Concepto de Probabilidad y Propiedades

Estadística DEI



En un experimento experime nto aleatorio, aleatorio, cuando el número núme ro de  veces  veces que se repite aumenta, la frecuencia relativa relativa  f  n ( A) 

número de veces que ocurre  A n

convergehacia una cantidad que llamaremos probabil  pro babiliid ad : Pr( Pr ( A)  lím

 f  n ( A)

n



En un experimento experime nto aleatorio, aleatorio, cuando el número núme ro de  veces  veces que se repite aumenta, la frecuencia relativa relativa  f  n ( A) 

número de veces que ocurre  A n

convergehacia una cantidad que llamaremos probabil  pro babiliid ad : Pr( Pr ( A)  lím

 f  n ( A)

n



También podemos p odemos entender la probabilidad probabili dad como el grado de certeza que se posee sobre s obre un suceso, suceso, basada en experiencias previas.



Dado un espacio muestral E, definimos la probabilidad como una función, P, que asigna a un suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas (axiomas) 1) 0   P ( A)  1



2)

 P ( E )  1

3)

 P ( A  B)   P ( A)   P ( B)

si  A  B   

El tercer axioma se generaliza a cualquier número de sucesos disjuntos:    s   s Pr   Ai    Pr( Ai )  i 1   i 1



Gráficamente:



Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros. 1.

 P ( A)

 1   P ( A)   E    A   A  1   P ( A)   P ( A)

2.

 P ( )

 0      E    P ( )  1   P ( E )  1  1  0

3.

Si  A

  A   P ( A)   A   B   A   B   A   P ( B)   P ( A)   P ( B   A) B  ( A   B)  ( B   A)

4.

5.

 P ( B

  A)   P ( B)   P ( A   B) 

 P ( A   B )

  P ( A   B)   P ( B   A)  P ( B )   P ( A   B )   P ( B   A)

 P ( B )

  P ( A)   P ( B )   P ( A   B)   A   B

 ( A   B)  ( B   A)  ( A   B)  P ( A   B )   P ( A)   P ( A   B )   P ( B )   P ( A   B )   P ( A   B )

Ejemplo: Faros de coche 

Un fabricante de faros de coches controla con regularidad la duración y la intensidad de la luz cuando son sometidos a elevada humedad y temperatura. En la siguiente tabla se presentan las probabilidades de tener un comportamiento satisfactorio en cuanto a intensidad y duración: Duración Intensidad

Satisfactorio No satisfactorio

Satisfactorio

No satisfactorio.

0,9

0,023

0,062

0,015





¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria?

¿Cuál es la probabilidad de que un faro tenga intensidad satisfactoria o no tenga duración satisfactoria?

Estimación de la probabilidad en la práctica 



Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles, y no hay razón que privilegie a un resultado frente a otro. Calcularemos la probabilidad de un suceso de la forma siguiente: Dado un suceso compuesto A que contiene “n” sucesos elementales, su probabilidad será  P ( A) 

casos  favorables (n) 1 casos  posibles( N )

n

(probabili dad de cada suceso elemental)

Ejemplos 

Lanzamiento de una moneda:



Lanzamiento de un dado:

 E  



  P (C )  1/ 2

 E   C ,  X 

1,

2, 3, 4, 5, 6  P (3)  1 / 6

Equiprobabilidad 



En ocasiones no es fácil determinar los sucesos elementales contenidos en un suceso A:

En un lote de 9 computadoras hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos

Combinatoria 

Nos ayuda a calcular el número de reordenaciones de n objetos tomados de k  en k. Sin reemplazamiento (o sin reposición) IMPORTA EL ORDEN  Variaciones NO IMPORTA EL ORDEN Combinaciones



 P  n,



k 

n!

(n  k )!

 n  C (n, k )     k     

Con reemplazamiento (o con repetición) k 

VRn



n

k 

 n  k  1  CR(n, k )    k      

Probabilidad condicionada 





Centra el foco de atención en el hecho que se sabe que ha ocurrido el evento B. Estamos indicando que el espacio muestral de interés se ha “reducido” sólo a aquellos resultados que definen la ocurrencia del evento B. Entonces P(A|B) “mide” la probabilidad relativa de A con respecto al espacio reducido B.

 P ( A |  B) 

2 5



2/9 5/ 9



 P ( A  B)  P ( B)

Probabilidad Condicionada 

Concepto y propiedades

1.  B   A   P ( A |  B )  1 2.  A  B      P ( A |  B )  0  P ( A  B ) 3.  P ( A |  B )  ,  P ( B )  0  P ( B )

Independencia de sucesos 



Diremos que dos sucesos son independientes si el conocimiento de la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro.  A y B son independientes si:  P ( A |  B )   P ( A)

 P(A  B)  P(A | B)P(B)  P(A)P(B)  P ( B |  A)   P ( B)

Ejemplo 







Una aplicación del concepto de independencia es el cálculo de la fiabilidad de un sistema. Se denomina fiabilidad de un sistema a la probabilidad de que el sistema funcione correctamente. Si la probabilidad de que un interruptor cualquiera esté cerrado es 0,99, ¿cuál es la probabilidad de que pase corriente de A a B? A

B  P ( pasar corriente

de A a B)  0,99 2  0,9801





 Aunque la fiabilidad de cada componente sea alta, si hay muchos componentes la fiabilidad del sistema puede ser baja. Para aumentar la fiabilidad podemos poner varios sistemas en paralelo. 1 S1 2



 A

B 3 S2 4

 P ( pas ar corriente de

A a B)   P ( S 1  S 2 )

 1  P(no pasar corriente de A a B) 

1 - P(S1  S 2 )  1 

 P S   P S   1

2



   1   P ( S  )  1  0,9801  0,0199

 P  S 1

1



P(pasar corriente de A a B)  1  0,01992  0,9996 Ha aumentado la fiabilidad en un 2%

Ley de la probabilidad total 



Observa la siguiente figura:

Los conjuntos A1, A2, A3, A4, mutuamente excluyentes  y exhaustivos dividen al evento B en subconjuntos mutuamente excluyentes

 





Mutuamente excluyentes: los eventos no coinciden. Exhaustivos: su unión abarca todo el espacio muestral. Cada resultado en este espacio pertenece a uno y sólo uno de los eventos A1, A2, A3, A4. Cada uno de los eventos Ai que intersectan a B, forman los eventos  A  B,  A  B,  A  B, y  A B. Obviamente (de la figura) estos eventos son mutuamente excluyentes y abarcan a B. Cada resultado en B pertenece a uno y sólo uno de los eventos  A  B,  A  B,  A  B, y  A B. Por lo que: B =  A  B  A  B  A  B  A B. 1





1

2

2

3

3

4

4

1



2



3



4



 B   A1  B



   A2  B   A3  B   A4  B

El cual es la unión de los eventos mutuamente excluyentes. Por tanto:

 P  B    P  A1  B    P  A2  B    P  A3  B    P  A4  B  Debido a que  P ( Ai  B )   P ( B |  Ai ) P ( Ai )  P ( B)   P ( B |  A1 ) P ( A1 )   P ( B |  A2 ) P ( A2 )   P ( B |  A3 ) P ( A3 )   P ( B |  A4 ) P ( A4 ) 

La última ecuación es un caso particular de la ley de probabilidad total donde hay cuatro eventos excluyentes y exhaustivos.







La intuición detrás de la probabilidad total es muy simple. Los eventos A1, A2, A3 y A4 parten al evento B en piezas. Se podría dibujar nuevamente la figura para tener cualquier número de eventos Ai. Esto conduce al caso general de la ley de la probabilidad total.

Ley de la probabilidad total 

Si A1, A2,…,An son eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos y B es cualquier evento, entonces  P ( B )   P ( A1  B )  ...   P ( An   B )

De manera equivalente, si

 P ( Ai )  0 para cada Ai

 P ( B)   P ( B |  A1 ) P ( A1 )  ...   P ( B |  An ) P ( An )

,

Ejemplo 

Clientes que compran cierta marca de automóvil pueden pedir un motor en cualquiera de tres tamaños. De todos los automóviles vendidos, 45% tiene el motor más pequeño, 35% tamaño mediano y 20% más grande. Los automóviles en una prueba de emisiones dentro de los dos años de su compra fallan 10% con el motor más pequeño, mientras que 12% de los de tamaño mediano y 15% de los de motor más grande. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil elegido aleatoriamente pueda fallar en una prueba de emisionde dentro de los dos primeros años?

Diagrama de árbol para el ejemplo

Teorema de Bayes  





Si A y B son dos eventos, en general  P ( B | A)  P ( A | B) . La regla de Bayes proporciona una fórmula que permite calcular una de las probabilidades condicionadas si se conoce la otra. Supongamos que conocemos P(B|A) y queremos calcular P(A|B) La definición de probabilidad condicional establece que:  P ( A |  B ) 

 P ( A   B )  P ( B )





Supongamos que se conoce P(B|A) y que deseamos calcular P(A|B). Empezamos con la definición de probabilidad condicional:  P ( A  B)  P ( A |  B) 

 P ( B)



Pero,



Sustituimos en la primera expresión y obtenemos:

 P ( A  B)   P ( B |  A) P ( A)

 P ( A |  B )  

 P ( B |  A) P ( A)  P ( B )

La última expresión es esencialmente el teorema de Bayes.

 P ( A |  B ) 





 P ( B |  A) P ( A)  P ( B )

Donde P(B) es la probabilidad total. Sean A1,A2,…,An una colección de eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos y utilizando la ley de la probabilidad total, sustituyendo a P(B) con la expresión correspondiente, obtenemos finalmente la expresión general del Teorema de Bayes que pasamos a enunciar formalmente.

Teorema de Bayes 

Sean A1, A2,…,An eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos con  P ( A )  0  para cada A . Sea B cualquier evento con  P ( B)  0 . Entonces: i

 P ( Ak  |  B ) 

i

 P ( B |  Ak  ) P ( Ak  ) n

 P ( B |  A ) P ( A ) i

i 1

i