Conception Des Machines Principes Et Application

 

 

CONCEPTION DES MACHINES PRINCIPES ET APPLI APPLIC CATIONS

1 Statique 

GEORGES SPINNLER

PRESSES POLYTECHNIQUES POLYTECHNIQUES ET UNIVERSI UNIVERSITAIRES TAIRES ROMANDES

 

Vous pouvez consulter notre catalogue général sur notre serveur Internet http://ppur.epfl.ch  

Volume 1 ISBN 2-88074-301-X © 1997, Presses polytechniques et universitaires romandes, CH – 1015 Lausanne Tous droits réservés. Reproduction, même partielle, sous quelque forme ou sur quelque support que ce soit, interdite sans l’accord écrit de l’éditeur.

 

AVANT-PROPOS

Jusqu’au début des années quatre-vingt, le dessin à la planche et le dimensionnement des organes de machines occupaient presque entièrement les ingénieurs constructeurs. Aujourd’hui, cette activité a été profondément transformée par les moyens informatiques : des logiciels permettent le calcul rapide des organes et leur optimisation; des simulations animées à l’écran visualisent les mouvements et les vibrations; les dessins d’étude et d’exécution se font à l’ordinateur avec les méthodes de l’ingénierie simultanée. En outre, le marché offre de plus en plus d’organes que l’utilisateur n’a plus besoin d’étudier en détail. Ces moyens modernes fascinent par leur facilité d’emploi et leur rapidité. Mais ils ne déchargent pas l’ingénieur de toute réflexion. Ils exigent au contraire des connaissances encore plus étendues pour être utilisés intelligemment. Le concepteur ne peut pas modéliser ce qu’il ignore; il doit connaître les lois de comportement pour élaborer les modèles; il doit être en mesure d’évaluer rapidement les grandeurs principales pour apprécier les résultats des calculs automatiques; il doit savoir sur quel paramètre agir pour améliorer une solution et il doit traduire dans le concret l’abstraction des modèles. C’est là que réside encore tout l’art de l’ingénieur. l’ingénieur. On observe que les jeunes ingénieurs témoignent souvent une confiance presque aveugle aux ordinateurs. Ils croient suffisant d’entrer quelques données pour obtenir la solution à tous les problèmes. Plus grave encore, ils estiment souvent que les aspects technologiques et pratiques sont indignes de leur intérêt, attitude que dénonce E. Fer1 guson . Il est urgent de combler le fossé qui se creuse entre le monde de l’application industrielle et celui des spécialistes pointus. C’est ce qui m’a incité à rédiger le présent ouvrage, fruit d’une vaste expérience industrielle et de vingt ans d’enseignement de la conception des machines à l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne. Contrairement à la littérature qui décrit les éléments de machines, ce livre présente les phénomènes rencontrés dans leur fonctionnement. La matière est traitée à la manière anglosaxonne; des développements mathématiques simples conduisent à des formules dont on déduit logiquement les principes et les règles de conception des machines. m achines. Chaque thème est illustré par des exemples pratiques. On y trouve aussi le principe de solutions électriques modernes. Cet ouvrage de synthèse s’applique donc à toutes les machines et s’adresse aux personnes actives dans la construction mécanique ainsi qu’aux étudiants des écoles d’ingénieurs. Quant au lecteur qui pourrait redouter l’ampleur de la matière, il 1

FERGUSON, E.S., Engineering and the Mind’s Eye. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1992

 

VI

CONCEPTION DES MACHINES

découvrira dans chaque chapitre un sujet bien délimité et de nombreux renvois facilitant la recherche dans d’autres parties de l’ouvrage. Remerciements

Un ouvrage de cette envergure ne s’élabore pas sans la collaboration de nombreuses personnes. Je me plais à remercier chaleureusement étudiants qui attentifs dont les questions ont suscité beaucoup de réflexion; Alexandrales Boussalem a saisi le texte; les ingénieurs diplômés Isabelle Beretta-Piccoli-Beckius et Alain Moreillon pour avoir relu plusieurs chapitres et fait de nombreuses suggestions d’amélioration, Olivier Blanc pour son contrôle soigneux des développements mathématiques et des calculs numériques, Daniela Iorgulescu-Dogariu pour le tracé à l’ordinateur des graphes; le graphiste Jean-François Casteu qui a exécuté les dessins. Cette publication n’aurait pas vu le jour sans le soutien de l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne et sans l’apport dynamique de l’éditeur dont je remercie en particulier le directeur, Olivier Babel, et ses collaborateurs Fabio Tonasso et Jean-Philippe Galley. Last but not least, je remercie mon épouse pour sa patience, ses encouragements et sa collaboration. Georges SPINNLER Lausanne, février 1997

 

TABLE DES MATIÈRES Volume 1: STATIQUE

AVANT-PROPOS ..........................................................................   V CHAPITRE 1

  INTRODUCTI INTRODUCTION ON ...... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........ ... 1.1 Objec Objectifs tifs de l’ouv l’ouvrage rage ...... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ....... 1.2 Evo Evoluti lution on des métho méthodes des de concep conception. tion...... .......... ........... ........... .......... .......... ......... 1.3 Struct Structure ure de l’ouv l’ouvrage rage ...... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ....... 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

1 1 1 2

Prérequis ...... Prérequis ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ .......... .... Structure Struct ure généra générale le des machi machines.... nes......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ......... ... Fonctions mécani Fonctions mécaniques.... ques......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........ ... Performances Perfor mances ...... ............ ........... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........ ... Convent Con ventions ions ...... ........... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .....

4 5 6 7 8

CHAPITRE 2

  FROTTEM FROTTEMENT ENT..... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........ ... 2.1 Intro Introducti duction on ..... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ ........... .......... ....... 2.2 Conta Contact ct de surf surfaces aces..... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ....... 2.3 Frott Frottement ement sec.... sec......... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... .......... .... 2.4 Lubri Lubrificati fication on ...... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... .......... .... 2.5 Compo Comportemen rtementt du coef coefficient ficient de frott frottement ement..... ........... ............ ........... ......... .... 2.6 Maît Maîtrise rise du frott frottement ement ...... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ ........... .......... ..... 2.7 Concl Conclusion usionss princi principales......... pales.............. .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......

11 11 12 24 34 58 63 65

CHAPITRE 3

  DÉTÉRI DÉTÉRIORA ORATIO TION N DES SUR SURFFACES FON FONCTI CTIONN ONNELL ELLES ES ......... 3.1 Intro Introducti duction on ..... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ ........... .......... ....... 3.2 Usure.... Usure.......... ........... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ......... 3.3 Usure indui induite te par petit petitss débatt débattement ementss (frett (fretting) ing) ...... ............ ........... ........ ... 3.4 Ecail Ecaillage lage ...... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ .......... .... 3.5 Gripp Grippage age ...... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ .......... .... 3.6 Longé Longévité vité des coupl couples es ciném cinématiqu atiques es ...... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ..... 3.7 Rodag Rodagee ..... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ......... .... 3.8 Appl Applicatio ications......... ns............... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ ........... .......... ....... 3.9 Concl Conclusion usionss princi principales......... pales.............. .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......

67 67 68 75 81 85 86 93 96 98

CHAPITRE 4

  DISSIPA DISSIPATION D’ÉNERGIE D’ÉNERGIE......................................... ......................................................... ................ 101 4.1 Introduction .................................... ........................................................................... ....................................... 101

 

VIII

CONCEPTION DES MACHINES

4.2 4.3 4.4 4.5

Dissipation Dissipati on exte externe rne ..... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ....... Dissipati Diss ipation on inter interne ne...... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ....... Organes Org anes dissi dissipateu pateurs rs d’éner d’énergie gie ..... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ......... ... Conclusion Concl usionss princi principales......... pales.............. .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......

102 113 122 130

  EFFORTS STA ST ATIQUES ................................................................ ........................................ ........................ 5.1 Introduction ........................................................................... .................................... ....................................... 5.2 Eff Efforts orts ..... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ .......... .... 5.3 Tr Transmi ansmissio ssionn d’ef d’efforts forts entre des soli solides....... des............ .......... ........... ........... ......... .... 5.4 Tr Transmi ansmissio ssionn d’ef d’efforts forts dans les solid solides es ..... ........... ............ ........... .......... .......... ....... 5.5 Roues ..... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... ..... 5.6 Liens soupl souples es ...... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ......... ... 5.7 Réseau Réseauxx d’ef d’efforts forts stati statiques ques...... ........... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ......... ... 5.8 Etud Etudee des réseau réseauxx d’ef d’efforts.... forts......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... ..... 5.9 Poids propr propree ..... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ ........... .......... ....... 5.10 Conception statique ....................................... ............................................................... ........................ 5.11 Conclusions principales principales........................................ ......................................................... .................

131 132 135 149 151 160 166 171 176 179 197

CHAPITRE 6

  DÉFORMATIONS DÉFORMA TIONS.................................... ET RIGIDITÉ ....................................... ................................................ ......... 6.1 Introduction ........................................................................... ....................................... 6.2 Déform Déformation ation,, rigid rigidité ité ..... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... ........... .......... 6.3 Combi Combinaiso naisons ns d’élé d’éléments ments déform déformables ables..... .......... ........... ........... .......... .......... ......... 6.4 Rigid Rigidité ité d’élém d’éléments ents div divers ers ..... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... ..... 6.5 Concep Conception tion et rigidit rigiditéé ..... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........ ... 6.6 Struct Structures ures à rigid rigidité ité acti active ve ..... .......... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... ..... 6.7 Concl Conclusion usionss princi principales......... pales.............. .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......

199 199 199 204 208 226 239 239

CHAPITRE 7

  PRÉCONTRAINTE ...................................... ...................................................................... ................................ 7.1 Introduction .................................... ........................................................................... ....................................... 7.2 Stati Statique que intéri intérieure eure de systè systèmes mes fermés.... fermés......... .......... .......... ........... ........... ......... .... 7.3 Généra Génération tion de la précon précontraint trainte......... e.............. .......... .......... ........... ........... .......... .......... ......... 7.4 Pertur Perturbatio bations ns de la précon précontrain trainte te ...... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... ..... 7.5 Systè Système me précon précontrain traintt sous charg chargee exté extérieur rieure.......... e................ ........... ......... .... 7.6 Exem Exemples ples d’appl d’applicati ications.......... ons............... .......... .......... ........... ........... .......... ........... ............ ......... ... 7.7 Asso Assouplis uplissemen sementt des systè systèmes mes précon précontraint traintss ..... .......... ........... ............ .......... 7.8 Concl Conclusion usionss princi principales......... pales.............. .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......

241 241 241 245 261 265 271 298 302

CHAPITRE 8

  DISTRIBUTION DES EFFOR EFFORTS TS........................................ ................................................. ......... 8.1 Introduction .................................... ........................................................................... ....................................... 8.2 Tr Transmi ansmissio ssionn d’ef d’efforts forts en parall parallèle.... èle.......... ........... .......... .......... ........... ........... ......... .... 8.3 Dist Distribu ributeurs teurs et transm transmetteu etteurs rs rigid rigides es ...... ........... .......... .......... ........... ........... ......... .... 8.4 Dist Distribu ributeurs teurs rigid rigides, es, trans transmette metteurs urs soupl souples es ..... ........... ............ ........... ......... .... 8.5 Dist Distribu ributeurs teurs soupl souples, es, trans transmette metteurs urs rigid rigides es ..... ........... ............ ........... ......... ....

303 303 304 308 316 337

CHAPITRE 5

8.6 Pressi Distribu Dist ributeurs et nte transmetteu transm etteurs rs souples soupl es...... ............ ........... .......... .......... ........... ........ 341 8.7 Pression onteurs apparente appare de conta contact.......... ct................ ........... .......... ........... ............ ........... .......... ....... 350 8.8 Concl Conclusion usionss princi principales......... pales.............. .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ....... 376

 

TABLE DES MATIÈRES

IX

  LIAISONS, MOBILITÉ MOBILITÉ........................................ ................................................................ ........................ 9.1 Introduction .................................... ........................................................................... ....................................... 9.2 Degr Degrés és de libert libertéé d’un solid solidee ..... ........... ............ ........... .......... ........... ............ ........... .......... ..... 9.3 Liaisons................................................................ Liaisons.................................................................................. .................. 9.4 Liais Liaisons ons réelle réelless ..... ........... ............ ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... ....... 9.5 Chaîn Chaînes es ciném cinématiqu atiques es ..... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........ ... 9.6 Modél Modélisati isation on stati statique...... que........... .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ........ ... 9.7 Maît Maîtrise rise des effo efforts rts hyper hyperstati statiques ques ..... .......... ........... ........... .......... ........... ............ .......... 9.8 Concl Conclusion usionss princi principales......... pales.............. .......... ........... ........... .......... .......... ........... ........... .......... .......

379 379 380 381 389 400 413 423 429

CHAPITRE 10   MÉCANISMES MÉCANISMES...................................... ............................................................................. .......................................

431 431 433 440 454 459 472 486 504 509

CHAPITRE 9

10.1 Introduction .................................... ........................................................................... ....................................... 10.2 Couples cinématiques cinématiques........................................... ............................................................ ................. 10.3 Cinématique........................................................................ Cinématique........................................................................... ... 10.4 Statique .................................... ............................................................................... .............................................. ... 10.5 Energétique Energétique..................................... ............................................................................ ....................................... 10.6 Comportement cinétostatique cinétostatique....................................... ................................................ ......... 10.7 Blocage, autoblocage autoblocage..................................... ............................................................. ........................ 10.8 Chaînes cinématiques .................................... ............................................................ ........................ 10.9 Conclusions principales principales........................................ ......................................................... ................. CHAPITRE 11   AMPLIFICATION AMPLIFICATION ......................................... ........................................................................ ...............................

11.1 Introduction .................................... ........................................................................... ....................................... 11.2 Généralités ....................................... ............................................................................. ...................................... 11.3 Amplification passive de mouvement.................................... 11.4 Amplification passive d’efforts.............................................. 11.5 Assistance ....................................... .............................................................................. ....................................... 11.6 Amplification active......................... active............................................................... ...................................... 11.7 Démultiplication de mouvement............. mouvement............................................ ............................... 11.8 Conclusions principales principales........................................ ......................................................... .................

513 513 513 515 522 531 538 539 544

BIBLIOGRAPHIE ......................................... ........................................................................ ............................... 545 INDEX........................................................................................... INDEX......................................................................... .................. 551 REMERCIEMENTS AUX ÉDITEURS ÉDITEURS...................................... .......................................... 558 LISTE DES SYMBOLES ..................................... ............................................................. ........................ 559

 

X

CONCEPTION DES MACHINES Volume 2: DYNAMIQUE

CHAPITRE 12   ÉNERGIE CHAPITRE 13  MODÈLES DYNAMIQUES CHAPITRE 14   MOUVEMENT DES GROUPES CHAPITRE 15   PRÉCISION DES MOUVEMENTS CHAPITRE 16  EFFORTS D’INERTIE CHAPITRE 17   SOLLICITATION DES STRUCTURES CHAPITRE 18   VIBRATIONS

Volume 3 : DIMENSIONNEMENT

CHAPITRE 19   ÉCHAUFFEMENT CHAPITRE 20   ENTRAÎNEMENT CHAPITRE 21   STABILITÉ CHAPITRE 22   ÉTANCHÉITÉ CHAPITRE 23   RÉSISTANCE ET CHOIX DES MATÉRIAUX CHAPITRE 24   DIMENSIONNEMENT ET SÉCURITÉ STRUCTURALE CHAPITRE 25   DIMENSIONNEMENT À LA VITESSE ET AUX DÉFORMATIONS CHAPITRE 26   ARCHITECTURE CHAPITRE 27   CONCLUSIONS GÉNÉRALES

 

CHAPITRE 1

INTRODUCTION 1.11 OB 1. OBJE JECT CTIF IFS S DE DE L’O L’OUV UVRA RAGE GE L’ouvrage s’adresse aux praticiens des bureaux d’étude et aux étudiants des écoles d’ingénieurs. Il vise à: • prése présenter nter les princi principes pes physiqu physiques es mis en œuvre œuvre dans dans le fonction fonctionnemen nementt des machines; • prépa préparer rer les ingénieu ingénieurs rs à la conceptio conceptionn de machines machines à hautes hautes perform performances ances dynamiques; prép pr épare arer rerla la àmodé modéfinir déli lisa sati tion; • contribu contr ibuer lon; le e cahier des des charges charges pour choisir choisir et et dimensionn dimensionner er les organes de machines; • donn donner er des règles règles de constructi construction on basées basées sur sur des analyse analysess simples; simples; • sug suggér gérer er des des sol soluti utions ons tec techni hnique quess ; • rappr rapprocher ocher le monde monde de la la recherche recherche théoriqu théoriquee et celui de la pratique. pratique. 1.2 ÉV ÉVOLU OLUTIO TION N DES MÉTH MÉTHODE ODES S DE CONCE CONCEPTIO PTION N Le développement des sciences et des techniques reposait il y a peu de temps encore sur une combinaison d’empirisme et de théories. Les phénomènes physiques s’exprimaient en formules et diagrammes dont se servait constamment le concepteur de machines. L’étude analytique fournissait les lois de comportement et lui permettait de «sentir» ce qui se passeluidans les mécanismes. Faute de moyens suffisants, les modèles de calcul étaient forcément très simples, voire simplistes. La mise en service des prototypes réservait bien des surprises et exigeait un coûteux travail de mise au point. Le développement fulgurant de l’informatique et du calcul numérique permet aujourd’hui de concevoir des machines directement à l’ordinateur. Avec de bons modèles, on peut voir fonctionner un mécanisme à l’écran et calculer toutes les grandeurs cinématiques et dynamiques, épargnant du coup la construction de prototypes. D’innombrables logiciels existent pour dimensionner les organes de machines traditionnels et les pièces de géométrie compliquée. Des bases de données contiennent les catalogues des fournisseurs et les caractéristiques des matériaux. Le couplage du calcul avec des logiciels de dessin paramétrables permet une véritable conception assistée par ordinateur avec unepermettent interactionde constante du calcul et du tracé.lesLesmachines-outils dessins d’exécutions informatisés programmer directement (CFAO).

 

2

CONCEPTION DES MACHINES

Ces méthodes modernes sont séduisantes, mais présentent deux graves inconvénients: • Les lois lois de comporteme comportement nt sont cachées cachées dans dans les logiciels logiciels,, de sorte que que l’utilil’utilisateur non averti tâtonne pour trouver les bonnes solutions. Il en est parfois réduit à varier des paramètres à l’aveugle et d’expérimenter à l’écran pour redécouvrir leur influence et orienter sa démarche. • La modélisat modélisation ion et le calcul calcul par élémen éléments ts finis sont sont souvent souvent beaucou beaucoupp plus longs que des calculs analytiques classiques. Moyennant un peu d’expérience, ces derniers sont néanmoins suffisants pour un avant-projet. Il existe toujours davantage d’organes de machines sur le marché que le concepteur peut assembler sans avoir à les calculer dans le détail. Par contre, il doit posséder une vision globale pour: • maît maîtriser riser les les phénomèn phénomènes es physiqu physiques es rencontré rencontréss dans les machines; machines; • con connaî naître tre les loi loiss de de compo comporte rtemen mentt ; • con connaî naître tre les les proprié propriétés tés des des organe organess de machine machiness ; • conna connaître ître les limite limitess de performance performance et savoi savoirr comment comment les repousser repousser..

1.33 STRU 1. STRUCT CTUR URE E DE DE L’O L’OUV UVRA RAGE GE Le tableau 1.1 est à la base de notre démarche. Il associe les organes de machines aux phénomènes physiques dont ils sont le siège. Les ouvrages de construction étudient traditionnellement le fonctionnement et le dimensionnement des organes de machines selon les colonnes du tableau; leur classement remonte à Reuleaux (1875). On y présente généralement le fonctionnement des organes de machines élémentaires et on y donne des recettes de dimensionnement plus ou moins bien justifiées. Chaque organe apparaît dans ces livres comme un cas particulier et l’utilisateur des formules de dimensionnement perçoit souvent mal les phénomènes qui sont à la base de son fonctionnement. Il a l’impression que le calcul se ramène à l’application d’une suite de «recettes de cuisine». Contrairement aux autres ouvrages, nous présentons construction des machines par les lignes du tableau. Il suffit de consulter la table deslamatières pour s’en convaincre. Chaque chapitre traite les phénomènes selon le schéma suivant suivant : • pr prés ésen enta tati tion on des des prob problè lème mes; s; • élabo élaboratio rationn de modèles modèles simples simples permett permettant ant un traitem traitement ent mathémat mathématique ique aisé aisé;; • déduc déduction tion de de règles règles de constru construction ction à partir partir des résult résultats ats de calcul; calcul; • étude des des paramètres paramètres limita limitant nt les perform performances ances des des machines machines et examen examen des des voies ouvertes à leur perfectionnement; • illu illustrat stration ion de la théor théorie ie par par des des exemple exemples. s. Cette démarche contribue à donner un caractère scientifique à la construction mécanique. Nous faisons une synthèse de vastes connaissances éparses dans la littérature en proposant aussi des résultats de nos propres réflexions. Nous justifions certaines hypothèses de calcul courantes, mais rarement et sommes parfois aussi amenés à attaquer certaines notions erronées qui démontrées, ont encore cours. Le volume 1 expose les aspects statiques de la conception des machines:

 

3

INTRODUCTION Tableau 1.1

Phénomènes physiques principaux liés à des organes de machines (exemples). Organes de machines (exemples)

Phénomènes (exemples) frottement

  s   e    t   a    l   p   s   e    i   o   r   r   u   o   c

  s   n   o    l   u   o    b

X

  s   e   n    î   a    h   c

X X

usure

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X  

pression hertzienne irréversibilité

  n    i    f   s   n   a   s   s    i   v

X

écaillage précontrainte

  s   e   g   a   n   e   r   g   n   e

  s   n   n    i   e   o   r    i    t    f   c   s  ,    i   r   e    f   g    à   a  .   y   a   m   r   s    b   n   a   m   r   e    t

  s   e   r    b   r   a

X

X

X

 

 

X

X

X

X

 

X

X

X

X

X

X

X

X X

affolement vitesse critique X

 

X

échauffement

X

X

X

X X

instabilité

écoulement fluide

  s   e   s    i    l   s   r   e    i    l   a   p

X

stick-slip

fatigue

  s   r   o    t   o   r

X X

vibration

effort d'inertie

  s   e   m   a   c

  s    t   n   e   m   e    l   u   o   r

X

X X

X

X

X

X

X

X

X

X X

X

• rappel rappel des mécanismes mécanismes du frotteme frottement nt (chap. 2), bases pour pour comprendre comprendre les phénomènes de détérioration des surfaces (chap. 3) et pour guider le choix des systèmes tribologiques; • prése présentati ntation on des mécanismes mécanismes dissipa dissipateurs teurs d’énerg d’énergie ie et justificatio justificationn de l’utilil’utilisation du modèle visqueux dans les études dynamiques (chap. 4); • mécanismes mécan ismes de(chap. transmission transmi forces, réseaux réseaux d’efforts d’efforts et concepti conception on statique statique des structures 5);ssion de forces, • analy analyse se des déformatio déformations ns et de la rigidité rigidité de divers divers organes organes (chap. (chap. 6), applicatio applicationn

 

4

CONCEPTION DES MACHINES

à l’étude du fonctionnement et des propriétés des systèmes précontraints (chap. 7) et au calcul de la distribution des efforts dans les organes de machines (chap.. 8); (chap 8) ; • liais liaisons ons des pièces pièces et mobili mobilité té des mécanis mécanismes, mes, liaison liaisonss réelles réelles (chap. (chap. 9); 9) ; • rappe rappell de notions notions de cinémat cinématique ique et étude étude des proprié propriétés tés générales générales des des mécanismes (chap. 10), application à la recherche des limites d’amplification de mouvements ou d’efforts (chap. 11). Le volume 2 traite les grands mouvements et la dynamique: • analy analyse se du flux d’énergie, d’énergie, de l’irréver l’irréversibil sibilité ité et des circulatio circulations ns de puissance puissance (chap.. 12); (chap 12) ; • modél modélisati isation on de systèmes systèmes pour pour leur analyse analyse cinétostat cinétostatique ique et dynamiq dynamique ue (chap.. 13); (chap 13) ; • étu étude de du mouv mouveme ement nt des des groupe groupess (chap. (chap. 14); 14); • analy analyse se de l’origine l’origine des imprécis imprécisions ions de mouveme mouvement nt:: vibrations, vibrations, affolem affolement, ent, stick-slip, rebonds, limitation de vitesse (chap. 15); • eff effets ets statiques statiques des des efforts efforts d’inertie d’inertie,, principes principes d’équili d’équilibrage brage (chap. (chap. 16); • eff efforts orts dynamique dynamiquess dans les structures, structures, transmiss transmission ion et atténuation atténuation des perturperturbations dans les chaînes cinématiques, effet des jeux, vibrations paramétriques (chap.tions (chap . 17); 17) ; des • vibrations vibra des machines, machines, rappel rappel de dynami dynamique que des rotors, rotors, atténua atténuation tion des des vibrations, protection de l’environnement (chap. 18). Le volume 3 contient l’analyse de quelques problèmes particuliers, le dimensionnement des organes et des notions d’architecture des machines: • échau échauffem ffement, ent, limitat limitation ion de la puissance puissance et de de la vitesse vitesse par la températur température, e, dimensionnement thermique (chap. 19); • dime dimension nsionnemen nementt des moteurs moteurs et choix choix du rapport rapport de vitesses, vitesses, optimis optimisation ation pour parvenir à des mouvements de positionnement rapides (chap. 20); • inst instabili abilités tés de positi position on et de forme, forme, instabi instabilités lités thermi thermiques ques (chap. (chap. 21); • princ principes ipes mis mis en œuvre œuvre dans dans la réalis réalisation ation des étanchéi étanchéités tés (chap. (chap. 22) 22) ; • rappe rappell du comportem comportement ent mécaniqu mécaniquee des matériaux matériaux,, choix raisonn raisonnéé des matématériaux sur la base de leurs propriétés générales (chap. 23); • dime dimension nsionnemen nementt à la résistance, résistance, interpréta interprétation tion et choix choix du facteur facteur de sécurité, sécurité, proportions harmonieuses des éléments de machines (chap. 24); • dime dimension nsionnemen nementt à la vitesse vitesse et aux déformati déformations, ons, étude étude de quelques quelques organes organes (chap.. 25); (chap 25) ; • archi architectur tecture, e, distribut distribution ion des fonctions, fonctions, localisat localisation ion des organes, organes, principes principes de similitudes, sécurité (chap. 26); • perfo performance rmancess limites, limites, directiv directives es générales générales de concepti conception on (chap. 27). 27). 1.4 PRÉREQUIS Cet ouvrage constitue une approche systémique de la construction des machines .

Il suppose connues les sciences de base de l’ingénieur (mécanique rationnelle, statique, mécanique des les solides déformables, théorie desprincipes vibrations); il suppose aussi que le lecteur connaisse organes de machines et les de leur dimensionnement. On fera néanmoins les rappels nécessaires à la compréhension. Les personnes intéressées

 

5

INTRODUCTION

consulteront avec profit l’un ou l’autre des nombreux ouvrages consacrés aux éléments de machines [1.1 à 1.13]. 1.5 STR STRUCT UCTURE URE GÉN GÉNÉRA ÉRALE LE DES MAC MACHIN HINES ES Une machine se distingue au premier coup d’œil de tout autre objet créé par l’homme par son mouvement. Elle comprend en principe au moins les organes suivants (fig. 1.2): • le moteur est la source d’énergie mécanique: moteur électrique, vérin pneumatique, ressort; il transforme toute forme d’énergie en énergie mécanique; il est lui-même constitué de pièces mécaniques; • l’outil , au sens large, est l’organe qui effectue le travail demandé à la machine: crochet d’attelage d’une locomotive, couteau d’une faucheuse, foret d’une perceuse; il agit sur l’objet de ce travail: wagon, blé, matière à percer; • la transmission  lie le moteur à l’outil et adapte ces organes entre eux: réducteurs de vitesse, embrayages, cames.

MACHINE moteur

transmission

Fig. 1.2

outil

récepteur

Structure de base d’une machine.

La transmission reliant le moteur à l’outil se compose généralement d’une série d’éléments et d’organes en mouvement constituant la chaîne cinématique. Mais les machines comportent très souvent plusieurs outils et leurs mouvements dans l’espace nécessitent plusieurs moteurs et des chaînes cinématiques appropriées. Du point de vue strictement mécanique, on peut dire qu’une machine se compose d’une série d’éléments qui: • tr tran ansm smet ette tent nt du du mouv mouvem emen ent; t; • tr tran ansm smet ette tent nt des des ef effo fort rts; s; • tra transm nsmett ettent ent de l’é l’éner nergie gie.. Ces trois grandeurs forment la colonne vertébrale de cet ouvrage. Toujours en observant une machine, on peut la décomposer en deux grands groupes d’organes: • La chaîne cinématique dont les éléments en mouvement sont le siège d’efforts qui transmettent de l’énergie; on dit qu’un élément est menant  lorsqu’il  lorsqu’il communique un mouvement et de l’énergie motrice à un autre élément. Celui qui mené . cette énergie est dit  qui • reçoit Le bâti    et les  guidages soutiennent et guident les organes de la chaîne cinématique ne transmettent que des efforts, pas d’énergie.

 

6

CONCEPTION DES MACHINES

Toutes les machines sont équipées de dispositifs de commande et de contrôle destinés à les mettre en marche et à les arrêter, à régler leur puissance ou leur vitesse, à coordonner leurs mouvements. D’autres organes assurent leur sécurité et permettent en tout temps de vérifier leur bon fonctionnement. 1.66 FO 1. FONC NCTI TION ONS S MÉ MÉCA CANI NIQU QUES ES Une machine peut se décomposer en sous-ensembles assurant chacun une ou plusieurs fonctions. En descendant jusqu’à une décomposition ultime, on parvient finalement à définir trois ou quatre fonctions mécaniques de base. A savoir: • la liaison de deux pièces supprime toujours un ou plusieurs degrés de liberté, elle est complète lorsque toute liberté relative est supprimée, les pièces sont alors solidaires; • le guidage a pour objet d’assurer un mouvement déterminé d’une pièce, il conserve un ou plusieurs degrés de liberté, mais en supprime d’autres; • l’articulation  n’est qu’un guidage particulier permettant un mouvement de rotation oscillant, on la distingue parfois des autres; • l’étanchéité s’oppose au passage de fluides et de poussières. On distingue quatre niveaux de complexité des objets techniques (tab. 1.3). Les éléments et les organes de machines remplissent les quatre fonctions mécaniques cidessus. Ils s’assemblent en organes pour créer des fonctions plus compliquées; puis l’association de divers organes finit par constituer une machine. Enfin, niveau le plus complexe, le groupement de plusieurs machines dont la combinaison permet d’assurer une fonction supérieure.

Tableau 1.3

Niveau de complexité

Niveau de complexité des objets techniques.

Matériel

Caractéristiques

Exemples

I

pièce de machine, élément

objet élémentaire fabriqué sans opération de montage

vis, douille, ressort, rondelle, pignon

II

organe, sous-ensemble

système simple obtenu par l’assemblage de pièces; assume des fonctions complexes

boîte à vitesses, moteur hydraulique, étau

III

machine, appareil, instrument

système formé par l’assemblage de sousensembles; remplit une fonction globale

rectifieuse, voiture, machine à écrire

IV

installation,  juxtaposition de machines

système compliqué remplisminoterie, sant une série raffinerie de fonctions; composé de machines

 

7

INTRODUCTION

Hubert Reeves [1.14] énonce dans sa cosmologie le principe de complexité croissante. En technique aussi, et la mécanique n’y échappe pas, on observe une évolution vers des systèmes de plus en plus compliqués. Jahn avait déjà mis ce phénomène en évidence dans son étude de l’évolution des locomotives à vapeur [1.15]. Nous nous demandons si les machines ne sont pas aujourd’hui trop bourrées de gadgets présentant surtout un intérêt publicitaire, mais en définitive plus nuisibles qu’utiles. En effet, ils augmentent le prix d’achat et le coût de l’entretien, mais diminuent souvent la fiabilité des machines. Nous pensons qu’elles gagneraient beaucoup à être simplifiées, surtout celles qui s’exportent vers des pays non industrialisés où existe peu de maind’œuvre qualifiée.

1.7 PE PER RFO FORM RMAN ANC CES Les performances principales de toute machine sont sa vitesse, l’effort qu’elle peut exercer et sa puissance fournie au récepteur. Représentons ces caractéristiques dans un plan effort-vitesse (fig. 1.4). Un point A de ce plan correspond à l’effort et à la vitesse disponibles à l’outil de la machine en question, l’aire du rectangle construit entre ce point et les axes représente la puissance fournie au récepteur car la puissance est égale au produit scalaire de la vitesse par l’effort. Ce plan permet de situer le domaine de travail des machines selon leurs caractéristiques dominantes (fig. 1.5): • Domai Domaine ne 1. Machines Machines exerça exerçant nt surtout surtout un effort: effort: presses, cisaill cisailles, es, engins engins de levage. L’axe d’effort correspond aux efforts statiques purs. • Domai Domaine ne 2. Machines Machines fournis fournissant sant de l’éner l’énergie: gie: moteurs, compres compresseurs seurs,, véhicules. • Domai Domaine ne 3. Machines Machines dont dont l’essentiel l’essentiel est est le mouveme mouvement: nt: machines à emballer emballer,, rotatives rotativ es d’imprimerie, machines à tisser. L’axe L’axe de vitesse est celui des machines à information pure. effort effort

1 puissance

2 A

3 0 Fig. 1.4

vitesse Plan effort-vitesse.

0 Fig. 1.5

vitesse Domaines de travail des outils.

On s’efforce de construire des machines toujours plus fortes, plus rapides et plus puissantes. Cela revient à placer le point figuratif le plus loin possible de l’origine du

 

8

CONCEPTION DES MACHINES

 plan effort-vitesse. Mais divers phénomènes physiques fixent des limites à la position

de ce point et définissent défi nissent un domaine de travail possible. Il existe naturellement encore de nombreuses autres caractéristiques pour apprécier les performances d’une machine, notamment: • la préc précisi ision on d’ex d’exécu écutio tionn du trav travail; ail; • la du duré réee du du dém démar arra rage; ge; • la lo longévité; • l’im l’impact pact sur sur l’environ l’environnemen nementt (bruit, (bruit, polluti pollution, on, vibratio vibrations); ns); • la con conso somm mmat atio ionn d’én d’éner ergi giee ; • la sécurité; • la fia fiabilité. Globalement, selon ISO, la  qualité est l’ensemble des propriétés et caractéristiques d’un produit ou d’un service qui lui confère l’aptitude à satisfaire des besoins exprimés ou implicites. Mais, du point de vue de l’exploitant, il importe surtout qu’une

machine soit performante, fiable et économique. La fiabilité est étroitement liée à la conception et à la qualité de l’exécution. Plus une machine est simple, plus elle est fiable et bon marché à la construction et à l’exploitation. On s’efforcera d’obtenir la plus haute valeur de l’indice de qualité suivant:  IQ  I Q 

=

 

performance ×  fiabilité coût

(1.1)

Le coût comprend les frais d’investissement, d’exploitation et d’entretien. Les fonctions et les performances sont habituellement définies et fixées par l’utilisateur.. Le concepteur doit s’en tenir strictement au cahier des charges et ne pas aller, lisateur dans son enthousiasme, au-delà des fonctions exigées. Confronté au défi d’une construction nouvelle, on est souvent dérouté par le foisonnement des solutions. De nombreux auteurs ont voulu ordonner la pensée en développant une méthodologie de la conception visant à développer la créativité et à trouver des solutions qui satisfassent au mieux le cahier des charges. Nous renvoyons le lecteur, par exemple, à [1.16, 1.17, 1.18, 1.19]. Signalons que le succès industriel dépend aujourd’hui souvent plus de la rapidité d’étude et d’exécution que des qualités techniques des machines. 1.8 CON ONV VEN ENT TIO IONS NS On généralisera l’étude des mécanismes et diminuera le nombre des équations à écrire à l’aide des conv conventions entions suivantes suivantes:: Q = effort (force, moment ou couple) q = mo mouvement (tra rannslation ou ou ro rotation)  I  = inertie (masse ou moment d’inertie) Toute équation écrite avec ces symboles peut s’appliquer à un élément en translation en rotation en appliquera remplaçant les leséquations symbolesgénérales généraux àpar symboles usuels selon leoutableau 1.6. On desles mouvements particuliers sans explication spéciale.

 

9

INTRODUCTION Tableau 1.6

Grandeurs généralisées.

Généralité

Translation

Rotation

Effort

Q

force F

moment, couple M 

Mouvement

q

translation s, x

rotation

Vitesse

« q

Accélération

« q

«s«,  x««, v«

˙ = ˙˙

 I 

masse m

moment d’inertie J 

Inertie

 

= ˙

«, v s«,  x 

Les symboles en caractères gras désignent des vecteurs. Ces caractères sont utilisés aussi dans les figures si le texte qu’elles illustrent est en notation vectorielle. Le module  x de grandeurs vectorielles  x  est noté simplement  x afin d’alléger l’écriture. Le point d’application d’une force se trouve en principe à l’origine de son vecteur représentatif. Mais il se trouve aussi souvent à la pointe de la flèche pour faciliter la lecture des dessins. Nous appelons moment quadratique de surface, ou simplement moment quadratique, la grandeur désignée habituellement moment d’inertie qui intervient dans la mécanique des solides. Cela évite toute ambiguité avec le véritable moment d’inertie de la dynamique. La sommation d’une suite de n éléments Ai s’écrit n

 A 

=

  ! Ai i  =  1

Lorsqu’aucune confusion n’est possible, nous écrivons, pour alléger l’écriture, n

 A 

=

  ! Ai 1

 y  z  y

(a) Fig. 1.7  Désignation

 x

( b)

des ordonnées ordonnées:: (a) une seule courbe; (b) plus d’une courbe.

x

 

10

CONCEPTION DES MACHINES

Lorsqu’un graphe contient une seule courbe, on indique le symbole de la fonction sur l’ordonnée (fig. 1.7a). S’il représente r eprésente plusieurs fonctions, on désigne seulement les courbes sans répétition sur l’axe de l’ordonnée (fig. 1.7b). Une courbe partage souvent un diagramme en deux domaines, l’un utilisable, l’autre impraticable ou dangereux. Le domaine inutilisable est indiqué par des hachures (fig. 1.8), on y inscrit souvent le phénomène à craindre.

Q

surchauffe

domaine utilisable rupture

q˙

0

q˙ ma x

Fig. 1.8  Exemple de diagramme avec avec indication des domaines dangereux. dangereux.

Des indications telles que celles portées dans la figure 1.9 signifient que la courbe effectue une translation vers le haut lorsque le paramètre a augmente ou qu’elle se déplace vers la droite lorsque la valeur du paramètre b diminue.  y a

b

0 Fig. 1.9  Indication

 x

de l’influence de paramètres dans un graphe.

Un ouvrage comme celui-ci ne se lit habituellement pas de manière cursive. Nous concevons qu’un lecteur s’intéresse seulement à l’un ou à l’autre des chapitres selon ses besoins momentanés. C’est pourquoi, pour faciliter la compréhension, nous faisons de fréquents renvois aux passages du livre qui traitent les notions nécessaires.

 

CHAPITRE 2

FROTTEMENT 2.1 IN INTR TROD ODUC UCT TIO ION N Le mot tribologie vient du grec tribos qui signifie frottement. La tribologie est une science extrêmement complexe, qui englobe la mécanique des surfaces, l’étude du frottement et de l’usure ainsi que la lubrification. Elle fait appel à la chimie, la science des matériaux et la physique moléculaire et revêt une importance économique immense quand on songe aux énormes pertes provoquées par l’usure des machines et par le coût de l’énergie dissipée par le frottement. Le développement de la tribologie repose surtout sur l’expérience. Il existe de nombreux modèles pour tenter d’expliquer les phénomènes, aucun n’est assez général pour une théorie unique. Des théories concurrentes se succèdent au fil des recherches dans ce domaine en évolution rapide. On se contentera de décrire les phénomènes, dans la perspective actuelle, pour permettre au lecteur de comprendre la suite de l’ouvrage. Les développements théoriques figurent dans les ouvrages de tribologie, par exemple [2.1 à 2.6]. On appelle couple tribologique l’ensemble formé par deux solides qui glissent et   frottent  fr ottent l’un contre l’autre. Sauf dans le vide, il existe toujours une troisième substance interposée entre les surfaces, ne serait-ce qu’une couche d’oxyde. Ces trois corps baignent dans le milieu ambiant avec lequel ils réagissent. Le tout constitue un système tribologique. Le choix des matériaux en contact mobile, leur traitement de surface, le choix des méthodes de lubrification et des lubrifiants constituent l’étude tribologique d’un mécanisme. Le frottement transmet une force tangentielle à la surface de contact entre deux solides serrés l’un contre l’autre. Dans un premier temps, les solides restent en immobilité relative; au delà d’une certaine intensité de la force, ils glissent. Le glissement dissipe de l’énergie et use les surfaces. Selon les applications, on cherche à obtenir: • usure et et frottement frottement minimau minimauxx dans les les paliers, paliers, engrenag engrenages, es, cames, cames, glissières; glissières; • usure minima minimale le et frotte frottement ment maximal maximal dans dans les freins freins,, embrayages, embrayages, roues; • usu usure re maxim maximale ale par par les les meules meules et et les lime limes. s. La lubrification a pour but de diminuer l’usure et le frottement, elle consiste à interposer un fluide ou une poudre entre les solides. Ce chapitre sert de base à l’étude de l’usure au chapitre 3, il est structuré comme suit: suit : • Sect Sectio ionn 2. 2.22 • Se Sect ctio ionn 2. 2.33

Descri Desc ript ptio ionn du co cont ntac actt de dess su surf rfac aces es.. Orig Or igin inee du fro frott ttem emen entt sec, sec, fro frott ttem emen entt au rep repos os et et avec avec gli gliss sseement.

 

12

CONCEPTION DES MACHINES

• Sect Sectio ionn 2.4 2.4 • Se Sect ctio ionn 2.5 2.5 • Section 2. 2.6 • Section 2.7 2.7

Princi Prin cipe pess de lub lubri rific ficat atio ionn et cho choix ix des des pal palie iers rs.. Comp Co mpor orte teme ment nt du du coef coeffici ficien entt de fro frott ttem emen entt dans dans la la prat pratiq ique ue,, en particulier à très basse vitesse. Maîtrise du du fr froottement. Conclusions pri principales.

 Remarquee  Remarqu

Le rapport de la force de frottement à la force normale d’appui de deux solides est une grandeur adimensionnelle qu’on devrait en toute rigueur appeler  facteur de frot frot-tement . Mais, vu l’usage, on continuera d’utiliser le terme de coefficient de frot frottement  tement . 2.22 CO 2. CONT NTAC ACT T DE DE SURF SURFAC ACES ES 2.2.1 2.2 .1 Str Struct ucture ure d’un d’unee surfa surface ce usin usinée ée

La surface d’un solide le sépare du milieu ambiant. Elle est caractérisée par sa structure physico-chimique et par sa géométrie. Une surface usinée est une zone complexe qui recouvre la masse du solide comme une peau.dans Ses lepropriétés, différentes de celles ducouple corps cinématique. du solide, jouent un rôle fondamental comportement tribologique d’un On distingue trois couches formant la surface d’une pièce métallique usinée (fig. 2.1). poussière couche adsorbée, oxyde couche de Bielby inclusions couche écrouie

matériau de base Fig. 2.1  Schéma de la surface d’un solide.

En profondeur, une couche de métal est écrouie par les opérations de fabrication de la pièce, que ce soit par formage (forgeage, filage, galetage) ou par enlèvement de copeaux (tournage, fraisage, brochage). La structure cristalline du métal de base y est fortement déformée, elle contient les mêmes défauts et inclusions que ce métal. La couche est le siège de contraintes résiduelles de compression. Sur la couche écrouie existe souvent une couche métallique amorphe, ou de cristaux finement concassés, appelée couche de Bielby. Elle est produite par la fusion du métal puisrectification son autotrempage par la masse froide voisine opérations de finition telles que et polissage. Cette couche, épaisselors de des quelques dizaines d’angströms, bouche les inégalités de surface.

 

FROTTEMENT

13

Les atomes à la surface extérieure possèdent des valences non saturées créant ainsi un champ de forces électrostatiques qui peut s’exercer à plusieurs angströms de la surface. Les gaz ou les liquides ambiants sont adsorbés et peuvent réagir avec le métal pour former des oxydes ou y diffuser. L’adsorption L’adsorption d’huile ou de graisse joue un rôle important en lubrification. La couche adsorbée est très tenace, elle isole le métal de base deettout contact direct. Ladesurface est encore contaminée par des particules de poussière un film moléculaire substance environnante. On sait que les cotes dimensionnelles des pièces sont sujettes à tolérances, mais les surfaces proprement dites sont aussi affectées par des irrégularités qui jouent un grand rôle dans le fonctionnement des mécanismes. On a classé les irrégularités selon l’échelle qu’il faut choisir pour les observer (fig. 2.2).  Erreurs de forme 1er  ordre: erreur de forme

2e  ordre: ondulations

 Rugosité 

3e  ordre: stries 4e ordre: aspérités 5e or  ordr dre: e: stru struct ctur uree du du gra grain in

ne pe peut ut pa pass êtr êtree rep repré rése sent ntéé

 Matériau 6e ordre: structure cristalline

Fig. 2.2 Classification des anomalies de surfaces techniques.

Les  erreurs  de  forme forme ou erreurs macrogéométriques, dites de premier ordre, proviennent des déformations de la pièce et de la machine-outil lors de l’usinage. Les irrégularités en ondulations régulières engendrées par nu. des vibrationsdu dedeuxième la pièce ouordre de la consistent machine-outil; les ondulations sont apparentes à l’œil A plus petite échelle, visible seulement à la loupe ou au microscope, on rencontre la rugosité . Elle résulte de stries formées par l’avance progressive progressive de l’outil (tournage, rabotage) et d’aspérités se formant lors de l’arrachage de la matière par les outils. Audelà, on trouve encore la structure du grain des métaux. Une surface réelle résulte de la superposition de la rugosité et des erreurs de forme (fig. 2.3). Il faut aussi considérer la répartition des défauts sur la surface. On observe des structures régulièrement striées (se formant par exemple au tournage) (fig. 2.4a). Parfois l’orientation des stries est moins nette (fig. 2.4b), on le voit sur des surfaces meulées. Enfin, la surface peut être totalement irrégulière, comme sur des pièces obtenues par électroérosion (fig. 2.4c). Une surface apparaît donc en réalité comme une succession de collines c ollines et de dépressions plus ou moins profondes. Il fautexagérée être conscient les aspérités sonten toujours représentées avecest uneenhauteur fortement afin deque pouvoir les mettre évidence. Leur hauteur réalité 20 à 100 fois plus petite qu’on ne la dessine.

 

14

CONCEPTION DES MACHINES

Erreur de forme

Rugosités

Surface idéale de référence

Surface réelle

Fig. 2.3 Surface réelle.

(a)

(b)

(c)

Fig. 2.4 Structure de surfaces: (a) stries régulières; (b) stries orientées; (c) aspérités irrégulières.

Vu son importance fonctionnelle, on exprime la rugosité par des grandeurs normalisées [2.7, 2.8]: • pro profon fondeu deurr maximal maximalee de rug rugosi osité té  Rt ( Rh ), • pro profon fondeu deurr d’a d’apla platis tissem sement ent  Rp , • ru rugo gosi sité té moy moyen enne ne  Ra , • rug rugosi osité té quadr quadrati atique que moye moyenne nne (RMS) (RMS) Rq . Les rugosimètres mesurent la profondeur des dépressions à l’aide d’un palpeur (stylet) qui glisse sur la surface en parcourant une certaine distance normalisée. Un traitement mathématique convenable calcule les rugosités. Les normes caractérisent la qualité de l’état de surface par le symbole N suivi d’un numéro de 1 à 12 qui augmente avec la rugosité. Grace aux progrès réalisés dans les machines-outils, la qualité des surfaces usinées s’est améliorée. On estime qu’on a gagné une classe de qualité par rapport à ce qui s’obtenait dans les années 1970-80. On peut souvent utiliser maintenant une pièce tournée sans devo devoir ir encore la rectifier r ectifier.. On a développé une nouvelle description topologique des surfaces par les fractales [2.2]. Elle offre l’avantage d’être indépendante de la distance parcourue par le stylet mesurant la rugosité. 2.2.2 2.2 .2 Con Contac tacts ts ponct ponctuel uelss ou liné linéiq iques ues

Deux solides non conformes se touchent apparemment  en  en un point, ou selon une ligne de contact. Si une force  N  est  est transmise de l’un à l’autre, on dit que la charge de contact est ponctuelle dans le premier cas (fig. 2.5), linéique dans le second (fig. 2.6). La charge de contact se répartit le long de la ligne de contact. Désignons par q la charge linéique répartie le long d’une ligne de contact de longueur l ; on a l

 N   =  

  q ( s ) ds  ∫  0

(2.1)

 

15

FROTTEMENT  N 

s

2

1

2

 N 

P

q

0

1

Fig. 2.5 Contact ponctuel.

Fig. 2.6 Contact linéique.

La distribution q (s) dépend des déformations locales (§ 6.4.3). L’aire de contact étant A, la pression de contact est à première vue  N   p  =    Alim → 0  A   =  ∞

(2.2)

résultat évidemment absurde. En réalité, les solides se déforment déforme nt au voisinage du contact de manière à former une surface d’aire finie (fig. 2.7).

 N 

 N 

2

1

2  A

1

2a  A

Fig. 2.7 Aire de contact d’une bille sur un plan.

Le contact de surfaces non conformes a été étudié, entre autres, par le physicien Heinrich Hertz, c’est pourquoi on l’appelle aussi contact hertzien. Il a montré que la pression est répartie selon un ellipsoïde tant que la déformation est élastique (fig. 2.8); 2.8) ; la pression la plus élevée régnant au centre de la surface de contact est appelée  pression hertzienne. Cette pression p0 caractérise l’intensité de la pression dans un contact ponctuel ou linéique. Les matériaux des solides (1) et (2) ont les caractéristiques suivantes: •  E 1 ,  E 2 modules d’élasticité • µ 1 , µ 2 coefficients de Poisson On pose, pour alléger l’écriture, le module d’élasticité réduit:

 

16

CONCEPTION DES MACHINES

 1 ± µ 12 1 ± µ 22   +   E   =   2    E   E 2   1

±1

(2.3)

On se limite ici aux contacts des surfaces les plus fréquents en construction mécanique. Contact extérieur de deux sphères de rayon r 1 et r 2

La surface de contact est un cercle de rayon 3

3  N  1 2  E  1   +   1

a  =

r1

(2.4)

r2

avec la pression hertzienne, au centre du cercle de contact, 3

 p0   =

2

 N    3 2   =  0,3644  E 2 N   1   +   1  r2  2π a  r1

(2.5)

 p0  p(r)

σ 

 p0

τ  = 0,135 p0

0,1 p0 0,8 p0

 p

pression de contact à la surface

 p0

pression maximale au centre de l’aire de contact

σ z

contrainte axiale dans les sphères

σ r ; σ t

contraintes principales contrainte de cisaillement

r

τ 

a

C 0,47a 0,31 p0 

σ r = σ t

σ z

1,0a

τ 

C

point avec cisaillement maximum

 z

Fig. 2.8 Distribution des contraintes au contact de deux sphères.

Le matériau situé sous la surface de contact est comprimé. La contrainte σ z normale à la surface et la contrainte σ r parallèle à la surface s’évanouissent en profondeur. La contrainte de cisaillement maximale se trouve sous la surface de contact, à une profondeur c  =  0,47 a dans le cas du contact de corps sphériques (fig. 2.9a), où a est le rayon du cercle de contact. Lorsque la charge croît, les déformations et les

 

17

FROTTEMENT

contraintes augmentent. Au-delà d’une certaine charge, le métal sous la surface entre en état plastique autour du point le plus sollicité (fig. 2.9b). Le volume plastifié s’étend ensuite à toute la zone de contact (fig. 2.9c), la pression s’uniformise et devient approximativement égale à celle qui régnerait si les surfaces étaient planes. 2a

 p ≈  p  pe

 p0  p0

τ max

c

zone plastifiée

(a)

(b)

(c)

Fig. 2.9 Sollicitation d’un métal en contact hertzien: (a) déformation élastique; (b) début de plastification;

(c) plastification générale.

de contact de HB), déformation plastiqued’une est voisine de la la dureté mesurée avec La unepression bille (dureté Brinell car l’empreinte bille dans surface n’est possible qu’après plastification complète de la zone de contact. Contact d’une sphère et d’un plan

Le rayon du plan est infini et celui de la sphère est r. La formule (2.5) donne 3

 p0  

= 0,36 0,3644

 E 2 N  r2

(2.6)

Contact extérieur de deux cylindres parallèles de rayon r 1 et r 2 l

surface est un rectangle de longueur  égale à la longueur du cylindre leLa plus courtde et contact de demi-largeur b  =  

8  N  1 π

l

 E 

1 1 r1

 

 + 

1

(2.7)

r2

La pression hertzienne sur l’axe du rectangle de contact vaut  p0   =

1 2π

 

 N   

l

1 1 +  E    r r2   1

(2.8)

En cas de contact intérieur, on donne une valeur négative au rayon de la pièce concave, on voit que la surface de contact est alors plus étendue et la pression plus

 

18

CONCEPTION DES MACHINES

basse. Mais ces formules ne sont pas valables si la zone de contact s’étend au-delà de 16% du diamètre de la pièce concave. C’est pourquoi il est généralement incorrect de calculer la pression dans les paliers lisses à l’arrêt par les formules de Hertz. Erhard & Strickle [2.9] donnent une méthode utilisable dans ce cas. 2.2.3 2.2. 3 Co Cont ntac acts ts surf surfac aciq ique uess Surface de contact nominale

Deux pièces conformes se touchent par une surface géométrique finie (fig. 2.10), leur contact est dit surfacique. L’aire  A contenue dans le contour de contact apparent est appelée surface de contact nominale ou apparente. La force normale d’appui étant  N , on définit la pression de de contact nominale ou apparente  p  =

 

 N 

(2.9)

 A

Ce serait la pression de contact qui régnerait entre les surfaces si elles étaient idéalement lisses et si les pièces étaient indéformables.  N 

 A  Ar

Fig. 2.10 Aires de contact.

Surface de contact réelle

Agrandissons fortement la coupe de la surface de contact de deux corps (fig. 2.11). Même si les surfaces paraissent macrogéométriquement parfaitement polies, elles présentent chacune des aspérités dont certaines touchent ponctuellement la surface opposée (spots). 2

 N i

contact

1 Fig. 2.11 Contact de deux surfaces.

 

19

FROTTEMENT

L’aire de la surface de contact effective des aspérités est appelée surface de contact  réelle  Ar . Elle est naturellement plus petite que la surface apparente, c’est pourquoi la  pression  pressi on de contact réelle  pr est beaucoup plus forte que la pression nominale p. Contact d’une aspérité  N i subit tout d’abord une Une aspérité progressivement progressiv ement chargée par une force déformation élastique. En admettant que l’extrémité de l’aspérité soit sphérique, la théorie de Hertz montre que l’aire de contact effectiv effectivee est proportionnelle à  N i2 / 3 . Le matériau subit ensuite une déformation plastique et l’aspérité s’écrase en agrandissant l’aire de contact. La pression de contact ne peut pas dépasser la pression de plastification  pe tant que l’aspérité n’est pas complètement aplatie. La surface de contact de l’aspérité est alors  Ari   =

 N    i

(2.10)

 pe

En état de déformation plastique, l’aire de contact d’une aspérité croît proportionnellement à la charge. La pression de plastification est en relation avec la limite élastique Re du matériau. Pour les métaux et une aspérité sphérique, (2.11)

 pe   ≈   3 Re

On notera que, même si la pointe d’une aspérité est déformée plastiquement, la charge est transmise au corps de la pièce par une zone plus massive où les déformations restent le plus souvent dans le domaine élastique. Contact de surfaces

En considérant maintenant l’ensemble de la surface apparente de contact, on constate qu’à faible charge les pièces ne se touchent que par les aspérités les plus élevées. Les aspérités s’écrasent et les pièces se rapprochent au fur et à mesure que la  N augmente. En définitive, la surface comprend des aspérités en état de charge déformation élastique et d’autres en état de déformation plastique (fig. 2.12). aspérité en déformation élastique 2

zone plastifiée

1 aspérité avec déformation plastique Fig. 2.12 Surfaces en contact par leurs aspérités.

Des expériences ont prouvé que l’augmentation de la surface de contact réelle avec la charge est due principalement à l’accroissement du nombre de points de con-

 

20

CONCEPTION DES MACHINES

tact plutôt qu’à l’agrandissement des aspérités déjà écrasées. Diverses études ont aussi montré que la surface réelle est approximativement proportionnelle à la charge normale  N transmise. On peut donc valablement raisonner comme si toutes les aspérités en contact se trouvaient en état de sollicitation plastique. Puisque  N   =  Σ N i , l’aire de contact réelle vaut finalement  Ar   =

 

 N 

(2.12)

 pe

On retiendra que les solides métalliques sont en contact par l’intermédiaire d’un coussin de matière plastifiée. En exprimant la charge à partir de la pression apparente,  N   =  Ap   Ap, calculons le rapport de la surface de contact réelle à la surface nominale  Ar  A

 = 

 p  pe

(2.13)

On recommande, par exemple, que la pression de contact apparente entre un moyeu en acier et une clavette soit de l’ordre de 100 N/mm2. Avec une limite élastique de l’acier Re  = 330 N/mm2 et  pe  = 1000 N/mm2, on a  Ar /  A  =   0,1 . Dans le cas d’un palier lisse présentant localement une pression de 10 bars et dont la limite élastique d’écrasement du coussinet en bronze vaut 130 N/mm2,  Ar /  A  =  0,0025. Dans le premier exemple, l’aplatissement des aspérités est très prononcé et un grand nombre d’entre elles sont en contact, tandis que dans le second, la surface de contact effective effective est une petite fraction de l’aire nominale. Les aspérités a spérités du coussinet en bronze participant à la transmission de la charge sont pratiquement toutes en état de déformation plastique; en revanche, un grand nombre d’aspérités de l’arbre se trouvent en état de déformation élastique parce que la limite élastique de l’acier est beaucoup plus élevée. Par conséquent, à charge égale, les déformations sont plus petites pour un métal dur que pour un métal mou. En diminuant la charge qui serre les pièces, on constate que les déformations sont pratiquement irréversibles du fait que l’écrasement plastique des aspérités est irrécupérable. Si on déplace une pièce par rapport à l’autre avant de remettre en charge, le contact s’établira par l’intermédiaire d’autres irrégularités de surfaces et de nouvelles aspérités seront écrasées. L’aplatissement progressif des ondulations et des aspérités permet le rapprochement des pièces. Il peut en résulter le desserrage d’assemblages tels que boulons, rivets, frettages (§ 7.4.1). Les surfaces métalliques polies, les céramiques et les polymères sont en contact élastique. Surface de contact en présence d’une force de cisaillement

Supposons qu’une aspérité chargée par une force normale  N i soit plastifiée (pression d’écrasement plastique  pe ), elle est en contact par une surface d’aire (fig. 2.13a)  Ari   =

 N    i  pe

(2.10)

 

21

FROTTEMENT

 N i

 N i T i

(a)

(b)

 Ari

 Ari T

Fig. 2.13 Aire de contact d’une aspérité: aspérité : (a) charge normale seule; (b) avec force tangentielle.

L’application d’une force tangentielle T i provoque une déformation latérale qui accroît la surface de contact jusqu’à la valeur  Ari T (fig. 2.13b). Les sollicitations de la nouvelle surface de contact sont: • co cont ntra rain inte te de com compr pres essi sion on  pri   =

 

 N i  Ari T

• co cont ntra rain inte te de cisa cisail ille leme ment nt τ ri   =  

T i  Ari T

Selon la théorie de Von Von Mises pour l’écoulement plastique des matériaux, la plastification intervient lorsqu’une relation de la forme suivante est satisfaite: 2   +  C τ 2   =   R 2  pri Rlim ri

où C est une constante et  Rlim une certaine limite caractéristique du matériau. Si T i   =   0 , la plastification intervient lorsque  pri   ≈  p  pe , donc  Rlim   =  p  pe et 2   +  C τ 2   =  p  pe2  pri ri

(2.14)

En introduisant l’expression des contraintes, cette équation fournit l’aire de la surface de contact avec des charges normales et tangentielles 2

 Ari T   =

 

  N i   T i    p  +  C   p   e  e

2

En tenant compte de (2.10), ( 2.10), on trouve

 Ari T   =  A  Ari

 T   1 +  C  i    N i 

2

(2.15)

 

22

CONCEPTION DES MACHINES

La constante C a été déterminée empiriquement; selon les chercheurs, elle est comprise entre 12 et 27. On voit que la surface de contact d’une aspérité augmente lorsqu’elle est sollicitée par une force tangentielle. Par exemple, si T i /  N i   =   0, 2 , on a  Ari T   =

  (1,22 …  1,  1, 44) Ari

L’augmentation de l’aire de contact est sensible; sensible ; en principe rien ne s’oppose à ce que les aspérités croissent jusqu’à recouvrir toute l’aire de contact apparente. Supposons maintenant que la force tangentielle T i soit forte. Du fait de l’accroissement de l’aire de l’aspérité, 2   >  τ f  et µ   ≈  

τ f  τ e

C

Compte tenu de (2.16), on trouve τ  µ   ≈   f   pe

(2.25)

Ce résultat a été démontré par Bowden et Tabor Tabor [2.11]. Il est intéressant parce qu’il exprime le coefficient de frottement d’adhérence à partir de caractéristiques mécaniques des matériaux. La formule (2.25) suggère de diminuer le frottement en interposant entre les surfaces un film peu résistant au cisaillement. C’est le principe de la lubrification. On peut aussi aborder l’étude de la résistance des jonctions par le biais de la mécanique de la rupture.  Labouragee  Labourag

Une aspérité dure chargée par une force normale s’enfonce dans une surface tendre (fig. 2.21a). L’application d’une force tangentielle repousse la matière tendre de sorte que l’aspérité ne porte que sur le flanc opposé à la force (fig. 2.21b). L’équilibre statique vertical n’est alors possible que si l’aspérité s’enfonce un peu plus profondément. Au le début du glissement, matièrel’aspérité de la base est repoussée et de forme devant l’aspérité bourrelet frontal (fig.la 2.21c), remonte au-dessus sa position initiale. Le volume de matière déformée est plus petit qu’au second stade, de sorte que la force nécessaire pour entretenir le mouvement diminue. F l diminue  N 

F l

 N 

 N 

émergence

(a)

enfoncement (b)

(c)

Fig. 2.21  Début du labourage d’une surface tendre par une aspérité dure : (a) enfoncement statique;

(b) premier mouvement par une force tangentielle; (c) émergence au début du glissement.

 

28

CONCEPTION DES MACHINES

Le corps portant l’aspérité s’éloigne de l’autre au début du glissement et le nombre d’aspérités en contact diminue. Le contact s’opère par les aspérités les plus grosses qui labourent la surface tendre en creusant de larges sillons (fig. 2.22), des petits morceaux sont arrachés à la surface.  N 

surface tendre

F l

sillon

bourrelet

υ 

2

1

 Ar

 Al

 

sillons

Fig. 2.22  Sillon de labourage labourage et bourrelet bourrelet frontal.

débris

Fig. 2.23  Labourage par par des débris d’usure.

Après une certaine distance de glissement, des débris d’usure enfermés entre les corpsparce s’incrustent dansformés la surface plus tendre (fig. 2.23). Ces souvent très durs qu’ils sont de la matière fortement écrouie et débris parfoissont autotrempée si c’est de l’acier. Ils agissent comme de grosses aspérités et raient la surface opposée. Le coefficient de frottement de labourage dépend du rapport de la résistance au cisaillement de la surface rayée à sa dureté et de l’inclinaison des flancs des aspérités.  Interaction d’aspérités d’aspérités

Lorsque deux surfaces rugueuses se font face, les aspérités d’une surface se trouvent dans des dépressions de l’autre surface, les aspérités sont enchevêtrées (fig. 2.24). Lors du glissement, l’aspérité (1) va heurter l’aspérité (2). Selon leur section et la résistance de leur matériaux, l’une ou l’autre peut se rompre ou l’aspérité la plus tendre se déforme plastiquement pour laisser passer l’autre. Dans ce dernier cas, il faut une force tangentielle pour déformer les aspérités et pour vaincre la force d’adhérence à leur surface de contact. υ

υ

υ 

2

1

débris (a)

(b)

(c)

Fig. 2.24  Interaction d’aspérités: d’aspérités: (a) interférence; (b) rupture fragile fragile;; (c) arasage arasage plastique.

 Autres  Autr es causes de frottement  frottement 

Il existe encore des phénomènes dissipateurs d’énergie qui nécessitent une force tangentielle pour entretenir le mouvement, mais leur effet est mineur. Ce sont: • la dissipatio dissipationn d’énergie d’énergie lors de la sollicit sollicitation ation viscoéla viscoélastiq stique ue fugace des matématériaux (§ 4.3.1) 4.3.1) ;

 

FROTTEMENT

29

• l’éne l’énergie rgie acous acoustique tique du bruit bruit produ produit it au au frottemen frottementt ; • l’éne l’énergie rgie de fissuratio fissurationn des matéri matériaux aux par par la fatig fatigue. ue. Cisaillement de la couche intermédiair intermédiairee

Les substances et les corps étrangers qui polluent les surfaces sont en couche très mince, de sensiblement l’ordre du nanomètre. cette échelle, même les La propriétés s’écartent des valeursAmesurées habituellement. viscositédes croîtliquides considérablement et les molécules organiques tendent à s’organiser en réseaux réguliers comme la structure des solides. En outre, l’intensité du cisaillement est très élevée à cause de la petite distance entre les corps en glissement. Israelachvili a mesuré les forces de cisaillement de la couche intermédiaire [2.12]. Après un certain parcours, des débris d’usure détachés des deux corps restent emprisonnés entre les surfaces et forment une couche séparatrice appelée troisième corps. Il existe trois mécanismes permettant le glissement: • le gliss glisseme ement nt sur sur l’une l’une ou l’aut l’autre re des surf surface acess ; • le cis cisail aillem lement ent du tro troisi isième ème cor corps; ps; • des rup ruptur tures es à l’in l’intér térieu ieurr des cor corps. ps. Ces phénomènes peuvent se succéder ou coexister. Force de frottement résultante

La force de frottement globale résulte de l’addition de toutes les forces décrites ci-dessus qui s’opposent au glissement, soit F   =  F adhérence   +  F labourage   +  F déformation   +  …

(2.26)

Conclusions

Des mesures et l’évaluation théorique conduisent aux conclusions suivantes: • Le frottement frottement par adhérence adhérence se manifes manifeste te dans le vide, vide, mais ne joue joue pratipratiquement pas de rôle dans l’air l’air.. • Après démarrag démarragee du glissement glissement de deux deux corps propres propres,, le labourage labourage des sursurfaces par des aspérités et d’autres phénomènes arrachent des petits morceaux de matière qui restent emprisonnés entre les surfaces. • L’accumu ’accumulatio lationn de débris d’usure d’usure entre entre les corps finit finit par constituer constituer une coucouche intermédiaire, le troisième corps, dont le cisaillement ou le glissement provoque la plus grosse part du frottement sec. • Selon Johnso Johnsonn [2.10], [2.10], le cisailleme cisaillement nt de la couche couche interméd intermédiaire iaire est est la principrincipale source de frottement, le labourage et l’interaction des aspérités jouent un rôle plus petit. Mais Nam [2.3] attribue une plus grande importance à ces derniers phénomènes. 2.3. 2. 3.3 3 Lo Lois is du fr frot otte teme ment nt

Il est utile de connaître les mécanismes du frottement pour comprendre les processus de l’usure et savoir comment les influencer. Mais le praticien veut surtout calculer la valeur des forces de frottement qui interviennent dans le fonctionnement des machines. L’expérience L’expérience conduit à formuler les lois de frottement suivantes: • la force de frottement est proportionnelle proportionnelle à la force normale de contact ;

 

30

CONCEPTION DES MACHINES

• la force force de frotteme frottement nt entre entre des surfaces surfaces planes est indépen indépendante dante de l’aire l’aire de la surface de contact nominale (apparente); • la force force de frottem frottement ent sur un solide solide est opposée opposée à sa vitesse vitesse de glisseme glissement nt sur l’autree solide fro l’autr frottant ttant lorsque les surfaces sont isotropes (fig. 5.19).

Ces lois s’expriment par la relation fondamentale, dite de Coulomb, (2.27)

F   =  µ  N   N 

La valeur du coefficient de frottement   µ  se   se détermine empiriquement. On verra plus loin les paramètres qui l’influencent (sect. 2.5). Les surfaces revêtues d’une couche de métal tendre, celles qui sont séparées par un lubrifiant solide et certains polymères présentent un coefficient de frottement qui diminue lorsque la pression apparente augmente jusqu’à une pression au-delà de laquelle il reste constant (§ 2.4.7). Dans ces cas, la première et la seconde loi ne sont pas valables. 2.3. 2. 3.4 4 Mi Mise se en mo mouv uvem emen entt

Des pièces serrées sont souvent sollicitées par une force tangentielle insuffisante pour les faire glisser. Cette situation se rencontre en particulier lorsque le frottement est mis à profit pour empêcher le mouvement relatif, par exemple dans les assemblages boulonnés ou rivés, les moyeux frettés sur les arbres, les embrayages. On se propose d’étudier le comportement de l’ensemble lorsque la force tangentielle croît progressiv progressivement. ement.

 N   p0  p(x) T   x F 

c

c

b

b

τ  '

''

'  =  µ p(x)  x

0 glissement

collage

glissement

Fig. 2.25 Distribution de la contrainte de cisaillement au contact d’un cylindre et d’un plan.

 

FROTTEMENT

31

Glissement d’une aspérité

Considérons la surface de contact d’un cylindre, représentant une aspérité, appliqué par une force  N  sur un plan (fig. 2.25). Mindlin [2.13] a démontré qu’en appliquant une force tangentielle T au cylindre, apparaissent deux zones de glissement situées au bord de la surface de contact. Dans la partie centrale, en revanche, les surfaces restent immobiles, on dit qu’elles sont collées (contact collant ). Dans les zones de glissement, le cisaillement de contact est proportionnel à la pression de contact; en  p. Le cisaillement dans la zone colvertu de la loi de Coulomb (2.27), il vaut τ ′  =  µ  p lante est τ ′′  <  µ  p  p, il est plus petit au centre de la surface de contact et croît lorsqu’on s’éloigne du centre jusqu’à atteindre le cisaillement de glissement. Soit l la longueur de la zone de contact du cylindre et ± c l’abscisse des points situés à la limite de glissement, la force de frottement vaut b

c

F   =

 ∫  τ   ′′d x  +   2 ∫  µ  p p ( x ) d x

 2

(2.28)

c

0

 

l

l

La est première la force transmise dans la zone collée, la seconde la forceintégrale transmisereprésente dans les zones de glissement. Lorsque la sollicitation T augmente, on constate que la largeur de la zone collée diminue jusqu’à ce que finalement le glissement s’installe sur toute la surface de contact. Alors c = 0 et l’expression ci-dessus devient simplement b

F   =

 N   ∫  µ  p p ( x ) d x  =  µ  N 

 2

l

(2.29)

0

Le cylindre glisse maintenant sur le plan en opposant la force de frottement µ  N   N . Des travaux expérimentaux ont révélé certains désaccords avec cette théorie. Une théorie élasto-plastique plus précise [2.14] montre qu’il existe une zone de transition plastique entre les zones collées et de glissement. Le glissement d’aspérités en état de déformation plastique s’opère comme décrit au paragraphe 2.3.2 à propos du labourage. Mise en mouvement de deux corps en contact

Deux corps se touchent par leurs aspérités de rugosité. Certaines sont en état de déformation élastique, d’autres en état de déformation plastique. Les aspérités en contact se comportent comme nous venons de le voir ci-dessus, celles qui sont le moins chargées glissent les premières, les autres un peu plus tard.                          tangentielles   En outre, les corps eux-mêmes subissent des   déformations élastiques;; les aspérités situées au voisinage du point d’application élastiques d’application de la force tangentielle glissent avant celles qui en sont plus éloignées. Il existe là aussi des zones de glissement et des zones collantes. En mesurant le déplacement δ d’une pièce en fonction de la force tangentielle T , on observe tout d’abord (fig. 2.26) une relation linéaire. Au-delà du coude A, la courbe s’aplatit parce que la plupart des microglissements ont lieu avec des déformations

 

32

CONCEPTION DES MACHINES T 

B T max

A

k g

0

δ 

microglissement

glissement

Fig. 2.26 Relation entre force tangentielle et déplacement.

plastiques. A la fin de tous les microglissements locaux (point B) débute le glissement généralisé macroscopique. Le corps se met progressivement en mouvement au fur et à mesure que l’intensité de la sollicitation tangentielle augmente. Sollicitons une pièce par une force insuffisante pour la faire glisser complètement, le mouvement est représenté par la courbe (1) de la figure 2.27. Après suppression de la force, la pièce revient en arrière, mais ne reprend pas exactement sa position de départ courbe (2); il subsiste un petit déplacement (point S) parce que les glissements plastiques sont irréversibles et que les aspérités qui ont glissé ne peuvent pas reprendre leur position initiale. Le déplacement suit la courbe (3) lorsque la force croît de nouveau. T 

P 1 3

0

S

2

 

δ 

Fig. 2.27 Application et suppression d’une force tangentielle.

Suite à ses propres mesures, Dahl [2.15] propose de représenter le processus de démarrage par un modèle élastique. Le glissement élastique s’exprime par        δ   =  

T  k g

(2.30)

où k g est la rigidité tangentielle de glissement. Le glissement macroscopique débute lorsque le mouvement dépasse 5 à 8 µm .

 

33

FROTTEMENT T  T 

0

δ 

 –T 

Fig. 2.28 Boucle d’hystérésis lors d’une sollicitation alternée.

L’application d’une force alternée provoque une boucle d’hystérésis complète (fig. 2.28) qui dissipe de l’énergie. C’est pourquoi les assemblages rivés ou boulonnés concourent à amortir les vibrations. 2.3.5 2.3 .5 Fro Frotte ttemen mentt des pol polymè ymères res

Les mécanismes de frottement des polymères et des composites sont en principe analogues à ceux décrits au paragraphe 2.3.2. Mais les propriétés viscoélastiques-plastiques des polymères et leur température de ramollissement relativement basse modifient leur comportement. Leur surface de frottement chauffe plus vite que celle d’un métal à cause de leur mauvaise conductivité thermique, ils peuvent alors fondre et le film liquide agit comme un lubrifiant qui abaisse massivement le coefficient de frottement. En contrepartie, l’usure est très forte. Le PTFE (polytétrafluoréthylène) adhère fortement aux surfaces métalliques en formant unfrottent film de ensuite transfert,pratiquement d’autres polymères déposent Quand des flocons le métal.glisCes matériaux sur eux-mêmes. deuxsur polymères sent l’un sur l’autre, celui qui a la plus faible cohésion se dépose sur l’autre. Pour P our plus de détails, voir [2.2]. Le coefficient de frottement de nombreux polymères diminue lorsque la pression de contact augmente parce que leur module d’élasticité est bas et que les déformations de contact sont essentiellement élastiques; voir [2.3]. 2.3.6 Frotte ttemen mentt des cér cérami amique quess 2.3.6 Fro

Les céramiques ont un comportement essentiellement fragile, par conséquent le        contact des aspérités entre deux surfaces en céramique est élastique. Ces aspérités ne s’élargissent pas plastiquement comme c’est le cas des métaux, sauf à haute température. Alors, malgré l’existence de forces adhésives, le coefficient de frottement n’excède pas 0,9, même dans le vide. On observe que des céramiques à base de carbures ou de nitrures réagissent avec l’oxygène de l’air ou de la vapeur d’eau lorsqu’elles frottent dans l’atmosphère. Il se

 

 

34

CONCEPTION DES MACHINES

forme des oxydes qui se combinent à leur tour avec la vapeur d’eau pour donner naissance à des hydrures. Ces phénomènes tribochimiques abaissent le coefficient de frottement jusque vers 0,2 parce que la résistance au cisaillement du film d’hydrure est inférieure à celle de la céramique. La fragilité de la céramique occasionne des fissurations dans les zones très chargées. Une céramique frottant contre une surface métallique adhère fortement au métal et en arrache des particules. La céramique se couvre d’un film de transfert qui s’oxyde rapidement dans l’atmosphère. 2.4 LU LUBR BRIF IFIC ICAT ATIO ION N 2.4 .4.1 .1 Pr Prin inci cip pes

La lubrification a pour buts de: • di dimi minu nuer er la for force ce de fro frott tteme ement; nt; • di dimi minu nuer er l’ l’us usur ure. e. Son principe consiste à séparer les deux corps par un film fluide, liquide ou gaz, ou un film solide; c’est le troisième corps. Le coefficient de frottement dépend de la nature du film et de son épaisseur. En fonction de ce dernier paramètre, on distingue quatre régimes de lubrification (fig. 2.29): •  Lubrification ou frot frottement tement limite, domaine I. Les corps se touchent par l’intermédaire d’une couche moléculaire de lubrifiant adsorbée à leur surface ou par des films formés par réaction chimique entre les matériaux et les additifs dits «extrême pression» contenus dans l’huile. •  Lubrification ou frott frottement ement mixte, domaine II. Les surfaces sont séparées par une mince couche fluide, mais les aspérités sont partiellement enchevêtrées. •  Lubrification ou frott frottement ement fluide, domaine III. Le film fluide est assez épais pour que les aspérités ne touchent pas la surface opposée. C’est le domaine de la lubrification hydrodynamique ou hydrostatique des contacts surfaciques et de la lubrification élastohydrodynamique desElle contacts hertziens. •  Lubrification se rencontre avec des fluides fluide turbulente, domaine IV. peu visqueux à grande vitesse. µ 

                  h0

0 I

II

III

IV

Fig. 2.29  Coeffi Coefficient cient de frottement en fonction de l épaisseur épaisseur minimale de la couche séparatrice. séparatrice.

 

35

FROTTEMENT

La lubrification est d’autant plus efficace que le film séparateur est plus épais par rapport à la rugosité. Le rapport de l’épaisseur h du film (fig. 2.30) à la rugosité totale  R est un critère utilisé pour apprécier la valeur de la lubrification et le comportement du couple tribologique. On définit le facteur lambda λ   =  

h

(2.31)

 R

où la somme des rugosités est calculée soit avec la rugosité moyenne arithmétique des deux surfaces (2.32)

 R  =  R  Ra1  +   R Ra 2

soit avec la profondeur moyenne de rugosité (RMS)  R  =

2   +   R    Rq1 Rq22

(2.33)

On utilise habituellement la valeur  Ra pour apprécier la rugosité; avec une distribution gaussienne du profil, on a  Ra   =  0,8  Rq . On admet les relations suiv suivantes antes entre la valeur de λ  et  et le comportement tribologique: • λ   <   0, 6 frottement limite, les surfaces s’usent • 0, 6 < λ   <   3 lubrification mixte avec usure des surfaces • 3 < λ   <   4 les surfaces se touchent légèrement, l’usure est faible • λ   >   4 lubrification fluide, les surfaces n’entrent pas en contact, l’usure est nulle On apprécie le comportement des contacts hertziens par le facteur lambda modifié (§ 2.4.4). Le lubrifiant n’est pas seulement «quelque chose» qu’on ajoute dans les couples cinématiques, mais c’est véritablement un élément de machine qu’on choisit et dimensionne soigneusement. 2.4.2 Lubr Lubrificat ification ion fluid fluidee hydro hydrodyna dynamiqu miquee

En régime de lubrification fluide, les surfaces sont complètement séparées, les aspérités n’entrent pas en contact (fig. 2.30).

h

 p

distance

Fig. 2.30 Lubrification fluide.

 

36

CONCEPTION DES MACHINES

Dans les paliers lisses et les butées, on tient compte de la rugosité et des ondulations pour calculer la valeur de R qui intervient dans la formule (2.31). Soit: • pal alie iers rs neu eufs fs  R  =   ( Rz1  +  W 1 )   +   ( Rz2   +  W 2 )

(2.34) où  Rz est la profondeur moyenne de rugosité et W   est l’amplitude des ondulations; • palie paliers rs rodés, on rempla remplace ce la val valeur eur de  Rz par la rugos rugosité ité moyen moyenne ne arith arithmémétique  Ra . On estime que  Rz   ≈

 (  (44 … 7) Ra

(2.35)

Par conséquent, un palier qui fonctionne correctement quand il est neuf ne posera plus de problème après rodage. Mais le rodage des paliers hydrodynamiques ne peut s’effectuer en principe que pendant le démarrage ou l’arrêt, lorsqu’il fonctionne en régime mixte (fig. 2.34). Il existe des machines qui subissent très peu d’arrêts (groupes hydroélectriques, centrales thermiques) et qui doivent par conséquent s’accommoder de paliers qui ne sont pratiquement pas rodés. On calcule alors le rapport lambda  1,, 5. (2.31) avec (2.34) et on veille à dimensionner les paliers de manière à ce que λ   ≥  1 Le film lubrifiant hydrodynamique se forme par le mouvement relatif des pièces grâce à la viscosité du fluide. fl uide. Il n’est pas question d’étudier ici le détail du calcul des paliers et butées hydrodynamiques, car ces problèmes sont largement traités dans la littérature, par exemple [2.2, 2.16, 2.17] et dans les ouvrages d’organes de machines. On se limite à montrer le principe de fonctionnement et les propriétés principales de ce type de palier. Butées

Un patin (2) (fig. 2.31) se trouve en face d’une surface (1), appelée glace, animée v. L’espace d’une circonférentielle L’espace les pièces est d’abord conver convergent gent dans le sens duvitesse mouvement, puis diver divergent gent; ; h0 estentre la distance minimale au point B. Le dispositif  baigne dans un fluide qui est entraîné dans la fente par l’effet de sa viscosité et de la vitesse de la surface (1). Il naît une pression  p ; nulle à l’entrée A, elle croît et passe par un maximum avant le passage le plus étroit B, puis diminue rapidement jusqu’à un point C où elle s’annule. A partir de là, le film porteur se déchire avec des entrées d’air. On admet que la distribution de pression est tangente à l’axe x au point C ( d p / d x  =   0 . La pression exerce sur la surface une poussée qui équilibre la charge F  sur  sur le patin; sa ligne d’action est située avant le maximum de pression. La portance est proportionnelle à la viscosité η du liquide et à la vitesse v, elle est inversement inv ersement proportionnelle au carré de la distance minimale h0. On écrit écrit:: F 

=

K B L2 1

ηv h02

(2.36)

où B est la largeur du patin,  L sa longueur portante et K 1 une constante.

 

37

FROTTEMENT  p  pmax F 

C A

 x

2

h0

v

B

1

franges

 B

 L

Fig. 2.31  Film lubrifiant, distribution distribution de pression et poussée hydrodynamique.

L’épaisseur minimale admissible est limitée par la rugosité et l’ondulation des surfaces (§ 2.4.1). Par conséquent, on obtient une grande portance avec des surfaces les plus parfaites possibles. Le cisaillement du lubrifiant oppose une force au mouvement, c’est la force de frottement fluide qui obéit à la loi v ηu   Ff = K2  B L h0

(2.37)

Le coefficient de frottement h F  µ   =   f    ~ 0  L F 

(2.38)

est proportionnel à l’épaisseur du film, mais indépendant de la viscosité et de la vitesse; il n’obéit pas à la loi de Coulomb. Les constantes K 1 et K 2 de ces formules dépendent uniquement du profil du film porteur, notamment de l’inclinaison du patin par rapport à la glace. On vise à obtenir la portance maximale avec un frottement minimal. Ce problème est difficile à maîtriser quand on sait que la pente d’un patin plan correspond environ à une dénivellation dénivellation de 2 à 5 cm sur la longueur d’un terrain de football. Les butées à patins articulés (Michell) fonctionnent toujours au voisinage du régime optimal, quelles que soient la charge, la

vitesse et la viscosité.

 

38

CONCEPTION DES MACHINES

Le débit de lubrifiant entraîné dans le film évolue selon «  V 

~  B u h0

Comme la puissance dissipée en chaleur est Pp =  Ff  v =   µ  F v  

l’échauffement du lubrifiant entre l’entrée et la sortie vaut ∆T   =

  µ F v

F 

« ~ ρ c L B ρ c V 

(2.39)

où ρ   et c sont respectivement la masse volumique et la chaleur massique du liquide. Comme F /  L B est la pression moyenne, on constate que l’échauffement du lubrifiant  entre l’entrée et la sortie d’un patin est proportionnel à la pression. Ce résultat oblige le concepteur à limiter la pression moyenne à 30 bars environ environ.. Paliers lisses

Un palier lisse est caractérisé par les paramètres suivants (fig. 2.32): • di diam amèt ètre re de de l’ar l’arbr bree d  • al alés ésag agee du co cous ussi sine nett  D • lo long ngue ueur ur du co cous ussi sine nett  B • jeu  j   =   D  D  ± d  • ch char arge ge ra radi dial alee F  • vi visc scos osit itéé du du lub lubri rifia fiant nt   η • vi vite tess ssee de de l’a l’arb rbre re   ω  alimentation

F 

d 

 D

ω  h0  B

Fig. 2.32  Paramètres d’un palier lisse.

Le jeu relatif  est la quantité ψ   =  

 j 

 = 

 D  ± d 

(2.40)

 D

 D

 

39

FROTTEMENT

On définit la pression moyenne moyenne de référence  p   =

 

F   BD  B D

 ≈ 

F 

(2.41)

 B  Bd  d 

C’est une pression fictive uniforme répartie sur la demi-circonférence opposée à la charge. Le fonctionnement d’un palier lisse est conditionné par le nombre adimensionnel de Sommerfeld So  =

 

F ψ 2  BD  B D η ω 

 = 

 p ψ 2

(2.42)

η ω 

En régime stationnaire, l’arbre est décentré d’une quantité e. L’épaisseur minimale du film lubrifiant vaut (fig. 2.33)  j  h0   =

  2   ± e  =   (1 ±

 D ε ) ψ  2

(2.43)

avec l’excentricité relative relative de l’arbre ε   =  

2e

(2.44)

 j 

La figure 2.33 représente la distribution de pression d’huile dans le coussinet. L’alimentation en lubrifiant doit toujours se trouver dans une zone non chargée, située entre 0 et 90° à partir de la charge radiale dans le sens de la rotation. Si l’arbre est susceptible de tourner dans les deux sens, on alimentera à 0°. Il ne faut pas oublier de prévoir aussi la sortie de l’huile en ménageant le dégagement nécessaire, sinon elle reste partiellement emprisonnée dans le palier qui se met à chauffer chauffer.. F 

ω 

F 

   e

h0

 –   p

 pmax

 p

.

V 

Fig. 2.33  Distribution de pression dans un palier en régime régime hydrodynamique.

 

40

CONCEPTION DES MACHINES

La pression est nulle aux bords du coussinet à cause des fuites d’huile. C’est pourquoi le palier ne doit pas être trop étroit. Mais il ne faut pas non plus qu’il soit trop long afin que les défauts de parallélisme de l’arbre et du coussinet ne perturbent pas trop le fonctionnement. On admet  B  =   ( 0,7 à 1) d ; dans les moteurs à piston, on descend jusqu’à  B  =   0, 4 d . La théorie des paliers [2.2, 2.16, 2.17] donne la portance F   =  α  BD  B D

 η ω 

(2.45)

ψ 2

Le facteur α  augmente  augmente fortement lorsque l’épaisseur minimale du film diminue. Il est plus petit que le nombre de Sommerfeld à cause des fuites axiales d’huile. Le coefficient de frottement équivalent est fonction du nombre de Sommerfeld. Selon Vogelpohl, Vogelpohl, on peut l’approcher par la relation µ   =  

avec:

3 ψ 

(2.46)

So n

n = 1 n = 0, 0,5

lorsque So < 1 (palier peu chargé) lorsque So > 1 (palier chargé)

Régime de fonctionnemen fonctionnementt

Voici les trois phases du fonctionnement d’un palier hydrodynamique: hydrodynamique : •  Repos. La force radiale plaque l’arbre contre le coussinet qui doit résister à l’écrasement statique (fig. 2.34a). • Petite vitesse. L’arbre grimpe dans le coussinet et prend une position d’équilibre telle que le point de contact se trouve en arrière de la force par rapport au sens de la rotation (fig. 2.34b). Il règne un état de frottement mixte (§ 2.4.5) avec usure des pièces (§ 8.7.4). • Grande vitesse. Lorsque la vitesse est assez grande pour entraîner suffisamment il sel’arbre formeseunsitue film maintenant continu avecenune distribution de pression telle que led’huile, centre de avant de la charge (fig. 2.34c). L’usure est nulle du fait du frottement fluide. A très grande vitesse ou à faible charge, l’arbre se centre pratiquement dans le coussinet.

ω

ω 

ω  = 0 F

(a)

F

F 

(b)

contact

(c) film minimal

Fig. 2.34  Phases de fonctionnement fonctionnement d un palier hydrodynamique: (a) repos; (b) régime mixte; (c) régime régime

hydrodynamique.

 

41

FROTTEMENT

Les trois phases de fonctionnement du palier se reflètent dans la courbe donnant le coefficient de frottement en fonction de la vitesse de l’arbre (fig. 2.35). Lorsque l’arbre commence à tourner, le frottement diminue rapidement parce que du liquide s’interpose peu à peu entre les surfaces en mouvement relatif; il y a frottement mixte. Les surfaces s’éloignent progressivement lorsque la vitesse augmente; le frottement diminue, passe par un minimum, puis augmente à nouveau lorsque le frottement fluide est entièrement établi à cause du cisaillement du fluide. Le point de transition entre le frottement mixte et le frottement fluide se trouve pratiquement au minimum de la courbe représentant le coefficient de frottement en fonction de la vitesse; cette courbe a été déterminée empiriquement par Stribeck.

µ 

frottement à l’arrêt frottement limite

frottement mixte frottement fluide point de transition 0

ω 

Fig. 2.35  Evolution du coefficient coefficient de frottement dans un palier lisse hydrodynamique hydrodynamique avec avec la vitesse, visco-

sité et charge constantes (courbe de Stribeck).

L’arbre et le coussinet ne s’usent que durant le bref instant de fonctionnement en régime mixte. C’est pourquoi des machines fonctionnant en régime continu peuvent tourner des décennies sansdes quetrois les phases paliersdes’usent. Le déplacement l’arbre dans le coussinet au cours f onctionnement fonctionnement décritesradial est audeplus égal au jeu radial. Il convient d’en tenir compte en fixant le jeu des rotors dans leur stator. Tous les organes à lubrification hydrodynamique ont un comportement analogue. Effet des variations de vitesse

La viscosité de l’huile diminue rapidement lorsque la température augmente; par conséquent, la température influence le nombre de Sommerfeld et la courbe de Stribeck. Examinons ce qui se passe au cours d’un cycle de fonctionnement d’une machine à vitesse variable, par exemple un moteur (fig. (fi g. 2.36). Le moteur démarre dém arre à froid, le coefficient c oefficient de frottement se trouve au point A. Avec Avec l’augmentation du régime jusqu’à la vitesse ω 2 , le point figuratif passe en C ; mais bientôt l’ensemble chauffe et le point tombe en D. Diminuons la vitesse à ω 1, le point figuratif la diminue courbe de Stribeck pour de l’huile fluide en E. L’énergiedécrit dissipée et le palier sevalable refroidit lentement de sorte queetlevient coefficient de frottement croît un peu, au point F. Une nouvelle augmentation de vitesse se ferait

selon F – H. En arrêtant le moteur, le coefficient de frottement correspond au point K;

 

42

CONCEPTION DES MACHINES

puis il croît jusqu’en A parce que le moteur se refroidit, mais aussi parce que l’huile est chassée par la pression de contact. On remarque que la vitesse de transition à chaud, ω t′ , est plus élevée qu’à froid. Il faut donc dimensionner un palier hydrodynamique à la température de service maximale pour la vitesse de régime minimale. µ 

A huile froide C

K

H D

F B 0

ω t

G  

huile chaude

E

ω ' t ω 1

 

ω 2

ω 

Fig. 2.36  Variation du coefficient de frottement dans un cycle de fonction fonctionnement nement à charge constant constante. e.

Application numérique

Diamètre de l’arbre Longueur du coussinet Jeu Jeu relatif    Somme des rugosités et des ondulations Charge du palier Vitesse

d   B  j  ψ   R F  n

= = = = = = =

100 mm 100 mm 0 ,1 m m 10 –3 3,4 µm 25 kN 350 t/min

L’étude du palier avec de l’huile N 36 selon DIN 51501 conduit aux résultats suivants: • Températ empérature ure en régime régime permanent permanent avec avec un refroid refroidisseme issement nt naturel: naturel: 46°C dans de l’air ambiant à 20°C  p = 25 bars • Pression de référence • No Nomb mbre re de de Somm Sommer erfe feld ld So = 2,01 • Epa Epaiss isseur eur min minima imale le du du film film d’hui d’huile le h0 = 14,8 µm • Fac actteu eurr lam lambd bdaa   λ  = 4,3 • Coe Coeffi fficie cient nt de frotte frottemen mentt équiva équivalen lentt   µ   = 0,0021 • Perte Pp = 96 W 2.4.3 2.4 .3 Lub Lubrif rifica icatio tion n fluide fluide hyd hydros rostat tatiqu iquee

Un palier hydrodynamique présente ne fonctionner en état de frottement fluide que lorsque la vitesse estl’inconvénient suffisamment de élevée. Afin de créer le film fluide déjà à l’arrêt, on injecte le lubrifiant sous pression à l’aide d’une pompe dans

des poches (fig. 2.37) où il crée une pression qui soulève la charge; il s’échappe

 

43

FROTTEMENT

ensuite par les lèvres des poches. L’espace de fuite se règle automatiquement en fonction de la pression et de la charge appliquées. Il est nécessaire de prévoir des restrictions dans les tuyaux d’amenée du fluide aux poches afin de stabiliser la position de la pièce mobile.

F 

échappement d’huile

alimentation avec robinets de réglage Fig. 2.37  Schéma de principe d’un palier hydrostatique. hydrostatique.

1

5

10 6 2

4 8

9 3

M

7

Fig. 2.38 Palier hydrostatique: (1) à (4) orifices de stabilisation; (5) à (8) poches; (9) jeu minimal; (10) jeu maximal.

La figure 2.38 montre l’application de ce principe à un palier à quatre poches. Non chargé, l’arbre est centré et la distribution de pression radiale est symétrique (fig. 2.39a). L’arbre se déplace radialement dans la direction de la charge (fig. 2.39b); la pression augmente sous la charge et diminue au-dessus. Lorsque l’arbre tourne, son centre se déplace dans le sens de la rotation par rapport à la direction de la charge. Puisque l’arbre ne touche jamais le coussinet, ce genre de palier ne s’use pas et présente un couple résistant pratiquement nul au démarrage. Il offre une grande rigidité et un fort amortissement des vibrations radiales. La puissance mécanique absorbée par la pompe augmente avec le cube de l'épaisseur du filmproportionnelle lubrifiant tandis queépaisseur. la dissipation pardonc la rotation de l’arbre est inversement à cette Il existe une épaisseur optimale qui minimise la dissipation totale d’énergie.

On trouve des écrous de grosses vis de mouvement à film hydrostatique (jeu nul).

 

44

CONCEPTION DES MACHINES non chargé

F 

 p

 p

(a)

(b)

chargé

Fig. 2.39  Distribution de pression pression dans un palier hydrostatique: hydrostatique: (a) non chargé; (b) chargé.

2.4.4 Lubr Lubrificat ification ion élasto élastohydro hydrodyna dynamique mique (EHD (EHD))

La pression hertzienne rencontrée dans les engrenages, les roulements, les suiveurs de cames, atteint 1 à 4 GPa. C’est mille fois plus que dans les paliers hydrodynamiques. La viscosité de l’huile augmente fortement avec la pression selon la loi suivante: η  =  η0 e αp

avec:

(2.47)

viscosité à la pression atmosphérique et à la température T coefficient de piézo-viscosité pression

η0 α   p

Autour de 1 GPa, la viscosité est multipliée par 10 6, l’huile est pâteuse et ne coule plus;; la dynamique de ce phénomène n’est pas encore très claire. Cette haute viscosité, plus fortement variable dans la zone de contact, exige un calcul spécial de l’épaisseur du film lubrifiant. Il faut en effet tenir compte simultanément de la variation de la viscosité et de la déformation des surfaces [2.17].

 p

EHD Hertz

 N   M 1

(b) v1

   R  1

C

v2    R  2

 –   N 

1

F 

(a)

v1

hc

2

entrée d’huile

h0

v2

Fig. 2.40  Transmission à friction. friction.

Fig. 2.41  Contact élastohydrodynamique: (a) profil

du film lubrifiant; (b) pression.

 

45

FROTTEMENT

La figure 2.41(a) représente le profil du film d’huile au point de contact C de deux roues d’une transmission à friction (fig. 2.40). Les roues sont écrasées et séparées par l’huile;; mais la viscosité diminue rapidement à la sortie. La continuité de l’écoulement l’huile et la chute de viscosité se traduisent par un étranglement. Il existe un pic de pression peu avant l’étranglement (fig. 2.41b), puis la pression tombe rapidement en dessous de ce que serait la pression hertzienne. Hamrock et Dowson [2.18] ont développé une formule générale et précise pour calculer l’épaisseur minimale du film, valable jusqu’à 3-4 GPa:  

 vη  =   3, 63  0    E R 

h0  R

0, 68

  N   (α  E )0, 49  2   E R 

± 0, 073

  (1

± e ±0,68k )

(2.48)

avec:  R  =

 

 R1 R2  R1  +   R R2

v = 1 2

( v1

+ v2 )

rayon réduit vitesse moyenne viscosité à la pression atmosphérique coefficient de piézo-viscosité module d’élasticité réduit donné par la formule (2.3) charge normale du contact facteur d’ellipsité; k  =  = ∞  pour un contact linéique, k  =  = 1 pour un contact ponctuel

η0 α   E   N  k 

La formule révèle que l’épaisseur minimale diminue très lentement lorsque la charge croît, elle est habituellement de l’ordre de quelques µm. La vitesse a un effet beaucoup plus marqué. Pour plus de détails, voir [2.2]. L’épaisseur du film dans la partie centrale (plateau) de la zone porteuse (fig. 2.41b) est donnée pard’huile la formule hc  R

 

 vη    = 2 , 69  0    E R 

0 , 67

 

    N   (α  E ) 0, 53  2   E R 

− 0 , 067

  (1 − 0, 61 e −0,73k )

(2.49)

Les symboles sont ceux de la formule (2.48). On a apprécié traditionnellement la qualité de la lubrification par la valeur du facteur lambda calculé par le rapport de l’épaisseur du film lubrifiant à la rugosité (2.31). Or, on ne connaît pas la rugosité réelle mais seulement celle qui se mesure avec un rugosimètre. Les rugosimètres à stylet sont pourvus d’un filtre passe-haut pour éliminer les ondulations et ne saisir que les défauts du deuxième ordre; on appelle L la longueurOn deacoupure filtre constatédu que des(cut-off). contacts hertziens ne s’usent pas si λ  est  est aussi petit que 0,3

alors que pour cette valeur les surfaces devraient en principe se toucher. Cette contradiction provient du fait que la rugosité indiquée par un rugosimètre ayant le cut-off 

 

46

CONCEPTION DES MACHINES

habituel L = 0,8 mm est considérablement plus forte que la rugosité effective mesurée avec un cut-off plus court. Un contact EHD est habituellement étroit et se comporte en quelque sorte aussi comme un filtre mécanique. Afin de corriger l’effet du cut-off du rugosimètre, Moyer définit le  facteur  lambda modifié  [2.19].  [2.19]. h λ m   =   c  Ra

1 2b

(2.50)

 L

avec: épaisseur du film dans la zone centrale (2.49) somme des rugosités moyenne arithmétique selon (2.32) largeur du contact hertzien longueur de cut-off  du  du rugosimètre, habituellement 0,8 mm

hc  Ra 2b  L

La rugosité doit se mesurer dans le sens du mouvement. Des essais ont prouvé la valeur de cette théorie [2.20]. Les surfaces sont complètement séparées lorsque λ m   ≥  3 ; le régime est mixte si λ m   <  1. La transmission d’un effort tangentiel dans un mécanisme à friction s’opère par le cisaillement du film lubrifiant au point de contact. Il n’est possible que s’il existe une différence de vitesse vg   = v1 ± v2 entre les roues. On définit définit:: • le facteur de friction, rapport de l’effort transmis à la charge normale µ F   =  

F   N 

(2.51)

• le glissement relatif  g  =

v1

± v2 v1

(2.52)

La figure 2.42 montre l’allure de la relation entre ces grandeurs. On distingue trois domaines: • Domai Domaine ne I. Relation Relation linéaire, linéaire, la transmis transmission sion s’effe s’effectue ctue par cisaille cisaillement ment en régime EHD. • Domai Domaine ne II. Région Région non non linéaire, linéaire, le fluide fluide manifeste manifeste un compo comportemen rtementt non newtonien avec un glissement très marqué. Selon l’huile et ses additifs, l’effort maximal est transmis pour un glissement compris entre 1% et 10%. • Domaine Domai ne III. fortement Région del’huile, Région frottement frottemen t thermique thermi parc parce que le glissemen glissement t imporimpor tant échauffe il existe un que risque dee grippage. Ce domaine est-

inexploitable, car la transmission y est instable (§ 5.5.5). La roue menée est arrêtée en g = 1.

 

47

FROTTEMENT µ F µ F max

0

g

1 I

II

III

Fig. 2.42  Facteur de friction en fonction du glissement. glissement.

Le glissement dégage de la chaleur de frottement qui s’évacue par le corps des pièces par de l’huile. L’échauffement L’échauffement considérablement la viscosité de l’huile η0 et le coefficient dans laetzone contact en abaissant ladiminue viscosité de piézo-viscosité  de la formule (2.47). L’épaisseur L’épaisseur du film lubrifiant donnée par (2.48) diminue sensiα  de blement, au point que les solides peuvent se toucher et finir par gripper (§ 3.5.1). Dans la plupart des mécanismes à lubrification EHD, cames, engrenages, variateurs à friction, le passage de la source de chaleur sur la surface active des pièces est rapide. L’échauffement local est fugitif, c’est pourquoi on parle de température instantanée (flash temperature); son calcul sera abordé au paragraphe 19.5.5. 2.4. 2. 4.5 5 Lu Lubr brif ific icat atio ion n mixt mixtee

On sait que les aspérités d’une surface métallique chargée sont plastifiées. Elles sont en contact hertzien avec la surface opposée par l’intermédiaire des couches moléculaires adsorbées (fig. 2.43). Lorsque les surfaces sont lubrifiées à l’huile ou à la graisse, les contacts locaux se trouvent en état de frottement élastohydrodynamique. On admet que la force normale est transmise partiellement par les zones micro-EHD et partiellement par le film liquide hydrodynamique entre les aspérités. Ce film est porteur parce que l’huile est retenue par les ondulations de surfaces et par les aspérités.

zone EHD locale corps 2

 N 

υ 

liquide couches adsorbées

corps 1 Fig. 2.43  Surfaces lubrifiées lubrifiées en état de frottement frottement mixte.

 

48

CONCEPTION DES MACHINES

L’épaisseur du film sous les aspérités est plus petite qu’en cas de lubrification EHD pure. Ce modèle paraît confirmé par l’expérience qui montre que des surfaces extrêmement lisses (rugosité de l’ordre de 0,001 µm) peuvent gripper tandis que le fonctionnement de surfaces plus rugueuses est satisfaisant parce que l’huile est retenue dans les cavités. Cette remarque explique le bon fonctionnement des surfaces grattées. L’huile retenue à l’arrêt, non expulsée par la pression de contact, permet aussi le démarrage sans problème des paliers et des butées hydrodynamiques. Le portage par micro-EHD expliquerait aussi pourquoi des organes de machines fonctionnent à satisfaction même si l’épaisseur du film hydrodynamique est de l’ordre de grandeur de la rugosité (facteur λ  ≈ 1). 2.4. 2. 4.6 6 Lu Lubr brif ific icat atio ion n limit limitee

Dans ce régime de lubrification, les matériaux de base sont séparés par des couches moléculaires de lubrifiant adsorbées à leur surface (fig. 2.44). Le frottement est déterminé par les propriétés chimiques du lubrifiant et non par sa viscosité. Les lubrifiants, huiles ou graisses, contiennent des additifs pour obtenir un bon accrochage sur les surfaces.

Fig. 2.44  Schéma du contact en lubrification lubrification limite.

En pratique, toutes les surfaces des couples tribologiques sont souillées par de l’huile de coupe ou par de la graisse utilisée au montage. Une surface soigneusement essuyée et apparemment sèche est encore recouverte d’une couche moléculaire adsorbée. Le praticien dit que le frottement est sec, mais il s’agit en réalité de frottement limite, les mécanismes d’adhésion jouent un rôle négligeable. 2.4.7 Lubr Lubrificat ification ion solid solidee et revêtem revêtement ent de surfa surface ce Principes

On interpose une substance solide entre les surfaces. Le graphite et le bisulfite de molybdène (MoS2) sont le plus souvent utilisés. Leur propriété lubrifiante repose sur: • la structure structure cristalli cristalline ne consistant consistant en atomes atomes fortement fortement liés dans dans des plans, plans, mais les plans étant eux faiblement liés (fig. 2.45); • la dispos dispositi ition on macrosc macroscopi opique que lamell lamellair aire. e. Les couches lamellaires glissent facilement l’une sur l’autre, des feuilles de papier. On a observé que le MoS 2 s’organise en lamelles à peucomme près parallèles au

glissement, posées sur une couche adsorbée à la surface du solide (fig. 2.46) [2.4]. Les corps frottent finalement avec une interposition de lamelles.

 

49

FROTTEMENT

S C

(a)

Mo

(b) Fig. 2.45  Structure cristalline cristalline lamellaire: (a) graphite; (b) bisulfite de molybdène.

2 µm

Fig. 2.46  Structure d’un d’un film de bisulfite bisulfite de molybdène. molybdène.

Au lieu d’interposer un corps séparateur mobile, on peut aussi déposer sur les surfaces un revêtement solide adéquat (§ 3.2.2). Coefficient de frottement

En admettant que la force de frottement provienne uniquement du cisaillement de la couche intermédiaire, elle vaut F   =  A  Ar τ m

Avec une charge normale N , le coefficient de frottement vaut µ   =  

F 

 A   =   r τ m

 N 

 N 

On observe qu’à haute pression, la résistance de cisaillement croît linéairement avec la pression de contact selon

 

50

CONCEPTION DES MACHINES

 N  τ m   =  τ m 0   +  α   Ar

Alors  A µ   =   r τ m 0   +  α   N 

(2.53)

Le coefficient de frottement résulte de la somme d’un terme constant et d’un terme qui varie inversement à la charge. La loi dépend de l’influence de la charge sur l’aire de contact réelle. En admettant le contact hertzien d’une aspérité sphérique sur un plan, acceptable à faible charge, l’aire de contact vaut  Ar   =  π a 2 où le rayon de contact est donné par (2.4). En substituant dans (2.53), on obtient l’expression du coefficient de frottement  3  r  µ   =  π    2  E 

2/3

τ m 0

(2.54)

  +  α 

 N 11// 3

avec: r  E   N  τ m 0 α 

rayon d’une aspérité module d’élasticité réduit des matériaux (2.3) charge normale résistance de cisaillement minimale constante µ 

µ 1

 A

 N 

0

I

II

Fig. 2.47 Coeffic Coefficient ient de frottement avec lubrification solide en fonction de la charge.

On distingue deux domaines (fig. 2.47): • I, domai domaine ne de glissement glis sement de dlorsque e surface, surfaclae,charge à faible faiblecroît. charge ou petite charge petite pression pression de contact apparente.  diminue µ  diminue

• II, domaine domaine de cisaille cisaillement ment de la couche couche interméd intermédiaire. iaire. Le Le coefficient coefficient de de frottement est constant et petit.

 

51

FROTTEMENT

Avec l’expression (2.54), la force de frottement s’exprime sous la forme  N 2 / 3   +  α  N   N   =  β  N  F   =  µ  N   N 

(2.55)

Un film de MoS2 n’est pas absolument lisse. A faible charge, il transmet la force normale par des protubérances dont le cisaillement détermine la force de frottement. La théorie d’adhésion de Bowden et Tabor paraît alors applicable. En augmentant la charge, l’aire de contact réelle croît et le coefficient de frottement reste constant. Le rapport  N  /  Ar de (2.53) est égal à la « dureté dureté»»  H L du film lubrifiant et le coefficient de frottement vaut τ  µ 1  =   m 0   +  α   H L

(2.56)

Cette valeur est représentée dans la figure 2.47. Le coefficient de frottement commence à diminuer (point A) lorsque le film porte sur toute la surface disponible, c’està-dire apparente. du En support (substrat) ne joue de rôlec’est tant qu’ellesur est l’aire supérieure à celleLa du dureté lubrifiant. revanche, lorsqu’elle estpas inférieure, elle qui intervient dans la formule (2.56), car la surface se déforme et le coefficient de frottement à faible charge croît. La valeur du coefficient de frottement de lubrifiants solides dépend considérablement de l’ambiance: • le frottemen frottementt est beaucou beaucoupp plus petit dans le le vide que dans dans l’air l’air [2.21] [2.21];; • le fr frot otte teme ment nt de Mo MoS S2 est deux fois plus grand dans de l’air humide que dans de l’air sec, il diminue au contraire fortement avec l’humidité dans le cas du graphite. Des effets physico-chimiques jouent un rôle important dans ces phénomènes. Revêtements tendres

Un métal plomb etabaisse particulièrement l’indium, déposé couche mince à la tendre, surface or, du argent, corps principal nettement le frottement (fig. en 2.48a),

µ 

µ 

sec 0,3 lubrif. huile

0,2

film indium

0,1  p

0 (a)

0

(b)

0,001 0, 0,01 0,1 1 10 [µm] épaisseur du film

Fig. 2.48  Effet d’un revêtement revêtement d’indium à la surface de l’acier l’acier : (a) influence de la pression; (b) influence

de l’épaisseur.

 

52

CONCEPTION DES MACHINES

mais seulement sous forte pression. Cette technique est efficace dans le vide pour empêcher la soudure des métaux, mais le film fi lm devient cassant à très basse température. Un dépôt d’oxydes métalliques est efficace à haute température parce que le film devient relativement ductile. L’oxyde de plomb (PbO) et le trioxyde de molybdène 3) film (MoOLe sont est les efficace plus efficaces 600°C.(0,2 à 1 µm) (fig. 2.48b). On obtient un dépôt s’il està mince continu très adhérent en opérant dans le vide pour éviter la contamination de la surface. On commence par nettoyer la surface, par exemple par un bombardement ionique d’argon, puis on projette sur le substrat des ions du revêtement accélérés par un champ électrostatique focalisé.

2.4.8 2.4 .8 Cho Choix ix tribo tribolog logiqu iques es des des palie paliers rs

Les paliers doivent transmettre une charge radiale F  et  et permettre à l’arbre de tourner à la vitesse n  [t/min]. Il est commode de représenter les limites de leurs performances dans un diagramme charge-vitesse et de définir ainsi leur domaine d’utilisation. On choisit des échelles logarithmiques. Palier lisse à frottement mixte (fig. 2.49)

La charge est limitée par la pression de contact ne provoquant pas de déformation plastique du coussinet. La vitesse maximale est limitée par l’échauffement et le risque de grippage. Dans le domaine intermédiaire, l’usure et l’échauffement admissibles imposent une limitation du produit  p v de la pression de contact moyenne par la vitesse périphérique (§ 19.6.7). Ces relations hyperboliques se représentent dans le diagramme par des droites inclinées.

F

(log)

d 

pression limite  B  pvv ) T  échauffe échauffement, ment, produit ( p

usure, produit ( p  pvv ) U échauffement d  n (log)

Fig. 2.49 Domaine d’utilisation d’un palier lisse à frottement mixte.

On peut accroître la charge transmissible en augmentant le diamètre et la longueur du palier, seule la longueur agit sur le produit  p v (§ 25.6.2).

Palier lisse hydrod hydrodynamique ynamique (fig. 2.50)

La portance est limitée par la fait que l’arbre ne doit pas toucher le coussinet. Selon la formule (2.45), elle est proportionnelle à la vitesse. A grande vitesse, l'échauf-

 

53

FROTTEMENT

fement abaisse la viscosité de l’huile et plafonne la portance; en outre, l’écoulement devient turbulent. La portance croît avec la taille du palier et avec la viscosité de l’huile. F (log)

(η BD)

contact du coussinet

échauffement d  n (log)

Fig. 2.50  Domaine d’utilisation de paliers lisses hydrodynamiques.

Palier hydrostatiq hydrostatique ue (fig. 2.51)

La portance est créée par une pompe à huile extérieure au palier, c’est pourquoi elle indépendante la vitesse. La réduction de portance à grande vitesse provient de laest diminution de lade viscosité du lubrifiant par l’échauffement. F

(log)

d 

épaisseur du film lubrifiant pression d’injection du lubrifia lubrifiant nt échauffement

n (log)

Fig. 2.51  Domaine d’utilisation de paliers lisses lisses hydrostatiques.

Roulement (fig. 2.52)

A petite vitesse, la charge est limitée par la déformation permanente statique (capacité de charge statique C 0 ). La charge limite de fatigue des roulements est en F

(log)

d 

charge statique limite, C 0 d 

longévité de fatigue échauffement d 

vitesse limite n (log) Fig. 2.52 Domaine d’utilisation de roulements.

 

54

CONCEPTION DES MACHINES

relation avec leur longévité Lh selon une loi du type Lh ω F p = constante. La constante dépend de leur capacité de charge de base dynamique C . A grande vitesse, la charge est limitée par l’échauffement admissible (dépend du système de graissage). Enfin, la vitesse limite liée aux efforts d’inertie des corps roulants et de la cage ne saurait être dépassée (§ 16.3.2). Comparaison des paliers

On peut calculer les limites décrites ci-dessus pour différents diamètres d’arbres et tracer les courbes dans un même diagramme qui couvre le champ de presque toutes les applications (fig. 2.53). 107 d    

 =   5  0   0   m  m 

F [N]

1

d  =  5 0  00     m 0

m

F 

2  5   0  

106 2 5  5 0  0 

n

1  0   0  

10 0  0 

105 d = 50 mm

d 

2 25

5 0  0 

5  0  

104 2 5  5 

10

2  5  

3

5 mm

103

10 

1  0   5  m m 

102 5           0          m       m      

10 1

10

d       

2      5     

=     5      m    m   

5   m  m 

1      0     

102 103 104 105 106 n [1/min] paliers lisses à sec en PTFE paliers lisses céramiques poreux paliers lisses hydrodynamiques, B / d  =  = 1, huile de viscosité moyenne roulements, longévité 10000 h

Fig. 2.53  Caractéristiques charge-vitesse charge-vitesse maximale de paliers radiaux: (1) vitesse limite des roulements;

(2) vitesses limite des roulements à billes pour haute vitesse; (3) limite du matériau de l’arbre.

Le diagramme montre clairement que les roulements sont avantageux à petites vitesses par rapport aux paliers hydrodynamiques; par exemple, un roulement de

 

FROTTEMENT

55

50 mm peut porter une charge plus grande jusqu’à 850 t/min que ce dernier type de palier. Cela explique la grande diffusion des roulements dans les machines petites et moyennes. A vitesse moyenne (1000-10 000 t/min), un palier lisse transmet une charge beaucoup plus forte qu’un roulement de même diamètre, c’est pourquoi il est toujours utilisé dans les turbomachines et enLes mécanique lourde,hydrodynamiques sauf s’il s’agit de perfortes charges à petite vitesse (< 10 t/min). paliers lisses mettent des vitesses plus élevées que les roulements, en principe jusqu’à la vitesse d’éclatement de l’arbre. Les paliers lisses en régime de frottement sec ou mixte ne convien conviennent nent qu’à faible charge et petite vitesse. Les paliers hydrostatiques ne sont pas représentés dans le diagramme 2.53 parce qu’on peut toujours les construire dans tout le domaine d’application. Voici encore d’autres éléments de choix choix:: Paliers lisses hydrodynamiques

Ces paliers sont insensibles aux chocs et aux vibrations à cause de leur grande surface portante et de l’effet amortisseur du film lubrifiant. Ils sont silencieux, peu sensibles auxarbres petitestrès impuretés n’exigent pasestd’étanchéité soignée. Ils conviennent pour des rapides, et leur longévité illimitée entrès régime de frottement fluide. Ils ne s’usent qu’au démarrage et au ralentissement. Le montage et le démontage des arbres sont grandement facilités par l’exécution des paliers en deux moitiés. Le couple de démarrage des paliers lisses est élevé, ces paliers consomment beaucoup de lubrifiant et exigent une surveillance vigilante; à charge et diamètre d’arbre égaux, ils dissipent plus de puissance que les roulements. Paliers lisses hydrostatiques

Ils conviennent à toute charge, même à très faible vitesse. Ils sont avantageux lorsque l’arbre démarre fréquemment, car les pièces ne se touchent jamais et leur usure est nulle. Leur rigidité est grande. Les paliers hydrostatiques sont moins fiables que les autres parce qu’ils dépendent d’une source d’huile sous pression, ils consomment beaucoup d’énergie. Paliers lisses à frottement limite ou mixte

Ces paliers sont bon marché, simples et fiables (sect. 3.8). Ils résistent aux chocs et aux vibrations, demandent peu ou pas d’entretien. Par comparaison avec les roulements, on les apprécie pour leur silence. Ils se rencontrent dans les appareils et les petites machines; machines ; par leur capacité de marche à sec, ils s’imposent partout où la pollution par de l’huile ou par de la graisse est inacceptable.  Roulements

Leur couple de frottement au démarrage est à peine supérieur au frottement en service (avantage parfois capital), les roulements nécessitent peu de lubrifiant et n’exigent que très peu de surveillance; surveillance ; il n’y a pas besoin de les roder. La normalisation des

roulements facilite la construction et la réparation des machines. A capacité de charge égale, un roulement est plus étroit qu’un palier lisse, mais il est plus encombrant radialement.

 

56

CONCEPTION DES MACHINES

Les roulements supportent mal les chocs et les vibrations, particulièrement à l’arrêt et à basse vitesse; vitesse ; leur longévité et leur vitesse de fonctionnement sont limitées. Ils sont très sensibles aux impuretés et exigent des dispositifs d’étanchéité efficaces (usure et perte de puissance). La conception de leur graissage mérite attention. Les roulements sont relativement bruyants.pour des butées. Ces conclusions sont identiques Exemples

Un palier de réducteur marin est chargé par le poids propre des pièces et par une force qui croît avec le carré de la vitesse (fig. 2.54). Un palier hydrodynamique est bien adapté, car il fonctionne en régime fluide jusqu’à très basse vitesse. F 

palier charge

n

0

Fig. 2.54  Caractéristique d’un d’un palier hydrodynamique et de sa charge charge dans un réducteur marin.

F 

palier hydrodynamique palier hydrostatique charge

0

n

Fig. 2.55  Charge constante et paliers paliers fluides.

Les paliers de turbines à vapeur ou à gaz ne sont chargés que par le poids du rotor (fig. 2.55). La lubrification hydrodynamique est convenable et très fiable, mais le démarrage après un long arrêt est délicat parce que l’huile est chassée sous l’arbre. Ce type de palier fonctionne longtemps en régime mixte pendant le ralentissement à cause

de la grande inertie de ces machines. Un palier hydrostatique est préférable, mais il est moins fiable. On combine les avantages des deux types de palier en injectant de l’huile sous l’arbre par une pompe auxiliaire au démarrage et à l’arrêt (fig. 14.19). La pompe est arrêtée en marche mar che normale du palier.

 

57

FROTTEMENT

2.4. 2. 4.9 9 Pa Pali lier erss magn magnét étiq ique uess

Les paliers magnétiques permettent de supprimer tout contact entre un arbre et le bâti, d’éliminer les lubrifiants et tous les problèmes de frottement. Ils se composent principalement d’électro-aimants qui créent un champ magnétique porteur (fig. 2.56). Des capteurs de position commandent l’intensité du champ de manière à maintenir l’arbre au centre du palier (fig. 2.57).

d’un palier magnétique. Fig. 2.56  Schéma d’un

capteurs

régulateur amplificateur

amplificateur

Fig. 2.57  Commande de paliers magnétiques. magnétiques.

Ces paliers ont une très grande précision de guidage (jusqu’à 0,1 µm), ils fonctionnent dans le vide, leur portance est indépendante de la vitesse, utilisables dans une large gamme de température (–200° C à 450° C); C) ; ils ne polluent pas et leur dissipation d’énergie mécanique est pratiquement nulle. L’électronique de commande permet d’obtenir des caractéristiques intéressantes: • rigid rigidité ité statiqu statiquee réglable, réglable, elle elle peut peut être être très grande grande (§ 6.4.8); 6.4.8); • rigid rigidité ité dynamique dynamique réglabl réglablee permettant permettant d’influence d’influencerr la vitesse vitesse critique critique de

rotors (§ 18.2.2); • amortissemen amortissementt élevé élevé utile pour la travers traversée ée de vitesses vitesses critiques critiques et pour éviter éviter certains phénomènes d’instabilité; • posi position tion radial radialee de l’ax l’axee de rotat rotation ion réglab réglable. le.

 

58

CONCEPTION DES MACHINES

Cette dernière propriété est mise à profit, par exemple, dans la broche d’une rectifieuse. Selon une documentation de la Société de Mécanique Magnétique à SaintMarcel, en France, la force de coupe fléchit l’arbre en désaxant la meule et en l’inclinant par rapport à son cylindre théorique de rectification (fig. 2.58a). Un régulateur agissant sur le champ magnétique des paliers ramène la meule dans sa position normale de travail (fig. 2.58b). force de coupe

(a)

force de coupe

(b)

Fig. 2.58 Positionnement d’une meule de rectification par des paliers magnétiques: (a) position usuelle;

(b) avec correction de la position.

Les paliers magnétiques exigent des précautions pour éviter é viter des avaries en cas de panne de courant. On prévoit généralement des paliers à roulements de secours sur lesquels vient se déposer l’arbre (fig. 26.70). L’étanchéité est délicate mais importante afin que de la limaille de fer ne puisse pas être attirée dans l’entrefer magnétique. Il existe des paliers magnétiques fonctionnant uniquement avec des aimants permanents. 2.5 COM COMPORT PORTEME EMENT NT DU COEF COEFFI FICIEN CIENT T DE FROTTE FROTTEMEN MENT T 2.5. 2. 5.1 1 Gl Glis isse seme ment nt ra rapi pide de

Passons brièvement en revue les principaux paramètres qui influencent la valeur du coefficient de frottement. Vitesse de glissement

La valeur du coefficient de frottement est généralement différente à l’arrêt que lorsque les corps glissent l’un sur l’autre. On distingue: • le coefficient de frottement statique (à l’arrêt) µ 0 ; • le coefficient de frottement dynamique (avec glissement) µ . Dans le cas de métaux secs, le coefficient de frottement dynamique est généralement plus petit qu’à l’arrêt (fig. 2.59, courbe (1)), il atteint rapidement la valeur dynamique lorsque la vitesse dépasse quelques cm/s. A très grande vitesse, plus de

150 m/s, le coefficient de frottement des métaux diminue fortement, il peut tomber  jusqu’à 0,02 … 0,03, parce parc e que le métal fond dans les zones de contact et forme un film lubrifiant. Certains matériaux non métalliques présentent au contraire une augmentation du frottement avec la vitesse, courbe (2).

 

59

FROTTEMENT µ 

2 µ 0

1 µ 

3 v

0

Fig. 2.59 Influence de la vitesse sur le coefficient de frottement.

La différence entre le coefficient de frottement dynamique et le frottement statique est plus marquée avec les polymères qu’avec les métaux. Si les surfaces sont abondamment lubrifiées en régime de frottement mixte, courbe (3), le coefficient de frottement statique est plus bas qu’en régime sec et diminue relativement moins avec le glissement, puis il augmente lentement du fait du cisaillement du liquide ou de la graisse. Chemin de glissement parcouru

La figure 2.60 représente l’allure de l’évolution du coefficient de frottement dynamique de surfaces techniques sèches avec le chemin de glissement, Suh [2.3] distingue six stades: µ 

0

I

II

III

IV

V

VI

s

Fig. 2.60  Evolution du frottement frottement avec la distance de glissement.

• I. Les surfaces surfaces sont sont initialeme initialement nt propres, propres, le frottemen frottementt résulte résulte principaleme principalement nt de phénomènes de labourage et de déformation. • II. Le frotteme frottement nt commence commence à croître croître lentement lentement à cause cause de petits petits arracha arrachages ges de matière. Avec Avec des surfaces lubrifiées, le stade I persiste longtemps et le stade II peut faire défaut.

• III. Le coeffic coefficient ient de frotte frottement ment croît croît franchement franchement parce parce que les les débris débris d usure usure entre les surfaces s’incrustent dans l’une ou l’autre des surfaces en provoquant un intense labourage. De l’adhésion se manifeste si les surfaces ne sont pas contaminées.

 

60

CONCEPTION DES MACHINES

• IV. IV. Le coefficient coefficient de frottemen frottementt se stabilise stabilise lorsque lorsque le nombre nombre de nouveaux nouveaux débris d’usure est égal au nombre de débris qui quittent la surface. • V. On observe observe parfois qu’un qu’un matériau matériau dur se polit lorsqu’ lorsqu’il il frotte frotte contre une surface tendre. Le coefficient de frottement diminue parce que le labourage est e st intense. • moins VI. Finalement Fina lement,, si les deux deux surfaces surfaces se polissent polissent et que que les débris débris d’usure d’usure sont enlevés ou assez profondément incrustés dans la surface tendre pour ne pas rayer la surface dure, le coefficient de frottement prend une valeur constante de fin de rodage. Ces stades dépendent des matériaux, des conditions expérimentales, de la contamination des surfaces et des conditions ambiantes. Le frottement peut aussi diminuer au lieu de croître en cas de frottement mixte et d’arasage rapide des aspérités. On retient le fait que le coefficient de frottement évolue avec la distance de glissement. Etat de surface

Le coefficient de frottement est relativement grand lorsque les surfaces sont très rugueuses. C’est aussi le cas lorsque les surfaces sont polies et très lisses parce que la lubrification mixte est mal établie. Il existe donc une rugosité optimale. Nature des métaux

Le frottement diminue lorsqu’un des matériaux du couple tribologique est tendre, car l’effort de labourage est alors relativement faible. C’est pourquoi on revêt les surfaces d’une fine couche d’un matériau tendre ou d’un film d’oxyde (§ 2.4.7). Pression de contact nominale

On admet dans la pratique industrielle que le coefficient de frottement est indépendant de la charge appliquée, par conséquent, aussi indépendant de la pression de contact nominale, sauf en cas de lubrification solide et avec certains polymères. Température ambiante

Le coefficient de frottement des métaux diminue souvent légèrement lorsque la température des pièces s’élève; puis, au-delà de 500 à 800 °C, il augmente fortement. Ce comportement peut s’expliquer par le fait que la dureté et la résistance du métal tombent rapidement, les points de contact c ontact tendent vers une plastification étendue. Le coefficient de frottement des céramiques croît fortement jusque vers 400 à 600°C, puis diminue au-delà. Valeurs pratiques du coefficient de frottement

L’étude théorique des mécanismes du frottement sec et mixte ne permet pas de prédire avec exactitude la valeur réelle du coefficient de frottement dans les couples cinématiques et dans les assemblages. Mais la compréhension du phénomène est précieuse pour choisir correctement les matériaux m atériaux et savoir comment agir pour obtenir les

caractéristiques de frottement souhaitées. La valeur effective du coefficient de frottement entre deux pièces de machine dépend des matériaux en présence. Les manuels donnent par exemple les valeurs suivantes du coefficient de frottement entre l’acier et le bronze:

 

61

FROTTEMENT

• • • •

Repos, surfaces sèches Repos, surfaces graissées Mouvement, surfaces sèches Mouvement, surfaces graissées

µ 0 µ 0 µ  µ 

= = = =

0,18 à 0, 25 0,10 0,15 à 0,20 0,04 à 0,08

On constate que la dispersion des valeurs est très grande. Cela s’explique par l’influence de l’état de surface, de la pression de contact, de la vitesse de glissement, de la nature et de la quantité de lubrifiants, et de beaucoup d’autres impondérables. Il convient dès lors de choisir très soigneusement et très prudemment la valeur du coefficient de frottement qui doit intervenir dans un calcul d’organes de machines. On prendra toujours des valeurs allant dans le sens de la sécurité selon le but recherché. On choisira, par exemple, une valeur plutôt élevée pour calculer le couple de démarrage d’une machine. On adoptera, au contraire, une valeur basse pour dimensionner un frein. Dans les cas critiques, on déterminera avantageusement la véritable valeur du coefficient de frottement par une expérience de laboratoire, ou, mieux encore, par un essai sur une machine dans les conditions réelles d’exploitation. Mais il ne faut pas oublier le coefficient de frottement avec le rodage d’un une mécanisme, généralementque dans le sens d’une diminution.évolue En revanche, on observe forte augmentation du frottement lorsque les surfaces de contact se corrodent. Le coefficient de frottement des polymères et des céramiques est très sensible à de nombreux paramètres. param ètres. C’est pourquoi on ne le trouve souvent pas dans les tables, il est préférable de recourir à l’expérience dans les conditions d’emploi. 2.5. 2. 5.2 2 Gl Glis isse seme ment nt trè trèss len lentt

On est habituellement intéressé par le frottement à des vitesse supérieures à 0,5 m/s pour éviter l’usure et l’échauffement. Mais le frottement à très basse vitesse, moins de quelques centimètres par seconde, joue un rôle important dans les mécanismes de positionnement précis de robots. L’ouvrage de Armstrong-Hélouvry [2.22] cite des expériences intéressantes. Nous lui empruntons ce qui suit. Cet auteur étudie le comportement d’un couple cinématique lubrifié en vue de trouver le modèle mathématique convenable pour un système de commande et de réglage électronique des mouvements de positionnement non positif (sect. 15.11). Décollement

Avant de démarrer, l’application d’une force provoque des micromouvements, partiellement réversibles, décrits par la relation linéaire (2.30). Le coefficient de frottement statique de démarrage µ 0 dépend dépend:: • de la position position des pièces, pièces, ilil peut varier varier de ± 20% autour autour d’une d’une valeur valeur moyenne, moyenne, mais prend pratiquement toujours la même valeur dans une position x donnée; • du se sens ns du mo mouv uveme ement nt..

On peut l’exprimer par la fonction µ 0   =  µ 0 ( x ,sgn  x«)

(2.57)

 

62

CONCEPTION DES MACHINES

Influence de la vitesse de glissement

Après le démarrage, le frottement diminue d’abord, puis augmente avec le cisaillement visqueux du lubrifiant en régime de frottement mixte (fig. 2.61). Une expérience a donné µ min   =  0,87 µ 0. µ  µ 0 a

µ min

v

0

Fig. 2.61  Coeffi Coefficient cient de frottement en fonction de la vitesse.

Selon Hess et Soom [2.23], on peut exprimer l’évolution du coefficient de frottement en fonction de la vitesse de glissement v par l’expression µ    −  µ min µ   =  µ min   +   0 2   +  a v  v

1 +     vs 

(2.58)

a et vs sont des constantes empiriques.

Influence du temps

observe que le coefficient de frottement ne reprend pastemps, immédiatement sa valeurOn initiale après l’arrêt du glissement. Il faut attendre un certain ce rtain compris entre quelques minutes et plus d’une heure, pour que la récupération soit totale, probablement avec l’expulsion l’expulsion lente du lubrifiant sous les points de contact des surfaces. La figure 2.62 représente deux courbes mesurées par Kato et reproduites par [2.22]. Kato propose de décrire le phénomène par la formule suivante en fonction de la durée du repos: µ   =  µ 0   ± ( µ 0   ± µ a ) e ± γ t

m

avec: µ 0 µ a γ   et m

coefficient de frottement statique à long terme coefficient de frottement au moment de l’arrêt paramètres empiriques

(2.59)

En cas de variation de vitesse (fig. 2.63b), ce phénomène retarde l’évolution du coefficient de frottement, courbe (1) de la figure 2.63(c), par rapport à ce qu’elle serait avec une évolution instantanée, courbe (2).

 

63

FROTTEMENT µ 

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,1

1

102

10

103

 (log) t  (log)

104

[s]

Fig. 2.62  Récupération du frottement frottement statique en fonction fonction du temps.

µ 

µ 

retard

µ 1

µ 1

1 2

µ 2

µ 2

(c) v v1

t  v v2

v2

 x

(a) v1

(b)

t 

Fig. 2.63  Retard de l’évolution du frottement par rapport à celle de la vitesse: vitesse : (a) relation vitesse-

frottement; (b) variation de la vitesse; vitesse ; (c) variation du coefficient de frottement.

Ce comportement dynamique explique pourquoi le stick-slip cesse au-delà d’une certaine vitesse (§ 15.6.1).

2.66 MA 2. MAÎT ÎTRI RISE SE DU FR FROT OTTE TEMEN MENT T 2.6.1 2.6 .1 Dim Diminu inutio tion n du coeffic coefficien ientt de frottemen frottementt

On vise souvent à abaisser le coefficient de frottement pour diminuer les pertes d’énergie et l’échauffement, pour éviter l’arc-boutement ou pour améliorer la préci-

sion des mouvements. Les mesures traditionnelles sont: • assoc associer ier des des matériaux matériaux à bas coef coefficient ficientss de frott frottement; ement; • lu lubr brifi ifier er le less su surf rfac aces; es; • rempla remplacer cer les les mouvemen mouvements ts de glis glissement sement par du du roulement. roulement.

 

64

CONCEPTION DES MACHINES

Le coefficient de frottement du PTFE est bas sous forte pression. Ce matériau peut s’appliquer à la surface de métaux et même de matières plastiques sous la forme de vernis, dits de glissement, où il est incorporé à un liant thermodurcissable ou polymérisant à froid. On incorpore à ces vernis aussi du graphite, du bisulfure de molybdène (sect. ou 3.8).des métaux tendres (Pb, Ag, In). Ces vernis résistent bien à la corrosion Mouvement louvoyant

On met à profit le fait que la force de frottement est toujours opposée à la vitesse de glissement pour diminuer la force de frottement apparente parallèle au déplacement d’un objet. Considérons un solide (2) (fig. 2.64a), guidé selon l’axe x d’un référentiel fixe, qui se déplace à la vitesse v2 x sur une plaque (1). Animons cette dernière d’un mouvement oscillant transversal avec la vitesse v1y . Compte tenu du fait que v21y   =   ± v1y , la vitesse relative de (2) par rapport à (1) vaut v21  =  v2 x   +  v21y

La force de frottement F appliquée à (2) est opposée à la vitesse vitesse;; si v2 x   vv 0

t 1

Fig. 4.11

t 2

T

t 

Espace parcouru.

 

110

CONCEPTION DES MACHINES T 

W p

 ∫ F r (v +  √ v sin Ωt ) dt = F r v T 

=

(4.21)

0

car l’intégrale du second terme est nulle. Conclusions

Cette étude permet de tirer les conclusions pratiques suivantes : • la vibration vibration d’un d’un élément élément de machine machine glissan glissantt sur un autre autre avec avec du frottemen frottementt coulombien ne dissipe pas d’énergie vibratoire si la vitesse de glissement est supérieure à la vitesse maximale de la vibration, c’est-à-dire si la vitesse de glissement ne s’inverse pas; • les paliers paliers à frottement frottement sec ou mixte mixte et les roulements roulements n’amortis n’amortissent sent habituel habituellelement pas les vibrations de torsion, car la vitesse périphérique de l’arbre est généralement supérieure à la vitesse des vibrations; • les paliers paliers hydrostati hydrostatiques ques ou hydrodyna hydrodynamiqu miques es amortissent amortissent les vibrati vibrations ons de torsion. 4.2.5 Oscil Oscillateu lateurr en en régime perma permanent nent harmo harmoniqu niquee

Etudions le comportement d’un oscillateur en régime permanent, excité par une force harmonique, selon le genre de la force de frottement qui l’amortit. Amortisseur visqueux

L’équilibre des forces appliquées à la masse d’un oscillateur avec amortisseur visqueux (fig. 4.12), excité par une force harmonique, conduit à l’équation différentielle linéaire connue: m x««+ c x« + k x

= F  cos  cos Ω t t 

avec: F   c k  m  x Ω 

amplitude de la force excitatrice constante d’amortissement visqueux rigidité du ressort masse déplacement de la masse pulsation excitatrice

k 

m

ˆ  cos F   cos Ω t t 

 x c

Fig. 4.12

Oscillateur.

Posons la pulsa  pulsation tion pr propr opree de l’oscillateur en régime libre non amorti (conservatif)

 

111

DISSIPATION D’ÉNERGIE

ω 0

k 

=

(4.23)

m

et le facteur d ’amortissement relatif  η=

c

2 mω 0

=

c ω0

(4.24)

2 k 

Avec ces grandeurs caractéristiques, l’équation différentielle devient 1 ω 02

 x  ««+

2η ω 0

 x   « + x  =

F  k 

 cos Ω t t 

(4.25)

Définissons encore les quantités: •

 pulsation relative de la force d’excitation

•

déplacement  statique dû à une force constante

Ω  β   = ω 0

 √ s    x

=

F  k 

(4.26) (4.27)

Le mouvement en régime permanent de l’oscillation est bien connu [4.4, 4.5, 4.6] 4.6]::  x 

=  xs µ 1 cos ( Ω t t   ± ϕ 1 )

(4.28)

 x 

= µ 1 xs

(4.29)

avec le facteur d ’amplification dynamique µ 1  =

 

1

(1

et le déphasage

±

2 β 2 +   4 η 2β 2

)

(4.30)

ϕ 1  =

  arctan

2η β 1 ± β 2

(4.31)

L’amplification est représentée à la figure 4.13. L’étude de la fonction montre qu’elle passe par un maximum µ 1 max   =

1 2 η 1 −  η 2

(4.32)

 

112

CONCEPTION DES MACHINES

µµ 11

5.0 =0 η = 4.5

lieu des maxima

= 0.1 η  = 0.1

4.0 3.5

= 0.15 η η = 0.15

3.0 2.5

= 0.25 η η = 0.2 .255

2.0 1.5 η  = = 0.5 0.5

1.0 0.5

η =

0.0

1 2

0.0

= 11 η = η 0.5

Fig. 4.13  Facteur d'amplification

effort.

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

β  β  =β

Ω  -----ω 0

dynamique µ 1 d'un oscillateur avec amortissement visqueux excité par un dynamique

situé à la pulsation Ω 1  = ω 0

1 −  2η2

(4.33)

Amortissement coulombien

Partons des résultats précédents pour étudier le comportement d’un oscillateur amorti par un frottement coulombien. Cherchons quelle doit être la valeur de la constante d’amortissement visqueux pour que l’énergie dissipée pendant un cycle de cet

amortisseur soit égale à l énergie dissipée en un cycle d un amortisseur coulombien. Egalons (4.12) et (4.15),  √ 2Ω   =   4 F r x W p   =  π ce x d’où l’on tire la constante d’amortissement équivalente ce   =

 

4 F r  √ Ω  π x

(4.34)

 

DISSIPATION D’ÉNERGIE

113

Par (4.24), le facteur d’amortissement équivalent équivalent vaut 2 F r ω 0 ηe   =   π x  √ Ω k 

(4.35)

L’amplitude du mouvement se trouve par (4.29), où l’on introduit successivement µ 1 par (4.30) et ηe : 1

 √   =  x  √ s  x

(1

4 F r   √ k   π x

 2 −  β 2 +   

)

2

Tirons l’amplitude de cette équation: 2

 √   =  x √ s  x   √ 

r 1 −    4 F    √   π F 

(1

2 −  β 2

)

(4.36)

Cette solution n’a de sens que si le radical est positif, c’est-à-dire si 4  √  F   >   F r π

(4.37)

Le moment oscillant comporte des pauses et apparaît saccadé si la force excitativee est inférieure à cette limite. tativ On constate aussi qu’à la résonance d’amplitude, xˆ = ∞ pour β  =  = 1 ou Ω  =  = ω 0. Cette amplification à l’infini pasLaensolution réalité, complète car l’amortissement interne du matériau du ressort domineneà las’observe résonance. de ce problème est donnée dans [4.7]. Amortissement proportionnel proportionnel au carré de la vitesse

Ce cas se présente dans les fluides en régime turbulent, il est traité dans [4.6]. Amortissement par liquides électrorhéologiques

Ces liquides ayant à la fois un comportement newtonien et coulombien (§ 4.2.1)

constituent des amortisseurs à comportement mixte. Den Hartog donne la solution analytique [4.7].

4.33 DI 4. DISS SSIP IPAT ATIO ION N IN INTE TERN RNE E 4.3. 4. 3.1 1 Mo Modè dèle less rhéol rhéolog ogiq ique uess

On observe qu’une lame vibrant en régime libre, même dans le vide, finit toujours par s’immobiliser parce que son énergie est dissipée et dégradée en chaleur à l’inté-

 

114

CONCEPTION DES MACHINES

rieur de sa matière. On exprime ce phénomène en disant qu’il y a frottement interne. Ce mode de dissipation d’énergie joue un rôle important dans l’amortissement des vibrations de structures. Les modèles rhéologiques imaginés pour expliquer les comportements observés sont compliqués et on est loin d’avoir compris tout ce qui se passe dans les matériaux; les modèles diffèrent d’ailleurs, selon les matériaux considérés. Nous nous contentons de présenter les deux modèles simples usuels. Modèle viscoélastique

Un matériau viscoélastique peut se représenter par un ressort (fig. 4.14) ayant la rigidité dynamique k   dans le domaine vibratoire et par un amortisseur visqueux qui s’oppose au mouvement par une force proportionnelle à la vitesse de la déformation. L’équation d’équilibre statique de ce modèle s’écrit F   =  k x  +  c x«

(4.38)

où c est la constante d ’amortissement visqueux linéaire. k  F 

 x

c

Fig. 4.14

Modèle viscoélastique.

Excitons ce modèle par une force variant harmoniquement: c x«  +  k x  =  F   cos Ω t  t 

(4.39)

Sa réponse est  x  =  x   x  cos( Ω t  t   ± ϕ )

avec l’amplitude

(4.40)

F 

 √   =  x k 

1 + 

(4.41)

c2

2 Ω  k 2

et le déphasage ϕ   =

  arct arctan an Ω 

c

(4.42)

k 

 

115

DISSIPATION D’ÉNERGIE F 

k  ¯  F  W p

0

 x ¯   x¯ 

Fig. 4.15

Ellipse d’hystérésis.

 x) est une figure de Lissajou (fig. 4.15). Son aire intéLa représentation de F = F ( x

rieure représente par la puissance puissan ce:: l’énergie dissipée au cours d’un cycle. On peut la calculer en passant T 

W p  

=

d x F  dt   = dt 

 ∫  0

T 

 √ Ω  cos  √  F  x  cos Ω t t  ••· sin ( Ω t   ± ϕ ) dt   ∫ ±  √  0

L’intégration donne  √   sin ϕ   √  W p   =  π F  x  ˆ calculé En in intr trod odui uisa sant nt F   calculé par (4.41) et sin ϕ  calculé  calculé à partir de tan ϕ , on trouve W p   =  π c x 2 Ω 

(4.43)

On remarque que l’énergie dissipée dans un cycle d ’un matériau viscoélastique est proportionnelle proportionnelle à la pulsation (fréquence) de la sollicitation. Ce résultat a déjà été obtenu au paragraphe 4.2.3 Modèle hystérétique

L’énergie dissipée dans les matériaux a été mesurée par de nombreux auteurs,

notamment par Lazan [4.8]. Lors d’une sollicitation harmonique par une contrainte d’amplitude  ˆσ , l’énergie volumique U p dissipée par cycle augmente d’abord régulièrement avec l’amplitude de la contrainte (fig. 4.16) selon une loi de la forme U p   =  J    J σ n

(4.44)

où J  et  et n sont des constantes du matériau; la valeur de l’exposant n est comprise entre 2,1 et 2,6. Au-delà d’une contrainte limite σ l, voisine de la limite de fatigue alternée σ D , la dissipation croît encore plus vite avec la contrainte et dépend en outre du nom-

 

116

CONCEPTION DES MACHINES W p

1000 cycles   100 cycles   20     cycles   

 ˆ σ 

0 σ 1

σ D-1

Allure de la dissipation volumique d’énergie avec l’amplitude de la contrainte alternée.

Fig. 4.16

bre de cycles déjà subis par le matériau. L’écrouissage L’écrouissage augmente aussi la dissipation. Il existe donc un effet de mémoire. Fait important, on observe que l’énergie dissipée par cycle est pratiquement indépendante de la fréquence de sollicitation. Le modèle hystérétique rend compte de ce comportement en admettant que la force de l’amortissement est du type h x/  ˙ Ω  Ω,  ce qui donne, en cas de sollicitation harmonique, une force proportionnelle à l’amplitude du mouvement, mais indépendante de sa pulsation. h est le  facteur de dissipation hystérétique hystérétique. Le mouvement d’un ressort hystérétique est alors, de manière analogue à (4.39), régi par l’équation différentielle k x  +  

h

 x«  =   √  F   cos Ω t  Ω 

(4.45)

dont il résulte l’amplitude du mouvement  √   =  x

 

F 

(4.46)

k 2   +  h 2

et le déphasage, appelé aussi angle de perte   perte, ϕ H   =

  arctan

h k 

L’énergie dissipée dans un cycle vaut alors

(4.47)

W p   =  π h x 2

(4.48)

La constante h a la dimension d’une rigidité, elle dépend du matériau. Dans la littérature spécialisée, la quantité k  + jh est appelée module complexe de rigidité. 4.3.2 Oscil Oscillateu lateurr en en régime perma permanent nent harmo harmoniqu niquee

Considérons un oscillateur, formé seulement d’un ressort et d’une masse, excité par une force harmonique appliquée à la masse. Faisons un modèle permettant d’étu-

 

DISSIPATION D’ÉNERGIE

117

dier le comportement de l’oscillateur avec dissipation d’énergie dans le ressort en remplaçant ce dernier par un ressort parfait, sans perte, avec en parallèle un amortisseur    matériau,                          du  le modèle dissipatif. Dans l’hypothèse d’un comportement viscoélastique est formellement identique à celui déjà étudié au paragraphe 4.2.5 à propos de l’amortissement externe, il n’y a donc pas lieu d’y revenir. Etudions maintenant le comportement du modèle hystérétique en partant de l’idée que l’énergie dissipée au cours d’un cycle est la même dans chaque modèle. Egalons (4.48) à (4.15) avec une constante d’amortissement équivalente ce et une pulsation forcée Ω :  √ 2 Ω   √ 2   =  π ce x W p   =  π h x Cette équation fournit la constante d’amortissement équivalente h c  =  Ω  e

(4.49)

puis le facteur d’amortissement équivalent ηe   =

cω 0

 

2 k 

 = 

h ω 0 2 k  Ω 

(4.50)

En l’introduisant dans (4.30), l’expression du facteur d’amplification dynamique devient µ H   =

1

  1 ±

2 β 2 +   4ζ 2

(

(4.51)

)

avec le facteur d ’amortissement relatif hystérétique ζ   =

 

h

2 k 

  =  ηe

Ω  ω 0

  =  ηe β 

(4.52)

Le facteur d’amplification hystérétique est représenté à la figure 4.17. On

remarque que tous les maxima de résonance sont atteints pour β = 1 et valent µ H max   =

1  = 2ζ 

k 

(4.53)

h

Lorsque β = 1, selon (4.52), on a ηe = ζ et, avec (4.30), µ1 =  µH max, c’est-à-dire que la fonction µ 1 (4.30) passe par le point B (fig. 4.18) correspondant à la résonance hystérétique. Habituellement, la valeur du facteur d’amortissement relatif aux pièces de structures en matériaux métalliques et en composites n’excède guère 10%. On constate

 

118

CONCEPTION DES MACHINES µ  µHH

                                    

4 η

0= 0 ζ  3 0,14 0,2 2 0,263

0,44 1 1,0

0 0 Fig. 4.17

1

2

3

β

β 

Facteur d'amplification dynamique avec amortissement hystérétique.

que le sommet A de la résonance d’un oscillateur avec amortissement visqueux est très proche du sommet B avec amortissement hystérétique, µ 1 max = 1,0025 µ H max. En cas de sollicitation statique, β = 0 car Ω = 0. Le facteur d’amplification hystérétique vaut µ H   =

 

1

(4.54)

1 +   4ζ 2 ce qui ne correspond pas à la réalité de µ 1 = 1. Le modèle hystérétique n’est pas valable à basse fréquence relative. Conclusions

Ces résultats justifient que le modèle d ’amortisseur visqueux suffit pour étudier les vibrations des systèmes rencontrés dans la pratique. En effet: • son coefficien coefficientt d’amplificat d’amplification ion dynamiqu dynamiquee est correctement correctement égal égal à l’unité l’unité dans le cas statique;

 

119

DISSIPATION D’ÉNERGIE

     1 µµ 11max max == ----------------------------22ηηe 1-1η –2e η2 e e 1

A

µ  µ11 visqueux

1 1 11 µµ  HHmax max= = ---------= =2ξ-----2 η2 η 2ζ ee

B µ  µHH hystérétique

2 2

e 1 – 1-2 2 η η e

Fig. 4.18

1

β  β

Résonance des modèles visqueux et hystérétiques.

• son amplific amplification ation à la la résonance résonance est à peine peine supérieu supérieure re à ce qu’elle qu’elle serait serait avec avec un matériau hystérétique. L’analyse mathématique des problèmes dynamiques en est grandement facilitée, on l’utilisera toujours par la suite. 4.3.3 4.3 .3 Cap Capaci acité té d’a d’amor mortis tissem sement ent

On appelle capacité d ’amortissement  ψ  le rapport de l’énergie dissipée W p dans un cycle à l’énergie de déformation élastique W e mise en jeu : ψ   =

 

W p W e

(4.55)

L’énergie élastique représentée par le triangle hachuré verticalement de la figure

4.19 vaut W e   =

 

1 2  √  k  x 2

Calculons la capacité d’amortissement pour les deux modèles considérés: • modèl modèlee viscoélas viscoélastiqu tique, e, avec avec (4.43 (4.43)) et (4.42 (4.42), ), ψ   =

 2π

cΩ  k 

(4.56)

  =   2 π  tan ϕ 

 

120

CONCEPTION DES MACHINES

F  W p k 

W e

0

 x

 x Fig. 4.19

 x  ˆ

Energie dissipée et énergie élastique.

• modèl modèlee hystéré hystérétique tique,, avec avec (4.48 (4.48)) et (4.47 (4.47), ), ψ   =

h

  2 π   =   2 π  tan ϕ H k 

(4.57)

L’amortissement spécifique du modèle viscoélastique augmente proportionnellement à la fréquence, tandis qu’il est constant dans le cas du comportement hystérétique. On exprime souvent la faculté d’amortissement des matériaux par la valeur de ψ . Les normes (DIN 7450) prévoient d’utiliser la même notion pour caractériser l’amortissement offert par les accouplements élastiques. Cherchons la relation qui existe entre la capacité d’amortissement et les facteurs d’amortissement relatifs. Pour le modèle visqueux, on a, en combinant (4.24) avec (4.56), η  =

 

cω 0 2 k 

 = 

ψ  ω 0 4 π Ω 

(4.58)

La capacité d’amortissement se mesure habituellement à la résonance d’amplitude, soit pour Ω  =  = ω 0(1 – 2η2)1/2, alors 2

ψ   =

 4 π η 1 ± 2η

(4.59)

En pratique, on a presque toujours η ≤ 0,2, par conséquent: ψ   ≈   4 π η

(4.60)

En cas d’amortissement hystérétique, la combinaison de (4.52) et de (4.57) fournit ψ   ≈=   4 π ζ 

(4.61)

 

DISSIPATION D’ÉNERGIE

121

4.3.4 4.3 .4 Amo Amorti rtisse ssemen mentt des des stru structu ctures res

L’amortissement des bâtis de machines, charpentes, rotors, résulte principalement•des dissipateurs suivants : itutifs; le mécanismes frottement frottem ent intern interne e des matér matériaux iaux const constituti fs; • le frottem frottement ent coulo coulombien mbien dans les assem assemblages blages;; • le frot frottem tement ent dan danss le fluid fluidee ambian ambiant.t. Les surfaces de pièces assemblées par boulonnage, rivetage, frettage subissent des microglissements lorsqu’elles sont soumises à des vibrations. Ces frottements dissipent une puissance appréciable, le plus souvent encore plus forte que ce qui est dissipé par frottement interne dans les matériaux. Ces pertes sont difficilement prévisibles et ne peuvent se déterminer qu’expérimentalement. Bornons-nous à dire que: • l’amo l’amortiss rtissement ement est est d’autant d’autant plus petit petit que l’état l’état des surfaces surfaces assemblé assemblées es est meilleur; • l’amo l’amortiss rtissement ement des des constructio constructions ns soudées soudées est plus plus faible faible que celui des des structures boulonnées; • l’amortiss l’amo rtissement ement diminu diminuee avec l’augm l’augmentati entation on des pression pressionss de contact. contact. On a vu que le modèle viscoélastique et le modèle hystérétique des matériaux ont des comportements distincts. En ce qui concerne la dissipation d’énergie dans les assemblages, il faut utiliser un modèle basé sur le frottement sec, mais compliqué par le fait que le microglissement des aspérités est entrecoupé de périodes de repos (collage). Cependant, le comportement dynamique d’une structure technique est assez proche des résultats donnés par un modèle viscoélastique, car la valeur du coefficient d’amortissement est presque toujours inférieure à 0,2, ce qui rend les différences minimes entre les deux modèles. L’évaluation de la constante d’amortissement visqueux c  intervenant dans le modèle viscoélastique est délicate. On a essayé de la calculer dans certains mécanismes [4.9]; [4.10] donne aussi quelques indications. Mais on est finalement toujours obligé de recourir à des mesures d’amortissement sur des machines. Pour les besoins de la pratique, il nous paraît préférable d’estimer le facteur d’amortissement relatif  selon le tableau 4.20.

Tableau 4.20

Facteur d’amortissement relatif visqueux η.

Bâtis de machines Ponts roulants soudés Structures en treillis de grues Arbres,  1000 mm d  ≤ 1  > 100 mm d  >

0,01 à 0,03 0,008 à 0,027 0,04 à 0,055 0,005 0,01

Réducteurs,

0,02 0,04 0,06 0,04 à 0,2 0,03 à 0,08

P ≤ 1  1000 kW

100 < P ≤ 1 000 kW P > 1 000 kW Accouplements élastiques Mécanismes articulés ou à came

 

122

CONCEPTION DES MACHINES

L’évaluation de l’amortissement n’est en fait pas très critique. En effet effet:: • les mécanism mécanismes es dans lesqu lesquels els on cherche cherche une une grande grande précision précision ont ont leur fréfréquence propre assez éloignée de la fréquence fondamentale du mouvement pour que l’amortissement n’influence que très peu l’erreur dynamique (sect.. 15.4); (sect 15.4) ; • les amplitud amplitudes es vibratoire vibratoiress de résonance résonance sont très très sensibles sensibles à la valeur valeur de l’amortissement, mais la plupart du temps on évite soigneusement qu’un mécanisme fonctionne durablement au voisinage de résonances; • sans même même connaître connaître précisémen précisémentt les valeurs valeurs numériqu numériques, es, on prend toutes toutes les les mesures susceptibles d’accroître l’amortissement. 4.4 OR ORGAN GANES ES DISS DISSIPA IPATEU TEURS RS D’ÉN D’ÉNER ERGIE GIE Freins

Les freins ont pour but de ralentir et d’arrêter un objet, une machine, un véhicule, ou d’en la vitesse. de Citons simplement, selon leurrégler caractéristique couple (fig. 4.21):sans les décrire, divers types de freins Freins eins à frottement frottemen t sec. Le couple de frottement au repos est généralement plus • Fr élevé que lorsque le frein glisse, sauf avec certains matériaux de garniture pour lesquels la différence est peu marquée. Le couple dynamique de freinage est quasi constant au-delà d’une certaine vitesse. Les freins multidisques peuvent fonctionner dans l’huile. Le couple de freinage est proportionnel à la force de serrage des garnitures. • Freins hydrodynamiques. Le couple est proportionnel au carré de la vitesse. • Freins centrifuges. Même caractéristique que le frein hydrodynamique, mais ils n’agissent parfois qu’à partir d’une certaine vitesse seulement. • Freins à poudre magnétique. Le couple est indépendant de la vitesse, mais proportionnel au courant d’excitation. • Freins à courant de Foucault . Le couple de freinage croît d’abord avec la vitesse, puis se stabilise à une valeur constante qui augmente proportionnellement au courant d’excitation.

 M f 

I

I

générateur électrique I

centrifuge hydrodynamique

poudre magnétique I F

Foucault hystérésis sec ω 

0 Fig. 4.21

Caractéristiques couple-vitesse de freins.

 

DISSIPATION D’ÉNERGIE

123

•

Freins à hystérésis. Le couple est indépendant de la vitesse, mais proportionnel

•

Générateurs à courant continu.  Le

au courant d’excitation.

couple de freinage est proportionnel à la vitesse et augmente avec le courant d’excitation; l’énergie mécanique est convertie conv ertie en électricité.

L’énergie dissipée échauffe les freins, c’est pourquoi on est contraint, en régime continu, de limiter la puissance de freinage. Cela se traduit par une hyperbole  M f  = Plim / ω  comme  comme la figure 4.21 le montre pour le frein à hystérésis. L’influence de la caractéristique d’un frein sur le ralentissement sera examinée au paragraphe 14.7.2. Butoirs

Les butoirs servent à arrêter une masse en mouvement et sont munis d’un dispositif de rappel qui les met, après usage, en situation d’opérer un nouveau freinage. Un butoir hydraulique (fig. 4.22) se compose en principe d’un cylindre dans lequel un piston poussé par la masse expulse de l’huile à travers un orifice calibré. L’huile est envoyée dans un accumulateur hydraulique qui se met sous pression et repousse ensuite le piston dans sa position initiale. m v0

0 Fig. 4.22

 x

Schéma d’un butoir hydraulique.

La force nécessaire pour enfoncer le piston est proportionnelle à la pression dans le vérin, laquelle augmente le carré débit d’huile. En négligeant la pression dans l’accumulateur, on peutcomme donc écrire unedurelation de la forme F   =  Cv 2

(4.62)

où C  est   est un coefficient qui dépend de la section du piston, de la lumière de l’étranglement et des caractéristiques de l’huile. Cette force freine la masse selon l’équation de la dynamique:

m v«  +  C v 2   =

 0

dont la solution est v  =  v0

1 1 + 

C  m

(4.63) v0 t 

où v0 est la vitesse de la masse lorsqu’elle heurte le butoir butoir..

 

124

CONCEPTION DES MACHINES

Le piston et la masse parcourent la distance: t 

 x 

=

v dt   = m   ln ln  1 +    C  v0 t    m C 

(4.64)

 ∫  0

L’allure de ces fonctions est représentée à la figure 4.23. La masse ne s’arrête théoriquement qu’après un temps infini, mais l’arrêt survient toujours à cause de frottements coulombiens omniprésents et à cause de la pression dans l’accumulateur l’accumulateur.. Eliminons encore le temps entre ces deux expressions pour obtenir l’évolution de la vitesse en fonction de l’espace parcouru: v 

=

v0 e

±

C x m

(4.65)

Calculons l’énergie dissipée par le butoir lorsqu’il a effectué la course h. Après avoir introduit (4.65) dans (4.62) (fig. 4.24), on trouve: h

W   =

 ∫ F d x  =

m v02 

0

1 ± e

2 

±2

C  h m 

(4.66)

 

F  F 0 W  v0

 x(t)

v(t)

h

0 4.23

 x

0 t 

Espace et vitesse d’un butoir hydraulique.

4.24

Vitesse en fonction du déplacement.

Le premier facteur représente l’énergie cinétique de la masse, le butoir en absorbe la fraction fraction:: ζ   =

C e±2 m h

1 ±

(4.67)

On peut en principe régler la dissipation d’énergie, pour une course donnée, en agissant sur la valeur de C  par  par le truchement de l’étranglement au passage de l’huile. On tire de l’équation ci-dessus:

 

125

DISSIPATION D’ÉNERGIE C   =

m

 

2h

ln

1 1 ± ζ 

puis on trouve la force initiale au choc par (4.62): F 0   =

 

m v02

1

2

h

ln

1 1 ± ζ 

(4.68)

La force de freinage f reinage évolue en fonction du mouvement selon 2

 v  = F 0 e  v0 

F   = F 0 

±2

C x m

=

1 x ± ln F 0 e h 1 ± ζ

(4.69)

représentée à la figure 4.25. F 

hydraulique

pneumatique

F 0

ressort «force constante» F 

 x

0

h

Fig. 4.25

Force de freinage.

L’absorption de la même quantité d’énergie nécessiterait une force constante égale à F   =

 

m v02 ζ 

(4.70)

2

h

Calculons le rapport de la force initiale (4.68) d’un amortisseur simple à la force constante idéale: F  1 0   =   ζ  ln 1 F 

1 ± ζ 

(4.71)

En voulant, par exemple, dissiper 95% de l’énergie cinétique de la masse, on a F  = 0,32 F 0. L’énergie cinétique résiduelle en fin de course s’absorbe contre une butée fixe.

 

126

CONCEPTION DES MACHINES

Fig. 4.26

Butoir à force constante (FORKARDT).

La masse subit une forte décélération initiale, lors du choc contre le butoir, susceptible d’endommager l’objet. On construit des appareils dont les lumières d’étranglement s’obturent progressivement au fur et à mesure de l’avance du piston (fig. 4.26), afin de maintenir la force de ralentissement et la décélération à peu près constantes. L’exemple L’exemple ci-dessus en démontre l’avantage. Il existe des butoirs à ressort et des butoirs pneumatiques à caractéristique linéaire ou progressive (fig. 4.25) qui détruisent relativement peu d’énergie, de sorte qu’un rebond de la masse est à craindre. Amortisseurs

Les amortisseurs servent à amortir rapidement les régimes transitoires des systèmes oscillants et à limiter, ou même à empêcher, les résonances en cas d’excitation périodique. On les rencontre dans toutes les suspensions de véhicules, le plus souvent sous la forme d’amortisseurs télescopiques à huile (fig. 4.27). Lors des mouvements du piston, l’huile doit passer par des orifices calibrés en soulevant soulev ant des soupapes chargées par ressorts. En enfonçant la tige, le volume déplacé

correspond à la section du piston tandis qu’au retour le volume est plus petit du fait de la tige. On obtient un amortissement a mortissement égal dans les deux sens en prévoyant une soupape de calibre différent pour chaque sens du mouvement. Un réservoir d’huile est destiné à compenser les variations de volume global provoquées par les mouvements de la tige qui entre et sort de l’appareil. Il existe amortisseurs le coefficient d’amortissement est de variable volonté par undes moteur électriquedont auxiliaire qui module l’étranglement passageà d’huile afin d’adapter l’amortissement au comportement routier souhaité. De nouveaux amortisseurs à liquides électrorhéologiques (fig. 4.28) obtiennent le même résultat en jouant sur le champ électrique. Dans d’autres modèles, un robinet à champ électrostatique (fig. 4.7) règle le débit du liquide électrorhéologique. Ces appareils ont

 

127

DISSIPATION D’ÉNERGIE

sens des déplacements du piston

tube réservoir

ressort

a F 

sens des déplacements correspondants de l’huile cache poussière ressort de soupape supérieur ressort de soupape inférieur cylindre

a

tube réservoir Principe d’amortisseurs télescopiques: (a) à mouvement continu du liquide; (b) à mouvement alternatif  alte rnatif  du liquide. 4.27

liquide électrorhéologique

+ 4.28

U

 –

Schéma d’un amortisseur à liquide électrorhéologique.

l’avantage de régler l’amortissement sans l’intervention de pièces mobiles, mais ils présentent l’inconvénient d’exiger une tension de plusieurs kV kV..

Amortisseurs élastiques

Ces amortisseurs servent à éviter la propagation de vibrations et à assouplir des systèmes en vue d’abaisser leur fréquence propre (sect. 17.7 et 18.4). Les ressorts métalliques n’offrent qu’un faible amortissement; mais ceux qui sont construits avec des éléments élastiques en polymère dissipent beaucoup plus d’énergie. On utilise du caoutchouc du caoutchouc synthétique butadiène, silicone); le polyuréthanenaturel, et le polyamide amortissent peu. La(chloroprène, dissipation interne des caoutchoucs dépend fortement de la température et de la répartition des contraintes, elle a un caractère essentiellement hystérétique. En armant le caoutchouc par du tissu, on augmente sa résistance et la dissipation d’énergie. On atteint des capacités d’amortissement ψ  =  = 1,3 à 1,8 et plus.

 

128

CONCEPTION DES MACHINES F 

statique

dynamique W p

k 

k d

W e

0 Fig. 4.29

 x

Caractéristique dynamique d’un amortisseur en caoutchouc.

La rigidité dynamique k d d’un amortisseur en caoutchouc est plus forte que sa rigidité statique (fig. 4.29). A 10 Hz, on peut admettre k d   =

  (1,1 …  1  1,, 4 ) k  (4.72) La rigidité diminue lorsque la température s’élève; à 50°C, la rigidité dynamique est voisine de la rigidité statique à 20°C. Il existe d’innombrables exécutions. Les figures 4.30 et 4.31 représentent des accouplements élastiques, le premier est particulièrement souple radialement et permet des désalignements angulaires relativement importants. Les figures 4.32 et 4.33 montrent des exemples de ressorts en caoutchouc, le second travaille au cisaillement. La figure 4.34 illustre le principe d’un amortisseur à liquide électrorhéologique destiné à porter un moteur de véhicule. La charge est transmise au bâti (1) par une pièce conique élastique en caoutchouc (2) et par le disque (3). Une membrane souple (4) enferme un liquide électrorhéologique et un diaphragme (5) partage la cavité en deux chambres. Un accroissement de la charge F  comprime  comprime le tampon (2) et env envoie oie du liquide de la chambre (7) vers la chambre (8) à travers la lumière (6) du diaphragme.

Fig. 4.30

Accouplement élastique très souple (STROMA (STROMAG, G, Unna).

 

129

DISSIPATION D’ÉNERGIE

Fig. 4.31

Fig. 4.32

Accouplement élastique, (1) tampon en caoutchouc (Flender).

Plot élastique (Continental).

Fig. 4.33

Support élastique (Metalastik).

F 

3 2 7

1 +

 –

5 8

4 9

Fig. 4.34

6

10

Amortisseur à liquide électrorhéologique.

La perte de charge dans le trou (6) dissipe de l’énergie et amortit la vibration. Ce trou est garni de deux électrodes, (9) et (10). En établissant un champ électrostatique entre elles, on peut influencer la résistance à l’écoulement du liquide et moduler ainsi l’amortissement du système tout comme sa rigidité dynamique.

 

130

CONCEPTION DES MACHINES

4.55 CO 4. CONC NCLU LUSI SION ONSS PRINC PRINCIP IPAL ALES ES phénomènes dissipent deent l’énergie. On couples distingue: •Delanombreux dissipation dissipati on externe par externe frottement frottem dans les dans cou ples cinémati cinématiques, ques, par par malaxage des graisses, par agitation de l’huile et de l’air; • la dissipati dissipation on interne, interne, dans le volum volumee des matériaux, matériaux, lors lors de variatio variations ns des contraintes. La puissance dissipée lors d’un mouvement continu est : • propo proportion rtionnelle nelle à la vitesse vitesse en cas de frotte frottement ment coulom coulombien; bien; • propo proportion rtionnelle nelle au carré de la la vitesse vitesse en cas de de frottement frottement visque visqueux; ux; • propo proportion rtionnelle nelle au cube de la la vitesse vitesse en cas d’agit d’agitation ation de de fluide fluide en régime régime turbulent. Lors de mouvements oscillants harmoniques, la puissance moyenne dissipée est : • propo proportion rtionnelle nelle à l’amplitu l’amplitude de et à la fréquence fréquence en cas de frotteme frottement nt coulombien coulombien;; • propo proportion rtionnelle nelle au carré de l’ampl l’amplitude itude et et de la fréquence fréquence en en cas de frotteme frottement nt visqueux; • propo proportion rtionnelle nelle au cube cube de l’amplitu l’amplitude de et de la fréquenc fréquencee en cas d’agitatio d’agitationn de fluide en régime turbulent. On rencontre souvent des oscillations superposées à un mouvement continu. La dissipation d’énergie vibratoire par frottement sec ou mixte est nulle si la vitesse de glissement ne s’inverse pas. C’est pourquoi il ne faut pas compter sur le frottement dans les paliers lisses secs ou mixtes pour amortir des vibrations de torsion des arbres. Un oscillateur élémentaire excité par une force harmonique présente une résonance d’amplitude. En cas de frottement visqueux, le facteur d’amplification maximal est inversement proportionnel à la constante d’amortissement visqueux. En revanche, l’amplitude de résonance théorique est infinie avec un frottement coulombien; mais en réalité, l’amortissement interne limite quant même l’amplitude. Lade plupart des matériaux présentent un amortissement interne dit hystérétique : l’énergie dissipée pendant une période vibratoire est approximativement proportionnelle au carré de l’amplitude, mais indépendante de la fréquence. La réponse dynamique d’un oscillateur élémentaire hystérétique excité par une force harmonique présente une résonance d’amplitude à une fréquence indépendante de l’amortissement, toujours égale à la fréquence propre en régime libre non amorti. Par contre, le

modèle hystérétique donne des résultats inacceptables en régime sous-critique. S’il est vrai que le comportement de l’amortissement interne est hystérétique, on admet, en pratique, de modéliser l’amortisseur par un élément visqueux. Le traitement mathématique est plus simple et il rend compte de manière satisfaisante du comportement dynamique réel. Les organes de machines destinés à dissiper de l’énergie mécanique sont : •• les freins frei nsrsenen cas mch ouveme continu, nu, less bbut le utoi oirs encas casdedemouv cas choc oc,ement , nt conti • les amort amortisseu isseurs rs en cas de de mouvem mouvement ent vibrato vibratoire. ire. On arrête avantageusement un mouvement dans un espace donné par des butoirs à force constante ou par des freins à frottement sec.

 

CHAPITRE 5

EFFORTS STATIQUES 5.1 IN INTR TROD ODUC UCT TIO ION N Les efforts statiques, forces et couples, sont à la base du fonctionnement des machines. Combinés avec les mouvement, ils servent à transmettre l’énergie. Ils sont transmis d’une pièce à l’autre par obstacle ou par frottement. Dans ce dernier cas, la transmission de force s’accompagne toujours de microglissements qui dégénèrent en glissement macroscopique ou en patinage si la sollicitation est trop forte. A cet égard, les roues et les courroies sont des mécanismes intéressants. Les forces ou les couples sont insérés dans des réseaux de cheminement fermés qui passent par les liaisons entre les pièces; ces réseaux sont imbriqués dans le cas des mécanismes qui transforment des forces en couples ou réciproquement. Les efforts chargent les pièces et sollicitent leurs matériaux. On distingue: • les efforts utiles nécessaires pour transmettre de l’énergie ou pour exercer un effort statique sur l’objet du travail de la machine; • les efforts de précharge  ou de précontrainte  nécessaires pour l’assemblage des pièces ou pour obtenir des effets spéciaux; • le poids propre des pièces qui peut dans certains cas constituer un effort utile, parasite. servir à la précontrainte ou n’être qu’une force parasite Ce chapitre a pour but de traiter le fonctionnement statique des mécanismes et de donner des règles de conception. Il est structuré comme suit : • Section 5.2 Rappel de la notion d’effort. • Section 5.3 Etude de de la tr transmission de fo forces entre de des so solides, application aux assemblages. • Section 5.4 Transmission d’efforts dans les solides.

• Se Sect ctio ions ns 5.5 5.5 et 5.6 5.6 Etud Etudee de la la tran transm smis issi sion on de de forc forces es au au poin pointt de con conta tact ct des des roues et entre les liens souples et les poulies. • Secti Sections ons 5.7 5.7 et 5.8 Ana Analys lysee des des rés réseau eauxx d’ef d’effo forts rts st stati atique ques, s, mé métho thodo dolog logie ie pou pourr isoler des pièces et mettre les actions en évidence. • Section 5.9 Examen de l’opportunité de devoir tenir compte du poids propre des pièces dans les calculs de dimensionnement. • Section 5.10 Présentation de de rè règles de de co conception st statique de des mé mécanismes. • Section 5.11 Conclusions principales. Les efforts de précontrainte sont étudiés en détail au chapitre 7 et les liaisons font l’objet du chapitre 9.

 

132

PRINCIPES SCIENTIFIQUES DE LA CONSTRUCTION MÉCANIQUE

5.2 EFFORTS Forces Il est utile de distinguer les forces selon leur mode d’application aux solides. Les  forces de volume sont appliquées au sein même de la matière. Chaque élément de volume dV   ou, avec la masse volumique ρ , chaque élément de masse dm = ρ  d  dV  est  est soumis à la force élémentaire

(5.1)

d F  =   f  f  ρ dV   =  f  d m

Selon les cas, la force massique f  est  est l’accélération terrestre g, l’accélération a de l’élément de masse considéré ou une force magnétique. La résultante de toutes les forces élémentaires est une force unique, appliquée au barycentre de la masse considérée dans le cas de la gravité. Les  forces de surface sont appliquées à la surface des solides. Sur chaque élément de surface d A s’exerce la force élémentaire d F  =  p d A

(5.2)

La force surfacique p a la dimension d’une pression. C’est, par exemple, la pression statique ou dynamique exercée par un fluide, la pression de contact entre deux solides, la contrainte tangentielle de frottement solide ou de viscosité. Couple

Un solide est soumis à un ensemble de n  forces  Fi  et de m couples  M  j. Nous disons que la résultante de ce torseur est un couple lorsque simultanément • la som somme me des for forces ces est nul nulle le n

∑  Fi   =

i  =

(5.3)

0

1

• la somme somme des moment momentss par rapport rapport à un point quelcon quelconque que n’est n’est pas nulle nulle n

m

 M   =  

 Fi   +   ∑  M  j   ≠   0 ∑ r i   ×  F

(5.4)

 j   =  1

i  =  1

r i est le rayon vecteur du point de réduction au point d’application de la force Fi.

L’intensité  ou  ou moment du couple, on dit aussi simplement le couple, est (5.5)

 M   =   M 

Un couple résulte au moins de deux forces. La figure 5.1 montre comment deux vérins appliquent les forces  F1  et  F2  aux extrémités d’un palonnier susceptible de tourner autour de l’axe O. Ces forces constituent un couple si F1 = – F2.

 

133

EFFORTS STATIQUES A

 F1  Fφ

 Fφ

D  – 

 M 

 – 

 M    d

 Fφ

 F2

 Fφ

E

B Fig. 5.1  Palonnier avec vérins.

Fig. 5.2  Moteur électrique.

Mais un couple peut aussi résulter de plus de deux forces; par exemple, chaque pôle d’un moteur électrique applique la force électromagnétique Fφ à son rotor de diamètre d .  p paires de pôles) vaut (fig. 5.2) Le couple électromagnétique d’un moteur à 2 p pôles ( p  p d F φ  M φ   =  p

(5.6) 3 2

 F1 α 

ω b

b  – 

 M  r1

 F3

1

2  F3

 F1

 F2

 F2

4 2

(b)

(a) forces appliquées au planétaire central. Fig. 5.3  Engrenage épicycloïdal : (a) schéma; (b) équilibre des forces

Considérons encore un engrenage épicycloïdal (fig. 5.3a) dont le porte-satellites ou bras est entraîné dans le sens ω b. Les trois satellites (2) roulent à l’intérieur de la couronne (3) et appliquent les forces F1, F2 et F3 au pignon central (1). Lorsque l’axe de ce dernier est flottant, le pignon prend automatiquement une position telle que la résultante des trois forces est nulle (fig. (fi g. 5.3b). Cet exemple montre qu’il est aussi possible d’obtenir un couple avec un nombre impair de forces (trois ou plus). Action et réaction

Considérons un solide (1) qui exerce un effort Q sur un solide (2) (fig. 5.4a). En les séparant, on voit que le premier applique l’effort Q12 (lire Q un deux) sur le second, c’est l’action de (1) sur (2); le solide (2) applique l’effort Q21 sur le solide (1), c’est sa réaction. Le principe d’égalité de l’action et de la réaction, troisième loi de Newton, implique

 

134

PRINCIPES SCIENTIFIQUES DE LA CONSTRUCTION MÉCANIQUE

Q12   =

  ± Q21

(5.7)

Afin dertsimplifier on notera dans cet ouvrage: • ef effo fort d’ac d’ acti tion on l’écriture, Q • ef effo fort rt de ré réac acti tion on Q – Alors Q  =

  ± Q±

(5.8)

Q

1 (a)

2

1

Q21

Q12

Q –

Q

2

(b) Fig. 5.4  Action et réaction : (a) transmission; (b) pièces isolées.

Efforts extérieurs, efforts intérieurs

Une machine subit l’action de forces qui lui sont appliquées par son environnement. Ces forces sont dites extérieures et appelées charges. Un engin de levage, par exemple, est chargé par le poids de l’objet qu’il soulève, le poids de sa structure (force de gravité), l’effet du vent (force aérodynamique). Notons que l’environnement est incapable d’exercer un couple sur la machine. Les charges extérieures sont transmises d’un organe à l’autre de la machine par des forces dites intérieures parce qu’elles se trouvent dans la machine. Les charges engendrent souvent aussi des moments et des couples intérieurs. En poursuivant ce raisonnement, on peut hiérarchiser les efforts (fig. 5.5). L’environnement applique les charges  F1  à la machine et crée un système d’efforts intérieurs  F2,  M 2  (torseur d’effort). Ces efforts constituent à leur tour des charges pour les organes et créent des efforts intérieurs F3, M 3 entre les pièces constituant chaque organe. Enfin, ces efforts chargent les pièces en créant des efforts intérieurs  F4,  M 4 au sens de la statique des solides; ils engendrent des contraintes qui sollicitent le matériau.

On voit qu un effort intérieur constitue une charge pour un sous système. environnement machine organe  F1

 F2  M 2

 F3  M 3

 F4

pièce

 M 4

Fig. 5.5  Hiérarchie des efforts.

 

135

EFFORTS STATIQUES

Rappelons encore le prin  principe cipe de disl dislocat ocation ion selon lequel toute partie d’un ensemble en équilibre est elle-même aussi en équilibre.  Iso  Isoler  ler   un élément dans un ensemble consiste à étudier son équilibre par les méthodes classiques de la statique. 5.3 TRAN RANSMI SMISSIO SSION N D’EFFOR D’EFFORTS TS ENTRE ENTRE DES SOLID SOLIDES ES 5.3.1 5.3 .1 Tra Transm nsmiss ission ion de de force force par par obstac obstacle le

Une pièce (1) est en contact avec une pièce (2) (fig. 5.6). Négligeons tout d’abord le frottement entre les deux surfaces. Une force F appliquée à la pièce (1) en direction de (2) accélérerait cette pièce si elle n’était pas en contact avec (2) qui fait obstacle à ce mouvement. Selon la direction de F, on distingue deux cas : •  F est dirigé normalement à la surface. La force est transmise intégralement à la pièce (2) par une force normale N , on a  N   =  F   F

(5.9)

•  F fait un angle γ  avec  avec la normale n à la surface (fig. 5.7). Seule la composante normale (5.10)

 F cos γ   N   =  F est transmise. La composante tangentielle

(5.11)

T   =  F  F sin γ 

accélère la pièce (1) et la fait glisser sur la surface de (2).

a

n

 F

 N 

 N 

n

1

2

1

γ 

2  F

T 

Fig. 5.7  Transmission d’une force oblique sans

Fig. 5.6  Transmission par obstacle d’une force

frottement.

normale.

Considérons maintenant deux pièces en contact linéique. Par exemple, une bille posée sur un trou circulaire (fig. 5.8) dont la ligne de contact est un cercle de rayon r. Une force F sur la bille, dirigée dans l’axe du trou, se transmet par une charge linéique  q normale à la tangente t à la bille au point de contact considéré. Du fait de la

 

136

PRINCIPES SCIENTIFIQUES DE LA CONSTRUCTION MÉCANIQUE  F

  R

t ϕ 

2r

q – 

Fig. 5.8  Sphère sur un trou circulaire.

symétrie axiale, la charge est uniformément répartie, mais seule sa composante axiale contribue à transmettre la force. Soit F   =

  2 π r q cos ϕ 

avec ϕ   =   arcsin

r  R

Résumons par la règle suivante : Si le frottement est nul, la force transmise par obstacle entre deux solides est tou jours normale au plan tangent commun aux deux surfaces en contact; elle est dirigée de l’intérieur d’un solide vers la surface de contact. On doit parfois transmettre une force qui est inclinée par rapport à une surface de contact. Il faut alors prévoir un second appui orienté autrement que le premier, la force se transmet par ses composantes normales aux surfaces de contact. La figure 5.9 montre une force transmise de la pièce (1) à la pièce (2) par l’intermédiaire de ses composantes N A et  N B normales respectivement aux faces A et B. Cette disposition est souvent utilisée pour positionner parfaitement une pièce.

B  F

 N B

2  N B

1

 N A

 F

 N A  F

(a)

A

(b)

Fig. 5.9  Transmission par obstacle d’une force force oblique : (a) transmission; (b) décomposition de la force.

 

137

EFFORTS STATIQUES

5.3.2 5.3 .2 Tra Transm nsmiss ission ion de de force force par frott frotteme ement nt Transmission

Un corps (2) est appuyé contre la surface d’un corps (1) par une force normale N  (fig. 5.10); appliquons encore à (2) une force T  tangente  tangente au plan de contact π. Isolons le corps (2) (fig. 5.11a) : la force normale est équilibrée par la réaction  N  – du solide (1) tandis que la force tangentielle est équilibrée par la force de frottement  F –. Le corps (1) subit quant à lui l’action de la force normale et de la force de frottement  frottement tement transmet la force force tangentielle. tangentielle. (fig. 5.11b). Comme T  =  = F, on voit que le frot 2

 N  T 

π

1 Fig. 5.10  Solide chargé.

2

 N 

 N  T 

 F –

(a)

 F

1  N  –

( b)

forces appliquées à (1). Fig. 5.11  Eléments isolés de la figure 5.10 : (a) solide (2) isolé; (b) forces

Nous représentons dans les schémas de cheminement de force la transmission par frottement en marquant le parallélisme à la surface de contact (fig. 5.12). Pour transmettre une force par frottement entre deux pièces, il faut les serrer par une force normale aux surfaces de contact.

T 

Fig. 5.12  Représentation d’une transmission transmission de force force par frottement.

2

 R –

 N  T 

(a)

n

γ

 N 

 R –

γ

T 

( b)

forces. Fig. 5.13  Réaction résultante : (a) sur le solide (2) de la figure 5.10; (b) équilibre des forces.

 

138

PRINCIPES SCIENTIFIQUES DE LA CONSTRUCTION MÉCANIQUE

La réaction  R – se compose d’une force de frottement et d’une réaction normale qui équilibrent les forces appliquées au solide (2) (fig. 5.13). L’équation d’équilibre statique  N   +  T   +  R  R ±   =   0

(5.12)

correspond au polygone des forces de la figure 5.13(b). La réaction est inclinée d’un angle γ   par rapport à la normale à la surface. Le rapport rapport de la force transmise par le frottement à la force normale est le facteur d’adhérence µ a   =  tan γ   =  

F   N 

(5.13)

Il faut se garder de confondre c onfondre le facteur d’adhérence avec le coefficient de frottement. Le développement ci-après permet de distinguer clairement ces deux notions. Examinons ce qui se passe lorsqu’un corps glisse sur un autre. On distingue le cas où le mouvement est forcé et celui où la force provoquant le glissement est imposée. Glissement imposé

La cinématique d’un mécanisme oblige souvent deux pièces à glisser l’une sur l’autre avec une vitesse relative imposée v. Si en plus, elles sont appuyées l’une contre l’autre par une force normale N , apparaît une force de frottement F   =  µ ( v )  N 

(5.14)

Le coefficient de frottement µ  dépend  dépend de la vitesse de glissement comme l’indique la figure 2.59. La force de frottement est nulle s’il n’y a pas de glissement. Glissement provoqué provoqué par une force imposée

Reprenons le solide (2) (fig. 5.10) chargé par une force constante  N  et   et faisons croître la force tangentielle. En nous référant à la figure 5.14 et en procédant pas à pas, on observe ce qui suit : • Le corps corps est au repos repos et et adhère adhère à la surface surface (1). (1). La force force opposée opposée par par le frotfrot-

tement est toujours égale à la force tangentielle et croît avec elle (5.15)

F   =  T   =  µ a N 

Bien qu’apparemment immobiles, il existe des microglissements entre les pièces (§ 2.3.4). • AuAu-del delàà d’une d’une certa certaine ine vale valeur ur limit limitee (5.16)

T lim   =  F 0   =  µ 0 N 

située au point A du diagramme, le corps se met à glisser. µ 0 est le coefficient de frottement statique, µ a = µ 0. A la valeur limite, on dit qu’il y a imminence de glissement .

 

139

EFFORTS STATIQUES

• Lorsque Lorsque le corps corps se met en en mouvement mouvement,, le plus souv souvent ent le coeffici coefficient ent de frotfrottement dynamique µ  diminue,   diminue, selon la courbe (1) de la figure 2.59, le point figuratif décrit la branche A-B du diagramme 5.14. Le corps de masse m subit alors l’accélération a  =

 

T   ± F  m

 = 

T   ± µ  N   N 

(5.17)

m

Si la force motrice n’excédait pas T lim, le point figuratif viendrait en B' avec a  =

 

T lim   ± F  µ    ± µ   N   =  0 m m

(5.18)

• Pour mainten maintenir ir la vitesse vitesse acquise acquise constan constante, te, il faut faut diminuer diminuer la force force T  jusqu’à  jusqu’à la valeur T ' égale à la force de frottement avec glissement, glissement, point C à l’équilibre statique T ′  =  F   =  µ  N   N 

(5.19)

• En diminu diminuant ant encor encoree la force force tangent tangentiel ielle, le, T'' < F , le solide ralentit. La force de frottement reste égale à F  tant   tant que le corps glisse, point D; puis elle devient brusquement égale à l’adhérance T'' lorsqu’il est arrêté, point E. F 

A F 0

D

C

B'

B

F 

E

T 

0

T ''''

T '

T lim

repos

glissement

a>0

démarrage a0

glissement

T

croît

T

décroît

a=0 Fig. 5.14  Force de frottement et mouvement.

Ces phénomènes peuvent se résumer et s’exprimer par les relations mathématiques suivantes: • repos T =  µ a N   N  γ     ρ γ   =  ρ

µ a  =  µ  µ a  =  µ 

T =  µ a N    N  γ    > k s dans un système progressif et k  <  < k s dans un système dégressif. La rigidité tend vers zéro lorsque le matériau passe en état de déformation plastique. F 

λ 

P

k 

 f 

Fig. 6.7  Rigidité,

compliance.

La compliance  ou souplesse est l’inverse de la rigidité (fig. 6.7). On distingue aussi la compliance tangente 1

λ   =  

(6.5)

k 

et la compliance sécante λ s   =   1 k s

(6.6)

Appliquons un couple d’intensité  M   à un solide quelconque, on observe une déformation angulaire ϕ . Il existe une relation caractéristique carac téristique de déformation (6.7)

 M   =  M   M ( ϕ )

 

204

CONCEPTION DES MACHINES

angulaire  ou rigidité de torsion  du système vis-à-vis du couple La rigidité appliqué est k θ   =

 

d M  d ϕ 

(6.8)

Dans un système non linéaire, on distingue la rigidité angulaire sécante k θs   =

 

 M 

(6.9)

ϕ 

6.3 COM COMBINA BINAISON ISONSS D’ÉLÉM D’ÉLÉMENT ENTSS DÉFORM DÉFORMABL ABLES ES 6.3. 6. 3.1 1 El Elém émen ents ts en en para parall llèl èlee

Un montage est constitué de n éléments déformables montés en parallèle dont les rigidités sont k 1, k 2 ..., k n (fig. 6.8a). Le système est sollicité par une force F  qui   qui se répartit entre les divers éléments, mais tous subissent la même déformation  f . On se propose de représenter l’ensemble des éléments par un seul élément équivalent qui aurait le même comportement force-déformation (fig. 6.8b). k 1

 F –

k i F

 F –

k 

F 

k n

 f   f 

(a)

(b)

Fig. 6.8  Equivalence d’éléments déformables en parallèle : (a) système; (b) élément équivalent. équivalent.

En supposant un comportement linéaire, la force appliquée à chaque élément vaut F i   =  k i   f 

(6.10)

La somme des forces est naturellement égale à la force totale transmise n

F   =

 

n

∑ k i   f   =  f  f   ∑ k i 1

(6.11)

1

L’élément équivalent doit avoir une rigidité k  telle  telle que (6.12)

F   =  k f 

 

DÉFORMATIONS ET RIGIDITÉ

205

En comparant ces dernières expressions, on a immédiatement n

k   =

 

∑ k i

(6.13)

1

Par (6.10), on obtient la force transmise par un élément individuel   k    k  F i   = i F   = = n i k 

F 

(6.14)

∑ k i 1

En conclusion, pour éléments en parallèle: • tous les élémen éléments ts subis sdes ubissent sent la même mdisposés ême déform déformation ation;; • la rigidité rigidité équiv équivalente alente est est égale égale à la somme somme de leur leur rigidité; rigidité; • un élément élément participe participe à la transmi transmission ssion de de la charge charge appliquée appliquée au système système dans dans le rapport de sa rigidité à la rigidité totale; • un élément élément nettemen nettementt plus rigide rigide que les autres autres déterm détermine ine la rigidit rigiditéé de l’ensemble, il transmet la plus grande partie de la charge. Ces conclusions sont aussi valables pour des éléments non linéaires, à condition de distinguer la rigidité locale ou tangente de la rigidité sécante. La charge totale se répartit alors selon les rigidités sécantes: F i   =

 

k si n

F 

(6.15)

∑1 k si Une variation de charge se répartit en revanche selon les rigidités tangentes: k i

d F i   =  

n

d F 

(6.16)

∑ k i 1

Les considérations ci-dessus s’appliquent aussi aux éléments sollicités en torsion. 6.3. 6. 3.2 2 El Elém émen ents ts en sé séri riee

Considérons maintenant un système constitué de n éléments déformables disposés en série du point de vue de la force (fig. 6.9a). Ils transmettent tous la même force, mais leurs déformations s’ajoutent. La déformation de chaque élément est  f i   =

F 

 

(6.17)

k i

 

206

CONCEPTION DES MACHINES  –   k 1

 

k i

 

k n

 

 F

F

 –

k 

 F

F 

 f

(a)

f 

(b)

(a) système; (b) élément équivalent. Fig. 6.9  Equivalence d’éléments déformables en série : (a)

et la déformation totale vaut n

 f   =

 

n

∑

 f i   =  F  

1

1

∑ k i

(6.18)

1

La déformation de l’élément équivalent étant  f   =

 

F 

(6.19)

k 

on obtient, en égalant ces expressions, 1 k 

n

 = 

1

∑ k i

(6.20)

1

donc k   =

 

1

(6.21)

n

∑ k 1i 1

Par définition de la compliance (6.5), l’expression (6.20) peut aussi s’écrire n

λ   =  

∑ λ i

(6.22)

1

La déformation d’un élément est, avec (6.19), F  k  λ   f    =     =    f   =   i  f  k i k i i λ 

(6.23)

En conclusion, pour des éléments disposés en série : • tous les élémen éléments ts transm transmetten ettentt le même effo effort; rt; • la complian compliance ce équival équivalente ente est égale à la la somme somme de leur compli compliance; ance; • un élément élément participe participe à la déforma déformation tion totale totale dans dans le rapport rapport invers inversee de sa rigidité à la rigidité résultante, ou dans le rapport de sa compliance à la compliance totale;

 

207

DÉFORMATIONS ET RIGIDITÉ

• l’ensemble. un élément élément nettement nettement plus plus souple souple que les autres autres détermin déterminee la compliance compliance de 6.3. 6. 3.3 3 Sy Syst stèm èmes es mixt mixtes es

On rencontre des systèmes de plusieurs ressorts dont certains sont montés en série et d’autres en parallèle. La rigidité résultante se calcule par combinaison des formules développées dans les paragraphes précédents. Ces montages ont souvent pour but d’obtenir des caractéristiques progressives. La figure 6.10(a) montre trois ressorts montés en série. Tant que la charge est inférieure à F I = k 1 h1, la force est transmise par les trois ressorts et la rigidité est telle que 1 k 

 = 

1 k 1

 + 

1 k 2

 + 

1 k 3

Lorsque F I < F   ≤  F II ( F II = k 2  h2), la charge est transmise par les ressorts (2) et (3). Enfin, la charge n’est transmise que par le ressort (3) lorsque F  >  > F II. La caractéristique du système est une ligne brisée progressiv progressivee (fig. 6.10b). On obtient un résultat analogue avec des ressorts montés en parallèle (fig. 6.11). F  F  k 1

k 2

h1

 f  h2

k 3 k 2

III

F II k 1

k 3

II

F I

I 0

 

(a)

h1   h2   f  1

 

f 2

 f 

(b)

Fig. 6.10  Montage de trois ressorts en série à courses limitées : (a) disposition; disposition; (b) caractéristique.

F  k 1

h1

k 2

h2  f 

k 3

Fig. 6.11  Montage

de trois ressorts en parallèle.

 

208

CONCEPTION DES MACHINES

6.44 RI 6. RIGI GIDI DITÉ TÉ D’ÉL D’ÉLÉM ÉMEN ENTS TS DIVE DIVERS RS 6.4.1 Poutres Sollicitation par une force

Une poutre sollicitée en traction simple (fig. 6.12) dont le matériau obéit à la loi de Hooke s’allonge de la quantité  f   =

 

l

 E A

F 

et sa rigidité vaut k   =

  d F   =    E A d  f  l

(6.25)

Le produit  EA  du module d’élasticité du matériau par l’aire de la poutre est appelé module de rigidité . F   A F  – 

 f 

F  l

l

 f 

Fig. 6.12  Poutre

en traction simple.

Fig. 6.13  Poutre encastrée fléchie.

En négligeant l’effet du cisaillement, la flèche d’une poutre sollicitée en flexion par une force est donnée par  f   =

 

l

3

C E I 

F 

avec: C   E 

facteur numérique qui dépend des appuis et de la position de la charge module d’élasticité

F   I 

force orthogonale à ladefibre neutre moment quadratique surface longueur de la poutre entre appuis

 l

Sa rigidité à la flexion vaut k f   =

 

C E I  3 l

(6.26)

 

DÉFORMATIONS ET RIGIDITÉ

209

Comparons la rigidité en flexion à la rigidité en traction: k f   = k   

C   I 

  2 l  A

(6.27)

Pour une poutre encastrée (fig. 6.13) où C  =  = 3 et de section rectangulaire b × h, on trouve, par exemple, k f   = k 

1  h   2     4  l

(6.28)

Ce résultat démontre le fait d’expérience courante que la rigidité en flexion est  beaucoup plus petite qu’en traction-compression. Par exemple, pour l  =  10 h, k f  = 1/400 k . On pourrait encore analyser de nombreux autres cas de flexion, on arrive arr ive toujours aux conclusions générales suivantes: • la rigidité rigidité à la flexio flexionn d’une poutre poutre est est proportion proportionnelle nelle à son son moment moment quadraquadratique de surface; • la rigidité rigidité à la flexion flexion d’une poutre poutre est invers inversement ement proporti proportionnel onnelle le au cube de sa longueur.

Sollicitation par un moment

Considérons maintenant une poutre sollicitée par un moment de flexion pur (fig. 6.14). La rotation d’une extrémité par rapport à l’autre vaut

β   =  

l

 M   E I 

Par conséquent, la rigidité en flexion vaut d M   E I   =  d β  l

 

k θ   =

(6.29)

w  

 M  – 

M 

 M  –  t

β 

 M t

Fig. 6.14  Poutre

en flexion simple.

Fig. 6.15  Poutre

en torsion pure. pure.

 

210

CONCEPTION DES MACHINES

d’une d’un poutre tordue par un moment de torsion (fig. 6.15) tournent l’uneLes par extrémités rapport à l’autre angle ϕ   =  

l

G I t

 M t

où I t est le moment quadratique en torsion et G le module de glissement du matériau. La rigidité à la torsion est simplement k t   =

 

 

G I t

(6.30)

l

Comparons les rigidités d’une même poutre: k t k θ

 =

G  I t

(6.31)

 E   I 

On sait que le module de glissement est lié au module d’élasticité par la relation G  =

 

 E 

(6.32)

2(1 +  µ )

où µ  est  est le coefficient de Poisson. Il vient k 

1

 I 

t k θ

  =   2(1

t +  µ )  I 

(6.33)

Dans le cas d’une section circulaire, pleine ou creuse, I t = I p = 2 I  et  et k t k θ

 = 

1

(6.34)

1 +  µ 

Pour de l’acier, la rigidité en torsion est 1,3 fois plus petite qu’en flexion. Ce rapport s’accentue encore pour tout autre profil; par exemple, pour une section rectangulaire avec h = 2b, on a k t  = k θ / 3,8. Dans le cas d’un profil laminé laminé PB 100, k t = k θ /125. Conclusions

• La rigidité rigidité des poutres poutres est la plus plus forte lorsqu’ lorsqu’elles elles sont sont sollicité sollicitées es en traction traction ou en compression. • La rigidité rigidité est est proportion proportionnelle nelle à la la section section ou au moment moment quadrati quadratique. que. • La rigidité rigidité angulair angulairee d’une poutre poutre est plus plus petite petite en torsion torsion qu’en flexion. flexion. • La rigidité rigidité est est proportion proportionnelle nelle au au module module d’élastici d’élasticité té du matériau. matériau. • La rigidité rigidité diminue diminue énorméme énormément nt et s’annule s’annule pratique pratiquement ment en cas de de plastifiplastification du matériau.

 

211

DÉFORMATIONS ET RIGIDITÉ

6.4. 6. 4.2 2 Co Cont ntac acts ts pla plans ns

Une pièce (2) supposée infiniment rigide est appliquée sur une plaque épaisse reposant elle-même sur une base infiniment rigide (fig. 6.16). La pièce s’enfonce dans la surface de la plaque comme on peut l’observer facilement dans le cas d’un objet posé sur du sable. La pression de contact, maximale au milieu de la surface d’appui, diminue vers le bord. F 

F 

2

 p

 A

 –   p  f 

1 h

(a)

(b) Fig. 6.16  Enfoncement d’une pièce dans une plaque : (a) champ de force; (b) modèle de calcul.

Le calcul de la distribution de la pression et des déformations est difficile, il a surtout été développé en mécanique des sols. Admettons pour simplifier (fig. 6.16b) que la pression soit uniformément répartie sur la surface d’appui d’aire  A et qu’elle comprime une colonne imaginaire de même section. La déformation de la colonne est donnée par la loi de Hooke:

 f 0   =

  h F   =    p h  E A

(6.35)

 E 

L’enfoncement réel  f   est plus petit que la déformation théorique parce que la colonne est encastrée dans la plaque. On écrit  f   =  ψ 

 h

 p F   =  ψ  h   E A  E 

= ψ   f 0

(6.36)

Le facteur de correction ψ  est   est plus petit que l’unité, il dépend de la forme de la surface d’appui, des proportions géométriques et du coefficient de Poisson. Dans le cas d’une surface circulaire de diamètre D et d’un métal avec µ  =  = 0,3, on a, par exemple,  D = 20 h   ψ  =  = 0,55  D = 2 h   ψ  =  = 0,65 On voit toute l’importance de l’effet d’encastrement. La rigidité de la plaque visà-vis de l’écrasement vaut k   =

 

 E A

(6.37)

 h ψ  h

 

212

CONCEPTION DES MACHINES

Cette formule d’augmenter l’aire contact pour accroître la rigidité d’un appui. suggère Mais l’élargissement d’uneapparente plaque dede base lui confère de la souplesse qui la fléchit selon la figure 6.17 de sorte que la pression de contact réelle est beaucoup plus forte que ne le laisse supposer la taille de l’appui. On égalise la pression en raidissant la semelle par deux goussets (fig. 6.18) qui distribuent la charge sur la semelle et accroissent considérablement la rigidité du pied.  F

F 

 A1

 p

 p

(a)

( b)

Fig. 6.17  Pression de contact sous une semelle : (a) étroite et rigide; (b) large et souple.

 F

goussets

 p

Fig. 6.18  Semelle

raidie par deux goussets.

6.4. 6. 4.3 3 Co Cont ntac acts ts he hert rtzi zien enss

On se limite à une étude comparative des cas les plus fréquents en mécanique. Contact extérieur de deux sphères

La théorie de Hertz permet de calculer la déformation de solides contact tuel dans le domaine de comportement élastique des matériaux. Soit  Ren1 et  R2 le poncrayon de deux sphères, E 1 et E 2 les modules d’élasticité et µ 1, µ 2, les coefficients de Poisson de leur matériau. Les centres de sphères chargées par une force F  se  se rapprochent de  f   =

 

2

1 −  µ 22   1 9  1 ± µ 12 1 2         + +    F     E 2   R1  R2  16   E 1

3

(6.38)

 

DÉFORMATIONS ET RIGIDITÉ

213

Pour des matériaux dont le coefficient de Poisson vaut 0,3;  f   =

 1,  1, 231

3  F 2  R  RE  E 2

(6.39)

avec le module d’élasticité réduit   E   =

 

2 E 1 E 2  E 1  +  E    E 2

(6.40)

et le rayon réduit  R  R tel que 1  R

 = 

1  R1

 + 

1  R2

(6.41)

Dans le cas particulier d’une bille de rayon R1 sur un plan, R2 = ∞ et R = R1. On tire de (6.39) la force en fonction de la déformation F   =

 

 E

R

1,365

  f 3/ 2

(6.42)

La caractéristique force-déformation est progressive. Calculons la rigidité tangente

k   =

 

d F  3  E R 1/ 2  =    f  d  f  2 1,365

(6.43)

et la rigidité sécante k s   =

 

F   f 

 = 

 E

R

1,365

  f 1/ 2

(6.44)

Le rapport des rigidités est constant et vaut k  k s

= 3 2

(6.45)

Il est parfois opportun de connaître la rigidité tangente en fonction de la charge. Portons (6.39) dans (6.43), on trouve k   =

3

 1,  1, 219  R E 2  F 1/ 3

(6.46)

 

214

CONCEPTION DES MACHINES

Cylindre sur un plan

La déformation ne peut pas se calculer par la théorie de Hertz. Palmgreen donne un résultat empirique pour de l’acier:  f   =

 1,, 53  1

0,99   F 0, ±10 ×  10 b 0,8

[m]] [m

(6.47)

où F  est  est la charge exprimée en [N] et b la longueur de la ligne de contact en [m]. La référence [6.2] cite Kunert et Lundberg, qui, en se basant sur l’expérience et sur une étude théorique, donnent comme résultat  f   =

 1,14  1 ,14

  F 0,925 ±10 ×  10 0,85 b

(6.48)

Ces expressions sont voisines, toutes deux contiennent le fait remarquable que la déformation est indépendante du rayon du cylindre. En procédant comme pour la bille, on trouve avec la première formule F   =

 8,052 ×  1010 b8 / 9 f 10/9

(6.49)

k   =

 8,947 ×  1010 b8 / 9 f 1/ 9

(6.50)

puis

10 8 / 9 1/ 9

 8,052 ×  10 b

k s   k  k s

 = 

(6.51)

 f 

1 0, 9

(6.52)

et la rigidité en fonction de la charge k   =

 7,263 ×  10 9 b 0,8 F 0,1

(6.53)

Conclusions

L’évaluation numérique et l’étude des formules conduisent aux résultats généraux suivants suivants (fig. 6.19) et (fig. 6.20) : • la déformatio déformationn locale de de pièces en contact contact hertzi hertzien en croît moins moins vite vite que la charge appliquée (caractéristique progressive) parce que la surface de contact effectivee augmente avec la force et répartit la charge sur une surface de plus en effectiv plus grande; • les rigi rigidit dités és sont sont nulle nulless à charge charge nulle nulle;; • la rigidit rigiditéé tangente tangente augme augmente nte lorsqu lorsquee la charg chargee croît; croît; • les rigidité rigiditéss et la charge charge admissibl admissiblee sont beaucoup beaucoup plus plus grandes grandes en cas de de contact linéaire qu’en cas de contact ponctuel.

 

215

DÉFORMATIONS ET RIGIDITÉ F  [N]

500

b = 10 mm

400

acier

300  R = 5 mm

200 100 0

1

2

3

4

 f 

[µm]

Fig. 6.19  Relation force-déformation d’un cylindre et d’une sphère sur un plan.

k 

[N/m] × 106 300 200 100

acier

 

 R = 5 mm

b = 10 mm

F 

0

100

200

300

400 500

[N]

Fig. 6.20  Rigidité d’un cylindre et d’une sphère sur un plan.

6.4.4 Paliers

Les roulements à billes ou à galets présentent les caractéristiques typiques des contacts hertziens (fig. 6.21) et (fig. 6.22). A alésage et diamètre extérieur égaux, les roulements à galets, à aiguilles ou à tonnelets sont plus rigides que les roulements à billes; ils supportent aussi des charges plus élevées. Pruvot a développé des formules pratiques pour évaluer la rigidité des roulements [6.3]. A charge égale, la rigidité d’un roulement à billes croît comme d 1/3 et celle d’un roulement à galets comme d 0,8 (d  est  est l’alésage du roulement). Pour un même alésage, la rigidité d’un roulement à aiguilles est plus forte que celle d’un roulement à galets parce qu’il possède un plus grand nombre de corps roulants. On accroît la rigidité d’un palier à roulements en disposant plusieurs roulements en parallèle. On peut augmenter la rigidité r igidité de roulements vis-à-vis d’une charge en les préchargeant (§ 7.6.6).

 

216

CONCEPTION DES MACHINES

Fig. 6.21  Déformation radiale de roulements de 50 mm d’alésage.

Fig. 6.22  Déformation axiale de roulements de 50 mm d’alésage.

La rigidité des paliers lisses à lubrification hydrodynamique dépend de la position de l’arbre dans le coussinet. Elle est très faible lorsque l’arbre est parfaitement centré, au point que le palier se comporte comme s’il avait du jeu lorsqu’on lui applique une charge, elle augmente très rapidement avec l’excentricité (fig. 9.23b). L’influence de la rigidité des rotors sur leur vitesse critique sera examinée au paragraphe 18.2.2 et les problèmes de stabilité au paragraphe 18.2.4. On accroît la rigidité des paliers hydrodynamiques par une construction multilobes (§ 18.2.4). Les paliers hydrostatiques ont une forte rigidité lorsque l’arbre est centré; elle diminue avec l’excentrage. La valeur de la rigidité dépend du nombre de poches et du mode d’alimentation. Le lecteur intéressé se reportera à la littérature spécialisée. La rigidité des paliers magnétiques est ajustable comme pour tous les systèmes asservis (§ 6.4.8).

 

217

DÉFORMATIONS ET RIGIDITÉ

6.4.5 Dentures Rigidités des dentures

La force normale de denture d’un engrenage déforme les dents en prise. La déformation d’une paire de dents résulte de l’addition des déformations suivantes: • flexi flexion on de chaque chaque dent (moment (moment de flexion flexion et cisail cisaillemen lement); t); • écr écrase asemen mentt hertzie hertzienn sur la lign lignee de contac contact.t. La somme des déformations est représentée par un ressort porté par la ligne d’engrènement (fig. 6.23) dont la rigidité est k p Cette rigidité varie avec la position du point de contact sur le flanc des dents (fig. 6.24); s’il s’éloigne du pied de la dent (11), la déformation de flexion de cette dent augmente tandis que celle de la dent (1 2) diminue. La rigidité évolue pratiquement selon une parabole le long de la ligne d’engrènement. On l’a représentée en fonction de l’arc de base (fig. 6.25). On sait qu’une deuxième paire de dents vient en prise avant que la première perde le contact (fig. 6.24), de sorte que la rigidité k p2 de la deuxième paire, en parallèle avec la première, s’ajoute à k p1 pour donner la rigidité d’engrènement r b1

k p

1

2

r b2

d’une paire de dents en prise. Fig. 6.23  Modèle représentant la déformation d’une

 g  p  b

O1 E2 C 21

22

11

12

E1 O2 Fig. 6.24  Engrènement.

 

218

CONCEPTION DES MACHINES

k γ

 –

k γ k p1

 

k p2

sb  pb g

Fig. 6.25  Rigidité des dentures et rigidité d’engrènement d’engrènement le long d’un cercle de base.

(6.54)

k γ   =  k p1  +  k p 2

Cette rigidité évolue de manière discontinue et donne lieu occasionnellement à des vibrations paramétriques (sect. 17.6). Les normes de calcul des engrenages donnent la rigidité moyenne d’engrènement k γ   =

 16 ×  109 ( ε γ   ± 00,2 ,2 )

  E   E acier

b

(6.55)

et la rigidité moyenne d une paire de dents en prise unique  15 ×  10 9 ( ε γ   ± 0,54 )

k p   =

  E   E acier

(6.56)

b

avec: ε γ  E  b

rapport de conduite total (apparent + recouvrement) module d’élasticité réduit selon la formule (6.40) largeur des dentures [m]

Ces formules sont approximativement aussi valables pour des dentures hélicoïdales jusqu’à β   = 45°. Il est remarquable que la  rigidité d’engrènement soit indé pendante du module de l’engrenage l’engrenage. Arbre équivalent

Il est intéressant de comparer la rigidité des dents d’un pignon à celle de l’arbre qui le porte. Pour cela, répartissons la rigidité moyenne d’engrènement sur la roue et sur le pignon. Chaque élément a la rigidité moyenne 2k γ dont la mise en série donne k γ (fig. 6.26). Réduisons la rigidité de la denture à l’arbre. On a le moment de la force de denture  M   =

1    d 1 F n cos α  2

 

219

DÉFORMATIONS ET RIGIDITÉ 2 –k γ

 Fn

α    d  1

d 

le

b

Fig. 6.26  Longueur

d’arbre équivalente d’une d’une dent.

et la rotation du pignon correspondant à la déformation f  de  de ses dents ϕ   =  

2  f  d 1 cos α 

La rigidité vue de l’arbre vaut alors *

 M 

2  d 1 cos   α  F n

 d 1 cos   α 

2

k   

 

ϕ 

 

  

2

 

 f 

 

  

2

 2 k γ 

Le diamètre de l’arbre étant d , cherchons la longueur l e pour laquelle la rigidité de torsion est égale à la rigidité réduite de la dent. La rigidité de l’arbre équiv équivalent alent vaut k te   =

 

π G d 4

32

le

En égalant ces deux dernières expressions, on en tire   d 3 1  =  G d  16 cos2  α  d 12 k γ

π

le

Pour un engrenage droit en acier et un rapport de conduite ε γ  = ε α  = 1,65, k γ = 23,2 × 109 b. Introduisons encore la largeur de denture relative du pignon ψ d   =  

b d 1

Il vient, avec G = 80 × 109 N / m2 et α  =  = 20°,

 

220

CONCEPTION DES MACHINES

le

d 

 = 

0,77  d   3 

(6.57)



ψ d  d 1 

Dans les exécutions usuelles, ψ d = 0,4 à 1,2 et d1/d = 1,2 à 2. Alors le   d 

  =  0, 08 ... 11,1 ,1

Ce rapport est encore beaucoup plus petit pour une roue. En conclusion, les arbres étant généralement plus longs que l e , la rigidité des dentures d’engrenages d’engrenages est  beaucoup plus grande que celle des arbres qui les portent . Cette constatation permet le plus souvent de simplifier la modélisation dynamique des engrenages. On peut : • calcu calculer ler les charges charges dynam dynamiques iques de de résonance résonance d’engrenag d’engrenages es en les découpl découplant ant des arbres (facteur de charge c harge dynamique K v) (fig. 6.27a); • calcu calculer ler la rigidité rigidité des des transmissi transmissions ons à engrenage engrenage en ne ne tenant compt comptee que des arbres et en négligeant la déformation des dents (fig. 6.27b). libre k γ 

k 1

k γ = ∞

libre

k 2

(a)

(b)

Modélisation des rigidités d’un engrenage : (a) pour la dynamique de l’engrenage; (b) pour la dynamique du groupe. Fig. 6.27

6.4.6 6.4 .6 Tra Transm nsmiss ission ion par fro frotte ttemen mentt

Le comportement d’une liaison par frottement a été étudié en détail (§ 2.3.4 et 5.3.2). La transmission d’une force tangentielle provoque des microglissements partiellement irréversibles. En admettant pour simplifier que les microglissements sont proportionnels à la force, modèle de Dahl, on a la rigidité de glissement par (2.30) k g   =   T 0 δ 0

(6.58)

T 0 est la force

tangentielle de démarrage du glissement macroscopique et δ 0 est le microglissement au démarrage. Comme cette dernière valeur est comprise entre 5 et 8 µm quelle que soit T 0, la rigidité est proportionnelle à la charge transmissible. Elle vaut, par exemple, (12,5 à 20) × 106 N/m pour T 0 = 100 N. La rigidité est nulle pendant le glissement (fig. 6.28).

 

221

DÉFORMATIONS ET RIGIDITÉ k g

0

 

microglissement Fig. 6.28  Rigidité

δ 

δ 0

glissement

tangentielle d’une d’une liaison par par frottement.

6.4.7 Vérins

Le comportement d’un vérin est fondamentalement différent, selon qu’il est en communication avec avec sa source de fluide ou que sa conduite d’alimentation est fermée. Vérin alimenté à pression constante

Considérons un vérin à double effet (fig. 6.29) dont le tuyau (3) est en communication avec une source de fluide sous pression et le tuyau (4) relié à l’échappement. La pression p1 s’exerce sur la surface A1 du piston et la pression p2 sur la surface A2 du côté de la tige. Supposons que les pressions soient constantes, c’est-à-dire qu’on néglige les pertes de charge dans la tuyauterie et dans les organes de distribution. Le fluide exerce sur le piston la poussée F    =  A  A  p   ±  A  p

p

1 1

2 2

3

4

F p

 – 

F 

 – F f 

υ   p1

 

p2  x

 A1

 

A2

0

Fig. 6.29  Schéma d’un vérin, sens des forces de frottement pour la sortie de la tige.

La force de frottement dans les joints de piston et de tige est toujours opposée au mouvement du piston de sorte que la force à la tige dépend du sens du mouvement. Supposons que le piston soit arrêté en une position  x0 (fig. 6.30). Pour le mettre en mouvement par la pression du fluide, il faut vaincre la force de frottement de démarrage F f0, puis le frottement prend sa valeur dynamique F f . Le vérin peut exercer la force (6.59)

F   =  F p   ± F f 

 

222

CONCEPTION DES MACHINES F  F  F f 

F p F fo

0

F f  F 

 x

tige rentre

tige sort

 xmax

 x0

Fig. 6.30  Force

de tige d’un vérin.

Pour repousser la tige, il faut lui appliquer la force extérieure F   =  F p   + F f 

(6.60)

La force de tige devrait être indépendante du sens du mouvement, c’est pourquoi les constructeurs s’efforcent de diminuer le plus possible le frottement de leurs appareils. Pour de bons vérins, le frottement représente seulement 1 à 2% de la force nominale. La rigidité à la tige du vérin

k   =

 

dF 

(6.61)

d x est grande au repos et nulle lorsque le piston est en mouvement. Du point de vue de sa rigidité, un vérin alimenté se comporte comme une transmission de force par frottement. Vérin non alimenté

Fermons le robinet d’alimentation du vérin (fig. 6.31), le fluide est emprisonné entre ce robinet et le piston. Une variation d F  de  de la force appliquée à la tige comprime le fluide qui permet un mouvement d f  du  du piston. Les mouvements sont généralement assez rapides pour qu’on puisse admettre que la compression est adiabatique. Le coefficient de compressibilité adiabatique d’un fluide est par définition V  κ a   =   ± 1 d V  d p

(6.62)

Calculons la variation de la force sur la tige en fonction de son enfoncement: dF   =  A  A1 d p  =   ± A1

1 dV  κ a V 

 

223

DÉFORMATIONS ET RIGIDITÉ  p V 1 V 0 F 

 f   x

0

 x

Fig. 6.31 Vérin

non alimenté.

Mais dV  =  = – A1 d f , alors dF   =  

1  A12 κ a V 

d f 

La rigidité du vérin relative à la compression du fluide vaut k p   =

 

dF 

 = 

1  A12

d f 

κ a V 

Le volume du fluide participant à la compression se compose de l’espace mort V 0, vérin et tuyauterie, et du volume A1 x  x libéré par la course du piston: V  =  = V 0 + A1 x  x

Introduisons cette valeur dans l’expression de la rigidité et simplifions par A1 : k p   =

 

 A1  V 0



  A1



κ a 

  +  x  x 

Le gonflement du cylindre sous l’effet de la pression et la compression de la tige ont pour effet de diminuer la rigidité globale du vérin, l’effet dominant étant celui du cylindre. On exprime ce phénomène par un facteur de correction K : k p   =  Κ 

 

A1  V 0



  A1



κ a 

(6.63)

  +  x  x 

 

224

CONCEPTION DES MACHINES

Les développements ci-dessus et spécialement la formule (6.63) suggèrent les conclusions suivantes suivantes:: • A poussée poussée égale, égale, un vérin vérin fonctionna fonctionnant nt à basse basse pression pression est plus plus gros que que s’il fonctionne à haute pression, car  A1  = F / p  p ; sa rigidité est aussi plus grande. C’est pourquoi on ne cherche pas à travailler à haute pression dans les commandes de positionnement précises. • La rigidité rigidité est est d’autant d’autant plus plus grande que que l’espace l’espace mort est est petit petit (terme (terme V 0 / A  A1 0 si le po poin intt de ré réfé fére renc ncee es estt si situ tuéé ai aill lleu eurs rs qu qu’à ’à l’ l’ar arti ticu cula lati tion on et si la ligne d’action de la force passe par le centre de l’articulation k θi  > 0 si le po poin intt de ré réfé fére renc ncee es estt si situ tuéé au ce cenntr tree de l’ l’ar arti ticu cula lati tion on k θi  = 0 en tout point autre que l’articulation

 

245

PRÉCONTRAINTE B

B k i > 0

∆ ∆

C

∆

∆

A k i = 0 k i > 0

Fig. 7.7  Système fermé avec une articulation.

A k i = 0

Fig. 7.8  Système fermé avec deux articulations.

• deux articulations (fig. 7.8) k i  > 0 si la lig igne ne d’ d’ac acttio ionn pa pass ssee si simu mullta tané ném men entt pa parr le less de deux ux ar arttic icul ulaations k i = 0 si le po poin intt de ré réfé fére renc ncee est est si situ tuéé ail aille leur urss qu quee sur sur un unee art artic icul ulat atio ionn k θi = 0 partout •  plus de deux articulations articulations k i  > 0 si le less ar arti ticu cula lati tion onss so sont nt to tout utes es al alig igné nées es et si el elle less so sont nt si situ tuée éess su surr la ligne d’action de la force (chaîne) k i = 0 partout ailleurs

k θi

=0

partout

La caractéristique intérieure d’un système ainsi que sa rigidité intérieure sont des concepts extrêmement féconds. Nous verrons qu’ils habituellement permettent de séparément traiter par une théorie générale simple plusieurs problèmes présentés tels que: précontrainte, contraintes thermiques, déformations et contraintes de soudure, frettage.

7.3 GÉN GÉNÉRA ÉRATIO TION N DE DE LA LA PRÉC PRÉCONT ONTRAI RAINTE NTE 7.3.1 7.3 .1 Pré Précon contra train inte te géo géomét métriq rique ue Principe  La  précontrain  précontrainte te  géométrique  d’un système consiste à lui imposer une déformation dont il résulte un effort intérieur grâce à l’élasticité du système.  La

figure 7.9(a) montre une pièce (1), d’ouverture l1 entre ses faces A et B, dans laquelle on veut introduire une pièce (2) de longueur l2. Trop longue, la pièce (2) ne peut pas pénétrer dans (1). On appelle serrage géométrique  ou distance de précontrainte l’excès de longueur  f 0   =

 

 l 2   ±

(7.6)

l1

 

246

CONCEPTION DES MACHINES traction 1

1  +   

A

B A

l1

B 2   –

F 0

compression

 f 0

2 (a)

l 2

(b)

Fig. 7.9 Précontrainte géométrique : (a) avant montage; (b) après montage.

Ouvrons la pièce (1) et comprimons la pièce (2) jusqu’à ce qu’on puisse la glisser dans (1). En abandonnant le système à lui-même, les pièces entrent en contact (fig. 7.9b); il subsiste une force F 0  qui les appuie l’une sur l’autre, c’est la  force de précontrainte. La pièce qui était trop longue est comprimée, l’autre est tendue et fléchie.

 La force force de précontrainte n a pas de signe en soi, on l admettra admettra toujours toujours positive. positive.

Calcul de la précontrainte Soumises à une force F , la pièce (1) subit une déformation f   (F ) et la pièce (2) se 1 deux pièces sont en déforme de f 2 (F ). ). Du point de vue du cheminement de la force, les série et leurs déformations s’ajoutent   f 1 ( F )   +  f 2 ( F )  f ( F )   =  f 

(7.7)

Cette relation est représentée par la figure 7.10, la fonction  f (F ) est la caractéristique intérieure du système complet. F   f 2

 f 1

k 20

 f 

k io

k 10

F 0

0  f 10

 f 20

 f 

 f 0

Fig. 7.10  Caractéristiques force-déformation.

 

247

PRÉCONTRAINTE 1 A

l1

F 0 –

                                     

B  f 10

F 0  f 0

F 0

F 0 –

2

l2

 f 20

Fig. 7.11 Déformation de précontrainte.

On voit dans la figure 7.11 comment la force F 0 agrandit l’ouverture de la pièce (1) de la quantité f 10 et comprime la pièce (2) de la quantité f 20. La compatibilité géométrique visible dans la figure s’exprime par l

  +  f   f    =

 l   ±  f 

(7.8)

                          

1

10

2

20

ou   =  f   f    +  f    =  f   f  1 10 20 0

 ±

l

l

2

(7.9)

Disposant de la caractéristique force-déformation intérieure (fig. 7.10) ou des fonctions numériques, on peut trouver : • la précon précontra traint intee résulta résultant nt d’un d’un serrage serrage f 0 , F 0   =  F ( f 0 )

(7.10)

• le serrage serrage nécess nécessaire aire pour obten obtenir ir la la précontr précontrainte ainte F 0 ,  f 0   =  f   f ( F 0 )

(7.11)

Les déformations f 10 et f 20 se lisent dans le diagramme 7.10 ou se trouvent par les fonctions de déformation  f 10   =  f   f 1 ( F 0 )

    

 f 20   =  f    f 2 ( F 0 )

(7.12)

La rigidité tangente intérieure k i0 du système précontraint est égale à la pente de la caractéristique intérieure au point ( f   f 0, F 0), elle dépend du niveau de la précontrainte. Les pièces déformables étant en série, on a, selon (6.21),

 

248

CONCEPTION DES MACHINES

k i 0   =

  1 k 10

1  + 

1

(7.13)

k 20

Dans le cas fréquent où toutes les rigidités ont un comportement linéaire, leur valeur k 1 et k 2 sont constantes, tout comme la rigidité intérieure k i   =

  1 k 1

1  + 

1

(7.14)

k 2

La figure 7.12 donne immédiatement F 0   =  k i  f 0

(7.15)

Théorème.  Dans un système élastique fermé linéaire, la précontrainte est égale é gale au produit de la rigidité intérieure du système par la distance de précontrainte précontrainte..

On obtient l’allongement de la pièce (1)

    

 f 10   =

 

F 0 k 1

 = 

k i

 

k 2

 f 0

(7.16)

k 1 k i  f 0  f 0   =   k 1  +  k 2 k 2

(7.17)

k 1

 f 0   =

k 1  +  k 2

et la compression de (2)  f 20   =

 

F 0 k 2

 = 

F 

 f 10  f 20  f 2

 f 1

 f 

F 0

k 2 k 1

k i

0

 f 0

 f 

Fig. 7.12  Déformation de précontrainte.

 

249

PRÉCONTRAINTE

On appelle rapport de rigidités : Φ   =  

k 1 k 1  +  k 2

1

 =  1

(7.18)

k  +  2 k 1

Ce rapport très utile se détermine souvent empiriquement, par exemple dans les assemblages boulonnés. Alors,  f 10   =

  (1 ± Φ )  f 0

(7.19)

 f 220  0   =  Φ  f 0

(7.20)

Diagramme de précontrainte F 

F  F 1

 – F 2

F 0

F 0

k 1

k 2

 f 1

0

 f 2

 f 10

 f 20

(a)

0

(b)

Fig. 7.13  Déformations : (a) allongement de (1); (b) compression de (2).

La figure 7.13 représente la caractéristique force-déformation de chaque pièce. La déformation de la pièce (2) est portée à gauche de l’origine puisqu’il s’agit d’une compression. Selon les conventions habituelles, la force F 2  est négative (compression), mais on porte en ordonnée sa valeur opposée puisqu’on admet que la précontrainte est toujours positive. Réunissons les deux diagrammes de la figure 7.13 en un seul (fig. 7.14a) représentant aussi la condition de compatibilité géométrique (7.8). Traçons par les extré –F  F 2  de mités du segment 0-A de longueur  f 0, les caractéristiques F 1 respectivement  – pente k 1 et k 2. Leur intersection B fournit la précontrainte et la déformation de chaque pièce. Cette figure constitue le diagramme de précontrain précontrainte te auquel on donne parfois aussi de diagramme serrage. La figure 7.14(b) est un diagramme analogue en casledenom comportement nonde linéaire. Précontrainte par une cale d’épaisseur

On précontraint certains systèmes en insérant une cale relativement mince, tou jours beaucoup plus rigide que le reste du système (fig. 7.15). 7.15). Comme k 2 >> k 1, on a la rigidité intérieure k i   ≈  k 1

 

250

CONCEPTION DES MACHINES

 – F 2

l1

0

 – F 2

B

F 0

référence

F 1

F 1

B

F 0

k 2

k 1  f 10

 f 20

A

 f 

0  f 10

 f 0

 f 20

A

 f 0

l2

(a)

(b)

précontrainte:: (a) caractéristiques linéaires; (b) caractéristiques quelconques. Fig. 7.14  Diagrammes de précontrainte

Il en résulte que Φ   ≈ 0 et  f 20   > k 1

Fig. 7.15  Précontrainte par une cale.

 f 20 ¯  0

Fig. 7.16  Diagramme de précontrainte par une cale

d’épaisseur.

La représentée figure 7.16 illustre diagramme derigidité précontrainte où la caractéristique de la cale est par une leverticale, car sa est pratiquement infinie vis-à-vis de celle de l’autre pièce. Précontrainte par un élément très souple

Autre cas particulier, le système est précontraint par un élément très souple, souvent un ressort (fig. 7.17). Alors k 1 >> k 2 et k i   ≈  k 2

 

PRÉCONTRAINTE

251

Par conséquent, Φ   ≈ 1 et  f 10   > k 2′ , par conséquent Φ ' ≈ 1. ressort

4 ∆ M 2

 M II

5  F5

k '2  –  M 

+

6

II

1

7

moteur k '1

∆ M 1

+

 M I

3

 F3

2 Fig. 7.71  Engrenages précontraints par une barre de torsion.

Transmettons maintenant par les arbres intermédiaire, dans le sens indiqué dans la figure, un couple moteur M  qui  qui se répartit en principe sur les deux voies de transmission selon

 

PRÉCONTRAINTE

287

 M  ∆ M 1  =  Φ ′ M   ≈  M  ∆ M 2   =   (1 ± Φ ′ ) M   ≈   0

L’effort utile est transmis pratiquement seulement par la voie I. Le couple transmis par chaque voie devient  M I   =  M    M 0   +  M   M   M II   =  M   M 0

Ces relations sont représentées dans la figure 7.72. Inversons le sens du couple moteur, M I s’annule pour M  =  = – M 0 et la denture du pignon (3) parcourt alors son jeu avec (6). Supposons qu’on veuille transmettre un couple maximal  M max, il faut une précontrainte M 0 >  M max pour que le couple puisse s’inverser sans que les jeux ne se manifestent. Par conséquent, il faut dimensionner les organes de la voie I pour un cou-

ple maximal un peu supérieur à 2 M max.  M I

 M max  M 0  M II II  M max

 –M 0  –M max

 M 

0

 M max

Fig. 7.72  Couple transmis par les voies voies du réducteur de la figure 7.71.

La figure 7.73 représente le mécanisme de commande d’une table de fraiseuse. L’arbre central (1) porte les pignons hélicoïdaux (2) et (3) dont les angles d’hélice sont opposés. L’arbre coulisse librement axialement, il est poussé contre les dentures des roues (4) et (5) par le ressort (6). F t2 t2 et Isolons l’arbre central au repos (fig. 7.74). Les composantes périphériques F t3 sont égales et opposées (équilibre périphérique). Par conséquent, les composantes

axiales sont aussi égales, mais elles sont dirigées dans le même sens. Ces dernières sont en équilibre avec la poussée du ressort, par conséquent F a 2   =  F a 3   =

 

1 F 6 2

(7.79)

Les forces périphériques F t2 et F t3 sont égales et donnent naissance au couple de précontrainte M 0. La construction des deux voies de transmission étant pratiquement

 

CONCEPTION DES MACHINES

288

entraînement 6

Voie I

Voie II 4

2 3 1

5

Table Fig. 7.73  Commande d’une table de fraiseuse.

 F –t2

 F –n2  M  –0

1

 F –a3

 F6

 F –a2

 M 

 M 0

 F –t3  F –n3

Fig. 7.74  Equilibre au repos de l’arbre (1) de la figure 7.73.

,5. Appliquons maintenant le couple moteur M  , , il se symétrique, 1′  = 2′  et Φ ′  = 0,5. répartit par moitié sur les deux voies (fig. 7.75)  M I   =  M    M 0   +  0,5  M   M II   =  M   M 0   ±

0,5  M 

En raisonnant comme dans le cas précédent, pour transmettre  M max, il faut  M 0 > 0,5 M max et donc dimensionner les pièces pour  M I   =  M    M 0   +  0,5  M max   >  M   M max

(7.80)

Comparé au mécanisme précédent, il présente le grand avantage que le couple transmis par la voie la plus chargée ne vaut plus que la moitié du couple rencontré dans

 

PRÉCONTRAINTE

289 le système ayant seulement un arbre souple. Les dents restent aussi en contact à l’inversion du couple moteur. Nous verrons que le couple de précontrainte  M 0 donne lieu à une circulation de puissance (§ 12.6.1).  M II

 M max

 –2 M 0

 M I

 M 0

 M max

0

2 M 0

 M 

voies du réducteur de la figure 7.73. Fig. 7.75  Couple transmis par les voies

L’exemple suivant suivant est intéressant parce qu’il montre une précontrainte électrique

au lieu de la traditionnelle précontrainte mécanique à ressort (fig. 7.76a). La roue dentée de sortie est attaquée par deux moteurs électriques par l’intermédiaire de réducteurs identiques. Il existe cinq régimes de fonctionnement représentés dans le diagramme 7.76(b): •  Régime I. Les moteurs appliquent à la roue de sortie des couples  M 1  et  M 2 égaux et opposés. Tout le système est précontraint; notons que la boucle de précontrainte est fermée à travers l’installation électrique, dispositif de commande et amplificateurs de puissance. Le mécanisme reste au repos. •  Régime II. L’intensité du couple  M 1  est supérieure à celle de  M 2, le couple résultant M  =  =  M 1 –  M 2 est positif. Le mouvement peut accélérer dans le sens positif. •  Régime III. L’intensité de M 2 est supérieure à celle de M 1, alors M  <  < 0, le mouvement ralentit si la rotation est positive ou s’accélère dans le sens négatif. •  Régime IV IV.. En partant de la situation I ou II, II , on diminue M 2 puis on inverse le sens de ce couple. Les dentures restent en appui du côté  M 1, mais le second moteur conjugue son effort avec le premier pour entraîner le mécanisme dans le sens positif. •  Régime V. Même situation que IV, mais dans le sens négatif en diminuant M 1. Ce système offre l’avantage d’une commande souple et puissante, on le rencontre dans des servomécanismes rapides. Mécanismes articulés

La figure 7.77 montre un mécanisme à came. Supposons qu’un ressort de rappel (6) agisse directement sur le bras portant le suiveur (2), le jeu existant dans les articulations (C), (D) et (E) perturbe le mouvement de l’extrémité de la chaîne cinématique (sect. 15.3). On supprime l’effet de ces jeux en plaçant le ressort dans la position (7), sur le levier (5). La force exercée par ce ressort doit être assez forte pour que, compte tenu des forces d’inertie, les couples cinématiques ne perdent jamais le contact (sect. 15.5).

 

CONCEPTION DES MACHINES

290

 M 1

consigne

+M 

com.

moteurs  M 2

(a)  M   M =2 M 1> 0

 M 1  M 1

0

=0  M =0

 M = M 1 – M 2> 0

 M 1= M 2  M 1

 M 2

 M < 0

 M 2

 M 1= M 2

 M 2  M =2 =2 M 1< 0

régimes

I

II

III

IV

V

(b) Fig. 7.76  Réducteur précontraint électriquement : (a) schéma; (b) modes de fonctionnement.

B

3

1

A

2

6

C 7

E

4

5 D

Fig. 7.77  Mécanisme à came.

 En principe, un ressort de rappel doit toujours agir agir sur le dernier élément d’une chaîne cinématique.

7.6.6 7.6 .6 Aug Augmen mentat tation ion de la rig rigidi idité té Principes

Un certain organe de machine soumis à la charge F   présente une rigidité k 1 (fig. 7.78a). Insérons-le dans une boucle précontrainte dont la rigidité de la seconde branche est k 2 (fig. 7.78b). Il en résulte deux effets:

 

PRÉCONTRAINTE  –

(a)

F 

k 1

F 

F 

k '1

 –

B

F 

k 1 F 

291

F  k 2

F 0 k 1

F 

A

(b) 0

F 0

Fig. 7.78  Pièce seule (a) ou précontrainte (b).

 f 

Fig. 7.79  Accroissement de la rigidité d’un élément à

contact hertzien par une précontrainte.

• La rigid rigidité ité appar apparent entee du systèm systèmee devien devientt k   =  k 1  +  k 2

(7.81)

Notons que la rigidité n’augmente que si la rigidité k 2 n’est pas nulle, c’est-àdire qu’en cas de précontrainte géométrique. • Si l’élément l’élément de machine machine présent présentee un contact contact hertzien, hertzien, sa rigidité rigidité tangente tangente k 1 croît lorsqu’il est préchargé et devient k 1′ (fig. 7.79). La rigidité résultante est alors (7.82)

k ′  =  k 1′  +  k 2   >  k 1  +  k 2

Voici quelques exemples d’application. Précharge de roulements

Dans le cas idéal d’un roulement radial sans jeu, tous les corps roulants situés dans la demi-circonférence opposée à la charge participent à la transmission de la force (fig. 7.80a). Ils se comportent comme un ressort qui soutient l’arbre (fig. 7.80b); la rigidité de ce ressort équivalent est progressive, elle est nulle à charge nulle (§ 6.4.3).

F r

F r

ψ  k r

(a)

Qmax

( b)

charge sur les corps roulants; (b) ressort équivalent. ig. 7.80  Roulement radial sans jeu : (a) distribution de charge

En forçant la bague intérieure sur un arbre plus gros que son alésage et/ou en montant la bague intérieure dans un logement plus petit que son diamètre extérieur, le

 

CONCEPTION DES MACHINES 292  jeu interne radial diminue et peut peut même devenir devenir négatif. Il en résulte un serrage radial uniforme des corps roulants (fig. 7.81a), c’est-à-dire une précontrainte qui enserre l’arbre entre deux ressorts (fig. 7.81b). Le diagramme de précontrainte (fig. 7.82) contient les caractéristiques de chaque demi-circonférence, F 0 est leur précharge. La rigidité initiale n’est plus nulle; en outre, leur rigidité apparente initiale vaut

k r   =

(7.83)

  2 k r 0

parce que ces ressorts sont en parallèle vis-à-vis d’une charge radiale.

 –

F 0

F 0

k ro

k ro

(a)

(b)

Q0

Fig. 7.81  Précontrainte radiale d’un roulement : (a) distribution distribution de charge sur les corps corps roulants; (b) schéma

équivalent. F 

2

1

k ''''r F r

k ro

 D

k ro

F 0

ε D

F r k 'r  f 

0

Fig. 7.82  Diagramme de précontrainte radiale d’un

roulement.

Qmax

Fig. 7.83  Distribution de charge charge sur les corps rourou-

lants d’un roulement insuffisamment préchargé.

Une charge radiale F r accroît la charge sur la demi-circonférence opposée dont la rigidité devient k r′′ et diminue la charge et la rigidité de l’autre demi-circonférence (fig. 7.82). Si la charge est forte vis-à-vis de la précontrainte, une partie des corps roulants de cette dernière demi-circonférence peuvent se trouver déchargés, ils ne portent plus que dans la fraction ε  D   D du diamètre (fig. 7.83). La précontrainte des roulements permet à la fois de supprimer le jeu et d’accroître la rigidité des paliers. Elle s’obtient le plus souvent à l’aide d’une précharge axiale. Cette précharge diminue naturellement la longévité des roulements; il est avantageux de choisir des roulements à billes à contact oblique ou des roulements

 

PRÉCONTRAINTE

293 à galets coniques montés en opposition qui sont faits pour transmettre des charges radiales et axiales. Voyons, par exemple, un pont arrière de véhicule (fig. 7.84). Le fonctionnement satisfaisant des engrenages coniques nécessite une grande précision et une grande rigidité du montage ainsi que l’absence de jeu. L’arbre du pignon conique est monté sur les deux roulements coniques (1) et (2) qui sont préchargés axialement par une force dont le cheminement est B. La précharge est obtenue par le serrage de l’écrou (3) fixant aussi l’accouplement sur l’arbre, cheminement A. L’écrou L’écrou étant serré, serré , l’intensité de la précontrainte des roulements s’ajuste en jouant sur l’épaisseur de la rondelle (4) (précontrainte géométrique). Les roulements (6) et (7) portant la cage du différentiel sont préchargés par serrage axial entre les écrous (8) et (9). Le cheminement C de cette précharge passe par le bâti du pont.

1

B

8 2

6

C

A

3

7

4

9

Fig. 7.84

  Précharge des roulements d’un pont arrière de voiture.

Le serrage des roulements de la figure 7.84, soit par l’écrou (3), soit par les écrous (8) et (9), influence aussi la position relative du pignon et de la couronne. Vu Vu la précision d’engrènement exigée, le positionnement de l’engrenage et la précharge ne devraient pas s’influencer mutuellement. La figure 7.85 montre un montage favorable. La précharge est obtenue par le serrage de l’écrou (1), elle résulte directement de la largeur de la bague (2). En revanche, le positionnement axial du pignon s’ajuste séparément en jouant sur l’épaisseur de la rondelle (3).

 

CONCEPTION DES MACHINES

294 3

1

2

Fig. 7.85 Positionnement axial d’un pignon conique indépendamment de la précharge des roulements.

On peut en principe aussi précharger radialement les roulements à billes à gorges profondes ou les roulements à galets cylindriques en les montant avec un serrage des bagues soigneusement choisi, mais l’ajustement de cette précontrainte est délicat. Vis de mouvement

Les vis de mouvement sont destinées à déplacer et à positionner un objet en lui appliquant une force parallèle à l’axe de la vis. On utilise aujourd’hui presque toujours des vis avec écrou à billes. La vis se monte souvent avec des roulements dont l’un est fixe dans le bâti de la machine tandis que l’autre fonctionne comme palier libre axialement (fig. 7.86). Ce montage présente une série de défauts inacceptables dans les machines précises (machines-outils): • le roulement roulement fixe fixe et l’écrou l’écrou à billes présent présentent ent chacun chacun du jeu et sont sont peu rigides rigides à faible charge; • la sect sectio ionn de de la vi viss étan étantt A et son module d’élasticité E , la rigidité axiale de la portion de la vis située entre l’écrou et le roulement fixe

(k v )x   =    EA

(7.84)

 x

varie inversement inversement à la distance x entre l’écrou et le roulement fixe, elle diminue rapidement lorsque l’écrou s’éloigne du palier fixe. La rigidité entre l’écrou et le bâti résulte de la mise en série des ressorts représentant le roulement (k r), la vis (k v)x et l’écrou (k e). La figure 7.87 illustre le modèle. Appliquons maintenant le principe de précontrainte pour accroître la rigidité du mécanisme. Il suffit pour cela de fixer axialement l’autre roulement et d’imposer une précontrainte géométrique (fig. 7.88). Le modèle représenté à la figure 7.89 montre

 

PRÉCONTRAINTE

295

 x l 

Fig. 7.86  Montage isostatique d’une vis de mouvement. mouvement. k r

(k v)x

k e k r

(a)

(k v)x

(b) Fig. 7.87  Modélisation d’une vis de mouvement libre : (a) schéma; (b) ressorts.

k e

boucle écrou

boucle vis

F 0  x

l –

x

l

d’une vis de mouvement. Fig. 7.88  Précharge d’une

k 'r

(k v)x

k e

(k v) l –x

k 'r

k 'r

F 0 –

(k v)x

F 0

k e

(a)

(b)

k 'r

(k v) l –x

Fig. 7.89  Modélisation d’une vis de mouvement préchargée : (a) schéma; (b) ressorts. ressorts.

clairement que la branche de la vis de longueur x vient en parallèle avec la branche de longueur l  ±  x . k r′ est la rigidité tangente des roulements pour la charge de précontrainte. On a admis que le bâti est infiniment rigide. L’allure de la rigidité des mécanismes vis-à-vis d’une force appliquée entre l’écrou et le bâti en fonction de la position de l’écrou est représentée à la figure 7.90. On remarque que la rigidité du système précontraint est minimale au milieu parce que la rigidité de la vis diminue lorsque l’écrou s’éloigne d’un palier, puis augmente à nouveau lorsqu’il se rapproche de l’autre.

 

CONCEPTION DES MACHINES

296 k 

2 roulements précontraints

1 roulement libre  x

0

0,5

l

1

Fig. 7.90  Rigidité d’une vis de mouvement mouvement selon la position de l’écrou.

3 1

2

1

3 2

(a)

(b)

Fig. 7.91  Ecrou de vis à billes : (a) précontrainte dirigée vers l’intérieur; (b) précontrainte dirigée vers l’extérieur.

La suppression du jeu et l’augmentation de la rigidité entre la vis et l’écrou s’obtiennent aussi par précontrainte (fig. 7.91). Deux écrous (1) et (2) sont montés en opposition et précontraints géométriquement en jouant sur l’épaisseur d’une cale d’ajustage (3), ou en décalant angulairement les écrous. Les solutions utilisées pour améliorer le mécanisme de vis de mouvement à billes sont basées sur la mise en parallèle de deux branches et sur l’accroissement de la rigidité de contacts hertziens par une précontrainte. Il importe que la précontrainte soit supérieure à la force axiale transmise par l’écrou. Enveloppe gonflée

Un pneu ou un ballon devient relativement rigide si son enveloppe est précontrainte en tension par un fluide fl uide intérieur sous pression. 7.6. 7. 6.7 7 Am Amor orti tiss sseu eurs rs de de choc chocss

Considérons un amortisseur de chocs à ressort précontraint par une force F 0  et devant dev ant absorber l’énergie U . Selon la figure 7.92, on a U   =

 

1 2   f 02 k ( f 0   +  ∆ f )   −  f  2

[

]

 

PRÉCONTRAINTE

297

D’où on tire la déformation du ressort par le choc ∆ f   =    f 02   +  

2U    ±  f 0 k 

(7.85)

Si le ressort n’était pas précontraint, il se déformerait de la quantité ∆ f 1  =  

2U  k 

(7.86)

et la force à la fin du mouvement serait F  1  =

  2 kU 

(7.87)

La déformation du ressort préchargé est une fraction de celle du ressort non pré contraint, ∆ f   = ∆ f 1

2

  f    f  1 +   0    ± 0 ∆ f 1  ∆ f 1 

(7.88)

F  F  F 0

F 1

U  k   f 

0

∆ f 1

 f 0   ∆ f 

Fig. 7.92  Stockage d’énergie potentielle potentielle dans un ressort. ressort.

Naturellement, la précontrainte accroît la force en fin de choc où elle vaut   f 0  F   =  F  1   +  1   ∆ f 1 

2

(7.89)

Avec une prédéformation  f 0  = 3∆ f 1, la course est réduite à 16,2% de ce qu’elle serait sans précontrainte et F  =   = 3,16 F 1. Ce principe est utilisé dans les tampons de chemin de fer.

 

298

CONCEPTION DES MACHINES

7.6.8 7.6 .8 Aug Augmen mentat tation ion de de la vitess vitessee critiqu critiquee

La vitesse critique d’un arbre augmente lorsqu’il est sollicité par une force de traction (§ 18.2.7). On en profite dans les montages de vis de mouvement selon la figure 7.88; une précontrainte en traction permet du même coup d’accroître la vitesse de la vis.

7.7 ASS ASSOUP OUPLIS LISSEM SEMENT ENT DES DES SYSTÈMES SYSTÈMES PRÉCO PRÉCONTR NTRAIN AINTS TS Nous avons vu qu’il est souvent avantageux d’assouplir un système précontraint dans le but: • d’aug d’augmente menterr la précision précision d’établisse d’établissement ment de la précontr précontrainte ainte géométri géométrique que (§ 7.3.4); • de diminuer diminuer l’eff l’effet et des perturb perturbation ationss géométriqu géométriques es (§ 7.4.1); 7.4.1); • d’af d’affaibl faiblir ir l’amplitud l’amplitudee de la sollicitati sollicitation on dynamique dynamique des pièces pièces tendues tendues

(§ 7.6.3). On atteint l’objectif : • en assoupli assouplissant ssant au au moins moins une pièce pièce située située dans la la boucle boucle précontrain précontrainte; te; • en insérant insérant un élémen élémentt élastique, élastique, général généralement ement un un ressort, ressort, dans la la boucle préprécontrainte. Voici quelques exemples. Assemblages boulonnés

La rigidité de la tige d’une vis sollicitée axialement est donnée par k   =  

 

 E A

(7.90)

l

Les moyens permettant de diminuer sa rigidité se lisent dans la formule. Les vis et goujons étant pratiquement toujours en acier, il n’est pas possible de modifier le module d’élasticité E . On peut en revanche agir sur la géométrie : • Di Dimi minu nuer er la se sect ctio ionn A du corps de la vis en faisant le diamètre de la tige égal à (0,8 … 0,9) d 3 (d 3 est le diamètre au fond du filet). On choisit alors un acier à haute résistance pour compenser la diminution de la section. Une telle vis est vis élastique (fig. 7.93), la figure 7.94 illustre une application. • appelée Augmenter Augm enter la longueu longueurr de la vis, soit soit en offrant offrant à la vis vis un bossage bossage spécialespécialement long (fig. 7.95a), soit en intercalant une douille sous l’écrou (fig. 7.96a) ou encore en donnant à la vis une grande longueur par des dispositions constructives tructiv es judicieuses (fig. 7.95b et c). La souplesse du bossage, de la douille et des pièces de serrage s’ajoute à celle de la vis. On diminue le danger de desserrage spontané d’une vis en prolongeant le forage et en ne taraudant que le fond (fig. 7.95d). • Util Utiliser iser des vis vis élastiques élastiques et allonge allongerr leur tige. tige. Ces mesures mesures combinées combinées sont sont très efficaces. Elles se rencontrent dans les boulonnages de tuyauterie et de turbines à vapeur ou à gaz (fig. 7.96).

 

PRÉCONTRAINTE

Fig. 7.93  Vis et goujons élastiques.

299

Fig. 7.94  Vis élastiques dans une tête de bielle.

L’assemblage boulonné de pièces en verre ou en porcelaine, comme dans certains appareils de l’industrie chimique, est particulièrement délicat, car ces matériaux sont fragiles. Supposons, par exemple, que des tuyaux en verre soient assemblés par des brides serrées par des boulons M12. On calcule que le serrage augmente environ de 1000 N pour une rotation de l’écrou d’un degré. Il est impossible de régler la précontrainte mieux qu’à 10 kN près car le monteur ne peut pas tourner les outils avec une précision meilleure que quelques degrés. Un réglage du serrage aussi grossier entraîne souvent le bris du matériel, ce qui survient aussi à l’occasion de dilatations thermiques. On donne la souplesse nécessaire à l’assemblage en interposant un ressort à boudin entre l’écrou et la bride (fig. 7.97). Le serrage est aisé puisqu’il faut maintenant une dizaine de tours d’écrou pour obtenir le serrage souhaité; la rigidité est 1000 à 5000 fois plus petite qu’avec le montage sans ressort. Roulements

La précontrainte géométrique précise de roulements exige beaucoup de soins. Une rondelle élastique (fig. 7.98) donne toute la souplesse nécessaire pour garantir une précharge correcte sans devoir exiger des tolérances de fabrication extrêmes et sans que les effets thermiques n’affectent beaucoup le système; mais la maîtrise du jeu entre le roulement et l’alésage reste un problème d’usinage délicat. La figure 21.25

 

CONCEPTION DES MACHINES

300

(d)

(a)

(b)

(c) Fig. 7.95 Allongement des vis d’assemblage : (a) bossage long; (b) brides folles; (c) culasse d’un moteur

diesel; (d) taraudage au fond d’un trou borgne.

représente une broche de rectifieuse dont les roulements à contacts obliques sont précontraints axialement par un ressort à boudin et la figure 21.26 un montage offrant une certaine souplesse radiale.

 

PRÉCONTRAINTE

301

(a)

( b)

(c)

Fig. 7.96  Assemblages par vis élastiques longues : (a) vis avec une douille; (b) goujon avec deux douilles;

(c) bache de turbine à vapeur.

ressort à boudin

 joint brides folles tube Fig. 7.97  Assemblage à ressort pour tuyaux en verre.

rondelle ressort

Fig. 7.98  Roulements préchargés axialement par une rondelle ressort.

 

302

CONCEPTION DES MACHINES

7.88 CO 7. CONC NCLU LUSI SION ONS S PRIN PRINCI CIPA PALE LES S Un système est dit précontraint lorsqu’il est le siège d’efforts intérieurs en l’absence de toute charge extérieure. L’effort de précontrainte chemine en boucle fermée, la rigidité intérieure se définit en boucle ouverte. On distingue trois manières de créer une précontrainte: • La précontrain précontrainte te géométriq géométrique ue consiste consiste à imposer imposer une une déformation déformation à un système initialement libre. Cette déformation est dite serrage géométrique ou distance de précontrainte. La précontrainte obtenue est égale au produit de la rigidité intérieure par la distance de serrage. • La précontrai précontrainte nte par un effort effort imposé imposé est indépend indépendante ante de la déformat déformation ion des • pièces. L’auto ’autofretta frettage ge est obtenu obtenu en déformant déformant plastiqueme plastiquement nt une partie partie de la boucle. Le système se comporte comme dans le cas de la précontrainte géométrique. La précharge d’un système par un ressort est, en fait, une précharge géométrique;

mais si le ressort est souple, le système se comporte comme avec un effort imposé. Les systèmes rigides précontraints géométriquement sont très sensibles aux tolérances de fabrication des pièces, ils sont affectés par les dilatations thermiques. Leur précontrainte diminue lors du lissage des aspérités des surfaces en contact, lors de l’usure et en cas de fluage des matériaux. Dans l’intérêt du maintien de la précontrainte, il faut polir ou usiner très finement les surfaces en contact, assouplir le système ou précontraindre par une force imposée. Dans tout système précontraint existent des parties chargées en sens opposés l’une de l’autre, par exemple, l’une traction et en l’autre compression. charge extérieure se répartit entre elles. Cesenparties sont sérieenpour le calcul deUne la rigidité intérieure, mais en parallèle du point de vue de la charge extérieure. La précontrainte s’emploie pour: • press presser er l’une sur sur l’autre les les pièces d’un d’un assemblag assemblagee devant devant transmett transmettre re une force par frottement; • compr comprimer imer en permanen permanence ce un matér matériau iau peu peu résistan résistantt en tracti traction; on; • dimi diminuer nuer la charge charge dynam dynamique ique appli appliquée quée à une pièce tendu tenduee ; • préch précharger arger les les transmissi transmissions ons non positi positives ves pour pour leur permettre permettre de transmett transmettre re un effort par frottement; • su supp ppri rime merr les les je jeux; ux; • accroî accroître tre la rigidité rigidité d’élément d’élémentss à contact ponctuel ponctuelss ou linéiques, linéiques, en particuli particulier er celle des roulements; • accroî accroître tre l’énerg l’énergie ie stockée stockée dans dans un ressor ressortt pour pour une course course donnée; donnée; • augme augmenter nter la vitesse vitesse critiqu critiquee d’un arbre arbre ou d’une vis vis de mouvement mouvement en les les préchargeant en traction. On améliore la précision d’établissement d’une précontrainte géométrique et on diminue l’effet de perturbations géométriques en assouplissant un élément de la boucle précontrainte. L’assouplissement d’une pièce tendue précontrainte permet de diminuer sa fatigue sous l’effet d’une charge dynamique appliquée au système.

 

CHAPITRE 8

DISTRIBUTION DES EFFORTS

8.1 INTR INTROD ODUC UCT TIO ION N On transmet souvent une charge à travers plusieurs voies parallèles pour: pour : • dimi diminuer nuer la taille taille des éléments éléments individue individuels; ls; par exemple exemple,, sept satellites satellites plutôt plutôt que seulement trois dans un train épicycloïdal;

• multiplie multiplierr l’effort l’effort transmissib transmissible le par un élément; élément; par exemple, exemple, transmissi transmission on à plusieurs courroies trapézoïdales; • assur assurer er la stabilité stabilité d’une d’une constructio construction; n; par exemple, exemple, une une grue à portique portique avec avec quatre jambes. On appellera transmetteur  un   un élément chargé de transmettre l’effort d’une voie; distributeur  un  un élément é lément qui distribue l’effort total sur les diverses voies de transmission. Selon le mode de transmission, on distingue: efforts discrets • les  forces  transmis par des distincts; réparties  transmises par transmetteurs des surfaces ou par des lignes de contact sous la forme d’une pression ou d’une charge linéique.

Les transmissions multivoies sont souvent hyperstatiques et les transmetteurs peuvent présenter du jeu, de sorte que la distribution des efforts dépend de la rigidité des pièces et de l’intensité de la charge. Il suffit de penser, par exemple, à une table à quatre pieds qui boite ou à un véhicule dont la suspension absorbe les inégalités du sol. On vise le plus souvent à répartir les forces uniformément sur les transmetteurs ou sur les surfaces afin d’exploiter au mieux la capacité de transmission de chaque élément. Une construction est bien équilibrée lorsqu’aucun transmetteur n’est surchargé par rapport aux autres. Mais ce souhait ne peut pas toujours être satisfait, comme dans les roulements ou les embrayages, par exemple. Ce chapitre traite la répartition des efforts et présente les moyens d’éviter les surcharges. Il contient de nombreux exemples connus, mais il a pour but d’attirer l’attention des projeteurs sur la nécessité de tenir compte de la distribution exacte des efforts pour dimensionner correctement les organes de machines. La pratique consistant à calculer les éléments seulement sur la base d’un effort moyen devrait être abandonnée. Le chapitre est structuré comme suit: • Section 8.2 Notions de base et définitions, modélisation des systèmes multivoies multiv oies discrets. • Se Sect ctio ions ns 8. 8.33 à 8. 8.66 An Anal alys ysee de dess tr tran ansm smis issi sion onss de charg charges es discrè discrète tess mu mult ltiivoies. On distingue selon que les éléments sont tous très rigides, partiellement souples ou tous souples.

 

CONCEPTION DES MACHINES

304 • Section 8.7 • Section 8.8

Distribution de forces normales réparties sur des surfaces ou sur des lignes de contact. Conclusions principales.

8.2 TRAN RANSMI SMISS SSION ION D’EF D’EFFOR FORTS TS EN PARALL PARALLÈLE ÈLE 8.2. 8. 2.1 1 Ré Répa parti rtiti tion on des des effor efforts ts

En dépit de l’isostatisme recommandé au paragraphe 5.10.1, il est souvent avantageux de répartir un effort sur plusieurs organes. Toute Toute répartition peut se schématiser selon la figure 8.1. L’effort Q, force ou couple, est réparti par un distributeur (D) en plusieurs cheminements parallèles dont les transmetteurs  (T) conduisent les efforts Q1, Q2, ...Qn, vers un collecteur (C) qui les somme. Les rôles du distributeur et du collecteur se permutent en inversant le sens du flux d’efforts, c’est pourquoi nous ne désignerons plus par la suite ces organes que par le mot distributeur. Le système est sou-

vent hyperstatique. D

T Q1 Q2

C

1 2

Q

Q Qi Qn

i n

Fig. 8.1 Schéma d’une transmission d’efforts en parallèle.

Un ensemble de n voies parallèles transmettent l’effort n

Q  =

∑ Qi

(8.1)

1

Lorsque les efforts sont colinéaires, on a n

Q  =

∑ Qi

(8.2)

1

Efforts discrets

L’importance de la participation d’un transmetteur à la transmission de l’effort total est exprimée par le facteur de distribution, appelé aussi facteur de participation ou encore facteur de charge charge

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

K i   =

 

Qi Q

305 (8.3)

avec naturellement n

∑ K i   =  1

(8.4)

1

Il s’agit souvent de distribuer des efforts en respectant certaines règles de répartition; par exemple, de lal’essieu force propulsive d’un véhicule quatre roues  facteur de motrices distribusur l’essieu avant et 1/3 2/3 sur arrière. Désignons par K Nià  le tion nominal souhaité, l’effort nominal à transmettre par la voie i est alors Q   =  K  Q

(8.5)

Ni

Ni

L’effort effectivement transmis Qi s’écarte souvent de l’effort nominal voulu. Un effort excessif étant souvent gênant, on définit le facteur de surcharge K si   =

 

Qi QNi

(8.6)

Il y a sous-charge si K si < 1. On peut écrire Qi   =  K si QNi   =  K si K Ni Q

et (8.7)

K i   =  K si K Ni

 Le facteur de distribution effectif est égal au pr produit oduit du facteur de distributi distribution on nominal par le facteur de surcharge. On apprécie parfois la qualité de la répartition d’effort par l’erreur relative de distribution ei   =   Qi   ± QNi QNi

  =  K si   ± 1

(8.8)

Le facteur de surcharge maximum K s max est souvent connu empiriquement ou par calcul, cela permet deux évaluations importantes pour le dimensionnement d’une construction: • la solli sollicitat citation ion du trans transmette metteur ur le le plus plus charg chargéé : Qi max   =  K s max

Q

(8.9)

n

 

CONCEPTION DES MACHINES

306

• l’eff l’effort ort tota totall transm transmiss issibl iblee par n  transmetteurs dont chacun est capable de transmettre la charge Q1 adm : Qadm   =

 

1 K s max

n Q1 adm

(8.10)

 Répartition égale

Il convient de prendre toutes les mesures utiles pour éviter de surcharger certains organes, on vise à obtenir idéalement K s max = 1. Les transmetteurs sont souvent tous pareils, de sorte que chacun devrait transmettre le même effort afin qu’aucun ne soit surchargé et d’autres sous-utilisés. Le facteur de distribution nominal de chacun des n distributeurs d’un système est alors 1

K N   =

 

(8.11)

n

Force répartie

La modélisation des déformations de surfaces en contact selon la figure 2.17 amène naturellement à penser qu’une force est transmise par une infinité de transmetteurs parallèles d’aire d A. Avec Avec la pression de contact p, chacun transmet la force élémentaire p dA. La somme (8.2) devient alors l’intégrale de la force élémentaire étendue à toute l’aire de contact apparente. On a la charge normale transmise  N   =

   p d A  ∫ 

(8.12)

 A

Une surface de contact est exploitée au mieux lorsque la pression est uniformément répartie et vaut  p  

=

 N 

(8.13)

 A

Mais la pression est en réalité rarement uniforme. On a la valeur du facteur de surcharge à l’endroit le plus chargé K s max   =

 

 pmax  p

(8.14)

Il est souvent appelé facteur de distribution de la pression de contact  et  et désigné simplement par Κ . Si cette valeur est connue, on a • la pre pressi ssion on de de conta contact ct max maxima imale le  N   pmax   =  K   A

(8.15)

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

307 • la charge charge maximale maximale transmi transmissibl ssiblee par une surface surface dont dont la pression pression de contact contact ne doit excéder nulle part la pression admissible padm  N adm  

=

1

 A padm K 

(8.16)

Une construction est performante lorsque Κ  =  = 1. On fait les mêmes raisonnements si une force est distribuée le long d’une ligne de contact (charge linéique). 8.2. 8. 2.2 2 Mo Modé déli lisa sati tion on

propose de les calculer la distribution demais la charge entre les transmetteurs. Le calculOn estsesimple dans systèmes isostatiques, il se complique lorsque: • les syst système èmess sont sont hyper hypersta statiq tiques ues;; • les deux deux distri distribu buteu teurs rs sont sont déforma déformable bles; s;

les tran transme smette tteurs urs sont sont défo déforma rmable bles; s; • les transmet transmetteurs teurs et des des distribu distributeurs teurs sont sont localement localement séparés séparés par par du jeu; • le mouvement mouvement relatif relatif des deux deux distribu distributeurs teurs obéit obéit à des conditio conditions ns de guidage guidage particulières. On se limite à l’étude de structures planes dont tous les efforts sont parallèles. Le mouvement du distributeur A par rapport au distributeur B est soit une translation (fig. 8.2a), on dira que le distributeur est guidé, soit une translation et une rotation (fig. 8.2b), le distributeur est articulé.

A

A

B

(a)

B

( b)

Fig. 8.2 Mouvement du distributeur A : (a) guidage; (b) articulation.

La déformation éléments peut se représenter partransmetteurs des ressorts de flexion pour les distributeurs et desdesressorts de compression pour les (fig. 8.3). Certains transmetteurs présentent du jeu vis-à-vis des distributeurs lorsque le transmetteur le plus long est en appui. La transmission d’une charge déforme chaque élément et met en contact certains transmetteurs en absorbant leur jeu (fig. 8.4). Pour le transmetteur i, on a : • le less défo déform rmat atio ions ns f Ai et f Bi des distributeurs; • la dé défo form rmat atio ionn f i du transmetteur; • le jeu jeu ini nittia iall j i du transmetteur dans le système non chargé (fig. 8.3). On convient d’attribuer d’attribuer l’indice 1 au premier transmetteur en contact, donc j 1 = 0.

 

CONCEPTION DES MACHINES

308

 F

 F3  Fi

 F1

A

A

 f Ai

 j i

1 1 B

2

3

i

2

3

i

compression f i  f Bi

B  –  F

Fig. 8.3 Modèle de pièces souples.

Fig. 8.4 Déformation des pièces.

Le comportement d’un système et la distribution des efforts dépendent des rigidités et des jeux. On étudiera les quatre cas suivants: • Dist Distribu ributeurs teurs et transmet transmetteurs teurs rigides rigides (sect. (sect. 8.3). Les déforma déformations tions des des pièces sont insuffisantes pour que même le transmetteur présentant le plus petit jeu n’entre en contact,  f A1  +  f    f B1  +  f   f 1  <  j   j i min

(8.17)

• Distribu Distributeurs teurs rigides rigides et transmet transmetteurs teurs souples souples (sect. (sect. 8.4). La déformati déformation on totale totale des distributeurs est négligeable vis-à-vis de la déformation des transmetteurs, (8.18)

 f Ai   +  f   f i  f Bi   >  f 

• Distribu Distributeurs teurs et transme transmetteurs tteurs souples souples (sect. (sect. 8.6). 8.6). La déformation déformation totale totale des transtransmetteurs est du même ordre de grandeur que la déformation des distributeurs,   f i   f B  f A Bii   ≈  f  Aii   +  f 

(8.20)

Un système comportant des éléments en torsion et des couples se représente de manière analogue. 8.3 DIS DISTRI TRIBU BUTEU TEURS RS ET TRANSM TRANSMETT ETTEUR EURS S RIGIDES RIGIDES 8.3.1 8.3 .1 Equ Equili ilibra brage ge iso isosta statiq tique ue

On rencontre des constructions où les éléments distributeurs et transmetteurs d’efforts sont tellement rigides que leur déformation est négligeable par rapport aux

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

309

 jeux. Une force n’est alors transmise que par un ou deux transmetteurs s’ils sont coplanaires avec la force (fig. 8.5), ou par trois transmetteurs s’ils ne sont pas situés dans le même plan.

F 

F 

(a)

 – F 

(b)

 – F 

rigides:: (a) charge dans une position quelconque ; Fig. 8.5 Transmission de forces par des éléments rigides

(b) charge en face d un transmetteur.

Dans ces cas, il est illusoire d’imaginer multiplier les transmetteurs pour répartir les efforts. Il suffit de penser à une table à quatre pieds de longueurs inégales, elle boite, car elle repose toujours sur trois pieds seulement. On ne peut répartir l’effort qu’en rendant le système isostatique par des articulations judicieusement placées. Voici quelques exemples.

8.3.2 8.3 .2 Véh Véhicu icules les non sus suspen pendu duss

Les engins lourds et lents sur rail ont toujours plus de deux roues par côté et ne sont normalement pas suspendus. En passant sur une bosse du rail (fig. 8.6b), le châssis se soulève et ne porte plus que sur deux roues avec une surcharge en conséquence de ces pièces. On crée un système isostatique avec une distribution constamment égale des charges en prévoyant des bogies articulés à des poutres (fig. 8.7). La figure 8.8(a), par exemple, montre comment la structure d’une grosse drague est appuyée en trois points sur des trains de roulement. Ce schéma est simplifié, car il y a en réalité deux rails par côté. Les trains à deux roues (1) (fig. 8.8b) sont reliés deux par deux par des traverses (2) articulées transversalement à la poutre (3) pour compenser les inégalités latérales des voies; la poutre compense les inégalités longitudinales.

F

(a)

F 

(b) Fig. 8.6 Train de roues rigide: (a) appui idéal; (b) appui sur deux roues seulement.

 

310

CONCEPTION DES MACHINES F 

Fig. 8.7 Train de roues articulé.

2

3 2

1

(a)

(b) Fig. 8.8 Train de roues d’une drague: (a) schéma; (b) bogie.

8.3.3 8.3 .3 Réd Réduct ucteur eurss à engrenag engrenages es hélico hélicoïda ïdaux ux

Les arbres du réducteur de la figure 8.9 sont positionnés axialement par les butées (1), (3), (6). Mais les pignons à dentures en chevron ou à dentures hélicoïdales jumelées sont liés axialement à la roue avec laquelle ils sont en prise. L’arbre L’arbre d’entrée, par exemple, est positionné par la butée (1), mais il l’est aussi par le groupe pignon (7) – roue (8) – butée (3); il présente donc une liaison surabondante. Des précontraintes parasites naissent dès que les pignons ne sont pas rigoureusement placés. On observe encore une boucle de précontrainte: butée (3) – pignon (9) – roue (10) – butée (6). 1

7

11 12

1

2 9

3

7

11

2 9

4 12 6

13

5

5

8

13

10

6

8

10

Fig. 8.9 Réducteur hyperstatique.

Fig. 8.10 Réducteur isostatique.

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

311

Un pignon axialement libre par rapport à la roue se centre automatiquement de telle façon que la poussée axiale résultante soit nulle (fig. 5.90). Chaque denture transmet alors la même force et la puissance est parfaitement répartie, l’équilibrage est automatique. On supprime les boucles de précontrainte par une construction isostatique (fig. 8.10). Seul l’arbre (13) est positionné par rapport au bâti par la butée (6). L’arbre L’arbre (12) est libre et se positionne axialement par les dentures de l’engrenage (9)-(10); de même, l’arbre (11) se positionne par l’engrenage (7)-(8). Ce montage suppose que l’accouplement de l’arbre d’entrée permet un certain ébat axial. On pourrait en principe fixer axialement n’importe lequel des deux arbres d’un engrenage à dentures hélicoïdales opposées. Mais il est préférable que le pignon soit libre, car, du fait de sa petite masse, les forces d’inertie parasites axiales provenant des mouvements provoqués par les erreurs d’usinage sont plus petites que si la roue doit bouger pour se centrer. C’est pourquoi la roue (10) de la figure 8.10 est liée par la butée (6) et le pignon rapide (7) est libre. Quoique lourd, l’équipage du second étage

flotte aussi axialement, mais sa vitesse est plus basse et les forces d inertie plus petites. 8.3.4 8.3 .4 Eng Engren renage agess épi épicyc cycloï loïdau daux x

Les engrenages épicycloïdaux ont habituellement trois satellites (fig. 8.11); parfois plus, pour diminuer encore l’encombrement comme dans les réducteurs pour hélicoptères. Ces mécanismes sont hyperstatiques. On limite le déséquilibre des efforts dans les voies parallèles en soignant l’exécution de toutes les pièces; le degré de qualité doit être égal ou meilleur que IT 5. Mais ce procédé est insuffisant pour les appareils rapides et puissants. La meilleure solution consiste à laisser flotter certains éléments afin de rétablir l’isostatisme. Considérons par exemple le cas d’un planétaire central flottant (fig. 8.12). Outre le couple, il subit la réaction de chacun des satellites. Supposons tout d’abord que le planétaire ne touche que les satellites I et II. Soumis

couronne

satellite

porte-satellites

bâti

planétaire Fig. 8.11 Engrenage épicycloïdal avec trois satellites simples.

 

312

CONCEPTION DES MACHINES

seulement à deux forces de dentures faisant entre elles un angle de 60°, il subit une accélération dans le sens de Fa (fig. 8.12b)  F2±I   +  F  F2±II   =  F  Fa   =  m a

(8.21)

 jusqu’à ce qu’il vienne en contact avec avec le troisième satellite satellite de manière à ce que ±   =  0  F2±I   +  F  F2±II   +   F F2III

(8.22)

Le centrage est automatique, mais du fait des imperfections de fabrication, le planétaire toujoursimportants un peu. A grande vitesse, les forces chocs qui ici en résultentdanse deviennent et peuvent détériorer lesd’inertie dentures.etIllesfaut donc, aussi, quand même veiller à une grande précision d’exécution.

 z2

 z3

I

 –

 F 2  I  2 I

 z1

II

F  – 2I

 – F 2III ω  b

 M 1

F a  – F 2II

F  – 2I F a

F  – 2II

 – F 2III

F  – 2II

III

(a)

(b)

(c)

Fig. 8.12 Equilibre des forces appliquées au planétaire central d’un train épicycloïdal à trois satellites:

(a) forces de denture; (b) déséquilibre des forces; (c) forces équilibrées.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Fig. 8.13 Solutions de principe pour l’équilibrage des efforts. Les pièces ombrées sont fixes, les pièces

blanches flottent radialement.

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

313

Il existe plusieurs solutions pour rendre un train épicycloïdal isostatique. La figure 8.13 illustre les divers cas possibles: (a) Pigno Pignonn central flottan flottant.t. Solution Solution simple simple et économiq économique, ue, pas de paliers paliers mais mais il faut un arbre articulé. Suffisant avec trois satellites seulement. (b) Couro Couronne nne fixe flottante. flottante. Par Par exemple, exemple, montage montage dans le carter par l’interm l’interméédiaire de douilles élastiques (fig. 8.14) ou au moyen d’un porte-couronne flottant à denture (fig. 8.16). (c) Satel Satellites lites flottan flottants. ts. Solution Solution simple, simple, nécessai nécessaire re lorsque lorsque le nombre nombre de satellites dépasse 4. Montage des satellites sur moyeux souples (par exemple en caoutchouc, fig. 8.15a) ou sur des axes déformables (fig. 8.15b). (d) Plané Planétaire taire et couronne couronne flottants. flottants. Cette Cette solution solution doit être être utilisée utilisée dans les rapides afin de Solutio diminuer les convenant forcesenant d’inertie. (e) réducteurs Porte-satel Porte -satellites lites flottant. flot tant. Sol utionn ne conv que pour pour les réducteurs réducteurs lents et petits, car le porte-satellites est la pièce la plus lourde d’un engrenage planétaire et les forces d’inertie à vitesses élevée sont beaucoup trop

grandes. (f) Porte Porte-satel -satellites lites et planétai planétaire re flottants. flottants. Améli Améliorati oration on de (e) pour transmiss transmissions ions rapides.

4 2 3 1 1) 2) 3) 4)

couronne tubbe-res tu esssort limit lim iteu eurr de dé défo form rmat atio ionn bâti

Fig. 8.14 Montage souple d’une couronne.

(a)

(b) Fig. 8.15 Montage souple de satellites: (a) moyeu en caoutchouc; (b) axe souple.

 

314

CONCEPTION DES MACHINES

Le nombre d’éléments flottants doit être égal au degré d’hyperstatisme, par exemple les solutions 8.13 (d) ou (f) s’imposent avec 4 satellites. On laisse en principe flotter la pièce la plus légère afin de réduire le plus possible les forces parasites d’inertie, c’est pourquoi le planétaire central flottant est en faveur. faveur. Le réducteur de la figure 8.16 correspond au cas de la figure 8.13(d). Le planétaire central est flottant, on remarque que l’arbre articulé est accouplé directement au bout-d’arbre de la machine motrice, sans palier incorporé au réducteur. Le planétaire est automatiquement positionné axialement du fait que les dentures doubles hélicoïdales sont inclinées en sens opposés. Chaque couronne est flottante ainsi que le portecouronne; ces pièces sont liées par des dentures ( j   j ). ).

(8.38)

Fig. 8.16 Transmission épicycloïdale Stoeckicht.

8.3. 8. 3.5 5 Di Diff ffér éren enti tiel elss

La grand roue d’un essieuque de celle voiture 8.17) située à l’extérieur d’un virage effectue un plus parcours qui(fig. se trouve à l’intérieur. Si l’essieu était rigide, la différence de vitesse ferait glisser les roues sur le sol. Le différentiel constitue en quelque sorte une articulation de l’arbre reliant les deux roues. Les planétaires du différentiel ont le même diamètre; par conséquent, les couples appliqués aux roues sont toujours égaux, M 1 = M 2. Un différentiel est un répartiteur de couple. Dans les véhicules tout terrain ou les voitures à quatre roues motrices, on doit répartir l’effort de traction entre les essieux. En liant rigidement les essieux entre eux par des organes de transmission, les différences de vitesses des essieux en virage, au passage sur des ondulations du sol ou du fait de différence entre le diamètre des roues, provoqueraient des précontraintes de la chaîne cinématique. Des roues glisseraient et

 

315

DISTRIBUTION DES EFFORTS

v1

 M 1

 M 2

v2

O

Fig. 8.17 Schéma d’un différentiel de véhicule.

perturberaient le comportement routier du véhicule. Si une transmission rigide est à la limite acceptable sur la neige ou sur du terrain meuble (tracteurs agricoles), elle ne

l’est pas sur une route sèche. On supprime l’hyperstatisme de la transmission en introduisant une articulation dans l’arbre reliant l’essieu avant et l’essieu arrière sous la forme d’un différentiel, dit différentiel central, (fig. 8.18).

3

4

1) 2) 3) 4)

moteurr et bo moteu boît îtee de de vite vitess sses es diff di ffér éren enti tiel el cent centra rall diff di ffér éren enti tiel el av avan antt diff di ffér éren enti tiel el arri arrièr èree

2

1

Fig. 8.18 Schéma de la transmission d’une voiture à quatre roues motrices.

Avec un différentiel à planétaires de même diamètre, le couple transmis vers l’essieu avant est toujours égal à celui transmis vers l’essieu arrière. On obtient une autre distribution du couple en utilisant un train épicycloïdal selon la figure 8.19. Le moteur attaque le bras (b) du mécanisme, le planétaire central est relié à l’essieu avant et la couronne à l’essieu arrière. Le satellite (2) applique la force F n1 au planétaire et la force F n3 à la couronne (fig. 8.19b). Calculons les moments de ces forces par rapport à l’axe du système.  M 1  =

  1 m z1 F n1 cos α  2

 M 3   =

 

1 m z3  F n3 cos α  2

avec: m  z1  z3 α 

module nombre de dents du planétaire central nombre de dents de la couronne angle de pression

 

316

CONCEPTION DES MACHINES

L’équilibre du satellite veut que les forces F n1 et F n3 soient égales, alors  z  M 3  =  3  z1  M 1

(8.23)

 F – n3

2 AV 1

b

 z3

 z1

F b

3

AR

2 1

 F – n1

α 

3 α 

(a)

( b)

Fig. 8.19 Répartiteur de couple pour véhicule à quatre roues motrices: (a) schéma; (b) équilibre des

satellites.

Plusieurs constructeurs de voitures choisissent d’appliquer 2/3 de l’effort moteur sur l’essieu arrière et 1/3 sur l’essieu avant en faisant z3 = 2 z1. Notons qu’en cas de patinage d’un essieu, on bloque le différentiel en reliant l’arbre (b) à l’arbre (1) par un embrayage à crabots. Le couple se répartit alors selon la force d’adhérence des essieux. On obtient une répartition forcée automatique en remplaçant l’embrayage à crabots par un viscocoupleur qui devient plus rigide en cas de patinage. En résumé, un différentiel joue le rôle d’un distributeur articulé d’efforts entre deux arbres, la valeur du facteur de distribution dépend de sa construction. 8.4 DISTR DISTRIBU IBUTEURS TEURS RIGID RIGIDES, ES, TRANS TRANSMETTE METTEURS URS SOUP SOUPLES LES 8.4.1 8.4 .1 Dis Distri tribut buteur eurss guidé guidéss avec avec jeu jeu

La déformation des distributeurs est parfois très petite par rapport à celle des transmetteurs. Simplifions l’étude modèleleencasadmettant que les distributeurs sont infiniment rigides. Examinons toutdud’abord où le distributeur mobile effectue seulement une translation dans le sens de la charge  F (fig. 8.20). Les ressorts figurant les transmetteurs sont tous de longueur différente, de sorte que le distributeur repose d’abord sur un seul ressort (désigné par 1). Il subsiste les jeux  j 2,  j 3 … entre le distributeur et les autres ressorts. On suppose que la charge et les forces au contact avec les transmetteurs sont colinéaires. Faisons progressivement progressivement croître la charge F  à  à partir de zéro. Au début, début, seul le premier ressort transmet la charge, le système est isostatique. Ce ressort se déforme, puis le distributeur vient en contact avec le ressort présentant le moins de jeu, ici j 3, le système devient hyperstatique. La charge se répartit maintenant sur les ressorts (1) ( 1) et (3)

 

317

DISTRIBUTION DES EFFORTS

F 

 F

1+3+i

0  j 3

 j 2

F 0

 j i

0  f 

k 1

k 2

k 3

k i

1 1+3  f 

f 0

 j 3  j i  j 2

Fig. 8.20 Ressorts en parallèle avec jeu, distributeur Fig. 8.21 Caractéristique du système de la figure

guidé.

8.20.

qui se déforment jusqu’à ce que le ressort suivant entre en action. S’il y a n ressorts porteurs, le degré d’hyperstatisme est h = n – 1. La relation entre la charge et son déplacement se représente par une ligne brisée (fig. 8.21). Pour une force F 0, par exemple, le déplacement est f 0, seuls les ressorts (1), (3) et (i) participent à la transmission de la charge. La caractéristique du système est progressive. Calculons la déformation et la force transmise par chaque ressort: ressort 1  f 1 =  f   f   f   ±  j 2 ressort 2  f 2   =  f  ressort i  f i =  f   f   ±  j 1

F  1 F 2

= k 1 f 

= k 2 ( f   ±  j 2 ) = k  k i ( f   f   ±  j  ) F i = i (   ±  j ii )

    

(8.24)

Supposons que n ressorts participent à la transmission de la charge; la sommation des forces donne F   =  f  f

n

n

1

1

∑ k i   ± ∑ k i j i

Avec la rigidité équivalente n

∑ k i

k   =

1

des n ressorts transmettant la charge, il vient n

F   =  k f   ±

∑ k i j i 1

 

318

CONCEPTION DES MACHINES

d’où on tire le déplacement du distributeur n

 f   =

 

F  k 

∑ k i j i  + 

1

k 

(8.25)

On interprète facilement les termes de cette expression: • le premier premier représente représente le déplacem déplacement ent qu’aurait qu’aurait le distrib distributeur uteur si tous tous les jeux jeux étaient nuls  f 0   =

 

F  k 

(8.26)

• le second second est est le jeu jeu moyen moyen pondéré pondéré par par les rigidit rigidités és des n ressorts porteurs n

∑ k i j i  j   =

 

1

(8.27)

k 

Avec ces grandeurs, le déplacement du distributeur s’écrit  f   =  f   f 0   +  j   j   =   F    +  j   j  k 

(8.28)

d’où la charge transmise

(

)

F   = k f   −  j   j 

(8.29)

En utilisant ces formules, il faut prendre garde au fait que les grandeurs k ,  f 0  et j  changent de manière discontinue avec le nombre de ressorts chargés. La dernière formule permet de calculer les rigidités du système (fig. 8.22):

F  n ressorts k  F 

k s

0

 f 

 f 

Fig. 8.22 Rigidités de ressorts en parallèles avec jeu.

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

319

• la rig rigidi idité té tan tangen gente te av avec ec n ressorts en charge dF  k   =  = d f 

n

∑ k i

(8.30)

1

• la rig rigid idit itéé séca sécant ntee k s  

=

F 



 j 

  = k  1 ±   f   f  

Le i –ème ressort transmet la force

(8.31)

 F    F i   =  k i ( f   ±  j i )   =  k i    +  j   j   ±  j i   k   F i  

k i F   + k i  j   −  j   j i k 

(

=

)

(8.32)

Voici encore deux cas particuliers: particuliers :  Rigidités égales

On rencontre souvent le cas où tous les ressorts ont la même rigidité, k 1  = k 2 = … = k i. Les formules précédentes donnent immédiatement k   =  n k 1  f 0   =

 

(8.33)

F 

(8.34)

n k 1 n

∑  j i  j   =

1

 

(8.35)

n

Le jeu moyen est la simple moyenne arithmétique des jeux. La force transmise par un ressort résulte de (8.32) F i   =

 

F  n

  +  k 1 ( j   ±  j i )

(8.36)

On reconnaît la force moyenne dans le second membre, F   =

alors

F 

(8.37)

n

 

320

CONCEPTION DES MACHINES

(

F i   =  F   +  k 1  j   ±  j i

)

Cette force est égale à la force moyenne si le jeu de ce ressort est égal au jeu moyen ou si tous les jeux sont nuls. Tous les jeux sont nuls  j i   = 0 et j   =   0.  On retrouve les formules connues (§

6.3.1).

8.4.2 8.4 .2 Dis Distri tribut buteur eurss art articu iculés lés

Un distributeur repose sur n ressorts parallèles (fig. 8.23) comme, par exemple, un véhicule sur sa suspension. On suppose qu’il touche tous les ressorts, il n’y a donc pas de jeu entre les pièces. Une force  F est appliquée en un point quelconque du dis-

tributeur, parallèlement à l’axe des ressorts. Dans le cas général, on observe que la charge se déplace d’une distance  f  et   et que le distributeur tourne d’un angle α . Nous nous proposons de calculer ces grandeurs.

 xi

0

 x

0  F  f 

k 1

k 2

 yi k i

F i

α 

k n

Fig. 8.23 Déplacement d’un distributeur librement posé sur des ressorts.

Repérons la position de chaque ressort par sa distance x à la charge. Un ressort se déforme de la quantité  f i   =  f   f   +  α  x  x i

(8.38)

et transmet la force (8.39)

F i = k i f    f i = k i f   f  +  + k i α  x  xi

La somme de toutes les forces transmises par les ressorts est égale à la charge appliquée au système. En se souvenant que k  =  = Σ  k i, n

F   =

n

∑ F i   =  k f   +  α  ∑ k i xi 1

(8.40)

1

 

321

DISTRIBUTION DES EFFORTS

Exprimons encore l’équilibre des moments des forces par rapport à l’axe de la charge F où x = 0. Avec (8.39), on a n

n

n

∑ F i xi   =  f f ∑ k i xi   +  α  ∑ k i xi2   =   0 1

1

(8.41)

1

Définissons • le moment statique des rigidités

n

S k   =

∑ k i xi

(8.42)

1

n

• le moment quadratique des rigidités

 I k   =

∑ k i xi2

(8.43)

1

Les équations d’équilibre (8.40) et (8.41) s’écrivent s’écr ivent maintenant F   =  f  f k   +  α S k

  

0 =  f f S k   +  α   I  I k

(8.44)

Ce système d’équations fournit le déplacement de la charge  I k  f   =   k I k   ± S 2 F  k

(8.45)

et la rotation du distributeur α   =   ±

S k

F   =

k I k   ± S k2

 ±

S k  f   I k

(8.46)

La charge transmise par un ressort se calcule en portant ces expressions dans (8.39). Il vient  I    ± S k  x i F  F i   =  k i k 2 k I    ± S  k k

(8.47)

Dans le cas où les rigidités des ressorts sont toutes égales à k 1, ces formules deviennent n

∑  xi2  f   =

F 

1

  n

n

∑ 1



(8.48)

2  k 1

n

 x i  ∑   

x i2   −    

1

 

322

CONCEPTION DES MACHINES

n

n

∑  xi α   =   −

1

1 2 k    =   − n  1

 n n x i2   −     x i      1 1 n

∑

∑

F 

∑  xi  f 

(8.49)

∑  xi2 1

Le distributeur ne s’incline pas si la charge est appliquée au barycentre des rigidités, où S k = 0. Dans ce cas particulier, la formule (8.45) devient équivalente à (6.12) trouvée des ressorts disposés en parallèle. parade llèle. Lespour formules ci-dessus permettent calculer immédiatement les rigidités de translation et de rotation du distributeur vis-à-vis de la charge appliquée.

8.4.3 8.4 .3 Ega Egalis lisati ation on des des effor efforts ts trans transmis mis

On vise souvent à répartir également la charge F   entre tous les transmetteurs, notamment lorsqu’ils ont la même dimension. Chacun des n  transmetteurs devrait transmettre la charge nominale F N   =

 

F 

(8.50)

n

Distributeur guidé

Calculons l’erreur relative de distribution (8.8); avec (8.32) on a

ei   =

 

F i F N

k  k i    j i   ± 1   +  n i  j   −  j   F  k 

  ± 1 =    n

(



)

(8.51)

Cette expression révèle les origines de l’erreur de répartition. Distinguons: • l’erreur de distribution des rigidités k  eki   =  n i   ± k 

1

(8.52)

• l’erreur de distribution des jeux k    j i e ji   =  n i  j   −  j  F 

(

)

(8.53)

Alors (8.54)

ei   =  eki   +  e ji

Les mesures appropriées pour égaliser les charges se lisent dans ces formules:

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

323

• tous les les ressorts ressorts doivent doivent avoir avoir la la même rigidit rigidité, é, alors k  =  = nk i et l’erreur de distribution des rigidités est nulle; • égali égaliser ser tous tous les jeux, jeux, ce ce qui revi revient ent à les les supprime supprimerr. Distributeur articulé

Avec (8.47) et (8.50), on obtient  I    ± S k  x i ei   =  n k i k k I k   ± S k2

 ± 1

(8.55)

L’erreur est petite si S k = 0, c’est-à-dire si la charge est appliquée au barycentre des rigidités. La formule (8.46) montre que le distributeur ne s’incline pas et n’effec-

tue alors qu une translation. Faisons encore toutes les rigidités égales, alors ei  0. Conclusions

On tend vers une répartition égale des efforts transmis par un ensemble de transmetteurs souples et de distributeurs rigides articulés en prenant les mesures suivantes: suivantes : • Vise iserr une constr construct uction ion symé symétri trique que.. • Tran Transmettre smettre la la charge par deux ressorts seulement, seulement, le système système devient devient isostatique. isostatique. • Appl Appliquer iquer la la charge charge au centre centre de de gravité gravité des des rigidité rigidités. s. • Augm Augmenter enter la charg chargee nominal nominalee des des transme transmetteurs tteurs,, F/n, afin que la déformation des ressorts soit grande vis-à-vis des jeux. Cette mesure est apparemment en contradiction avec le désir de décharger les pièces; mais, dans l’intérêt d’une bonne répartition, il est avantageux de charger les éléments distributeurs  jusqu’à la limite de leur possibilité. possibilité. • Egal Egaliser iser tous tous les jeux, jeux, ou pour pour le moins les les faire faire très petits, petits, ce qui qui revient revient à dire que le jeu est partout nul lorsque les pièces sont en contact (trivial). • Uti Utilis liser er des tran transme smette tteurs urs soupl souples, es, k i petit, afin de diminuer l’effet des écarts entre les jeux. Cette mesure est parfois incompatible avec la nécessité d’obtenir une grande rigidité pour améliorer les qualités dynamiques de la transmission. Les deux dernières mesures sont liées, car si les ressorts sont très rigides, il faut ajuster les jeux avec précision, parfois à grands frais. A contrario, on peut se contenter d’une précision moindre si les ressorts sont souples. 8.4.4 8.4 .4 Ega Egalis lisati ation on des con contra train intes tes

Limitons-nous à un système comportant seulement deux voies de transmission avec un distributeur guidé, c’est-à-dire imposant la même déformation à chaque voie. On est souvent intéressé, non pas à ce que chaque voie transmette le même effort, mais que les contraintes dans les transmetteurs soient égales. Traction, compression (fig. 8.24)

On a la rigidité des transmetteurs k 1  =

 

 E 1 A1 l1

k 2   =

 

 E 2 A2 l2

 

324

CONCEPTION DES MACHINES

Puisque F 1 = k 1 f   f  et  et F 2 = k 2 f   f , on a le rapport des forces F  1   =   k 1 k 2 F    2

 = 

 E 1  A1  E 2  A2

l2 l1

Calculons les contraintes F  σ 1  =   1  A1

et leur rapport

F  σ 2   =   2  A2

(8.56)

σ 1 σ 2

 = 

F  1  A2 F 2  A1

 = 

 E 1  E 2

l2

(8.57)

l1

Avec des matériaux identiques, les contraintes sont égales si les transmetteurs sollicités en traction ont la même longueur, quelle que soit leur section.

l1

1

 A 1  – 

F 

2

 A2

F 

l2

c omprimées. Fig. 8.24 Transmission de force par deux voies comprimées.

Flexion (fig. 8.25)

En partant de la rigidité de flexion des poutres k 1  =

13 I 1   3 E  l

k 2   =

1

23 I 2   3 E  l 2

on obtient comme précédemment F  1   =    E 1  I 1 F   E 2  I 2   2

3

l2

(8.58)

3 l1

Désignons par emax la plus grande distance d’un bord de poutre à sa fibre neutre; on a les contraintes de flexion maximales

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

σ1

F  1 l1 =

 I 1

 

emax 1

σ 2  

F 2 l 2 =

 I 2

325

emax 12

Ecrivons Ecrivo ns le rapport r apport des contraintes maximales σ  1 σ  2

2

 

 E 1 l 2 emax 1 =

2

 E 2 l emax 2 1

(8.59)

F 1

F 

F 2

1

2

l1

l2

Fig. 8.25 Transmission de force par deux poutres encastrées fléchies.

Torsion (fig. 8.26)

On a la rigidité de torsion des arbres circulaires et le rapport des moments: k t1  

 M 1  M 2

=

 

G1 I p1

k t 2   =

l1

G  I p1 =  1 G2  I p2

l2 l1

 

 

G2  I p 2 l2

G1 d 14 =  G2 d 24

l2

(8.60)

l1

Le rapport des contraintes de torsion vaut τ t1 τ t 2  

G1 d 1 =   G2 d 2

l2

(8.61)

l1

k t1  M  – 1

1

l1

2

 M  k t2

l2

 M  – 2

Fig. 8.26 Transmission d’un couple par deux arbres encastrés.

 

326

CONCEPTION DES MACHINES

Les contraintes sont égales si les arbres ont la même longueur relative l / d  et  et sont faits en un même matériau. Conclusions

Les conditions nécessaires pour obtenir une égalité des efforts transmis diffèrent de celles qu’il faut pour égaliser les contraintes. On égalise à la fois les forces et les contraintes par des constructions symétriques et des matériaux identiques.

8.4.5 Tra 8.4.5 Train inss d’engr d’engrena enages ges mult multivo ivoies ies Réducteur à deux étages

Des réducteurs à grande puissance sont souvent construits selon le schéma de la figure 8.27 pour diminuer la taille des engrenages comparativement à des trains simples. Il faudrait que chaque voie transmette le même couple. Mais toutes les dissymétries déséquilibrent la distribution des efforts en influençant les jeux et e t la position d’engrènement des engrenages. Les principales perturbations de l’engrènement théorique parfait sont: • les erreurs erreurs de tailla taillage ge des engrenag engrenages es (pas, (pas, épaisseur épaisseur des dents dents,, profil), profil), • le less err erreu eurs rs d’ d’en entr trax axe, e, • les erreurs erreurs de parallél parallélisme isme des arbres arbres interm intermédiair édiaires, es, • les calages calages angulaire angulairess différents différents entre entre le pignon pignon et la roue roue des deux arbres arbres intermédiaires, • les distances distances inégal inégales es entre la la roue et le pignon pignon des arbres arbres intermédi intermédiaires aires lorslorsque les dentures sont hélicoïdales. Il est commode de modéliser le mécanisme par des ressorts de compression (fig. 8.28) et de simuler les couples par des forces. Les distributeurs rigides représentent le pignon d’entrée, respectivement la roue de sortie. En supposant cette dernière bloquée, e1 est l’espace que peut parcourir une dent du pignon A engagée entre deux dents de la roue A1, il résulte du jeu entre les dentures A – A1, B – B1 et les jeux des paliers. e2 est l’espace entre A et A2.

e

I

A1

 M 1

F 

B

A

1

B1

k 

1

A

B F  – 

2  M 2

k 

δ 

A2

F 1

II

B2

Fig. 8.27 Transmission à deux étages, deux voies.

F 2

e2

Fig. 8.28 Modèle à ressorts de la transmission de la

figure 8.27.

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

327

La distance δ  mesure   mesure le décalage entre les contacts comprimant les ressorts des deux voies. Ce mécanisme se distingue du modèle discuté au paragraphe 8.2.2 par ses liaisons bilatérales au lieu d’être unilatérales. De ce fait, les ressorts peuvent être sollicités en traction ou en compression. La distribution des forces F 1 et F 2 dans les voies dépend de la distance δ  et  et des jeux e1 et e2. On distingue cinq cas représentés dans la figure 8.29. Cas (a):   δ  est   est plus grand que e1. Pratiquement, du fait du contact bilatéral, le distributeur reste prisonnier de l’espace e1 (représenté en traitillé) et le système subit une précontrainte géométrique f 0. Le ressort (1) est tendu et le ressort (2) est comprimé. Cas (b): (b): fode rce evoies d’abord d’abo rdimméd transmis trans mise e par laen voappui voie ie (2). (2)., c’est Cas (c) (c ) : La Lesforce deux uxest vstoies sont immédiatem iatement entla appui, c’est le cas cas idéal idéal où cha-

que voie transmet la moitié de la charge, F 1  F 2. Cas (d): (d): La force force est est d’abo d’abord rd trans transmis misee par la la voie voie (1). (1). Cas (e):   δ   est plus grand que e2. Comme dans le cas (a), le système est précontraint, (1) en compression et (2) en traction. 1

1 2

δ 

 f  0 (a)   δ  >  > e1  f 0 = δ  –  – e1

2

 j 1

δ 

e1

1

2

A (b)   δ  <  < e1  j 1 = δ   j 2 = 0

(c)   δ  =  = 0  j 1 = 0  j 2 = 0

2 1

2

e2

δ  δ 

 f 0

e2  j 2

(d)   δ  <  < e2  j 1 = 0  j 2 = δ 

(e)   δ  >  > e2  – e 2  f 0 = δ  –

Fig. 8.29 Position relative de deux voies parallèles et précontraintes.

La figure 8.30 représente la distance de précontrainte en fonction de la distance de contact et résume les cinq cas. En revenant à la transmission (fig. 8.27), la traction d’un ressort correspond à la torsion d’un arbre et la compression à une torsion en sens opposé. Etudions maintenant la distribution distribution de la charge sur les deux voies. La figure 8.31 décrit l’évolution des forces transmises en fonction de la charge totale. On admet que les rigidités des deux voies sont égales. Partons du cas (a) ci-dessus parce qu’il est le plus compliqué. Procédons pas à pas en nous référant aux domaines inscrits au bas de la figure figure::

 

328

CONCEPTION DES MACHINES F 2

comp.  f 0 1/

F

2

δ  k δ 

F 0

F 1

1 0

δ  e1

cas: a

b

e2

c d

2|F 0|

 F  1

F 

δ  k δ 

F 0

e

tract.

1

2

3 4 5

6

domaine

Fig. 8.30 Précontrainte du système de la figure 8.28.

Fig. 8.31 Forces transmises par chaque voie.

• Point 1. F = 0, le mécanisme est précontraint, sa rigidité intérieure est k i = 0,5 k  et son rapport de forces défini par (7.48) vaut Φ ′  =  0,5. Le ressort (1) est tendu et le ressort (2) est comprimé par la précontrainte F 0   =

 

1 k  ( δ   +  e1 ) 2

(8.62)

On admet exceptionnellement ici que les compressions sont positives afin que le mouvement dans le sens des forces apporte de l’énergie positive. (8.77) F  1  =

  ± F 0

F 2   =  F 0

La précontrainte provoque une circulation de puissance (§ 12.6.1). • Domaine 2. La compression de (2) augmente tandis que la traction de (1) diminue, F  1  =

  ± F 0   +   1 F  2

F 2   =  F 0   +  

1 F  2

• Point 3. La charge atteint la valeur 2F 0, F  1  =

 0

F 2   =

  2 F 0   =  F 

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

329

• Domaine 4. Le distributeur quitte le contact de la voie (1) et parcourt le jeu e1 comme dans la figure 8.29(b). La voie (2) transmet toute la charge, F 1 = 0 F 2 = F 

• Point 5. Le distributeur entre à nouveau en contact avec (1) pour une charge F   =  F 2   =  k δ 

• Domaine 6. Le distributeur comprime maintenant les deux ressorts

F  1  =

1   ( F   ± k δ ) 2

F 2   =  k δ   +  

1 1 ( F   ± k δ )   =   ( F   +  k δ ) 2 2

1 La répartition idéale serait évidemment F 1  =  F 2   =   F , le facteur de surcharge 2 vaut donc K s   =

 

F 2

1

  =  1 +  

k δ 

(8.63)

F 

2 F  On retrouve les conclusions connues. La répartition tend vers l’égalisation si: • la pré précis cision ion est par parfai faite, te, δ  =  = 0, • les vo voies ies (1) (1) et (2) sont sont sou souple ples, s, k  petit,  petit, • la cha charg rgee trans transmis misee est est forte forte.. Il faut noter que la distance δ  et  et les jeux e1 et e2 varient avec la position des engrenages parce que les erreurs de taillage changent d’une dent à l’autre. La répartition des forces est d’autant plus favorable, et par conséquent la dimension des organes d’autant plus petite, que l’exécution du réducteur est plus précise. L’économie L’économie qui en résulte se paie naturellement par une augmentation des frais d’usinage. Il existe un coût total de fabrication minimal qui permet de situer la précision optimale du point de vue économique (fig. 8.32). Il est inutile de construire un réducteur à deux voies si la valeur du facteur de surcharge s’approche de deux par suite d’une fabrication trop imprécise, car l’autre voie ne participe alors pratiquement pas à la transmission de l’effort utile. Le réducteur de la figure 8.33 est relativement simple, mais ses deux arbres intermédiaires sont trop rigides en torsion. On ne pourrait pas diminuer leur diamètre en vue de les assouplir, car ils deviendraient, du même coup, trop flexibles avec, à la clé, un mauvais portage des dentures et les surcharges d’engrènement correspondantes. C’est un cas typique où il est indiqué de séparer la fonction de positionnement des engrenages de celle de transmission du couple. Ces fonctions sont séparées dans le réducteur de la figure 8.34, où la roue du premier étage et le pignon du second sont chacun montés sur un arbre creux porté par deux roulements. Ils sont reliés par un long

 

330

CONCEPTION DES MACHINES

coût

K s

2 C min

1 0 IT opt.

IT

Fig. 8.32 Influence de la qualité d usinage sur le facteur de surcharge et sur le coût de fabrication.

arbre mince situé à l’intérieur des arbres porteurs afin de diminuer l’encombrement axial. Une liaison par cannelures suffit à compenser de légers désalignements. Les arbres de liaison jouent le rôle d’une barre de torsion, la figure 8.34(c) montre le schéma de principe de l’appareil. La figure 8.35 donne encore l’exemple d’un réducteur marin entraîné par deux turbines à vapeur. Les arbres intermédiaires sont dédoublés pour diminuer l’encombrement des engrenages. L’arbre transmetteur du couple est lié aux arbres porteurs creux par des accouplements dentés.

Fig. 8.33 Réducteur à deux voies, arbres intermédiaires très rigides.

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

B

B

331

(a)

B–B

(c)

(b)

Fig. 8.34 Réducteur à deux voies avec arbre intermédiaire souple: (a) dessin d’ensemble; (b) liaison entre

les arbres creux et les arbres transmetteurs de couple; (c) schéma de principe.

turbine HP arbre d’hélice turbine BP (a) Fig. 8.35 Réducteur marin: (a) disposition des engrenages

 

332

CONCEPTION DES MACHINES roue du 1er étage pignon du 2e é  éttage

accouplement

arbre de liaison

palier

accouplement

à denture (b)

à denture Fig. 8.35 (suite) (b) détail d’un arbre intermédiaire.

La figure 7.73 illustre encore une manière de répartir le couple en parts égales au moyen d’un arbre d’entrée flottant axialement. Réducteur à un étage

Deux engrenages identiques sont placés côte à côte sur les mêmes arbres. Avec des dentures droites, on se trouve exactement dans la situation décrite pour le réducteur à deux cas représenté dans la figure 8.36(a) est est particulièrement vorable. En étages. effet, leLe cheminement (2) contenant les deux arbres beaucoup plusdéfasouple que le cheminement (1), de sorte que la plus grande partie de la charge est transmise seulement par la voie (1). La solution (b) prévoit que la sortie du réducteur se trouve du côté opposé à l’entrée, les rigidités des voies se rapprochent car chacune contient un arbre. On peut répartir l’effort rigoureusement par moitié en prévoyant des dentures hélicoïdales inclinées en sens opposés de manière à rendre le système isostatique (fig. 5.90). A

A

1

(a)

2

2

B

( b)

1

B

Fig. 8.36 Engrenages à dentures droites en parallèle: (a) montage défavorable; (b) meilleur.

8.4.6 8.4 .6 Cou Courro rroies ies tra trapéz pézoïd oïdale aless

L’effort, et par conséquent la puissance transmissible par une courroie trapézoïdale, est limité. On augmente généralement la puissance d’une transmission en disposant plusieurs courroies en parallèle (fig. 8.37). Les courroies diffèrent par leur largeur, mais surtout par leur longueur. Certaines peuvent patiner et les courroies sont

 

DISTRIBUTION DES EFFORTS

333

finalement inégalement chargées. Il convient de choisir des courroies de même longueur afin de répartir la traction totale le plus régulièrement possible. Selon les tolérances de fabrication, une courroie peut être chargée 10 à 30% de plus que la moyenne des courroies d’une transmission. L’installation L’installation de deux courroies c ourroies seulement est particulièrement défavorable défavorable à cet égard. On évite cet inconvénient avec la courroie «Poly « Poly V » (fig. 8.38) munie de plusieurs profils triangulaires longitudinaux qui reposent dans les rainures des poulies.