Conceitos Básicos de Estatística

 

Disciplina Estatística

Professor Luide Riani Maciel dos Reis

 

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Apresentação

Caro Aluno, Bem-vindo à disciplina disciplina de Estatística! Estatística!!!!! Diariamente somos influenciados pela estatística, estatística , que é intuitivamente uma de nossas principais ferramentas para a tomada de decisão. Vejamos um exemplo simples: quando pensamos em trocar o uso diário do automóvel pelo uso de uma motocicleta, o primeiro aspecto que nos vem à cabeça é o índice de ferimentos graves ao motociclista em caso de acidente, ou a probabilidade de nos ferirmos, ainda que estejamos pilotando da maneira certa..... Vamos neste semestre descobrir como melhorar a assertividade da nossa intuição, pois aprenderemos a usar as ferramentas estatísticas para fundamentar nossas decisões.

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Ementário

Em um mundo onde a quantidade e a velocidade de crescimento de dados disponíveis só avança, apresentar a estatística e as técnicas de pesquisa como um conjunto de conceitos e técnicas essenciais para a transformar dados em informação relevante para o sucesso nos negócios.

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Habilidades e Atitudes

1. Identificar os diferentes meios de pesquisar, organizar, apresentar e analisar dados. 2. Comparar diferentes métodos e identificar o mais eficaz de acordo com o projeto. 3. Calcular correlações e analisar resultados para a tomada de decisões. 4. Te Testar star resultados, considerando as variáveis estatísticas. 5. Identificar diferentes métodos de pesquisa, considerando as variáveis: tempo, custo e objetivo final. 6. Coletar, processar, interpretar e apresentar dados e resultados de pesquisas. 7. Identificar e julgar distribuições normais. 8. Calcular e interpretar gráficos de controle controle estatístico de processo.

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Sumário

01. Aula 01 01. 01 -Conceitos Básicos de Estatística. 02. Aula 02 Distribuição de Freqüências e Apresentação de Dados 03. Aula 03 - Representação Gráfica 04. Aula 04 - Medidas de Tendência Tendência Central e Separatrizes 05. Aula 05 - Medidas de Dispersão, Assimetria e Curtose 06. Aula 06 - Conceito e Aplicações dos Números-Índice 07.. Aula 07 07 07 - Amostragem 08. Aula 08 - Probabilidade 09. Aula 09 - Distribuições amostrais 10. Aula 10 10 - Estimação e Intervalo Intervalo de Confiança 11 Aula 11 11 - Testes de Hipót Hipóteses eses 12. Aula 12 12 -Testes -Testes NãoNão-Paramétricos Paramétricos 13. Aula 13 13 - Comparação de Variáveis Médias 14. Aula 14 14 - Correlação e Regressão Linear Simples 15. Aula 15 15 - Controle Estatístico de Processo Processo

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Aula 01 Conceitos Básicos de Estatística Objetivos da Aula

• •

Apresentar o conceito de Estatística e suas divisões. Apresentar o conceito de População, Amostra e

•

Experimento Aleatório. Conhecer a organização e tipo dos dados estatísticos

Segundo o dicionário Aurélio, estatística é: [Do fr. statistique.] S. f. 1. Parte da matemática em que se investigam os processos de obtenção, organização e análise de dados sobre uma população ou sobre uma coleção de seres quaisquer, e os métodos de tirar conclusõess e fazer ilações ou predições com base nesses dados. conclusõe 2. Qualquer parâmetro de uma amostra, como, p. ex., a sua média, o seu desvio-padrão, a sua variância. 3. Conjunto de elementos numéricos respeitantes a um fato social. 4. Representação e explicação sistemática, por observações quantitativas de massa, dos acontecimentos e das leis da vida social que deles se podem deduzir. 5. Método que objetiva o estudo dos fenômenos de massa, i. e., os que dependem de uma multiplicidade de causas, e tem por fim representar, sob forma analítica ou gráfica, as tendências características limites desses fenômenos. ( Ferreira, 1999)

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Entretanto, vamos enfocar a Estatística como a ciência que estuda a organização, descrição, análise e interpretação dos dados. É uma ferramenta muito importante para o profissional de Administração de Empresas, pois, o auxilia nos processos de tomada de decisão. A estatística pode ser dividida em: • •

Estatística Descritiva Descritiva:: responsável pela organização e descrição das informações; Estatística Indutiva ou Inferencial: compreende os processos de generalização, a partir da análise e interpretação dos dados amostrais.

Dois importantes conceitos devem ser apresentados aqui: o de população e o de amostra: • •

População ou Universo é um conjunto fundamental de todos os elementos com pelo menos uma característica comum. Amostra ou Evento é o subconjunto de um Universo.

Para padronizar nossa linguagem, iremos trabalhar usando as expressões População (representado pela letra P) e Amostra (representado (represe ntado pela letra A). A teoria matemática dos conjuntos dá uma visão clara dos conceitos, conforme abaixo: A estatística indutiva busca obter conclusões para todo a população P, a partir dos resultados encontrados na amostra retirada deste mesmo universo; ou seja, ela generaliza o resultado da amostra para o universo.

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Mas, ao efetuarmos esta generalização, podemos notar que um erro (também chamado de desvio ou incerteza) poderá ocorrer. Assim, o ramo da estatística que irá estudar esta situação é a Probabilidade. Conforme Costa Neto (1992) “a Probabilidade é um número associado a um evento, destinado a medir sua possibilidade de ocorrência.” 

Os ramos da estatística interagem da seguinte forma:

Estatística

Probabilidade

Descritiva

Estatística Indutiva

Amostragem Aleatória é uma forma de obter a amostra na qual todos os elementos do universo têm igual probabilidade de ocorrer. Um Experimento Aleatório ou Não-determinístico é a observação estatística de um fenômeno qualquer, como por exemplo, no lançamento de uma moeda (não viciada) observar o resultado final, cara ou coroa. Um evento aleatório é caracterizado por poder ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. Apesar

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da repetibilidade acima, não será possível dizer qual será o resultado particular do experimento, mas poderá ser descrito o conjunto de todos os resultados possíveis. Dicas importantes: `Para visualizar facilmente os conceitos de População, Amostra e Experimento Aleatório veja o material digital. Os dados estatísticos podem estar estar organizados ou desorganizados. Quando organizados recebem o nome de “dados estatísticos em rol” e quando desorganizados recebem o nome de “dados estatísticos brutos”. Os dados estatísticos em rol podem ser organizados em ordem numérica, alfabética ou ainda alfanumérica (quando aplicável); de forma crescente ou decrescente. Veja os exemplos abaixo: Dados Estatísticos Brutos U=(9, 5, 1, 7, 5, 3, 3, 6, 9, 7, 8, 5) Dados Estatísticos em Rol U=(1, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9) U=(9, 9, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 5, 3, 3, 1) Os dados estatísticos também podem ser identificados pela sua espécie ou tipo, sendo eles: 1. Dados Contínuos são aqueles onde as variáveis podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo de valores, digamos todos os valores x no intervalo 0 ≤   x ≤ 1 , assim, estas são então variáveis contínuas. Como exemplo de variável contínua temos o peso líquido de cada pneu num universo de pneus novos de uma certa marca, modelo e dimensão. 2. Dados Discretos, onde as variáveis só podem assumir determinados Faculdade On-line UVB

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valores num intervalo de valores, ou seja, a menor diferença nãonula entre dois valores dessa variável é finita. Um exemplo de variável discreta é o número de pontos obtidos em cada jogada, durante o lançamento de um dado comum não viciado. Os dois tipos de dados acima são chamados de dados quantitativos, pois seus valores são expressos em números, outro tipo de dado é o qualitativo, já que é resultado de uma classificação por tipos ou atributos, como exemplo podemos citar num universo dos moradores de uma cidade a variável cor dos olhos. Dentro da classificação de dado qualitativo temos a variável nominal, que ocorre quando são definidas “categorias”, tais como sexo (masculino (masculin o ou feminin feminino), o), cor dos olhos (pretos, azuis etc.), campo de estudo (engenharia, direito, economia etc.). Para processar estatisticamente as variáveis nominais, à elas são atribuídos números de forma a se tornarem “contáveis”. Dados por postos são qualitativos qualitati vos e são sujeitos a avaliações subjetivas quanto à preferência ou desempenho em um conjuntode observações. São exemplos competições de beleza, concursos de moda.

Variável Quantitativa

Variável Qualitativa

Variável Contínua

Vari riáável Discreta

Variável Nominal

Variável po por Po Postos

Universo: Peças fabricadas em uma fábrica

Universo: 10 lançamentos de uma moeda não viciada

Universo: alunos de uma sala de aula

Universo: concurso de beleza feminina

Variável: diâmetro externo

Variável: número de caras obtidas

Variável: sexo masculino ou feminino

Variável: a candidata mais bela.

Quando relacionamos os dados estatísticos est atísticos a alguns fatores, tais como tempo, local e fenômeno, dizemos que estes dados formam uma Série Sér ie Faculdade On-line UVB

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Estatística. As séries estatísticas geralmente encontradas são: •

•

•

• •

Série Temporal, Cronológica, Histórica ou Evolutiva; aqui a variável é o tempo. Série Geográfica, Territorial ou Espacial; aqui a variável é o local. Série Específica ou Especificativa; aqui a variável é o fenômeno. Série Mista, onde variam mais de um dos fatores acima. Distribuição de Freqüência, uma representação gráfica ou em tabela, que aponta o número de vezes que uma variável aparece em uma amostra.

Referências Bibliográfica Bibliográficass COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. ed. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Dicionário Aurélio Eletrônico Século XXI. Ed Lexikon Informática Ltda. Versão 3.0, 1999. CD-ROM. MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília: Vestcon Editora Ltda., 2003. MEYER, Paul L. Probabilidade, Aplicações à Estatística. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2003.

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Aula 02 Distribuição de Freqüências e Apresentação de Dados Objetivos da Aula

•Apresentar os conceitos de Distribuição de Freqüência; •Demonstrar modelos de Apresentação de Dados; •Fixar os conceitos através de exercício.

Tipos de representação dos dados discretos e contínuos Na aula 1, aprendemos algumas definições sobre o que é estatística, seus processos, seus conceitos, os tipos de dados, os tipos de variáveis e os tipos de séries. Nesta aula, vamos conhecer as formas de Distribuição de Freqüências e como pode ser feita a Apresentação dos Dados. Podemos dizer que Distribuição de Freqüências  é uma forma de apresentação dos dados “resumida” de maneira, que para um determinado item, indica-se o número de observações efetuadas. Vejamos o exemplo: Consideremos a amostra de dados discretos formada por: 9, 8, 5, 4, 5, 6, 2, 2, 4, 3, 4, 7, 9, 5, 6, 7, 1, 4, 7, 2, 4, 6, 3, 5, 7, 9, 5, 1, 4, 8, 2, 9

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A Distribuição de Freqüência Simples Absoluta (fi) para o caso é:

A Distribuição de Freqüências é usada para racionalizar a apresentação da informação, imagine se não fosse usado o recurso acima, quão cansativa e repetitiva seria nossa tabela. Para construção de uma Tabela de Distribuição de Freqüências objetiva podemos adotar os seguintes passos:          

1.Encontre os valores que podem ser assumidos pela variável; 2.Organize os valores da variável em ordem crescente, na coluna da esquerda de sua tabela; 3.Faça uma consolidação do número de vezes que cada valor aparece; 4.Insira os números encontrados no passo 3 na coluna ao lado da coluna “Valores”, na coluna denominada “Freqüência”; 5.Faça uma checagem rápida somando a coluna “Freqüência” e comparando com o total de itens de sua amostra.

Imediatamente junto à este conceito, vem o de Amplitude Amostral (A), que é a diferença entre entre o menor e o maior valor da amostra, sendo A =9 –1 A =8

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As Freqüências são divididas em tipos conforme abaixo:

Com os dados do nosso quadro anterior podemos mostrar claramente:

Freqüência de uma classe: é o número de dados observados naquela classe. Freqüência relativa de uma classe :

Freqüência acumulada de uma classe: é a soma das freqüências das classes anteriores e da classe classe atual.

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Até agora apresentamos a forma de se representar dados discretos, os dados contínuos devem ser apresentados na forma de intervalos (chamada de Distribuição Intervalar). Freqüentemente no caso de grandes amostras de dados discretos (com número de elementos maior que 30) a distribuição intervalar também é usada. Cada um dos grupos ou intervalos da distribuição intervalar, intervalar, formados a partir do agrupamen agrupamento to ou conjunto destes dados, é chamado de Classe. O número de classes de uma representação pode ser obtido obtid o por vários métodos, sendo mais usuais as Regras de Sturges e do Quadrado.

Onde: K = número de classes N = número total de observações Se considerarmos um exemplo com 1000 observações, temos: Pela Regra de Sturges:

Pela Regra do Quadrado:

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Podemos notar que os valores encontrados não são nem de perto parecidos, por isso deve ser registrado que na organização organiz ação e construção de uma tabela de distribuição de freqüências, o que deve prevalecer é o bom senso e não só e simplesmente o resultado encontrado, usando os modelos matemáticos acima. O importante é que a representação seja de fato esclarecedora com elementos homogêneos. Pessoalmente, penso que a Regra de Sturges tende a apontar um número de classes com mais eficiência que a do Quadrado. Uma regra de bolso diz que as tabelas de distribuição de freqüências devem ter de 5 a 20 classes, pois abaixo de 5 está se perdendo informação preciosa diluída nas classes e acima de 30 o nível de detalhamento torna-se exagerado e pouco eficaz. Alguns autores sugerem que a distribuição intervalar tenha de 5 até 16 classes apenas. As classes encontradas podem ser representadas pela forma tradicional ou pela moderna. Para a Forma Tradicional veja o exemplo:

Esta representação utiliza o conceito de limites aparentes e reais das classes, assim: 10 – é o limite inferior aparente da 1ª classe 19 – é o limite superior aparente da 1ª classe 20 – é o limite inferior aparente da 2ª classe, e assim por diante

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Os limites reais são calculados utilizando-se a média aritmética simples dos limites chamados diagonais, veja: Então os limites reais são: 9,5 inclusive até 19,5 exclusive 19,5 inclusive até 29,5 exclusive Dessa forma: 9,5 – é o limite inferior real da 1ª classe 19,5 (exclusive) – é o limite superior real da 1ª classe 19,5 (inclusive) – é o limite inferior real da 2ª classe, e assim por diante. Vale ressaltar que o limite inferior real da 1ª classe é a metade do primeiro valor disponível na diagonal (número 19). A Representação Moderna, usa a simbologia de intervalo aberto ou fechado, veja:

Portanto temos:

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Conhecendo os limites inferiores e superiores de uma classe, obtemos mais uma informação importante que é a Amplitude do Intervalo de Classe “(C)”, “(C )”, que nada mais é que a diferença entre os limites superiores e os inferiores sucessivos.

Então: C = 360-320 = 40 ou C = 399-359 = 40, portanto C = 40. Para a forma de representação moderna de classes, a Amplitude de Intervalo de Classes pode ser obtida apenas subtraindo o limite inferior do limite superior dentro da mesma classe. Uma Classe também possui um Ponto Médio (Pm), que é calculado pela média aritmética simples dos limites (superior e inferior) de cada classe.

Conhecendo-se as técnicas de Distribuição de Freqüência, temos que dar o passo seguinte no sentido de fazer uma Apresentação de dados correta e clara.

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A ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) publica normas nacionais para a organização e apresentação de tabelas, tabe las, mas de forma geral uma tabela deve conter:  

Título: precede a tabela e explica, resumidamente, o dado

     

em estudo, aponta também o tempo (data) e o lugar a que os dados se referem; Cabeçalho: especifica o conteúdo de cada coluna; Coluna Indicadora : especifica o conteúdo de cada linha; Corpo da Tabela : apresenta os dados.

Existem alguns elementos que auxiliam o entendimento e situam a tabela no contexto. E seu uso também é importante. São eles:      

Fonte: o nome da Entidade, Órgão ou outro que forneceu os dados. Notas: são esclarecimentos de maneira geral Chamadas: são esclarecimentos de maneira específica

Preferencialmente Fonte, Notas e Chamadas são colocadas no rodapé da tabela. Exemplo 1:

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Exemplo 2:

Para finalizarmos a aula, seguem abaixo algumas dicas para construção de uma tabela. 1.Delimite a tabela, no alto e embaixo, por traços horizontais; 2.Se existir mais de uma tabela no texto, numere-as; 3.Escreva na tabela os totais das linhas e colunas, ou as médias, ou qualquer outro resultado que possa ajudar o leitor; 4.Delimite o total por um traço horizontal; 5.Faça traços verticais no interior da tabela se isso trouxer maior clareza; 6.Separe o cabeçalho do corpo da tabela por um traço horizontal; 7.Sempre inclua a fonte de origem dos dados; 8.Havendo necessidade, inclua as notas e chamadas; 9.Use letras maiúsculas apenas no início das palavras de uma linha ou de uma coluna; 10.Se o dado não existir, faça um traço no campo da tabela onde este dado deveria ser inserido.

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Referência Bibliog Bibliográfica: ráfica: MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília: Vestcon Editora Ltda., 2003. COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. O liveira. Estatística. 12. 12. ed. São Paulo: Paulo : Editora Edgard Blücher Ltda., 1992.

Sites  Asso soci ciaç ação ão Br Bras asil ilei eira ra de No Norm rmas as Téc écni niccas: http://www.abnt.org.br/ ABNT – As

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Aula 03 Representação Gráfica Tipos de representação gráfica e suas aplicações. Objetivos da aula:

• Fixar os conceitos dos tipos de representação gráfica, • Apresentar os Pictogramas, • Exercitar os conhecimentos adquiridos.

Introdução Na aula 2, conhecemos as técnicas de Distribuição de Freqüências e de Apresentação de Dados. Hoje aprenderemos como facilitar o entendimento e interpretação das informações através da utilização de gráficos. A Representação Gráfica, usualmente chamada de gráfico, é uma maneira mais agradável, mais atrativa visualmente e porque não, mais lúdica do que as tabelas, para demonstrar fenômenos físicos, econômicos, sociais ou outros que estejamos analisando. A Representação Gráfica permite uma visualização rápida e entendimento fácil. Freqüentemente, a partir de um bom gráfico, podemos formar instantaneamente nossa opinião a respeito do tema em questão, tendo em vista que as grandezas absolutas e relativas estão todas apresentadas.

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Existem várias tipos de gráficos que podem ser usados e comumente há dois ou mais modelos que podem nos atender; a decisão de qual usar depende de que tipo de informação buscamos privilegiar com nosso gráfico. Vamos os exemplos:

Histograma Freqüentemente utilizado para dados agrupados em classes (geralmente dados contínuos), privilegia a grandeza relativa em detrimento à absoluta, que pode ser apresentada numa tabela adicional quando imprescindível.

Poligonal Característica É o gráfico que utiliza, em sua representação, o contorno do histograma.

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Polígono de Freqüências É o gráfico que se obtém unindo-se por linhas retas os pontos médios das bases superiores dos retângulos de um histograma; tende a valorizar o comportamento da curva, apontando claramente o crescimento, decrescimento ou estabilização.

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Curva de Freqüência Freqüênciass É a suavização das retas obtidas no polígono de freqüências

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Gráficos de Linhas Semelhante ao polígono de freqüências, mas não derivado dos pontos do histograma, muito utilizado para representação de séries temporais.

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Gráfico de Colunas ou Barras Verticais Corresponde ao histograma, porém utilizado na representação de dados nominais em séries categóricas, cronológicas e geográficas.

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Gráfico de Barras Horizontais Equivalente ao gráfico de colunas, mas com disposição horizontal das informações.

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Gráfico das Freqüências Acumuladas É a representação acumulada das colunas ou barras horizontais.

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Gráfico de Setores Usualmente construído para apresentar a importância relativa das proporções, com a disseminação das ferramentas de informática, passou a incluir as grandezas absolutas.

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Diagrama de Pareto É uma ferramenta usada amplamente quando se objetiva ganhos de qualidade, pois ela estabelece prioridades. Seu nome tem origem de um economista italiano de chamado Pareto que, em seus estudos de distribuição de renda, primeiramente construiu este tipo de gráfico.

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Referências Bibliográfica Bibliográficass COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira.   Estatística. 12.  ed.  São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. MANDIM, Daniel.  Estatística Descomplicada. 10.  ed . Brasília: Vestcon Editora Ltda., 2003. VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed . São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2003.

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Aula 04 Medidas de Tendência Central e Separatrizes Objetivos da aula:

Na aula 3, aprendemos a elaborar representações gráficas diversas, que permitirão facilitar o entendimento e a interpretação das informações. Nesta aula, veremos como encontrar as diversas formas de média, mediana e moda, que nos auxiliam apontando a tendência de comportamento dos dados estatísticos. Também veremos como obter as Separatrizes, que permitem decidirmos qual cobertura dos dados pretendemos atingir ou selecionar.

Medidas de Tendência Central A medida de tendência central é a tendência que os dados têm de agruparem-se em torno de certos valores.

Média Aritmética Simples É a soma de todos os dados, divididos pelo número deles. n

∑ x

i

 i =1

 x =

n Faculdade On-line UVB

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Onde:  x - - média aritmética  n- número de dados   x  x i  - os valores da variável n

∑

Relembrando a notação  xi(lê-se somatór Relembrando somatório io de x i  , i de 1 a n) significa i =1 que todos os valores de  x i  devem ser somados, desde o primeiro ( x i ) até o n-ésimo ( x i ).

Média Geométrica Simples É a raiz n-ésima n- ésima do produto de todos os dados.

 x g  = n   x1 . x2 ......xn Onde:  x  g  - média geométrica n  - número de dados  x 1 x  2 ..... x n - os valores da variável

Média Geométrica Ponderada É a raiz n-ésima do produto de todos todos os dados. n

 x gp  g p =  

∑c   i =1

c 1

 c2

 x1  . x2

cn n

......x

  Onde:    x gp - média geométrica ponderada

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   x1 x  2 ..... x n - os valores da variável   c1 ,  c 2 ...... c n - freqüência de cada variável

Média Harmônica Simples É o inverso da média aritmética dos inversos dos números.

 x h =

n n

1

i =1  

 xi

∑  

 x h - média harmônica simples    xi - os valores das variáveis   n - número de variáveis

Média Harmônica Ponderada

n  x h p = n ci ∑  x i =1   i    x hp - média harmônica ponderada    xi - os valores das variáveis   n - número de variáveis   ci - freqüência das variáveis

Moda É uma medida de tendência central que se caracteriza pelo valor mais

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freqüente (maior freqüência absoluta simples). Para encontrar a Moda para valores tabulados, deve ser usado o método de Czuber, pois este é o método considerado mais preciso.

 f m o −  f ant   M o = l i + c 2  f mo −  f ant  +  f  pos t 

(

)

Onde:

l i - limite inferior da classe modal   c - intervalo de classe    f mo - freqüência da classe modal    f  ant  - freqüência anterior à classe modal    f   post - freqüência posterior à classe modal

Mediana A Mediana ( ) é uma medida de tendência central, que divide uma série ordenada (ROL) de tal maneira que pelo menos a metade, ou 50% 50 % dos itens, sejam iguais ou maiores que ela. Dessa forma, é também uma separatriz separat riz , dividindo a série em em partes iguais. iguais.

Mediana de valores não tabulados Inicialmente, determina-se o elemento central da série.

 E  =

 n + 1 2

onde: E   - é o elemento central central da amostra n - é o número de valores da amostra Para o caso de amostras com número ímpar de valores conta-se a Faculdade On-line UVB

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partir do primeiro até o valor igual a e este é a Mediana. Para o caso de amostras com número par de valores, depois de encontrar o elemento central, faz-se a média aritmética dos valores anteriores e posteriores ao elemento central.

Mediana de Valores Tabulados Tabulados a) Quando tratarmos tratarmos de dados discretos (não agrupados agrupados em classes)

xi

fi

fac

2 4 6 8 10 12 Somatório

5 10 15 12 5 3

5 15 30 42 47 50 50

Calculamos o elemento central, notando que n =

=  E 

 n

=

2

50

∑  f   

i

= 25

2

Comparando-se o valor com a freqüência acumulada  f  ac, observa observa-se -se que está acima do 15 e abaixo do 30; diretamente, temos que o 25º valor (ou seja o elemento central 25) está entre o 24º e o 26º valores, então calculamos a mediana pela média aritmética entre o 24º e 26º valores.

 M d  =

6+6 2

=6

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Quando é ímpar teremos apenas um valor para o elemento central E   , dispensando o cálculo da média aritmética. b) Quando tratarmos tratarmos de dados contínuos contínuos (agrupados (agrupados em classes)

   E  −  f antac  M d  = l i + c  f  Md  onde:   l i - limite inferior da classe mediana   E  - sempre determinado por  M d  - freqüência absoluta da classe mediana  f      f   M d  - freqüência acumulada anterior à classe mediana  c - intervalo de classe

Comparação entre Média, Mediana e Moda Definição

Média

Vantagens

Soma de todos os

Reflete cada

valores dividido pelo total de elementos do conjunto.

valor;Possui propriedades matemáticas atraentes.

Limitações

Quando usar

1-Deseja-se obter a medida de posição que possui a maior É influenciada por estabilidade; 2-Houver valores externos. necessidade de um tratamento algébrico posterior.

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Mediana

Valor que divide o conjunto em duas partes iguais.

Menos sensível a valores extremos que a média.

Difícil de determinar para grande quantidade de dados

1- Deseja-se obter o ponto que divide o conjunto em partes iguais; 2- Há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média; 3- A variável em estudo é salário. 1-

Moda

Valor mais freqüente

Deseja-

se obter ima Não se presta medida rápida e Valor “típico”; a análise aproximada da Maior quantidade matemática;Pode posição; de valores não haver moda 2A medida de concentrados neste para certos posição deve ser o ponto conjuntos de valor mais típico da dados distribuição.

Relação entre Média, Moda e Mediana (relação empírica de Pearson)

(

 x −  M  0   ≅ 3  x −  M    d  Essa expressão pode ser apresentada sob diversas formas e indica, geometricamente, que a mediana situa-se entre a média e a moda, sendo sua distância à moda o dobro de sua distância à média. Sua verificação prática tende a ser mais perfeita para conjuntos maiores de dados, sendo a moda calculada com base em dados agrupados em classe de freqüências.

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É uma relação aproximada para distribuições de freqüências unimodais e “fracamente” assimétricas.

Separatrizes Quartis Os quartis separam um conjunto de dados ordenados (ROL) em quatro partes iguais; assim: • • •

é o 1º quartil, deixa 25% dos elementos abaixo dele dele;; é o 2º quartil, quartil, coinc coincide ide com com a mediana, deixa 50% dos elementos abaixo dele; é o 3º quartil, deixa 75% dos elementos abaixo dele.

Cálculo de Q1 :

Q1

= l iQ

1

  n −  f    aQ 4 +   f  Q  

1

1

     c      

Onde:   l iQ1 - limite inferior da classe que contém Q1  f  aQ1 - freqüência acumulada das classes anteriores à classe que contém Q1  f  Q - freqüência da classe que contém Q1 1

C - amplitude da classe que contém Q1

Cálculo de Q2:

Q3

= l iQ

3

 3n  f  aQ  − 4 +   f  Q  

3

3

     c      

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Onde:   - limite inferior da classe que contém Q3 - freqüência acumulada das classes anteriores à classe que contém Q3 - freqüência da classe que contém Q3 - amplitude da classe que contém Q3

Decis Os decis são valores que dividem uma série de dados ordenados em dez partes iguais. O i-ésimo decil, (i=1,2,...,10), de um conjunto de observações organizadas na forma de uma distribuição de freqüências pode ser obtido por:

  in −  f    aD   10  Di = l iD +    f   D  

i

i

i

     c      

Onde:   l iD - limite inferior da classe que contém  D ; i i

i    f  aD - freqüência contém ; i acumulada das classes anteriores à classe que  D    f   ;i  Di - freqüência da classe que contém D   c - amplitude da classe que contém D .i

Percentis Os percentis são valores que dividem uma série de dados ordenados em 100 partes iguais. O i-ésimo percentil (i=1,2,...,100) de um conjunto de observações organizadas na forma de uma distribuição de freqüências pode ser

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obtido por:

in  P i = l iP i  + 100

−  f  aP 

 f   P i

i

c

Onde:   l iP i - limite inferior da classe que contém  P i ;      f  aP i - freqüência acumulada das classes anteriores à classe que ; contém  P i ; .   P i - freqüência da classe que    f   contém  P i ;   c - amplitude da classe que contém  P i

Referências Bibliográfica Bibliográficass COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. ed . São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil.  São Paulo: Editora Saraiva, 1998. MAGALHÃES, Marcos Nascimento e Lima, Antonio Carlos Pedroso de. Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo: 5a. ed. Editora da Universidade de São Paulo, 2002. MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed.  Brasília: Vestcon Editora Ltda., 2003. STEVENSON, Willian J. Estatístic Estatística a Aplicada à Administração. São Paulo: Ed. Harbra, 1981. VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed . São Paulo:

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Editora Pioneira Thomson Learning, 2003.

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Aula 05 Medidas de Dispersão, Assimetria e Curtose Objetivos da aula:

•

Apresentar as Medidas de Dispersão, Assimetria e Curtose;

•

Apresentar exemplos para fixação de conceitos

Introdução A aula 4 apresentou os conceitos de média, moda e mediana que permitem sintetizar em valores representativos o conjunto de valores de uma amostra. Mas, de maneira geral, é importante que se saiba o quanto de variação há entre os valores máximo e média; e mínimo e média. Essa “distância” é a dispersão.

Amplitude Total É a diferença entre o maior e o menor valor dos dados apresentados

 At 

=  x  máx   − x mín

At - amplitude total xmáx  - valor máximo observado na amostra xmín  - valor mínimo observado na amostra No caso de dados agrupados com intervalos de classe, é a diferença

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entre o limite superior da última classe e o inferior da primeira classe.

Desvio Médio Absoluto (DMA) É igual à média dos valores absolutos dos desvios, calculados em relação à média do conjunto de valores. É uma medida de dispersão pouco usada. No caso de dados não tabulados: n

∑ d 

i

 i =1

 DMA =

 x

X= (1,3,5,7,9), x - = 5 e n =5

xi 1 3 5 7 9

di = xi - x-

|di|

1 - 5 = -4

3 - 5= -2 5 - 5= 0 7 - 5= 2 9 - 5= 4

4 2 0 2 4

Total

12

Então o DMA é: n

∑ d 

i

 DMA  D MA

=

i =1

 x

=

12 5

= 2,4

∴  DMA  D MA

= 2,4

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45

 

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Para dados tabulados não agregados em classes (dados discretos): n

∑ (d  *  f  )  DMA  DM A= ∑  f   i

i =1  

i

n

i

i =1

 x i  1 3 5 7 9 Total

d i  = x i  - x -

f i  10 20 40 20 10 100

1-5 = -4 3-5 = -2 5-5 = 0 7-5 = 2 9-5 = 4 Total

|d i | 4 2 0 2 4 12

|d i | * f i  40 40 0 40 40 160

n

∑ (d  *  f   ) i

 DMA =

i

i =1

n

 f  i

=

1 60 1 00

= 1,6

i =1

∑

∴  DMA = 1,6

Amplitude Semi-Interquartílica (desvio quartílico) É a metade da diferença entre o terceiro quartil (Q 3) e o primeiro quartil (Q2).

Q3 −  Q1  Dq

=

2 Faculdade On-line UVB

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Variância e Desvio Padrão No cálculo do DMA, podemos observar que trabalhamos com o módulo dos desvios (|d i | ), isto porque, sem este módulo, as somatórias dos valores dos desvios seriam nulas. Outra forma de eliminarmos o problema relativo ao sinal do desvio (número negativo e positivo) é elevar cada desvio ao quadrado, assim todos eles passam a ser positivos. alternativa, e ela é então: A Variância usa esta alternativa, n

 x 2 i =1 σ2 = ∑

n

2

      x   i =1   −  ∑ n          n

Você deve ter notado que a variância está ao quadrado   ( σ 2 ). Sob o ponto de vista prático, é um inconvenient inconveniente; e; dessa forma estabeleceu-se uma medida que tem utilidade e interpretação práticas, denominada de Desvio Desv io Padrão que é o valor positivo da raiz quadrada da variância, ou seja:

 s =

 

σ2

Nota: 1. O desvio padrão e a variância são medidas de dispersão ou variabilidade, a opção do uso de um ou outro, depende da finalidade da informação. 2. A variância tem tem pouca utilidade na estatística descritiva, porém é muito importante na inferência estatística e em combinações de amostras.

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3. O desvio padrão é muito usado na estatística descritiva. 4. É import importante ante notar que, que, se os dados dados representarem uma amostra e não toda a população, a expressão matemática da variância deve ter (n-1) no denominador em substituição ao fator n, esta mudança é chamada de fator de correção de Bessel ou conforme os estatísticos, número de graus de liberdade. Dessa forma temos a variância da amostra. 5. σ - lê-se sigma, é o símbolo usado para indicar a variância da população e é a variância da amostra.

O desvio padrão possui propriedades importantes, dentre elas destacam-se:

 y i

=  x ± c  ⇒  s y = s x

Somando-se ou subtraindo-se, uma constante (c) de todos os valores de uma variável, o desvio padrão não se altera:

 yi

= c * xi ⇒       s y = c * s x

Relação empírica entre Desvio Padrão e Amplitude

Na quase totalidade dos casos práticos, o desvio padrão supera um sexto da amplitude e é inferior a um terço da amplitude, isto é:

 At  6

  At  <  s < 3

Essa relação é útil até mesmo para a verificação de erros grosseiros no cálculo do desvio padrão.

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Dispersão Relativa Também conhecido como coeficiente de variação aponta a homogeneidade dos dados, sua vantagem é caracterizar a dispersão dos dados em termos relativos a seu valor médio. Quanto menor o valor, mais homogêneo será o conjunto de dados.

CV  p   =

 s  x

Medidas de assimetria

Numa distribuição estatística, a assimetria é o quanto sua curva de freqüência se desvia ou afasta da posição simétrica. Podemos caracterizar as distribuições de freqüência em: · · ·

Assimétrica à direita ou positiva Assimétrica à esquerda ou negativa; Assimetria nula ou simétrica.

Pela expressão abaixo podemos apontar a simetria da curva de freqüência.  Se:

 x − M o

 x − M    o

= 0  - assimetria nula ou distribuição simétrica  x − M    o < 0  - assimetria negativa ou à esquerda   x − M    o > 0  - assimetria positiva ou à direita  

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Distribuição Simétrica

Distribuição Negativa

Distribuição Positiva

Coeficiente de Assimetria O grau de assimetria de uma curva de freqüências, dentre outros, é dado pelo coeficiente de assimetria de Pearson:

 A s

=

  3  x  −  M d   s

Se 0,151 é forte.

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Medidas de Curtose Defini-se Curtose como o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição em relação padrão. São três os tipos curvas de distribuição no que se refere a curtose: Leptocúrtica, Mesocúrtica e Platicúrtica.

 

Mesocúrtica

Platicúrtica

Mesocúrtica

Coeficiente de curtose É a medida do grau de achatamento da curva:

C  =

− Q1 2( P 90  − P 1 0 ) Q3

Se C  = 0,263  -

curva mesocúrtica  C  < 0,263  - curva leptocúrtica  C  > 0,263  - curva platicúrtica

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Referência Bibliográfica Bibliográfica:: COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. ed . São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 1998. MAGALHÃES, Marcos Nascimento e LIMA, Antonio Carlos Pedroso de. Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo: 5a. ed. Editora da Universidade de São Paulo, 2002. MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília: Vestcon Vestc on Editora Ltda., 2003. SETEVENSON, Willian J. Estatístic Estatística a Aplicada Apli cada à Administra Administração. ção. São Paulo: Ed. Harbra, 1981. VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed. São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2003.

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Aula 06 Conceitos e Aplicações dos Números-Índice Objetivos da aula: • Apresentar exemplos para fixação de conceitos relativos a Números-índice e deflacionamento.

Introdução Na aula 5 aprendemos os conceitos de Medidas de Dispersão, Assimetria e Curtose. Nesta aula, compreenderemos os Númerosíndice, ou simplesmente Índices, que estão presentes diariamente em nossas vidas, seja pelo noticiário da TV ou ainda pelos jornais e revistas, nos ajudando a tomar decisões de aspecto profissional e também pessoal.

Números-Índice O Número-índice é uma razão entre o valor de uma variável numa data e o valor desta mesma variável em outra data. Esta razão se dá dividindo o valor da variável na data objetivada ou atual pelo valor desta variável na data base. O resultado então é multiplicado por 100. Os Números-índice são freqüentemente usados na economia e nos negócios em geral, mas também são usados nas ciências físicas, químicas, naturais e sociais.

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Os índices mais usados geralmente apresentam variações de preço, de quantidade ou de valor. A fórmula de cálculo do Número-índice é:    

Valor da variável na data considerada * 100 Valor da variável na data base

Vamos para um exemplo: Imagine o número de toneladas de soja produzidas por uma fazenda durante os anos de 1998 até 2003. Ano 1998 Quantidade (ton) 120000 Número-índice 100

1999 128000 106,7

2000 2001 2002 135000 150000 152000 112,5 125 126,7

2003 160000 133,3

Você deve ter percebido que os Números-índice são na prática uma evolução percentual; entretanto, por convenção, não é usado o sinal de percentagem (%). Então um índice de 140 significa 140%, mas escrevemos apenas 140.

Propriedades do Número-Índice São quatro as propriedades básicas mais importantes do Númeroíndice que veremos: a)

Identidade

O número-índice deve ser igual a unidade quando a data atual (t) coincidir com a data base (o).

 = t ,t 

 I 

 =

1

 

ou

o ,o

 I 

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b)

Reversão do Tempo

Ao se permutarem dois períodos s e t, os resultados serão o inverso um do outro.

 I  s ,t   * I   t , s = 1

 

ou

 I  s ,t  =

1  I t , s

 

Por exemplo: Is,t=1,25 (acréscimo de 25%) It,s= 0,80 (queda de 20%)   I  s ,t   * I t , s = 1,  25 * 0,80 = 1 c)

Circular

O produto de diversos índices entre si, calculados individualmente com data base móvel, é igual ao índice entre a data final e a data base “zero”.   I 0 ,1 * I 1, 2

* I  2,3 * I   3, 4 ... * I t −1,t   = I 0,t 

Vejamos no exemplo: A evolução do custo de fabricação de automóveis foi de 8% em fevereiro em relação a janeiro, em março com relação a fevereiro ficou na ordem de 3% e em abril com relação a março 4%. Calcule a evolução percentual de abril em relação a janeiro. P1,2=1,08 P2,3=1,03 P3,4=1,04 1, 4 = 1, 2   P   P 

  2 ,3 * P 3, 4   = 1,08 *1,03 *1,04 = 1,1569 * P  Faculdade On-line UVB

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O acréscimo então de janeiro a abril foi de 15,69%.

d) Decomposição Decomposi ção das Causas (Inversão ou Reversão de Fatores)

 Ip0, t  * Iq 0,t  = Iv0,t  Índice 

Índice 

Índice 

de    Preço

de    Quantidade

de    Valor 

Acompanhe no exemplo: Uma empresa adquiriu, em janeiro de 1980, 1500 unidades de um componente de fabricação ao preço unitário de R$300,00 e em fevereiro, 1470 unidades a R$330,00 cada. Calcular o valor relativo da transação em fevereiro, com base em janeiro. p1=300 p2=330 q1=1500 q2=1470  

 p1, 2 =

q1, 2 =

 p2

 =

 p1

q2 q1

=  

330 300

1470 1500

= 1,10

= 0,98

v1, 2 =  p1, 2 * q1, 2   = 1,10 * 0,98 = 1,078 Faculdade On-line UVB

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Dessa forma o acréscimo foi de 7,8%.

Elos Relativos A propriedade circular dos Números-índice nos permite conhecer os elos relativos de cada período que estamos tratando. Vejamos no exemplo: Um bem apresentou no mercado internacional, no período de 1991 a 1994, respectivamente, respectiva mente, os preços de US$240,00, US$240,00, US$300,00, US$360,00 US$ 360,00 e US$540,00. Os elos relativos são:

 P 91,92 =

 

 P 92  P 91

 P 92,93 =

 P 94,93 =

300

* 100 =

 P 93  P 92  P 94

 

240

*100 =

*100 =

* 100 = 1,25 * 100 = 125

360  

300 540  

*100 = 1,2 *100 = 120

*100 = 1,5 *100 = 150

 P 93 360 Com estes dados podemos formar a tabela de elos relativos: Anos 1991 Elos relativos - --

1992 125

1993 120

1994 150

Relativos em Cadeia Considerando o exemplo anterior temos:  

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 P 92

300

  * 100 = 1,25 * 100 = 125  P 91,92 =  P 91 * 100 = 240

 P 91,93 =

 P 91,94 =

 P 93  P 91

 P 94  P 91

Anos Relativos em Cadeia

*100 =

* 100 =

1991 ---

360  

240

*100 = 1,5 *100 = 150

540 54 0

  * 100 = 2,25 * 100 = 225

240

1992 125

1993 150

1994 225

Índices Agregativos Os índices estudados até agora são caracterizados por serem compostos apenas de uma variável, mas mas a composição de um índice de inflação (um exemplo clássico de Índice Agregativo), por exemplo, considera diversas variáveis com diversos pesos distintos.

Índices Agregativos Simples A maneira mais simples de calcular um índice composto por diversos outros é através da média aritmética simples. Os diversos tipos de média estudados na aula 4 podem ser usados, usa dos, mas neste caso somente as médias simples converterão índices em índices simples. Por exemplo, teremos Índice Médio Harmônico Simples se usarmos uma média harmônica simples ou Índice Geométrico Ponderado se optarmos por média geométrica ponderada. Em seguida veremos que existem outras formas de Índice Agregativo Ponderado.

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Índice Agregativo Ponderado Para que nossa informação tenha a maior qualidade possível, podemos trabalhar com Índices ponderados, atribuindo coeficientes de ponderação a cada índice separadamente, ou seja, dando a eles pesos relativos entre si conforme sua importância dentro do Índice Geral. São dois modelos principais usados na construção de índices ponderados: a Fórmula de Laspeyres, ou método da época base, e a Fórmula de Paasche, ou método da época atual.

Fórmula de Laspeyres ou Método da Época Base  p

Ponderando os relativos de preço t  onde pt é o preço na época atual  p e po é o preço na época base, pelo ovalores (preços * quantidades) do ano base poqo, obtemos a fórmula de Laspeyres:  

 pt q o ∑   Lo,t  = ∑   po qo

Nota: O relativo que queremos tratar é aquele de índice t. Então, se desejamos ponderar o relativo de quantidade, teremos:  

qt  po ∑   Lo , t  = ∑   po qo

Fórmula de Paasche ou Método da Época Atual Analogamente a Fórmula de Laspeyres, mas agora com foco na época atual, teremos:

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 P o ,t  =

t  t 

 p q ∑   p ∑  o qt 

Nota: O relativo que queremos tratar é aquele de índice t. Então, se desejamos ponderar o relativo de quantidade, teremos:

qt  pt  ∑   P o ,t  = ∑   po qt 

 

Vamos para um exemplo onde tudo ficará claro.   Considerando a tabela: Bens A B C

1993

1994

p 20 40 15

q 4 3 8

p 28 56 30

1995 q 3 3 12

P 34 62 40

Q 5 7 14

Calcule o índice ponderado para preços, empregando a fórmula de Laspeyres e Paasche e tomando 1993=100. Por Laspeyres:

 p94q93 ∑   Lp93,94 = ∑   p93q93  p95q93 ∑   Lp93,95 = ∑   p95q93 Por Paasche:  

=

=

(28 * 4) + (56 * 3) + (30 * 8)

  = ( 20 * 4) + (40 * 3) + (15 * 8)

(34 * 4) + (62 * 3) + (40 * 8)

  = (20 * 4) + ( 40 * 3) + (15 * 8)

520 52 0 320 32 0

642 64 2 320 32 0

= 1,62 625 5

= 2,0063

 

 

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   Pp93, 94

 p94 q94 ∑  =

=

93 94 ∑   p q

 Pp93,95 =

∑   p95q95 ∑   p93q95

(28 * 3) + (56 * 3) + (30 *12)  

=

(20 * 3) + (40 * 3) + (15 *12) =

(34 * 5) + (62 * 7) + (40 *14)  

( 20 * 5) + (40 * 7) + (15 *14)

=

612 61 2

= 1,70 700 0

 

360 36 0 1164 590

= 1,9729

Índices de Preços Para construir um índice de preços, qualquer que seja sua finalidade, devemos inicialmente responder às questões abaixo, observando os detalhes dos aspectos levantados em cada uma delas: a. Qual o objetivo do Índice? É fundamental qualificar, com toda a precisão, o objetivo do índice, determinar o que ele está medindo e a quem se refere. Dessa determinação dependerá a seleção dos produtos que comporão o índice. b. Que produtos devem ser incluídos em seu cálculo? Devem ser incluídos os produtos julgados mais importantes e que sejam representativos do conjunto de bens que integram o setor para o qual se vai calcular o índice. c. Quais preços devem ser incluídos em seu cálculo? Deve-se identificar o setor para o qual serão determinados os preços (varejo, atacado, etc.). etc.) . Também Também é necessário decidir a forma de cotação e como deverão ser coletados os dados. d. Qual o peso a ser atribuído a cada bem em particular? O sistema de pesos a ser atribuído deve depender essencialmente da finalidade ou da utilidade do índice. Os pesos, por isso mesmo, devem refletir a importância relativa de cada bem no conjunto tomado para a determinação do índice.

 

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e. Qual a fórmula mais adequada? Em geral, quando se trata de índices de preços, é usada a fórmula de Laspeyres, que emprega pesos fixos, permitindo permiti ndo a revisão periódica de seus valores. Resulta daí a possibilidade de termos sempre as mesmas comparações, feitas diretamente ou através de elos de relativos. Nota: Freqüentemente no mundo dos negócios, existem grandes contratos de aluguel, prestação de serviços servi ços ou de fornecimentos de longo prazo, onde é definido um índice de reajuste. Nestas situações é comum que se faça um “mix” de diversos relativos, dando pesos a cada um deles, de forma que o valor total ou a somatória dos relativos é igual a 1. Veja o exemplo: Uma empresa negociou com seu cliente que o reajuste de preço será composto por três fatores principais: mão-de-obra, matérias-primas e distribuição do produto entre a fábrica e os pontos de venda. No último ano os custos se comportaram conforme a tabela abaixo:

Peso relativo Janeiro /2000 Dezembro /2000

Custo Cust o da Mão-de-obra Mão- de-obra - iMO 50 % R$120000,00 R$180000,00

Custo das matériasprimas - iMP 35% R$270000,00 R$300000,00

Calculando o índice final para reajustar o preço, temos:  

180000

i MO

=

i MP 

=

i D

=

1,50

=

1,11

120000 300000 270000 65000 =

=

50000

1,30

Custo da distribuição - iD 15% R$50000,00 R$65000,00

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Estatística - UVB

O aumento geral a ser aplicado é de 33,35%.

Deflacionamento Deflacionam ento de Dados Os aumentos de preços implicam em baixas no poder de compra ou no valor da moeda. Por isso mesmo, a manutenção do poder de compra dos salários é um problema que muito preocupa os assalariados de países onde o valor da moeda está continuamente se deteriorando. Assim, embora os salários nominais estejam freqüentemente aumentando, os salários reais podem estar diminuindo, devido ao aumento do custo de vida (inflação), e, conseqüentemente, tendo o seu poder aquisitivo reduzido. Daí a importância dos índices de preços, pois a eles recorremos para responder questões tais como: Sabendo-se que um assalariado, em dezembro de 1995, tinha salário de R$1071,00 e o Índice de Preços de dezembro de 1995, com base em novembro, era de 101,24%, calcular qual o valor real do salário em dezembro com base em novembro.  

SR = SR =

S t   IP   I P t 

*100

1071 101,24

*100

SR = 1057,88

Principais Índices de Preços

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Estatística - UVB

1.

INPC/IBGE

O Índice Nacional de Preços ao Consumidor, levantado pelo IBGE, começou a ser calculado em 1948. Em 1966 ocorreram algumas mudanças no processo de cálculo, quando o sistema de ponderação foi modificado. Nesta modificação os gastos foram agrupados em categorias de consumo de mesma natureza, como alimentação, habitação, vestuário, higiene, transportes, luz e combustível, educação, recreação e diversos. O INPC mede a variação de preços no varejo com base no consumo médio de famílias com renda mensal de 1 a 8 salários mínimos. O IBGE também calcula o IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo), que mede a variação de preços para famílias com renda de 1 a 40 salários mínimos. Os dois índices são médias de 11 regiões metropolitanas, para as quais o IBGE fornece os índices individualmente.

2.

IGP/FGV

O IGP/FGV é o Índice Geral de Preços, levantado pela Fundação Getúlio Vargas. É o mais usado como indexador de contratos de longo prazo, públicos e privados. Ele é composto pela média ponderada de três outros índices levantados pela Fundação: IPA – Índice de Preços no Atacado, obtido com base na pesquisa feita nacionalmente com quase 500 empresas. O IPA entra no cálculo do IGP com peso 6; IPC – Índice de preços ao Consumidor, é um índice de preços no varejo similar ao INPC/IBGE, obtido no Rio de Janeiro e em São Paulo. O IPC entra no cálculo do IGP com peso 3; INCC – Índice Nacional do Custo da Construção, que mede a variação de preços de materiais de construção e de mão-de-obra. O INCC entra no cálculo do IGP com peso 1.

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A FGV calcula ainda o IGP-DI (Índice Geral de Preços, Disponibilidade Interna), o IGP-M IGP- M (Índice Geral de Preços, de Mercado) e o IGP-10 IGP-10 (Índice Geral de Preços 10). O IGP-DI considera os preços médios do início ao fim do mês (mês fechado), o IGP-M considera os preços médios do dia 21 de um mês ao dia 20 do mês seguinte e o IGP-10, IGP-10, que é usado como indicador da tendência da inflação, considera os preços médios mé dios do dia 11 de um mês até o dia 10 do mês seguinte.

3.

IPC/FIPE

O Índice de Preços ao Consumidor da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da Universidade de São Paulo é o índice mais antigo do Brasil e começou a ser levantado logo depois da revolução de 30, com a finalidade de salvaguardar os direitos trabalhistas recém-adquiridos. Era chamado “índice ponderado de custo de vida da classe operária de São Paulo”. De acordo com alguns especialistas, este é o índice que melhor mede a inflação que nos diz respeito, isto é, é o índice que melhor reflete a variação dos preços de alimentos, aluguel, vestuário, transportes, etc.

4.

ICV do Dieese

O Índice do Custo de Vida, levantado pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos, em São Paulo desde 1959, mede o efeito da variação dos preços de perto de 350 produtos para as famílias paulistas com renda mensal entre 1 e 30 salários mínimos.

5.

INCC e CUB

O Índice Nacional do Custo da Construção Civil é um dos componentes do IGP e reflete a variação de materiais de construção e da mão-deobra do setor. Este índice é utilizado no financiamento direto de construtoras e incorporadoras.

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O Custo Unitário Básico também mede a variação de preços de materiais de construção e da mão-de-obra do setor. É calculado por sindicatos da indústria da construção, chamados Sinduscon. Esse índice é usado nos financiamentos de imóveis.

Referência Bibliográfica Bibliográfica:: COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. ed . São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 1998. MAGALHÃES, Marcos Nascimento e LIMA, Antonio Carlos Pedroso de. Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo: 5a. ed. Editora da Universidade de São Paulo, 2002. MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília: Vestcon Vestc on Editora Ltda., 2003. SETEVENSON, Willian J. Estatístic Estatística a Aplicada Apli cada à Administra Administração. ção. São Paulo: Ed. Harbra, 1981. VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed.  São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2003.

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Aula 07 Amostragem Objetivos da aula:

•

Apresentar exemplos para fixação de conceitos de amostragem;

•

Praticar os conceitos em exercícios.

Introdução . Em nosso encontro da aula 6 conhecemos os números índice, uma técnica muito importante para acompanharmos a evolução ou involução do valor de uma variável ao longo do tempo. Mas, se necessitarmos levantar informações de uma população muito grande, como trataremos essa massa de dados? 

A resposta é: com a amostragem, que é o alvo de nossa aula de hoje.

Amostragem A utilização de técnicas de amostragem se faz necessária quando, por questões práticas ou econômicas, é impossível (ou quase) estudar toda a população. Como exemplo, temos o caso de uma fábrica de automóveis que, pelas questões apontadas acima, não efetua inspeção e ensaios em 100% dos itens que serão agregados ao automóvel, faz as verificações

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de qualidade e conformidade em momentos específicos durante a produção, seja no início, meio ou fim. Logo no início do processo produtivo, é efetuada a inspeção (usando técnicas de amostragem) dos lotes de produtos recebidos. Outro exemplo interessante do uso de técnicas de amostragem é o manejo sustentável de áreas florestais com fins extrativistas. Neste caso, numa floresta definem-se áreas de controle, mede-se mede- se a densidade florestal destas áreas e extrapola-se o resultado para toda a mata; pode-se assim conhecer com boa precisão o número de espécies vegetais encontradas e sua idade média, dentre outros aspectos. A amostragem pode ser obtida por dois métodos, a amostragem não probabilística e a amostragem probabilística.

Amostragem por Julgamento É baseada na escolha deliberada e exclui qualquer processo aleatório. O uso deste método requer uma boa compreensão da população. O que, no entanto, caracteriza este método é que cada caso selecionado, seleci onado, ou cada seleção é pré-determinada e não depende de chance. A amostragem por julgamento apresenta algumas desvantagens, que são: • • •

É propensa a parcialidades parcialidades;; A amostra é tão pequena que pode ser um problema acerca da credibilidade dos resultado resultados; s; Os resultados amostrados não podem ser usados para extrapolações a partir dos casos selecionados para o levantamento da população, e não podem prover estimativas

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da população. Neste caso vemos que o risco desse tipo de testes situa-se, principalmente, na eventualidade de que o resultado venha a ser projetado para formar um juízo global, o que não é aceitável, em virtude da amostra poder não ser representativa.

Amostragem por Quotas Aqui a população deve ser conhecida, pelo menos aproximadamente, de forma que a representatividade de cada grupo de dentro da população seja percebida na amostra. O que queremos dizer é que as quotas (amostras) buscam repetir as mesmas características da população, ou seja, por exemplo, as proporções de pessoas de diferentes idades, sexo, grupos étnicos, etc, devem ser representadas na amostra conforme estão na população. A grande diferença entre a amostragem por quotas e estratificada é que na primeira não há a seleção por qualquer base aleatória, enquanto que na estratificada a seleção é aleatória como veremos. A amostragem por quotas é freqüentemente usada em pesquisas de opinião e pesquisa de mercado.

Amostragem Aleatória Simples É o método básico de amostragem aleatória, pela sua facilidade de selecionar amostras, analisar dados e reduzir erros de amostragem, mas ele não pode ser aplicado sempre, e não é sempre o mais apropriado. O método se fundamenta no princípio de que todos os membros de uma população têm a mesma probabilidade de serem incluídos na amostra.

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Fases do método: a) listagem da população; b) determi determinação nação do tamanho da amostra; c) uso de números aleatórios (tabela ou algoritmos computacionais). Existem fórmulas e tabelas para estabelecer o tamanho das amostras e as estimativas, de acordo com: • • • • •

tamanho da população; o nível de confiabilidade desejável; o índice de precisão escolhido; o grau de dispersão; a taxa de ocorrência.

Amostragem Sistemática Aqui os membros da população que participam da amostra são determinados a partir de intervalos fixos, e não há a utilização de tabelas de números aleatórios. Por exemplo, numa população de 100 peças, para obtermos 10 amostras sistemáticas podemos retirar as peças de número 10, 20, 30, e assim por diante, até completarmos 10 amostras sistematicamente colhidas. Para encontrarmos os pontos onde faremos as coletas sistemáticas das amostras, podemos seguir os seguintes passos (conforme exemplo): Define-se o tamanho da população: N= N = 1600 Define-se o tamanho da amostragem total: n= n = 100 1600

 N  =

=

16

n

100

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Faz-se então:

;

Sorteia-se um número de 1 a 16, que será o primeiro número da amostra, logo as próximas amostras serão retiradas de 16 em 16. Vantagens:

1. Facilidade de determinação dos elementos da amostra amostra;; 2. Não precisa usar números aleatórios; 3. Mais rapidez para grandes populações. Desvantagens:

1. Cuidados com o fator “posição” na lista dos componentes da população; 2. Cuidado com fenômenos sazonais.

Amostragem Estratificada Consiste em dividir a população em subgrupos mais homogêneos (estratos) e retirar amostras aleatórias simples dos subgrupos. Por exemplo: Deseja-se estudar a aceitação de determinados métodos de controle de natalidade em uma determinada cidade. Solução: Aspectos relevantes socioeconômica;

nesta

aceitação:

religião

e

situação

Uma identificação sugerida - religião: católicos, protestantes e

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 judeus; Outra identificação sugerida – classe social: alta, média e baixa. Estratoss que poderiam ser formados: Estrato • • • • • •

Protestantes de classe alta; Protestantes de classe média média;; Protestantes de classe baixa; Católicos de classe alta; Católicos de classe média; Católicos de classe baixa;

• • •

Judeus de classe alta; Judeus de classe média; Judeus de classe baixa.

Retiramos amostras aleatórias simples de cada estrato, usando o processo já sugerido (listagem, números aleatórios); Juntar numa só amostra a fim termos uma amostra de toda a população; A idéia básica é que: “um grupo homogêneo requer amostra menor que um grupo heterogêneo”. As amostras estratificadas estratificadas são divididas em três tipos: 1. Uniforme Na amostragem estratificada uniforme sorteia-se igual número de elementos de cada estrato. 2. Proporcional Na amostra estratificada proporciona proporcionall, o número de elementos em cada estrato é proporcional ao número de elementos existentes no estrato.

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3. Ótima Na amostra estratificada ótima, quando se toma em cada estrato um número de elementos proporcional ao número de elementos do estrato e também à variação da variável de interesse no estrato, medida pelo seu desvio padrão. A técnica de estratificar é bastante útil, quando a população apresenta muita diversidade nos seus valores individuais, datas, etc; assim estabelecem-se estratos de modo que a variância do valor do item seja o menor possível dentro de cada estrato.

Amostragem por Conglomerad Conglomerados os É um método muito utilizado por motivos de ordem prática e econômica, onde divide-se uma população em pequenos grupos e sorteia-se um número suficiente desses pequenos grupos (conglomerados),), cujos elementos constituirão a amostra. (conglomerados Neste método, existem pelo menos dois níveis de amostragem que são empregados: Nível 1 – Unidade de Amostragem; Nível 2 – Elementos Amostrados (dentro de cada conglomerado). Exemplo: Deseja-se entrevistar uma amostra representativa de pessoas que vivem numa grande área da cidade. Extrair uma amostra aleatória simples, ou sistemática ou estratificada de pessoas espalhadas numa grande área implicaria em muitas viagens, alto custo e muito tempo. Solução: Tomar, por exemplo, quarteirões da cidade como unidade primária de amostragem ou conglomerado. a) Listar os quarteirõe quarteirões; s;

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b) Sortear uma amostra aleatória simples de quarteirões (números aleatórios); c) Entrevista-se as residências dos quarteirões selecionados. Alguns aspectos probabilística:

da

representatividade

de

uma

amostra

1. A amostra não deve ter preconceito ou tendência; 2. Cada item da população deve ter uma chance conhecida de ser selecionado; 3. Seu tamanho deve ser grande o bastante de modo a minimizar o risco da amostra atípica.

Referência Bibliográfica Bibliográfica:: COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. ed . São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 1998. MAGALHÃES, Marcos Nascimento e LIMA, Antonio Carlos Pedroso de. Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo: 5a. ed. Editora da Universidade de São Paulo, 2002. MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília: Vestcon Vestc on Editora Ltda., 2003. SETEVENSON, Willian J. Estatístic Estatística a Aplicada Apli cada à Administra Administração. ção. São Paulo: Ed. Harbra, 1981. VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed.  São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2003.

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Aula 08 Probabilidade Objetivos da Aula

Desenvolver e fixar os conceitos de probabilidade.

Introdução A aula 7 nos apresentou as técnicas de amostragem; agora, veremos os conceitos básicos de Probabilidade. Os fundamentos, aqui apresentados, são inter-relacionados; para facilitar seu entendimento, leia este material, detalhadamente, no mínimo duas vezes, antes de ir para a aula digital. Já na web, trabalhe com a aula impressa simultaneamente.

Bom aprendizado!

Probabilidade A maioria dos fenômenos de que trata a estatística são de natureza aleatória ou probabilística; dessa forma, é importante conhecer os fundamentos dos cálculos de probabilidades para que se possa continuar o estudo da estatística indutiva. Alguns fenômenos são previsíveis, outros não. Em matemática, os fenômenos previsíveis são aqueles chamados determinísticos . Por exemplo: se uma pedra for lançada de um prédio e sua velocidade for

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medida durante a queda, os resultados serão sempre iguais porque esse fenômeno obedece às leis da física. Entretanto, se lançarmos uma moeda comum e observarmos qual face ficará para cima quando estiver no solo, teremos apenas a certeza de que metade das chances é de cara e a outra metade de coroa. Aqui, percebemos que existe a probabilidade de 50% de cara e 50% de coroa, isso é um fenômeno probabilístico . A definição clássica de probabilidade é: Se forem possíveis n  eventos mutuamente exclusivos e igualmente prováveis, se nA desses eventos tem o atributo A, então a probabilidade de A é dada pela razão nA/n. Dessa forma, a probabilidade de um evento real P(A), tal que:

é o número

Conceitos Básicos Experimento Experimen to Aleatório (E) (E ) Nos experimentos aleatórios, mesmo em condições iniciais sempre idênticas, os resultados finais de cada vez que o experimento é efetuado serão diferentes e não previsíveis. Com exemplo temos: O lançamento de um dado e a observação do número mostrado na face de cima; O lançamento de uma moeda e a observação do número de caras obtido;

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Determinação da vida útil de um componente eletrônico.

Freqüência Relativa Seja o experimento de lançar uma mesma moeda n vezes. Seja m  o número de vezes que ocorre cara, podemos então definir a freqüência freqü ência relativaa como: relativ

Logo, a definição clássica para a freqüência relativa é: Freqüência Relativa do evento A é a razão entre o número de vezes em que ocorreu A (nA) e o número de eventos observados ( n). Numa longa seqüência de repetições de qualquer experimento aleatório nas mesmas condições, a freqüência relativa aproxima-se de um número fixo. Esse número é uma estimativa de probabilidade do evento ocorrer. Dois axiomas devem ser verdadeiros na freqüência relativa:   A probabilidade de um evento ocorrer é um valor entre 0 e 1.  

Se cada evento de um fenômeno aleatório pode ocorrer com determinada probabilidade, a soma dessas probabilidades é igual a 1.

Espaço Amostral Amostral (S) ( S) Espaço Amostral de um experimento aleatório é o conjunto dos resultados possíveis do experimento. O Espaço Amostral é representado pela letra S.

Exemplos:

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No caso de lançamento de uma moeda, S ={cara, coroa} No caso de lançamento de um dado comum, S ={1, 2, 3, 4, 5, 6} No caso de lançamento de uma moeda 4 vezes e observação do número de caras, S = {0, 1, 2, 3, 4}

Eventos Um evento A  (relativo a um espaço amostral S, associado a um experimento E) é um subconjunto subconjunto do espaço amostral S, dessa forma o próprio S  constitui um evento, assim como o conjunto vazio que também o pode ser. Como exemplos podemos citar: No caso de lançamento de um dado comum, S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, se nos interessa somente a ocorrência de números pares, então o evento A={2, 4, 6} No caso de lançamento de uma moeda 4 vezes e observação do número de caras, S ={0, 1, 2, 3, 4}, se nos interessa somente quanto 2 caras ocorrem então A ={2}.

Eventos Complementares São todos os resultados do espaço amostral que não fazem parte do evento. Se considerarmos p como a probabilidade de que um evento ocorra (sucesso) e q que ele não ocorra (fracasso), então para um mesmo evento: No caso de lançamento de um dado comum, a probabilidade de tirar o número 5 é de . Logo, a probabilidade não sair o número 5 é de

O evento complementar é representado pelas seguintes simbologias

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Eventos Independentes Dois eventos são independentes quando o resultado de um não tem dependência do resultado do outro. Como exemplo, temos o lançamento simultâneo de dois dados; o resultado do primeiro não tem influência sobre o resultado do segundo e vice-versa. Dessa maneira, se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles realizem-se, simultaneamente, é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. Definindo p1 como a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 como a probabilidade do segundo evento, a probabilidade de que ambos realizem-se, simultaneamente, é dada por: Exemplo: No lançamento de 2 dados, a probabilidade de no primeiro dado obtermos o número 1 é No segundo dado, a possibilidade de obtemos o número 5 é Então:

Evento Mutuamente Exclusivo São eventos que não têm elemento comum ou, então, são aqueles em que a ocorrência de um deles exclui a ocorrência de outros. Como exemplo, podemos, novamente, recorrer ao lançamento lançame nto de uma moeda, pois ao ocorrer o evento “cara” é excluída, completamente, a

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possibilidade de ocorrer o evento coroa, ou vice e versa, assim sendo, a ocorrência de um impede, completamente, a ocorrência de outro. Se dois eventos são, mutuamente, exclusivos, a probabilidade de que um ou outro realize-se é igual à soma da probabilidade de que cada um deles realize-se, então, o modelo matemático é: Se lançarmos um dado à probabilidade de obtermos um 4 ou um 6, então é:

Probabilidade Condicional Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A  ter acontecido, é definida por: P(B/A) Nessa probabilidade, a ocorrência de um evento está vinculada à ocorrência de outro, daí o nome probabilidade condicionada. Definimos Probabilidade Condicional de A dado que B ocorre (A/B), como segue: ,se

Lembre-se

representa a intersecção, neste caso de A com B.

Evento Composto Caracteriza-sepela ocorrênciadeambososeventos(A eB),simultaneamente, ou então pela ocorrência de um ou outro evento ( A o  ou u B). Assim, a representação matemática matemática é:

Lembre-se:: representa a união, nesse caso de A com B. Lembre-se

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Regras de Probabilidade As regras da adição e da multiplicação são ,freqüentemente, usadas na solução dos problemas de probabilidade, entretanto, devemos notar que para cada tipo de evento há uma regra a ser aplicada. Regra da Adição (caso geral):

Regra da Adição para eventos, mutuamente, exclusivos:

Regra da Multiplicação (caso geral):

Regra da Multiplicação para eventos independentes:

Teorema de Bayes e Diagrama de Árvore Vamos apresentar aqui o conceito do Teorema de Bayes, entretanto, uma explicação detalhada que irá completar o entendimento e o Diagrama de Árvore está na aula digital. Imagine que os eventos A1, A2, A3, A4,... An , são mutuamente exclusivos, ou seja, quando um ocorre, o outro não pode ocorrer e nosso espaço amostral S  é composto de todos os diversos eventos Seja P ( A1) a probabilidade conhecida da ocorrência de cada evento. Seja B  um evento qualquer de S, conhecendo-se todas as probabilidades condicionais P(B/A1) .

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Então, o Teorema de Bayes é:

Permutações Considerando que existam três objetos a serem dispostos sobre uma mesa, de quantas maneiras isso pode acontecer? Sendo os objetos a, b  e c , então, nossas permutações são abc, acb, bac, bca, cab, cba , logo, a resposta é 6. Mas como fazer isso matematicamente? Usando o fatorial. Assim, o número de permutações de n objetos diferentes é dado por: Lembrando que para fazer o fatorial basta multiplicar o número por todos seus antecessores, veja o exemplo para permutar 6 objetos.

Arranjos

E se desejarmos apenas arranjar 3 dentre 6 objetos, por exemplo, de quantas formas podemos fazê-lo?

Em nosso nosso exemplo exemplo n= 6 e r=3, logo:

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Combinações Se estivermos interessados em montar comissões formadas por 3  pessoas dentre um grupo inicial de 8 pessoas, quantas combinações podem ter, desde que duas comissões sejam a mesma, se forem constituídas pelas mesmas pessoas, não se s e levando em conta a ordem em que sejam escolhidas? Para responder responder situações desse tipo, podemos usar o modelo e combinação: Veja:

Logo:

Variáveis Aleatórias Unidimensionais Seja E  um experimento e S  o espaço amostral associado ao experimento. Uma função X, que associe a cada elemento s  S um número real, X(s), é denominada variável aleatória, ou ainda uma variável aleatória é a função que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral um único número real.

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O espaço Rx, que é o conjunto de todos os valores possíveis de X, é denominado contradomínio. Exemplo:

E : lançamento simultâneo de duas moedas; X: número de coroas obtidas nas duas moedas; S ={(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)}; c = cara; k = coroa; X= 0, evento evento (c,c) de P(x)=1/4; =1,, evento evento (c,k) e (k,c) de P(x)=2/4 P(x )=2/4;; X=1 evento (k,k) de P(x)=1 P(x) =1/4. /4. X=2, evento Podemos, então, dizer que: Variável Aleatória Discreta possui um contradomínio finito ou infinito numerável; em outras palavras, se o número de valores possíveis de X (isto é, Rx , o contradomínio) podem ser postos em uma lista como x1, x2,...,xn. No caso finito, a lista acaba; no caso infinito, continua indefinidamente.

Variável Aleatória Contínua possui um contradomínio intervalo ou uma coleção de intervalos, ou seja, X  pode tomar todos os valores de um determinado intervalo; por exemplo, todos os valores x  no intervalo 0 x 1. O exemplo citado acima (lançamento de 2  moedas) é um caso de variável aleatória discreta; perceba que o número de resultados, no contradomínio, é numerável.

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Função de Probabilidade É a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do evento correspondente; isso é,

Ou seja, é a probabilidade de que a variável aleatória X assuma o valor x. Ao conjunto {(xi, p(xi)),i=1,...,n} damos o nome de Distribuição de Probabilidades da variável aleatória X. É importante verificar que para que haja uma distribuição de probabilidades de uma variável X é necessário que:

Veja no exemplo: Lançam-se 2 dados. Seja X: soma das faces. Determinar a distribuição de probabilidades de X.

Esperança Matemática Os parâmetros das distribuições são características numéricas muito importantes em uma distribuição de probabilidades. O primeiro parâmetro é a Esperança Matemática de uma variável aleatória, que é um número real calculado por média aritmética ponderada, ponder ada, conforme

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exemplo abaixo. Suas notações são E(X) ,

(X),

e ; adotaremos E(X).

Uma seguradora para $30.000,00 em caso de acidente de carro e cobra uma taxa de $1.000,00. Sabe-se que a probabilidade de que um carro sofra acidente é de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado? Podemos aproximar dizendo que de 100 carros segurados 97 dão lucro de $1.000,0 e 3 dão prejuízo de $29.000,00 ($30.000,00-1.000,00). O lucro total = 97*1.000,00 – 3*29.000,00 = $10.000,00 E o lucro médio = $10.000,00/100 = $100,00 Neste exemplo ,a Esperança Matemática é o lucro médio por carro, então:

Onde: X1=1.000,00 e p(x1)=0,97 X2=29.000,00 e p(x2)=0,03

Dessa forma, o modelo matemático para a Esperança Matemática é:

Variância Necessitamos também de uma medida que nos dê o grau de concentração de probabilidade em torno da média; esse outro parâmetro de distribuição importante é a Variância, pois aponta a dispersão ou a concentração das probabilidades em torno da média.

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Considerando as distribuições das variáveis aleatórias X e Y, com suas respectivas médias, faremos a apresentação deste conceito:

Notamos que há grande concentração de probabilidade em X e uma grande dispersão em Y com relação à média. Definiremos, agora, variância como:

Então, pela tabela de valores:

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Ao observamos novamente os gráficos e os valores de de V(X) e V(Y) V (Y),, concluímos que: Quanto menor a variância, menor a dispersão de probabilidades em torno da média e vice-versa; quanto maior a variância, maior o grau de dispersão da probabilidade em torno da média. Finalizando, a variância é um quadrado e muitas vezes o resultado torna-se artificial; contornamos esse problema pelo uso do Desvio Padrão, que conforme estudado na aula 5, é a raiz quadrada positiva da variância.

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Referência Bibliográfica COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. O liveira. Estatística. 12. 12. ed. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. CRESPO, Ant  Antoni onio o Arno Arnot. t. Est Estat atíst ístic ica a Fáci Fácil l . São Paulo: Editora Saraiva, 1998. MAGALHÃES, Marcos Nascimento e LIMA, Antônio Carlos Pedroso de. Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo: 5a. ed. Editora da Universidade de São Paulo, 2002.

Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília: Vestcon MANDIM, Daniel. Editora Ltda., 2003.

MEYER, Paul L. Probabilidade, Aplicações à Estatística. 2. ed . Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2003. MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística Básica - Probabilidade. 3. ed . São Paulo: Livraria Ciência e Tecnologia Editora, 1983. Estatística tica Aplic Aplicada ada à Admin Administr istração ação. São Paulo: SETEVENSON, Willian J. Estatís Ed. Harbra, 1981.

VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed . São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2003.

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Aula 09 Distribuições Amostrais

Objetivos da Aula

Nesta aula, os alunos desenvolverão habilidades e competências para trabalhar com distribuição de Amostragem Normal e distribuição de Amostragem Binomial. Depois de conhecermos alguns aspectos de Probabilidades na aula 8, vamos nesta aula estudar as Distribuições Amostrais. Veremos que os estudiosos em estatística já provaram que as variáveis se comportam seguindo certos padrões que veremos a seguir. Seja bem vindo!

Distribuição de Probabilid Probabilidades ades Imagine o número de acidentes num estacionamento:

Durante um dia, a probabilidade de acontecer acidentes, então é: Nenhum acidente: Um acidente:

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  Dois acidentes: Três acidentes: Pode-se então montar a seguinte tabela que representa a Distribuição de Probab Probabilidades: ilidades:

A definição, então, é: Seja X uma variável aleatória que pode assumir os valores x1, x2, x3, ..., xn. A cada valor xi correspondem pontos do espaço amostral. Associamos, então, a cada valor xi a probabilidade pi de ocorrência de tais pontos no espaço amostral. Desta forma temos:

Os valores x1, x2, x3, ..., xn e seus correspondentes p1, p2, p3, ..., pn definem uma distribuição de probabilidade.

Distribuições Amostrais Ao retirarmos uma amostra aleatória de uma população e calcularmos a partir desta amostra qualquer quantidade, encontramos a estatística, ou seja, chamaremos os valores calculados em função dos elementos da amostra de estatísticas. As estatísticas, sendo variáveis aleatórias, terão alguma distribuição de probabilidade, com uma média, uma variância, etc. A distribuição de probabilidade de uma est atística chama-

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se comumente distribuição amostral .

Distribuições Amostrais Probabilísticas Distribuição Amostral da Média, ou Distribuição Amostral de Sendo a população infinita ou a amostragem feita com reposição, resulta que os diversos valores da amostra podem ser considerados como valores de variáveis aleatórias independentes, com a mesma distribuição de probabilidade da população, portanto, com a mesma média da população e a mesma variância da população. 1 Matematicamente, podemos provar que a média em torno da qual devem variar os possíveis valores da estatística é a própria média da população. Este resultado também é extensivo ao caso de amostragem sem reposição de populações finitas.

Distribuição Amostral de

- populaçã populaçãoo normal

1 Neste capítulo, usamos para a média populacional, contrastando com a média amostral . Da mesma forma, designará a variância populacional (e o desvio-padrão populacional), ao passo que

designa a variância amostral (e o desvio-padrão amostral)

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Se a população não for distribuída de forma normal, mas o tamanho da amostra for suficientemente grande (maior ou igual a 30 elementos, segundo Spiegel), teremos a distribuição amostral de será aproximadamente normal. Distribuição Amostral de suficientemente grande

população não normal e amostra

Os tipos de Distribuição Probabilística Existem diversas formas de comportamento para a Distribuição de Probabilidades; vamos apenas citar as mais encontradas e detalhar as duas mais comuns: Para Variáveis Aleatórias Contínuas, temos:

Distribuição Normal Distribuição Exponencial Distribuição Gama Distribuição Distribui ção Qui-quadrado Distribuição t de Student

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Para Variáveis Aleatórias Discretas, temos:

Distribuição Binomial Distribuição Distribui ção de Pois Poisson son (lê-se (lê -se “poassôm”) Distribuição Geométrica Distribuição de Pascal Distribuição Hipergeométrica Distribuição Multinomial

A Distribuição Normal A distribuição Normal é, talvez, a mais importante das distribuições de probabilidade. Erros de mensuração de fenômenos físicos ou econômicos são freqüentemente modelados pela distribuição Normal; mas esta não é a única aplicação desta densidade. Por exemplo, a distribuição dos pesos, alturas e QI’s das pessoas numa população também já foram modelados com sucesso por esta distribuição. A distribuição Normal tem a forma de um sino. A distribuição Normal é também chamada de Gaussiana em homenagem ao matemático Carl Friederich Gauss (1777 - 1855), que a utilizou pela primeira vez na modelagem de erros de medida. A distribuição Normal também funciona como uma boa aproximação para outras densidades. Por exemplo, sob algumas condições podese provar que a densidade Binomial (que estudaremos) pode ser aproximada pela Normal. Graficamente a apresentação da curva da distribuição Normal é:

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Para a perfeita compreensão da distribuição Normal, observe a gráfico anterior e visualize as seguintes propriedades:

     

 

 

A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. A curva em forma de sino, simétrica em torno da média ( ). A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real. A curva normal é assintótica em ralação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. Como a curva é simétrica em torno de , a probabilidade de ocorrer maior valor que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor que a média, isto é, as probabilidades são iguais a 0,5. Escrevemos

A distribuição Normal é dada pela equação:

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Se conhecemos (média) e (desvio padrão) padrão),, de um fenômeno e desejamos encontrar a probabilidade de uma variável aleatória ocorrer podemos, efetuando uma integração, solucionar o problema, entretanto, devido à dificuldade de integração de f(x) desenvolveu-se uma simplificação para aplicações práticas, que é chamada e de Distribuição Normal Padronizada. Com a Distribuição Normal Padronizada, devemos aceitar que, se X  é uma variável aleatória com distribuição normal e desvio padrão s, passamos a trabalhar com a nova variável z que é dada pela fórmula:

Desta forma, desenvolveu-se também a Tabela para a Distribuição Normal - integral compreendida entre 0 e z, veremos na aula digital como usar esta tabela.

Tabela para a Distribuição Normal Padronizada integral compreendida entre 0 e z

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A Distribuição Binomial Vamos imaginar um experimento aleatório que tenha as seguintes se guintes características:        

O experimento dever repetido nas mesmas condições, um número finito de vezes, ou seja, considerar n tentativas; As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das demais; Cada tentativa admite apenas dois resultados: fracasso e sucesso, com as mesmas probabilidades de ocorrer; No decorrer do experimento, a probabilidade p   do sucesso e probabilidade q ( q=1-p ) do insucesso manterse-ão constantes.

Com a distribuição binomial poderemos determinar a probabilidade de se obter k sucessos em n tentativas. A função para tal é:

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Onde: P(X=k)  é a probabilidade de que o evento se realize k   vezes em n

provas; p  é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova (sucesso); q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova (insucesso);  

é o coeficiente binomial de n sobre k, igual a

É importante lembrar que o sinal ! representa a função fatorial, logo 5! é igual a 5*4*3*2*1 = 120. Finalizando, o nome binomial vem do fato de fato de ser o termo geral do desenvolvimento do binômio de Newton.

Bibliografia: MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília: Vestcon Editora Ltda., 2003. COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. 12. ed. São Paulo: Paulo : Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed. São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2003. SETEVENSON, Willian J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Ed. Harbra, 1981. MAGALHÃES, Marcos Nascimento e LIMA, Antonio Carlos Pedroso de. Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo: 5a. ed. Editora da

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Universidade de São Paulo, 2002. CRESPO, Ant  Antoni onio o Arno Arnot. t. Esta Estatís tístic tica a Fáci Fácil l . São Paulo: Editora Saraiva, 1998. SPIEGEL, Murray R. Estatística. São Paulo : Editora McGraw-Hill, 1952.

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Aula 10 Estimaçãoo e Intervalo de Estimaçã Confiança Objetivos da Aula

Fixação dos conceitos de Estimação; Utilização das tabelas de Distribuição Normal e t de Student

Introdução Freqüentemente necessitamos, por meio das amostras, conhecer Freqüentemente informações gerais da população. Já sabemos que a estatística indutiva é a ferramenta que vai nos auxiliar neste processo, ou seja, vai nos permitir tirar conclusões probabilísticas sobre aspectos das populações, com base na observação de amostras extraídas dessas populações.

Estimação A estimação é o processo que consiste no uso de dados da amostra (dados amostrais) para estimar valores de parâmetros populacionais desconhecidos, tais como média, desvio padrão, proporções etc.

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Estimativas Pontuais e Intervalares Os dois tipos clássicos de estimação são as estimativas pontuais e as intervalares. Neste momento é importante definirmos dois conceitos:   Chamamos de estimador a quantidade calculada em função dos elementos da amostra, que será usada no processo de estimação do parâmetro desejado. O estimador é, como vemos, uma estatística. Será, portanto, uma variável aleatória caracterizada por uma distribuição de probabilidade e seus respectivos parâmetros próprios.   Chamaremos de estimativa a cada valor particular assumido por um estimador.

Estimativa Pontual É quando fazemos uma única estimativa (um valor) para um determinado parâmetro populacional. Vejamos os exemplos:

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Estimativa Intervalar É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de valores possíveis, no qual se admite esteja o parâmetro populacional.

Neste tipo de estimativa temos um intervalo de valores em torno do parâmetro amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população. A esse intervalo chamamos intervalo de confiança.

Estimativa de Médias de uma População Para efetuar a Estimativa de Médias de uma População utiliza-se desvio padrão da distribuição que constitui a amostra (distribuição amostral), deve-se levar em consideração se o desvio padrão da população é ou não conhecido. Para desvio padrão populacional conhecido temos: Estimativa Pontual da Média

Estimativa Intervalar da média

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Assim teremos a estimativa intervalar:

Salientamos que a estimativa intervalar da média populacional baseia-se na hipótese de que a distribuição das médias amostrais é normal, daí usarmos a nova variável z. Para grandes amostras (quando n é maior que 30) esta premissa é garantida pelo Teorema do Limite Central, que não estudaremos. Para amostras de 30 ou menos elementos, é importante saber que a população submetida à amostragem tem distribuição normal ou aproximadamente normal. Exemplo: Considerando que uma amostra de cem elementos extraída de uma população aproximadamente normal, cujo desvio padrão é igual a 2, forneceu média de de 35,6 ( ), construir intervalos de confiança de 90% 90%,, 95% e 99% para a média dessa população. população. Vejamos como determinar z: Ao observarmos a representação da distribuição normal reduzida abaixo, sabemos que toda a área compreendida entre a curva e sua base tem valor 1. Logo, a parte em cor amarela tem valor 0,5.

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Em nossa aula anterior calculávamos z e então encontrávamos a área correspondente e, assim, a probabilidade desejada. Agora a ação será inversa. Desejamos, em nosso exemplo acima, para seu primeiro intervalo 90% de confia confiança, nça, então fazemos: Conhecendo a área que nos dá 90% de confiança no resultado, vamos até a Tabela para a Distribuição Normal Padronizada e encontramos o valor mais próximo de 0,45, que é 0,4494974. Para este valor temos (considerando a linha e a coluna) z = 1,64

Podemos representar da seguinte forma:

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Erro admitido num intervalo (erro de estimação est imação)) É a diferença entre a média da amostra e a verdade verdadeira ira média da população. Como o intervalo de confiança tem centro na média da amostra, o erro máximo provável que está sendo admitido é igual à metade da amplitude do intervalo. O erro de estimação pode ser descrito pela relação:

Percebemos que quando aumentamos este erro potencial aumenta. Podemos concluir também que maiores amostras (aumenta n) possuem um potencial de erro menor. No caso do desvio padrão populacional desconhecido  que é habitualmente a situação mais comum, teremos o mesmo raciocínio. Entretanto, em nossa avaliação inicial devemos verificar o tamanho da amostra (n), se: Quando usamos a distribuição normal Quando usamos a distribuição t de Student Assim nos intervalos termos:

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Distribuição t de Student Para pequenas amostras a distribuição normal apresenta valores menos precisos, o que nos leva a utilizar um modelo melhor. Por isso iremos conhecer a distribuição t de Student. A principal diferença entre a distribuição normal e a t de Student é que esta tem mais área nas caudas.

Existe um valor de t para cada tamanho de amostra, sendo que à medida que a amostra (n) cresce, a distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal. Para calcular o valor de t a ser usado é necessário ter: Um nível de confiança desejado: Qual o número de graus de liberdade a ser utilizado: Por exemplo: Sabendo-see que uma amostra tem 25 elementos, Sabendo-s el ementos, que a sua média 150 e desvio padrão igual a 10. Represente um intervalo de confiança em nível de 90%. Como a amostra é menor que 30 elementos, então iremos usar a distribuição t de Student. Se desejamos um intervalo de confiança de 90%, tem temos: os:

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Para trabalharmos com a tabela, encontramos o número de graus de liberdade, que é: (n-1), logo (25-1)=24. O nível de confiança desejado é Conhecendo o número de graus de liberdade e o nível de confiança desejado vamos a tabela e encontramos o valor t, neste caso igual a 1,7109.

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Determinação do Tamanho da Amostra O tamanho da amostra depende de 3 fatores, conforme abaixo:   O grau de confiança desejado (z) (z);;   Quantidade de dispersão entre os valores individuais da população ( );   Erro tolerável ou admitido (e) (e).. Sendo a fórmula para encontrarmos o tamanho da amostra:

Por exemplo: Qual o tamanho de amostra necessária para se estimar a média de uma população infinita cujo desvio padrão é igual a 4, com 98% de confiança e erro de 0,5?

Lembramos que z foi retirado da tabela normal. Logo, precisamos de uma amostra com 348 elementos.

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Bibliografia  Ant nt o ni o Ar no t. Es ta tí s ti ca Fá ci l. Sã o Pa u lo : Editora CRESPO,  A Saraiva, 1998.

COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. 12. ed . São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. MAGALHÃES,  Marcos Nascimento e LIMA, Antonio Carlos Pedroso de. Noções de Probabilidade e Estatística. São Paulo: 5a. ed. Editora da

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Universidade de São Paulo, 2002. MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília : Vestcon Editora Ltda., 2003. SPIEGEL, Murray R. Estatística. São Paulo: Editora McGraw-Hill, 1952. VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed . São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2003. Estatística a Aplicada à Administração Administração.. São Paulo: SETEVENSON, Willian J. Estatístic Ed. Harbra, 1981.

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Aula 11 Teste de Hipóteses Objetivo da Aula: •

Fixar os conceitos de Teste de Hipóteses;

•

Apresentar exemplos de exercício resolvido com a aplicação dos conceitos.

Introdução Nesta aula, veremos que para um determinado aspecto da população e, inversamente aos problemas de estimação, vamos considerar que existe uma hipótese que será válida váli da até que se prove o contrário. Logo, esta hipótese será testada com base nos resultados amostrais, sendo aceita ou rejeitada

Teste de Hipóteses Para começarmos, devemos ter claramente dois aspectos em mente: •

Hipótese existente, ou hipótese a ser testada – H0

•

Hipótese alternativa – H1

Ao efetuarmos o teste das hipóteses, podemos tomar decisões certas ou erradas ao aceitar ou rejeitar a hipótese testada. Se representarmos isso numa tabela, temos:

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Realidade H0 v  ve erdadeira Aceitar H0 Decisão

Rejeitar H0

H0 falsa

Decisão correta

Erro do tipo II

(1 - α )

(  β)

Erro do tipo I

Decisão correta

(α)

(1 - β)

O temos que perceber acima é: Quando a decisão é aceitar H0 e na realidade H0 é verdadeira, então nossa decisão foi correta. Quando a decisão é rejeitar H 0 e na realidade H 0 é falsa, então nossa decisão foi correta. Mas, Quando a decisão é aceitar H 0 e na realidade H 0 é falsa, então nossa decisão foi um erro, convencionalmente chamado erro do tipo II.

Quando a decisão é rejeitar H0 e na realidade H0 é verdadeira, então nossa decisão um foi um erro, convencionalmente chamado erro do tipo I. Note que só podemos cometer o erro do tipo I se H 0 for verdadeira e o erro do tipo II se H0 for falsa. Graficamente, podemos representar as regiões de aceitação em rejeição da seguinte forma:

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 Aceita H 0

Rejeita H0 α

Valor Crítico

  Acima, temos o que é chamado de teste monocaudal ou unilateral, pois a hipótese H1 admitia um único sentido para as possibilidades do parâmetro testado com alternativa a H0. As alternativas para H1 podem ser: •

Bilateral

 

•

α

α

2

2

Unilateral direito

 

α

•

Unilateral esquerdo

 

α

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Uma importante observação faz-se quanto a aceitação ou rejeição de lotes, quando tratamos da aplicação prática deste conceito, o risco do produtor e o risco do consumidor. O risco do produtor é aquele devido à possibilidade de erro do tipo I, ou seja, quando um lote bom é rejeitado. O risco do consumidor é aquele devido à possibilidade de erro do tipo II, ou seja, quando um lote ruim é aceito.

Estrutura do Teste Teste de Hipóteses Para executarmos o teste de hipóteses, podemos estabelecer alguns passos, sendo: 1.

Formulação de H0 e H1;

2.

Escolha de uma distribuição amostral adequada adequada;;

3.

Escolha de um nível nível de significância e definição da região crítica;

4.

Cálculo de uma estatística de teste;

5.

Comparação do valor teste com a região crítica;

6.

Rejeitar H0 se o valor teste excede a região crítica ou aceitar aceitar em caso contrário.

Até aqui, vimos como identificar H0 e H1 e já estudamos e sabemos quando usar a distribuição normal ou a t de Student. Então, vamos ver os passos seguintes.

Nível de Significância e Região Crítica A probabilidade α  do   do erro tipo I é denominada nível de significância do teste. O nível de significância indica qual a probabilidade probabilid ade de erro do

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tipo I estamos dispostos dispostos a aceitar; na prática, observa-se que usa-se α   é igual a 1% ou 5%, 5 %, ou seja, a disposição de aceitar uma probabilidade probabilidade de erro tipo I de 1% ou 5%. 5% . Dessa forma pela distribuição normal, quando α  =  = 1%, temos z=2,58 e quando = 5%, temos z=1,64. Dessa maneira para 1% de nível de significância e considerando a distribuição normal, temos a região crítica igual a 2,58 e, de forma semelhante, para 5% temos 1,64.

Estatística de Teste Teste A Estatística de Teste é o cálculo do coeficiente “z” que, então no passo 5 será comparado com a região crítica. Existem duas situações para o cálculo da estatística de teste: 1.

Quando o desvio padrão da população é conhecido;

   x  z teste

=

−µ σ n

onde:  Ζ  = estatística de teste -

 х  

= média obtida na amostra

 µ  = média da população

s = desvio padrão da população n 2.

= número de elementos na amostra Quando o desvio padrão da população não é conhecido;

Neste caso, como desconhecemos s  ,iremos trabalhar com s, que é o desvio padrão da amostra; e também com t quando a amostra for

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menor igual a 30, pois, usaremos a distribuição t de Student.   t teste =

 x − µ 0  s n

onde:  Ζ  = estatística de teste  х-  = média obtida na amostra  µ0  = média esperada da população população  S

= desvio padrão da população

 n = número de elementos na amostra

A comparação entre o valor teste e a região crítica é direta d ireta e a veremos em exemplo na aula digital. Os passos 5 e 6 serão demonstrados diretamente em exercícios resolvidos na aula digital.

Referências Bibliográfica Bibliográficass Costa Neto, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. ed. São Paulo: Paulo : Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. Mandim, Daniel. Estatística Descomplicada.  10. ed. Brasília: Vestcon Editora Ltda., 2003.

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Aula 12 Testes Não-Paramétricos Objetivos da Aula Fixação dos conceitos dos Testes Não-Paramétricos; Apresentar exemplos solucionados com a aplicação dos conceitos

Introdução Em nossa aula anterior vimos como podemos testar hipóteses relacionadas a parâmetros conhecidos, desta forma estes testes então são chamados paramétricos. Nesta aula veremos os testes que se referem a outros aspectos, então chamados não paramétricos.

Teste do Qui-Quadrado Este teste é utilizado para comparação entre as freqüências esperadas e observadas, segundo um modelo probabilístico qualquer. Uma medida da discrepância entre as freqüências esperadas e observadas é dada por:

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A expressão acima fornece sempre um valor positivo, e pode-se demonstrar que .Onde com v graus de liberdade.

é uma distribuição QuiQui-Quadrado Quadrado

A estatística pode ser utilizada tanto para verificar a aderência das freqüências observadas a um modelo, (teste qui-quadrado de aderência), como para verificar a independência entre duas variáveis, ambos os casos veremos abaixo.

Teste de Aderência pelo Qui-Quadrado No teste de aderência pelo Qui-Quadrado, a hipótese se refere ao modelo adotado em relação à forma real da distribuição da população. Então neste caso testamos se a distribuição da variável de interesse comporta-se conforme a distribuição que adotamos, assim, verificamos uma boa ou má aderência dos dados da amostra ao modelo escolhido. Neste teste também é usado:

H0 – a hipótese é verdadeira H1 – a hipótese é falsa O número de graus de liberdade é dado por: onde: k   - é o número de classes; m  - é o número de parâmetros estimados para se obter as

freqüências esperadas. O teste Qui-Quadrado  é unilateral, sendo que a hipótese H0 será rejeitada se

, lembrando que

distribuição distribuiç ão Qui-quadrado, ou

;e

é o valor calculado para a é o valor conf conforme orme tabela

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de distribuição QuiQui-Quadrado, Quadrado, também chamado de

, que segue

abaixo. Isto é razoável, pois, se o modelo testado estiver longe da realidade, as freqüências observadas irão diferir bastante das esperadas, e a variável de teste tenderá a crescer.

Teste de Aderência pelo Método de KolmogorovSmirnov  Kolmogorov e Smirnov desenvolveram um método, para testar a aderência entre o modelo escolhido e o real. Neste teste a variável de teste é a maior diferença observada entre a função de distribuição acumulada e a da amostra. O teste consta da verificação do valor d: Se d for maior que o valor crítico, rejeita-se H0. A tabela de valores críticos segue abaixo:

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Na aula web veremos um exercício completo que facilitará o entendimento.

Teste de Independência O teste x 2   de independência é aplicado a tabelas de contingência, contingê ncia, as quais são construídas no intuito de estudar a relação entre duas variáveis categóricas. Com as tabelas de contingência, conseguimos de uma maneira conveniente fazer a descrição dos dados da amostra quando temos duas ou mais variáveis qualitativas a considerar. Vamos considerar o exemplo de uma pesquisa de opinião relativa a um projeto de lei, efetuada junto a 100 pessoas, com os resultados apresentados abaixo:

O que desejamos saber é se as variáveis qualitativas envolvidas são ou não são independentes, dessa forma nossas hipóteses são:

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H0 – as variáveis são independentes H1 – as variáveis não são independentes, ou seja, apresentam algum grau de associação entre si. Executaremos Executare mos o teste usando a estatísti estatística ca do Qui-Quadrado:

Onde: Foij é a freqüência observada Feij é a freqüência esperada O cálculo da freqüência esperada é dado por:

O número de graus de liberdade é dado por: Onde p é o número de parâmetros estimados. O cálculo da freqüência estimada então:

O número de graus de liberdade então deve ser calculado:

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Lembramos que h equivale a linhas e k a colunas, e neste caso p=0, pois não há parâmetro estimado.

Bibliografia COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. 12. ed . São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília : Vestcon Editora Ltda., 2003.

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Aula 13 Comparação de Várias Médias Objetivos da Aula Fixação dos conceitos para Comparação de Várias Médias; Apresentar exemplo solucionado com a aplicação dos conceitos. Apresentar exercício que deverá ser solucionado pelo aluno.

Introdução Já vimos como testarmos hipóteses paramétricas e não paramétricas. Hoje, veremos a Comparação de Várias Médias e usaremos a principal e mais importante técnica para esse fim, que é a Análise da Variância.

Análise da Variância A análise da variância é um método suficientemente poderoso para poder identificar diferenças entre as médias populacionais devidas a várias causas, atuando simultaneamente sobre os elementos da população. A análise da variância então, permite fazer comparações entre três ou mais médias amostrais. Este teste produz uma estatística ou razão F, cujo numerador representa a variação entre os grupos, grupos, e cujo denominador contém uma estimativa da variação dentro dos grupos. grupos.

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Existem condições básicas que devem ser consideradas para se efetuar uma análise da variância:  

As amostras devem ser aleatórias e independentes;

 

As amostras devem ser extraídas de populações que sigam o modelo de uma distribuiç distribuição ão normal;

 

As populações devem ter variâncias semelhantes.

Existem três aspectos que podemos resumir abaixo e nos apresentam detalhadamente a lógica da análise da variância: 1.Variação Total A variação total é composta por duas outras ou tras variações já citadas acima, a variação dentro dos grupos e grupos e a variação entre os grupos. grupos. Abaixo, segue um detalhamento destas variações. 1.1.Variação Dentro dos Grupos

x1 

x1

x2 

x2

x3 

x3

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Na figura, podemos observar que existe uma variação entre o valor médio do grupo e os valores individuais. 1.2.Variação entre os grupos

x1

x2

x3

A variação entre os grupos fica bastante clara na diferença entre os valores médios de cada grupo entre si. 2.Razão F A razão F é a razão compreendida pela Variação Entre os Grupos dividida pela Variação Dentro dos Grupos. Quanto maior for F, maior a probabilidade de rejeição da hipótese nula.

3.Soma de Quadrados Dentro da análise da variância, usamos as notações abaixo para representar as diversas somas de quadrados, veja: STQ – é a Soma Total de Quadrados ou variação total;

SQE

é a Soma de Quadrados Entre Grupos ou variação entre Faculdade On-line UVB

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tratamentos; SQD – é a Soma de Quadrados Dentro dos Grupos ou variação dentro dos tratamentos. De fato, temos que:

F V

a

De

Onde:  SQE - soma dos quadrados entre amostras;  SQD - soma dos quadrados dentro das amostras;  STQ - soma total dos quadrados; k - número de grupos de amostras;  h - número de elementos em cada grupo de amostra;  Ti - soma dos valores da i-ésima amostra;  T - soma total dos valores;  Qi - soma dos quadrados dos valores da i-ésima i- ésima amostra; amostra;  Q - soma total dos quadrados dos valores das amostras;  S2E - quadrado médio entre as amostras;  S2d - quadrado médio dentro das amostras;  Fteste - razão ou estatística de teste; Ftabela  - razão ou estatíst estatística ica da tabela; tabela; A comparação entre o Fteste e o Ftabela nos permitirá saber se a Hipótese H0 deve ser aceita ou rejeitada. A tabela da Distribu Distribuição ição F segue abaixo para significância de 5% e 1%.

Perceba que a tabela é unilateral à direita. A Distribuição F também Faculdade On-line UVB

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é conhecida como Distribuição F de Snedecor ou ainda Distribuição Fisher Snedecor.

0,01

0,05

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Limit es unilate unilaterais rais da distri buição F com 1% de significância  V1 V2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

20

40

60

120

240

1

4052.2 4052. 2 49 4999.3 99.3 5403.5 5403.5 5 5624.3 624.3 5764.0 5764.0 5859.0 5859.0 59 5928.3 28.3 5981.0 5981.0 6022.4 6022.4 6055.9 6055.9 6083.4 6083.4 6106.7 6106.7 6125.8 6125.8 6143.0 6143.0 6157.0 6157.0 62 6208.7 08.7 6286.4 6286.4 63 6313.0 13.0 6339.5 6339.5 6352.6 6352.6

2

98.502 98.50 2 99 99.000 .000 99.164 99.164 9 99.251 9.251 99.302 99.302 99.331 99.331 99 99.357 .357 99.375 99.375 99.390 99.390 99.397 99.397 99.408 99.408 99.419 99.419 99.422 99.422 99.426 99.426 99.433 99.433 99 99.448 .448 99.477 99.477 99 99.484 .484 99.491 99.491 99.495 99.495

3

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4

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5

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6

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9 9.. 1 14 48

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8 ..4 46 66 6

8 ..2 2 60 60

8 ..1 1 02 02

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7 ..7 71 8

7 ..6 65 7

7 ..6 60 5

7. 5 55 59

7 .3 .3 9 96 6

7 .1 .14 3

7. 7. 0 05 57

6 ..9 96 9

6 ..9 92 5

7

12 2..2 4 46 6 9 .5 .54 7

8 .4 .45 1

7 .8 .84 7

7 .4 .46 0

7. 1 19 91

6 6.. 9 99 93

6 .8 .84 0

6 ..7 71 9

6 ..6 62 0

6 ..5 53 8

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6 ..4 41 0

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6. 3 31 14

6 ..1 15 5

5 ..9 90 8

5 ..8 82 4

5 ..7 73 7

5 ..6 69 4

8

11 1..2 5 59 9 8 .6 .64 9

7 .5 .59 1

7 .0 .00 6

6 .6 .63 2

6. 3 37 71

6 6.. 1 17 78

6 .0 .02 9

5 ..9 91 1

5 ..8 81 4

5 ..7 73 4

5 ..6 66 7

5 ..6 60 9

5 ..5 5 59 59

5. 5 51 15

5 ..3 35 9

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5 ..0 03 2

4 ..9 94 6

4 ..9 90 3

9

10 0..5 6 62 2 8 .0 .02 2

6 .9 .99 2

6 .4 .42 2

6 .0 .05 7

5. 8 80 02

5 5.. 6 61 13

5 .4 .46 7

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5 ..2 25 7

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5 ..1 11 1

5 ..0 05 5

5 ..0 0 05 05

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4 ..8 80 8

4 ..5 56 7

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4 ..3 39 8

4 ..3 35 4

10

10 0..0 4 44 4 7 .5 .55 9

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5 .9 .99 4

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5 .0 .05 7

4 ..9 94 2

4 ..8 84 9

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11

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5 5.. 3 31 16

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3 .6 .64 7

12

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4 ..3 38 88 8

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4 ..1 10 00 0

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3 ..6 61 9

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13

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4 .6 .62 0

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4 .3 .30 2

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3 .2 .21 0

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16

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3 .6 .61 6

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17

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3 .1 .16 2

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18

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19

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20

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21

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22

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23

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24

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25

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2 .2 .22 0

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2 .8 .81 5

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27

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28

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3 .5 .52 8

3 .3 .35 8

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2 .1 .11 7

29

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3 .3 .33 0

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2 .7 .72 6

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2 .0 .08 7

30

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3 .4 .47 3

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3 .1 .17 3

3 ..0 06 67 7

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2 .7 .70 0

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40

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3 .1 .12 4

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2 .8 .8 01 01

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1 .8 .86 2

50

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3 .0 .02 0

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2 ..0 00 7

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60

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3 3.. 3 33 39

3 .1 .11 9

2 .9 .95 3

2 .8 .82 3

2 ..7 71 18 8

2 .6 .6 32 32

2 .5 .55 9

2 .4 .49 6

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2 .1 .19 8

1 ..9 93 6

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1 .6 .66 6

80

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3 3.. 2 25 55

3 .0 .03 6

2 .8 .87 1

2 .7 .74 2

2 ..6 63 37 7

2 .5 .5 51 51

2 .4 .47 8

2 .4 .41 5

2 ..3 36 61 1

2 .3 .3 1 13 3

2 .2 .27 1

2 .1 .11 5

1 ..8 84 9

1. 7 74 46

1 .6 .63 0

1 .5 .56 6

100

6 .8 .89 5

4 .8 .82 4

3 .9 .98 4

3 .5 .5 1 13 3

3 3.. 2 20 06

2 .9 .98 8

2 .8 .82 3

2 .6 .69 4

2 ..5 59 90 0

2 .5 .5 03 03

2 .4 .43 0

2 .3 .36 8

2 ..3 31 13 3

2 .2 .2 6 65 5

2 .2 .22 3

2 .0 .06 7

1 ..7 79 7

1. 6 69 92

1 .5 .57 2

1 .5 .50 4

120

6 .8 .85 1

4 .7 .78 7

3 .9 .94 9

3 .4 .4 8 80 0

3 3.. 1 17 74

2 .9 .95 6

2 .7 .79 2

2 .6 .66 3

2 ..5 55 59 9

2 .4 .4 72 72

2 .3 .39 9

2 .3 .33 6

2 ..2 28 82 2

2 .2 .2 3 34 4

2 .1 .19 1

2 .0 .03 5

1 ..7 76 3

1. 6 65 56

1 .5 .53 3

1 .4 .46 2

240

6 .7 .74 2

4 .6 .69 5

3 .8 .86 4

3 .3 .3 9 98 8

3 3.. 0 09 94

2 .8 .87 8

2 .7 .71 4

2 .5 .58 6

2 ..4 48 82 2

2 .3 .3 95 95

2 .3 .32 2

2 .2 .26 0

2 ..2 20 05 5

2 .1 .1 5 57 7

2 .1 .11 4

1 .9 .95 6

1 ..6 67 7

1. 5 56 65

1 .4 .43 2

1 .3 .35 1

 

Faculdade On-line UVB

128

 

Estatística - UVB

Limites unilaterais unilaterais da distribuiç ão F com 5% de significância V1

V2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

20

40

60

120

240

1

161.4

199.5

215.7

224.6

23 0.2

234.0

236.8

238.9

240.5

24 1.9

243.0

243.9

244.7

245.4

24 5.9

248.0

251.1

252.2

253.3

253.8

2

18.513

19.000

19.164

19.247

19. 296

19.329

19.353

19.371

19.385

19. 396

19.405

19.412

19.419

19.424

19. 429

19.446

19.471

19.479

19.487

19.492

3

10.128

9.552

9.277

9. 117

9.013

8.941

8.887

8.845

8.812

8.785

8.763

8. 745

8.729

8.715

8 .703

8.660

8.594

8.572

8.549

8.538

4

7.709

6.944

6.591

6.388

6. 256

6.163

6.094

6.041

5.999

5 .964

5.936

5.912

5.891

5.873

5 .858

5.803

5.717

5.688

5.658

5.643

5

6.608

5.786

5.409

5.192

5. 050

4.950

4.876

4.818

4.772

4 .735

4.704

4.678

4.655

4.636

4 .619

4.558

4.464

4.431

4.398

4.382

6

5.987

5.143

4.757

4.534

4. 387

4.284

4.207

4.147

4.099

4 .060

4.027

4.000

3.976

3.956

3 .938

3.874

3.774

3.740

3.705

3.687

7

5.591

4.737

4.347

4.120

3. 972

3.866

3.787

3.726

3.677

3 .637

3.603

3.575

3.550

3.529

3 .511

3.445

3.340

3.304

3.267

3.249

8

5.318

4.459

4.066

3.838

3. 688

3.581

3.500

3.438

3.388

3 .347

3.313

3.284

3.259

3.237

3 .218

3.150

3.043

3.005

2.967

2.947

9

5.117

4.256

3.863

3.633

3. 482

3.374

3.293

3.230

3.179

3 .137

3.102

3.073

3.048

3.025

3 .006

2.936

2.826

2.787

2.748

2.727

10

4.965

4.103

3.708

3.478

3. 326

3.217

3.135

3.072

3.020

2 .978

2.943

2.913

2.887

2.865

2 .845

2.774

2.661

2.621

2.580

2.559

11

4.844

3.982

3.587

3.357

3. 204

3.095

3.012

2.948

2.896

2 .854

2.818

2.788

2.761

2.739

2 .719

2.646

2.531

2.490

2.448

2.426

12

4.747

3.885

3.490

3.259

3. 106

2.996

2.913

2.849

2.796

2 .753

2.717

2.687

2.660

2.637

2 .617

2.544

2.426

2.384

2.341

2.319

13

4.667

3.806

3.411

3.179

3. 025

2.915

2.832

2.767

2.714

2 .671

2.635

2.604

2.577

2.554

2 .533

2.459

2.339

2.297

2.252

2.230

14

4.600

3.739

3.344

3.112

2. 958

2.848

2.764

2.699

2.646

2 .602

2.565

2.534

2.507

2.484

2 .463

2.388

2.266

2.223

2.178

2.155

15

4.543

3.682

3.287

3.056

2. 901

2.790

2.707

2.641

2.588

2 .544

2.507

2.475

2.448

2.424

2 .403

2.328

2.204

2.160

2.114

2.090

16

4.494

3.634

3.239

3.007

2. 852

2.741

2.657

2.591

2.538

2 .494

2.456

2.425

2.397

2.373

2 .352

2.276

2.151

2.106

2.059

2.035

4.451

3.592

3.197

2.965

2. 810

2.699

2.614

2.548

2.494

2 .450

2.413

2.381

2.353

2.329

2 .308

2.230

2.104

2.058

2.011

1.986

4.414

3.555

3.160

2.928

2. 773

2.661

2.577

2.510

2.456

2 .412

2.374

2.342

2.314

2.290

2 .269

2.191

2.063

2.017

1.968

1.943

19

4.381

3.522

3.127

2.895

2. 740

2.628

2.544

2.477

2.423

2 .378

2.340

2.308

2.280

2.256

2 .234

2.155

2.026

1.980

1.930

1.905

20

4.351

3.493

3.098

2.866

2. 711

2.599

2.514

2.447

2.393

2 .348

2.310

2.278

2.250

2.225

2 .203

2.124

1.994

1.946

1.896

1.870

21

4.325

3.467

3.072

2.840

2. 685

2.573

2.488

2.420

2.366

2 .321

2.283

2.250

2.222

2.197

2 .176

2.096

1.965

1.916

1.866

1.839

22

4.301

3.443

3.049

2.817

2. 661

2.549

2.464

2.397

2.342

2 .297

2.259

2.226

2.198

2.173

2 .151

2.071

1.938

1.889

1.838

1.811

23

4.279

3.422

3.028

2.796

2. 640

2.528

2.442

2.375

2.320

2 .275

2.236

2.204

2.175

2.150

2 .128

2.048

1.914

1.865

1.813

1.785

24

4.260

3.403

3.009

2.776

2. 621

2.508

2.423

2.355

2.300

2 .255

2.216

2.183

2.155

2.130

2 .108

2.027

1.892

1.842

1.790

1.762

25

4.242

3.385

2.991

2.759

2. 603

2.490

2.405

2.337

2.282

2 .236

2.198

2.165

2.136

2.111

2 .089

2.007

1.872

1.822

1.768

1.740

26

4.225

3.369

2.975

2.743

2. 587

2.474

2.388

2.321

2.265

2 .220

2.181

2.148

2.119

2.094

2 .072

1.990

1.853

1.803

1.749

1.720

27

4.210

3.354

2.960

2.728

2. 572

2.459

2.373

2.305

2.250

2 .204

2.166

2.132

2.103

2.078

2 .056

1.974

1.836

1.785

1.731

1.702

28

4.196

3.340

2.947

2.714

2. 558

2.445

2.359

2.291

2.236

2 .190

2.151

2.118

2.089

2.064

2 .041

1.959

1.820

1.769

1.714

1.685

29

4.183

3.328

2.934

2.701

2. 545

2.432

2.346

2.278

2.223

2 .177

2.138

2.104

2.075

2.050

2 .027

1.945

1.806

1.754

1.698

1.669

30

4.171

3.316

2.922

2.690

2. 534

2.421

2.334

2.266

2.211

2 .165

2.126

2.092

2.063

2.037

2 .015

1.932

1.792

1.740

1.683

1.654

40

4.085

3.232

2.839

2.606

2. 449

2.336

2.249

2.180

2.124

2 .077

2.038

2.003

1.974

1.948

1 .924

1.839

1.693

1.637

1.577

1.544

50

4.034

3.183

2.790

2.557

2. 400

2.286

2.199

2.130

2.073

2 .026

1.986

1.952

1.921

1.895

1 .871

1.784

1.634

1.576

1.511

1.476

60

4.001

3.150

2.758

2.525

2. 368

2.254

2.167

2.097

2.040

1 .993

1.952

1.917

1.887

1.860

1 .836

1.748

1.594

1.534

1.467

1.430

80

3.960

3.111

2.719

2.486

2. 329

2.214

2.126

2.056

1.999

1 .951

1.910

1.875

1.845

1.817

1 .793

1.703

1.545

1.482

1.411

1.370

100

3.936

3.087

2.696

2.463

2. 305

2.191

2.103

2.032

1.975

1 .927

1.886

1.850

1.819

1.792

1 .768

1.676

1.515

1.450

1.376

1.333

120

3.920

3.072

2.680

2.447

2. 290

2.175

2.087

2.016

1.959

1 .910

1.869

1.834

1.803

1.775

1 .750

1.659

1.495

1.429

1.352

1.307

240

3.881

3.033

2.642

2.409

2. 252

2.136

2.048

1.977

1.919

1 .870

1.829

1.793

1.761

1.733

1 .708

1.614

1.445

1.375

1.290

1.237

17 18

 

Faculdade On-line UVB

129

 

Estatística - UVB

Bibliografia COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. 12. ed.  São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992. MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília : Vestcon Editora Ltda., 2003.

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130

 

Estatística e Pesquisa - UVB

Aula 14 - Correlação e Regressão Linear Objetivos da Aula Fixação dos conceitos para Correlação e Regressão Linear; Apresentar exemplo solucionado com a aplicação dos conceitos; Apresentar exercício que deverá ser solucionado pelo aluno.

Introdução Em nossos estudos até este momento sempre nos concentramos em descrever a forma da distribuição dos valores de uma variável, mas ao trabalhamos com duas variáveis podemos avaliar e medir as relações entre as variáveis estudadas, o que é chamado de correlação. Se houver uma correlação entre as variáveis, poderemos ter uma função matemática que caracteriza esta relação, com a regressão seremos capazes de determinar os parâmetros desta função.

Relação Funcional Neste tipo de relação a ligação entre as variáveis é exata, veja o exemplo: O perímetro de um quadrado é exatamente a soma da dimensão de seus quatro lados, logo:

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131

 

Estatística e Pesquisa - UVB

Onde: P – é o perímetro l – é a medida do lado do quadrado

Vemos que esta relação é exata, portanto, é uma relação funcional.

Relação Estatística Aqui existe uma relação entre as variáveis que não é exata, mas sim estatística, veja o exemplo: A relação entre o peso e a altura de um grupo de pessoas. Vemos claramente que a ligação entre peso e altura não é precisa quanto à ligação entre os lados do quadrado e seu perímetro, p erímetro, porém, em média quanto maior a altura, maior o peso.

Correlação Quando duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística, dizemos que existe correlação entre elas. A correlação, então, é a verificação da existência e do grau de relação entre duas (ou mais) variáveis.

Diagrama de Dispersão O Diagrama de Dispersão é uma forma simplista e útil de verificar a tendência da correlação existente.

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132

 

Estatística e Pesquisa - UVB

Correlação Linear Ao observarmos os diagramas abaixo, vemos que os pontos formam uma elipse, quanto mais fina esta elipse, mais ela se aproximará de uma reta, assim chamada de correlação linear. Os tipos de correlação mais comuns são: Correlação Linear Positiva

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133

 

Estatística e Pesquisa - UVB

Correlação Linear Positiva

Correlação não Linear Positiva

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134

 

Estatística e Pesquisa - UVB

Correlação não Linear Negativa

Coeficiente de Correlação Linear O instrumento empregado para a medida da correlação linear é o coeficiente de correlação. Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (positivo ou negativo).

O coeficiente de correlação determinado por Pearson considera: logo:

onde n é o número de observações. Os limites de r são –1 e +1, isto é, o valor de r pertence ao intervalo (-1,+1). Se o valor absoluto de r for maior que 1 há um erro de cálculo. Valores de r iguais a –1 ou +1 indicam que os pontos estão sobre a

reta, isto é a correlação é perfeita. Valores de r próximos de 1 ou +1

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135

 

Estatística e Pesquisa - UVB

indicam uma correlação forte e valores de r próximos de zero indicam correlação fraca. O sinal de r indica se a correlação é positiva ou negativa. De maneira prática, para tirarmos conclusões significativas sobre o comportamento simultâneo de variáveis analisadas, é necessário que:

Se

há uma correlação relativamente fraca entre

as variáveis. Se

, a correlação é muito fraca e, praticamente

nada podemos concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo. Veja um exemplo completo na aula digital.

Regressão Linear Quando duas variáveis possuem certo grau de relacionamento (verificado pela correlação), podemos aplicar a análise de regressão que vai nos permitir descrever através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. Para executarmos a regressão, as variáveis serão divididas em variável dependente e variável independente. Para o eixo x, indicamos a variável independente e para o eixo y, a dependente. Dessa forma temos:  

é o coeficiente linear, que dá a altura em que a reta corta o eixo

das ordenadas.

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Y =

a

a + bX

q

b = tg q tgq

O coeficiente angular é dado por:

O coeficiente linear é dado por: Onde:

Veremos na aula digital um exemplo completo de regressão linear.

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Outros tipos de regressão Vimos como proceder trabalhando com funções lineares e aplicando a regressão linear. linear. Para as funções não lineares são aplicados modelos de regressão não lineares, as funções mais comuns não lineares são: 1.Função Múltipla

Quando uma função tem diversas variáveis explanatórias.

2.Função Potencial

 Também  T ambém conhecida conhecida como como função de Cobb-Douglas. Cobb-Douglas.

3.Função Exponencial

4.Função Logística

Os diversos tipos de regressão são freqüentemente usados para o cálculo de demandas. Alguns dos exemplos exemplos que podemos citar são: são : o cálculo do volume de vendas em função dos anos, o cálculo do custo em função da taxa de câmbio, o tempo de execução de uma tarefa em função do tempo de experiência na execução desta tarefa. Deve-se perceber, porém, que geralmente todas as situações citadas também são influenciadas por outros fatores, o que faz da função encontrada, apenas o primeiro passo para fundamentar

uma decisão.

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Referência Bibliográfica CRESPO, Ant  Antoni onio o Arno Arnot. t. Est Estat atíst ístic ica a Fáci Fácil.l. São Paulo: Editora Saraiva, 1998. COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. O liveira. Estatística. 12. 12. ed. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1992.

MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília: Vestcon Editora Ltda., 2003.

VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed. São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 2003.

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Aula 15 Controle Estatístico de Processo Objetivos da Aula

Durante nosso curso vimos diversos conceitos de estatística e procuramos, quando viável, apontar nos exemplos as aplicações práticas destes conceitos. Hoje iremos conhecer um pouco sobre Controle Estatístico de Processo, e você verá como a Estatística Estatístic a pode auxiliar a todos durante a execução de processos de negócios.

Controle Estatístico de Processo - CEP Todos sabemos que a produção de bens b ens ou a prestação de serviços ser viços não possui uma regularidade absoluta, ou seja os resultados obtidos na fabricação ou no atendimento a um cliente dependem dos fatores externos e internos destas atividades daí sua variabilidade. Para visualizar com mais facilidade vamos pensar na produção de uma fábrica de açúcar refinado. No final da cadeia produtiva está a etapa de ensacamento para venda. É fácil compreender que nas embalagens de 1 kg teremos pequenas variações, logo haverá pacotes com 1,005 1,005 kg e outros com 0,995 kg. Dentro de limites préestabelecidos esta variabilidade é conside considerada rada aceitável, mas como acompanhar toda a produção e ter a tranqüilidade de afirmar que o peso apresentado na embalagem é o peso de açúcar contido na embalagem? Usando o Controle Estatístico de Proces Processo.. so..

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Podemos conceituar controle  como um processo usado para manter certo fenômeno dentro de padrões pré-estabelecidos. Os produtos e serviços apresentam níveis de qualidade que serão atingidos se determinadas características durante a execução estiverem de acordo com o que foi planejado. O Controle Estatístico de Processo então, é uma ferramenta de gestão que permite medir o nível atual de qualidade de um produto ou serviço e compará-lo com um padrão desejado desejado,, permitindo uma ação imediata para correção dos desvios. O nome Controle Estatístico de Processo vem portanto da utilização da estatística na análise das medidas de qualidade efetuada. Na ótica do CEP, CEP, diz-se que um processo está sob controle se os produtos resultantes mantêm-se dentro da faixa desejável de qualidade. Vamos à partir deste ponto trabalhar todos os conceitos nos referindo apenas a produtos, entretanto muitos deles também são s ão aplicados à serviços.

Variáveis,, Atributos Variáveis Atribut os e Especificaçõe Especificaçõess A qualidade de um produto pode ser definida através de variáveis , de atributos ou através de ambos. Uma variável é uma das grandezas do produto passível de assumir diversos valores. São exemplos o comprimento, a largura, a altura, o peso, a densidade, a área, a resistência elétrica, a vida útil em horas de uma lâmpada. Os produtos possuem muitas grandezas, mas nem todas são alvo de controle; na prática procura-se diminuir o número de variáveis à controlar para não onerar demasiadamente o CEP.

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Quanto mais preciso o instrumento de medição da variável, mais valores diferentes podem ser atribuídos à ela e a precisão requerida será função da impor tância da variável no desempenho posterior do produto. Um atributo pode ser definido como um fator, freqüentemente não mensurável mas observável, que pode estar presente ou ausente no produto. Os atributos podem ser de análise simples e sem subjetividade, como o fato de uma lâmpada acender ou não acender, entretanto, podem ser mais complexos complexos e subjetivos como a ocorrência de um defeito de superfície numa peça. O CEP busca manter as variáveis dentro dos limites considerados aceitáveis e no caso dos atributos, o que procura controlar é o número de vezes que o atributo aparece nos produtos. Os requisitos da qualidade de um produto são expressos através de especificações, que são informações sistematizadas que definem a qualidade pretendida de um produto. As especificações atribuem valores numéricos às variáveis e seu limite inferior e superior de desvio aceitável. Estes limites são chamados chamados de tolerância. Para os atributos, atributos, as especificações definem os parâmetros claros para avaliação e  julgamento  julgamen to dos desvios. desvios.

Como Atua o Controle Estatístico Estat ístico de Processo A Estatística se constitui numa excelente ferramenta quando nos deparamos com problemas de variabilidade na produção ou em serviços. Não se trata de dizer que a Estatística acabará com essa variabilidade, e nem nos diga como corrigir desvios, de fato, as informações disponibilizadas pela Estatística funcionarão como um indicador do desvio, sua freqüência, sua amplitude, seu impacto impac to geral, permitindo uma análise sistemática para ajuste a especificação.

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O CEP atua inicialmente através de amostras de produtos retirados de uma população maior. A partir desta amostra são efetuadas avaliações para verificar se elas são representativas do universo. Se a amostra é representativa do universo, então as características da amostra podem ser estendidas ao universo, ou seja a todas as unidades produzidas. Conforme já estudamos uma amostra não é 100% representativa de um universo e aqui temos em termos práticos a aplicação das questões de significância e os mesmos erros já estudados em nossa aula 11 relativos à teste de hipóteses.

Tipos Básicos de CEP Alguns autores fazem a separação em duas formas principais de executar o CEP, outros preferem entender como sendo apenas variações sobre o mesmo tema, vejamos: Controle de Processo (ou na Fabricação): é efetuado sobre amostras tiradas durante o processo de produção, de tempos em tempos. A análise permitirá saber se o processo está produzindo conforme esperado. Inspeção por Amostragem (ou Controle de Lotes): é efetuado sobre um lote de produtos recebidos de fabricantes. A análise da amostra tem como objetivo aceitar o lote como bom ou rejeita-lo como inadequado.

Ferramentas usadas no CEP Cartas de Controle

Quando é necessário verificar quanto de variabilidade do processo é devido a variação aleatória e quanto é devida a causas comuns/

ações individuais, a fim de se determinar se o processo está sob Faculdade On-line UVB

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controle estatístico.

LSC  é o Limite Superior de Controle LIC  é o Limite Inferior de Controle

Capabilidade do Processo Estar sob controle não é suficiente. Um processo “sob controle”, pode produzir peças rejeitáveis. A verdadeira melhoria de um processo é obtida através do equilíbrio entre repetibilidade, consistência e capacidade de atender às especificações de projeto. Índices de capabilidade comparam a distribuição do processo com os limites de especificação.

CEP e outras ferramentas ferrament as da Qualidade O Controle Estatístico de Processo foi uma das primeiras ferramentas a surgir com o objetivo de melhorar a qualidade durante a produção de bens e ou a prestação de serviços. Muitas outras surgiram com a evolução da tecnologia e a evolução das técnicas de administração de operações e produção, p rodução, abaixo segue

um artigo que fala de Seis Sigma, onde se pode p ode perceber que esta Faculdade On-line UVB

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ferramenta moderna tem suas bases calçadas em ferramentas consagradas como o CEP.

Seis Sigma para todos nós Andrew Spanyi e Marvin Wurtzel

Dentro de grandes corporações, a popularidade do Seis Sigma, como meio de melhorar a qualidade e reduzir os custos, continua a crescer. Entretanto, o mesmo não pode ser dito de organizações de pequeno e médio porte que, em geral, têm mostrado menos entusiasmo em adotar o Seis Sigma. Muitas resistem e acreditam não poderem pagar nem o luxo de um programa complicado de Seis Sigma, nem o investimento exigido para treinar um Master Black Belt. Apesar disso, as empresas menores devem levar em conta que os princípios dos processos empresariais que estão por trás da abordagem do Seis Sigma, bem como algumas das ferramentas específicas do programa, oferecem um meio eficiente de melhorar significativamente seus níveis de desempenho. Vale considerar que esses são alguns dos princípios e ferramentas mais importantes que as empresas menores podem usar sem lançar mão de uma iniciativa maior.

Relembrando o Seis Sigma Como já se sabe, durante os anos 80, a Motorola desenvolveu o Seis Sigma, que foi adotado em seguida por corporações de liderança como a GE, a Sun Microsystems, a AlliedSignal e o Sank of America. O Seis Sigma oferece um método estruturado para melhorar o desempenho. Sua metodologia é baseada nas técnicas de controle estatístico do processo, nos métodos de análise de dados e no treinamento sistemático de todo o pessoal envolvido na

atividade ou no processo estabelecido pelo programa. Trata-se de Faculdade On-line UVB

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uma metodologia bem estruturada e comandada por dados para a eliminação de defeitos, desperdício ou problemas da qualidade na manufatura, no serviço de entrega, no gerenciamento e em outras atividades do negócio. A letra grega é também um símbolo matemático que representa uma medida de variação, a distribuição em torno da meta de qualquer processo ou procedimento. O termo “Seis Sigma” define uma medição da qualidade: 3.4 defeitos por milhão de eventos. Se uma organização puder reduzir a média de desvio de seus produtos, uma menor quantidade deles terá defeitos e haverá uma economia de custo. Em outras palavras, faça bem-feito logo da primeira vez com o monitoramento progressivo e a eliminação de erros. De maneira ideal, o Seis S eis Sigma deve ser baseado no conhecimento do cliente e nos principais indicadores de desempenho do processo que preencham esses requisitos. Entender o que o cliente acha “crítico para qualidade” é a base para o sucesso de qualquer iniciativa de Seis Sigma. A ligação entre o Seis Sigma e o modo de operar do processo geralmente determina a distância e a profundidade das melhorias do desempenho. Tanto a melhoria do processo do negócio quanto o Seis Sigma pretendem desenvolver soluções focadas em eliminar as causas-raiz dos problemas de desempenho do negócio, sem mudar radicalmente os processos  já exi existe stentes ntes ou a estr e strutu utura ra org organiz anizaci acional onal.. A abordagem Seis Sigma incorpora cinco processos críticos: definir, medir, analisar, analisar, melhorar e controlar controlar.. Uma organização identifica uma área de problema, mede-a, identifica sua causa-raiz causa -raiz e, então, conserta-a e a controla.Definir. Essa etapa lida com a definição das metas e limites do projeto e com a identificação de questões que podem ser tratadas para alcançar um nível sigma aprimorado (ex: taxa de defeito).Medir. Durante essa etapa, as informações sobre a situação atual são reunidas para obter os dados-base do

desempenho atual do processo e identificar as áreas de problema. Faculdade On-line UVB

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Analisar. Essa etapa tem o foco na identificação das causas-raiz dos problemas da qualidade e na confirmação dessas causas com as ferramentas de análise de dados apropriadas.Melhorar. Durante essa etapa, são implementadas soluções para tratar das causas-raiz dos problemas identificados ao longo da fase analisar. Controlar. Aqui, a fase de melhoria anterior é avaliada e monitorada.

Vantagens para as empresas menores Por que as empresas de pequeno e médio porte deveriam considerar seriamente as ferramentas do Seis Sigma como um meio de melhorar a qualidade? Porque o modelo de processo de negócio por trás do Seis Sigma representa uma grande oportunidade para economizar custos. As empresas menores comumente têm processos de negócio com muitas opor tunidades de melhoria. As taxas de erro normalmente flutuam entre 20 e 30% e aquelas opor tunidades são proporcionalmente altas. Além disso, devido a seu tamanho gerenciável, um ambiente menor de negócios é, de maneira geral, mais propício a novas idéias de processo do negócio do que o grande setor corporativo. As companhias de médio e pequeno porte, que implementaram o Seis Sigma com sucesso, começaram por identificar os principais processos - aqueles que agregam valor ao cliente e que tendem a ser multifuncionais por natureza. Lembre-se de que existe uma diferença entre um departamento e um processo. É essencial compreender que, para qualquer esforço de melhoria, o trabalho deve passar por vários departamentos depar tamentos para gerar valor ao cliente. Depois de identificar os principais processos, a organização deve identificar o escopo necessário da melhoria para garantir que os processos entreguem, de maneira consistente, os comprometimentos estratégicos.

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Muitas empresas de médio e pequeno porte operam seus processos em um nível sigma de 2 a 3 e, por isso, uma melhoria de apenas um sigma representa um passo enorme em direção à satisfação do cliente e à redução de custos. Por meio de uma melhor compreensão de seus processos, as empresas de menor porte podem realizar melhorias significativas rapidamente. Por exemplo, se um negócio que tem um processo de execução de pedidos operando em 3 sigma (ou 66.000 defeitos por milhão de oportunidades) puder melhorar seu desempenho para o nível de sigma 4 (ou 6.210 defeitos por milhão de oportunidades), ele ganhará dez vezes mais em desempenho. E se cada erro custar o mínimo de 10,00 reais para ser consertado, a economia de custos resultante será de cerca de 600.000,00 reais. Além disso, os negócios menores costumam confiar em métodos de gerenciamento que são mais espontâneos do que controlados. Essas empresas poderiam se beneficiar com a metodologia do Seis Sigma, que é estruturada e direcionada por dados para eliminar defeitos, desperdício ou problemas da qualidade cujas causas são desconhecidas.

Preparando-se Primeiramente, identifique os processos-chave dos negócios de sua organização, que agregam valor diretamente ao cliente. Não os confunda com os processos de suporte (ex: (ex : recursos humanos, elaboração de orçamentos ou de elementos exigidos para o funcionamento de uma operação). A maioria das empresas tem entre cinco e oito clientes principais - e/ou processos críticos de missão, como o desenvolvimento de um novo produto de preenchimento de pedido. Mapeie esses processos em um nível médio e meça os resultados do processo atual. Os fluxos de processos detalhados, como os que são encontrados no nível de

instrução de trabalho, não são necessários aqui. Ao invés disso,

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faça um esboço das maiores interfaces entre as organizações funcionais de negócios. Depois, identifique os assuntos ou “desajustes” “desajuste s” mais importantes impor tantes entre a perspectiva perspecti va do cliente e da empresa e encarregue a equipe de liderança a priorizá-los. A seguir, você deve decidir o escopo exigido pela melhoria e se deve realizar a melhoria do processo ou reelaborá-lo. Ilustramos a comparação de duas escolhas. A melhoria normalmente corrige uma parte de um processo maior, enquanto a reelaboração envolve a construção de um novo processo para substituir o antigo. Inicialmente, as empresas de pequeno a médio porte devem começar pela realização da melhoria do processo, usando uma metodologia básica de Seis Sigma, para depois medir os resultados e calcular a economia. Embora essas etapas pareçam ser bastante diretas, elas estão longe de não exigir esforço. A seguir, temos apenas alguns elementos necessários para o sucesso:    

Comprometimento visível do gerenciamento. Excelente senso de urgência.Definição clara dos requisitos do cliente.

 

Conhecimento compartilhado sobre os processos principais e os clientes-chave. Honestidade na medição do desempenho atual. Disciplina na priorização dos projetos críticos de melhoria. Comunicar os acontecimentos que obtiveram sucesso e provar que a abordagem funciona. Recompensar e reconhecer os realizadores. Institucionalizar a abordagem.

         

Tais fatores podem ser desafiadores para as empresas menores cuja liderança é suscetível à constante mudança das prioridades. Ainda assim, as recompensas possíveis são significativas. Segundo

o especialista em reengenharia Michael Hammer, o poder do Seis Faculdade On-line UVB

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Sigma é otimizado quando aplicado a problemas internos que não desafiam a estrutura do processo existente. De acordo com seu comentário, pode-se afirmar que, se compararmos às corporações maiores, as empresas menores têm ainda mais probabilidade de se beneficiar da aplicação dos métodos de Seis Sigma, já que muitos de seus problemas são orientados pela execução e difíceis de encontrar. Ao contrário, as empresas maiores cuidam freqüentemente de problemas fundamentais na elaboração de um processo ou na estrutura organizacional.

Desmentindo os mitos As empresas menores não devem ater-se aos mitos que rondam o Seis Sigma. Um deles é a necessidade de Black Belts e Green Belts. Embora isso seja exigido para as grandes corporações, não há essa necessidade para as pequenas empresas. As ferramentas do Seis Sigma não são completament completamentee novas; elas remontam técnicas bem conhecidas de gerenciamento total da qualidade da década de 80 e de ferramentas de controle estatístico do processo criadas nos anos 30 e 40.

Também não é necessariamente verdade que todos devam assistir a semanas de treinamento em Seis Sigma antes da implementação. Se o programa estiver apropriadamente estruturado, as empresas

menores podem tirar vantagem de práticas just-in-time na aplicação

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do Seis Sigma. Outro mal-entendido comum é o de que o estabelecimento de grandes metas pode impedir o sucesso do programa. As empresas menores são bem equipadas para estabelecer seus esforços de Seis Sigma claramente dentro da estrutura de um processo de negócio, o que as permite contribuir para alcançar metas agressivas. Embora seja verdade que a resolução de problemas leve tempo, a aplicação do Seis Sigma em empresas de pequeno ou médio porte não leva mais tempo do que o que elas podem pagar. Afinal, se não houver tempo para descobrir como realizar um u m processo corretamente da primeira vez, como será possível encontrar tempo para realizá-lo outras vezes? O benefício mais intangível que pode resultar da aplicação dessas práticas é o aumento no conforto com relação aos processos e sua aplicação no gerenciamento. Os líderes tenderão a fazer e responder as seguintes perguntas:  

Quais processos principais de negócio são fundamentais para alcançar metas estratégicas?

 

Que grau de melhoria é necessário para tais processo processoss de negócio? Em que medida a elaboração organizacional atual apóia ou impede o desempenho desses processos críticos de negócio? Em que medida as políticas corporativas atuais apóiam ou impedem o desempenho desses processos críticos de negócio? Em que medida os sistemas de reconhecimento atuais apóiam ou impedem o desempenho desses processos críticos de negócio?

   

 

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O ambiente atual de negócios exige uma dedicação ainda maior em relação à qualidade do produto e do serviço. A combinação do Seis Sigma com as idéias do processo de negócio oferece às empresas menores uma oportunidade para se livrar da acomodação e continuar a competir em um mercado cada vez mais dirigido pela qualidade. Com uma iniciativa de Seis Sigma implementada com sucesso, as empresas de pequeno e médio porte podem esperar melhorar a excelência de seu serviço e perceber significativas economias de custo. Fonte : Quality Digest, julho de 2003, pp. 22-26.

Traduzido por Cinthia Garcia Alencar, da Setec - Consultoria de Interface Tradução autorizada  Andrew Spany Spanyii é diretor de gerênc gerência ia do Spany Spanyii Internationa Internationall Inc., uma empresa de consultoria e treinamento que opera no âmbito organizacional e na elaboração de processos de negócio. Trabalhou com equipes executivas em grandes corporações, por mais de duas décadas. Sua área consiste em auxiliar os executivos a transformar a forma tradicional com que eles tendem a pensar a respeito de seus negócios; e Marvin Wurtzel é o principal consultor da Marvin M. Wurtzel Associates, uma firma de consultoria especializada em gestão de processos de negócio. Trabalhou em empresas bem-sucedidas de serviços financeiros e em firmas de manufatura e é membro da National Graduate School. Wurtzel é membro da American Society for Quality e tem sido um dos examinadores do Prêmio de Qualidade Nacional Malcolm Baldrige.

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Este artigo foi publicado na edição de maio de 2004 da revista FALANDO DE QUALIDADE (BANAS)

Bibliografia: BRASSARD, Michael. Qualidade – Ferramentas para uma Melhoria Contínua. Rio de Janeiro: QualityMark Editora Ltda., 1985. MOREIRA, Daniel Augusto. Administração da Produção e Operações. 7ª reimpr. da 1ª. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. SPANYI, Andrew; WURTZEL Marvin. Seis Sigma para todos nós. Disponível em: http://www.banasqualidade.com.br Acesso em 21 nov.   2004, 09:30:40.