ; al compararlo con el valor aceptado, la diferencia es de 0, 1 %. 2
8. Una masa de 1 kg unida a un resorte de constante de fuerza igual N , oscila sobre una pista horizontal sin fricci´on. on. En ti = 0 el a 25 m sistema masa-resorte se halla a 3 cm de la posici´on on de equilibrio. Encuentre: a ) El periodo de su mo movim vimien iento. to. b ) Los v valo alores res m´ aximos aximos de la velocidad y aceleraci´on. on. c ) Las ecuacio ecuaciones nes de movimien movimiento to del sistema. Respuesta
, donde T = 2wπ = 1, 25 s. a) Si la frecuencia angular w = 5 rad s b) La velocidad y la aceleraci´on on m´axima axima son respectivamente: v
m´ a ax x
= ±15 15 cm cm s y a
m´ ax ax
= ±75 75 cm cm s2 .
c) De acuerdo a las condiciones iniciales (ti = 0) el sistema est´a en x(0) = 3 cm; luego, las ecuaciones de movimiento que cumplen estas condiciones iniciales son respectivamente:
rad t s cm rad sen 5 t 15 s s
x(t) = (3cm) cos v (t) =
−
a(t) =
−
5
cos 75 cm s2 29
5 rad t s
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n
astica de 8 9. Una masa de 0, 5 kg unida a un resorte de constante el´astica N , de constante el´astica, astica, vibra con un M.A.S. a una amplitud de m 10 cm. Si comenzamos a contar las oscilaciones cuando el bloque se encuentra a 10 cm de la posici´on on de equilibrio. Calcule: a ) La frecuencia angular, el periodo de su movimiento, el valor
m´aximo aximo de la velocidad y de la aceleraci´on. on. b ) Las ecuaci ecuaciones ones de movimien movimiento to del sistema. c ) Gr Grafiq afique ue x vs. t, v vs. t y a vs. t. d ) La velocidad y la aceleraci´ on on cuando la masa est´a a 6 cm
de la posici´on on de equilibrio. e ) El tiempo que tarda la masa en moverse de x = 0 a x = 8
cm. Respuesta
a) La frecuencia angular, el periodo, la velocidad y la aceleraci´on on k = 08,5 = 16 s1 m´axima axima son respectivamente: w2 = m 2
rad π , T = s, s 2 cm cm = ±40 , a = ±160 2 . s s
w = 4 v
m´ ax ax
m´ a ax x
b) Como las oscilaciones se empiezan a contar en el momento en que el bloque se encuentra en x = 10 cm, las ecuaciones de movimiento son respectivamente:
π rad x(t) = (10 cm) cos t 45 s π rad cm v (t) = − 40 sen t 45 s s π rad cm t a(t) = − 160 2 cos 45 s s
30
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
c) Las gr´aaficas fic as de: de: x vs t, v vs t y a vs t corresponde a la Figura 10:
n ó i c a r e l e c a y d a d i c o l e v , n ó i c i s o p
160 160 140 140 120 120 100 100 80 60 40 20 0 -20 -20 -40 -40 -60 -60 -80 -80 -100 -120 -140 -160 0
a vs t
v vs t x vs t
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Tiempo (s) Figura 10
d) Si la frecuencia angular es w = 4 grados , ret retomando omando la ecuaci´ on on s de posici´on on en funci´on on del tiempo, del punto anterior, nos queda:
6 cm = (10 cm) cos
π rad t 45 s π rad t 45 s π rad
0, 6 = cos cos−1 0, 6 =
π rad t 45 s
45 s 0, 29π = t = 13, 2 s 31
t
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n
e) Cuando t = 13, 2 s =⇒ x = 6 cm de la posici´oon n de equi equilibr librio, io, as´ as´ı:
cm sen 40 s
v (t) =
−
v (t) =
−31, 86 cm
π rad t 45 s
s π rad cm t a(t) = − 160 2 cos s 45 s cm a(t) = −96, 74 2 s f) Para calcular el tiempo en el cual el bloque se encuentra a 8 cm de la posici´on on de equilibrio se realiza el siguiente procedimiento. De acuerdo con: π rad x(t) = (10 t (10 cm) cm) cos cos 45 s tenemos que:
8 cm = (10 cm) cos 0, 8 = cos−1 (0, 8) = 36, 860 = t =
π rad t 45 s
π rad t cos 45 s π rad t 45 s π rad t 45 s 9, 22 s
Del mismo modo, para x = 0 el tiempo es: t = 22, 5 s. N de constan10. Una masa de 50 g conectada a un resorte de 35 m te fuerza oscila sobre una superficie horizontal sin fricci´on on con amplitud de 4 cm. Encuentre:
a ) La energ´ energ´ıa total del sistema cuando la masa mas a se halla entre e ntre
el punto de equilibrio y el punto x(0) = 4 cm. b ) La velocidad de la masa cuando el desplazamiento es 1 cm.
Suponga que la masa se suelta en x(0) = 4 cm. c ) La energ´ energ´ıa cin´etica etica y potencial pote ncial del punto b. 32
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
Respuesta
a) La energ´ energ´ıa total del sistema en x(0) = 4 cm: kA 2 35 N (4 × 10−2 m)2 m E = 2 2 = E = 0, 028 J b) Para hallar la velocidad de la masa cuando el desplazamiento es de 1 cm, primero determinamos el tiempo en esa posici´on: on: x = A cos(wt )
kg× m2 35 m s
1 cm = (4 cm) cos
0, 25 = cos
0, 05 kg
kg× m2 35 m s
0, 05 kg
0, 25 = cos(26, 5 t = 2, 84 s
t
rad t) s
por lo tanto, la velocidad en ese punto es: v =
− (0, 04
v =
−1, 06
m)
2
kg× m2 35 m s
0, 05 kg
2
sen
kg× m2 35 m s
0, 05 kg
m sen (75,14 rad) = 0, 27
m s
c) La ener energg´ıa cin´ ci n´etic etica: a:
0,05kg × 0,27 ms mv K ≡ = 2 2 K = 1,84 × 10−3 J Y la ener energg´ıa potenc po tencial ial:: ≡
2
2
N (1 × 10−2 m)2 35 m
U 2 −3 U e = 175 × 10 J e
33
2, 84 s
Gladys Patricia Abdel Rahim Garz´ o on n
endulo endulo simple tiene un periodo de 2, 5 s sobre la Tierra. 11. Un p´ Cuando ´este este oscila sobre la superficie de otro planeta, el periodo es de 0, 75 s, ¿cu´al al es la l a aceleraci´ ac eleraci´on on de la gravedad en este planeta? Respuesta
El periodo del p´endulo endulo en cualquiera de los planetas es: T = 2π
L g
donde: g2 T 1 = g1 T 2 g2 = g2 T 1 = 9, 8 T 2
3 2 2 = 3 2 4
39, 2 m2 s
movimiento to de p´endulo endulo 12. Se necesita determinar las ecuaciones de movimien simple, la condici´oon n es que en ti = 0 la posici´on on sea en θ = A . Respuesta
De acuerdo a las condiciones inicales tenemos que en θ = A la velocidad y la aceleraci´on on m´aximas aximas son respectivamente: v (0) = 0 y a(0) = ±Aw2 . Las ecuaciones de movimento son: θ (t) = A cos(wt ) v (t) = −Awsen (wt ) a (t) = −Aw2 cos(wt )
Taller: M.A.S. 1. Una masa unida a un resorte est´a sobre una superficie horizontal sin fricci´on on y oscila con una frecuencia de 2π Hz, la masa se suelta en ti = 0 a una distancia de 4 cm de la posici´on on de equilibrio. Determine las ecuaciones de movimiento. 34
Conceptos b´ a asicos sicos de vibraciones y ondas
2. Se cuelga una masa de 500 gramos de un resorte cuya constante N . Si se desplaza 5 cm debajo de su posici´on on de el´astica astica es k = 2300 m equilibrio y se deja en libertad para que pueda oscilar libremente. Determine: (a) Amplitud, periodo del movimiento, frecuencia y frecuencia angular. (b) Las ecuaciones de movimiento (x vs t, v vs t y a vs t ). (c) Grafique y vs t para ϕ = 0 y ϕ = π4 .
astica 3. Un bloque de 1 kg se cuelga de un resorte de constante el´astica N . Si desplazamos dicho bloque 10 cm hacia abajo y luego k = 2500 m se suelta. ¿Con qu´e velocidad pasa por la posici´on on de equilibrio? y ¿Cu´ al al es el periodo de las oscilaciones oscilaciones que realiza? realiza? Encuentre Encuentre las ecuaciones de movimiento. 4. La posici´on on en funci´on o n del tiempo de un m´ovil ovil que describe un M.A.S viene dada por la expresi´on: on: x(t) = (2 m) cos
2π
rad t + ϕ s
Determine: (a) Amplitud, Amplitud, frecuencia frecuencia angular angular y periodo del mo movimie vimiento nto.. (b) Encuent Encuentre re las ecuaciones ecuaciones de movimie movimiento nto.. (c) Grafique x vs t para ϕ = 0 y ϕ = π4 . 5. Grafique la posici´on on x de un objeto que experimenta M.A.S. como una funci´on on del tiempo, si: y la fase fase (a) La amplitud es de 2 m, la frecuencia angular de 5 rad s inicial de ϕ = 0. afica dibuje la funci´on on para: ϕ = π4 , π2 y π rad. (b) Sobre la misma gr´afica Explique lo que se observa cuando se pintan estas gr´aficas aficas en un solo plano cartesiano.
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