Completo Bianchini Mat8 Lp

Edwaldo Bianchini Licenciado em Ciências pela Universidade da Associação de Ensino de Ribeirão Preto, com habilitação em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras do Sagrado Coração de Jesus, Bauru (SP).

Matemática BIANCHINI

8 7a edição

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Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Cintia Alessandra Valle Burkert Machado, Débora Regina Yogui, Fabio Martins de Leonardo, Fernando Savoia Gonzalez, Kátia Takahashi, Marilu Maranho Tasseto, William Raphael Silva Assistência editorial: Daniela Santo Ambrosio, Leandro Baptista, Maria Cecília Bittencourt Mastrorosa, Maria Cristina Santos Sampaio, Roberto Henrique Lopes da Silva Preparação de texto: Cibely Aguiar de Souza Sala Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Aurélio Camilo Capa: Aurélio Camilo Foto de capa: Michel Porro/AFP Photo Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva Edição de infografia: Willian H. Taciro, Débora Yogui, Daniela Máximo, Luciano Baneza Gabarron Editoração eletrônica: Grapho Editoração Ilustrações: André Toma, André Vazzios, Guilherme Luciano, José Luís Juhas Cartografia: Alessandro Passos da Costa Coordenação de revisão: Elaine C. del Nero Revisão: Afonso N. Lopes, Luís M. Boa Nova, Maristela S. Carrasco, Millyane M. Moura, Nancy H. Dias, Viviane T. Mendes Pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron, Maria Magalhães As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informação e Documentação da Editora Moderna. Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Bureau São Paulo, Fabio N. Precendo, Rubens M. Rodrigues Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento:

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

© Edwaldo Bianchini, 2011

Bianchini, Edwaldo Matemática Bianchini / Edwaldo Bianchini. — 7. ed. — São Paulo : Moderna, 2011. Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. Bibliografia. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título 11-03033

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 ISBN 978-85-16-07091-5 (LA) ISBN 978-85-16-07092-2 (LP) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2790-1500 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2011 Impresso no Brasil 1 3

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Apresentação

Caro estudante, Este livro foi feito especialmente para você. Ele foi pensado, escrito e organizado com o objetivo de facilitar sua aprendizagem, além de ajudá-lo a perceber como a Matemática está presente em tudo o que acontece à sua volta. Aqui você vai encontrar exemplos de situações que permitem perceber que a Matemática faz parte do seu dia a dia.

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Leia com atenção as explicações teóricas, para acompanhar as aulas e resolver os exercícios. Faça deste livro um parceiro em sua vida escolar!

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O autor

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Conheça seu livro A estrutura de cada capítulo é muito simples, pois permite encontrar com facilidade os assuntos fundamentais, os exemplos, as séries de exercícios e as seções enriquecedoras.

Página de conteúdo

Página de abertura Cada capítulo é introduzido por uma imagem motivadora e questões do Matemática no mundo, que abordam o assunto do capítulo.

Exercícios O livro apresenta uma variedade de exercícios (de aplicação, de exploração, de sistematização, de aprofundamento), organizados segundo o grau de dificuldade.

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Contém a teoria explicada com linguagem clara e objetiva, apoiada por exemplos e ilustrações cuidadosamente elaborados para ajudar o entendimento da teoria.

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Tratamento da informação

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Esta seção trabalha temas de Tratamento da informação e Estatística, por meio de textos teóricos e atividades variadas.

Atividades especiais Estas seções apresentam atividades e objetivos diferentes: Pense mais um pouco... propõe atividades desafiadoras; Diversificando propõe que o aluno entre em contato com textos e atividades que envolvem temas variados.

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Sumário 1

Números reais

1. O caminho que fizemos com os números Os números naturais Os números inteiros Os números racionais Da forma decimal para a forma de fração

13

2. Números quadrados perfeitos

21

3. Raiz quadrada de números racionais Cálculo da raiz quadrada pela decomposição em fatores primos Raiz quadrada com aproximação natural Raiz quadrada com aproximação decimal

23

4. Os números irracionais e os números reais O número irracional s

29

5. A reta real O teorema de Pitágoras e a reta real

32

13 14 15 18

24 26 26 30 32

Tratamento da informação Construindo e interpretando um gráfico de linha

35

Diversificando 38

Jogo: Enfileirando

CAPÍTULO

2

Cálculo algébrico

1. A incógnita e a variável

40

2. Expressões algébricas Classificação das expressões algébricas Valor numérico de uma expressão algébrica

41

3. Os monômios Grau de um monômio Monômios semelhantes

46

4. Operações com monômios Adição algébrica de monômios Multiplicação e divisão de monômios Potenciação de monômios Raiz quadrada de um monômio

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CAPÍTULO

41 43 47 47 49 51 53 54

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5. Os polinômios Grau de um polinômio Polinômios com uma só variável

56

6. Operações com polinômios Adição de polinômios Subtração de polinômios Multiplicação entre polinômio e monômio Multiplicação entre dois polinômios Divisão de polinômio por monômio Divisão de polinômio por polinômio

59

CAPÍTULO

3

58 58 59 61 63 64 66 67

Produtos notáveis e fatoração

1. Os produtos notáveis Quadrado da soma de dois termos Quadrado da diferença de dois termos Produto da soma pela diferença de dois termos Cubo da soma e da diferença de dois termos

74

2. Fatoração de polinômios Fatoração colocando em evidência os fatores comuns Fatoração por agrupamento Fatoração da diferença de dois quadrados Fatoração do trinômio quadrado perfeito Fatoração da diferença e da soma de dois cubos

83

CAPÍTULO

4

74 77 79 81 84 86 87 90 92

Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

1. O conceito de fração algébrica

97

2. Simplificação de frações algébricas

98

3. Operações com frações algébricas Redução a um denominador comum Adição algébrica Multiplicação Divisão Potenciação

101

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101 102 104 105 106

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Sumário

4. Equações fracionárias Conjunto universo de uma equação fracionária Resolução de equações fracionárias

108

5. Equações literais

113

109 110

Tratamento da informação Calculando probabilidades

115

Diversificando

CAPÍTULO

5

Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

1. Resolução de sistemas O método da substituição O método da adição

121

2. Sistemas de equações fracionárias

125

3. Plano cartesiano

127

4. Solução gráfica de um sistema de equações do 1o grau

130

5. Classificação de um sistema Sistema determinado Sistema impossível Sistema indeterminado

134

CAPÍTULO

6

121 123

134 135 136

Retas e ângulos

1. As retas e os ângulos

142

2. Posição das retas Construindo retas paralelas com régua e compasso

143

3. Partes da reta Construindo segmentos congruentes com régua e compasso Determinando o ponto médio de um segmento com régua e compasso

145

4. Ângulos Bissetriz de um ângulo Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes Ângulos complementares e ângulos suplementares Ângulos opostos pelo vértice

149

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119

Onde está o erro?

144 147 148 150 153 153 155

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5. Retas perpendiculares Construindo perpendiculares com régua e esquadro

156

6. Ângulos formados por duas retas e uma transversal Ângulos correspondentes Ângulos alternos internos e ângulos alternos externos Ângulos colaterais internos e ângulos colaterais externos

158

157 158 161 165

Tratamento da informação Construindo um gráfico de setores

169

Diversificando

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Girando no parque CAPÍTULO

7

174

Polígonos

1. Os polígonos Elementos de um polígono

176

2. Número de diagonais de um polígono

178

3. Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono

179

4. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono

180

5. Polígonos regulares

182

6. Congruência de polígonos Elementos correspondentes em polígonos congruentes Transformações geométricas que geram figuras congruentes

185

177

185 186

Diversificando O RPG e os poliedros de Platão

CAPÍTULO

8

192

Triângulos

1. Os triângulos

194

2. Principais elementos de um triângulo

195

3. Classificação de triângulos Classificação quanto às medidas dos lados Classificação quanto às medidas dos ângulos

196

4. Construção de triângulos

197

196 197

Triângulo isósceles

197

Triângulo equilátero

198

Triângulo escaleno

198

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Sumário

5. Condição de existência de um triângulo

200

6. Outros elementos de um triângulo Mediana Bissetriz Altura

202

7. Congruência de triângulos Casos de congruência de triângulos

206

8. Propriedades que relacionam os ângulos de um triângulo

214

9. Demonstrações geométricas Noções primitivas e postulados Teoremas A congruência de triângulos nas demonstrações geométricas

218

10. Propriedades de um triângulo isósceles

225

11. Propriedade que relaciona os lados com os ângulos de um triângulo

227

202 203 203 208

219 220

Tratamento da informação Construindo um pictograma

229

Diversificando Fractais

CAPÍTULO

234

9

Quadriláteros

1. Os quadriláteros e seus principais elementos Ângulos de um quadrilátero

237

2. Paralelogramos Propriedades dos paralelogramos Propriedade dos retângulos Propriedade dos losangos Propriedade dos quadrados

239

3. Trapézios Propriedades dos trapézios isósceles

245

4. Propriedades da base média Propriedade da base média do triângulo Propriedade da base média do trapézio

249

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220

238 240 243 243 244 246 249 250

Tratamento da informação Interpretando um infográfico

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CAPÍTULO

10 Circunferência e círculo

1. A circunferência e seus elementos

258

2. O círculo

260

3. Posições relativas Posições relativas de um ponto em relação a uma circunferência Posições relativas de uma reta em relação a uma circunferência Posições relativas de duas circunferências

260

4. Segmentos tangentes a uma circunferência Triângulo circunscrito Quadrilátero circunscrito

267

5. Arcos e ângulos em uma circunferência Arco de circunferência Ângulo central Ângulo inscrito Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência

271

260 261 264 268 269 271 271 273 275

Diversificando Matemática na Arqueologia

280

Respostas

281

Lista de siglas

290

Sugestões de leitura para o aluno

292

Bibliografia

293

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Números reais

LI WEN/XINHUA PRESS/CORBIS/LATINSTOCK

CaPÍTULo

1

matemática no mundo A ginástica rítmica é um esporte caracterizado pela beleza e elegância dos movimentos. A modalidade exige treinamentos rigorosos e o uso de diversos aparelhos, como fi tas, arcos e bolas.

Agora, responda. • Um tablado de ginástica rítmica tem forma de um quadrado com área de 196 m2. Quanto mede o lado desse quadrado? 14 metros • Se esse tablado tivesse 225 m2, quanto seu lado mediria? 15 metros

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1 O caminho que fizemos com os números A História nos mostra que, à medida que as sociedades humanas foram se transformando, surgiu a necessidade de organizar muitas atividades, como a produção agrícola e o comércio. Uma das maneiras encontradas para organizar a produção foi o registro de quantidades dos alimentos cultivados e colhidos. Os povos antigos como os egípcios, sumérios, romanos e babilônios, criaram sistemas próprios de registro. Os babilônios, por exemplo, muitos séculos antes de Cristo, utilizavam símbolos na forma de cunha para representar números: • uma cunha “em pé” ( ) indicava o número 1. Ela podia ser repetida até nove vezes; Esses símbolos eram impressos em tábuas de argila, como essa da foto abaixo (criada entre 1800 a.C. e 1600 a.C.), que está no Museu de Louvre, em Paris. LIBRADO ROMERO/THE NEW YORK TIMES/LATINSTOCK

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• uma cunha “deitada” ( ) indicava o número 10. Ela podia ser repetida até cinco vezes.

O Sistema de Numeração Decimal usado atualmente por muitos povos originou-se de um desses sistemas antigos. Esse sistema é composto de dez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), denominados algarismos indo-arábicos.

Os números naturais Quando precisamos saber quantos objetos há em um determinado lugar ou quantas pessoas estão presentes em certo evento, por exemplo, estamos diante de uma situação de contagem. Números naturais são números que expressam o resultado de uma contagem.

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O conjunto dos números naturais é representado por v e pode ser escrito assim: v 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Com os números naturais podemos efetuar qualquer adição ou multiplicação. Já as subtrações e as divisões nem sempre são possíveis dentro do conjunto dos números naturais. Por exemplo: • (6 2 7) não pertence ao conjunto de números naturais, pois não há número natural que somado com 7 dê 6. • (8 4 5) não pertence ao conjunto de números naturais, pois não há número natural que multiplicado por 5 dê 8.

Os números inteiros O conjunto dos números inteiros, indicado por b, é composto de números positivos e números negativos. Assim, podemos escrever: b 5 {..., 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, ...} O surgimento dos números inteiros pode ser associado às situações cotidianas que exigem a representação de quantidades em relação ao referencial zero. Veja os exemplos.

225 wC (25 graus Celsius abaixo de zero).

14

CAPÍTULO 1

EDUARDO SANTALIESTRA/CID

EDUARDO SANTALIESTRA/CID

a) Nos termômetros, as temperaturas abaixo de zero grau Celsius são indicadas com números negativos e aquelas acima de zero grau, com números positivos. O referencial é 0 wC.

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Portanto, os números naturais não são sufi cientes para representar todas as situações do nosso dia a dia. Com eles não podemos representar, por exemplo, temperaturas abaixo de zero grau Celsius nem nossa altura em metro.

125 wC (25 graus Celsius acima de zero).

números reais

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b) Em uma a movimentação bancária, usamos números positivos para o saldo credor e números negativos para o saldo devedor. O referencial é o saldo zero (nem credor nem devedor). Movimentação de conta corrente (valores em reais) Dia

Histórico

Débito

22/3

saldo anterior

22/3

cheque 900392

23/3

depósito

Crédito

Saldo 170,00

2200,00

2130,00 1100,00

230,00

O titular dessa conta tinha, em 23 de março, saldo devedor de R$ 30,00, isto é, devia ao banco R$ 30,00.

Os sinais 1 e 2 à esquerda dos números são usados para indicar a posição que esses números ocupam em relação ao zero, quando organizados em ordem crescente ou decrescente: os menores que zero são negativos, e os maiores, positivos. Veja a representação de alguns números inteiros na reta.

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–4

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

+4

Os números inteiros não negativos (0, 11, 12, 13, 14, …) podem ser indicados simplesmente por 0, 1, 2, 3, 4, ... Observe que os números naturais pertencem ao conjunto dos números inteiros. b 5 {..., 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} números naturais

Com o surgimento dos números inteiros tornou-se possível efetuar subtrações em que o minuendo é menor que o subtraendo. Veja os exemplos. • 6 2 7 5 21

• 0 2 3 5 23

Mas as divisões continuam não sendo sempre possíveis no conjunto b. Por exemplo: (10 4 3) não pertece aos números inteiros.

Os números racionais Observe os números abaixo. • 1,25

• 0,777...

• 213

Esses números são números racionais, pois podem ser expressos na forma de fração com um número inteiro no numerador e um número inteiro não nulo no denominador. Veja. 13 5 7 • 0,777... 5 ​ __  ​ • 213 5 2​ ___ ​  • 1,25 5 ​ __  ​ 4 9 1 Assim, qualquer número racional pode ser considerado como resultado da divisão de dois números inteiros, com o divisor não nulo. Indicando o conjunto dos números racionais por B, podemos escrever:

 



a B 5 ​ __ ​   ​, com a e b inteiros e b % 0  ​ b

CAPÍTULO 1    números reais

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OBSERVAÇÕES 

Os números racionais podem ser escritos na forma fracionária e na forma decimal.



Um mesmo número tem infinitas representações fracionárias. Veja os exemplos.

6 8 2 4 • __ 5 __ 5 __ 5 ___ 5 ... 3 6 9 12

Os números naturais e os números inteiros também são números racionais, pois podem ser escritos na forma de fração. Veja alguns exemplos na tabela abaixo. Número natural

Número inteiro

Número racional

X

X

X

X

X

3 24 1 __

X

20,7

X

5

Agora, com os números racionais, todas as divisões entre números inteiros (e entre racionais) são possíveis, desde que o denominador não seja nulo.

Exercícios PROPOSTOS 1 Que operação é impossível de ser realizada apenas com números naturais? b a) 3 1 7

b) 5 2 235

c) 0 2 0

d) 7 2 0

e) 3 3 0

f) 3 3 7

2 Enquanto um avião está à altitude de 5,8 km, um submarino está à profundidade de 0,24 km.

15,8 km, 20,24 km; referencial: nível do mar

a) Represente essas medidas com números inteiros e explique qual foi o referencial utilizado. b) Os números 5,8 e 0,24 são números racionais? Eles estão escritos na forma de fração?

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5 10 15 20 • 5 5 __ 5 ___ 5 ___ 5 ___ 5 ... 4 2 1 3

Sim, eles são números racionais. Não, eles estão escritos na forma decimal. 20 12 2___ e 1___ 10 4

3 Entre os números a seguir, quais são inteiros? 3 2__ 2

1 __ 3

20 2___ 10

4 2___ 12

12 1___ 4

4 Identifique as sentenças falsas. Em seu caderno, justifique com um exemplo. a) b) c) d) e) f) g)

Todo número natural é inteiro. V Todo número inteiro é racional. V Todo número natural é racional. V Todo número que pode ser escrito na forma de fração é racional. V Todo número natural é um número inteiro positivo. F Todo número inteiro é natural. F 4e) O zero não é um número inteiro positivo. f) Por exemplo, 21 não é um número natural. Todo número racional é inteiro. F g) Por exemplo, 0,5 não é um número inteiro.

5 Quantos números inteiros existem:

nenhum

a) entre dois números inteiros consecutivos? c) entre 0 e 10, entre 0 e 100, entre 0 e 1.000.000? 9, 99, 999.999 b) entre 1 e 9, entre 21 e 1, entre 29 e 9? 7, 1, 17 16

CAPÍTULO 1

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NÚMEROS REAIS

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2.

3,25

3

Pense mais um pouco...

4

5

7

3,5

1. Calcule os números racionais: a)  a, que é a média aritmética de 3 e 7; 5 c)  c, que é a média aritmética de 3 e b; b)  b, que é a média aritmética de 3 e a; 4 d)  d, que é a média aritmética de 3 e c. 2. Represente os números racionais 3, a, b, c, d e 7 na reta numérica.

3,5 3,25

3. As médias aritméticas de dois números obtidas na atividade 1 estão entre esses dois números?

sim

4. É possível calcular os números e, f, g, h, …, que sejam as médias aritméticas, respectivamente, de 3 e d, de 3 e e, de 3 e f, de 3 e g, e assim por diante? Espera-se que os alunos respondam afirmativamente. 5. Considerando os itens acima, use sua intuição para dizer quantos números racionais existem entre 3 e 7, bem como quantos números racionais existem entre dois números racionais distintos quaisquer. Espera-se que os alunos respondam que existem infinitos números racionais.

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Representações dos números racionais Nessa rápida retomada sobre a necessidade de ampliar os conjuntos numéricos, é possível notar que os algarismos indo-arábicos servem para representar todos os números que constituem esses conjuntos. Notamos também que há duas representações possíveis para todos os números racionais: a fracionária e a decimal. Na tabela a seguir, há algumas, dentre as infinitas, representações fracionária e decimal de alguns números racionais. Número racional

Algumas representações

22

18 2​ ___ ​  9

22,0

1 ​ __ ​  4

4 ___ ​    ​ 

0,25

4 ___ ​    ​ 

8 ​ ___  ​  22

0,3636...

25,3

53 2​ ___  ​ 10

25,300

32 ​ ___  ​ 15

64 ​ ___  ​ 30

2,1333...

6

12 ​ ___ ​  2

6,000

11

16

Alguns números racionais podem ser representados por uma fração decimal, isto é, de denominador 10, 100, 1.000 etc. Veja alguns exemplos. 25 6.000 20 1 53 • ​ __ ​   5 ​ ____  ​  • 25,3 5 2​ ___  ​ • 6,000 5 ​ ______   ​ • 22 5 2​ ___  ​ 4 10 100 1.000 10 frações decimais

CAPÍTULO 1    números reais

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32 4 não podem ser representados por uma fração decimal. No entanto, Já os números ___ e ___ 11 15 eles podem ser escritos na forma decimal. Para isso, basta dividir o numerador pelo denominador: 32 4 • ___ 5 2,1333... • ___ 5 4 4 11 5 0,3636... 11 15 Note que as representações 0,3636… e 2,1333… apresentam infi nitas casas decimais e periódicas. Em 0,3636… as reticências indicam que 36 — chamado de período — continua se repetindo indefi nidamente. Em 2,1333… temos uma representação decimal periódica de período 3. A representação decimal periódica infi nita recebe o nome de dízima periódica. Uma dízima periódica pode ser escrita abreviadamente, colocando-se um traço sobre o período. Veja a representação abreviada das seguintes dízimas periódicas: __

__

• 1,2777... 5 1,2 7

___

• 20,1313... 5 20, 13

__

• 0,21888... 5 0,21 8

Exercícios PROPOSTOS 7. A quantidade de zeros no denominador de uma fração decimal é igual à quantidade de casas após a vírgula na representação decimal dessa fração.

6 Dê a representação decimal das seguintes

frações decimais. 35 542 a) ___ 3,5 c) ____ 5,42 10 100 28 12 b) ____ 0,28 d) _____ 0,012 100 1.000 7 Observando os resultados do exercício anterior, escreva qual é a relação existente entre a quantidade de zeros do denominador de uma fração decimal e a quantidade de casas após a vírgula na representação decimal dessa fração.

8 Represente cada fração na forma decimal. 2 a) __ 0,4 5 5 __ b) 0,8333... 6

11 c) ___ 3,666... 3 45 d) 2___ 25,625 8

11 e) 2___ 90 20,1222...

9 Represente cada dízima periódica na forma abreviada e_ determine o seu período. 0,2; período 2

a) 0,222… b) 20,313131… __ 20,31; período 31

_

c) 0,56777… 0,567; período 7 d) 22,4151515... __ 22,415; período 15

10 Somando os dois números de cada item, obtemos outro número na forma de dízima periódica. Determine em cada caso essa dízima periódica na forma abreviada. _

a) 2,444… e 5,111… 7,5 _ b) 2,5 e 3,222… 5,72

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• 2,555... 5 2, 5

11 Agora, calcule as subtrações. a) 9,5555... 2 3,1111... 6,4444... b) 7,333... 2 2,333... 5 c) 6,8888... 2 4,5888... 2,3

Da forma decimal para a forma de fração Já lidamos com a transformação de um número escrito na forma de fração para a forma decimal. Para tanto, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador, por exemplo: 1 __ 5 1 4 5 5 0,2 5

10 5 0 0,2

Vamos ver agora como transformar um número da forma decimal para a forma de fração. 18

CAPÍTULO 1

números reais

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Números decimais exatos Quando o número tem uma quantidade finita de casas decimais, a leitura dele nos dá uma boa pista para expressá-lo na forma de fração. Veja alguns exemplos. 2 • 0,2 5 dois décimos 5 ​ ___  ​  10 leitura

um zero uma casa decimal

325 • 5,325 5 cinco inteiros, trezentos e vinte e cinco milésimos 5 5 ​ ______  ​  1.000 leitura

três zeros

três casas decimais

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OBSERVAÇÃO CC

Quando transformamos um número da forma decimal para a forma de fração, podemos simplificar a fração até torná-la irredutível. Veja os exemplos.

2 1 • 0,2 5  ___ ​    ​   5  __ ​   ​  5 10 325 5.325 ____ 213  ​  5  ​   ​  • 5,325 5 5 ______ ​    ​    5  ______ ​    1.000 1.000 40

Dízimas periódicas Quando o número tem infinitas casas decimais, por exemplo o número 0,55555…, procedemos do seguinte modo: • chamamos o número 0,55555… de x e escrevemos a igualdade x 5 0,55555… • multiplicamos os dois membros por 10, obtendo uma nova igualdade: 10x 5 5,55555… • subtraímos a primeira igualdade da segunda, membro a membro:

X

10x 5 5,55555... x 5 0,55555... 9x 5 5 5 9x ___ ​   ​   5 ​ __  ​ 9 9 5 x 5 ​ __  ​ 9

5 Logo: 0,55555... 5 ​ __ ​  9 Nesse caso, os dois membros da primeira igualdade foram multiplicados por 10. De maneira geral, eles devem ser multiplicados por uma potência de base 10 conveniente (10, 100, 1.000, …), a fim de deslocar a vírgula para a direita do primeiro período. Desse modo, ao subtrair as igualdades, eliminamos a dízima. CAPÍTULO 1    números reais

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19

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Veja alguns exemplos. a) 2,373737…

b) 3,2151515...

Chamando 2,373737… de x, obtemos a igualdade x 5 2,373737… Multiplicando os dois membros dessa igualdade por 100, obtemos: 100x 5 237,3737… Subtraindo a primeira igualdade da segunda, membro a membro, temos:

10x 5 32,151515... (I) Multiplicando os dois membros da primeira igualdade por 1.000, obtemos: 1.000x 5 3215,1515... (II)

2,3737...

X

99x 5 235 235 x 5 ____ 99

1.000x 5 3215,1515... 10x 5

32,151515...

990x 5 3.183 1.061 3.183 x 5 ______ 5 ______ 990 330

235 Logo: 2,3737... 5 ____ 99

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x5

Multiplicando os dois membros dessa igualdade por 10, temos:

Subtraindo (I) de (II), temos:

100x 5 237,3737...

X

Seja x 5 3,2151515...

1.061 Logo: 3,2151515 5 ______ 330

c) Se x 5 4,232323..., devemos multiplicar os dois membros por 100. 100x 5 423,2323... d) Se x 5 0,518518..., devemos multiplicar os dois membros por 1.000. 1.000x 5 518,518518... e) Se x 5 2,5313131..., devemos multiplicar os dois membros por 1.000. 1.000x 5 2.531,3131...

Exercícios PROPOSTOS 12 Qual é a fração irredutível que representa o número 0,36?

9 ___ 25

__

13 Expresse os números abaixo na forma de fração. a) 3,444… __ 113 2___ b) 212,5 9

31 ___ 9

5 __ 11

___

c) 0,45 d) 20,31222...

o valor das expressões. __

__

b) 0,27 1

20

CAPÍTULO 1

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8 ___

15 __ 47 2,3 ___ 18

__

__

___

1 __ 8

___

132 ____ 245

15 Dividindo um número x por um número y, 281 2____ 900

14 Determine a fração irredutível que representa a) 0,2 1 0,3

@ #@ # 5 24 f) @ 2 0,3 # 4 @ 2 1,47 # 7 11 __ 5 9 e) __ 2 2,4 3 2____ 8 131

__

c) 0,38 1 1,45 __ 2 d) 1,8 3 ___ __29 17

83 ___ 45

obtém-se 2,555… Determine o valor de x e de y, sabendo que eles são números primos entre si. x 5 23 e y 5 9

16 Sendo x um número decimal, resolva a equa1 1 ção: __x 1 __ 5 0,2x 1 0,1333... 3 2

x 5 22,75

NÚMEROS REAIS

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17 Em uma caixa há bolas numeradas de 1 a 7. Márcio retira

três bolas consecutivas sem recolocá-las na caixa para representar um número A. O número retirado na primeira bola representará as unidades de A, o número da segunda bola vai representar os décimos de A e o da terceira bola, os centésimos. a) Márcio retirou os números 6, 4 e 2, nessa ordem. Qual é o número A formado nesse caso? Indique-o por uma fração 321 ​   ​  irredutível. ____ 50 b) Se, em seguida, Márcio retirar mais três bolas, qual é o maior número A possível que poderá ser sorteado com a retirada dessas bolas? E o menor? 7,53; 1,35

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2 Números quadrados perfeitos Se um número natural é igual a um número natural elevado ao quadrado, ele é chamado de quadrado perfeito. Observe os exemplos. a) 4 é quadrado perfeito, pois 4 5 22. b) 32 não é quadrado perfeito, pois não existe um número natural que elevado ao quadrado resulte em 32. c) 81 é quadrado perfeito, pois 81 5 92. Para produzir números quadrados perfeitos, escolhemos um número natural e o elevamos ao quadrado. Por exemplo, 12 é um número natural; então 122 5 144 é um quadrado perfeito. Veja o que ocorre quando decompomos 12 e 144 em fatores primos. 12

2

6

2

3

3

1

2 fatores iguais a 2 1 fator igual a 3

144

2

72

2

36

2

18

2

9

3

3

3

4 fatores iguais a 2

2 fatores iguais a 3

1 Observe que 144 tem o dobro de fatores primos de 12. Assim: 12 tem 2 fatores iguais a 2 e 1 fator igual a 3. 144 tem 4 fatores iguais a 2 e 2 fatores iguais a 3. Desse modo, para identificar se um número é quadrado perfeito, basta decompô-lo em fatores primos e verificar se o número de cada um desses fatores é par. Acompanhe mais dois exemplos. CAPÍTULO 1    números reais

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21

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a) Verificar se 324 é um quadrado perfeito.

Para verificar se 324 é um quadrado perfeito, decompomos 324 em fatores primos. 324

2

162

2

81

3

27

3

9

3

3

3

2 fatores iguais a 2

324 5 22 3 34

4 fatores iguais a 3

1

Note que todos os expoentes dos fatores são pares. Então, 324 é um quadrado perfeito.



Veja dois modos de encontrar o número que gerou o quadrado perfeito 324: 2



324 5 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 5

2 2

5 2 3 ​(3 )​ ​5

5 (2  3  3  3  3)2 5

5 ​(2 3 32)​2​5

5 182

 182 5 Então, podemos dizer que 324 é um quadrado perfeito porque existe o número natural 18 que elevado ao quadrado dá 324.

b) Verificar se 72 é um quadrado perfeito. 72

2

36

2

18

2

9

3

3

3

3 fatores iguais a 2

2 fatores iguais a 3

ímpar

72 5 23 3 32

1

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324 5 22 3 34 5

Note que 72 tem um número ímpar de fatores iguais a 2. Então, 72 não é um quadrado perfeito.

Representação geométrica Podemos representar geometricamente um número quadrado perfeito. Por exemplo, com 36 quadradinhos iguais é possível formar um novo quadrado, conforme a figura ao lado, porque 36 é um número quadrado perfeito. Veja abaixo que com 8 quadradinhos iguais não é possível formar um novo quadrado, pois 8 não é quadrado perfeito.

6 colunas

6 linhas

Total de quadradinhos: 6 3 6 = 62 = 36

22

CAPÍTULO 1    números reais

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22/07/11 09:03

Exercícios PROPOSTOS 18 Determine os quadrados perfeitos entre 100 e 200.

121, 144, 169 e 196

19 Efetuando a decomposição em fatores primos,

verifique quais dos seguintes números são quadrados perfeitos. 225, 441, 576 e 784 a) 225 c) 441 e) 576 b) 360 d) 480 f) 784

20 Com 144 quadradinhos iguais Fernando

pode construir um quadrado. Quantos quadra di nhos há em cada linha desse novo quadrado? 12 quadradinhos

21 Com quantos quadradinhos iguais posso cons-

truir um quadrado que tenha 8 quadradinhos em cada linha? 64 quadradinhos

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3 Raiz quadrada de números racionais Vimos que, quando determinamos o quadrado de um número natural, encontramos um número quadrado perfeito. Por exemplo: 152 5 225 Nesse caso, podemos dizer: • 225 é o quadrado de 15; • 15 é a raiz quadrada de 225, o que indicamos assim: 15 5 dllll 225   . O mesmo ocorre com qualquer número racional não negativo. Veja estes exemplos. lll 2 4 2 2 2 4 4 • __ é a raiz quadrada de ___ , pois __ 5 __ . 5 ___ ; isto é, ___   5 5 5 25 25 25

@  #

d

• dlllll 1,44   5 1,2, porque (1,2)2 5 1,44. • Se 132 5 169, então 13 5 dllll 169   .

Representação geométrica Da mesma maneira que representamos os números quadrados perfeitos pela quantidade de quadradinhos que formam um quadrado maior, também podemos relacionar a raiz quadrada de um número com a medida do lado de um quadrado. Por exemplo, uma região quadrada com 144 m2 de área tem o lado medindo 12 m, pois 122 5 144. Então, 12 5 dllll 144   .

144 m²

12 m

12 m

Assim, para encontrar a medida c do lado de um quadrado, sabendo que a área do seu interior é A, basta encontrar a raiz quadrada de A. c 5 dll A​​ , pois c2 5 A CAPÍTULO 1

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números reais

23

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Veja outro exemplo. A área de um jardim quadrado é 256 m2. Para determinar a medida c do lado desse jardim, temos de encontrar d​ llll 256 ​  , pois c2 5 256. Como o número c gera o quadrado perfeito 256, então ele pode ser encontrado decompondo 256 em fatores primos. Assim, podemos escrever: 256 5 28 5 (​ 24)​2​5 162 c

Portanto, o lado do jardim mede 16 m.

Cálculo da raiz quadrada pela decomposição em fatores primos

Esse fato também nos permite encontrar o número que gerou o quadrado perfeito. Esse número gerador é a raiz quadrada do quadrado perfeito dado. Veja os exemplos. 225 ​  . a) Calcular ​dllll 225

3

75

3

25

5

5

5

32 52

número par de fatores

225 5 32 3 52 5 (3 3 5)2 5 152

1

Então, 225 5 152 e, portanto, d​ llll 225 ​  5 15.



Esse procedimento nos fornece um meio de determinar a raiz quadrada de um quadrado perfeito.

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Já vimos que, para identificar um número quadrado perfeito, verificamos se ele tem uma quantidade par de cada um de seus fatores primos.

324 ​  . b) Determinar d​ llll

Decompondo 324 em fatores primos, temos: 324

2

162

2

81

3

27

3

9

3

3

3

22 32 32

324 5 22 3 32 3 32 324 5 (2 3 3 3 3)2 324 5 182

1

24



Como 324 5 182, temos que d​ llll 324 ​  5 18.



Observe que 18 decomposto em fatores primos (18 5 21 3 31 3 31) tem a metade dos fatores primos de 324. CAPÍTULO 1    números reais

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Assim, de um modo prático, podemos dizer que, para extrair a raiz quadrada de números inteiros quadrados perfeitos, procedemos assim: • primeiro, decompomos o número em fatores primos; • a seguir, dividimos cada expoente por 2; • fi nalmente, efetuamos a multiplicação obtida. No caso de números racionais representados por fração, decompomos o numerador e o denominador em fatores primos e, a seguir, calculamos a raiz quadrada de cada um deles. Veja alguns exemplos.

d

llllll llll 36 22 3 32 2 3 3 6 • ____ 5 ______   4   5 _____ 5 ___ 2 25 625 5 5

d

d

llllll llllll 36 1.296 24 3 34 ______ 22 3 32 4 3 9   5 ______ 5 ___ 5 3,6 12,96   5 ______ 2 2   5 5 _____ • dllllll 2 3 5 100 10 10 2 3 5

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d

Exercícios PROPOSTOS 22 Justifique as igualdades.

(0,8)2 5 0,64

a) dllll 0,64   5 0,8

64 64 8 @ 158 # 5 225 b) d ____   5 ___ 225 15 ___

2

____

llll

(25 3 3)2 5 210 3 32

c) dllllll 210 3 32   5 25 3 3

d

llll 1,69 13 d) ____   5 ___ 4 20

1,69 169 5 @ 2013 # 5 400 4 ___

2

____

____

23 Extraia a raiz quadrada dos seguintes números pela decomposição em fatores primos. a) 256 16 d) 484 22 g) 1.600 40 b) 196 14 e) 729 27 h) 1.024 32 c) 576 24 f) 1.225 35 i) 1.296 36

24 Sendo x 5 24 3 132, calcule a raiz quadrada

27 Usando a decomposição em fatores primos, calcule a raiz quadrada de: 25 5 225 15 a) ____ ___ c) ____ ___ 576 24 729 27 64 8 b) _____ ___ d) 6,25 2,5 1.225 35

e) 19,36 4,4 f) 0,01 0,1

28 Ivan vai construir uma pipa colorida na forma de

um quadrado. Para essa construção, ele recortou um quadrado de papel azul com área igual a 2.500 cm2, três quadrados de papel amarelo de área igual a 900 cm2 cada um e dois retângulos de papel vermelho de 20 cm por 30 cm. Qual será a medida do lado dessa pipa? 80 cm

de x. dllx  5 52

25 Um paliteiro de base quadrada tem a forma da figura ao lado. Sabendo que a área das faces laterais do paliteiro é 162 cm2 e que a área de todas as faces é 202,5 cm2, determine a medida a do lado da base desse paliteiro. a 5 4,5 cm

a

26 A área de um quadrado é 23,04 cm2. Calcule o perímetro desse quadrado. 19,2 cm

29 Um salão na forma de um quadrado tem seu piso coberto com 10.800 lajotas retangulares de 40 cm por 30 cm. Determine: a) a área do salão; 1.296 m b) as dimensões do salão. 36 m por 36 m 2

CAPÍTULO 1

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números reais

25

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Raiz quadrada com aproximação natural Vimos que os números quadrados perfeitos têm como raiz quadrada um número natural que elevado ao quadrado reproduz o número dado. Vejamos o que acontece quando queremos extrair a raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito. Por exemplo, vamos calcular a raiz quadrada do número 31. Que número elevado ao quadrado dá 31? Vamos testar alguns números. 42 5 16 52 5 25

31 está entre 25 e 36

62 5 36

Como 31 está entre os números 25 e 36, então d lll 31   deve estar compreendida entre

25   e dlll 36   . dlll

Como dlll 25   5 5 e dlll 36   5 6, concluímos que dlll 31   está entre 5 e 6. Dizemos, então, que: • 5 é a raiz quadrada aproximada por falta do número 31. • 6 é a raiz quadrada aproximada por excesso do número 31. Em geral, considera-se raiz quadrada aproximada de um número não quadrado perfeito a raiz quadrada aproximada por falta. Indica-se que 5 é a raiz quadrada aproximada por falta de 31 escrevendo-se: d lll 31   7 5 (lemos: “a raiz quadrada do número 31 é aproximadamente igual a 5”)

Exercícios PROPOSTOS 30 Considere o número 110 e responda às questões. a) Entre que números quadrados perfeitos ele está compreendido? 100 e 121 10 e 11 b) A raiz quadrada desse número está compreendida entre quais números naturais? c) Qual é a raiz quadrada por falta de 110? 10

31 Qual é o menor número natural que devemos somar a 650 para obter um número quadrado perfeito? 26

32 Faça estimativas para obter o valor aproxi-

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5 , dlll 31   , 6

mado de: a) dlll 51  7 7 b) 50 3 dlll 51  7 350 c) 200 3 dlll 51  7 1.400 Como você pode comprovar seus resultados? resposta possível: com uma calculadora

33 No século XX, qual foi o único ano representado por um número quadrado perfeito?

1936

Raiz quadrada com aproximação decimal Vamos agora aprender a calcular a raiz quadrada com aproximação decimal de um número que não é quadrado perfeito. Considere, como exemplo, o número 2. Qual é o número racional que elevado ao quadrado dá 2? Vejamos: 1 não pode ser, porque 12 5 1 2 não pode ser, porque 22 5 4 26

CAPÍTULO 1

números reais

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2 ​ é um número compreendido entre 1 e 2. Dessa forma, d​ ll 1

2 2 1<

2 < 2

Como não existe nenhum número inteiro cujo quadrado dê 2, dizemos que 1 é a raiz quadrada aproximada do número 2. Procuremos, então, um número com uma casa decimal cujo quadrado seja mais próximo de 2: (1,1)2 5 1,21 (menor que 2) (1,2)2 5 1,44 (menor que 2) (1,3)2 5 1,69 (menor que 2) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

(1,4)2 5 1,96 (menor que 2) (1,5)2 5 2,25 (maior que 2)

2 está entre 1,96 e 2,25

Também não existe número com uma casa decimal cujo quadrado seja 2. Logo, ​dll 2 ​ é um número compreendido entre 1,4 e 1,5. 1

1,4

1,5

2

2 1,4 <

2 < 1,5

Nesse caso, dizemos que a raiz quadrada aproximada do número 2 com uma casa decimal 2 ​ 7 1,4. é 1,4 e escrevemos ​dll Procuremos uma aproximação maior, com duas casas decimais, para a raiz quadrada de 2: (1,41)2 5 1,9881 (menor que 2) (1,42)2 5 2,0164 (maior que 2) 2 ​ é um número compreendido entre 1,41 e 1,42. Logo, ​dll 1,41

1,42

1

2 2 1,41 <

2 < 1,42

Então, podemos dizer que a raiz quadrada do número 2 com duas casas decimais é 1,41 e 2 ​ 7 1,41. escrevemos ​dll Assim prosseguindo, encontraremos a raiz quadrada aproximada de 2 com quantas casas decimais desejarmos, sem, entretanto, encontrar um número decimal cujo quadrado dê 2. CAPÍTULO 1    números reais

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27

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Veja outros exemplos. a) Calcular a raiz quadrada do número 58 com duas casas decimais. 72 5 49 (menor que 58)



2

7 é a raiz quadrada aproximada de 58.

Então: 7 , dlll 58  , 8



8 5 64 (maior que 58) (7,1)2 5 50,41 (menor que 58)



(7,2)2 5 51,84 (menor que 58)



(7,5)2 5 56,25 (menor que 58)



(7,6)2 5 57,76 (menor que 58)



(7,7)2 5 59,29 (maior que 58) (7,61)2 5 57,9121 (menor que 58) (7,62)2 5 58,0644 (maior que 58)

58  , 7,7 Então: 7,6 , dlll

7,6 é a raiz quadrada aproximada com uma casa decimal do número 58.

Então: 7,61 , dlll 58  , 7,62

Então, a raiz quadrada de 58 com duas casas decimais é 7,61. Escrevemos dlll 58   7 7,61



b) Calcular a raiz quadrada do número 7,2 com uma casa decimal. O número 7,2 está compreendido entre os quadrados perfeitos 4 e 9. Então: dll 4   , dllll 7,2   , dll 9   , ou seja, 2 , d llll 7,2   , 3

A raiz quadrada de 7,2 é um número compreendido entre 2 e 3.



Vamos começar testando 2,5. (2,5)2 5 6,25 (menor que 7,2) (2,6)2 5 6,76 (menor que 7,2) (2,7)2 5 7,29 (maior que 7,2)

Então: 2,6 , dlll 7,2  , 2,7

Logo, a raiz quadrada do número 7,2 com uma casa decimal é 2,6. Escrevemos dllll 7,2   7 2,6. OBSERVAÇÃO CC

Vimos que d ll 2   7 1,41. Geometricamente, isso signifi ca que um quadrado com 2 cm2 de área tem lados de medida 1,41 cm, aproximadamente, pois (1,41)2 7 2.

2 cm2

1,41 cm

1,41 cm

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Exercícios PROPOSTOS 34 Verifique se 1,7 pode ser considerado uma raiz aproximada de 3.

sim

35 Entre os números 3,87 e 3,88, qual deles mais se aproxima de dlll 15  ?

3,87

36 Qual é o número com uma casa decimal que apresenta a raiz quadrada aproximada de 265?

16,2

37 Calcule as seguintes raízes quadradas aproxi-

madas com uma casa decimal. a) dlll 11  3,3 c) dll 8  2,8 e) 572 23,9 g) 42,55 6,5 ll d b) 5  2,2 d) dlll 10  3,1 f) 28,19 5,3 h) 12,6 3,5

28

CAPÍTULO 1

38 Nas expressões a seguir, calcule as raízes quadradas com uma casa decimal. Depois, efetue as operações indicadas. dlll 85   a) dll 6   1 dlll 21  6,9 c) ______ 4,3 dllll 4,69  

12  3 dll 8  b) dlll

9,52

d) 2 3 dlll 50  2 3 3 dlll 75  211,8

39 Veja o que Marta escreveu: dlllll 72,56   7 8,a. Que algarismo deve ser colocado no lugar de a para que o número 8,a represente a raiz quadrada aproximada de 72,56 com uma casa decimal? 5

números reais

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4 Os números irracionais e os números reais Considere o número: 0,101112… Observando a formação desse número, vamos supor que podemos dar continuidade à sua parte decimal: 0,10111213…; 0,1011121314…; e assim por diante. A representação decimal desse número tem infinitas casas decimais e não é periódica; portanto, esse número não pode ser escrito como fração. Logo, ele não é racional. Veja este outro número: 0,52552555255552... um cinco dois cincos três cincos

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

quatro cincos

Imaginando que esse padrão continua, vamos acrescentar mais seis algarismos à sua parte decimal: 0,52552555255552555552... cinco cincos

A representação desse número também não é decimal exata nem periódica; portanto, esse número não pode ser expresso por uma fração. Logo, não é um número racional. Dessa maneira, concluímos que existem números que não são representados nem na forma decimal exata (com um número finito de casas decimais) nem por uma dízima periódica. Portanto, não podem ser representados por frações e, consequentemente, não são números racionais. Esses números são chamados de números irracionais. Considere agora a representação decimal dos números ​dll 2 ​ e ​dll 3 ​ com sete casas decimais: 2 ​ 7 1,4142135  e  d​ ll 3 ​ 7 1,7320508 ​dll Por maior que seja o número de casas decimais que queiramos dar a esses números, nunca encontraremos para eles uma representação decimal exata ou periódica e, portanto, não en2 ​ e ​dll 3 ​ são números contraremos frações que os representem. Em vista disso, dizemos que ​dll irracionais. Também é irracional toda raiz quadrada de um número racional positivo que não seja quadrado perfeito. Como exemplo de números irracionais temos: 5 ​  • ​dll

• d​ ll 6 ​ 

• d​ ll 8 ​ 

• d​ lll 10 ​ 

Todos os números irracionais com todos os números racionais formam um novo conjunto chamado de conjunto dos números reais, que é representado por V. Logo, todo número racional ou irracional é um número real. CAPÍTULO 1    números reais

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29

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O número irracional s Considere a seguinte situação. Para traçar o canteiro de azaleias de uma praça, Luís, o jardineiro, usou uma corda presa a duas hastes de madeira, uma em cada ponta.

O traçado obtido pelo jardineiro é uma circunferência. Em seguida, com uma enxada, ele fez um sulco sobre a circunferência. Desejando saber o comprimento dessa circunferência, ele colocou uma trena acompanhando o sulco.

Assim, ele verifi cou que a circunferência media, aproximadamente, 18,84 m.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Fincando uma das hastes no chão e mantendo a corda esticada, riscou a terra com a outra haste, dando uma volta completa.

A distância entre as duas hastes era de 3 m. Isso quer dizer que ele havia traçado uma circunferência de 3 m de raio, ou seja, de 6 m de diâmetro. Como de costume, por curiosidade Luís dividiu o comprimento da circunferência pela medida do diâmetro (18,84 4 6). O resultado foi o que ele já esperava: 3,14 (aproximadamente). Sempre que Luís faz essa divisão ele obtém aproximadamente 3,14, independentemente do diâmetro da circunferência. Na verdade, os matemáticos já provaram que a razão entre o comprimento da circunferência e a medida de seu diâmetro é um número (próximo de 3,14) que, na forma decimal, apresenta infi nitas casas não periódicas. Ou seja, é um número irracional. O avanço da tecnologia na área da informática tem validado, na prática, o que a teoria mostra: já é possível expressar esse número com milhões de casas decimais, e essa representação não apresenta nenhum período, pois se trata de um número irracional. 30

CAPÍTULO 1

números reais

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Esse número irracional, que representa a razão entre o comprimento de uma circunferência e a medida de seu diâmetro, é representado pela letra grega s (lemos: “pi”). Assim, podemos escrever: comprimento da circunferência 5 s _____________________________ medida do diâmetro Veja a representação decimal desse número com suas primeiras 8 casas decimais: 3,14159265...

Exercícios PROPOSTOS 40 Dados os números

d 4 d8

lll 25 ll 1 3 dll 2  , 2dll 3  , 2dll 4  , dlll 27   , ___,  __  

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) os números inteiros;

3 4 2dll 4 ,  dlll 27  e dllll 256  

d

lll 3 25 4 40b) 2dll 4 ,  dlll 27   , ___  e dllll 256   4

4 256   , diga quais são: e dlll

b) os números racionais;

dll 2 ,  2dll 3  e

c) os números irracionais.

d __18

ll  

41 Calcule o valor das expressões considerando s 5 3,14. a) 3s

9,42

s b) s 1 4,31 7,45 c) __ 5

0,628

3 d) __ s 4

2,355

e) 2,4s

0,5 3 s f) ______ 3

7,536

_

0,523

42 Uma roda de bicicleta tem raio de 40 cm. Calcule o comprimento da circunferência dessa roda considerando s 5 3,14.

251,20 cm

43 Uma pista circular tem 8 m de largura. O comprimento de sua margem interna é 1.570 m.

8m

Determine o comprimento de sua margem externa considerando s 5 3,14.

1.620,24 m

A

44 Marina e Paula estão na posição A de uma praça circular de 50 m de raio. Elas

caminham em direção à posição B. Marina caminha segundo o traçado preto, e Paula, segundo o traçado vermelho. a) Quantos metros Marina andou? 157 m b) Quantos metros Paula andou? 157 m

45 Calcule quantos centímetros tem, aproximadamente, o contorno da figura abaixo. (Meça os diâmetros com uma régua.)

CAPÍTULO 1

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B

25,7 cm

números reais

31

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5 A reta real Já vimos como representar números inteiros em uma reta: −5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Também já vimos como representar números racionais em uma reta. Por exemplo: −1

− 0,5

0

1 1 — — 8 4

1

1 — 2

1,5

A representação de todos os números racionais e irracionais, isto é, dos números reais, preenche completamente a reta numérica. A essa reta chamamos de reta real. Vamos representar na reta real o número irracional dll 2   . Já vimos que dll 2   é um número que está entre 1,4 e 1,5; logo, sua localização aproximada na reta real é: √2 –2

–1

0

1

2

1,4 1,5

Assim, sabendo a aproximação decimal de uma raiz quadrada não exata, podemos determinar sua posição aproximada na reta real.

Exercícios PROPOSTOS 46 Represente em uma mesma reta real os números: a) 3

c) dlll 10  

b) 4

d) dlll 17   2

3 √10 10 3

47 Represente em uma mesma reta real os números: a) 22 3 b) 2__ 2

10 e) ___ 3

4

–3

5 √17

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Como sabemos, não é possível representar todos eles, pois entre dois números racionais existe uma infi nidade de outros números racionais. Mesmo que isso fosse possível, os pontos que representariam esses números não seriam sufi cientes para cobrir toda a reta numérica. Faltariam ainda os pontos correspondentes aos números irracionais para completar a reta.

–√10

__

c) 2dlll 10  

e) 0,5 22 f) ___ 9

d) 0,25 –2

–1 –

3 2

0 –

2 9

1

_ 0,25 0,5

O teorema que estudaremos a seguir vai nos ajudar a determinar 2   e de outros números irracionais na reta real. a posição exata de dll Você já sabe que o triângulo retângulo é um triângulo que tem um ângulo interno reto. O maior lado desse triângulo é chamado de hipotenusa, e os demais, de catetos. 32

CAPÍTULO 1

cateto

O teorema de Pitágoras e a reta real hip

ot

en

us

a

cateto

números reais

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Os triângulos retângulos têm uma propriedade muito especial: com regiões quadradas construídas sobre os catetos, sempre é possível construir uma região quadrada sobre a hipotenusa. Vamos verificar experimentalmente esse fato.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Na primeira figura abaixo, temos um quadrado sobre cada um dos catetos (região roxa e região verde). Vamos decompor esses quadrados de modo conveniente para formar um quadrado sobre a hipotenusa.

1 2

2 1

2 3

2 4

1 3

3

4

5

1

4

4 5

3

5

5

Isso significa que a área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Então, indicando por c e b as medidas dos catetos e por a a medida da hipotenusa, podemos escrever: a2  5  b2  1  c2 Área do quadrado construído sobre a hipotenusa.

Área de cada quadrado construído sobre os catetos.

a

c b

Essa relação, chamada de teorema de Pitágoras, vale para qualquer triângulo retângulo e será usada para determinar a posição de alguns números irracionais na reta real. CAPÍTULO 1    números reais

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33

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Por exemplo, se quisermos representar dll 2   na reta real, construímos um triângulo retângulo 2   . Observe. com a hipotenusa medindo dll a2 5 b2 1 c2 a2 5 12 1 12 a2 5 1 1 1 a2 5 2

a

1

1

O valor procurado é um número positivo que elevado ao quadrado resulta em 2. Esse nú2   . Logo, a 5 dll 2   . mero é dll Então, para representar dll 2   na reta, basta contruir um triângulo retângulo de catetos medindo 1 unidade e transferir a medida da hipotenusa para a reta. Veja. B B

B

1 1

1

B

1 1

B B

2 2

1

2

1 1

B

1 2 2

1 1

1

O O O

1 1 A A A r r

r

O O O

1

1 1 A A A r r

r

A A A C Cr rC r

O O O

2 2

___ Por A, traçamos BA​ ​ ​ t r,

Unimos O com B e obtemos 2   . OB 5 dll

tal que BA 5 1.

2

1

2

Com centro em O e abertura OB, marcamos o ponto C.

65   , construímos um triângulo retângulo de catetos meVeja outro exemplo: para obter dlll dindo 1 e 8. a2 5 b2 1 c2 a2 5 82 1 12 a2 5 64 1 1 a2 5 65

a

1

8

a 5 dlll 65  

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

B B

Exercícios PROPOSTOS 48 Que número irracional está representado em cada reta pela letra m? a)

b)

dlll 13  

2  2dll

3 1 3

0

0

1

2

1

2

3

3 m

1

m m

m −1

−1

0 0

49 Construa com régua e compasso um triângulo retângulo com um cateto de 2 unidades de comprimento, sobre

uma reta numérica, e outro cateto de 1 unidade de comprimento. Determine a medida da hipotenusa desse triângulo e localize na reta numérica o número que expressa a medida da hipotenusa desse triângulo. dll5  

34

CAPÍTULO 1

números reais

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Tratamento da informação

Construindo e interpretando um gráfico de linha Enrico às vezes leva lanche de sua casa para a escola e às vezes compra na cantina. Todo final de mês ele paga o valor que gastou durante o mês. Veja na tabela ao lado os gastos de Enrico em alguns meses do ano passado.

Gastos na cantina Valor gasto

Fevereiro

R$ 15,00

Março

R$ 25,00

Abril

R$ 45,00

Maio

R$ 30,00

Junho

R$ 35,00

Julho

R$ 0,00

Gastos na cantina 45 Valor (em R$)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para facilitar a visualização de seus gastos, Enrico resolveu fazer um gráfico de linha com esses dados. Esse tipo de gráfico mostra a variação de um acontecimento durante certo período de tempo. Veja.

Mês

35 30 25 15

0

Fevereiro Março

Abril

Maio

Junho

Julho Mês

Observe que cada ponto marcado indica o valor gasto em determinado mês. Os pontos obtidos estão ligados por segmentos de reta apenas para facilitar a visualização, pois não existem outros meses entre os marcados. Observe que esses segmentos foram construídos respeitando a ordem dos meses. Interpretando o gráfico, podemos chegar às seguintes conclusões: • o mês em que Enrico teve o menor gasto foi julho; • Enrico gastou mais na cantina em abril; • o consumo de Enrico não foi sempre crescente nem decrescente; ele oscilou.

Atividade c) N  ão, pois no último bimestre a sua nota diminuiu.

1. A tabela ao lado mostra as notas de Matemática que Maria obteve ao longo do ano. a) Construa um gráfico de linha com esses dados. 9,5; 8,0 b) Qual foi a maior e a menor nota obtida por ela? c) É possível afirmar que nesse período ela só melhorou suas notas de Matemática? d) Em qual período ela teve maior aumento da nota? o

Bimestre

Nota de Matemática

o

8,0

o

8,5

o

3

9,5

4o

9,0

1 2

o

Do 2 para o 3 bimestre.

CAPÍTULO 1    números reais

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35

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55a) 28; quadrado perfeito b) 22 3 3 3 52; não quadrado perfeito c) 22 3 32 3 52; quadrado perfeito d) 2 3 32 3 52; não quadrado perfeito

Exercícios COMPLEMENTARES 50 Quais sentenças são verdadeiras e quais são falsas?

a) b)

Todo número inteiro é natural. F Todo número racional é inteiro. F Todo número racional é real. V Todo número irracional é real. V

5 __ 11

41 ___ 90

53 Considere A 5 __ 2 1,4 e B 5 0,7 2 0,777... 54 Dadas as dízimas periódicas 2,555… e 0,222…, determine: a) a soma delas, escrevendo o resultado na __ forma abreviada; 2,7 b) a subtração delas, escrevendo o resultado __ na forma abreviada; 2,3 23 __ 2 ; c) as frações geratrizes delas; ___ 9 9 d) o produto delas, escrevendo o resultado na 46 forma de fração. ___ 81

55 Decomponha os seguintes números em fatores primos e, depois, classifique-os como quadrados perfeitos ou não quadrados perfeitos. a) 256

b) 300

c) 900

d) 450

56 Justifique por que dllll 4,84   5 2,2. (2,2)

2

dllllll 0,0961   5 0,31 llllll d 0,0961   7 0,31

5s 5s 3

V F

5 3s

5 5s 2s, ___ e ___ 3 3s

63 Os catetos de um triângulo retângulo medem 12

64 Os catetos de um triângulo retângulo medem

__

2 3 Determine A 4 B. 10

V

c) d)

cm e 5 cm. a) Calcule a medida da hipotenusa. 13 cm b) Essa medida é um número racional ou irracional? racional

d

c) 0,45555... 7 __ d) dlllll 12,25   2

dlll 30  7 5,47

irracionais?

decimal. lll __ 5 5 __ 5 4 a) __ 1,25 b) __ 1,6 c) __ 0,83 d) ___  0,4 4 3 6 25 52 Represente com uma fração irredutível. 9 ___

F

___, quais são 62 Entre os números 2s, ___ , ___ s e

51 Represente os seguintes números na forma

a) 0,45 20 b) 0,454545...

dlll 30  5 5,47

5 4,84

6 cm e 2 cm. 40  cm a) Calcule a medida da hipotenusa. dlll b) Essa medida é um número racional ou irracional? irracional c) Determine a aproximação dessa medida da hipotenusa com uma casa decimal. 6,3 cm

65 Que número irracional está representado na reta pela letra a?

dlll 26  

1 5 0

a

66 Represente na reta real os números dlll 29   e 2dll 5. 

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) b) c) d)

61 Quais são as sentenças falsas?

67 Ricardo vai todos os dias visitar seu neto Eduardo.

Ele pode ir de duas maneiras diferentes. Quantos metros ele anda quando escolhe o caminho mais curto? E quando escolhe o mais longo? aproximadamente 156,2 m; 220 m B

120 m

C (casa de Eduardo)

57 Sendo x 5 28 3 52, calcule a raiz quadrada de x.

80

58 Qual é o menor número pelo qual devemos 5

4

100 m

3

multiplicar 2 3 3 3 5 3 7 para obtermos um número natural que seja quadrado perfeito? 70

59 Sendo A 5 33 3 5 3 7 e B 5 3 3 5 3 7, calcule a raiz quadrada de A 3 B.

315

60 Um terreno tem a forma de um quadrado e sua 2

área é igual a 231,04 m . Calcule o perímetro desse terreno. 60,8 m 36

CAPÍTULO 1

A (casa de Ricardo)

68 Uma costureira recebeu uma encomenda de

uma toalha quadrada de 8 m2 de área. Calcule a medida do lado dessa toalha com duas casas decimais. 2,82 m

números reais

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69 A figura ao lado representa um terreno dividido em dois lotes. O lote da esquerda tem a forma de um quadrado e sua área é 497,29 m2. Calcule a área do lote da direita. 669 m 2

30 m

TESTES 70 Qual dos números é um quadrado perfeito? a) 200

b) 250

c) 300

X

d) 400

71 Qual dos seguintes números é quadrado perfeito? X

a) 26 3 32 b) 25 3 32 c) 26 3 33 d) 25 3 33

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

72 Qual dos seguintes números mais se aproxima da raiz quadrada de 75? a) 8,4

b) 8,5

X

c) 8,6

d) 8,7

73 Se A 5 23 3 32 3 5 e B 5 2 3 5, então a raiz quadrada de A 3 B é: a) 10

b) 40

X

c) 60

d) 120

74 A raiz quadrada do número A 5 24 3 34 3 52 é: a) 30

b) 60

c) 90

X

d) 180 2

2

Então, o valor de x é: a) 1

X

b) 2

c) 3

d) 4

76 (Unirio-RJ) O valor de llllllllllllll llllllll dlllllllllllllllllll 15 2 d 32   1 d 25    2 dlll 81      é:

a) 1

b) 2

X

c) 3

 



1 2 2 __ 4 4 2 60 1 [5 1 (22 4 0,333...)] é: 2 a) 23 c) 210 e) 0,113 113 ____ X b) 2 d) 0,25 8 82 (PUC-RJ) O valor de dlllll 2,777 ...  é: 1 a) 1,2 d) um número entre __ e 1 2 e) 3,49 X b) 1,666... c) 1,5 __ 7 2 83 O valor da expressão 2,5 2 __ 4 1,4 2 ___ é: 9 18 46 30 637 41 ___ X c) a) ___ b) ___ d) ____ 91 91 13 54

@ 

# @ 

#

84 Se a e b forem números inteiros, então é ver-

75 A raiz quadrada do número A 5 2 3 3 3 7 é 42. x

81 (Ufac) O valor da expressão numérica

dade que: a) a 1 b é um número natural. X b) a 2 b é um número inteiro. c) a 4 b é um número irracional. d) a 3 b é um número negativo.

85 Veja a figura.

d) 4

e) 5

77 Uma tela tem 2,8 m por 0,7 m. Sua área é igual à de outra tela quadrada. O lado dessa tela mede: a) 1,96 m X b) 1,4 m

78 No século XXI, o primeiro ano quadrado perfeito é: a) 2004

b) 2009

c) 2016

X

X

b) 1,111... c) dlll 32  

d) s

80 Se x 5 1,333… e y 5 0,1666…, então x 1 y é igual a: 5 a) __ 7

68 b) ___ 45

13 c) ___ 9

0

4 d) __ 3

X

3

3 e) __ 2

dllllll

1,777...   ________

86 (PUC-RJ) O valor de dllllll é: 0,111...   a) 4,444... X b) 4

c) 4,777... d) 3 CAPÍTULO 1

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a

O número representado pela letra a na reta real é: X a) dlll 18   b) dlll 17   c) dlll 15   d) dlll 20  

d) 2025

79 Qual dos números é racional? a) dlll 11  

3

c) 2,8 m d) 4,96 m

4 e) __ 3

números reais

37

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ndoo cand Diversififica Jogo: Enfi leirando Número de participantes: 2 a 4 jogadores Material:

3 1 1 __ 2 7 __ • 2 0 cartões com os números: 0, 2, 6, 7, 9, 28, 27, 24, 23, 21, __ , __ , , dll 1   , dll 2   , , , __ 2 3 3 8 8 lll lll d ll d d 3   , 16   , 25   . • 4 cartas de ação: uma de “ordem crescente”; uma de “ordem decrescente”; uma de “adição dos números”; e uma de “multiplicação dos números”. • D ois saquinhos não transparentes: um para guardar os cartões numerados e outro para guardar as cartas de ação. • Papel e lápis para resolver as operações. Regras: • D epois, um dos jogadores tira uma carta de ação e coloca em cima da mesa para que todos a vejam e façam o que ela indica. Por exemplo, se sair a carta “ordem crescente”, cada jogador deve colocar em ordem crescente os cartões que 1 pegou. Suponha que um dos jogadores tenha os números 2, 23, dll 2   , __ e 9; ele deve 2 1 colocar os cartões nesta disposição: 23, __ , dll 2   , 2 e 9. Anota-se o nome de quem 2 terminou a tarefa em primeiro lugar e retira-se outra carta. • Para os cálculos com dll 2   e dll 3   , os jogadores devem usar os valores aproximados 1 1,4 e 1,7 respectivamente. Exemplo: 2 1 (23) 1 dll 2   1 __ 1 9 5 9,9 2 • Vence o jogo aquele que ganhar o maior número de rodadas, isto é, que concluir a tarefa antes dos outros colegas mais vezes. Caso nenhum jogador consiga executar as tarefas, reinicia-se o jogo.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Cada jogador pega cinco cartões numerados do saquinho, sem olhar os números.

Agora é com você!

1 Observe a ilustração e responda à questão. Quem ganhou esta rodada? Justifique. A menina, pois colocou os cinco números na ordem certa, como pedia a carta de ação.

2 Formem grupos de 3 ou 4 pessoas, modifiquem uma regra do jogo e troquem com outro

grupo. Depois de jogarem com a nova regra, escolham um representante para explicar a regra nova do outro grupo. Pedir aos alunos que escrevam a nova regra de forma clara e objetiva para que o colega consiga entender, pois ele terá de explicá-la para os outros no final da atividade.

38

CAPÍTULO 1

números reais

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Cálculo algébrico

EDUARDO SANTALIESTRA/CID

CAPÍTULO

2

Matemática no mundo OcacauéorigináriodasAméricasecomelesefazumdosalimentosmaissaborososqueexiste:ochocolate. Uma doceria vende bombons deliciosos de diversos sabores. Uma embalagem parapresentecustaR$4,00ecadabombom,R$1,50.

Agora, responda. R$ 11.50 e R$ 20,50 • Qual será o preço total de uma caixa de presente com 5 bombons? E com 11? • Representando o preço total por P e a quantidade de bombons por x, como seria a expressão que relaciona P e x? P 5 1,50x  4,00

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1 A incógnita e a variável Situação 1 Seu Joaquim, dono de uma quitanda, colocou 5 maçãs em um dos pratos de uma balança e equilibrou-a colocando no outro prato um peso de 500 g e dois pesos de 200 g.

200 g 200 g

500 g

Representando a massa de cada maçã por x, temos a equação: No estudo das equações, representamos um termo desconhecido por uma letra, que é chamada de incógnita. Na equação 5x 5 900, a incógnita é a letra x e seu valor é 180. Situação 2  iego e seus colegas foram a um pesque e pague onde se cobram R$ 2,00 de entrada e D R$ 4,00 por quilograma de peixe pescado.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5 3 x 5 900  ou  5x 5 900

Sendo assim, se Diego pescar: • 1 kg, deve pagar, em real: 2,00 1 4,00 5 6,00 • 1,5 kg, deve pagar, em real: 2,00 1 4,00 3 1,5 5 2,00 1 6,00 5 8,00 • 2 kg, deve pagar, em real 2,00 1 4,00 3 2 5 2,00 1 8,00 5 10,00 e assim por diante. Nós não sabemos quanto Diego vai pescar, mas podemos determinar o quanto ele pagará por n quilogramas de peixe pescado: 2,00 1 4,00 3 n.  esse caso, a letra n pode assumir o valor 3 ou 3,2 ou 12,5 ou qualquer outro valor real N positivo. Por isso, ela é chamada de variável. O uso de letras para representar números reais faz parte de um ramo da Matemática que trabalha com incógnitas e variáveis: a Álgebra. 40

CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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2 Expressões algébricas Neste capítulo, ampliaremos nosso estudo a respeito das expressões algébricas. Expressão algébrica é aquela que tem apenas letras, ou números e letras. Veja os exemplos. a) A expressão algébrica que representa a área do retângulo abaixo é ab.

b

a

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b) A expressão algébrica que representa o perímetro desse retângulo é 2a  2b. O uso de letras representando números facilita a tradução de sentenças escritas em linguagem comum para a linguagem matemática. Veja outros exemplos. a) O oposto do dobro de um número a somado com um número b b) A diferença entre a terça parte de um número x e o oposto de 5 c) O inverso do dobro de um número x não nulo

22a 1 b x  ​ __  ​  2 (25) 3

1  ​ ___   ​ 2x

Classificação das expressões algébricas Toda expressão algébrica que apresenta letras no radicando é chamada de expressão algébrica irracional. Veja os exemplos. x ​ 1 y • d​ ll

b • 2​dll a ​ 2 ​ __  ​ 3

2 • __ ​   ​  d​ ll m ​  3

• d​ lllll a 1 b   ​2 2b

Toda expressão algébrica que não apresenta letras no radicando é chamada de expressão algébrica racional. Veja os seguintes exemplos. • 2x2 2 5x 1 1

2x 1 y • ​ _______ x 2 y ​ 

3  ​ 2a 1 ​dll     ​  ​  • ________ 3b

2a • ​ ___ ​ 

2 • 2 ​ __ ​

• ________  ​  ​   

3

x

x​dll 5 ​ 2   y 10

2x2 2 1 • ​ _______ ​  y    d 2 ​ m 1 n2 ​ ll • ​ _________  ​    4

CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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Asexpressõesalgébricasracionaispodemserinteirasoufracionárias. Expressões algébricas racionais inteirassãoaquelasquenãoapresentamletras nodenominador. Observeosexemplos. • 2x225x11

2a • ___  3

x dll 5 2y •  ________     10

d 2 m1n2  ll   • _________   4

Expressões algébricas racionais fracionáriassãoaquelasqueapresentamletras nodenominador. Observeosexemplos. 2 •2__ x 

2x221 • _______  y     

3    2a 1  dll       • ________ 3b

Exercícios PROPOSTOS 1 Represente simbolicamente: x 2 y a) a diferença entre o número x e o número y; b) a soma do número m com o triplo do número n; m  3n c) o quociente do número a pelo número b (com b % 0); __a b r  s d) a soma dos quadrados dos números r e s; e) a diferença entre os quadrados dos números c e d; c 2 d f) o quadrado da diferença dos números c e d; (c 2 d) dll a   g) a raiz quadrada do número a (com a > 0); h) o quadrado do número z menos o quíntuplo do número w; z 2 5w i) o cubo do número y; y j) a quarta potência da quinta parte do número x. @ __x # 2

2

2

2

irracionais: b, h, k; racionais inteiras: a, d, e, f, i, j, l; racionais fracionárias: c, g

3 Classifi que em irracionais, racionais inteiras ou racionais fracionárias as expressões a seguir. 2 a) 3x 2 2 2x g) _____   a 2 b ll d b) 3 x    1 5x h) 5 dlll ab3   2 2ab 5x 2 3y c) _______      x 1 y 5x 2 3y d) _______   4

2

2

3

4

5

2 Quais expressões são irracionais e quais são racionais? irracionais: b, e, g; racionais: a, c, d, f, h, i a) 2x 2 3 f) 3x 2 2 5x 1 3 x    2 3 b) 2 dll

g) 5a 1 3 dll b   

5   1 2x dll c) ________   3

a 1 b h)   _____     3a2b

x 2 y d)  _____     3

29 i) ___ y   

a3b     1 5ab e) 2 dlll 42

CAPÍTULO 2

3   3 x 1 5x e) d ll b 3 h f) ____     2

i) a2 2 2ab 1 b2 c 3 i 3 t j) ______     100 xy    dlll   23x 2y k) ____ 2 4ab2 3a2b l) ____ 2 ____   5 4

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2x 1 y  • _______  x2y    

4 Em uma divisão, o divisor é x, o quociente é y e o resto é o maior possível. Qual é a expressão do dividendo? xy  x 2 1 5 O número 574 decomposto em centenas, dezenas e unidades pode ser escrito da seguinte maneira: 5 3 102 1 7 3 10 1 4 Agora, considere um número qualquer de quatro algarismos: a b c d a) Determine a ordem de cada algarismo desse número. b) Decomponha o número a b c d segundo as ordens de seus algarismos. a 3 10  b 3 10  c 3 10  d 3

5a) a p algarismo das unidades de milhar b p algarismo das centenas

2

c p algarismo das dezenas d p algarismo das unidades

CálCulo algébriCo

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Valor numérico de uma expressão algébrica Vamos recordar o cálculo do valor numérico de uma expressão algébrica. Para isso, considere a seguinte situação. Em um estacionamento há x motos e y carros. A expressão que representa o número total de rodas é 2x 1 4y. Se forem 12 motos e 15 carros, o número total de rodas será: 2 3 (12) 1 4 3 (15) 5 24 1 60 5 84. Dizemos, então, que o valor numérico da expressão algébrica 2x 1 4y, para x 5 12 e y 5 15, é 84. Observe estes outros exemplos. Exemplo 1 Calcular o valor numérico da expressão 2x 2 3y para x 5 5 e y 5 22.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2x 2 3y 5 5 2 3 (5) 2 3 3 (22) 5

Substituímos x por 5 e y por 2.

5 10 1 6 5 16

Efetuamos as operações indicadas.

Dizemos que 16 é o valor numérico da expressão algébrica 2x 2 3y para x 5 5 e y 5 22. Exemplo 2 2 1 Calcular o valor numérico da expressão a2 2 b2 para a 5 ​ __ ​   e b 5 ​ __  ​ . 2 3

@  # @  #

9 2 16 4 7 1 2 2 2 1 a2 2 b2 5 ​​ __  ​   5 2 ​ ___  ​  ​   ​   ​​ ​  2 ​​ __ ​   ​   ​​ ​  5 ​ __  ​  2 ​ __  ​  5 ​ _______   4 2 3 9 36 36 2 7 1 Portanto, o valor numérico da expressão algébrica a2 2 b2, para a 5 ​ __ ​   e b 5 ​ __  ​ , é 2 ​ ___  ​ . 2 3 36 Exemplo 3 3x2 2 5x  ​   para x 5 4.   Calcular o valor numérico da expressão ​ _________ x13 3 3 (4)2 2 5 3 (4) 3x2 2 5x 48 2 20 28 3 3 16 2 20 _________ ______________ ___ ​   ​   5 ​ ________  ​ 5 ​   ​   5 4  ​   5 ​              ​   5 ​ ___________ 7 7 7 x13 (4) 1 3 3x2 2 5x  ​   , para x 5 4, é 4. Portanto, o valor numérico da expressão algébrica ​ _________   x13  ma expressão algébrica racional fracionária não possui valor numérico real quando os U valores atribuídos às variáveis anulam o denominador. Veja os exemplos. 2 a) A expressão ​ __ a ​  não possui valor numérico real quando a 5 0, pois esse valor anula o denominador. x12 b) A expressão ​______    ​  não possui valor numérico real quando x 5 23, pois esse valor anula   x13 o denominador.  btemos o valor da variável para o qual a expressão não possui valor numérico real iguaO lando o denominador a zero e resolvendo a equação encontrada. CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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Veja os exemplos. Exemplo 1 3x 2 1 Com que valor de x a expressão _______ não possui valor numérico real? 2x 2 5 A expressão não possui valor numérico real quando o denominador for igual a zero, ou seja, quando 2x 2 5 5 0. 5 Resolvendo a equação, obtemos x 5 __ . 2 5 Logo, o valor de x que anula o denominador da expressão dada é __ . 2 Exemplo 2

A expressão não possui valor numérico real quando o denominador for nulo, ou seja, quando x 2 2y 5 0. Assim, temos x 5 2y. Portanto, a relação procurada é x 5 2y.

Exercícios PROPOSTOS 6 Calcule o valor numérico das expressões: 1 2 a) 2a 1 3b, para a 5 2 __ e b 5 __ 2 3 b) x 2 1 2x, para x 5 25

1

15

x1y c) _____ x 2 y , para x 5 4 e y 5 2 3

4 d) 23x 2 1 2x 2 4, para x 5 2 __ 212 3 3xy e) _______ , para x 5 22 e y 5 16 248 x 1 dll y b2 24ac , para a 5 2, b 5 210 e c 5 12 12 f) 2b 1 dlllllll

7 Dada a expressão 3x 2 2 5x 1 8, calcule o valor numérico para: a) x 5 6

b) x 5 24

86

76

2 c) x 5 __ 3

6

3 d) x 5 2 __ 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3x 1 2y Que relação deve existir entre x e y para que a expressão ________ não possua valor x 2 2y numérico real?

89 ___ 4

8 Se zero é o valor numérico da expressão x 2 2 y, determine os valores inteiros que x e y podem assumir. Há infinitas possibilidades. Respostas possíveis: x 5 0 e y 5 0; x 5 21 e y 5 1; x 5 2 e y 5 4.

9 Considere a figura ao lado. Ela é formada por quadrados idênticos. a) b) c) d)

Encontre a expressão que representa o perímetro dessa figura. 14a Ache o valor numérico da expressão do perímetro para a 5 3,6. 50,4 Encontre a expressão que representa a área da figura. 10a Determine o valor numérico da expressão da área para a 5 5. 250 2

a

10 Para que valores de a as seguintes expressões não possuem valor numérico real? 2a 1 3b a) _______ a

a50

x24 b) _____ a15

a 5 25

a21 c) _____ 5a

a50

a 1 3b d) _______ 2a 2 4

a52

11 Que relação deve existir entre a e b para que as seguintes expressões não possuam valor numérico real? a21 a) _____ a2b 44

CAPÍTULO 2

a5b

x15 b) ______ 2a 2 b

2a 5 b

3x c) _______ 2a 1 3b

2a 5 23b

CÁLCULO ALGÉBRICO

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5 A fórmula V 5 ​ __ ​  3 T 1 455 relaciona o volume V 3 de certo gás (em cm3) e sua temperatura T (em wC). Calcule o volume desse gás a 21wC.

12 As medidas do triângulo de carro abaixo são dadas em centímetro.

490 cm3

10

x + 16

Vibrant Image Studio/Shutterstock

x + 30

x + 13

14 José faz pequenos fretes urbanos com sua pe­ rua van, cobrando uma taxa inicial de R$ 10,00 e mais R$ 4,00 por quilômetro rodado.

10

a) Determine a expressão que representa a 37x 1 872  ​  ​    área vermelha do triângulo. _________ 2 b) Calcule o valor numérico dessa expressão para x 5 10 cm. 621 cm 13 Em 1787, o cientista francês Jacques Charles observou que os gases se dilatam quando aquecidos e se contraem quando resfriados.

Figura 2: garrafa em contato com gelo

Figura 1: situação inicial

a) Indicando por x o número de quilômetros rodados, qual expressão representa o preço cobrado por ele? 10 1 4x b) Quanto José deve cobrar por um serviço em que rodou 6 quilômetros? 34

Pense mais um pouco...

Um relógio registra o consumo de energia elétrica de uma residência em quilowatt-hora (kWh).

Jacek/Kino

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2

Nas lâmpadas e aparelhos elétricos, vem indicado, entre outras informações, o quanto de energia elétrica é consumido em cada unidade de tempo, chamada de potência e expressa em watt (W).

1 kW = 1.000 W

Medidor de consumo de energia elétrica.

Para calcular o consumo mensal de energia elétrica (em kWh), pode-se aplicar a fórmula: potência 3 horas de uso por dia 3 dias de uso por mês            ​ consumo 5 ​ _____________________________________________ 1.000 Utilizando essa fórmula, calcule o consumo de energia elétrica, relativo a 30 dias, de: a) uma lâmpada de 100 W que fica acesa 3 horas por dia; b) um chuveiro de 4.000 W que é utilizado 1 hora por dia.

9 kWh 120 kWh

CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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3 Os monômios Asexpressõesalgébricasracionaisinteirasrepresentadasporumúnicoproduto sãochamadasdemonômios(outermos algébricos).Ummonômiorepresenta umprodutodenúmerosreais. Vejaosexemplos. 2a • ___  3

• x 2

• dll 3 3b2

3 • __x 5

Emummonômio,distinguimosocoeficiente(partenumérica)eaparte literal(partecom letras).

Monômio

Coeficiente

Parte literal

5x y

5

x3y2

2 2__  ab3m 7

2 2__   7

ab3m

2 x dll

dll 2 

x

1

ab5

3 2

ab

5

OBSERVAÇÕES

Todonúmerorealnãonuloéummonômiosemparteliteral. 5 Exemplos:5;210;__;0,51;dll 3  6 CC Onúmerorealzeroéchamadodemonômio nulo. CC

Exercícios PROPOSTOS

15a) Porque tem a operação de adição. b) Porque tem letra no denominador. c) Porque tem letra no radicando.

15 Explique por que as seguintes expressões não são monômios. a a) 2x 1 5 b) 2  __     5x     c) 4 dlll b 16 Dê o coefi ciente destes monômios. a) 22xy 3 b) __ a __35 5

22

c) x

1

d) 2y 21

xy2 e) ___   __15 5 a 1 f) 2  __     2 __3 3

17 João é colecionador de selos. Indicando por x a quantidade de selos que João possui, represente por um monômio a quantidade de selos de cada colecionador a seguir. 46

CAPÍTULO 2

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Observe,natabelaabaixo,algunsmonômios,oscoeficienteseaspartesliteraisdesses monômios.

a) Vítor possui a metade da quantidade de selos que João possui. __2x b) Ricardo possui o dobro da quantidade de selos de João. 2x 2 c) Gabriel possui __ da quantidade de selos de 3 João. __23 x 18 Um pintor de paredes cobra R$ 15,00 por metro quadrado de pintura. Francisco quer calcular quanto vai gastar para pintar as paredes da casa dele. Para isso, decidiu usar um monômio, indicando a área das paredes por y (em m2). Que monômio Francisco usou para fazer esse registro? 15y

CálCulo algébriCo

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19 Determine o monômio que representa o perímetro da figura 1, a área da figura 2 e a área da figura 3. xx 2x 2x

b b

3x 3x

2x 2x

2

2x 2x

A

h h

figura 1 10x

b

20 Indicando por x a medida do lado de cada quadradinho que forma a figura abaixo, determine: a) o monômio que representa o perímetro do retângulo ABCD; 24x b) o valor numérico desse perímetro para x 5 1,2; 28,8 c) o monômio que representa a área desse retângulo; 35x x d) o valorx numérico dessa área para x 5 4,5.

figura 2 bh

708,75

B

5x 5x

x h 5 2 figura 3 ​ __   ​ x

5x D

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2

C

Grau de um monômio O grau dos monômios cujos coeficientes não são nulos é indicado pela soma dos expoentes da parte literal. Veja os exemplos.

2 b) ​ __  ​ ab2 3 • expoente da variável a: 1 

a) 4x2y3 • expoente da variável x: 2 



21355 • expoente da variável y: 3



4x 2y3 é um monômio do 5o grau.

11253 • expoente da variável b: 2 2 ​ __  ​ ab2 é um monômio do 3o grau. 3

OBSERVAÇÕES CC

Um monômio formado apenas por um número real não nulo (sem parte literal) tem grau zero. Exemplo: 5 é um monômio de grau zero.

CC

Não se define grau para o monômio nulo.

Monômios semelhantes a

Considere os polígonos abaixo. a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

triângulo

quadrado

pentágono

hexágono

CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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20/07/11 09:53

Observequeosperímetrosdessespolígonospodemserindicadospormonômios.Assim: Polígono Perímetro

Triângulo

Quadrado

Pentágono

Hexágono

3a

4a

5a

6a

Notequeosmonômios3a,4a,5ae6atêmamesmaparteliteral. Dizemos,então,queelessãomonômios semelhantesoutermos semelhantes. Vejaoutrosexemplos. a)Osmonômios9a2xe22a2x têmamesmaparteliterala2x.Portanto,são termos semelhantes. 1 b)Osmonômios2__  y,0,5ye23ytêmamesmaparteliteraly.Logo,são termos semelhantes. 4 c) Osmonômios12a2ce2ac2nãotêmamesmaparteliteral(a2c%ac2).Logo,não são termos semelhantes.

Termos semelhantesoumonômios semelhantes são aqueles que possuem a mesmaparteliteralounãopossuemparteliteral(sãoapenasnúmeros).

Exercícios PROPOSTOS 21 Dê o grau dos seguintes monômios. a) 3xy 2 e) 12x  1 i) 2a6 6 3 b) 22x 2y5 7 f) 15 zero j) 2 __ zero 4 c) 10xy3 4 g) 27a2b3c  6 3 3a d) __ x 2y 3 h) ___   1 5 7

a) Escreva um monômio para representar o perímetro e outro para representar a área desse quadrado. perímetro: 12x; área: 9x b) Determine o grau de cada um desses monômios. 12x: 1 grau e 9x : 2 grau c) Esses monômios são semelhantes? Justifi que. 2

o

2

o

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

d)3edll 2  sãodoisnúmerosreaisnãonulos;portanto,sãomonômiossemelhantes(sem parteliteral).

não, pois eles não apresentam a mesma parte literal.

22 Quais itens apresentam monômios semelhantes? a, b, c, f, h, i, k, l a) 4x e 27x g) 7x 2y e 9xy2 b) 5ab, 3ab e 2ab h) ab e 3ab a 2x 2 x 2 __ c)     e 5a i) __   , 22x 2 e ___ 3 4 3 d) 2a e 2b j) 2ab e 5ab2 e) 8a2 e 25a k) 12xy e 221xy f) 8 e 23 l) 26, 22 e 10

24 Observe estes polígonos.

2x

3x 4x

5x

4x 2x

2x

x

3x

3x

5x

4x

5x

4x

23 Observe o quadrado ao lado.

2x x 3x

3x

48

CAPÍTULO 2

5x

a) Determine o monômio que representa o perímetro de cada polígono. 12x; 17x b) Esses monômios são semelhantes? sim

CálCulo algébriCo

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25 Que tipo de sólido são as figuras a seguir? Escreva o monômio que corresponde ao volume desses sólidos. a) b) a

a a

a3

a

a

cubo

a

a b

a

b

b

a

2a2b paralelepípedo retângulo

a

b

4 Operações com monômios Trabalhando com números reais, você aprendeu a realizar as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Agora, iremos realizar essas mesmas operações com números reais representados por expressões algébricas. Chamamos esse estudo de cálculo algébrico. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Iniciaremos o estudo de cálculo algébrico com as operações que envolvem monômios.

Adição algébrica de monômios Considere a figura ao lado. Nela, a área de cada quadradinho é x2. A área da parte pintada de azul é 24x2. A área da parte pintada de cinza é 12x2. A área da figura toda é obtida pela soma das áreas das duas partes pintadas, ou seja, pela adição dos monômios 24x2 e 12x2. Veja: 24x2 1 12x2 5 36x2 Assim, a área de toda a figura é 36x2. Uma expressão em que aparecem apenas adições e subtrações de monômios é chamada de adição algébrica de monômios. Veja estes outros exemplos de adição algébrica. a) (25ab) 1 (22ab) 2 (23ab) 5 25ab 2 2ab 1 3ab 5 24ab

@ 

# @  # @ 

#

5x3y 29x3y 2 4x3y 1 18x3y _____ 3 3 3 1 1 3 3 3  ​ ​         5 ​   ​  b) ​ 2 ​ __ ​ x3y  ​2 ​ __ ​   ​  x3y  ​2 ​ 2__ ​   ​  x3y  ​5 2 ​ __ ​ x   y 2 __ ​   ​ x   y 1 __ ​   ​  x3y 5  _____________________ 4 2 3 3 12 12 4 2 Na prática, a adição algébrica de monômios semelhantes é obtida somando-se algebricamente os coeficientes e conservando-se a parte literal. Esse processo de cálculo é também chamado de redução dos monômios (ou termos) semelhantes. Vamos reduzir os monômios semelhantes.

5 25 2 1 b) ​ __ ​  ab2 2 ​ __ ​  ab2 1 __ ​   ​  ab2 5 ___ ​    ​ ab2 4 2 3 12 25 5 2 1 30 2 8 1 3 ___ ​   ​ 5 ​  (22 1 3 2 5 5 24) ​ __ ​   ​   2 ​ __  ​ 1 ​ __  ​ 5 ___________       ​  ​ 2 3 4 12 12

a) 22x2y 1 3x2y 2 5x2y 5 24x2y

@ 

#

CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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Exercícios PROPOSTOS 26 O triângulo abaixo foi montado com 9 triângulos menores de mesmo tamanho. A área de cada um é 0,43x 2.

32 Reduza os monômios semelhantes. a) 24xy 1 6xy 2 5xy 23xy b) 5a3 1 7a3 2 9a3 1 3a3 6a c) 23x 2 5x 1 2x 2 x 1 4x 23x 3 7 2 d) __ x 2 1 __ x 2 2 __ x 2 x 2 3 6 3 1 __ 1 __ e) 2 x  2 x 1 __ x 0 8 8 2 3 2 __9 7 2 __ 2 __ f ) 2a 2 a 2 a 2 4 a 2 4 3

2

2

33 Observe esta fi gura.

1,29x 2 3,87x 2

a) Dê a soma das áreas dos triângulos amarelos. b) Dê a soma das áreas dos triângulos azuis. c) Dê a área total do triângulo grande.

27 Efetue. a) (210x) 1 (16x) 24x b) (0,8x 2y) 1 (23,5x 2y) 22,7x y 3 2 7 c) 2 __ ab    1 2 ___ ab    2​​___ ab 10 5 10

A

2

# @ 

@ 

#

28 Calcule as diferenças entre os monômios. a) (29ay) 2 (23ay) 26ay __ __ 3 3 7 __ a b) (0, 2 a ) 2 (20, 5 a ) 9 3 c) (22ax) 2 2 __ ax    2​​__75 ax 5 3

@ 

#

29 Determine o monômio que representa a me___ 23 y dida do segmento  AB  . ___ 4

A

3 —y 2

2y

y C

D

5 —y 4 E

B

___ 30 Represente a medida do segmento   ____ MP   sabendo 4,2x que a medida do segmento  MN  é 6,5x.   2,3x M

P

N

31 Uma empresa de software lançou um novo programa no mercado. No primeiro mês, essa empresa vendeu certa quantidade desse novo programa. No segundo mês, foi vendido o dobro do que se vendeu no primeiro mês. No terceiro mês, foi vendido o triplo do que se vendeu no segundo mês. Represente a quantidade de unidades vendidas nos três primeiros meses. 9x

B

C

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2,58x 2

D

Indicando a distância do menino até a árvore por y, determine: a) o monômio que representa a distância entre a árvore e a porta da casa, sabendo que essa distância é o dobro da distância do menino até a árvore; 2y b) o monômio que representa a distância entre a porta da casa e o cachorro, sabendo 2 que essa distância é __ da distância do 3 menino até a árvore; __32 y c) o monômio que representa a distância do 11 y menino até o cachorro; ___ 3 d) a distância do menino até a casa, se y for igual a 6,24 metros. 18,72 m 34 Durante um campeonato de futebol, promovido em uma escola, o time do 8o ano ganhou x partidas, perdeu (x 2 2) partidas e empatou x __     partidas. 2 a) Determine a expressão algébrica que representa o número de partidas que esse time jogou. Essa expressão é um monômio? 5x 2 4 Por quê? ______ ; não, porque tem subtração no numerador. 2 b) Sabendo que para cada vitória o time do 8o ano ganha 3 pontos, para cada empate ganha 1 ponto e nas derrotas não ganha nem perde pontos, qual é o total de pontos desse time? O total de pontos é expresso por um monômio? Por quê? 7x ___ ; sim, porque representa o produto de números reais. 2

50

CAPÍTULO 2

CálCulo algébriCo

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Multiplicação e divisão de monômios Recordemos as multiplicações de potências de bases iguais. Veja os exemplos. • 23 3 22 5 23 1 2 5 25 • a 3 a2 3 a4 5 a1 1 2 1 4 5 a7 Observe o cálculo dos seguintes produtos: a) (3a2) 3 (5ab) 5

5 (3 3 5) 3 (a2 3 ab) 5



211

5 15 3 a

Aplicamos as propriedades comutativa e associativa da multiplicação. 3

3 b 5 15a b

Efetuamos as operações.

b) (14xy2) 3 (29a3x2y) 5 4 3 (29) 3 (x 3 y2 3 a3 3 x2 3 y) 5 236a3x3y3 Na prática, o produto de dois monômios é obtido da seguinte forma:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• primeiro, multiplicam-se os coeficientes; • a seguir, multiplicam-se as partes literais. Veja outros exemplos. • (5a2b) 3 (23a) 5 215a3b • (24xy2) 3 (22yz) 5 18xy3z Agora, recordemos as divisões de potências de bases iguais. Veja os exemplos. • 27 4 22 5 27 2 2 5 25 • a4 4 a 5 a4 2 1 5 a3 Observe o cálculo dos seguintes quocientes, em que supomos que o monômio divisor seja diferente de zero. a) (112a4b3) 4 (22ab2) 5 26a3b

b) (23xy4) 4 (13xy) 5 21y3 5 2y3





(23) 4 (13) 5 21



x4x51



y4 4 y 5 y4 2 1 5 y3



(112) 4 (22) 5 26 4

421

a 4a5a 3

2

3

5a

322

b 4b 5b

1

5b 5b

Na prática, a divisão de dois monômios é obtida da seguinte forma: • primeiro, dividem-se os coeficientes; • a seguir, dividem-se as partes literais. Veja outros exemplos.

@ 

# @ 

# @ 

#

@ 

#

5 3 2 4 2 4 2 5 ​   ​  xy2  ​5 ​ 2 ​ __ ​  4 ​ __ ​   ​3 (x4 4 x) 3 (y3 4 y2) 5 ​ 2 ​ __ ​ 3 ​ __ ​   ​3 x3y 5 2 __ ​   ​ x   y a) ​ 2 ​ __ ​  x4y3  ​4 ​ __ 5 3 3 5 3 4 6 2 3   x b) (22a4x) 4 (25a) 5 [(22) 4 (25)] 3 (a4 4 a) 3 x 5 ​ __ ​ a 5 CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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Exercícios PROPOSTOS 35 Calcule os produtos. a) (4a2x 3) 3 (25ax 2) 220a b) (26xy) 3 (23y) 18x y

c) (0,5x) 3 (2,4x 2) 1,2x

3

x5

d) (27a) 3 (12ab) 3 (2a) 14a

2

@  # @  # 3 1 f) (22ax) 3 @  ax  # 3 @ 2 a #  2 2

2 3 e) __ xy    3 2 __ x 2y    2 __2 x 5 3 5

3

__

3

b

3

y2

__

2

3 3 3 __ ax 2

36 Calcule os seguintes quocientes, supondo que o monômio divisor seja diferente de zero. 1 1 a) (16x 5) 4 (24x 2) 24x c) (235a) 4 (17a) 25 e) 1 __ a4 4 2 __ a3 2 __5 a 3 5 3

@  # @  # 4 4 f) @ 2 x  y #  4 @ 1 x  y #  5 3

b) (36xy4) 4 (26xy) 26y

d) (13ab2) 4 (22) 2 __3 ab

3

__

2

2

@ 

#

3 37 Qual monômio se obtém quando multiplicamos 2xy 2 __  xy    por 4x 2y? 5

@ 

__

5

2

3 2 __ x3 5

28 3 2 ___ x y 5

#

1 1 38 Multiplicando (5ax 2 2 2ax 2 2 7ax 2) por __ x 1 __  x  ,  obtemos um monômio. Calcule o valor numérico 2 4 desse monômio para a 5 2 e x 5 22. 48

@ 

#

3 3 2 1 x 3y 1 __ x 3y 2 __ x 3y     por __ x é um monômio. Qual é o valor numérico dele para 39 O quociente de __ 4 3 6 2 x 5 23 e y 5 6? 45 40 Considere as fi guras abaixo.

y — 2

y 2x

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3

x

a) Determine o monômio que representa a soma das áreas das duas fi guras. b) Encontre o valor numérico desse monômio para x 5 0,5 e y 5 1,2. 0,9

@ 

3 __ xy 2

# @  #

3 1 1 2 41 Dados A 5 2 __ x 5y2 1 __ x 5y2 e B 5 2 __ x    3 __ x y    , calcule o valor numérico do quociente de A por 3 6 3 4 1 B para x 5 2 __ e y 5 3. 2 __1 8 2 42 Marcelo separou uma parte retangular de um terreno que adquiriu para construir uma piscina e, em volta dela, um gramado. a) Determine a área destinada à piscina. 6a b) Determine a área destinada ao gramado. 14a c) Sendo a 5 3,2 cm, calcule a quantidade de metros quadrados de grama utilizada. 143,36 m

a

3a

a a

2

2

piscina

2a

2

a

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CAPÍTULO 2

CálCulo algébriCo

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Pense mais um pouco...

Sequências de molduras e de quadrados

a) 12x2; 20x2; 28x2; 36x2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Nesta composição de quadrados, o quadrado central foi contornado com uma moldura branca, formando um segundo quadrado. Esse novo quadrado foi contornado com uma moldura vermelha, formando um terceiro quadrado, e assim por diante, até se obter o quadrado com a moldura cinza. a) Forme, a partir da área do quadrado central, a sequência dos monômios que representam as áreas das molduras. b) Uma dessas molduras tem a mesma área de um dos quadrados construídos. Qual é o monômio que representa essa área? 36x c) Qual é o valor numérico desse monômio para x 5 2,4 cm?

2x

x

x

x

x

2

207,36 cm2

Potenciação de monômios Recordemos que: • (a2)3 5 a2 3 3 5 a6 • (a2 3 b)3 5 (a2)3 3 b3 5 a6 3 b3 Observe o cálculo das potências: • (22a3x)2 5 (22)2 3 (a3)2 3 x2 5 4a6x2

@ 

# @  #

3 8 6 3 2 2 3 • ​​ 2 ​ __ ​  m2x  ​ ​5 ​​ 2 ​ __ ​   ​​ ​3 (m2)3 3 x3 5 2 ​ ___  ​ m   x 27 3 3

Na prática, a potência de um monômio é obtida da seguinte forma: • eleva-se o coeficiente à potência indicada; • a seguir, eleva-se a parte literal à potência indicada. Veja outros exemplos. • (25a)2 5 25a2

@ 

#

3 3 27 6 3 • ​​ 1 ​ __ ​  x2y  ​ ​5 ​ ____  ​ x   y 5 125

CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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Exercícios PROPOSTOS 43 Calcule. a) (12x)2

45 Considere o cubo representado abaixo. 4x

2 3

b) (23a )

2

227a 6

c) (12x 2y)3

8x 6y 3

2 4

d) (2xy  ) 4

4

x y 1

e) (25x  y)

@ 

#

1 2 f) 2 __ a    2

8

7 —x 4

25x 4y 1 2 __ a 4

a) Expresse o volume do cubo na forma de potência. @ __74 x # 343 x b) Calcule essa potência. ____ 64 147 c) Qual é a área da superfície desse cubo? ____ x

44 A medida do lado de um quadrado é dada 5 25a por __ a. Qual é a área desse quadrado? ____ 9 3

3

3

2

2

8

Noestudodaraizquadradadenúmerosracionaisnãonegativos,vimos,porexemplo,que: 25  55 • d lll

• 2dlll 49  527

d

llll 15 225 ___   5  •  ____   121 11

• 2dlllll 0,64  520,8

x2 5OxO. Considereaigualdadedlll • Parax56,temos:dlll 62 5 O6O 36  56(verdadeira) Noteque:dlll • Parax526,temos:dlllll (26)2  5O26O Noteque:dlll 36  56(verdadeira) Aigualdadedlll x2 5OxOésempreumasentençaverdadeira. x2 5x. Considereagoraaigualdadedlll • Parax56,temos:dlll 62 56

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Raiz quadrada de um monômio

36  56(verdadeira) Noteque:dlll • Parax526,temos:dlllll (26)2  526 36  526(falsa) Noteque:dlll x2 5xsomenteseráumasentençaverdadeiraquandoxforumnúmeromaior Aigualdadedlll ouigualazero. Nocálculodaraizquadradademonômios,estaremossupondoqueasvariáveisnãoassumemvaloresnegativos. Vejaosexemplos. • d lllll 25a2  55a

• d llllll 49x4y2  57x2y

• dllll 4a6  52a3

• d lllll 9x2y8  53xy4

Naprática,araizquadradadeummonômioéobtidadaseguinteforma: • extrai-searaizquadradadocoeficiente; •aseguir,divide-seoexpoentedecadavariávelpor2.

54

CAPÍTULO 2

CálCulo algébriCo

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Exercício PROPOSTO 46 Calcule a raiz quadrada, admitindo que as variáveis não assumem valores negativos. lllll 4 2 __ a) dlll 4a2  2a b) dllllll 36a2b6   c) dllll 25y2  5y d) __ a2b4   ab 6ab 3 9

d

3

2

d

llll x 2 x e) ____  ___ 100 10

Exercícios COMPLEMENTARES 47 Observe o quadrado de lado x da fi gura abaixo.

51 Determine o monômio que representa o perí17 metro do trapézio abaixo. ___ a 6

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a — 2 x

2a –— 3

2a –— 3

a

Determine: a) o perímetro desse quadrado; 4x b) a área desse quadrado; x c) a área da parte pintada de verde.

52 Calcule os produtos e determine o grau do monômio resultante.

2

7 2 ___ x 18

48 O retângulo abaixo é formado por quadrados de lado y.

a) (12x) 3 (13x 2) 6x , 3 grau b) (23y) 3 (4y2) 212y , 3 grau c) (5a) 3 (23b) 215ab, 2 grau d) (24x 2y) 3 (23xy2) 12x y , 6 grau e) (25ab) 3 (13a) 215a b , 3 grau 3

o

3

o

o

3

3

2

53 Calcule. y

d

llll 25a2 __5 c) ____  a 49 7

a) dllll 36x 2   6x

a) Determine o perímetro desse retângulo. 24y b) Determine a área desse retângulo. 20y c) Qual é a área da parte pintada de amarelo? 2

7y 2

49 Resolva as adições algébricas. a) (23x) 1 (28x) 211x c) (15ab) 2 (27ab) 12ab b) (212y) 1 (16y) 26y 50 Reduza os monômios semelhantes. a) 212a 1 9a 1 5a 2a b) 15y 2 10y 2 6y 2y c) 4a2 2 10a2 2 6a2 2 4a2 216a 3 1 1 11 d) 2 __ ax 1 __ ax 2 __ ax 2 ___ ax 12 4 3 2 5 1 1 e) __ y2 2 __ y2 1 __ y2 __18 y 4 8 2 a a a ___ 19 __ __ __ a f) 2      2      1      2 30 5 2 3 2

100a2b4   10ab b) dlllllll

2

d) dlllllll 0,36x 2y6   0,6xy

3

54 Calcule os quocientes, considerando as variáveis do divisor diferentes de zero. a) (220a5) 4 (14a2) 25a b) (13xy3) 4 (4y) __34 xy c) (224a3b2) 4 (4ab) 26a b 15 d) (15ab2) 4 (28b2) 2 ___ a 8 2 1 x x 4 4 (24x) ___ e) 2 __ 10 5 f) (23,2a3b) 4 (0,5a) 26,4a b 3

2

2

@ 

#

3

2

55 Calcule as potências.

2

a) (23x 2y3)2 9x y

4 6

b) (2a2b4)3 8a b 6

12

@ 

#

2 2 4x c) 2 __ x    ___ 25 5 d) (20,4a)3 20,064a

CAPÍTULO 2

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o

o

2

3

CálCulo algébriCo

55

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56 O sólido abaixo é formado por 4 cubos. Cada um desses cubos tem como medida de aresta 3x unidades.

Determine: a) o volume de cada cubo; 27x b) o volume da figura toda; 108x c) a área da superfície desse sólido. 162x 3

3

2

57 O monômio que representa a área de um quadrado é 1,44a2. Calcule o perímetro desse quadrado. 4,8a

5 Os polinômios Considere as figuras abaixo. x

a

x

a

y

figura 1

figura 2

A figura 1 é formada por dois quadrados. A medida do lado de cada quadrado é a. A área de cada quadrado é a2. A expressão que representa a área da figura 1 é 2a2. Na figura 2, temos um lado de medida y e três lados de medida x. A expressão que representa o perímetro do polígono da figura 2 é 3x 1 y. A figura ao lado é formada por: • um quadrado de lado a com área a2; • um retângulo de área ab;

a b

• um quadrado de lado b com área b2. a

b

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x

a

b

A expressão que representa a área da figura toda é a2 1 ab 1 b2. As expressões 2a2, 3x 1 y e a2 1 ab 1 b2 são exemplos de polinômios. Polinômio é toda expressão algébrica racional inteira.

OBSERVAÇÕES CC

Os polinômios de um só termo são chamados monômios; os de dois termos, binômios; e os de três termos, trinômios. Os polinômios com mais de três termos não recebem denominação particular.

CC

O polinômio formado por monômios nulos é o polinômio nulo. Exemplo: 0x2 1 0mn 1 0

56

CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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Exercícios PROPOSTOS 58 Classifi que como monômio, binômio ou trinômio as seguintes expressões algébricas. a) 2x 2 2 3x binômio b) 5a2 2 3a 1 7 trinômio c) x monômio d) 7x 2 5y binômio e) 25 monômio f) a5 2 3 binômio g) x 3 2 y3 binômio h) x 2 2 2xy 1 y2 trinômio

62 Em um restaurante existem x mesas com 3 pés e y mesas com 4 pés. Escreva o binômio que representa: a) o número de mesas; x  y b) o número de pés das mesas. 3x  4y 63 O piso da cozinha da casa de Ana é formado por ladrilhos retangulares como o da fi gura abaixo.

y

x

y

b x

x

x x

x

a

x

a) Determine o perímetro desse polígono. Ele é expresso por um polinômio de quantos termos? 7x  2y; 2 termos b) Encontre o valor numérico desse poli nô mio para x 5 2,3 e y 5 1,5. Para isso, você pode usar uma calculadora. 19,1 60 Determine o polinômio que corresponde à área da fi gura abaixo, que é formada por dois quadrados. Calcule essa área para x 5 4,5 cm e y 5 2,5 cm. x  y ; 26,50 cm 2

2

2

a) Represente com um monômio a área de cada ladrilho. ab b) Represente com um monômio a área do piso da cozinha sabendo que foram necessários 120 ladrilhos para forrá-lo. 120ab c) Calcule a área, em m2, do piso da cozinha de Ana sabendo que cada ladrilho tem 15 cm por 20 cm. 3,6 m 2

64 Cláudia é dona de uma papelaria. Ela compra um caderno por x reais e o revende por y reais. Rob WALLS/ALAmY/otheR imAgeS

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

59 Considere o polígono abaixo.

x y

x

y

61 Em um estacionamento existem x motos e y carros. Encontre o binômio que representa: a) o número de veículos; x  y b) o número de rodas; 2x  4y c) o valor arrecadado referente a esses veículos sabendo que cada moto paga R$ 12,00 pela estadia e cada carro pa ga R$ 18,00.

a) Qual é a expressão algébrica que representa o lucro de Cláudia por caderno vendido? y 2 x b) Qual foi o lucro que Cláudia obteve na venda de 24 cadernos comprados por R$ 3,20 e vendidos por R$ 8,70? R$ 132,00

12x  18y CAPÍTULO 2

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CálCulo algébriCo

57

20/07/11 09:53

Grau de um polinômio Otermo de maior graudeumpolinômionãonulodetermina o graudessepolinômio. Vejaosexemplos. • 2x2y25x2y314xy 3o grau

5o grau

2o grau

Então, o polinômio é do 5o grau.

• 5a3b12a2b324a3b422ab3 4o grau

5o grau

7o grau

4o grau

Então, o polinômio é do 7o grau.

OBSERVAÇÃO

Nãosedefinegrauparaopolinômionulo.

Exercício PROPOSTO 65 Dê o grau dos seguintes polinômios. a) x 2y3 1 2xy2 5 c) 3x 2 2 2x 1 1 2 3 b) 3x4 2 2x3y3 1 4xy5 6 d) 2 __ x 1 3x4 22x9 9 4 o

e) 210 2 3y 1 9y2 2 3y3

o

o

o

f) 22x 2 3 1 5x3

3o

3o

Polinômios com uma só variável Observeospolinômios.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

CC

a)x 228x112 

Eleapresentasomenteavariávelx,cujomaiorexpoenteé2;dizemosqueéumpolinômiodo2ograunavariávelx,ouquetemgrau2.

b)2y 423y 215y26 

Eleapresentasomenteavariávely,cujomaiorexpoenteé4;dizemosqueéumpolinômiodo4ograunavariávely,ouquetemgrau4.

c) z 321 

Eleapresentasomenteavariávelz,cujomaiorexpoenteé3;dizemosqueéumpolinômio do3ograunavariávelz,ouquetemgrau3.

Polinômiosdessetiposãochamadosdepolinômios com uma variável. Emgeral,ostermosdeumpolinômiocomumavariávelsãoapresentadossegundoaspotênciasdecrescentesdessavariável. Vejaalgunsexemplos. • 5x 224x12 58

CAPÍTULO 2

• x 322x 21x21

• 2x 423x 212

CálCulo algébriCo

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Polinômios incompletos Se,emumpolinômiodegraunordenadosegundoaspotênciasdex,estiverfaltandouma oumaispotênciasdex comexpoentemenordoquen,entãooscoeficientesdessestermos serãoiguaisazero,eopolinômioseráchamadodepolinômioincompleto. Vejaosexemplos. a)x 224éumpolinômioincompletoepodeserescritocomox 210x24. 

x210x2 4éaformageraldopolinômiox 224.

b)2x 42 3x 212éincompletoepodeserescritocomo2x 410x 323x 210x12. 

2x 410x 323x 210x12éaformageraldopolinômio2x 423x 212.

c) x 321éincompletoepodeserescritocomox 310x 210x21.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.



x 310x 210x21éaformageraldopolinômiox 321.

Exercícios PROPOSTOS 66 Ordene os polinômios segundo as potências 67 Escreva os seguintes polinômios na forma decrescentes de x. a) 2x 1 3x 2 2 4 3x  2x 2 4 x  4x 2 5x b) 26 1 x4 2 5x 2 1 4x 3 2 2x c) 4x 1 5x 3 2 1 5x  4x 2 1 d) 5x 2 2 3x 1 2x 3 2 4 2x  5x 2 3x 2 4 e) 2 1 7x 1 9x 2 9x  7x  2

geral. a) x 3 1 2x 2 2 5 x  2x  0x 2 5 b) x 3 1 1 x  0x  0x  1 c) y4 2 8y 2 1 15 y  0y 2 8y  0y  15 d) z4 2 16 z  0z  0z  0z 2 16 e) m4 2 2m2 m  0m 2 2m  0m  0 3

2

4

3

2

2 2x 2 6

3

4

3

3

2

2

4

2

3

4

2

3

2

2

3

2

6 Operações com polinômios Vejamoscomoefetuaroperaçõescompolinômios.

Adição de polinômios Comseisvaretasdemedidaa,trêsvaretasdemedidabeduasdemedidac,podemos construirospolígonosabaixo.

c

a

a

a b

a

a

a

b

polígono1

polígono2

CAPÍTULO 2

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eduARdo SAntALieStRA/Cid

c

b

CálCulo algébriCo

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Na construção do polígono 1, foram utilizadas 2 varetas de medida a, 2 de medida b e 1 de medida c. O polinômio que representa o perímetro desse polígono é 2a 1 2b 1 c. Na construção do polígono 2, foram utilizadas 4 varetas de medida a, 1 de medida b e 1 de medida c. O polinômio que representa o perímetro desse polígono é 4a 1 b 1 c, que é um polinômio nas variáveis a, b e c. Na construção dos dois polígonos, verificamos que: (2a 1 2b 1 c) 1 (4a 1 b 1 c) 5 6a 1 3b 1 2c O polinômio 6a 1 3b 1 2c é a soma dos polinômios 2a 1 2b 1 c e 4a 1 b 1 c. Esse resultado poderia ter sido obtido assim: (2a 1 2b 1 c) 1 (4a 1 b 1 c) 5 5 2a 1 2b 1 c 1 4a 1 b 1 c 5

Eliminamos os parênteses.

5 2a 1 4a 1 2b 1 b 1 c 1 c 5

Agrupamos os termos semelhantes.

5 6a 1 3b 1 2c

Reduzimos os termos semelhantes.

Exemplo 1 Calcular a soma dos polinômios. (4x2 2 7x 1 2) 1 (3x2 1 2x 1 3) 5 5 4x2 2 7x 1 2 1 3x2 1 2x 1 3 5

Eliminamos os parênteses.

5 4x2 1 3x2 2 7x 1 2x 1 2 1 3 5

Agrupamos os termos semelhantes.

2

5 7x 2 5x 1 5

Reduzimos os termos semelhantes.

Exemplo 2 Dados os polinômios 3 5 1 1 1 A 5 0,2x3 2 ​ __ ​ x2 1 2x 2 ​ __ ​    e  B 5 ​ __  ​x3 1 ​ __ ​ x2 1 ​ __ ​ x 2 0,4, calcular A 1 B. 5 2 2 3 3 5 3 4 2 1 1 1 ​ ___ ​    ​ x3 2 ​ __ ​ x2 1 2x 2 ​ __ ​   ​1 ​ __ ​   ​ x3 1 ​ __ ​ x2 1 ​ __ ​ x 2 ​ ___  ​   ​5 5 2 2 10 3 3 10

# @ 

@ 

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Acompanhe estes outros exemplos.

#

3 3 __ 5 2 4 1 1 2 __ 1 2 3 __ __ __ ___   2 ​   ​ x 1 2x 2 ​   ​   1 ​    ​x 1 ​   ​ x 1 ​   ​ x 2 ​    ​ 5   5 ​ ___  ​x 5 2 2 10 3 3 10 3 3 __ 5 2 __ 4 1 2 3 __ 1 2 1 __ __ ___ 5 ​ ___  ​x   1 ​   ​ x 2 ​   ​ x 1 ​   ​ x 1 2x 1 ​   ​ x 2 ​   ​   2 ​    ​ 5   5 2 2 10 3 3 10 (210x2 1 3x2) (25 2 4) 2x3 1 6x3 6x 1 x 5 ​ _________  ​   1 ​ _____________  ​  1 ​ _______  ​   1 ​ _________  ​   5            10 6 3 10 4

8 3 __ 9 7 2 __ 7 ___ 5 ​ ___  ​x   2 ​   ​ x 1 ​   ​ x 2 ​    ​ 5   10 6 3 10 5

9 4 7 7 ​    ​  5 ​ __ ​ x3 2 ​ __ ​ x2 1 ​ __ ​ x 2 ___ 5 6 3 10 60

CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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Exercícios PROPOSTOS 17x 17y 68 e)2​​____  ____ 6 6

68 Calcule as seguintes somas.

@ 

2ab 2 b2 2

b) (3ab 2 6a ) 1 (a 2 4ab 1 2b ) 1 (5a 2 3b2)

@ 

2

2

# @ 

2

#

b2 b2 7a c) ___   2 2ab 1 __ 1 4ab 2 __ 5 3 3

# @ 

#

x 2 2x 2 2x 1 1 d)   __   1 ___   2 __ 2 __ x 1 ___ 5 3 4 3 4

a) (2x 1 y 1 3) 1 (25x 1 y 2 1) 23x  2y  2

5

2x 1  ___ 2 __ 5 2

@  # @  # @  # 3y 23x f ) @    1 5y #  1 @ 4x 2   2 1 #   @ x 1 2y #  2 4 y y x 5x 2x e) 2___   1 3y    1   __     2 __     1 2___   1 __ 3 2 3 2 3 ____

7a ___  2ab

2

___

25y 7x ____ ___  21 2

4

69 Dados os polinômios A 5 x 2 2 3x 1 5, B 5 x 2 1 2x 2 4 e C 5 x 2 1 5x 2 1, calcule: a) A 1 B  2x

2

2x1

b) A 1 B 1 C 

c) A 1 C

3x 2  4x

d) B 1 C

2x 2  2x  4

2x 2  7x 2 5

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

70 Considere os números x e y. Soma-se o triplo de x com o dobro de y, obtendo-se o polinômio A. A seguir, soma-se a metade de x com a quarta parte de y, obtendo-se o polinômio B. a) Represente a expressão algébrica de A 1 B. __72 x  __94 y b) Essa expressão é um polinômio? sim c) Em caso afi rmativo, como se classifi ca esse polinômio quanto ao número de termos?

binômio

Subtração de polinômios O polígono 1 foi construído com 4 canudinhos de medida a, 4 canudinhos de medida b e2canudinhosdemedidac.Opolígono2foiconstruídocom4canudinhosdemedidaae 2canudinhosdemedidab. a

c

2b

a

b

c a

b

a

b

a

a

a

a

polígono 1

b polígono 2

Opolinômioquerepresentaoperímetrodopolígono1é4a14b12c,eopolinômioque representaoperímetrodopolígono2é4a12b. Naconstruçãodopolígono1,empregamos2canudinhosdecomprimentobe2canudinhos decomprimentoca maisquenaconstruçãodopolígono2,ouseja,construímoslinhascuja diferençadecomprimentoédadapor:2b12c Opolinômio2b12céadiferençaentreospolinômios4a14b12ce4a12b. Esseresultadopoderiatersidoobtidodaseguintemaneira: (4 a14b12c)2(4a12b)5 54a14b12c24a22b5

Eliminamos os parênteses.

54a24a14b22b12c5 52b12c 

 Agrupamos e reduzimos os termos semelhantes. CAPÍTULO 2

039_072_BIANCHINI_MAT8_C02.indd 61

CálCulo algébriCo

61

20/07/11 09:54

Vejaestesexemplos. a)2x2(4y23x)1(5x2y)5 52x24y13x15x2y5

Eliminamos os parênteses.

510x25y

Reduzimos os termos semelhantes.

2

2

b)3a 2[2a212(2a 25a13)]265 53a 22[2a2122a 215a23]265 2

2

53a 22a1112a 25a13265

Eliminamos os colchetes.

2

55a 27a22 2

Eliminamos os parênteses.

Reduzimos os termos semelhantes. 2

c) 2 x 2[5x2(3x 12x21)]5 52x 22[5x23x 222x11]5

Eliminamos os parênteses.

2

52x 25x13x 12x215

Eliminamos os colchetes.

2

55x 23x21

Reduzimos os termos semelhantes.

Exercícios PROPOSTOS 71 Calcule.

76 Uma agência de automóveis tinha, no início do

5ab 2 2 2a  4b

2

2

a) (7ab 2 3a 1 5b) 1 (22ab 1 a 2 b) b) (3a2 2 5ab 1 2c 2 2bc) 2 (5a2 2 5ab 2 2bc)

22a 2  2c

@ 

# @ 

@ 2

# @  2

#

3 2 1 1 y2 2 3y 2 2 1 __ y2 1 __ y 1 __ c) __ 2 3 4 13 2 11

3 ___y2 2 __y 2 __ 6

#

4

3y 3xy y xy x     2 ____   2 __ d)   __   1 __   2 ___   2 2x    4

3

3

2

5xy 7y 5x ___ ___ 2 2 ___ 2 12 6

72 Dados os polinômios A 5 5x2 2 3x 1 4, B 5 2x 2 1 4x 2 3 e C 5 x 2 2 3x, calcule: a) A 2 B 3x 2 7x  7 b) B 2 A 23x  7x 2 7 c) A 1 C 2 B 4x 2 10x  7 2

2

2

73 Qual polinômio devemos somar a 2x 1 y 1 3 para obter o polinômio 23x 1 2y 1 2?

25x  y 2 1

74 Qual polinômio devemos subtrair de

2x 3 2 3x 2 1 x 2 4 para obter o polinômio 23x 3 2 5x 2 1 4x 1 1? 5x  2x 2 3x 2 5 3

2

a) 10x 2 2 (5x 1 6) 2 [2x 2 (3x 2 2 2)] 13x 2 2 7x 2 8

b) 5a 2 [3b 1 7 2 (4a 2 5b) 1 (2 2 a)]

@ 2

# @ 

10a 2 8b 2 9

#

1 1 1 x 2 2 2 2__ 1 x 1 __ c) x  1 __ x 2 2

3

3 1 2 2 __ __ x 2 x 2 __ 3

62

CAPÍTULO 2

2

77 Ângela tinha em um cofre 18 moedas de

x centavos, 30 moedas de y centavos e 40 moedas de z centavos. Durante o mês, depositou 8 moedas de x centavos e 10 moedas de y centavos. No mês seguinte, retirou 12 moedas de y centavos e 8 moedas de z centavos. Determine o polinômio que representa o total de centavos depositado no cofre: a) no início das operações; 18x  30y  40z b) no fi nal do mês anterior; 26x  40y  40z c) atualmente. 26x  28y  32z

78 Considere a fi gura abaixo. 2x 1 1

75 Reduza os termos semelhantes.

2

mês, 10 carros do tipo A, 12 carros do tipo B e 21 carros do tipo C. Durante o mês, vendeu 5 carros do tipo A, 9 carros do tipo B e 18 carros do tipo C. Adquiriu, durante esse mês, 8 carros do tipo A, 6 carros do tipo B e 20 carros do tipo C. Determine o polinômio que representa o estoque de veículos: a) no início do mês; 10A  12B  21C b) no fi nal do mês. 13A  9B  23C

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

A

3x 2 2 B

2x C

D

Determine: ___ a) a medida do segmento  AC  ___;  5x 2 1 b) a medida do segmento  ___ BD  ; 5x 2 2 c) a medida do segmento  AD  . 7x 2 1

2

CálCulo algébriCo

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Multiplicação entre polinômio e monômio Considere as seguintes figuras formadas por retângulos.

z

z

x

x

z

y

A soma das áreas dessas figuras é: xz 1 xz 1 yz 5 2xz 1 yz

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Agrupando as três figuras, formamos um retângulo maior. Veja.

z

2x + y

A base desse retângulo mede 2x 1 y e a altura mede z. Portanto, a área desse retângulo é (2x 1 y) 3 z. No entanto, essa área é a soma das áreas dos três retângulos que formaram o retângulo maior. Logo: (2x 1 y) 3 z 5 2xz 1 yz Observe que a expressão 2xz 1 yz também resulta da aplicação da propriedade distributiva em (2x 1 y) 3 z. (2x  1  y)  3  z  5  2xz  1  yz Veja outros exemplos. a) 3x 3 (5x 2 4y)

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação e efetuando as operações indicadas, temos:



3x 3 (5x 2 4y) 5 (3x) 3 (5x) 2 (3x) 3 (4y) 5 15x2 2 12xy

b) 23a 3 (2a 2 4) 5

23a 3 (2a 2 4) 5 (23a) 3 (2a) 2 (23a) 3 (4) 5 26a2 1 12a

c) 2xy 3 (3x2 2 5xy 1 y2) 5

2xy 3 (3x2 2 5xy 1 y2) 5 (2xy) 3 (3x2) 2 (2xy) 3 (5xy) 1 (2xy) 3 (y2) 5 6x 3y 2 10x2y2 1 2xy3 CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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63

20/07/11 09:54

Exercícios PROPOSTOS 81 A soma das áreas das duas fi guras abaixo pode

79 Calcule.

ser expressa por um binômio. Determine-o.

a) 7x 3 (2x 2 5) 14x 2 35x b) (3a 2 2 2a 2 1) 3 5a 15a 2 10a 2 5a c) 23x 3 (4x 2 2 3x 1 1) 212x  9x 2 3x 1 2 1 a __25 a 2 ___ d) __ a 3   a 2 __ 10 5 4 e) (0,3x 2 2 1,4x) 3 (20,2x 3) 20,06x  0,28x 2

3

3

@ 

#

4x 2  3x

2

2

x

2

5

2x + 1

4

80 Considere as fi guras.

x+1

2x

2x

4x

tapete na forma de um quadrado, como mostra a fi gura abaixo.

+1

8

b x1y

a 2x 1 y

x

8a  ab 2 b 2

a) Determine o binômio que representa a área do paralelogramo. 8x  2x b) Encontre o binômio que representa a área do trapézio. __32 x  xy 2

2

a) Determine a expressão algébrica que representa a área da sala não coberta pelo tapete. b) Se a 5 4 m e b 5 2,1 m, calcule a área da sala que fi cou descoberta. Para isso, você pode usar uma calculadora. 35,99 m 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

82 Em uma sala retangular, foi colocado um

Multiplicação entre dois polinômios Considereasfiguras. a

a+b

b d

c+d c

figura1

figura2

Podemosdeterminaraáreadafigura1calculandoseparadamenteaáreadecadaretângulo esomandoosresultadosobtidos:ac1ad1bc1bd Aáreadafigura2é:(a1b)3(c1d) Comoasduasfiguras(1e2)sãodeterminadaspordoisretângulosdemesmasdimensões, elastêmáreasiguais.Logo: (a1b)3(c1d)5ac1ad1bc1bd 64

CAPÍTULO 2

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Observequeaexpressãoac1ad1bc1bdresultadaaplicaçãodapropriedadedistributiva em(a1b)3(c1d ). (a1b)3(c1d )5ac1ad1bc1bd Vejaoutrosexemplos. a)(7x 222x11)3(x22)57x3214x222x214x1x2257x3216x215x22

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b)(2x21)3(3x12)3(2x21) 

Multipliquemososdoisprimeirospolinômios:



[(2x21)3(3x12)]3(2x21)5



5(6x 214x23x22)3(2x21)5

Eliminamos os colchetes.

2



5(6x 1x22)3(2x21)



Agora,procedendocomonoexemploanterior,temos:



(6x 21x22)3(2x21)5



526x 326x22x22x12x125



526x 327x21x12

Reduzimos os termos semelhantes.

Reduzimos os termos semelhantes.

Exercícios PROPOSTOS 85 Dados A 5 x 2 1 3x 2 2, B 5 x 1 2 e C 5 x 2 3,

83 Calcule. a) (5x 2 1) 3 (5x 1 1) 25x 2 1 b) (a 1 b) 3 (a 1 b) a  2ab  b c) (2x 2 2 3x 2 6) 3 (5x 2 2) 10x 2 19x 2 24x  12 3 1 3 b    3   a 2 __ b    2a 2 __25 ab 2 ___ d) 2a 1 __ b 10 5 2 2

2

2

3

@  # @  # 3 1 2 e) @  x  2 x 1 3 # 3  @ x 2 # 5 3 2

2

2

__

2

__

__

2

3 33 2 3 ___ 14 2 ___ __ x  x 2 __ x 2 3

15

10

2

84 Observe o retângulo abaixo.

calcule: a) A 3 B e A 3 C  3

2

b) A 3 (B 1 C)

x  5x  4x 2 4; x 2 11x  6

86 Calcule os produtos.

a) 3x 3 (2x 2 3) 3 (x 1 2) 6x  3x 2 18x b) 22x 3 (x 1 5) 3 (2x 2 5) 24x 2 10x  50x c) (x 1 1) 3 (x 2 2) 3 (x 2 3) x 2 4x  x  6 d) (x 2 3) 3 (2x 2 1) 3 (3x 2 2) 6x 2 25x  23x 2 6 e) (a 2 2b) 3 (a 1 2b) 3 (a 2 b) a 2 a b 2 4ab  4b f ) (a 2 b) 3 (a 1 b) 3 (3a 2 b) 3a 2 3ab 2 a b  b x 1 1 x x g)  __       x 1 __ 3 2x 2 __ x  ___ 2 ___ 12 12 2 3 2 y y 13y 1 y y 2 ____ 1 2 __ h)   __     1 1 3   __     2 1 3   y 1 __ __6 2 ___ 12 12 2 2 3 2 3

2

3

2

3

2

3

3

@ 

@ 

# @  # # @  # @ 

3

2

2

3

x+1

2x 3  5x2 2 7x  2

3

2

2

3

2

3

2

#

3

2

87 O piso de uma sala foi coberto usando 45 lajo2x + 1

a) Determine o trinômio que representa a área do retângulo. 2x  3x  1 b) Calcule o valor numérico desse trinômio para x 5 0,4. 2,52 2

tas retangulares, cujos lados têm por medidas a e b, e por outras 20 lajotas quadradas, cujo lado mede a. Outra sala foi coberta por 30 lajotas retangulares, cujos lados medem a 1 b e 2a 2 b, e outras 25 lajotas quadradas, cujos lados medem b. Escreva o polinômio que representa a soma das áreas dessas duas salas. 80a2  75ab 2 5b2

CAPÍTULO 2

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Divisão de polinômio por monômio Considereoretânguloaolado. A área desse retângulo é representada pelo polinômio 6x 19xeamedidadaalturapelomonômio3x.

6x² + 9x

3x

2

Vamosdeterminaropolinômioquerepresentaamedida dabasedoretângulo. Paraisso,devemosdividiropolinômio6x219xpelomonômio3x,ouseja,devemosachar opolinômioquemultiplicadopor3xdá6x219x. Essepolinômioé2x13,pois3x3(2x13)56x219x. Observe que o polinômio 2x 1 3 pode ser obtido dividindo-se cada um dos termos de6x219xpor3x. (6x219x)4(3x)52x13

• (18x3212x213x)4(23x)526x214x21 5 7  y3 • (7x3y225x2y4)4(23x2y)52__xy1__ 3 3

Exercícios PROPOSTOS 93 Caio gosta de elaborar desafi os matemáticos.

88 Calcule os quocientes. 5

3

2

a) (8x  1 6x  ) 4 (12x  ) 4x  3x b) (12ab 1 15a2b 1 9ab2) 4 (3ab) 4  5a  3b c) (20x 2 10x 2) 4 (25x) 24  2x d) (a3 1 a2 1 a) 4 (a) a  a  1 e) (x 5 1 x 2) 4 (2x 2) 2x 2 1 f) (7x 2 2 8x 1 5) 4 (21) 27x  8x 2 5 3

2

3

2

89 Determine o polinômio que multiplicado por 27x dá o polinômio 21x 3 2 28x 2 1 14x. 23x 2  4x 2 2

Leia este desafi o que Caio propôs ao amigo Tiago. “O produto da idade de dois irmãos é representado pela expressão algébrica x 2 1 10x. Sabendo que x representa a idade do irmão mais novo, descubra a expressão algébrica que representa a idade do irmão mais velho e determine a diferença de idade entre eles.” Supondo que Tiago esteja pensando corretamente, qual resposta ele dará a Caio? x  10; 10

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Vejaoutrosexemplos.

90 Multiplicando o monômio 24xy pelo polinômio A encontra-se o polinômio 28xy 1 9x 2y 2 6xy2. Determine o polinômio A. 2 2 2,25x  1,5y

@ 73

1 4

# @  12 #

91 Qual é o quociente de __ x 2 2 __ x   por 2__ x   ? 92 Calcule o valor da expressão [(25x 2 2 15x) 4 (25x)] 3 (5x 1 3). 66

CAPÍTULO 2

14x 1 2​____ ​   __ 3 2 225x 2  9

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Divisão de polinômio por polinômio Adivisãodeumpolinômioporoutropolinômionãonuloseráfeitaconsiderandoapenasos polinômioscomumavariável. Parafacilitaressasdivisões,devemosescreverospolinômiossegundoaspotênciasdecrescentesdavariável,eopolinômiodividendodeveserescritonaformageral. Vamosmostrarcomexemploscomosecalculaoquocientedeumpolinômioporoutro polinômio. O processo que vamos utilizar visa construir, gradativamente, um polinômio quociente que multiplicado pelo polinômio divisor e somado com o resto dê o polinômiodividendo. Exemplo 1 Calcularoquocientede8x2210x15por2x11.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

 omeçamosdividindooprimeirotermododividendo C (8x2)peloprimeirotermodopolinômiodivisor(2x). Obtemosoprimeirotermodoquociente:4x. 8x 2 210x15 2x11 4x  ultiplicamos o quociente obtido (4x) pelo divisor M 2x11,obtendooproduto8x214x.Subtraímosesse produtododividendo,domesmomodocomofazemos nadivisãocomnúmeros. 8x 2 210x15 2x11 4x 28x 22 4x 214x1 5  epetimosospassosanterioresparacalcularoquocienR tede214x15por2x11.  ividimos 214x por 2x, obtendo o segundo termo D doquociente27. Multiplicamos27por2x11,obtendo214x27.  ubtraímos esse produto de 214x 1 5 e obtemos S oresto12.

8x 2 210x1 5 2x11 28x 22 4x

4x 27

214x1 5 14x1 7 1 12

 omooresto(12)temgraumenorqueograudodivisor(2x11),ficaencerradaadivisão. C Logo,obtemosoquocienteeorestodadivisão. Quociente:4x27 Resto:12 Vamosfazeraverificação: (4x27)3(2x11)1(112)58x2210x2711258x2210x15 polinômio dividendo

CAPÍTULO 2

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Exemplo 2 Calcularoquocientede12x4217x323x2211x23por3x222x23. 12x42 17x3 2 3x2211x23 3x222x23 212x41 8x3112x2

4x223x11

29x31 9x2211x23 9x32 6x22 9x  3x2220x23 23x21 2x 13

Quociente:4x223x11

218x

Resto:218x

Exemplo 3 Calcularoquocientede8x321por2x21. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Comoopolinômiodividendoéincompleto,vamosescrevê-lonaformageral: 8x310x210x21 8x310x210x21 2x21 28x314x2

4x212x11

4x210x21 24x212x 2x21 22x11

Quociente:4x212x11

0

Resto:0

Quandoorestoézerodizemosqueadivisãoéexata.

Exercícios PROPOSTOS 94 Determine o polinômio M que multiplicado 97 Determine o quociente e o resto da divisão. por 2x 2 1 dá 6x 2 2 7x 1 2. Verifi que sua resposta. 3x 2 2

a) (2x 3 2 9x 2 1 3x 2 6) 4 (x 2 2) 2x 2 5x 2 7; 220 b) (6a3 2 7a2 1 2a 1 1) 4 (3a2 2 5a 1 3) 2

2a  1; a 2 2

95 Qual é o polinômio que multiplicado por 2

3

2

a 1 2a 2 5 dá 3a 1 2a 2 23a 1 20? 3a 2 4

98 A área do retângulo abaixo é dada pela expres-

são 5x 2 1 2x 2 3. Calcule o polinômio que representa a medida da altura desse retângulo. x1

96 Calcule o quociente. a) (x 2 1 7x 1 12) 4 (x 1 3) x  4 b) (6x 2 2 11x 2 10) 4 (3x 1 2) 2x 2 5 c) (2x4 2 11x 3 1 16x 2 2 6x) 4 (x 2 2 4x 1 2)

5x² + 2x − 3 5x − 3

2x 2 2 3x

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CAPÍTULO 2

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Exercícios COMPLEMENTARES 99 Na expressão m 5 a 1 3b 2 2c, as letras a, b 106 Calcule os produtos. e c podem assumir os valores 0, 1 ou 2. a) Qual o valor para m 5 1, b 5 1 e c 5 2? 2 b) Qual o maior valor possível para m? 8 c) Determine a, b e c de modo que m 5 24 a 5 b 5 0, c 5 2

100 Considere os segmentos abaixo. 3a

2b

A

M

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

C

N

@ 

#

2 1 1 1 x c) __ x 3 __ x 2 __ ___ 5 4 2 10

2

26x 3  9x 2  3x

1 2 __ x 5

3x − 0,5

2x

3b D

x+2

Determine o polinômio que representa: ___ a) a medida do segmento  AB  ___ ; 3a  2b  2c b) a medida do segmento  CD  ; 4a  3b c) a soma das medidas desses dois segmentos. 7a  5b  2c

101 Calcule.

2x2

b) 23x 3 (2x 2 2 3x 2 1)

B

O

2

6x 3 2 8x 2

107 Determine a área de cada paralelogramo.

2c

4a

a) 2x 3 (3x 2 2 4x)

3x

2x 2  4x

9x 2 2 1,5x

108 Calcule os seguintes produtos de polinômios. a) (x 2 2) 3 (x 1 5) x  3x 2 10 b) (2x 2 4) 3 (3x 1 1) 6x 2 10x 2 4 c) (x  2 1) 3 (x 2 1 x 1 1) x 2 1 d) (a3 2 a2 1 a) 3 (a 1 1) a  a e) ( y 2 3) 3 ( y 2 1 5y 2 2) y  2y 2 17y  6 2

2

3

4

2

a) (3a 2 5b) 1 (5a 1 5b) 8a b) (5a 2 2b) 2 (2c 2 3a 1 b) 8a 2 3b 2 2c 2 2 2 6x 2 1 c) (3x  2 5x 1 2) 2 (x  1 6x 2 4) 1 (5x 2 7) 2 2 d) (a 2 ab) 1 (b 2 ab) 2 (a2 1 b2) 22ab e) (5x 2 1 3ax 2 a2) 2 (5ax 2 a2) 1 (3ax 2 x2) 2

3

2

109 Determine a área do retângulo. Ela é expressa por um polinômio de quantos termos? três

4x 2  ax

102 Determine a soma dos polinômios.

@  5 3 # @  3 1 b) @ 2 a 2 2b #  2 @  b 1 2a #  5 2

5a − b

#

3 2 1 3 a) 1__ a 1 __ b 2 3c    1 22a 1 __ b 1 __ c    __

__

4

2

5 17 7 2__ a  ___ b 2 __ c 5 12 2

5 13 2​​__ a 2 ___ b 2 5

103 Elimine parênteses, colchetes e chaves e redu-

2x2

za os termos semelhantes. a) 3a 2 (b 2 a) 1 (5b 2 2a) 2a  4b 2 2 2 2x  2 b) x  2 {3x 2 [(x 1 3) 1 (x  2 1)]} 3x 2 3y 2 xy c) 2y 2 [23xy 1 (22x 1 5y) 2 (24xy 1 x) d) 5m2 2 {23m 1 [8 2 (23m 1 m2)] 1 1 (22m 1 5)} 6m + 2m 2 13

3a + 2b

15a 2  7ab 2 2b2

110 Calcule os produtos. a) 5x(x 2 3)(x 1 4) 5x  5x 2 60x b) 3ab(2a 1 b)(a 2 b) 6a b 2 3a b 2 3ab c) 4a(a 1 2)(a 2 4) 4a 2 8a 2 32a d) (a 2 1)(a2 2 1)(a 1 1) a 2 2a  1 e) (x 1 2)(x 1 3)(x 1 4) x  9x  26x  24 f) (x 2 3)(2x 1 3)(x 1 1) 2x 2 x 2 12x 2 9 3

2

3

2

3

2

3

2

4

2

3

2

3

2

2

104 Do polinômio A subtraí o polinômio

111 Determine o binômio que representa a área desta fi gura. 6x  4xy 2

4x 2 3y 1 4 e obtive 24x 2 6y 2 9. Qual é o polinômio A? 29y 2 5 2x

105 Dados A 5 x 2 1 2xy 1 y 2, B 5 3x 2 2 2xy 1 4y 2 e C 5 3x 2 2 y 2, calcule: a) A 2 B  b) A 2 C c) A 1 B 2 C 22x 2  4xy 2 3y2

22x 2  2xy  2y2

x 2  6y2

3x

2y

CAPÍTULO 2

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112 Simplifique as expressões. a) 3a(a 2 b) 2 2a(a 1 b) a 2 5ab b) 2x(x 2 3) 1 x(x 2 5) 3x 2 11x c) (x 2 3) 3 (x 2 5) 1 3x(x 1 4) 4x 1 4x 1 15 d) (a 1 b) 3 (a 2 b) 1 (a 2 2b) 3 (a 1 5b) 2

2

119 Determine o polinômio que dividido por 5x 2 2 3x 1 1 tenha por quociente x 2 1 2x 2 3 e resto 25x 1 2. 5x 1 7x 2 20x 1 6x 2 1 4

3

2

2

2a 2 1 3ab 2 11b2

113 Observe a figura a seguir.

120 Determine o polinômio A que multiplicado por 2x 2 1 tenha por produto 8x 3 2 14x 2 1 11x 2 3. 4x 2 5x 1 3 2

121 A área do retângulo abaixo é expressa pelo polinômio 2x 2 1 11x 1 15. Qual é o polinômio que representa a medida da altura desse retângulo? x 1 3

b

0,8b

2x2 + 11x + 15

2x + 5

a

Determine a expressão algébrica que representa: a) o perímetro dessa figura; 3,6b 1 6a b) a área da figura. 2a 1 0,8b 1 ab 2

2

114 Determine os quocientes. a) (12a2 1 9a) 4 (13a) 4a 1 3 b) (15x 3 2 10x 2) 4 (25x) 23x 1 2x c) (ax 1 bx) 4 x a 1 b d) (3a2 1 6a) 4 (4a) ​ __34  ​ a 1 ​ __32  ​ e) (2x 2 2 5x) 4 (23x) 2​ __23  ​ x 1 ​ __53  ​ 3 1 4 9 3 9a ​   ​   2 ​ ___  ​  a 1 ​ __  ​ f) ​ 6a3 2 ​ __ ​  a2 1 ​ __ ​  a  ​4 ​ __ ​    ​ a  ​ ___ 2 16 8 4 2 3 2

@ 

# @  #

122 Dados: A 5 6x 2 2 5x 2 6 B 5 2x 2 1 5x 2 12 calcule: a) B 3 C 4x 1 4x 2 39x 1 36 b) D 2 5 D 3 D x 1 8x 1 16 c) B 4 D 2x 2 3 3

2

2

C 5 2x 2 3 D5x14 d) B 4 C x 1 4 e) (A 1 B) 3 C

16x 3 2 24x2 2 36x 1 54

123 Carolina comprou uma folha de cartolina quadrada de 40 cm de lado e deseja construir uma caixa sem tampa com essa cartolina. Para isso, ela cortou em cada canto da folha um quadrado de mesmo tamanho. Observe.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2a

2

115 Determine o quociente e o resto. a) (x 2 1 11x 1 18) 4 (x 1 2) x 1 9; R: 0 b) (8x 2 2 10x 1 5) 4 (2x 2 2) 4x 2 1; R: 3 c) (12x 3 2 17x 2 1 10x 2 3) 4 (3x 2 2 2x 1 1) 4x 2 3; R: 0 d) (4x 2 1 11x 2 6) 4 (x 1 4) 4x 2 5; R: 14

116 Dividindo-se 4a4 2 5a2 1 a 2 2 por 2a2 2 a 1 1, encontra-se um resto R. Calcule o valor numé1 rico de R para a 5 ​ __  ​. 0 3 117 Determine o polinômio X que dividido por (x 2 2) tenha por quociente exato 2x 1 3. 2x 2 2 x 2 6

118 Qual é o polinômio que dividido por 5a2 2 2a 2 3 tem por quociente exato 3a 2 4?

15a 3 2 26a2 2 a 1 12

70

x 40 cm

a) Represente por meio de uma expressão algébrica a área do fundo da caixa. (40 2 2x) b) Qual é a capacidade dessa caixa? (40 2 2x) 3 x c) Se Carolina cortar quadrados de 6 cm de lado, qual será a área aproveitada da folha? 2

2

1.456 cm2

CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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124 Divida o polinômio

127 Considere o número x.

6x 4 2 16x 3 2 11x 2 1 33x 1 20 por 3x 2 2 5x 2 3 e calcule: a) o valor numérico do quociente para x 5 22. 7 1 b) o valor numérico do resto para x 5 2 __ . 4 2 25 Sendo A 5 x 3 2 x 2 2 5x 2 3 e 1

B 5 x 3 2 2x 2 2 3x, calcule o quociente de (A 1 B) por (A 2 B). 2x  1

126 Qual é o resultado da divisão de 5x 3 1 5x 2 2 60x por 5x(x 2 3)? x  4

Eleve x ao quadrado, some com o triplo dele e subtraia 42 do total. Divida o polinômio obtido por x 1 8. Qual é o resto dessa divisão? 22 128 Divida 210x 2 1 11x 1 90 por 22x 2 5. Você encontrará um quociente Q1. Divida 28x 3 2 47x 2 1 19x 2 5 por 7x 2 2 3x 1 1. O quociente encontrado será Q2. Calcule x para que se tenha Q1 5 Q2. 13

1 29 (Fesp-SP) Qual é o resto da divisão do polinômio x 3 2 2x 2 2 x 1 2 por x 2 2 1?

0

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

TESTES 130 Rogério tem x reais e Sara, y reais. Roberto possui o triplo da quantia de Rogério e Raquel tem 100 reais a mais do que Sara. A expressão algébrica que representa o total de reais que todos possuem é: a) 3x 1 10y  b) x 1 y 1 100 c) 3x 1 2y 1 100 X d) 4x 1 2y 1 100

131 Os professores de um colégio vão levar x alu-

nos ao teatro. Sabendo que o ingresso custa R$10,00 por aluno e que os professores não pagam ingresso, a expressão que representa o gasto total referente aos ingressos é: x a)  ___  c) x 1 10 10 d) x 2 10 X b) 10x 

133 O polinômio 4x 3 2 2x 2 1 4x 2 8 é do: X a) 3

o

grau b) 2o grau c) 1o grau d) 6o grau

134 A expressão x 2 2 5x 1 6 é um: a) monômio b) binômio X c) trinômio d) n.d.a.

135 (UFV-MG) Éder e Vando, alunos do 8o ano,

brincam de modifi car polinômios com uma Regra  de  Três  Passos (R3P). No 1 o passo, apagam o termo independente; no 2o passo, multiplicam cada monômio pelo seu grau; e, no 3o passo, subtraem 1 no grau de cada monômio. Pela aplicação da R3P ao polinômio p(x) 5 (2x 1 1) (x 2 3), obtém-se o polinômio: X a) 4x 2 5 b) 2x 1 3 c) 4x 1 5 d) 4x 1 3 e) 2x 2 5

@ 52 #

136 O produto de (24a2b) por __ ab    é igual a: 132 O monômio 3x  y é semelhante ao monômio: 2

a) 5xy  b) 25xy2

2

X c) 25x  y

d) 5xy2

20a3b2 a) 2______ 8 10 b) 2___ a 4

X c) 210a

b

d) 110a3b2

CAPÍTULO 2

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3 2

CálCulo algébriCo

71

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137 A potência de (24a3b2)2 é igual a:

141 (UFMG) O quociente da divisão de

a) 28a9b4 b) 18a9b4 c) 216a6b4 6 4 X d) 116a b

4x4 2 4x 3 1 x 2 1 por 4x 3 1 1 é:

um quadrado. Para formar uma fileira com 2 quadrados, são necessários 7 palitos. Uma fileira com 3 quadrados utiliza 10 palitos; com 4 quadrados usam-se 13 palitos, e assim sucessivamente. 1

2

3

n

Para formar uma fileira com n quadrados, o número de palitos necessários pode ser calculado com a expressão: a) 3n 1 2 X b) 3n 1 1 c) 2n 1 2 d) 2n 1 1 e) 4n 2 1

139 O produto de (x 2 1) por (x 2 1 x 1 1) é igual a: 3

X a) x 

21 b) x 3 1 2x 2 1 2x 2 1 c) x 3 2 2x 2 2 2x 2 1 d) 3x 2 1

140 (Cesgranrio-RJ) Simplificando a expressão a3(a2 1 a3) 4 a5, encontramos: X a) 1 1 a b) a 1 a2 c) 1 1 5a d) 1 2 a e) a3

72

142 (Uespi) O resto da divisão do polinômio 4x 3 1 12x 2 1 x 2 4 por 2x 1 3 é: a) 1 b) 2

c) 4 d) 6

X e) 8

143 (UCSal-BA) Sejam os polinômios p 5 x 3 2 2x 2 1 x, q 5 2x 2 1 e r 5 x 1 1. Efetuando-se p 1 q 3 r, obtém-se: 3

X a) x 

1 2x 2 1 b) x 3 1 x 2 1 c) x 3 1 2x 1 1 d) x 3 1 3x e) x4 2 x 3 1 x 2 1 2x 2 1

144 (Ulbra-RS) Sendo A 5 x 2 1 x e B 5 x 2 2 x, o valor de 2AB é: a) zero b) 2x4 2 4x 3 2 2x 2 c) x4 2 x 3 2 x 2 4 2 X d) 2x 2 2x  4 2 e) x 2 x 

145 O resto da divisão de x4 1 1 por x 3 1 1 é: a) 0 b) 1

c) x X d) 1 2 x

e) 1 1 x

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

138 Com 4 palitos de sorvete pode-se fazer

a) x 2 5 X b) x 2 1 c) x 1 5 d) 4x 2 5 e) 4x 1 8

146 (UEMG) O resto da divisão de 3x4 2 2x 3 1 4x 2 10 por x 2 2 é: a) 10

X b) 30

c) 20

d) 0

CAPÍTULO 2    Cálculo algébrico

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AXEL SCHMIDT/STAFF/GETTY IMAGES

CAPÍTULO

3

Produtos notáveis e fatoração

Matemática no mundo a

O judô é uma modalidade olímpica que já rendeu muitas medalhas para vários atletas brasileiros de ambos os sexos. Trata-se de uma arte marcial muito antiga, que exige o uso de quimono e tatame.

b

Agora, responda. • Suponha um tatame conforme a fi gura ao lado. Como você representaria a medida de cada um dos lados desse quadrado usando somente letras? (a 1 2b) • Como seria feito o cálculo da área total do tatame? (a 1 2b) 3 (a 1 2b)

a

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b

a

b b

a

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1 Os produtos notáveis Vimos como calcular o produto de polinômios aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. Agora, veremos alguns produtos de binômios que aparecem com bastante frequência no cálculo algébrico. Eles são chamados de produtos notáveis e serão abordados a seguir.

Quadrado da soma de dois termos Usando como unidade de medida o comprimento do segmento u , vamos construir:

4u

a) um quadrado que tenha por medida do lado 4u; 4u

3u

3u

4u

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b) dois retângulos que tenham por medidas dos lados 4u e 3u;

4u

3u

c) um quadrado que tenha por medida do lado 3u. 3u 4u

3u

3u

Com essas figuras podemos montar o seguinte quadrado:

7u 4u

7u

A área desse quadrado pode ser obtida de duas maneiras. Vejamos. 1a)  Elevando a medida do seu lado ao quadrado: (4u 1 3u)2 5 (7u)2 5 49u2 2a)  Somando as áreas das figuras construídas: (4u)2 1 2 3 (4u 3 3u) 1 (3u)2 5 16u2 1 24u2 1 9u2 5 49u2 O quadrado tem 49u2 de área. Considere agora um quadrado de lado a 1 b, como a figura ao lado. Como a área de um quadrado de lado c é c2, então a área desse quadrado é (a 1 b)2.

a

b

a

74

b

CAPÍTULO 3    Produtos notáveis e fatoração

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Vamos, agora, separar as quatro partes em que o quadrado está dividido.

a3b

a2

a3b

b2

Somando as áreas em destaque, temos a2 1 2 3 ab 1 b2. Logo: (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 Esse resultado poderia ter sido obtido assim: (a 1 b)2 5 (a 1 b) 3 (a 1 b) 5 a2 1 ab 1 ab 1 b2 5 a2 1 2ab 1 b2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Portanto: (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 primeiro termo

quadrado do segundo termo segundo termo

2 3 (primeiro termo)  (segundo termo) quadrado do primeiro termo

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. Veja a aplicação dessa regra nos exemplos seguintes. Exemplo 1 Efetuar as expressões. a) (x 1 3)2 5 x2 1 2 3 x 3 3 1 32 5 x2 1 6x 1 9 quadrado do segundo termo 2  (primeiro termo)  (segundo termo) quadrado do primeiro termo

b) (3x 1 5y)2 5 (3x)2 1 2 3 (3x) 3 (5y) 1 (5y)2 5 9x2 1 30xy 1 25y2 quadrado do segundo termo 2  (primeiro termo)  (segundo termo) quadrado do primeiro termo

@ 

y

#

2

@ 2 # @ 2 # y

y

2

y2

c) ​​ 2x 1 __ ​    ​  ​​ ​5 (2x3)2 1 2 3 (2x3) 3 ​ __ ​    ​  ​1 ​​ __ ​    ​  ​​ ​5 4x6 1 2x3y 1 ​ __ ​  3

2

4

quadrado do segundo termo 2  (primeiro termo)  (segundo termo) quadrado do primeiro termo

CAPÍTULO 3    Produtos notáveis e fatoração

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75

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Exemplo 2 Simplificar a expressão 4x2(x 1 2) 2 x(2x 1 3)2. 4x2 3 (x 1 2) 2 x 3 (2x 1 3)2 5 5 4x3 1 8x2 2 x 3 (4x2 1 12x 1 9) 5

regra do quadrado da soma

5 4x3 1 8x2 2 4x3 2 12x2 2 9x 5 5 24x2 2 9x Exemplo 3 Usando a regra do quadrado da soma de dois termos, calcular as expressões. a) (23a 1 5)2 5 (23a)2 1 2 3 (23a) 3 5 1 52 5 9a2 2 30a 1 25

Exercícios PROPOSTOS 1 Reproduza, em uma folha de papel, as seguintes fi guras. Depois, recorte-as e monte, com elas, um quadrado.

A

x B

x

y

2

2

CAPÍTULO 3

III

I

II

x

5

I: x2; II: 5x;

3 A fi gura abaixo representa um quadrado. As partes pintadas também são quadrados.

Pede-se: a) a área do quadrado A; x b) a área de cada retângulo; xy c) a área do quadrado B; y d) a medida de cada lado da figura construída; x 1 y e) a área da fi gura construída. x 1 2xy 1 y 76

IV

2

x

2

2c) O aluno deve 5 perceber que, aplicando-se a regra do quadrado da soma de dois números, os termos x da expressão serão a soma das áreas de cada uma das partes que compõem a figura.

a) Determine as áreas I, II, III e IV. III: 25 e IV: 5x b) Determine a área da fi gura toda. x 1 10x 1 25 c) Calcule (x 1 5)2 e compare com a área da fi gura.

y

x

y

y

2 Considere a fi gura abaixo.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b) (25x 2 2y)2 5 [(25x) 1 (22y)]2 5 (25x)2 1 2 3 (25x) 3 (22y) 1 (22y)2 5 25x2 1 20xy 1 4y2

2

81

II

I

a2

a) Determine as áreas I e II. I: 9a e II: 9a b) Determine a área da fi gura toda. a 1 18a 1 81 c) Determine a medida do lado da fi gura. a 1 9 d) Calcule (a 1 9)2 e compare com a área da fi gura. O aluno deve perceber que, aplicando-se a 2

regra do quadrado da soma de dois números, os termos da expressão serão a soma das áreas de cada uma das partes que compõem a figura.

Produtos notáveis e fatoração

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4 Classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F). Corrija as falsas. a) (x 1 8)2 5 x 2 1 64 F, x 1 16x 1 64 b) (3x 1 5)2 5 (3x)2 1 2 3 (3x) 3 5 1 52 5 9x 2 1 30x 1 25 V c) (x 1 3y)2 5 x 2 1 3xy 1 (3y)2 5 x2 1 3xy 1 9y2 F, x  1 6xy 1 9y  2

2

@ 

2

@  # @  #

#

1 2 1 1 2 1 d) ​​ 4a 1 ​ __  ​b  ​ ​5 (4a)2 1 2 3 4a 3 ​ __ ​    ​b  ​1 ​​ __ ​    ​b  ​​ ​5 16a2 1 4ab 1 ​ __  ​b2 2 2 2 4

V

5 Calcule o quadrado da soma nos seguintes itens. a) (x 1 1)2 x

2

1 2x 1 1

b) (3x 1 y)2 9x

2

1 6xy 1 y2

c) (2x 1 3y)2 4x

2

1 12xy 1 9y2

e) (5a2 1 1)2 25a

1 10a2 1 1

d) (3a 1 2)2 9a

2

1 12a 1 4

f) (4a 1 y3)2 16a

1 8ay3 1 y6

4

2

@  # 3 2 h) ​​@ ​    ​x 1 ​    ​y #​ ​ 5 4

2 1 g) ​​ __ ​    ​x 1 3  ​​ ​ __​ 1  ​x 4 2

__ 

__ 

2

2

1 3x 1 9

3 9 4 ​    ​y  2 ​    ​xy 1 ___ ​ ___  ​ x2 1 __ 5 16 25

6 Simplifique as expressões. 23y 2 7 6a 1 3a 1 4 a) a(5a 2 1) 1 (a 1 2)2 c) ( y 2 3)( y 1 2) 2 (y 1 1)2 e) (2a 1 3b)2 2 4a(a 1 3b) 9b 2 2 2 b) (2x 1 3) 2 x(x 2 4) d) (9y 1 1) 2 ( y 1 9) 80y 2 80 f) (1 1 5a)2 1 25(1 2 a2) 26 1 10a 2

2

2

3x2 1 16x 1 9

7 Desenvolva as expressões. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) (2x 1 6)2 x

2

2 12x 1 36

@ 

#

y 2 __ x __ xy y b) ​​ 2​ __  ​ 1 ​      ​  ​​ ​ ​ x  ​ 2 __ ​   ​ 1 ​ __ ​  2 3 4 3 9 2

2

8 Um jardim em forma de quadrado teve seus lados aumentados em 3 metros. o lado do quadrado por x (antes a) Dê a expressão algébrica que representa a nova área desse jardim. Indicando do aumento), temos: (x 1 6x 1 9) m b) Dê a expressão algébrica que representa o aumento verificado na área do jardim. 2

2

(6x 1 9) m2

Pense mais um pouco...

Podemos utilizar o quadrado da soma para realizar cálculos mais rápidos, até mesmo mentalmente. Veja: 452 5 (40 1 5)2 5 1.600 1 2 3 40 3 5 1 25 5 1.600 1 400 1 25 5 2.025 Agora, aplicando o quadrado da soma, calcule mentalmente as potências e, em seguida, registre os resultados. a) 122 144

b) 242 576

c) 352 1.225

d) 522 2.704

Quadrado da diferença de dois termos

a−b

Considere a figura abaixo.

a

b a−b

b a

Queremos conhecer o polinômio que representa a área do quadrado verde cujo lado mede a 2 b e, portanto, tem área (a 2 b)2. CAPÍTULO 3    Produtos notáveis e fatoração

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77

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Vamos separar as 4 partes em que o quadrado está dividido.

(a − b)2

b 3 (a − b)

a

b 3 (a − b)

b2

Observe que a área do quadrado verde é igual à área do quadrado de lado a menos as duas áreas dos retângulos amarelos e menos a área do quadrado azul, cujo lado tem por medida b, ou seja: (a 2 b)2 5 a2 2 2 3 b 3 (a 2 b) 2 b2 (a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 2b2 2 b2 (a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2 Podemos calcular o quadrado de a 2 b aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. (a 2 b)2 5 (a 2 b) 3 (a 2 b) 5 a2 2 ab 2 ab 1 b2 5 a2 2 2ab 1 b2 Portanto: (a 2 b)2 5 a2 2 2ab 1 b2 quadrado do segundo termo

primeiro termo

2  (primeiro termo)  (segundo termo)

segundo termo

quadrado do primeiro termo

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a

Veja a aplicação dessa regra nos seguintes exemplos. Exemplo 1 Desenvolver as expressões. a) (x 2 3)2 5 x2 2 2 3 x 3 3 1 32 5 x2 2 6x 1 9 b) (3a 2 b)2 5 (3a)2 2 2 3 (3a) 3 b 1 b2 5 9a2 2 6ab 1 b2 y 2 2xy y2 y y 2 ____ 2x __ 2x 2 2x 4x2 ___ ___ ___ __ __ ____ __ c) ​​ ​   ​ 2 ​    ​  ​​ ​5 ​​ ​   ​   ​​ ​2 2 3 ​ ​   ​   ​3 ​ ​   ​ ​1 ​​ ​    ​  ​​ ​5 ​   ​   2 ​   ​    1 ​   ​  4 2 2 2 3 3 3 9 3

@ 

# @  #

@  # @  # @  #

Exemplo 2 Simplificar a expressão (x 2 2) 3 (x 2 5)2 2 x 3 (x 2 6)2.

78



(x 2 2) 3 (x 2 5)2 2 x 3 (x 2 6)2 5



5 (x 2 2) 3 (x2 2 10x 1 25) 2 x(x2 2 12x 1 36) 5



5 x3 2 10x2 1 25x 2 2x2 1 20x 2 50 2 x3 1 12x2 2 36x 5 9x 2 50 CAPÍTULO 3    Produtos notáveis e fatoração

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Exercícios PROPOSTOS 12 Na fi gura, as medidas são dadas em uma mes 9 Calcule os quadrados. 9x  2 12xy 1 4y 2 2 ma unidade. O lado do quadrado ABCD mede a) (x 2 y) x 2 2xy 1 y f) (3x 2 2y) 2 2 2 10, e o lado de cada quadrado azul mede 2x. b) (a 2 2) a 2 4a 1 4 g) (3a 2 1) 9a 2 6a 1 1 2 3 2 c) (x 2 1) x 2 2x 1 1 h) (x 2 2y ) x 2 4xy 1 4y D C 1 2 2 __ 1 __ d) (3a 2 5) i)   x 2 x 2 x 1 4 2 9a 2 30a 1 25 n 2 j) 3m 2 __   e) (5 2 4a)2 5 6 n 25 2 40a 1 16a 2

2

2

2

2

4

2

2

@ 

2

@ 

2

#

2

3

6

2

#

2

9m2 2 __mn 1 ___   5 25

10 Calcule as expressões. a) (2x 1 1)2 1 (x 2 5)2 5x 2 6x 1 26 b) (x 2 1)2 2 (x 1 1)2 24x 1 2 c) x(x 2 3)2 2 4   x 1 __ x 2 10x 1 5x 2 1 2 d) (x 2 3)2 2 (x 1 2)2 1 (x 1 3)(x 2 1) 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

@ 

#

3

2

A

x2 2 8x 1 2

1 11 Sendo x 2 1 __2 5 5, calcule o valor de: x  1 27 __ a)    x 1 x    1 2 x     3 b)    x 2 __

@  @ 

B

a) Para que valor de x a soma das áreas dos quadrados azuis é igual a área do quadrado vermelho? x 5 1,25 b) Nesse caso, quanto vale a soma das áreas dos quatro retângulos brancos? 50

# #

Pense mais um pouco...

Podemos aplicar o quadrado da diferença para realizar cálculos com mais rapidez, até mesmo mentalmente. Veja: • 392 5 (40 2 1)2 5 402 2 2 3 40 3 1 1 12 5 1.600 2 80 1 1 5 1.521 • 482 5 (50 2 2)2 5 502 2 2 3 50 3 2 1 22 5 2.500 2 200 1 4 5 2.304 Agora, aplicando o quadrado da diferença, calcule mentalmente as potências e, em seguida, registre os resultados. a) 292 841

b) 382

1.444

c) 992

d) 572

9.801

Produto da soma pela diferença de dois termos

A base desse retângulo mede a 1 b e a altura mede a 2 b. Portanto, a área do retângulo verde é (a 1 b) 3 (a 2 b).

a

b

I

II

a

b

b

Considere a figura ao lado. Queremos conhecer o polinômio que representa a área do retângulo verde.

3.249

a a−b

a+b

CAPÍTULO 3

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Produtos notáveis e fatoração

79

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Observe, na figura, que essa área é dada pela soma das áreas I e II: (a 1 b) 3 (a 2 b) 5 a(a 2 b) 1 b(a 2 b) (a 1 b) 3 (a 2 b) 5 a2 2 ab 1 ab 2 b2 (a 1 b) 3 (a 2 b) 5 a2 2 b2 Podemos calcular o produto (a 1 b) 3 (a 2 b) aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. (a 1 b) 3 (a 2 b) 5 a2 2 ab 1 ab 2 b2 5 a2 2 b2 Portanto: (a 1 b) 3 (a 2 b) 5 a2 2 b2 primeiro termo segundo termo

quadrado do segundo termo quadrado do primeiro termo

primeiro segundo termo termo

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Veja os exemplos. • (x 1 y) 3 (x 2 y) 5 x2 2 y2 quadrado do segundo termo quadrado do primeiro termo

• (5m 1 2n) 3 (5m 2 2n) 5 (5m)2 2 (2n)2 5 25m2 2 4n2 quadrado do segundo termo quadrado do primeiro termo

@ 

# @ 

#

@  #

2 2 2 2 4 • 5a 1 __b   3 5a 2 __b   5 (5a)2 2 __b    5 25a2 2 __b2 3 3 3 9

Exercícios PROPOSTOS 13 Classifi que como verdadeira (V) ou falsa (F) cada sentença, fazendo a correção daquelas que forem falsas. a) (5x 2 2) 3 (5x 1 2) 5 (5x)2 2 22 5 25x 2 2 4 V b) (4a 2 1 7b) 3 (4a 2 2 7b) 5 (4a2)2 2 (7b)2 5 16a 2 2 49b F, 16a 2 49b c) (0,3x 1 0,4y) 3 (0,3x 2 0,4y) 5 (0,3x)2 3 (0,4y)2 5 0,9x2 2 1,6y2 F, 0,09x 2 0,16y 4

2

2

@ 

# @ 

#

@  #

2 2 2 2 d) 12x 1 __ 3 12x 2 __ 5 (12x)2 2 __ 5 144x2 2 3 3 3 14 Calcule as expressões. a) (x 1 11) 3 (x 2 11)

b) (5 2 a3) 3 (5 1 a3)

2

x 2 121

25 2 a

15 Sendo 252 5 625, calcule (25 1 1) 3 (25 2 1). 80

CAPÍTULO 3

6

4 __ V 9

c) (a2 2 5) 3 (a2 1 5) 4

a 2 25 624

2

@ 

# @ 

#

3 3 d) __ x 1 y    3 __ x 2 y    4 4 9 2 ___  x 2 y2 16

Produtos notáveis e fatoração

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16 Sabendo que 202 5 400, calcule o produto 21 3 19. 399 17 A soma de dois números é 28 e a diferença é 10. Calcule a diferença entre os quadrados desses números. Em seguida, determine os dois números e verifique a sua solução.

20 Existem certas “adivinhações” em Matemá­tica que podem ser comprovadas utilizando processos algébricos. Vejamos uma delas. • Pense em um número natural qualquer. x • Multiplique o sucessor pelo antecessor do número pensado. (x 1 1) 3 (x 2 1) • Adicione 1 ao resultado e extraia a raiz quadrada. d​ lllllllll x  ​  x 2 1  1 1 ​  5 d​ ll • O último resultado é o número que você pensou! Como x é um número natural, temos d​ ll x  ​ 5 x. Justifique, algebricamente, essa “adivinhação”.

280, 19 e 9

19 Calcule o valor das expressões. 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) (3x 1 2) 3 (3x 2 2) 1 (x 1 2) 10x 1 4x b) (5x 2 6)2 2 (5x 1 4) 3 (5x 2 4) 260x 1 52 c) 32m2 1 16m 2 2 3 (4m 1 1)2 22 2

2

2

18 Se dois números têm por soma 30 e por di­ferença 20, então qual é a diferença entre os quadrados desses números? 600

2

21 Dê o valor de 26 3 28, sabendo que 272 5 729. 728

22 Sabendo que (m 1 h) 5 4 e que m2 2 h2 5 80, calcule m 2 h. 20

Cubo da soma e da diferença de dois termos Considere um cubo em que a aresta meça a 1 b, como o cubo ilustrado abaixo.

b

a a a

b

b

O volume desse cubo é dado por (a 1 b)3. Vamos separar as partes em que o cubo está dividido.

Um cubo de aresta a. Volume: a3.

Três paralelepípedos que têm arestas a, a e b. Cada paralelepípedo tem volume a2b. O volume dos três paralelepípedos é 3a2b.

Três paralelepípedos que têm arestas a, b e b. Cada paralelepípedo tem volume ab2. O volume dos três paralelepípedos é 3ab2.

Um cubo de aresta b. Volume: b3.

CAPÍTULO 3    Produtos notáveis e fatoração

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Somando todos esses volumes, temos: a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 Como o volume do todo é igual à soma dos volumes das partes, temos: (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 Esse mesmo resultado pode ser obtido por meio do seguinte cálculo:

(a 1 b)3 5 (a 1 b) 3 (a 1 b)2 5 (a 1 b) 3 (a2 1 2ab 1 b2) 5



5 a3 1 2a2b 1 ab2 1 a2b 1 2ab2 1 b3 5



5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3

(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 primeiro termo

cubo do segundo termo 3 3 (primeiro termo)  (quadrado do segundo termo)

segundo termo

3  (quadrado do primeiro termo)  (segundo termo) cubo do primeiro termo

Vejamos também o cubo da diferença de dois termos. Observe.

(a 2 b)3 5 (a 2 b) 3 (a 2 b)2 5 (a 2 b) 3 (a2 2 2ab 1 b2) 5



5 a3 2 2a2b 1 ab2 2 a2b 1 2ab2 2 b3 5



5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3

Portanto:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Portanto:

(a 2 b)3 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3 cubo do segundo termo primeiro termo

segundo termo

3 3 (primeiro termo)  (quadrado do segundo termo) 3  (quadrado do primeiro termo)  (segundo termo) cubo do primeiro termo

Veja alguns exemplos. a) (x 1 2)3 5 x3 1 3 3 x2 3 2 1 3 3 x 3 22 1 23 5

5 x3 1 6x2 1 12x 1 8

b) (2x 1 y)3 5 (2x)3 1 3 3 (2x)2 3 y 1 3 3 (2x) 3 y2 1 y3 5

5 8x3 1 3 3 (4x2) 3 y 1 3 3 (2x) 3 y2 1 y3 5



5 8x3 1 12x2y 1 6xy2 1 y3

c) (5x 2 2)3 5 (5x)3 2 3 3 (5x)2 3 2 1 3 3 (5x) 3 22 2 23 5 82

5 125x3 2 150x2 1 60x 2 8 CAPÍTULO 3    Produtos notáveis e fatoração

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Exercícios PROPOSTOS 23 Calcule. x 1 3x a) (x 1 1)3 b) (2a 1 3)3 3

2

1 3x 1 1

c) (1 2 x)3 1 2 3x 1 3x 2 x d) (3a 2 2)3 27a 2 54a 1 36a 2 8 2

3

8a3 1 36a2 1 54a 1 27

3

2

24 Determine o polinômio que representa o volume do cubo ao lado.

5

a3 1 15a2 1 75a 1 125

25 Simplifi que estas expressões. a) (2a 1 1)3 2 6a(2a 1 1) 8a 1 1 b) (a 2 b)3 2 3ab(b 2 a) a 2 b c) (x 2 2y)3 1 6xy 3 (x 2 2y) x 2 8y 3

3

a

3

3

3

a

26 Calcule a diferença entre o cubo de (4a 2 b) e o cubo de (4a 1 b).

a

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

296a2b 2 2b3

5

5

2 Fatoração de polinômios O que significa fatorar um polinômio? Sabemos que um número natural pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores. Esse procedimento é chamado de fatoração. Existem várias maneiras de fatorar um número natural. Observe algumas maneiras de fatorar o número 72, por exemplo. 72 5 8 3 9

72 5 6 3 12

72 5 23 3 32

72 5 2 3 2 3 18

Assim como é possível fatorar um número natural, alguns polinômios também podem ser fatorados. Fatorar um polinômio, quando possível, significa escrevê-lo na forma de um produto de polinômios mais simples. Vamos fatorar um polinômio. Para isso, considere a figura abaixo. I a

II

c

b

A área dessa figura pode ser determinada pela soma das áreas I e II: área da figura 5 área I 1 área II 5 ac 1 bc Também podemos achar a área da figura calculando a área do retângulo de base (a 1 b) e altura c: área da figura 5 (a 1 b) 3 c Logo: ac 1 bc 5 (a 1 b) 3 c A expressão (a 1 b) 3 c é a forma fatorada do polinômio ac 1 bc. A seguir, veremos alguns processos usados para fatorar um polinômio. CAPÍTULO 3

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Produtos notáveis e fatoração

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Fatoração colocando em evidência os fatores comuns Considere a figura ao lado, formada por três retângulos de mesma base (2). x

A área dessa figura pode ser dada pela soma das áreas dos três retângulos: A 5 2x 1 2y 1 2z

y

Também podemos determinar a área da figura considerando o retângulo maior, cuja altura é a soma x 1 y 1 z e a base também é 2. Veja. A 5 2 3 (x 1 y 1 z)

z

base comum aos três retângulos

Então, podemos escrever: 2x 1 2y 1 2z 5 2 3 (x 1 y 1 z).

2

Nesse caso, dizemos que 2(x 1 y 1 z) é a forma fatorada do polinômio 2x 1 2y 1 2z e, também, que colocamos em evidência o fator comum a todos os termos (2).

Exemplo 1 Fatorar o polinômio 25ab2 2 15a3b. 25ab2 5 5 3 5 3 a 3 b 3 b 15a3b 5 3 3 5 3 a 3 a 3 a 3 b Os fatores comuns são 5ab. Portanto: 25ab2 2 15a3b 5 5ab(5b 2 3a2) 15a3b : 5ab 25ab2 : 5ab

Exemplo 2 Calcular o valor numérico do polinômio x2y 2 xy2 sabendo que xy 5 21 e x 2 y 5 4. Inicialmente, vamos fatorar o polinômio: x2y 2 xy2 5 x 3 y 3 (x 2 y)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Veja alguns exemplos.

Agora, substituímos xy por 21 e (x 2 y) por 4 na expressão fatorada: xy 3 (x 2 y) 5 21 3 4 5 84 Exemplo 3 Resolver a equação 2x2 2 35x 5 0 considerando U 5 V. O fator comum aos termos do polinômio 2x2 2 35x é x. Portanto: 2x2 2 35x 5 0 ou x(2x 2 35) 5 0 Como o produto é nulo, um dos dois fatores é obrigatoriamente nulo. Assim: x 5 0 ou 2x 2 35 5 0 2x 5 35

35 2x ​ ___ ​   5 ​ ___ ​  2 2 x 5 17,5

Logo, a equação tem duas soluções: x 5 0 ou x 5 17,5. 84

CAPÍTULO 3    Produtos notáveis e fatoração

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Exercícios PROPOSTOS 27 Considere o binômio 15ax 2 2 10a2x. a) Quais são os fatores comuns a esses dois termos? 5ax b) Qual é a forma fatorada desse binômio? 5ax(3x 2 2a)

28 Fatore os polinômios colocando os fatores comuns em evidência. a) ab 1 ac a(b 1 c) b) x 2 1 3x x(x 1 3) c) a2 1 a a(a 1 1) d) 5x 1 20 5(x 1 4) e) 14a2b 1 21ab3 7ab (2a 1 3b ) f) 15x 3 2 10x 2 5x (3x 2 2) 3a a a2 3 g)  __   2 ___    __2 @ a 2 __2 # 2 4

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

2

y 1 __  3

33 Resolva as equações, considerando U 5 V. a) x 2 1 7x 5 0 x 5 0 ou x 5 27 b) m2 2 5m 5 0 m 5 0 ou m 5 5 c) 3y2 2 18y 5 0 y 5 0 ou y 5 6 d) 2x 2 2 9x 5 0 x 5 0 ou x 5 __9 2 e) x 2 5 x x 5 0 ou x 5 1 f) 4x 2 5 23x x 5 0 ou x 5 2__34 34 Qual o número cujo dobro de seu quadrado é igual ao seu triplo? 0 ou __23

2

xy x 3 h)   __ 1   ___  __ x @ x 5 15 5

32 Sendo 2xy 5 12 e 3x 2 y 5 3, quanto vale 6x 2y 2 2xy2? 36

35 Existe um número diferente de zero cujo triplo de seu quadrado é igual ao seu dobro. Que número é esse? __2 3

#

36 Observe as fi guras.

29 Fatore os seguintes polinômios. a) a3 1 a2 1 a a(a 1 a 1 1) b) 6x 2 2 9x 1 12 3(2x 2 3x 1 4) c) 3x 1 6x 2 1 9x 3 3x(1 1 2x 1 3x ) d) 18x 3y 2 1 27x 2y2 9x y (2x 1 3) e) 10x 3 2 15x 2 1 20x 5x(2x 2 3x 1 4) 2

x

2

2

figura 1 x

2 2

x

2

2

3

@ 

a a a a f)  __   1   __ 2   __  __a2  1 1 __a2  2 __ 3 2 4 6 2

#

@ 

x

5m2 ____ 2m3 __ m m 1 5m 2m 1     __ 2 ___ 1 ____ g)  ___     2 ____ 3 12 6 9 3 4 2 2

#

30 Fatore a expressão x( y 2 2) 2 7( y 2 2) 1 a( y 2 2) colocando o fator ( y 2 2) em evidência. (y 2 2)(x 2 7 1 a)

31 Sendo ab 5 14 e a 2 2b 5 3, quanto vale a2b 2 2ab2? 42

figura 2 5

Na fi gura 1, temos dois quadrados em que os lados têm medida x e, na fi gura 2, um retângulo que tem por medidas dos lados x e 5. Qual deve ser o valor de x para que a área da fi gura 1 seja igual à área da fi gura 2? 2,5

Pense mais um pouco...

Sejam m e n dois números naturais quaisquer. Então, 2m e 2n são dois números pares. Lembrando que o consecutivo de um número par é um número ímpar, prove que a soma de dois números ímpares quaisquer sempre é um número par. (2m 1 1) 1 (2n 1 1) 5 2m 1 2n 1 2 5 2(m 1 n 1 1)

CAPÍTULO 3

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Produtos notáveis e fatoração

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20/07/11 09:55

Fatoração por agrupamento Considere a seguinte figura. b y

x

b

a

A expressão que representa a área dessa figura é o polinômio: ax 1 ay 1 bx 1 by

ax 1 ay 1 bx 1 by 5 5 (ax 1 ay) 1 (bx 1 by) 5

Agrupamos convenientemente os termos.

5 a 3 (x 1 y) 1 b 3 (x 1 y) 5

Colocamos em evidência o fator comum de cada grupo.

5 (x 1 y) 3 (a 1 b)

Colocamos o fator comum (x  y) em evidência.

Veja outros exemplos. Exemplo 1 Fatorar o polinômio xy 1 2x 1 4y 1 8. xy 1 2x 1 4y 1 8 5 5 (xy 1 2x) 1 (4y 1 8) 5

Agrupamos convenientemente os termos.

5 x(y 1 2) 1 4(y 1 2) 5

Colocamos em evidência o fator comum de cada grupo.

5 (y 1 2)(x 1 4)

Colocamos o fator comum (y  2) em evidência.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Vamos escrever esse polinômio na forma fatorada. Não há fatores comuns a todos os termos desse polinômio, mas é possível agrupá-los de modo que cada grupo tenha um fator comum. Nesse caso, o polinômio é fatorado por agrupamento.

O produto (y 1 2) 3 (x 1 4) é a forma fatorada do polinômio xy 1 2x 1 4y 1 8. Também poderíamos ter agrupado os termos do polinômio desta maneira: xy 1 2x 1 4y 1 8 5

5 (xy 1 4y) 1 (2x 1 8) 5



5 y(x 1 4) 1 2(x 1 4) 5



5 (x 1 4)(y 1 2)

Exemplo 2 Fatorar os seguintes polinômios. a) ax 2 bx 1 2a 2 2b

(ax 2 bx) 1 (2a 2 2b) 5 x(a 2 b) 1 2(a 2 b) 5 (a 2 b) 3 (x 1 2)

b) xy 1 2x 2 3y 2 6 86

(xy 1 2x) 2 (3y 1 6) 5 x(y 1 2) 2 3(y 1 2) 5 (y 1 2) 3 (x 2 3) CAPÍTULO 3    Produtos notáveis e fatoração

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20/07/11 09:55

Exemplo 3 Sabendo que 3a 2 b 5 10 e a 1 c 5 3, calcular o valor da expressão 3a2 1 3ac 2 ab 2 bc. Fatorando a expressão, temos: 3a2 1 3ac 2 ab 2 bc 5 5 3a (a 1 c) 2 b (a 1 c) 5 5 (a 1 c) 3 (3a 2 b) 5 3

5

10

3

5 30

Substituímos (a 1 c) por 3 e (3a 2 b) por 10.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exercícios PROPOSTOS 39 Considere esta fi gura.

37 Fatore os polinômios. a) 5x 2 xy 1 15 2 3y (5 2 y)(x 1 3) b) 2ax 1 3a 1 4bx 1 6b (2x 1 3)(a 1 2b) c) ax 2 2a 1 x 2 2 (x 2 2)(a 1 1) d) x 3 1 3x 2 1 2x 1 6 (x 1 3)(x 1 2) e) xy 2 x 2 y 1 1 (y 2 1)(x 2 1) f ) 10x 2 2 15xy 2 4x 1 6y (2x 2 3y)(5x 2 2) g) a3 2 a2 1 a 2 1 (a 2 1)(a 1 1) h) x 3 1 x 2 1 x 1 1 (x 1 1)(x 1 1) i) 2ax 2 x 2 6a 1 3 (x 2 3)(2a 2 1)

x

2

2

2

2

y

3

38 Considere a expressão mx 2 my 1 nx 2 ny. a) Sendo m 1 n 5 10 e x 2 y 5 2, determine o valor da expressão dada. 20 b) Faça uma fi gura cuja área possa ser representada pela expressão dada. c) Escreva a área da fi gura indicando o produ to da medida da base pela medida da altura. (m 1 n)(x 2 y)

a) Determine a área da fi gura somando as áreas das quatro partes. 3x 1 6 1 xy 1 2y b) Determine a área da fi gura indicando o produto da medida da base pela medida da altura. (3 1 y)(x 1 2) c) Fatore a expressão obtida no item a. (x 1 2)(3 1 y) d) Calcule o produto encontrado no item b. e) Escreva a igualdade entre os resultados encontrados nos itens a e b.

39d) 3x 1 xy 1 6 1 2y

39e) 3x 1 6 1 xy 1 2y 5 (3 1 y)(x 1 2)

Fatoração da diferença de dois quadrados Considere a figura 1 abaixo. Sua área é dada por a2 2 b2. Observe o que acontece quando se recorta e se desloca a parte I, conforme é mostrado nas figuras 2 e 3. b b

b

I

b

a I

a−b

a

figura 1

a

a+b

figura 2

figura 3

CAPÍTULO 3

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a−b

Produtos notáveis e fatoração

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Obtém-se um retângulo cujos lados medem (a 1 b)  e  (a 2 b); portanto, sua área é dada por (a 1 b) 3 (a 2 b). Como a área da figura 1 é igual à área da figura 3, temos: a2 2 b2 5 (a 1 b) 3 (a 2 b) forma fatorada de a2  b2

diferença de dois quadrados

Veja os exemplos de fatoração a seguir. Exemplo 1 Fatorar as expressões. a) x2 2 9

x2 2 32 5 (x 1 3)(x 2 3)

(7x)2 2 (ab)2 5 (7x 1 ab)(7x 2 ab) 4 c) ​ __  ​ a2 2 49b2  9

@  #

@ 

#@ 

#

2 2 2 2 ​​ __ ​   ​  a  ​ ​2 (7b)2 5 ​ __ ​   ​  a 1 7b  ​ __ ​   ​  a 2 7b  ​ 3 3 3 2 2 d) (a 1 b) 2 c 5 [(a 1 b) 1 c] 3 [(a 1 b) 2 c] 5 (a 1 b 1 c)(a 1 b 2 c)

e) 36 2 (x 2 2)2 5 62 2 (x 2 2)2 5 [6 1 (x 2 2)] 3 [6 2 (x 2 2)] 5 (6 1 x 2 2)(6 2 x 1 2) 5

5 (4 1 x)(8 2 x)

f ) (y 1 2)2 2 (y 2 2)2 5 [(y 1 2) 1 (y 2 2)] 3 [(y 1 2) 2 (y 2 2)] 5

5 (y 1 2 1 y 2 2) 3 (y 1 2 2 y 1 2) 5 2y 3 4 5 8y

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b) 49x2 2 a2b2

Exemplo 2 Fatorar completamente a expressão 5a2 2 20. Colocando o fator comum (5) em evidência, temos: 5a2 2 20 5 5(a2 2 4) 5 5(a 1 2)(a 2 2) diferença de dois quadrados

Exemplo 3 Resolver a equação x2 2 4 5 0, considerando U 5 V. Fatorando o binômio x2 2 4, temos:

(x 1 2)(x 2 2) 5 0

Como o produto é nulo, um dos fatores é obrigatoriamente nulo:

x 1 2 5 0



x 5 22

ou

x2250 x52

Portanto, a solução da equação é x 5 22 ou x 5 2. 88

CAPÍTULO 3    Produtos notáveis e fatoração

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Exercícios PROPOSTOS 40 Fatore as seguintes diferenças de dois quadra dos. a) x 2 2 4 (x 1 2)(x 2 2) b) a2 2 36 (a 1 6)(a 2 6) c) y2 2 1 (y 1 1)(y 2 1) d) a4 2 9 (a 2 3)(a 1 3) e) 25x 2 2 4 (5x 1 2)(5x 2 2) 1 f) x 2 2 ___  @ x 1 __1 #@   x 2 __1 # 6 6 36 1 2 ___ 1 ___ ____ 1 1 1 g) a 2 @  a 1 __1 #@ ___ a 2 __ 100 49 10 7 10 7 # 1 h) x 2y2 2 __ @   xy 1 __13 # @ xy 2 __13 # 9 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

44 Na fi gura, o lado do quadrado ABCD mede m e o lado do quadrado CEFG mede n. A

m

B

I

m−n

2

41 Fatore as seguintes expressões. a) 15xy 1 9x 3x(5y 1 3) b) 15xy 1 9x 1 10y 1 6 (3x 1 2)(5y 1 3) c) 100x 2 2 1 (10x 1 1)(10x 2 1) 4 d) 1 2 __ x 2 @ 1 1 __2 x # @ 1 2 __2 x #  3 3 9 2 2 e) 36a b 2 48ab 12ab(3a 2 4b) f) (x 1 2)2 2 y2 (x 1 2 1 y)(x 1 2 2 y) g) (x 2 1)2 2 1 x(x 2 2) h) (x 1 5)2 2 9 (x 1 8)(x 1 2) i) a2 2 (b 1 c)2 (a 1 b 1 c)(a 2 b 2 c) j) x 2 2 (y 2 z)2 (x 1 y 2 z)(x 2 y 1 z) k) 25 2 (x 1 y)2 (5 1 x 1 y)(5 2 x 2 y) l) 9a2 2 (a 2 5)2 (4a 2 5)(2a 1 5) 42 Fatore completamente as expressões. a) a3 2 a a(a 1 1)(a 2 1) b) 12x3 2 3xy2 3x(2x 1 y)(2x 2 y) c) a2b 2 b3 b(a 1 b)(a 2 b) d) a3 2 9a a(a 1 3)(a 2 3) 43 Considere a expressão numérica 762 2 752. a) Fatore-a. (76 1 75) 3 (76 2 75) b) Dê o resultado dessa expressão. 151 c) Compare o resultado do item b com a soma (76 1 75). O que você pode perceber?

F n

II D

m−n

E

C

a) Escreva a área da parte pintada como diferença de dois quadrados. m 2 n b) Determine a expressão que fornece a área da fi gura I. m(m 2 n) c) Determine a expressão que fornece a área da fi gura II. n(m 2 n) d) Determine a expressão da soma das áreas I e II. m(m 2 n) 1 n(m 2 n) (m 2 n)(m 1 n) e) Fatore o polinômio encontrado no item d. f ) Escreva a igualdade entre os resultados encontrados nos itens a e e. m 2 n 5 (m 2 n)(m 1 n) 2

2

2

2

45 Resolva estas equações, considerando U 5 V. a) x 2 2 25 5 0 d) 25y2 2 36 5 0 2 b) y 2 64 5 0 e) 9x 2 2 1 5 0 9 c) 81a2 2 49 5 0 f ) y2 2 ___ 5 0 16

46 Conversando, Mário e Vítor perceberam que

São iguais.

45a) x 5 5 ou x 5 25

Pense mais um pouco...

G

n

45b) y 5 8 ou y 5 28

suas idades hoje correspondem a dois números ímpares consecutivos. Mário e Vítor verifi caram ainda que a diferença entre os quadrados de suas idades é 40. Qual é tem 9 anos a idade de cada um dos dois amigos? um e o outro, 11. 7 7 45c) a 5 __ ou a 5 2__ 9 9 6 6 45d) y 5 2 __ ou y 5 __ 5 5

1 1 45e) x 5 2 __ ou x 5 __ 3 3 3 3 45f) y 5 2 __ ou y 5 __ 4 4

1. Fatore a expressão numérica 1382 2 1372. Depois, calcule seu valor numérico e compare-o com a soma (138 1 137). (138 1 137)(138 2 137) 5 275; são iguais. 2. Calcule mentalmente o valor numérico da expressão 2212 2 2202. Em seguida, escreva espera-se que os alunos percebam que a diferença dos quacomo você resolveu esse cálculo. 441; drados de dois números consecutivos é a soma desses números.

CAPÍTULO 3

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Produtos notáveis e fatoração

89

20/07/11 09:55

Fatoração do trinômio quadrado perfeito Considere a figura ao lado.

b

ab

b2

a

a2

ab

a

b

A área dessa figura pode ser obtida somando as áreas de suas partes:  a2 1 2ab 1 b2. Como a figura é um quadrado, sua área também pode ser obtida elevando a medida do lado ao quadrado: (a 1 b)2 Portanto: a2 1 2ab 1 b2 5 (a 1 b)2

forma fatorada de a2  2ab  b2

trinômio quadrado perfeito

Temos também que: a2 2 2ab 1 b2 5 (a 2 b)2 forma fatorada de a2  2ab  b2

trinômio quadrado perfeito

Um trinômio é quadrado perfeito quando: • o termo não quadrado perfeito é igual ao dobro do produto das raízes quadradas dos quadrados perfeitos. Note que o trinômio 4x2 1 12xy 1 9y2 é quadrado perfeito, pois, fatorando 4x2 1 12xy 1 9y2, obtemos: (2x 1 3y)2 4x 2 + 12xy + 9y2 (2x)2

(3y)2

2•(2x) •(3y)

Veja os exemplos.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• dois dos seus termos são quadrados perfeitos;

Exemplo 1 Verificar se os seguintes trinômios são quadrados perfeitos. a) x2 1 6x 1 9  

x2

32



O dobro do produto dessas raízes (2 3 x 3 3 5 6x) é o termo não quadrado perfeito do trinômio. Logo, x2 1 6x 1 9 é um trinômio quadrado perfeito e pode ser escrito como (x 1 3)2.

b) ­x2 1 8x 1 9  

90



x2

32



O dobro do produto das raízes é 2 3 x 3 3 5 6x. Como 6x % 8x, x2 1 8x 1 9 não é um trinômio quadrado perfeito. Logo, ele não pode ser escrito como o quadrado de um binômio. CAPÍTULO 3    Produtos notáveis e fatoração

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20/07/11 09:55

Exemplo 2 Fatorar os trinômios quadrados perfeitos. a) x2 1 2xy 1 y2 x2

b) 16a2 2 24ab 1 9b2

y2

(4a)2

2 3 x 3 y 5 2xy 2

(3b)2

2 3 4a 3 3b 5 24ab

2

2

16a2 2 24ab 1 9b2 5 (4a 2 3b)2

x 1 2xy 1 y 5 (x 1 y) Exemplo 3

Fatorar completamente a expressão a3 1 2a2b 1 ab2. Colocando a em evidência, temos:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a3 1 2a2b 1 ab2 5 a (a2 1 2ab 1 b2) 5 a (a 1 b)2

Exercícios PROPOSTOS a, c, e e f

47 Quais trinômios são quadrados perfeitos? a) x 2 1 4x 1 4 d) 16a2 1 36ab 1 9b2 2 b) y 1 5y 1 10 e) m2 1 n2 1 2mn 1 c) a2 1 10a 1 25 f ) x 2 2 x 1 __ 4

48 Fatore os seguintes trinômios quadrados perfeitos. a) x 2 1 6x 1 9 (x 1 3) b) 4x 2 1 12xy 1 9y2 (2x 1 3y) c) 16a2 2 8a 1 1 (4a 2 1) d) x4 2 4x 2 1 4 (x 2 2) e) x 2y2 2 10xy 1 25 (xy 2 5) 4 4 1 f ) __ x 2 1 ___ x 1 ___ @ __23 x 1 __17 # 9 21 49 g) 0,25a2 2 0,30a 1 0,09 (0,5a 2 0,3) 1 1 h) a4 1 __ a2 1 ___  @ a 1 __14 # 2 16 2

2

2

2

2

2

49 Qual é o binômio que elevado ao quadrado dá o trinômio 81 1 90a 1 25a2? 9 1 5a 50 A área de um quadrado é representada pelo trinômio y2 1 14ya 1 49a2. Determine a medida do lado. y 1 7a 51 Qual é o valor numérico do trinômio a2 1 4ax 1 4x 2, sabendo que a 1 2x 5 6?

52 Fatore completamente as expressões. a) 2x 3 1 4x 2 1 2x e) 9a2 1 25a a(9a 1 25)

2

2

2

36

2

2x(x 1 1)2

c) 3x 3 1 18x 2 1 27x

1 f ) __ x 2 2 1 @ __12 x 1 1 # @ __12 x 2 1 # 4 g) 4y2 1 28y 1 49 (2y 1 7)

d) 7x 2y2 2 14xy 1 7

h) 64x4 2 16x 2 1 1

b) 5a2 2 20a 1 20 2

5(a 2 2)

3x(x 1 3)2 2

7(xy 2 1)

2

(8x2 2 1)2

Exemplo 4 Sabendo que a2 1 b2 5 234 e ab 5 45, calcular o valor de (a 1 b)2. Como (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2, substituindo a2 1 b2 por 234 e ab por 45, temos: (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 5 5 a2 1 b2 1 2ab 5 234 1 2 3 (45) 5 5 234 1 90 5 324 CAPÍTULO 3

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Produtos notáveis e fatoração

91

20/07/11 09:55

Exemplo 5 Resolver a equação 4x2 2 4x 1 1 5 0, considerando U 5 V. O primeiro membro dessa equação é um trinômio quadrado perfeito. Fatorando esse trinômio, temos (2x 2 1)2 5 0. Uma potência só é nula quando a base também é nula. Assim, temos: 2x 2 1 5 0 1 x 5 __ 2

53 Sabendo que x 2 1 y2 5 74 e xy 5 35, calcule o valor de (x 2 y)2. 4 54 Sendo (a 1 b)2 5 64 e ab 5 12, calcule o valor de a2 1 b2. 40 55 Se (a 1 b)2 5 81 e a2 1 b2 5 53, calcule o valor de ab. 14 56 Resolva estas equações, considerando U 5 V. a) x 2 1 18x 1 81 5 0 x 5 29 b) y2 2 2y 1 1 5 0 y 5 1 c) 4a2 2 12a 1 9 5 0 a 5 __3 2

2 1 d) x 2 1 __ x 1 __ 5 0 x 5 2 __13 3 9 1 e) x 2 1 x 1 __ 5 0 x 5 2 __12 4 57 Determine a expressão que representa o perímetro de um quadrado cuja área é 4x2 2 4x 1 1. 8x 2 4

58 A diferença entre o quadrado e o quádruplo de um número inteiro é 24. Qual é esse número? 2 59 Resolva a equação 64x 3 2 48x 2 1 9x 5 0, con3 siderando U 5 V. x 5 __ ou x 5 0 8

Fatoração da diferença e da soma de dois cubos Observe o produto (a 2 b) 3 (a2 1 ab 1 b2).

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exercícios PROPOSTOS

(a 2 b) 3 (a2 1 ab 1 b2) 5 a3 1 a2b 1 ab2 2 a2b 2 ab2 2 b3 5 a3 2 b3 Então: a3 2 b3 5 (a 2 b) 3 (a2 1 ab 1 b2). forma fatorada de a3 2 b3

Observe o produto (a 1 b) 3 (a2 2 ab 1 b2). (a 1 b) 3 (a2 2 ab 1 b2) 5 a3 2 a2b 1 ab2 1 a2b 2 ab2 1 b3 5 a3 1 b3 Então: a3 1 b3 5 (a 1 b) 3 (a2 2 ab 1 b2). forma fatorada de a3 1 b3

Observe também estes exemplos. • a3 2 8 5 (a 2 2) 3 (a2 1 2a 1 4) • 8x3 1 27 5 (2x 1 3) 3 (4x2 2 6x 1 9) 92

CAPÍTULO 3

Produtos notáveis e fatoração

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Exercício PROPOSTO 60 Fatore os binômios. a) a3 2 1 b) 8a3 1 1 (a 2 1)(a2 1 a 1 1)

(x 2 3)(x2 1 3x 1 9)

(2a 1 1) 3 (4a2 2 2a 1 1)

c) x 3 2 27

d) x3 1 64

(x 1 4)(x2 2 4x 1 16)

(1 2 x)(1 1 x 1 x2)

e) 1 2 x3

f ) 27a3 1 8y3

(3a 1 2y)(9a2 2 6ay 1 4y2)

Exercícios COMPLEMENTARES 61 Desenvolva. a) (3a 2 2b)2 9a 2 12ab 1 4b b) (5a 1 7) 3 (5a 2 7) 25a 2 49 c) (3x 2 1 y3)2 9x 1 6x y 1 y d) (25 2 2y)2 25 1 20y 1 4y

68 Simplifi que as expressões. a) (a 2 2)2 2 2(a 1 2) a 2 6a b) ( y 1 5)2 2 y(y 1 10) 25 c) (x 2 3)2 1 (x 1 3)2 2x 1 18 d) (a 2 b)2 2 (a 1 b) 3 (a 2 b)

62 Qual o trinômio que se obtém ao efetuar: 2 b 2 1 a)    a 1 __   ? b) __ y 2 3 ? 3 a 1 __2 ab 1  __ 2 b 1 __  y 2 3y 1 9

69 Que expressão devemos subtrair de a2  1  b2 para obter o quadrado de (a 2 b)? 2ab

2

2

2

2

4

2 3

6

2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

@ 

#

@ 

2

2

9

3

#

2

4

63 Determine o binômio que se obtém ao efetuarmos o produto: a) (5a 1 9b) (5a 2 9b) 25a 2 81b 3 3 b) __ x 2 2 y3 __ x 2 1 y3 __9 x 2 y 4 2 2 2

@ 

#@ 

#

2

4

6

64 Na fi gura, ABCD e EBFG são quadrados. A área do quadrado menor é 9. Qual trinômio representa a área do quadrado ABCD? x 1 6x 1 9 2

D

H

C

2b2 2 2ab

70 Que expressão devemos somar a a2 1 2ab para obter o quadrado de (a 1 b)? b 2

71 Se a2 1 b2 5 34 e ab 5 15, calcule (a 1 b)2. 64 72 Se a2 1 b2 5 100 e (a 1 b)2 5 196, calcule o valor de ab. 48 73 Fatore as expressões. a) 9x 2y 1 15xy2 3xy(3x 1 5y) b) xy 2 3x 1 y 2 3 (y 2 3)(x 1 1) c) a2 2 4b2 (a 1 2b)(a 2 2b) d) a2 2 10a 1 25 (a 2 5) e) 2x 2 2 3x 1 4xy 2 6y (2x 2 3)(x 1 2y) f) 12x 2 2 21x 3x(4x 2 7) g) 9a2 1 6a 1 1 (3a 1 1) h) 36 2 p2 (6 1 p)(6 2 p) 2

2

G

I

F

66 Qual é o binômio que elevado ao quadrado dá y 2 2 6y 1 9? y 2 3

74 Fatore completamente as expressões. a) 3x 2 2 75 3(x 1 5)(x 2 5) b) a3 2 ab2 a(a 1 b)(a 2 b) c) 2x 2 2 18 2(x 2 3)(x 1 3) d) x4 2 16 (x 1 4)(x 1 2)(x 2 2) e) a2 2 x 2 1 a 1 x (a 1 x)(a 2 x 1 1) f) x 2 2 y2 1 2x 1 2y (x 1 y)(x 2 y 1 2) g) 2x 2 2 12x 1 18 2(x 2 3) h) x 3 1 14x 2 1 49x x(x 1 7)

67 Elevando um binômio da forma ax 1 b ao quadrado, obtém-se 9x 2 1 24x 1 16. Calcule o valor de a 1 b, com a e b positivos. 7

75 Sabendo que a 1 b 5 18 e a 2 b 5 2, calcule o valor de: a) (a 1 b)2 324 b) (a 2 b)2 4 c) a2 2 b2 36

9 A

x

E

B

65 Qual binômio devemos somar à expressão x 2 1 5x 1 70 para obter o quadrado de (x 1 10)? 15x 1 30

2

2

2

CAPÍTULO 3

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Produtos notáveis e fatoração

93

20/07/11 09:55

77 Sendo mp 5 48 e m 1 2p 5 20, calcule o valor de: a) m2p 1 2mp2 960 b) (m 1 2p)2 400 c) (m 2 2p)2 16 78 Resolva as equações no conjunto universo U 5 V. a) x 2 1 12x 5 0 x 5 0 ou x 5 212 b) 6x 2 2 5x 5 0 x 5 0 ou x 5 __5 6 15 c) 4x 2 2 60x 1 225 5 0 x 5 ___ 2 25 2 ___ 5 5 __ __ d) y 2 5 0 y 5 2 6 ou y 5 6 36 e) 4a2 1 12a 1 9 5 0 a 5 2 __3 2 f ) 9x 2 1 6x 1 1 5 0 x 5 2 __1 3

79 Com as regiões poligonais que formam a fi gura abaixo é possível montar um quadrado.

y

x x x

x

y

y

a) Estime a medida do lado do quadrado que pode ser obtido sem construí-lo. resposta pessoal b) Reproduza a figura em uma cartolina, recorte as regiões poligonais e monte o quadrado. c) Qual é o perímetro desse quadrado? 8x 1 4y d) Qual é a área desse quadrado? 4x 1 4xy 1 y 2

2

TESTES 80 A expressão (2x 1 y)2 é igual a: a) 2x 2 1 4xy 1 y2 2 2 X b) 4x  1 4xy 1 y 2 2 c) 4x  1 y d) 2x 2 1 y2

86 A expressão (x 1 1) 3 (x 2 1) 1 1 é igual a: 2 X a) x  b) x 2 2 1 c) x 2 1 3 d) 2x

81 A soma dos coefi cientes do desenvolvimento da expressão (3a 2 2b)2 é: a) 5 b) 22 d) 2 X c) 1

87 A expressão (x 1 3) 3 (x 2 3) 2 x 2 é igual a: a) 2x 2 9 2 x 2 X b) 29 c) 26x 2 9 d) 6x 2 9

82 A expressão 2(x 2 1 3y)(x 2 2 3y) é igual a: a) x4 2 9y2 c) 2x4 2 9y2 4 2 X b) 2x 2 18y d) 4x4 2 9y2 83 O valor da expressão (2x 1 9y)2 2 36xy, para x 5 21 e y 5 1, é: a) 13 b) 25 d) 65 X c) 85

84 (OBM) Se x 1 y 5 8 e xy 5 15, qual é o valor de x 2 1 6xy 1 y 2 ? a) 64 c) 120 b) 109 X d) 124

e) 154

85 A expressão (a 1 b)2 2 2ab é igual a: a) a2 2 b2 b) a2 2 4ab 1 b2 c) a2 1 4ab 1 b2 2 2 X d) a 1 b 94

CAPÍTULO 3

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

76 Sabendo que x 1 y 5 14 e x 2 1 y 2 5 116, calcule o valor de: a) (x 1 y)2 196 b) xy 40 c) (x 2 y)2 36

88 (Ulbra-RS) Sendo A  5  x  2  3, B  5  x 2  1  3 e C 5 9x, o valor de A2 2 B 1 C é: a) 3(x 1 4) b) x 1 4 X c) 3(x 1 2) d) x 1 2 e) 3x 89 (Unifor-CE) A expressão (x 2 1)2 1 (x 2 1)3 é equivalente a: a) (x 2 1)5 3 2 X b) x  2 2x  1 x 3 2 c) x  1 x  2 2 d) x 3 1 x 2 2 2x e) x 3 1 2x 2 1 1

Produtos notáveis e fatoração

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20/07/11 09:55

90 Fatorando a expressão y4 2 4y2 1 4, obtemos: 2 2 c) ( y2 1 2)2 X a) ( y 2 2) b) ( y 1 2)2 d) n.d.a.

96 O valor da expressão a2b 1 ab2, na qual ab 5 12 e a 1 b 5 8, é: a) 40 c) 24 d) 20 X b) 96

91 Fatorando a expressão ab 1 2b 2 3a 2 6, obtemos: a) (a 2 2) 3 (b 1 3) X b) (a 1 2) 3 (b 2 3) c) (a 2 2) 3 (b 2 3) d) n.d.a.

97 (FGV-SP) Seja N o resultado da operação 3752 2 3742. A soma dos algarismos de N é: a) 18 e) 22 X c) 20 b) 19 d) 21

92 Se a 1 b 5 144 2 2ab, podemos afirmar que: a) a 1 b 5 12 b) a 1 b 5 212 c) (a 2 b)2 5 144 2 X d) (a 1 b) 5 144

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

2

93 Se 2x 1 y 5 8 e 2x 2 y 5 4, então o valor da expressão 4x 2 2 y2 é: a) 4 b) 12 c) 2 X d) 32 94 Se (x 1 y)2 2 (x 2 y)2 5 20, então xy é igual a: a) 0 c) 2 e) 10 b) 1 X d) 5 95 Sabe-se que a 2 b 5 4 e a2 1 ab 1 b2 5 52. Então: a) a2 2 b2 5 208 b) a2 1 b2 5 208 c) a3 1 b3 5 208 3 3 X d) a 2 b 5 208

98 (Univali-SC) Um professor de Matemática tem 4 filhos. Em uma de suas aulas, ele propôs a seus alunos que descobrissem o valor da expressão ac 1 ad 1 bc 1 bd; sendo que a, b, c e d são as idades de seus filhos na ordem crescente. Como informação complementar, o professor disse que a soma das idades dos dois mais velhos é 59 anos e a soma das idades dos dois mais novos é 34 anos. Neste caso, o valor numérico da expressão proposta pelo professor é igual a: a) 93 e) 4.063 X c) 2.006 b) 1.870 d) 118 99 (Unifor-CE) Fatorando-se a expressão a5b 2 a3b3 1 a4b2 2 a2b4, obtém-se: a) ab2 3 (a 1 b)2 3 (a 2 b) b) ab2 3 (a 2 b)2 3 (a 1 b) c) a2b 3 (a2 2 b2) 3 (a 1 1) d) a2b 3 (a 2 b)2 3 (a 1 b) 2 2 X e) a b 3 (a 1 b) 3 (a 2 b)

CAPÍTULO 3    Produtos notáveis e fatoração

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95

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CaPÍTULo

4

Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

Todo ano ocorre a Maratona Universitária da Eficiência Energética, em que estudantes universitários criam carros ecologicamente corretos. O objetivo é percorrer as maiores distâncias possíveis com o menor consumo. Em 2010, o primeiro colocado na categoria gasolina conseguiu o consumo de 284 km/c.

Agora, responda. • Na categoria etanol, o primeiro colocado percorreu 280 km com 2 litros de etanol. 280 km Represente esse consumo por uma fração e, depois, simplifique-a. _______ 5 140 km/c 2c • Se um carro tivesse percorrido 300 km com x litros de gasolina, como você repre300 km sentaria o seu consumo? _______ xc

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ASSESSORIA DE COMUNICAÇÃO SOCIAL/ECOFET-CEFET (MG)

matemática no mundo

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1 O conceito de fração algébrica Considere um carro que percorre 640 km em x  horas. A velocidade média desse carro

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

640 é ____ x    km/h.

Vamos admitir que esse carro percorra os mesmos 640 km em (x 2 2) horas. Nesse caso, 640 a velocidade média, em quilômetros por hora, seria representada pelo quociente ______ . x22 Expressões como essa, que indica o quociente entre dois polinômios, são chamadas de frações algébricas. Fração algébrica é o quociente de dois polinômios indicado na forma de fração. Ao polinômio dividendo chamaremos de numerador e ao polinômio divisor, de denominador. Você já sabe que o denominador de uma fração numérica deve ser sempre diferente de zero. No caso das frações algébricas, o polinômio que representa o denominador também deve ser diferente de zero. Por exemplo: 640 a) Em ____ x  ,  devemos ter x % 0. 640 b) Em ______, devemos ter x 2 2 % 0, ou seja, x % 2. x22 b 1 2a 3a c) Na fração algébrica  ________   , devemos ter 2b 1 3a % 0, ou seja, b % 2 ___  ou 2 2b 1 3a 2b a % 2 ___ . 3

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Exercícios PROPOSTOS 1 Observe o diálogo e descubra o que Luísa e Rogério falaram.

Por que é necessário que o denominador de uma fração seja diferente de zero?

12 1 y y26

4 Para que valor de y a expressão ______ não representa uma fração algébrica?

Eu sei. A fração representa uma divisão e, como já sabemos, ...

y56

5 Quais valores podem ser atribuídos à letra x x15 na fração algébrica ______   ? 2x 2 3

3 x % __ 2

6 Qual relação deve existir entre b e a para que 2a 1 b a fração algébrica ______  represente um b 2 2a número real? b % 2a

... a divisão por zero não existe.

2x2 1 7x 1 5 2x 1 5 ser reduzida a um binômio é necessário que x não assuma certo número. 5 __ a) Escreva que número é esse. 2 2 b) Calcule o valor numérico dessa fração 1 1 algébrica para x 5 2 __ . __2 2

Ah! Então o denominador de uma fração algébrica... ... não pode ser igual a zero.

2 Uma moto percorreu x quilômetros com y litros

de gasolina. Uma segunda moto percorreu o dobro dessa distância com y 1 5 litros de gasolina. Escreva a expressão que fornece quantos quilômetros por litro faz: a) a primeira moto; __ xy  2x b) a segunda moto. _____  

8 Ontem, eu tinha em minha caderneta de poupança

certa quantia em reais. Hoje, meu avô depositou, nessa conta, o quádruplo do que eu tinha ontem mais R$ 200,00. Represente por uma fração algébrica a razão entre o saldo de ontem de minha caderneta de poupança e o saldo dela x   depois do depósito feito por meu avô.  ________ 5x 1 200

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

7 Para que a fração algébrica ____________ possa

y15

3 Um terreno é retangular e seu comprimento tem 15 m a mais que o dobro de sua largura. a) Registre a razão entre o comprimento e a 2x 1 15 largura. _______     x b) Qual será essa razão se a largura for 12 m? 39 ___ 12

2 Simplificação de frações algébricas Simplificar uma fração é obter uma fração mais simples que seja equivalente à fração dada. Para simplificar uma fração algébrica, adotamos o mesmo procedimento utilizado para as frações numéricas, isto é, dividimos os dois termos da fração por um divisor comum não nulo e diferente de 1. 98

CAPÍTULO 4

Frações algébricas, equações Fracionárias e equações literais

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Veja os exemplos. 6ab2x3 a) _______ 9a3b2x2 Fatorando os termos da fração, temos: 2333a3b3b3x3x3x 6ab2x3 2x _______             5 ________________________ 5 ____2  3 2 2  3 3 3 3 a 3 a 3 a 3 b 3 b 3 x 3 x 3a 9a b x 5x b) ___   5 1 5x x2 2 4 c)  ___________ x2 1 4x 1 4

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Fatorando os termos da fração, temos: (x 1 2)(x 2 2) x22 x2 2 4 _____________ 5  ______  ___________ 5 2 2 x12 (x 1 2) x 1 4x 1 4 (4x2 2 y3) 4x2 2 y3 4x2 2 y3 _____________ __________ 5 5 5 21 d) ________ 2(4x22y3) y3 2 4x2 2(2y3 1 4x2)

OBSERVAÇÕES 

Quando o polinômio que está no numerador é igual ao polinômio que está no denominador, a fração algébrica é igual a 1. Por exemplo: x 1 3y 3a x2 2 5x 1 6 • ___   5 1 •  _______   5 1 • ___________  2 51 3a x 1 3y x 2 5x 1 6



Quando o polinômio que está no numerador é oposto ao polinômio que está no denominador, a fração algébrica é igual a 21. Veja alguns exemplos. 2(b 2 a) 2(2 2 3x) 5x2 a2b 3x 2 2 25x2 ____ • _____   5 ________   5 __________     5 21 5 2 5 21 • ______         5 21 • _______  2 2 2 2 3x b 2 a 2 2 3x b2a 5x 5x



Para simplificar uma fração, o denominador não pode ser nulo. Nos casos anteriores e daqui em diante, vamos supor que as variáveis do denominador assumam apenas valores que não o anulem.

Exercícios PROPOSTOS 9 Qual número inteiro é representado pela fração 3

5m n algébrica _____   ? 1 5m3n

10

2x 2 y Justifique por que a sentença ______    5 21 é verdadeira. Os polinômios 2x 2 y e

y 2 2x

y 2 2x são opostos.

CAPÍTULO 4

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11 Reduza, em cada caso, a fração algébrica a um polinômio.

a2 2 a a) ______   a     a21

3x 2 1 6x 1 3 c) ____________ x 1 1

x 2 2 16 b) _______   x14

5a2 2 20 d) ________ a 2 2

x24

3x 1 3

5a 1 10

Frações algébricas, equações Fracionárias e equações literais

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10a 1 5b ​   ​  pode ser reduzida 12 A fração algébrica _________ 2a 1 b

1 _____ ​     ​ 

a um número inteiro. Que número é esse? 5 13 Qual fração algébrica simplificada representa 3n o quociente de 15m6n2 por 10m8n? ____ ​    ​  2m2

14 Após simplificar uma fração algébrica, Vinícius chegou ao resultado: 2

18 Observe os cartões coloridos.

2

2x  2 2y ______________ ​  2      2 ​

x12

Vânia, sua irmã mais velha, disse que a fatoração não estava completa e, por isso, ele não estava chegando ao resultado desejado.

2

x 1 2y

x2y _____ ​   ​    3

Cada um desses cartões coloridos correspon­de à simplificação de uma das frações abaixo: x22 10xy a) ​ ___________       ​   c) ______ ​  2  ​  2 10x  1 20xy x  2 4 x 2 2 2xy 1 y2    b) ​ ____________  ​  3x 2 3y

2x  2 4xy 1 2y

x25 _____ ​   ​   

y ______ ​     ​ 

x 2 2 10x 1 25    d) ​ _____________  ​  2x 2 10

Efetuando os cálculos, responda: Qual é a cor do cartão que corresponde a cada item? amarelo: a; lilás: b; azul: c e verde: d

Qual é o resultado a que Vinícius deve chegar ao completar a simplificação dessa fração?

x1y _____    ​ , com x % y ​  x2y

15 O quociente do monômio 15a b pelo monô­mio 4a2b3 não é um monômio. a) Determine, na forma reduzida, a fração que 15a  ​  ​  representa esse quociente. ____ 4b b) Dê o valor numérico dessa fração para 15  ​  a 5 22 e b 5 2. 2​ ___ 2 c) Para que valor de b essa fração não representa um número real? b 5 0 5

3

2

16 Simplifique a fração algébrica obtida pela di4x visão de 12x4y2 por 15x 2y6. ___ ​   ​  2

5y4

17 Reduza cada uma das seguintes frações algébricas a uma fração mais simples. 2a 1 7 ______ 3

 ​   

4a 1 28a 1 49     ​  c) ______________ ​ 

3x 1 6 ​ _____ 3 b) ​ ______  ​  x 2 2 ​  2 x  2 4

2y 2 3 4y2 2 12y 1 9 ​ ______  ​     d) ​ _____________  ​  2y 1 3 2 4y 2 9

2

2a 2 6a

100

​ 

2

4am _____ 2m a) ​ ________    ​  ​    ​  a23

6a 1 21

Em determinado momento, Gabriela propôs a Felipe que resolvesse a seguinte questão: “O quociente da divisão de x 2 2 4x 1 3 por x 2 1 foi dividido por x 2 2 6x 1 9. Qual foi a fração obtida? Que valores reais x pode assumir nessa fração?” Responda você também à 1    ​ ; x % 3 e x % 1 questão proposta por Gabriela. ​ _____

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

19 Gabriela estava brincando de professora com Felipe.

x23

2

6x  1 11x 2 10 20 A fração algébrica ​ ______________     ​   pode ser 2x 1 5 reduzida a um binômio. a) Determine esse binômio. 3x 2 2 b) Determine o valor numérico desse bi­nô­mio 2 para x 5 ​ __ ​  . zero 3 21 Observe como Marta e Cláudio fizeram a x 2 1 x simplificação da fração algébrica ______ ​  x ​     . Marta 2 x  1 x ​ ______    5 x 1 1 x ​  Quem acertou?

Cláudio 2 x  1x ______ ​  x ​     5 x 2

Só Marta acertou.

CAPÍTULO 4    Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

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Pense mais um pouco...

Observe o diálogo entre Felipe e Vanda. Pense em um número de 1 a 9.

Pensei.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Divida pelo número que você pensou. Pronto.

Some 5.

Multiplique o resultado pelo número que você pensou. Multipliquei. Somei.

Quanto deu? Deu 10.

Você pensou no número 8.

Subtraia o triplo do número pensado.

Foi mesmo! Como você conseguiu descobrir o número?

Subtraí.

É fácil! Basta subtrair 2 do resultado que a pessoa fornecer.

(x 1 5)x 2 3x x(x 1 2) x 1 2x Justifique por que Felipe disse que basta subtrair 2. ____________     5   _______           5   _______     5 x 1 2 x x x 2

3 Operações com frações algébricas Vejamos como efetuar operações com frações algébricas.

Redução a um denominador comum Para somar ou subtrair frações algébricas, precisamos, antes, reduzi-las a um denominador comum. Acompanhe os exemplos. Exemplo 1 5a 2 x Reduzir ao mesmo denominador as frações algébricas ___     , ____  e ___  . 6a 3ax 4x Um denominador comum para essas frações pode ser 12ax, por ser um múltiplo dos três denominadores. Dividindo o denominador comum pelo denominador de cada fração dada, temos: 2x, 4 e 3a. CAPÍTULO 4

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Frações algébricas, equações Fracionárias e equações literais

101

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Calculando os novos numeradores, temos: 3 (2x)

3 (4) 2

2x x ___ ​     ​  5 ​ _____  ​  6a

3 (3a) 2

15a 5a ___  ​  ​    ​  5 ​ _____ 

8 2 ____ ​       ​  5 ​ _____    ​ 

12ax

3ax

3 (2x)

4x

12ax

3 (4)

12ax

3 (3a)

8 15a2 2x2 _____ Portanto, as frações algébricas ​ _____   ​  , ​      ​ e ​ _____    ​ são, respectivamente, equivalentes às 12ax 12ax 12ax 5a 2 x ​  e ​ ___  ​  e têm o mesmo denominador.      frações ​ ___   ​ , ​ ____ 6a 3ax 4x Exemplo 2

Um denominador comum para essas frações é 2(x 2 2)(x 1 2), que é múltiplo dos dois denominadores. Dividindo o denominador comum pelo denominador de cada fração dada, temos: x 1 2 e 2. Calculando os novos numeradores, temos: 3 (x 1 2)

3x(x 1 2) 3x ________ ______________ ​     ​ 5 ​          ​ 2(x 2 2)

2(x 2 2)(x 1 2)

3 (2)

2(2x 2 1) 2x 2 1 _____________      ​ 5 ​ ______________       ​ ​  (x 2 2)(x 1 2)

3 (x 1 2)

2(x 2 2)(x 1 2)

3 (2)

Ou ainda:

3x2 1 6x 3x    5 ​          ​  ​  ______________ ​ ________ 2(x 2 2) 2(x 2 2)(x 1 2)

2x 2 1 4x 2 2      ​ 5 ​ ______________       ​ ​ _____________ (x 2 2)(x 1 2) 2(x 2 2)(x 1 2)

3x2 1 6x 4x 2 2         ​  e ​ ______________       ​  são equivalentes às frações dadas Portanto, as frações ​ ______________ 2(x 2 2)(x 1 2) 2(x 2 2)(x 1 2)

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3x 2x 2 1    ​   ​  . Reduzir ao mesmo denominador as frações algébricas ​ _______   e ​ _______ 2x 2 4 x2 2 4 Vamos primeiro fatorar os denominadores das frações dadas: 3x 2x 2 1 ________    ​        ​ ​  ​ _____________ 2(x 2 2) (x 2 2)(x 1 2)

e seus denominadores são iguais.

Adição algébrica Inicialmente, vamos recordar a adição algébrica de números na forma de fração. 1o caso: Se os denominadores são iguais, somamos algebricamente os numeradores e conservamos o denominador. 5 32511 3 1 1  ​   5 2​ __  ​   ​ __  ​ 2 ​ __  ​ 1 ​ __  ​ 5 ​ _________ 7 7 7 7 7 2o caso: Se os denominadores são diferentes, primeiro reduzimos as frações ao mesmo denominador e, a seguir, procedemos como no 1o caso. 3 16 5 30 16 1 5 2 30 9 1 2  ​  5 2 ​ ___  ​       ​ __ ​   1 ​ __ ​   2 ​ __ ​   5 ​ ___  ​  1 ​ ___  ​   2 ​ ___  ​  5 ​ ____________ 5 4 8 40 40 40 40 40 102

CAPÍTULO 4    Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

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Da mesma forma, na adição algébrica de frações algébricas, vamos considerar os seguintes casos: 1o caso: Frações algébricas com denominadores iguais. Veja os exemplos. 3a 2 2 2b 2 3 5a 1 3b 2 1        ​  2 ​ _______     ​  1 ​ _______     ​  5   a) ​ ____________ 5x 5x 5x (5a 1 3b 2 1) 2 (3a 2 2) 1 (2b 2 3)          ​ 5 5 ​ _________________________________ 5x

5a 1 3b 2 1 2 3a 1 2 1 2b 2 3 2a 1 5b 2 2 ____________ 5 ​ _____________________________          ​       ​  5 ​  5x 5x

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2(a 2 b) 2a 2b 2a 2 2b 2 b) ​ _______  2 ​    2 ​ _______  2 ​    5 ​ ________  ​    5 ​ _____________      ​  5 ​ ______    ​  2 2 2 2 (a 1 b)(a 2 b) a 1 b a 2b a 2b a 2b A adição algébrica de frações algébricas com denominadores iguais é feita somando, algebricamente, os numeradores e conservando o denominador. 2o caso: Frações algébricas com denominadores diferentes. Veja os exemplos. 3 2 1 a) ​ ___   ​  1 ​ ____    ​    2 ​ __​  2x 3x2 x

Primeiro, reduzimos as frações ao mesmo denominador e, em seguida, procedemos como no 1o caso. 3x 3 18x 3x 1 4 2 18x 4 2 15x 2 4 1 ____ ____  2 ​    2 ​ __​   5 ​ ____2  ​ 1 ​     2 ​ 2 ​      5 ​ _____________      5 ​ ________  ​    ​ ___   ​  1 ​ ____ 2 ​  2 ​  2x 3x x 6x 6x 6x 6x 6x2

3 6 3 _______ _______    ​ 1 ​       ​ 2 ​       ​  b) ​ _______ 4x2 1 1 2x 2 1 2x 1 1

Inicialmente, escrevemos as frações com denominadores fatorados. 3 6 3 _______ _______________ ​ _______    ​ 1 ​       ​ 2 ​        ​ (2x 1 1)(2x 2 1) 2x 2 1 2x 1 1



Depois, reduzimos as frações a um mesmo denominador.



3(2x 2 1) 3(2x 1 1) 6 _______________ _______________       ​  1 ​        ​  2 ​      ​ 5 ​ _______________ (2x 1 1)(2x 2 1) (2x 1 1)(2x 2 1) (2x 1 1)(2x 2 1)



6x 2 3 6 6x 1 3      ​  1 ​ _______________      ​ 2 ​ _______________     ​ 5 5 ​ _______________ (2x 1 1)(2x 2 1) (2x 1 1)(2x 2 1) (2x 1 1)(2x 2 1)



6x 1 3 1 6x 2 3 2 6        ​ 5 5 ​ ___________________ (2x 1 1)(2x 2 1)



12x 2 6       ​ 5 5 ​ _______________ (2x 1 1)(2x 2 1) 6(2x 2 1)       ​ 5 5 ​ _______________ (2x 1 1)(2x 2 1) 6    ​  5 ​ ________ (2x 1 1) CAPÍTULO 4    Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

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Exercícios PROPOSTOS 23 Qual é a fração algébrica que representa a

2

2

2

2a 2 5 a 13 92a a) _______ 2  ______ 1 ______ 2 2 a a a2 1 2 1 (x 2 y) b) __2 2 __  1 __2 _______ x  x y y xy

a2

2

2 2

a2b 2 1  a 2  b    c) _______  2    2 _____  1 __  _____ a 1 ab a1b b ab y x 2 y2 y  _____ d) 1 2  _______   1  _______2 2  _____        2 x  1 xy xy 1 y x 1 y x 1 y 3a 1 1 a 1 1 __1 e) _______ 2 _____   2a 2 2 a21 2 x 2y2 y _____ f) _____       1 _______     2 2 1   x 2 y x   2 y x 1 y

a1b _____      

x2

3 x a diferença entre as frações _______2 e  ______    . 3x 2 x  9 2 3x

31x _____       3x

25 Calcule M e N, sendo:

a1b a1b a2 1 b2 M 5 _____         2  _____       1  _______     b a ab 3a a 2a 2a N 5  ___   1 ___   M 5​ ___   ; N 5​ ___   ; M 5​N 2b 2b b b Que relação existe entre M e N ?

x 2 y

2b b a 1  _____     h) _____       1 _______ a2b a2 2 b2 a1b

x11 _____  

24 Determine a fração algébrica que representa

x 1 y _____     

y13 24 1 4y 2 g) _____    1 2 _____ 2 _______ y23 y13 y2 2 9 2

1 1 soma de __  com __2 ? x x 

1 __

x 2 1 4 x  2 4

3 x22

x x12

26 Reduza ______  2   a uma fração 1 _____ 2  _____

a2b

e calcule o valor numérico para x 5 7.

5 _____ ;1 x22

Multiplicação Inicialmente, vamos recordar que o produto de dois números na forma de fração é obtido multiplicando-se os numeradores entre si e os denominadores entre si, como nos seguintes exemplos. 3 __

•

4

5 __

3

7

5

335 _____ 437

5

15 ___ 28

2

6 7 14 • __ 3 __ 5 ___ 5 9 3 15

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

22 Calcule.

Para obter o produto de duas frações algébricas, usamos o mesmo procedimento. O produto de duas frações algébricas é obtido multiplicando os numeradores entre si e os denominadores entre si. Veja os exemplos. 3x3 3x x2 a) ___  3  ___  5 _____  4y 5a 20ay 5 b) ______  3 a 1 b

c)

7x ___

1 2y

104

  3

5(a 2 3) a23 5a 2 15 5a 2 15 _____________  _______  5 ______________ 5 ___________________ 2 2 5 2 2a 2 b (a 1 b)(2a 2 b) 2a  2 ab 1 2ab 2 b 2a  1 ab 2 b2

2

4a ___

14a      5 ____      x y

CAPÍTULO 4

Frações algébricas, equações Fracionárias e equações literais

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2a

d)

(a 2 b)2 2a(a 2 b)   3 _______     5 _________     a2b 5ab b 2

10a ______

x1y x1y a 2 3 a23 1 ________ _____________ 5 _____________ e)  ___________   3  _______  3   2 2 2 5   a 2 6a 1 9 x 2 y (a 2 3)2 (x 1 y)(x 2 y) (a 2 3)(x 2 y) OBSERVAÇÃO 

Note que, quando existirem fatores comuns no numerador e no denominador, podemos cancelá-los.

Divisão

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O quociente de duas frações algébricas é obtido multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda. Veja os exemplos. 5 a) __ 4 8 b)

a 5 b 5b  __  5 __ 3  __  5 ___   8 a 8a b

5x ___ 2y

  4

6a 15a   3 ___  5 ____         5 7y 6a 12y 7x

2

2

a 2b _______

c)  

3

5x ___

7x ___

2

3ab

2

2

a 1 2ab 1 b _____________

4 

2

 

6a b

 5

(a 1 b)(a 2 b) _____________ 2

3ab

1

2

3

2a(a 2 b) _________   2 5 b(a 1 b) (a 1 b) 2

6a b _______

2

x 2 xy  _______    xy 1 y d)  ________2   5 xy 2 y _______    x2 1 x

x2 2 xy _______ xy 2 y2       4     5 xy 1 y x2 1 x _______

x2 2 xy _______ x2 1 x   5       3 xy 1 y xy 2 y2 _______

x(x 2 y) x(x 1 1) x2  ________ 3  ________ 5  __2 y(x 1 1) y(x 2 y) y

Exercícios PROPOSTOS 27 Efetue os produtos, simplificando o resultado quando possível. 4x 7 28x    a) ___  3 __  ____ 3y

a25 2a   c) _____   2 3 _____

15b ___ 6a2 ____ a         b) _____ 2  3 10b c 9a bc

a2 2 b2 _____ a  a 2 b         d) _______       3       ______ ab a 1 b b

3

y

3a

a25

2x 2 2y

5x 3x 2 3y e) ____________   2 3 _______  2

2 ___   3a

x 2 2 y2 x 2 2 y 28 Sendo M 5 1 1 _______   2 e N 5 x 2 ______   x   , calcule M 3 N. y

15x _______   

x  2 2xy 1 y

a2 2 1 f)  ______  3 a 2 2b

2

a2 2 4ab 1 4b2  _____________ a2 2 2a 1 1 (a 1 1)(a 2​2b) _____________

x __   

a21

y

29 Simplifique a expressão: m  2 n m 1     2 # 3   n   . @    m 2 n 2 ______  __

2

2

_______ 

2

(m 1 n) _______     2n

CAPÍTULO 4

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Frações algébricas, equações Fracionárias e equações literais

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30 Calcule os quocientes. a 1 ab ______ 2 1 2b ___ 3a a) ​ ______    4 ​     ​    ​  ​  2 ​ 3x 2x x 

34 Qual é a fração mais simples que representa o 18a4b 10c 4a produto de ​ _____ ​    ​    ? ​ ___  ​  por ​ ______ 15c 21a2b3 7b 2

2

x 2 2 16 ​ _____ x 2 2 4x _______ 2x b) ​ _______    ​    4 ​  2  ​ x 1  4 ​  2 x  1 1 2x  1 2

35 Um trio de alunos se reuniu para resolver a seguinte expressão:

R

x13 2x 2 1 6x 1 4 3 x12 ​ ​ ______      ​  ​3 ​ ​ ______     ​  ​  2 ​ ____________  ​    ​  1 ​ ______ 2 2x 1 5 x  2 4 3x 2 6 3x(2x 1 5)

Laura resolveu a expressão dos parênteses, Lúcia resolveu a expressão dos colchetes e Oscar ficou encarregado de efetuar a multiplicação. Determine a resposta encontrada por: b) Lúcia; c) Oscar. a) Laura; 1 ___ ​    ​ 

6x 1 15 ________  ​  ​  2  

3x

3x 2 12

x2 2 4 b) _________ ​  2    ​  6x 1 15x

x23  ​______   ​  5x 2 5

32 Simplifique a expressão: 2x 2 2 2x 1 8 ​ _____ x 2 3 ____________ x 1 1 _____ 1    ​  ​ _____ ​          ​1 ​   ​  ​4 ​   ​  x12 x22 x12 x22

@ 

#

2a a 2ax    ​     ​  33 Calcule o produto de ​ _____   1 ​ __ ​   2 ​ _______ x23 x 2 2 3x x x por ​ ___   ​.  ​ __12  ​ 2a

Potenciação Inicialmente, para recordar, vamos calcular as seguintes potências de números fracionários.

@  # 3 3 • @​​  2​   ​  #​​ ​5 2 ​   ​   4 4

@  # 5 3 3 • ​​@ ​   ​  #​​ ​5 @​​  ​   ​  #​​ ​5 ​   ​  5 5 3

5 2 52 ___ 25 • ​​ __ ​   ​   ​​ ​5 ___ ​  2 ​ 5 ​    ​ 8 64 8 __ 

1

2 0 • ​​ 2__ ​   ​   ​​ ​5 1 3

__  

__  

21

__  

1

@  # @  #

2 49 3 22 7 2 (27) ___ • ​​ 2__ ​   ​   ​​ ​5 ​​ 2__ ​   ​   ​​ ​5 _____ ​  2 ​   5 ​   ​  9 7 3 3

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

6x 1 3 x11   _____   ​ 2 ​   ​  e 31 Sendo M 5 ​ _______  5x 2 10 x22 2 N 5 1 1 ​ _____    ​   , calcule: x23 x21    ​  a) M 3 N  ​_______ b) M 4 N 5x 2 15

# E 

@ 

x 2 2 1 x 2 1 2x 1 1 ​ _____ 1    ​    ​    c) ___________ ​  2  ​    4 ​ ___________ x 1 1 x  2 1 x  2 2x 1 1 x ​ ___________    ​   x(1 1 a) 1 2 2a 1 a2 _______ ___________  ​    ​    d) ​   ​  y(1 2 a) y ______  ​    2 ​  12a

__  

Com as frações algébricas, usamos o mesmo procedimento adotado para os números fracionários. Para elevar uma fração algébrica a uma potência, elevamos o numerador e o denominador à potência indicada. Veja os exemplos.

@  # @  #

3

(23x) 27x 3x ​    ​ ​ ​  5 ​ _______  5 2​ ______3   ​  • ​​ 2___ 3 ​  3

5y

(5y)

3

125y

2 (x3)2 x3 x6 • ​​ _____ ​     ​ ​ ​5 ​ _______  2 ​    5 ​ _____________      ​ x2y (x 2 y) x2 2 2xy 1 y2

106

@  # 5m 2 4 • @​​  ​   ​  #​​ ​5 @​​  ​     ​#​ ​5 ​     ​ 2 5m 25m a 1 b 21 ______ a2b  ​ ​ ​5 ​   ​ • ​​ ______ ​      a2b a1b ____  

22

____  

2

______ 2 

CAPÍTULO 4    Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

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Exercícios PROPOSTOS 36 Calcule as potências.

@  #

4a 3 64a a) ___  ____ 27 3

@  #

4a2 b) ___3 3b

22

@ 

#

a 2 1 2 a 2 2a 1 1   c)   _____         __________ 9a 3a

3

@  #

3

22x 2 d) _____   5y3

6

9b ____ 16a4

37 Simplifique as expressões.

@  # @  #

2

2

#

@ 

#

1

x 2 y 21 f)   _____   xy      

28x6 ​_____9 125y

@  # @  #

2a4b2 b) _____ 3cd 3

xy3 z7 ___ a)    ___ 3        1 z7 y3x

@ 

2x 0 e) _____     x 2 3

2

3

3c 2d    3 ____    2a

5

4 4

3a b c _______ 3

2d

xy _____      x2y

# @  # @  #

@ 

2

5ab3c 2 d 2 1       3   ____ c) ______   2 3 ____ 5 4 d 25a bc

b

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

38 Ao participar de uma gincana escolar chamada de “Caça ao tesouro”, a equipe de Patrícia recebeu a tarefa de resolver a seguinte expressão: 2y 3 ____ x 2y3 3x 2 ___ ___   3   4  4 3 18

@  # @  #

O resultado dessa expressão reverterá em igual número de pontos para essa equipe. Se alguém da equipe de Patrícia responder corretamente, quantos pontos a equipe dela ganhará? 3 pontos

Exercícios COMPLEMENTARES

x25 3a       40c) _____ 39f) ______ x15 b 2 a

39 Considerando o denominador de cada uma das

seguintes frações algébricas diferente de zero, simplifique-as. x _____     2 x11 6 ___ 2x 2 4 x  3 x 2 2 ___ ______ ______ _____   a)   4x  c) e)   2   3 8x 6 x  1 x 2 3 2 14a b ___ 3a b 3 2b 1    b) ______    f) _________ d) ______ _____ 3    3a 2 x 1 3 3x 1 9 21a b ab 2 a2b 2

40 Simplifique as frações algébricas, considerando

que seus denominadores são diferentes de zero. x 2 2 10x 1 25 x21 1 _____ a) ___________  2 c) _____________   x 2 1 x 2 2 25 x  2 2x 1 1 2 x  2 9 49x 2 2 36 x23 __________  _____ b) ___________  2 d)   x  1 6x 1 9 x 1 3 14x 2 2 12x

41 Registre uma fração algébrica mais simples equivalente a: 9x 2 1 24xy 1 16y2 ________________ 2

2

9x  2 16y

@ com x % 34 y # . __

3x 1 4y _______     3x 2 4y

CAPÍTULO 4

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7x 1 6     40d) ______ 2x

4a2 2 12ab 1 9b2 6a 2 9ab

42 Dada a fração algébrica _______________    , 2 pede-se:

a) o valor de a para que essa fração algébrica 3b   represente um número real; a % 0; a % ___ 2 b) a forma mais simples dessa fração algébrica; c) o valor numérico dessa fração algébrica 1 1 5 para a 5 __ e b 5 __. 2​​__6 3 2 3x 2 5 5 x  2 4x 1 4 2x 2 4 real. Escreva y na sua forma mais simples.

2a 2 3b _______       3a

43 Seja y  5 ___________ 2 ______ um número 2 x ________     2(x 2 2)2

44 Qual a expressão mais simples equivalente y21 a _____   1 y11 y % 1?

y11 4y _____   , se y % 21 e   2 ______ 2 y21

y 21

2y 2 2 ______ y11

Frações algébricas, equações Fracionárias e equações literais

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2

2 2

2

46 As seguintes expressões têm denominadores diferentes de zero. Efetue as operações indicadas. 1 1 1 2 1 __ ​   ​ a) ​ __ ​   1 ​ _______    ​     ​     ​   2 ​ _______   2 ​ _______ a 2a 2 1 2a 1 1 4a2 2 1 a x 2 _____ 9 b) 3 2 x 1 ​ _____    ​ ​     ​  3 1 x 31x x 1 3a x 2 3a 6ax x 2 3a  ​______ ​  c) _______ ​      _______     ​   ​ 1 ​   ​    2 ​ ________ 2x 2 6a 2x 1 6a x 2 2 9a2 x 1 3a 47 Calcule. 12xy ____ 10a ​ 8y  ​ a) ​ _____  ​     3 ​   ​ ___ 9x 3a 5a2 x 2 1 6x _____________ x26 x26  ​ b) ​ _______         ​  ​_____   ​   3 ​  2 x x  1 12x 1 36 x 1 6 a 2 1 _____ a 2 1 _____ a12  ​ c) _____ ​       ​ 4 ​   ​ ​    a 2 2 a 1 2 a22

48 Escreva as expressões na sua forma mais simples. x 2 2 3x _____ x 2 2 9 _____ x 1 2 ______ 2 a) ​ _______ ​     ​     ​    3 ​   ​   4 ​   ​  2x 1 4 x 4x x 1 3 x 2 2 y2 ____________ x 2 1 2xy 1 y2 _____ x 2 2 xy _______ x1y ​        ​  ​   4 ​   ​   3 ​   ​            b) ​ ________ 2x 6x 2 1 4x 3x 1 2 x 49 Ao simplificar a expressão algébrica x3 2 25x ____ 15y xy 1 5y ________ ​       ​    3 ​   ​   4 ​ _______  ​  , Paulo obteve um 3x 2 15 4x 4 número primo menor que 10. Qual foi o número encontrado por Paulo? 5 50 Simplifique as expressões.

@ 

# @ 

#

a b a b a 1b ​     ​ a) ​ __ ​   ​  1 ​ __  ​  ​4 ​ __ ​   ​  2 ​ __  ​  ​ ______ b a b a a 2b

@  # @  # 2

3

2

2

2

2

2a4b 3c 2d 3a b c  ​    ​  b) ​​ ____ ​  3   ​  ​​ ​3 ​​ ​ ____ ​  ​ ​_______ 2d 2a 3cd  5

2 4 3

# @ 

@ 

#

2x 2 2 2x 1 8 ______ x23 x 1 1 _____ c) ​ _____ ​      ​     ​ ​ x 11 2 ​   ​1 ​   ​  ​4 ​ ____________  ​   x22 x12 x22

# @  # @  a b a e) ​@ ​   ​  1 ​    ​1 2 #​4 @​  ​   ​  1 1 #​ b a b

2x 2y d) ​ _____ ​     ​  ​ x 2  y ​  ​ 1 2 1  ​3 ​ 1 1 _____ x1y __ 

@ 

__ 

# @ 

__ 

a1b  ​______ ​      a

#

x y x1y 1 ​     ​  f) ​ _____ ​  xy ​    ​4 ​ __ ​ y  ​ 2 ​ __x ​   ​ _____ x2y 2x 2 1 4x 2 6 2x 2 1 2x x g) ​ _______________    ​ 4 ​ ____________      ​ 3 2    4 x  2 3x  2 x 2 3 x 1 2x 3 2 x 2

@ 

# @ 

#

a 1 b _____ b2a a a 1b  ​    ​  h) ​ _____ ​   ​   2 ​   ​     ​4 ​ 1 1 __ ​   ​   ​ _______ a b b a(a 1 b) 2

2

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45 Calcule as adições algébricas, considerando que todos os denominadores são diferentes de zero. 1 ______ x 21   ​ ​      a) x 2 ​ __ x ​  x x 2 2 y2 ​ __ x  y  ​  b) 1 1 ______ ​  2 ​  y 3x x 2x ​ 13x  ​   ___  ​ 2 ​    ___  ​  ____ c) ___ ​     ​ 1 ​  4a 2a 3a 12a 2x 1 3 1 2 x 2 1 ​ 1 1 ​ x      ​ 1 ​      ______   __  ​ ______  ​   1 ​  d) ​ ______ 3 x 3x x  2 a 2ax ​ __a ​ 2a    ​ 1 ​    __ ​   2 ​ _______    ​  e) ​ _____ x23 x 2 2 3x x x 8 x 2 _____ x12    ​ ​   ​    1 ​ ______   1 ​ _____ f) _____ ​     ​  2    ​  x22 x 1 2 x22 x  2 4

4 Equações fracionárias Considere a seguinte situação. O Projeto Esporte na Escola iria distribuir 160 bolas entre algumas escolas de certo município. No dia da partilha, duas escolas que se inscreveram desistiram de participar do projeto, de modo que cada uma das outras escolas recebeu 16 bolas.

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CAPÍTULO 4    Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

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Vamos determinar quantas escolas se inscreveram nesse projeto. Indicando por x o número das escolas inscritas inicialmente, o número de bolas que cada 160 escola recebeu, após as desistências, pode ser determinado por ​ ______  ​  . x22 160   ​ 5 16. Logo, ______ ​  x22 Observe que no 1o membro dessa equação temos uma fração algébrica. Equações desse tipo são chamadas de equações fracionárias. Uma equação é fracionária quando possui termos algébricos fracionários.

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Veja outros exemplos de equações fracionárias. 3x 2 2 x16 3 3 12 2 x14 •  ______ ​  2    ​  •  _______ ​   ​    5 ​ __ ​    ​ 2 ​ ______   ​   5 ​ ______  • ​ ___   ​  2 5 5 ​ __ ​ x 2 9 x 5 2x x11 x13 x23 A seguir, vamos estudar a resolução de equações desse tipo.

Conjunto universo de uma equação fracionária Recordemos que o denominador de uma fração não pode ser igual a zero. Portanto, os valores da incógnita que anulam os denominadores de uma equação fracionária não pertencem ao conjunto universo da equação. Observe os exemplos a seguir. 3 3 2 __ __   ​   2 5 5 ​     ​   , o número zero anula o denominador da fração ​  a) Na equação ​ __ x x ​ . Logo, o número 3 zero não pertence ao conjunto universo da equação. Assim, o conjunto universo dessa equação é formado por todos os números reais, menos o zero. Indicamos: U 5 V 2 {0} 3x 2 2 3x 2 2   5 20, o número 21 anula o denominador da fração ​ _______ ​   . Logo, o b) Na equação ​ _______ ​  x11 x11

número 21 não pertence ao conjunto universo da equação. Assim: U 5 V 2 {21}

5 3 2   2 ​ ______   5 ​ __  ​ :    ​     ​  c) Na equação ​ ______ x22 2 x11

3  ; • o número 2 anula o denominador da fração ​ ______    ​  x22

2  . • o número 21 anula o denominador da fração ​ ______    ​  x11

Logo, os números 21 e 2 não pertencem ao conjunto universo da equação. Assim:



U 5 V 2 {21, 2}

3x 2 1 3x 2 1  ​    5 ​ _______ ​   :   d) Na equação ​ _______ 2 x 2 16 x14 • o denominador x2 2 16 anula-se para x 5 24 e x 5 4, pois x2 2 16 5 (x 1 4)(x 2 4); • o denominador x 1 4 anula-se para x 5 24.

Então, os números 24 e 4 não pertencem ao conjunto universo da equação. Logo: U 5 V 2 {24, 4} CAPÍTULO 4    Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

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Resolução de equações fracionárias Para resolver uma equação fracionária em seu conjunto universo, aplicamos as mesmas regras práticas estudadas para a resolução de equações. Veja alguns exemplos. Exemplo 1 3 5 Resolver a equação ​ __ ​  1 ​ __  ​  5 4, considerando U 5 V 2 {0}. x 2 6 1 5x 8x ​ _______     ​    5 ​ ___  ​ 2x 2x

Reduzimos as frações ao mesmo denominador.

6 1 5x 5 8x

Multiplicamos os dois membros por 2x e simplificamos.

5x 2 8x 5 26

Resolvemos a equação.

26 23x _____  ​    5 ​ ____  ​ ​  23

23

x52 Como o número 2 não anula o denominador, a solução dessa equação é 2.

Exemplo 2 5 2x __    ​ 2   2 5 ​   ​ , considerando U 5 V 2 {23, 0}. Resolver a equação ​ ______ x13 x Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos: 2 3 x(x 1 3) 5 3 (x 1 3) 2x 3 x   ​        2 ​ ___________  ​   5 ​ __________ ​  ​ ________ x(x 1 3) x(x 1 3) x(x 1 3) 2x2 2 2x2 2 6x 5 5x 1 15

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

23x 5 26

26x 2 5x 5 15 211x 5 15 15 211x   5 ​ _____  ​  ​ ______ ​  211 211 15 x 5 2​ ___  ​ 11 15 O número 2​ ___  ​  não anula nenhum dos denominadores. A solução dessa equação é, 11 15 portanto, 2​ ___  ​ . 11 Exemplo 3 x16 6 x14  ​  5 ​ ______   ​ , considerando U 5 V 2 {23, 3}.   1 ​ ______  Resolver a equação ​ ______ 2    ​  x 29 x13 x23 110

CAPÍTULO 4    Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

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Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos: (x 1 4) 3 (x 2 3) (x 1 6)(x 1 3) 1 _______________ 5 _____________ (x 1 3)(x 2 3) (x 1 3)(x 2 3) (x 1 3)(x 2 3)

6 _____________

6 1 (x 1 4)(x 2 3) 5 (x 1 6)(x 1 3) 6 1 x2 2 3x 1 4x 2 12 5 x2 1 3x 1 6x 1 18 x2 2 x2 1 4x 2 3x 2 6x 2 3x 5 18 2 6 1 12 28x 5 24 24 28x _____  5 ____ 28 28 x 5 23

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O número 23 anula os denominadores x 1 3 e x2 2 9. Portanto, ele não pode ser aceito como solução da equação. Dizemos, então, que essa equação não tem solução.

Exercícios PROPOSTOS 51 Quais das seguintes equações são reconhecidas como fracionárias? a) 3(2x 2 1) 5 5(x 2 3)

bec

3 1 1 b) __  2 __ 5 __ 4 2 x 4x 2 2 4x 1 7 c) ______ 5 ______ x25 x11 x 2x d) __     5 ___  5 3 seguintes equações.

3 2 b) _____ 5 __ x24

5

0

4

10 4 c) _____ 5 _____ x25 x13 5x 2   2 __  5 3 d) _____ x11

x

23 e 5

21 e 0

53 Resolva estas equações. 2 1 a) 2 1 __  5 ___ , considerando U 5 V 2 {0} 2x x

3 2​__ ​ 4

12 4 b) ___   5 _____ , considerando U 5 V 2 {0, 2} 3 x22 x x x22 4 c) _____     2  _____     5 _______  , x22 x x 2 2 2x considerando U 5 V 2 {0, 2}

Não tem solução.

54 A soma de um número com o inverso do seu

consecutivo é igual ao próprio número menos uma unidade. Que número é esse? 22 CAPÍTULO 4

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3 1 2 a) __  1 __  5 ___2 , considerando U 5 V 2 {0} __12 x x 2x 8 2 b) _____ 5 ______ , x21 3x 2 1 1 3 considerando U 5 V 2 1, __ __ 3 11 4 2 5 0, c) _____ 1 ______ x23 x2 2 9 considerando U 5 V 2 {23, 3} 25 5 3 4x 2 2 2 _____ 5 _____ , d) ______ 2 x 2 1 x 2 1 x 21 considerando U 5 V 2 {21, 1} Não tem solução.

 

52 Determine qual valor x não pode assumir nas 5 2 1 a) __  2 __ 5 __ 2 3 x

55 Encontre o valor de x nestas equações.

56 Em uma distribuição de 720 kg de alimentos,

duas famílias não compareceram, o que permitiu que cada uma das outras famílias recebesse 40 quilogramas de alimentos. a) Quantas eram as famílias que deveriam receber alimentos? 20 famílias b) Quantas famílias compareceram? 18 famílias c) Se todas as famílias tivessem comparecido, quantos quilogramas de alimentos cada uma receberia? 36 kg

57 Uma indústria produziu 140 peças em x dias. Se

tivesse trabalhado (2x 2 3) dias, produziria 196 peças. Nessa indústria, a produção diária é sempre a mesma. a) Em quantos dias foram produzidas as 140 peças? 5 dias b) Qual a produção diária dessas peças? 28 peças c) Quantas peças seriam produzidas em 10 dias? 280 peças

Frações algébricas, equações Fracionárias e equações literais

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Acabei de construir algumas casas, todas com a mesma quantidade de tijolos. No total, foram utilizados 160 mil tijolos.

Eu construí duas casas a menos que você e todas elas com o mesmo número de tijolos que as suas. Para isso, usei 96 mil tijolos.

a) Quantas casas foram construídas pelo primeiro construtor? 5 casas b) Qual é a quantidade de tijolos utilizada em cada casa? 32 mil tijolos 59 Lúcia pensou em um número, somou 4 e dividiu o resultado pela diferença entre o número pensado e 2. A seguir, subtraiu 6 do número pensado e o dividiu pela diferença entre esse número e 9. Ao obter a resposta, Lúcia percebeu que os dois quocientes eram iguais.

a) Em qual número Lúcia havia pensado? 16 10 b) Qual foi o quociente obtido? ___ ​   ​  7

60 Eduardo comprou 2,2 kg de carne de carneiro e 2,4 kg de carne de porco. Embalou a carne de carneiro em pacotes com x gramas e as de porco em pacotes com (x 1 50) gramas. O número de pacotes usados para embalar cada tipo de carne foi igual. a) Determine o valor de x. 550 b) Quantos gramas tinha cada pacote de carne de porco? 600 gramas c) Quantos pacotes de carne de porco foram embalados? 4 pacotes 61 Na escola A, 360 alunos foram distribuídos em x salas de aula. Na escola B, 504 alunos foram distribuídos em x 1 4 salas. Sabendo que o número de alunos em cada sala é o mesmo, calcule quantas salas de aula tem a escola B. 14 salas

62 Uma chácara de 5.040 m e outra de 2.880 m2 foram divididas em lotes de mesma área. A chácara maior teve o dobro de lotes da chácara menor, menos dois lotes. a) Em quantos lotes foi dividida a chácara menor? 8 lotes b) E a chácara maior? 14 lotes c) Quantos metros quadrados tem cada um desses lotes? 360 m 2

2

Pense mais um pouco...

José e Luís são irmãos. Luís tem um filho a mais que José. Observe o diálogo dos irmãos. Você se lembra, Luís, daquele terreno de 720 m2 que eu comprei na Vila Piauí?

Claro que lembro, José. Eu também acabei comprando um de 960 m2.

Pois bem, eu dividi aquele terreno em partes iguais para meus filhos.

Que coincidência! Eu fiz o mesmo com o meu na semana passada.

Cada filho meu ficou m2. com

?

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

58 Dois construtores conversavam:

Outra coincidência. Os meus também.

Descubra quantos filhos tem José e quantos metros quadrados coube a cada filho. 3 filhos; 240 m

2

112

CAPÍTULO 4    Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

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5 Equações literais Considere a situação.

a

Mário desenhou em um caderno os seguintes polígonos. x

x

a

a

a

a

x x

x

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x polígono 1

a

a

x x

a polígono 2

polígono 3

a polígono 4

Ao medir o perímetro desses polígonos, Mário observou que a soma dos perímetros dos polígonos 1 e 2 (5x 1 3a) é igual à soma dos perímetros dos polígonos 3 e 4 (3x 1 6a). Então, ele escreveu esta equação: 5x 1 3a 5 3x 1 6a Ele também observou que essa equação tem duas letras: a letra x e a letra a. Mário considerou a letra x como incógnita e a letra a, como um número. Depois, resolveu a equação aplicando as mesmas regras utilizadas na resolução de uma equação do 1o grau. 5x 1 3a 5 3x 1 6a Isolou a incógnita x no 1o membro. 5x 2 3x 5 6a 2 3a Reduziu os termos semelhantes. 2x 5 3a Dividiu os dois membros da equação pelo coeficiente da incógnita. 3a 2x   ___ ​  ​ ___ ​ 5 ​  2 2 3a x 5 ​ ___ ​  2 3a Mário obteve, assim, a solução ​ ___ ​   da equação na incógnita x. 2 Equações como a encontrada por Mário são chamadas de equações literais e são resolvidas do mesmo modo que as equações do 1o grau, já estudadas. Equação literal é toda equação que apresenta, além da incógnita, uma ou mais letras, denominadas parâmetros. Veja outros exemplos. Exemplo 1 Resolver a equação my 2 3m2 5 y, com m % 1, na incógnita y. my 2 3m2 5 y Isolamos a incógnita y no 1o membro. my 2 y 5 3m2 y(m 2 1) 5 3m2 Colocamos y em evidência. 2

y(m 2 1) 3m ________  ​   5 ​ ______ ​      ​  (m % 1) m21 m 2 1 2 3m y 5 ​ ______   ​  m 2 1

Dividimos os dois membros por (m  1).

3m2 y 5 ​ ______  , com m % 1   ​  m 2 1 CAPÍTULO 4    Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

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Exemplo 2 c 3x 2 2b 5  __ , considerando x como incógnita (com x % 21). Resolver a equação ________  5 x11 c 5  __    5 x11

3x 2 2b ________

5 3 (3x 2 2b) ____________ 5(x 1 1)

c 3 (x 1 1) 5  _________ 5(x 1 1)

5(3x 2 2b) 5 c(x 1 1) 15x 2 10b 5 cx 1 c 15x 2 cx 5 c 1 10b x(15 2 c) 5 c 1 10b x(15 2 c) _________ (15 2 c)

c 1 10b  5  ________    (c % 15) (15 2 c)

c 1 10b , com c % 15 x 5  ________    15 2 c

Exercícios PROPOSTOS a15 a(x 2 2) 7a 1 15 c) ________   5  _____ (com a % 0) _______     2a 3 2 b 2 2b 2 2 d)  _____   5 __  (com b % 1) ______    , com b % 0 b x b21

63 Calcule o valor de x nas equações. 3a   a) 5x 2 a 5 x 1 5a ___ 2 b) 2(3x 2 a) 2 4(x 2 a) 5 3(x 1 a) 2a

a 1 x 2a 2 x 2a c) _____    2 a 5 ______  3 2

67 A soma de todas as arestas deste bloco retangular

64 Um número x é somado com b. Multiplicando

é 16a. Qual é a relação entre x e a?

x5a21

essa soma por 5, obtém-se o dobro de b. Qual é o valor de x ? x 5 2​__​35 b

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

 

x+2

65 Qual deve ser o valor de x para que o perímetro da figura 1 seja igual ao da figura 2? x 5 2a 1 2

2x − 3 a

a

x+5 x−1

a

x−1

a x−1 x+1 figura 1

68 Que relação deve existir entre x e a para que os retângulos a seguir tenham áreas iguais?

b x 5 ___   2a

figura 2 a

66 Resolva as seguintes equações, considerando x como incógnita. 2b ___ a) 4ax 2 2b 5 2ax 1 2b (com a % 0) a   6m 2 6     b) 3(m 2 2) 5 m(x 2 3) (com m % 0) _______ m

114

CAPÍTULO 4

b 2x + b

a+1

Frações algébricas, equações Fracionárias e equações literais

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69 Determine o valor de x nas equações literais. 4a ​    ​  a) a 1 bx 5 5a 2 3x (com b % 23) _____ b13

x x 2 c) __ ​    ​  2 ​ __  ​ 5 ​ __  ​(com b % a) b a a

@ 

2b ​ _____   ​  b2a

#

2b 2b 1 6a d) 3a(x 2 2) 5 2b(x 1 1) ​ com a %  ​ ___ ​   ​ ​ _______  ​   3 3a 2 2b

5 b) ax 2 1 5 4 1 bx (com a % b) _____ ​     ​  a2b

5 3 70 O produto de um número real y pelo número não nulo a menos ​ __ ​  é igual a ​ __  ​ do número a. 4 2 5 1 6a     ​ , com a % 0   Que relação existe entre esse número e o número a? y 5 ​ ______ 4a 71 O dobro de um número x menos a terça parte de outro número é igual ao produto desses a26 números menos 2. Qual é o valor de x em relação a esse outro número? x 5 ______  ​   , com a % 2   ​  6 2 3a

72 As figuras abaixo têm áreas iguais. Determine o valor de x.

b 2a 1 3b x 5 _______ ​   ​   , com a % 2​ __ ​  2 2a 1 b

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x−1

b

a+b x+1

73 Observe a figura ao lado.

3px 1 2p 5 10

a) Qual equação representa a soma das áreas I, II, III e IV, sabendo que ela é igual a 10? 10 2 2p b) Determine o valor de x. x 5 _______ ​  ​   , com p % 0     3p c) Se p 5 2, qual é o valor de x ? 1

IV x

I

II

III

p

p

p

2

p

Tratamento da informação

Calculando probabilidades Em muitas situações do dia a dia, “medimos a chance” de algo ocorrer, ou seja, calculamos a probabilidade de um acontecimento. Veja a situação a seguir. Numa prova de questões de múltipla escolha (com cinco alternativas, apenas uma correta), vamos medir a chance de uma pessoa acertar uma questão escolhendo uma alternativa ao acaso (por exemplo, por sorteio). Observe que a pessoa tem apenas 1 possibilidade de acerto dentre as 5 possibilidades de escolha. Então, a probabilidade de uma pessoa acertar cada 1 questão é de 1 em 5, ou seja, é de __ ​   ​ . 5

CAPÍTULO 4    Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

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É comum expressarmos a probabilidade na forma de fração ou na forma percentual. 1 Assim, como __ 5 0,2 5 20%, dizemos que a pessoa tem 20% de probabilidade de 5 acertar a questão, escolhendo uma alternativa ao acaso. Veja outra situação. Vamos calcular a probabilidade de se obter um número maior do que 2 no lançamento de um dado. Os números maiores do que 2 no dado são: 3, 4, 5 e 6; ou seja, temos 4 possibilidades favoráveis dentre os 6 números possíveis. Por isso, a probabilidade 4 é: __ 7 0,67 5 67%. 6

Atividade

a) No lançamento de um dado, calcule a probabilidade de se obter um número par na face que fica voltada para cima. E qual é a probabilidade de sair um número ímpar? 50%; 50% b) Uma urna contém 50 fichas idênticas, numeradas de 1 a 50. Calcule a probabilidade de uma pessoa, de olhos vendados, pegar uma ficha contendo um número que termina em zero. 10% c) Numa turma com 36 alunos, a professora sorteia o número de chamada de um deles. Calcule a probabilidade de o número sorteado ser maior que 27. 25%

Exercícios COMPLEMENTARES 74 Determine o valor de x nas equações. 5 7 1 1 a) ___  1 __ 5 ___  2 __ , 3x 4 2x 2 considerando U 5 V 2 {0} x 5 __92 x21 x b)  _____     , 5  _____ x22 x13 3 considerando U 5 V 2 {2, 23} x 5 __4

75 Calcule m nas equações. m 2 a) ______       1 __  5 1, 11m m considerando U 5 V 2 {21, 0} m23 m22 m b)  ______ 2  _______ 5 ______     , m12 m22 m2 2 4 considerando U 5 V 2 {22, 2} 116

CAPÍTULO 4

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1 Responda às questões a seguir expressando o resultado na forma percentual.

76 Determine o valor de t na equação 3t 2 2 1 1 _____ 2 _____ 5 _______ , considerando 2 t25 t15 t  2 25 U 5 V 2 {25, 5} t 5 4

77 Considere a equação: 2

x  1 8 x11 2 _____   2 _____ 5  ______ 2

x22 x12 x  2 4 a) Determine os valores que x não pode assumir. 22 e 2 b) Resolva a equação. A equação não tem solução.

78 Em uma escola, os 570 alunos estão distrim 5 22

m51

buídos em x salas. Em uma segunda escola, os 684 alunos foram organizados em x 1 3 salas. O número de alunos em cada sala é o mesmo. 18 salas a) Quantas são as salas da segunda escola? b) Quantos são os alunos de cada sala? 38 alunos

Frações algébricas, equações Fracionárias e equações literais

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79 Uma moto percorre 360 km em x horas e

82 Os perímetros das duas figuras a seguir são iguais.

260 km em (x 2 2,5) horas. Sabendo que nos dois percursos a velocidade média foi a mesma, determine: a) o valor de x ; 9 b) a velocidade média dessa moto.

40 km/h

y 2x

2y

a

80 A razão entre a idade que Renata terá daqui a 5 anos e a idade que ela tinha há 5 anos é 4 igual a __. Qual é a atual idade de Renata? 3 35 anos

81 Resolva as equações na incógnita x. a) b) 12m ______     c) 3m d) 3a _______   e) 2a 2 2b 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

a2b   3x 1 b 5 x 1 a x 5 _____ 2 3 1 4a 4a(x 2 1) 5 3(ax 1 1), com a % 0 ______       a 2 (x 1 m) 2 1 5 x (x 2 m), com m % 0 4a   bx 1 5x 5 4a, com b % 25 _____ b15 3ab 1 3a(a 2 b) 5 2x(a 2 b), com a % b

4x

a

a 5 2x 1 y

a) Expresse o valor de a por meio de x e y. b) Se x 5 1 e y 5 1,5, calcule a área do quadrado. 12,25 c) E se x 5 2 e y 5 3, qual será a área do quadrado? 49

83 (Fesp-SP) Resolva a equação literal em x. x21 x11 2a 1 4 _____   2  _____ 5 _______ 2 a11

a21

a 21

x 5 22a 2 2

TESTES 84 (FCM-MG) A forma simplificada da expressão

2

3 a 1 3 _____ X a)   3 b) a 1 2

(x  2 9)(x  2 5x 1 6)

1 d) _____ x25

1 __________ x 2 1 x 2 6

1 e) ______ x 2 2 9

x   b)   _____ x25

a1b b2a 4ab das na expressão _____      ,   1  _____    2 _______ a2 2 b2 a2b a1b com a % b e a % 2b, obtemos:

86

c) 2 d) 22ab

e) a 1 b

b

1 b) ___ 16

d) 24x 2 1

x12 b) _____   x22

x 2 2 7x 1 4 e) ___________   x 2 2 4

x22 _____   x12

89 (Unifor-CE) A expressão a 2b

1 c) __ 5 X d)

2

a 1 ab a 1 ab _______   2 2  ____________  2 , para a % b e 2  2 a 1 2ab 1 b

a % 2b, é equivalente a:

5 __

12a a) _______   a2 2 b2

8

CAPÍTULO 4

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x11 a) 2 _________ 2 3 (x 2 2)

2

e ab 5 16, é: 1 a) __ 8

diferente de 2 e 22. Efetuando-se x11 2 2 7x _____     1 ______ , obtém-se: x22 x2 2 4

X c)

1 1 O valor da expressão __  1 __ , para a 1 b 5 10 a

d) a 2 3 a23 e) _____   3

88 (Puccamp-SP) Seja x um número real

85 (Unisinos-RS) Efetuando as operações indica-

a) 21 b) zero

a23

c) a 1 3

1 c) ___________ x 2 2 5x 1 6

X

2

a 1 6a 1 9 ______ a 29 ___________   4  é equivalente a:

2

x  2 6x 1 9 ___________________   2 é igual a: 2 X a)

87 (UFRGS-RS) Para a % 23 e a % 3, a expressão

(a 2 1)(a 1 b) b) _____________ (a 1 b)2(a 2 b)

Frações algébricas, equações Fracionárias e equações literais

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2ab _______  2 ​ 

x x12 95 Dada a equação ​ _____    ​      2,   1 ​ _____  ​ 5 x12 x

X e) ​  2

a 2b

2    ​  d) ​ _____ a2b 90 (Ceeteps-SP) Sejam os números reais A e B tais y x x que: A 5 ​ __  ​  2 ​ __ ​   e B 5 ​ __  ​  1 1 x y y A A expressão ​ __ ​   2 1 é igual a: B 2y ___ X c) ​   ​  a) 1 x

y11   e) 2​ _____  ​  x

y21   d) ​ _____  ​  x

x b) ​ __  ​ y

91 (USF-SP) O valor da expressão  2

2

2

2

x  2 y  _____________ x  1 2xy 1 y  _______      ​   ​   3 ​   ​   ,  x1y

x2y

para x 5 1,25 e y 5 20,75, é: a) 20,25 b) 20,125

c) 0 d) 0,125

X e) 0,25

92 (Puccamp-SP) Considere um número real qualquer, diferente de zero. Some esse número com 3, multiplique a soma por 5, subtraia 15 do produto e divida o que resta pelo próprio número. É correto afirmar que o resultado desses cálculos: a) depende do número considerado. b) é sempre 1. X c) é sempre 5. d) pode ser negativo. e) é um número maior que o número considerado.

93 (OBM) Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que achei foi igual: a) ao próprio número. b) ao dobro do número. c) ao número mais 1. d) à raiz quadrada do número. X e) ao número menos 1.

118

c) 23

97 Flávio tem 40 anos. Fabrício, filho de Flávio, tem 12 anos. Há quantos anos a idade do pai era cinco vezes a idade do filho? a) 4 anos X b) 5 anos c) 6 anos d) 7 anos 98 Se a % 2, então o valor de x na equação x (a 2 2) 5 a 2 2 é: a) 0 c) a 2 2 X b) 1 d) Não existe. 99 A soma de todos os lados desse polígono é 7a. a

x

a x x+a

Então: a) x 5 a b) x 5 2a

X c) x

4 5 ​ __  ​ a 3

7 d) x 5 ​ __  ​ a 6

100 A solução da equação ax 2 b 5 c x, na incógb a) ​ _____    ​   , com a % 2c a1b b _____    ​   , com a % c

X b) ​ 

a2c

nita x não pode assumir o valor: b) 22

96 Divide-se um número pelo seu consecutivo. Soma-se ao resultado o dobro do inverso do número e obtém-se 1. Esse número é: 1 X c) 22 a) 21 b) 1 d) 2​ __ ​  2

nita x, é:

x x 2 94 Na equação ​ _____    ​ 2 ​    _____    ​ 5 ​    __  ​ , a incóg5 x22 x23 a) 0

considerando U 5 V 2 {22, 0}, pode-se afirmar que: a) x 5 0 b) x 5 4 c) x 5 24 X d) a equação não tem solução.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a c) _____ ​     ​   a2b

X d) 2

e3

b c) 2​ _____    ​   , com a % c a2c a2c d) ​ _____    ​   , com b % 0 b

CAPÍTULO 4    Frações algébricas, equações fracionárias e equações literais

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ndoo cand Diversififica Onde está o erro? Rogério encontrou em um jornal antigo uma brincadeira matemática e ficou curioso para saber a resposta. Entretanto, a parte em que ela estava havia sido cortada. Observe o recorte do jornal.

Encontre o erro Incrível! Será que 2 é igual a 1? Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para mostrar que 2 é igual a 1, vamos considerar os números a e b e atribuir-lhes o valor 1, isto é: a51 e b51 Afirmamos que vale a seguinte igualdade: a2 2 b2 5 a2 2 a 3 b Podemos verificar a validade substituindo a e b por 1: 12 2 12 5 12 2 1 3 1 050 2 2 Portanto, a igualdade a 2 b 5 a2 2 a 3 b é verdadeira. Fatorando ambos os membros dessa igualdade, temos: (a 1 b) 3 (a 2 b) 5 a 3 (a 2 b) 1 Multiplicando ambos os membros da igualdade por _______ , obtemos: (a 2 b) 1 1 (a 1 b) 3 (a 2 b) 3 _______ 5 a 3 (a 2 b) 3 _______ (a 2 b) (a 2 b) a1b5a Substituindo os valores de a e b por 1, temos: 11151 2 5 1. Isso é possível? Resposta:

1. Espera-se que os alunos percebam que o erro está na multiplicação de ambos os membros por 1 ______ , pois, como a 5 1 e b 5 1, temos a 2 b igual a zero, e não é possível dividir por zero.

Agora é com você!

(a 2 b)

1. Encontrem o erro cometido no cálculo desenvolvido nessa matéria do jornal.

2. Fernanda descobriu o erro cometido no jornal e fez uma brincadeira parecida seguindo o mesmo raciocínio.Veja ao lado as operações de Fernanda e descubra onde está o erro.

050 3235424 3 3 (1 2 1) 5 4 3 (1 2 1) 354

O erro cometido foi semelhante ao do jornal, pois, após colocar em evidência os números 3 e 4, ela cortou os membros comuns entre parênteses. Ao fazer esse corte, Fernanda dividiu por zero, o que não é possível. CAPÍTULO 4 Frações algébricas, equações Fracionárias e equações literais

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119

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CAPÍTULO GOOGLE EARTH IMAGES

5

Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

MS

MG

Borá RJ

PR

São Paulo

OCEANO ATLÂNTICO

Escala: 110 km

Matemática no mundo A pequena Borá é o menor município do estado de São Paulo e um dos menores do Brasil. Conforme dados do Censo 2010, sua área é de 118,45 km2 e sua população é de 805 habitantes, dos quais apenas 178 residem na zona rural.

Agora, responda. • Quantos habitantes residem na zona urbana de Borá? 627 habitantes • Se x indica a população masculina e y indica a população feminina, qual é a expressão algébrica que representa o total de habitantes de Borá? x 1 y 5 805

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1 Resolução de sistemas Acompanhe o diálogo de dois amigos.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Maria, eu peguei um peixe deste tamanho!

É, seu peixe tem esse tamanho, mas o meu tem 3 kg a mais que o seu.

Puxa, como você é rápida nas contas!

Com certeza! Além disso, para cada 1 kg do seu peixe, o meu tem 1,5 kg.

Se Maria estiver certa, quantos quilogramas tem o peixe de Pedro? Começaremos indicando a massa de cada peixe usando incógnitas diferentes: • x: massa, em quilograma, do peixe de Pedro. • y: massa, em quilograma, do peixe de Maria. Assim, podemos escrever as seguintes equações: y5x13

O peixe de Maria tem 3 kg a mais que o de Pedro.

y 5 1,5x

Para cada 1 kg do peixe de Pedro, o peixe de Maria tem 1,5 kg.

Equações como essas, com duas incógnitas que representam, em ambos os casos, as mesmas coisas, formam um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas. Um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas tem solução quando há um par ordenado de números reais que é solução de ambas as equações. y5x13 No sistema , a solução é o par ordenado (6, 9), pois: 9 5 6 1 3 e 9 5 1,5 3 6 y 5 1,5x Vamos recordar dois métodos de resolução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas: o método da substituição e o método da adição.

O método da substituição A resolução de um sistema por esse método consiste em: • isolar uma das incógnitas no 1o membro de uma das equações; • substituir, na outra equação, a incógnita isolada pela expressão do 2o membro, obtendo uma terceira equação com apenas uma incógnita; • resolver a terceira equação e substituir o valor obtido para a sua incógnita, em uma das equações do sistema, para obter o valor da outra incógnita.

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Considere o problema. A soma dos dois algarismos de um número é 8. Trocando a ordem desses algarismos, obtemos um número que tem 18 unidades a mais que o primeiro. Qual é esse número? Indicando por x o algarismo das dezenas e por y o algarismo das unidades, esse número pode ser expresso por 10x 1 y. Trocando a ordem dos algarismos, obtemos um número que pode ser expresso por 10y 1 x. Como a soma dos dois algarismos é 8, temos: x1y58 Podemos, então, montar o sistema: x1y58 10y 1 x 5 10x 1 y 1 18

]

x1y58 29x 1 9y 5 18

Substituindo x por 8 2 y na equação 29x 1 9y 5 18, encontramos o valor de y: Substituindo y por 5 em x 5 8 2 y, encontramos o valor de x: x 5 8 2 y x5825 x53 Ou seja, a solução do sistema é x 5 3 e y 5 5. Indicamos essa solução assim: (3, 5)

29x 1 9y 5 18 29(8 2 y) 1 9y 5 18 272 1 9y 1 9y 5 18 9y 1 9y 5 18 1 72 18y 5 90 18y 90 ____  5 ___ 18 18 y55

Já resolvemos o sistema, mas, para resolver o problema, precisamos descobrir qual é o número que indicamos por 10x 1 y. Substituindo x por 3 e y por 5 em 10x 1 y, temos: 10x 1 y 5 10 3 3 1 5 5 30 1 5 5 35 Logo, o número procurado é 35.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Isolando a incógnita x na equação x 1 y 5 8, temos: x 5 8 2 y.

Exercícios PROPOSTOS 1 Resolva mentalmente e faça a verificação no caderno. a) x 2 y 5 5 x 5 2y 1 1

(9, 4)

b) x 1 y 5 9 x2y55

(7, 2)

2 Usando o método da substituição, resolva os sis-

3 Um pai tem 20 anos a mais que o filho. Determine a idade de cada um, sabendo que daqui a 5 anos o pai terá o dobro da idade do filho. pai: 35 anos e filho: 15 anos

4 Um número tem dois algarismos. O algarismo

temas a seguir e verifique a solução encontrada. a) 3x 1 2y 5 40 b) x 5 y 2 5 x 2 3y 5 25 (10, 5) y 5 2x 1 8 (23, 2)

122

CAPÍTULO 5

das unidades tem 5 unidades a mais que o algarismo das dezenas. O número considerado é o triplo da soma de seus algarismos. Determine esse número. 27

SiStemaS de equaçõeS do 1o grau com duaS incógnitaS

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O método da adição A resolução de um sistema por esse método consiste em: • multiplicar todos os termos de cada uma das equações por um número conveniente, de modo que os novos coeficientes de uma das incógnitas sejam números opostos; • adicionar os primeiros membros e os segundos membros das novas equações, obtendo uma terceira equação com uma só incógnita; • resolver a terceira equação e substituir o valor obtido para a sua incógnita, em uma das equações do sistema, para obter o valor da outra incógnita. Considere a seguinte situação. A soma das idades de Carlos e Márcia é 48 anos. Vamos determinar a idade de cada um sabendo que daqui a 8 anos a idade de Carlos será o triplo da idade de Márcia.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Indicando por x a idade de Carlos e por y a idade de Márcia, temos: x 1 y 5 48 Daqui a 8 anos, a idade de cada um será x 1 8 e y 1 8. Como, nessa época, a idade de Carlos será o triplo da idade de Márcia, temos: x 1 8 5 3 3 (y 1 8) x 1 8 5 3y 1 24 Podemos, então, montar o sistema: x 1 y 5 48 x 1 8 5 3y 1 24

]

x 1 y 5 48 x 2 3y 5 16

Multiplicando a equação x 1 y 5 48 por 3, temos: 3x 1 3y 5 144 x 2 3y 5 16 Vamos somar membro a membro as equações: 3x 1 3y 5 144

Substituindo x por 40 na equação x 1 y 5 48, temos: x 1 y 5 48

somando

x 2 3y 5 16 4x

40 1 y 5 48

y 5 48 2 40

5 160

y58

160 4x ___  ​    ​   ​   5 ​ ____ 4

4

x 5 40 Logo, Carlos tem 40 anos e Márcia, 8 anos.

CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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123

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Exercícios PROPOSTOS 5 Usando o método da adição, resolva os sistemas abaixo e verifique a solução encontrada. a)

4x 1 y 5 7 2x 2 5y 5 9

(5, 22) b)

R$ 133,00. A razão entre os preços de uma ber5 muda e de uma camiseta é __ . Quanto pagaria 3 se tivesse comprado 1 bermuda e 2 camisetas?

4x 1 3y 5 14 5x 2 2y 5 29

6 Resolva os sistemas pelo método que você julgar mais conveniente.

R$ 77,00

10 A tabela a seguir mostra dados estatísticos sobre

a riqueza de alguns países conforme o valor do produto interno bruto (PIB).

a) 2(x 2 2) 1 3y 5 27 (23, 1) 3x 2 2( y 2 4) 5 23 x2y x1y _____    1  _____ 5 3 2 3 b) (4, 2) y x 1  __  5 5 2 c)

Países 1o União Europeia

d) 2,4x 2 0,6y 5 2,4 3,6x 1 y 5 7,4

14.720

o

3 China

9.872

4o Japão

4.338

o

4.046

o

2.960

o

7 Rússia

2.229

8o Brasil

2.194

5 Índia (1,5; 2)

6 Alemanha

7 Calcule a área de um retângulo cujo perímetro

mede 22 cm e a diferença entre a medida da base e a metade da medida da altura é 3 cm. 28 cm

2

altura

base

8 Luís pagou uma dívida de R$ 89,00 com notas de R$ 5,00 e de R$ 2,00. Ao todo, Luís usou 22 notas. Quantas eram as notas de R$ 5,00 e quantas eram as de R$ 2,00?

14.900

o

2 Estados Unidos

x 1 2y 5 y 1 2 5 13 2x 2 1 7 2 y @ ___ , 2 __ # ______ 5 _____  4 4 2 3

PIB em 2010 (em milhões de dólares)

Disponível em: www.cia.gov Acesso em: 1o mar. 2011.

Suponha que x represente o PIB (em milhões de dólares) de certo país e y o PIB de outro país. Resolva o sistema a seguir e descubra os países correspondentes. Brasil e Japão

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

(2, 21)

9 Comprei 2 bermudas e 3 camisetas por

1 5,2x 2 __ y 5 9.239,80 2 1 __ 2,3x 2 y 5 3.600,20 3

15 notas de R$ 5,00 e 7 notas de R$ 2,00

Pense mais um pouco...

Observe o diálogo entre Ricardo e Cristina e responda à pergunta. Quantos CDs cada um possui?

Se você me der 5 dos seus CDs, ficaremos com o mesmo número de CDs.

Se você me der 5 dos seus CDs, ficarei com o triplo da quantidade dos CDs que lhe restará.

Ricardo tem 15 Cds e Cristina, 25.

124

CAPÍTULO 5

SiStemaS de equaçõeS do 1o grau com duaS incógnitaS

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2 Sistemas de equações fracionárias Um sistema de equações é fracionário quando pelo menos uma das suas equações é fracionária. Para resolver um sistema de equações fracionárias, aplicamos qualquer um dos métodos estudados. Veja o exemplo. x1y57 Resolver o sistema ______ 6  para x % 2 e y % 0. 4   5 ​ __ ​ ​     ​  y x22

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Preparando a segunda equação, temos: 6 4    ​  ​ ______   5 ​ __ ​ y x22 4y 6(x 2 2)   5 ​ ________ ​  ​ ________    ​  y(x 2 2) y(x 2 2)

Reduzimos as frações ao mesmo denominador.

4y 5 6x 2 12 26x 1 4y 5 212 Dessa forma, obtemos o sistema:

x1y57 26x 1 4y 5 212

Aplicando o método da substituição, podemos isolar x na equação x 1 y 5 7. x572y Substituindo x por 7 2 y na segunda equação do sistema, temos:

Substituindo y por 3 na equação x 5 7 2 y, temos:

26x 1 4y 5 212

x572y

26(7 2 y) 1 4y 5 212

x5723

242 1 6y 1 4y 5 212

x54

6y 1 4y 5 212 1 42 10y 5 30 10y

30 ____   5 ​ ___  ​ ​   ​  10

10

y53 Logo, o par (4, 3) é a solução desse sistema.

CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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Exercícios PROPOSTOS 14 Sabendo que o segmento representado abaixo

métodos estudados.

x 2 tem 8,4 m e que __     5 __ , determine as medidas 3 y x e y. x 5 2,4 m e y 5 3,6 m

12x 2 _____       5 __

a)

3 y para y % 0 e x % 0 52y 1 _____ __  5 x    3

(23, 6)

x

3x ___     5 2 b)

y para y % 0 e y % 25 x14 2 _____ __   5 y15 5

(25; 27,5)

y para x % 21, y % 0 e y % 1 1 2 _____  5 _____ (22, 3)   12y 11x

x 5 2y 3 1 para x % 2 y d) _____   5  __ 3 x1y

y

15 Acompanhe este diálogo entre João e Pedro. Pedro, se você

x15  _____    5 1 c)

x

1 me der __ das suas 5

figurinhas, eu ficarei com o dobro do que lhe restará.

E se você me der 60 das suas figurinhas, João, ficaremos com quantidades iguais!

(6, 3)

12 O perímetro do pentágono abaixo é 19 m e x 7 __     5 __ . Calcule as medidas x e y. y

8

x 5 3,5 m e y54m

y

y

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

11 Resolva os seguintes sistemas usando um dos

x

x

y

13 Determine uma fração equivalente a diferença dos termos seja 112.

9 __ cuja 5

252 ____ 140

Quantas figurinhas cada um possui? Pedro possui 300 figurinhas e João, 420.

Pense mais um pouco...

2 A diferença entre dois números inteiros é 2. Adicionando o maior ao numerador da fração __ 3 e diminuindo o menor do denominador dessa fração, obtemos uma fração equivalente 63 a 2___ . Determine esses números. 7 e 5 14

126

CAPÍTULO 5

SiStemaS de equaçõeS do 1o grau com duaS incógnitaS

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3 Plano cartesiano Um sistema cartesiano de coordenadas é constituído de duas retas concorrentes, x e y, perpendiculares entre si chamadas de eixos. Plano cartesiano é um plano que contém um sistema cartesiano de coordenadas. • A reta horizontal é chamada de eixo das abscissas ou eixo dos x. • A reta vertical é chamada de eixo das ordenadas ou eixo dos y. • O ponto de cruzamento das duas retas é chamado de origem. • Em intervalos iguais, cada eixo é numerado a partir da origem. y

eixo das ordenadas

4

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3 2 1 −4 −3 −2 −1 0 −1

origem 1

2

eixo das abscissas

3

4

x

−2 −3 −4

Todo par ordenado (x, y) de números reais, em que x é o primeiro elemento do par e y o segundo, pode ser representado em um plano cartesiano e corresponde a um ponto P desse plano. O par ordenado (x, y) recebe o nome de coordenadas do ponto P. O número real x é a abscissa do ponto P e y é a ordenada do ponto P. O ponto de coordenadas (0, 0) corresponde à origem do plano cartesiano. Como exemplo, vamos localizar no plano cartesiano o ponto P(3, 2). abscissa

ordenada

• Pelo ponto do eixo dos x com abscissa 3, tracejamos uma paralela ao eixo dos y. • Pelo ponto do eixo dos y com ordenada 2, tracejamos uma paralela ao eixo dos x. • O ponto de cruzamento dos tracejados determina o ponto P(3, 2). y 4 3

P(3, 2)

2 1 −4 −3 −2 −1 0 −1

1

2

3

4

x

−2 −3 −4

CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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127

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Observe a representação de alguns pontos no plano cartesiano. y A

4 B

3 2

−

G −4

−3

−

5 −2 2

3 2 1

7 4

F I

3,5 0 −1 − 0,5

1

−1 3 − 2 −2

K C

3 2

2

3

E 5 x

4 L

D

−3 H

As coordenadas dos pontos representados acima são: A(1, 4)

E(5, 0)

B(22, 3)

F(0, 2)

C (23, 22)

G(24, 0)

D(4, 21)

H(0, 23)

@ 

@  # 5 J ​@ 2​   ​  , 2 #​ 2

3 3 ​   ​  , ​ __ ​   ​ I ​ __ 2 2

#

3 7 K ​ 2__ ​   ​  , 2​ __ ​   ​ 4 2

__ 

L(3,5, 20,5)

Agora, observe os pontos representados no plano cartesiano a seguir. y M

b

−a

N

P

a

−b

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

J

x

Q

Considerando o ponto P(a, b), podemos dizer que: • o ponto Q(a, 2b) é simétrico de P em relação ao eixo dos x, pois P e Q têm abscissas iguais e ordenadas opostas; • o ponto M(2a, b) é simétrico de P em relação ao eixo dos y, pois P e M têm abscissas opostas e ordenadas iguais; • o ponto N(2a, 2b) é simétrico de P em relação à origem, pois P e N têm abscissas e ordenadas opostas. 128

CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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Exercícios PROPOSTOS 16 Dê as coordenadas dos pontos localizados no plano cartesiano.

@  #

3 A(2, 2), B __ , 1 , 2

y

C(21, 2), D(22, 21),

@ 

# @ 

3 5 3 7 E __ , 2__ , F __ , 2__ 4 4 4 4

C

#

A

2

B

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

−2

0

−1

x

E

−1

D

2

1

F

17 Desenhe no caderno um plano cartesiano e localize os pontos indicados. A(21, 3)

E(4, 22)

B(2, 4)

F (2, 0)

C(5, 1)

G(0, 22)

D(24, 23)

H(22, 0)

@ 

3 1 J  2__ , __ 4 2

@  # 3 3 L@  , 2 # 2 4 3 3 K 2__ , 2__ 4 2

I(0,5; 0,5)

#

__

__

18 Desenhe no caderno um plano cartesiano e localize os pontos A(5, 22), B(5, 2), C ( 2, 5), D(22, 5), E(25, 2), F(25, 22), G(22, 25) e H(2, 25). Unindo esses pontos, qual é o polígono formado? octógono

19 Construa um plano cartesiano em uma folha de papel quadriculado e desenhe o triângulo de vértices nos pontos A(22, 2), B(21, 5) e C (2, 2). Qual é a área desse triângulo?

6

20 Em uma folha de papel quadriculado, construa ___ um plano cartesiano e assinale os pontos A(22, 21) e C (3, 4). Eles são os extremos da diagonal AC     de um quadrado.

a) Quais são os pontos extremos da outra diagonal desse quadrado? b) Dê as coordenadas do ponto comum a essas duas diagonais.

(22, 4) e (3, 21)

(0,5; 1,5)

c) Considerando u a unidade de medida do lado de cada quadradinho da malha quadriculada, determine o perímetro desse quadrado. 20 u

21 Assinale, em um plano cartesiano, os pontos M(22, 22) e N(2, 2). Trace a reta que passa por esses pontos. Pelo traçado é possível verificar alguns pontos que pertencem à reta. Assinale três deles e escreva suas coordenadas. respostas possíveis: (1, 1), (23, 23), (0, 0), (5, 5) etc. CAPÍTULO 5

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SiStemaS de equaçõeS do 1o grau com duaS incógnitaS

129

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22 O plano cartesiano a seguir representa a tela

de radar da torre de controle de um aeroporto. Os pontos que estão nela representados correspondem às posições dos aviões. Suponha que a torre esteja situada na origem e que cada divisão dos eixos corresponda a 10 quilômetros. O Norte está representado no sentido positivo do eixo dos y e o Leste, no sentido positivo do eixo dos x.

a) Quais são as coordenadas dos aviões B, C, E e G ? B(60, 40), C(240, 50), E(250, 240) e G(30, 230) b) Qual é a distância entre os aviões A e G ? 50 km c) O avião J comunica-se com a torre, indicando sua posição, 70 km Leste e 60 km Sul, pedindo permissão para pousar no aeroporto. Quais são as coordenadas do avião J nesse momento? (70, 260)

23 Determine as coordenadas dos pontos simétricos, em relação ao eixo dos x, dos pontos destacados no plano cartesiano.

N C

Be(2, 24) Ce(24, 22)

5 4 2 1

H

−5 −4 −3 −2 −1 0 −1

G E

Ee(3, 2)

3

C

L

D

De(22, 4)

B

Ge(0, 21) He(23, 0)

G F 1

2

3

4

5

x

E

−2

F

Fe(5, 0)

A

−3

J

−4

D

−5

S

4 Solução gráfica de um sistema de equações do 1o grau Dada uma equação do 1o grau com duas incógnitas, existem infinitos pares de números reais que são soluções dessa equação.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

O

Ae(4, 22)

y

B

Como exemplo, vamos considerar a equação x 1 y 5 3. Os pares ordenados que satisfazem essa equação são da forma: (x, 3 2 x) y

Para determinar alguns desses pares, atribuímos a x qualquer valor real e encontramos o valor correspondente de y. Veja na tabela abaixo alguns desses pares.

130

x

21

0

1 __ ​   ​ 

1

2

5 ​ __  ​ 2

3

4

y532x

4

3

5 ​ __  ​ 2

2

1

1 ​ __  ​ 2

0

21

Par obtido

(21, 4)

(0, 3)

1 5 ​   ​  , ​ __ ​   ​ ​ __ 2 2

@  #

(1, 2)

(2, 1)

5 1 ​ __ ​   ​  , ​ __ ​   ​ 2 2

@  #

(3, 0)

(4, 21)

2

CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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@  #

@  #

5 1 1 5 Os pares ordenados (21, 4), (0, 3), ​ __ ​   ​  , ​ __ ​   ​, (1, 2), (2, 1), ​ __ ​   ​  , ​ __ ​   ​, (3, 0) e (4, 21) são algumas 2 2 2 2 soluções da equação x 1 y 5 3. Representemos, no plano cartesiano, esses pares ordenados. y

5 4

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5 — 2

1 — 2 −1

3 2 1

0 −1

1 1 — 2

2

5 — 2

3

4

5

x

−2



Observe que:

y

• os pontos, os quais representam os pares ordenados que são solução da equação x 1 y 5 3, encontram-se alinhados;

4 3

• a reta que contém esses pontos é a solução gráfica da equação x 1 y 5 3;

2

• qualquer ponto que pertença a essa reta será solução da equação x 1 y 5 3; • nenhum ponto fora dessa reta é solução da equação x 1 y 5 3.

1

−1

0 −1

1

2

3

4

5

x

+

y

=

x

3

−2

Sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta; então, para construir a solução gráfica de uma equação do 1o grau com duas incógnitas, é suficiente: • determinar dois pontos que sejam solução da equação; • localizar esses pontos no plano cartesiano; • traçar a reta determinada por esses pontos. CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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131

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Veja os exemplos. Exemplo 1 Construir a solução gráfica da equação 2x 1 y 5 5. Para isso, determinemos dois pares ordenados que sejam solução da equação. Podemos obter esses pares construindo uma tabela na qual atribuímos dois valores reais para x e calculamos os respectivos valores de y. y 8 (−1, 7)

7 6

x

1

21

y 5 5 2 2x

3

7

4

Par obtido

(1, 3)

(21, 7)

3

5

2 1 −4 −3 −2 −1 0 −1

1

3

2

4

5

6

7

x

2x +y

−2

=5

−3

Assim, a reta que contém esses dois pontos é a solução gráfica dessa equação. Qualquer ponto dessa reta é uma solução da equação 2x 1 y 5 5.

Exemplo 2 Resolver graficamente o sistema a seguir: x1y55 x2y53 Começamos determinando dois pontos que sejam solução da equação x 1 y 5 5. x

y

(x, y)

0

5

(0, 5)

3

2

(3, 2)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Portanto, os pares (1, 3) e (21, 7) são solução da equação 2x 1 y 5 5.

(1, 3)

A seguir, em um mesmo plano cartesiano, construímos as soluções gráficas das duas equações. y 6 5 4

x + y

3

= 5

Em seguida, fazemos o mesmo para a equação x 2 y 5 3.

2

(5, 2)

3

0

(3, 0)

–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

132

1

2

3

4

5

6

x

3

2

=

5

P(4, 1)

1

y

(x, y)

–

y

x

x

CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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Observe que as duas retas se cruzam no ponto de coordenadas (4, 1). Isso significa que o par ordenado (4, 1) é solução das equações x 1 y 5 5 e x 2 y 5 3, simultaneamente. x1y55

Portanto, o par ordenado (4, 1) é a solução do sistema

x2y53

.

Podemos resolver graficamente um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas determinando as coordenadas do ponto de cruzamento das soluções gráficas de cada equação, representadas em um mesmo plano cartesiano.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exercícios PROPOSTOS 24 Usando papel quadriculado, construa o gráfico das seguintes equações: a) 3x 1 y 5 8

b) x 2 y 5 3

c) 2x 2 3y 5 4

@ 

# @ 

1 3

d) 2x 1 y 5 22 11 2

#

25 Considere os pontos A(2, 21), B(22, 1), C 2__ , 4 , D 21, 2___ , E(0, 4) e F (0, 24). a) Quais pertencem à reta cuja equação é 3x 2 2y 5 8? A, D e F b) Localize esses pontos em um plano cartesiano e trace essa reta.

26 Resolva graficamente os sistemas a seguir. a) x 1 y 5 7 x2y53

c)

(5, 2)

b) 2x 1 y 5 5 x 2 2y 5 5

x 1 2y 5 1 2x 1 3y 5 0

d) x 1 y 5 0 23x 1 y 5 4

(3, 21)

e)

(23, 2)

5x 2 2y 5 3 4x 1 y 5 5

(1, 1)

(21, 1)

27 Crie um sistema de equações correspondente a cada representação gráfica. a)

b)

y

resposta possível:

y

resposta possível:

y5x

x2y50

y 5 2x

x 2 y 5 21

1

1 –1

−1

1

x

CAPÍTULO 5

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1

x

SiStemaS de equaçõeS do 1o grau com duaS incógnitaS

133

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5 Classificação de um sistema A resolução gráfica permite entender melhor a classificação que daremos a um sistema: determinado, impossível ou indeterminado.

Sistema determinado Um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas é determinado quando apresenta uma única solução. Como exemplo, vamos resolver o sistema 

x1y57 x2y53

 .

Utilizando o método da adição, temos: x 1 y 5 7 x 2 y 5 3 2x

Substituindo x por 5 na equação x 1 y 5 7, temos: x1y57 51y57 y5725 y52

somando

5 10

x55 Logo, o par (5, 2) é a solução desse sistema. Resolução gráfica

Vamos construir em um mesmo plano cartesiano o gráfico de cada equação. y 8

(7, 0)

5

3

4

(3, 4)

4

7

0

=

7

x

−

y

=

6

y

(x, y)

+

y

x

7

x

3

x1y57

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Resolução algébrica

3 P(5, 2)

2

x2y53

1

x

y

(x, y)

4

1

(4, 1)

0

23

(0, 23)

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

−2 −3 −4

Observe que: • as retas são concorrentes no ponto P; • as coordenadas do ponto P determinam o par ordenado (5, 2), que é a única solução do sistema. Se um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas é determinado, então ele é representado no plano cartesiano por duas retas concorrentes. 134

CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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Sistema impossível Um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas é impossível quando não apresenta solução das duas equações simultaneamente. Veja o exemplo. Resolver o sistema 

2x 1 6y 5 10 x 1 3y 5 21

.

Resolução algébrica Vamos resolver o sistema pelo método da substituição. Isolando x em x 1 3y 5 21, temos: x 5 21 2 3y

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Substituindo x por 21 2 3y em 2x 1 6y 5 10, temos:

2x 1 6y 5 10



2(21 2 3y) 1 6y 5 10



22 2 6y 1 6y 5 10



26y 1 6y 5 10 1 2



0y 5 12

Não existe valor de y de modo que 0y 5 12. Portanto, não existe um par (x, y) que verifica simultaneamente as duas equações. Dizemos, então, que o sistema é impossível. Resolução gráfica y

2x 1 6y 5 10 x

y

(x, y)

21

2

(21, 2)

2

1

(2, 1)

6 5 2x +

6y =

4 10

3 2 1

x 1 3y 5 21

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1 −2

x

y

(x, y)

21

0

(21, 0)

−4

2

21

(2, 21)

−5

−3

1

2

3

4 x+

x

5 3y =

−1

−6

Observe que: • as retas são paralelas; • não existe par ordenado que seja solução do sistema. Se um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas é impossível, então ele é representado no plano cartesiano por duas retas paralelas. CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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Sistema indeterminado Um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas é indeterminado quando tem infinitas soluções. Veja um exemplo. Resolver o sistema 

2x 1 6y 5 8 x 1 3y 5 4

.

Resolução algébrica Vamos resolver o sistema pelo método da substituição. Isolando x em x 1 3y 5 4, temos:

Substituindo x por 4 2 3y em 2x 1 6y 5 8, temos:

2x 1 6y 5 8



2(4 2 3y) 1 6y 5 8



8 2 6y 1 6y 5 8



26y 1 6y 5 8 2 8



0y 5 0

Como qualquer número multiplicado por zero é igual a zero, existem infinitos valores de y de modo que 0y 5 0. Ou seja, o sistema apresenta infinitas soluções. Vejamos alguns dos infinitos pares (x, y) que verificam simultaneamente as duas equações do sistema dado. a) (1, 1)

Na primeira equação, temos:

Na segunda equação, temos:



2x 1 6y 5 8

x 1 3y 5 4



2 3 (1) 1 6 3 (1) 5 8

1 1 3 3 (1) 5 4



2 1 6 5 8

11354



8 5 8 (verdadeiro)

4 5 4 (verdadeiro)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x 5 4 2 3y

b) (22, 2)

136



Na primeira equação, temos:

Na segunda equação, temos:



2x 1 6y 5 8

x 1 3y 5 4



2 3 (22) 1 6 3 (2) 5 8

(22) 1 3 3 (2) 5 4



24 1 12 5 8

22 1 6 5 4



8 5 8 (verdadeiro)

4 5 4 (verdadeiro)

CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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c) (25, 3)

Na primeira equação, temos:

Na segunda equação, temos:



2x 1 6y 5 8

x 1 3y 5 4



2 3 (25) 1 6 3 (3) 5 8

(25) 1 3 3 (3) 5 4



210 1 18 5 8

25 1 9 5 4



8 5 8 (verdadeiro)

4 5 4 (verdadeiro)

Os pares (1, 1), (22, 2) e (25, 3) são algumas das infinitas soluções do sistema. Resolução gráfica 2x 1 6y 5 8

x 1 3y 5 4

y

(x, y)

x

y

(x, y)

1

1

(1, 1)

22

2

(22, 2)

4

0

(4, 0)

7

21

(7, 21)

(4, 0)

6

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x

y 7 6 5 4 3 (−2, 2)

2 1

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1

(1, 1) 1

2

3

4

−2 −3 −4 −5

5

7

8

x

(7, −1) 2x + 6y = 8 ou x + 3y = 4

Observe que: • as retas são coincidentes; • existem infinitos pontos que são soluções do sistema. Se um sistema de duas equações do 1o grau com duas variáveis é indeterminado, então ele é representado no plano cartesiano por duas retas coincidentes. Em resumo, temos: • Sistema determinado: retas concorrentes (solução única). • Sistema impossível: retas paralelas (não existe solução). • Sistema indeterminado: retas coincidentes (infinitas soluções).

CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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137

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Exercício PROPOSTO 28 Resolva graficamente os sistemas e classifique-os em determinado, indeterminado ou impossível. x 1 2y 5 3 2x 1 4y 5 8 x1y53 2x 1 2y 5 6

29 Determine o par (x, y) de números reais que é solução de cada um dos seguintes sistemas. x1y56 (5, 1) 3x 2 2y 5 13 x 1   5 __  _____ x 1 y 3 b) para x % 2y e x % y 4 _____ 5 22 x2y

a)

c)

2x 1 1 __ 7 ______ 5

5 y13 x2y51

x 4 1  __  1 __ 5 __  4 y y d) 2x 2 y 2 ______       5 __ 3 x e)

3x 2 2y 5 1 6 _____ x 2 y  5 20

(2, 4)

e)

sistema indeterminado

31a) (7, 5) sistema determinado

Exercícios COMPLEMENTARES

x2y53 sistema 2x 2 2y 5 24 impossível 2x 1 y 5 5 sistema f ) 4x 1 2y 5 10 indeterminado

sistema impossível

b) (25, 1) sistema determinado

c) sistema impossível d) sistema indeterminado

32 Um grupo de meninos e meninas conversava, quando Luís falou:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x 1 y 5 7 sistema determinado c) x 2 y 5 1 (4, 3) 2x 1 y 5 0 sistema determinado b) d) 3x 1 y 5 22 (22, 4) a)

Nós, os meninos, somos quatro vezes o número de meninas mais três.

para y % 23 (3, 2)

para x % 0 e y % 0

para x % y

(3, 4)

Eduardo acrescentou:

(0,4; 0,1)

Se você fosse embora, a razão entre o número de meninos e o de meninas seria 5.

30 Represente, no plano cartesiano, as seguintes equações: a) x 1 y 5 3 b) 2x 2 y 5 5 c) 3x 1 2y 5 6

31 Resolva graficamente os sistemas e classifique-os em determinado, indeterminado ou impossível.

138

a) x 2 y 5 2 x 1 2y 5 17

c) x 1 y 5 4 2x 1 2y 5 24

b) 2x 1 y 5 29 x 1 6y 5 1

d) 2x 2 y 5 2 6x 2 3y 5 6

CAPÍTULO 5

Quantas pessoas estavam reunidas?

13 pessoas

33 Foram colocadas 576 laranjas em x caixas e

outras 360 em y caixas. Sabendo que no total eram 13 caixas e que todas elas tinham o mesmo número de laranjas, determine quantas laranjas foram colocadas em cada caixa. 72 laranjas

SiStemaS de equaçõeS do 1o grau com duaS incógnitaS

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20/07/11 09:59

38 Uma caixa de madeira tem 6 kg. Colocando

34 O perímetro do triângulo abaixo é 44. Sabendo

nessa caixa x maçãs (cada uma com 225 g) e y mangas (cada uma com 500 g), a caixa passa a ter 31,80 kg. A razão entre o número 5 de mangas e o número de maçãs é __. 8

3 x que __     5 __ , determine as medidas dos três 5 y lados. 12, 15 e 17

RogÉRIo ReIs/tYBA

y+5

2x

2y − 3

35 Cristina retirou R$ 70,00 de um banco, em 10 notas, sendo algumas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00. Quantas notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00 Cristina recebeu?

6 notas de R$ 5,00 e 4 notas de R$ 10,00

36 O trapézio abaixo tem 39 cm de perímetro. Sabe-se que x está para y assim como 5 está para 3.

Quantas são as maçãs?

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x

x

y

39 Paquito estava em uma das pontas de um

x

4

x

48

viaduto que mede 84 m de comprimento. Na outra ponta estava Carlitos, seu irmão. Eles caminharam até se encontrarem. A cada 3 metros percorridos por Paquito, Carlitos percorreu 4 metros. A quantos metros do centro do viaduto eles se encontraram? a 6 m

y

Determine: a) as medidas x e y; x 5 7,5 cm e y 5 4,5 cm b) a área desse trapézio. 48 cm

40 Sabendo que o par (x, y) é a solução do sistema

2

37 Em um plano cartesiano, um inseto parte do

ponto A(8, 0) e caminha sobre a reta definida pela equação x 1 2y 5 8. Outro inseto parte do ponto B(0, 1) e caminha sobre a reta definida pela equação y 2 x 5 1. Em que ponto eles se encontram? (2, 3)

abaixo, determine x 4 y. Faça a resolução gráfica desse sistema. x 4 y 5 2 x y 4 __     1  __  5 __ 2 3 3 2x 2 y x 1 3y ______  2  ______ 5 0 5 3

TESTES 41 A solução do sistema 2x 1 6y 5 10 é o par:

@ 12 , 23 # 3 1 b) @ 2 , 2 # 2 2

X a)

__ __ __

__

4x 2 2y 5 21

@  # 3 1 d) @ 2 , 2 # 2 2 __

x 1 y 5 16

42 No sistema x 2 y 5 8 , o valor de x é: a) b) X c) d)

5x 1 y 5 4

44 No sistema 3x 2 2y 5 5, o valor de x é: a) b) c) X d)

o dobro de y. menor que o valor de y. o triplo de y. um número quadrado perfeito. CAPÍTULO 5

120_140_BIANCHINI_MAT8_C05.indd 139

x1y58 . x2y54

A expressão x 2 2 xy é igual a: a) 28 c) 0 b) 32 X d) 24

3 1 c) __ , __ 2 2 __

43 Dois números x e y são tais que

o dobro do valor de y. menor que o valor de y. igual ao valor de y. o oposto do valor de y.

SiStemaS de equaçõeS do 1o grau com duaS incógnitaS

139

20/07/11 09:59

y

y

−1

0

0

x

1

49 O gráfico que representa o sistema x1y53 é: x 2 2y 5 0 a)

x

3

−1

−1

 X c)

y

3 1

−3

b)

d)

y 1

−1

0

x

0

b) y 1

x

João Prudente/Pulsar Imagens

0

d)

2

3

x

2

3

x

y

3

3

46 Em uma lanchonete, 2 copos de refrigerante e 3 empadas custam R$ 5,70. Nessa mesma lanchonete, o preço de 3 copos de refrigerante e 5 empadas é R$ 9,30.

1 0

3

x

−2

0

−2

x __ ​    ​  5 5

50 No sistema  y , para y % 0, o x 2 3y 5 4 produto xy é: a) 220

Nessas condições, é verdade que cada copo de refrigerante custa: a) R$ 0,70 a menos que cada empada. b) R$ 0,80 a menos que cada empada.  X c) R$ 0,90 a menos que cada empada. d) R$ 0,80 a mais que cada empada. e) R$ 0,90 a mais que cada empada. 47 (PUC-MG) Uma fração se torna igual a 2 quando se aumenta o seu numerador de 3, e igual 1 a ​ __  ​ quando se aumenta o denominador de 9. 2 A soma dos termos dessa fração é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11  X e) 12 a importância de R$ 690,00. Pedro gastou  3 1 ​ __  ​  de seu dinheiro e Luís gastou ​ __  ​  do que 5 4 possuía, ficando ambos com quantias iguais. Pedro tinha a quantia de: a) R$ 510,00  X c) R$ 450,00 e) R$ 380,00 b) R$ 270,00 d) R$ 350,00

 X b) 20

5 d) ​ __  ​ 4

25 c) ___ ​   ​   4

51 (FCM-MG) O par ordenado (x, y) é a solução 3y 21 5 2​ ___ ​   1 x 2 do sistema  . 6y 5 3(x 2 4) Então, x 1 y é igual a: a) 16  X c) 226 b) 112 d) 216

e) 24

52 (Fuvest-SP) Os elementos do par ordenado (x, y) 2x 2 y 5 0 que são solução do sistema 

5 x 2 3y 5 2​ __  ​ 2

têm por soma e produto, respectivamente, os números: 3 1 1 a) 22 e  ​ __  ​ d) ​ __  ​  e 2​ __  ​ 3 2 2

48 (Mackenzie) Pedro e Luís tinham, em conjunto,

140

x

0

y 1

y

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

45 O gráfico que representa a equação x 2 y 5 1 é: a)  X c)

2 1 b) 2​ __ ​   e ​ __  ​ 3 2

1 2 e) ​ __  ​  e 2​ __  ​ 2 3

3 __ 1 __  ​   e ​    ​

 X c) ​ 

2

2

CAPÍTULO 5    Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

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20/07/11 09:59

Retas e ângulos

ROBBIE JACK/CORBIS/LATINSTOCK

CaPÍTULo

6

matemática no mundo Todas as danças, clássicas ou contemporâneas, se caracterizam pela beleza das coreografias, que envolvem simetrias, formas geométricas, movimentos delicados ou vigorosos dos bailarinos e saltos de ângulos que nos encantam. Observe a foto ao lado.

Agora, responda. • Identifique algumas retas e ângulos na foto ao lado. • Classifique cada um desses ângulos como reto, agudo ou obtuso. respostas pessoais

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 141

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1 As retas e os ângulos Durante todo o estudo que fizemos sobre a Geometria, pudemos perceber que esse conhecimento teve suas origens em épocas muito antigas para resolver problemas particulares que as pessoas enfrentavam, como a demarcação de terras ou a construção de grandes monumentos. Desde esse momento, os povos passaram a lidar com retas e ângulos, a começar pelas observações que faziam em seu dia a dia. • A reta, presente na linha do horizonte.

• O ângulo de incidência dos raios de sol ou o ângulo de inclinação da encosta das montanhas.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

linha do horizonte

Aos poucos, passou-se da observação desses elementos para o emprego deles em várias áreas, como na Arquitetura. A preocupação em organizar todo o conhecimento geométrico acumulado começou com os gregos. Eles transformaram a Geometria que resolvia cada caso particular em uma Geometria que tratava das propriedades das figuras de uma maneira generalizada. Os conceitos de reta e ângulo, criados pela mente humana, sempre foram muito importantes, não só em nosso dia a dia, mas também no desenvolvimento da própria Matemática e de outras áreas do conhecimento, como a Medicina, a Engenharia, a Odontologia etc.

Exercício PROPOSTO 1 Represente, por meio de um desenho, uma situação em que você encontre retas e ângulos. resposta pessoal

142

CAPÍTULO 6

RETAS E ÂNGULOS

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 142

22/07/11 09:11

2 Posição das retas No quadro abaixo, estão explicados alguns conceitos que você já conhece. Vamos revê-los. r

r

u

A s

α

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Cada face do dado nos sugere uma parte de um plano. Um plano é indicado por letras gregas minúsculas, como plano a, que contém a face 3 do dado.

β

β

As retas r e s têm um só ponto em comum (A) e estão em um mesmo plano (d). As retas r e s são concorrentes (r # s).

As retas r e u não têm pontos em comum e estão em um mesmo plano (d). As retas r e u são paralelas (r/u).

t m≡n s

As retas m e n têm todos os pontos em comum e estão em um mesmo plano. As retas m e n são coincidentes (m 6 n).

As retas s e t não têm pontos em comum nem estão em um mesmo plano. As retas s e t são reversas.

Observe que para duas retas serem concorrentes, paralelas ou coincidentes elas devem estar em um mesmo plano, isto é, deve existir um plano que as contenha. Nesse caso, dizemos que elas são retas coplanares. Se duas retas não são coplanares, então elas são retas reversas, ou seja, não existe um plano que as contenha.

Exercícios PROPOSTOS 2 Dê a posição relativa das retas coplanares r e s quando: a) elas não têm ponto em comum; paralelas c) elas têm infinitos pontos em comum. coincidentes b) elas têm apenas um ponto em comum; concorrentes

3 Verifique quais sentenças são verdadeiras (V) e quais são___ falsas (F). a) b) c) d)





Se A e B são dois pontos de um plano a, então a reta AB está contida nesse plano. V ___ ___ Se A, B e C são pontos de um plano a, então AB e BC são retas coplanares. V Se duas retas r e s não têm ponto em comum, então elas são paralelas. F Se duas retas são coplanares e não têm ponto em comum, então elas são paralelas. V 







CAPÍTULO 6

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 143

RETAS E ÂNGULOS

143

22/07/11 09:12

4 Considerando o bloco retangular abaixo, reconheça como paralelos, concorrentes ou reversos os pares de arestas.

H

G

E

F D C

A

___ ___ a) ​AB​ e BC  ​  ​ concorrentes

___

___

B

b) ​CD​ e HG​ ​  

___ ___ c) ​AB​ e CG​ ​  

___ ___ d) ​BF ​ e AE  ​ ​ 

e) ​AD​ e BF  ​ ​ 

f ) ​HG​ e AB​ ​  

paralelos

reversos

paralelos

reversos

paralelos

___

___

___

___

Construindo retas paralelas com régua e compasso

1. Com a ponta-seca do compasso em P, traçamos um arco que corta r, obtendo o ponto M.

2. Com a mesma abertura PM e a ponta-seca do compasso em M, traçamos um arco que corta r, obtendo o ponto R.

M r M

r

R

P P

___



3. Com a mesma abertura MR e a ponta-seca do compasso em R, traçamos um arco que corta o primeiro arco, obtendo o ponto Q.

M

R



4. Com a régua, traçamos a reta PQ   ​  ​, que é paralela à reta r.  

M

r

 

R

Q

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Considere uma reta r e um ponto P não pertencente a r. Vamos construir com régua e compasso uma reta paralela à reta r passando pelo ponto P. Acompanhe.

r

Q

P

P

___ ___ ___

___

Nessa construção, PM​ ​ ,  MR​ ​  , RQ​ ​  e QP​ ​  têm mesma medida, que é a da abertura inicial PM do compasso. Então, a figura PMRQ é um losango. M

P

R

Q

___





___





​  ​ e MR   ​ ​ são paralelas. Como os lados opostos de um losango são paralelos, as retas PQ   

144

 

 

 

CAPÍTULO 6    Retas e ângulos

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20/07/11 10:02

Exercícios PROPOSTOS 5 No caderno, desenhe uma reta e um ponto fora

a) Qual é o maior número de retas paralelas que podem ser traçadas? 5 b) É possível deslocar os cinco pontos a fim de obter um número maior de paralelas a m ? não c) É possível trocar a posição de algum desses cinco pontos e traçar um número diferente de retas paralelas a m ? sim d) Qual é o menor número de retas paralelas que podem ser traçadas? uma

dela. Construa uma reta paralela a essa reta que passe por esse ponto.

6 Desenhe no caderno uma reta m e cinco pontos que não pertençam a ela. Construa retas paralelas a m por esses pontos.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3 Partes da reta Você também já conhece as partes de uma reta. Veja um resumo desses conceitos nos quadros abaixo. r

r

r C

A

B

A

A

B

B

C

P

P

A

B

Q

Q

s

​______ ​​ ​,​ de semirreta AB​

A origem A​e que passa por B, está ​______ ​______ pintada de verde. As semirretas AB​ ​​ ​​e AC​ ​​ ​​são opostas: têm a mesma origem (A) e estão na mesma reta (r). 



 

X

r

Z

 

C

P Q

M N

u

t ___ ___ Os segmentos XY​ ​ ​e YZ​ ​ ​

são consecutivos, pois têm uma extremidade comum: o ponto Y.

___

A parte pintada de azul é o segmento de reta ​PQ​,​ de extremidades P e Q, formado pelos pontos P e Q e por todos os demais pontos da reta s que estão entre P e Q.

t

Y

s

R

D B

P

Q ___ Os segmentos ​ MN​ ​e ___ ​PQ​​são colineares, pois

estão na mesma reta.

r

A

___ Os___ segmentos CD​ ​ ​ e ​AB​​têm o mesmo

comprimento. São segmentos ___ ___ congruentes (​AB​​& CD​ ​ ​).

O ponto Q divide o ___ segmento ​PR​​em dois segmentos congruentes: ___ ___ ​PQ​​e QR​ ​ .​O ponto___ Qéo ponto médio de PR​ ​ .​

OBSERVAÇÃO

___

 

___

Indicamos a medida de um segmento AB ​ ​​por AB ou m(AB ​ ​)​. ___

___

Por exemplo, se AB ​ ​​mede 5 cm, escrevemos AB 5 5 cm ou m(AB ​ ​)​ 5 5 cm.

CAPÍTULO 6

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Retas e ângulos

145

20/07/11 10:02

Exercícios PROPOSTOS 7 Registre o significado de cada indicação abaixo: reta, semirreta ou segmento de reta. ___ ​______ ___ ​_____ ___ 



 





a) AB​ ​ ​ reta

​​ ​​ semirreta b) AB​

 

c) ​AB​​segmento de reta d) PQ​ ​​ ​​ semirreta

 

 

___

___ ___

e) ​PQ​​segmento de reta ___ ___

___

8 Escreva os segmentos consecutivos que aparecem na figura abaixo. AB e BC, BC e CD, CD e DE C

A

B

D

E

a) b) c) d)

Se m(​AB​​) 5 8u e m(​CD​​) 5 8u, então____ AB​ ​ ​& ___ CD​ ​ ​. V Se MN 3 cm e XY 5___ 3 cm, então ​ .​ V ___ ​MN​​& XY​ ___ 5___ Se ​EF​​& PQ​ V ​ ​, então m(​EF​​) 5 m(​ PQ​​). ___ ___ Se AB 5 3u e CD 5 3v, então ​AB​​& CD​ ​ ​. F

___

10 Na figura abaixo, temos AC​5 6 cm e BC 5 2,5 cm. Qual é a medida do segmento ​AB​​? A

B

3,5 cm

C

___

___

11 Na figura, A é o ponto médio do segmento XY​ ​ ​e B é o ponto médio do segmento YZ​ ​ ​,​que mede 5 cm. Z

7,5

cm

B

Y A

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

9 Classifique cada sentença como verdadeira (V) ou falsa (F). ___ ___ ___ ___

X

___

___

a) Quanto mede o segmento ​XY​​?​

b) Qual é a medida do segmento AB​ ​ ​? 3,75 cm

2,5 cm

12 Observe os pontos destacados na figura a seguir. A

B

C

D

E

F

Temos que: ___ ___ • B é o ponto médio de AC​ ​___;​ • D é o ponto médio de ___ BE​ ​ ​;​ • C é o ponto médio de ​AD​ ​ ; • E é o ponto médio de DF​ ​ ​.​ ___ Quanto mede o segmento ​AF​​, sabendo que BC 5 0,5 cm? 5 cm ___

___

13 Considere___ que na figura abaixo o segmento ​AD​​mede 18 cm, X é o ponto médio de ​AB​,​ Y é o ponto ___ médio de ​BC​​e Z é o ponto médio de CD​ ​ .​ A

X

B

Y

C

Z

D

___ ___ ___ ___ Sabendo que a medida de AB​ ​ ​é o dobro da medida de CD​ ​ ​e que BC​ ​ ​mede o triplo de CD​ ​ ,​ determine: ___ ___ ___ ___ ___ ___ a) a medida dos segmentos AB​ ​ ​, BC​ ​ ​e CD​ ​ ​; b) a medida dos segmentos XY​ ​ ​,​YZ​ ​ ​​e XZ​ ​ ​.​ AB 5 6 cm, BC 5 9 cm e CD 5 3 cm

146

CAPÍTULO 6

XY 5 7,5 cm, YZ 5 6 cm e XZ 5 13,5 cm

Retas e ângulos

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20/07/11 10:02

Pense mais um pouco...

A, B, C e D são pontos de uma mesma reta de tal forma que AB 5 6 cm, BC 5 2 cm, AC 5 8 cm e BD 5 1 cm. Nessas condições, dê uma possível disposição desses pontos. 6

1

A

D

C

D 1 B

2

C

ou 5

A

1

B

Construindo segmentos congruentes com régua e compasso

___

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Vamos ​ ​congruente a um segmento ___ construir com régua e compasso um segmento CD​ dado AB​ ​ ​. 1. Com uma régua, traçamos uma reta r qualquer e sobre ela marcamos um ponto C.

2. Com a ponta-seca do compasso em A, abrimos esse compasso até o grafite atingir B.

B

B A C 0

1

2

3

4

3. Com a ponta-seca desse compasso em C e abertura igual a AB, traçamos um arco que corta a reta r em um ponto. O ponto em que o arco corta a reta r é o ponto D.

5

6

7

8

9

10

r

A

4. Os pontos C e D e todos os pontos da reta r que ___ estão entre C e D formam o segmento ​CD​​, ___ que é congruente a AB​ ​ ​.

D

r

D C

C

___

r ___ ___ ​CD​​& AB​ ​ ​

___

Nessa construção, o segmento ​CD​​é congruente ao segmento AB​ ​ ,​pois ambos têm a mesma medida (dada pela abertura do compasso).

Exercício PROPOSTO 14 Desenhe uma reta qualquer e um segmento fora dela. Construa dois segmentos congruentes ao segmento desenhado do seguinte modo: • o primeiro deve estar na reta desenhada;

• esses dois segmentos devem ser colineares. CAPÍTULO 6

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 147

Retas e ângulos

147

20/07/11 10:02

Determinando o ponto médio de um segmento com régua e compasso

___

Vamos determinar, com auxílio de régua e compasso, o ponto médio de um segmento ​AB​​dado. 2. Com a ponta-seca do compasso em B e com a mesma abertura, traçamos outro arco, que cruza o primeiro. Obtemos os pontos P e Q.

___



 

P

A

B



3. Traçamos a reta ​ ​, que cruza PQ​ ___ o segmento AB​ ​ ​em M, que é___ o ponto médio do segmento AB​ ​ ​.  

P

A

B

M

A

Q

B

Q

Observe nessa___construção a figura APBQ é um losango, já ___ ___que ___ ​& PB​ ​ ___​& BQ​ ​ ​& QA​ ​ ​(a abertura do compasso é a mesma). Além que AP​ ​ ___ disso, ​PQ​​e ​AB​​são as diagonais desse losango. Essas diagonais dividem o losango em quatro ___ triângulos retângulos iguais. Dessa forma, M é o ponto médio de ​AB​​.

P

M

A

Assim, as diagonais de um losango são perpendiculares entre si e cortam-se no ponto médio.

B

Q

Exercícios PROPOSTOS 15 Desenhe um segmento de reta qualquer e de-

termine o ponto médio desse segmento com o auxílio de régua e compasso.

16 Desenhe em seu caderno duas retas, r e s, concorrentes em um ponto P e um segmento de reta ___ ​ ​qualquer, fora de r e de s. Em seguida, com AB​

auxílio de régua e compasso, em r e s ___ construa ___ ___ ___ quatro segmentos de reta, ​PQ​,​​PR​,​​​PS​​e PT​ ​___,​​com Q e S em r e R e T em s, congruentes a AB​ ​ .​ ___ ___ ___ ___ a) Traçando os segmentos ​QR​​, ​RS​​, ​ST​​​e ​TQ​​, que polígono obtemos? retângulo ___ ___ b) Os segmentos ​QS​​e RT​ ​ ​​são chamados de diagonais desse polígono. Essas diagonais cruzam-se no ponto médio? Que ponto é esse? sim; o ponto P

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1. Com a ponta-seca do compasso em A, traçamos um arco. A abertura do compasso deve ser maior que a metade de AB.

17 Com auxílio de uma régua e um compasso, ___

obtenha o ponto médio da ​ ​e o ___diagonal AC​ ponto médio da diagonal ​BD​​.

sim; espera-se que os alunos concluam que as duas diagonais de um paralelogramo se cruzam em um ponto que corresponde ao ponto médio de A ambas.

D

C

B

Esses pontos médios coincidem? O que você pode concluir sobre a intersecção das diagonais de um paralelogramo?

18 Releia os passos para obter o ponto médio de um segmento e responda: por que, no primeiro passo, a abertura do compasso deve ser maior que a metade da medida do segmento dado? Porque, caso contrário, os dois arcos não se cruzariam nos pontos que determinam a reta que passa pelo ponto médio.

148

CAPÍTULO 6

Retas e ângulos

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 148

20/07/11 10:02

4 Ângulos O ângulo é uma figura que você já conhece e com a qual tem trabalhado em muitas situações. Vamos recordar um pouco. Duas semirretas de mesma origem formam um ângulo. Na figura​______ ao lado, ​______ o ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas OA  ​  ​ e OB  ​  ​ são os lados. Indicamos esse ângulo escrevendo AOB. 



 

B

lado O

lado

vértice

A

 

A

A

O pequeno arco marcado na figura indica a abertura do ângulo que estamos considerando. B O O ângulo nulo

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O

A

O

O

A

A

B

B

ângulo de uma volta

O

O

B

ângulo raso ou de meia volta

A

A

B

B

A

B

O

A unidade de medida de ângulo mais utilizada é o grau. Ele é obtido quando dividimos o ângulo de uma volta em 360 ângulos iguais. À abertura de um desses ângulos associa-se a A B O A B O medida unitária 1w. Assim: • a medida, em graus, de um ângulo nulo é 0w; • a medida, em graus, de um ângulo de uma volta é 360w; • a medida, em graus, de um ângulo raso é 180w. De acordo com suas medidas, os ângulos recebem nomes especiais. Veja. R A

A

O B

O

B

B

Ângulo reto é aquele que mede 90w.

T

T

R

R

H

TS

Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida (na mesma unidade).

F

F G

G

H

G

Ângulo obtuso é aquele cuja medida está entre 90w e 180w.

Ângulo agudo é aquele cuja medida está entre 0w e 90w.

Os ângulos AOB e PVQ, ao lado, têm a mesma medida (50w). Dizemos, então, que AOB e PVQ são ângulos congruentes e escrevemos AOB & PVQ.

F

S

S

H

Q

B

50° O

50° A

m(AOB) = 50°

P

V

m(PVQ) = 50°

OBSERVAÇÃO CC

Indicamos a medida de um ângulo AOB por: m(AOB).

CAPÍTULO 6    retas e ângulos

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 149

149

20/07/11 10:02

Exercícios PROPOSTOS 19 Classifique o ângulo AOB, nos seguintes casos.

21 Sabendo que AOB e MPQ são ângulos congruentes, calcule o valor de x em cada caso. Q P a)

a) m(AOB) 5 90w reto b) m(AOB) , 90w agudo c) 90w , m(AOB) , 180w

x + 40°

B

obtuso

x 5 10w

M

b)

A O

M 3x —– 2

D C

−1 4°

figura.

O

B x 5 28w

Q

2x

20 Sendo x a medida de um ângulo, observe a

3x + 20°

A

x

22 Na figura abaixo, temos m(AOC) 5 45w e

A

x

COD & DOE.

O

D

45w

–1

b) Qual é o ângulo congruente com COD? AOC E

x x

d) Se x 5 22w30e, quanto mede o ângulo COD? e) Se m(AOD) 5 71w, qual é a medida x? 17w45e

B

3x

c) Se x 5 20w, quanto mede o ângulo AOD? 80w

C

2°3

a) Qual é o ângulo congruente com AOB? BOC

0‘

2x

A

O

Determine: a) o valor de x ; 22w30e b) a medida de AOD; c) a medida de DOE.

100w 55w

Bissetriz de um ângulo

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

P

B

Bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes. ​______

Nas​______ figuras abaixo, a semirreta OC​ ​​ ​​divide o ângulo AOB em dois ângulos congruentes. ​​ ​​é bissetriz do ângulo AOB em cada caso. Logo, OC​  



 

C B

120° 120° C

O

A

25° 25° O

150

CAPÍTULO 6

A

B

Retas e ângulos

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 150

20/07/11 10:02

A bissetriz de um ângulo pode ser traçada de várias maneiras. Veja dois exemplos. • Traçar a bissetriz usando um transferidor 1. Medimos o ângulo AOB. Nesse caso, temos m(AOB) 5 70w. B

2. A metade de 70w é 35w. Marcamos 35w com o auxílio de um transferidor. B

70°

0

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

B D

A O

D 35°

4

4

O

 

70°

80 90 100 110 12 80 7 100 0 0 60 13 0 5

70 180 60 1 0 1 0 10 0 15 2 0 0 14 0 3

0

70 180 60 1 0 1 0 10 0 15 2 0 0 14 0 3

80 90 100 110 12 80 7 100 0 0 60 13 0 5

​______

3. Traçamos a semirreta OD   ​ ​ ,  que é a bissetriz do ângulo AOB.

A

A O

• Traçar a bissetriz usando um compasso 1.Com a ponta-seca do compasso em O, traçamos um arco, determinando os pontos M e N nas semirretas.

2. Com a ponta-seca do compasso em N e depois em M, traçamos com a mesma abertura dois arcos que se cortam, obtendo o ponto D.

M

M

 

O

N

D

M

D

A

O

N

A

eduardo santaliestra/cid

A

B

eduardo santaliestra/cid

N



B

B

O

3. ​T raçamos a semirreta ______ OD   ​ ​ ,  que é a bissetriz do ângulo AOB.

Traçado da bissetriz com o uso de transferidor.

Traçado da bissetriz com o uso de compasso.

CAPÍTULO 6    retas e ângulos

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Exercícios PROPOSTOS ​_______

​______

23 Nas figuras a seguir, OM​ ​​ ​​é bissetriz de QOB.

25 Nas figuras abaixo, OE​ ​​ ​​é bissetriz de AOB. Qual

 

 

é a medida do ângulo AOB em cada caso? a) m(AOE) 5 40w

Determine m(QOM) em cada caso. a) m(QOB) 5 270w

E

B

M

B

80w

B O

B

135w

O

Q

E A

O

30w

A

26 Na figura abaixo,​_______ m(AOB) 5 30w e

​______



m(BOC) 5 70w, OM​ ​​é bissetriz de AOB e ON​ ​​é ​​ ​​ bissetriz de BOC. Calcule: a) m(AOC ) 100w b) m(AOM​) 15w C N c) m(NOC​) 35w B d) m(MON​) 50w

b) m(QOB) 5 60w

 

B M O

Q

 

M

30w

B

O

O

A

B

Q O

O

A

b) m(BOE) 5 15w

E

B

M

Q

24 Desenhe um ângulo agudo qualquer e trace sua bissetriz. Explique como você fez. resposta pessoal

A

27 Desenhe um ângulo obtuso qualquer, trace sua

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O

E

bissetriz e determine a medida dos dois ângulos formados. O que você deve observar para garantir que sua construção esteja correta? A medida dos dois ângulos obtidos deve ser a mesma.

Pense mais um pouco...

Desenhe um triângulo qualquer e trace as bissetrizes de seus ângulos internos. O que você observa a respeito dessas bissetrizes? As três bissetrizes cortam-se em um único ponto.

152

CAPÍTULO 6

Retas e ângulos

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Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes Antes de estudar ângulos consecutivos e ângulos adjacentes, você deve saber o que é a região interna de um ângulo. Observe. região interna

região interna região interna

As regiões pintadas de amarelo são as regiões internas dos ângulos acima. Note que a região interna de um ângulo é a região delimitada por seus lados, que contém a indicação de sua abertura. Agora, vamos analisar os ângulos abaixo. C

C

C

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

B

O

O

C

B

O A

B

A

Os ângulos AOB e BOC têm em comum o ​______ vértice O e o lado OB   ​ ​  . 

 

C

O

C

B

A O

C

B

O A

B

O

A

Os ângulos AOB e AOC têm em comum o ​______ vértice O e o lado OA   ​ ​  .

C

B

A O

O A

C

B

B

A

A

Os ângulos BOC e AOC têm em comum o ​______ vértice O e o lado OC   ​ ​  .





 

 

Os pares de ângulos AOB e BOC, AOB e AOC, BOC e AOC são chamados de ângulos consecutivos. Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo vértice e um lado comum. Os ângulos consecutivos AOB e BOC não possuem pontos da região interna comuns. Nesse caso, eles também são chamados de ângulos adjacentes. Dois ângulos consecutivos são adjacentes quando não possuem pontos da região interna comuns.

Ângulos complementares e ângulos suplementares Dois ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 90w são ângulos complementares. Por exemplo: M

A

O

40°

50°

40° B

P

Q

50°

Os ângulos AOB e MPQ são complementares, pois m(AOB) 1 m(MPQ) 5 90w. A medida do complemento de um ângulo agudo que mede x é (90w 2 x). CAPÍTULO 6    retas e ângulos

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153

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Dois ângulos cuja soma de suas medidas é igual a 180w são ângulos suplementares. Por exemplo: A M

150°

150° 30°

30° P

B

O

Q

Os ângulos AOB e MPQ são suplementares, pois m(AOB) 1 m(MPQ) 5 180w. A medida do suplemento de um ângulo que mede y é (180w 2 y). Veja os exemplos. a) Determinar a medida do complemento de um ângulo de medida 23w35e.

180w 5 179w60e

90w 5 89w60e 89w60e

179w60e

2 23w35e

2 115w38e

66w25e

64w22e

Portanto, a medida do complemento desse ângulo é 66w25e.

C C

Portanto, a medida do suplemento do ângulo dado é 64w22e. B B

°°

300 −− 3 22xx

Exercícios PROPOSTOS

xx A A

O O

28 Determine: a) a medida do complemento do ângulo de 40w; 50w b) a medida do suplemento do ângulo de 40w20e. 139w40e

29 Calcule o valor de x nas figuras. c)

a)

A A

x 5 21w36e

B B

22xx

−−

xx 3 3 3x 3x + + 18° 18°

x 5 40w

x 5 20w

CAPÍTULO 6

x 5 25w

6x 6x + + 15° 15°

2x 2x

O O

Retas e ângulos

d)

C C

7x 7x

A A

B B

O O

A A

A A

O O

B B

C C

B B

°° 3300

xx

154

2x 2x

O O

C C

b)

C C

7x 7x B B

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b) Determinar a medida do sumplemento de um ângulo de medida 115w38e.

B B

O O

C C

xx − − 10° 10°

A A

C C xx 3 3

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3x + 18°

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30 O gráfico de setores abaixo apresenta

a) Qual é o número médio de horas de sono da maioria dos pré-adolescentes entrevistados? 8 horas b) É correto afirmar que mais da metade dos entrevistados dormem, em média, 8 ou mais horas por dia? sim (500 1 300 1 200) c) Determine a medida dos ângulos centrais correspondentes a cada setor. 30w, 30w, 150w, 90w e 60w d) Classifique os ângulos de cada setor como 30w, 30w e 60w, reto, agudo ou obtuso. agudo: obtuso: 150w e reto: 90w e) Existem ângulos complementares? Quais? E suplementares? Quais?sim; complementares 30w e 60w;

o resultado de uma pesquisa feita com 1.200 pré-adolescentes de 10 a 13 anos do colégio Estudebem. Número médio de horas de sono diárias 100 100

200

10 horas

suplementares 150w e 30w

31 A metade da medida de um ângulo mais a

9 horas

medida do seu complemento é igual a 58w. Quanto mede esse ângulo? 64w

8 horas

300

500

7 horas 6 horas

32 Somando-se a medida do complemento com a

medida do suplemento de um ângulo obtém-se 130w. Quanto mede esse ângulo? 70w

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Dados obtidos pelo colégio Estudebem.

Ângulos opostos pelo vértice Dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.) quando os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro. D

C

AOC e BOD são ângulos opostos pelo vértice. O

AOB e COD são ângulos opostos pelo vértice.

B

A

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes (na figura, o mesmo número de tracinhos indica ângulos congruentes). Veja por quê. Na figura abaixo, os ângulos MOP e AOB são opostos pelo vértice e medem y e x graus, respectivamente. P

B

z y

O

x

M

z

P A

y

B

O

M

Repare que tanto os ângulos POM e BOP quanto os ângulos AOB e BOP são suplementares. z

P y

B

O

z

P O

M

B x A

Assim: y 1 z 5 180w e x 1 z 5 180w z

Então: yP 1 z 5 x 1 z, ou seja, yB5 x Portanto, MOP & AOB e xda mesma forma POB & MOA. O

A CAPÍTULO 6    retas e ângulos

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155

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Exercícios PROPOSTOS 33 Calcule as medidas x e y nas figuras. a)

34 Determine a medida dos ângulos desconhecidos. a)  

x 5 58w y 5 122w

40°

y

140°

58°

x

y

y 5 80w

60°

x

b)

x 5 40w

3x − 30°

b)

x 5 18w

y

y 5 156w

x

40°

90°

120° z

x 5 30w y 5 20w z 5 60w

x + 15° 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

y

c) 35° x

150°

c) y

x 5 55w

120°

32°18′

x 5 32w18e

x

y 5 147w42e

d)

25°

d)

y y

x

x 5 33w45e

x

y 5 67w30e

90° z

x

x 5 65w y 5 65w z 5 115w

112°30′

5 Retas perpendiculares Duas retas concorrentes podem ser: • perpendiculares, quando formam ângulos retos; • oblíquas, quando não formam ângulos retos. Retas perpendiculares α

r

s

Indicamos: r t s

156

CAPÍTULO 6

Retas oblíquas r

s

r s

α

α

r

α

s

Indicamos: r N s

Retas e ângulos

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Construindo perpendiculares com régua e esquadro Considerando uma reta (r) e um ponto (P), vamos traçar por esse ponto uma perpendicular à reta considerada usando régua e esquadro. Veja dois exemplos. • Quando o ponto está na reta 1.

• Quando o ponto não está na reta

2.

1.

2.

P

P

P r

P

3.

r

4.

r

3.

r

4.

r

P

r

r

r

eduARdo sAntALiestRA/Cid

P

P

eduARdo sAntALiestRA/Cid

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

P

Traçado de perpendicular por um ponto da reta com o uso de régua e esquadro.

Traçado de perpendicular por um ponto fora da reta com o uso de régua e esquadro.

Exercícios PROPOSTOS 35 Desenhe uma reta e trace, por um ponto, uma perpendicular a essa reta, nas seguintes condições: a) o ponto está na reta; b) o ponto não está na reta.

36 Desenhe um triângulo qualquer___ABC. Trace

uma reta perpendicular ao lado ​BC​​, passando pelo ___ vértice A, uma reta perpendicular ao lado ​AC​,​ passando pelo vértice B, e uma reta ___ per pen dicular ao lado AB​ ​ ​, passando pelo vértice C.

___

37 Desenhe um segmento ​AB​​de 6 cm. Em cada

extremidade dele, trace uma reta perpendicular a esse segmento. Marque sobre a perpen___ dicular traçada pelo ponto A e abaixo de AB​ ​ ​ um ponto C de modo que AC 5 4 cm. Marque sobre a perpendicular traçada pelo ponto B e ___ acima de ​AB​​um ponto D tal que BD 5 4 cm. a) ___ Quanto você estima que mede o segmento ​ ​? resposta pessoal CD​ b) Una os pontos ___C e D e meça com uma régua o segmento CD​ ​ ​. Qual é essa medida? Você fez uma boa estimativa? 10 cm; resposta pessoal CAPÍTULO 6

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Retas e ângulos

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20/07/11 10:02

Pense mais um pouco... ___

6 Ângulos formados por duas retas e uma transversal Considere duas retas coplanares r e s, cortadas por uma terceira reta t, chamada de transversal. Essas retas determinam oito ângulos, conforme a figura ao lado.

t a d b

• Os ângulos formados na faixa azul entre as retas r e s são chamados de internos. Assim, são ângulos internos os de medida: b, c, m, q.

c m

• Os ângulos formados fora dessa faixa na região laranja são chamados de externos. Assim, são ângulos externos os de medida: a, d, n, p.

n

s r

q p

Esses oito ângulos, combinados dois a dois, recebem nomes especiais, como veremos a seguir.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Desenhe um segmento AB​ ​  sobre uma reta r. Com régua e esquadro, construa o quadrado ABCD.

Ângulos correspondentes Dois ângulos são correspondentes quando um é interno, o outro é externo e estão situados em um mesmo lado em relação à transversal. Por exemplo: t

t

a

t d

b m

s r

158

s n

t

r

c

s

q r

p

s r

CAPÍTULO 6    Retas e ângulos

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20/07/11 10:02

Vejamos a relação que existe entre ângulos correspondentes e retas paralelas. Para isso, vamos traçar uma reta s paralela a uma reta r usando uma régua e um esquadro. 1. Vamos considerar a reta r e o ponto P fora da reta.

2. Posicionamos um esquadro e uma régua como mostra a figura abaixo. r r P P

3. Deslizamos o esquadro apoiado na régua até chegar ao ponto P.

4. Traçamos a reta s, que é paralela à reta r, e indicamos por a e b as medidas dos ângulos correspondentes determinados. r

P

s

P a

b

Nesse traçado, trabalhamos com dois ângulos correspondentes congruentes (a 5 b) e obtivemos retas paralelas, já que elas estão igualmente inclinadas sobre a régua. Logo, se uma transversal corta duas retas formando ângulos correspondentes congruentes, então essas retas são paralelas. O contrário também é verdadeiro. 80 90 100 110 70 12 80 7 0 0 60 110 100 60 13 0 0 2 0 5 01 50 3 1

0

10 2 0

4

0 180 60 17 0 1 0 10 0 15 2 0 0 14 0 3

Se duas retas são paralelas, então os ângulos correspondentes formados com uma transversal são congruentes.

180 170 1 30 60 15 40 0 14 0

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

r

1

0

10 2 0

4

0 180 60 17 0 1 0 10 0 15 2 0 0 14 0 3

180 170 1 30 60 15 40 0 14 0

80 90 100 110 70 12 80 7 0 0 60 110 100 60 13 0 0 50 0 12 50 3

É possível comprovar experimentalmente essa propriedade. Utilizando o transferidor para medir ângulos correspondentes formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, vamos encontrar medidas iguais. Veja o exemplo mostrado na figura ao lado.

s

10 2 0 0

4

180 170 1 30 60 15 40 0 14 0

1

0 180 60 17 0 1 0 10 0 15 2 0 0 14 0 3

80 90 100 110 70 12 80 7 0 0 60 110 100 60 13 0 0 50 0 12 50 3

r/s/t

t

CAPÍTULO 6    retas e ângulos

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r

159

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A propriedade anterior permite descobrir as medidas de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal, conhecendo-se apenas a medida de um dos ângulos. Veja os exemplos. Exemplo 1 Considere a figura abaixo, em que r/s e t é uma transversal. Vamos calcular as medidas x e y. t 25° r y x s

Além disso, x 1 y 5 180°, pois x e y são medidas de ângulos suplementares. Então: 25w 1 y 5 180w y 5 155w Exemplo 2 Considere a figura abaixo, em que r/s e t é transversal. Vamos calcular a medida dos ângulos assinalados. t 2x + 6°

r

3x − 16°

s

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O ângulo de medida 25w é correspondente ao ângulo de medida x. Esses ângulos foram formados por retas paralelas e uma transversal. Então, x 5 25w.

Os ângulos indicados são congruentes, pois são ângulos correspondentes formados por duas retas paralelas e uma transversal. Logo: 2x 1 6w 5 3x 2 16w 2x 2 3x 5 216w 2 6w 2x 5 222w x 5 22w Substituindo x por 22w nas expressões 2x 1 6w e 3x 2 16w, obtemos a medida dos ângulos assinalados, que devem ser iguais. Assim: • 2x 1 6w 5 2 3 22w 1 6w 5 44w 1 6w 5 50w • 3x 2 16w 5 3 3 22w 2 16w 5 66w 2 16w 5 50w Portanto, os ângulos assinalados na figura medem 50w. 160

CAPÍTULO 6    Retas e ângulos

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20/07/11 10:02

Exercícios PROPOSTOS 38 Sendo r/s, dê a medida dos ângulos indicados. a) x 5 40w

t

39 Nas figuras a seguir, r/s e t é transversal. Determine as medidas x e y. a) 120° x 5 120w

40° r

x

y

x

s

s

b)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x

70° r

r y

s

s

z a 5 140w

t

x 5 110w y 5 110w

120°

c)

t

t

b) z 5 120w

r

y 5 60w

40 Sendo r/s, calcule, em cada caso, o valor de x.

t

a)

a

x 5 25w

t x + 15°

r 140°

r 40°

s

s t

d) y 5 40w

b)

y

x 5 40w

7x –— + 70° 4

r

t r

140°

3x + 20° s

s

Ângulos alternos internos e ângulos alternos externos Consideremos duas retas r e s coplanares e uma transversal t. Dois ângulos são alternos internos quando são internos, não são adjacentes e estão situados em lados opostos em relação à transversal. Por exemplo:

r

t

s

r

t

s

CAPÍTULO 6

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Retas e ângulos

161

20/07/11 10:02

Dois ângulos são alternos externos quando são externos, não são adjacentes e estão situados em lados opostos em relação à transversal. Por exemplo: r

r

t

s

t

s

Consideremos as retas paralelas r e s cortadas pela transversal t. Os ângulos de medidas a e b são alternos internos. Então, temos que:

c b

• c 5 b, pois são medidas de ângulos opostos pelo vértice.

r

a

Logo, a 5 b, pois ambas as medidas são iguais a c.

s

Isso significa que:

t

Se duas retas r e s são paralelas, então os ângulos alternos internos formados com uma transversal são congruentes. t

t r

r

s

s

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• a 5 c, pois são medidas de ângulos correspondentes formados pelas paralelas r e s com a transversal t;

Essa propriedade também é válida para ângulos alternos externos formados por duas paralelas cortadas por uma transversal. Se duas retas r e s são paralelas, então os ângulos alternos externos formados com uma transversal são congruentes. t

t

r

r

s

s

Essa propriedade também permite descobrir as medidas de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal, conhecendo-se apenas a medida de um dos ângulos. Veja os exemplos a seguir. 162

CAPÍTULO 6    Retas e ângulos

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20/07/11 10:02

Exemplo 1 Na figura ao lado, r é paralela a s e t é transversal. Vamos calcular as medidas x, y e z nessa figura. O ângulo de medida 60w e o ângulo de medida x são alternos externos, formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Então, x 5 60w.

60° r y z

x

s

t

Temos também que y 5 60w, pois x e y são medidas de ângulos opostos pelo vértice. Como x 1 z 5 180, pois x e z são medidas de ângulos suplementares, temos: 60w 1 z 5 180w

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

z 5 120w Portanto, x 5 60w, y 5 60w e z 5 120w. Exemplo 2 Considere a figura abaixo, em que r/s e t é transversal. Vamos calcular a medida dos ângulos assinalados. r

s

x + 25° 3 2x − 25°

t

Os ângulos destacados são congruentes, pois são ângulos alternos internos formados por duas retas paralelas e uma transversal. Logo: x  ​__  ​  1 25w 5 2x 2 25w 3 75w 6x 75w x  ​   5 ​ ___ ​   2 ​ ____  ​    ​__  ​  1 ​ ____ 3 3 3 3 75w 1 75w 5 6x 2 x 150w 5 5x 5x 150w _____  5 ​ ___ ​  ​   ​    5

5

30w 5 x

CAPÍTULO 6    retas e ângulos

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163

20/07/11 10:02

x Substituindo x por 30w nas expressões __ ​ ​ 1 25w e 2x 2 25w, obtemos a medida dos ângulos 3 assinalados, que devem ser iguais. Assim: 30w x • ​__​ 1 25w 5 ____ 1 25w 5 10w 1 25w 5 35w 3 3 • 2x 2 25w 5 2 3 30w 2 25w 5 60w 2 25w 5 35w Portanto, os ângulos assinalados medem 35w.

Exercícios PROPOSTOS

dos. a) y 5 60w

t t

s s

x 5 55w

55° 55°

s s

110° 110°

z z

t t

d)

x 5 70w

110° 110°

s

t ty r

3x + 8°

x 5 31w e r y 5 101w

5x − 54° 5x − 54° s

s t c) x + 30° 5 x + 30° 5

t

y y

r r s

z z

110° 110°

b)

r r

x x

t t

s

y

3x + 8°

x x

z 5 110w

60°

y

y

r r s s

t t

x 5 15w e r y 5 120w

60° 4x

r r s s t t

r

4x

r r

t55° t55°

c)

t t

60° y 60° y 60° 60°

b)

sendo que r/s e t é transversal. a)

t t

y y

42 Determine as medidas x e y em cada caso,

x t x t x x

110° 110°

s x + 15° 2 x + 15° 2

r r r r s s s s

r r r r s s s s

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

41 Sendo r/s, dê a medida dos ângulos indica-

x 5 50w e y 5 140w

43 Desenhe uma estrada principal e nela marque o ponto A. Com régua e transferidor, trace o roteiro de um caminho, seguindo as indicações e usando a medida de 1 cm para representar 100 m. No ponto A da estrada principal, gire para a esquerda 58w e ande 500 m, marcando o ponto B. Gire para a esquerda 122w e ande mais 300 m, marcando o ponto C. Agora, responda. ___

O segmento ​BC​​é paralelo à estrada principal? Por quê? sim, pois os ângulos AB C e BA D são ângulos alternos internos congruentes (medem 58w).

164

CAPÍTULO 6

Retas e ângulos

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 164

20/07/11 10:02

Ângulos colaterais internos e ângulos colaterais externos Consideremos duas retas r e s coplanares e uma transversal t. Dois ângulos são colaterais internos se são internos, não adjacentes e estão situados do mesmo lado em relação à transversal. Por exemplo: t

t r

r

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

s

s

Dois ângulos são colaterais externos se são externos, não adjacentes e estão situados do mesmo lado em relação à transversal. Por exemplo: t

t r

r

s

s

Consideremos as retas paralelas r e s cortadas pela transversal t. t c r b a s

Os ângulos de medidas a e b são colaterais internos. Então, temos: • a 5 c, pois são medidas de ângulos correspondentes formados pelas paralelas r e s com a transversal t; • c 1 b 5 180w, pois são medidas de ângulos suplementares. Logo: a 1 b 5 180w CAPÍTULO 6    retas e ângulos

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 165

165

20/07/11 10:02

Isso significa que: Se duas retas r e s são paralelas, então os ângulos colaterais internos formados com uma transversal são suplementares. t

t r

r

s

s

Essa propriedade também é válida para ângulos colaterais externos formados por duas paralelas cortadas por uma transversal.

t

t

r

r

s

s

Com essa propriedade é possível descobrir as medidas de ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, sem que se conheça a medida de qualquer um deles. Veja um exemplo. Vamos calcular a medida dos ângulos assinalados na figura abaixo, em que r/s. Os ângulos assinalados são suplementares, pois são ângulos colaterais internos formados por duas retas paralelas e uma transversal.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Se duas retas r e s são paralelas, então os ângulos colaterais externos formados com uma transversal são suplementares.

Logo: (5x 1 36w) 1 (4x 2 9w) 5 180w 5x 1 4x 5 180w 2 36w 1 9

5x + 36°

r

9x 5 153w 9x 153w ​ ___ ​   5 ​ _____  ​    9 9 x 5 17w

4x − 9° s t

Substituindo x por 17w nas expressões 5x 1 36w e 4x 2 9w, obtemos as medidas dos ângulos assinalados, cuja soma deve ser 180w. • 5x 1 36w 5 5 3 17w 1 36w 5 121w • 4x 2 9w 5 4 3 17w 2 9w 5 59w De fato: 121w 1 59w 5 180w Portanto, os ângulos assinalados medem 121w e 59w. 166

CAPÍTULO 6    Retas e ângulos

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 166

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Exercícios PROPOSTOS 44 Verifique quais sentenças são falsas e corrija-

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

-as no caderno, considerando que os ângulos mencionados são formados por duas retas paralelas e uma transversal. a) Os ângulos correspondentes são suplementares. F b) Os ângulos alternos internos são congruentes. V c) Os ângulos alternos externos são complementares. F d) Os ângulos colaterais internos são congruentes. F e) Os ângulos colaterais externos são suplementares. V

e)

t z y 30°

y

z 5 150w

s

f)

t

r

2x

x 5 20w y 5 140w

5x + 40°

z

z 5 40w

s

y

As retas r e s são paralelas.

r

Elas não são paralelas.

s

50°

t

t

35°

y 5 30w

46 Observe a conversa entre Mário e Vilma.

t

b) y 5 145w

r

3x

45 Sendo r/s, determine as medidas x, y e z nos seguintes casos. a)  y 5 130w

x 5 50w

r

r

y

55°

56°

s

s

c)

t y

x + 36°

x 5 24w

r y 5 120w z 5 60w

d)

y 5 27w30e

4y + 15°

s

z

5x

r

Quem tem razão? Justifique sua resposta.

Vilma, pois, nesse caso, os ângulos alternos internos não são congruentes.

47 Sendo r/s/t, calcule as medidas x e y dos ângulos destacados nas figuras a seguir. a)

s

x 5 138w y 5 42w

42°

2y

x

y

t r

s

y

s

25° t

CAPÍTULO 6

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 167

30°

t

x

r

Retas e ângulos

167

20/07/11 10:02

30°

t

x

x 5 30w

concorrentes os pares de retas r e s. a) rr a

y 5 25w

x

y

50 Em cada caso, identifique como paralelas ou a

y

s

paralelas

ss

25° t

r

a a

48 Sendo r/s e u/v, calcule as medidas a, x e y nas figuras abaixo. r a) r

a 5 60w

23°

b)

a23°

concorrentes

35° 35°

a 37° 37°

s

rr

36° 36°

s

ss

b) x 5 50w

r

y 5 130w

r

130° 130°

x s s

u

c)

y

rr

y

x

v

u

40° 40°

v

49 Sendo r/s/t, calcule as medidas a, b, c, d, x e y nas figuras. a)

133°

a 47w r

c 47w

d

51 Observe o triângulo ABC. Nele, foi traçada, ___

s

b133w

c

140° 140°

a

133°

r

s

b

t

47w d

b)

ss paralelas

pelo vértice ___ A, uma reta paralela ao lado ___​BC​ . A reta MN  ​  ​  também é paralela ao lado ​BC​ . A medida do ângulo ABC é 38,5w e a do ângulo MNA é 64,5w. 



 

 

t r

s

t

r

s

t

A

M

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

42°

b)

N

47° 38° 47° 38° 47w

y

B

C

y

a) Qual é a medida do ângulo AMN? 38,5w b) Qual é a medida do ângulo BMN? 141,5w c) Qual é a medida do ângulo BCA? 64,5w

142w

x x

Pense mais um pouco...

O tampo de uma mesa tem a forma de um trapézio. O ângulo agudo mede 54w. Qual é a medida do ângulo obtuso?

168

54°

54°

126w

CAPÍTULO 6    Retas e ângulos

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 168

20/07/11 10:02

Tratamento da informação

Construindo um gráfico de setores Durante uma aula de Matemática no 8o B da Escola São Lucas, a professora Ana percebeu que um dos assuntos de maior interesse de seus alunos era música. Então, resolveu fazer uma pesquisa para identificar a preferência musical dos alunos dessa classe. Após a pesquisa, Ana organizou os resultados obtidos em uma tabela. Observe.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Preferência musical dos alunos do 8o B Gênero musical

Quantidade de alunos

Porcentagem de alunos

Rock

6

15%

Pagode

16

40%

Axé

18

45% Dados obtidos por Ana.

Em seguida, Ana construiu o gráfico abaixo para apresentar, de outra forma, os dados obtidos na pesquisa. Esse gráfico, que é chamado de gráfico de setores, constitui-se de um círculo dividido em três partes. Cada parte é chamada de setor circular. Preferência musical dos alunos do 8o B Pagode 40%

Rock 15%

Axé 45%

Dados obtidos por Ana.

O tamanho dos setores é determinado pelos ângulos centrais, e a medida de cada um é obtida deste modo: Gênero musical

Porcentagem (na tabela)

Cálculo do ângulo central

Rock

15% do total de alunos

15   3 360w 5 54w 15% de 360w 5 ​ ____  ​  100

Pagode

40% do total de alunos

40   3 360w 5 144w 40% de 360w 5 ​ ____  ​  100

Axé

45% do total de alunos

45   3 360w 5 162w 45% de 360w 5 ​ ____  ​  100

CAPÍTULO 6    retas e ângulos

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 169

169

20/07/11 10:02

Após determinar a medida do ângulo correspondente a cada setor, desenha-se uma circunferência e marcam-se, com auxílio de régua e transferidor, os ângulos centrais associados a cada preferência musical. Depois, cada setor é pintado com uma cor diferente. Registram-se, então, o nome e a porcentagem correspon­den­tes a cada um dos setores. 15 130 140 0 160 17 20 40 30 20 0 0 1 60 50 10 180 11

1

40 50 60 70 30 140 130 120 110 80 100 9 0 5 1 0 0

10 2 0

4

54°

0

8

144° 54°

1

20

6 10 0 1 7

0

0 70 10 0

0 180 60 17 0 1 0 10 0 15 2 0 0 14 0 3

180 170 1 30 60 15 40 0 14 0

80 90 100 11 01 70 80 7 20 60 110 100 0 60 13 0 0 2 0 1 5 0 50 3

18 0

10 20 30 4

54°

162°

60

12 0

50

2

Rock 15%

Axé 45%

13 0

80 01 17 0 0 0 16 0 1

0

Pagode 40%

0 170 160 150 1 40 180

144°

1

90 80 70 0 100 1

50

40

30

100 110 120 1 30 14 0 80

70

60

15 0

Note que a medida dos ângulos centrais não aparece no gráfico. Para finalizá-lo, é preciso colocar o título e a fonte, como a professora Ana fez. Interpretando a situação apresentada pelo gráfico, percebemos, por exemplo, que a maioria dos alunos do 8o B prefere axé e apenas 15% preferem rock.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

0

Preferência musical dos alunos do 8o B

Esse tipo de gráfico é o mais indicado quando queremos comparar cada parte com o total ou comparar as partes entre si.

Atividade 1 Observe a tabela. Cor dos olhos dos alunos do 8o B Cor dos olhos

Azul

Verde

Preto

Castanho

Porcentagem de alunos

10%

35%

10%

45%

Dados obtidos pelos alunos do 8o B da Escola São Lucas.

a) Construa um gráfico de setores para a situação apresentada na tabela. b) Qual é a cor de olhos predominante entre os alunos do 8o B da Escola São Lucas?

castanho

170

CAPÍTULO 6    Retas e ângulos

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20/07/11 10:02

Exercícios COMPLEMENTARES ​______

52 Na figura abaixo, temos:

​​ ​​é bissetriz de AOD. Expli 55 Na figura abaixo, ​______ OC​  



que por que OE​ ​​ ​​é bissetriz de BOD. ______

• m(AOC) 5 70w

 



OE é bissetriz de BOD porque divide o ângulo BOD em dois ângulos congruentes.

• m(COE) 5 60w

 

​______

• OB​ ​​ ​​é bissetriz de AOC;

D

 

•

​______ ​​ ​​  OD​ é bissetriz

C

de COE.

D

E

50°

C

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O

O

B

56 Determine as medidas x e y nas seguintes figuras. a)

A

Calcule a medida de BOD.

40w

A

B

E

40w

50w

x 5 20w e 65w

y 5 95w

y y

5x − 15° 5x − 15°

4x + 5° 4x + 5°

53 Na figura abaixo, temos: • m(AOB) 5 72w b)

m(AOB) • m(COD) 5 _______ 4

3x + 50° 3x 2 + 50° 2 y y

x 5 40w e

​______

y 5 70w

​​ ​​é bissetriz de BOD. • OC​  

C

D

2x + 30° 2x + 30°

B

___ ___

57 No triângulo abaixo, temos MN​ ​ / ​ BC​ ​ ​. Calcule 



 

 

as medidas x e y. x 5 50w e y 5 75w A

72° O

A

Calcule a medida de AOC.

M

90w

54 Calcule a medida x nas seguintes figuras. c)

x 5 20w

b)

B

C

+2

c

d

x − 5° x 115w

d)

x 5 40w

3x + 20°

75°

58 Sendo a/b e c/d, calcule x, y e z.

4x

x + 15°

x

x 5 54w

x + 27°

x 3

65°

x

a

65w z

115w y

b

x 2

CAPÍTULO 6

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 171

N

x 5 10w

2x

3x − 5°

y

50°

5°

a)

x

Retas e ângulos

171

20/07/11 10:02

59 Sendo r/s, calcule a medida x na figura abaixo. r

s A

60 (Obmep) Calcule o valor do ângulo x em cada uma das figuras a seguir, sabendo que os segmentos AB e ED são paralelos. a) A B 25°

x 5 80w

C

x

x 42°

79w

55° D

E

143°

b)

A

B

x 5 50w

160°

C

x

150°

TESTES 61 Um ângulo mede 50w. Podemos afirmar que seu suplemento é: X a) um ângulo obtuso. b) um ângulo reto. c) um ângulo agudo. d) um ângulo de 40w.

65 Observe a figura abaixo e dê a medida do complemento do menor ângulo.

3x − 65°

2x + 20°

62 Se a terça parte da medida do complemento de um ângulo é 25w, o ângulo mede: a) 75w X c) 15w b) 50w d) 5w

a) 45w

b) 70w

X c)

20w

d) 110w

66 Dada a figura, determine o valor de x.

63 A terça parte da medida do suplemento de um ângulo de 15w é: a) 25w  b) 135w

X c)

55w d) 65w

2x + 20° 3x − 65°

64 Observe a figura abaixo e indique a alternativa correta.

a) 85w

C D x

x x x O x x x

E

G

a) b) X c) d) 172

AOB & AOC AOC & BOE AOC & EOG​ BOD & COF

CAPÍTULO 6

A

H

F

b) 45w

X c)

27w

d) 9w

67 Considerando os ângulos formados por duas

B x

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

D

E

retas paralelas cortadas por uma transversal, qual é a afirmativa falsa? a) Os ângulos correspondentes são congruentes. b) Os ângulos alternos internos são congruentes. c) Os ângulos alternos externos são congruentes. X d) Os ângulos colaterais internos são congruentes.

Retas e ângulos

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 172

20/07/11 10:02

68 Na figura, r/s e t é transversal.

71 (Uniube-MG) Na figura abaixo, as retas r e s

são paralelas, cortadas por uma reta transversal t.

t a b e f

t

d

A

r

c

r

h

B s

g

s

Qual é a afirmativa correta? c) b 5 e a) a 5 b b) b 1 h 5 180w X d) c 1 h 5 180w

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69 Dois ângulos alternos internos formados por duas paralelas e uma transversal são: a) sempre obtusos. c) complementares. d) suplementares. X b) congruentes.

70 Sendo r/s, qual é a afirmativa correta?

Se a medida do ângulo B é o triplo da medida do ângulo A, então a diferença m(B ) 2 m(A) vale: X a) 90w b) 85w c) 80w d) 75w e) 60w

72 (FAM-SP) Dadas as retas r e s, paralelas entre si, e t, concorrente com r e s, calcule o valor de x . t

132°

x r

x

r 2x + 30°

72°

s

s

a) x 5 48w b) x 5 72w

X c) x

5 60w d) x 5 108w

a) 51w b) 35w c) 90w X d) 50w e) 45w

CAPÍTULO 6    retas e ângulos

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 173

173

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ndoo cand Diversififica KEVPIX/ALAMY/OTHER IMAGES

Girando no parque A Singapore Flyer é uma roda-gigante digna do nome: tem 165 metros de altura e 150 metros de diâmetro. Inaugurada em 1o de março de 2008, em Cingapura, ela tem 28 cápsulas igualmente espaçadas, com ar-condicionado, cada uma com capacidade para 28 pessoas.

360w _____ 28

90w ou ____ 7

Agora é com você!

1 Qual é a medida aproximada do ângulo descrito acima, em grau, minuto e segundo? 12w51e25E

2 O comprimento dessa roda é aproximadamente 471 metros, e uma volta completa demo-

ra cerca de 30 minutos. Qual é a velocidade aproximada dessa roda em quilômetro por hora? 0,942 km/h

3 A roda-gigante de um parque de diversões tem

L

K

J

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A medida de um ângulo imaginário com vértice no centro dessa roda, e com lados que passem no centro de duas cápsulas vizinhas, pode ser indicada pela razão:

I

H M 18 cadeiras, igualmente espaçadas, e move-se no sentido anti-horário, isto é, no sentido contrário G ao ponteiro do relógio. Na figura, as letras de A a N R indicam as posições das cadeiras. F O S a) Leandro sentou-se na cadeira da posição A. Em posição J um primeiro momento, a roda deu meia-volta E P e parou para que Juliana se sentasse. Nesse Q momento, qual era a posição de Leandro? D b) Quantos graus tem o ângulo HSI descrito C R B A pela cadeira que vai da posição H até I, no sentido anti-horário? E se fosse no sentido horário? 20w; 340w c) Qual é a posição da cadeira que está na bissetriz do ângulo MSA? posição P d) A cadeira da posição E está na bissetriz de um ângulo. Indique três ângulos em que isso é possível. resposta possível: DSF, CSG e BSH

174

CAPÍTULO 6

RETAS E ÂNGULOS

141_174_BIANCHINI_MAT8_C06.indd 174

22/07/11 09:12

Polígonos

AWEI/SHUTTERSTOCK

CAPÍTULO

7

Matemática no mundo As formas geométricas não são apenas resultado das criações humanas. Na natureza, é possível encontrar formas poligonais, por exemplo, nos alvéolos das colmeias de abelha, nas faces dos cristais de rocha e no desenho de uma teia de aranha. resposta possível: sim; triângulos,

Agora, responda. quadriláteros e pentágonos • Observe a teia de aranha na foto. Há formas que lembram polígonos nessa teia? Quais são elas?

175_192_BIANCHINI_MAT8_C07.indd 175

20/07/11 10:04

1 Os polígonos

A imagem gerada por um caleidoscópio reproduz e multiplica superfícies poligonais.

Recorde o que você já sabe sobre polígonos: • Os polígonos dividem o plano em duas regiões sem pontos comuns: o interior e o exterior. exterior

α

β interior

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Paulo Manzi/CID

Uma linha poligonal fechada simples é chamada de polígono.

interior exterior

• Polígonos são denominados convexos quando um segmento que une quaisquer dois pontos de seu interior estiver contido nele. Caso contrário, são chamados de polígonos não convexos.

polígono convexo

polígono não convexo

Neste capítulo e nos próximos, vamos trabalhar apenas com polígonos convexos, que chamaremos simplesmente de polígonos. 176

CAPÍTULO 7    polígonos

175_192_BIANCHINI_MAT8_C07.indd 176

22/07/11 09:13

Elementos de um polígono Veja agora os elementos de um polígono. Alguns você já conhece. • Vértices: são os pontos de encontro de dois lados consecutivos de um polígono. No polígono ao lado, os vértices são os pontos A, B, C, D e E.

D e3 E E

• Lados: são os segmentos que formam a linha ___ ___ ___ AB​ , ​ BC​ ​ , ​ CD​ ​ ,​ poligonal. No polígono, os lados são ​ ___ ___ DE​ ​ .​ ​ ​e EA​

C

C

e5 A

• Ângulos internos: são os ângulos formados por dois lados consecutivos do polígono. No polígono ao lado, os ângulos internos são A, B, C, D e E.

Reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

D

e4

e2

B

A

B

e1

• Ângulos externos: são os ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo. No polígono, os ângulos externos são e1, e2, e3, e 4 e e 5. • Diagonais: são os segmentos que unem dois vértices não ___consecutivos ___ polígono. ___ ___ ___ do As diagonais do polígono representado são os segmentos AC​ ​ ​, AD​ ​ ​, BD​ ​ ​, BE​ ​ ​​e CE​ ​ .​

Exercícios PROPOSTOS 1 Calcule o que se pede. a) O perímetro deste triângulo. 9,2 cm C C 2,2 cm

3 cm

2,2 cm

3 cm

A

4 cm

B

A

4 cm

B

b) A medida do ângulo interno BCD deste quadrilátero. 60° D

A A

120°

D

3 Todos os lados de um hexágono são con gru entes. A soma de suas medidas é 72 cm. Qual é a medida de cada um de seus lados? 12 cm 4 Cada um dos lados de um heptágono mede 2,5 cm, cada um dos lados de um octógono mede 2 cm, e cada um dos lados de um eneágono mede 1,8 cm. Qual deles tem o maior perímetro? o heptágono 5 A fi gura abaixo mostra dois lados consecutivos de um decágono. Se todos os ângulos internos desse decágono forem congruentes, quanto medirá a soma de todos eles? 1.440° C

120° B

C

B

C

2 Se os ângulos de um pentágono forem congruentes e a soma de todos eles for 540°, quanto medirá cada um desses ângulos? 108°

144° A

B

6 Um polígono é um icoságono. a) Quantos são os seus vértices? 20 vértices b) Quantos são os seus ângulos internos?

20 ângulos internos

CAPÍTULO 7

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polígonos

177

20/07/11 10:04

2 Número de diagonais de um polígono Observe os seguintes polígonos e o número de diagonais traçadas por um de seus vértices. A

A

A

F B

B

G

E B

E F

C

C

C

D

Número de lados: 5 Número de diagonais: 2

D

Número de lados: 6 Número de diagonais: 3

D

E

Número de lados: 7 Número de diagonais: 4

Note que o número de diagonais traçadas por um de seus vértices (o vértice A) é igual ao número de lados menos três. Como o polígono tem n vértices, podemos traçar n 3 (n 2 3) diagonais. Esse produto, porém, representa o dobro do pois cada diagonal foi ___número de diagonais,___ contada duas vezes (por exemplo, a diagonal AC​ ​  é a mesma diagonal CA​ ​  ). Então, para calcular o número total de diagonais d de um polígono de n lados, podemos empregar a fórmula: n 3 (n 2 3)  ​    d 5 ​ __________ 2 Veja os exemplos. a) Calcular o número de diagonais de um octógono.

n58 n 3 (n 2 3) __________ 8 3 (8 2 3) 835 40 ___ d 5  ​__________  ​ 5 ​   ​   5 ​ _____  ​          5 ​   ​   5 20 2 2 2 2 Logo, o octógono tem 20 diagonais.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Assim, em um polígono de n lados, podemos traçar, por um dos vértices, (n 2 3) diagonais.

b) Qual o polígono cujo número de diagonais é igual ao número de lados?



d5n n 3 (n 2 3)  ​  d 5 ​ __________   2 n2 2 3n n 5 ​ _______  ​    2 2n 5 n2 2 3n



2n 1 3n 5 n2



5n 5 n2



n2 5 5n



Como n representa o número de lados de um polígono, n % 0. Assim, podemos dividir os dois membros por n.



178

5n n2 ___  ​___ n ​   5 ​  n ​   ]  n 5 5 Logo, o polígono é o pentágono. CAPÍTULO 7    polígonos

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20/07/11 10:04

Exercícios PROPOSTOS 7 Quantas diagonais podemos traçar a partir de um dos vértices de um hexágono? 3 diagonais 8 Traçando todas as diagonais possíveis a partir de um vértice de um pentágono, em quantos triângulos ele fi cará dividido? em 3 triângulos 9 Quantas diagonais tem um triângulo? nenhuma 10 Desenhe um quadrado e trace suas diagonais. a) Quantas são essas diagonais? 2 diagonais b) Meça com uma régua essas diagonais e responda como são suas medidas.

12 Determine o número de diagonais de um polígono com: a) 20 lados; 170 b) 16 lados; 104 c) 24 lados. 252 13 Quantos lados tem o polígono cujo número de diagonais é seis vezes o número de lados? 15 lados

14 Quantos lados tem o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados? 11 lados

3 Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono Vamos fazer uma experiência. Ela nos permite verificar um resultado importante.

EDuaRDo SanTaliESTRa/CiD

Desenhamos o polígono ABCDE e seus ângulos externos e1, e2, e3, e4 e e5 em uma folha de papel (foto 1). Com uma tesoura, recortamos a figura para destacar cada um dos ângulos externos, como sugere a foto 2. EDuaRDo SanTaliESTRa/CiD

Reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Suas medidas são iguais.

11 Por um dos vértices de um polígono foi possível traçar até 4 diagonais. Que nome se dá a esse polígono? heptágono

foto 1

foto 2

EDuaRDo SanTaliESTRa/CiD

EDuaRDo SanTaliESTRa/CiD

Reunindo os cinco ângulos externos em torno de um dos vértices, de modo que se tornem adjacentes dois a dois, notamos que a soma das medidas desses ângulos é igual a 360w (fotos 3 e 4).

foto 3

foto 4

CAPÍTULO 7

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polígonos

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Repetindo esse procedimento com qualquer outro polígono chegaremos sempre ao mesmo resultado. A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono qualquer é 360w. Indicando a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono por Se , temos: Se 5 360w

 das medidas dos ângulos 4 Soma internos de um polígono

i1

e1

Indicando as medidas desses ângulos por i1 e e1, temos:

D

i1 1 e1 5 180w Consideremos agora o polígono ABCDE, em que i1, i2, i3, i4, i5 são as medidas dos ângulos internos e e1, e2, e3, e4, e5 são as medidas dos ângulos externos. Nesse polígono, temos: 180w

180w

180w

i3

i5

e1

e2

180w

Agrupando as medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos, temos: (i1 1 i2 1 i3 1 i4 1 i5) 1 (e1 1 e2 1 e3 1 e4 1 e5) 5 5 3 180w

C e3

i2

i1 A

e1 1 i1 1 e2 1 i2 1 e3 1 i3 1 e4 1 i4 1 e5 1 i5 5 5 3 180w 180w

i4

e5 E

e4

B

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Sabemos que a soma das medidas de dois ângulos adjacentes e suplementares é 180w.

Chamando i1 1 i2 1 i3 1 i4 1 i5 de Si e e1 1 e2 1 e3 1 e4 1 e5 de Se , vem: Si 1 Se 5 5 3 180w Como Se 5 360w 5 2 3 180w, temos: Si 1 2 3 180w 5 5 3 180w Si 5 5 3 180w 2 2 3 180w Si 5 (5 2 2) 3 180w 5 3 3 180w 5 540w

Colocamos 180w em evidência.

Para um polígono com n lados, temos: (i1 1 i2 1 i3 1 ... 1 in) 1 (e1 1 e2 1 e3 1 ... 1 en) 5 180w 3 n

Si 1 Se Si 1 2 3 180w 5 180w 3 n



Si 5 180w 3 n 2 2 3 180w

5 180w 3 n

Colocando 180w em evidência, temos: Si 5 (n 2 2) 3 180w 180

CAPÍTULO 7    polígonos

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Então: A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados é igual a (n 2 2) 3 180w. Veja os exemplos. a) Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono.

Reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

n 5 6

b) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 1.080w. Qual é esse polígono?

Si 5 (n 2 2) 3 180w

Si 5 (n 2 2) 3 180w

Substituindo n por 6, temos:

Si 5 1.080w

(n 2 2) 3 180w 5 1.080w

Si 5 (6 2 2) 3 180w

180w 3 n 2 360w 5 1.080w

Si 5 4 3 180w

180w 3 n 5 1.080w 1 360w

Si 5 720w

180w 3 n 5 1.440w

Logo, a soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é 720w.

​

​

n58



Portanto, o polígono é o octógono.

c) Calcular as medidas x e y indicadas na figura ao lado sabendo que y 2 x 5 20w. Na figura, n 5 5 e Si 5 3x 1 2y.

x x

x

Como Si 5 (n 2 2) 3 180w, temos: 3x 1 2y 5 (5 2 2) 3 180w

y

y

3x 1 2y 5 540w Resolvendo o sistema

3x 1 2y 5 540w y 2 x 5 20w

, encontramos x 5 100w e y 5 120w.

Exercícios PROPOSTOS 15 No quadrilátero abaixo, determine y sabendo que y 5 2x. 120w x

y x

y

16 Quanto mede a soma dos ângulos internos de um pentágono? 540w 17 Qual é a diferença entre a soma das medidas dos ângulos internos de um decágono e a de um octógono? 360w

18 Em uma cena de teatro, quatro atores devem, em certo momento, po s i c io n ar-se sobre os vértices de um quadrilátero desenhado no chão do palco, como mostra a fi gura ao lado. De termine a medida do ângulo destacado em verde. 120w

19 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 1.260w. a) Qual é o nome desse polígono? eneágono b) Quantas diagonais ele possui? 27 diagonais CAPÍTULO 7

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120°

polígonos

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20/07/11 10:04

143° x 143°

20 Calcule a medida x nas figuras. a) x 5 110w

x

100° 110°

4x − 10°

3x + 15°

3x + 10°

4x + 5°

100°

120°

110°

x 5 92w

x 5 30w

x 100°

b)

c)

5x − 10°

100°

4x + 20°

21 Calcule os valores de x e de y na figura sabendo x 5 115w que x 5 y 2 15w. y 5 130w

120°

x − 20°

x

143°

x − 20°

y

x

x 143° 143°

x

x

y

4x − 10°

3x + 15°

4x − 10° Pense mais um pouco... 3x + 10° 3x++5°15° 4x

Na escola Santa Fátima foi feita uma pesquisa com 800 alunos para avaliar o medo deles em relação 5x − 10° 3x + 10° 4x + 20° à dengue. 4x + 5° Lucas e Fabiano, alunos do 8o ano que adoram brincar com a Matemática, propuseram aos colegas 5x − 10° 4x + 20° um desafio: construir um gráfico de setores mostrando a porcentagem das opiniões obtidas na pesquisa. O resultado dessa pesquisa está re­presentado pela figura e pela tabela abaixo. 126°

108° Sugerir aos alunos que meçam os ângulos externos com um transferidor.

36°

90°

Ângulo externo

Opinião

Amarelo

Muito medo

Verde

Medo

Azul

Pouco medo

Rosa

Não têm medo

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x

143°

O aluno pode fazer o gráfico de setores indicando somente os

Resolva o desafio proposto por Lucas e Fabiano. ângulos ou as porcentagens (muito medo: 35%; medo: 30%; pouco medo: 25%; não têm medo: 10%).

5 Polígonos regulares Você já sabe que um polígono é regular se possuir tantos eixos de simetria quantos forem os seus lados. Entretanto, é possível caracterizar um polígono regular de outro modo. Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são congruentes.

182

CAPÍTULO 7    polígonos

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22/07/11 09:14

As figuras abaixo são polígonos regulares.

Representando por ai a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados e por ae a medida do ângulo externo, temos: Se Si __  ​   e  a ae 5 ​ ___   5 ​   i n n ​  Veja os exemplos.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) Calcular a medida do ângulo interno e a medida do ângulo externo do octógono regular.

Si 5 (n 2 2) 3 180w



Si 5 (8 2 2) 3 180w



Si 5 6 3 180w



Si 5 1.080w



Si 1.080w  ​  • ai 5 ​ __ ​   5 ​ _______  5 135w n 8 Se 360w  ​  • ae 5 ​ ___ ​   5 ​ _____  5 45w n 8

Logo, o ângulo interno mede 135w e o ângulo externo mede 45w.

b) Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo interno mede 150w? 150°

ae



ai 1 ae 5 180w



150w 1 ae 5 180w



ae 5 180w 2 150w

360w     ​  e ae 5 30w, temos: Como ae 5 ​ _____ n 360w     ​  5 30w ​ _____ n 30w 3 n 5 360w



ae 5 30w

n 5 12



Portanto, o polígono tem 12 lados.



Si Observe que o problema poderia ter sido resolvido fazendo ​__    ​   5 150w . n (n 2 2) 3 180w   5 150w  ]  n 5 12 ​ _____________ n     ​ 

c) Calcular as medidas x e y na figura.

x



x



O polígono tem 10 lados.

x

Logo:

x

x

Si 5 (n 2 2) 3 180w Si 5 (10 2 2) 3 180w

x x

x x

x

y

Si 5 8 3 180w Si 5 1.440w

CAPÍTULO 7    polígonos

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183

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Como todos os 10 ângulos internos têm a mesma medida x, temos: 10x 5 1.440w 1.440w x 5 _______ 10 x 5 144w Como x 1 y 5 180w, obtemos y 5 36w.

22 Um polígono é regular e tem 15 lados. a) Qual é o nome desse polígono? pentadecágono b) Quantas diagonais ele possui? 90 diagonais c) Qual é a soma das medidas de seus ângulos internos? 2.340w d) Qual é a soma das medidas de seus ângulos externos? 360w e) Quanto mede cada um de seus ângulos internos? 156w f) Quanto mede cada um de seus ângulos externos? 24w 23 O icoságono é um polígono de 20 lados. Quanto vale a medida do ângulo interno de um icoságono regular? 162w 24 Determine a diferença entre a medida de um ângulo interno e a de um ângulo externo de um octógono regular. 90w

28 Alessandra bordou polígonos regulares em uma tapeçaria, conforme a fi gura a seguir.

a) Quais e quantos polígonos regulares foram bordados nessa tapeçaria? b) Calcule a medida de cada ângulo interno do polígono que fi cou no centro. 120w c) Qual é o polígono formado pela parte azul do bordado? Esse polígono é regular? Por quê? 29 Calcule o valor de x e de y na fi gura.

x 5 120w e y 5 60w

x

25 A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 3.960w. a) Quantos lados tem esse polígono? 24 lados b) Quanto mede cada um de seus ângulos internos? 165w c) Quanto mede cada um de seus ângulos externos? 15w 26 Um ângulo externo de um polígono regular mede 12w. a) Quantos lados tem esse polígono? 30 lados b) Quanto mede cada um dos ângulos internos desse polígono? 168w 27 Qual é o polígono regular cujo ângulo interno mede 144w? decágono 184

CAPÍTULO 7

Reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exercícios PROPOSTOS

28a) seis quadrados, seis triângulos equiláteros, um hexágono e um dodecágono c) o polígono formado é um dodecágono regular, pois todos os seus lados têm a mesma medida e todos os seus ângulos internos também têm a mesma medida.

x

x

y

x x

x

30 Um robô é programado para partir do ponto O, dar 5 passos, girar 30w para a direita e repetir esse processo até atingir o ponto O novamente, quando para. Quantos passos ele dá para percorrer esse caminho? 60 passos 30°

30°

O

polígonos

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31 Marina confeccionou uma toalha de mesa no formato de um polígono regular. Na borda da toalha, Marina pregou uma faixa vermelha. Observe a seguir o esquema que ela utilizou para fazer essa toalha.

30 cm 40°

b) Depois de colocada, a faixa vermelha formou um polígono. Determine a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono. 1.260w 32 Um retângulo pode ser regular? Justifique sua resposta. Sim. O quadrado é um retângulo regular. 33 Se o número de lados de um polígono é par, pode-se dizer que o número de diagonais desse por exemplo, o hexágono polígono também é par? Não; tem 6 lados e 9 diagonais.

30 cm 30 cm

a) Quantos metros de faixa vermelha Marina utilizou para fazer esse trabalho? 2,7 m

40°

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6 Congruência de polígonos Considere estes dois polígonos. A

Usando uma folha de papel translúcido, podemos reproduzir o polígono A. Girando esse polígono convenientemente, podemos colocá-lo sobre o polígono B. A esse procedimento chamamos de superposição (ou sobreposição). Assim, por superposição, será possível verificar se todos os A pontos desses dois polígonos coincidem. Caso isso aconteça, diremos que os polígonos A e B são congruentes. Indicamos: A & B.

B

Elementos correspondentes em polígonos congruentes Considere os seguintes polígonos congruentes. P

C D

Q

A

M N

B

Em polígonos congruentes, os elementos que coincidem por superposição são chamados de elementos correspondentes. Assim, por exemplo: ___

____

___

___

• o ângulo A é correspondente ao ângulo M;

• o lado AB​ ​   é correspondente ao lado MN  ​ ;​ 

• o ângulo B é correspondente ao ângulo N;

• o lado BC​ ​   é correspondente ao lado NP​ ​ . 

Dois polígonos são congruentes quando os lados correspondentes e os ângulos correspondentes forem congruentes. Observe que fazemos a indicação dos lados correspondentes em polígonos congruentes cortando esses lados com um mesmo número de tracinhos. Para indicar ângulos correspondentes, usamos um pequeno arco cortado por um mesmo número de tracinhos. CAPÍTULO 7    polígonos

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185

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Exercícios PROPOSTOS

C 110°

C

D

36 Os pentágonos abaixo são congruentes.

P

Q

B

C

100°

D

110°

3 cm

115°

A

B

M

N

B

100°

Encontre o elemento do polígono MNPQ correspondente: ___ ____ a) ao vértice A; N d) ao lado ​BC​​;​ MQ Q b) ao vértice C; e) ao ângulo D; P ___ ___ ___ ___ c) ao lado ​AD​​; NP f ) ao lado ​CD​​. QP

A 1 cm E

2 cm Q

M M

Q

P

P

B

P 2 cm

1 cm

A

3 cm

115°

35 Os triângulos abaixo são congruentes. C

D A 1 cm E

2,5 cm

1 cm

145°

M

O

2,5 cm 3 cm

145°

Reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

34 Observe os polígonos congruentes abaixo.

2,8 cm

O

N

N

3 cm

Encontre o elemento do triângulo MNP correspondente ao: ___ ___ NP a) vértice A; N c) lado ​AC​ ___​;​____ b) vértice B; M d) lado ​BC​​.​ MP

2,8 cm

Determine: ___ a) a medida do lado ​AB​​; 2 cm b) o perímetro do pentágono ABCDE; N c) a medida do ângulo OPQ. 100°

11,3 cm

Transformações geométricas que geram figuras congruentes Vamos apresentar alguns exemplos de transformações geométricas que movimentam figuras preservando todas as medidas: reflexão, translação e rotação. Nesses movimentos, a figura não muda de tamanho nem de forma; muda unicamente de posição. Desse modo, as figuras obtidas depois do movimento são congruentes à figura inicial.

DElFiM MaRTinS/PulSaR iMaGEnS

Reflexão Quando nos colocamos em frente a um espelho plano, vemos nossa imagem refletida nele. Todos os objetos que estão em frente a um espelho plano são congruentes à imagem deles (objeto e imagem têm mesma forma e mesmo tamanho). Podemos fazer reflexões de figuras em relação a uma reta (que funciona como se fosse um espelho) e assim obter figuras simétricas. Essa reta é chamada de eixo de reflexão. 186

CAPÍTULO 7

A superfície de um lago (com águas tranquilas) funciona como um espelho plano: reflete o objeto mantendo a forma e o tamanho dele.

polígonos

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A reflexão mantém todas as medidas: distâncias, ângulos, forma e tamanho. Assim, a figura inicial e sua imagem refletida em relação a um eixo de reflexão são congruentes. eixo de reflexão

e od o eix lexã ref

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe que, quando refletimos uma figura em relação a um eixo de reflexão (uma reta, um espelho, a superfície do lago), a figura obtida (imagem) tem mesma forma e tamanho, porém fica “virada” ao contrário (imagem revertida) em relação à figura inicial.

Translação Quando movemos uma figura a dada distância sempre na mesma direção e no mesmo sentido, estamos realizando uma translação. Nesse caso, a figura obtida (imagem) também é congruente à figura inicial. sentido da translação

ci

tân

dis

distância fixada

a

ad

ix af

da ido ão t sen nslaç tra

ZORAN MLICH/MASTERFILE/OTHER IMAGES

É como se a figura inicial deslizasse, formando uma sequência de figuras congruentes a ela.

Podemos imaginar a coluna e a janela da esquerda deslocando-se para a direita (e vice-versa).

CAPÍTULO 7

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POLÍGONOS

187

25/07/11 10:59

Rotação Quando o movimento aplicado à figura é um giro de determinado número de graus em torno de um ponto, estamos realizando uma rotação. Esse ponto é chamado de centro da rotação. Uma rotação fica determinada quando conhecemos o centro, o sentido e o ângulo de giro.

120°

120° 60°

60°

O

O

Rotação de centro O e ângulo de giro de 120w no sentido horário.

A rotação também preserva a forma e o tamanho das figuras. Desse modo, a imagem obtida pelas rotações é uma figura congruente à figura inicial.

EVGEnY MuRTola/SHuTTERSToCK

Veja mais um exemplo.

Reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Rotação de centro O e ângulo de giro de 60w no sentido anti-horário.

Podemos imaginar uma parte desse vitral (na forma de uma região angular) girando em torno do ponto central.

Exercícios PROPOSTOS 37 Identifi que, em cada caso, a transformação geométrica aplicada: refl exão em relação a uma reta, translação ou rotação. a) b) c)

rotação

188

CAPÍTULO 7

reflexão

translação

polígonos

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20/07/11 10:05

38a) Resposta possível: a mão esquerda está segurando a orelha direita.

38 Responda às questões. a) Imagine que você está diante de um espelho e que segura sua orelha esquerda com a mão direita. Como você descreveria a imagem refletida no espelho? b) Imagine um movimento que você possa fazer diante do espelho. Como você descreveria a imagem formada com esse movimento? resposta pessoal

39 Os hexágonos a seguir são simétricos em relação ao eixo r. A′

40 Copie a figura abaixo em três papéis quadri-

E′

B′

A

B

C′

F Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

F′

39c)  4,5 unidades; 4,5 unidades

___

​  mede 9 unidades, qual é a distância c) Se EE’​ de E ao eixo r ? E de E’ ao eixo r ? d) Qual é a relação entre as medidas dos ângulos ADF e A’D’F’ ? As medidas são iguais. e) Se o hexágono ABCDEF é um polígono regular, então o hexágono A’B’C’D’E’F’ também é? sim f) O perímetro dos dois hexágonos é o mesmo? sim g) A área da região interna dos dois hexágonos pode não ser a mesma? não culados. Em uma das cópias, faça reflexão do foguete em relação ao eixo e. Em outra, faça a translação do foguete aplicando uma distância igual a 8 lados do quadradinho da malha, movendo-o para a direita. Na terceira cópia, faça a rotação do foguete, girando-o em torno do ponto A, 90º no sentido anti-horário.

D′ A

C r

E

D

Considerando a simetria dos hexágonos, responda às questões a seguir. ___ ​    mede 2 unidades, quanto a) Se o lado ____ DC​ mede ​D’C’​   ? 2 unidades b) Se a distância de F ao eixo r___ é igual a 4 unidades, qual é a medida de ​FF’​  ? 8 unidades

e

Pense mais um pouco...

Com dois colegas, copiem a figura ao lado em três papéis quadriculados. • Um de vocês faz reflexões sucessivas em torno dos eixos e e e’. • O outro faz, em outra cópia, a rotação de 180w em torno do ponto O, no sentido horário. • O terceiro faz na terceira cópia a rotação de 180w em torno do ponto O, no sentido anti-horário. Em seguida, comparem os resultados e escrevam em seus cadernos as conclusões dessa comparação.

e

Espera-se que os alunos concluam que: • duas reflexões sucessivas em relação a dois eixos perpendiculares equivalem a uma rotação de 180° em um dos sentidos em torno do ponto de intersecção dessas retas (centro de rotação); • uma rotaçao de 180° em sentido horário em torno de um ponto equivale a uma rotação de 180° em sentido anti-horário em torno do mesmo ponto.

e′

O

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Exercícios COMPLEMENTARES

a) Quantos lados tem esse polígono? 18 lados b) Se ele for regular, quanto mede cada um de seus ângulos externos? 20w c) Quantas são as suas diagonais? 135 diagonais 42 A medida de um ângulo externo de um polígono regular é 24°. a) Quantos lados tem esse polígono? 15 lados b) Qual é a medida de cada um de seus ângulos internos? 156w 43 Um triângulo é regular. a) Quanto mede cada um de seus ângulos internos? 60w b) Quanto mede cada um de seus ângulos externos? 120w c) Se cada um dos lados desse triângulo mede 12,6 cm, quantos centímetros tem seu perímetro? 37,8 cm 44 Determine a diferença entre a medida de um ân gu lo interno de um hexágono regular e a me di da de um ângulo interno de um quadrado. 30w

45 O número de diagonais de um polígono regular é o triplo do número de seus lados. Determine:

1.260w

a) o número de lados desse polígono; 9 lados b) o número de suas diagonais; 27 diagonais c) a soma das medidas dos ângulos internos; d) a medida de seu ângulo externo. 40w

46 O ângulo interno de um polígono regular mede 135w. a) Quanto mede seu ângulo externo? 45w b) Quantos lados tem esse polígono? 8 lados c) Se cada lado desse polígono mede 3,4 cm, 27,2 cm quantos centímetros tem seu perímetro? d) Quantas são as diagonais traçadas por um de seus vértices? 5 diagonais 47 Existe um polígono em que a medida do ângulo interno é igual à medida do ângulo externo. Que polígono é esse? É o retângulo e, em particular, o quadrado.

48 Quantas diagonais tem o polígono regular cujo ângulo interno mede 135w? 20 diagonais 49 A menor diagonal de um polígono regular forma, com um dos lados, um ângulo de 30w. Dê a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono. 720w 50 O polígono regular P1 tem o dobro do número de lados do polígono regular P2. Somando-se 36° à medida do ângulo interno de P2, obtém-se a medida do ângulo interno de P1. Quantos lados tem P2? 5 lados 51 A diferença entre o número de lados de dois polígonos é 2. Determine a diferença entre as somas das medidas dos ângulos internos desses dois polígonos. 360w

Reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

41 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 2.880w.

52 O número de diagonais de um polígono regular é igual ao sêxtuplo do número de lados. Qual é a medida do seu ângulo externo? 24w

TESTES 53 A soma das medidas dos ângulos internos de um pentágono é: a) 180w b) 360w X c) 540w d) 900w 54 O polígono que tem a soma das medidas dos ângulos internos igual a 720w é o: X a) hexágono. c) octógono. b) heptágono. d) eneágono. 190

CAPÍTULO 7

55 A medida do ângulo interno de um polígono regular de 15 lados é: a) 24w

X b) 156w

c) 150w

d) 30w

56 O ângulo externo do dodecágono regular mede: a) 36w

X b) 30w

c) 144w

d) 150w

polígonos

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57 Partindo de um dos vértices de um polígono convexo de n lados, podemos traçar: X

a) (n 2 3) diagonais. b) n diagonais. c) (n 2 2) diagonais. d) n 3 (n 2 3) diagonais.

58 Um polígono regular cujo ângulo interno mede 162w tem: X

a) 340 diagonais. b) 170 diagonais. c) 135 diagonais. d) 35 diagonais.

59 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 1.440w. O número de dia­go­nais desse polígono é:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

X

a) 35

b) 20

c) 70

d) 80

60 O polígono regular cujo ângulo externo mede 40w é o: a) triângulo. b) quadrilátero.

X

c) eneágono. d) decágono.

61 O ângulo agudo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de um pentágono regular mede: a) 108w

b) 60w

c) 54w

X

d) 72w

Quando esse robô retornar ao ponto A, a trajetória percorrida terá sido: a) uma circunferência. b) um hexágono regular. X c) um octógono regular. d) um decágono regular. e) um polígono não regular. 65 (Mackenzie-SP) O polígono regular convexo 7 cujo ângulo interno é __ ​    ​do seu ângulo externo 2 é o: X d) eneágono. a) icoságono. b) dodecágono. e) octógono. c) decágono. 66 A medida do ângulo externo de um polígono regular é 20w. A medida do ângulo interno desse polígono é: X c) 160w a) 80w e) 81w b) 170w d) 135w 67 A figura abaixo é formada por 6 quadriláteros congruentes. z

x

y

62 (F. Ruy Barbosa-BA) Sendo o número de diagonais de um octógono o quíntuplo do número de lados de um polígono, conclui-se que esse polígono é um: X

a) triângulo. b) quadrilátero. c) pentágono.

d) hexágono. e) heptágono.

63 (UFRGS-RS) O número de diagonais de um polígono é o dobro de seu número n de lados. O valor de n é: a) 5

b) 6

X

c) 7

d) 8

e) 9

64 (Puccamp-SP) A figura descreve o movimento de um robô. 2m

45°

2m A

45° 2m

Partindo de A, ele sistematicamente avança 2 m e gira 45w para a esquerda.

Sabendo que a medida y é o dobro da medida x, então a medida z é: a) a metade de 60w. b) o quádruplo de 60w. X c) o dobro de 60w. d) o triplo de 60w. 68 Para confeccionar os crachás dos expositores de uma feira de automóveis, foi utilizada a composição de dois polígonos regulares. Veja o modelo ao lado. O ângulo destacado em azul no crachá mede: a) 120° b) 135° c) 165° X d) 150° CAPÍTULO 7    polígonos

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4

1

O RPG e os poliedros de Platão Provavelmente, ao brincar com alguns jogos, você já teve contato com um dado de 6 lados, aquele sólido que lembra um hexaedro (cubo). Muitos jogos usam esse dado para, entre outras coisas, mostrar quantas casas a peça do jogador deve andar.

3

2

5

O role-playing​ game (RPG), que pode ser traduzido como “jogo de interpretação de papéis”, é um jogo em que um dos participantes narra uma história. Os outros enriquecem e completam essa história criando personagens a serem interpretados por eles mesmos.

1 MilanB/SHuTTERSToCK; 2 GJERMunDo alSoS/ SHuTTERSToCK; 3 SiMonE Van DEn BERG/SHuTTERSToCK; 4 ViKToR1/SHuTTERSToCK; 5 JoYCE MaR/SHuTTERSToCK

ndoo cand Diversififica

Veja os poliedros de Platão e uma possível planificação desses sólidos. Tetraedro 4 faces

Hexaedro 6 faces

Octaedro 8 faces

Dodecaedro 12 faces

Icosaedro 20 faces

Reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O RPG pode usar dados com 6 lados ou outros tipos de dado, como os das fotos acima. Esses dados são usados para atribuir pontos de ataque, de defesa ou de vida. Os dados desse jogo, que lembram os 5 poliedros de Platão, têm polígonos regulares como faces.

Agora é com você! 2. Espera-se que os alunos percebam que as faces que são triângulos não têm diagonais. uma face do cubo tem duas diagonais e uma face do dodecaedro tem cinco diagonais.

1 Suponha que, para realizar uma investigação em uma aventura de RPG, um jogador precise de 18 pontos ou mais. Ele jogará o dado de 20 faces, numerado de 1 a 20. Quantas faces favorecem esse jogador? Quantas não o favorecem? 3 faces; 17 faces

2 Calcule o número de diagonais das faces de cada poliedro de Platão.

3 Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do polígono que forma a face do tetraedro? E a do polígono que forma a face do cubo? E a do dodecaedro? 180w; 360w; 540w

192

CAPÍTULO 7

polígonos

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Triângulos

LORETTA HOSTETTLER/ISTOCKPHOTOS

CaPÍTULo

8

matemática no mundo Caleidoscópio é um brinquedo que mistura formas, cores, movimentos e simetrias. Veja a imagem desta página, gerada por um caleidoscópio. Espera-se que os alunos respondam que as imagens Agora, responda. se formam por reflexões em espelhos. • Como você acha que as imagens se formam em um caleidoscópio? • Nessa imagem, é possível reconhecer triângulos? sim • Quantos lados, ângulos e diagonais tem um triângulo? 3 lados, 3 ângulos e nenhuma diagonal

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1 Os triângulos Neste capítulo, vamos estudar com detalhes os polígonos mais simples: os triângulos. Esse estudo é importante porque qualquer polígono pode ser dividido em triângulos de diversas maneiras. Veja um exemplo: a partir do vértice A, traçamos todas as diagonais que ligam esse vértice a cada um dos outros vértices não consecutivos a ele. A

B

F

C

E

D

Dessa maneira, o hexágono ficou dividido em 4 triângulos. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Esse procedimento vale para qualquer polígono de n lados: um vértice pode ser ligado, por meio de uma diagonal, a (n 2 3) outros vértices — só não pode ser ligado a ele mesmo e aos dois vértices consecutivos. Dessa maneira, o polígono fica dividido em (n 2 2) triângulos.

Eduardo Santaliestra/CID

Os triângulos têm outra característica importante: a rigidez. Ela pode ser observada construindo-se um triângulo com três palitos de sorvete e três tachinhas. Se você fizer essa construção notará que não será possível deformá-lo, a não ser quebrando os palitos ou retirando as tachinhas.

194

ivania sant´anna/kino

Corel/Stock Photos

Essa característica dos triângulos é usada, por exemplo, na construção civil, em estruturas de metal ou madeira.

CAPÍTULO 8    triângulos

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2 Principais elementos de um triângulo Triângulos são polígonos de três lados. Indica-se um triângulo de vértices A, B e C, como o da figura abaixo, por :ABC (lemos “triângulo ABC​”). e3

C

e2

A

B e1

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Nesse triângulo, destacamos: • os vértices A, B e C; ___ ___

___

• os lados AB​ ​ ​, AC​ ​ ​e BC​ ​ ​; • os ângulos internos BAC ou A, ABC ou B e ACB ou C; • os ângulos externos e1, e2 e e3. Observe que cada lado é oposto ao ângulo interno determinado pelos outros dois lados: ___

• BC​ ​ ​é oposto ao ângulo A; ___

• AC​ ​ ​é oposto ao ângulo B; ___

• AB​ ​ ​é oposto ao ângulo C. Note também que cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente: • m(A) 1 m(e1) 5 180w • m(B) 1 m(e2) 5 180w • m(C) 1 m(e3) 5 180w

Exercício PROPOSTO 1 Observe a figura ao lado e determine: a) b) c) d) e) f) g)

os vértices do triângulo; M,​N,​P a indicação do triângulo;___ :MNP o ângulo oposto ao lado PN​ ​ ​; M ____ o lado oposto ao ângulo P; ​MN​​ m(N) 1 m(c ); 180w a medida do ângulo M se m(b) 5 140w; 40w a medida do ângulo c se m(N) 5 45w. 135w

a

P

c M N

b

CAPÍTULO 8

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triângulos

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3 Classificação de triângulos É possível classificar os triângulos considerando as medidas de seus lados ou as medidas de seus ângulos internos. Vamos estudar esses casos.

Classificação quanto às medidas dos lados Triângulos isósceles são triângulos que possuem dois lados congruentes. A

C

___ ___ O :ABC acima é isósceles, pois AB​ ​  & AC​ ​  .

Em um triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado de ângulo do vértice, o lado oposto a esse ângulo é chamado de base e os ângulos adjacentes à base são chamados de ângulos da base. ___

No :ABC, o ângulo do vértice é A, a base é o lado ​BC​ e os ângulos da base são B e C. Triângulos equiláteros são triângulos que possuem os três lados congruentes. P

Q

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

B

R

Observe que todo triângulo equilátero tem dois lados congruentes. Logo, todo triângulo equilátero é também um triângulo isósceles. ___

___

___

O :PQR acima é equilátero, pois ​PQ​ & PR​ ​  & QR​ ​ .  Triângulos escalenos são triângulos que não possuem lados congruentes. R

S

T

O :RST acima é escaleno, pois não possui lados congruentes. 196

CAPÍTULO 8    triângulos

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Classificação quanto às medidas dos ângulos Triângulos acutângulos são triângulos que possuem os três ângulos internos agudos. R

O :RST ao lado é acutângulo, pois m(R) , 90w, m(S) , 90w e m(T ) , 90w. S

T

Triângulos obtusângulos são triângulos que possuem um ângulo interno obtuso.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

P

O :MNP ao lado é obtusângulo, pois m(N) . 90w. M

N

Triângulos retângulos são triângulos que possuem um ângulo interno reto. O :ABC ao lado é retângulo, pois m(B) 5 90w. Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são chamados de___ catetos. ___ No ​  e a triângulo ao lado, ​  e BC​ ___ os catetos são AB​ hipotenusa é AC​ ​ . 

A hipotenusa cateto

B

C

cateto

4 Construção de triângulos Utilizando régua e compasso, vejamos como construir triângulos isósceles, equilátero e escaleno.

Triângulo isósceles Vamos construir um triângulo isósceles de 3 cm de base e com lados congruentes de 2,5 cm. ___ • Construímos a base AB​ ​  de 3 cm. • Com o compasso centrado em A e com abertura de 2,5 cm, traçamos um arco. • Com o compasso centrado em B e abertura de 2,5 cm, traçamos um segundo arco, de modo que este cruze o primeiro. • O vértice C é determinado pelo cruzamento desses arcos.

C

A

B

CAPÍTULO 8    triângulos

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Triângulo equilátero Vamos construir um triângulo equilátero de 3 cm de lado. • Procedemos como no caso anterior, agora com a abertura do compasso de 3 cm. C

A

B

Triângulo escaleno

B A A

3 cm

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Vamos construir um triângulo com as seguintes medidas: C

4 cm

C

5 cm

B

___

• Escolhemos o segmento AB​ ​  de medida 5 cm para traçar primeiro, com o auxílio de uma régua. ___

• Com o compasso centrado em A e abertura igual à medida de ​AC​ (4 cm), traçamos um arco. ___

• Com o compasso centrado em B e abertura igual à medida de ​BC​ (3 cm), traçamos outro arco, que deve cruzar o primeiro em C. C

Construção de um triângulo isósceles.

198

Construção de um triângulo equilátero.

Eduardo Santaliestra/CID

Eduardo Santaliestra/CID

B

Eduardo Santaliestra/CID

A

Construção de um triângulo escaleno.

CAPÍTULO 8    triângulos

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Exercícios PROPOSTOS 2 Nos seguintes triângulos retângulos, nomeie a hipotenusa e os catetos. ___ C ​AC​​ a) hipotenusa: ___ ___

4b) respostas possíveis: ABC, ADE, EDC e ADC

b)

B M

___

hipotenusa: NP​ ​ ​ ____

E

____

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

​ ​ catetos: ​MN​​e MP​

B N

c)

P

T ___

___

___

​ ​ catetos: ​RT​​e RS​

R

5 Com régua e compasso, construa os seguintes

S

triângulos:

3 Classifique os triângulos ABC e MNP quanto

às medidas dos lados e quanto às medidas dos ângulos. a) A

a) isósceles; base: 5 cm; lados congruentes: 4 cm b) equilátero; lados: 3 cm c) escaleno; lados: 6 cm, 4 cm e 3,5 cm

6 Desenhe no caderno um triângulo ABC em que AB 5 5 cm, AC 5 3 cm e BC 5 4 cm. Utilizando um transferidor, meça o ângulo ACB. Como se classifica esse triângulo quanto às medidas de seus lados e de seus ângulos?

escaleno e retângulo

AC B 5 90w; triângulo retângulo escaleno

C

B

C

a) Quantos triângulos existem na figura? 4 b) Nomeie cada um deles. c) Utilizando uma régua e um transferidor, classifique os triângulos ABC, ADE, CDE e ADC quanto às medidas dos lados e quanto às medidas dos ângulos.

hipotenusa: ​TS​​

b)

D

4c) :ABC: equilátero e acutângulo :ADE: isósceles e retângulo :CDE: escaleno e obtusângulo :ADC: escaleno e retângulo A

​ ​ catetos: ​AB​​e BC​

A

4 Observe a figura a seguir.

7 Construa um triângulo retângulo e isósceles. Quanto mede cada um de seus ângulos agudos? 45w

P

8 É possível a construção de um triângulo retân-

isósceles e obtusângulo

gulo equilátero? Justifique sua resposta. não, porque cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede 60w.

9 É possível a construção de um triângulo que 120° M

N

tenha dois ângulos retos? E a de um triângulo que tenha dois ângulos obtusos? Justifique sua resposta.

9. respostas possíveis: • não, pois se fôssemos construir um triângulo com dois ângulos retos, não conseguiríamos traçar o terceiro lado. • não, pois se um triângulo tivesse dois ângulos obtusos, a soma da medida de seus ângulos internos ultrapassaria 180w. CAPÍTULO 8

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triângulos

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Pense mais um pouco...

Marque um ponto A no caderno. Construa uma figura conforme as indicações abaixo. ___ ​  de 3 cm. • Desenhe o segmento AB​ ___ • Indo de A para B, faça um giro de 120w em B para a esquerda. Trace BC​ ​ ___  também com 3 cm. • Indo de B para C, faça outro giro de 120w em C para a esquerda e trace AC​ ​ .  Agora, responda às questões. ___

a) Qual é a medida de AC​ ​   ? 3 cm b) Qual é a medida do ângulo CAB ? 60w

c) Que figura foi desenhada?

um triângulo equilátero

5 Condição de existência de um triângulo Nem sempre é possível construir um triângulo, mesmo sendo conhecidas três medidas de segmentos.

Exemplo 1 Tentar construir um triângulo de lados medindo 6 cm, 3 cm e 2 cm.

cm

2 cm

3

2

3 cm

cm

6 cm 6 cm

 ote que foi impossível a construção de um triângulo de lados medindo 6 cm, 3 cm e 2 cm, N pois os arcos de 3 cm e 2 cm não se cruzam.  epare também que o maior segmento (de 6 cm) tem medida maior que a soma das medidas R dos outros dois segmentos (3 cm 1 2 cm 5 5 cm).

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe os exemplos.

Isso significa que não existe um triângulo com lados de 6 cm, 3 cm e 2 cm. Exemplo 2 Tentar construir um triângulo de lados medindo 7 cm, 4 cm e 3 cm. 3 cm 4 cm 7 cm

4 cm

3 cm 7 cm

 ote que não foi possível a construção de um triângulo de lados medindo 7 cm, 4 cm e N 3 cm. Veja que o maior segmento (de 7 cm) tem medida igual à soma das medidas dos outros dois segmentos (3 cm 1 4 cm 5 7 cm). Isso significa que não existe um triângulo cujos lados medem 7 cm, 4 cm e 3 cm. 200

CAPÍTULO 8    triângulos

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Exemplo 3 Construir um triângulo de lados medindo 7 cm, 5 cm e 3 cm.

3 cm 3

5 cm

5 cm

cm

7 cm 7 cm

Observe que foi possível construir um triângulo de lados medindo 7 cm, 5 cm e 3 cm. Repare que o maior lado desse triângulo (de 7 cm) tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois lados (5 cm 1 3 cm 5 8 cm).

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Isso também ocorre com os outros dois lados desse triângulo. A medida de cada um deles é menor que a soma das medidas dos outros dois: 5 cm , 3 cm 1 7 cm 3 cm , 5 cm 1 7 cm Essa é a condição de existência de qualquer triângulo. Em todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Veja outros exemplos. Verificar se existe o triângulo cujos lados medem: a) 12 cm, 9 cm e 8 cm Basta verificar se a medida do lado maior é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Assim: 12 cm , 9 cm 1 8 cm; logo, o triângulo existe. b) 8 cm, 6 cm e 2 cm 8 cm 5 6 cm 1 2 cm; logo, o triângulo não existe. c) 15 cm, 10 cm e 4 cm 15 cm . 10 cm 1 4 cm; logo, o triângulo não existe.

Exercício PROPOSTO 10 Verifique se é possível construir um triângulo cujos lados medem: a) 8 cm, 6 cm e 5 cm sim b) 10 cm, 10 cm e 8 cm sim c) 5 cm, 2 cm e 3 cm não

d) 5,4 cm, 1 cm e 3,5 cm e) 6,5 cm, 4,5 cm e 5 cm f) 7 cm, 5 cm e 2 cm não

não sim

CAPÍTULO 8

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triângulos

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Pense mais um pouco...

Renato quer construir um triângulo da seguinte forma: • um dos lados deve medir 30 cm; • outro lado deve medir 20 cm; • o terceiro lado deve ter como medida, em cm, um múltiplo de 15. Dessa forma, quantos triângulos diferentes Renato poderá construir? 3 triângulos diferentes

6 Outros elementos de um triângulo Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Além dos lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos, os triângulos têm outros elementos, os quais estudaremos a seguir.

Mediana Considerando um triângulo___ qualquer ABC, podemos determinar o ponto médio M do lado ​BC​ .

A

___ ___ O segmento ​AM​ é chamado de mediana relativa ao lado BC​ ​  .

Mediana de um triângulo é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

B

Todo triângulo possui três medianas, que se encontram em um ponto chamado de baricentro. ___

A

___

• AM​ ​  é a mediana relativa ao lado BC​ ​  ;

___ ___ • ​BN​ é a mediana relativa ao lado AC​ ​  ; ___ ___ • ​CP​ é a mediana relativa ao lado AB​ ​  .

As três medianas se encontram no ponto G, que é o baricentro do :ABC.

Propriedade do baricentro Podemos construir um triângulo de cartolina e determinar seu baricentro. Recortando esse triângulo, fazemos passar um barbante pelo baricentro.

P

B

G

N

C

M baricentro

Eduardo Santaliestra/CID

No triângulo ao lado, temos:

C

M

Segurando o triângulo suspenso, como mostra a foto, ele se manterá na posição horizontal. Isso porque o baricentro é o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do triângulo. 202

CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 202

20/07/11 10:07

Bissetriz

A

Considerando um triângulo qualquer ABC, podemos traçar a bissetriz do ângulo interno A. ___

O segmento ​AD​ é a bissetriz do triângulo relativa ao ângulo A.

B

C

D

Bissetriz de um triângulo é o segmento contido na bissetriz de um dos ângulos internos do triângulo, cujos extremos são o vértice desse ângulo e o ponto de cruzamento com o lado oposto. Todo triângulo tem três bissetrizes, que se encontram em um ponto chamado de incentro.

A

No triângulo ao lado, temos: ___

E

​  é a bissetriz relativa ao ângulo A; • AD​

F

___

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• BE​ ​  é a bissetriz relativa ao ângulo B;

I

incentro

___ ​  é a bissetriz relativa ao ângulo C. • CF​

As três bissetrizes se encontram no ponto I, que é o incentro do :ABC.

B

C

D

Altura Considerando um triângulo qualquer ABC, podemos traçar pelo ponto A um segmento ___ perpendicular ao lado BC​ ​  . ___

___

O segmento AH​ ​  é a altura relativa ao lado BC​ ​  .

___

O ponto H é o “pé da altura” relativa ao lado BC​ ​  . A

B

C

H

Altura de um triângulo é o segmento que liga um dos vértices ao lado oposto (ou ao seu prolongamento) e que é perpendicular a esse lado (ou prolongamento). ___

Veja a altura relativa ao lado MN​ ​  em cada um dos triângulos. N

P

R M

P

R

M

N

Todo triângulo tem três alturas. O ponto de encontro das retas que contêm as alturas é chamado de ortocentro. Vamos estudar três casos possíveis. CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 203

203

20/07/11 10:07

Ortocentro de um triângulo acutângulo No triângulo ABC, temos: A H2

ortocentro H1

O B

___ ___ ​   ; • ​AH​ é a altura relativa ao lado BC​ ___ ___ • BH​ ​   1 é a altura relativa ao lado AC​ ​   ; ___ ___ ​   2 é a altura relativa ao lado AB​ • CH​ ​  .

C

H

Observe que o ortocentro (ponto O) encontra-se no interior do triângulo. Isso acontece em todos os triângulos acutângulos.

Considere o triângulo obtusângulo ABC. A

B

O

C

ortocentro

Nesse caso, o ortocentro encontra-se na região exterior do triângulo. Isso acontece em todos os triângulos obtusângulos.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Ortocentro de um triângulo obtusângulo

Ortocentro de um triângulo retângulo Considere o triângulo retângulo ABC, reto em B. C H

A

___

ortocentro

B

___

• A altura relativa ao lado AB​ ​  coincide com o cateto BC​ ​  . ___

___

• A altura relativa ao lado ​BC​ coincide com o cateto AB​ ​  . ___

___

• A altura relativa ao lado ​AC​ é o segmento BH​ ​  . Note que o ortocentro do triângulo coincide com o vértice B, que é o vértice oposto à hipotenusa. Isso acontece em todos os triângulos retângulos. 204

CAPÍTULO 8    triângulos

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20/07/11 10:07

Exercícios PROPOSTOS 11 Identifi que nos seguintes triângulos o segmento ___ ​AD​​como mediana, bissetriz ou altura. SS BB a) SS altura c) BB mediana

D D

A A

___

D D

A A

D D

D D

Q

D D

PP

PP

D D

A A

A A

C C

d)

EE

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

D D

bissetriz

1,9 cm B

D D

A A R R

RR

A A

A A

​ ​ AR​ : bissetriz

___ AS​ : mediana ​ ​ ___ AT​ ​ :​ altura

C

C

M

17 Construa um triângulo ABC que seja escaleno

os segmentos ​AR​​, AS​ ​ ​ e AT​ ​ ​da figura abaixo como altura, mediana ou bissetriz do triângulo ABC. ___ A

S R

9,5 cm

3,5 cm

2,2 cm

EE

12 Com o auxílio de classifique ___ e compasso, ___régua ___

B

Determine o perímetro desse triângulo.

CC

bissetriz

A A

16 No triângulo ABC a seguir, AM​ ​ ​é a mediana. A

RR

R R

Q Q b) Q

c) Triângulo TUV qualquer. Trace, com régua ___ e esquadro, as alturas relativas aos lados TU​ ​ ​ ___ e ​TV​​. Como se chama o ponto em que elas se cortam? ortocentro

T

13 Desenhe no seu caderno um triângulo ABC

e acutângulo. Com esquadro e régua, trace as três alturas do triângulo. Qual delas é a maior? a altura relativa ao lado menor

18 Construa um triângulo isósceles. a) Trace a mediana relativa à base. b) Trace a bissetriz do ângulo do vértice. c) A bissetriz do ângulo do vértice coincidiu com a mediana? sim d) Trace a altura relativa à base. O que aconteceu com a altura e a mediana? Elas coincidiram.

19 A figura abaixo é a representação de uma folha de alumínio. Ela foi construída na escala 1:40.

qualquer e trace a bissetriz relativa ___ ao ângulo B e a mediana relativa ao lado BC​ ​ ​.

14 Desenhe no seu caderno um triângulo retângulo

RST. Chame de R o vértice em que se encontra o maior ângulo. Com uma régua ___e um esquadro, trace a altura relativa ao lado ​ST​​​e determine a ___ altura do triângulo relativa ao lado RS​ ​ .​

15 Desenhe no seu caderno os triângulos pedidos

e responda às questões. a) Triângulo MNO qualquer. Trace, com régua e compasso, as medianas relativas aos lados ____ ___ ​ ​e NO​ MO​ ​ ​. Como se chama o ponto em que elas se cortam? baricentro b) Triângulo PQR qualquer. Trace, usando um transferidor e uma régua, as bissetrizes dos ângulos P e R. Como se chama o ponto em que elas se encontram? incentro

Foram traçadas uma de suas diagonais e as alturas dos triângulos relativas a essa diagonal. Determine: a) a medida da diagonal, em metro; 2,40 m b) as medidas das alturas, em metro; 0,8 m e 1 m c) a área da folha, em metro quadrado. 2,16 m 2

CAPÍTULO 8

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triângulos

205

20/07/11 10:07

7 Congruência de triângulos Já estudamos congruência de polígonos. Estudaremos agora os triângulos congruentes. O caso dos triângulos é o mais simples no contexto dos polígonos em geral. Como qualquer polígono pode ser dividido ou decomposto em triângulos, o estudo da congruência de triângulos pode facilitar a resolução de problemas mais complexos envolvendo a congruência de polígonos. Dois triângulos são congruentes quando os lados correspondentes e os ângulos correspondentes são congruentes. Assim, considerando as figuras abaixo, temos: :ABC & :AeBeCe. Ou seja:

C′

C

___ ____ A & Ae AB​ ​   ​  & AeBe​ ____ ___   e  B & Be ​BC​ & BeCe​   ​ ___ ____ C & Ce ​AC​ & AeCe​ ​   B

A′

B′

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

Observe que, se dois triângulos são congruentes, então: • os lados opostos a ângulos congruentes são congruentes; • os ângulos opostos a lados congruentes são congruentes. Veja os exemplos. a) Sabendo que :ABC & :MNP, indicar os lados congruentes. A

M

B



C

N

P

Nesses triângulos, temos: ___ ___ ​     (lados opostos a ângulos congruentes: C & P ) • ​AB​ & MN​ ___

___

___

___

• ​BC​ & NP​ ​    (lados opostos a ângulos congruentes: A & M ) • ​AC​ & MP​ ​    (lados opostos a ângulos congruentes: B & N ) b) Sabendo que :ABC & :MNP, indicar os ângulos congruentes. A

B



M

C

P

N

Nesses triângulos, temos: ___ ___ ​  ) • A & M  (ângulos opostos a lados congruentes: ​BC​ & PN​ ___

___

___

___

• B & N  (ângulos opostos a lados congruentes: ​AC​ & MP​ ​  ) • C & P  (ângulos opostos a lados congruentes: ​AB​ & MN​ ​   ) 206

CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 206

20/07/11 10:07

Exercícios PROPOSTOS 20 Os pares de triângulos são congruentes. Escreva

a congruência entre os lados desses triângulos. A E E a) A

___ ___ ​ ​ AB​ ​&​​DE​​ ___ ___ ​&​​DC​​ ​AC​​ ___ ___ ​&​​EC​​ ​BC​​

C C

b)

___

___

___

x58

B

y55

9y + 4

5x + 13

P P

​AC​​ ​&​​QR​​

A A

​&​​PR​​ ​BC​​

___ ___ ​&​​QP​​ ​AB​​

A

C

x + 12y 6x + 4y

C C reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

de x e de y.

D D

B B

___

23 Sabendo que :ABC & :MNP, calcule o valor

M

P

B B

R R

Q Q

5x + 9

7x − 3

21 Os pares de triângulos são congruentes. In-

dique a congruência entre os ângulos desses triângulos. A D a)

A​&​D

C1

B​&​E

C2

C

C1​&​C2

N

24 Considerando congruentes os triângulos abaixo, calcule o valor de x e de y: x 5 10

B

y 5 13

E

54°

b)

A

5x − 2

M

37

A​&​M B​&​P

68°

C​&​N

4y + 8 C

B

N

P

22 Calcule x e y, em graus, sabendo que :ABC & :RST. x 5 4w

68°

37

6x

A

y 5 15w

54° 3y + 9 7x + 2y

45°

B

C R

25 Utilizando régua e compasso, construa em seu

caderno um triângulo congruente ao triângulo abaixo.

3 cm 58° S

2,5 cm

3y T

4 cm

CAPÍTULO 8

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triângulos

207

20/07/11 10:07

Casos de congruência de triângulos Vimos que dois triângulos são congruentes quando os lados correspondentes e os ângulos correspondentes são respectivamente congruentes. No entanto, em algumas situações, é possível reconhecer a congruência de dois triângulos quando são conhecidos apenas três de seus elementos. Esse reconhecimento é feito por meio dos casos de congruência que estudaremos a seguir.

Caso L.L.L. (lado, lado, lado)

A

D

___

___

___

___

___

___

​  & DE​ AB​ ​   Ou seja:  ​BC​ & EF​ ​    ]  :ABC & :DEF C

B

​AC​ & DF​ ​  

F

E

Como exemplo, considere os triângulos. C

P

4 cm

A

4 cm

3 cm

B

5 cm

3 cm

M

N

5 cm

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Dois triângulos são congruentes quando têm os três lados respectivamente congruentes.

___ ___ ___ ___ Esses triângulos possuem os três lados respectivamente congruentes (​AB​ & ​MN​  , BC​ ​  & NP​ ​   ___ ___ ​ ) . Pelo caso L.L.L., os triângulos ABC e MNP são congruentes. e AC​ ​  & MP​

Caso L.A.L. (lado, ângulo, lado) Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados e o ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes. A

D

___

___

​  & DE​ AB​ ​   Ou seja:  A & D

  ]  :ABC & :DEF

___ ___ ​AC​ & DF​ ​  

B

208

C

E

F

CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 208

20/07/11 10:07

Como exemplo, considere os triângulos. B P 2,6 cm

45° 2,6 cm

3 cm

45° N

C

M

3 cm

A

___

___

___

___

Esses triângulos têm dois lados correspondentes congruentes (​AB​ & MN​ ​  e ​BC​ & NP​ ​  ) e os ângulos compreendidos por esses lados também congruentes (B & N). Pelo caso L.A.L., os triângulos ABC e MNP são congruentes. OBSERVAÇÃO

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

CC

No caso L.A.L., assim como nos seguintes, a ordem dos elementos deve ser respeitada para que a congruência entre os triângulos seja verificada. Considere o exemplo a seguir. F E

60° C

3,6 cm

3,6 cm 60° A

4 cm

B

4 cm

D

Observe que os triângulos ABC e DEF têm dois lados congruentes e um ângulo congruente, mas não são triângulos congruentes, pois o ângulo congruente não está compreendido entre os lados respectivamente congruentes.

Caso A.L.A. (ângulo, lado, ângulo) Dois triângulos são congruentes quando têm dois ângulos e o lado adjacente a esses ângulos respectivamente congruentes. A

D F

B

C

E

B&E

___ ___ Ou seja:  BC​ ​  & EF​ ​    ]  :ABC & :DEF

C&F CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 209

209

20/07/11 10:07

Como exemplo, considere os triângulos. M C

39° N

85°

3,5 cm

3,5 cm 85°

39° A

B

P

Esses triângulos têm dois ângulos correspondentes (A & M e C & P) e os lados ___congruentes ___ adjacentes a esses ângulos também congruentes (​AC​ & ​MP​ ). Pelo caso A.L.A., os triângulos ABC e MNP são congruentes.

Caso L.A.Ao. (lado, ângulo adjacente, ângulo oposto)

C

A

D

E

B

___

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, o ângulo adjacente a esse lado e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.

F

___

​  & EF​ BC​ ​   Ou seja:  B & E

  ]  :ABC & :DEF

A&D Como exemplo, considere os triângulos. C

3,6 cm

B

M

80°

60°

60°

P 80°

A

3,6 cm

N

___

___

Esses triângulos têm respectivamente congruentes: um lado (​BC​ & ​NP​ ), um ângulo adja­ cen­te a esse lado (B & N) e o ângulo oposto ao lado congruente (A & M). Desse modo, pelo caso L.A.Ao., os triângulos ABC e MNP são congruentes. 210

CAPÍTULO 8    triângulos

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20/07/11 10:07

OBSERVAÇÃO 

Além dos quatro casos de congruência de triângulos estudados, vamos conhecer um caso válido somente para os triângulos retângulos. Caso C.H. (cateto, hipotenusa)

Dois triângulos retângulos são congruentes quando têm a hipotenusa e um cateto respectivamente congruentes. Considere os triângulos ___ ___ ___ ___retângulos ABC e MNP, com AC & MP e AB & MN.

P

A M

Então, pelo caso C.H., os triângulos ABC e MNP são congruentes.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

B

C

N

Exercícios PROPOSTOS 26 Identifique o caso de congruência dos seguintes pares de triângulos. a)

M

A

d)

A

D

L.A.L. L.L.L.

B

E

C B

C

b)

F

P

N

e) C

A

A.L.A.

A.L.A.

E B

C

F

D

G

D

c) 69°

L.A.L.

9

6

f)

6 69°

45°

A.L.A.

9

10

45°

52°

CAPÍTULO 8

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 211

10

52°

TRIÂNGULOS

211

22/07/11 09:25

27 Verifique, em cada item, quais são os pares de

c)

triângulos congruentes e identifique o caso pelo qual eles são congruentes. a)

B

A

x53ey56

y+7

x+y M

B

:ABC & :ADC caso L.A.L.

N

C 9

13 P

C

A

d)

x59ey51

x+y 8

D

x−y

b)

M

:MON & :QOP caso A.L.A. ou L.A.Ao.

10

N O

29 Observe a figura abaixo.

r

Q

B

s

c) A

D

A

B :AFC & :DFE caso L.A.Ao.

C

E

C F

d)

R

E

S

Explique que podemos afirmar que ___ por ___ ___ ___ ​  & DC​ ​  porque os triângulos ADC e ABE são ​EB​ & DC​ ​  . EB​

V

congruentes pelo caso L.A.L.

:RTS & :SUR caso L.A.L.

T

U

28 Calcule o valor de x e de y nas figuras. a)

x 5 78w e y 5 40w

30 Dê o caso de congruência e determine o valor de x em cada caso. a)

L.L.L. x 5 50w

x

78°

40°

90° 50°

y

b)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

D

P

40°

x

b)

20

L.A.L.

x 5 15 e y 5 20

x 5 12

15

12

x

x y

212

CAPÍTULO 8    triângulos

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20/07/11 10:07

Exercícios COMPLEMENTARES 31 Dois lados de um triângulo medem 4,3 cm

b) l.l.l.

x 5 58w e y 5 34w

e 9,2 cm. Qual é a maior medida inteira, em centímetro, que o terceiro lado pode ter? 13 cm ___

___ ___

32 Verifique se os segmentos AM​ ​ ​, ​BN​​e ​CP​​são mediana, bissetriz ou altura. Justifique.

____ ​ ​ AM​ ​é altura, pois é___ perpendicular ___ ; BN​ ​ ​ ​é ao prolongamento ​BC​​

mediana, pois une B ao ___o vértice ___ ; e CP​ ​ ​ ​é bisseponto médio de ​AC​​ triz, pois divide o ângulo interno C em dois ângulos congruentes.

9,2 9,2

9,2

2y + 6 2y + 6 x + 12

74°

15,2

74°

15,2

16 16

15,2 15,2

x + 12

A

16 16

P

B reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

70°

9,2

N

c) C

10

M

a.l.a.

7x − 2y

x53ey54

7x − 2y

10

33 Responda às questões. a) Que nome se dá ao ponto de encontro das medianas de um triângulo? baricentro b) Que nome se dá ao ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo? incentro c) Como se chama o ponto de encontro das alturas de um triângulo? ortocentro d) Em um triângulo retângulo MNP, reto em P, o ortocentro coincide com qual de seus vértices? P e) O ortocentro de um triângulo está em seu interior. Que tipo de triângulo é esse quanto aos ângulos? triângulo acutângulo

34 Como são as medidas dos ângulos correspondentes em triângulos congruentes?

São iguais.

35 Dois triângulos, AMN___ e BPR, coincidem por superposição. O lado AM​ ​ ​coincide com o lado ___ ​ ​. Justifique por que os ângulos N e R são BP​ congruentes.

70°

x + 2y

11

10

x + 2y

11

10

13 13

d)

l.a.l.

2y

x 5 1 e y 5 1,5

2

x+1

3

37 João possuía um terreno retangular e precisava

dividi-lo em três partes, de tal forma que duas delas fossem congruentes. Observe a figura que ele fez.

Porque são opostos a lados congruentes.

36 Os pares de triângulos são congruentes. Identifique o caso de congruência e calcule o valor de x e de y. a)

l.a.ao. x54ey52

17

2x + y

ponto médio

2y + 6 3x + 5

A divisão que João fez ficou como ele precisava? Justifique. Sim, pois as partes em verde são formadas por dois triângulos congruentes (caso l.a.l.). CAPÍTULO 8

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 213

triângulos

213

20/07/11 10:07

 ropriedades que relacionam os ângulos 8 P de um triângulo 1a propriedade A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180w. Observe a experiência a seguir.

C

C

B Â

C

A experiência verifica que m(A) 1 m(B) 1 m(C) 5 180w. Podemos verificar essa propriedade recorrendo à fórmula que fornece a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono: Si 5 (n 2 2) 3 180w. No caso, como o polígono é um triângulo, temos que n 5 3. Portanto: Si 5 (n 2 2) 3 180w Si 5 (3 2 2) 3 180w Si 5 1 3 180w Si 5 180w Também podemos fazer a seguinte demonstração. Veja.

___

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Â

B Â

Eduardo Santaliestra/CID

B

Eduardo Santaliestra/CID

Eduardo Santaliestra/CID

Construímos, em uma folha de papel, um triângulo ABC qualquer. Recortamos o triângulo e o dobramos conforme mostram as fotos abaixo.

Considere o :ABC e a reta r que passa por A e é paralela a BC​ ​  . A x

y

r

Queremos provar que: m(A) 1 m(B) 1 m(C) 5 180w B

C

No triângulo ABC, temos: • m(x) 1 m(A) 1 m(y) 5 180w, pois x, A e y formam um ângulo raso. • x & B • y & C

pares de ângulos alternos internos formados por duas paralelas com uma transversal

Substituindo m(x) por m(B) e m(y) por m(C) em m(x) 1 m(A) 1 m(y) 5 180w, temos: m(A) 1 m(B) 1 m(C) 5 180w 214

CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 214

20/07/11 10:07

Veja o exemplo. Calcular a medida do ângulo interno A no triângulo ABC. A 5x 3x − 15°

C

2x + 5° B

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180w, temos: 5x 1 2x 1 5w 1 3x 2 15w 5 180w 5x 1 2x 1 3x 5 180w 2 5w 1 15w 10x 5 190w

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x 5 19w Logo: m(A) 5 5x 5 5 3 19w 5 95w

Exercícios PROPOSTOS ___

38 Considere o triângulo abaixo.

40 No triângulo a seguir, AD​ ​ ​é bissetriz. Calcule x e y. x 5 53w e y 5 63w

70°

C x

3x + 10°

A

32°

95° D y

2x

Determine: a) o valor de x; 20w b) a medida dos ângulos internos; 70w, 70w e 40w c) a classificação do triângulo quanto aos lados. triângulo isósceles

39 Calcule a medida m do ângulo externo do triângulo abaixo.

41 Em um triângulo MNP, o ângulo N mede 48w e o ângulo P mede 62w. As bissetrizes desses ângulos se cortam em um ponto E. Determine: a) a medida do ângulo M; 70w b) a medida do ângulo NEP. 125w

85w

42 Em um :ABC, a medida do ângulo interno

m

110°

B

155°

A é o dobro da medida do ângulo interno B e a medida do ângulo interno C é o triplo da medida de A. Calcule as medidas desses ângulos. m(A) 5 40w, m(B) 5 20w e m(C) 5 120w CAPÍTULO 8

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 215

triângulos

215

20/07/11 10:07

43 Considere o triângulo ABC.

44 Sabendo que x 5 4y, a 1 b 5 140w e a 5 2c, calcule as medidas dos ângulos indicados.

A 2x

F

C

x

y 5 29w x 5 116w

y

B

c

a 5 80w b 5 60w c 5 40w

y

42° H

C

Determine: a) o valor de x e de y; x 5 24w e y 5 66w b) a medida do ângulo interno A. 72w

x A

a

35° B

D

b E

Pense mais um pouco... Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Um jardineiro construiu quatro canteiros de flores na forma de triângulos retângulos congruentes em certo jardim. Sabendo que a diferença entre as medidas dos ângulos internos agudos de cada triângulo retângulo é 30w, calcule a medida desses ângulos. 60w e 30w

2a propriedade A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. Considere o triângulo ABC. C

x A

B

Nesse triângulo, x é um ângulo externo não adjacente aos ângulos A e C. Vamos provar que m(x) 5 m(A) 1 m(C). 216

CAPÍTULO 8    triângulos

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20/07/11 10:07

No triângulo ABC, temos: • m(x) 1 m(B) 5 180w, pois x e B formam um ângulo raso. • m(A) 1 m(B) 1 m(C) 5 180w, pois A, B e C são ângulos internos de um triângulo. Logo: m(x) 1 m(B) 5 m(A) 1 m(B) 1 m(C) m(x) 5 m(A) 1 m(C) Veja os exemplos. Calcular a medida x nos triângulos. a)

82°

x 5 54w 1 82w x 5 136w x

54°

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b)

2x 1 20w 1 3x 2 10w 5 110w 2x 1 3x 5 110w 2 20w 1 10w

2x + 20°

110°

3x − 10°

5x 5 100w 5x 100w ___ ​​5​ _____​ 5 5 x 5 20w

Exercícios PROPOSTOS 45 No triângulo abaixo, temos m(A) 5 45w e

b)

C x 5 65w

m(B) 5 75w. Calcule a medida do ângulo externo adjacente ao ângulo C. 120w

x

A

x + 5° A

c)

B

x e a medida do ângulo A. C a)

3x − 16° 4x + 22°

5x

2x + 6° B

A x 5 25w m(A) 5 50w

d)

x 5 36w m(A) 5 32w30e

B

A

C

x 5 32w

C

46 Em cada um dos triângulos, calcule o valor de

2x

135°

m(A) 5 30w

B

75°

m(A) 5 70w

C 85° 117°30′

4x + 3°30′ A

B

CAPÍTULO 8

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 217

triângulos

217

20/07/11 10:07

47 Em um jogo de futebol, Paulo cobra um es-

canteio jogando a bola para Marcos, que a joga para Daniel. A trajetória da bola está representada na figura abaixo. Determine as medidas dos ângulos assinalados em vermelho na figura.

___

de y nos triângulos abaixo. E a)

x 5 65w

y

Marcos

y 5 70w

65°

C 105°

___

49 Sabendo que ​AB​ /CD​ ​  , calcule o valor de x e

D 135°

x A

B

75°

b)

E x 5 48w y 5 52w

60°

Daniel

C

48 Gabriela está em uma sala e vê o aparelho

x 15°

y

30°

B

aparelho de ar-condicionado

C

D

48°

de ar-condicionado na parede sob um ângulo de 15w. Após caminhar 10 passos em direção à parede, na posição B, ela vê o ar-condicionado sob um ângulo de 30w.

A

y

Paulo

A

c)

80°

x

B

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

45°

B

x 5 60w y 5 60w

x

D A

a) Determine as medidas x e y. x 5 15w e y 5 150w b) Classifique o triângulo ABC quanto às medidas dos lados e dos ângulos.

120° C

60°

y E

triângulo isósceles e obtusângulo

9 Demonstrações geométricas Muitas das propriedades geométricas estudadas foram consideradas verdadeiras com base em medições efetuadas ou pela simples observação.

C

Nem sempre, porém, chegamos a conclusões corretas efetuando medições, uma vez que a medida obtida está sujeita a erros por causa de um desenho impreciso, de régua ou transferidor defeituosos etc. A simples observação também pode nos levar a conclusões erradas, pois muitas vezes as aparências nos enganam. Um observador descuidado, ao examinar a figura ao lado, poderá concluir que CD . AB, quando, na verdade, AB 5 CD. (Verifique!)

A

D

B

Isso nos leva a pensar que nem sempre a medição ou a simples observação são suficientes para confirmar se uma propriedade geométrica é verdadeira ou falsa. Por mais evidente que pareça, ela somente pode ser considerada verdadeira depois de provada. 218

CAPÍTULO 8    triângulos

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20/07/11 10:07

Noções primitivas e postulados Você já viu que, em Geometria, pontos, retas e planos são noções aceitas sem definição e, por isso, chamadas de noções primitivas. Além das noções de ponto, reta e plano, na Geometria estabelecemos algumas verdades iniciais aceitas sem demonstração: os postulados. A seguir, apresentamos alguns postulados que foram estabelecidos como propriedades fundamentais das noções primitivas. CC Uma reta tem infinitos pontos. AB

C

D

E

F G

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

CC Por um ponto passam infinitas retas.

P

CC Dois pontos distintos determinam uma única reta.

B

A

CC Entre dois pontos distintos de uma reta, existe outro ponto dessa reta. A

C

B

CC Três pontos não colineares determinam um, e somente um, plano. α

A

C

B

CC Por um ponto P, situado fora de uma reta r, passa uma única reta paralela à reta r. P

r

CAPÍTULO 8    triângulos

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219

20/07/11 10:07

Teoremas Os teoremas são propriedades que podem ser demonstradas com base nos postulados ou em propriedades anteriormente demonstradas. Um teorema é composto de duas partes: • a parte que se supõe conhecida, chamada de hipótese; • a parte que se deseja provar, chamada de tese. Veja os exemplos. a) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos correspondentes são congruentes. Hipótese: Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal. Tese: Os ângulos correspondentes são congruentes. b) Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes. Tese: Os ângulos da base são congruentes.

Exercícios PROPOSTOS

50a) hipótese: um número é múltiplo de 3 e de 5; tese: Esse número é múltiplo de 15. b) hipótese: uma altura de um triângulo é bissetriz; tese: Esse triângulo é isósceles. c) hipótese: duas retas cortadas por uma transversal são paralelas; tese: Essas retas determinam ângulos alternos internos congruentes.

50 Identifique a hipótese e a tese em cada caso. a) Se um número é múltiplo de 3 e de 5, então esse número é múltiplo de 15. b) Se uma altura de um triângulo também é bissetriz, então esse triângulo é isósceles. c) Se duas retas cortadas por uma transversal são paralelas, então elas determinam ângulos alternos internos congruentes.

51 Verifique se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F) e dê um exemplo que justifique o fato de as

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Hipótese: Um triângulo é isósceles.

sentenças serem falsas. a) Se um triângulo é isósceles, então ele tem dois lados congruentes e um de medida diferente. F b) Se um triângulo é retângulo, então ele não pode ser equilátero. v c) Se um triângulo é equilátero, então as bissetrizes de dois ângulos internos formam um ângulo reto. F

A congruência de triângulos nas demonstrações geométricas Você sabe que em Matemática é possível provar que alguns fatos são verdadeiros com base em outros já comprovados e em uma sequência de conclusões lógicas sem usar instrumento de medida. É o que chamamos fazer uma “prova” ou “demonstração” matemática. Os casos de congruências de triângulos podem ser utilizados para demonstrar a validade de algumas propriedades geométricas. Nos exemplos a seguir, os elementos dados constituem a hipótese, e a tese é o que se deseja provar. 220

CAPÍTULO 8

triângulos

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20/07/11 10:07

Exemplo 1

___

___

A

Dada a figura ao lado, provar que AB​ ​  & DE​ ​ . 

B

___ ___ AC​ ​   ​  & CE​ Hipótese:   ___ ___ ​  & CD​ BC​ ​   ___ ___ Tese: ​AB​ & DE​ ​  

C1 C C2 D

E

___

___ ​AB​ e DE​ ​  são

 ara verificar se os segmentos P congruentes, poderíamos ___ medi-los com o auxílio de uma régua ou usar um compasso com a medida do segmento AB​ ​  e verificar se ___ essa medida coincide com a do segmento DE​ ​ . Em qualquer desses casos, sempre haveria a possibilidade de erro no ato de medir ou mesmo do próprio aparelho. ___

___

Vamos, portanto, provar que ​AB​ & DE​ ​ . 

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Demonstração Considerando os triângulos ABC e EDC, temos: ___ ___ ​  (por hipótese) • ​AC​ & CE​ • C1 & C2 (ângulos opostos pelo vértice) ___

___

• BC​ ​  & CD​ ​  (por hipótese)

___

___

 ogo, pelo caso L.A.L., os triângulos ABC e EDC são congruentes. Portanto, ​AB​ & DE​ L ​ , pois são lados correspondentes em triângulos congruentes. Exemplo 2  rovar o teorema: Duas retas paralelas cortaP das por uma transversal determinam ângulos alternos internos congruentes.

t A

r?s Hipótese: t é transversal. a e b são ângulos alternos internos.

r

a

b

s

B

Tese: a & b t

Inicialmente, vamos fazer uma___construção , traçamos auxiliar: por M, ponto médio de ​AB​  ___ PQ​ , perpendicular às retas r e s. ​  

A

P

Demonstração

M1

a

r

M b B

M2 Q

s

Comparando os triângulos AMP e BMQ, temos: ___

___

• AM​ ​  & MB​ ​  (M é ponto médio)

• M1 & M2 (ângulos opostos pelo vértice) • P & Q (ângulos retos)  ogo, pelo caso L.A.Ao., os triângulos AMP e BMQ são congruentes. Portanto, a & b, pois L são ângulos correspondentes em triângulos congruentes. CAPÍTULO 8    triângulos

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221

20/07/11 10:07

Exemplo 3

___

___

___

___

____

____

Dada a figura a seguir, em que AB​ ​   ?PN​ ​  e AC​ ​   ?MN​ ​ , provar que ​AC​ & MN​ ​ .  ___

___

___

____

A

​AB​?   PN​ ​  

Hipótese: ​AC​?   MN​ ​   Tese:

___ ___ ​  & MP​ BC​ ​   ___ ____ AC​ ​  & MN​ ​  

M B

P

C

Demonstração Considerando os triângulos ABC e NPM, temos: • B & P (ângulos alternos internos) ___

N

___

​  (por hipótese) • ​BC​ & MP​

• C & M (ângulos alternos externos)

___

____

 ogo, pelo caso A.L.A., os triângulos ABC e NPM são congruentes. Portanto, ​AC​ & MN​ L ​ , pois são lados correspondentes em triângulos congruentes. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exemplo 4  amos usar a congruência de triângulos para justificar a validade da seguinte construção V geométrica: construção da bissetriz de um ângulo. A construção B M

O

D

M

N

B

B

O

A

N

A

Com a ponta-seca do compasso em M e depois em N, traçamos com a mesma abertura do compasso os arcos que se cortam em D.

Com a ponta-seca do compasso em O, traçamos um arco, determinando M e N.

D

M O

N

A

​______ Traçamos a semirreta OD   ​ ​.   ​______ A semirreta OD  ​  ​ é   a bissetriz

do ângulo AOB.

___

Eduardo Santaliestra/CID

A justificativa Considerando os triângulos OMD e OND, temos: ___ ___ ​  (mesma abertura do compasso) • ​OM​ & ON​ ___

• ​MD​ & ND​ ​  (mesma abertura do compasso) ___

___

• ​OD​ & OD​ ​  (lado comum)

 ogo, pelo caso L.L.L., os triângulos OMD e L OND são congruentes. Portanto, MOD & NOD, pois são ângulos correspondentes em triângulos ​______  ​ ​ é bissetriz do ângulo AOB. congruentes. Assim, OD  

 

B D

M O

222

N

A

Traçado da bissetriz com uso de compasso.

CAPÍTULO 8    triângulos

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20/07/11 10:07

Exercícios PROPOSTOS 52 Nas figuras abaixo, faça o que se pede. ___ ___

54 Faça o que se pede. ___

a) Prove que AC​ ​  & CD​ ​   .

___

​  &___ MB​ ​   ___ a) Dados AM​ ​AC​?   BD​ ​  

A

___

___

prove que AC​ ​  & BD​ ​   . C

B

E C

B M

D

___

___

___

___

b) Prove que ​AC​ & CE​ ​ , dado que AB​ ​   ?DE​ ​   . reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

D

A

B

___

___

​   ?CD​ ​ ___  ___ b) Dados AB​ ​AB​ & CD​ ​  

C

prove que A & C. D

E B

A

c) Prove que A & D. A

D

C

B

55 Francisco e Rafael são irmãos e gostam de

D

d) Prove que

caminhar todas as tardes. Francisco dá 10 voltas por um caminho que passa pela padaria e pela loja de materiais para construção. Rafael, por sua vez, prefere dar 10 voltas pelo caminho que passa pelo supermercado e pela papelaria. Sabendo que a casa deles fica à mesma distância do supermercado e da loja de materiais para construção, como também é equidistante da padaria e da papelaria, descubra se Francisco e Rafael caminham a mesma distância. sim

___ ___ ​AC​ & DC​ ​   .

A

B

B1

C

B2 D

___

C

___

53 Na ?​CD​  . Prove que ___ figura, ___ temos r?s e ​AB​ 

E (padaria)

​AC​ & BD​ ​   .

A

C r

A (supermercado)

B

D

s

D (casa)

C (papelaria)

CAPÍTULO 8

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 223

B (loja de materiais para construção)

triângulos

223

20/07/11 10:07

56 Considere a seguinte construção de uma perpendicular a uma reta r que passa por um ponto P dessa reta. 1o)  Traçamos a reta r e o ponto P sobre ela.

57 Considere a seguinte construção de uma perpendicular a uma reta r que passa por um ponto P que não está na reta. 1o)  Traçamos a reta r e o ponto P fora dela. P

r

P

r

2o) Com a ponta-seca do compasso em P e uma abertura qualquer, traçamos um arco que corta r nos pontos M e N.

2o) Com a ponta-seca do compasso em P, traçamos um arco que corta r nos pontos M e N. P

P

N

r

3o) Com a ponta-seca do compasso em M e abertura maior que PM, traçamos um arco.

M

r

N

3o) Com a ponta-seca do compasso em M e depois em N, traçamos dois arcos de mesmo raio, que se cortam em B. P

M

P

N M

4o) Com o compasso centrado em N e com a mesma abertura anterior, traçamos outro arco, cruzando o primeiro em A.

r

N B

___





4o) A reta PB  ​  ​ é perpendicular à reta r e corta r em um ponto X.  

 

A

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

M

P M

P

N

r M

___



B



5o) A reta AP  ​  ​ é perpendicular à reta r. O ponto P chama-se ___ “pé da perpendicular” AP  ​  ​ sobre r.  

r

N

X

 



 



 

Justifique por que essa construção é válida observando a figura abaixo.

A

M

P

N

r

P M X

N

r

B

Justifique por que essa construção é válida. 224

CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 224

20/07/11 10:07

10 Propriedades de um triângulo isósceles 1a propriedade Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Considere o triângulo isósceles ABC. A

___

___

​   Hipótese: AB​ ​  & AC​

Tese: B & C B

C A

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Demonstração

___

Construção auxiliar: Traçamos a bissetriz ​AD​  .

m n

Comparando os triângulos ADB e ADC, temos: ___

___

• ​AB​ & AC​ ​  (por hipótese) ___

• m 5 n (​AD​ é bissetriz) ___

___

B

• ​AD​ & AD​ ​  (lado comum)

D

C

Logo, pelo caso L.A.L., os triângulos ADB e ADC são congruentes. Portanto, B & C, pois são ângulos correspondentes em triângulos congruentes. Veja o exemplo.

___

___

Calcular o valor de x no triângulo ABC, sabendo que AB​ ​  & AC​ ​   . A

A x

55°

55°

B

C

x 1 55w 1 55w 5 180w

x

ABC é triângulo isósceles.

x 1 110w 5 180w 55°

B

x 5 180w 2 110° x 5 70w

C

2a propriedade Em todo triângulo isósceles, a mediana, a altura e a bissetriz relativas à base coincidem. ___

Considere o triângulo isósceles ABC, em que AM​ ​  é mediana. A

Hipótese: Tese: B

M

C

___ ___ AB​ ​   ​  & AC​ ___ ___ ​BM​ & MC​ ​  

___ ​  é AM​ ___ ​  é AM​

bissetriz. altura.

CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 225

225

20/07/11 10:07

Demonstração

A

Comparando os triângulos AMB e AMC, temos: ___

___

• ​AB​ & AC​ ​  (por hipótese) ___

___ ___

___

___

A1 A 2

___

• ​BM​ & MC​ ​  (​AM​ é mediana relativa ao lado BC​ ​   )

• ​AM​ & AM​ ​  (lado comum)

Logo, pelo caso L.L.L., os triângulos AMB e AMC são congruentes. Portanto: • A1 & A2, o que prova que

___ AM​ ​  é

M1 B

M2 C

M

a bissetriz relativa ao ângulo A;

• M1 & M2 e, por ___ serem adjacentes e suplementares, cada um deles é um ângulo reto, o ___ ​   . que prova que ​AM​ é a altura relativa ao lado BC​

58 O triângulo ABC é isósceles. Calcule a medida dos ângulos B e C da base.

m(B) 5 m(C) 5 54w

A

60 No :ABC, pede-se: ___

___

a) m(​BC​) , sabendo que m(​BH​  )52 b) m(1) 40w c) m(B) 50w

72°

4

A 40° ^ 1

B

C

59 Calcule o valor de x e de y nas figuras. a)

B

62° x 5 29w30e y 5 121w

x x

y

x

x

H

C

___

61 Em um triângulo ___ isósceles ABC, ___ ​AH​ é a altura

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exercícios PROPOSTOS

relativa ___ à base BC​ ​ . Sendo m(​BH​) 5 3,5 cm, cal___ cule m(​HC​  ). m(HC ) 5 3,5 cm

62 Ao fazer alguns enfeites de cartolina para deco-

b) x53

5x − 3

rar a mesa de aniversário de seu filho, Clara criou o desenho abaixo.

12 y 5 5 y

65°

65° y 20°

3x + 1

c) 75°

x 5 94w y 5 43w

x

62°

226

CAPÍTULO 8

y

x

Sabendo que a figura foi criada a partir de dois triângulos isósceles, tendo o menor deles os lados sobre as bissetrizes dos ângulos da base do maior, calcule as medidas x e y dos ângulos assinalados. x 5 140w e y 5 100w

triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 226

20/07/11 10:08

63 Calcule o valor de x e de y nas figuras. a)

c) x 5 30w e y 5 40w

x

x 5 10w e y 5 85w

x x

120°

y 105° 105°

y y

80°

b)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x x

y y

x 5 40w e y 5 20w

100° 100°

64 Calcule as medidas dos ângulos de um triângulo isósceles no qual cada ângulo da base mede o quádruplo da medida do ângulo do vértice. 20w, 80w e 80w 65 Determine a medida do ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de um triângulo equilátero. 120w

60° 60°

 ropriedade que relaciona os lados 11 P com os ângulos de um triângulo Se dois lados de um triângulo são desiguais, então ao maior lado opõe-se o maior ângulo. A

___

___

​   Hipótese: AC​ ​  . AB​

Tese: B . C B

Demonstração

C

___

___

___

​  & AB​ ​   . Construção auxiliar: Marcamos sobre ​AC​ um ponto D tal que AD​ • :ABD é isósceles (por construção)

A

• B1 & D1 (propriedade do triângulo isósceles) • D1 . C (pela propriedade do ângulo externo) • B1 . C (substituindo D1 por B1) • B . B1 (pela construção auxiliar) • B . C (pois B . B1 . C)

B1 B

D1

D C

É possível demonstrar que a recíproca dessa propriedade é verdadeira, isto é, se dois ângulos de um triângulo são desiguais, então ao maior ângulo opõe-se o maior lado. CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 227

227

20/07/11 10:08

Veja os exemplos.

___

___

a) No triângulo MNP, temos M . N. Que relação existe entre ​NP​ e MP​ ​ ?   M

Como M ângulos opostos aos lados N

___

b) No triângulo PQR, temos

___

NP​ ​   ​   . MP​

P

___ ___ ​   . Que ​PQ​ . QR​

. N, então:

relação existe entre R e P?

R

___

lados opostos aos ângulos

A

R

.

P

Q 4,5 cm

2,9 cm

Exercícios PROPOSTOS

B

66 Observe os triângulos e encontre, em cada um, o maior lado e o menor lado. ___ maior: AC ___  a) A

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

P

___

Como PQ​ ​  . QR​ ​   , então:

C

5 cm

b)

A

maior: C menor: B

menor: AB 

5,5 cm

60°

3 cm

30° B

B

C ___

b) A

C

4 cm

68 Dois lados de um triângulo medem respectiva-

  maior: AC ___ menor: BC 

mente 5,5 cm e 4 cm. O terceiro lado mede aproximadamente 3 cm. Um de seus ângulos mede 100w. Quanto mede o lado oposto a ele?

25°

5,5 cm

120°

69 Ana e Renata moram próximo a uma lanchonete,

35°

conforme mostra o esquema abaixo.

C

B

67 Observe os triângulos e encontre, em cada um, o maior ângulo e o menor ângulo. A a)

casa de Renata

casa de Ana 40°

60°

maior: A menor: C

4,5 cm

2,9 cm

lanchonete

B

228

CAPÍTULO 8

5 cm

triângulos

C

Qual delas mora mais distante da lanchonete? Justifique. ana, pois ao maior ângulo se opõe o maior lado do triângulo.

A

5,5 cm 193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 228

3 cm

20/07/11 10:08

70 Verifique em cada caso se é possível construir um triângulo com as medidas indicadas. Justifique quando Não é possível, pois a soma tal construção não for possível. das medidas dos ângulos Não é possível, pois ao É possível. c) b) a) internos de um triângulo é maior ângulo deve se 180°, e isso não ocorreu.

opor o maior lado, e isso não ocorreu.

7

75°

3

20°

4,5

3

3 125°

60°

45° 5

60°

60° 60°

25°

3

3

2,2

Tratamento da informação

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Construindo um pictograma Mara é professora de Educação Física. Para formar equipes de competição, ela fez uma pesquisa sobre os esportes coletivos preferidos pelos alunos e registrou o resultado nesta tabela: Esporte

Quantidade de alunos

futebol

80

vôlei

50

basquete

40

Para que a divulgação dos resultados dessa pesquisa ficasse mais atraente, Mara fez um pictograma com esses dados e fixou no quadro de avisos.

Esportes coletivos preferidos pelos alunos

Futebol Cada

Vôlei

Basquete

corresponde a 20 alunos.

Observe que, de acordo com a legenda, a professora usou um ícone para representar cada grupo de 20 alunos. Quando necessário, usou metade desse ícone para representar 10 alunos. Gráficos que usam ícones para representar quantidades são chamados de pictogramas.

Atividade 1 Construa um pictograma que informe a quantidade de alunos de sua turma separados por sexo. Crie um símbolo para representar uma quantidade de alunos. Lembre-se de colocar o título do gráfico e a legenda.

CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 229

229

20/07/11 10:08

Exercícios COMPLEMENTARES 71a) o ponto de encontro das medianas chama-se baricentro. 71d) o lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo chama-se hipotenusa.

dadeiras (V) ou falsas (F). Corrija as falsas no caderno. a) O ponto de encontro das medianas de um triângulo chama-se ortocentro. F b) Todo triângulo equilátero é isósceles. v c) Em um triângulo equilátero, a altura e a mediana relativas ao mesmo lado têm a mesma medida. v d) O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo chama-se cateto. F e) Se um triângulo é equilátero, então cada um de seus ângulos internos mede 60°. v f) Em todo triângulo, a medida de qualquer ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes. v

72 Calcule o valor___ de x e___ de y nos triângulos abaixo, sabendo que AB​ ​  & AC​ ​ .  A

y 5 19w

38°

44°

figuras. a)

Dado: a 5 2c

a

a 5 60w b 5 90w c 5 30w

b

c

b)

Dados: a 1 b 5 100w c 5 2a

c

a 5 40w b 5 60w

b

c 5 80w

a

75 Os ângulos de um triângulo medem, respec-

tivamente, 4x 2 8w, 3x 2 24w e 2x 1 14w. Quanto mede cada um dos ângulos? 80w, 42w e 58w

76 Em um triângulo retângulo, a altura relativa à

A

x 5 78w

74 Calcule as medidas dos ângulos indicados nas

hipotenusa forma com um dos catetos um ângulo de 35w. Calcule as medidas dos ângulos agudos desse triângulo. 35w e 55w

77 Em um triângulo retângulo, a medida de um dos

ângulos agudos é 50w. Calcule a medida do ângulo obtuso formado pela bissetriz desse ângulo com a bissetriz do ângulo reto. 110w

x y B

C

B

C

73 Calcule o valor de x e de y nos triângulos. a) x

78 (Faap-SP) No triângulo ABC da figura abaixo

tem-se: AD 5 DC, AE 5 EB, m(A) 5 33w e m(C) 5 45w. Calcule x e y. x 5 78w e y 5 135w C

D

x 5 148w y 5 106w

A

33°

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

71 Classifique as seguintes sentenças como ver-

45° y

E

x B

y 42°

79 Regina quer fazer uma almofada no formato de

112°

38°

um pentágono regular, como mostra a figura abaixo.

b) x 5 115w

50°

y 5 140w

x

230

CAPÍTULO 8

y

triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 230

20/07/11 10:08

Para isso, ela precisa cortar 5 triângulos isósceles congruentes. Determine as medidas dos ângulos internos desses triângulos. 72w, 54w e 54w

80 (Fuvest-SP) Um avião levanta voo para ir da cidade A à cidade B, situada a 500 km de distância.

Depois de voar 250 km em linha reta, o piloto descobre que a rota está errada e, para corrigi-la, ele altera a direção de voo de um ângulo de 90w. Se a rota não tivesse sido corrigida, a que distância ele estaria de B após ter voado os 500 km previstos? 500 km

TESTES 81 O caso de congruência que nos dá a certeza de que os triângulos ABC e CDE são congruentes é:

85 (OMPR) Determine os ângulos internos do triângulo formado pelas varetas abaixo.

B

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

C A

E 103° 34°

D

a) L.A.L. A.L.A.

X b)

a) 34w, 70w e 76w​ b) 34w, 103w e 43w​ c) 103w, 146w e 111w

c) L.L.L. d) L.A.Ao.

82 Na figura abaixo, temos: a) b) X c) d)

x5a1c x5b1c x5a1b x5a1b2c

X d)

34w, 69w e 77w e) 146w, 77w e 3w

86 (UCMG) Na figura abaixo, o ângulo ADC é reto. a

x

b

c

O valor, em graus, do ângulo CBD é de: a) 95 X b) 100 c) 105 d) 110 B e) 120

C

83 Considerando a figura abaixo, podemos afirmar que: X a) x . e . a b) x . a . e c) a . e . x d) a . x . e

30°

a 40°

e

x

84 (PUC-SP) Na figura, a 5 100w e b 5 110w. Quanto mede o ângulo x? X a) 30w b) 50w c) 80w d) 100w e) 220w

x

a

D

A

b

87 Na figura abaixo, tem-se AD 5 DC, AB 5 AC, o

ângulo ABC mede 75w e o ângulo ADC mede 50w. Quanto mede o ângulo BAD? a) 30w A b) 85w X c) 95w D d) 125w e) 140w B

C

CAPÍTULO 8

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 231

triângulos

231

20/07/11 10:08

___

88 (UFMG) Observe a figura.

92 (Obmep) ​   ​é paralela à __ Na figura dada, a reta PQ   ​ ​  e TU 5 TV. Se o ângulo TWS mede reta RS  110w, o ângulo QUV mede: 

 



D

 

y

36°

B

C

Nessa figura, o valor de 3y 2 x, em graus, é: X a) 8 c) 12 e) 18 b) 10 d) 16 89 (UPF-RS) No triângulo ao lado, x é um ângulo interno e a e b são ângulos externos.

a

b

Sabendo-se que a 1 b 5 210w e 3a 2 2b 5 130w, sobre o ângulo x pode-se afirmar que: a) seu suplemento é 110w. X b) seu complemento é 60w. c) seu complemento é 20w. d) seu suplemento é 100w. e) seu suplemento mais seu complemento é 180w. ___

___





 

V

W R

P

a) 135w b) 130w X c) 125w

x

90 Na figura, DE  ​   ​?BC​ ​   . O valor de x é: A a) 50w b) 60w 70° c) 70w X d) 120w D

110°

T

d) 115w e) 110w

93 (Obmep) A figura mostra dois trechos de 300 km cada um percorridos por um avião. O primeiro trecho faz um ângulo de 18w com a direção norte, e o segundo, um ângulo de 44w, também com a direção norte. Se o avião tivesse percorrido o trecho assinalado em pontilhado, qual seria o ângulo desse trecho com a direção norte? a) 12w X b) 13w

c) 14w d) 15w e) 16w

44°

 

? 18°

N x

E

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

S

U

80°

x

 

 

Q

x





L

O S

50° B

C

91 (OBM) No desenho temos AE 5 BE 5 CE 5 CD. Além disso, a e d são medidas de ângulos. Qual a é o valor da razão __  ​  ​? d 3 a) ​ __  ​ B 5 C 4 β α b) ​ __ ​  5 20° c) 1 E 5 __ X d) ​   ​  4 D 5 __ e) ​   ​  A 3 232

94 (FCC-SP) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. A medida x do ângulo as­si­nalado é: a) 135w b) 120w 35° c) 115w d) 110w X e) 105w r x s

70° t

u

CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 232

20/07/11 10:08

95 (Univali-SC) O peso da figura está suspenso por duas cordas de mesma medida e presas no teto. Se o ângulo entre as cordas é de 30°, então o ângulo d, formado pela corda e o teto, mede: a) 105w β β b) 100w c) 90w X d) 75w e) 60w 30°

96 (UFMG)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

D

C

A

B

O valor de x é: a) 50w b) 60w c) 70w

X d) 75w

e) 80w

α

D β

140°

C F ___ ___ ___ Nessa figura, AB​ ​  & ​AC​, ​BD​ é bissetriz de ABC, ___ ​CE​ é bissetriz de BCD e a medida do ângulo

ACF é 140w. A medida do ângulo DEC, em graus, é: X c) 40 a) 20 e) 60 b) 30 d) 50

97 A flâmula é um tipo de bandeira fre­quen­te­men­te utilizada por clubes esportivos. A forma tradicional das flâmulas é de um triângulo isósceles. Carlos criou para seu time de futebol a flâmula desenhada abaixo.

150°

θ

B



x

25°

100 (Ufac) Considere a figura abaixo.

A

E

99 (UFMG) Na figura, AC 5 CB 5 BD e m(A) 5 25w.

Sabendo-se que a 1 d 5 135w, temos que a, d e J medem, respectivamente: a) 30w, 45w e 105w b) 30w, 115w e 35w X c) 30w, 105w e 45w d) 45w, 105w e 30w e) a 5 d 5 45w e J 5 90w 01 (OMABC) Para dar exemplos de triângulos, um 1 aluno desenhou cinco triângulos, todos fora de escala, indicando as medidas de seus lados ou de seus ângulos. Assinale a alternativa que contém o único dos cinco triângulos que pode ser efetivamente construído com as medidas indicadas. d)

a) 2

1

Sabendo que as medidas dos ângulos da base do triângulo maior têm o dobro da medida do ângulo do seu vértice, podemos afirmar que cada ângulo da base desse triângulo mede: X a) 72w c) 18w b) 36w d) 54w 98 (Uneb-BA) Em um triângulo retângulo, a altura e a bissetriz relativas à hipotenusa formam um ângulo de 25w. Os ângulos agudos desse triângulo medem: a) 35w e 55w d) 15w e 75w X b) 40w e 50w e) 20w e 70w c) 30w e 60w

60°

3

3

60° 4

b)

3

4 45°

X e)

7

5

30° 9

c) 80°

20°

CAPÍTULO 8    triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 233

233

20/07/11 10:08

ndoo cand Diversififica Fractais

___

Considere o segmento AB​ ​   , dividido em três partes iguais. D B A C ___ ___ Construímos sobre CD​ ​  um triângulo equilátero e, a seguir, apagamos o segmento ​CD​  .

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Em cada um desses quatro segmentos, repetimos o mesmo procedimento.

E, assim prosseguindo, obtemos a figura.

Essa figura, formada por repetições de padrões, é um exemplo de fractal. Ela conserva todas as propriedades da figura inicial.

234

CAPÍTULO 8

CorE iMaGES-FraCtalS/alaMY/othEr iMaGES

CorE iMaGES-FraCtalS/alaMY/othEr iMaGES

Veja alguns fractais construídos com a ajuda do computador:

triângulos

193_235_BIANCHINI_MAT8_C08.indd 234

20/07/11 10:08

Agora é com você!

Uma das formas mais elementares da geometria fractal é o triângulo de Sierpinski. Para sua construção, partimos de um triângulo equilátero.

reprodução proibida. art. 184 do Código Penal e lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Unindo os pontos médios desse triângulo, obtemos quatro triângulos menores e apagamos aquele que não tem vértice que coincida com um dos vértices do triângulo original.

Repetindo esse procedimento, obtemos:

Seguindo esse raciocínio, obtemos 3 triângulos, 9 triângulos, 27 triângulos etc. Descubra qual é a quarta figura do triângulo de Sierpinski. X c) a)

b)

d)

CAPÍTULO 8

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triângulos

235

20/07/11 10:08

Quadriláteros LUIZ SACILOTTO/VALTER SACILOTTO

CAPÍTULO

9

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Matemática no mundo Luiz Sacilotto (1924-2003), nascido em Santo André (SP), foi um dos pioneiros na arte concreta no Brasil, usando formas geométricas em suas produções artísticas, como na obra ao lado.

Agora, responda. • Quais quadriláteros que têm um nome especial você conhece? respostas possíveis: paralelogramo, quadrado, retângulo, losango, trapézio.

Luiz Sacilotto, Pintura​I, óleo sobre tela, 68 # 50 cm, 1950.

236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 236

20/07/11 10:10

1 Os quadriláteros e seus principais elementos Quadriláteros são polígonos de quatro lados. Considere o quadrilátero abaixo.

D

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

C

Nele destacamos: • os vértices A, B, C e D; ___ ___ ___

A B

___

• os lados AB​ ​ ​, BC​ ​ ​, CD​ ​ ​e DA​ ​ ​; ___

___

• as diagonais ​AC​​e BD​ ​ ​. Dois lados não consecutivos de um denominam-se lados opostos. Na figura, ___ ___ ___ ___quadrilátero temos dois pares de lados opostos: AB​ ​ ​e CD​ ​ ​, BC​ ​ ​e AD​ ​ ​.

Exercícios PROPOSTOS 1 Observe o quadrilátero e determine: A

D

___

___

b) as diagonais; ​AC​​e BD​ ___ ___ c) o lado oposto ao___ segmento AD​ ​ ​; ​BC​​ ___ d) o lado oposto a ​DC​​. ​AB​​

2 Um quadrilátero tem dois lados medindo B

a) os vértices;

C A, B, C e D

2 cm e 3 cm. Sabendo que os outros dois lados têm a mesma medida e que o perímetro desse quadrilátero é 17 cm, determine a medida dos lados congruentes. 6 cm

Pense mais um pouco...

Desenhe um quadrilátero qualquer em uma folha de papel. Marque cada ângulo interno desse quadrilátero com cores diferentes. Recorte o quadrilátero separando os quatro ângulos internos. Reúna os ângulos internos em torno de um dos vértices do quadrilátero, justapondo seus lados, de modo a obter um único ângulo, que é a soma dos quatro ângulos internos. Quanto vale essa soma?

236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 237

360w

20/07/11 10:10

Ângulos de um quadrilátero

e3

D

Considere o quadrilátero ao lado.

C

e4

Nele destacamos: • os ângulos internos A, B, C e D;

e2

• os ângulos consecutivos A e B, B e C, C e D, D e A;

A

• os ângulos opostos A e C, B e D;

B

e1

• os ângulos externos e1, e2, e3 e e4.

A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360w, pois: S​i 5 (n 2 2) 3 180w 5 (4 2 2) 3 180w 5 2 3 180w 5 360w 110°

A soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilátero é 360w.

Exercícios PROPOSTOS 3 Observe o quadrilátero MNPQ.

b) x 5 65w

P

y Q

80° 2x + 10°

105°

108°

x 80°

x

M

N

Determine: a) a medida do ângulo N; b) o valor de y. 72w

67w

6 Nos seguintes quadriláteros, determine a meA dida do ângulo A. a) m(A) 5 63w D D D

4 Com o auxílio de régua e transferidor, desenhe

um quadrilátero que tenha: a) dois ângulos internos opostos congruentes de 90w; b) dois ângulos internos opostos congruentes de 90w e quatro lados congruentes; c) dois ângulos internos opostos congruentes de 90w e quatro lados congruentes de 6 cm. Em cada item, quantos quadriláteros com forma diferente e com essas características é possível construir? Justifique.

5 Calcule o valor de x em cada um dos quadriláteros. a)

C C C

b)

c)

m(A) 5 110w

D D D

120° 120° 120°D D D

quadriláteros

80° 2x + 10° 236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 238

D D D

A xA x x

A A xA + 60° x + 60° x + 60°

x x x

m(A) 5 75w

x

CAPÍTULO 9

112° 112° 112° 95° 95° 95°

110°

x 5 70w

238

x − 10°

x 2 x x 2 2

A A A x 2 x x2 2

A A xA x x

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

4a) Infinitos; basta que a soma das medidas dos outros dois ângulos internos seja 180w. b) Infinitos; pois os lados congruentes podem ter qualquer medida. x c) Um só quadrilátero com quatro ângulos de 90w e quatro lados de 6 cm.

B B B B B 100° B 100° 100° 2x 2x 2x C C C

x x x

B B B 105° 105° C 105° C C

x 2 x x 2 2

B B B 20/07/11 10:10

x 2

B x

120°

105°

D

C

d) m(A) 5 135w

8 Em um quadrilátero, os ângulos internos me-

A

dem respectivamente x, x 1 40w, x 1 80w e 3x. Calcule o valor de x. x 5 40w

x x 2

D

x 2

B

9 Em um quadrilátero ABCD, m(A) 5 m(B), m(B) 5 3 3 m(C ) e m(D) 5 2 3 m(C ). Calcule a medida dos ângulos C e A. m(C) 5 40w e m(A) 5 120w C

10 Em um quadrilátero ABCD, temos m(A) 5 108w,

7 Três dos ângulos internos de um quadrilátero

m(B) 5 76w e m(C ) 5 92w. Calcule a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos C e D. 92w

medem respectivamente 104w, 97w e 53w. Calcule a medida do quarto ângulo desse quadrilátero. 106w

Pense mais um pouco...

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Luís brincava com um carrinho de controle remoto na sala de sua casa. Observe os movimentos do carrinho: saiu de um canto da sala (ponto A) e foi em frente até o ponto B. Girou para a esquerda 130w e andou em frente até o ponto C. O carrinho girou novamente para a esquerda 50w e foi em frente até o ponto D. Girou 140w para a esquerda e andou até voltar ao local de onde saiu (ponto A). O percurso do carrinho está representado no esquema abaixo. 50°

D

C

140° 130° B

A

Determine a medida do ângulo destacado em amarelo nesse esquema. 140w

2 Paralelogramos Paralelogramos são quadriláteros que têm os lados opostos paralelos. ___

___

___

___

Na figura abaixo, AB​ ​  /CD​ ​  e AD​ ​  /BC​ ​  . Logo, o quadrilátero ABCD é um paralelogramo. ___

___

O lado ​AB​ é uma base, e o segmento DH​ ​  é uma altura do paralelogramo. C

D

altura

A

B

H base

CAPÍTULO 9    quadriláteros

236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 239

239

20/07/11 10:10

Entre os paralelogramos, destacam-se os seguintes casos particulares: Retângulos são paralelogramos que têm os quatro ângulos congruentes (retos).

Losangos são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes.

D

D

A

A

B

Quadrados são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes (retos).

C

D

C

A

B

C

B

Observe que: • todo quadrado é um losango.

Propriedades dos paralelogramos 1a propriedade Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

D

A 2

Hipótese: ABCD é um paralelogramo. ___

1

​AB​ & ​CD​ 

4

Tese: ___ ___ ​BC​ & ​AD​ 

3 B

C

Demonstração

___

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• todo quadrado é um retângulo;

___

Traçando a diagonal ​AC​ , o paralelogramo fica decomposto nos triângulos ABC e CDA. Comparando esses triângulos, temos:

___

___

___

___

• 1 & 4 (ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos AB​ ​  e ​CD​ com a ___ diagonal AC​ ​  ) ___

___

• ​AC​ & AC​ ​  (lado comum)

• 3 & 2 (ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos AD​ ​  e ​BC​ com a ___ diagonal AC​ ​  ) Logo, pelo caso A.L.A. os triângulos ABC e CDA são congruentes. Portanto: ___

___

___

___

AB​ ​  e BC​ ​  & AD​ ​   ​  & CD​ 240

CAPÍTULO 9    quadriláteros

236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 240

20/07/11 10:10

2a propriedade Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes. D

A 2

Hipótese: ABCD é um paralelogramo.

1 4

Tese:

3 B

C

Demonstração

B&D A&C

___

Traçando a diagonal ​AC​ , o paralelogramo fica decomposto nos triângulos ABC e CDA. Comparando os triângulos ABC e CDA, temos que, pelo caso A.L.A., os triângulos ABC e CDA são congruentes. Portanto, B & D. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

___

Se traçarmos a diagonal ​BD​ , demonstraremos, do mesmo modo, que A & C.

3a propriedade As diagonais de um paralelogramo se cruzam nos respectivos pontos médios. D

A 4

2

Hipótese: ABCD é um paralelogramo.

M

3 B

___ ___ AM​ ​   ​  & MC​ Tese: ___ ___ ​BM​ & MD​ ​  

1 C

Demonstração Comparando os triângulos BMC e DMA, temos:

___

___

___

___

• 1 & 2 (ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos ​AD​ e BC​ ​  com a ___ diagonal ​AC​ ) ___

___

• ​AD​ & BC​ ​  (lados opostos de um paralelogramo)

• 3 & 4 (ângulos alternos internos formados pelos segmentos paralelos ​AD​ e BC​ ​  com a ___ diagonal ​BD​ ) Logo, pelo caso A.L.A. os triângulos BMC e DMA são congruentes. Portanto: ___

___

___

___

​AM​ & MC​ ​  e BM​ ​  & MD​ ​   OBSERVAÇÃO CC

Um paralelogramo que não é retângulo nem quadrado tem diagonais não congruentes.

CAPÍTULO 9    quadriláteros

236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 241

241

20/07/11 10:10

y

5x − 20° 4x + 10°

Exercícios PROPOSTOS

y

11 Observe os paralelogramos e, considerando

c)

as propriedades estudadas, determine:

x 5 67w

a)​ MN e NP 4,5 cm e 2,5 cm

y 5 67w

4,5 cm 4,5 cm 4,5 cm

y

P P P

83° x

2,5 cm 2,5 cm 2,5 cm M M M

30°

15 Determine a medida do ângulo interno A do

N N N

paralelogramo abaixo e depois o construa no seu caderno com as medidas indicadas. 72w

b) x e y

C

D 60° 60° 60°

x x x

y y y

3x − 3°

x 5 120w e y 5 60w

4,5 cm

c)​ RS, RU, MR e RT U U U

4x − 28° 8 cm, 5 cm, 6 cm, 12 cm

M M M

R R R

8 cm 8 cm 8 cm 6 ccm 6 m 6 cm

T T T

5 cm 5 cm 5 cm

S S S

A

B

9 cm

16 Em um paralelogramo, um dos ângulos

externos mede 108w. Calcule as medidas dos ângulos internos desse paralelogramo. 72w, 72w, 108w, 108w

17 As medidas de dois ângulos consecutivos de

12 Um dos ângulos agudos de um paralelogramo mede 74w. Calcule a medida de um dos ângulos obtusos desse paralelogramo. 106w

13 Em um losango, um dos ângulos mede 125w. Determine a medida de um dos ângulos agudos desse losango. 55w

um paralelogramo são respectivamente x e 2x 1 18w. Calcule a medida de cada ângulo obtuso desse paralelogramo. 126w

18 No ​______ m(B) 5 80w, ​______ paralelogramo abaixo, temos C

C

​​ ​​é bissetriz do ângulo B e AM​ ​​ BM​ ​​é bissetriz do ângulo A. Calcule a medida do ângulo AMB. C

C

90w

D

C

14 Nos paralelogramos a seguir, calcule as medi-

M

das x e y. a)

y y

5x 5x − − 20° 20°

x 5 30w y 5 50w

4x 4x + + 10° 10°

b)

yy

x 5 45w

B

19 A diferença entre as medidas de dois ângulos

consecutivos de um paralelogramo é 40w. Calcule as medidas dos ângulos internos desse paralelogramo. 70w, 70w, 110w, 110w

medem 4,2 cm e 5,6 cm e formam entre si um ângulo de 110w.

3x 3x

xx

yy CAPÍTULO 9

A

20 Construa um paralelogramo cujas diagonais

y 5 135w

242

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O O O

3x

x

30° 30°

quadriláteros

83° 83° xx 236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 242

20/07/11 10:10

Propriedade dos retângulos As diagonais de um retângulo são congruentes. D

C

Hipótese: ABCD é um retângulo. ___

___

Tese: AC​ ​  & BD​ ​   B

A

Demonstração Comparando os triângulos ABD e BAC, temos: ___

___

• ​AD​ & BC​ ​  (lados opostos de um paralelogramo) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• A & B (ângulos retos) ___

___

• AB​ ​  & AB​ ​  (lado comum)

___

___

Logo, pelo caso L.A.L. os triângulos ABD e BAC são congruentes. Portanto, AC​ ​  & BD​ ​  .

Propriedade dos losangos As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos. A 1 2

B

3 4

M1

Hipótese: ABCD é um losango.

M2

___ ___ AC​ ​   ​  t BD​

D

M

Tese: 1 & 2 3&4

C

Demonstração Comparando os triângulos AMB e AMD, temos: ___

___

___

___

___

___

• ​AB​ & AD​ ​  (lados de um losango)

___

• ​BM​ & MD​ ​  (M é ponto médio de BD​ ​  ) • ​AM​ & AM​ ​  (lado comum) Logo, pelo caso L.L.L. os triângulos AMB e AMD são congruentes. Portanto: ​_____

a) 1 & 2, o que prova que AC  ​  ​ é bissetriz do ângulo A;

___

 

___

b) M1 & M2, que, por serem suplementares, são retos, o que prova que AC​ ​  t BD​ ​  . ______ ​



Com raciocínio análogo, prova-se que BD  ​  ​ é bissetriz dos ângulos B e D.  

CAPÍTULO 9    quadriláteros

236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 243

243

20/07/11 10:10

Propriedade dos quadrados O quadrado é, ao mesmo tempo, um retângulo e um losango; portanto, possui as propriedades desses paralelogramos. As diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares entre si no ponto médio e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.

Exercícios PROPOSTOS

falsas (F). a) Em todo retângulo, as diagonais são congruentes. V b) As diagonais de um losango são perpendiculares entre si. V c) As diagonais de um retângulo são perpendiculares entre si. F d) As diagonais de um quadrado formam, entre si, ângulos de 90w. V e) Os ângulos opostos de um losango são congruentes. V

22 Nestes quadrados, calcule o valor de x e de y. a)

x

x 5 45w

b) x

y 8 cm

C

23 Nos quadriláteros abaixo, determine x e y. a)

8 cm

D

x

cm

5

x

C

6 cm A

B

A

sendo y = BD

B

D

244

CAPÍTULO 9

50°

y x 50° y

26 As diagonais de um retângulo formam, entre

si, um ângulo de 116w. Calcule a medida do ângulo que cada diagonal forma com o lado oposto ao ângulo de 116w. 32w

27 A medida de cada ângulo agudo de um losango é 50w

28 Construa um quadrado em que as diagonais

1.600 mm2 (considerando o lado de medida 7 40 mm)

29 Meu irmão e eu compramos um sítio na forma

de um losango com o lado medindo 500 m. Dividimos o sítio na direção das diagonais: uma medindo 600 m e a outra, 800 m. Dessa forma, o sítio ficou dividido em 4 partes iguais. Quantos metros de arame farpado são necessários para cercar uma dessas partes do terreno com quatro fios de arame? 4.800 m

y 5 50w

D

A

lados, um ângulo de 35w. Calcule os ângulos desse losango. 70w, 70w, 110w e 110w

x 5 40w

x A

x 5 5 cm

6 cm y 5 10 cm

cm 5 sendo y = BD

b)

25 A diagonal de um losango forma, com um dos

meçam 5,6 cm. Com uma régua, determine a medida do lado, em milímetro. Calcule a área desse quadrado, em milímetro quadrado.

y

D

formando um ângulo de 100w. Determine o menor ângulo que uma dessas diagonais forma com um dos lados. 40w

80w. Encontre a medida do ângulo formado pela diagonal dos ângulos obtusos com um dos lados.

x 5 90w y 5 45w

y 5 45w

24 As diagonais de um retângulo cortam-se

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

21 Classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou

C

C

B

B

quadriláteros

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20/07/11 10:10

30 Cada diagonal de um retângulo mede 5 cm. Elas

33 Considere___ um retângulo ABCD. Seja P um

se cortam formando um ângulo de 60w. Construa esse retângulo, meça seus lados e determine sua área aproximada em milímetro quadrado.

ponto ​  . Trace por P uma reta paralela ___ de AB​ a AD​ ​  . ___ Chame de Q o ponto em ___ que___essa reta ___ ___ ___ ___ ​   /AD​ ​  e AD​ ​   /BC​ ​   . corta CD​ ​  . Mostre que PQ​ ​  /BC​ ​  . PQ​ ___ ___

1.075 mm2

/BC​ ​   . Logo: ​PQ​ 

31 Construa um losango cujas diagonais meçam

34 Observe o paralelogramo AMOR.

5,4 cm e 3,2 cm. Depois, determine sua área.

b+8

A

8,64 cm2

32 No retângulo ponto ___ ABCD, prove que M é ___ ___

M 60w

2x – 40° 120w

médio de ​AC​.  :AMB & :CMD (A.L.A.). Logo: AM​ ​  & MC​ ​   .

2a + 3 3a − 2

C

D

120w

x + 40°

60w

R M

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

O

2b − 1

a) Determine a medida de todos os ângulos internos desse paralelogramo. b) Calcule o perímetro. 60

B

Pense mais um pouco... D

A figura ao lado é um retângulo.

C III

Demonstre que a área em azul é igual à área em vermelho.

II

Se achar conveniente, dê a seguinte dica para os alunos: A área do retângulo azul é igual a: área ACD 2 área II 2 área III

A

B

3 Trapézios Trapézios são quadriláteros que têm apenas dois de seus lados paralelos. D

base menor

C

altura

A

B base maior

Os lados paralelos de um trapézio são chamados de bases, e a distância entre as duas bases chama-se altura. No trapézio acima, verifica-se que os___ ângulos ___ A e D, assim como os ângulos B e C, são co​  com os lados não paralelos. Logo: laterais internos formados pelas bases ​AB​ e CD​ m(A) 1 m(D) 5 180w m(B ) 1 m(C ) 5 180w CAPÍTULO 9    quadriláteros

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245

20/07/11 10:10

Os trapézios podem ser classificados em isósceles, retângulos e escalenos. • Trapézios isósceles são aqueles em que os lados opostos não paralelos são congruentes. C

D

D

C

C

D

A

B

A

• Trapézios escalenos são aqueles em que os lados opostos não paralelos não são congruentes.

• Trapézios retângulos são aqueles que possuem dois ângulos internos retos.

B

A

AD 5 BC

B

AD % BC

Propriedades dos trapézios isósceles

Em um trapézio isósceles, os ângulos adjacentes a uma mesma base são congruentes. C

D

ABCD é um trapézio. Hipótese: ___ ___ ​  & BC​ AD​ ​   A

E

Tese:

B

Demonstração

A&B C&D

___

___

 raçando pelo ponto C um segmento paralelo a ​AD​ , determinamos o ponto E em AB​ T ​  . Assim, temos: ___

___

___

___

___

___ ___

• AD​ ​  & CE​ ​  (lados opostos de um paralelogramo)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1a propriedade

• ​AD​ & BC​ ​  (por hipótese) ___

___

• ​CE​ & BC​ ​  (​CE​ & AD​ ​  & BC​ ​  ) Logo, ECB é um triângulo isósceles. Portanto, B & E. Como E & A (ângulos correspondentes), concluímos que A & B. ___

Traçando pelo vértice D um segmento paralelo a CB​ ​ , provamos de maneira análoga que C & D.

2a propriedade Em um trapézio isósceles, as diagonais são congruentes. D

C

ABCD é um trapézio. Hipótese: ___ ___ ​AD​ & BC​ ​   ___

___

Tese: AC​ ​  & BD​ ​   A

246

B

CAPÍTULO 9    quadriláteros

236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 246

20/07/11 10:10

Demonstração Vamos destacar os triângulos ABC e BAD: C

A

D

B

A

B

Assim, temos: ___

___

• ​BC​​& AD​ ​ ​(por hipótese)

___

• B & A (ângulos adjacentes à base AB​ ​ ​do trapézio isósceles) ___

___

• ​AB​​& AB​ ​ ​(lado comum)

___

___

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Logo, pelo caso L.A.L. os triângulos ABC e BAD são congruentes. Portanto, AC​ ​ ​& BD​ ​ ​.

Exercícios PROPOSTOS 35 Calcule o valor de x e de y nos trapézios. x x

a) x 5 100w y 5 130w

a)

y y

y 5 70w

x 5 36w

4x 4x 4x 80° 80°

50° 50°

3x 3x 3x 2x 2x 2x

xxx

b)

b) x 5 70w

37 Calcule os valores de x e de y nos trapézios.

x 5 30w

150° 150° 150°

x x

y y 110° 110°

xxx

c)

36 Classifique cada trapézio em escaleno, isósce-

x 5 140w

xxx

y 5 40w

les ou retângulo. a)

140° 140° 140° isósceles

yyy

d) x 5 70w

b)

y 5 110w

70° 70° 70°

retângulo e escaleno

xxx

c)

38 Em um trapézio retângulo, a medida do ânescaleno

gulo obtuso é igual ao triplo da medida do ângulo agudo. Determine a medida do ângulo obtuso. 135w CAPÍTULO 9

236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 247

yyy

quadriláteros

247

20/07/11 10:10

y

2x

x

60°

x em cada trapézio, o 112° 39 Calcule, valor de x e de y.

a)

b)

x 5 40w

40°

x x 5 60w

y

2x

y

y 5 140w

y

2x

y

x

x

x 5 68w

c) y

y

40 No trapézio abaixo, temos AD​ ​  & BC​ ​   . Ax

y

B 1,2 y

y 5 112w

112°

x

60°

___

___

y 5 120w

60°

112°

40°

x

cm

3c

m

40°

D

Calcule a medida de cada diagonal.

x

C

4,2 cm

a 2 cm dos vértices da base menor, e elas formam entre si um ângulo de 60w. Desenhe esse trapézio.

42 Construa um trapézio isósceles cuja base maior mede 4 cm, sendo que cada um dos lados não paralelos mede 2 cm e forma com a base maior um ângulo de 50w.

43 O maior ângulo de um trapézio retângulo tem o dobro da medida do menor ângulo. Calcule as medidas dos ângulos internos desse trapézio.

60w, 90w, 90w, 120w

​______

​______

 ​ 44 Calcule x e y no trapézio, sabendo que AM  ​ e BM  ​  ​ são bissetrizes dos ângulos A e B, respectivamente.  

 

x 5 9w e y 5 98w

D

C 10x + 16° M y

A

Pense mais um pouco...

3x + 10°

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

41 As diagonais de um trapézio isósceles medem 6 cm. O ponto de encontro dessas diagonais está situado

B

respostas possíveis: a) Se um paralelogramo tem as diagonais congruentes, então ele é um retângulo. c) Se um paralelogramo tem as diagonais congruentes, então ele é um retângulo. g) Se um trapézio tem dois ângulos retos, então os lados não paralelos não são congruentes.

Descubra quais das sentenças abaixo são falsas. Reescreva-as no caderno, tornando-as verdadeiras. a) Se um quadrilátero tem as diagonais congruentes, então ele é um retângulo. F b) Se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares entre si, então ele é um losango. V c) Se um paralelogramo tem as diagonais congruentes, então ele é um losango. F d) Se um losango tem as diagonais congruentes, então ele é um quadrado. V e) Se um trapézio tem as diagonais con­gruen­tes, então ele é um trapézio isós­ce­les. V f) Se um trapézio tem os ângulos internos adjacentes a uma mesma base con­gruentes, então ele é um trapézio isósceles. V g) Se um trapézio tem dois ângulos retos, então os lados não paralelos são congruentes. F

248

CAPÍTULO 9    quadriláteros

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20/07/11 10:10

4 Propriedades da base média Propriedade da base média do triângulo O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo: • é chamado de base média; • é paralelo ao terceiro lado; • tem medida igual à metade da medida do terceiro lado. A

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

M

N1

N

D N2

B

C1 C

___ ___ ___ ___ ​ MN​  /BC​ ​   AM​ ​   ​  & MB​ Hipótese: ___ ___    Tese: BC ​AN​ & NC​ ​   MN 5 ​ ___ ​ 

2

Demonstração

___

​______

 onstrução auxiliar: traçamos pelo vértice C um segmento paralelo a ​AB​ , que cruza MN  C ​  ​ no ponto D.  

• A & C1 (ângulos alternos internos formados por duas paralelas e uma transversal) ___

___

• ​AN​ & NC​ ​  (por hipótese) • N1 & N2 (ângulos o.p.v.) Logo, :AMN & :CDN (pelo caso A.L.A.). ___

___

___

___

___

___

___

___ ___

• MN​ ​  & ND​ ​  (lados correspondentes de triângulos congruentes) • ​CD​ & AM​ ​  (lados correspondentes de triângulos congruentes) • ​AM​ & MB​ ​  (por hipótese) ___

___

• ​CD​ & MB​ ​  (​CD​ & AM​ ​  & MB​ ​  ) Assim, BCDM é paralelogramo. ___

___

___

___

Logo: ​MD​ /BC​ ​  ou MN​ ​   /BC​ ​  . ___

___

Além disso, ​MD​ & BC​ ​  ou, ainda, MN 1 ND 5 BC ___

___

Como ​ND​ & MN​ ​   , temos: 2 3 MN 5 BC. BC Portanto, MN 5 ​ ___ ​  . 2 CAPÍTULO 9    quadriláteros

236_256_BIANCHINI_MAT8_C09.indd 249

249

20/07/11 10:10

Propriedade da base média do trapézio O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio: • é chamado de base média; • é paralelo às bases; • tem medida igual à metade da soma das medidas das bases. ABCD é um trapézio.

D N1

M

N

___ ___ ​ ​& BM​ ​ ​ Hipótese: AM​ ___ ___ ​CN​​& DN​ ​ ​

N2 C1

B

Demonstração

Tese:

E

C

​______C

___ ___ ​ ​ MN​ /BC​ ​ ​

BC 1 AD MN 5 ​________​ 2 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

​_____C

Construção auxiliar: traçamos AN​ ​​ ​​e BC​ ​​ ​,​ que se cruzam no ponto E. C

C

• D & C1 (ângulos alternos internos formados por duas paralelas e uma transversal) ___

___

• ​CN​​& DN​ ​ ​(por hipótese) • N1 & N2 (ângulos o.p.v.)

___

___

___

___

​ ​e AD​ ​ ​& CE​ ​ .​ Logo, pelo caso A.L.A., :ADN & :ECN. Portanto, AN​ ​ ​& NE​ BE ___ ___ Além disso, MN 5 ​___​e ​MN​​ /BC​ ​ ​(propriedade da base média do triângulo) 2 ___

A

___

Pela construção da figura: BE 5 BC 1 CE.​Como ​CE​​& ​AD​,​podemos escrever: BE 5 BC 1 AD. Substituindo BE por (BC 1 AD) em MN 5 ​

2

​, temos: MN 5 ​

2

​ B A

M

N

M

4,5 cm

B

A

N

M

B

250

9 cm

14 cm

M

C

M

C

B

c) MN 2,4 cm

A

4,5 cm

A

M

N

C

B

B

4,8 cm

N

C

A

A CAPÍTULO 9

C

14 cm

b) BC 7 cm

N

___

___

45 Nas figuras, M e N são pontos médios de AB​e AC​, respectivamente. Determine: a) MN

C

14 cm

A

Exercícios PROPOSTOS

N

M

BC 1 AD ________

BE ___

quadriláteros

4,5 cm

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N

M

N

20/07/11 10:10

46 Nas figuras, M, N e___ P são, os ___ respectivamente, ___ pontos médios de AB​ ​  , AC​ ​  e BC​ ​  . Determine: a) o perímetro do :MNP; 12,5 cm

6 c6mcm

A A

10 10 cm N cm N

M M

M

A D A b) D D M

26 cm b) o perímetro do :ABC. A

A

5,5 cm 5,5 cm

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

4 cm 4 cm B B

N N

C C

P P

47 Na figura abaixo, M, N, P e Q são, ___ ___ ___ respecti​ AB​  , BC​ ​  , CD​ vamente, os pontos médios de ​   ___ e ​AD​ . D ____

___

___

___

MN​ /____ AC​ ​  e___ QP​ ​ /   AC​ ​   , ​   logo /QP​ ​ ___  ___ ____ ​MN​ ___  ​QM​  /____ BD​ ​  e___ PN​ ​   /BD​ ​   , logo ​QM​  /PN​ ​   Q paralelogramo 6 cm 8 cm 40 cm

P C

N

A

M

B

____ ___ a) Prove que MN​ ​  ?PQ​ ​  . ____ ___ b) Prove que ​QM ​ ?​PN ​ .

c) Que tipo de quadrilátero é MNPQ? ____ d) Se AC 5 12 cm, quanto mede ​MN ​?  ____ e) Se BD 5 16 cm, quanto mede QM  ​ ​?  ___ f) Se PN 5 20 cm, quanto mede ​BD​ ? 48 O lado do triângulo equilátero vermelho mede 6 cm. Desenhamos um segundo triângulo equilátero (verde) unindo os pontos médios do triângulo vermelho. Unindo os pontos médios do triângulo verde, desenhamos um terceiro triângulo equilátero (azul). Qual é o perímetro do triângulo azul? 4,5 cm

c)

8,6 cm

B

C8,6 cm 8,6 cm x C x 6 cmC

B B

6 cm 6 cm

N N N

D MD

x 5 3 cm

B

9 cm

A D A

N x 5 7 cm N N

x

M M A

3,5 cm 3,5 cm

C C

x x

A

9 cm

M M

5,4 cm 5,4xcm

D D

M M

C C

P 9 Pcm

B B

47a) b) c) d) e) f)

49 Nos seguintes trapézios, M e N são,___ respectiva___ mente, os pontos médios de ​AD​ e ​BC​ . Calcule a medida x. 5,4 cm a) C D

4,8 cm 9 cm C 9 cm 4,8 cm C 5,6 cm 4,8 C N

M M A

5,6 cm 5,6 cm x

N N B

A A

x x

B B

B B

x 5 6,4 cm

50 Considere um trapézio cujas bases medem 10 cm e 5 cm. a) Quanto mede o segmento de reta que une os pontos médios dos lados não paralelos desse trapézio? 7,5 cm b) Prolongando os lados não paralelos do trapézio, obtêm-se dois triângulos equi­láteros. Qual é o perímetro desse trapézio? 25 cm 51 Um trapézio tem 32 cm de altura e sua base média mede 45 cm. Determine a área desse trapézio. 1.440 cm 2

52 Em um trapézio isósceles, os lados não paralelos medem 12 cm e a base média 20 cm. a) Calcule o perímetro desse trapézio. 64 cm b) Se a base menor mede 8 cm, quanto mede a base maior desse trapézio? 32 cm 53 Em um trapézio, a base média forma com um dos lados não paralelos um ângulo de 45w e com o outro lado um ângulo de 60w. Calcule as medidas dos ângulos desse trapézio. 45w, 60w, 120w, 135w CAPÍTULO 9    quadriláteros

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251

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TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Interpretando um infográfico DENGUE: UM PROBLEMA QUE PERDURA A dengue é uma doença que afeta mais de 50 milhões de pessoas por ano no mundo. No Brasil, os surtos da doença têm sido frequentes. A erradicação da dengue no país não é uma tarefa fácil, pois o Brasil oferece condições ideais para o desenvolvimento do transmissor, o mosquito Aedes aegypti.

10 mm

A fêmea adulta do mosquito Aedes aegypti pica alguém já infectado pelo vírus da dengue e também se contamina. Ao picar outra pessoa, a fêmea (apenas ela) transmite a doença. Não existe transmissão direta entre pessoas.

Em contato com a água, os ovos eclodem, liberando as larvas.

Machos alimentam-se do néctar de flores.

3 mm

As larvas se transformam em pupa. A chance de esses novos mosquitos herdarem o vírus da dengue é de 40%.

5 mm

OS SURTOS DA DOENÇA NOS ÚLTIMOS ANOS No Brasil, o Aedes aegypti encontrou condições favoráveis à proliferação. Entretanto, o país não manteve campanhas permanentes de combate ao mosquito, nem investiu substancialmente nos sistemas de saúde e saneamento.

Casos de dengue em 2009 RR

AP

Evolução da dengue no Brasil AM

Casos de dengue, em mil

PA

1.000

TO

RO

BA

MT

800

GO

O Brasil tem os 4 tipos de vírus da dengue.

400 200

252

MG

MS

600

0

PB PE AL SE

PI

AC

RN

CE

MA

1998

CAPÍTULO 9

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009 2010

SP PR

ES RJ

SC RS

Acima de 16.000

2.000 - 3.999

8.000 - 15.999

1.000 - 1.999

4.000 - 7.999

0 - 999

quadriláteros

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B E

Criadouros A fêmea procura um local para depositar os ovos. Lixo e reservatórios com água parada oferecem meios para a procriação do mosquito: da desova até a transformação das larvas em mosquitos adultos.

Onde o risco de surto é maior? Os criadouros são mais comuns nas cidades, onde a população é maior e mais concentrada.

OS SINTOMAS Na forma clássica, os sintomas são febre, dor de cabeça, dor no corpo, nas articulações e nos olhos. Na forma hemorrágica, ocorrem também vômitos, sangramentos no nariz e na gengiva, sonolência, sede, confusão mental, dificuldade respiratória e pulsação fraca. Há risco de morte. Essa forma ocorre quando a pessoa tem dengue pela segunda vez e por um vírus diferente da primeira infecção. Existem quatro tipos de vírus.

Os ovos do Aedes se desenvolvem em contato com a água e em temperaturas acima de 16 ºC, e podem sobreviver até 450 dias sem água.

No período de chuvas, o nível de água dos criadouros sobe e alcança os ovos.

1. Pela picada da fêmea adulta do mosquito Aedes​aegypti. 2. resposta possível: De 2009 para 2010 houve um aumento de 400 mil casos, aproximadamente. 3. dengue clássica: febre, dor de cabeça, dor no corpo, nas articulações e nos olhos; dengue hemorrágica: além dos sintomas anteriores, vômitos, sangramentos no nariz e na gengiva, sonolência, sede, confusão mental, dificuldade respiratória e pulsação fraca.

Fontes: Ministério da Saúde. Disponível em: portal.saude. gov.br. Acesso em: 3 mar. 2011; Fiocruz. Disponível em: www.ioc.fiocruz.br. Acesso em: 3 fev. 2011; Sucen. Disponível em: www.sucen.sp.gov.br. Acesso em: 10 mar. 2011. Estadão. Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 10 mar. 2011.

Atividades

Os ovos têm 1 mm de comprimento.

1 Como a dengue pode ser transmitida? 2 Observe o gráfico de linha que re-

Quando o perigo é maior? Os casos de dengue aumentam nas épocas chuvosas. A água fica retida nos criadouros, facilitando a proliferação do Aedes aegypti. O gráfico mostra dados de Goiânia, que registrou um dos maiores índices de internações causadas pela dengue em 2009. Nota-se relação direta entre o volume de chuvas e o número de casos mensais. Internações por dengue clássica

Chuva acumulada mensal (mm)

gistra o número de casos da doença no Brasil, de 1998 a 2010. O que é possível concluir sobre esse número a partir de 2009?

3 Quais são os sintomas da chamada

250

500

dengue clássica? E da dengue hemorrágica?

200

400

4 Muitas ações de saúde podem ser

150

300

100

200

50

100

0

Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.

0

tomadas pela população. No caso da dengue, como as pessoas podem colaborar para combatê-la?

5 Observe o mapa. O estado onde você reside está entre os mais atingidos pela dengue? Qual a quantidade de casos registrados em seu estado? resposta pessoal

4. resposta possível: Não deixar recipientes destampados com água parada. CAPÍTULO 9

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quadriláteros

253

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Exercícios COMPLEMENTARES ___

59 Desenhe dois segmentos não congruentes ​AB​​e ___

54 Reconheça os quadriláteros da figura. H

G

​CD​​, perpendiculares entre si e que se cruzam nos respectivos pontos médios. Que tipo de paralelogramo você obtém ao unir os vértices A, B, C e D? Justifique sua resposta.

F

Losango, porque as diagonais são perpendiculares entre si e se cruzam nos respectivos pontos médios.

B

C

D

E

a)​ BDFH retângulo b)​AEFH trapézio isósceles c)​ ACGH trapézio retângulo d)​BCGH quadrado

60 Calcule o valor de x nos seguintes paralelogramos. a)

5x − 56°

55 Classifique cada sentença como verdadeira (V) ou falsa (F).

b)

a) Retângulo é o paralelogramo que tem os quatro ângulos retos. V b) Em um trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são suplementares. F c) Em todo paralelogramo, as diagonais são congruentes. F d) Em um retângulo, as diagonais são congruentes. V e) A soma dos ângulos internos de um trapézio é 360w. V f) Em todo paralelogramo, os lados opostos são paralelos. V

2x

61 A altura de um paralelogramo forma, com um dos lados, um ângulo de 35w. Calcule as medidas dos ângulos desse paralelogramo. 55w, 55w, 125w, 125w

62 Uma das diagonais de um losango forma, com um dos lados, um ângulo de 28w. Calcule as medidas dos ângulos desse losango.

a)

x 5 15w

x + 40° x + 40°

x

57 Em um quadrilátero, as medidas dos ângulos internos são expressas em graus por x, 2x, x 1 50w e x 1 60w. Determine a medida do maior ângulo. 110w ___

b)

2x + 7° 2x + 7°

3x + 10° 3x + 10° x 5 50w

2x − 27° 2x − 27°

___

58 Desenhe no caderno dois segmentos ​AB​​e CD​ ​ ​ que se interceptam nos seus respectivos pontos médios. Que tipo de quadrilátero você obtém unindo os vértices A, B, C e D? Justifique sua resposta. ABCD é um paralelogramo, porque suas diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios.

CAPÍTULO 9

5x + 12°

63 Calcule o valor de x nos seguintes trapézios.

50°

254

x 5 24w

56w, 56w, 124w, 124w

56 Calcule a medida x no quadrilátero. x​5 70w

2x + 10°

x 5 36w

3x + 16°

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

64 Em um trapézio retângulo, a medida do ân-

gulo obtuso é o triplo da medida do ângulo agudo. Calcule as medidas dos ângulos do trapézio. 45w, 90w, 90w e 135w

quadriláteros

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65 Um dos ângulos externos de um trapézio retângulo mede 118w. Calcule a medida do ângulo obtuso desse trapézio. 118w

66 O perímetro de um trapézio isósceles é 66 cm. A base média mede 20 cm. Quanto mede cada um dos lados não paralelos? 13 cm

67 A base média de um trapézio isósceles mede

30 cm. Cada um dos lados congruentes mede 10 cm. Calcule o perímetro desse trapézio. 80 cm

68 Construa um triângulo retângulo ABC, ___reto

em B. Marque o ponto médio M de AC​ ​ ​e o ponto​ D, simétrico de B em relação a M. Prove que ABCD é um paralelogramo. Como D é simétrico de B em relação que BM 5 MD e, ___ a M, temos ___ ___ . Assim, BD​ ​  e AC​ ​  se cruzam nos portanto, M é o ponto médio de ​BD​  seus respectivos pontos médios. Logo, ABCD é um paralelogramo.

TESTES

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

69 Considere as afirmações. I. As diagonais de um paralelogramo se cruzam nos respectivos pontos médios. II. As diagonais de um paralelogramo são perpendiculares. III. As diagonais de um paralelogramo são congruentes. Qual é a alternativa correta? a) b) X c) d)

Todas as afirmações são verdadeiras. Todas as afirmações são falsas. Apenas uma afirmação é verdadeira. Apenas uma afirmação é falsa.

internos congruentes e os quatro lados congruentes é o: retângulo. quadrado. losango. trapézio.

a metade da medida da base maior. a metade da medida da base menor. a soma das medidas das bases. a semissoma das medidas das bases.

74 As bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo formam um ângulo:

75 Em um trapézio isósceles, um dos ângulos obtusos mede 120w. O ângulo obtuso formado pelas bissetrizes internas dos ângulos agudos mede:

Todo quadrado é retângulo. Todo losango é um paralelogramo. Todo quadrado é um losango. Todo paralelogramo é retângulo.

triângulo equilátero PQR, com 7 cm de lado, sendo M o ponto médio do lado PR. Q

S

M

a) b) c) X d)

a) agudo. reto. c) obtuso. d) raso.

72 (UFF-RJ) Um pedaço de papel tem a forma do

P

9 17,5 24,5 28 49

X b)

71 Qual é a afirmação falsa? a) b) c) X d)

a) X b) c) d) e)

73 A base média de um trapézio tem por medida:

70 O paralelogramo que tem os quatro ângulos a) X b) c) d)

Dobra-se o papel de modo que os pontos Q​ e M​coincidam, conforme ilustrado acima. O perímetro do trapézio PSTR, em cm, é igual a:

R

P

30w 60w 120w 150w

76 Um retângulo é formado por cinco quadrados congruentes. Se o perímetro de cada quadrado é 6,24 cm, então o perímetro do retângulo é:

T

Q≡M

a) b) X c) d)

R

a) b) X c) d)

62,4 cm 31,2 cm 18,72 cm 15,60 cm CAPÍTULO 9

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quadriláteros

255

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____

77 No trapézio ABCD, o segmento MN​ ​  é a base média. x+3

2x + 2

M

C

D

B

N

vale sempre afirmar, exceto:

4x − 3

___

___

a) as bases AB​ ​  e CD​ ​  são paralelas. b) os ângulos internos A e B são con­gruen­tes (iguais). ___ ___ c) os lados ​AD​ e BC​ ​  são congruentes (iguais). X d) a altura é a semissoma das bases. e) a distância entre as bases fornece a altura.

C

D

B

A

O valor de x é: a) 3 X b) 4 c) 5 d) 6

____

81 No trapézio ABCD, o segmento MN  ​ ​ é a base

78 Observe a figura.

média e mede 15 cm. A

B N

M x

C

D

145°

___

___ Se DC 5 2 3 AB, então DC​ ​  e AB​ ​  medem, res-

pectivamente: a) 10 cm e 5 cm b) 5 cm e 10 cm

O valor de x é: a) 35w b) 135w X c) 145w d) 155w

cm e 10 cm d) 10 cm e 20 cm

82 (FSA-SP) Da afirmação Se ABCD é um retângulo, então ABCD é um paralelogramo,

79 ABCD é um paralelogramo. A

B a + 70° 2a

D

C

A medida do ângulo interno B é: X a) 40w

b) 50w c) 60w d) 70w

256

X c) 20

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

80 (Esal-MG) No trapézio isósceles

podemos concluir que: a) se ABCD não é um retângulo, então ABCD não é um paralelogramo. b) se ABCD é um paralelogramo, então ABCD é um retângulo. c) se ABCD não é um retângulo, então ABCD é um paralelogramo. d) se ABCD não é um paralelogramo, então ABCD é um retângulo. X e) se ABCD não é um paralelogramo, então ABCD não é um retângulo.

CAPÍTULO 9    quadriláteros

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CAPÍTULO

10

Circunferência e círculo

Criado na Inglaterra, o ciclismo iniciou-se como esporte em meados do século XIX, época em que o aperfeiçoamento das bicicletas possibilitou o alcance de velocidades maiores. Geralmente esse esporte é dividido em quatro categorias: provas em estradas, provas em pistas, provas de montanha e provas em pistas de terra. É praticado com diversos tipos e modelos de bicicletas.

Agora, responda. • As rodas das bicicletas da foto lembram círculos ou circunferências?

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CLIFFoRd WhIte/CoRBIS/LAtINStoCk

Matemática no mundo

circunferências

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1 A circunferência e seus elementos Veja a seguinte situação. Para traçar o canteiro de uma praça, o jardineiro Luís usou uma corda presa a duas hastes de madeira, uma em cada ponta. Fincando uma das hastes no chão e mantendo a corda esticada, riscou a terra com a outra haste, dando uma volta completa.

Circunferência é a linha formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma distância de um ponto fixo desse plano. O ponto fixo é chamado de centro da circunferência. Considere a seguinte circunferência.

O

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O traçado obtido pelo jardineiro dá ideia de uma circunferência.

Nessa circunferência, o centro é o ponto O. Um segmento cujos extremos são o centro e um ponto qualquer da circunferência é chamado de raio da circunferência. Um segmento cujos extremos são dois pontos de uma circunferência é chamado de corda. Toda corda que passa pelo centro de uma circunferência é chamada de diâmetro. A

Na circunferência ao lado, temos:

B

• O é o centro;

___ • AB​ ​  é uma corda; ___ • CD​ ​  é um diâmetro; ____ • OM ​ ​  é um raio.

O

r

C

r

D

r M

Observe que a medida do diâmetro é igual ao dobro da medida do raio. Indicando a medida do diâmetro por D, temos: D  2r. 258

CAPÍTULO 10    CIRCUNFERênCIA E CÍRCULO

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Exercícios PROPOSTOS 1 Considerando a fi gura abaixo, classifi que os segmentos como raio, corda ou diâmetro. C

O

A

5 Determine o que se pede nas circunferências de centro O. raio: 11 a) Medida do raio e do diâmetro. diâmetro: 22 8 8 – – +y y 2x 2 x + 3 + x3+ 3x 2 y– 3 3 2y O– 3 O

B

D

___

___

___

c) ​BC​ ___ ​corda d) ​AB​ ​diâmetro

e) CD​ ​___​corda f) ​OD​​raio

___

b) Medida do raio, do diâmetro e da corda ​AB​.​ raio: 20

2 Com o auxílio de um compasso, trace uma circunferência com os raios dados. A seguir, indique um diâmetro, um raio e uma corda. a) r  2 cm b) r​ 1,5 cm

diâmetro: 40

x + 3ycorda: 12 x + 3y O

O

3 Considere a fi gura abaixo. M

A

C

B

O

x+y A

A

x+y

2x

2x

B

2x – yB 2x 4 – y

4

6 Determine o perímetro do triângulo ABC.

32

N A

4 A maior cratera conhecida do nosso sistema so lar está em Mercúrio, planeta mais pró ximo do Sol. O diâmetro dessa cratera me de aproxi ma da men te 1.300 km. Determine, em metro, a medida aproximada do raio dessa cra tera.

2y – 3x

C

O

y

a) Se OC  x, quanto vale OB ? x b) Se OA  y, quanto vale AB ? 2y c) Se OM  3 cm, quanto vale MN ? 6 cm d) Se AB  10 cm, quanto vale MN ? 10 cm e) Se MN  8 cm, quanto vale ON​? 4 cm

x+

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) ​___ OB​​ raio b) ​OC​​ raio

3y – 6

x

B

7 Na fi gura abaixo, temos duas circunferências com mesmo raio, e as medidas estão em uma mesma unidade.

ChRIS ButLeR/SCIeNCe Photo LIBRARY/LAtINStoCk

650.000 m

x

9

x

y

x

x

x

y

x

x 16

Determine a medida do raio das circunferências. 2,5 CAPÍTULO 10

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CIRCUNFERêNCIA E CÍRCULO

259

20/07/11 10:12

2 O círculo Uma circunferência de centro O contida em um plano a determina duas regiões: região interna e região externa. Na figura ao lado, temos: • a circunferência está pintada de laranja; • a região interna à circunferência está pintada de amarelo. O centro pertence à região interna;

O

• a região externa está pintada de azul. α

círculo

circunferência

3 Posições relativas Posições relativas de um ponto em relação a uma circunferência Se uma circunferência está contida em um plano a, então um ponto qualquer de a pode ser interno, externo ou pertencente à circunferência. Veja a figura abaixo, em que a circunferência tem centro O e raio r.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A região do plano formada por uma circunferência e pela região interna a ela é chamada de círculo.

P D r O B α

CC Se a distância de um ponto ao centro de uma circunferência é maior que a medida do raio

dessa circunferência, dizemos que ele é externo a ela. Na figura acima, OD . r ; logo, o ponto D é externo à circunferência. CC Se a distância de um ponto ao centro de uma circunferência é menor que a medida do raio

dessa circunferência, dizemos que ele é interno a ela. OB , r ; logo, o ponto B é interno à circunferência. CC Se a distância de um ponto ao centro de uma circunferência é igual à medida do raio dessa

circunferência, dizemos que ele pertence a ela. OP 5 r ; logo, o ponto P pertence à circunferência. 260

CAPÍTULO 10    CIRCUNFERênCIA E CÍRCULO

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20/07/11 10:12

Exercícios PROPOSTOS 11a) Cristina está na região interna à circunferência e Rosana, na região externa.

8 Observe a fi gura abaixo.

11 No chão do pátio da escola onde Cristina estuda, há o desenho de uma circunferência que tem 6 m de diâmetro. Certo dia, Cristina estava a 2 m do centro dessa circunferência e sua amiga, Rosana, a 7 m.

α

A B O

a) Qual é a posição de Cristina e de Rosana em relação à circunferência? b) Determine a distância entre elas, sabendo que Cristina, Rosana e o centro dessa circunferência estão sobre uma mesma reta.

C D

Indique: a) os pontos internos à circunferência; B e O b) o ponto externo à circunferência; C c) os pontos pertencentes à circunferência.

5 m ou 9 m

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

AeD

9 Estabeleça uma relação de igualdade ou desi___ gualdade entre as medidas dos segmentos, ​ OA​,​ ___ ___ ​OB​​ e ​OC​​ com o raio de medida r da circunferência do exercício anterior. OA 5 r, OB , r, OC . r 10 Uma circunferência de centro O e raio de 3 cm está contida em um plano a. Os pontos M, N, P e Q pertencem a esse mesmo plano. Verifi que qual é a posição desses pontos em relação à circunferência, sabendo que: a) M dista 4 cm de O; externo b) N dista 3 cm de O; pertence c) P dista 2,5 cm de O; interno d) Q dista 1 cm de O. interno

12 Trace uma circunferência de centro O. Marque sobre ela dois pontos distintos M e N, não colineares com o ponto O. Qual é a natureza do triângulo MON​? triângulo isósceles 13 Trace uma circunferência de centro O e marque sobre ela dois pontos distintos A e B, não colineares com o ponto O. ​______ Construa o triân gulo AOB e trace a bissetriz ​OD​ ​ ​do ân​ gulo AOB, com D pertencente a AB. C

 

a) Como são as medidas dos ângulos OBA e OAB? iguais ___ b) Como são as medidas dos segmentos ​ AD​ ​e ___ ​ ​? iguais BD​ c) Quanto às medidas dos ângulos, como se classifi ca o triângulo ODB? triângulo retângulo

Posições relativas de uma reta em relação a uma circunferência Em relação a uma circunferência, uma reta pode ser secante, tangente ou exterior. Vamos analisar cada caso. Uma reta é secante a uma circunferência quando tem dois pontos em comum com ela.

A

O

B

s

A reta s é secante à circunferência. Observe que uma reta secante determina uma corda da circunferência. CAPÍTULO 10

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CIRCUNFERêNCIA E CÍRCULO

261

20/07/11 10:12

Agora, vamos demonstrar a seguinte propriedade, referente à corda de uma circunferência. Toda reta perpendicular a uma corda e que passa pelo centro da circunferência passa pelo ponto médio da corda. Demonstração

___



B

___



Na figura ao lado, OM  ​  ​ t ​AB​ e O é o centro da circunferência.  

 

Como OA 5 OB, então :AOB é isósceles.

____ ____ Como OM  ​ ​ é altura, ​OM ​ também é mediana, pois em um

triângulo isósceles a mediana e a____ altura relativas à base desse triângulo ​ ​ é mediana, M é o ponto ___ coincidem. Logo, se OM  médio de ​AB​ .

M O

A

A

t

A reta t é tangente à circunferência. A é o ponto de tangência.

O

OBSERVAÇÕES CC

A distância da reta tangente ao centro de uma circunferência é igual à medida de seu raio.

CC

Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio traçado pelo ponto de tangência.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Uma reta é tangente a uma circunferência quando tem apenas um ponto em comum com ela.

Uma reta é externa ou exterior a uma circunferência quando não tem nenhum ponto em comum com ela.

s

A reta s é externa à circunferência.

O

262

CAPÍTULO 10    CIRCUNFERênCIA E CÍRCULO

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20/07/11 10:12

Assim, representando por d a distância do centro O à reta u e por r a medida do raio, temos: u

u u d

d

d

O

O

O

d,r reta secante

dr reta tangente

d.r reta exterior

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exercícios PROPOSTOS 15 Com o auxílio de régua e compasso, trace a circunferência de raio r e a reta s cuja distância até o centro da circunferência é d, nos seguintes casos. Depois, classifi que a reta s em relação à circunferência. a) r  1,5 cm secante c) r  1,5 cm exterior d  1 cm d  2 cm b) r  1,5 cm tangente d  1,5 cm

14 Observe a fi gura.

G O1 O2

B D

s



A

E

r

Classifi que: a) a reta r em relação à circunferência de centro O1; tangente b) a reta r em relação à circunferência de centro O2; secante c) a reta s em relação à circunferência de centro O1; secante d) a reta s em relação à circunferência de centro O2. exterior

16 Considere uma circunferência de centro O e raio de medida r. Indicando por d a distância de uma reta ao centro, dê a posição relativa da reta em relação à circunferência nos seguintes casos. a) d  8 cm e r  5 cm externa b) d  4,5 cm e r  6 cm secante c) d  3 cm e r  3 cm tangente d) d  5,2 cm e r  5 cm externa e) d  8,5 cm e r  8,5 cm tangente f) d  6 cm e r  9 cm secante

Pense mais um pouco...

Uma metalúrgica produziu uma placa retangular de alumínio de dimensões 20 cm por 15 cm. Dessa placa os operários recortaram dois círculos, como mostra a fi gura ao lado. a) Com a sobra dessa placa, os operários recortaram outros quatro 15 cm círculos idênticos e com raios de maior medida possível. Qual é a medida do raio desses círculos? 2,5 cm b) Considerando os círculos pequenos do item anterior, determine quantas placas inteiras seriam necessárias para obter 120 círculos como esses. 10 placas

CAPÍTULO 10

257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 263

20 cm

CIRCUNFERêNCIA E CÍRCULO

263

20/07/11 10:12

Posições relativas de duas circunferências Duas circunferências podem ser secantes, tangentes exteriores, tangentes interiores, externas ou internas. Para analisar cada caso, consideremos uma circunferência de centro O1 e raio de medida r1, uma circunferência de centro O2 e raio de medida r2 e indiquemos por d a distância entre esses centros. Duas circunferências são secantes quando têm dois pontos comuns. Nesse caso, a distância entre seus centros é menor que a soma das medidas de seus raios e maior que a diferença entre elas. A

r1

d , r1 1 r2 e d . r1 2 r2

r2

O1

O2

d

Duas circunferências são tangentes exteriores quando têm um só ponto em comum e a distância entre seus centros é igual à soma das medidas dos seus raios.

r1

A

O1 d

d 5 r1 1 r2

r2 O2

Duas circunferências são tangentes interiores quando têm um só ponto em comum e a distância entre seus centros é igual à diferença entre as medidas dos raios. A

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

B

r2 O2 r1

d

d 5 r1 2 r2

O1

Duas circunferências são externas quando não têm ponto em comum e a distância entre seus centros é maior que a soma das medidas de seus raios.

O1

r1

d

264

d . r1 1 r2

r2 O2

CAPÍTULO 10    CIRCUNFERênCIA E CÍRCULO

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20/07/11 10:12

Duas circunferências são internas quando não têm ponto em comum e a distância entre seus centros é menor que a diferença entre as medidas dos seus raios.

r2 O2 r1

d

d , r1 2 r2

O1

Como exemplo, considere duas circunferências: uma de raio com medida r1 5 5 cm e outra de raio com medida r2 5 3 cm. Indicando por d a distância entre os centros dessas circunferências, vamos determinar a posição relativa das circunferências nos seguintes casos: a) d 5 10 cm

b) d 5 8 cm

c) d 5 2 cm

d) d 5 1 cm

e) d 5 4 cm

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Calculamos a soma e a diferença entre as medidas dos raios: r1 1 r2 5 5 cm 1 3 cm 5 8 cm r1 2 r2 5 5 cm 2 3 cm 5 2 cm a) 10 . 8, ou seja, d . r1 1 r2  p  As circunferências são externas. b) 8 5 8, ou seja, d 5 r1 1 r2  p  As circunferências são tangentes exteriores. c) 2 5 2, ou seja, d 5 r1 2 r2  p  As circunferências são tangentes interiores. d) 1 , 2, ou seja, d , r1 2 r2  p  As circunferências são internas. e) 4 . 2 e 4 , 8, ou seja, d . r1 2 r2 e d , r1 1 r2  p  As circunferências são secantes. Também poderíamos determinar essas posições relativas desenhando as circunferências.

Circunferências concêntricas Um caso particular de circunferências internas é aquele em que as circunferências têm o mesmo centro. Elas são chamadas de circunferências concêntricas, e a parte do plano compreendida entre elas é chamada de coroa circular.

r1 r2

coroa circular

O1 = O2

Ra

da

r_M

a r k / S h u t t e r s to

ck

Podemos observar circunferências concêntricas nesta foto de um alvo.

CAPÍTULO 10    CIRCUNFERênCIA E CÍRCULO

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265

20/07/11 10:12

Exercícios PROPOSTOS 17 Dê a posição relativa das circunferências: a) vermelha e verde; b) vermelha e marrom; c) verde e marrom; tangentes exteriores

externas

secantes

d) marrom e azul. tangentes interiores

B A

D

B 12

19 Determine a distância entre os centros das seguintes circunferências. a) 30 b) 11

A

B

19

B

A

12

8

18

20 Em cada item, identifi que a posição relativa entre as duas circunferências, sendo r1 e r2 seus raios e d a distância entre seus centros. tangentes exteriores a) r1  4 cm, r2  5 cm e d  9 cm d) r1  6 cm, r2  4 cm e d  8 cm secantes b) r1  3 cm, r2B  5 cm e d  10 cm externas e) r1  6 cm, r2  4 cm e d  1 cm internas 19 c) r1  6 cm, r2  4 cm e d  2 cm f) r1  7 cm, r2  5 cm e d  0 cm concêntricas 8

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

18 Veja ao lado o símbolo das Olimpíadas. A Dê a posição relativa das circunferências das coroas circulares representadas pelas cores: 18 a) azul e amarela; secantes c) preta e vermelha. externas b) verde e vermelha; secantes

oLekSIY MAkSYMeNko/ ALAMY/otheR IMAGeS

E

A tangentes interiores

Pense mais um pouco...

A fi gura abaixo representa duas polias. Sabendo que a distância entre seus centros é 36 cm e que a medida do raio de uma é o dobro da medida do raio da outra, determine a medida do raio de cada uma. 8 cm e 16 cm

12 cm

266

CAPÍTULO 10

CIRCUNFERêNCIA E CÍRCULO

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20/07/11 10:12

4 Segmentos tangentes a uma circunferência Vamos considerar a circunferência de centro O e raio de medida r e um ponto P externo a ela. r

O

P

___

___

Agora, tracemos por P os segmentos tangentes PA​ ​  e PB​ ​  . A

O P

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

B

___ ___ ___ ___ ___ ___ Como ​PA​ e ​PB​ são tangentes à circunferência, temos: ​PA​ t ​AO​ e ​PB​ t ​OB​.  Assim, unindo A,

B e P ao centro O, obtemos os triângulos retângulos PAO e PBO. A

O P

B

Esses triângulos são congruentes pelo caso C.H. (cateto, hipotenusa). ___

___

​  & PB​ Logo, PA​ ​  . Os segmentos tangentes traçados de um mesmo ponto exterior a uma circunferência são congruentes. Veja os exemplos. Calcular o valor de x nas figuras. a)

b)

A

x



x 5 21 cm

O 4

O

6 b

a

B

B

Como PA 5 PB, temos:

c)

16

P

O

P

3x − 5

A

21 cm

x

Como PA 5 PB, temos:

Como a 5 4 e b 5 6, temos:



3x 2 5 5 16



x5416



3x 5 21 3x 21 ​ ___ ​ 5 ​ ___ ​  3 3 x57



x 5 10



CAPÍTULO 10    CIRCUNFERênCIA E CÍRCULO

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267

20/07/11 10:12

Triângulo circunscrito Dizemos que um triângulo está circunscrito a uma circunferência se seus lados são tangentes a ela. Nesse caso, também dizemos que a circunferência está inscrita no triângulo. O triângulo ABC abaixo está circunscrito à circunferência. A

M

P O

B

C

N

Os pontos M, N e P são chamados de pontos de tangência. Veja o exemplo.

​

x  35 1 20

​

x  55

20

b M

x

Como a  35 e b  20, temos:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

Considere o triângulo ABC, circunscrito à circunferência. Calcular o valor de x.

P

a

O

B

C

N

35

T

Exercícios 2a + 4b PROPOSTOS

P a−b

O

Q 3bCalcule os valores de x, a e b. +2 R 3a − b 21 a) x 5 10

S

b)

A

4x

−1

T

P

P 5x

a 5 10 b52

2a + 4b

a−b

O

O

−1

1

Q

B

3b + 2

A

22 Determine o valor de x em cada caso. a) x 5 9 2 b)

−1

19

c)4xx 5 15 P

x 5 2,9

x

x

O

5x 5 −1

1

B 7

S

3a − b

R

x−1

3,1 6

268

CAPÍTULO 10

CIRCUNFERêNCIA E CÍRCULO

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20/07/11 10:12

23 Calcule, em cada caso, o perímetro do triângulo ABC. A a) c)

A

40

54

4 3x

8

2x − 5

C x x+4

B

b)

x+3

2x − 2

B

C

d) 60

A

A

96

x+1

4

A

C

3x

x 2x − 5

2x − 5

C x

C x+8

B Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5

x+5

A

B

x B

C

N

Quadrilátero circunscrito

D

Dizemos que um quadrilátero está circunscrito a uma circunferência se seus lados são tangentes a ela. Também dizemos que a circunferência está inscrita no quadrilátero. O quadrilátero ABCD ao lado está circunscrito à circunferência.

M P

O

A

Q

B

Veja o exemplo. Considere o quadrilátero ABCD, circunscrito à circunferência. Calcular as somas das medidas dos lados opostos. D

d

d

P

Q a A

O

a

M

b

c

C c

AB 1 CD 5 a 1 b 1 c 1 d

N

BC 1 AD 5 b 1 c 1 a 1 d

b

Logo: AB 1 CD 5 BC 1 AD

B

Em todo quadrilátero circunscrito a uma circunferência, as somas das medidas dos lados opostos são iguais. Vale também a propriedade recíproca: Se as somas das medidas dos lados opostos de um quadrilátero são iguais, então ele pode ser circunscrito a uma circunferência.

CAPÍTULO 10    CIRCUNFERênCIA E CÍRCULO

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269

22/07/11 09:28

x+5

OBSERVAÇÃO C 

Assim como triângulos e quadriláteros podem ser circunscritos a uma circunferência, triângulos e quadriláteros também podem ser inscritos em uma circunferência. Nesse caso, os vértices do triângulo (ou do quadrilátero) são pontos da circunferência. Observe os exemplos. x

12 O

17 triângulo​inscrito

quadrilátero​inscrito 13 x

12

x+6

17

24 Calcule o valor de x nas fi guras abaixo. x 5 10 a) b) x 5 16 x

x

O

O

2x − 6

13

c)

x+2

x56

x 3x − 11

x+6

12

O

O

17

x

x+2

O

2x − 3 2x − 6

13

x 25 José fez um esquema a mão livre de como gostaria que fosse construída uma piscina circular no terreno x+2 dele. Observe o esquema abaixo. 3x − 11

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exercícios PROPOSTOS

x+2

8m

x+6 O

x+2

x

O 46 m 2x − 3

36 m 2x − 6 x

38 m

Não. Só é possível circunscrever um quadrilátero a uma circunferência quando as somas das medidas dos lados opostos desse quadrilátero forem iguais, o que não acontece nessa situação.

3x − 11 É possível construir a piscina de acordo com o esquema que José fez? Justifi que sua resposta. O

x+2 26 As medidas dos lados de um quadrilátero ABCD são AB  4 cm, BC  3 cm, CD  6 cm e AD  5 cm. Esse quadrilátero pode ser circunscrito a uma circunferência? Por quê? não; porque AB 1 CD % BC 1 AD 2x − 3

27 Um trapézio isósceles é circunscrito a uma circunferência e suas bases medem 11 cm e 7 cm. Quanto mede cada um dos outros dois lados? 9 cm 28 Um quadrilátero ABCD pode ser circunscrito a uma circunferência. As medidas de seus lados são AD  12 cm, DC  9 cm, BC  x 1 7 e AB  2x 1 1. Qual é o perímetro desse quadrilátero? 56 cm 270

CAPÍTULO 10

CIRCUNFERêNCIA E CÍRCULO

257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 270

20/07/11 10:12

5 Arcos e ângulos em uma circunferência Arco de circunferência Dois pontos distintos de uma circunferência dividem-na em duas partes. Cada uma dessas partes é chamada de arco. A

A

B

B

A

B

arco menor

arco maior

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Como existem dois arcos de extremos A e B, é preciso diferenciar um do outro. Assim, o arco + menor será indicado por AB​ ​  . Para indicar o arco maior, usaremos um terceiro ponto auxiliar. Veja as figuras. A

A

M

B

B arco AMB

arco AB

Quando os extremos A e B coincidirem com os extremos de um diâmetro, cada um dos arcos será chamado de semicircunferência.

A

O

B

semicircunferência

Em uma circunferência, alguns ângulos recebem nomes especiais. Vamos estudar o ângulo central e o ângulo inscrito.

Ângulo central Ângulo central é todo ângulo que tem seu vértice no centro de uma circunferência. + Na figura ao lado, AOB é um ângulo central e AB​ ​  é o arco correspondente a esse ângulo.

A O

A medida (em grau) de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente.

M

B m(​+ AB​  ) 5 m(AOB)

CAPÍTULO 10    CIRCUNFERênCIA E CÍRCULO

257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 271

271

20/07/11 10:12

Veja os exemplos. Vamos determinar a medida dos arcos indicados em cada item. a)

b) BB B

OO O

c)

BB B CC C 60° 60° 90° 90° 60° 90° 75° 75° 75°O O O135° 135° 135° DD D

52° 52° 52° AA A

MM M

m(+ AB) 5 m(AOB) 5 52w

AA A

OO O CC C EE E AA A

m(+ AB) 5 90w +) 5 60w m(BC

Como a circunferência tem 360w: +) 5 360w 2 52w m(AMB

m(+ AB) 5 70w + ) 5 70w m(EF

m(+ CD) 5 75w +) 5 135w m(AD

m(+ AMB) 5 308w

70° 70° 70° D D D FF F BB B

m(+ CD) 5 70w



O sistema de medida de arcos é sexagesimal; portanto, são necessários 60 minutos (60e) para obter 1w , e 60 segundos (60E) para obter 1e.

Exercícios PROPOSTOS 29 Observe as figuras abaixo. G

A

C

O

180°

C

D

F

100°

O

65° B

c) m(+ CD ) 180w d) m(+ CED) 180w

H

O

I

E

Determine: a) m(+ AB) 65w b) m(+ ACB) 295w

90°

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

OBSERVAÇÃO

+) e) m(HG f) m(+ FG )

+) 190w g) m(HGF h) m(+ FIH ) 170w

90w 100w

30 Determine o valor de x e de y nas figuras abaixo. a)

b) x

O

34°

3x

d)

x 5 302w

x

O

58°

2x + 2y

x 5 67,5w y 5 30w

O y 2x

30°

x + 75° 2

x 5 34w y 5 50w

CAPÍTULO 10

O

y 50°

272

c)

x 5 30w

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 272

22/07/11 09:29

31 Foi realizada uma pesquisa sobre a cor dos olhos de 1.200 pessoas do Clube da Boa Viagem. Os resultados foram registrados no gráfico de setores ao lado. a) Determine a medida do ângulo central de cada setor. castanho: 108°, azul: 72°, verde: 108° e preto: 72° b) Calcule a porcentagem de pessoas correspondente a cada setor. castanho: 30%, azul: 20%, verde: 30% e preto: 20% c) Quais cores de olhos predominam nesse grupo de pessoas? castanho e verde

Cor dos olhos Verde 108° Preto

Azul

Castanho

Dados obtidos pelo Clube da Boa Viagem.

Pense mais um pouco...

Observe o gráfico.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Locomoção da população nas capitais do Brasil

3% Bicicleta 3% A pé 6% Moto

65% Transporte público

23% Carro

Dados obtidos em: www.folha.com.br Acesso em: 4 maio 2011.

público: 234w; carro: 82,8w; a) Calcule a medida do ângulo central correspondente a cada setor. transporte moto: 21,6w; bicicleta: 10,8w; a pé: 10,8w b) De acordo com o gráfico, qual é a medida do ângulo central correspondente às locomoções motorizadas? 338,4w c) Qual é a medida do ângulo central correspondente às locomoções não públicas? 126w

Ângulo inscrito

B

Ângulo inscrito é todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e cujos lados são semirretas secantes a ela. O

Na figura ao lado, ABC é um ângulo inscrito na circunferência.

A

C

Vamos demonstrar o seguinte teorema: A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida (em grau) do arco compreendido por seus lados. Hipótese: ABC é ângulo inscrito. AC​  ) m(​+ Tese: m(ABC) 5 ______  ​  ​    2 CAPÍTULO 10    CIRCUNFERênCIA E CÍRCULO

257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 273

273

20/07/11 10:12

Demonstração

​______C

B

Construção auxiliar: Traçamos BD​ ​​ ​​passando pelo centro O; traça___ ___ ​ .​ mos, também, ​OA​​e OC​  

p q

• x  a 1 p e y  c 1 q (ângulo externo de um triângulo)

O

• a​ p e c  q (triângulos isósceles)

a

Substituindo a por p em x  a 1 p e c por q em y  c 1 q, temos: x  2p e y  2q

c

y

x

C

A D

Somando membro a membro as igualdades anteriores, obtemos: x1y ​ x 1 y  2p 1 2q ]​ x 1 y  2(p 1 q) ] p 1 q​​​_____ ​ 2 AD​  ) e y  m(​+ DC​  ) (medida do ângulo central) • x  m(​+ • p 1 q  m(ABC) (por construção)

AC​)  m(+ AD​  ) 1 m(​+ DC​  )  m(​+ AC​  ), temos: m(ABC)  ______ Como m(​+ 2

Exercícios PROPOSTOS 32 Determine, em grau, o valor de x nas fi guras. C B a) d) 125° x

33 Observe as fi guras e determine, em cada caso, o valor de x e de y. y a) d) x

A

B

C

b)

e)

A

x x

B

e)

120°

50°

O y

x 5 90w

c)

f)

A

25°

x

O x

30°

O

C B x 5 45w

x

30°

°

x

x 5 45w y 5 70w

f) 90°

20

90°

CAPÍTULO 10

88° x 5 44w y 5 88w

c)

A

C

y

x

C x 5 100w

274

x 5 31w y 5 90w

x

C

O

A

50°

y x 5 60w y 5 120w

b)

B

O

118°

O A 85° x 5 75w

120° x 5 60w

45°

x

60°

x

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

AD​  ) 1 m(+ DC​  ) m(+ Logo: m(ABC)  ______________ 2

B

90°

110° y

x 5 100w

x 5 55w y 5 110w

y

x 5 45w y 5 60w

CIRCUNFERêNCIA E CÍRCULO

257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 274

20/07/11 10:12

Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência Ângulo com vértice interno à circunferência Já estudamos o ângulo central cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Vamos estudar agora o caso em que o vértice pertence ao interior da circunferência, mas não coincide com o centro. Dada a figura ao lado, em que M é um ponto interno à circunferência, temos:

D C M

+) 1 m(​AD​ +  ) m(​BC​ x 5 ​ ______________       ​ 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Demonstração

x A

B

___

 raçando o segmento ​AB​ , obtemos o triângulo AMB. Como x é a medida de um ângulo T externo não adjacente aos ângulos internos de medidas a e b, temos: x5a1b

D

m(​+ BC​)  AD​  ) m(​+  ​   e b 5 ​ ______  ​   , pois a e b são ângulos inscritos, Como a 5 ​ ______     2 2 temos: +  +  m(​BC​ ) 1 m(​AD​ ) x 5 ​ ______________  ​      2

C M x b

a A

B

Ângulo com vértice externo à circunferência Dada a figura ao lado, em que M é um ponto externo à circunferência, temos: +

C A x

+

) 2 m(​AB​  ) m(​CD​   ​ x 5 ​ ______________      2

Demonstração

M

B D

___

 raçando o segmento ​BC​ , obtemos o triângulo BMC. Como y é a medida de um ângulo exT terno não adjacente aos ângulos internos de medidas c e x, temos: y 5 c 1 x  ou  x 5 y 2 c +  +  m(​AB​ ) ) m(​CD​  ​   e c 5 ​ ______  ​   , pois y e c são ângulos Como y 5 ​ ______   2 2 inscritos, temos: +)  m(​+ CD​  ) 2 m(​AB​ x 5 ​ ______________  ​      2

C c

A y

x

M

B

D

CAPÍTULO 10    CIRCUNFERênCIA E CÍRCULO

257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 275

275

20/07/11 10:12

32° 32° x x 70° 70°

Exercícios PROPOSTOS 34 Calcule o valor de x nas fi guras. a) x

b)

50° 31° 31°

x x

x 5 25w

100°

x 5 30w

14°30 14°30

c) x 5 30w

x x

70°

20° x

100 ° 100 °

50° 50° Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b)

x 5 150w

c)

x

d)

35° 35° 35°

x 5 80w

x

50°

x x 15° x 5 115w

d)

x 5 46w

95° 95° 95°

e) 56°

18°

x

100 °

x

100 ° 100 °

x x 25° 25° 25°

x 5 105w

35 Calcule o valor de x nas seguintes fi guras. a) 32°

f) 66°

x 70°

66° 66°

x 118 °

x x

118 ° 118 ° x 5 58w

x 5 51w

276

CAPÍTULO 10

CIRCUNFERêNCIA E CÍRCULO

x 257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 276

31° 20/07/11 10:12

36a) F; um polígono é circunscrito a uma circunferência se seus lados são tangentes a ela. d) F; A medida do ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da medida do arco compreendido pelos seus lados.

Exercícios COMPLEMENTARES

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

36 Corrija no caderno as sentenças falsas, tornando-as verdadeiras. a) Um polígono é circunscrito a uma circunferência se seus vértices pertencem à circunferência. b) O centro de uma circunferência inscrita em um polígono é equidistante de seus lados. V c) As medidas dos segmentos tangentes traçados de um mesmo ponto exterior a uma circunferência são iguais. V d) A medida do ângulo inscrito em uma circunferência é igual à medida do arco compreendido pelos seus lados.

40 Em cada caso, dê a posição relativa das circunferências C1, de centro O1 e raio de medida r1, e C2, de centro O2 e raio de medida r2. tangentes interiores a) r1  10 cm, r2  4 cm e O1O2  6 cm tangentes b) r1  8 cm, r2  2 cm e O1O2  10 cm exteriores c) r1  9 cm, r2  6 cm e O1O2  7 cm secantes d) r1  8 cm, r2  4 cm e O1O2  20 cm externas internas e) r1  7 cm, r2  4 cm e O1O2  1 cm 41 Calcule o perímetro do quadrilátero circunscrito à circunferência. 11 cm A

37 Na fi gura, o quadrado ABCD é circunscrito à circunferência. O quadrado tem 20 cm de perímetro. Quanto mede o raio da circunferência?

B

M

3 cm

2,5 cm Q

N

2,5 cm

D

D

C

C

P

42 Calcule o valor de x nas seguintes fi guras. A e) x 5 72w x 5 40w a) B A

50°

B

O

38 Considere que cada circunferência abaixo tem 1 cm de raio. Calcule o perímetro do retângulo ABCD sabendo que seus lados são tangentes às circunferências e elas são tangentes exteriores entre si. 12 cm D

x 5 46w

b)

C

O

x B

x

36°

A

C

126 °

f)

B

112 °

x 5 50w

C

A

C

x

O

x

A

O

B

D

C 142 °

A

B

x 5 50w

c)

39 Observe a fi gura abaixo.

g)

A

A

80°

x B

148 °

x 5 125w

40° B

O

C

O

110 °

x

C D

x 5 42w

d)

B

h) x 5 54w

A 72°



Sabendo que o retângulo tem 12 cm de perímetro, calcule a medida do raio de cada circunferência. 0,5 cm

A

x O

56°

C

CAPÍTULO 10

257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 277

O

28° D B

D

x C

CIRCUNFERêNCIA E CÍRCULO

277

20/07/11 10:12

43 Calcule os valores de x e de y nas seguintes figuras. a)

d)

A

2y

x

B

75°

y

B

y

x 5 25w e y 5 50w

C

2y

x

D

C

D

60° A

C

120 °

x 5 90w e y 5 60w

15° B A

18°

D

25°

x

A x

B O

C

x 5 80w e y 5 50w

E

c)

e) y

x 5 36w

A

f)

B x

140 °

y

40°

100 ° A

B y

C

140 °

D

y 5 60w

x 5 100w e y 5 60w

E

C

TESTES 44 Se um diâmetro mede 24 cm, então o raio mede: a) 24 cm

b) 48 cm

X c)

12 cm

48 (OMRP) Maicon Binatória comeu uma fatia de

um bolo circular que representa 15% do bolo, como indica a figura abaixo.

d) 6 cm

45 O diâmetro de uma moeda de 5 centavos é de BANCO CENTRAL DO BRASIL

aproximadamente 20 mm. A medida aproximada do raio dessa moeda é: a) 10 cm c) 5 cm d) 40 mm X b) 1 cm

46 A reta que tem apenas um ponto em comum com uma circunferência é chamada de: c) interior. X a) tangente. b) secante. d) exterior.

47 Se a distância de um ponto ao centro de uma

circunferência é maior que a medida do raio, então esse ponto: a) é interior à circunferência. b) pertence à circunferência. c) é interior ao círculo. X d) é exterior à circunferência.

278

CAPÍTULO 10

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b)

α

Qual ângulo central que representa essa fatia? a) 15w b) 36w c) 45w X d) 54w e) 60w

49 Na figura, o valor de x é: X

a) b) c) d)

20w 40w 50w 80w

A

B x

40° C

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 278

22/07/11 09:31

53 (Unifor-CE) Na figura abaixo, o menor dos arcos determinados pelos pontos A e B corresponde a 70w e o menor dos arcos determinados pelos pontos C e D corresponde a 30w. Quanto mede o ângulo CED?

50 Na figura, o valor de x é: A 100°

x O

D

A

B

30° C

E 70°

a) 50w b) 80w

B

c) 100w X d) 40w a) 30w b) 40w

51 Na figura, o valor de x é:

M

x

c) 50w d) 60w

B

30° Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

e) 70w

+  54 (Cesgranrio-RJ) Se, na figura, m(​AB​ ) 5 20w, +  +  +  m(​BC​ ) 5 124w, m(​CD​ ) 5 36w e m(​DE​ ) 5 90w, então o ângulo x mede:

A

D

X

E D A

C X

a) 30w b) 60w

B

x

c) 120w d) 15w

C

52 (PUC-MG) Na figura abaixo, o valor de x é:

a) 34w b) 35w 30e

X

c) 37w d) 38w 30e

e) 40w

55 (Univali-SC) Considere a figura abaixo.

D C 3x + 12

x

C 30°

A

B

B E

a) 15w b) 18w X c) 24w d) 32w e) 35w

A

25° x

40°

O

E D

A medida x do ângulo assinalado é: c) 80w e) 70w X a) 90w b) 85w d) 75w

CAPÍTULO 10    CIRCUNFERênCIA E CÍRCULO

257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 279

279

20/07/11 10:12

ndoo cand Diversififica Matemática na Arqueologia CLAudIo VAZ/dIÁRIo de St MARIA/RBS

Em uma escavação em um sítio arqueológico, Luís encontrou alguns objetos antigos, entre os quais pedaços da roda de uma carroça. Para recuperar informações a respeito desse achado arqueológico, como a medida do raio da roda, Luís procedeu da seguinte maneira: • riscou um arco no chão, contornando o pedaço da roda com cuidado, para não danificá-lo;

• desenhou as mediatrizes dos segmentos ___ ___ ​AB​​e ​BC​​, obtendo, no cruzamento delas, o ponto D, onde estaria o centro da roda; • depois mediu a distância AD​com uma fita métrica e obteve a medida do raio da roda.

B A

B

A

C

C

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• marcou os pontos A, B e C no do ___desenho ___ ​ ​; arco e traçou os segmentos AB​ ​ ​e BC​

D

Como o desenho foi feito na terra e com instrumentos precários, Luís obteve apenas um valor aproximado, fato que deve ser considerado pelo arqueólogo. Agora é com você! 1. Resposta possível: Não, pois o centro da circunferência é obtido pela intersecção de duas mediatrizes e, nesse caso, com os pontos A e B, ele poderia construir somente uma mediatriz.

1 Se Luís tivesse marcado apenas os pontos A e B no desenho do arco, ele conseguiria encontrar a medida do raio da roda? Justifi que sua resposta. 2 Explique por que o procedimento de Luís funcionou, ou seja, que propriedades matemáticas aplicadas ao desenho justifi cam a conclusão de que o ponto D é o centro da circunferência. 3 Imagine a roda inteira, sem o centro, como se fosse um anel gigante. Como você encontraria a medida do raio? Compare sua resposta com a de um colega. Respostas possíveis: Repetir o procedimento de Luís/ Contornar a roda com um barbante para obter o comprimento da circunferência e dividi-lo por 6,28 (aproximação de 2s), pois o comprimento da circunferência é igual a 2sr, em que r é o raio. ___

___

2. Resposta possível: Sejam M1 e M2 os pontos médios de AB e BC, respectivamente. os triângulos retângulos BM1D e BM2D são congruentes (caso C.h.), o que implica que os triângulos BCD e BAD também sejam congruentes (caso L.A.L.). Portanto, AD, BD e CD são iguais. Como A, B e C são pontos quaisquer do arco e estão à mesma distância do ponto D, o ponto D é o centro da circunferência. 280 CAPÍTULO 10 CIRCUNFERêNCIA E CÍRCULO

257_280_BIANCHINI_MAT8_C10.indd 280

20/07/11 10:12

Respostas



68. 2,82 m 69. 669 m2

Tratamento da informação

Nota de Matemática

a)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

67. aproximadamente 156,2 m; 220 m

1

CAPÍTULO

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0



página 17

1. a) 5

b) 4 c) 3,5 d) 3,25 2.

1o

2o

4o Bimestre

3o

4 3,5

5

6

7

4. sim 5. infinitos



Exercícios complementares

Testes

70. d

71. a

72. c

73. c

d) V

74. d

75. b

76. c

77. b

50. a) F

b) F

51. a) 1,25

b) 1,6

c) 0,83

d) 0,4

78. d

79. b

80. e

81. b

9 52. a) ___

5 b) ___ 11

41 c) ___ 90

7 d) __ 2

82. b

83. c

84. b

85. a

23 2 c) ___; __ 9 9

46 d) ___ 81

20

c) V

3 3,25

3. sim

b) 9,5; 8,0 c) Não, pois no último bimestre a sua nota diminuiu. d) do 2o para o 3o bimestre 

Pense mais um pouco...

__

__

86. b

53. 10 __

__

54. a) 2,7

b) 2,3

55. a) 28; quadrado perfeito

b) 2 3 3 3 5 ; não quadrado perfeito 2

2



Diversificando 1. A menina, pois colocou os cinco

c) 22 3 32 3 52; quadrado perfeito d) 2 3 32 3 52; não quadrado perfeito

números na ordem certa, como pedia a carta de ação.

56. dlllll 4,84 5 2,2, porque (2,2)2 5 4,84.

2. resposta pessoal

57. 80 58. 70 59. 315

CAPÍTULO

2

60. 60,8 m 61. a) F

b) V c) V 5s 5 62. 2s, ___ e ___ 3 3s 63. a) 13 cm b) racional 64. a) dlll 40 cm

b) irracional



d) F

Exercícios complementares

47. a) 4x

b) x 2 7 c) ___ x 2 18

c) 6,3 cm

65. dlll 26

48. a) 24y

66.

b) 20y 2 c) 7y 2

29 1 – 5 –2

2

5

49. a) 211x 0

5

29

b) 26y c) 12ab

281

281_289_BIANCHINI_MAT8_RESPOSTAS.indd 281

20/07/11 10:13

Respostas

11 d) 2___ ax 12 1 2 __ e) y 8 19 f) 2___a 30

50. a) 2a

b) 2y c) 216a2 6

105. a) 22x 2 14xy 2 3y 2

b) 22x 2 1 2xy 1 2y 2 c) x 2 1 6y 2 106. a) 6x 3 2 8x 2

b) 26x 3 1 9x 2 1 3x

a

1 1 c) ___ x2 2 __ x 5 10

52. a) 6x 3, 3o grau

b) 212y 3, 3o grau

107. 2x 2 1 4x; 9x 2 2 1,5x

c) 215ab, 2o grau

108. a) x 2 1 3x 2 10

d) 12x 3y 3, 6o grau

b) 6x 2 2 10x 2 4

e) 215a b, 3 grau 2

o

b) 10ab

2

d) a 4 1 a e) y 3 1 2y 2 2 17y 1 6

15 d) 2___ a 8 1 3 ___ x e) 10 f) 26,4a2b

54. a) 25a3

3 b) __ xy 2 4 c) 26a2b

109. 15a2 1 7ab 2 2b 2; três 110. a) 5x 3 1 5x 2 2 60x

b) 6a 3b 2 3a 2b 2 2 3ab 3 c) 4a 3 2 8a 2 2 32a d) a 4 2 2a 2 1 1

4 c) ___ x 2 25

55. a) 9x 4y 6

b) 8a b

d) 20,064a

6 12

e) x 3 1 9x 2 1 26x 1 24 3

f) 2x 3 2 x 2 2 12x 2 9 111. 6x 2 1 4xy

56. a) 27x 3

b) 108x 3 c) 162x

c) x 3 2 1

5 c) __ a 7 d) 0,6 xy 3

53. a) 6x

112. a) a 2 2 5ab

2

b) 3x 2 2 11x

57. 4,8a

c) 4x 2 1 4x 1 15

99. a) 2

d) 2a 2 1 3ab 2 11b 2 113. a) 3,6b 1 6a

b) 8 c) a 5 0; b 5 0; c 5 2

b) 2a 2 1 0,8b 2 1 ab 114. a) 4a 1 3

100. a) 3a 1 2b 1 2c

b) 4a 1 3b

b) 23x 2 1 2x

c) 7a 1 5b 12c

c) a 1 b 3 3 d) __a 1 __ 4 2 2 5 e) 2__ x 1 __ 3 3 9 3 9 f) __a 2 2 ___a 1 __ 2 16 8

101. a) 8a2

b) 8a 2 3b 2 2c c) 2x 2 2 6x 2 1 d) 22ab e) 4x 2 1 ax 17 5 7 102. a) 2__ a 1 ___b 2 __c 5

12

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

51.

17 ___

104. 29y 2 5

2

13 5 b) 2__ a 2 ___b 2 5 103. a) 2a 1 4b

b) 2x2 2 2x 1 2

115. a) x 1 9; resto: 0

b) 4x 2 1; resto: 3 c) 4x 2 3; resto: 0 d) 4x 2 5; resto: 14 116. 0

c) 3x 2 3y 2 xy

117. 2x 2 2 x 2 6

d) 6m2 1 2m 2 13

118. 15a 3 2 26a2 2 a 1 12

282

281_289_BIANCHINI_MAT8_RESPOSTAS.indd 282

20/07/11 10:13

63. a) 25a 2 2 81b 2

119. 5x 4 1 7x 3 2 20x 2 1 6x 2 1

9 b) __ x 4 2 y 6 4

120. 4x 2 2 5x 1 3 121. x 1 3

64. x 2 1 6x 1 9

122. a) 4x 3 1 4x 2 2 39x 1 36

b) c) d) e)

65. 15x 1 30

x 2 1 8x 1 16 2x 2 3 x14 16x 3 2 24x 2 2 36x 1 54

66. y 2 3 67. 7 68. a) a 2 2 6a

b) 25 c) 2x 2 1 18 d) 2b 2 2 2ab

123. a) (40 2 2x)2

b) (40 2 2x) 3 x c) 1.456 cm2 2

69. 2ab

124. a) 7

70. b 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b) 4

71. 64

125. 2x 1 1

72. 48

126. x 1 4

73. a) 3xy(3x 1 5y)

127. 22

b) c) d) e) f) g) h)

128. 13 129. 0



Pense mais um pouco...

página 45

a) 9 kWh b) 120 kWh

74. a) 3(x 1 5)(x 2 5)

b) c) d) e) f) g) h)

página 53

a) 12x 2; 20x 2; 28x 2; 36x 2 b) 36x 2 c) 207,36 cm2 

Testes

130. d

131. b

132. c

133. a

134. c

135. a

136. c

137. d

138. b

139. a

140. a

141. b

142. e

143. a

(y 2 3)(x 1 1) (a 1 2b)(a 2 2b) (a 2 5)2 (2x 2 3)(x 1 2y) 3x(4x 2 7) (3a 1 1)2 (6 1 p)(6 2 p)

144. d

145. d

146. b

a(a 1 b)(a 2 b) 2(x 2 3)(x 1 3) (x 2 1 4)(x 1 2)(x 2 2) (a 1 x)(a 2 x 1 1) (x 1 y)(x 2 y 1 2) 2(x 2 3)2 x(x 1 7)2

75. a) 324

c) 36

b) 4 76. a) 196

c) 36

b) 40 77. a) 960

CAPÍTULO 

b) 400 c) 16

3

78. a) x 5 0 ou x 5 212

Exercícios complementares

61. a) 9a 2 2 12ab 1 4b 2

b) 25a 2 2 49 c) 9x 4 1 6x 2y 3 1 y 6 d) 25 1 20y 1 4y 2 b2 2 62. a) a 2 1 __ ab 1 ___ 3

b)

1 __ 4

9

y 2 3y 1 9 2

5 b) x 5 0 ou x 5 __ 6 15 c) x 5 ___ 2 5 5 d) y 5 2__ ou y 5 __ 6 6 3 e) a 5 2__ 2 1 f) x 5 2__ 3

283

281_289_BIANCHINI_MAT8_RESPOSTAS.indd 283

20/07/11 10:14

Respostas

1 40. a) ______

79. a) resposta pessoal

b)

x

x21 x23 b) ______ x13

x x

x25 c) ______ x15 7x 1 6 d) _______ 2x

3x 1 4y 41. ________

y

3x 2 4y

x

3b 2

42. a) a % 0 ou a % ___

y

2a 2 3b b) ________ 3a 5 __ c) 2 6

y

x 43. _________2

c) 8x 1 4y d) 4x 2 1 4xy 1 y 2

2y 2 2 44. _______ y11

Pense mais um pouco...

x 21 45. a) ______ 2

página 77

x

a) 144 b) 576

c) 1.225 d) 2.704

x2 b) ___2 y 13x ____ c) 12a

página 79

a) 841 b) 1.444

c) 9.801 d) 3.249

página 89

1. (138 1 137)(138 2 137) 5 275; são iguais.

8y 47. a) ___ 3a

x26 b) ______ x16

Testes

a12 c) ______ a22

81. c

82. b

83. c

84. d

85. d

86. a

87. b

88. c

89. b

90. a

91. b

92. d

93. d

94. d

95. d

96. b

97. c

98. c

99. e

CAPÍTULO

4

Tratamento da informação b) 10%

Exercícios complementares

39. a)

3 ___

4x 2b 2 b) ____ 3a x22 ______ c) 3

x13

x1y b) _____ 2x

a2 1 b2 a 2b

a1b e) ______ a

2 48. a) ______ 49. 5 50. a) _______ 2 2

1. a) 50%; 50%



9 b) ______ 31x

2. 441; resposta pessoal

80. b



x 2 3a c) _______ x 1 3a

a

(2m 1 1) 1 (2n 1 1) 5 2m 1 2n 1 2 5 2(m 1 n 1 1)



x12 f) ______ x22

1 46. a) __

página 85

1 d) ______ x13 x e) ______ x11 3a f) ______ b2a

c) 25%

11x d) ______ x2 a e) __ x

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.



2(x 2 2)

3a 5b 2c 4 b) ________ 2d 3

1 f) _____ x2y

1 c) ______ x12

g) x

d) 1

a2 1 b2 h) ________ a(a 1 b)

2 74. a) x 5 __ 9

3 b) x 5 __ 4 75. a) m 5 22

b) m 5 1

284

281_289_BIANCHINI_MAT8_RESPOSTAS.indd 284

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76. t 5 4

2. O erro cometido foi semelhante ao do jornal, pois, ao

cancelar os membros comuns entre parênteses, Fernanda dividiu por zero, o que não é possível.

77. a) 22 e 2

b) A equação não tem solução. 78. a) 18 salas

b) 38 alunos

CAPÍTULO

79. a) 9

b) 40 km/h



80. 35 anos

Exercícios complementares

29. a) (5, 1)

a2b 81. a) x 5 ______

b) c) d) e)

2 3 1 4a _______ b) x 5 a 1 2 m2 c) x 5 _______ 3m

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5

(2, 4) (3, 2) (3, 4) (0,4; 0,1)

30.

4a d) x 5 ______ b15

y

3a2 e) x 5 ________ 2a 2 2b

5 4

82. a) a 5 2x 1 y

3

b) 12,25 c) 49

2 1

83. x 5 22a 2 2



–4 –3 –2 –1 –1

Pense mais um pouco...

2

3

4

x

5

–3

Seja x o número pensado. Fazendo as operações ditas por Felipe, temos: (x 1 5) 3 x 2 3x ______________

1

–2

página 101

Como o resultado foi x 1 2, basta subtrair 2 do resultado para descobrir o número pensado. página 112

x+y=3

–4 –5

x2 1 5x 2 3x x2 1 2x 5 5 ____________ 5 _______ x x

x x(x 1 2) 5 x12 5 ________ x

3x + 2y = 6 31. a) (7, 5); sistema determinado

b) (25, 1); sistema determinado c) sistema impossível d) sistema indeterminado

3 filhos; 240 m 

2x – y = 5

2

32. 13 pessoas 33. 72 laranjas

Testes

84. a

85. b

86. d

87. a

88. c

89. e

34. 12, 15 e 17

90. c

91. e

92. c

93. e

94. d

95. d

35. 6 notas de R$ 5,00 e 4 notas de R$ 10,00

96. c

97. b

98. b

99. c

100. b

36. a) x 5 7,5 cm e y 5 4,5 cm

b) 48 cm2 

Diversificando

37. (2, 3)

1. O erro está na multiplicação de ambos os membros por

38. 48

1 _______

, pois como a 5 1 e b 5 1, temos a 2 b 5 0, e (a 2 b) não é possível dividir por zero.

39. a 6 metros 40. x 4 y 5 2

285

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Respostas



Pense mais um pouco...



página 124

Pense mais um pouco...

página 147

Ricardo tem 15 CDs e Cristina, 25.

respostas possíveis:

página 126

A



A

Testes

41. a

42. c

43. d

44. d

45. c

46. c

47. e

48. c

49. c

50. b

51. c

52. c

B

ou

7e5

D

B

D

C C

página 152

As três bissetrizes cortam-se em um único ponto.

CAPÍTULO 

6

C

A

B

Tratamento da informação a)

Cor dos olhos dos alunos do 8o B Azul 10% Castanho 45%

Verde 35%

Preto 10%

b) castanho



D

Exercícios complementares

r

página 168

126w 

Testes

61. a

62. c

63. c

64. c

65. c

66. c

67. d

68. d

69. b

70. c

71. a

72. d



Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

página 158

Diversificando 1. 12w51e25E

52. 65w

2. 0,942 km/h

53. 90w

3. a) J

54. a) 20w

b) 20w; 340w c) P d) resposta possível: DSF, CSG e BSH

b) 40w c) 10w d) 54w

_____ 55. OE é bissetriz de BOD porque divide o ângulo BOD em 

dois ângulos congruentes. 56. a) x 5 20w e y 5 95w

b) x 5 40w e y 5 70w 57. x 5 50w e y 5 75w 58. x 5 115w; y 5 115w; z 5 65w 59. 79w 60. a) 80w

b) 50w

CAPÍTULO 

7

Exercícios complementares

41. a) 18 lados

b) 20w c) 135 diagonais 42. a) 15 lados

b) 156w

286

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20/07/11 10:14

43. a) 60w



b) 120w c) 37,8 cm 44. 30w 45. a) 9 lados

b) 27 diagonais

Testes

53. c

54. a

55. b

56. b

57. a

58. b

59. a

60. c

61. d

62. b

63. c

64. c

65. d

66. c

67. c

68. d



c) 1.260w

Diversificando 1. 3 faces; 17 faces

d) 40w

2. As faces que são triângulos não têm diagonais. As faces

do cubo têm duas diagonais e as faces do dodecaedro têm cinco diagonais.

46. a) 45w

b) 8 lados

3. 180w; 360w; 540w

c) 27,2 cm

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

d) 5 diagonais CAPÍTULO

47. retângulo ou quadrado 48. 20 diagonais



49. 720w

Tratamento da informação resposta pessoal

50. 5 lados



51. 360w

Exercícios complementares

31. 13 cm

52. 24w



8

___

32. AM altura pois é perpendicular ao prolongamento de ___ é___

BC ___ ; BN___ é mediana pois une o vértice B ao ponto médio de AC ; CP é bissetriz pois divide o ângulo interno C em dois ângulos congruentes.

Pense mais um pouco...

página 182

33. a) baricentro

Medo em relação à dengue

b) incentro c) ortocentro

d) P e) triângulo acutângulo

34. São iguais.

Medo 30%

Muito medo 35%

35. Porque são opostos a lados congruentes. 36. a) L.A.AO.; x 5 4 e y 5 2

b) L.L.L.; x 5 58w e y 5 34w c) A.L.A.; x 5 3 e y 5 4 d) L.A.L.; x 5 1 e y 5 1,5

37. Sim, pois as partes em verde são formadas por dois

triângulos congruentes (caso L.A.L.). Pouco medo 25%

71. a) F; O ponto de encontro das medianas chama-se Não têm medo 10%

página 189

respostas possíveis: • duas reflexões sucessivas em relação a dois eixos perpendiculares equivalem a uma rotação de 180w em um dos sentidos em torno do ponto de intersecção dos eixos (centro de rotação). • uma rotação de 180w em sentido horário em torno de um ponto equivale a uma rotação de 180w em sentido anti-horário em torno do mesmo ponto.

baricentro. b) V c) V d) F; O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo chama-se hipotenusa. e) V f) V

72. x 5 78w; y 5 19w 73. a) x 5 148w; y 5 106w b) x 5 115w; y 5 140w 74. a) a 5 60w; b 5 90w; c 5 30w

b) a 5 40w; b 5 60w; c 5 80w 75. 80w, 42w e 58w

287

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22/07/11 09:31

Respostas

76. 35w e 55w

55. a) V

c) F

e) V

b) F

d) V

f) V

77. 110w 78. x 5 78w e y 5 135w

56. 70w

79. 72w, 54w e 54w

57. 110w

80. 500 km

58. ABCD é um paralelogramo, porque suas diagonais se

Pense mais um pouco...

59. Losango, porque as diagonais são perpendiculares entre

si e se cruzam nos respectivos pontos médios.

página 200

a) 3 cm b) 60w

c) um triângulo equilátero

61. 55w; 55w; 125w; 125w

63. a) 15w

3 triângulos

b) 50w

64. 45w; 90w; 90w; 135w

página 216

65. 118w

60w e 30w

66. 13 cm 67. 80 cm

Testes

68. Como D é simétrico de B em relação a M, temos que ___

81. b

82. c

83. a

84. a

85. d

86. b

87. c

88. a

89. b

90. d

91. d

92. c

93. b

94. e

95. d

96. c

97. a

98. e

99. d

100. c

101. e



b) 24w

62. 56w; 56w; 124w; 124w

página 202



60. a) 36w

BM 5 ___ MD e, ___portanto, M é o ponto médio de BD . Assim, BD e AC se cruzam nos seus respectivos pontos médios. Logo, ABCD é um paralelogramo.



Pense mais um pouco...

página 237

Diversificando

360w

alternativa c

página 239

CAPÍTULO 

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.



interceptam nos respectivos pontos médios.

140w

9

Tratamento da informação

página 245

D

C

1. Pela picada da fêmea adulta do mosquito Aedes aegypti.

III

2. resposta possível: De 2009 para 2010 houve um au-

IV

mento de 400 mil casos, aproximadamente. 3. dengue clássica: febre, dor de cabeça, dor no corpo, nas II

articulações e nos olhos; dengue hemorrágica: além dos sintomas anteriores, vômitos, sangramentos no nariz e na gengiva, sonolência, sede, confusão mental, dificuldade respiratória e pulsação fraca. 4. resposta possível: Não deixar recipientes destampados

com água parada. 5. resposta pessoal



Exercícios complementares

54. a) retângulo

c) trapézio retângulo

b) trapézio isósceles d) quadrado

I A

B

Temos: Área :ABC 5 Área :ADC Área azul 5 Área :ADC − Área II − Área III Área vermelha 5 Área :ABC − Área I − Área IV Como Área II 5 Área I e Área III 5 Área IV, então: Área azul 5 Área vermelha

288

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43. a) x 5 25w e y 5 50w

página 248

a) F; resposta possível: Se um paralelogramo tem as diagonais congruentes, então ele é um retângulo. b) V c) F; resposta possível: Se um paralelogramo tem as diagonais congruentes, então ele é um retângulo. d) V e) V f) V g) F; resposta possível: Se um trapézio tem dois ângulos retos, então os lados não paralelos não são congruentes.

b) c) d) e) f) 

x 5 80w e y 5 50w x 5 100w e y 5 60w x 5 90w e y 5 60w x 5 36w y 5 60w

Pense mais um pouco...

página 263

a) 2,5 cm b) 10 placas página 266

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.



8 cm e 16 cm

Testes

69. c

70. b

71. d

72. b

73. d

74. b

75. c

76. c

77. b

78. c

79. a

80. d

81. c

82. e

CAPÍTULO 

10

36. a) F; Um polígono é circunscrito a uma circunferência

se seus lados são tangentes a ela. b) V c) V d) F; A medida do ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da medida do arco compreendido pelos seus lados.

37. 2,5 cm

44. c

45. b

46. a

47. d

48. d

49. a

50. d

51. a

52. c

53. c

54. c

55. a



Diversificando 1. resposta possível: Não, pois o centro da circunferência

é obtido pela intersecção de duas mediatrizes e, nesse caso, com os pontos A e B, ele poderia construir somente uma mediatriz.

BM2D são congruentes (caso C.H.), o que implica que os triângulos BCD e BAD também são congruentes (caso L.A.L.). Portanto, AD, BD e CD são iguais. Como A, B e C são pontos quaisquer do arco e estão à mesma distância do ponto D, o ponto D é o centro da circunferência.

39. 0,5 cm 40. a) tangentes interiores

tangentes exteriores secantes externas internas

3. respostas possíveis: Repetir o procedimento de Luís./

41. 11 cm

b) 46w

Testes

2. resposta possível: Sejam M1 e M2 os pontos médios ___ ___ de AB e BC, respectivamente. Os triângulos BM1D e

38. 12 cm

42. a) 40w

a) transporte público: 234w; carro: 82,8w; moto: 21,6w; bicicleta: 10,8w; a pé: 10,8w b) 338,4w c) 126w 

Exercícios complementares

b) c) d) e)

página 273

c) 50w d) 42w

e) 72w f) 50w

g) 125w h) 54w

Contornar a roda com um barbante para obter o comprimento da circunferência e dividi-lo por 6,28 (aproximação de 2s), pois o comprimento da circunferência é igual a 2sr, em que r é o raio.

289

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Lista de siglas Ceeteps-SP - Centro Estadual de Educação Tecnológica “Paula Souza” Cesgranrio-RJ - Fundação Cesgranrio Covest-PE - Comissão do Vestibular das Universidades Federal e Federal Rural de Pernambuco Enem - Exame Nacional do Ensino Médio Esal-MG - Escola Superior de Agronomia de Lavras ESPM-SP - Escola Superior de Propaganda e Marketing F. Ruy Barbosa-BA - Faculdade Ruy Barbosa Faap-SP - Fundação Armando Álvares Penteado Faee-GO - Faculdades Integradas da Associação Educativa Evangélica FAM-SP - Faculdade de Americana Fatec-SP - Faculdade de Tecnologia de São Paulo FCC-BA - Fundação Carlos Chagas da Bahia FCC-SP - Fundação Carlos Chagas de São Paulo FCM-MG - Fundação CefetMinas FEI-SP - Faculdade de Engenharia Industrial Fesp-SP - Faculdade de Engenharia São Paulo FGV - Fundação Getúlio Vargas FMU-SP - Faculdades Metropolitanas Unidas FSA - Fundação Santo André Fuvest-SP - Fundação Universitária para o Vestibular Mackenzie-SP - Universidade Presbiteriana Mackenzie Osec-SP - Organização Santamarense de Ensino e Cultura OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Fapa-RS - Faculdades Porto-Alegrenses

Obmep - Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas OMABC - Olimpíada Brasileira de Matemática do Grande ABC OMPR - Olimpíada Brasileira de Matemática de Rio Preto ORM-RP - Olimpíada Regional de Matemática de Ribeirão Preto Puccamp-SP - Pontifícia Universidade Católica de Campinas PUC-MG - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais PUC-PR - Pontifícia Universidade Católica do Paraná PUC-RJ - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro PUC-RS - Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul PUC-SP - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Saresp - Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo Senai - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial UCSal-BA - Universidade Católica de Salvador UCS-RS - Universidade de Caxias do Sul Uece - Universidade Estadual do Ceará

290

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UEL-PR - Universidade Estadual de Londrina UEMS - Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Uerj - Universidade do Estado do Rio de Janeiro Uespi - Universidade Estadual do Piauí Ufac - Fundação Universidade Federal do Acre UFC-CE - Universidade Federal do Ceará Ufes - Universidade Federal do Espírito Santo UFF-RJ - Universidade Federal Fluminense UFG-GO - Universidade Federal de Goiás UFMG - Universidade Federal de Minas Gerais

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul UFPB - Universidade Federal da Paraíba UFPE - Universidade Federal de Pernambuco UFRGS-RS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFSE - Universidade Federal de Sergipe UFSM-RS - Universidade Federal de Santa Maria UFU-MG - Universidade Federal de Uberlândia UFV-MG - Universidade Federal de Viçosa Ulbra-RS - Universidade Luterana do Brasil UMC-SP - Universidade de Mogi das Cruzes Uneb-BA - Universidade do Estado da Bahia Unesp - Universidade Estadual Paulista Uniararas-SP - Centro Universitário Hermínio Ometto Unicamp-SP - Universidade Estadual de Campinas Unifacs-BA - Universidade Salvador Unifor-CE - Universidade de Fortaleza Unimep-SP - Universidade Metodista de Piracicaba Unip-SP - Universidade Paulista Unirio-RJ - Fundação Universidade do Rio de Janeiro Unisinos-RS - Universidade do Vale do Rio dos Sinos Uniube-MG - Universidade de Uberaba Univali-SC - Universidade do Vale do Itajaí Unopar-PR - Universidade Norte do Paraná UPF-RS - Universidade de Passo Fundo USF-SP - Universidade São Francisco Vunesp - Fundação para o Vestibular da Unesp

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Sugestões de leitura para o aluno IMENES, Luiz Márcio; JAKUBOVIC, José; LELLIS, Marcelo. Frações e números decimais. São Paulo: Atual, 2002. (Coleção Pra que serve Matemática?) MACHADO, Nílson José. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 2006. (Coleção Vivendo a Matemática.) ______. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Scipione, 2000. (Coleção Vivendo a Matemática.) ______. Polígonos, centopeias e outros bichos. São Paulo: Scipione, 2006. (Coleção Vivendo a Matemática.)

______. Frações sem mistérios. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A Descoberta da Matemática.) ______. O que fazer primeiro? São Paulo: Ática, 2001. (Coleção A Descoberta da Matemática.) ______. O segredo dos números. São Paulo: Ática, 2001. (Coleção A Descoberta da Matemática.) ______. Uma raiz diferente. São Paulo: Ática, 2001. (Coleção A Descoberta da Matemática.) SMOOTHEY, Marion. Atividades e jogos com ângulos. São Paulo: Scipione, 1997. (Coleção Investigação Matemática.)

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

RAMOS, Luzia Faraco. Aventura decimal. São Paulo: Ática, 2001. (Coleção A Descoberta da Matemática.)

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Bibliografia AABOE, Asger. Episódios da história antiga da Matemática. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1984. BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. São Paulo: CAEM-USP, 1995. BOYER, Carl B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As ideias da álgebra. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994. DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: Atual, 1991. EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 1995. FRANCISCO, Walter de. Estatística básica. Piracicaba: Unimep, 1995. GILLINGS, Richard J. Mathematics in the time of the pharaohs. New York: Dover Publications, Inc., 1972. IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2004. ______. Censo demográfico 2000: resultados preliminares. Rio de Janeiro: IBGE, 2000. IFRAH, Georges. História universal dos algarismos. Trad. Alberto Muñoz e Ana Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. Tomo 1. KARLSON, Paul. A magia dos números. Porto Alegre: Globo, 1961. KRULIK, S.; REYS, R. E. A resolução de problemas na Matemática escolar. Trad. Hygino H. Domingues e Olga Corbo. São Paulo: Atual, 1994. LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. Aprendendo e ensinando geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994. LINS, Rômulo C.; GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas: Papirus, 1997. MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. O ensino de Matemática no primeiro grau. São Paulo: Atual, 1986. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO/SECRETARIA DO ENSINO FUNDAMENTAL. Parâmetros curriculares nacionais — Matemática (terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental). Brasília: MEC/Secretaria de Educação Fundamental, 1998. PÈNE, N.; DEPRESLE, P. Décimale. Paris: Éditions Belin, 1996. Math 6. POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1995. ROSA NETO, Ernesto. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1996. 293

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