Comportamiento y Mecanismos de Falla de Secciones Sometidas a Flexión

COMPORTAMIENTO Y MECANISMOS DE FALLA DE SECCIONES SOMETIDAS A FLEXIÓN Los elementos sometidos a flexión casi siempre fallan por compresión del concreto, sin embargo el concreto puede fallar antes o después que el acero fluya. La naturaleza de la falla es determinada por la cuantía de refuerzo y es de tres tipos: 1.-Falla por tensión.El acero fluye y el elemento exhibe una falla dúctil. Se aprecian grandes deflexiones y fisuras antes del colapso lo cual alerta a los usuarios acerca del peligro inminente. Estas secciones son llamadas también sub-Reforzadas. Es la correspondiente a la viga analizada en la sección 5.1.

2.-Falla por compresión.El acero no tiene oportunidad de fluir y el concreto falla repentinamente. Estas secciones son llamadas sobre –reforzadas. La resistencia de una sección sobre– reforzada es mayor que la de la otra sub– reforzada de dimensiones similares. Sin embargo la primera no tiene comportamiento dúctil y el tipo de colapso no es conveniente. En el diseño se evita este tipo de falla.

3.- Falla balanceada.Se produce cuando el concreto alcanza la deformación unitaria última de 0.003 simultáneamente al inicio de la fluencia del acero (ACI -10.3.2). La falla es

frágil y no deseada. Para cada sección existe una cuantía única de acero que ocasiona una falla balanceada laque se denomina cuantía balanceada o básica. Flexiones en secciones: Las secciones es un elemento estructural que puede presentar flexión en dos direcciones perpendiculares. Existen dos hipótesis cinemáticas comunes para representar la flexión de placas y láminas:  

La hipótesis de Love-Kirchhoff La hipótesis de Reissner-Mindlin.

Siendo la primera el análogo para placas de la hipótesis de Navier-Bernouilli y el segundo el análogo de la hipótesis de Timoshenko. Teoría de Love-Kirchhoff La teoría de placas de Love-Kirchhoff es la que se deriva de la hipótesis cinemática de Love-Kirchhoff para las mismas y es análoga a la hipótesis de Navier-Bernouilli para vigas y por tanto tiene limitaciones similares, y es adecuada sólo cuando el espesor de la placa es suficientemente pequeño en relación a su largo y ancho. Para una placa de espesor constante h emplearemos un sistema de coordenadas cartesianas con (x, y) según el plano que contiene a la placa, y el eje z se tomará según la dirección perpendicular a la placa (tomando z = 0 en el plano medio). Con esos ejes de coordenadas las tensiones según las dos direcciones perpendiculares de la placa son:

Teoría de Reissner-Mindlin La teoría de Reissner-Mindlin es el análogo para placas de la teoría de Timoshenko para vigas. Así en esta teoría, a diferencia de la teoría más aproximada de Love-Kirchhoff, el vector normal al plano medio de la placa una vez deformada la placa no tiene por qué coincidir con el vector normal a la superficie media deformada. Sometida a Flexion:

Resistencia de las secciones Sometidas a Flexión: En la práctica estructural es de interés calcular aquellos esfuerzos y deformaciones unitarias que ocurren en la estructura sometida a las cargas de servicio. Para las vigas de concreto reforzado esto puede hacerse mediante el método de la teoría elástica, el cual supone un comportamiento elástico en ambos materiales. • De igual manera, es importante que el ingeniero estructural sea capaz de predecir con suficiente precisión la resistencia última de una estructura o de un elemento estructural. Hacer que esta resistencia sea mayor que la combinación mas desfavorable de solicitaciones mayoradas que pueda presentarse durante la vida útil de la estructura en una cantidad apropiada, garantiza un margen adecuado de seguridad. Se han desarrollado métodos de análisis más realistas para estimar la resistencia última basados en el comportamiento inelástico real (en vez de suponer el comportamiento elástico de los materiales) y en los resultados de una investigación experimental bastante amplia. • Estos métodos basados en la teoría de rotura se utilizan actualmente, en forma casi exclusiva, en la práctica del diseño estructural. Con el objeto de desarrollar métodos sencillos de cálculo, los reglamentos de construcción recurren a hipótesis simplificadoras en las cuales se fija un valor de la deformación unitaria máxima útil del concreto, εcu y donde se definen diagramas idealizados de los esfuerzos de compresión, de tal manera que el área del diagrama de esfuerzos y la posición de la resultante de compresión sean semejantes a las que corresponderían a una distribución real HIPÓTESIS ACI • El Reglamento del Instituto Americano del Concreto (ACI 31802) utiliza las hipótesis simplificadoras que se resumen en la figura 2.7. En lugar de la distribución real de esfuerzos, se propone una distribución rectangular, con una profundidad igual a β1 veces la profundidad del eje neutro. • Se acepta que el elemento alcanza su resistencia máxima a una deformación unitaria máxima útil del concreto en compresión igual a 0.003, con una distribución lineal de deformaciones unitarias. El parámetro β1, se hace depender de la resistencia nominal f’c de acuerdo con la ecuación mostrada en la figura 2.7. El valor de β1 , es constante e igual a 0.85 para f‘c menor o igual a 280 kgf/cm2. • Esta variación tiene por objeto tomar en cuenta el cambio en la forma de la curva esfuerzo-deformación del concreto al incrementar su resistencia, ya que el área del rectángulo equivalente debe ser aproximadamente igual al área bajo la curva esfuerzo-deformación. • La hipótesis del bloque equivalente de esfuerzos es aplicable a secciones de cualquier forma.

Diseños de secciones rectangulares a Flexión, por teoría de estados limites (Secciones simples y secciones doblemente armadas). El diseño de una viga de concreto armado a flexión implica determinar las dimensiones de una sección transversal y la selección y ubicación del acero de refuerzo, cumpliendo con las especificaciones normativas correspondientes.. Secciones rectangulares • El acero de refuerzo a tracción en miembros solicitados a flexión dispuestos en ambientes no agresivos, se distribuirá adecuadamente en las zonas traccionadas del miembro en forma tal que la separación s, del acero de refuerzo más cercano a la cara en tracción, cumplirá con la siguiente ecuación, donde cc es el recubrimiento del acero de refuerzo.

A efecto del cálculo, el valor fs del acero de refuerzo se podrá determinar como: a. el momento no mayorado dividido por el producto del área de acero por el brazo de momento; o • b. 0,66 fy

Caso 1: Se asume que tanto el acero a tracción como el acero de compresión fluyen (fs = f’s = fy) De la figura (f) viga 2: A’s·fy = As2·fy ⇒ As2 = A’s Entonces: 𝑨 𝒔𝟏 = 𝑨 𝒔 − 𝑨 𝒔𝟐 = 𝑨 𝒔 − 𝑨′ 𝒔 De la figura (d) viga 1: Se calcula la profundidad “a”: Por equilibrio, en la figura (e): 𝑪 𝒄 = 𝑻 𝟏 , se obtiene: 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′ 𝒄 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝑨 𝒔 − 𝑨′ 𝒔 ∙ 𝒇 𝒚 𝒂 = 𝑨 𝒔−𝑨′ 𝒔 ∙𝒇 𝒚 𝟎,𝟖𝟓∙𝒇′ 𝒄∙𝒃 Se calcula la relación (d’/a)límite = 𝟏 𝜷 𝟏 𝟏 − 𝒇 𝒚 𝟎,𝟎𝟎𝟑∙𝑬𝒔 Si 𝒅′ 𝒂 ≤ 𝒅′ 𝒂 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆 , el acero a compresión cede. Se calcula la relación 𝒂 𝒃 𝒅 = 𝜷 𝟏 ∙ 𝟎,𝟎𝟎𝟑∙𝑬 𝒔 𝟎,𝟎𝟎𝟑∙𝑬 𝒔+𝒇 𝒚 Si 𝒂 𝒅 ≤ 𝒂 𝒃 𝒅 , el acero a tracción está en cedencia Si se cumple lo supuesto, que los aceros a tracción y compresión están en cedencia la solución continúa aquí en el caso 1. Si el acero a compresión no cede, o si el acero a tracción no cede, o si ninguno de los dos aceros cede, se debe continuar la solución en el caso Continuación del Caso 1: El acero de compresión y el acero a tracción ceden. De la figura (f) viga 2: Se calcula el momento de la viga 2: 𝑴 𝟐 = 𝑻 𝟐 ∙ 𝒅 − 𝒅′ = 𝑨′ 𝒔 ∙ 𝒇 𝒚 ∙ 𝒅 − 𝒅′ De la figura (d) viga 1: Se calcula el momento de la viga 1: 𝑴 𝟏 = 𝑻 𝟏 ∙ 𝒅 − 𝒂 𝟐 = 𝑨 𝒔𝟏 ∙ 𝒇 𝒚 ∙ 𝒅 − 𝒂 𝟐 Resultando: 𝑴 𝟏 = 𝑨 𝒔 − 𝑨′ 𝒔 ∙ 𝒇 𝒚 ∙ 𝒅 − 𝒂 𝟐 El momento nominal total: 𝑴 𝒏 = 𝑨 𝒔 − 𝑨′ 𝒔 ∙ 𝒇 𝒚 ∙ 𝒅 − 𝒂 𝟐 + 𝑨′ 𝒔 ∙ 𝒇 𝒚 ∙ 𝒅 − 𝒅′

Excluyendo el área de concreto desplazada por A’s Caso 1: Se asume que el acero de compresión y el acero a tracción están en cedencia (fs = f’s = fy) Se considera : As2 = 𝑨′ 𝒔 ∙ 𝟏 − 𝟎,𝟖𝟓∙𝒇′ 𝒄 𝒇𝒚 , en las ecuaciones anteriores donde aparezca A’s, se sustituye por el valor de As2. Entonces la profundidad del eje neutro resulta: 𝒂 = 𝑨 𝒔−𝑨 𝒔𝟐 ∙𝒇 𝒚 𝟎,𝟓∙𝒇′ 𝒄∙𝒃 Se calcula la relación (d’/a)límite = 𝟏 𝜷 𝟏 𝟏 − 𝒇 𝒚 𝟎,𝟎𝟎𝟑∙𝑬𝒔 Si 𝒅′ 𝒂 ≤ 𝒅′ 𝒂 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆 , el acero a compresión cede. Excluyendo el área de concreto desplazada por A’s Se calcula la relación 𝒂 𝒃 𝒅 = 𝜷 𝟏 ∙ 𝟎,𝟎𝟎𝟑∙𝑬 𝒔 𝟎,𝟎𝟎𝟑∙𝑬 𝒔+𝒇 𝒚 Si 𝒂 𝒅 ≤ 𝒂 𝒃 𝒅 , el acero a tracción está en cedencia Si se cumple lo supuesto, que los aceros a tracción y compresión están en cedencia la solución continúa aquí en el caso 1. Si el acero a compresión no cede, o si el acero a tracción no cede, o si ninguno de los dos aceros cede, se debe continuar la solución en el caso 2. El momento nominal total: 𝑴 𝒏 = 𝑨 𝒔 − 𝑨 𝒔𝟐 ∙ 𝒇 𝒚 ∙ 𝒅 − 𝒂 𝟐 + 𝑨 𝒔𝟐 ∙ 𝒇 𝒚 ∙ 𝒅 − 𝒅′ Caso 2: Se tiene que 𝒅′ 𝒂 > 𝒅′ 𝒂 𝒍í𝒎𝒊𝒕 , entonces el acero a compresión no cede (f’s < fy) y/o si se tiene que 𝒂 𝒅 > 𝒂 𝒃 𝒅 , el acero a tracción no cede (fs < fy). La “a” calculada antes es incorrecta y hay que calcularla de nuevo. Por triángulos semejantes en la figura (b) se obtiene fs y f’s: 𝒇′ 𝒔 = 𝜺′ 𝒔 ∙ 𝑬 𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬 𝒔 ∙ 𝒂 − 𝜷 𝟏 ∙ 𝒅′ 𝒂 𝒇 𝒔 = 𝜺 𝒔 ∙ 𝑬 𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬 𝒔 ∙ 𝜷 𝟏 ∙ 𝒅 − 𝒂 𝒂 𝒐 𝒇 𝒚 Las fuerzas de la figura (c) tienen los valores siguientes: 𝑪 𝒔 = 𝒇′ 𝒔 ∙ 𝑨′ 𝒔 𝑪 𝒄 = 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′ 𝒄 ∙ 𝒂 ∙ 𝒃 𝑻 = 𝑨 𝒔 ∙ 𝒇 𝒔 Continuación del Caso 2: Por equilibrio en la figura (c): 𝒂 = 𝑨 𝒔 ∙ 𝒇 𝒔 − 𝑨′ 𝒔 ∙ 𝒇′ 𝒔 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′ 𝒄 ∙ 𝒃 Considerada en conjunto con las ecuaciones 𝒇′ 𝒔 = 𝜺′ 𝒔 ∙ 𝑬 𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬 𝒔 ∙ 𝒂 − 𝜷 𝟏 ∙ 𝒅′ 𝒂 𝒇 𝒔 = 𝜺 𝒔 ∙ 𝑬 𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬 𝒔 ∙ 𝜷 𝟏 ∙ 𝒅 − 𝒂 𝒂 𝒐 𝒇 𝒚 Para cada problema numérico particular, se resuelve para “a”: El momento nominal se obtiene tomando momentos a Cc y a Cs con respecto a T. 𝑴 𝒏 = 𝑪 𝒄 ∙ 𝒅 − 𝒂 𝟐 + 𝑪 𝒔 ∙ 𝒅 − 𝒅′ Excluyendo el área de concreto desplazada por A’s Para el caso 2: Donde el acero de compresión no cede y el acero a tracción cede o no cede. Por equilibrio en la figura (c): 𝒂 = 𝑨 𝒔 ∙ 𝒇 𝒔 − 𝑨′ 𝒔 ∙ 𝒇′ 𝒔 − 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′ 𝒄 𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇′ 𝒄 ∙ 𝒃 Considerada en conjunto con las ecuaciones 𝒇′ 𝒔 = 𝜺′ 𝒔 ∙ 𝑬 𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬 𝒔 ∙ 𝒂 − 𝜷 𝟏 ∙ 𝒅′ 𝒂 𝒇 𝒔 = 𝜺 𝒔 ∙ 𝑬 𝒔 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 ∙ 𝑬 𝒔 ∙ 𝜷 𝟏 ∙ 𝒅 − 𝒂 𝒂 𝒐 𝒇 𝒚 Para cada problema numérico particular, se resuelve para “a”: El momento nominal se obtiene tomando momentos a Cc y a Cs con respecto a T. 𝑴 𝒏 = 𝑪 𝒄 ∙ 𝒅 − 𝒂 𝟐 + 𝑪 𝒔 ∙ 𝒅 − 𝒅′ Para determinar la resistencia de diseño 𝝓 ∙ 𝑴 , hay que verificar si la sección está controlada por tracción, controlada por compresión o es una sección en transición. Si el acero a tracción no cede, la sección está controlada por compresión, entonces 𝜙 = 0,65 si el refuerzo transversal es de estribos, 𝜙 = 0,70

si es de espiral. Si el acero a tracción está en cedencia hay que chequear si la sección está controlada por tracción: Se determina la relación: 𝒂 𝑪𝑻𝑳 𝒅 𝒕 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 ∙ 𝜷 𝟏 Si 𝒂 𝒅 𝒕 ≤ 𝒂 𝑪𝑻𝑳 𝒅 , la sección está controlada por tracción y 𝜙 = 0,90 Si el acero a tracción está en cedencia pero 𝒂 𝒅 𝒕 > 𝒂 𝑪𝑻𝑳 𝒅 , la sección está en transición, se determina 𝜙 según las ecuaciones dadas en la figura siguiente: