Conceitos de Probabilidades
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Descrição: Definições gerais sobre probabilidade....
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Conceitos de Probabilidade - Experimento Aleat´orio; orio; Espa¸co co de Probabilidade; Probabil idade; Probabilidade Probabi lidade Condicional Condici onal e Indep Independˆ endˆencia. enci a. Teorema eorema de Bayes Ben Ben Dˆeivi ei vide de 9 de Agosto de 2018
e d i v i e ˆ D
Quando desejamos compreender algum fenˆ omeno da natureza, tentamos estud´ omeno a-lo a-lo por meio de um processo de observa¸c˜ cao ˜ao chamado experimento. experimento. Para o nosso estudo, definimos orio) orio). Tod Todoo exp experime erimento nto cujo resultad resultadoo n˜ ao pode ser Defini¸ c˜ ao 1 (Experimento Aleat´ previsto antes de sua execu¸c˜ cao, ˜ ´e chamado chamad o de experimento aleat´ orio. Podemos apresentar alguns exemplos.
car um dado equilibrado e observar o resultado obtido na face superior Exemplo 1. Lan¸car do dado.
umer umero de cha chamad madas as telefˆ telefˆ onic onicas que che chegam gam a uma centr entral Exemp Exemplo lo 2. Observar o n´ telefˆ onica em um determinado intervalo de tempo.
n e B
ampada que acabou de sair do processo de Exemplo 3. Para a escolha ao acaso de uma lˆ fabrica¸c˜ cao, ˜ verificar o tempo de dura¸c˜ c˜ ao da lˆ ampada em funcionamento.
Por mais que n˜ao ao seja poss p oss´´ıvel prever o resultado antes de sua execu¸ exec u¸ c˜ao, ao, sabemos que diversos resultados resultado s poss p oss´´ıveis podem po dem ocorrer. Assim, definimos, co amostral). O conjunto conjunto de todos os resultados poss´ poss´ıveis de um expeDefini¸ c˜ ao 2 (Espa¸co rimento, denotado por Ω, ´e chamado chamad o de espa¸co co amostral. Cada resultado de Ω ´e chamado de ponto ou elemento amostral. Denotamos o elemento e lemento por w, e expressar w ∈ Ω, isto is to ´e, e, w pertence a Ω. Cada resultado resultado poss´ poss´ıvel ıvel corresponde um, e somente um ponto ω ponto ω ∈ Ω, e resultados distintos correspondem a pontos distintos de is to ´e, e, ω representa apenas um unico u´nico resultado de Ω. Vejamos alguns exemplos. ω ∈ Ω, isto Exemplo Exemplo 4. Com base nos Exemplos anteriores, temos para o Exemplo 1 temos Ω =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para o Exemplo 2 temos Ω = N. E para o Exemplo 3, temos Ω = R+ . ca duas moedas honestas, e deseja-se verificar a face Exemplo Exemplo 5. Um experimento lan¸ca superior superior dessas moe moedas. Sabe-se Sabe-se que cada moe moeda apr apresent esentaa duas faces: cara ara (H) e coroa oroa (T). Dessa forma, o espa¸co co amostral ´e dado por: Ω = {(H, H ), (H, T ) T ), (T , H ), (T , T ) T )}. Entretanto, tamb´em em pod podemos emos ter um conjunto qualquer A, que cont´em em parte do elementos de Ω, isto ´e, e, A ⊂ Ω, A passa a ser chamado de subconjunto de Ω. 1
em em elemento de Ω, Defini¸ c˜ ao 3 (Subconjunto). Se todo elemento do conjunto A ´e tamb´ ent˜ ao A ´e definido definido como um subc subconjunto onjunto de Ω, sendo representado A ⊂ Ω ou Ω ⊃ A (lˆe-se: e-s e: A est´ est a´ contido em Ω ou Ω cont´ con t´em em A). A) . Essa Es sa defin de fini¸ i¸c˜ c˜ao ao pode ser aplicada entre subconjuntos de Ω, como no exemplo a seguir. Exemplo 6. Sejam o conjunto Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, e seus subconjuntos,
B = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {1, 2, 3}, ent˜ ao A ´e um subconjunto de B, pois, os elementos elemento s que cont´ em em em A, tamb´em em cont´ em em em B. Assim, A ⊂ B. B . co co amostral ( Ω), representado por letras Defini¸ c˜ ao 4 (Evento). Todo subconjunto do espa¸ latinas em mai´ usculo, A, B, . . ., ´e chamado chamad o de evento.
e d i v i e ˆ D
centrado na origem. Ent˜ ao Exemplo 7. Escolher ao acaso um ponto no c´ırculo de raio 1 centrado Ω = c´ c´ırcul ırc uloo unit un it´ ario ´ = { (x, y ) ∈
2
R
: x 2 + y2 ≤ 1 }.
Vejamos alguns eventos para esse exemplo:
A = “distˆ = “distˆ ancia entre o ponto escolhido e a origem ´e” e” ≤ 1/ 1 /2 B = “distˆ ancia entre o ponto escolhido e a origem ´e” e” ≥ 15 C = “1 Coor Coordenada denada do ponto escolhido ´e maior que a 2 . a
a
Se ω = (x, y ) for um resultado do experimento, ent˜ ao ω pertencer´ a a A se, e somente 2 2 se, x + y ≤ 1/4. Pertenc Pertencer´ er´ a ao evento C se, e somente se, x > y . Nenhum Nenhum pont pontoo ω pertencer´ a a B .
n e B ¹/
¹
¹
(a) Evento A
(b) Evento C
Figura 1: Escolha do d o ponto p onto em um c´ c´ırculo unit´ ario. ario. Logo temos:
A = {(x, y ) ∈ Ω : x2 + y 2 ≤ 1/ 1 /2}, = conjunto vazio, B = ∅ = conjunto vazio, A = {(x, y ) ∈ Ω : x > y }. Ent˜ ao, todo experimento associado a este experimento pode ser identificado por um subconjunto do espa¸co co amostral. 2
certo , impos im posss´ıvel e elementar) eleme ntar). Seja Ω o espa¸co co amostral do experiDefini¸ c˜ ao 5 (Evento certo, mento. Ent˜ ao dizemos que Ω ´e o evento certo, e ∅ ´e o evento even to imposs´ıvel, ıvel , e o evento even to {ω} ´e dito dit o elementa elem entar. r. Para a compreens˜ ao de algumas propriedades, a seguir definimos mais alguns tipos de ao eventos. ao ao de eventos). Sejam A e B, dois eventos quaisquer de Ω, ent˜ ao o Defini¸ c˜ ao 6 (Uni˜ conjunto de todos os elementos que est˜ ao em A ou B ou em ambos, ambos, ´e definido definido conjunto onjunto uni˜ ao de A e B, denotado por A por A ∪ B . Dessa forma, percebemos que A que A ∪ B ocorre se ao menos um dos eventos A eventos A ou ou B B ocorrer. ocorrer. Exemplo 8. Sejam os conjuntos:
e d i v i e ˆ D
A = { 1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}, ent˜ ao
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c˜ao ao de eventos). Sejam A e B, dois eventos quaisquer de Ω, ent˜ ao Defini¸ c˜ ao 7 (Intersec¸c˜ o conjunto conjunto que cont´ cont´em em todos os elementos que est˜ ao em A e B, ´e definido a interse intersec¸ c˜ c˜ ao de A e B, e escrito A ∩ B ou AB. AB . cao ˜ de AB de AB = {3}. Exemplo 9. Do exemplo anterior, temos que a intersec¸c˜ Defini¸ c˜ ao 8 (Eventos Disjuntos ou multuamente esxclusivos). Sejam A e B, dois eventos
quaisquer de Ω, ent˜ ao estes s˜ ao disjuntos ou mutuamente exclusivos quando n˜ ao existir elementos em comum entre A e B, isto ´e, e, A ∩ B = ∅ .
n e B
em Ω. Se A A ∩ B = ∅, ent˜ ao A ao A c ∩ B c = ∅, a menos Teorema 1. Sejam dois eventos A e B em Ω que A e B sejam complementares.
Demonstra¸c˜ c˜ ao. Considere A ∩ B = ∅ e que A ∪ B = (A ∩ B c ) ∪ (A ∩ B ) ∪ (Ac ∩ B ) = (A ∩ B c ) ∪ (Ac ∩ B ) = (Peloo fat fatoo de de A e B n˜ nao a˜o serem complementares). complementares). Ω (Pel
(1)
Usando a Lei de Morgan Ac ∩ B c = (A ∪ B )c , logo percebemos pela express˜ ao a o (1) que c c A ∩B = ∅, o que completa a prova. ao A ∩ B = ∅ Exemplo 10. Sejam os eventos A = { 1, 2, 3, 4} e B = { 5, 6}, ent˜ Uma rela¸c˜ cao a˜o de eventos que ser´a muito importante para o estudo da teoria da probabilidade, bilida de, ´e a defini¸ defini c˜ c¸ao a˜o de complemento, abordado a seguir. ao o complemento do Defini¸ c˜ ao 9 (Evento complementar). Seja A um evento de Ω. Ent˜ evento A com respeito a Ω, Ω , denotado por A por A, Ac , ou Ω − A, ´e o subconjunto subconjunto dos elementos elemento s de Ω exceto os elementos do evento A. Observemos o seguinte exemplo.
3
ca trˆ es es moedas moedas honestas, e deseja-se verificar a face Exemplo Exemplo 11. Um experimento lan¸ca superior superior dessas moe moedas. Sabe-se Sabe-se que cada moe moeda apr apresent esentaa duas faces: cara ara (H) e coroa oroa (T). Dessa forma, o espa¸co co amostral ´e dado por:, Ω = {(H,H,H ), (H,H,T ), (H , T , H ) , (H , T , T ), (T , H , H ) , (T , H , T ), (T , T , H ) , (T , T , T )}. e um evento de Ω, pode ser dado por A = { (H,H,H ), (H,H,T ), (H , T , T )}. Ent˜ ao o complemento de A ser´ a: A = {(T , H , H ) , (T , H , T ), (T , T , T )}.
e d i v i e ˆ D
Seja um evento A evento A contido contido no espa¸co co amostral Ω. Desejamos associar ao evento A evento A uma uma medida que assume valores entre 0 e 1, que chamamos de medida de probabilidade de A de A,, denotada por P por P ((A). Assim, diremos que P que P ((A) ´e a probabilida proba bilidade de de d e que qu e o evento A evento A ocorra ocorra no espa¸co co amostral amostra l Ω. Voltando ao Exemplo 1, considerando que esse dado ´e equilibrado, e o evento A evento A ⊂ Ω, ent˜ao ao poderemos atribuir uma probabilidade para A para A da da seguinte forma: P ( P (A) =
#A n´umero umero de resultados favor´ aveis aveis a A = . 6 n´umero umero de resultados result ados poss pos s´ıveis
Esta ´e a defini¸ definic˜ c¸˜ao ao cl´ cl assica a´ssica de probabilidade probabilidade quando Ω ´e finito. Entretanto, Entretanto, a probabilidade que o evento A ocorra no espa¸co co amostral nem sempre ´e poss´ poss´ıvel, devido a complexidade desses eventos. Retornando ao Exemplo 7, podemos interpretar a probabilidade de A ⊂ Ω como:
n e B P ( P (A) =
area a´rea A area a´rea A = , area ´area Ω π
sendo a area a´rea de A de A bem bem definida. Segundo um teorema profundo da teoria da medida, n˜ ao ao se pode definir P ( P (A) para A ⊂ Ω de modo que a ´area area de A n˜ao ao esteja esteja bem definida. definida. A prova disso depende do Axioma da escolha . Um exemplo cl´assico assico desses eventos s˜ao ao os ao podemos atribuir nenhuma medida quando ela ao conjuntos de Vitali de R, os quais n˜ generaliza o comprimento de intervalos de R. De fato ´e imposs imp oss´´ıvel atribuir atrib uir comprimento compr imento a todos subconjuntos de R preservando a aditividade e invariˆ ancia ancia por transla¸c˜ cao. a˜o. Dessa forma, estaremos apenas interessados em eventos cuja area ´ est´ a bem definida. Assim, definimos orio) orio). Todo evento de Ω que podemos atribuir uma probabiDefini¸ c˜ ao 10 (Evento Aleat´ lidade, chamamos de evento aleat´ orio. Vamos contextualizar algumas defini¸c˜ coes o˜es de Teoria da medida com rela¸ c˜ao ao ao conjunto do espa¸co co amostral Ω. c˜ ao de subconjuntos de um dado Defini¸ c˜ ao 11 (Classe de um conjunto Ω). Uma cole¸c˜ conjunto Ω, ´e chamado chamad o de classe. classe .
C 1 = {∅, {1}, {2}} e C C 2 = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}, Exemplo 12. Considere Ω = { 1, 2} e seja C ent˜ ao dizemos que C 1 e C 2 s˜ ao classes de Ω. 4
Vamos estar estar intere interessad ssados os nu numa ma classe classe de even eventos tos aleat´ aleat´ orios que atendem algumas propriedades, propriedades, que ser˜ ao importantes para a teoria e c´ ao alculo alculo de probabilidades. probabilidades. Denotemos Denotemos por A, uma classe de eventos aleat´orios orios definida da seguinte forma: ´ co co amostral, ent˜ ao uma classe de Ω ´e cham ch amad ada a Defini¸ c˜ ao 12 (Algebra) . Seja Ω o espa¸ de algebra, ´ denotada por A, se satisfaz as seguintes propriedades: A1. Ω ∈ A; A2. ∀ A ∈ A, Ac ∈ A; A3. Se A Se A ∈ A e B ∈ A, ent˜ ao A ∪ B ∈ A. Como consequˆencia encia dessas propriedades, apresentamos o seguinte Teorema, algebra do espa¸co co amostral Ω. Ent˜ Ent˜ ao valem as seguintes proTeorema 2. Seja A uma ´ priedades: A4. ∅ ∈ A e
e d i i v e ˆ D n e B
A5. ∀n, ∀A1 , A2 , . . . , An ∈ A, temos
n i=1
Ai ∈ A e
n i=1
Ai ∈ A.
A6. Se A Se A ∈ A e B ∈ A, ent˜ ao A − B = A ∩ B c ∈ A.
Demonstra¸c˜ c˜ ao. Podemos observar que A1 e A2 implicam em A4. Para ara A5, temos que n cao. a˜o. Usando o fato A1 ∪ A2 ∈ A ⇒ (A1 ∪ A2 ) ∪ A3 ∈ A ⇒ . . . ⇒ i=1 Ai ∈ A, por indu¸c˜ de que: n
c
n
Aic
Ai =
i=1
.
i=1
Por A2 sabemos que se A ∈ A, ent˜ao ao Ac ∈ A. Por ind indu¸ u¸c˜ cao a˜o provamos que in=1 Ai ∈ encia de A3, tamb´ ta mb´em em in=1 Aic ∈ A. Po Porta rtant nto, o, se se in=1 Aic ∈ A, por A, e por consequˆencia c conseq con sequˆ uˆencia enc ia de A2, logo ( in=1 Aic ) = in=1 Ai ∈ A. Pa Para ra provar provar A6, temos por A2 que c c se B se B ⊂ A, ent˜ao B ao B ⊂ A. E como A e B e B pertencem a A, ent˜ao ao por A5 A A5 A ∩ B c = A − B ∈ A. Vamos supor para a Defini¸c˜ c˜ao ao 12 que tamb´em em satisfa¸ satisf a¸ca ca a seguinte propriedade: A3∗ . Se A Se A k ∈ A , para k = 1, 2, . . . , ent˜ , ent˜ao ao
∞ k=1
Ak ∈ A .
Dessa forma, definimos
algebra) algebra). Uma classe de eventos de Ω, denotado por F , ´e defin de finid idoo σ Defini¸ c˜ ao 13 (σ -´ ´ algebra se satisfizer as seguintes condi¸c˜ c˜ oes: A1. Ω ∈ F ; A2. Se A Se A ∈ F , ent˜ ao Ac ∈ F ; A3 ∗ . Se uma sequˆ encia encia finita ou o u infinita infini ta cont´ avel (enumer´ avel) de eventos A A 1 , A2 , . . . ∈ F , ∞ ent˜ ao i=1 Ai ∈ F .
5
Uma σ -´algebr alg ebraa ´e sempre sem pre uma ´algebr alg ebra, a, pois po is A3 ´e conseq con sequˆ uˆencia enc ia de A3∗ , uma vez que A ∪ B = A ∪ B ∪ B ∪ B . . . ∈ F , se F ´e uma σ -´algebra. algebra. Sem perda de generalida generalidade, de, podemos afirmar que a σ a σ-´ -´algebra algeb ra ´e sempre sempr e uma algebra, a´lgebra, pelo Teor Teorema ema da Exten Ext ens˜ s˜ ao ao de a´lgebra, Cara Ca rath´ th´ eodo eo dory ry. Este teorema garante que uma probabilidade definida em uma algebra, e de acordo com os axiomas usuais, pode ser extendida de uma unica u ´ nica maneira para a σ -´algebra algeb ra gerada gera da pela pel a ´algebra. algeb ra. As duas σ duas σ-´ -´algebras algebras canˆ onicas de um conjunto Ω, considerando Ω finito ou enumer´ onicas avel, avel, s˜ao ao definidas a seguir. algebras algebras triviais de Ω). As duas σ-´ algebras triviais de Ω, considerando Defini¸ c˜ ao 14 (σ -´ Ω finito ou enumer´ avel, s˜ ao: a) C = {∅ , Ω}, a menor σ -´ algebra de Ω; b) P (Ω), (Ω), ´e o conjunto de todas as partes de Ω, e representa a maior σ -´ algebra de Ω. O n n´ umero de subconjunto subconju ntoss ´e e 2 , considerando que Ω tem n elementos.
e d i v i e ˆ D
Alguns exemplos a seguir, complementam o conceito de σ -´algebra. algebra.
umeros reais, e seja F cao ˜ de todos F uma cole¸c˜ Exemplo 13. Seja Ω = R, o conjunto dos n´ os subconjuntos de R. Ent˜ ao F ´e uma σ -´ algebra.
Seja Ω = [0, [0, 1] e seja F = {∅, Ω, [0, [0, 1/2], 2], [1/ [1/2, 1]}. Entao ˜ F ´e uma σ Exemplo Exemplo 14. Seja algebra. ´ Exemplo Exemplo 15. Seja Ω =
N∗
o conjunto dos n´ umeros naturais maiores ou iguais a um, ∗ sendo P = { x ∈ N : x ´e par } e I = {x ∈ N : x ´ x ´e ´ımpar }. Ent˜ ao F = {Ω, P , I , ∅} ´e uma σ -´ algebra de subconjuntos de Ω. ∗
Ω um conjunto infinito, e Z c˜ ao de todos os conjuntos finitos Z uma cole¸c˜ Exemplo 16. Seja Ω um
n e B
de Ω. Ent˜ Ent˜ ao Z n˜ ao cont´ con t´em em Ω e n˜ ao ´e fechado para complementa¸c˜ c˜ ao. Assi Assim, m, Z n˜ ao ´e e σ -´ algebra de Ω. Para definirmos uma σ -´algebra algebra de Ω = R, apresentamos alguns teoremas a seguir. co amostral n˜ ao vazio, e S = (F )i∈I uma cole¸c˜ cao ˜ arbitr´ aria Teorema 3. Seja Ω um espa¸co n˜ ao vazia de σ-´ algebras de Ω, ent˜ ao
J =
F i = {E ∈ F i , ∀i ∈ I }
i∈I
´e a inter in terse se¸c˜ c¸ao ˜ de todas as σ -´ algebras que pertencem a S qu e tamb ta mb´´em em ´e uma um a σ -´ algebra de S , que Ω, em que I ´ ´e um conjunto conjun to n˜ ao-vaz ao- vazio io de ´ındices. ınd ices. Demonstra¸c˜ c˜ ao. Sabemos que S ´ ´e uma um a cole co le¸c˜ c¸ao a˜o n˜ao ao vazia de σ-´algebras algebras de Ω, e que J = i∈I F i pertence a S .
(i) O conjunt conjuntoo Ω pertence pertence a J , pois Ω pertence a cada σ -´algebra algebra em S ;
(ii) Suponha que A ∈ J . Cada σ -´algebra algebra que pertence a S co c ont´ nt ´em A e cont´ on t´em Ac . Assim, Ac pertence a interse¸c˜ cao a˜o J dessas σ -´algebras; algebras; (iii) Por fim, suponha que {Ai } seja uma u ma sequˆencia encia de conjuntos co njuntos disjuntos que pertence p ertence a ao pertence em cada σ cada σ-´ -´algebra algebra de S . Assim ∪ Ai ∈ S que tamb´em em perte pe rtence nce J , e ent˜ao a J . 6
Portanto, J ´e uma σ-´algebra. algebra. Contudo, a uni˜ao ao de σ-´algebras algebras n˜ ao ao necess nec essari ariame amente nte ´e σ-´algebra. algebra. co co amostral Ω = {1, 2, 3, 4}, e σ-´ algebras de Ω dadas por F 1 = Exemplo 17. Seja o espa¸ ao {∅, Ω, {1}, {2, 3, 4}} e F 2 = {∅ , Ω, {4}, {1, 2, 3}}. Ent˜
F 1 ∪ F 2 = {∅, Ω, {1}, {4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}}} que n˜ ao ´e uma um a σ-´ algebra. ao vazio, Coro Co rol´ l´ ario ar io 1. Seja ε uma classe de subconjuntos de Ω, sendo Ω um conjunto n˜ que n˜ ao necessariamente seja uma σ-´ σ -´ algebra. Existe ent˜ ao, uma σ-´ σ -´ algebra de Ω, Ω , denotada por J (ε), que qu e cont´ con t´em em ε que ´e a menor men or σ -´ algebra, chamada a σ -´ algebra gerada por ε. Demonstra¸c˜ c˜ ao. Seja S uma cole¸c˜ c˜ao ao de todas as σ-´algebras algebras que inclui ε de Ω . Ent˜ao ao S ´e n˜ao ao vazio, vazio , pois po is cont´em em P (Ω) (Ω) que consiste de todos os subconjuntos de Ω. Pelo Teorema 3, a intersec˜ intersec˜ ao ao das σ das σ-´ -´alge al gebr bras as ´e uma um a σ-´ σ -´algebra, algebra, J (ε), que inclui ε inclui ε e e est´ a inclusa em todas as σ -´algebras algebras de S , ist is to ´e, e, J (ε) est´ a contida em toda σ toda σ-´ -´algebr alg ebraa de Ω que qu e cont´ c ont´em ε em ε.. Portanto, me norr σ-´ σ -´algebra algeb ra de Ω que cont´em em ε. J (ε) ´e a meno
e d i v i e ˆ D
Usaremos o color´ario ario anterior para definir uma importante fam´ fam´ılia das d as σ-´algebras, algebras, a chamada σ chamada σ-´ -´algebra algebra de Borel. algebra algebra de Borel). Seja ε uma cole¸c˜ c˜ ao de subconjuntos abertos de R. Defini¸ c˜ ao 15 (σ-´ Ent˜ ao J (ε) ´e chama ch amado do de σ -´ algebra de Borel de R, usualmente escrito B (R). Seus Seus eleelementos s˜ ao chamados de conjuntos onjuntos de Borel Borel ou bore orelianos. lianos. Da mesma forma, definimos definimos n n algebra gerada pelos subconjuntos abertos de R . B (R ) como a σ -´
n e B
Os elementos da σ -´algebra algebra de Borel inclui os conjuntos abertos, conjuntos fechados (os complementares dos conjuntos abertos), interse¸ c˜oes oes enumer´ aveis aveis de conjuntos abertos (lembrando que uni˜ oes oes enumer´ aveis e conjuntos abertos j´ aveis a s˜ao ao abertos), uni˜ oes oes enumer´aveis aveis de conjun conjuntos tos fechado fechadoss (lembran (lembrando do que inters interse¸ e¸ c˜oes oes enumer´ enumer´ aveis aveis de conjuntos fechados j´ a s˜ao ao fechados), etc., como ser´ a visto no teorema seguinte. Teorema 4 (Conjuntos de B (R)). Os subconjuntos seguintes de R pertencem a B (R):
(i) (a, b) para qualquer a < b;
(ii) (−∞, a) para qualquer a ∈ (iii) (a, ∞) para qualquer a ∈
R;
R;
(iv) [a, b] para qualquer a ≤ b; b ; (v) (−∞, a] para qualquer a ∈ (vi) [a, ∞) para qualquer a ∈
R;
R;
(vii) (a, b] para qualquer a < b; (viii) [a, b) para qualquer a < b; (ix) {x} ∈ (a, ( a, b) para qualquer a < b; 7
(x) qualquer qualquer subc subconjunto onjunto fechado fechado de R. ao conjuntos abertos e portanto pertencem a B (R) Demonstra¸c˜ c˜ ao. Os itens (i), (ii) e (iii) s˜ao pela pr´ opria opria defini¸c˜ c˜ao. ao.
(iv) [a, [a, b] =
∞ n=1
∞ n=1
(v) (−∞, a] = (vi) [a, [a, ∞) =
a − n1 , b +
∞ n=1
1
n
−∞, a +
∈ B (R);
1
n
∈ B (R);
a − n1 , ∞ ∈ B (R);
(vii) (a, (a, b] =
∞ n=1
a, b +
(viii) [a, [a, b) =
∞ n=1
a − n1 , b ∈ B (R);
(ix) {x} =
∞ n=1
1
∈ B (R);
n
x − n1 , x +
1
n
( a, b); ∈ B (R), ∀x ∈ (a,
(x) Se B ´e um subconjunto fechado em B (R). Mas B = (B c )c ∈ B (R).
e d i v i e ˆ D R,
ent˜ao ao B c ´e aberto, assim este pertence a
De fato, todas essas classes de subconjuntos de R gera a σ-´algebra algebra B (R). algebra de Borel de R. Ent˜ ao, esta ´e a menor σ -´ algebra Teorema 5. Seja B (R) uma σ -´ de R que inclui todos os intervalos.
Demonstra¸c˜ c˜ ao. Seja B ⊆ B uma σ -´algebra algebra tal que B cont´em em todos os intervalos. intervalos. Isso implica que B cont´ cont´em em todos os interv intervalos alos abertos. Consequentem Consequentemente, ente, B ⊆ B pela Defini¸c˜ cao a˜o 15. Conclu Concl u´ımos ent˜ ao ao que B = B .
n e B
Vamos definir formalmente, a probabilidade associada aos eventos aleat´ orios orios da σ ´algebra, algebra, da qual chamaremos de medida de probabilidade. Inicialmente, definimos algebra e um espa¸co co amostral amostral Ω, ent˜ ao uma Defini¸ c˜ ao 16 (Medida). Seja F uma σ -´ [0 , ∞), que satisfaz: medida, denotada por µ, ´e uma fun¸ fu n¸c˜ cao ˜ tal que µ : F → [0, i) µ(∅) = 0;
ii) ( σ -aditividade) -aditividade) Se A1 , A2, . . ., ., ´e uma sequˆencia enci a disjunt dis juntaa em F , ent˜ ao µ ( ∞ n=1 µ(An ).
∞ n=1
An ) =
Para o caso em que µ : F → [0, [0 , 1], µ ´e chamado de medida de probabilidade e passa a ser denotado por P . P . co amostral Ω qualquer e uma σ -´ algebra F = P (Ω), (Ω), tal que Exemplo 18. Seja um espa¸co uma medida µ : F → [0, [0 , ∞] ´e dado da do por por:: µ(A) =
#A, se A ´e finito fini to,, infi nito.. ∞, se A ´e infinito
Algumas condi¸c˜ coes ˜ s˜ ao impostas sobre µ(A): i) µ(∅) = 0; ii) (Ai )i∈N uma sequˆ encia encia disjunta disju nta em F : 8
(a) (b)
i∈N
Ai conjunto finito;
i∈N
Ai conjunto infinito.
Para (ii).a temos, pela Defini¸c˜ cao ˜ 16.(ii) que µ
e d i i v e ˆ Ai
Ai =
=#
i∈N
i∈N ∞
#A i
i∈N
µ(Ai ).
=
i=0
Para o caso (ii).b, considerando i∈N Ai um conjunto infinito e A A i um conjunto finito n˜ ao vazio, para todo i ∈ N, temos ∞
µ
= ∞ =
Ai
i=1
i∈N ∞
∞
#Ai = ∞
µ(Ai ) =
i=1
Para o caso (ii).b, considerando infinito, para todo i ∈ N, temos
µ(Ai )
i=1
i∈N
µ
Ai um conjunto infinito e ao menos um A A i seja
= ∞
Ai
D
i∈N ∞
n e B
µ(Ai ) = ∞
i=1
co co amostral e F uma σ -´ algebra Defini¸ c˜ ao 17 (Medida de Probabilidade). Seja Ω o espa¸ dos eventos de Ω. Ent˜ ao, uma fun¸c˜ c˜ ao P P tal que P : F → [0, [0 , 1], 1], ´e chamada chamad a de medida de probabilidade sob os seguintes axiomas de Kolmogorov: 1. (Normalidade) (Normalidade) P (Ω) P (Ω) = 1; 1;
2. (Positividade (Positividade)) ∀A ∈ F , P ( P (A) ≥ 0; 0 ;
3. ( σ -aditividade) Para uma sequˆ sequˆencia encia finita ou infinita cont´ contavel ´ de eventos A1 , A2 , . . . ∈ F multuamente exclusivos, ∞
P ( P (U i∞ =1 Ai )
=
P ( P (Ai ).
i=1
Observe a seguinte propriedade: 3∗ ) (Aditi (Aditivid vidade ade finita) se A1 , A2 , . . . , An ´e uma sequˆencia encia disjunta dois a dois em F , n n ent˜ ao ao P ( ( k=1 Ak ) = k=1 P ( P (Ak ).
ist o ´e, e, se P ´e e σ -aditiva, ent˜ ao ´e finit fin itaaTeorema 6. O Axioma 3 implica o Axioma 3∗ , isto mente aditiva. aditiva. 9
Demonstra¸c˜ c˜ ao. Supondo satisfeito o Axioma (3), e sejam A1 , A2 , . . . , An ∈ F . Conside Conside-rando P ( P (∅) = 0, uma vez que = P (Ω (Ω ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ . . .) = P (Ω) P (Ω) P (Ω) = P P (Ω) + P ( P (∅) + P ( P (∅) + . . . . Definimos Ak = ∅, para k = n = n + 1, 1, n + 2, 2, . . .. ao disjuntos, ent˜ ao ao .. Como A1 , A2 , . . . s˜ao
n
P
∞
Ak
= P
k=1
Ak
k=1
∞
P ( P (Ak )
=
k=1 n
P ( P (Ak ) + P ( P (∅) + P ( P (∅) + . . .
=
e d i v i e ˆ D n e B k=1 n
P ( P (Ak ).
=
k=1
Um quarto Axioma, pode ser complementado sobre a medida de probabilidade, que segue: ( “Continuidade do vazio”) Se a sequˆencia encia {Ak }k≥1, em que Ak ∈ F ∀k, decrescer Axioma 4. (“Continuidade para o vazio, ent˜ao a o lim lim P ( P (Ak ) → 0. k→∞
Este axioma indica que se (A (Ak )k≥1 decrescer para o vazio, Ak ↓ ∅, significa que Ak ⊃ Ak+1 ∀k, ou seja, (A (Ak )k≥1 decresce, e k≥1 Ak = ∅. encia encia dos Axiomas 4 e 3∗ ). Dados os axiomas de Kolmogorov, o Teorema 7 (Equivalˆ Axioma 4 ´e equivalente equivalente ao Axioma 3∗ , isto ´e, e, uma prob probabilidade abilidade finitamente aditiva ´e e uma probabilidade se, e somente se, ´e cont´ cont´ınua no vazio. Demonstra¸c˜ c˜ ao. (i) (i) Sup Suponh onham amos os o Axio Axioma ma 4. Sejam Sejam A1 , A2 , . . . ∈ F tais que Ak ↓ ∅. Vamos provar que P ( P (Ak ) → 0. Considere ∞
A1 = (A1 − A2 ) ∪ (A2 − A3 ) ∪ . . . =
(Ak − Ak+1 ),
k=1
pelo diagrama: A1 A2 ¥
Ç Ak
k=1
10
A3
As regi˜oes A oes A k − Ak+1 s˜ao ao disjuntas, disjunta s, uma vez que a sequˆencia encia ´e decrescente decre scente e F ´e fech fe chad adaa para diferen¸cas. cas. Pelo Axioma 3∗ ,
∞
P ( P (A1) = P
∞
(Ak − Ak+1 )
k=1
=
P ( P (Ak − Ak+1 ),
k=1
porta po rtanto nto a s´erie eri e ´e converge conve rgente nte e n−1
∞
P ( P (Ak − Ak+1 ) =
k=1
P ( P (Ak − Ak+1 ) + P ( P (∅) + P ( P (∅) + P ( P (∅) + . . .
k=1
n−1
=
P ( P (Ak − Ak+1 ) → P ( P (A1 ). n→∞
k=1
Pela aditividade finita,
e d i v i e ˆ D
P ( P (Ak − Ak+1 ) = P ( P (Ak ) − P ( P (Ak+1), logo n−1
P ( P (A1 ) = lim
n→∞
[P ( P (Ak ) − P ( P (Ak+1)]
k=1
= lim {[P ( P (A1 ) − P ( P (A2 )] + [P [P ((A2) − P ( P (A3 )] + . . . + [P [P ((An−1 ) − P ( P (An )]} n→∞
= lim {P ( P (A1 )− P P ((A2 ) + P P ((A2) − P P ((A3 ) + . . . + P P ((An−1 ) −P ( P (An )} n→∞
= lim [P ( P (A1 ) − P ( P (An )], )],
n e B
n→∞
e ent˜ ao ao P ( P (An ) → 0.
(ii) Suponhamos o Axioma 4 e sejam A1 , A2 , . . . ∈ F disjun disjuntos. tos. Vamos prov provar que ∞ ∞ ∞ P ( ( k=1 Ak ) = k=1 P ( P (Ak ). Seja A = k=1 Ak , ent˜ao ao
n
A =
∞
∪
Ak
k=1
Ak
k=n+1
e pela aditividade finita, n
P ( P (A) =
∞
P ( P (Ak ) + P
k=1
Seja Bk =
∞ k=n+1
Ak
.
k=n+1
ao Bk ↓ ∅ e portanto P portanto P ((Bk ) → 0 (Pelo Axioma 4). Logo Ak , ent˜ao n
k=1
isto ´e, P ( P (A) =
∞ k=1
P ( P (Ak )
→ n→∞
P ( P (A),
P ( P (Ak ).
ao equivalentes: Coro Co rol´ l´ ario ar io 2. Os dois seguintes sistemas de axiomas s˜ 11
Sist Sistem emaa I: Axio Axioma mass 1, 2 e 3 e 3∗ Sist Sistem ema a II: Axiom Axiomas as 1, 1, 2, 3 e 4. 4. sistema I ´e equivalent equivalentee aos Axiomas 1, 2, 3 e 3∗ , pois j´a vimos que o Demonstra¸c˜ c˜ ao. O sistema Axioma 3∗ implica no Axioma 3. Agora, usando o Teorema 7, provamos que o Axioma 3 implica implic a no Axioma 4, e a prova ´e conclu concl u´ıda. Ent˜ ao ao para verificar verificar se P ´e uma probabilidade probabilidade em F , basta verificar os axiomas do sistema I ou os axiomas do sistema II. Vejamos algumas propriedades de uma medida de probabilidade, (Propriedades de P ) P ). Seja P uma medida medida de prob probabi abilida lidade de associa associada da a Teorema eorema 8 (Propriedades sequˆenia eni a de eventos eve ntos aleat´ orios Ai ∈ F ∀i ∈ N e o evento B ∈ F , sendo F uma σ-´ algebra, e A ∈ F . Ent˜ ao s˜ ao v´ alidas as seguintes propriedades: i) (Complement (Complemento) o) P ( P (A) = 1 − P ( P (Ac ); ii) P ( P (∅) = 0;
e d i v i ˆ e D n e B
iii) P ( P (B ) = P ( P (A ∩ B ) + P ( P (Ac ∩ B );
iv) (Monotonicid (Monotonicidade) ade) Se A ⊂ B, B , ent˜ ao P ( P (A) ≤ P ( P (B ); v) P ( P (A ∪ B ) = P ( P (A) + P ( P (B ) − P ( P (A ∩ B ); vi) (Limitante (Limitante Superior) Superior) 0 ≤ P ( P (A) ≤ 1; 1 ; vii) (Desigualdade (Desigualdade de Boole) Boole) P ( P ( viii) (subaditiv (subaditividade) idade) P ( P (
n i=1
∞ i=1
∞ i=1
Ai ) ≤
Ai ) ≤
ix) (Desigualdade (Desigualdade de Bonferroni) Bonferroni) P ( P (
n i=1
P ( P (Ai );
P ( P (Ai );
n i=1
Ai ) ≥ 1 −
n i=1
P ( P (Aic )
x) (Continuidad (Continuidadee da prob probabilid abilidade) ade) Se Ai ↓ A, ent˜ ao P ( P (Ai ) ↓ P ( P (A). Se Ai ↑ A, ent˜ ao P ( P (Ai ) ↑ P ( P (A). xi) (Inclus˜ ao-Exclus˜ ao) P ( P ( in=1 Ai ) = in=1 P ( P (Ai ) − n+1 A j ∩ Ak ) + ( −1) P ( P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ).
n i
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