Componente Radial

Componente radial, tangencial y normal de la velocidad y aceleración En ciertos problemas de movimiento plano, la posición de la partícula P se defne mediante sus coordenadas polares r y En ese caso es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de la partícula en componentes paralela y perpendicular, respectivamente, a la línea OP. Éstas se conocen como componentes radial y transversal.

Se unen a P dos vectores unitarios, er y e (fgura .!"b#. El vector e r est$ dirigido a lo largo de OP y el vector e se obtiene al rotar e r %&' en el sentido contrario al de las manecillas del relo. El vector unitario e r defne la dirección radial, esto es, la dirección en la cual P se movería si r aumentara y se mantuviera constante) el vector unitario e defne la dirección transversal, es decir, la dirección en la *ue P se movería si aumentara y r se mantuviera constante.

+onde e r denota un vector unitario de sentido positivo respecto a er. ediante la regla de la cadena, se e-presan las derivadas del tiempo de los vectores unitarios er y e del modo siguiente.

O, al utiliar puntos para indicar derivación con respecto a t.

Para obtener la velocidad v de la partícula P, se e-presa la posición del vector r de P como el producto del escalar r y el vector unitario e r y se deriva con respecto a t

O, al recordar la primera de las relaciones.

/l derivar otra ve con respecto a t para obtener la aceleración, se escribe

o, al sustituir e0r y e0, 1actoriar er y e,

2as componentes escalares de la velocidad y la aceleración en las variaciones radial y transversal son, por lo tanto,

Es importante advertir *ue ar no es igual a la derivada respecto al tiempo de vr y *ue a no es igual a la derivada en el tiempo de v. En el caso de una partícula *ue se mueve a lo largo de un

círculo de centro O, se tiene r constante y r0 3r &, y las 1órmulas se reducen, respectivamente, a

E-tensión al movimiento de una partícula en el espacio4 coordenada s cilíndricas. 2a posición de una partícula P en el espacio en algunas ocasiones se defne mediante sus coordenadas cilíndricas 5, y . En ese caso es conveniente utiliar los vectores unitarios e5, e y 6 *ue se indican en la fgura .!7b. /l descomponer el vector de posición r de la partícula P en componentes a lo largo de los vectores unitarios, se escribe

/l observar *ue e5 y e defnen, respectivamente, las direcciones radial

y transversal en el plano 8oriontal -y, y *ue el vector 6, el cual defne la dirección a-ial, es constante en dirección así como en magnitud, se verifca con 1acilidad *ue

Problemas resueltos respecto al tema componentes radial, tangencial y normal de la velocidad y aceleración.

1.- “Un automovilista viaja sobre una sección curva de una autopista de 2 500 ft  de radio a una rapidez de 60 mi/. !l automovilista aplica repentinamente los frenos" provocando #ue el automóvil se desacelere a una tasa constante. $i se sabe #ue despu%s de & s la rapidez se a reducido a '5 mi/" determine la aceleración del automóvil inmediatamente despu%s de #ue se an aplicado los frenos.( 

$olución)

Componente tangencial de la aceleración. Primero se

e-presan las velocidades en 1t9s. 60 mi

h

( )(

=

60 mi

h

5280

ft  1 mi

)(

1h 3600 s

)

=

88 ft 

s

45

 mi 66 ft  = h s

Como el automóvil desacelera a una tasa constante se tiene.

66 ft 

 ∆ v s at = promedio at = = ∆ t 

−88 ft / s 2

8s

=−2.75 ft / s

Componente normal de la aceleración. :nmediatamente

despu;s de *ue los 1renos se 8an aplicado, la rapide se mantiene en o cuando v sea pe*ue>o, o cuando an sea grande. 2a rapide v es mínima en la parte superior de la trayectoria, pues v* & en ese punto) an es m$-ima en el mismo punto, ya *ue la dirección de la vertical coincide con la dirección de la normal. Por lo tanto, el radio mínimo de curvatura ocurre en la parte superior de la trayectoria. En este punto, se tiene

v =v x =

155.9 m

s

2

155.9 m / s ¿

¿ ¿ 2

 v  p= =¿ an

 p=2480 m

a n=a =

9.81 m 2

s

?.@A2a rotación del brao +, de &.% m alrededor de + se defne mediante la relación &." t !" donde se e-presa en radianes y t en segundos. El collarín  deslia a lo largo del brao de modo tal *ue su distancia desde + es r &.% &.!t !, donde r se e-presa en metros y t en segundos. +espu;s de *ue el brao +, 8a girado ?&', determine a# la velocidad total del collarín, b# la aceleración total del collarín, c# la aceleración relativa del collarín con respecto al brao.= Solución4 Tiempo t al cual 30°. /l sustituir ?&' &."!B rad en la

e-presión para, se obtiene 2

θ= 0.15 t 

2

0.524= 0.15 t  t = 1.869 s

Ecuaciones de movimiento. Si se sustituye t .