complexe 3M

L.P.S SERIE D’EXERCICES SUR LES NOMPBRES COMPLEXES EXERCICE 1 :

3M

6 i 2 et z2  1  i . 2 z  6 2  6 2 a) Mettre sous forme trigonométrique z1, z2 et Z  1 . En déduire que cos  et sin  12 4 12 4 z2

Soit les nombres complexes : z1 

b) On considère l’équation d’inconnue réelle x : Résoudre cette équation dans EXERCICE 2 :





6  2 cos x 





6  2 sin x  2 .

et placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.



1) a) Montrer que pour tout z  C on a : z 2  2 z 3  12  z  3



2

 9

b) Résoudre alors dans C l’équation : z 2  2 z 3  12  0 c) Trouver les écritures trigonométriques des solutions de cette équation 2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé Soit les nombres complexes : a  3  i 3

et

O, u, v  (unité graphique 2cm )

b   3  3i

a) Placer les points A(a) ; B(b) et E(a+b)





b) Montrer que OA, OB 

 2

 2 

c) En déduire la nature du quadrilatère OAEB et déterminer l’écriture trigonométrique de l’affixe de E EXERCICE 3 : 1°) Dans l’ensemble des nombres complexes : a) Calculer ( 1 + i )2 . Montrer que ( 1 + i )6 = - 8i . b) En déduire alors les solutions dans de chacune des équations suivantes : ( E ) : z2 = - 8i , ( E’) : z3 = - 8i et ( E’’) : z2 – 2z + 1= 2i . 2°) Soit ( o, ⃗ , ) un repère orthonormé direct du plan . On considère les points A et B d’affixes respectifs ZA = - √ +i ZB = - 1 + i√ . a) Déterminer le module et un argument de : ZA ZB et de . , b) Préciser les coordonnées polaires de A et de B. Placer A et B dans le repère ( o, ⃗ , ) . 3) Soit * + ;on considère , les points I et M d’affixes , respectivement, ZI = et ZM = cos a) Déterminer les coordonnées cartésiennes de M. Colorer l’ensemble décrit par M lorsque b) Montrer que IM = √

.En déduire la valeur de

*

décrit *

+

+ pour que IM soit minimale .

EXERCICE 4 : Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormé direct  O, u, v  . 1) a) Calculer 1  i 3  b) En déduire l’ensemble des solutions dans

+ i .

2

de l’équation : Z2  2(1  i 3)Z  2(1  i 3)  0

2) Soient A et B les points d’affixes respectives zA  1  i  3  2 et zB  1  i  3  2  a) Placer les points A et B z b) Mettre le nombre complexe B sous forme algébrique. zA z  c) Donner une interprétation géométrique de arg  B  . En déduire la nature du triangle OAB.  zA  Re  Z   1    3) Soit     ,  . On désigne par Z le nombre complexe qui vérifie :   2 2 arg  Z     2 

a) Déterminer la forme algébrique de Z.  b) Prouver que tan    2  3 . En déduire arg  zA  et arg  zB  .  12  4) Soit M le point d’affixe Z  1  i tan  et I le point d’affixe ZI  2  2i .    a) Déterminer et construire l’ensemble des points M lorsque  décrit   ,  .  2 2 b) Déterminer graphiquement la position M 0 de M pour laquelle la distance OM  MI est minimale. 2 2 c) En déduire la valeur de  pour laquelle la valeur de  1   tan   1   2  tan    est minimale. EXERCICE 5 : 1) Résoudre dans l'équation : . √ On désignera par la solution dont la partie imaginaire est positive et par l'autre solution. 2) a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres et .

b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe ( ) . 3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct. (unité 1 cm), On considère le point M1 d'affixe √ , le point M2 d'affixe et √ le point A d'affixe a) Déterminer l'affixe du point M3, image de M2 par l'homothétie h de centre A et de rapport - 3. b) Déterminer l'affixe du point M4, image de M2 par la rotation r de centre O et d'angle c) Placer dans le même repère les points A, M1, M2, M3 et M4. d) Calculer

√

e) Soient I le milieu du segment [M3M4] et M5 le symétrique de M1 par rapport à I. Montrer que les points M1, M3, M5 et M4 forment un carré. EXERCICE 6 : Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé ⃗ . 1) Placer les points A, B et D d’affixes respectives zA = −2−2i, zB = 2 et zD = −2+2i. 2) Calculer l’affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C. 3) Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angle  centre D et d’angle

 . 2

 et F l’image de C par la rotation de 2

a. Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF. b. Placer les points E et F. 4. a. Vérifier que :

zF  z A i. zE  z A

c. En déduire la nature du triangle AEF.

 2

4) Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de centre I et d’angle  . EXERCICE 7 : Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormé direct  O, u, v  . 1/ a) b) 2/ a) b) c)

Calculer  2  i  En déduire l’ensemble des solutions dans de l’équation : Z2  2(2  i)Z  4(3  i)  0 Placer les points A, B et C d’affixes respectives zA  2  2i , zB  2  4i et zC  i z B Soit I le milieu du segment [BC]. Montrer que le triangle OIC est rectangle et isocèle en I. Déterminer et construire chacun des ensembles suivants :   M  z   P / i z  2  4i  z  et  F   M  z   P / 1  2i  z  1  7i   5 2 2

3/ Soit le nombre complexe a  2  1  i 2  1 a) Mettre z A sous forme trigonométrique.





b) Calculer a 2 .En déduire les valeurs exactes de cos  et sin  . 8 8 n c) Déterminer l’ensemble des entiers naturels n pour lesquels a est un réel strictement positif.