CONCEPTO DE SERIE NUMÉRICA
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CÁLCULO INTEGRAL MATERIAL DE ESTUDIO SOBRE EL CONCEPTO DE SERIE NUMÉRICA CONCEPTO DE SERIE NUMÈRICA Las sumas que aprendemos a realizar en la escuela primaria constan siempre de un número finito de sumandos. Las series numéricas permiten generalizar esta operación al caso de un número infinito de sumandos. De acuerdo con esta idea, para construir una serie numérica es necesario, en primer lugar, partir de una lista o sucesión infinita de números (no necesariamente diferentes) que constituirán los sumandos que se sumarán a través de la serie, y en la cual es posible distinguir con toda claridad cuál es el primer elemento de la lista, cuál el segundo, cuál el tercero, y así, sucesivamente. 1 1 1 Por ejemplo, la lista 1, , , , ... define una sucesión numérica, cuyo término general es 2 3 4 an
1 n
.
Son también sucesiones numéricas las listas
2,2,2,2,2,... 1 1 1 2,1, , , , .. ... 4, 2, 2 4 8 ,1, 1,1, ,1, 1,... 1, 1,1, cuyos términos generales son, respectivamente, an 2 ,
an
Inversamente, la sucesión cuyo término general es
1 2
n 3
an
,
an
1
1 n
n 1
.
n
es la lista de números
1 1 1 1 , , , , ... . 4 9 16
Es importante destacar que no siempre es fácil identificar cuál es el término general de una sucesión numérica. De hecho, existen famosas sucesiones numéricas dentro de las matemáticas cuyo término general hasta el día de hoy no ha podido ser descubierto, como es el caso de la sucesión de los números primos A partir de cualquier sucesión numérica a1 , a2 , a3 , a4 , ... es posible definir una serie numérica planteando la suma de sus términos, es decir, mediante la expresión
a1
a2 a3 ... , que de manera
compacta puede escribirse en la forma an . n 1
Las series numéricas pueden ser de dos tipos diferentes: convergentes o divergentes.
La serie numérica
a
n
será convergente o divergente en dependencia del comportamiento de otra
n 1
sucesión numérica, denominada sucesión de sumas parciales de la serie. Esta sucesión, que denotaremos mediante el símbolo S n , se construye del siguiente modo:
1
a1 S2 a1 a2 S3 a1 a2 a3 S1
y así sucesivamente. En general, Si a medida que
Sn
n aumenta
a1 a2 ... a
n
los términos de la sucesión
S n se
aproximan infinitamente a un valor
numérico finito (es decir, si existe lim S n ), se dice que la serie numérica n
a converge (o que es n
n 1
convergente) y, en tal caso, el valor de dicho límite se asume como el resultado de la suma infinita que la serie plantea. En caso contrario, se dice que la serie diverge (o que es divergente)
Ejemplos:
1
2
S 1
S 2
S 3
S 4
n
1
1
1
1
... 2 4 8 16 n 1 Los primeros términos de la sucesión de sumas parciales de esta serie son los siguientes:
1) Consideremos la serie
1 2 1 2 1 2 1 2
1 4 1 4 1 4
3 4 1 8 1 8
7 8 1
15
16
16
2 1 n
Del comportamiento de estos términos es posible inferir que, en general, S n Como lim
n
1 n
2
n
1
0 , se tiene que lim S 0 , lo cual permite concluir que la serie
2 convergente, y que su suma es 1.
n
1
n
n
1
1
2
n
.
1
2
n
es
n 1
S 1
S 2
S 3
S 4
2
n
1
1
... 2 6 12 20 n 1 Los primeros términos de la sucesión de sumas parciales de esta serie son los siguientes:
2) Consideremos la serie
1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 6 1 6 1 6
2 3 1 12 1 12
3 4 1 20
4 5
2
Del comportamiento de estos términos es posible inferir que, en general, S n Como lim n
n n 1
1
1 n 1
1 n 1
0 , se tiene que lim S 1 , lo cual permite concluir que la serie n
n
n 1 n
.
1 2
n
es
convergente, y que su suma es 1.
n
1
1
1
n 2
S 1
S 2
S 3
S 4
2
1
1
1
... 3 8 15 24 Los primeros términos de la sucesión de sumas parciales de esta serie son los siguientes:
3) Consideremos la serie
1 3 1 3 1 3 1 3
1 8 1 8 1 8
11 24 1 15 1 15
21 40 1 24
17 30
Ya aquí no resulta tan fácil inferir a simple vista cuál es la expresión del término general de esta sucesión. 1 Para solucionar este problema, descompongamos la fracción 2 como suma de fracciones parciales. n 1 1 1 1 Al aplicar el procedimiento establecido, se obtiene que 2 2 2 , lo cual permite escribir la n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 2 2 igualdad . 2 n 1 n 1 n 1 2 n 1 n 1 n2 n2 n2
Si escribimos ahora los primeros términos de la sucesión de sumas parciales de la serie que aparece a la derecha de esta igualdad, obtenemos que: 1 S 1 1 3
1 1 1 1 3 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 S 3 1 1 2 4 5 3 2 4 3 5 1 1 1 1 1 1 1 1 S 4 1 1 2 4 5 4 6 2 5 6 S 2
Resulta ahora claro que para n 3 se tiene que
S n
1
1
2
n 1
1
1 n2
.
3
Como lim 1 n
1 2
que su suma es
3 4
1 3 1 , se concluye que la serie 2 2 n 1 n 2 1
1
n n 2
1 2
1
es convergente y
.
4) Consideremos la serie
3n 1
2n 3 n 1
Los primeros términos de la sucesión de sumas parciales de esta serie son los siguientes: 2
S 1
S 2
S 3
S 4
1 1
S 5
1
S 6
5 2
5
5 2
7 5
8
7
9
2
5
8
5
7
9
2
5
8
14
5
7
9
13
5
8
14
7
9
13
5
2 5
1
2
17 15
3
Lo que está sucediendo con los últimos tres términos de esta sucesión nos permite asegurar que para n 4 se tiene que Sn n 4 . Como n 4 crece indefinidamente a medida que n crece, se
concluye que lim S n , lo cual permite asegurar que la serie n
3n 1
2n 3 es divergente. n 1
UNA CONDICIÒN NECESARIA PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE NUMÉRICA Un análisis detallado del último ejemplo de la sección anterior nos permite concluir que la razón esencial por la cual la serie considerada resultó divergente fue que a partir de n 4 los términos de la serie resultaron ser mayores o iguales que 1. Algo similar ocurre si, en general, los términos de una serie son positivos y, a partir de un momento,
comienzan a ser mayores que algún número positivo fijo. Por ejemplo, si se tiene una serie
a
n
para la
n 1
cual se cumple que
an
0.01 para
n 10 , se tiene que
S110
a1 ... a10 a11 ... a110 100 0.01 1
S210
S110 a111 ... a210 1 100 0.01 2
lo cual nos permite llegar a la conclusión de que es posible encontrar dentro de la sucesión
S n términos
más grandes que cualquier número natural que se prefije. Esto implica que lim S n , de donde se n
concluye la divergencia de la serie
a
n
.
n 1
Quiere decir entonces que para que una serie numérica sea convergente, no puede suceder que sus términos sean posteriores a un número positivo dado, por muy pequeño que éste sea. En otras palabras, para que una serie numérica sea convergente, a partir de cierto momento sus términos deben comenzar
4
a ser más pequeños que cualquier cantidad positiva que se prefije, lo cual no significa otra cosa que dichos términos deben tender a 0. Resumiendo:
Si la serie
a
n
converge, necesariamente debe cumplirse que lim an n
n 1
Con este conocimiento, ahora resulta mucho más sencillo concluir que la serie
0
3n 1
2n 3 diverge. En n 1
efecto, dividiendo numerador entre denominador, resulta que 3n 1
3n 1 2n 3
3 2
11 2 2n 3
3 2
11 4n 6
,
3
0 . Al no cumplirse la condición necesaria de convergencia que 2n 3 2 aparece en el recuadro de más arriba, se concluye que la serie debe ser divergente. de donde resulta que lim
n
La condición anterior nos dice que sólo puede existir convergencia para una serie cuando sus sumandos tiendan a 0 a medida que n crece. Sin embargo, puede suceder que se dé esta condición y que la serie diverja. 1 1 Consideremos, por ejemplo, la serie . Está claro que lim 0 . Sin embargo, esta serie
n
n
n 1
n
diverge. En efecto: S 2 S 4
S 8
1
1 2
1 1 2 2 3 4 2 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 4 8 8 8 8 1
1
1
1
1
1
1
1
Este comportamiento indica claramente que
S
2
n
1 2
3
1 1 n , de lo cual se deduce que se pueden 2
encontrar sumas parciales de esta serie mayores que cualquier número que se prefije. De aquí que 1 diverge, a pesar de que sus sumandos tienden lim S n , lo cual permite concluir que la serie
n
n
n 1
a 0 a medida que
n crece.
Esto significa que para que una serie sea convergente sus sumandos deben ser “pequeños”, pero que la pequeñez de los sumandos de una serie no garantiza su convergencia. En otras palabras, para que la
serie
a
n
converja es necesario que lim an
n 1
n
0 , pero esta condición no es suficiente para poder
asegurar la convergencia de la serie.
5
SERIES GEOMÉTRICAS Ya vimos en las secciones anteriores que una de las dificultades que se presentan al analizar el comportamiento de una serie numérica estriba en no poder determinar cuál es el modelo al que se ajusta su sucesión de sumas parciales S n . Esta modelación resulta particularmente sencilla en el caso de las denominadas series geométricas. Se denomina serie geométrica a aquella en la cual el cociente de cada sumando entre el sumando que le precede es un valor constante r , denominado razón de la serie geométrica. Esto significa que si el primer sumando de la serie es el número a , se tendrá que: a2
r a2 ar
a a3
r a3 a2 r ar 2
a2 a4
r a4 a3 r ar 3
a3
y así sucesivamente. De este modo, las series geométricas son del tipo
a ar ar
2
ar3 ... ar , donde n
a y r
n 0
son números constantes. Si consideramos la suma parcial Sn
S n de
una serie de este tipo, tendremos que
a ar ar 2 ar 3 ... ar
n 1
.
Multiplicando ambos miembros de esta igualdad por r , obtenemos la igualdad n 2 3 4 rS n ar ar ar ar ... ar Si a esta igualdad le restamos la anterior se obtiene que rS n
Extrayendo el factor común
S n
S ar a n
n
que aparece en el primer miembro y despejando, se obtiene
finalmente que S n
a r 1
ar
n
que es el modelo que permite calcular la suma parcial comienza en el número
S n de
la serie geométrica de razón
r que
a.
A partir de este modelo, y tomando en consideración que cuando r 1 la expresión r tiende a , es fácil concluir que las series geométricas cuya razón es mayor que 1 son siempre divergentes. n
Si, por el contrario, lim S n n
a 1 r
r está
ubicado entre 0 y 1 , se tiene que lim r 0 , de donde se deduce que n
n
a a , con lo que la serie geométrica resulta convergente , con suma igual a r 1 1 r
.
6
Ejemplo de aplicación de las series geométricas 1. Consideremos el número decimal periódico 3.214747474747... y determinemos cuál es el número racional del cual proviene. Queda claro que el número puede ser escrito en la forma 3.21 0.0047 0.000047 0.00000047 ...
3.21
47 10
4
47 10
6
1 1 1 ... ... 3.21 47 8 4 6 8 10 10 10 10 47
La expresión que aparece entre paréntesis es una serie geométrica de razón r 1
1 10
2
. Esta serie 1
4 1 converge pues su razón es un número positivo menor que 1, y su suma es 10 10 1 99 9900 1 2 2 10 10 Resulta entonces que 4
3.21
47 9900
321 100
47 9900
15913 4950
7
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