Compresibilidad Expansibilidad de Los Suelos

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CONSOLIDACIÓN

En los suelos se produce una reducción de volumen cuando este es sometido a cargas. Los fenómenos exactos que dan lugar a esta reducción de volumen se conocen con los nombres de compactación y consolidación, los cuales se diferencian en la forma como actúan las cargas que originan la disminución del volumen. Se llama consolidación a la reducción gradual de volumen de una masa de suelo resultante de un aumento en el esfuerzo compresivo debido a cargas estáticas, como son las producidas por el peso de un edificio o de un gran terraplén. Tal reducción de volumen es posible primero por la expulsión del aire que contiene el suelo, luego por la expulsión del agua del mismo y finalmente por un reajuste de la estructura interna. La compactación es producida a propósito con el fin de densificar el suelo para mejorar su resistencia al esfuerzo cortante y disminuir su compresibilidad y su permeabilidad. En este proceso siempre hay acción dinámica, parcial o total. La consolidación es un fenómeno indeseable, que se produce en un terreno en forma más o menos lenta, dependiendo de la permeabilidad del mismo. Evaluar el fenómeno de la consolidación tiene gran interés práctico pues permite calcular la magnitud de los asentamientos que pueden producirse por la aplicación de una carga determinada en un estrato de arcilla y además la velocidad con la que los mismos se producen. 11.1.

CLASES DE CONSOLIDACIÓN

Se distinguen tres clases de consolidación. La consolidación instantánea o inicial, la consolidación primaria y la consolidación secundaria. Consolidación instantánea o inicial Se llama así a una reducción inicial, comparativamente rapidísima, del volumen de una masa de suelo bajo una carga aplicada, debida principalmente a la expulsión y compresión del gas que llena los vacíos del suelo. Consolidación primaria Es la reducción del volumen de una masa de suelo bajo una carga aplicada, debida principalmente a la expulsión del agua de los poros de la masa y acompañada por la transferencia de la carga, que de ser soportada por el agua intersticial pasa a serlo por el esqueleto sólido del suelo. Consolidación secundaria Es la reducción del volumen de una masa de suelo bajo una carga aplicada, debida principalmente al reajuste de la estructura interna de la masa de éste, después de que la mayor parte de la carga ha sido transferida del agua intersticial al esqueleto sólido del suelo. Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 1

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Cuando se habla de consolidación simplemente, se entiende en general que se refiere a consolidación primaria, la cual se puede estudiar fácilmente por medios matemáticos. Fue precisamente con la Teoría de la Consolidación de Terzaghi que nació la Mecánica de Suelos como Ciencia. 11.2.

ANALOGÍA DEL RESORTE

Cuando se aplica una carga a un suelo, dicha carga es al principio soportada casi totalmente por el agua de los poros debido a que el agua es prácticamente incompresible mientras que el suelo si lo es. Por esto, las partículas del suelo establecen entre si mayor contacto y van tomando gradualmente parte de la carga. El suelo está experimentando una reducción de volumen que se supone igual al volumen de agua desalojado. Al cabo de cierto tiempo la carga es totalmente soportada por el suelo y cesa la expulsión de agua. Para entender mejor el problema se puede hacer uso de la siguiente analogía en la que se considera un cilindro lleno de agua con un pistón en su interior soportado por un sistema de resortes, como se muestra en la Figura 1 1.1. Tiempo

Velocidad de salida del agua

Diámetro del orificio

W W W

La válvula está cerrada. Al aplicar carga al pistón la misma será soportada por el agua incompresible.

La válvula está abierta. La carga va siendo transmitida al resorte compresible conforme al agua sale.

Agua Cilindro

Resorte Agua Poros

La válvula está abierta. La carga es totalmente soportada por el resorte y no sale más agua.

Velocidad

Estructura Suelo

Permeabilidad

Figura 11.1. Analogía del resorte 11.3.

MEDIDA DE LA CONSOLIDACIÓN EN EL LABORATORIO

Para evaluar el fenómeno de la consolidación de un suelo arcilloso se ha ideado un ensayo en el que se toma una muestra cilíndrica aplanada que se coloca dentro de un Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 2

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anillo metálico que la confina lateralmente para luego aplicarle cargas de diferentes magnitudes gradualmente. Bajo la acción de cada carga se mide la reducción en el volumen que la muestra de suelo sufre durante un tiempo determinado. Los incrementos se hacen de manera que cada carga sea más o menos el doble de la anterior y cada uno de ellos se deja actuar alrededor de 24 horas. Después de haber colocado todas las cargas se descarga la muestra también gradualmente. Con la relación de vacíos inicial de la muestra ensayada y las lecturas obtenidas se pueden calcular las relaciones de vacíos de la muestra después de cada incremento de carga. En un proceso convencional de consolidación, la relación de vacíos disminuye conforme se aplican las cargas a la muestra. En el siguiente esquema se muestra el diagrama de fases correspondiente a la muestra en el ensayo de consolidación. Inicialmente la muestra tiene una altura H o que es la suma de la de sólidos Hs y la de vacíos H vo. Bajo el incremento de carga 1 la muestra disminuye su altura de vacíos en una cantidad igual a Hv1 de modo que la altura de vacíos con la que queda es H v1. Bajo el incremento de carga 2 la muestra disminuye su altura de vacíos en una cantidad igual a Hv2 de modo que la altura de vacíos con la que queda es Hv2. Al aplicar la carga n la muestra habrá disminuido su altura de vacíos en una cantidad igual a Hvn de modo que la altura de vacíos con la que queda es Hvn.

Figura 11.2. Muestra de suelo en un ensayo de consolidación En el diagrama se habla de alturas de vacíos, aunque se sobreentiende que los correspondientes volúmenes se obtienen multiplicando la altura por el área transversal de la muestra. Para calcular las relaciones de vacíos con las que queda la muestra al aplicar cada incremento de carga se calculan primero las alturas de sólidos y de vacíos inicial de la muestra como se indica a continuación. Se puede observar que es necesario conocer el valor de la gravedad específica de los sólidos G s.

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s Ws 1 Ws Ws   Hs    w As H s  w G s As  w G s A w

Gs 

H vo  H o  H s

eo 

Vvo H vo Ao H vo A H vo    Vs H s As Hs A Hs

Posteriormente para cada una de las cargas aplicadas se procede de la siguiente manera para calcular las relaciones de vacíos propiamente dichas.  1  e1 

H v1 H vo  H v1 H v1   eo  Hs Hs Hs

 2  e2 

H v 2 H vo  H v 2 H v 2   eo  Hs Hs Hs

 n  e2 

H vn H vo  H vn H vn   eo  Hs Hs Hs

11.4.

ESFUERZO CRÍTICO O ESFUERZO DE PRECONSOLIDACIÓN C

Con las relaciones de vacíos y el correspondiente esfuerzo aplicado se puede trazar la llamada curva de compresibilidad del suelo. En escala semilogaritmica, en la que el eje de las ordenas es la relación de vacíos en escala aritmética y el eje de las abscisas con los esfuerzos en escala logarítmica, esta curva tiene la forma que se indica en la Figura 11.3. Se observa que existen diferencias importantes en la pendiente de la curva al variar el nivel de esfuerzos. Para esfuerzos bajos el cambio de las relaciones de vacíos es pequeño, mientras que para esfuerzos altos el cambio de las relaciones de vacíos o es muy grande. Si se tiene en cuenta que un cambio en la relación de vacíos implica un cambio en el volumen de la muestra, se puede hablar en la curva de zonas de pequeños y grandes cambios de volumen. La zona de grandes cambios de volumen se caracteriza ser un tramo recto muy marcado. Una muestra de arcilla muestra pequeños cambios de volumen al ser sometida a esfuerzos iguales o menores a los que ha soportado a lo largo de toda su historia geológica y muestra grandes cambios en el volumen para esfuerzos mayores a los que ha soportado a lo largo de toda su historia geológica.

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Figura 11.3. Forma típica de una curva de compresibilidad en el tramo de carga Existe un esfuerzo que representa el límite entre estas dos zonas, denominado esfuerzo crítico o esfuerzo de preconsolidación c, Este esfuerzo puede hallarse en la curva de compresibilidad trazada en escala semilogarítmica mediante el método gráfico propuesto por Casagrande (1936), tal como se ilustra en la Figura 1 1.4. 1. Se localiza el punto de máxima curvatura sobre la curva de compresibilidad. 2. Se traza una horizontal por el punto de máxima curvatura. 3. Se traza una tangente a la curva de compresibilidad por el punto de máxima curvatura. 4. Se traza una bisectriz al ángulo formado por la horizontal y la tangente. 5. Se prolonga el tramo recto final de la curva de compresibilidad hasta interceptar a la bisectriz. 6. Se lee el valor de c como la abscisa correspondiente a la intersección de la bisectriz y la prolongación del tramo recto final.

Figura 11.4. Cálculo del esfuerzo crítico o de preconsolidación Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 5

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11.5.

ARCILLAS NORMALMENTE CONSOLIDADAS Y PRECONSOLIDADAS

Se conocen como arcillas normalmente consolidadas a aquellas que no han soportado antes cargas mayores a las que actualmente soportan y como arcillas sobreconsolidadas o preconsolidadas a aquellas que si las han soportado. Con base en el esfuerzo crítico o de preconsolidación se puede determinar si una arcilla es normalmente consolidada o sobreconsolidada. Si el esfuerzo efectivo actual ' que actúa sobre una arcilla es menor que el esfuerzo crítico o de preconsolidación c la arcilla es sobreconsolidada o preconsolidada, debido a que existe un rango de esfuerzos entre ' y c para el cual ocurren pequeños cambios de volumen, es decir, que es un rango de esfuerzos que ya había sido soportado por la arcilla. Si ambos esfuerzos son iguales la arcilla es normalmente consolidada. Se calcula entonces la relación de sobreconsolidación RSC, OVR en inglés, mediante la siguiente expresión. RSC 

c   

RSC  1   c     ArcillaNor malmenteConsolidada RSC  1   c     ArcillaSob reconsolid ada

En términos generales, para fines ingenieriles son más deseables las arcillas sobreconsolidadas que las normalmente consolidadas. Igualmente, mientras mayor sea la relación de sobreconsolidación mucho mejor será el comportamiento de la arcilla en cuanto a deformabilidad se refiere. 11.6. COEFICIENTES ASENTAMIENTOS

DE

COMPRESIBILIDAD

Y

EL

CÁLCULO

DE

LOS

Con los valores de  y e, también se puede trazar la curva de compresibilidad en escala aritmética, la cual suele tener la forma que se muestra en la Figura 1 1.5. Con base en esta curva se calcula el coeficiente de compresibilidad av que representa la pendiente de la curva de compresibilidad, el cual resulta muy variable con el nivel de esfuerzos. av 

e e1  e2    2  1

También puede calcularse el módulo edométrico o coeficiente de compresibilidad volumétrico mv que representa la compresibilidad del suelo en relación con su volumen inicial. Al igual que el coeficiente de compresibilidad, el módulo edométrico es sumamente variable con el nivel de esfuerzos. mv 

a e /   v 1  e1 1  e1

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Figura 11.5. Curva de compresibilidad en escala aritmética Considerando el cambio de volumen que experimenta una muestra en el laboratorio se puede obtener fácilmente una expresión que relacione el asentamiento que sufre una muestra en el ensayo de consolidación con el coeficiente de compresibilidad volumétrico.

Figura 11.6. Asentamiento en una muestra de suelo sometida a un ensayo de consolidación Con base en la Figura 1 1.6, se puede hacer el siguiente juego matemático para encontrar la expresión deseada de S en función del coeficiente de compresibilidad volumétrico.

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H vo H vf  H vo  H vf H vo  H vf eo  e f Hs Hs e S  H vo  H vf  Ho  Ho  Ho  Ho  Ho H vo H s Ho H vo  H s eo  1 1  eo  Hs Hs Pero de acuerdo con la expresión obtenida para el coeficiente de compresibilidad a v y para el módulo edométrico o coeficiente de compresibilidad volumétrico m v, podemos rescribir esta ecuación de la siguiente manera. av 

a e e  e  av   S  H o  v H o  S  mv H o  1  eo 1  eo

Esta expresión puede emplearse también para el cálculo de asentamientos de una estructura debida a la consolidación de un estrato de compresibilidad alta. El significado de cada una de las variables de la expresión es el siguiente:



Incremento de presión efectiva debida a la sobrecarga actuante encima del terreno.

Ho

Espesor del estrato cuya compresibilidad es alta.

mv

Coeficiente de compresibilidad volumétrico. Debido a que es sumamente variable con el nivel de esfuerzos se debe considerar uno acorde con el esfuerzo que actualmente soporta el suelo y el que se va a transmitir.

11.7. ÍNDICES DE COMPRESIÓN Y RECOMPRESIÓN Y EL CÁLCULO DE LOS ASENTAMIENTOS Los índices de compresión y recompresión se refieren a las pendientes de la curva de compresibilidad trazada en escala semilogaritmica, el primero en el tramo recto final del proceso de carga y el segundo en el tramo de descarga. Para calcularlos, se corrige la curva de compresibilidad obtenida en laboratorio para obtener la de campo, de acuerdo con la metodología propuesta por Schmertmann (1955), la cual difiere un poco para arcillas normalmente consolidadas y para arcillas sobreconsolidadas. En arcillas normalmente consolidadas sólo interesa el proceso de carga. La curva de compresibilidad en campo se obtiene siguiendo los pasos que se muestran en la Figura 1 1.7. En arcillas sobreconsolidadas interesa tanto el proceso de carga como el de descarga. La curva de compresibilidad en campo se obtiene siguiendo los pasos que se muestran en la Figura 1 1.8.

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

1. Horizonatl por la relación de vacíos inicial eo

c

Casagrande

Pendiente Cc

R e la c ió n d e V a c ío s e

3. Cruzan la prolongación con la horizontal

2. Prolongación tramo recto hasta 0,42eo

1. La horizontal correspondiente a eo, se prolonga hasta que intercepta la vertical correspondiente a c. 2. Se prolonga el tramo recto final de la curva de compresibilidad hasta cortar la horizontal correspondiente a 0.42eo.

Curva de compresibilidad en laboratorio Curva de compresibilidad en campo

0,42eo Log Esfuerzo 

Es necesario tener presente los valores de la relación de vacíos inicial eo y el correspondiente valor de 0.42eo, por los que se trazan líneas horizontales. Además se requiere el esfuerzo crítico c por el que se traza una vertical. Con estos valores se siguen los siguientes pasos.

3. Se traza una recta que una el punto en que la curva de compresibilidad intercepta a la horizontal de 0.42eo con el punto en que la horizontal por eo intercepta a la vertical de c.

Figura 11.7. Curva de compresibilidad en campo en arcillas normalmente consolidadas Es necesario conocer la relación de vacíos inicial eo y el correspondiente valor de 0.42eo por los que se trazan líneas horizontales. Además los esfuerzos crítico c y actual ’, por los que se trazan verticales. Con estos valores se siguen los siguientes pasos. 1. La horizontal correspondiente a eo, se prolonga hasta que intercepta la vertical correspondiente a ’. 2. Se prolonga el tramo recto final de la curva de compresibilidad hasta cortar la horizontal correspondiente a 0.42eo. 3. Se traza la línea que une el punto donde comienza y termina la descarga, cuya pendiente es igual al índice de recompresión Ce. 4. Se traza un paralela a la línea anterior hasta que intercepta la vertical correspondiente a c. 5. Se traza una recta que una el punto en que la curva de compresibilidad intercepta a la horizontal de 0.42eo con el punto en que la paralela anterior intercepta a la vertical de c.

Figura 11.8. Curva de compresibilidad en campo en arcillas preconsolidadas

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Para arcillas normalmente consolidadas interesa el índice de compresión Cc que está definido como la tangente del ángulo de inclinación de la parte recta de la curva de compresibilidad en el tramo de carga. Para arcillas sobreconsolidadas interesan tanto el índice de compresión Cc como el índice de recompresión Ce definido como la tangente del ángulo de inclinación de la parte recta de la curva de compresibilidad en el tramo de descarga. En ambos casos, teniendo en cuenta los valores de o y  que se tomen se pueden calcular los índices de compresión y recompresión de la siguiente manera. C c (C e ) 

e  Log   o     Log   o 



Log  

e  o   o   

Con base en los índices de compresión y recompresión se pueden obtener expresiones para el cálculo de los asentamientos, similares a las obtenidas con base en el módulo de compresibilidad volumétrico. Para arcillas normalmente consolidadas se obtiene la siguiente expresión: S

    Cc HLog  o 1  eo o 

  

Para arcillas sobreconsolidadas o preconsolidadas se obtiene la siguiente expresión:

S

H 1  eo



  o         C e Log  c   c    o  



 C c Log 

En estas dos expresiones el significado de cada una de las variables es el siguiente: Cc

Índice de compresión del suelo. Tangente del ángulo de inclinación de la parte recta de la curva de compresibilidad en el tramo de carga, calculado de acuerdo con la metodología de Schmertamnn.

Ce

Índice de recompresión del suelo. Tangente del ángulo de inclinación de la parte recta de la curva de compresibilidad en el tramo de descarga, calculado de acuerdo con la metodología de Schmertamnn.

o

Presión efectiva inicial. Presión soportada por el estrato de suelo debido al peso de las tierras que están encima de el. Debe entenderse siempre que es la presión efectiva debido a que esta es la que realmente hace que haya cambios de volumen en un suelo. Este valor es sumamente variable, así que cuando se trate de estratos muy grandes se incurre en errores relativamente grandes si se trabaja con el valor promedio de esta presión.



Incremento de presión efectiva debida a la sobrecarga actuante encima del terreno. Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 10

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c

Esfuerzo crítico o de preconsolidación efectiva calculado con base en el método de Casagrande.

H

Espesor del estrato al cual se le van a calcular los asentamientos.

Llama la atención en estas expresiones el que el asentamiento resulte inversamente proporcional con la relación de vacíos de la muestra. Es decir, al parece los suelos con mayores relaciones de vacíos tendrían mayores asentamientos que aquellos con menores relaciones de vacíos. Sin embargo, los índices de compresión y recompresión serían los que finalmente tendrían mayor influencia en el valor del asentamiento. 11.8. VELOCIDAD CON LA QUE SE PRODUCE LA CONSOLIDACIÓN (TEORÍA DE LA CONSOLIDACIÓN) La velocidad a la que se produce la consolidación puede estudiarse observando el nivel del agua en una serie de piezómetros colocados como lo indica la Figura 1 1.9 a una capa de arcilla subyacida por una de arena y sometida a un proceso de consolidación debido a la aplicación de una carga .

Figura 11.9. Sistema de piezómetros en una capa de arcilla en consolidación Se supone que la capa puede drenar libremente por sus límites superior e inferior y que, dentro la misma, el agua fluye sólo en la dirección vertical. Se supone también que  es constante en toda la capa. Antes de comenzar el proceso de consolidación propiamente dicho, el suelo está soportando una presión total (  ), una neutra, intersticial o de poros (  ) y una Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 11

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intergranular o efectiva (  ). Considerando condiciones hidrostáticas, estas presiones a una profundidad “z” se pueden calcular de la siguiente manera.    sat z

   wz

      ( sat   w ) z   z

La presión que la nueva carga produce en el agua de los poros es denominada exceso de presión intersticial o sobrepresión hidrostática. La presión que la misma carga produce sobre la estructura del suelo se llama exceso de presión efectiva. Al disminuir los excesos de presión de poros en determinada cantidad, aumenta el exceso de presión efectiva en la misma cantidad, de tal manera que la suma de las dos permanece constante. Al cesar la expulsión de agua de los poros, el exceso de presión neutra es cero mientras que el exceso de presión efectiva alcanza su valor máximo. Cada uno de esos piezómetros marca la presión debida a la columna de agua encima de él y la sobrepresión hidrostática producida por la carga . La distribución inicial de la sobrepresión hidrostática que actúa en una sección vertical cualquiera de la capa de arcilla viene representada por la línea t 0. Es decir, en todos los tubos piezométricos el agua tendría que subir hasta una altura igual a /w por encima de la superficie del nivel freático. La línea horizontal que representa el lugar geométrico de todos los niveles en los tubos en el instante t 0 es denominada isócrona inicial. La presión de poros en cualquier punto de la muestra en este instante es igual a  en exceso de la presión hidrostática. El exceso de presión de poros no puede permanecer igual a  en las fronteras superior e inferior de la capa de suelo, z = 0 y z= 2H, porque el exceso de presión de poros en el agua que hay justo en la superficie del terreno es nulo. Debido a la diferencia de presión existe un gradiente hidráulico grande en estas dos superficies que hace que el agua fluya hacia arriba en z = H y hacia abajo en z = 2H. Después de un tiempo t1, la altura del agua en los tubos cerca de la mitad (z = H) de la capa de arcilla puede haber disminuido ligeramente, mientras que las alturas correspondientes a los puntos cercanos a las fronteras pueden haber bajado mucho. La isócrona correspondiente a este tiempo se denomina curva t 1. El punto A1 corresponde al exceso de presión de poros  a la profundidad z 1 en el tiempo t1. La presión en exceso de la hidrostática está representada por la distancia vertical A1B. La presión original en exceso de la hidrostática en el tiempo t 0 está representada por A0B. De acuerdo con esto, del exceso de presión original , solamente la fracción A1B/A0B permanece en el agua de los poros. Como el esfuerzo total  permanece constante, el principio del esfuerzo efectivo conduce a la conclusión que la fracción A0A1/A0B debe ser ahora un exceso en el esfuerzo efectivo soportado por los sólidos del suelo. La relación A0A1/A0B se conoce como el grado de consolidación U z a la profundidad z1 y en el tiempo t1. Análogamente, en el tiempo t 2, el grado de consolidación en z1 aumenta a A0A2/A0B y la isócrona correspondiente se designa t 2. Finalmente, después de un tiempo muy largo, no quedan excesos de presión de poros de modo que la Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 12

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isócrona correspondiente está definida por t  y Uz a todas las profundidades es igual al 100%. Se debe notar que la tangente a una isócrona en un punto como A 1, representa el gradiente hidráulico en el agua de los poros a los valores correspondientes de z y t. Cuando la pendiente es hacia abajo y a la izquierda el flujo es ascendente, cuando es hacia abajo y a la derecha el flujo es descendente. A la mitad de la altura z = H, la pendiente de todas las isócronas es cero. En consecuencia, nunca hay flujo a través de un plano horizontal en z = H. El plano medio podría considerarse como frontera impermeable. El proceso de consolidación, podría describirse por las posiciones sucesivas de las isócronas que definen las proporciones relativas de la presión de consolidación inicial que se han convertido en esfuerzo efectivo y que siguen siendo esfuerzo neutro en cada instante. Para calcular el grado de consolidación a cualquier profundidad y cualquier tiempo, Terzaghi propuso la conocida como Teoría de la Consolidación. Para entenderla se puede considerar la Figura 1 1.9 y la Figura 1 1.10.

Figura 11.10. Bases para la ecuación diferencial de la consolidación Se debe hacer notar que la cantidad /w es realmente un exceso de presión de poros y no la presión de poros total a la profundidad z en un determinado tiempo t. En lo que sigue de este texto nos referiremos a  como a la presión de poros en exceso de la hidrostática. Para determinar la llamada Teoría de la Consolidación de Terzaghi, se suponen válidas las siguientes condiciones: 

El drenaje del agua se produce solo siguiendo líneas verticales.



El coeficiente de permeabilidad “k” es constante en cualquier punto del estrato que se consolida y no varía con el progreso de la consolidación.



El coeficiente de compresibilidad volumétrico “mv” es también constante en cualquier punto de la capa que se consolida y no varía con el progreso de la consolidación. Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 13

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

La lentitud con la que se produce la compresión tiene por causa exclusiva la baja permeabilidad el suelo. Es decir la consolidación secundaria es despreciada.

El que el módulo de compresibilidad volumétrico sea constante, implica que durante cualquier incremento de carga existe una relación constante entre el cambio de volumen por unidad del mismo y el cambio de presión efectiva: dV  mv d V

Como el cambio de volumen tiene lugar sólo en los vacíos del suelo dV/V = dn, donde n es la porosidad del suelo. De esta manera: mv 

dn d

En cualquier tiempo t, a la profundidad z, el gradiente hidráulico ascendente i a través de un elemento de espesor dz es la pendiente de la isócrona para los valores correspondientes de t y z. Así, considerando que  es la presión de agua en exceso de la hidrostática, se tiene que: i

h 1 u  z  w z

El signo negativo indica que i produce un flujo hacia arriba mientras que z aumenta hacia abajo. La velocidad del flujo es: v  ki  

k u  w z

El gasto que atraviesa la unidad de área de una sección horizontal a través del suelo es también igual a v. Por lo tanto la diferencia en la cantidad de agua que entra y sale de un elemento de espesor dz en un tiempo dt es: v k  2u dzdt   dzdt z  w z 2

Durante el mismo tiempo dt, el cambio de volumen del elemento de área unitaria y espesor dz es: n  dtdz  mv dtdz t t

Sin embargo, el cambio de volumen es precisamente iguala a la diferencia entre el agua que entra y sale. Por lo tanto: 

k  2u  u dzdt  mv   mv  w z 2 t t

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Que puede reescribirse como: u k  2u  t mv  w z 2

A esta última ecuación es la que se le conoce como ecuación diferencial de la consolidación que suele resumirse de la siguiente manera: u  2u  cv 2 t z

En donde cv es el denominado coeficiente de consolidación del suelo que puede verse fácilmente que tiene unidades de área sobre tiempo. Para un suelo dado, bajo un incremento de carga determinado, este coeficiente es constante puesto que se asume que el módulo de compresibilidad y el de permeabilidad también lo son. La importancia intrínseca de estas afirmaciones puede juzgarse solamente comparando las predicciones de la teoría con las observaciones reales. Los resultados han demostrado su excelencia para predecir el comportamiento de la mayoría de las arcillas dentro de una aproximación práctica. Este se debe al hecho que a pesar de ser k y mv realmente variables, sus diferencias parecen contrarrestarse para hacer a c v constantes. cv 

k mv  w

La solución de esta ecuación permite expresar a  en función de z y de t, es decir, permite determinar toda la familia de isócronas que se representaron en la Figura 1 1.9. La solución debe satisfacer las siguientes condiciones de frontera: 

El exceso de presión de poros es igual a  a cualquier profundidad z en el tiempo to.



El exceso de presión de poros es igual a 0 para cualquier tiempo t diferente de t o a las profundidades z = 0 y z = 2H.



En cualquier tiempo t el gradiente hidráulico i es nulo a la profundidad z = H.



Después de un tiempo muy largo, el exceso de presión de poros es 0 a cualquier profundidad z.

La solución a que puede llegarse está dada por la serie: 

4  (2n  1) z        Sen   2 H   n  0  ( 2 n  1)  n 





( 2 n 1) 2  2 k (1 e ) t



4 H 2  w av

 

En esta ecuación,  es la base de logaritmos neperianos normalmente simbolizada por e, aunque en este caso se cambia para evitar confusiones con la relación de vacíos e. Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 15

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Es muy importante hacer notar que H es la mitad del estrato en consolidación y no el espesor completo del mismo. Esta es entonces la denominada altura de drenaje y se refiere simplemente a la máxima distancia que recorre el agua para salir de la muestra. Cuando el drenaje está impedido en una de las caras de la capa en consolidación, esta altura sería la de la capa completa. Considerando la definición del coeficiente de consolidación, esta serie puede escribirse de la siguiente manera:



4  (2n  1) z        Sen   2 H   n  0  ( 2n  1)  n



( 2 n 1) 2  2 cv t 4H 2

 

En la esta expresión existe una cantidad que es función de las constantes físicas del sistema agua suelo, que determinan el proceso de consolidación y se denomina factor de tiempo Tv. Tv 

cv k (1  e) t t 2  w av H 2 H

Para el factor de tiempo se tiene que es adimensional, tal como se muestra a continuación: cm s cm 4 g s cm 4 gs s Tv    g cm 2 cm 2 sgcm 2 cm 2 cm 4 gs cm 3 g

De acuerdo con esto, la serie dada para , puede expresarse como: 

4  (2n  1) z        Sen    2 H  n  0  ( 2 n  1)  n



( 2 n 1) 2  2Tv 4

 

De manera que puede escribirse que:  z  f ( , Tv )  H

Habíamos hablado antes de que el grado de consolidación correspondiente a z 1 y t1 era la cantidad A0A1/A0B. De acuerdo con esto es fácil ver que: U z (%)  100

A0 A1        100  100 1   A0 B    

  U z (%)  100 1   

( 2 n 1) 2  2T n    4   (2n  1) z   4 v   Sen    100 1       2 H    n  0  ( 2n  1)   





  

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Y de esta manera, en los textos de Mecánica de Suelos clásicos, suele escribirse que:  z  , Tv   H 

U z (%)  f 

La relación expresada mediante la ecuación deducida para U z resulta en las gráficas que se muestran en la Figura 1 1.11. Las curvas mostradas en esta figura permiten entonces predecir las isócronas de una capa de suelo en consolidación si se conoce el coeficiente de consolidación del suelo.

Figura 11.11. Solución de la ecuación diferencial en función de coeficientes adimensionales En la Figura 1 1.9, el grado de consolidación medio de toda la muestra en el tiempo t 1 está dado por el área sombreada dividida por el área del rectángulo CDEF. El área sombreada es la medida de la fracción de la presión de consolidación inicial a través de la muestra que en el tiempo t 1 se ha convertido en esfuerzo efectivo. El área del rectángulo CDEF es 2H. El grado de consolidación medio se denomina simplemente grado de consolidación U en el tiempo t y puede verse fácilmente que:

 U (%)  100

2H

0

(    )dz 2 H

1   100 1  2 H 





2H

dz  

0

Donde  esta dada por la serie antes presentada. Como se trata de una serie convergente, puede integrarse término a término de la siguiente manera:



2H

0

dz  

2H

0



4  (2n  1) z   Sen      2 H   n  0 ( 2n  1)  n 



( 2 n 1) 2  2Tv 4

 dz 

Que además puede escribirse como:



2H

0

n 

 4 dz     n  0 ( 2n  1)

( 2 n 1) 2  2Tv 4



2H

0



 (2n  1) z    dz 2 H  

 Sen   

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

2H



2H

0

0

n

 4 dz     n  0 ( 2n  1)

( 2 n 1) 2  2Tv 4

n 

 4 dz  2 H   2 2 n  0 ( 2n  1) 

2H  ( 2n  1) z      ( 2n  1) Cos 2 H     

( 2 n 1) 2  2Tv 4

 (2n  1) z      Cos 2 H     

2H

0

2H

0

Pero como:  (2n  1) z      Cos 2 H     

2H

  Cos ( 2n  1)  Cos 0    1  1  2

0

Se obtiene finalmente que:



2H

0

n 

 8 dz  2 H   2 2 n  0 ( 2n  1) 

( 2 n 1) 2  2Tv 4

Y ahora sustituyendo esa última integral en la expresión dada para el grado de consolidación U se obtiene que:



1 U (%)  100 1  2 H 



2H

0





n 

 8 dz   100  1    2 2  n  0 ( 2n  1)  



( 2 n 1) 2  2Tv 4

 

Se puede ver entonces que la teoría de la consolidación presentada por Terzaghi se puede extender para proporcionar los medios para calcular el valor de U en función del factor de tiempo adimensional denominado Tv. De esta manera se escribe tradicionalmente en los textos de mecánica de suelos que: U (%)  f (Tv )

Esta expresión puede resolverse fácilmente para varios valores de Tv, dando lugar a las denominadas curvas teóricas de la consolidación que se muestran en la Figura 1 1.12. De este modo si se conoce el coeficiente de consolidación “c v“ de un suelo con espesor de drenaje “H” se puede determinar el tiempo “t” que se demora en producirse un determinado grado de consolidación debido a que el factor de tiempo “T v” se puede saber con base en gráficas.

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Figura 11.12. Curva teórica de la consolidación Lo importante es entonces conocer el coeficiente de consolidación “c v“ del suelo. Para esto es que son útiles las curvas de consolidación en laboratorio. Con base en ellas se sabe el tiempo en que se produce el 50%, si se usa la metodología propuesta por Casagrande, o el 90%, si se usa la de Taylor, de la consolidación de una muestra con espesor de drenaje “H” y como de acuerdo con la Figura 1 1.12 se puede determinar el factor de tiempo “Tv” asociado a porcentajes de consolidación del 50% y del 90% podemos calcular el coeficiente de consolidación “c v“ de la siguiente manera. Cv 

Tv (50 ) H 2 t 50



Tv ( 90 ) H 2 0.848H 2 0.197 H 2  o Cv  t 50 t 90 t 90

En esta expresión t representa el tiempo necesario para que se produzca un determinado porcentaje de consolidación en un suelo con un espesor a drenar igual a H y un coeficiente de consolidación cv. Para un ensayo dado se obtienen tantos cv como cargas se halla aplicado. Para el cálculo de los tiempos existen dos metodologías diferentes, las cuales se explican a continuación. La metodología de Casagrande requiere la curva de consolidación trazada en escala semilogarítmica con el tiempo en las abscisas en escala logarítmica y la deformación en las ordenadas en escala aritmética. La metodología de Taylor requiere la curva de consolidación trazada en escala aritmética con la raíz del tiempo en las abscisas y la deformación en las ordenadas.

Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 19

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Metodología de Casagrande Se deben trazar las líneas correspondientes a grados de consolidación U del 0%, 50% y 100%. 1.

Se ubica el punto t1 en el cual se haya efectuado menos del 50% de la consolidación y se localiza el punto c. Se establece el punto d para un tiempo t 1/4 y se determina la distancia a. Se traza una horizontal a una distancia a arriba de d. La ordenada de esta línea es U = 0%.

2.

Se elige el punto de inflexión e y se traza una tangente abajo por este punto. Se prolonga hacia arriba la parte recta final de la curva. Las dos rectas se cruzan en f, en una lectura del extensómetro correspondiente a U = 100%.

3.

Se determina el punto g como la mitad de la distancia entre las líneas correspondientes al 0% y al 100% de consolidación. La abscisa para el punto g es el tiempo t50 que demora la muestra en producir un grado de consolidación U = 50%.

Figura 11.13. Método de Casagrande para el cálculo del tiempo correspondiente a un grado de consolidación U = 50% Metodología de Taylor

1. Se traza una tangente a la curva de consolidación por su parte incipiente. De esta línea se definen los puntos A y B. 2. Se determina el punto C tal que OC sea igual a 1.15OB. 3. Se traza una línea que una el punto C con el punto A. Esta línea intercepta a la curva de consolidación en un punto cuya abscisa representa el tiempo que demora la muestra en producirse el 90% de la consolidación, es decir, el t90.

Figura 11.14. Método de Taylor para el cálculo del tiempo correspondiente a un grado de consolidación U = 90% Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 20

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11.9.

COEFICIENTE DE PERMEABILIDAD

Considerando la expresión dada para el coeficiente de consolidación “c v” podemos encontrar una para el coeficiente de permeabilidad “k”. cv 

k  k  c v  w mv  w mv

Después de haber determinado el coeficiente de consolidación “c v” y el módulo edométrico “mv” de un suelo en el laboratorio es posible calcular para éste el coeficiente de permeabilidad “k”, del cual la determinación directa en muchos casos es difícil, de resultados y aún imposible. 11.10. TRABAJO PERSONAL 1.

Una muestra de arcilla de 2 cm de espesor alcanzó el 50% de la consolidación en 5 minutos en un consolidómetro en el que estaba drenada por sus dos caras. Esta muestra representa a un estrato de la misma arcilla de 3 m de espesor drenado por ambas caras que estará bajo un terraplén. ¿En cuánto tiempo alcanzará el estrato el 50% de la consolidación bajo la carga del terraplén?

2.

En un laboratorio, una muestra en consolidación alcanzó su t 50 en 8 minutos. La muestra tenía 2.5 cm de altura y estaba drenada por ambas caras. El estrato al cual pertenecía la muestra es de 8 m y está limitado por arriba por una capa de arena suelta permeable y por abajo por un manto de roca sana impermeable. Calcule el tiempo en que el estrato alcanzará el 50% de consolidación bajo una carga exterior constante y uniforme.

3.

El coeficiente de consolidación de una arcilla es de 4.92E-04 cm²/seg. El estrato en cuestión, de 6 m de espesor, está situado entre dos capas de arena y se consolida bajo la carga impuesta por un edificio. Diga en cuanto tiempo alcanzará la arcilla el 50% de la consolidación.

4.

La capa de arcilla del problema anterior tiene una capa de arena intercalada a 1.5 m bajo su frontera superior. Calcule el tiempo en que alcanzará el estrato de 6 m de espesor el 50% de la consolidación en la nueva condición.

5.

Un terraplén para una vía de 5 m de altura se cimentó sobre un depósito de arcilla con cantos rodados de 4 m de espesor que reposa sobre una arenisca. El material del relleno del terraplén se coloca a una densidad de 2 ton/m³ y su construcción dura 8 meses. Calcular el asentamiento que se producirá, dado que para la arcilla mv = 0.00012 m²/kN. ¿Cuánto tiempo recomendaría esperar para llevar a cabo el proceso de pavimentación del terraplén de modo que el mismo no sufra ningún daño si para la arcilla c v = 1.5 cm²/año?

6.

El suelo en un pequeño aeropuerto privado está formado por una sucesión de 5 m de arena, 8 m de arcilla normalmente consolidada, 1 m de grava y 7 m de arcilla con cantos rodados que reposa sobre el lecho rocoso impermeable. El nivel freático está a 0.5 m bajo el nivel del terreno. Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 21

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En un lote adyacente se ha planteado un desarrollo extensivo que incluye la instalación de un sistema de drenaje en su primera etapa. Se calcula que el efecto que este tendrá sobre el aeropuerto será la disminución del nivel freático hasta una profundidad promedio de 3 m bajo el nivel del terreno. Si el nivel freático se mantiene a este nivel durante dos años, calcule el asentamiento que se producirá en la superficie del terreno del aeropuerto si las propiedades de los diferentes estratos son las siguientes: Material

h ton/m³

sat ton/m³

eo

Cc

mv m²/kN

cv m²/año

1.84

2.07

-

-

-

-

Arcilla normalmente consolidada

-

1.88

0.94

0.46

-

1.05

Grava

-

1.95

-

-

-

-

Arcilla con cantos rodados

-

1.96

-

-

0.00026

2.34

Arena

7.

Las investigaciones en un sitio especifico destinado a la construcción .de viviendas reveló la existencia de un depósito de arcilla de 5 m de espesor (mv = 0.0006 m²/kN y cv = 3.12 m²/año) que reposa sobre un depósito de arena densa de gran espesor. El terreno se encuentra a un nivel bajo y está sujeto a inundaciones por lo que se decidió subir el nivel del terreno en 2.5 m. Para ello se piensa colocar un delgado manto drenante de arena en la superficie de la arcilla y a continuación se colocará rápidamente el terraplén de relleno compactado a una densidad de 1.9 ton/m³. Calcule el asentamiento total del depósito de arcilla que producirá la aplicación de esta carga y el tiempo necesario para obtener el 90% de consolidación.

8.

Se tiene un estrato de arcilla de 10 m de espesor que está suprayacido por otro estrato de arena de 6 m de espesor. El nivel freático está a 3 m de profundidad y el coeficiente de consolidación del suelo es de 4500 cm²/año. ¿Qué tiempo ha de transcurrir para que el grado de consolidación sea del 90?

Compresibilidad y expansibilidad de los suelos 22