Concepto de Momento de Una Fuerza

 

Concepto de momento de una fuerza Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F. M=r F  

La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza: El módulo es el producto de la fuerza por su  brazo (la distancia desde el punto O a la recta de dirección de la fuerza).  M=Fd     La dirección perpendicular al plano que contiene la fuerza y el punto, la que marca el eje del tornillo.   El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando hacemos girar a la llave.

 

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MOMENTO O TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO.   Sean: Una fuerza que está aplicada en un punto A de un sólido rígido como se indica en la figura 104. Un

punto

del

sólido

alrededor

del

El vector de posición de A, tomando como origen el punto O.

FIGURA 104. 

cual

éste

puede

rotar.

 

  Se define el momento o torque de la fuerza

con respecto al punto O y se designa por

como:

Observaciones :

1. El simbolo simbolo < class="large3"> class="large3"> corresponde a una letra del alfabeto griega y se lee tao, también se designa el momento con respecto al punto O por 2. De la definición del producto vectorial se derivan las siguientes consecuencias que se pueden observar en las figuras 105 y 106.

FIGURA 105. 

7.3.1.

MAGNITUD DE

, siendo siendo

el ángulo ángulo que determinan los dos dos vectores vectores cuando cuando los aplicamos en un

mismo punto; observemos que no necesariamente, el ángulo determinado determinado entre el vector vector

y la aplicación

de en su su extremo extremo que corresponde realmente a su suplemento suplemento pero pero que, que, erróneamente, erróneamente, en muchas ocasiones se toma como el ángulo entre los dos vectores.

 

FIGURA 106. 

 Vemos que en el

 

rectángulo, donde OH representa la distancia del punto O a la linea de acción de

, que y por lo tanto se tiene tambien que: a la distancia OH se le denomina brazo de palanca, y una consecuencia inmediata de la expresión anterior es que la magnitud del torque de la fuerza es independiente independiente del punto de aplicación de de ésta sobre su línea de acción, puesto puesto que la distancia de O a la recta es constante. Remitiendonos de nuevo a la ecuación inicial para que se origina al descomponer la fuerza al vector

podemos establecer otra interpretación interesante

en dos componentes rectangulares así: una componente paralela

y otra componente perpendicular a éste; que designamos respectivamente por

podemos observar en la figura 107.

y

como

 

 

FIGURA 107. 

Se tienen en consecuencia las siguientes expresiones para

Cada expresión puede ser de mayor o menor utilidad, dependiendo de los datos específicos del problema a estudiar.  Anotemos finalmente que las unidades en las que se expresa la magnitud del torque, en el sistema MKSC corresponde al producto Newton.metro. Recordando algo anteriormente visto, tenemos que, en el mismo sistema, el trabajo también se expresa en este mismo producto, designando como Joule la unidad para el trabajo. No obstante utilizaremos el Joule únicamente para las unidades del trabajo y en el caso del torque los designamos explicitamente como Newton.metro. Mas adelante daremos una explicación detallada del significado del torque. 7.3.2. DIRECCIÓN

y

DE

y por lo tanto es perpendicular al plano que determinan los vectores

son paralelos. En consecuencia la recta recta de acción de cuerpo cuando está sujetó en O y se le aplica la fuerza

7.3.3.

SENTIDO DE

y

cuando ellos no

representa el eje eje respecto respecto al cual tiende tiende a girar el

 

El sentido de

está indicado por por la regla de la mano derecha, derecha, como lo estudiamos estudiamos en la definición ddel el

producto vectorial. Para el caso de la situación analizada el vector por

y

como lo indicamos en la figura 105, 106 y 107; esta regla nos indica además el sentido del giro

que la fuerza de

está "entrando" al plano determinado

tiende a imprimir al sólido rígido, alrededor de un eje determinado por la línea de acción

y que pasa por O.

En este este caso caso el sentido del del giro es horario y por convención lo indicaremos indicaremos con el simbolo en la figura 108, asignandole signo negativo al módulo de indicaremos con el simbolo

como se indica

en caso contrario si el sentido es antihorario lo

asignandole signo positivo al módulo de

FIGURA 108. 

Esta caracterización de

nos permite, por último comprender cabalmente el significado de este objeto físico

que resumiremos así: la magnitud de mide la tendencia de la fuerza movimiento de rotación cuando el cuerpo tiene el punto O fijo.

a imprimir al sólido rígido un

7.3.4. Como ya fué observado previamente, el momento de una fuerza respecto a un punto, punto, no depende de la situación real del punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su linea de acción (recordemos que la fuerza corresponde a un vector deslizante). Recíprocamente el momento posición del punto de aplicación de la misma. Sin embargo, el momento

de una fuerza

completamente la recta de acción de

de una fuerza no determina la

de magnitud, dirección y sentidos dados, determina

. En efecto, la recta de acción de

se encuentra en un plano

 

perpendicular al vector

y que pasa por O; y la distancia distancia de la recta al punto O es igual al cociente

además el sentido sentido de

y el signo asignado nos permite permite precisar precisar a que lado de de O se determina la recta. recta.

Podemos plantear además una nueva expresión para el principio de transmisibilidad, como consecuencia de todo lo anterior, en los siguientes términos: Dos fuerzas

y

son equivalentes, si y sólo si, son iguales y

tienen momentos iguales respecto a un punto dado O. Esto lo podemos simbolizar así, equivalentes si y sólo si 7.3.5.

y

son

y

TEOREMA DE VARIGNON.  VARIGNON. 

Èl momento respecto de un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto O. Esto es, si las fuerzas , ; se aplican en un punto P, como se indica en la figura 109, podemos concluir inmediatamente por la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, que:

 

Momento de una fuerza con respecto a un eje

Retomando el concepto de momento de una fuerza con respecto a un punto se puede hacer notar que las componentes rectangulares rectangulares [Fig. 116], que representan la tendencia a la rotación alrededor de los ejes coordenados se obtienen proyectando el momento

sobre

cada uno de los ejes así:  Figura 1-16 

Donde

son los cósenos directores del vector

.

En forma vectorial las ecuaciones anteriores se pueden expresar como:

Para determinar el momento de una fuerza con respecto a cualquier otro eje, por ejemplo el eje OL, que pasa  por O, [Fig. 1-17], se proyecta el momento

Figura 1-17 

sobre el eje tal que:

 

  O en forma vectorial:

Donde es un vector unitario dirigido en la dirección OL. Se debe hacer notar que el momento así definido es un escalar; puesto que el momento con respecto a un eje es un vector; para expresarlo como tal, se multiplica su magnitud por el vector unitario dirigido sobre su línea de acción a cción así:

[1-14] 

Para hallar una expresión más general del momento de una fuerza con respecto a un eje consideremos la figura 1-18. Sea P un punto cualquiera sobre el eje OL, como: 

Figura 1-18 

 

[1-15]

De la figura se ve que

y que

entonces:

 

Como

es cero, resulta que  

[1-16]

Pero es el momento de la fuerza con respecto a P; por consiguiente se  puede decir que el momento de una una fuerza con respecto a un eje es igual a la  proyección sobre él mismo, del momento momento del la fuerza con respecto a cualquier  punto contenido en el eje. eje. Aunque las ecuaciones [1-15] y [1-16], expresan que:

No se puede afirmar, desprevenidamente, que

sea igual a

que el momento de

, esto es; respecto a O sea

igual al momento de

con respecto a P.

Lo que las ecuaciones [1-15] y [1-16] indican es que la proyección de

y

sobre el eje OL son

iguales.Para entender esto, véase la figura 1-19.  Figura 1-19 

Para comprender mejor física y geométricamente el momento de una fuerza con respecto a un eje,

Entonces el momento con respecto al eje será

donde d  es  es la

de magnitud

consideremos la figura 1-20. Por un distancia perpendicular entre punto A sobre la línea de acción de la bien, la componente

y OL.Ahora

se puede descomponer,

en general, en una componente radial

fuerza se puede trazar un plano P perpendicular al eje OL. En general la componente tangencial

; obviamente

y una no

 

fuerza

se puede descomponer descomponer en

dos fuerzas paralela al eje y

y

, siendo la component componente e

 produce momento con respecto a OL, entonces  podemos concluir que la única fuerza que  produce momento respecto a un eje es la componente tangencial y que el valor de dicho

perpendicular al eje contenida en el momento es

.

plano P. Como ya se mencionó, la componente

no produce

momento respecto a OL. 

un par de fuerza (o torque o momento) es una fuerza que hace girar un objeto sobre un eje, a diferencia de una fuerza que se aplica de forma lineal y hara que el objeto se mueva en una direccion lineal (valga el plionasmo) el par hara que este gire, el par se de en Nt/m en cambio la fuerza se da solo en Nt. no se si me entiendes pero ahi te va esto, espero que te sirva El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o desequilibrio de fuerzas para causar la rotación del cuerpo con respecto a éste. El momento tiende a provocar un giro en el cuerpo o masa sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) y en elementos que trabajan sometidos a flexión (como las vigas). ahi hay un diagramita para que me entiendas, que par es una fuerza que hace girar, En la descomposición de fuerzas, fuerzas, conocemos la resultante (R) y nos interesa conocer sus componentes (F1 y F2 sobre las coordenadas x e y) . La descomposición descomposición de una fuerza en sus componente componentes s se puede hacer sobre cualquier dirección. dirección. Sin embargo, lo más frecuente es descomponer una fuerza en direcciones perpendiculares (horizontal y vertical, ejes coordenados). Para ello, la fuerza dada se coloca en el origen de unos ejes coordenados y desde el extremo (flecha) de la fuerza se trazan líneas perpendiculares a los ejes, como se indica en la figura a la derecha.

 

Las distancias desde el origen hasta esas perpendiculares nos dan la medida de las componentes horizontal y vertical de la fuerza dada. Entonces: Las proyecciones sobre los ejes son sus su s componentes.  componentes.  Hasta aquí tenemos la solución o representación gráfica de fuerzas.

So lu ci ón anal íti ca o m atem áti ca En seguida abordaremos la solución o cálculo del valor (módulo) de una fuerza y sus componentes (solución analítica o matemática). Para resolver este tipo de problemas, lo que hay que hacer es proyectar sobre los ejes la fuerza dada (figura a la izquierda) y calcular, por medio de  de r elaciones elaciones trigonométricas  simples, tales como seno, trigonométricas coseno y coseno  y tangente tangente,, el valor de sus componentes y el valor del ángulo de aplicación. Una vez que tenemos cada componente proyectada y hechos los cálculos, hacemos las sumas y restas sobre cada eje para luego volver a componer todo en una nueva resultante. Para hallar la resultante total nueva hay que realizar el procedimiento inverso; es decir, componer las dos fuerzas. El módulo de la nueva resultante se calc calcula ula como la raíz cuadrada de la sum suma a de cada componente al cuadrado:

El ángulo se puede calcular con la tangente:

Veamos:   Veamos:

 

 Aplicando la definición definición de seno seno al  al ángulo (α (α en nuestro dibujo ilustrativo a la derecha) que forman el vector con el eje x (en x (en un triángulo rectángulo el seno es el cateto opuesto al ángulo dividido por la hipotenusa), y de coseno coseno que  que es el cateto adyacente dividido por la hipotenusa, podemos calcular las componentes (el valor que toma la fuerza en su proyección hacia los ejes x e y):

Fx = F• cos α   se lee: la componente Fx de la fuerza original (F) es igual al producto entre esta fuerza y el coseno del ángulo (α) que forma con su propia proyección en x.  x. 

Fy = F• sen α   se lee: la componente Fy de la fuerza original (F) es igual al producto entre esta fuerza y el seno del ángulo ángu lo (α) que forma con su propia proyección en y. y.   Las componentes Fx (proyección (proyección color amarillo) y Fy (proyección color verde) son las proyecciones de F sobre los ejes de coordenadas y son también vectores. Entonces, cuando conocemos las componentes de F sobre los ejes, no sólo conocemos la orientación (el ángulo con el eje xdefine xdefine su dirección), sino que podemos hallar su módulo usando las relaciones trigonométricas descritas. trigonométricas  descritas.

educción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par Considerese un sistema de fuerzas F1, F2, F3, . . . que actúan sobre un cuerpo rígido en los puntos A1, A2, A3, . . . definidos por los vetores de posición r1, r2, r3, etc. (figura 3.41 a). F1 puede ser trasladada de A1 a un punto dado O, si se agrega al sistema oriaginal de fuerzas un par de momento M1, igual al momento r1 x F1 de F1 con respecto a O. Si se repite este procedimiento con F2, F3, . . . , se obtiene el sistema mostrado en la figura 3.41 b, que consta de: las fuerzas originales, ahora actuando en O, y los vectores de par que q ue han sido agregados. Como ahora las fuerzas son concurrentes, pueden ser sumadas vectorialmente y reemplazadas por su resultante R . De manera similar, los vectores de par M1, M2, M3, . . . pueden sumarse vectorialmente y ser reemplazados por un solo vector de par MRO. Por tanto, cualquier sistema de fuerzas, sin importar que tan complejo sea, puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado O ( figura  figura 3.41 c). Se debe observar que mientras cada uno de los vectores de par M1, M2, M3, . . . , en la figura 3.41 b es perpendicular a

la fuerza que le correpsonde, en general la fuerza resultante R  y  y el vector de par resultante perpendiculares entre sí.

MRO en la figura 3.41 c no serán