COMPUERTAS LÓGICAS

COMPUERTAS LÓGICAS Las computadoras digitales utilizan el sistema de números binarios, que tiene dos dígitos 0 y 1. Un dígito binario se denomina un bit. La información está representada en las computadoras digitales en grupos de bits. Utilizando diversas técnicas de codificación los grupos de bits pueden hacerse que representen no solamente números binarios sino también otros símbolos discretos cualesquiera, tales como dígitos decimales o letras de alfabeto. Utilizando arreglos binarios y diversas técnicas de codificación, los dígitos binarios o grupos de bits pueden utilizarse para desarrollar conjuntos completos de instrucciones para realizar diversos tipos de cálculos. La información binaria se representa en un sistema digital por cantidades físicas denominadas señales, Las señales eléctricas tales como voltajes existen a través del sistema digital en cualquiera de dos valores reconocibles y representan una variable binaria igual a 1 o 0. Por ejemplo, un sistema digital particular puede emplear una señal de 3 volts para representar el binario "1" y 0.5 volts para el binario "0". La siguiente ilustración muestra un ejemplo de una señal binaria.

Como se muestra en la figura, cada valor binario tiene una desviación aceptable del valor nominal. La región intermedia entre las dos regiones permitidas se cruza solamente durante la transición de estado. Los terminales de entrada de un circuito digital aceptan señales binarias dentro de las tolerancias permitidas y los circuitos responden en los terminales de salida con señales binarias que caen dentro de las tolerancias permitidas. La lógica binaria tiene que ver con variables binarias y con operaciones que toman un sentido lógico. La manipulación de información binaria se hace por circuitos lógicos que se denominan Compuertas. Las compuertas son bloques del hardware que producen señales en binario 1 ó 0 cuando se satisfacen los requisitos de entrada lógica. Las diversas compuertas lógicas se encuentran comúnmente en sistemas de computadoras digitales. Cada compuerta tiene un símbolo gráfico diferente y su operación puede describirse por medio de una función algebraica. Las relaciones entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden representarse en forma tabular en una tabla de verdad. A continuación se detallan los nombres, símbolos, gráficos, funciones algebraicas, y tablas de verdad de las compuertas más usadas.

FUNDAMENTO TEORICO 

Compuertas lógicas

Los circuitos de conmutación, constan de combinaciones seriales y paralelas de elementos de conmutación llamadas compuertas, ósea implantan mediante arreglos lógicos, las compuertas son solo rutas de señales abiertas o cerradas del punto de vista matemático y de la tecnología, son dispositivos electrónicos de conmutación de gran velocidad que pueden activarse o desactivarse en poco nanosegundos. Se analizaron el uso de compuertas para la construcción de circuitos lógicos que realicen funciones de conmutación y el diseño de arreglos. En los circuitos lógicos digitales se pueden asociar las variables de conmutación a las condiciones de de entrada de las compuertas. Las funciones de conmutación pueden corresponder as la salida de una compuerta o sistema de compuerta, representada por un nivel alto o bajo de salida. Estas compuertas definen su operación una tabla, las cuales se llaman tablas de la verdad, se presentan en terminos de un voltaje alto (H) y bajo (L). El diseñador puede utilizar estos niveles de voltaje para presentar los valores lógicos 0 y 1 de diversas formas. Una señal de 1 lógico es afirmar, activa o verdadera. Una señal activa se afirma es alta en lógica positiva mientas que una señal no afirmada, es decir, si indica 0 lógico, es una señal no afirma, negativa o falsa. Al representar las señales mediante variables lógicas. Se escribe los nombres de la señal baja activa en forma complementada. Y los de señal alta activa en forma no complementada. Cada compuerta en un diagrama en un diagrama se representa mediante un símbolo que incluye las entradas y salidas, el número de entradas de una compuerta se conoce como su fan-in (abanico de entrada). Hay módulos de circuitos estándar que contienen compuertas and, or, nan y nor con un número limitado de opciones de fanin; y las compuertas de dos, tres, cuatro y ocho entradas. Las formas del cuerpo del símbolo representan la función lógica básica, u operación booleana, realizada por la compuerta (or, and, not, u otras) Las burbujas dibujadas en las entradas o salidas de un símbolo lógico indican señales bajas activas. Una burbuja en una entrada indica que la entrada es baja activa, es decir que debe estar afirmada baja para obtener un 1 lógico como entrada de la función. La ausencia de burbujas indican una entrada alta activa; la entrada se afirma con el valor 1 lógico. Las componentes funcionales básicas de las compuertas. La compuerta and. Se puede determinar de la tabla de verdad para el operador de dicha compuerta mediante el álgebra de conmutación, cuyo resultado es para dos entradas ha una salida, para una compuerta da como resultado un 1 lógico sus entradas deben de para las dos un 1 lógico y si entran un 1 lógico por una de las entradas y para la otra un 0 lógico la salida será 0 lógico. La compuerta and electrónica esta diseñada de modo que realice el operador and es un sistema con lógica positiva 

La compuerta or

La función or es identificada al operador or del álgebra de conmutación, en la tabla de verdad se observa que la salida es 0 si y solo si ambas entradas son 0 y su 1 o mas entradas son 1. La tabla de verdad se observa que la salida 0 si y solo si ambas entradas son 0 y 1 su una o mas entradas son 1. La tabla de verdad correspondiente de una compuerta or electrónica seda

A

B

F(A,B)

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

. La compuerta or realiza el operador OR en un sistema con lógica positiva. Los símbolos estándar de la compuerta or son: El siglo de bloques de IEEE contiene la designación "1. Esto significa que la suma matemática de los valores de las variables de entrada A y 6 determina la salida de la compuerta. Las salidas 1 cuando la suma de A y B es mayor o igual que 1 como se mostró anteriormente. Una compuerta NOT o inversor, siempre tiene exactamente una entrada y se utiliza para implantar el concepto del complemento del álgebra de conmutación. Cualquier variables tienen su forma verdaderas (no complementadas) y falsa (complementada), a y respectivamente. Se utiliza una compuerta NOT para obtener una apartir de la otra Los símbolos de entrada para la compuerta NOT, son: Incluyen una burbuja de la salida de la compuerta, una burbuja de la salida de cualquier elemento de circuito lógico. NOT Una compuerta NOT, o inversor, siempre tiene exactamente una entrada y se utiliza para implantar el concepto de complemento del álgebra de conmutación. Cualquier variable tienen sus formas verdadera (no complementada) y falsa (complementada), y , respectivamente. Utilizamos una compuerta NOT para obtener una a partir de la otra. Los símbolos estándar para la compuerta NOT incluyen una burbuja en la salida de la compuerta, una burbuja en la salida de cualquier elemento de circuito lógico indica que en 1 lógico interno produce un 0 lógico externo y, de manera similar un 0 lógico interno produce un 1 lógico externo. La compuerta NOT no realiza ninguna otra función lógica; por tanto, el valor lógico de salida de una compuerta NOT es solo el complemento del valor lógico de su entrada. Podemos visualizar una compuerta NOT como un cambio de polaridad de la señal alta activa a baja activa, o viceversa. En consecuencia, podemos dibujar el símbolo de la compuerta NOT con la burbuja en la entrada o en la salida. Por convención, dibujamos

la burbuja en la entrada de la compuerta cuando la señal de entrada es baja activa, y en la salida de la compuerta si la señal emitida es baja activa. LÓGICA POSITIVA CONTRA LÓGICA NEGATIVA. Si utilizamos la convención de la lógica positiva para todas las entradas y salidas de las compuertas, es decir, si las señales conectadas a las entradas y salidas de la compuerta son todas altas activas, las funciones lógicas AND y OR se realizan mediante las compuertas AND y OR, respectivamente. Cuando las señales conectadas a las entradas y salidas de la compuerta son bajas activas, se invierten los papeles de estas compuertas. La función realizada por una compuerta AND en el sistema de lógica negativa al sustituir 0 por H y 1 por L en la tabla de vedad de la compuerta AND. La tabla resultante, que aparece es idéntica a la tabla de verdad del operador OR, así podemos considerar que una compuerta AND con entradas y salidas bajas activas realiza la función lógica OR. Podemos verificar esto con el álgebra de conmutación si aplicamos la involución (Teorema 3) y el teorema de De Morgan (teorema 8) a la expresión de la función lógica AND. De manera similar, una compuerta OR realiza el operador lógico AND cuando sus entradas y salida son bajas activas. Podemos obtener la función realizada por una compuerta OR en un sistema con lógica negativa al sustituir por H y 1 por L en la tabla de verdad de la compuerta OR. La tabla resultante que aparéese, es idéntica a la tabla de verdad del operador AND. Por tanto, podemos pensar que una compuerta OR con entradas y salidas bajas activas realiza la función lógica AND. Las compuertas AND y OR se utilizan siempre que las entradas y salidas tienen la misma polaridad. Las dos compuertas que presentaremos enseguida NAND y NOR, se utilizan en los sistemas con lógica mixta, es decir, cuando las entradas y las salidas bajas activas, o viceversa. NAND La compuerta NAND es una combinación de una compuerta AND seguida de una compuerta NOT. Definimos la función NAND como De esta manera, queda claro que la compuerta NAND realiza la función lógica AND cuando sus señales de entrada son altas activas y su salida baja activa obtenemos las tablas de verdad para la función NAND y la compuerta NAND complementando las columnas de salida de las tablas de verdad para la función y la compuerta AND, respectivamente. Si utilizamos una compuerta NAND para realizar la función OR cuando las señales de entrada son bajas activas y la salida es alta activa. Como explicamos en el caso de la compuerta NOT, las burbujas en el símbolo de la compuerta NAND siempre deben coincidir con las señales bajas activa y de cuando las señales de entrada son bajas activas. Por tanto, una compuerta NAND con ambas entradas controladas por la misma señal equivale a una compuerta NOT; una compuerta NAND cuya salida se complementa

equivale a una compuerta AND, y una compuerta NAND con las entradas complementadas actúa como compuerta OR. Así, podemos utilizar las compuertas NAND para implantar los tres operadores elementales (AND, OR, NOT). En consecuencia, podemos construir cualquier función de conmutación, utilizando solo compuertas NAND. Las compuertas con esta propiedad se llaman primitivas o funcionalmente completas. NOR La compuerta NOR es una combinación de compuerta OR seguida de una compuerta NOT, lo que presenta la función: La compuerta NOR realiza la función lógica OR con entradas altas activas y una salida baja activa. Por tanto, la tabla de verdad para la función NOR y la compuerta NOR se obtienen complementando las columnas de la salida de las tablas de verdad de la función OR y la compuerta OR, respectivamente. Los símbolos estándar para la compuerta NOR. La burbuja en la terminal de salida indica la operación NOT, lo que establece su diferencia con la compuerta OR. Así, podemos utilizar una compuerta NOR para realizar la función AND con entradas bajas activas y una salida alta activa. Como en el caso de la compuerta NAND, cuando la señal de salida es baja activa. TRANSISTORES Es un dispositivo, y se utiliza para aumentar la amplitud. Los transistores son del tipo NPN y PNP. En las siguientes figuras se muestra el símbolo esquemático para cada tipo. Estos dos tipos se identifican con facilidad por las flechas siempre apuntan así el material N RESISTENCIAS Es el elemento de los circuitos más simples y de mayor uso en el resistor todos los conductores eléctricos ostentan propiedad. Son característicos de un transistor. Cuando fluye corriente por los conductores, los electrodos que constituyen la corriente que entra en colisión con la red de los átomos en el conductor. Esto por supuesto impide o resiste el movimiento de los electrones mientras mayor sea el número de colisiones, mayor será la resistencia del conductor. Consideremos que un resistor en cualquier elemento que obtenga de modo exclusivo la residencia como característica eléctricas. Los materiales que se utilizan para la fabricación de resistores incluyen aleaciones metálicas y compuestas de carbonos “Técnicas Digitales” Compuertas lógicas: Una compuerta lógica es un circuito lógico cuya operación puede ser definida por una función del álgebra lógica, cuya explicación no es el objeto de esta obra.

Veamos entonces las compuertas lógicas básicas, para ello definamos el termino “tabla de la verdad”, por utilizarse a menudo en las técnicas digitales. Se llama tabla de verdad de una función lógica a una representación de la misma donde se indica el estado lógico “1” o “0” que toma la función lógica para cada una de las combinaciones de las variables de las cuales depende. Inversor: Un inversor es un circuito lógico que tiene una sola entrada y una sola salida. La salida del inversor se encuentra en el estado lógico “1” si y solo si la entrada se encuentra en el estado lógico “0”. Esto significa que la salida toma el estado lógico opuesto al de la entrada. Compuerta lógica AND : Las puertas lógicas AND (o Y en castellano) son circuitos de varias entradas y una sola salida, caracterizadas porque necesitan disponer de un nivel 1 en todas las primeras para que también la salida adopte ese nivel. Basta con que una o varias entradas estén en el nivel 0 para que la salida suministre también dicho nivel. Todas las unidades AND o derivadas del AND, deben tener señal simultanea en todas sus entradas para disponer de señal de salida Observando el funcionamiento de la unidad AND se comprende fácilmente que las entradas pueden ser aumentadas indefinidamente. Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si cualquier entrada es 1. Compuerta lógica NAND: La función NO-Y, llamada mas comúnmente NAND es la negación de la función Y (AND) precedente. Así como en una puerta Y se necesita que exista nivel 1 en todas las entradas para obtener el mismo nivel en la salida, en una NAND el nivel de la salida seria 0 en las mismas condiciones. Por el contrario, cuando hay un nivel 0 en alguna de las entradas de una puerta Y la salida esta a nivel 0, mientras que en iguales circunstancias en una puerta NAND el nivel de salida seria 1. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que Es la función AND la que se ha invertido Compuerta lógica OR : La función reunión, también llamada O, al traducir su nombre ingles OR, es la que solo necesita que exista una de sus entradas a nivel 1 para que la salida obtenga este mismo nivel. La expresión algebraica de esta función, suponiendo que disponga de dos entradas, es la siguiente : s = a + b. Es suficiente que tenga señal en cualquiera de sus entradas para que de señal de salida (OR). Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1. Compuerta lógica NOR : La función NOR consiste en la negación de la O, o sea, asi como esta suministra nivel 1 a su salida si cualquiera de las entradas que posee esta a nivel 1, una puerta NOR

se comporta justamente al revés. En la función NOR es suficiente aplicarle una cualquiera de sus entradas para que niegue su salida. la NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de las funciones AND u OR, respectivamente. Compuerta lógica EX - OR : La función O exclusiva (“exclusive OR” según el idioma ingles) se caracteriza porque su salida esta a nivel 1 siempre y cuando también lo estén un numero impar de sus entradas. Para conseguir la función O exclusiva de 3 entradas pueden usarse funciones O exclusiva de dos entradas para acoplarse entre si. Compuerta lógica EX - AND : La función Y exclusiva (exclusive AND en ingles) se emplea para verificar comparaciones entre sus entradas. En efecto su salida presenta nivel 1 cuando sus entradas se encuentran en el mismo nivel, sin importar que dicho nivel sea 1 o 0 Compuerta lógica EX - NOR : Es la función negada de la compuerta EX - OR y es el contrario de la EX - OR, su salida presenta nivel 1 cuando sus entradas se encuentran en el mismo nivel, sin importar que dicho nivel sea 1 o 0, al igual que las EX - AND Compuerta lógica EX - NAND : Es la función negada de la compuerta EX - AND y es el contrario de la EX - AND, Para conseguir la función O exclusiva de 3 entradas pueden usarse funciones O exclusiva de dos entradas para acoplarse entre si.

Compuertas logicas Las compuertas lógicas realizan funciones con solo 2 condiciones "0" y "1". "0" = FALSE "1" = TRUE La mayoría de los cicuitos integrados utilizados en los proyectos de esta página son negativos o NMOS entonces: "0" es negativo o 0 voltios y "1" es igual al voltaje positivo. En la mayoría de los proyectos y aplicaciones se utilizan 2 tipos de tecnología en compuertas lógicas, la tecnología TTL y la tecnología CMOS

Tecnología TTL

Su nombre viene de inglés: Transistor Transistor Logic Se conocen normalmente por que se alimentan con 5 Voltios y y que responden con buena velocidad. La tensión de alimentación es muy exacta: 5 Voltios con un margen de tolerancia máximo de un 5%. Algunas pueden manejar velocidades de más de 200 MHz. Su consumo es realmente alto comparado con el CMOS. La numeración de los circuitos integrados inicia con 74 y normalmente una o dos letras que indican el tipo L: bajo consumo. S: schottky (mayor velocidad) LS: schottky de menor consumo (Los más comunes) HC: Adaptación de la tecnología CMOS con mayor velocidad además existen otras letras poco comunes. Al diseñar nuestros proyectos debemos conectar un condensador entre las patillas de la alimentación de cada circuito integrado TTL y tratar de no usar distancias de conexión muy largas entre ellos. Ya que estos circuitos integrados son propensos a oscilar y generar ruido en las lineas que puede hacer fallar nuestro proyecto.

Tecnología CMOS Su nombre viene de Complementary Metal-Oxide-Semiconductor Las principales ventajas de la tecnología CMOS son la flexibilidad en la alimentación (3 Voltios a 18) y su bajo consumo, que es prácticamente 0 en reposo. Sus principales desventajas han sido su baja velocidad y su sensibilidad a la electricidad estática pero son desventajas que se van superando con el tiempo y actualmente muchos circuitos integrados combinan varias tecnologías. La mayoria de circuitos integrados CMOS usan la serie 4000, Por ejemplo: CD4001, BU4069, TC4011 Y algunos fabricantes tambien la serie 14000 como el caso de motorola con MC14069UBCP. Al realizar nuestros proyectos con circuitos integrados CMOS debemos tener extremo cuidado con la manipulación ya que con solo la electricidad estática en nuestros dedos o el equipo de soldar se pueden dañar, a veces es mejor armar el diseño con un portaintegrado y al terminar de soldar los demás elementos del proyecto se insertan los circuitos integrados CMOS.

Tipos de compuertas lógicas Vamos a ver las diferentes tipos de compuertas lógicas comunes y las diferentes variantes entre ellas:

Ver compuertas YES y NOT

Ver compuertas lógicas AND y NAND

Ver compuertas lógicas OR y NOR

Ver compuertas lógicas XOR y XNOR

Tambien existen circuitos integrados derivados de las compuertas lógica, como en el caso de los flip-flop, buses de datos, divisores, contadores, multiplexores y muchos otros que trataremos en futuras actualizaciones

Introducción Dentro de la electrónica digital, existe un gran número de problemas a resolver que se repiten normalmente. Por ejemplo, es muy común que al diseñar un circuito electrónico necesitemos tener el valor opuesto al de un

punto determinado, o que cuando un cierto número de pulsadores estén activados, una salida permanezca apagada. Todas estas situaciones pueden ser expresadas mediante ceros y unos, y tratadas mediante circuitos digitales. Los elementos básicos de cualquier circuito digital son las compuertas lógicas. En el presente trabajo se intenta dar una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas, haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se plantean dos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para varios propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la misma función. Compuertas Lógicas

Lógica Positiva En esta notación al 1 lógico le corresponde el nivel más alto de tensión y al 0 lógico el nivel más bajo, pero que ocurre cuando la señal no está bien definida. Entonces habrá que conocer cuáles son los límites para cada tipo de señal (conocido como tensión de histéresis), en este gráfico se puede ver con mayor claridad cada estado lógico y su nivel de tensión.

Lógica Negativa Aquí ocurre todo lo contrario, es decir, se representa al estado "1" con los niveles más bajos de tensión y al "0" con los niveles más altos.

Por lo general se suele trabajar con lógica positiva, la forma más sencilla de representar estos estados es como se puede ver en el siguiente gráfico.

Compuertas Lógicas Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos estados lógicos mencionados en lo anterior y funcionan igual que una calculadora, de un lado ingresas los datos, ésta realiza una operación, y finalmente, te muestra el resultado.

Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo, y la operación que realiza (Operación lógica) se corresponde con una tabla, llamada Tabla de Verdad, veamos la primera. Compuerta NOT Se trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si pones su entrada a 1 (nivel alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación lógica es s igual a a invertida

Compuerta AND Una compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica es un producto entre ambas, no es un producto aritmético, aunque en este caso coincidan.*Observa que su salida será alta si sus dos entradas están a nivel alto*

Compuerta OR

Al igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica, será una suma entre ambas... Bueno, todo va bien hasta que 1 + 1 = 1, el tema es que se trata de una compuerta O Inclusiva es como a y/o b*Es decir, basta que una de ellas sea 1 para que su salida sea también 1*

Compuerta OR-EX o XOR Es OR EXclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo que hará con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertidapor b.*Al ser O Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1*

Estas serían básicamente las compuertas más sencillas.

Compuertas Lógicas Combinadas Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX. Veamos ahora como son y cuál es el símbolo que las representa... Compuerta NAND Responde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representación simbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de la compuerta AND.

Compuerta NOR

El resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversión de la operación lógica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, solo agregas un círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR.

Compuerta NOR-EX Es simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se pueden apreciar en la tabla de verdad, que bien podrías compararla con la anterior y notar la diferencia, el símbolo que la representa lo tienes en el siguiente gráfico.

Buffer's En realidad no realiza ninguna operación lógica, su finalidad es amplificar un poco la señal (o refrescarla si se puede decir). Como puedes ver en el siguiente gráfico la señal de salida es la misma que de entrada.

Álgebra Booleana y circuitos electrónicos La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimasUn hecho interesante es que es posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta, ésta es la compuerta NANDPara probar que podemos construir cualquier función booleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar

cómo construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT. Para construir un inversor simplemente conectamos juntas las dos entradas de una compuerta NAND. Una vez que tenemos un inversor, construir una compuerta AND es fácil, sólo invertimos la salida de una compuerta NAND, después de todo, NOT ( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B. Por supuesto, se requieren dos compuertas NAND para construir una sola compuerta AND, nadie ha dicho que los circuitos implementados sólo utilizando compuertas NAND sean lo óptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. La otra compuerta que necesitamos sintetizar es la compuerta lógica OR, ésto es sencillo si utilizamos los teoremas de DeMorgan, que en síntesis se logra en tres pasos, primero se reemplazan todos los "·" por "+" después se invierte cada literal y por último se niega la totalidad de la expresión: A OR BA AND B.......................Primer paso para aplicar el teorema de DeMorganA' AND B'.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan(A' AND B')'..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND Si se tiene la necesidad de construir diferentes compuertas de la manera descrita, bien hay dos buenas razones, la primera es que las compuertas NAND son las más económicas y en segundo lugar es preferible construir circuitos complejos utilizando los mismos bloques básicos. Observe que es posible construir cualquier circuito lógico utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR = NOT(A OR B)). La correspondencia entre la lógica NAND y la NOR es ortogonal entre la correspondencia de sus formas canónicas. Mientras que la lógica NOR es útil en muchos circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizan lógica NAND.

Circuitos Combinacionales Un circuito combinacional es un sistema que contiene operaciones booleanas básicas (AND, OR, NOT), algunas entradas y un juego de salidas, como cada salida corresponde a una función lógica individual, un circuito combinacional a menudo implementa varias funciones booleanas diferentes, es muy importante recordar éste hecho, cada salida representa una función booleana diferente.

Un ejemplo común de un circuito combinacional es el decodificador de siete segmentos, se trata de un circuito que acepta cuatro entradas y determina cuál de los siete segmentos se deben iluminar para representar la respectiva entrada, de acuerdo con lo dicho en el párrafo anterior, se deben implementar siete funciones de salida diferentes, una para cada segmento. Las cuatro entradas para cada una de éstas funciones booleanas son los cuatro bits de un número binario en el rango de 0 a 9. Sea D el bit de alto orden de éste número y A el bit de bajo orden, cada función lógica debe producir un uno (para el segmento encendido) para una entrada dada si tal segmento en particular debe ser iluminado, por ejemplo, el segmento e debe iluminarse para los valores 0000, 0010, 0110 y 1000. En la siguiente tabla se puede ver qué segmentos deben iluminarse de acuerdo al valor de entrada, tenga en cuenta que sólo se están representandovalores en el rango de 0 a 9, los decodificadores para las pantallas de siete segmentos comerciales tienen capacidad para desplegar valores adicionales que corresponden a las letras A a la F para representaciones hexadecimales, sin embargo la mecánica para iluminar los respectivos segmentos es similar a la aquí representada para los valores numéricos. 0 a b c d e f 1

b c

2 a b

d e

3 a b c d 4

b c

g g f g

5 a

c d

f g

6

c d e f g

7 a b c

8 a b c d e f g

9 a b c

f g

Los circuitos combinacionales son la base de muchos componentes en un sistema de cómputo básico, se puede construir circuitos para sumar, restar, comparar, multiplicar, dividir y muchas otras aplicaciones más.

Circuitos Secuenciales Un problema con la lógica secuencial es su falta de "memoria". En teoría, todas las funciones de salida en un circuito combinacional dependen delestado actual de los valores de entrada, cualquier cambio en los valores de entrada se refleja (después de un intervalo de tiempo llamado retardo de propagación) en las salidas. Desafortunadamente las computadoras requieren de la habilidad para "recordar" el resultado de cálculos pasados. Éste es eldominio de la lógica secuencial. Una celda de memoria es un circuito electrónico que recuerda un valor de entrada después que dicho valor ha desaparecido. La unidad de memoria más básica es el flip-flop Set/Reset. Aunque recordar un bit sencillo es importante, la mayoría de los sistemas de cómputo requieren recordar un grupo de bits, ésto se logra combinando varios flip-flop en paralelo, una conexión de éste tipo recibe el nombre deregistro. A partir de aquí es posible implementar diferentes circuitos como registros de corrimiento y contadores, éstos últimos también los conocemos como circuitos de reloj. Con los elementos mencionados es posible construir un microprocesador completo.

Relación entre la lógica combinacional y secuencial con la programación En ésta lección hemos dado una repasada muy básica a los elementos que forman la base de los modernos sistemas de cómputo, en la sección dedicada al diseño electrónico estudiaremos a profundidad los conceptos aquí presentados, pero para aquellos que están más interesados en el aspecto programático podemos decir que con los elementos vistos en ésta lección es posible implementar máquinas de estado, sin embargo la moraleja de ésta lección es muy importante: cualquier algoritmo que podamos implementar en software, lo podemos a su vez implementar directamente en hardware. Ésto sugiere que la lógica booleana es la base computacional en los modernos sistemas de cómputo actuales. Cualquier programa que Usted escriba, independientemente

del lenguaje que utilice, sea éste de alto ó bajo nivel, se puede especificar como una secuencia de ecuaciones booleanas. Un hecho igualmente interesante es el punto de vista opuesto, es posible implementar cualquier función de hardware directamente en software, en la actualidad ésta es la función principal del lenguaje ensamblador y otros con capacidad de trabajar directamente en hardware, como el C y el C++. Las consecuencias de éste fenómeno apenas se están explotando, se infiere la existencia de un futuro muy prometedor para el profesional de laprogramación, especialmente aquellos dedicados a los sistemas incrustados (embedded systems), los microcontroladores y los profesionales dedicados a la Programación Orientada a Objetos. Para tener éxito en éstos campos de la investigación es fundamental comprender las funciones booleanas y la manera de implementarlas en software. Aún y cuando Usted no desee trabajar en hardware, es importante conocer las funciones booleanas ya que muchos lenguajes de alto nivel procesan expresiones booleanas, como es el caso de los enunciados if-then ó los bucles while.

Los Teoremas Básicos Del Algebra Booleana Los Teoremas Básicos del álgebra Booleana son: TEOREMA 1 Ley DistributivaA (B+C) = AB+AC A B C B+C AB AC AB+AC

A (B+C)

0 0 0 0

0

0

0

0

0 0 1 1

0

0

0

0

0 1 0 1

0

0

0

0

0 1 1 1

0

0

0

0

1 0 0 0

0

0

0

0

1 0 1 1

0

1

1

1

1 1 0 1

1

0

1

1

1 1 1 1

1

1

1

1

TEOREMA 2 A+A = A AA = A A A A+A 0 0 0 1 1 1 A A AA 0 0 0 1 1 1

TEOREMA 3 Redundancia A+AB = A A B AB X 0 0 0

0

0 1 0

0

1 0 0

1

1 1 1

1

A (A+B) = A A B A+B X

0 0 0

0

0 1 1

0

1 0 1

0

1 1 1

1

TEOREMA 4 0+A = A Equivalente a una compuerta OR con una de sus terminales conectada a tierra A B=0 X 0 0

0

1 0

1

1A = A Equivalente a una compuerta AND con una de sus terminales conectada a 1 A B=1 X 0 1

0

1 1

1

1+A = 1 A B=1 X 0 1

1

1 1

1

0A = 0 A B=0 X 0 0

0

1 0

0

Lógica y matemáticas Desde un punto de vista realista, la lógica es una disciplina teórica y filosófica, separada de las matemáticas. El objetivo de la lógica es el estudio de las propiedades y relaciones lógicas entre los objetos lógicos (proposiciones, modelos, entidades.). Como todas estas propiedades son independientes de los sistemas usados para su estudio, se concluye que la lógica filosófica es una ciencia teórica. La incompatibilidad, verdad, falsedad, o equivalencia son denominadas como propiedades o relaciones básicas. También existen otra serie de propiedades y relaciones derivadas, que se dividen en tres grandes grupos: teoría de modelos (estudia las relaciones básicas fundamentales entre los enunciados de una teoría), teoría de pruebas (estudio matemático de la derivación) y teoría de la recursión que estudia la computabilidad de las derivaciones jugando un papel esencial dentro de la lógica formal. ¿Qué es la lógica matemática? Por lógica matemática pueden entenderse tres opciones distintas: 1.- Lógica matemática como lógica matematizada, es decir, que usa métodos y herramientas matemáticas. 2.- Lógica matemática como la parte matemática dentro de la lógica. En este sentido, es más una lógica de las matemáticas, es decir, el estudio de las relaciones, propiedades de teorías, pruebas y conceptos matemáticos 3.- Lógica matemática como la lógica de las matemáticas, es decir como la parte que estudia y analiza los diferentes razonamientos y argumentaciones que se dan dentro de las matemáticas. Es en este sentido una rama más de las matemáticas.

Normalmente, en el primer sentido explicado, se produce una fuerte confusión entre la lógica y las matemáticas, debido a que en lógica formal se usa unmétodo matemático que hace difícil discernir entre ciencia (lógica) y método (matemáticas). También, hay que saber distinguir entre los sistemas lógicos formales que son entidades matemáticas complejas y las teorías lógicas. El objetivo de los sistemas lógicos formales es construir una correspondencia entre propiedades lógicas y matemáticas. La lógica matemática en el primer sentido contempla las tres acepciones en conjunto.

Ahondando en las diferencias entre lógica y matemática. La identidad de los objetos matemáticos están completamente determinadas por las propiedades de las que se le pueden predicar en el lenguajepuramente teórico y por su aplicabilidad según la lógica del mismo. Si la lógica fuera matemática, dos objetos lógicos serían lógicamente equivalentes, sin embargo, estas propiedades lógicas no están completamente determinadas por la herramienta formal con la que las estudiamos. Álgebra de Boole, rama de las matemáticas con propiedades y reglas similares, aunque diferentes, al álgebra ordinaria. Es útil, entre otras cosas, para la lógica y para la teoría de conjuntos. Formalmente, el álgebra de Boole es un sistema matemático compuesto por un conjunto de elementos, llamado habitualmente B, junto a dos operaciones binarias, que se pueden escribir con los símbolos Estas operaciones están definidas en el conjunto B y satisfacen los siguientes axiomas: 

1. Ambas operaciones son asociativas. Esto es, cualesquiera que sean los elementos x, y, z de B, se cumple que



2. Ambas operaciones son conmutativas. Esto es, para cualquier pareja de elementos x, y del conjunto B, se cumple que



3. Cada una de las operaciones es distributiva con respecto a la otra. Esto es, para tres elementos cualesquiera x, y, z del conjunto B, se cumple que



4. En el conjunto B existe un elemento neutro bien definido para cada una de las operaciones Estos elementos se representan habitualmente con los símbolos 0 y 1, son distintos y tienen la propiedad de que

para cualquier elemento x del conjunto B. 

5. A cada elemento x del conjunto B le corresponde otro elemento llamado complementario de x, que normalmente se representa con el símbolox'. El elemento x' cumple las siguientes propiedades con respecto a las dos operaciones

Esta estructura recibe este nombre en honor al matemático inglés George Boole, que la describió en 1854 en su obra Investigación sobre las leyes del pensamiento.

Veamos un ejemplo de un álgebra de Boole. Sea X un conjunto de elementos y sea P(X) el conjunto de todos los posibles subconjuntos del conjunto X.P(X) se denomina normalmente conjunto de las partes del conjunto X. P(X) junto con la unión y la intersección de conjuntos forma un álgebra de Boole. En realidad, cualquier álgebra de Boole se puede representar como un álgebra de conjuntos (véase Teoría de conjuntos). Dada la simetría de los axiomas con respecto a las dos operaciones y sus respectivos elementos neutros, se puede demostrar el llamado principio de dualidad, que afirma que cualquier proposición algebraica verdadera deducible a partir de los axiomas del álgebra de Boole es también

verdadera si se intercambian las operaciones y los elementos neutros 1 y 0 en la proposición. Dos de los muchos teoremas que se pueden deducir a partir de los axiomas del álgebra de Boole y que son de gran importancia son las leyes de Morgan, que dicen que

Los elementos que forman el conjunto B de un álgebra de Boole pueden ser objetos abstractos o cosas concretas como números, proposiciones, conjuntos o redes eléctricas. En el desarrollo original de Boole, los elementos de su álgebra eran una colección de proposiciones, o simplemente oraciones gramaticales con la propiedad de ser verdaderas o falsas.

En esta álgebra de Boole, el complementario de un elemento o proposición es simplemente la negación de la proposición. Un álgebra de Boole de proposiciones y una de conjuntos están muy relacionadas. Por ejemplo, sea p la afirmación 'la bola es azul', y sea P el conjunto de todos los elementos para los que la proposición es verdadera, es decir, el conjunto de las bolas azules. P es el conjunto verdad de la proposición p.

El álgebra de Boole tiene muchas aplicaciones prácticas en las ciencias físicas, especialmente en la informática y en la electrónica. A continuación se expone un ejemplo del uso del álgebra de Boole en la teoría de circuitos electrónicos. Sean p y q dos proposiciones, es decir, oraciones afirmativas que son o verdaderas o falsas (pero no las dos cosas al mismo tiempo).

En este caso los interruptores tienen que estar conectados en paralelo, con lo que la corriente circula si o p o q o ambas son verdaderas (interruptores cerrados). Proposiciones más complejas darán lugar a circuitos más complicados.

Conclusión 

Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole, constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital.



Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas.



Las compuertas lógicas son los dispositivos electrónicos más sencillos que existen, pero al mismo tiempo son los más utilizados en la actualidad.

USO DE COMPUERTAS LÓGICAS CIRCUITOS COMBINACIONALES Los circuitos combinacionales generan un estado en sus salidas que es una combinación lógica de las entradas presentes en ese momento, en el momento que cambie la entrada, la salida cambia al correspondiente estado de salida. Se describen en esta lección los circuitos combinacionales más usados con referencias a los circuitos integrados correspondientes y ejemplos de aplicación. COMPUERTAS LOGICAS Son circuitos que generan voltajes de salida en función de la combinación de entrada correspondientes a las Funciones Lógicas, en este curso se usa la analogía llamada lógica positiva en la cual alto (H) corresponde a Verdadero y bajo (L) corresponde a Falso. COMPUERTA AND DE 2 ENTRADAS

Símbolo y diagrama de pines del 7408 integrado de 4 compuertas AND de 2 entradas en la tecnología TTL. En CMOS es el 4081 pero tiene una distribución de pines diferente (consultar el manual).

Ejemplo de funcionamiento y Tabla de verdad

La función lógica que representa la compuerta es: F=A·B y se lee "F igual a A and B". COMPUERTA AND DE 3 ENTRADAS

Símbolo y diagrama de pines del 7411 integrado de 4 compuertas AND de 2 entradas en la tecnología TTL. En CMOS es el 4073 pero tiene una distribución de pines diferente (consultar el manual).

Ejemplo de funcionamiento y Tabla de verdad

La función lógica que representa la compuerta es: F=A·B·C y se lee "F igual a A and B and C". En la practica de los electrónicos se acostumbra usar la analogía L = 0 (se dice cero lógico) y H = 1 (uno lógico), entonces es común usar las tablas así: A and B

A and B and C

B

A

F

C

B

A

F

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

OTRAS FUNCIONES LOGICAS

En forma similar presentamos las compuertas lógicas que representan a las demás Funciones Lógicas.

COMPUERTA OR A or B

A or B or C

B

A

F

C

B

A

F

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

En TTL: 7432 En CMOS: 40

En TTL: 74 En CMOS: 40

COMPUERTA INVERSOR

 (A negado) A

F

0

1

1

0 En TTL: 7404, En CMOS: 40

COMPUERTA NOR

A nor B

A nor B nor C

B

A

F

C

B

A

F

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

En TTL: 7402 En CMOS: 40

En TTL: 74 En CMOS: 40

COMPUERTA NAND A nand B

A nand B nand C

B

A

F

C

B

A

F

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

En TTL: 7400 En CMOS: 40

En TTL: 74 En CMOS: 40

COMPUERTA EXOR B

A

F

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

En TTL: 7486, En CMOS: 40

ANALISIS DE CIRCUITOS COMBINACIONALES El análisis consiste en que dado un circuito conocer el valor de sus salidas para cada una de las posibles combinaciones de entrada, este resultado se representa en la Tabla de Verdad del circuito y la función Booleana que representa el circuito. Ejemplo

La función Booleana se obtiene generando la correspondiente expresión para cada compuerta y haciendo los reemplazos hasta obtener una sola expresión que represente todo el circuito.

Reemplazando: La tabla de Verdad se forma con la lista de combinaciones según el número de variables de entrada (ver Funciones Lógicas) y una columna por cada salida del circuito, con cada combinación de entrada se van hallando los valores de salida de cada compuerta usando las tablas de verdad de cada función básica hasta calcular el valor de la salida del circuito y se va colocando el correspondiente valor en la tabla, en la gráfica siguiente se ven los valores para la combinación de entrada A=0 B=0 C=0: F1=(0 negado)=1 F2=(0 negado)=1 F3=(0 nand 1)=1 F4=(1 or 0)=1 F=(1 exor 1)=0