Completud de Los Numeros Reales
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Análisis Matemático I Actividad 2. Completitud en los números reales
Instrucciones: Realiza lo que se te indica en cada inciso. 1. Lee la siguiente demostración del teorema de Bolzano y completa los espacios vacíos. Del cuadro de abajo, elige y copia en el portapapeles lo que consideres e insértalo en el espacio que le corresponda. Puedes seleccionar lo mismo más de una vez y puedes no seleccionar ninguno de los elementos. αα ≤ an, an ≤ α, ε, –ε, α – ε N, |an – α | < ε Pero ésta es la definición de límite de una sucesión, por lo tanto: α Y podemos concluir que {an} converge a α . Lo que queríamos demostrar. Si suponemos que la sucesión es monótona no creciente, la demostración es análoga.
2. Determina cuáles de las siguientes sucesiones de intervalos, son un sistema de intervalos anidados. Argumenta muy bien tu determinación.
a) * +
20
13
Entonces; [
]
[
≤
]
[
≤
an≤ an+1 ,
]
≤
an+1≤ bn+1,
bn+1≤bn
Entonces:
Cumple con la condición. De que cada intervalo, contiene al siguiente ≤
Lo que significa que
≤
≤ Y La longitud de los intervalos tiende a cero, cuando n tiende a infinito (
)
/
0. (
)
1 [
(
(
)
)
]
Y La longitud de los intervalos tiende a cero, cuando n tiende a infinito (
)
0.
/
1
Entonces es un sistema de intervalos anidada
≤
≤
≤
b) * +
20
13
,
-
[
]
[
]
≤ an≤ an+1 ,
an+1≤ bn+1,
bn+1≤bn
No se cumple la condición.
Y La longitud de los intervalos tiende a cero, cuando n tiende a infinito (
c) 20
)
13 * +
0.
/
(
20
)1
0
1
13 ,
-
≤ an≤ an+1 ,
Se cumple con la primera condicion.
[
]
≤ an+1≤ bn+1,
[
]
≤ bn+1≤bn
(
)
)
[(
(
)]
(
)
(
)
Se cumple la primera pero no con la segunda condicion por lo que no es un sistema de intervalos anidada
d)
* +
20(
)
13 ,
-
[
≤
]
[
≤
an≤ an+1 ,
]
≤
an+1≤ bn+1,
bn+1≤bn
y (
)
[(
(
)
) ]
[(
)
]
( )
Se cumple las condiciónes entonces es un sistema de intervalos anidados
Demuestra que si
si
, entonces la sucesión *
, entonces la sucesión *
La definición de límite nos dice que:
+ es de Cauchy
+ es de Cauchy.
|
∈ℕ
|
Quiere decir que todos los terminos de la sucesion, excepto quiza los N primeros, caen dentro del intervalo (
), es decir su distancia a L es menor que ε.
En este caso se dice que L es el lımite de la sucesion. Lo mismo se cumple para cualquier |
|
|
|
Si (an) es convergente, sabemos que existe ℓ tal que para todo ε > 0, existe N, tal que para todo n ≥ N se tiene que |an − ℓ|
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