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OMPLEMENTO para
ATEMÁTICAS
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Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Complemento para Matemáticas 1 Pa m e l a G o d í n e z Ve l á z q u e z
SEGUNDA EDICIÓN Cuidado de la edición: Juan Carlos Osorio Paulino Corrección de estilo: Said Victorino Leyva Diseño de portada: Yazmin Elizabeth Talavera Castillo/ Pablo García Olán Formación: Christopher Carlón Juárez/ Yazmin Elizabeth Talavera Castillo Ilustración: Pablo García Olán Revisión Técnica: Juan Carlos Osorio Paulino/ María del Rocío Vanegas © Derechos reservados conforme a la ley a favor del titular de los derechos, Ediciones Punto Fijo S.A de C.V., Av. Huitzilíhuitl mz. 24, lt. 27, Colonia Santa Isabel Tola, Del. Gustavo A. Madero, Código Postal 07010, en la Ciudad de México.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Tel: 5781-8401
[email protected]
http://www.edicionespuntofijo.com edcpuntofijo @edcpuntofijo ISBN 978-607-476-180-1
Las características de esta edición, así como su contenido, son propiedad exclusiva de Ediciones Punto Fijo, S. A. de C. V., no pudiendo la obra completa, o alguna de sus partes, ser reproducida mediante ningún sistema mecánico o electrónico de reproducción, incluyendo el fotocopiado, sin la autorización escrita del titular de los derechos de la obra. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 3476
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Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Presentación Complemento para Matemáticas 1 es una obra que sirve como recurso o complemento a la asignatura oficial de Matemáticas 1; en ella se plantean ejercicios y problemas acordes al Programa de estudio vigente para que el alumno emplee estrategias y asiente el dominio de técnicas que le ayudarán a ejercitar su mente. Este material le servirá para que recupere conocimientos previos al resolver problemas y así refuerce y afirme sus aprendizajes. Asimismo, está pensado para que el docente unifique el lenguaje de manera gradual con sus alumnos, de tal manera que al construir una idea, ambos partícipes se dirijan sobre una misma vertiente. Este libro está redactado en un lenguaje formal, pero sencillo y claro para que el alumno asimile la información que se describe en la obra. En ella se abordan todos los contenidos, incluso los cambios curriculares que se han venido presentando en el Programa de estudio de Matemáticas. En cuanto a la estructura, está compuesto por cinco bloques, en cada uno de éstos aparece un apartado denominado “Profundiza” en el que se plantea un reto para que el alumno refuerce sus conocimientos respecto a cada lección. Además, al término de cada bloque se presenta un conjunto de ejercicios en una sección llamada “Ejercicios de reforzamiento”, que busca la ejercitación de las técnicas que construye el alumno a lo largo de los contenidos revisados; pero también tiene como objetivo que el alumno aproveche, junto con su profesor, el tiempo al máximo en la clase, cumpla con las intenciones didácticas que se formulan para cada actividad y dé continuidad a los aprendizajes esperados que marca el Programa.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Cabe destacar que la colección de ejercicios incluidos en esta obra fue diseñada con base en el cálculo de horas destinadas para el estudio de cada contenido matemático, pues se ajusta al plan de clase que elabora cada profesor y dado que es un compendio con el que el alumno completa sus estudios, ya que le da la posibilidad de estudiar no sólo en su entorno escolar, sino de mejorar sus estrategias, técnicas y habilidades en casa. Finalmente, este material cuenta con una evaluación que ayudará al profesor a observar y valorar en qué situación se encuentra el alumno respecto a los aprendizajes deseados que se plantearon al inicio de cada contenido y los aprendizajes esperados del Programa oficial de Matemáticas. Asimismo, el libro cuenta con una anexo en el que se describen fórmulas para ayudar a resolver determinados problemas y concretar el aprendizaje del alumno.
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Material para apoyo del docente prohibida 8 Bloque 1 su reproducción parcial o total Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración Contenido 1: Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración Contenido 2: Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas aditivos Contenido 3: Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
9
15
Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido 6: Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.
34
Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido 7: Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
41
Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 8: Resolución de problemas de reparto proporcional.
46
Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad Contenido 9: Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
50
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 4: Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 5: Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.
20
54 64
Ejercicios de reforzamiento Evaluación
25
p
Bloque 2
66
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración Contenido 1: Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.
30
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración Contenido 2: Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
67
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Material para apoyo del docente prohibida 106 su reproducción Bloque parcial o3 total Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas aditivos Contenido 3: Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Contenido 4: Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido 5: Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
74
77
83
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Contenido 1: Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
107
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Contenido 2: Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
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Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 3: Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Contenido 6: Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.
Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 7: Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios Ejercicios de reforzamiento Evaluación
88
91
95 104
Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido 4: Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Contenido 5: Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.
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Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6: Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad Contenido 7: Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
131
135
Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos Contenido 8: Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
138
Ejercicios de reforzamiento Evaluación
143 152
braicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 4: Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.
Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 5: Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala. Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad Contenido 6: Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
167
171
175
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Bloque 4 154 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración Contenido 1: Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos Contenido 2: Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Contenido 3: Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y alge-
155
Eje: Manejo de la información Tema: Análisis y representación de datos Contenido 7: Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada. Ejercicios de reforzamiento Evaluación
181
184 195
159
164
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Material para apoyo del docente prohibida 197 parcial o total Bloque 5 su reproducción Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas aditivos Contenido 1: Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
198
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Contenido 2: Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
201
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Contenido 3: Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
204
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 4: Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.
211
Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida Contenido 5: Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.
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Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 6: Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
219
Ejercicios de reforzamiento Evaluación
226 235
Material para apoyo del docente prohibida 7 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida BLOQUE 1 su reproducción parcial o total Competencias que se favorecen:
• Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente
Matemático quien fuera miembro de la Escuela Pitagórica, se cree que reveló el secreto de las magnitudes inconmensurables, dicho de otro modo, se le asocia con el haber probado la existencia de los números irracionales.
Aprendizajes esperados: • Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. • Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. • Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Hipaso de Metaponto
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Contenido 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Evaluación
Tema
Números y sistemas de numeración Problemas aditivos Patrones y ecuaciones Figuras y cuerpos
Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad
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Material para docente prohibida Tema:apoyo Números y del sistemas de numeración Contenido 1 su reproducción parcial o total 1.1 Fracciones
◊ Las siguientes figuras han sido divididas en partes iguales. Representa la relación que se indica en cada caso: a)
b)
Partes sombreadas numerador 2 = = denominador Total de partes 5 c)
6 Partes sombreadas = = Total de partes 8
numerador denominador
d)
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 3 Partes sombreadas = = Total de partes 4
numerador denominador
1 Partes sombreadas = = Total de partes 3
numerador denominador
Las fracciones propias son aquellas que se distinguen por ser menores que la unidad, o bien su numerador es menor que su denominador; por ejemplo:
4 11 8
3 11 6
Por otra parte, las fracciones impropias se caracterizan porque su numerador es mayor que su denominador, siendo éstas superiores a la unidad.
Material para apoyo del docente prohibida 9 su reproducción parcial o total 10 21 8
8 21 6
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Se les llama fracciones decimales a aquellas en que su denominador es una potencia de 10, por ejemplo:
6 10
4 10
3 100
◊ Completa los espacios en la tabla considerando que en cada inciso hay una o dos figuras. Figura o figuras
a)
Número de partes sombreadas
Total de partes de una figura
Numerador Denominador
4
10
4 10
Tipo de fracción
Decimal
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5
6
5 6
Propia
12
9
12 9
Impropia
d)
8
20
8 20
Propia
e)
54
100
54 100
Propia
f)
10
6
10 6
Impropia
b)
c)
Material para apoyo del docente prohibida 10 su reproducción parcial o total
Material para del docente 1.2 apoyo Expresión decimal de una fracciónprohibida su reproducción parcial o total Para expresar una fracción en un número decimal exacto se requiere obtener el cociente que resulta de la división del numerador entre el denominador: 0. 4375 7 = 0.4375 ya que 16 7 16 0.6 70 9 = 0.6 ya que 15 9 060 15 90 120 00 080 00
Existen casos en los que el cociente no es exacto, sino un número decimal periódico puro, o sea, un conjunto de cifras decimales, denominado periodo, que aparecen inmediatamente después del punto decimal y que se repiten de manera indefinida. Si el periodo no empezara justo después del punto decimal, se tendría un número decimal periódico mixto, a cuya parte no periódica se le llama anteperiodo. 1.0 4 16 6 6... 1.0 4 16 6 6... 0.8 8 8 8... 24 2 5 25 8 = 1.0416 ... = 1.0416 ya que 24 2 510 0 = 0.88888 ... = 0.8 ya que 9 8 24 9 10 00 80 04 0 416 00 80 16 00 16 La barra horizontal indica 80 16 00 16 que el número se repite de 80 16 0 manera indefinida. 8 16 0 16 0
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Convierte a números decimales las siguientes fracciones y escribe si lo que se obtiene es un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto. a) 5 = 1.25 4
c)
4 = 0.4 10
1.25 45 10 20 0
0.4 10 4 40 0
b) 6 = 0.75 8 Decimal exacto
d) Decimal exacto
9 = 0.1216 74
Decimal periódico mixto
0.75 86 60 40 0
Decimal exacto
0.1216216... 74 9 160 120 460 160 120 460 16
Material para apoyo del docente prohibida 11 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total e) 8 = 0.6 12
0.666... 12 8 80 080 080 08
f)
5 = 0.3 15
0.333... 15 5 50 050 050 05
Decimal periódico puro
g) 22 = 0.48 45
h) 25 = 0.4629 54 0.4 8 8... 45 2 2 220 400 400 400
Decimal periódico mixto
Decimal periódico puro
0.4629629... 54 25 250 340 160 520 Decimal 340 periódico 160 mixto 520 34
Material para apoyo del docente prohibida 1.3su Expresión fraccionaria decimal de un número reproducción parcial o decimal total Para convertir un número decimal exacto en fracción hay que tomar en cuenta lo siguiente: si el número tiene décimos, éste se divide sin punto decimal entre 10; si el número tiene centésimos, se divide sin punto decimal entre 100; si el número tiene milésimos, se divide sin punto decimal entre 1000, y así sucesivamente. 4 0.4 = 10 16 1.6 = 10
75 0.75 = 100 133 1.33 = 100
234 0.234 = 1000 1894 1.894 = 1000
◊ Representa con fracciones decimales los siguientes números decimales. a) 0.14 =
d) 1.356 =
14 100
1356 1000
b) 0.85 =
e) 1.9 =
85 100
19 10
c) 12.4 =
124 10
f) 0.165 =
165 1000
Material para apoyo del docente prohibida 12 su reproducción parcial o total
Material para fraccionaria apoyo no del docente prohibida 1.4 Expresión decimal de un número decimal su reproducción parcial o total Las fracciones que están representadas en su mínima expresión no pueden simplificarse, por lo tanto, no existe una fracción equivalente con la que se pueda expresar la fracción original de forma más sencilla. 12 6 3 = = 100 50 25 ◊ Convierte el número decimal en fracción decimal y represéntala en su mínima expresión. 115 23 = 100 20
a) 0.32 = 32 = 16 = 8 100 50 25
b) 1.15 =
c) 15.8 = 158 = 79 10 5
55 11 d) 5.5 = 10 = 2
e) 0.736 =
736 368 184 92 = = = 1000 500 250 125
f) 0.256 =
Para obtener fracciones equivalentes se multiplica el numerador y el denominador por un mismo número:
256 128 64 32 = = = 1000 500 250 125
Algoritmo del producto cruzado. Si los productos cruzados son iguales, entonces las fracciones son equivalentes. 8 32 = 5 20 8 # 20 = 5 # 32
4 4#2 8 7 = 7 # 2 = 14
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 160 = 160
◊ Halla el valor de cada literal para que las fracciones sean equivalentes. a)
x 3 = 10 20
x=6
d)
8 d = 4 100
b)
7 14 = 50 r
r = 100
e)
2 14 = 3 y
y = 21
c)
2 s = 5 10
f)
9 27 = g 72
g = 216
s =4
d = 200
Para determinar la fracción que representa a 0.5, se considera que n = 0.555, que es un número decimal periódico puro, se multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo. La expresión quedaría representada de la siguiente forma: 10n = 5.555 Si a la expresión le restamos n = 0.555..., nos queda: 10n - n = 5.555 ... - 0.555 9n = 5 5 n= 9 5 ` n = 0.555 ... = 0.5 = 9 Si se desea expresar en fracción un número decimal periódico mixto, por ejemplo, n = 0.83, primero se procede a multiplicar n por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo, con el fin de obtener un número decimal puro: 10n = 8.3 ...
Material para apoyo del docente prohibida 13 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total La expresión que se obtiene se multiplica por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo, y al resultado se le resta 10n: 10 : 10n = 83.3 ... 100n - 10n = 83.3 ... - 8.3 90n = 75 75 n= 90 75 ` n = 0.83 ... = 0.83 = 90
1.5 Profundiza ◊ Completa la siguiente tabla.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Número decimal
Tipo de decimal
Periodo
Anteperiodo
Expresión fraccionaria decimal
Expresión fraccionaria no decimal
Fracción representada en su mínima expresión
0.43
Exacto
No tiene
No tiene
1.142857
Periódico puro
43 100
142857
No tiene
No tiene
3.4
Exacto
No tiene
No tiene
1.25
Exacto
No tiene
No tiene
2.142857
Periódico puro
142857
No tiene
No tiene
0.56
Exacto
No tiene
No tiene
0.5416
Periódico mixto
56 100
6
541
No tiene
0.484
Exacto
No tiene
No tiene
1.38
Periódico mixto
484 1000
8
3
No tiene
11.76
Exacto
No tiene
No tiene
1176 100
86 200 16 14 17 5 25 20 30 14 28 50 65 120 242 500 12 5 90 588 50
43 100 8 7 17 5 5 4 15 7 14 25 13 24 121 250 25 18 294 25
34 10 125 100
Material para apoyo del docente prohibida 14 su reproducción parcial o total
Material para docente prohibida Tema:apoyo Números y del sistemas de numeración Contenido 2 su reproducción parcial o total 2.1 Fracciones en la recta
Las fracciones propias se ubican en la recta numérica entre el intervalo abierto 0 y 1, y las fracciones impropias quedan representadas por arriba de 1. En ambos casos, el denominador indica el número de partes en las que hay que dividir la unidad. Para el caso de las fracciones decimales hay que seccionar la unidad en décimos. ◊ Representa en las rectas numéricas correspondientes las fracciones que se muestran en cada inciso. 4 5
a) 4 y 5 5 4
5 4
0
1
2
7 9
b) 8 y 7 9 9
8 9
0
1 7 21
c) 7 y 7 4 21
7 4
Material para apoyo del docente prohibida , su reproducción parcial o total 0
d)
10 6
1
2
4 12 y 16 5
10 6
4 16
0
0.5
12 5
2
1
3
e) 5 , 2 y 11 10 20 4 2 20
5 10
0
11 4
1
2
3
2.2 Decimales en la recta Para el caso de los números decimales hay que seccionar la unidad en décimos. ◊ Representa en las rectas numéricas correspondientes los números decimales que aparecen a continuación. a) 0.2 y 1.5
0.2
1.5
Material para apoyo del docente prohibida 15 su reproducción parcial o total 0
1
2
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 0.175
b) 0.75 y 0.175
0
0.125
c) 0.4 y 1.40
0.75
1
0.25
0.4
1.40
0
2
1
d) 1.75, 1.4 y 0.25 0.25
0
1.75
1.4
1
0.5
e) 1.6, 0.8 y 2.1
0.8
1.25
1.6
2.1
1
0
2
2
3
2.3 Fracciones y decimales en la recta ◊ Representa en la recta numérica los números fraccionarios y los decimales respectivamente.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 9 a) 3.5, 3 y 2.2
9 3
2.2
1
2
3
49 25 b) 7 , 5 y 5.2 25 5.2 5
6
14 17 , 3.4, 5 4
14 5
2
5 e)
8 17 4
3.4
3
45 42 d) 5.6, 6.20, 6 y 6
4
5.6
5 42 6
6.20
6
114 13 , 6.40, 6.9, 20 3 13 3
4
4
49 7
5 c)
3.5
7
114 20
5
45 6
8
6.40
6
6.9
7
Material para apoyo del docente prohibida 16 su reproducción parcial o total
Material para apoyo deldedocente prohibida 2.4 Comparación fracciones su reproducción parcial o total Dos o más fracciones tienen un común denominador si sus denominadores son iguales. Para obtener fracciones de este tipo, se procede a multiplicar cada fracción por el denominador de las otras. 4 20 2 6 El mínimo común denominador de las siguientes fracciones es 15, ya que 3 = 15 y 5 = 15 4 4#5 20 3 = 3 # 5 = 15 2 2#3 6 5 = 5 # 3 = 15 En los siguientes casos el denominador es 32, pero el mínimo común denominador es 8, porque al simplificar las 8 4 2 12 6 3 fracciones obtenidas nos queda que: 32 = 16 = 8 y 32 = 16 = 8 1 1#8 8 4 = 4 # 8 = 32 3 3#4 12 8 = 8 # 4 = 32 ◊ Determina el común denominador de las siguientes fracciones:
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a)
12 3 El común denominador es 12. y 3 4
f)
15 2 y 2 6
El común denominador es 12.
b) 5 y 2 2 4
El común denominador es 8.
g)
4 6 8 y 5
El común denominador es 40.
c) 2 y 2 7 3
El común denominador es 21.
h) 1 y 1 7 5
El común denominador es 35.
d) 2 y 1 9 2
El común denominador es 18.
i)
5 5 3 y 8
El común denominador es 24.
El común denominador es 22.
j)
7 1 y 12 3
El común denominador es 36.
e)
4 3 11 y 2
◊ Determina el mínimo común denominador de las siguientes fracciones. 11 6 a) 2 y 4 El mínimo común denominador es 4. b)
17 7 2 y 4
c) 8 y 18 7 21
1 5 16 f) 9 y 3 El mínimo común denominador es 9.
El mínimo común denominador es 4.
g)
5 16 6 y 18
El mínimo común denominador es 18.
El mínimo común denominador es 21.
6 6 h) 4 y 16
El mínimo común denominador es 16.
1 1 d) 12 y 24 El mínimo común denominador es 24.
i)
32 51 5 y 15 El mínimo común denominador es 15.
3 e) 5 28 y 7
j)
12 1 16 y 8
El mínimo común denominador es 28.
El mínimo común denominador es 16.
Material para apoyo del docente prohibida 17 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Obtener el común denominador de dos o más fracciones te ayuda a determinar cuál de ellas tiene un mayor, menor o igual valor. El común denominador de las siguientes fracciones es 6. 5 5#2 10 3 = 3#2 = 6 7 7#3 21 2 = 2#3 = 6
`
7 5 21 10 ya que 2 2 3 6 2 6
Otra manera de averiguar qué fracción prepondera o no sobre otras es empleando el método de los productos cruzados. 7 5 2 porque 7 # 3 2 2 # 5 ( 21 2 10 2 3 ◊ Escribe en el espacio el signo (mayor que) o =(igual que) según corresponda. 7 3
2
a) 3 4
2
2 9
f) 4.5
b) 2 5
1
4 6
g)
1 17
1
0.0625
c) 0.6
2
0.078
h) 5 12
1
3 7
d) 1 8
=
4 32
i)
2 11
2
1 9
j)
=
12 9
x=4
e)
2 x 6 = = 9 18 27
x=4
x 3 b) 0.5 2 7 2 8
x=3
f)
8 x 9 6 1 3 1 5
x=5
1 x 4 c) 8 = 16 = 32
x=2
5 x 15 g) 4 2 10 2 13
x = 12
x = 0.6
x 3 h) 0.1 1 4 1 7
x=1
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 4 3 ◊ Calcula el valor del número natural en las siguientes expresiones. e) 1.6
a)
d)
=
1.600
5 x 5 7 1 5 1 6
3 = x = 0.60 5
◊ Resuelve los siguientes problemas. a) Considerando que Samuel y Viridiana tienen el mismo número de fichas, y que Viridiana introdujo 2 de ellas en 5 una urna y Samuel 8 , ¿cuál de las dos personas colocó menos fichas? 20
2 8 Ambas personas colocaron el mismo número de fichas, ya que 5 = 20 .
Material para apoyo del docente prohibida 18 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Carmen quiere adquirir una tableta. En un centro comercial tiene que pagar68
partes del dinero de que dispone,
mientras que en una tienda especializada en electrónica tendría que pagar 11 de él. ¿En cuál de las dos opciones 14 es más costoso adquirir el producto?
En la tienda especializada en electrónica.
11 6 porque 11 # 8 2 6 # 14 ( 88 2 84 14 2 8
9 c) Dos recipientes tienen la misma capacidad de almacenamiento. Si uno de ellos tiene 7 de agua y el otro 12 , 8 ¿cuál de los dos recipientes se encuentra más lleno?
El recipiente que tiene 7 de agua. 8 7 9 porque 7 # 12 2 8 # 9 & 84 2 72 8 2 12
d) Marisol ha dado 45 de vueltas en una pista de atletismo, misma en la que José ha efectuado 55 vueltas. ¿Quién 8 8 de los dos ha dado más vueltas? José ha dado más vueltas. 45 55 55 # 8 2 8 # 45 & 440 2 360 8 2 8 porque
Material para apoyo del docente prohibida 2.5 Profundiza su reproducción parcial o total ◊ En las siguientes rectas se han indicado algunos puntos con las letras A, B y C. Coloca la fracción o decimal que corresponde a cada uno de ellos.
a)
0
1 A 2 B 3C
4
8 A: __________ 1.5 B: __________ C: __________ 3.25 3 b) A 0 1 7 6 2 A: __________ B: __________ C: __________ 4 4 7
B
c) A B 0 1 12 20 2 A: __________ B: __________ C: __________ 10 8 5 d) A 0
B
2
C
2
C
C
3
1
0.2 0.5 0.9 A: __________ B: __________ C: __________
Material para apoyo del docente prohibida 19 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total , ◊ Localiza en la recta numérica los siguientes números fraccionarios y decimales. a)
4 x ,4 5 6 4
4 5 5 6
0 b)
4 4
1
5 ,6 ,8 4 5 7
6 5 5 4
0
1
2
8 7
9 , 12 c) 0.8, 10 13 0.8
0
9 10 12 13
1
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 11 , 7 d) 1.30, 8 5
0
7 1.30 5
1
2
11 8
Tema: Problemas aditivos Contenido 3
3.1 Suma y resta de fracciones propias 6 2 8 6 8 14 14 1 , y como = El resultado de sumar 1 + 2 es y , entonces = + = . 24 6 24 24 24 24 24 4 4 6 Por tanto,
1 2 6+8 14 14 7 = = + = . Al simplificar el resultado tenemos que . 4 6 24 24 24 12
Para el caso de la resta, procedemos de la misma manera: 6 2 14 6 30 2 16 30 16 14 - = = = , ya que = y ,y . 8 5 40 8 40 5 40 40 40 40 En general,
7 6 2 30 - 16 14 14 - = = = , y al simplificar el resultado tenemos que 20 8 5 40 40 40
.
Material para apoyo del docente prohibida 20 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Representa en su mínima expresión el resultado de las siguientes operaciones. a) 1 + 2 = 4 + 12 = 16 = 8 = 4 = 2 24 24 12 6 3 6 4
e) 3 + 1 = 21 + 8 = 29 8 7 56 56
b) 2 8
f) 1 - 1 = 10 - 7 = 3 7 10 70 70
4 - 32 2 1 - 17 = 34136 = 136 = 68
8 7 88 - 70 18 9 c) 10 - 11 = 110 = 110 = 55
7 8 98 - 96 2 1 g) 12 - 14 = 168 = 168 = 84
3 4 27 + 48 75 25 d) 12 + 9 = 108 = 108 = 36
3 7 36 + 105 141 47 = 180 = 60 h) 15 + 12 = 180
3.2 Suma y resta de fracciones mixtas Para sumar o restar números fraccionarios mixtos es conveniente que los sumandos o elementos que indican que hay que efectuar una resta sean transformados en fracciones impropias. 4
1 7#4+1 29 = = 7 7 7
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Representa en su mínima expresión el resultado de las siguientes operaciones. a) 5 1 + 2 8 = 26 + 16 = 104 + 80 = 184 = 92 = 46 5 4 5 4 20 20 10 5 2 4 16 10 96 - 70 26 13 = = b) 2 7 - 1 6 = 7 - 6 = 42 42 21 8 3 38 13 190 - 130 60 30 6 = c) 3 10 - 2 5 = 10 - 5 = 50 50 = 25 = 5 d) 3 3 + 3 5 = 15 4 2 4
+ 2 =
e) 5 3 + 1 1 = 43 8 7 8
+7 =
f)
2
1 7
1
11
8
15
30 + 44 74 37 = 8 = 4 8 301 + 64 365 = 56 56
11
- 1 10 = 7 - 10 =
g) 1 3 12
150 - 77 73 = 70 70
2 20 270 - 240 30 15 5 - 1 18 = 15 = = 216 = 108 = 36 12 - 18 216
2 h) 10 10
4
102
10
306 + 100 406 203 = 30 = 15 30
Material para apoyo del docente prohibida 21 su reproducción parcial o total + 2 3 = 10 + 3 =
Material para apoyo del docente prohibida 3.3 Problemas aditivos su reproducción parcial o total ◊ Realiza las operaciones matemáticas necesarias para resolver cada uno de los planteamientos que a continuación se te presentan, y ubica en la recta numérica el resultado.
a) Pamela pagó por una caja de cereal 6 partes del dinero que dispone, y 1 parte lo destinó a comprar un 8 14 chocolate, ¿qué parte del dinero invirtió en sus compras? 23 28
0
1
6 1 84 + 8 92 46 23 + = = = = 8 14 112 112 56 28
23 Invirtió 28 pesos.
4
b) Nicolás dibujó un cuadrado que mide 8 de centímetro por lado, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero?
2
1
0
16 8
4 4 4 4 16 + + + = =2 8 8 8 8 8
El perímetro es de 2 cm.
2 c) Karina recorrió sobre una pista de ciclismo 2 de kilómetro un martes, y para el día siguiente abarcó 5 3 8 de kilómetro, ¿cuántos kilómetros recorrió en total?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5
11 Recorrió 5 12 km.
11 12
5
6
2 2 2 17 6 + 136 142 71 11 +5 = + = = = =5 8 3 8 3 24 24 12 12
3 d) Beatriz compró en una ferretería una bolsa con 1 de kilogramo de yeso. Si ocupó 6 para rellenar un hueco, 4 4 ¿cuánto yeso le quedó en la bolsa? 1 4
1 Le quedó 4 de kg.
0
1
3 6 7 6 1 14 - 4 = 4 - 4 = 4 3
e) De 8 6 partes de colorante rojo que hay en un recipiente, Regina diluyó sólo partes con agua en un pocillo, 4 12 ¿cuál es la cantidad de colorante que resta en el recipiente? 7
3 4
7 3 Resta 7 4 de colorante.
8 8
6 3 102 3 408 - 36 372 3 - = - = = =7 12 4 12 4 48 48 4
Material para apoyo del docente prohibida 22 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Resuelve los siguientes problemas.
a) Carlos y Mayte decidieron cooperar con cantidades diferentes de dinero para adquirir una consola de videojuegos. Si ambos disponen de la misma cantidad, y de ésta Carlos aportó 8 y Mayte 2 partes, ¿qué parte del dinero de 12 7 Carlos o Mayte representaría el total de lo que gastaron? 8 2 56 + 24 80 40 20 + = = = = 12 7 84 84 42 21 20 De la cantidad de Carlos o Mayte representarían 21 partes.
b) Juan y Ana dividieron dos pliegos de cartulina en cuadrados para construir dos cubos; uno en 12 , y el otro en 12 26 15 partes. ¿Qué fracción de cartulina se utilizó para armar los cuerpos geométricos? 12 12 180 + 312 492 246 82 17 + = = = = =1 26 15 390 390 195 65 65 17 Se utilizó 1 65 partes de cartulina. c) Georgina, durante el trayecto a su casa, descansó 4 y 24 de hora, ¿qué fracción de hora no descansó? 15
80
4 24 320 + 360 680 340 170 85 17 = 1200 = 600 = 300 = 150 = 30 . La parte de hora que descansó: 15 + 80 = 1200
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 30 17 13 La fracción de hora que no descansó: 30 - 30 = 30 .
3 5 d) Itzel preparó 2 1 4 de litro de jugo de naranja. Si su hermano se tomó 20 de litro, ¿cuál es la cantidad de jugo que queda? 3 5 11 25 220 - 100 120 12 3 = = = 2 4 - 1 20 = 4 - 20 = 80 80 8 2 3 Quedan 2 de litro de jugo. e) Pepe ocupa la tercera parte del día en dormir y una cuarta parte en la escuela. ¿Qué parte del día le queda para jugar, comer y hacer tarea? 1 1 4+3 7 3 + 4 = 12 = 12 12 7 12 - 7 5 12 - 12 = 12 = 12 5 Le quedan 12 de día para realizar las demás actividades.
Material para apoyo del docente prohibida 23 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 3.4 Profundiza su reproducción parcial o total ◊ Soluciona los siguientes planteamientos.
a) Existen dos grupos de secundaria que tienen el mismo número de alumnos. En el primer grupo 2 partes obtuvieron 10 1 7 8 de promedio, lograron un 9 y consiguieron un 10 en la materia de Física. En cambio, en el segundo grupo 3 18 4 partes alcanzaron el 8, 3 obtuvieron un 9 y 11 tuvieron 10. ¿En cuál de los dos grupos hubo más personas 12 9 33 con un promedio superior a 8? Primer grupo: 1 + 7 = 18 + 21 = 39 = 13 . 3 18 54 54 18 3 11 99 + 99 198 66 22 2 + = = . 9 33 297 297 = 99 = 33 = 3
Segundo grupo:
En el primer grupo hubo más alumnos que obtuvieron más de 8:
13 2 2 . 18 3
b) Averigua cuál es la suma de los valores que se representan con las letras A, B y C en la recta numérica.
0
1
A
2
B
C
3
419 120 1 1 1 1 6 17 5 + 36 17 41 17 328 + 510 838 419 +1 +2 = + + = + = + = = 240 = 120 6 5 8 6 5 8 30 8 30 8 240 A+B+C=
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Halla el valor de x (valor faltante) en
81 El valor de x es 40 .
1 1 +x = 2 10 8 para que se cumpla la igualdad.
1 1 17 1 170 - 8 162 81 2 8 - 10 = 8 - 10 = = 80 = 40 80
d) Omar adquirió dos bolsas con clavos, los de la primera bolsa miden 7 de pulgada, y los de la otra bolsa, 1 de 16 2 pulgada, ¿qué bolsa tiene los clavos más grandes en pulgadas? 1 7 1 Se sabe que 2 2 16 . Al operar matemáticamente se tiene que los clavos de la segunda son más grandes por 16 1 7 16 - 14 2 1 = = . de pulgada, ya que: 2 - 16 = 32 32 16 e) En un laboratorio, al homogeneizar 2 de mililitros de dimeticona, 18 de mililitros de esencia, 12 de mililitros 10 3 3 de agua destilada y cierto número de alcohol, se obtienen 100 ml de colonia. ¿Qué fracción, expresada en mililitros, de alcohol se necesita para tener los 100 mililitros de colonia? 2 18 12 + + + mililitros de alcohol=100 ml ( 2 + 6 + 4 + mililitros de alcohol=100 ml & 10 2 + mililitros de 10 3 3 10 10 alcohol = 100 ml ` mililitros de alcohol = 100
2
100
102
- 10 10 = 1 - 10 =
1000 - 102 898 449 = 10 = 5 10
Material para apoyo del docente prohibida 24 su reproducción parcial o total
Material para apoyo dely docente prohibida Tema: Patrones ecuaciones Contenido 4 su reproducción parcial o total 4.1 Sucesión de números: regla de regularidad y regla general
La regla de regularidad y la regla general que definen a una sucesión pueden ser expresadas en lenguaje común, por ejemplo, para una sucesión con progresión aritmética las reglas quedan definidas de la siguiente manera: Regla de regularidad: para obtener el subsecuente término se suma 1 a cada término. Regla general: se multiplica la posición del término por 1 y se le suma 2. Expresión algebraica: es aquella en la que intervienen números, letras (literales) y signos de operación y en algunos casos signos de agrupamiento. Término de la sucesión
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Expresión algebraica:
n+2
◊ Describe la aplicación de la regla de regularidad y la regla general para cada una de las sucesiones que se presentan. a) Término de la sucesión
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Regla de regularidad: Para obtener el subsecuente término se suman 2 a cada término. Regla general: Se multiplica la posición del término por 2 y se suma 2. Expresión algebraica: 2n + 2
b) Término de la sucesión
3
7
11
15
19
23
27
31
35
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Regla de regularidad: Para obtener el subsecuente término se suman 4 a cada término. Regla general: Se multiplica la posición del término por 4 y se resta 1. Expresión algebraica: 4n − 1 c) Término de la sucesión
5
8
11
14
17
20
23
26
29
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Regla de regularidad: Para obtener el subsecuente término se suman 3 a cada término. Regla general: Se multiplica la posición del término por 3 y se suma 2. Expresión algebraica: 3n + 2
Material para apoyo del docente prohibida 25 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d)
Término de la sucesión
7
10
13
16
19
22
25
28
31
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Regla de regularidad: Para obtener el subsecuente término se suma 3 a cada término. Regla general: Se multiplica la posición del término por 3 y se suma 4. Una sucesión con progresión geométrica no varía linealmente, su expresión algebraica es un poco más compleja y por eso aquí sólo analizarás su regla de regularidad. La regla de regularidad de la siguiente sucesión es: para obtener el subsecuente término se multiplica el término anterior por 2. Término de la sucesión
3
6
12
24
48
96
192
384
768
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
◊ Describe la regla de regularidad para cada una de las sucesiones que se presentan. a)
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Término de la sucesión
1
4
16
64
256
1024
4096
16384
65536
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Regla de regularidad:
Para obtener el subsecuente término se multiplica el término anterior por 4.
b) Término de la sucesión
2
4
8
16
32
64
128
256
512
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Regla de regularidad:
Para obtener el subsecuente término se multiplica el término anterior por 2.
c) Término de la sucesión
2
6
18
54
162
486
1458
4374
13122
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Regla de regularidad:
Para obtener el subsecuente término se multiplica el término anterior por 3.
Material para apoyo del docente prohibida 26 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d)
Término de la sucesión
1
5
25
125
625
3125
15625
78125
390625
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Regla de regularidad:
Para obtener el subsecuente término se multiplica el término anterior por 5.
4.2 Construcción de sucesiones numéricas ◊ Completa los términos que hacen falta en las siguientes tablas de sucesiones, de acuerdo a la regla general o expresión algebraica que se indica. a) Regla de regularidad: el número anterior se multiplica por 3 para obtener el siguiente término. Término de la sucesión
1
3
9
27
81
243
729
2187
6561
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Regla general: el valor de la posición se multiplica por 3. Término de la sucesión
3
6
9
12
15
18
21
24
27
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
c) Regla de regularidad: el número anterior se multiplica por 2 para obtener el siguiente término. Término de la sucesión
1
2
4
8
16
32
64
128
256
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
d) Regla general: el valor de la posición se multiplica por 2 y se le suma 4. Término de la sucesión
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Posición que ocupa el término (n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Material para apoyo del docente prohibida 27 su reproducción parcial o total
Material para apoyo docente prohibida 4.3 Sucesióndel de figuras su reproducción parcial o total ◊ Determina la regla general que define a cada sucesión de figuras con ayuda del análisis sobre su comportamiento matemático que se encuentra en las tablas, debajo de cada sucesión.
a)
Figura 1
Figura 3
Figura 2
Posición de la figura
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de círculos de la figura
2
4
6
8
10
12
14
16
Constante aditiva (diferencia del número de círculos entre dos figuras consecutivas)
2
2
2
2
Regla general: Multiplicar la posición de la figura por la constante aditiva 2. b) Figura 1
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Figura 2
Figura 3
Figura 4
Posición de la figura
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de cuadrados de la figura
1
3
5
7
9
11
13
15
Constante aditiva (diferencia del número de cuadrados entre dos figuras consecutivas)
2
2
2
2
Regla general: Multiplicar la posición de la figura por la constante aditiva 2 y restar 1. c) Figura 1 Figura 2 Figura 3
Figura 4
Posición de la figura
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de cuadrados de la figura
3
4
5
6
7
8
9
10
Constante aditiva (diferencia del número de cuadrados entre dos figuras consecutivas)
1
1
1
1
Material para apoyo del docente prohibida 28 su reproducción parcial o total Regla general: Multiplicar la posición de la figura por la constante aditiva 1 y sumar 2.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d)
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Posición de la figura
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de segmentos de la figura
3
5
7
9
11
13
15
17
Constante aditiva (diferencia del número de segmentos entre dos figuras consecutivas)
2
2
2
2
Regla general: Multiplicar la posición de la figura por la constante aditiva 2 y sumar 1.
4.4 Profundiza ◊ Completa la siguiente tabla con la información correspondiente. Sucesiones numéricas o de figuras
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Regla de regularidad
Regla general
Va de 1 en 1.
Multiplicar el lugar del término por 1 y sumar 1.
Figura 5
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 7, 9, 11, 13, 15…
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
3, 9, 15, 21, 27…
Va de 2 en 2.
Multiplicar el lugar del término por 2 y sumar 5.
Va de 4 en 4.
Multiplicar el lugar del término por 4 y restar 3.
Va de 6 en 6.
Multiplicar el lugar del término por 6 y restar 3.
◊ Completa las siguientes sucesiones numéricas. a) 2, 7 , 12, 17, 22 , 27 , 32, 37, ... b) 7 ,14, 28, 56, 112 , 224 , 448, 896, ...
c) 5, 8, 11, 14 , 17 , 20 , 23, 26, ... 1 1 1 1 1 , 1 , 1 ,... d) 1, 2 , 4 , 8 , 16 , 32 64 128
Material para apoyo del docente prohibida 29 su reproducción parcial o total e) 84, 79 , 74 , 69, 64, 59, 54 , 49, ...
Material paraTema: apoyo docente prohibida Patronesdel y ecuaciones Contenido 5 su reproducción parcial o total 5.1 Descripción de la obtención del perímetro
◊ Lee cada uno de los planteamientos y responde las preguntas que se hacen al respecto. a) Se desea cercar con malla ciclónica un terreno cuadrangular que se ocupará para sembrar maíz. • ¿Cómo puede obtenerse el número de metros de malla ciclónica necesaria para cercar el terreno? Considerando que el terreno tiene cuatro lados iguales, y que se conoce la medida de uno de sus lados, se tiene que efectuar una suma, la cual determinará el número de metros de malla ciclónica necesaria para cercar el terreno. • Encuentra una forma de determinar la longitud del contorno de cualquier terreno cuadrangular y descríbela a continuación. Para encontrar el perímetro de cualquier terreno cuadrangular, sin importar la medida de sus lados, se debe efectuar una suma o una multiplicación. Para el primer caso, hay que sumar cuatro veces la medida de uno de los lados del cuadrado. Para el caso dos, es necesario multiplicar el número de lados del cuadrado por la medida de cada uno de ellos.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Alrededor de una colcha se requiere coser un encaje.
• ¿Cómo determinarías el número de metros de encaje necesario para abarcar toda la colcha?
Se debe efectuar una adición de las medidas de todos sus lados, considerando que la colcha rectangular tiene dos pares de lados paralelos, y que un par difiere de la medida del otro.
• Encuentra una manera de determinar la longitud del contorno de cualquier colcha rectangular y descríbela enseguida. Una forma de saber el perímetro total de cualquier colcha es sumar todos sus lados, considerando que un par de lados es distinto al otro, en magnitud. c) Se ha construido un vitral en forma de rombo. Considerando que uno de sus lados mide 20 cm: • ¿Cómo se puede saber el perímetro del vitral? La medida de cada uno de los lados es la misma; es decir, todos sus lados miden 20 cm, y como se requiere saber el perímetro del vitral, se tienen que sumar todas sus longitudes. d) Gabriel le dice a Mario que una manera de encontrar la longitud del contorno de un rombo es sumando la medida de todos sus lados, Mario responde que esto no puede ser posible, ya que para obtener el perímetro hay que multiplicar el número de lados por la medida. ¿Quién de los dos tiene la razón? Explica tu respuesta. Ambos tienen la razón, porque cada uno de los lados del vitral tiene la misma longitud. Eso implica que si se suma cuatro veces la medida del lado del rombo, o se multiplica la longitud de uno de ellos por su número de lados, se obtiene el mismo resultado.
Material para apoyo del docente prohibida 30 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total e) Un triángulo equilátero tiene un perímetro de 12 cm.
• ¿Cómo se obtuvo la longitud del contorno del triángulo?
Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales por definición, eso significa que cada uno de los lados tiene la misma medida. Considerando lo anterior, se tiene que sumar tres veces la misma longitud para obtener el perímetro del triángulo.
• Inés aprendió que para calcular el perímetro de un triángulo equilátero se debe de sumar la medida de cada uno de los lados. Describe otra manera de encontrar el perímetro de cualquier triángulo equilátero. Como los lados que componen al triángulo equilátero son iguales, se puede representar el perímetro multiplicando el valor de la longitud por el número de lados que éste tiene.
5.2 Descripción de la obtención del área ◊ Lee cada uno de los planteamientos y responde las preguntas que se hacen sobre ellos. a) Cada uno de los cuadrados que forman el tablero de ajedrez que se exhibe en una tienda de juegos de mesa representa 100 centímetros cuadrados de la superficie total: • ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene como área el tablero de ajedrez?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 6400 centímetros cuadrados.
• ¿Cómo determinarías el área del cualquier cuadrado?
Para encontrar el área de un cuadrado, conociéndose la longitud de uno de sus lados, se tiene que multiplicar el valor del lado por el mismo valor, es decir, lado por lado. * Puedes consultar la hoja de anexo en este libro. b) En cada uno de los cuadrados que representan un metro cuadrado de la superficie total, se pretende sembrar un árbol:
• ¿En cuántos metros cuadrados se sembraron los árboles? En 200 metros cuadrados. • ¿Cómo determinarías el área de cualquier rectángulo? Todo rectángulo tiene una base y una altura, por ello se debe efectuar una multiplicación: el número de metros que tiene de largo por el número de metros que tiene de ancho.
Material para apoyo del docente prohibida 31 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Se empleará la superficie sombreada para sembrar frijol y la parte no sombreada para sembrar chícharo:
• ¿Cuántas unidades cuadradas se destinaron para sembrar frijol y cuántos para chícharo? Se destinaron 14 unidades cuadradas para cada una de las semillas. • ¿Cómo determinarías el área de cualquier triángulo? Se debe efectuar una multiplicación: el número de metros que tiene de largo por el número de metros que tiene de ancho, y el resultado se divide entre dos.
5.3 Literales como números generales
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total El perímetro de una figura representa la suma de las longitudes de sus lados, por lo que la medida del contorno del siguiente cuadrado, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar, se expresa así:
P = lado + lado + lado + lado P = 4 veces el lado P = 4l
l
Para expresar el perímetro del siguiente rectángulo de lados a y b se requiere sumar sus longitudes, por lo que: P = lado + lado + lado + lado P=a+b+a+b P = 2a + 2b
a b
◊ Representa el perímetro de las siguientes figuras. a) a
b)
c
m
b P=
m P = 2m + n
a+b+c n
Material para apoyo del docente prohibida 32 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d)
c)
P = 12d
P = 15s
2d e)
3s
2y
f)
z
z
4t 3r
P = 7y + 2z
3r
5y
P = 8t + 6r
4t
◊ Asigna diferentes valores (arbitrarios) a las literales en cada caso y calcula el perímetro de las figuras. Guíate por el ejemplo. a)
b)
s
a
b
b
a = 4 cm b = 2 cm c = 3 cm d = 2.5 cm P = 23 cm
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total r
r = 4 cm s = 2 cm P = 12 cm
r
s
c
c
d
d
a
f
c) g
g
f = 5 cm g = 2 cm P = 14 cm
d) x
z
f
x = 5 cm y = 3 cm z = 4 cm P = 12 cm
y
p
e) q
q r
p = 5 cm q = 2 cm r = 7 cm P = 16 cm
Material para apoyo del docente prohibida 33 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 5.4 Profundiza su reproducción parcial o total ◊ Ten en cuenta que las literales son números generales y representa mediante una expresión el perímetro y el área de las siguientes figuras. Expresión que representa el perímetro
Expresión que representa el área
Figura b
P = 2b + 2h
A = bh
P=h+b+m
bh A= 2
h
h
m
b l
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total P = 4l
l
A=l•l
Tema: Figuras y cuerpos Contenido 6
6.1 Trazo de triángulos mediante el uso del juego de geometría Para trazar un triángulo equilátero HIJ, primero se procede a trazar un segmento HI (ver figura 1). Posteriormente, se abre el compás con una medida equivalente a HJ, se apoya su punta sobre el punto H y se traza un arco. Después apoyamos nuestro compás sobre el punto I, para trazar nuevamente un arco con la misma medida (ver figura 2).
J
H
Figura 1
I
H
I Figura 2
Localizamos el punto medio del segmento HI para trazar una recta perpendicular a ese punto. Después denotamos con la letra J la intersección entre la recta y los arcos que fueron trazados (ver figura 3). Unimos el punto J con los puntos H e I respectivamente, para obtener un triángulo (ver figura 4).
Material para apoyo del docente prohibida 34 su reproducción parcial o total
Material paraJ apoyo del docenteJ prohibida su reproducción parcial o total H Punto medio
I
I
H
Figura 3
Figura 4
Es importante tener en cuenta para que los tres segmentos sean los lados de un triángulo, la suma de dos de sus lados debe ser mayor que la medida del otro. ◊ Utiliza tu juego de geometría para construir triángulos con las medidas de los segmentos que se proporcionan, y escribe en cada caso si fue o no posible construirlo. a) 5 cm 5 cm
5 cm
5 cm
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5 cm
Fue posible construirlo.
5 cm
b) 3 cm 4 cm
3 cm
4 cm
5 cm 5 cm
Fue posible construirlo.
c)
3 cm 5 cm
6 cm
Fue posible construirlo.
3 cm
5 cm
Material para apoyo del docente prohibida 35 su reproducción parcial o total 6 cm
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d)
2 cm 3 cm 6 cm
No fue posible construirlo. e) 4 cm
5 cm 6 cm Fue posible construirlo. f)
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 3 cm
4 cm
7 cm No fue posible construirlo.
6.2 Trazo de cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría Para trazar un rectángulo ABCD, primero se dibuja un segmento de longitud AB (ver figura 5), luego se apoya una escuadra sobre el borde de una regla para trazar dos semirrectas perpendiculares al segmento AB desde A y después desde B (ver figura 6).
A
B Figura 5
A
B
Material para apoyo del docente prohibida 36 su reproducción parcial o total Figura 6
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Posteriormente, se traza una semirrecta paralela al segmento AB y a las intersecciones que tiene ésta con las semirrectas perpendiculares se les conocerá como D y C. Por último, se unen todos los puntos ABCD para obtener el rectángulo (ver figura 7). D
C
A
B
Figura 7
◊ Utiliza tu juego de geometría para construir rectángulos con la medida del segmento que se proporciona en cada caso. a) Segmento AB = 4 cm Segmento AC = AD = 3 cm
D
C
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 4 cm
A
b) Segmento AB = 5 cm Segmento AD = BC = 2 cm
D
C
5 cm
A c) Segmento AB = 3 cm Segmento AD = BC = 2 cm
B
D
B
C
Material para apoyo del docente prohibida 37 su reproducción parcial o total A
3 cm
B
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Para trazar un rombo conociendo uno de sus ángulos (α) y uno de sus lados que lo forman, primero se traza un segmento AB. Después, se sitúa el centro del trasportador sobre, en este caso, el punto A, para trazar una semirrecta con origen en dicho punto, generado a partir de la medida de un ángulo α (ver figura 8). Posteriormente, apoyando el compás sobre el punto A, se traza un arco igual al segmento AB de tal manera que éste haga su corte (denotado con la letra D) con la semirrecta (ver figura 9). D
α
α B
A
A
B
Figura 9
Figura 8
Haciendo centro en el punto B, con la misma abertura AB, se traza un nuevo arco. Luego se coloca la punta del compás sobre el punto D y, de nuevo, con la misma abertura AB, se traza otro arco que corte al anterior. A esta intersección de los arcos le asignaremos la letra C. Por último, sólo hay que unir los vértices ABDC (ver figura 10). D
C
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total α A
AB Figura 10
B
◊ Utiliza tu juego geométrico para construir rombos con las medidas que se proporcionan. a) Segmento AB = 6.8 cm Ángulo α = 25°
25º A
6.8 cm
B
Material para apoyo del docente prohibida 38 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Segmento AB = 4.3 cm Ángulo α = 65°
65º A
4.3 cm
B
c) Segmento AB = 5.5 cm Ángulo α = 35°
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 35º
A
5.5 cm
B
6.3 Profundiza ◊ Utiliza tu juego geométrico para trazar un triángulo o un cuadrilátero según sea el caso. a) Cuadrado de 4 cm de lado.
90º 4 cm
Material para apoyo del docente prohibida 39 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Rectángulo con 3 cm en uno de sus lados.
3 cm c) Rombo con las siguientes medidas: 5.2 cm y α = 32°.
32º
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5.2 cm
d) Romboide con las siguientes medidas: 3.9 cm y α = 27°.
27º 3.9 cm
◊ Anota sobre la línea si es o no posible, con las medidas de los segmentos que se te proporcionan, construir un triángulo. a) 3 cm, 1 cm y 5 cm.
No es posible.
b) 4 cm, 8 cm y 10 cm.
Es posible.
c) 5 cm, 6 cm y 12 cm.
No es posible.
d) 7 cm, 5 cm y 11 cm.
Es posible.
e) 5 cm, 6 cm y 14 cm.
No es posible.
Material para apoyo del docente prohibida 40 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del ydocente prohibida Tema: Figuras cuerpos Contenido 7 su reproducción parcial o total 7.1 Altura
La altura de un triángulo es la distancia que hay entre el vértice y su lado opuesto o prolongación de éste. El punto donde concurren las tres alturas recibe el nombre de ortocentro.
Altura
Ortocentro
Para trazar las alturas de un triángulo ABC se puede emplear una escuadra. A
A
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total A
B B
C
C
B
C
Se coloca el lado de la escuadra que forma un ángulo de 90° sobre el lado opuesto al vértice o prolongación del vértice, de tal manera que quede alineada con el vértice para después trazar la altura. ◊ En cada triángulo traza las alturas y localiza el ortocentro. b)
a)
Ortocentro
Ortocentro
Material para apoyo del docente prohibida 41 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
Ortocentro
Ortocentro
7.2 Mediatriz La mediatriz de un triángulo es una recta perpendicular que pasa por el punto medio de uno de sus lados. El punto en el que intersecan las mediatrices de un triángulo se le conoce como circuncentro, que representa el centro de una circunferencia que pasa por los vértices del triángulo. Mediatriz
Circuncentro
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Para trazar, por ejemplo, la mediatriz del segmento AB, se apoya el compás sobre el extremo A con una medida superior al punto medio del segmento AB y se trazan dos arcos. Luego se coloca el compás sobre el extremo B y, considerando la misma medida, se trazan otros dos arcos. Por último, se traza una recta, que es la mediatriz, para unir los puntos de intersección que hubo entre los arcos.
M
A
B Mediatriz
N
Material para apoyo del docente prohibida 42 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ En cada triángulo traza las mediatrices y localiza el circuncentro. a)
b)
Circuncentro Circuncentro
c)
d) Circuncentro
Circuncentro
Material para apoyo del docente prohibida 7.3 Bisectriz su reproducción parcial o total La recta que divide a un ángulo interior en otros dos de la misma medida recibe el nombre de bisectriz. En tanto que el punto donde convergen las bisectrices se denomina incentro y representa el centro de una circunferencia que se encuentra en el interior del triángulo y que es tangente a sus lados. Bisectriz
Incentro
Es posible trazar la bisectriz en un triángulo ABC utilizando un compás. A
A
A
A
A
Material para apoyo del docente prohibida 43 su reproducción parcial o total B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Se hace una abertura en el compás no superior al lado BC y se sitúa su punta sobre C para marcar un punto en ese mismo lado y otro en el lado AC. Con esa misma medida y apoyando el compás en las marcas que se hicieron, se trazan dos arcos que se corten en un punto. Por último, se traza una recta, que representa la bisectriz, que pase por C y por el punto de intersección de los arcos. ◊ En cada triángulo traza las bisectrices y localiza el incentro. a)
b)
Incentro Incentro
c)
d)
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Incentro
Incentro
7.4 Mediana La mediana es un segmento de recta que parte del vértice y llega al punto medio del lado opuesto al vértice. Al trazar todas las medianas, éstas se unen en un mismo punto, llamado baricentro o gravicentro. Baricentro
Mediana
Material para apoyo del docente prohibida 44 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Parar trazar las medianas de los triángulos, basta con determinar el punto medio de cada uno de los lados y unirlos con los vértices de sus lados opuestos. A
A
A
C B
C
C B
B
◊ En cada triángulo traza las medianas y localiza el baricentro. a)
b) Baricentro
Baricentro
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
d)
Baricentro Baricentro
7.5 Profundiza ◊ Indica el nombre del punto en el que concurren los segmentos o rectas que intervienen en cada triángulo. a)
b)
Rectas que intervienen:
Punto de concurrencia:
Rectas que intervienen:
Punto de concurrencia:
Material para apoyo del docente prohibida 45 su reproducción parcial o total Bisectrices
Incentro
Mediatrices
Circuncentro
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
d)
Rectas que intervienen: Alturas
Punto de concurrencia: Ortocentro
Segmentos que intervienen:
Punto de concurrencia:
Medianas
Baricentro
Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 8
8.1 Reparto: el todo en partes iguales Una pareja de hermanos quiere repartir el dinero que les dio su papá en partes iguales. Si disponen de $50.00, ¿cuál es la cantidad que le corresponde a cada uno? A cada uno le corresponde $25.00. Este resultado se obtiene mediante una división: 25 2 50 10 0
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ¿Qué sucederá si su papá les dice que deben repartir el dinero teniendo en cuenta un índice o factor de reparto, por ejemplo, la edad?
8.2 Reparto: el todo en partes proporcionales Omar y Fortino trabajan en una oficina, su jefe ha decidido brindarles un apoyo económico por los años que llevan laborando, pero con relación al tiempo que cada uno ha dedicado a la empresa. Si su jefe, dispone de $2500.00 para incentivar a sus dos empleados, ¿cuál es la cantidad que le corresponde a cada uno si Omar tiene trabajando en la empresa 2 años y Fortino 3? Suma de los índices de reparto 2 años + 3 años 5 años
Obtención del factor de proporcionalidad 500 5 2500 000
Reparto proporcional Persona
Años laborados
Cantidad repartida ($)
Omar
2
2 × 500 = 1000
Fortino
3
3 × 500 = 1500
Total
2500
Material para apoyo del docente prohibida 46 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Resuelve los siguientes planteamientos.
a) El señor Antonio le dijo a Jorge y Octavio que si juntaban el contenido de sus botes de pintura roja y blanca, con el fin de obtener una mezcla de un tono diferente, les proporcionaría unos litros de más de cada pintura del mismo color que ocuparon, siempre y cuando la mezcla final se repartiera entre ellos con base en los litros que aportó cada uno. Si se tiene conocimiento de que al mezclar las pinturas se tuvo un total de 14 litros de la sustancia, y que Jorge puso 3 litros y Octavio 4 litros, ¿cuál es la cantidad proporcional de pintura que le corresponde a Jorge y a Octavio?
Suma de los índices de reparto 3 litros + 4 litros 7 litros
Obtención del factor de proporcionalidad 2 7 14 0
Reparto proporcional Persona
Aportación (l)
Cantidad de pintura repartida (l)
Jorge
3
3×2=6
Octavio
4
4×2=8
Total
14
b) Alberto y Paloma van a recibir un bono económico por su gran desempeño en el restaurante que laboran por parte de la encargada del negocio, en función de los años de servicio que han brindado. Alberto tiene 7 años trabajando en ese lugar, a diferencia de Paloma, que tiene 9 años. Si la encargada del restaurante dispone de $4000.00, ¿qué cantidad del bono le corresponde a cada empleado? Suma de los índices de reparto
Obtención del factor de proporcionalidad
Reparto proporcional
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 7 años + 9 años
16 añ os
250 16 4000 0 80 000 00
Persona
Años laborados
Bono ($)
Alberto
7
7 × 250 = 1750
Paloma
9
9 × 250 = 2250
Total
4000
c) Dos personas participaron en una rifa de $360.00 comprando un boleto; para tal efecto una de ellas aportó $15.00 y otra $25.00. De acuerdo con la aportación que hizo cada quien, ¿qué cantidad del premio le corresponde a cada una de ellas? Suma de los índices de reparto +
15 pesos 25 pesos 40 pesos
Obtención del factor de proporcionalidad 9 40 360 00
Reparto proporcional Persona
Aportación ($)
Cantidad del premio obtenido ($)
1
15
15 × 9 = 135
2
25
25 × 9 = 225
Total
360
Material para apoyo del docente prohibida 47 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Daniel, Lorena y Minerva participaron en un fondo de ahorro. Entre los tres tenían que aportar $2000.00 mensuales para recibir a fin de año el doble de su aportación. Si mensualmente Daniel aportó $600.00, Lorena $800.00 y el resto lo puso Minerva. De acuerdo con lo anterior, ¿cuánto dinero le corresponde a Lorena al final del año? Reparto proporcional
D $600 × 12 = $7200 L $800 × 12 = $9600
Suma de los índices de reparto 7200 pesos + 9600 pesos 7200 pesos
Obtención del factor de proporcionalidad 2 24000 48000 0 0 000
Persona Daniel
Cantidad aportada 7200
Cantidad de dinero que les corresponde ($) 7200 × 2 = 14 400
Lorena
9600
9600 × 2 = 19 200
Minerva
7200
7200 × 2 = 14 400 48 000
Total
24000 pesos
e) Tres hermanos decidieron juntar sus terrenos para tener uno de mayor área y sembrar zanahoria en él, para, posteriormente, vender el producto a las personas de su comunidad. Arturo facilitó 3 m2, Alicia 5 m2 y Lourdes 8 m2. Si pasado algún tiempo obtuvieron una ganancia de $2400.00, ¿qué cantidad de dinero, repartido proporcionalmente, le corresponde a cada uno? Suma de los índices de reparto
Obtención del factor de proporcionalidad
Reparto proporcional
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 3m
+5 m
2
8m
16 m
2
2
2
150 16 2400 0 80 000 00
Persona
Aportación m2
Cantidad de dinero repartido ($)
Arturo
3
3 × 150 = 450
Alicia
5
5 × 150 = 750
8
8 × 150 = 1200
Lourdes
Total
2400
f) La señora Leticia tiene trabajando consigo a tres empleados. A cada uno de ellos le pretende repartir cierta cantidad de un bono de $15000.00 en relación con los años que llevan laborando con ella. Si Carmen lleva trabajando seis años, Emilio dos años y Luis cuatro años, ¿cuál es la cantidad proporcional del bono que le corresponde a cada uno? Suma de los índices de reparto 6 años + 2 años 4 años 12 años
Obtención del factor de proporcionalidad 1250 12 15000 0 30 060 000 00
Reparto proporcional
Persona
Años laborados
Bono ($)
Carmen
6
6 × 1250 = 7500
Emilio
2
2 × 1250 = 2500
Luis
4
4 × 1250 = 5000
Total
15 000
Material para apoyo del docente prohibida 48 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 8.3 Profundiza su reproducción parcial o total ◊ Resuelve los siguientes planteamientos.
a) Roberto y Norma han ganado en una rifa $500.00. Si el premio se lo repartieron de la siguiente manera: $350.00 para Roberto y $150.00 para Norma, y el costo del boleto fue de $50.00, ¿qué cantidad aportó cada uno para comprar el boleto de la rifa? Suma de los índices de reparto +
? ? 50 pesos
Obtención del factor de proporcionalidad 10 50 500 000 00
Reparto proporcional Persona
Cantidad aportada
Parte del premio ($)
Roberto
350 = 35 10
35 × 10 = 350
Norma
150 = 15 10
15 × 10 = 150
Total
50
500
b) Francisco y Gabriel fueron contratados para podar el césped en un casa. Si por la labor hecha les pagaron $650.00, y al repartir el dinero de acuerdo con el área que podó cada quien, Francisco obtuvo $250.00 y Gabriel el resto del dinero, ¿qué cantidad de metros podó cada uno? Téngase en cuenta que en total se podaron 325 m2.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Suma de los índices de reparto +
? ?
325 m
2
Obtención del factor de proporcionalidad 2 325 650 00
Reparto proporcional
Persona
Metros podados
Remuneración ($)
Francisco
250 = 125 2
125 × 2 = 250
Gabriel
400 = 200 2
200 × 2 = 400
Total
325
650
c) Se repartió de manera proporcional en una escuela una beca escolar entre tres estudiantes con base en la calificación final que obtuvieron. Si a Alejandro le dieron $2280.00, a Ingrid $2208.00 y a Martha $2352.00, ¿cuál es el promedio que obtuvo cada uno? Considérese que la suma de los tres promedios obtenidos por los estudiantes es igual a 28.5. Suma de los índices de reparto +
? ? 28.5
Obtención del factor de proporcionalidad 240
Reparto proporcional Persona
Promedio
Alejandro
2280 = 9.5 240
Ingrid
2208 = 9.2 240
9.2 × 240 = 2208
Martha
2352 = 9.8 240
9.8 × 240 = 2352
Total
28.5
6840
28.5 6840 1140 0000 000
Beca escolar ($) 9.5 × 240 = 2280
Material para apoyo del docente prohibida 49 su reproducción parcial o total
Material para apoyo docente prohibida Tema: Nociones del de probabilidad Contenido 9: Juegos su reproducción parcial o total 9.1 Azar
◊ Julia y Tania decidieron jugar en un tablero. El juego consiste en avanzar su ficha desde el punto A al punto B en forma de espiral, teniendo en cuenta las siguientes condiciones: a) Se lanza un dado de seis caras marcadas con uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis puntos. Si sale una cara marcada con un número de puntos par, Julia o Tania hará avanzar su ficha dos casillas. b) Si se obtiene una cara marcada con un número de puntos impar Julia o Tania retrocederá su ficha una casilla. c) Gana aquella persona que coloque su ficha primero en la letra B.
A B
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total • ¿Quién de las dos personas tiene más posibilidades de ganar? Ambas personas tienen la misma posibilidad de ganar.
• ¿De qué depende que gane Julia o Tania? De lo que se obtenga en los dados, es un juego de azar. • ¿Qué pueden hacer Julia y Tania para obtener siempre un número par al tirar el dado, sin olvidar que en el juego se tienen que respetar las reglas? No se puede hacer nada, ya que es un juego de azar, y se avanza en función de lo que se obtenga en el dado. • Suponiendo que Tania ganó la primera vez, ¿será Tania quien gane la próxima vez que decida jugar con Julia? Es posible, ya que Tania y Julia se enfrentan ante un juego azaroso.
Material para apoyo del docente prohibida 50 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total • Trabajen en parejas y utilicen el modelo de tablero de Julia y Tania para jugar, teniendo en cuenta las mismas reglas hasta que exista un vencedor. Llenen los espacios vacíos de la siguiente tabla escribiendo “obtuve un número par” u “obtuve un número impar” según sea el caso. En caso de requerir más espacio, copien la tabla en una hoja de su cuaderno. Compartan la información que obtuvieron con el resto de sus compañeros. Ronda
Participante 1
Participante 2
Ronda
1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
Participante 1
Participante 2
La respuesta depende del alumno. ◊ Para jugar la ruleta de colores, trabaja con un compañero y construyan tres ruletas con las mismas características: superficie pintada de verde y amarillo y manecillas que partan del centro. Para efectos del juego, cada participante debe considerar lo siguiente: a) Antes de hacer girar las tres manecillas, el participante en turno debe decir a su compañero en cuántas ruletas la manecilla señalará el color verde. b) Después, tratando de que sea al mismo tiempo, hará girar las tres agujas y anotará su resultado en la columna correspondiente. c) Ganará la persona que haya acertado más en sus predicciones.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Giro
Predicción
Resultado
Giro
1
9
2
10
3
11
4
12
5
13
6
14
7
15
8
16
Predicción
Resultado
La respuesta depende del alumno. • ¿Qué combinaciones se obtuvieron con más frecuencia? La respuesta depende de los resultados que obtuvo el alumno. • ¿Alguna combinación salió con mayor frecuencia? ¿Cuál?
Material para apoyo del docente prohibida 51 su reproducción parcial o total Las respuesta depende de los resultados obtenidos por el alumno.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total • Completa la tabla que representa la situación de este juego para tener una idea de los escenarios que se pueden presentar. Ruleta 1
Ruleta 2
Ruleta 3
Resultado
Verde
Verde
Verde
Verde
Verde Amarillo
Verde, verde, verde Verde, verde, amarillo
Verde Verde Amarillo
Amarillo Amarillo Amarillo
Verde Amarillo Amarillo
Verde, amarillo, verde Verde, amarillo, amarillo
Amarillo
Amarillo
Verde
Amarillo
Verde Verde
Amarillo
Amarillo
Verde
Amarillo, amarillo, amarillo Amarillo, amarillo, verde Amarillo, verde, amarillo Amarillo, verde, verde
• De acuerdo con la tabla que completaste, ¿cuántos son los posibles escenarios que se pueden presentar? Ocho. • ¿Cuál es la combinación que con mayor frecuencia se puede presentar, que en las tres ruletas se obtenga verde; sólo en dos de ellas; en una o en ninguna? Que en sólo dos o una ruleta se obtenga verde.
9.2 Profundiza Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Lee el siguiente texto y responde las preguntas.
Ulises y Olga se disponen a jugar en un tablero bajo las siguientes condiciones:
a) Ambas personas, en su respectivo turno y sin ver, deben extraer de una urna una bola de cinco disponibles (dos negras, una blanca, una rosa y una verde), para luego devolverla a la urna. b) Si el participante en turno extrae una bola negra hará avanzar su ficha dos casillas. c) Si el participante en turno extrae una bola blanca hará avanzar su ficha tres casillas. d) Si el participante en turno extrae una bola rosa hará retroceder su ficha una casilla. e) Si el participante en turno extrae una bola verde hará retroceder su ficha dos casillas. f) En caso de que se haya extraído una bola rosa o verde y sea la primera tirada, el jugador no avanzará ni retrocederá alguna casilla, sólo cederá el turno a su compañero.
Material para apoyo del docente prohibida 52 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total • ¿Qué tipo de juego llevaron a cabo Ulises y Olga? Un juego de azar.
• Suponiendo que Olga sea la primera persona en extraer de la urna una bola, ¿qué posibilidad existe de que no haga avanzar su ficha? Es poco posible, ya que sólo dos bolas de cinco que hay representan un retroceso. • ¿Qué bola es más posible que obtenga Olga en su primera extracción? Una bola color negro.
• Si resultara que Olga en sus tres últimas extracciones de la urna ha obtenido bolas con un color que implica no mover su ficha hacia adelante, ¿qué debería hacer para que en su siguiente oportunidad, respetando las reglas del juego, extraiga una bola que la lleve a hacer avanzar su ficha? Nada, sólo dejar que el azar intervenga. • Suponiendo que Olga perdió en el primer juego que disputó con su amigo Ulises, ¿qué sucederá con Olga si ambos vuelven a jugar? Olga puede perder o ganar.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 53 su reproducción parcial o total
Material paraEjercicios apoyo del docente prohibida de reforzamiento su reproducción parcial o total 1. Convierte a fracción decimal los siguientes números fraccionarios. 2
7#2
3
4
7 7#2 14 e) 50 = = 5 # 5 # 2 # 2 = 100 5#5#2
14
7 b) 5 = 5 # 2 = 10 3
2#2
d) 5 = 5 # 2 = 10
5 5#5#5 125 5 a) 4 = 2 # 2 = 2 # 2 # 5 # 5 = 100
7
3#2#2
12
28
c) 25 = 5 # 5 = 5 # 5 # 2 # 2 = 100
28 # 2
56
f) 5 = 5 # 2 = 10
2. Completa la siguiente tabla. Número decimal
Fracción decimal
Fracción no decimal
0.7
7 10
14 20
0.11
11 100
22 200
0.6
6 10
9 15
0.930
930 1 000
1 860 2 000
5.2
52 10
26 5
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total
3. Escribe el número que falta para que cada fracción sea equivalente. 8
4
a) 6 = 3
18
12
3
15
3
b) 8 = 2
9
d) 8 = 4
e) 10 = 2
c) 28 = 280 100 1 000
7
21
f) 3 = 9
Material para apoyo del docente prohibida 54 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 4. su reproducción parcial o total Ubica en la recta numérica los siguientes valores.
4
a) 3 y 0.3
0
12
b) 5 y 2.6
1
0
1
2
1
c) 6.1y 6 4
0
5
d) 2.7 y 1 10 12
2.5
7.5
10
0
3
0
1
10
e) 36 y 12
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 6
6
f) 7 y 14
g) 6 y 15 18 27
0
1
0
1
5. Efectúa las siguientes operaciones. 3
3
6
a) 5 + 7 + 10 =
42 + 30 + 42 114 57 = 70 = 35 70
b) 8 + 1 5 + 1 3 = 4 + 15 + 10 = 280 + 105 + 100 = 485 = 97 7 2 10 7 10 70 70 14
1
19
1
9
19
17
45
c) 1 8 + 8 + 2 8 = 8 + 8 + 8 = 8
13
1
6
d) 2 + 6 + 13 =
507 + 13 + 36 556 278 = 78 = 39 78
Material para apoyo del docente prohibida 55 su reproducción parcial o total 9
1
1
e) 4 - 2 - 4 =
9-2-1 6 3 = 4 = 2 4
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 6
1
2
f) 7 - 4 - 28 =
24 - 7 - 2 15 = 28 28
g) 6 - 1 - 10 = 12 - 2 - 10 = 0 7 7 14 14 14 h) 12 - 1 - 2 = 12 - 3 - 6 = 3 = 1 7 7 21 7 21 21 i) 2 + 9 + 5 - 1 = 2 + 27 + 30 - 2 = 57 = 19 18 6 3 9 18 18 6 22
5
2
1
j) 4 + 4 - 8 - 2 =
40 + 10 - 2 - 4 48 = 8 =6 8
6. D ibuja las siguientes 3 figuras que corresponden a cada una de las sucesiones figurativas que se te presentan a continuación.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a)
b)
Material para apoyo del docente prohibida 56 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 7. su reproducción parcial o total Completa las siguientes progresiones aritméticas o geométricas con los siguientes 5 términos que le preceden.
a) 2, 5, 8, 11, 14, ______, ______, ______, ______,… 17 ______, 20 23 26 29
b) 1, 4, 9, 16, 25, ______, ______, ______, ______,… 36 ______, 49 64 81 100
c) 56, 51, 46, 41, 36, ______, ______, ______, ______, ______,… 31 26 21 16 11
d) 2, 8, 32, 128, 512, ________, ________, ________, 2 048 8 192 32 768 ________, 131 072 _________,… 524 288
e) 7, 14, 28, 56, 112, ________, ________, ________, ________, ________,… 224 448 896 1 792 3 584
f) 1, 5, 25, 125, 625, ________, ________, ________, 3 125 15 625 78 125 ________, 390 625 __________,… 1 953 125
Material para apoyo del docente prohibida 8. su reproducción parcial o total Expresa en forma algebraica el perímetro de las siguientes figuras.
a)
El perímetro puede ser representado así: 2r + 2r + 2r + 2r = 8r.
2r
b)
2b 2b + 1
c)
e)
El perímetro puede ser expresado así: (2b) + (2b)+ (2b +1) + (2b +1) o 8b + 2
d)
2t
El perímetro puede ser expresado de la siguiente manera: 2t + 2t + 2t + 2t + 2t + 2t o 6t
a
El perímetro es igual a 2b + 2a.
s
r t
El perímetro se representa de la siguiente forma: r + s + t.
b
Material para apoyo del docente prohibida 57 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 9. su reproducción parcial o total Con base en las siguientes figuras y escribe qué información darías a cada uno de tus compañeros para que las trazaran.
a)
La medida de sus ángulos miden lo mismo, al igual que sus lados.
Tiene dos ángulos rectos, un ángulo agudo y otro obtuso. Todos sus lados son diferentes.
b)
10. En cada inciso traza un triángulo considerando la información que se te proporciona. a) La medida de dos ángulos es igual a 66.5°, y de uno de los lados que lo forman es igual 3.4 cm.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 47°
66.5°
66.5° 3.4 cm
b) Los lados miden 7.5 cm, 7 cm y 12.8 cm respectivamente.
12.8 cm
7 cm
Material para apoyo del docente prohibida 58 su reproducción parcial o total 7.5 cm
Material para apoyo del docente prohibida 11. su reproducción parcial o total En cada inciso traza un cuadrilátero considerando la información que se te proporciona.
a) Dos ángulos miden 101.31° y los otros dos miden 78.69°
78.69°
78.69°
101.31°
101.31°
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Todos sus ángulos miden 100 grados.
100°
100°
100°
100°
Material para apoyo del docente prohibida 59 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 12. su reproducción parcial o total Encuentra los puntos notables en cada triángulo según se indique en cada inciso.
a) Ortocentro.
A
C
B
Ortocentro
b) Baricentro.
A
Material para apoyo del docente prohibida B su reproducción parcial oC total Baricentro
c) Circuncentro.
A
C B
Material para apoyo del docente prohibida 60 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Incentro.
A
C B
13. Encuentra el ortocentro, baricentro y circuncentro del siguiente triángulo, y únelos de tal manera que formen otra recta. Averigua cómo se le llama a la recta que pasa por estos puntos.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Circuncentro
Baricentro
Ortocentro Recta de Euler
Material para apoyo del docente prohibida 61 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 14. su reproducción parcial o total Completa las siguientes tablas.
a)
c)
Kilogramos de jitomate
Costo ($)
5
b)
kilómetro recorridos por un automóvil
Tiempo (h)
30
243
3
12
72
1 215
15
Número de nueces
Gelatinas
18 27
Número de botones
Camisas
6
56
8
9
105
15
d)
15. Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Encuentra el valor faltante para que en cada caso se cumpla una proporción.
a)
2 6 5 = 15
g) 3 = 15 80 16
b) 14
c)
7 24 = 12
e) 17 102 5 = 30
12 4 9 = 3
f)
42 336 19 = 152
16. Para cada uno de los casos obtén el espacio muestral. a) A = {Lanzar una moneda}
A = { águila, sol }
b) A = {Lanzar una dado de seis caras}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) A = {Extraer una pelota, entre dos azules y una roja que hay en una bolsa} d) A = {El sexo de un bebé}
A = {pelota azul, pelota roja}
A = {mujer, hombre}
e) A = {Identificar si una afirmación es verdadera o falsa}
A = {verdadera, falsa}
f) A = {Extraer de una lapicera un color, entre cuatro opciones existentes: azul, verde, amarillo, rojo}
Material para apoyo del docente prohibida 62 su reproducción parcial o total A = {azul, verde, amarillo, rojo}
Material para apoyo del docente prohibida 17. su reproducción parcial o total Piensa y analiza.
a) Si se lanza un moneda balanceada, ¿qué cara tiene más posibilidades de salir? Ambas caras tienen la misma posibilidad de salir.
b) En una caja se colocaron tres pelotas de distinto color: rojo, amarillo y negro. Si Andrés decide, sin ver, extraer una, ¿qué pelota es más posible que le salga a esta persona? Todas las pelotas tiene la misma posibilidad de salir.
c) En un recipiente hay 6 canicas blancas, 5 negras, 8 rojas y 2 verdes. Si se mezclan y se saca una sin ver, ¿qué color tiene más posibilidades de salir? Una canica color rojo.
d) En una urna hay 24 fichas de color rojo y otras 18 de color blanco, ¿qué ficha tiene más posibilidades de salir? La ficha color rojo.
e) Si a la urna anterior le agregamos 5 fichas rojas y 11 color blanco, ¿qué ficha tiene más posibilidades de salir? Ambas fichas tiene la misma posibilidad.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total f) Utiliza la siguiente tabla para colocar los posibles resultados que se obtienen al lanzar dos dados tetraédricos, considerando que en cada cara están marcados los números 1, 2, 3 y 4. Cara
1
2
3
4
1
1, 1
1, 2
1, 3
1, 4
2
2, 1
2, 2
2, 3
2, 4
3
3, 1
3, 2
3, 3
3, 4
4
4, 1
4, 2
4, 3
4, 4
Material para apoyo del docente prohibida 63 su reproducción parcial o total
Material para apoyo docente prohibida Evaluación:del bloque 1 su reproducción parcial o total Secundaria:___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊ Subraya en cada caso la respuesta correcta. 1. Fracción no decimal que representa al número fraccionario decimal 8 : 10
a) 0.8 b) 0.8 4 c) 5 8 d) 9
2. El profesor Héctor indicó a Nancy, su alumna, que colocara un número fraccionario que esté entre las fracciones 5 y 6 , ¿cuál de las opciones es la 8 7 correcta? 2 a) 5 5 b) 10 8 c) 3 9 d) 12
5. Valor que representa r para que la expresión matemática 7 + r = 1 13 sea válida: 5 20 2 a) 3 1 b) 4 2 c) 6 2 d) 4 6. Multiplicar la posición por 4 y sumar 0.5 es la regla general, expresada en lenguaje natural, que define a la sucesión: a) 4.5, 9, 13.5, 18, 22.5, … b) 4n + 0.5 c) 4.5, 8.5, 12.5, 16.5, 20.5, … d) 3.5, 7.5, 11.5, 15.5, 19.5, …
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 7. Expresión que representa el perímetro de la siguiente figura. 2m
3. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra el resultado de la operación matemática 1 + 2 - 4 ? 5
6
12
2m
a) 0.35 b) 0.2 c) 0.035 d) 0.02 4. ¿Qué valor representa s para que sea válida la expresión matemática 5 + s = 1 13 ? 4
2 a) 5 3 b) 4 8 c) 10 1 d) 8
5n
20
a) 9mn b) 4m + 5n c) 9nm d) 9 + 2m + n 8. Criterio por el cual se considera factible construir un triángulo dada la medida de sus tres lados: a) La suma de las medidas de un par de lados debe ser mayor que la medida del otro. b) La suma de las medidas de tres lados es superior a cualquiera de sus lados. c) La suma de dos medidas cualquiera siempre es inferior a la medida del otro. d) La diferencia de las medidas de un par de lados siempre es superior a la medida del tercero.
Material para apoyo del docente prohibida 64 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 9. Punto en el que concurren los segmentos de recta que van desde los vértices al punto medio de los lados opuestos a los vértices. a) Incentro b) Ortocentro c) Mediana d) Baricentro
13. ¿Qué fracción corresponde a la posición que señala la flecha en la recta numérica? 0
1
11 a) 12 2 b) 5
10. Guillermo logró 28 puntos y Amanda 22 en tiro al blanco, y obtuvieron como premio $150.00. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno, si se decidió que el premio se distribuiría con base en los puntos que cada quien logró en el juego?
12 c) 11 11 d) 11
a) $81.00 y $69.00 b) $90.00 y $60.00 c) $84.00 y $66.00 d) $75.00 y $75.00
14. ¿Cuál es el valor que debe asumir la letra "x" para que la igualdad persista?
11. Ejemplo representativo de un juego de azar.
a) x = 6 b) x = 3 c) x = 4 d) x = 5
2 x 6 9 = 18 = 27
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) Ajedrez b) Memorama c) Serpientes y escaleras d) Damas inglesas
12. En el cajón de Luisa hay 4 calcetas blancas, 2 calcetas azules, 2 calcetas negras y 4 calcetas cafés. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una calceta esta no sea blanca?
15. Expresión que representa el área del siguiente triángulo.
4 a) 12 10 b) 12
r
t s a) r + s + t
6 c) 12
b) r s rst c) 2
8 d) 12
st d) 2
Material para apoyo del docente prohibida 65 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida BLOQUE 2 su reproducción parcial o total Competencias que se favorecen:
• Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente
Matemático, astrónonomo y físico que extendió el concepto de divisibilidad y que probó que era posible la construcción con regla y compás de un polígono regular que no fuera múltiplo de tres, cuatro o cinco; es decir, un polígono regular con un número primo de lados.
Aprendizajes esperados: • Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. • Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadrilateros.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Carl Friedrich Gauss
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Contenido 1 2 3 4 5 6 7 Evaluación
Tema
Números y sistemas de numeración
Problemas aditivos Problemas multiplicativos Figuras y cuerpos
Medida Proporcionalidad y funciones
Material para apoyo del docente prohibida 66 su reproducción parcial o total
Material para docente prohibida Tema:apoyo Números y del sistemas de numeración Contenido 1 su reproducción parcial o total 1.1 Divisibilidad entre un número
Los criterios de divisibilidad son reglas que siguen ciertos números que permiten saber si un número es divisible entre otro sin necesidad de resolver una división, en especial, cuando se está tratando con números que representan un valor grande. Un número es divisible entre 2 si su última cifra es cero o un número par. Un número es divisible entre 3 si la suma de las cifras que lo componen es 3 o un múltiplo de 3. Un número es divisible entre 5 si la última cifra que lo compone es cero o 5. ◊ Utiliza los criterios de divisibilidad para completar los espacios vacíos de la tabla. Número
¿Son divisibles entre 2?
¿Son divisibles entre 3?
¿Son divisibles entre 5?
371
No
No
No
60
Sí
Sí
Sí
1048
Sí
No
No
245
No
No
Sí
590
Sí
No
Sí
369
No
Sí
No
24456
Sí
Sí
No
510
Sí
Sí
Sí
455
No
No
Sí
4455
No
Sí
Sí
221
No
No
No
7510
Sí
No
Sí
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total
1.2 Primos y compuestos Un múltiplo de un número a es el que se obtiene multiplicando el número a por cualquier otro número natural. Además éstos se distinguen por ser divisibles entre el número que los originó . Los múltiplos de 5 son: 5,10,15, 20, 25, 30,… Los números primos son aquellos que se distinguen por ser divisibles entre la unidad y entre sí mismos, además de que son mayores o iguales a 2: El 2 tiene como divisores al 1 y al 2. El 3 tiene como divisores al 1 y al 3. El 5 tiene como divisores al 1 y al 5. El 7 tiene como divisores al 1 y al 7.
Material para apoyo del docente prohibida 67 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Averigua qué números primos hay desde el 2 al 103 mediante el procedimiento empleado por el famoso matemático Eratóstenes: tachando los múltiplos de 2, 3, 5 (a excepción de ellos), y así, sucesivamente, hasta quedar sin marca todos los números primos. 2 X 8
3 X 9
X 4 X 10
11
X 6 X 12
13
14 X
15 X
16 X
17
18 X
19
20 X
21 X
22 X
23
24 X
25 X
26 X
27 X
28 X
29
30 X
31
X 32
X 33
X 34
X 35
X 36
37
X 38 X 44
X 39 X 45
X 40 X 46
41 47
X 42 X 48
43 X 49
X 50
X 51
X 52
53
X 54
X 55
X 56
X 57
X 58
59
X 60
61
X 62
X 63
X 64
X 65
X 66
67
X 68 X 74
X 69 X 75
X 70 X 76
71 X 77
X 72 X 78
73
X 80 X 86
X 81 X 87
X 82 X 88
83
X 84 X 90
X 92 X 98
X 93 X 99
X X 94 96 97 X X 100 101 102 103
5
89 X 95
7
Los números que fueron tachados, que se caracterizan por ser divisibles entre sí, entre la unidad y entre otros números, se denominan números compuestos.
79 X 85 X 91
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Completa los espacios de la siguiente tabla. Número
Divisores
Descomposición en factores
24
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
2×2×2×3
38
1, 2, 19, 38.
2 × 19
55
1, 5, 11, 55.
5 × 11
124
1, 2, 4, 31, 62, 124. 1, 5, 37, 185.
2 × 2 × 31 5 × 37
185 1040
1, 2, 4, 5, 8, 10, 13, 16, 20, 26, 40, 52, 65, 80, 104, 130, 208, 260, 520, 1040.
2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 13
1.3 Profundiza ◊ Concluye la siguiente tabla. Números
¿Son primos o compuestos?
15 y 12
Son compuestos
30 y 90
Son compuestos
8 y 16
Son compuestos
41 y 89
Son primos
25 y 66
Son compuestos
13 y 43
Son primos
Divisores 15: 1, 3, 5, 15. 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. 8: 1, 2, 4, 8. 16: 1, 2, 4, 8, 16. 41: 1, 41. 89: 1, 89. 25: 1, 5, 25. 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66. 13: 1, 13. 43: 1, 43.
Primeros cuatro múltiplos 15: 15, 30, 45, 60,… 12: 12, 24, 36, 48, … 30: 30, 60, 90, 120,… 90: 90, 180, 270, 360,… 8: 8, 16, 24, 32, … 16: 16, 32, 48, 64,… 41: 41, 82, 123, 164,… 89: 89, 178, 267, 356,… 25: 25, 50, 75, 100,… 66: 66, 132, 198, 264,… 13: 13, 26, 39, 52,… 43: 43, 86, 129, 172,…
Ambos son divisibles entre 2
3
5
No
Sí
No
Sí
Sí
Sí
Sí
No
No
No
No
No
No
No
No
No
No
No
Material para apoyo del docente prohibida 68 su reproducción parcial o total
Material para docente prohibida Tema:apoyo Números y del sistemas de numeración Contenido 2 su reproducción parcial o total 1.1 2.1 Divisibilidad Máximo común entre un divisor número
Los divisores comunes de los números 20 y 18 son 1 y 2, y el máximo común divisor de ambos números es 2. Divisores de 20 (D20): {1, 2, 4, 5, 10 y 20} Divisores de 18 (D18): {1, 2, 3, 6, 9 y 18} En general, el máximo común divisor (mcd) de dos o más números es el que representa el mayor de sus divisores comunes. Una manera de determinar el mcd es indagar, hasta donde sea posible, si el número más pequeño en valor, o bien su mitad, su tercera parte, su cuarta parte, etcétera, es divisible entre el número o números mayores. El número 4 es el mcd de 12, 20 y 40, porque la tercera parte de 12 es 4, y éste es divisor de 12, 20 y 40. ◊ Determina el máximo común divisor de los siguientes números. Números
mcd
Números
mcd
12 y 38
2
8, 24 y 32
8
40 y 45
5
15, 45 y 75
15
14 y 34
2
18, 48 y 96
6
15 y 45
15
4, 36 y 44
4
18 y 60
6
10, 15 y 55
5
10 y 45
5
4, 20 y 34
2
6 y 56
2
6, 80 y 120
2
7 y 64
1
3, 36 y 42
3
24 y 78
6
44, 64 y 108
4
25 y 40
5
13, 17 y 21
1
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total
1.12.2 Divisibilidad Mínimo común entre múltiplo un número Los múltiplos comunes de 4 y 5 son 20, 40,…; mientras que el mínimo común múltiplo de estos números es 20. Múltiplos de 4 (M4) : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,… Múltiplos de 20 (M20) : 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160,… Por lo tanto, el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor de todos los múltiplos comunes a dichos números. Una forma de determinar el mcm, es averiguar, hasta donde sea posible, si el número mayor o su doble, triple, cuádruple, etcétera, es múltiplo del número o números menores. El 30 es el mcm de 2, 3 y 5, ya que seis veces cinco es 30, y 30 es múltiplo de 2, 3 y 5.
Material para apoyo del docente prohibida 69 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Determina los múltiplos y el mínimo común múltiplo de los siguientes números. Números
mcm
Números
mcm
5 y 35
35
12, 16 y 24
48
8y6
24
15, 45 y 90
90
4y6
12
6, 12, y 48
48
7y5
35
3, 6 y 8
24
5 y 12
60
4, 9 y 18
36
4 y 14
28
2, 6 y 10
30
25 y 125
125
4, 36 y 44
396
18 y 24
72
10, 20 y 50
100
15 y 20
60
7, 14 y 28
28
25 y 30
150
4, 8 y 48
48
1.1 2.3Divisibilidad Factorización entre de un unnúmero número La descomposición canónica o, dicho de otro modo, factorización total de un número, resulta de expresar ese número mediante factores, que se caracterizan por ser números primos. Además, la factorización total (que para efectos de esta lección la identificaremos como una mera factorización) puede ser expresada en notación exponencial.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 120 2
70 2
60 2
35 5
30 2
7 7
15 3
1
5 5 1 La factorización también ayuda a determinar el mcd y el mcm, en especial cuando se trata con valores muy grandes. Para ello se factorizan simultáneamente los números que van a intervenir. 15
45
18
2
15
45
9
3
5
15
3
3
5
5
1
5
1
1
1
En este caso, el mcd de 15, 45 y 18 es el producto de los factores primos que tuvieron en común los tres números, o sea, 3; y el mcm es el producto de todos los factores primos 2 × 3 × 3 × 5 = 90. Si se presentara el caso en el que los números no tienen factores en común, por ejemplo, 2, 17 y 23, se dice que los números son primos entre sí, y que el mcd es 1.
Material para apoyo del docente prohibida 70 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Determina el mcd y el mcm de los siguientes números.
a)
10
12
15
2
5
6
15
5
3
5 1
e)
12
6
28
2
2
6
3
14
2
15
3
3
3
7
3
1
5
5
1
1
7
7
1
1
1
1
1
mcd: 1 mcm: 60
mcd: 2 mcm: 84
f) b)
8
15
27
2
7
21
56
2
4
15
27
2
7
21
28
2
2
15
27
2
7
21
14
2
1
15
27
3
7
21
7
3
7
7
7
7
1
1
1
1
5
9
3
1
5
3
3
1
5
1
5
mcd: 1 mcm: 1080
mcd: 7 mcm: 168
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
d)
1
1
1
6
30
15
2
3
15
15
1
5
5
1
1
1
22
32
12
2
11
16
6
11
8
11
g)
3
4
6
8
2
3
3
2
3
4
2
5
3
1
3
2
2 3
mcd: 3 mcm: 30
3
1
3
1
1
1
1
1
8
10
32
20
2
2
4
5
16
10
2
3
2
2
5
8
5
2
4
3
2
1
5
4
5
2
11
2
3
2
1
5
2
5
2
11
1
3
3
5
11
1
1
11
1
1
1
h)
mcd: 2 mcm: 1056
1
5
1
5
1
1
1
1
mcd: 1 mcm: 24
mcd: 2 mcm: 160
Material para apoyo del docente prohibida 71 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 1.12.4 Divisibilidad Resoluciónentre de problemas un número su reproducción parcial o total ◊ Resuelve los siguientes planteamientos.
a) Sandra y Ernesto van a empacar en cajas, vasos del mismo tamaño, pero de diferente color en cajas. Si entre ambos tienen 12 vasos rojos, 9 azules y 24 blancos, ¿en cuántas cajas se deben almacenar los vasos, si se pretende que en cada una exista el mismo número de vasos de cada color? 9
12
24
2
9
6
12
2
9
3
6
2
9
3
3
3
3
1
1
3
1
1
1
mcd: 3 En 3 cajas.
b) Raúl recorre 5 kilómetros en bicicleta cada día, Samuel 4 kilómetros y Maribel sólo 2 kilómetros. ¿Qué distancia deben recorrer los tres para coincidir en el mismo número de kilómetros recorridos por primera vez? 2
5
4
2
1
5
2
2
1
5
1
5
1
1
1
2 × 2 × 5 = 20 kilómetros.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Israel, Javier y Federico atienden un negocio de paletas. La primera persona vende cada paleta en $8.00, la segunda en $7.00 y la tercera en $6.00. ¿Cuántas paletas como mínimo debe vender cada uno para obtener las mismas ganancias? 8
7
6
2
4
7
3
2
2
7
3
2
1
7
3
3
1
7
1
7
1
1
1
2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 168 Al dividir el resultado entre los precios que se describen en el planteamiento se tiene que Israel debe vender 21 paletas, Javier 24 y Federico 28.
d) Raquel quiere vender varios kits de belleza de tal forma que cada paquete contenga el mismo y máximo número de productos. Si Raquel tiene 8 labiales, 12 cremas para manos, 18 barnices y 4 maquillajes en polvo, ¿cuál es el máximo número de paquetes que puede poner a la venta? 4
8
12
18
2
4
4
6
9
2
2
2
3
9
2
1
1
3
9
3
1
1
1
3
3
1
1
1
1
2 paquetes.
Material para apoyo del docente prohibida 72 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total e) Dos autobuses de diferente línea coincidieron en salir a las 8 am. Si los de la primera línea salen cada 45 minutos, y los de la segunda cada 50 minutos, ¿cuántos minutos deben trascurrir para que ambos autobuses vuelvan a coincidir? 45
50
5
9
10
2
9
5
3
3
5
3
1
5
5
1
1
5 × 2 × 3 × 3 × 5 = 450 minutos
f) Una educadora de un preescolar tiene 24 cm de listón amarillo, 40 cm de listón verde, 56 cm de listón rojo y 36 cm de listón azul. Si quiere entregar a cada uno de sus alumnos que faltaron la pasada clase el mismo y máximo número de centímetros de listón de cada color, ¿cuál es el número de centímetros que le correspondería a cada alumno? 24
40
56
36
2
12
20
28
18
2
6
10
14
9
2
3
5
7
9
3
1
5
7
3
3
1
5
7
1
5
1
1
7
1
7
1
1
1
1
4 centímetros.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 1.1 Divisibilidad 2.5 Profundiza entre un número ◊ Resuelve los siguientes problemas. a) Dante, Melisa e Isabel acuden al mismo consultorio dental de acuerdo con las citas programadas por su odontólogo. La primer persona tiene sus citas cada 8 días, la segunda cada 10 días y la tercera cada 12 días. Si hoy 2 de septiembre coincidieron en acudir a consulta, ¿en qué día y mes coincidirán nuevamente las tres personas en acudir al consultorio? Septiembre Lu 1 8 15 22 29
Ma 2 9 16 23 30
Mi 3 10 17 24
Ju 4 11 18 25
Vi 5 12 19 26
Octubre Sa 6 13 20 27
8
10
12
2
4
5
6
2
2
5
3
2
1
5
3
3
1
5
1
5
1
1
1
Do 7 14 21 28
Lu Ma Mi 1 6 7 8 13 14 15 20 21 22 27 28 29
Ju 2 9 16 23 30
Vi 3 10 17 24 31
Noviembre Sa 4 11 18 25
Do 5 12 19 26
Lu Ma Mi Ju Vi Sa 1 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20 21 22 24 25 26 27 28 29
Diciembre Do 2 9 16 23 30
Lu 1 8 15 22 29
Ma 2 9 16 23 30
Mi 3 10 17 24 31
Ju 4 11 18 25
Vi 5 12 19 26
Sa 6 13 20 27
Do 7 14 21 28
2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120 díasMiércoles 31 de diciembre.
Material para apoyo del docente prohibida 73 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Javier, Hugo y Bernardo obtuvieron 15 fichas verdes, 12 amarillas y 60 rojas al jugar tiro al blanco. Si se quiere repartir las fichas de tal manera que cada uno tenga el mismo número de ellas de todos los colores, e intercambiarlas por un boleto para otro tipo de juego, ¿cuántas fichas de cada color le corresponden a cada uno? 15
12
60
2
15
6
30
2
15
3
15
3
5
1
5
5
1
1
1
mcd
15 ÷ 3 = 5 12 ÷ 3 = 4 60 ÷ 3 = 20 Cinco fichas verdes, cuatro fichas amarillas y 20 fichas rojas.
Tema: Números Tema: Problemas y sistemasaditivos de numeración Contenido 3
3.11.1 Perímetro: Divisibilidad fracciones entre un y número decimales ◊ Expresa en decimales y en fracciones la medida del contorno de las siguientes figuras, guíate por el ejemplo. a)
7.5 cm
7.5 cm + 3.2 cm + 1.6 cm + 1.6 cm = 13.9 cm 5 2 8 8 75 32 8 8 7 10 cm + 3 10 cm + 5 cm + 5 cm = 10 cm + 10 cm + 5 cm + 5 cm =
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 8 5 cm
8 5 cm
107 16 535 + 160 695 139 + = = = 10 cm 5 cm 50 50 cm 10 cm
3.2 cm
139 13.9 cm = 10 cm
b) 3 5 cm
3 5 cm
0.6 cm + 0.6 cm + 0.6 cm = 1.8 cm 3 3 3 9 + + = 5 cm 5 cm 5 cm 5 cm
0.6 cm
9 1.8 cm = 5 cm c) 5 2 10 cm
1.2 cm + 1.6 cm + 2.5 cm + 1.5 cm = 6.8 cm 12 16 25 15 68 34 10 cm + 10 cm + 10 cm + 10 cm = 10 cm = 5 cm
1.2 cm
3 2 cm
34 6.8 cm = 5 cm
1.6 cm
Material para apoyo del docente prohibida 74 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d)
5.1 cm
2.3 cm
2.5 cm 5.3 cm
2.3 cm + 5.1 cm + 2.5 cm + 2.5 cm + 5.3 cm + 5.3 cm = 23 cm
2.5 cm 5.3 cm
23 51 25 25 53 53 230 115 23 10 cm + 10 cm + 10 cm + 10 cm + 10 cm + 10 cm = 10 cm = 5 cm = 1 cm 23 23 cm = 1 cm
3.2 Resolución1.1 deDivisibilidad problemas aditivos: entre unfracciones número y decimales ◊ Resuelve los siguientes planteamientos. a) Un automóvil recorrió 5.6 km el día martes, el día jueves sólo 24 de km y el día sábado 3.75 km. ¿Cuántos 3 kilómetros recorrió en esos tres días? 56 24 375 168 + 240 375 408 375 40800 + 11250 52 050 1041 347 + + = + = + = = = = 10 3 100 30 100 30 100 3000 3000 60 20
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 347 Se recorrieron 20 km.
1 3 b) En una carnicería se han vendido hasta el momento los siguientes kilogramos de carne molida: 0.375, , , 4.2 y 4 4 2.5. ¿Qué cantidad de kilogramos ha vendido la carnicería? 0.375 + 0.250 + 0.750 + 4.2 + 2.5 = 8.075 La carnicería ha vendido 8.075 kilogramos. c) En una fiesta, 1 de las personas son niños, 2 son niñas, 6 son varones adultos y el resto son mujeres adul8 10 12 tas. ¿Qué fracción representa a las mujeres? 1 2 6 10 + 16 1 26 1 & + 2 + x = 1 & 80 + 2 + x = 1 8 + 10 + 12 + x = 1 80 52 + 80 132 33 33 40 - 33 7 & +x = 1 & + =1& + = 1 ` x = 1= = 160 160 x 40 x 40 40 40
7 40 de los invitados representa a las mujeres.
Material para apoyo del docente prohibida 75 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) En una lavandería, una báscula tiene capacidad máxima para pesar 12 kilogramos de ropa; de ponerle más prendas, ésta se llega a averiar. ¿Cuál de las siguientes bolsas con distinto peso puede ser colocada sobre la báscula sin que ésta se llegue a dañar? Primera bolsa: 3.75 kg, 750 g, 3 de kg, 4 1 kg, 2 kg y 0.250 kg. 4 2 4
Segunda bolsa: 1 de kg, 5.2 kg, 3.2 kg y 7 de kg. 4 20 Primera bolsa: 3.75 + 0.750 + 0.750 + 4.5 + 0.5 + 0.250 = 10.5 Segunda bolsa: 0.25 + 5.2 + 3.2 + 0.35 = 9 Ambas bolsas pueden colocarse sobre la báscula.
e) Esther alquiló el total de su terreno al señor Antonio para sembrar maíz, trigo, sorgo y arroz. ¿Qué parte del terreno ocupó para sembrar trigo si se tiene conocimiento de que 1 parte fue destinada para la siembra de sorgo, 3 partes 7 9 para el maíz y 2 para el arroz? 12 1 3 2 9 + 21 1 30 1 7 + 9 + 12 + x = 1 & 63 + 6 + x = 1 & 63 + 6 + x = 1 180 + 63 243 9 9 14 - 9 5 +x = 1 & + =1& + = 1 ` x = 1& 378 378 x 14 x 14 = 14 = 14
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5 14 partes del terreno fueron destinadas a sembrar trigo.
1.1 Divisibilidad 3.3 Profundiza entre un número a) La fracción 1 puede escribirse como la suma de dos fracciones unitarias: 1 + 1 . 4 5 20 Encuentra dos fracciones que sumadas den 1 . 5 Y Calcula dos fracciones que sumadas den 1 . 6
1 1 5+1 6 1 6 + 30 = 30 = 30 = 5 1 1 6+1 7 1 7 + 42 = 42 = 42 = 6
Material para apoyo del docente prohibida 76 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Expresa con literales el perímetro de la siguiente figura.
12 x 5
6.5 y
12 5 x 2.4 x 6.5 y
2.4 x
Perímetro = 2.4x + 2.4x + 12 x + 12 x + 6.5y + 6.5y = 4.8x + 24 x + 13y 5 5 5 = 4.8x + 4.8x + 13y = 9.6x + 13y
Tema: Tema: Números Problemas y sistemas multiplicativos de numeración Contenido 4
4.1 Multiplicando 1.1un Divisibilidad número fraccionario entre un número por un número entero Para obtener el perímetro de un cuadrado basta con sumar las longitudes de sus lados, o bien multiplicar cuatro veces la longitud de uno de ellos.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 3
Suponiendo que cada lado del siguiente cuadrado mide 5 unidades (u):
3 u 5
Entonces su perímetro es igual a 3 u + 3 u + 3 u + 3 u = 12 u 5 5 5 5 5 3 12 o bien 4 # 5 u = 5 u. ◊ Determina la respuesta a cada planteamiento. a) Un objeto se encuentra tres veces 5 de metro bajo tierra. ¿A qué distancia de la tierra se encuentra el objeto? 4 5 15 3# 4m = 4 m
Se encuentra a 15 de metro. 4
1 b) Si una persona compra diariamente 2 4 kg de tortillas, ¿cuántos kilogramos de tortillas habrá comprado en seis días? 1 9 54 27 6#2 4 = 6# 4 = 4 = 2
La persona habrá comprado
27 kg o 13.5 kg. 2
Material para apoyo del docente prohibida 77 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Una persona compró en una carnicería 3 1 kg de lomo de cerdo. Si el kilogramo de este producto cuesta $84.00, 4 ¿cuál es la cantidad que pagó por dicha cantidad de carne? 1 13 1092 84 # 3 4 = 84 # 4 = 4 = 273
Se pagarían $273.00
d) Para hacer hot cakes, Guadalupe necesita preparar una mezcla con las siguientes cantidades de productos: seis veces 1 gramos de harina, tres veces 1000 mililitros de leche, 5 huevos y 1 margarina y media. ¿Cuántos gramos 8 8 de harina y cuántos mililitros de leche son necesarios para hacer la mezcla? 1 6 3 6# 8 = 8 = 4 3#
1000 3000 1500 750 375 = = = = 8 8 4 2 1
Se necesitan 3 gramos de harina y 375 mililitros de leche. 4
4.2 Multiplicando 1.1 Divisibilidad un número entrefraccionario un número por otro Para calcular el área de un cuadrado de dimensiones 2 # 2 de unidad, se puede emplear el siguiente modelo 4 4 geométrico:
2 — Material para apoyo del docente prohibida 4 su reproducción parcial o total 2 — 4
1 4 de unidad cuadrada del cuadrado más 2 2 4 grande, que tiene de lado una unidad, y de área una unidad cuadrada. Por lo anterior se concluye que 4 # 4 = 16 , 4 1 que al simplificar el resultado se tiene 16 = 4 . El área del cuadrado cuyos lados son números fraccionarios representa
◊ Determina el área, en unidades cuadradas, de los siguientes cuadrados. a)
b) 1 — 5
2 — 3
2 — 3
1 — 5
Material para apoyo del docente prohibida 78 su reproducción parcial o total 1 1 1 Área: 5 # = 25 5
2 2 4 Área: 3 # 3 = 9
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
d)
3 — 4
1 — 2
3 — 4
1 — 2
3 3 9 Área: 4 # 4 = 16
1 1 1 Área: 2 # 2 = 4
Cuando se requiere calcular el área de un rectángulo, por ejemplo, de 2 # 1 de unidad de dimensiones, se puede 4 4 emplear el siguiente modelo geométrico, tomando en cuenta que el cuadrado tiene 1 unidad × 1 unidad de dimensiones.
2 — 4
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 1 — 4
2 1 2 1 El área del rectángulo es igual a 4 # 4 = 16 unidades cuadradas, que representa 8 parte del cuadrado, ya que 2 1 = . 16 8 ◊ Representa el área, en unidades cuadradas, de los siguientes cuadrados. a)
b)
2 — 5
2 — 6
1 — 3 2 1 2 Área: 5 # 3 = 15
4 — 7 2 4 8 4 Área: 6 # 7 = = 42 21
Material para apoyo del docente prohibida 79 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
d)
2 — 5
3 — 6
1 — 2 2 1 2 1 Área: 5 # 2 = 10 = 5
6 — 8 3 6 18 9 3 Área: 6 # 8 = 48 = 24 = 8
4.3 División 1.1 Divisibilidad de un número entre fraccionario un número entre otro 1 3 Para saber el número de veces que 3 cabe en 5 ,
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 3 — 5
1 — 3
se sobrepone el área que simboliza a 1 sobre la de 3 . Un tercio ` 1 j son cinco tablillas sombreadas, y cada una 3 5 3 1 1 representa de , por lo que al completar el espacio que representa a los 3 , se obtiene la respuesta: 5 3 5
1 — 5 1 — 5 1 — 5
1 — 5 1 — 5 1 — 5
1 — 5 1 — 5 1 — 5
3 1 9 1 3 Por lo tanto, 5 ' 3 = 5 representa el número de veces que cabe 3 en 5 y es lo mismo que multiplicar 3 9 #3 = . 5 5
Material para apoyo del docente prohibida 80 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 3 — 5
3 Dicho de otra manera, para averiguar el resultado de la división, se puede multiplicar
3 5 por el inverso multiplicativo
de 1 , que es 3 , y queda 3 # 3 = 9 . 3 1 5 1 5 ◊ Con sólo observar los modelos geométricos, determina el valor de cada tablilla sombreada, y en consecuencia, el resultado de la división. 4 2 a) 5 ' 4
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Cada tablilla vale 1 , y el resultado de la división es 16 , valor que se simplifica y representa a 8 . 10 10 5
1 1 b) 3 ' 6
Cada tablilla vale 1 , y el resultado de la división es 2. 3 1 1 c) 2 ' 6
Cada tablilla vale 1 , y el resultado de la división es 3. 2
Material para apoyo del docente prohibida 81 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 2 6 d) 4 ' 7
1 14 7 Cada tablilla vale 24 , y el resultado de la división es 24 , valor que podemos simplificar y representar como 12 . ◊ Mediante el uso del inverso multiplicativo, evalúa las siguientes divisiones. 8 4 a) 12 ' 6 7 1 b) 3 ' 5
7 3 c) 12 ' 11
8 6 48 = 12 # 4 = 48 = 1 7
5
35
6 9 d) 8 ' 14
= 3#1 = 3
7 11 77 = 12 # = 3 36
=
6 14 84 42 21 7 # = = = = 8 9 72 36 18 6
1.1 Divisibilidad 4.4 Profundiza entre un número ◊ Representa lo que se te pide en cada inciso.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) El valor que se encuentra debajo de cada símbolo representa la relación que hay entre la nota musical redonda, que equivale a 1, y las demás figuras de notas. Nombre
Redonda
Blanca
Negra
Corchea
Semicorchea
Fusa
Semifusa
1
1 2
1 4
1 8
1 16
1 32
1 64
Símbolo
Fracción de redonda
Si la duración de la nota musical redonda es de 4 tiempos, ¿cuál es la duración de la … •
... blanca?
•
… negra?
•
… corchea?
•
… semicorchea?
•
… fusa?
•
… semifusa?
1 4# 2 = 2 1 4# 4 = 1 4 1 4# 8 = 8 = 1 4 4# 16 = 16 1 4 4 # 32 = 32 1 4 4 # 64 = 64
2 tiempos 1 tiempo 1 2
1 = 4 1 = 8 1 = 16
1 tiempo 2 1 tiempo 4 1 tiempo 8 1 tiempo 16
Material para apoyo del docente prohibida 82 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) En un mercado un balón de futbol cuesta 5 de lo cuesta en un supermercado, y en este último lugar cuesta 4 de 8 5 lo que vale en una tienda de deportes. Si en la tienda de deportes el balón tiene un valor de $250.00, ¿cuál es el precio que tiene en el mercado y en el supermercado? 4 1000 Su precio en el supermercado es de $200.00, ya que 250 # 5 = 5 = 200 5 1000 Su precio en el mercado es de $125.00, ya que 200 # 8 = 8 = 125
Tema: Números Tema: Figura y sistemas y cuerpos de numeración Contenido 5
5.1 Propiedad 1.1 Divisibilidad de la mediatriz entre un denúmero un segmento La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento. Los puntos que conforman la mediatriz equidistan de los extremos del segmento, por ejemplo, al comparar las distancias nA y nB, resulta que nA = nB. o n
oA = oB nA = nB mA = mB
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total m
A
B
Por otra parte, si se trazan las mediatrices de los tres lados de un triángulo, resulta que el punto donde concurren éstas equidista de los vértices del triángulo.
B sA = sC SB = sA sC = sB
A
sA = sB = sC s
C
Material para apoyo del docente prohibida 83 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Realiza lo que se te pide en cada caso.
a) Dada una recta M y un punto (c), exterior a ella, traza una recta perpendicular a M de tal forma que pase por el punto c.
c) Utiliza el segmento JK para construir tres triángulos isósceles y uno equilátero. P
M
o n
DJKm; DJKn y DJKo, son isósceles. DJKp es equilátero.
m J
K
c b) Dados los puntos P, Q y R, traza una circunferencia que pase por dichos puntos.
d) Ubica tres puntos cualesquiera en la mediatriz del segmento, y traza tres circunferencias de tal forma que sus centros concuerden con alguno de los tres puntos que ubicaste en la recta, y que ésta toque a los extremos del segmento FG.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Q
P F
R
G
5.2 Propiedad 1.1 Divisibilidad de la bisectriz entre unde número un ángulo La bisectriz de un ángulo es la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Todos sus puntos equidistan de los lados o semirrectas que forman el ángulo. La distancia se mide perpendicularmente al punto de la recta elegido.
M p
pM = pN
Material para apoyo del docente prohibida 84 su reproducción parcial o total N
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Si se trazan las bisectrices a los lados de un triángulo, el punto donde concurren equidista de los lados de la figura. B
a C
c
za = zb zb = zc zc = za
za = zb = zc
z b A ◊ Realiza lo que se te pide en caso.
a) El área del siguiente círculo es igual a 50 cm2. Si el área de las partes sombreadas representa 3 partes de la superficie total, y la recta d es bisectriz del ángulo BAC, ¿cuál es la medida del ángulo DAC? 8 d B
D
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total C
A
% 1080 % 3 % El ángulo BAC mide: 360 # 8 = = 13 5 8 Si d es bisectriz del BBAC ` BDAC = 67.5c
b) Dado el triángulo R, S y T, traza una circunferencia que sea tangente a los tres lados de la figura. T
R
S
Material para apoyo del docente prohibida 85 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Determina la longitud de los ángulos CAD, ADC, DCA, FDC, DCF y CFD, tomando en cuenta que D es un punto de la bisectriz N del ángulo BAC, que mide 61.1°, y que, por lo tanto, DB = DC. Además, los ángulos ACF y ADF miden lo mismo: 149.45°. También ten en cuenta que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. B
A
D
C N F Si B BAC = 61.1°, entonces B CAD = 30.55°, porque la recta N es bisectriz del B BAC. Si B DCA = 90°, entonces B ADC = 180° − ( B DCA + B CAD) ` B ADC = 59.45° Por otra lado, B ADC = 59.45° y B ADF = 149.45°, por lo que B FDC = B ADF − B ADC ` B FDC = 90°. Si B DCA = 90° y B ACF = 149.45°, entonces B DCF = B ACF − B DCA ` B DCF = 59.45°, por lo que el ángulo B CFD = 30.55°
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Ubica un punto cualquiera (h) en la bisectriz del ángulo BAC, y traza una circunferencia con centro en h que sea tangente a las semirrectas. B
D
h A
E
C
Material para apoyo del docente prohibida 86 su reproducción parcial o total
Material para 1.1 apoyo del docente Divisibilidad 5.3 Profundiza entre un número prohibida su reproducción parcial o total ◊ Lleva a cabo lo que se indica en cada inciso.
a) Traza un triángulo considerando que dos de sus vértices recaen en una parte del segmento superior y que el tercero está sobre el segmento inferior.
E G
F
H
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Inscribe un hexágono en una circunferencia teniendo en cuenta que la recta P es la bisectriz del ángulo HDF, que la recta Q es la mediatriz de HG y que J es el centro de la circunferencia. Q
H G
I J F
D
E
Material para apoyo del docente prohibida 87 su reproducción parcial o total P
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Traza las diagonales, ejes de simetría, mediatrices y bisectrices de las figuras que se muestran a continuación, y completa el cuadro. Figuras
Diagonales
Ejes de simetría
Mediatrices
Bisectrices
2
4
2
2
2
2
2
4
0
3
3
3
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 2
2
2
2
Tema: Números Tema: y sistemas Medidade numeración Contenido 6
6.1 Perímetro 1.1 Divisibilidad y área de entre polígonos un número regulares ◊ Representa el perímetro de las siguientes figuras. a)
b)
2n
3j
5n
3j
3j 3n Perímetro = 10n
Perímetro = 9j
Material para apoyo del docente prohibida 88 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
4m + 1
4m + 1
Perímetro = 12m + 2
4m ◊ Representa el área de las figuras sombreadas. a)
b)
h
s
r
b Área =
b#h 2
Área =
r#s 2
c)
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Área =
n
m#n 2
m
El perímetro de un polígono regular se calcula sumando las longitudes de sus lados, o bien sumando el valor de las bases de los triángulos que lo forman. Por ejemplo, el perímetro del siguiente pentágono regular es igual a 5 veces la base.
Apotema
h Base
Base
Base
Base
Base
Base Área de un triángulo = B # h , donde la altura (h) es igual a la apotema, o sea que ℎ = a, por lo que el área del 2 Cinco veces la base # apotema pentágono = . 2 Pa Entonces, para calcular el área de cualquier polígono regular se emplea la expresión A = 2 , donde P representa el perímetro y la literal a la apotema.
Material para apoyo del docente prohibida 89 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Resuelve los siguientes planteamientos.
a) Si el perímetro de un octágono de 4 cm de apotema es igual a 48 cm, ¿cuál será su área?
^48 cm h^4 cm h 192 cm 2 Pa 2 = = 96 cm A= 2 = 2 2
b) Si la base de uno de los triángulos que forman un polígono de 7 lados es igual a la suma de los dos primeros números primos, y la altura es igual al producto de los números 6 y 8 , ¿cuántas unidades cuadradas tiene el 4 5 heptágono? Suma de los dos primeros números primos: 2 + 3 = 5. Perímetro del polígono: 5 × 7 = 35. 6 8 48 24 12 Altura del polígono: 4 # 5 = 20 = 10 = 5 420 12 35 # 5 84 5 2 Área del polígono: = 2 = 2 = 42 u 2
1.1 Divisibilidad 6.2 Profundiza entre un número ◊ El círculo con centro en I tiene un radio de 5 cm. ¿Cuál será el área del cuadrado y del pentágono si la suma de los ángulos interiores del polígono de 6 lados y apotema de 4.5 cm es de 720°, y P y Q son bisectrices de dos ángulos interiores: CBA y BAF?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total P
Q
E
D
Si la suma de los ángulos interiores es igual a 720°, y el hexá-
gono tiene 6 ángulos interiores, entonces un ángulo interno 720c mide 6 = 120°. Además, P y Q son bisectrices de los ángulos CBA y BAF, entonces BIBA = 60° y B IAB = 60°. Por 1 otra parte, B AIB = 60°, pues representa 6 parte de la medida angular de la circunferencia pequeña. El triángulo ABI es equilátero, y sus lados miden 5 cm. Asimis-
H
G
F
C I
A
mo, el lado del cuadrado y el del pentágono miden 5 cm. 2 30 cm # 4.5 cm 135 cm 2 = = 67.5 cm . Área del pentágono = 2 2 Área del cuadrado = 5 cm × 5 cm = 25 cm2.
B
Material para apoyo del docente prohibida 90 su reproducción parcial o total
Material para apoyo docente prohibida Tema: Tema: Números Proporcionalidad y del sistemas de y funciones numeración Contenido 7 su reproducción parcial o total 7.1 Cambio 1.1 en Divisibilidad las dimensiones entre un denúmero la figura original
En una fotocopiadora se redujo una figura que se encontraba en una hoja. ¿Cuáles serán las dimensiones de la figura original? d c 3.2 cm Figura original
5 cm
0.4 cm
b 2 cm
Figura reducida
1.8 cm
4 cm
a
Para determinar las medidas de la figura original se establece una razón entre las medidas de la figura original y la figura reducida, en otras palabras, se relacionan dos magnitudes. En este caso sería
Medida de la figura original 5 Medida de la figura reducida = 2
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Este valor representa el factor constante, y se le denomina factor de proporcionalidad. Se utiliza para encontrar los valores desconocidos de la figura original, lo cual se logra multiplicando los valores de la figura reducida por dicho factor. 5 20 cm Lado a = 4 cm # 2 = = 10 cm 2 18 5 90 cm Lado b = 10 cm # 2 = 20 = 4.5 cm
4 Lado c = 10 cm # 32 Lado d = cm # 10
5 20 cm 2 = 20 = 1cm 5 160 cm = 8 cm 2 = 20
◊ Resuelve los siguientes planteamientos. a) Halla el área del rectángulo más grande considerando las medidas que se te proporcionan.
2 cm
6 cm 3 cm x cm 6 Factor de proporcionalidad = 2 = 3 Longitud m = 3 cm × 3 = 9 cm Área del rectángulo = 9 cm × 6 cm = 54 cm2
Material para apoyo del docente prohibida 91 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Calcula el perímetro de la figura A ́B ́C ́D ́E ́ con base en los datos que se te proporcionan. E´
E
5 cm
4 cm
3 cm D´
A´
D
A
1.5 cm 7 cm
C´
C 2 cm B
B´ 5 Factor de proporcionalidad = 4 5 35 cm A´B´ = 7 cm # = = 8.75 cm 4 4
C´D´ =
5 10 cm B´C´ = 2 cm # = = 2.5 cm 4 4
15 5 75 cm cm # = = 1.875 cm 10 4 40
5 15 cm A´E´ = 3 cm # = = 3.75 cm 4 4
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Perímetro de la figura A ́B ́C ́D ́E ́: 8.75 cm + 2.5 cm + 1.875 cm + 3.75 cm + 5 cm = 21.875 cm
c) Se sabe que el factor que determina las medidas de los lados de la figura F ́G ́H ́I ́J ́ es igual a 3 . ¿Cuál es el 12 área del pentágono regular F ́G ́H ́I ́J? I
J
H
I´ J´
4 cm
H´ 0.68 cm
F
G
F´
G´
Los lados de la figura F ́G ́H ́I ́J ́ miden 1 cm, por lo que su perímetro es igual a 5 cm, y su 2
área es igual a 5 cm # 0.68 cm = 3.4 cm = 1.7 cm 2 2 2
Material para apoyo del docente prohibida 92 su reproducción parcial o total
Material para apoyo docente prohibida 7.2 Situaciones 1.1 Divisibilidad dedel proporcionalidad entre un número directa su reproducción parcial o total En una situación de proporcionalidad directa, los valores que en ella intervienen aumentan o disminuyen a la par y de forma constante. Un ejemplo de ello es la velocidad constante de un móvil, ya que la relación entre distancia y tiempo da una misma cantidad. Distancia (km)
60
120
180
240
300
360
420
Tiempo (h)
1
2
3
4
5
6
7
60 120 180 240 300 360 420 60 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 ◊ Resuelve los siguientes problemas. a) En la siguiente tabla sólo se han capturado los metros que ha recorrido un atleta durante 45 minutos. Si cada minuto recorre el mismo número de metros, ¿a qué velocidad promedio iba el atleta? Completa los espacios vacíos. Distancia (m)
600
800
1400
1600
1800
2400
3000
3200
Tiempo (h)
15
20
35
40
45
60
75
80
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total El factor de proporcionalidad es 40, que es la velocidad a la que iba el atleta.
b) Dos llaves de distinto diámetro vacían un tinaco, la primera lo hace a razón de 3 de litro por minuto, y la segunda 2 a razón de 4 de litro por minuto. Si el tinaco tiene una capacidad de almacenamiento de 200 litros, ¿cuántos litros 3 de agua en total habrán sido vaciados por ambas llaves a los 60 minutos? Completa los espacios vacíos de las dos tablas. Primera llave
Segunda llave
Litros Minutos
Litros Minutos
15 10
40 3 10
22.5 15
20 15
37.5 25
100 3 25
45 30
40 30
60 40
160 3 40
67.5 45
60 45
82.5 55
220 3 55
90 60
80 60
3 180 La primera llave vació 90 litros: 60 × 2 = 2 = 90. 4 240 La segunda llave vació 80 litros: 60 × 3 = 3 = 80. Número de litros vaciados en total: 90 + 80 = 170.
Material para apoyo del docente prohibida 93 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Si una avioneta gasta 208 litros de combustible durante un recorrido de 480 minutos, ¿cuántos minutos tendrán que pasar para que la avioneta gaste 182 litros de combustible? Completa los espacios vacíos de la tabla. Litros
26
39
65
78
104
Minutos
60
90
150
180
240
La avioneta gasta 182 litros de combustible en 420 minutos: 182 ×
182 420
195
208
450
480
480 87360 420. 208 = 208 =
1.1 Divisibilidad 7.3 Profundiza entre un número ◊ Resuelve los siguientes problemas. a) Si una máquina empaca paquetes de 6 botellas con 3 de litro agua cada una, ¿en cuántas botellas y en cuántos 4 paquetes se almacenarán 54 litros? Utilizando el inverso multiplicativo tenemos que: 4 216 Número de botellas que contienen a los 54 litros de agua: 54 × 3 = 3 = 72. Número de paquetes que se arman con las 72 botellas: 72 ÷ 6 = 12. b) Jesús trabaja en un estudio de fotografía. Si requiere ampliar un retrato empleando el factor de proporcionalidad 5 4 y a la foto resultante aplicar otra ampliación de 6 , ¿cuáles serán las medidas de la última fotografía, si la longitud 2 original es de 5 cm × 12 cm?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5 Medidas de la fotografía al aplicar el factor de proporcionalidad 4 : 5 25 cm = 6.25 cm 5 cm # 4 = 4
60 cm 5 12 cm # 4 = = 15 cm 4
6 Medidas de la fotografía al aplicar el factor de proporcionalidad: 2 25 cm 6 150 cm # = = 18.75 cm 4 2 8
6 90 cm 15 cm # 2 = = 45 cm 2
Material para apoyo del docente prohibida 94 su reproducción parcial o total
Material para apoyo docente prohibida Ejercicios del de reforzamiento su reproducción parcial o total 1. Tacha todos los números múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11.
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
¿Qué nombre reciben aquellos números que no fueron tachados?
Números primos.
Material para apoyo del docente prohibida 2. su reproducción parcial o total a) Descompón los siguientes números en factores primos.
68 = 2 × 2 × 17
b) 56 = 2 × 2 × 2 × 7
c) 125 = 5 × 5 × 5
d) 380 = 2 × 2 × 5 × 19
e) 1 596 = 2 × 2 × 3 × 7 × 19
f) 2 024 = 2 × 2 × 2 × 11 × 23
g) 3 750 = 2 × 3 × 5 × 5 × 5 × 5
Material para apoyo del docente prohibida 95 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 3. su reproducción parcial o total a) b) Determina el máximo común divisor de los siguientes números.
26 y 64
52 y 56
2
64
2
52
2
56
2
13 13
32
2
26
2
28
2
16 8 4 2 1
2 2 2 2
13 13
14
2
7
7
26 1
El máximo común divisor es igual 2
c) 48 y 72
1
1
El máximo común divisor es 4: 2 x 2
d) 88 y 99
48
2
72
2
24
2
36
2
12
2
18
2
6
2
9
3
3
3
3
3
88
2
99
3
44
2
33
3
22
2
11
11
11
11
1
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 1
1
1
El máximo común divisor es igual a 24: 2 x 2 x 2 x 3
4. Determina
El máximo común divisor es igual a 11
el mínimo común múltiplo de los siguientes números.
a) 45 y 75
b) 120 y 35
45
3
75
3
120
2
35
5
15
3
25
5
60
2
7
7
5
5
5
5
30
2
1
15
3
5
5
1
1
1
El mínimo común múltiplo es es 225: 32 × 52
El mínimo común múltiplo es 840: 23 × 3 × 5 × 7
Material para apoyo del docente prohibida 96 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida c) d) su reproducción parcial o total 15 y 20
18 y 60
15
3
20
2
18
2
60
2
5
5
10
2
9
3
30
2
5
5
3
3
15
3
5
5
1
1
1
1
El mínimo común múltiplo es 60: 22 × 3 × 5
5.
El mínimo común múltiplo es 180: 22 × 32 × 5
Resuelve las siguientes sumas.
+ 14 50 25 = 42 = 21 a) 67 + 26 = 3642
Material para apoyo del docente prohibida b) su reproducción parcial o total 6 12 + 0.24 = 0.5 + 0.24 = 0.74
8 8 23 8 123 800 + 1 845 2 645 529 c) 15 + 1.23 = = 1 500 = 300 15 + 1 100 = 15 + 100 = 1 500
d) 5 69 + 0.2 = 51 + 1 = 255 + 9 = 264 = 88 5 45 45 9 15
1 6 e) 12 + 11 + 0.7 = 1 + 6 + 7 = 110 + 720 + 924 = 1 754 = 877 12 11 10 1 320 1 320 660
f) 0.2 + 16 + 1.3 =
2 1 3 1 1 13 6 + 5 + 39 50 25 5 = 30 = 15 = 3 10 + 6 + 1 10 = 5 + 6 + 10 = 30
Material para apoyo del docente prohibida 97 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 6. su reproducción parcial o total Efectúa las siguientes multiplicaciones de números fraccionarios.
6 a) 65 # 12 = 36 = 18 = 9 = 3 5 60 30 15
15 8 505 d) 567 63 # 9 = 567 = 15
80 16 8 = 7 b) 10 7 # 5 = 35
15 14 505 e) 967 2 # 4 = 8
15 480 7 740 1 548 1 290 c) 12 = 625 = 125 25 # 50 = 1 250
78 39 6 = 170 f) 13 17 # 20 = 340
7. Efectúa las siguientes divisiones de números fraccionarios. a)
2 1 3'5 =
2 3 1 5
10 = 3
5 7 3'5 =
5 3 7 5
25 = 21
d)
6 5 5 ' 10 =
6 60 12 5 5 = 25 = 5 10
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción b) e) parcial o total c)
12 1 9 ' 32 =
12 9 1 32
=
6 12 15 ' 60 =
384 128 9 = 3
f)
1 2 5 ' 17 =
6 15 12 60
360 = 180 = 2
1 17 5 2 = 10 17
8. Traza la mediatriz al menos a dos de los segmentos que componen a las siguientes figuras. a)
D C A
B
Material para apoyo del docente prohibida 98 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida b) su reproducción parcial o total D
A
C B
H
c)
E G
F
A
D
Material paraB apoyo del docente prohibida C su reproducción parcial o total 9. Traza la bisectriz al menos a dos de los ángulos que componen a las siguientes figuras. a) A
E D C
B
Material para apoyo del docente prohibida 99 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida b) su reproducción parcial o total A E
B C
D
c)
A
D
B
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total C 10. Calcula el perímetro de las siguientes figuras: a) 2 mm + 3 mm + 3 mm = 8 mm 3 mm P = 8 mm 2 mm
Material para apoyo del docente prohibida 100 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida b) su reproducción parcial o total 2 mm
(2 mm) (3) = 6 mm
2 mm
(6 mm) (6) = 36 mm P = 36 mm 2 mm
c)
2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2 cm = 16 cm P = 16 cm 2 cm
Material para apoyo del docente prohibida 11. su reproducción parcial o total a) Calcula el área de las siguientes figuras:
A = (7.5 cm) (7.5 cm) = 56.25 cm 2
7.5 mm
b)
Área del cuadrado grande: (8 cm) (8 cm) = 64 cm 2 8 cm Área del cuadrado pequeño: (6 cm) (6 cm) = 36 cm 2 5.2 cm
Área del triángulo equilátero: (6 cm) (5.2 cm) 31.2 cm 2 = = 15.6 cm 2 2 2
11.2 cm
El área total es igual a 115.60 cm2
Material para apoyo del docente prohibida 101 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida c) su reproducción parcial o total 1.3 cm 1.5 cm Área de un triángulo=
^1.5 cm h (1.3 cm) 1.95 cm 2 = = 0.975 cm 2 2 2
Multiplicamos el valor obtenido por seis, que es el número total de triángulos. (0.975 cm 2) (6) = 5.85 cm 2
12. Encuentra el factor constante fraccionario, colócalo sobre la línea que está debajo de la tabla y determina los valores faltantes.
a)
b)
Número de bombones
Costo ($)
Tiempo (min)
Metros
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5
7 2
8
2 5
12
42 5
15
3 4
24
84 5
23
23 20
27
189 10
35
7 4
36
126 5
62
31 10
45
63 2
86
43 10
7 10
1 20
Material para apoyo del docente prohibida 102 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida c) d) su reproducción parcial o total Número de galletas
Costo ($)
Número de perros
Cantidad de croquetas
6
45 8
6
9 8
12
45 4
23
69 16
21
315 16
47
141 16
46
345 8
65
195 16
50
375 8
66
99 8
60
225 4
70
105 8
15 16
3 16
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 103 su reproducción parcial o total
Material para apoyo docente prohibida Evaluación:del bloque 2 su reproducción parcial o total Secundaria:___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊ Subraya en cada caso la respuesta que consideres correcta. 1. Número que es divisible entre 2, 3 y 5. a) 65 b) 35 c) 28 d) 330 2. Los focos del marco de un anuncio de publicidad se prenden cada determinado tiempo: las luces rojas lo hacen cada 2 segundos, las verdes cada 3 segundos y las azules cada 8 segundos. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que por primera vez los tres focos iluminen al mismo tiempo? a) 48 segundos b) 24 segundos c) 35 segundos d) 20 segundos
4 partes de las personas portan una 5. En una fiesta 12 6 gorra y partes usan lentes, ¿qué parte de las per10 sonas que están en la fiesta no llevan puesto algún artículo descrito anteriormente? 8 a) 120 6 b) 12 112 c) 20 112 d) 120 6. Una lata contiene 843 mililitros de agua, si un paquete 2 de agua contiene 6 latas, ¿cuántos mililitros de agua hay en dos paquetes?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 3. En una tienda se piensa colocar las últimas tazas, platos y vasos, en diferentes paquetes. Si se dispone de 40 tazas, 32 platos y 18 vasos, ¿cuántos paquetes con el máximo y mismo número de objetos se pueden armar sin dejar ninguna pieza afuera? a) 1 paquete b) 6 paquetes c) 2 paquetes d) 3 paquetes 4. Damián vendió las siguientes cantidades de tejocote a 3 2 tres personas: 4 de kg, 0.450 kg y 1 4 de kg. ¿Cuál fue la cantidad de fruta que vendió Damián? a) 2.7 kilogramos 5 b) 1 4 kilogramos
c) 12 kilogramos 3 d) 3 4 kilogramos
a) 5058 mililitros b) 1200 mililitros c) 10 116 mililitros d) 116 mililitros
7. En un garrafón hay 45 de litro de agua. Si se desea 4 colocar el contenido del garrafón en recipientes de 1 8 de litro, ¿cuántos recipientes son necesarios para almacenar todo el líquido? a) 90 b) 80 c) 30 d) 45 8. ¿En cuál figura sus bisectrices representan las diagonales? a) Trapecio b) Rombo c) Triángulo d) Rectángulo
Material para apoyo del docente prohibida 104 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 9. ¿Cuál es el valor de las distancias AD y BD si la longitud CD es igual a 4.35 mm, y las rectas pasan por los puntos medios de los lados del triángulo? C
B
11. En una tienda de antigüedades hay un letrero viejo que muestra algunas dimensiones de 3 cuadros de pintura. Si el factor de proporcionalidad que permite encontrar cada una de las medidas faltantes es el mismo, ¿cuál es ese factor?
D
Largo: 108 cm
A
Ancho: 50 cm
Largo: 270 cm
26 a) 12 mm
Ancho: 312.5 cm
3 b) 12 mm 7 c) 24 mm
4 a) 5
87 d) 20 mm
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 10. Todos los vértices del polígono regular ABCDEF tocarían a una circunferencia de radio igual a 2.85 cm si se considera al punto K como centro de la misma. ¿Cuál sería el área hexágono regular si lo anterior sucediera? E D
K
F
C
2.42 cm A a) 41.382 cm2 b) 17.1 cm2 c) 20.691 cm2 d) 32.524 cm2
B
5 b) 12 6 c) 8
5 d) 2
12. Para preparar 13 litros de agua de tamarindo se requieren 39 de gramos de polvo saborizante. ¿Cuán4 tos litros de agua se preparan con 30 de gramos de 4 dicho polvo? a) 10 litros b) 12 litros c) 14 litros d) 16 litros
Material para apoyo del docente prohibida 105 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida BLOQUE 3 su reproducción parcial o total Competencias que se favorecen:
Aprendizajes esperados: • Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales. • Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales. • Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.
• Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente
Matemático centrado en el estudio del álgebra y quien sustituyó los parámetros de una ecuación por una simbología similar a la actual para representar incógnitas mediante letras. Es reconocido por muchos como el fundador del álgebra.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida
Manejo de la información
François Viète
Contenido 1 2 3 4 5 6 7 8 Evaluación
Tema
Problemas multiplicativos
Patrones y ecuaciones Figuras y cuerpos Medida Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad Análisis y representación de datos
Material para apoyo del docente prohibida 106 su reproducción parcial o total
Material para docente prohibida Tema:apoyo Números y del sistemas de numeración Contenido 1 su reproducción parcial o total 1.1 Resolución de problemas
◊
Resuelve los siguiente planteamientos.
a) Si en un supermercado que se encuentra abierto las 24 horas del día el kilogramo de naranja cuesta $8.45, ¿cuánto costarán 10 y 100 kilos del mismo producto? Si la tienda comercial vende cada 30 minutos 7 kilogramos de este cítrico, ¿cuál es el ingreso que obtiene en un día y en un año? Por 1 kilogramo = $8.45 Por 10 kilogramos = $84.5 8.45 × 10 84.50 Por 100 kilogramos = $845.00 8.45 × 100 845.00
En una hora se venden 14 kilogramos, por lo que la tienda obtiene un ingreso de $118.30 118.30 × 24 47320 23660 2839.20
En un año el ingreso del supermercado fué $1 036 308.00, puesto que 2839.20 × 365 1419600 1703520 851760 1036308.00
En 24 horas el supermercado obtiene $2839.20, ya que $118.30 × 24 = $2839.20
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Una editorial necesita comprar equipo nuevo: cuatro impresoras, tres teléfonos inalámbricos y dos paquetes de baterías recargables. ¿Cuál es la cantidad total que va a pagar la editorial si una impresora cuesta $3259.90, un teléfono $599.45 y cada paquete de baterías $215.25? La editorial va a pagar $15268.45: Precio por 4 impresoras: 3259.90 ×4 13039.60
Precio por 3 teléfonos: 599.45 ×3 1798.35
Precio por 2 paquetes: 215.25 ×2 430.50
Costo total +
13039.60 1798.35 430.50 15268.45
c) Un terreno rectangular de dimensiones 14.6 m × 16.5 m requiere ser cercado con alambre de púas. ¿Cuántos metros de alambre hay que comprar si se necesita circundar el terreno cuatro veces? Perímetro del rectángulo: 62.2 metros. Son necesarios 248.8 metros de alambre para circundar cuatro veces el terreno: 62.2 ×4 248.8
Material para apoyo del docente prohibida 107 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Joel carga en su maleta 24 pelotas para jugar tenis de 58.4 gramos cada una, y 12 botellas con 0.375 litros de agua cada una. ¿Cuántos gramos y litros carga Joel en su maleta? 24 × 58.4 96 192 120 1401.6
Joel carga 1401.6 gramos y 4.5 litros
12 × 0.375 60 84 36 4.500
e) En una empresa operadora de telefonía móvil, el costo por minuto para llamar a cualquier teléfono fijo nacional es de $4.95, y para llamar a uno internacional es de $7.85. ¿Cuánto pagará una persona si habló en un día 45 minutos a un teléfono nacional y 28 minutos a uno internacional? 4.95 × 45 2475 1980 222.75
7.85 × 28 6280 1570 219.80
+ 222.75 219.80 442.55 El precio a pagar es de $442.55
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total f) Una banda elástica para fortalecer músculos de 2.5 metros puede ser estirada hasta 2.8 veces su longitud. ¿Cuál es la máxima longitud que puede alcanzar dicha banda sin que se rompa? 2.5 × 2.8 200 50 7.00
La banda elástica puede alcanzar una longitud de 7 metros:
1.2 Profundiza ◊
Resuelve los siguiente planteamientos.
a) Los resultados de las operaciones matemáticas A, B y C representan a los primeros tres números de una sucesión con progresión geométrica definida por la regla de regularidad: “para obtener el subsecuente término se multiplica el término anterior por 4”. ¿Cuáles son esos números? A
1.8 × 0.4 0.72
B
1.2 × 2.4 48 24 2.88
C
19.2 × 0.6 11.52
Los números son 0.72, 2.88 y 11.52
Material para apoyo del docente prohibida 108 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Un polígono regular de 10 lados tiene un apotema de 5.2 cm, y cada lado que lo compone mide 4.5 cm. ¿Cuál es su perímetro y su área? 10 × 4.5 50 40 45.0
45 × 5.2 90 225 234.0
117 2 234 014 0
Perímetro es igual a 45 cm
Área es igual a 117 cm2
c) Si los lados de la figura R son 2.7 veces más grandes que los lados de la figura Q, ¿cuál es el área de R? Las dimensiones de la figura R son 8.64 cm × 9.99 cm Figura Q
3.2 cm
Figura R 3.7 cm
3.2 × 2.7 224 64 8.64
3.7 × 2.7 259 74 9.99
Su área es igual a 86.3136 cm2
8.64 × 9.99 7776 7776 7776 86.3136
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) La densidad de la gasolina es de 0.68 g/cm3, y si el mercurio es 20 veces más denso que la gasolina estando ambos líquidos a una temperatura de 20°C, ¿cuál es la densidad del mercurio? La densidad del mercurio es igual a 13.6 g/cm3: 0.68 × 20 13.60
e) E l circuncentro del triángulo ABC dista 3.35 cm del vértice C. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia circunscrita al triángulo si π = 3.14? La longitud de la circunferencia es igual a 21.0380 cm
A
B
C
3.35 ×2 6.70
6.70 × 3.14 2680 670 2010 21.0380
Material para apoyo del docente prohibida 109 su reproducción parcial o total
Material Tema: paraNúmeros apoyo del dedocente y sistemas numeración prohibida Contenido 2 parcial o total su reproducción 2.1 Resolución de problemas
◊
Resuelve los siguiente planteamientos.
a) D urante las vacaciones, María acude a un taller de origami de martes a viernes, invirtiendo un total de 5.6 horas por semana. ¿Cuánto tiempo dedica María al taller cada día? Cada día dedica 1.4 horas: 1.4 4 5.6 16 0
1 10 de hora = 6 minutos, por lo que
1.4 horas equivale a una hora con 24 minutos.
0.4 décimos de hora es igual a 24 minutos
b) Enrique recorrió en su auto, desde la ciudad de México hasta la ciudad de Teziutlán, 75 kilómetros cada hora. ¿Cuánto tiempo tardó en llegar Enrique a Teziutlán si su recorrido fue de 247.5 kilómetros? ¿En cuántas horas con minutos hizo su recorrido Enrique?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total El recorrido se hace en 3.3 horas:
1 10 de hora = 6 minutos, por lo que
0.3 décimos de hora es igual a 18 minutos:
Enrique hace el recorrido en 3 horas 18 minutos.
3.3 75 247.5 225 00
c) Hugo obtuvo las siguientes calificaciones en un curso de inglés: 8, 9, 9, 7 y 10. ¿Cuál fue su promedio?
El promedio que logró Hugo fue de 8.6: 8 + 9 + 9 + 7 + 10 = 43
8.6 5 43 30 0
Material para apoyo del docente prohibida 110 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) S i se colocan 18 pelotas de tenis sobre una báscula digital, y ésta marca 1069.2 gramos, ¿cuántas pelotas hay que colocar para que marque 475.2 gramos? 8 59.4 475.2 000
59.4 18 1069.2 169 072 00
Se deben poner 8 pelotas en la báscula
e) Una persona adquirió, para vender en su tienda, una caja con 36 sobres de acondicionador para el cabello, gastando un total de $90.00. ¿Cuál será el precio que dicha persona ofrecerá a su clientes por cada sobre si decide aumentarle a cada sobre 50 centavos? 2.5 36 90 180 00
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total El costo de cada sobre de acondicionador es de $3.00
f) Una furgoneta tiene una capacidad para transportar 8.4 m3 de paquetes con hojas de color. ¿Cuántos paquetes de 0.0025 m3 caben en este medio de transporte? 3360 0.0025 8.4 090 150 000 00 En la furgoneta caben 3360 paquetes de hojas
Material para apoyo del docente prohibida 111 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 2.2 Profundiza su reproducción parcial o total ◊
Resuelve los siguientes planteamientos.
a) Si el área de un rectángulo es de 10.8 cm2, y uno de sus lados mide 2.4 cm, ¿cuál es la medida de su otro lado? El lado mide 4.5 cm: 10.8 cm2
2.4 cm
4.5 2.4 10.8 120 00
b) En una papelería, se adquirieron varios paquetes con 30 bolígrafos de tinta roja cada uno, y cada paquete tuvo un valor de $97.5. Si el encargado del negocio piensa sumar 75 centavos al costo de cada pluma al momento de venderlas, ¿cuál es el precio que asignará a cada bolígrafo? 3.25 30 97.5 075 150 00
3.25 + 0.75 = 4
Cada bolígrafo tendrá un importe de 4 pesos.
c) Una empresa operadora de telefonía móvil cobró a un consultorio dental $1225.00 por un total de 700 minutos de llamadas. ¿Cuál es la tarifa que cobrará la empresa a una persona que ha llamado 321 minutos si el precio por minuto es el mismo?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 1.75 700 1225 5250 3500 000
1.75 x 321 175 350 525 561.75
La empresa cobrará por los 321 minutos $561.75
d) El precio de 12 barriles de petróleo, expresado en moneda estadounidense, es de 1138.08 dólares. ¿Cuál es el precio de un barril, expresado en pesos mexicanos, si un dólar equivale a $13.10? 94.84 12 1138.08 058 100 048 00
94.84 x 13.10 94840 28452 9484 1242.4040
El barril tiene un costo de $1242.404
e) En la ciudad de México, un taxi cobra a un usuario por cada 45 segundos de viaje $0.78, más el banderazo de $6.40, que es la cantidad a pagar por sólo abordarlo. ¿Cuánto le cobrarán a una persona, sin considerar el banderazo, si el recorrido que hace el taxista es de 15 minutos? 60 segundos = 1 minuto. 15 minutos = 900 segundos, porque 15 × 60 = 900 Se divide 900 entre 45 para saber cuántas veces cabe 45 en 900:
20 45 900 000 00
Se multiplica 20 por 0.78 para determinar la cantidad a pagar, que es igual a $15.60
Material para apoyo del docente prohibida 112 su reproducción parcial o total
Material para docente prohibida Tema:apoyo Números y del sistemas de numeración Contenido 3 su reproducción parcial o total 3.1 El valor de la incógnita
Una ecuación es una igualdad que contiene uno o varios valores desconocidos, llamados incógnitas, que son representados por letras, o dicho de otra manera, por literales. Una igualdad es verdadera cuando el valor de la incógnita satisface a la ecuación. Por ejemplo, en la expresión: x+3=8 La ecuación es válida cuando x = 5, y no lo es si x tiene cualquier otro valor, puesto que 5 + 3 = 8. ◊
Determina qué valor de x es válido en cada una de las siguientes ecuaciones. 3 4 e) x + = 5 5
a) x + 12 = 18
1 1 3 4 x = 5 , ya que 5 + 5 = 5
x = 6, ya que 6 + 12 = 18
2 f) x - 3 = 1
b) x − 5 = 13
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5 5 2 3 x = 3 , ya que 3 - 3 = 3 = 1
x = 18, ya que 18 − 5 = 13
g) x + 3.4 = 10.4
c) x − 13 = 12
x = 7, ya que 7 + 3.4 = 10.4
x = 25, ya que 25 − 13 = 12
5 13 h) x + 3 = 6
d) x − 2.5 = 2.3
1 1 5 13 x = 2 , ya que 2 + 3 = 6
x = 4.8, ya que 4.8 − 2.5 = 2.3
3.2 Propiedades de la igualdad Una ecuación es una expresión conformada por dos miembros, el primero es el que se encuentra antes del signo de igualdad, y el segundo es el que está después de dicho signo. La propiedad simétrica se observa cuando al cambiar la posición de los miembros la igualdad no se altera: Si x + 5 = 10, entonces 10 = x + 5
Si 2x = 18, entonces 18 = 2x
Si 2x + 7 = 14, entonces 14 = 2x + 7
Material para apoyo del docente prohibida 113 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Si a dos miembros de una igualdad se les suma, resta, multiplica o divide (a excepción de por cero) por una misma cantidad, la igualdad se conserva. Esta propiedad recibe el nombre de uniforme. Si sumamos 3 a ambos miembros de la ecuación x − 3 = 10, la igualdad subsiste: x − 3 + 3 = 10 + 3 Al resolver las operaciones indicadas se sabe que:
x = 13
La propiedad de la sustitución se presenta si a = b. De ser así, b puede ser reemplazada por a en cualquier expresión que aparezca b: x − 3 = 10 Ecuación original 13 − 3 = 10 Se reemplaza x por 13 10 = 10 La igualdad es verdadera
◊
Aplica la propiedad de la igualdad para hallar los valores de las incógnitas. Verifica tu resultado.
a) m + 4 = 16
Comprobación:
d) 65 = r + 12 Comprobación:
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total m + 4 − 4 = 16 − 4 m = 12
12 + 4 = 16 16 = 16
b) n − 5 = 44 Comprobación: n − 5 + 5 = 44 + 5 n = 49
49 − 5 = 44 44 = 44
65 − 12 = r + 12 − 12 53 = r
e) 4 = d - 2.3 12
65 = 53 + 12 65 = 65
Comprobación:
4 23 23 23 12 + 10 = d - 10 + 10
4 79 23 12 = 30 - 10
79 30 = d
4 1 12 = 3 1 4 3 es igual a 12
c) p + 2.5 = 8.4 p + 2.5 − 2.5 = 8.4 − 2.5 p = 5.9
Comprobación: 5.9 + 2.5 = 8.4 8.4 = 8.4
f) 5y = 45 Comprobación: 5y 45 5 = 5
(5) (9) = 45 45 = 45
y=9
Material para apoyo del docente prohibida 114 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total m) 2s = 88
g) q − 3.4 = 1.6
Comprobación:
q − 3.4 + 3.4 = 1.6 + 3.4 q = 5.0
h) x + 5 = 11 3 6 5 5 11 5 x+ 3 - 3 = 6 - 3 1 x= 6 i) f - 3 = 8 7 3
5.0 − 3.4 = 1.6 1.6 = 1.6
Comprobación: (2) (44) = 88 88 = 88
2s 88 2 = 2 s = 44
n) 6.4c = 51.2 Comprobación:
Comprobación: 1 5 3 + 30 33 11 6 + 3 = 18 = 18 = 6 11 11 6 = 6
Comprobación:
3 3 8 3 f- 7 + 7 = 3 + 7
65 3 65 - 9 56 8 21 - 7 = 21 = 21 = 3
65 f = 21
8 8 3 = 3
(6.4) (8) = 51.2 51.2 = 51.2
6.4c 51.2 6.4 = 6.4 c=8
ñ) 5.8t = 75.4
Comprobación:
5.8t 75.4 5.8 = 5.8
(5.8) (13) = 75.4 75.4 = 75.4
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total j)
2 2 8g= 7 2 2 8g 7 = 2 2 8 8
16 8 g = 14 = 7 k) 4 k = 6 5 9 4 6 9k 5 4 = 4 9 9 54 27 k = 20 = 10 l) 2.7h = 3 4 27 3 10 h 4 27 = 27 10 10 30 5 h = 108 = 18
t = 13
o) 3.5l + 8.5 = 40
Comprobación: 2 2 8 ( 8 )( 7 ) = 7 &
16 2 56 = 7 &
2 2 7 = 7
Comprobación: 6 4 27 ( 9 ) ( 10 ) = 5 & 108 6 12 6 6 6 90 = 5 & 10 = 5 & 5 = 5
Comprobación: 3 27 5 ( 10 ) ( 18 ) = 4 & 15 3 135 3 = 4 & 3 = 3 180 = 4 & 20 4 4
Comprobación:
3.5l + 8.5 − 8.5 = 40 − 8.5 3.5l=31.5
(3.5) (9) + 8.5 = 40 31.5 + 8.5 = 40 40 = 40
3.5l 31.5 3.5 = 3.5 l=9 p) 18.2a − 3.2 = 69.6 18.2a − 3.2 +3.2 = 69.6 + 3.2 18.2a = 72.8 18.2a 72.8 18.2 = 18.2
Comprobación: (18.2) (4) − 3.2 = 69.6 72.8 − 3.2 = 69.6 69.6 = 69.6
a=4 q) 2 e + 1 = 34 10 2 20 2 1 1 34 1 e+ = 10 2 2 20 2
Comprobación: 2 1 34 ( 10 ) (6) + 2 = 20 &
2 6 & 10 e= 5
6 &e = 52 10
12 1 34 10 + 2 = 20 &
60
& e = 10 = 6 34 34 20 = 20
Material para apoyo del docente prohibida 115 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total r) 3 v = 16 2
u) 1 u - 3 = 2 3 2 12
Comprobación:
3 16 2v 3 = 3 2 2 32 v= 3
3 32 ( 2 ) ( 3 ) = 16
1 3 3 2 3 u- + = + 3 2 2 12 2
96 6 = 16
1 3 2 ( 3 ) (5) - 2 = 12 &
Comprobación:
1 1 25 1 2j + 4 - 4 = 4 - 4 &
(5) (6) + 2 = 32 30 + 2 = 32 32 = 32
10b − 2 + 2 = 108 + 2 10b = 110
3
5 3 2 3 - 2 = 12 &
2 2 12 = 12
2j=6
2j
6
& 2 = 2 &
j=3
Comprobación: 1 25 (2) (3) + 4 = 4 &
z=6
t) 10b − 2 = 108
40
v) 2j + 1 = 25 4 4
s) 5z + 2 = 32
5z 30 5 = 5 &
3
Comprobación:
16 = 16
5z + 2 − 2 = 32 − 2 5z = 30
1
u 0 & 13 u = 40 & 3 = 24 &u = 12 =5 24 24 1 1
1 25 6+ 4 = 4 &
25 25 4 = 4
w) 19.37 = 5.9i - 1 10
Comprobación:
Comprobación: 19.37 + 0.1 = 5.9i − 0.1 + 0.1 19.47 = 5.9i 19.37 = (5.9) (3.3) − 0.1 19.47 5.9i 19.37 = 19.47 − 0.1 = 5.9 5.9 19.37 = 19.37 3.3=i
10 (11) − 2 = 108 110 − 2 = 108 108 = 108
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 10b 110 10 = 10 &
b = 11
3.3 Planteamiento y resolución de problemas
Para plantear y resolver un problema que involucra valores desconocidos se recurre al lenguaje algebraico, con el fin de traducir un enunciado, escrito en español, a una ecuación que requiere ser resuelta aplicando propiedades como las que se revisaron en esta lección. Considérense los siguientes casos. Caso 1. Un número cualquiera menos 4 es igual a 25. Traducción: x − 4 = 25 Un número cualquiera es el valor desconocido que se representó, en este caso, con la literal x. Caso 2. El doble de un número es igual a 36. Traducción:
2b = 36
El doble de un número se representó con la expresión 2b. 1 Caso 3. Tres veces un número más es igual a 4. 3 Traducción:
1 3r + 3 = 4
Material para apoyo del docente prohibida 116 su reproducción parcial o total Tres veces un número se representó con la expresión 3r.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Traduce al lenguaje algebraico los siguientes enunciados, y resuelve las ecuaciones resultantes. a) El doble de un número menos 35 es igual a 27.
Traducción: 2x − 35 = 27
2x − 35 + 35 = 27 + 35
&
2x = 62
&
t=
2x 62 2 = 2
&
&
x = 31
b) El tercio de un número es igual a 45. Traducción: 1 3 t = 45
1 45 3t 1 = 1 3 3
135 1 = 135
c) La mitad de un número menos 4 es igual a 28. Traducción: 1 2 c - 4 = 28
1 2 c - 4 + 4 = 28 + 4
&
1 2 c = 32
&
1 32 2c 1 = 1 2 2
&
64 c = 1 = 64
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Un número más 12 es igual a 42. Traducción: d + 12 = 42
d + 12 − 12 = 42 − 12
&
d = 30
e) El triple de un número más 2.8 es igual a 34.6. Traducción: 3m + 2.8 = 34.6
3m + 2.8 − 2.8 = 34.6 − 2.8
& 3m = 31.8 &
3m 31.8 3 = 3
&
m = 10.6
f) Una cuarta parte de un número menos 0.16 es igual a 2.84. Traducción: 1 4 p - 0.16 = 2.84
1 4 p - 0.16 + 0.16 = 2.84 + 0.16
&
1 4p=3
&
1 3 4p 1 = 1 4 4
&
12 p = 1 = 12
Material para apoyo del docente prohibida 117 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊
Plantea la expresión algebraica que represente cada caso y determina su solución.
a) Nancy compró tres boletos para ver una película en una sala de un cine. Cada uno de ellos tiene el mismo costo, sin embargo, la persona que atiende la taquilla comentó que, por promoción, cada boleto tiene un descuento de 12 pesos. Si Nancy pagó en total $132.00, ¿cuál sería el costo de un boleto sin el descuento? La ecuación que representa al problema es: 3x − 36 = 132. Al resolverla nos queda: 3x − 36 + 36 = 132 + 36
&
3x = 168
&
3x 168 3 = 3
&
x = 56
El valor de x representa el costo de cada boleto.
b) Ernesto obtuvo cinco veces más puntos que su hermano Enrique al participar en un juego. Si Ernesto logró 90 puntos, ¿cuántos puntos de diferencia hay entre el puntaje de los dos hermanos? La ecuación que representa al problema es 5t = 90. Al resolverla nos queda:
Material para apoyo del docente prohibida & su reproducción parcial o total t = 18
5t 90 5 = 5
La diferencia entre los puntos que obtuvieron los dos hermanos es 72, dado que 90 − 18 = 72.
c) Una empresa repartió entre sus cuatro empleados, de acuerdo con los años que lleva laborando cada uno, un bono de $5000.00. ¿Qué cantidad le tocó a la cuarta persona si las primeras tres personas recibieron un total de $4375.00? La ecuación que representa al problema es x + 4375 = 5000. Al resolverla nos queda:
x + 4375 − 4375 = 5000 − 4375
&
x = 625
Material para apoyo del docente prohibida 118 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Un tinaco contiene 450 litros, cantidad que representa 22.5 veces más del agua que contiene un garrafón. ¿Cuál es la capacidad del garrafón? La ecuación que representa al problema es 22.5r = 450. Al resolverla nos queda: 22.5r 450 22.5 = 22.5 & r = 20 El valor de r representa la capacidad, en litros, de un garrafón.
e) E l lado de un octágono regular mide 55 cm, medida que representa cinco veces la altura de un triángulo isósceles que tiene una base de 23.5 cm. ¿Cuál es el área del triángulo? La ecuación que representa al problema es 5h = 55. Al resolverla nos queda:
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5h 55 5 = 5 & h = 11
La longitud de la altura es igual a 11 cm, por lo que el área del triángulo es igual a 2 23.5 cm # 11cm 258.5 cm 2 = = 129.25 cm 2 2
f) En una urna hay 16 pelotas, y todas se encuentran etiquetadas: 4 con la letra A, 4 con la literal B, 4 con la letra C, 3 con la letra D, y una con la ecuación 4 t + 3.1 = 257 , cuya solución representa una letra del abecedario. 7 70 Si cada letra, de acuerdo con su posición en el alfabeto, asume uno de los siguientes números: 1, 2, 3 y 4, ¿qué pelota es más posible que obtenga una persona si decide extraer sin ver una de las 16 pelotas que hay en la urna?
Al resolver la ecuación
4 257 nos queda: 7 t + 3.1 = 70
4 31 31 257 31 7 t + 10 - 10 = 70 - 10 &
4 4 7t= 7 &
4 4 7t 7 4 = 4 & 7 7
t=1
El valor de t es igual a 1, que representa a la letra A, por lo que es más posible obtener una pelota etiquetada con la letra A.
Material para apoyo del docente prohibida 119 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 3.4 Profundiza su reproducción parcial o total ◊
Lleva a cabo lo que se indica para determinar la solución a cada planteamiento.
a) Obtén el valor de las literales en las siguientes tres ecuaciones, y determina el máximo común divisor de los números resultantes. x + 14.5 = 22.5
1.75c = 105
x + 14.5 − 14.5 = 22.5 − 14.5 x=8
1.75c 105 1.75 = 1.75 c = 60
2.85k + 10.8 = 45 2.85k + 10.8 − 10.8 = 45 − 10.8 2.85k = 34.2 2.85k 34.2 2.85 = 2.85 k = 12
8 4 2 1 1 1
60 12 30 6 15 3 15 3 5 1 1 1
2 2 2 3 5
El máximo común de los números 8, 60 y 12 es 4. b) Si el área de un pentágono regular es de 35.625 cm2, y uno de sus lados mide 5.7 cm, ¿cuál es la longitud de su apotema? Y al resolver la ecuación: Pa Entonces Se sabe que la expresión 2 =A (28.5) (a) nos permite determinar el área del = (35.625) (2) (2) 2 polígono regular, por lo que: (28.5) (a) = 35.625 28.5a = 71.25 2 (5.7) (5) (a) 28.5a 71.25 = 35.625 28.5 = 28.5 2
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total El valor de a representa la longitud de la apotema.
a = 2.5 cm
c) La longitud de uno de los lados de un terreno rectangular (R) es igual a tres veces la medida del lado de otro terreno (M), que es igual a 12 metros. ¿Cuál es la medida del otro lado del terreno R si su área es igual 640.8 metros cuadrados? M
a
b
R
Si a = 12 metros, entonces 3a es igual a 36 metros. Tomando en cuenta lo anterior, el lado m del 3a rectángulo R es igual a 17.8 metros, ya que:
(36) (m) = 640.8 36m = 640.8 36m 640.8 36 = 36 m = 17.8
m d) Construye un triángulo considerando que las soluciones de las siguientes ecuaciones representan las medidas, en centímetros, de los lados de la figura. s − 4.56 = 2.44 s − 4.56 + 4.56 = 2.44 + 4.56 s = 7 cm
8.9t = 44.5 8.9t 44.5 8.9 = 8.9 t = 5 cm
2.53b − 1.25 = 24.05 2.53b − 1.25 + 1.25 = 24.05 + 1.25 2.53b = 25.3 2.53b 25.3 2.53 = 2.53 b = 10 cm
A
Material para apoyo del docente prohibida 120 su reproducción parcial o total C
B
Material para apoyo del ydocente prohibida Tema: Figuras cuerpos Contenido 4 su reproducción parcial o total 4.1 Ángulo central
El ángulo central de un polígono regular es aquel cuyo vértice está en el centro de una circunferencia. Todos los ángulos centrales tienen la misma medida. Para construir un polígono regular, por ejemplo, de diez lados mediante un ángulo central, primero se divide el vértice del ángulo de 360°, que es el centro del círculo, entre el número de lados del polígono que se quiera obtener. 36° 36° 36°
36°
36°
36° 36°
36° 36° 36°
36°
Después, con un compás, se trazan arcos de amplitud igual a la de uno de los ángulos centrales, para dividir a la circunferencia en el número de lados del polígono deseado, y finalmente unir los puntos de intersección. ◊
Construye un polígono regular con base en la medida central que se te proporciona.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
a)
45°
36°
d)
b)
40° 30°
Material para apoyo del docente prohibida 121 su reproducción parcial o total
Material para apoyo docente prohibida 4.2 Ángulodel interior su reproducción parcial o total El ángulo interior de un polígono regular es aquel que se forma por dos de sus lados contiguos. La suma de los ángulos interiores puede obtenerse mediante el trazo de las diagonales desde un solo vértice y multiplicando el número de triángulos que se forman por 180°, que es la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
α = 108°
Ángulo interior es aquel que se forma por dos de sus lados contiguos.
La suma de los ángulos interiores es 3 × 180°= 540°.
D
E
Para construir un polígono regular, conociendo su ángulo interior, se apoya el centro del transportador, en este caso, sobre el extremo C del segmento BC, para trazar otro ángulo interior BCD del polígono, y en lo sucesivo, otro lado de longitud CD. Este procedimiento se lleva a cabo hasta obtener el polígono deseado.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total F
C
120° A
◊
B
Construye un polígono regular con base en la medida de uno sus ángulos interiores.
a)
b)
C
C
D
90°
60°
Material para apoyo del docente prohibida 122 su reproducción parcial o total A
B
A
B
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
F
d)
E
F
G
E
D
G
H
H
C
D
C
I
135°
140° B
A
B
A
4.3 Medida de un lado Para construir un polígono regular basta con conocer la longitud de uno de sus lados, y contar con las herramientas necesarias para ejecutar trazos. Triángulo equilátero. Se representa un segmento AB, que es el lado a del triángulo. Desde los puntos A y B, se trazan arcos con un compás de abertura igual a la longitud a. Se une con los extremos del segmento A y B el punto de intersección C que hay entre los arcos, para formar el triángulo equilátero.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total C
A
B
a
A
a
C
B
A
B
a
Cuadrado. En un segmento AB, que representa el lado a de un cuadrado, se trazan por sus extremos rectas perpendiculares. Se dibujan dos arcos a partir de A y B con una abertura del compás igual a la longitud a, para que éstos intersequen con las rectas. Se unen los puntos obtenidos, es decir, C y D con A y B, para formar el cuadrado.
D
C
C
Material para apoyo del docente prohibida 123 su reproducción parcial o total A
a
B
A
a
B
A
a
B
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Pentágono regular. Considerando que el segmento AB es el lado a de un pentágono, se alza una recta perpendicular desde B y se traza un arco de radio a con centro en B. Posteriormente, se traza la mediatriz del segmento AB, y se prolonga el lado a para marcar un arco con centro en O y radio OF que interseque en G de la parte prolongada. Se dibuja un arco de radio AG que interseque con el primer arco trazado y la mediatriz para obtener los vértices C y D del polígono. Se trazan arcos de longitud a con centros en D y A para conseguir el punto E. Finalmente, se unen todos los puntos. Hexágono regular.
D
F
F
A
a
B
a O
A
F
E
G
B
A
a
O
C
B
G
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Se construye un segmento AB, que no es más que el lado a de un hexágono. Después, se trazan dos circunferencias de radio igual al segmento AB, teniendo como centro los extremos del segmento, con el fin de obtener los vértices C y F del polígono, que serán los puntos de otra circunferencia con centro en M y de radio igual al lado a. Enseguida, apoyando la punta del compás en C y F, se trazan dos arcos para conseguir los vértices restantes. Por último, se unen los vértices para formar el hexágono.
E
M
F
A
a
B
A
a
C
B
D
M
F
A
a
C
B
Material para apoyo del docente prohibida 124 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊
Construye un polígono regular con base en los datos que se te ofrecen.
a) La medida de uno de los lados de un polígono regular de tres lados es igual a 2.9 cm. C
2.9 cm
A
B
b) La longitud de uno de los lados de un polígono regular de cuatro lados es igual a 1.7 cm.
D
A
C
1.7 cm
B
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Un lado de un pentágono regular mide 2.3 cm.
D
C
E
A
2.3 cm
B
d) La medida de uno de los lados de un polígono regular de seis lados es igual a 2.4 cm. E
D
F
C
Material para apoyo del docente prohibida 125 su reproducción parcial o total A
2.4 cm
B
Material paraentre apoyo del dedocente prohibida 4.4 Relación los elementos la circunferencia y el polígono inscrito en ella su reproducción parcial o total Hay ciertos elementos que forman a toda circunferencia, y todos ellos mantienen una estrecha relación con los elementos de un polígono regular, por ejemplo, el ángulo central, la apotema, el radio, el centro, la diagonal y el lado. El ángulo central, como bien se describió en temas anteriores, tiene como vértice el centro de la circunferencia, y sus lados forman dos vértices del polígono regular, que también son puntos de la línea curva cerrada. Por otra parte, la apotema de un polígono regular es aquel segmento de recta perpendicular a un lado, cuyos extremos son el punto medio de ese lado y el centro de la circunferencia. El radio de un polígono regular es un segmento de recta de extremos en el centro del polígono y en uno de los vértices del mismo. El centro de un polígono regular representa también el centro de una circunferencia circunscrita que contiene a todos los vértices del polígono. La diagonal de un polígono regular es un segmento de recta que une a dos vértices no consecutivos del polígono, y en la circunferencia representa a una de sus cuerdas. Por último, el lado de un polígono regular es un segmento de recta que une a dos vértices consecutivos de un polígono, y es a la vez una cuerda de la circunferencia.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Los ángulos EOF, FOG, GOH y HOA son centrales. La apotema es el segmento OP. Los radios son los segmentos EO, FO, GO, HO y AO. Por otra parte, el centro es O. La diagonal del polígono es el segmento AE, que es una cuerda de la circunferencia denominada diámetro. Además, BC es el lado del octágono regular que representa otra cuerda más de la circunferencia.
E
F
diámetro radio apotema
G
D
O
H
C
P A
B
Material para apoyo del docente prohibida 126 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 4.5 Profundiza su reproducción parcial o total ◊
Sigue las indicaciones que se te dan en cada caso.
a) Construye un hexágono con base en la siguiente circunferencia. B M C
Primero se localizan tres puntos (A, M y N) cualesquiera en la circunferencia. Se unen AM y MN para obtener segmentos y trazarles su mediatriz, y así hallar el centro.
A
N
60°
O
D
Luego, se divide 360 grados entre seis, que es el número de lados que se desea obtener, y se dibujan arcos sobre la circunferencia con un compás con abertura igual a 60 grados. Finalmente, se unen los puntos resultantes.
F
E b) Construye un polígono regular con la siguiente información: la suma de sus ángulos interiores es igual a 540°, y uno de sus lados es igual al segmento AB. D
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total F
E
A
a
O
B
C
G
c) Construye un polígono de cuatro lados teniendo en cuenta que el diámetro de la circunferencia representa la diagonal de ese polígono. D A
Se traza la mediatriz del segmento AB para hallar los otros dos vértices (C y D) del cuadrado y, finalmente, unir todos los puntos. C
Material para apoyo del docente prohibida 127 su reproducción parcial o total B
Material para apoyo del docente prohibida Tema: Medida Contenido 5 parcial o total su reproducción 5.1 Resolución de problemas
◊
Encuentra la solución a los siguiente planteamientos.
a) El área del triángulo inscrito al polígono regular es de 3.36 cm2, y su altura es igual a 3.2 cm. ¿Cuál es el perímetro del pentágono regular? Para calcular la medida de uno de los lados del pentágono se emplea la expresión, Bh 2 = A , ya que nos interesa conocer la base del triángulo: (B) (3.2) 3.2B 3.2B 6.72 = 3.36 ( (2) 2 = (3.36) (2) ( 3.2B = 6.72 ( 3.2 = 3.2 ( B = 2.1 2 El perímetro del polígono es igual a 10.5 cm: 5 × 2.1 = 10.5 b) ¿Cuál será la medida de uno de los lados del segundo heptágono si se sabe que su perímetro es tres veces más grande que el del primer polígono, que tiene un área de 51.8 cm2 y un apotema de 3.7 cm?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Primer heptágono
Segundo heptágono
Cálculo de uno de los lados del primer polígono:
(P) (3.7) 3.7P 3.7P 103.6 = 51.8 ( (2) 2 = (51.8) (2) ( 3.7P = 103.6 ( 3.7 = 3.7 ( P = 28 2 28 P representa el perímetro, por lo que cada lado mide 4 cm: 7 = 4 Luego, si el perímetro del segundo heptágono es tres veces mayor que el del primer polígono, se tiene que su lados también son tres veces más grandes. Esto quiere decir que: 4 cm × 3 = 12 cm
c) Determina la longitud de la base del rectángulo considerando que su área es igual 19.98 cm2 y el radio de la circunferencia mide 1.85 cm? Si el radio de la circunferencia mide 1.85 cm, entonces el diámetro es igual a 3.7 cm, que es la medida de la altura del rectángulo. La longitud de la base es 5.4 cm, y se calcula de la siguiente forma: 3.7B 19.98 (B) (3.7) = 19.98 ( 3.7 = 3.7 ( B = 5.4
Material para apoyo del docente prohibida 128 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) ¿Cuál será la longitud del lado b del rectángulo si se sabe que su área mide 14.79 cm2 y que el hexágono regular que lo circunscribe tiene una apotema de 2.5 cm y un área igual a 21.75 cm2? (P) (2.5) Pa Si 2 = A , entonces = 21.75 que al resolver 2 queda:
(2) a O b
(P) (2.5) k = (21.75) (2) & 2 (P) (2.5) = 43.5 (P) (2.5) = 43.5 2 P = 17.4 cm
Se divide el valor de P, que es perímetro, entre 6, ya que interesa el valor de uno de los lados.
Por lo que la medida de uno de los lados del rectángulo también es igual a 17.4 ÷ 6 = 2.9 Se sabe que A = bh por lo que 14.79 = (2.9) (b). Al resolver esto tenemos que: 14.79 2.9 b 2.9 = 2.9 5.1= b e) El área del triángulo que se observa es de 2.875 cm2. ¿Cuál es el área del polígono regular de seis lados si se sabe que su apotema es igual a 2.3 cm? Bh Si la expresión 2 = A es empleada para obtener el área del triángulo, entonces podemos sustituir los valores que se tienen en la expresión para resolverla:
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total (B) (2.3) (B) (2.3) = 2.875 ( (2) ( ) = (2.875) (2) 2 2
A
2.3B 5.75 (B) (2.3) = 5.75 ( 2.3 = 2.3 ( B = 2.5 cm Si el valor de B representa la longitud del lado del hexágono, entonces su área es igual a 17.25 cm2:
P
(6) (2.5) (2.3) (15) (2.3) 34.5 = = 2 = 17.25 cm 2 2 2 f) E l lado de un octágono regular es igual al resultado, en centímetros, de la ecuación 2x − 3.3 = 0.9, mientras que su área es igual a 21 cm2. ¿Cuál es el valor de su apotema? Al resolver la ecuación, nos queda: 2x 4.2 2x - 3.3 + 3.3 = 0.9 + 3.3 ( 2x = 4.2 ( 2 = 2 ( x = 2.1 Se sustituye el valor obtenido y el valor del área del polígono en la expresión Pa para averiguar la medida de la apotema: 2
(8) (2.1) (a) 16.8a 16.8a 16.8a 4 = 21 ( 2 = 21 ( (2) ( 2 ) = (21) (2) ( 16.8a = 42 ( 16.8 = 1 2
) (a)
= 21 (
16.8a 16.8a 16.8a 42 2 = 21 ( (2) ( 2 ) = (21) (2) ( 16.8a = 42 ( 16.8 = 16.8 ( a = 2.5
Material para apoyo del docente prohibida 129 su reproducción parcial o total 2x − 3.3 = 0.9
Material para apoyo del docente prohibida 5.2 Profundiza su reproducción parcial o total ◊
Resuelve los siguientes problemas.
a) El área del triángulo isósceles que forman los tres puntos de igual a 7.6 cm2, mientras que su base es igual 4 cm. ¿Qué tan grande es el área del cuadrado con respecto al triángulo equilátero si la longitud del radio de la circunferencia es igual a 3 cm? Bh Teniendo en cuenta que con 2 = A se puede calcular cualquiera de las variables que intervienen en la fórmula, en especial la altura del triángulo isósceles: (4) (h) 4h 2 = 7.6 ( (2) ( 2 ) = (7.6) (2) ( 4h = 15.2 4h 15.2 ( 4 = 4 ( h = 3.8 cm La altura del triángulo equilátero es igual a la longitud del radio de la circunferencia más la longitud del triángulo isósceles, por lo que su área es igual a 13.6 cm2: (4) (6.8) 27.2 = 2 = 13.6 cm 2 2 Por otra parte, el área del cuadrado es 2.4 mayor que la del triángulo, dado que: 16 − 13.6 = 2.4
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) E l área del hexágono regular más grande es de 12.54 cm2, y sus lados tienen una longitud de 2.2 cm. ¿Cuál es el área del hexágono regular más pequeño si se tiene conocimiento de que su apotema es igual a 1.6 cm?
Pa Teniendo en cuenta que con 2 = A se puede calcular cualquiera de las variables que intervienen en la fórmula:
1.6 cm
(2.2) (6) (a) (13.2) (a) 13.2a = 12.54 ( = 12.54 ( (2) ( 2 ) = (12.54) (2) ( 2 2 13.2a 25.08 13.2a = 25.08 ( 13.2 = 13.2 ( = 1.9 cm El valor encontrado representa la apotema del hexágono mayor, pero también el radio de la circunferencia y del hexágono más pequeño, por lo que el lado de este último es de 1.9 cm. Se sabe que 1.6 cm es la apotema del hexágono pequeño, por lo que su área es igual a 9.12 cm2: (1.9) (6) (1.6) 18.24 = 2 = 9.12 cm 2 2
Material para apoyo del docente prohibida 130 su reproducción parcial o total
Material paraTema: apoyo del docente Proporcionalidad y funciones prohibida Contenido 6 su reproducción parcial o total 6.1 Dos constantes de proporcionalidad 1
Existen dos tipos de microscopio: fotónico simple y fotónico compuesto; ambos emplean la luz como fuente de energía. El microscopio fotónico compuesto consta de varios componentes, entre ellos la platina, que es el lugar por donde pasa la luz del sistema de iluminación y donde se coloca el portaobjetos con la muestra a observar. El ocular es un lente que se coloca en el ojo, y ayuda a captar y ampliar la imagen formada en los objetivos (primero la lente del objetivo amplia la imagen, y después lo hace la lente ocular). Imagina que sobre la platina se coloca un portaobjetos que tiene en su superficie a un nematodo macho (Trichinella spiralis: gusano de cuerpo alargado y cilíndrico que al estar en el cuerpo del ser humano ocasiona malestares en el estómago, dolores de cabeza, náuseas, entre otros síntomas) de 40 μm (micrómetros) de diámetro para ser analizado. ¿De cuántos micrómetros se observará el diámetro del nematodo si el objetivo y el ocular fueron modificados para ampliar 10 y 20 veces su tamaño?
Ocular Tubo
Tornillo macrométrico Brazo
Revólver
Tornillo micrométrico
Objetivo Pinzas
Platina Condensador
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Para responder la pregunta, primero se multiplica la medida real por 10, y el resultado se multiplica por 20: 40 μm × 10 = 400 μm 400 μm × 20 = 8000 μm ◊
Base
El diámetro del nematodo se observará en el microscopio de 8000 μm
Resuelve los siguientes planteamientos.
a) La bacteria Haemophilus influenzae mide 0.25 × 1.2 mm, y produce casos severos de infecciones del tracto respiratorio. Asimismo, a esta bacteria también se la considera causa de neumonía. ¿De qué tamaño se observará en el microscopio esta bacteria si el objetivo y el ocular fueron modificados para ampliar 2.5 y 5 veces su tamaño?
Las medidas de la bacteria serán las siguientes: 3.125 × 15 mm 0.25 mm × 2.5 = 0.625 mm 0.625 × 5 = 3.125 mm
1.2 mm × 2.5 = 3 mm 3 mm × 5 = 15 mm
Material para apoyo del docente prohibida 131 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Gabriela quiere hacer, por medio del desarrollo plano de cubos, tres dados de papel. ¿Cuáles serán las medidas de los primeros desarrollos planos, sin contar las pestañas, si los factores de proporcionalidad que se aplicaron de manera consecutiva para obtener las medidas de los lados fueron 3 y 2? El segundo dado tendrá medidas de 4.5 cm: 1.5 cm × 3 = 4.5 cm
1.5 cm
Las medidas del tercer dado serán de 9 cm: 4.5 cm × 2 = 9 cm
c) Un carpintero necesita hacer dos marcos para colocar fotos con base en un marco de 12 cm × 15 cm que el cliente le entregó. Las medidas del primer cuadro están en función de la aplicación del factor de proporcionalidad 3 , y las del segundo se determinarán de acuerdo con las medidas del primero y el factor de proporcionalidad 7. 4 ¿Cuáles son las medidas de los marcos que tiene que elaborar el carpintero?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total El medidas del primer marco serán 9 × 11.25 cm, ya que: 3 12 cm # 4 = 9
3 15 cm # 4 = 11.25 cm Las medidas del segundo marco serán 63 × 78.75 cm, ya que: 9 cm × 7 = 63 cm 11.25 cm × 7 = 78.75 cm
6.2 Dos constantes de proporcionalidad 2 ¿De cuántos micrómetros se observará en el microscopio la longitud de uno de los 11000 huevos, que deposita un nematodo (parásito que únicamente se hospeda en el ser humano) si se sabe que cada huevo mide 45 μm y que el objetivo y el ocular fueron modificados para ampliar 2.5 y 8 veces el tamaño de las muestras? Para responder la pregunta, primero se multiplica la medida real por 2.5, y se multiplica el resultado por 8: 45 μm × 2.5 = 112.5 μm 112.5 μm × 8 = 900 μm
La longitud del nematodo se observará de 900 μm en el microscopio.
Una manera de reducir el proceso para obtener las magnitudes finales al aplicar de manera consecutiva los factores de proporcionalidad es multiplicar las constantes de proporcionalidad que intervienen en la situación y, después, multiplicar el resultado por las medidas originales. 2.5 × 8 × 45 μm = 900 μm
Material para apoyo del docente prohibida 132 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊
Encuentra la solución a cada uno de los siguientes problemas.
a) En la siguiente ilustración se muestran las medidas de una figura. Si a la figura se le aplican, de manera consecutiva, dos factores de proporcionalidad: 4 y 1 , ¿cuáles serán las medidas de la figura resultante? 4
4.5 cm
7 cm
4 cm 9 cm
5 cm 2 cm
1 4 # 4 # 9 cm = 9 cm 1 4 # 4 # 4.5 cm = 4.5 cm 1 4# 4 1 4# 4 1 4# 4 1 4# 4
# 7 cm = 7 cm # 4 cm = 4 cm # 5 cm = 5 cm # 2 cm = 2 cm
b) En una papelería tienen diferentes tamaños de mapas. Uno de ellos mide 8 × 12.5 centímetros, mientras que las medidas de otro mapa son producto de haber aplicado, sucesivamente, los factores de proporcionalidad 1.3 y 2. ¿Cuáles son las medidas del mapa resultante?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Las medidas del mapa resultante son 20.8 × 32.5 cm: 1.3 × 2 × 8 cm = 20.8 cm
1.3 × 2 × 12.5 cm = 32.5 cm
1 c) Mario obtuvo un bono de puntualidad de $600.00. Si de este dinero decidió entregar a su hijo 3 parte, y éste 1 invirtió 5 parte en comprar un boleto de entrada al cine, ¿cuánto costó el boleto de entrada al cine?
1
El boleto tuvo un costo de $40.00:
1
1 1 1 600 3 # 5 # 600 = 15 # 600 = 15 = 40
Material para apoyo del docente prohibida 133 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Un alumno de arquitectura hizo un plano de su casa de medidas 20 cm × 30 cm. Si quiere ampliarlo para mostrarlo en su clase, ¿cuáles serán las medidas del plano si aplica, sucesivamente, los factores de proporcionalidad 5 y 6 5? 30 cm
Las medidas del nuevo plano serán 120 cm × 180 cm: 6 5 # 5 # 20 cm = 120 cm 6 5 # 5 # 30 cm = 180 cm
20 cm
6.3 Profundiza
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊
Resuelve los siguientes problemas.
a) Construye un pentágono regular teniendo en cuenta que las longitudes de sus lados son el resultado de aplicar sucesivamente los factores 3 y 1.5 a una de las medidas del polígono regular que enseguida aparece.
3 × 1.5 × 0.6 cm = 2.7 cm La medida del lado del polígono que se construyó es 2.7 cm. 0.6 cm
2.7 cm b) En un grupo de primero de secundaria hay 30 alumnos; 1 de cada 5 alumnos sabe tocar guitarra, y de esa can1 tidad de alumnos que saben tocar guitarra, 6 parte practica karate. ¿Cuántos alumnos practican este deporte? Sólo una persona practica karate: 1 1 1 30 5 # 6 # 30 = 30 # 30 = 30 = 1
Material para apoyo del docente prohibida 134 su reproducción parcial o total
Material para Tema: apoyo delde docente Nociones probabilidad prohibida Contenido 7 su reproducción parcial o total 7.1 Anticipación de resultados
Un experimento o fenómeno aleatorio es aquel en el que, bajo las mismas condiciones, no se puede asegurar el resultado que se presentará. Por ejemplo, al lanzar un dado de seis caras, todas ellas etiquetadas con los números del uno al seis, no existe certeza de qué cara se va obtener; no obstante, se sabe que el espacio muestral (Ω) es 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y la cara que saldrá está en ese rango. ◊
Lee cada una de las situaciones y responde las preguntas.
a) Una tómbola está repleta de boletos numerados del 1 al 100. ¿Qué es más posible obtener si se saca un boleto, un número primo o uno par? Explica tu respuesta. Es más posible obtener un número par, dado que del 1 al 100 hay más números pares que primos.
b) En una urna hay 20 pelotas etiquetadas con los números del 1 al 20. ¿Qué es más posible obtener si se saca una pelota, una etiquetada con un múltiplo de 3 o una con un múltiplo de 4? Explica tu respuesta.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Es más posible obtener una pelota marcada con un múltiplo de 3 que de 4, ya que en la urna hay más pelotas etiquetadas con múltiplos de 3.
c) En una máquina expendedora de muñecos hay peluches de varios animales: 2 changos, 3 serpientes, 8 conejos, 13 avestruces, 3 tortugas y 9 koalas. Suponiendo que al insertar un billete de $50.00 en la ranura de la máquina obtienes un crédito para que las pinzas capturen al azar un peluche, ¿qué es más posible que las pinzas agarren, un peluche de un animal vivíparo o de uno ovíparo? Explica tu respuesta. Existe la misma posibilidad de que las pinzas agarren a un animal ovíparo que uno vivíparo.
d) En una caja que contiene 200 focos, 1 son rojos, 1 son azules y el resto, amarillos. ¿Qué es más posible 10 8 obtener si se saca un foco al azar, uno azul o uno rojo? Explica tu respuesta. Es más posible obtener focos azules que rojos, puesto que hay más focos azules (25) que rojos (20).
Material para apoyo del docente prohibida 135 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 7.2 Realización de un experimento y registro de resultados en una tabla de frecuencias su reproducción parcial o total ◊
Si se lanza una moneda 50 veces, ¿qué es más posible que caiga, águila o sol? Explica tu respuesta. Existe la misma posibilidad de que salga águila o sol, ya que sólo hay esas dos caras (dos posibles resultados).
a) ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento? El espacio muestral (Ω) es = {águila, sol}
b) Junto con un compañero, lancen una moneda cada uno 25 veces de manera alternada, y registren sus resultados en la siguiente tabla de frecuencias, colocando ω1 si se obtuvo águila y ω2 si fue sol. Resultado
Yo
Águila Sol Resultado
Mi compañero
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Águila Sol
Los resultados dependen de lo que haya obtenido el alumno.
•
¿Qué cara de la moneda obtuviste con mayor frecuencia? La respuesta está en función de los resultados que haya obtenido el alumno.
•
¿Qué cara de la moneda obtuvo tu compañero con mayor frecuencia? La respuesta depende de los resultados que haya obtenido el alumno.
•
Reúnanse con otros cuatro compañeros, junten sus resultados hasta reunir un total de 150 lanzamientos, sumen las frecuencias obtenidas y comparen con qué frecuencia salieron las caras sol y águila. ¿Cómo son los resultados? Los resultados tienen una tendencia a parecerse, dado que tienen la misma posibilidad de presentarse ambas caras.
•
¿Qué crees que pase si nuevamente todos tus compañeros deciden realizar el experimento? Los resultados tendrán la misma tendencia; aunque seguramente serán distintos.
Material para apoyo del docente prohibida 136 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 7.3 Profundiza su reproducción parcial o total ◊
Resuelve cada uno de los problemas que se plantean a continuación.
a) Por promoción, una fábrica ha colocado un conjunto de piezas para armar un juguete en el interior de cada chocolate con forma de balón de futbol. Entre los juguetes que hay dentro de los balones hay dragones ver1 des, amarillos y dinosaurios. Si por cada 100 chocolates que se empaquetan en una caja 4 parte contiene 3 1 dragones verdes, 5 parte dragones amarillos y 20 albergan dinosaurios, ¿qué es más posible obtener al abrir los chocolates de una caja, un dragón o un dinosaurio? Explica tu respuesta. Es más posible obtener un dragón, ya que hay más dragones en una caja que dinosaurios. b) Si se hace girar una pirinola, ¿qué cara es más posible que se presente, “Toma todo”, “Todos ponen”, “Toma uno”, “Toma dos”, “Pon uno” o “Pon dos”? Todas las caras tienen la misma posibilidad de presentarse. •
¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?
El espacio muestral es: Ω = {toma todo, todos ponen, toma uno, toma dos, pon uno, pon dos}
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total •
Hagan equipos de seis personas para hacer girar una pirinola 60 veces; pero antes de cada intento, predigan cuál de las seis caras (“Toma todo”, “Todos ponen”, “Toma uno”, “Toma dos”, “Pon uno” y “Pon dos”) se va a presentar con mayor frecuencia. Registren sus predicciones en la primera tabla, y en la segunda los resultados del experimento.
Nombre del participante
Predicción
Resultado
Número de veces que salió la cara
Total de veces
Toma todo Todos ponen Toma uno Toma dos Pon uno Pon dos Los resultados dependen de lo que haya obtenido el alumno. •
¿Quién acertó en sus predicción?
La respuesta depende de los resultados que se hayan obtenido. •
¿Qué cara de la pirinola se obtuvo con mayor frecuencia?
La respuesta está en función de los resultados que haya obtenido el alumno.
Material para apoyo del docente prohibida 137 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total • ¿Ganará la misma persona si nuevamente deciden realizar el experimento? Explica tu respuesta. No, ya que los eventos son independientes.
• Ocupa la información que recabaste en la tabla anterior para completar los espacios de la siguiente, teniendo en cuenta que en la segunda fila se debe escribir una fracción que relacione el número de veces que salió una cara con el total de veces que se hizo girar la pirinola. Cara
Toma todo
Todos ponen
Toma uno
Toma dos
Pon uno
Pon dos
Fracción • ¿Cómo son los resultados? Los resultados tienen una tendencia a parecerse, ya que todas las caras tienen la misma posibilidad de presentarse. • Si se hace girar la pirinola otras 60 veces, ¿cómo serán las fracciones que se obtengan? Los fracciones serán cada vez más parecidas.
Tema: Análisis y representación de datos Contenido 8 Material para apoyo del docente prohibida 8.1 Frecuencia absoluta y relativa su reproducción parcial o total La frecuencia indica el número de veces que se presenta un evento, y se puede representar en tablas como frecuencia absoluta o relativa. A este tipo de tablas recurren investigadores de diversas áreas, así como instituciones de salud, transporte, entre otras. Julián hizo en su salón de clase una encuesta enfocada a conocer qué sitios de Internet ocupan más los niños de sexto grado de una escuela. Para organizar la información obtenida, Julián empleó la siguiente tabla. Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Facebook
20
50.0%
Twitter
5
12.5%
Youtube
10
25.0%
Google más
3
7.5%
Flickr
2
5.0%
40
100.0%
Sitio de Internet
La tabla indica que la mayor parte de los niños que fueron encuestados visitan más Facebook, puesto que la frecuencia absoluta y la relativa de esta opción tienen valores superiores al resto. Para obtener la frecuencia relativa basta con aplicar a los valores de la columna Frecuencia absoluta el factor de proporcionalidad 100 = 2.5: 40 20 × 2.5 = 50
5 × 2.5 = 12.5
10 × 2.5 = 25
3 × 2.5 = 7.5
2 × 2.5 = 5
Material para apoyo del docente prohibida 138 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊
Lee cada una de las situaciones que se describen y responde las preguntas.
a) Tadeo y cinco amigos han lanzado varias veces un dado de seis caras marcadas con puntos que representan los siguientes números: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Parte de la información que recabaron se encuentra en la siguiente tabla, que es necesario que completes. Número de puntos en el dado
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
1
12
15.00%
2
15
18.75%
3
15
18.75%
4
13
16.25%
5
13
16.25%
6
12
15.00%
80
100.00%
• ¿Qué factor de proporcionalidad empleaste para averiguar la frecuencia relativa de cada uno de los datos? El factor es 1.25 • ¿Cuántos lanzamientos efectuaron Tadeo y sus cinco amigos? Efectuaron 80 lanzamientos. • ¿Qué cara del dado salió con más frecuencia? La cara que tiene 2 y 3 puntos. • ¿Qué porcentaje del total representan las caras que salieron con menor frecuencia? Representan el 30%.
Totales
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Un profesor de Educación física pretende tener a las mejores jugadoras de voleibol de primer grado para formar una selección que los represente en el torneo estatal; pero tenía un inconveniente, faltaba elegir a la persona que representaría al equipo. Para resolver esta situación, el profesor pasó a todos los salones de primer grado y puso a votación quién de las cinco candidatas merecía el puesto de capitana. Parte de los datos obtenidos por el profesor se encuentran en la siguiente tabla. Completa los espacios vacíos. Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Luisa
34
21.25%
Jesica
22
13.75%
Guadalupe
28
17.50%
Denis
32
20.00%
Laura
44
27.50%
160
100.00%
Candidata
Totales
• ¿Qué factor de proporcionalidad empleaste para averiguar la frecuencia relativa de cada uno de los datos? El factor de proporcionalidad empleado fue 0.625 • Explica cómo determinaste la frecuencia absoluta conociendo la frecuencia relativa. Se dividió la frecuencia relativa de un dato entre el factor de proporcionalidad encontrado. • ¿Qué candidata fue la elegida para representar al equipo? Laura fue elegida como capitana de la selección.
• ¿Quién obtuvo el porcentaje más bajo en las votaciones? Jesica consiguió menos votos. • ¿Cuántas personas votaron en total? Votaron 160 personas.
Material para apoyo del docente prohibida 139 su reproducción parcial o total
Material para relativa: apoyo del decimal docente prohibida 8.2 Frecuencia fracción, y porcentaje su reproducción parcial o total Existen diversas maneras de representar la frecuencia relativa: fracción, decimal y porcentaje. Para obtener la fracción, se relaciona la frecuencia con la que se presentó un evento con la frecuencia total. En el caso de la representación decimal, se divide el numerador entre el denominador de la fracción, y el resultado o cociente es el valor que buscamos. Por último, el porcentaje se puede obtener usando el factor de proporcionalidad o multiplicando por 100 el cociente que resulta de la fracción.
Un estudiante de una universidad realizó una encuesta para indagar qué acciones lleva a cabo un individuo cuando presenta algún malestar o síntoma de alguna enfermedad. Uno de los recursos que utilizó el estudiante fue una tabla como la que se muestra a continuación. Acciones que efectúa un individuo
Frecuencia relativa
Frecuencia absoluta
Fracción
Decimal
Porcentaje
Acuden a un médico
36
36 200
0.18
18%
Se automedican
156
156 200
0.78
78%
No toman ningún medicamento
8
8 200
0.04
4%
200
1
1.00
100%
Totales
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Los datos registrados en la tabla indican que 36 de 200 personas que fueron encuestadas acuden al médico, y 78% se automedican. ◊
Lee cada una de las situaciones que se describen y responde las preguntas.
a) Los alumnos de una clase de inglés hicieron una encuesta sobre qué correo electrónico era más utilizado por las personas. Sólo una cantidad de la información que la encuesta arrojó se encuentra en la tabla; complétala y responde las preguntas.
Tipos de correo
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa Fracción
Decimal
Porcentaje
Yahoo
13
13 125
0.104
10.4%
Gmail
48
48 125
0.384
38.4%
Outlook
64
64 125
0.512
51.2%
125
1
1.00
100%
Totales •
¿Qué factor de proporcionalidad empleaste para obtener la frecuencia relativa de los datos faltantes? El factor de proporcionalidad empleado fue 0.8
Material para apoyo del docente prohibida 140 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total • ¿A cuántas personas se encuestaron? Se encuestaron a 125 personas.
• ¿Qué porcentaje de personas prefieren usar una cuenta de Yahoo? El 10.4% de las personas prefieren utilizar este tipo de correo.
• ¿Cuántas personas del total que fueron entrevistadas utilizan el correo de Outlook? Son 64 personas de 125 que emplean este tipo de cuenta de correo.
b) Las edades de los alumnos de un grupo de primer año de una escuela secundaria son: 12, 11, 13, 12, 15, 14, 12, 12, 13, 13, 11, 12, 12, 14, 13, 13, 13, 12, 15, 14, 12, 11, 13, 13, 13, 13, 14, 11, 12, 12, 11 y 11. Organiza los datos en una tabla en la que se muestren las edades, la frecuencia absoluta y la relativa de cada uno de los datos. Edades
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa Fracción
Decimal
Porcentaje
11
6
6 32
0.1875
18.75%
12
10
10 32
0.3125
31.25%
13
10
10 32
0.3125
31.25%
14
4
4 32
0.125
12.50%
15
2
2 32
0.0625
6.25%
32
1
1.00
100%
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Totales •
¿Cuántos alumnos hay en ese grupo? Hay 32 alumnos.
•
¿Qué porcentaje de alumnos tiene 15 años? El 6.25%.
•
¿Cuántos alumnos tienen 12 años? Diez alumnos tienen 12 años.
•
¿Cuál es la frecuencia relativa, expresada como decimal, de los alumnos que tienen 14 años? La frecuencia relativa de los alumnos de 14 años es 0.125
•
¿Qué porcentaje de alumnos tiene 12 y 13 años? Representa el 62.5% del total de los alumnos.
Material para apoyo del docente prohibida 141 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 8.3 Profundiza su reproducción parcial o total En la siguiente tabla se muestra el número de decesos por mordedura de serpientes que ocurren en el mundo por año. Completa los espacios vacíos y responde las preguntas. Frecuencia relativa
Frecuencia absoluta
Fracción
Decimal
Porcentaje
India
11400
11400 32000
0.35625
35.625%
Pakistán
7600
7600 32000
0.2375
23.75%
Birmania
8200
8200 32000
0.25625
25.625%
Estados Unidos
12
12 32000
0.000375
0.0375%
Brasil
4652
4652 32000
0.145375
14.5375%
México
136
136 32000
0.00425
0.425%
1
1.00
100%
Lugar
32000
Totales
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total •
¿Cuál es el número total de defunciones que se presenta en el mundo por mordedura de serpiente por año?
En total son 32 000 decesos.
•
¿Qué país presenta el índice más bajo de muertes por mordedura de serpiente? Estados Unidos.
•
¿Qué porcentaje del total de decesos pertenece a México? Son del total un 0.425%.
•
¿En qué continente se presentan más fallecimientos, y qué porcentaje representa del total? Se presentan más muertes en Asia, y representan el 85%.
Material para apoyo del docente prohibida 142 su reproducción parcial o total
Material para apoyo docente prohibida Ejercicios del de reforzamiento 1. su reproducción parcial o total Lleva a cabo las siguientes operaciones.
a)
b)
d)
26.26
77.52
53.47
23.57
# 3.5
# 7.3 23 256
# 5.2 10 694
# 1.8 18 856
542 64
267 35
23 57
565.896
278.044
42.426
1313 0 7878 91.910
e)
c)
27.35
f)
66.65
# 2.3
g)
12.36
h)
75.23 # 1.3
# 8.4 26 660
# 9.4
54 70
533 20
11124
75 23
62.905
559.860
116.184
97.799
8 205
22 569
4 944
Material para apoyo del docente prohibida 2. su reproducción parcial o total a) b) c) d) Efectúa las siguientes operaciones.
e)
3.5 2.4 8.4 1 20 00
19304 0.25 482600 232 076 0100 00
12.52 3 37.56 07 15 06 0
13.75 2 27.5 07 15 10 0
f)
28 3.4 95.2 27 2 00
g)
962.56 10 9625.6 062 025 05 6 0 60 00
2344.8 2.5 58620 086 112 120 200 00
h)
532410 0.1 532410 03 02 04 01 00 0
Material para apoyo del docente prohibida 143 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 3. su reproducción parcial o total Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.
a) 3x = 7
e)
3 7 3x= 3 7 x= 3
b)
c)
5x = 285
5 285 5x= 5 x = 57
7 63 5x= 5
63 5 7 5 315 x = 35 x=9
7 5 7 x= 5
f)
6.3x = 26.46 6.3 26.46 6.3 x = 6.3 x = 4.2
g)
8x + 2 = 50
8x - 2 = 278
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 8x - 2 + 2 = 278 + 2
8x + 2 - 2 = 50 - 2
8x = 280 8 280 8x= 8 x = 35
8x = 48 8 48 8x= 8 x=6
d)
2 41 7x+3 = 7
2 7x+3-3 = 2 7x= 2 7x=
h)
41 7 -3 41 - 21 7 20 7
2.7x + 2.3 = 21.2
2.7x + 2.3 - 2.3 = 21.2 - 2.3 2.7x = 18.9 2.7 x 18.9 2.7 = 2.7 x=7
20 2 7 7 x = 2 2 7 7 x = 140 14 x = 10
Material para apoyo del docente prohibida 144 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 4. su reproducción parcial o total Traza un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio igual a 3.5 cm.
B Primero se trazó la circunferencia con centro en C y radio igual a 3.5 cm. Luego se obtuvo el ángulo central, dividiendo 360 grados entre el número de lados de la figura inscrita. 360 c 4 = 90c 900 A
C
A partir del centro de la circunferencia medimos un ángulo de 90° con el transportador y nombramos a los extremos de los ángulos A y B. Abrimos el compás de A hasta B y empezamos a trazar arcos (que serán más tarde los vértices del polígono) de manera consecutiva, y después los unimos.
Material para apoyo del docente prohibida 5. su reproducción parcial o total Traza un octágono regular inscrito en una circunferencia, cuyo radio sea igual a 3.4 cm.
Primero se trazó la circunferencia con centro en C y radio igual a 3.4 cm. B
Luego se obtuvo el ángulo central, dividiendo 360 grados entre el número de lados de la figura inscrita. 360c 8 = 45c
450 C
A
A partir del centro de la circunferencia medimos un ángulo de 45° con el transportador y nombramos a los extremos de lo ángulos A y B. Abrimos el compás de A hasta B, y empezamos a trazar arcos (que serán más tarde los vértices del polígono) de manera consecutiva y después los unimos.
Material para apoyo del docente prohibida 145 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 6. su reproducción parcial o total Determina la medida del apotema de un pentadecágono, sabiendo que tiene un área igual a 95.15 in y el perímetro es igual a 34.8 in.
Pa A= 2 ^34.8 in h^a h 95.15 in 2 = 2 2 ^95.15 in h^2 h = ^34.8 in h^a h
Área = 95.15 in2
190.3 in 2 34.8 in = a 5.47 in . a
Perímetro = 34.8 in 7. Determina el perímetro de un heptágono cuya apotema es igual a 2.88 dm y área igual a 28.05 dm2.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Pa A= 2
^P h^2.88 dm h 2 ^ 28.05 dm 2 h^2 h = ^P h^ 2.88 dm h 28.05 dm 2 =
Área = 28.05 dm2
56.10 dm 2 2.88 dm = P
19.48 dm . P
a = 2.88 dm
8. Determina la medida de cada lado del polígono regular sabiendo que el perímetro de éste es igual a 56 cm. P = 8k 56 = 8k 56 8 =k 7=k
Perímetro = 56 cm
Material para apoyo del docente prohibida 146 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 9. su reproducción parcial o total Calcula el perímetro de uno de los triángulos sabiendo que el perímetro de un hexágono es igual a 39.6 cm.
39.6 cm = 6k 39.6 cm =k 6 6.6 cm = k Luego, cada triángulo que compone al hexágono es equilátero, por tanto:
(6.6 cm) (3) = 19.8 cm
Entonces el resultado expresa el perímetro del triángulo equilátero.
10. Conociendo uno de los valores de la segunda figura y las medidas de la primera, el profesor David ha encargado a Arturo que halle las otras longitudes. ¿Cuál es el valor de cada uno de los lados?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 8 cm
2.6 cm
c
d
5.7cm
4 - 3.2 5.7 - a a=
^3.2 cm h^5.7 cm h 4 cm
a = ` 3.2 cm j^ 5.7 cm h 4 cm
4 cm
a
3.2 cm
c = ^ 0.8 h^ 8 cm h c = 6.4 cm
d = ^ 0.8 h^ 2.6 cm h d = 2.08 cm
a = ^0.8 h^5.7 cm h a = 4.56 cm
Material para apoyo del docente prohibida 147 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 11. su reproducción parcial o total Fátima amplió una fotografía cuyas medidas eran 6 × 8 cm a una escala de 2 : 1, posteriormente aplicó una escala a 6 : 3 y al final otra escala de 7 : 2. ¿Cuáles son las medidas finales de la fotografía?
^6 cm h ^2 h = 12 cm
Escala 2 : 1
^12 cm h ^2 h = 24 cm
Escala 6 : 3
^24 cm h ^3.5 h = 84 cm
Escala 7 : 2
^8 cm h ^2 h = 16 cm ^16 cm h ^2 h = 32 cm
^32 cm h ^3.5 h = 112 cm Medidas finales son 84 × 112 cm
12. A una fotografía se le aplicó una escala de 1 : 2, posteriormente una de 4 : 5 y al final otra escala de 3 : 5. ¿Cuáles son las medidas finales de la fotografía, si se sabe que las longitudes de la imagen original son 16 cm × 25 cm?
^16 cm h` 1 j = 8 cm 2 ^25 cm h` 1 j = 25 cm o 12.5 cm 2 2
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Escala 1 : 2
^ 8cm h` 4 j = 32 cm o 6.4 cm 5 5 ` 25 j` 4 j 100 2 cm 5 = 10 cm = 10 cm
Escala 4 : 5
j` 3 j 96 ` 32 5 cm 5 = 25 cm o 3.84 cm
Escala 3 : 5
^ 10 cm h` 3 j = 30 = 6 cm 5 5
Las medidas finales de la fotografía son 3.84 × 6 cm.
13. A un mapa se le aplicó una escala de 8 : 4, posteriormente una de 1 : 4. ¿Cuál es el factor final de escala? ¿El factor final de escala es de aumento o reducción? 8 1 8 1 4 # 4 = 16 = 2 El factor final de escala es 8 :16, y éste es de reducción.
14. A un artículo de periódico se le aplicó una escala de 7: 5 y posteriormente una de 5 : 3. ¿Cuál es el factor de escala? ¿El factor final de escala es de aumento o reducción? 7 5 35 7 5 # 3 = 15 = 3
Material para apoyo del docente prohibida 148 su reproducción parcial o total El factor final de escala es 7 : 3 y éste es de ampliación.
Material para apoyo del docente prohibida 15. su reproducción parcial o total Sara y Maximiliano jugaron a lanzar dardos a una ruleta. ¿En qué color es más posible que caiga el dardo?
Al lanzar el dardo es posible que caiga en cualquiera de los ocho colores que dispone la ruleta. Rojo Café Amarillo Rosa Azul Verde Violeta Naranja
Al ser lanzados los dardos se obtuvieron los siguientes resultados. Rojo Rosa Amarillo Rosa Verde Rosa
Café Naranja Azul Violeta Amarillo Azul
Azul Verde Amarillo Naranja Café Amarillo
Verde Café Rojo Azul Rojo Rojo
Rosa Amarillo Azul Verde Violeta Azul
Violeta Violeta Rojo Azul Naranja Café
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Con base en los datos obtenidos completa la siguiente tabla. Evento
Frecuencia
Frecuencia relativa
Rojo
5
5 36
Amarillo
5
5 36
Azul
7
7 36
Verde
4
4 36
Rosa
4
4 36
Violeta
4
4 36
Naranja
3
3 36
Café
4
4 36
Total
36
1
Material para apoyo del docente prohibida 149 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 16. su reproducción parcial o total Cada cuadrado tiene una marca que representa el resultado de haber lanzado un dado:
a) ¿Cuántas veces se lanzó el dado?
28 veces.
b) Con base en los resultados completa la siguiente tabla: Evento
Frecuencia
Frecuencia relativa
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total
Total
5
5 28
6
6 28
4
4 28
5
5 28
5
5 28
3
3 28
28
1
Material para apoyo del docente prohibida 150 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 17. su reproducción parcial o total Los siguientes valores representan las cantidades de lápices que vende el encargado de una papelería en determinados días.
2
8
10
15
2
10
6
6
9
9
4
5
12
4
12
12
6
8
9
5
0
1
6
8
15
8
2
1
Con base en los datos obtenidos, completa la siguiente tabla y enseguida responde a las preguntas. Número de lápices
Número de días (frecuencias)
0
1
1
2
2
3
4
2
5
2
6
4
8
4
9
3
10
2
12
3
15
2
a) ¿Cuántos días se vendieron 0 lápices? Un día. b) ¿Cuántos días se vendieron 6 lápices?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 4 días
c) ¿Cuántos días se vendieron 15 lápices? 2 días.
d) ¿Qué porcentaje representan 30 lápices respecto a todos los lápices vendidos en los 28 días? El 15.38%
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Arroz con mole
12
12 53
Carne asada con ensalada
15
15 53
Enchiladas verdes
19
19 53
Chuleta en salsa roja
7
7 53
Platillo
a) ¿Cuál es el número total de personas que fueron a comer al restaurante? 53 personas. b) ¿Cuál es l a suma de las frecuencias relativas? Es igual a 1 c) ¿Qué fracción representa el número de personas que eligieron el platillo de enchiladas verdes? 19 53 d) ¿Qué porcentaje aproximadamente representa el número de personas que seleccionó chuleta con salsa roja? El 13%.
Material para apoyo del docente prohibida 151 su reproducción parcial o total
Material para apoyo docente prohibida Evaluación:del bloque 3 su reproducción parcial o total Secundaria:___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊ Subraya en cada caso la respuesta correcta. 1. Francisco decidió viajar junto con su familia desde la Ciudad de México hacia Inglaterra para pasar sus vacaciones con su primo Michael. Francisco le ha pedido ayuda a su primo, ya que estando en Inglaterra tratará con euros y no con pesos. Si Michael le ha pedido a Francisco que para tener una idea de cuántos pesos equivalen a un euro considere que $930.5 son 50 euros, ¿cuántos pesos equivalen a un euro?
5. ¿Cuál es la medida de uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 12 lados?
a) $14.50 b) $17.90 c) $18.61 d) $25.12
6. Si un hexágono regular de seis lados tiene un área igual a 12.48 cm2, y uno de sus lados mide 3.2 cm, ¿cuál es el valor de su apotema?
2. Dulce compró 5 prendas de ropa del mismo estilo y un collar de $125.00 por $1350.00. ¿Qué expresión algebraica representa a la situación descrita?
a) 145° b) 180° c) 1800° d) 150°
a) 1.28 cm b) 1.29 cm c) 1.30 cm d) 1.31 cm
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) x + 125 = 1350 b) 5x = 1350 + 125 c) 5x + y = 1350 d) 5x + 125 = 1350
7. El espejo de un baño tiene las siguientes medidas: 30 × 15 cm. ¿Cuáles serán las medidas de otro espejo si son el resultado de aplicar sucesivamente los factores de proporcionalidad 5 y 1 a las medidas del primero? 2 3
3. ¿Qué valor debe asumir x para que se cumpla la 15 igualdad en 5x + 2.5 = 4 ?
a) 25 × 12.5 cm b) 50 × 25 cm c) 20 × 10.5 cm d) 35 × 25 cm
a) 0.25 b) 0.45 c) 0.275 d) 0.75
4. ¿Cuál es la medida aproximada del ángulo central de un polígono regular de siete lados?
8. Un tablero de ajedrez de 15 × 15 cm necesita ser reemplazado por otro de medidas diferentes. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad de las medidas del tablero que se desea obtener si se tiene conocimiento de que se aplicaron sucesivamente los factores constantes de proporcionalidad 2.5 y 1.4?
a) 52.94° b) 47.53° c) 51.42° d) 45.25°
a) 4.2 b) 3.5 c) 3.9 d) 1.1
Material para apoyo del docente prohibida 152 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 9. R aúl atiende una relojería y necesita comprarpaquetes de pilas pequeñas y redondas. Si de un paquete que contiene 150 piezas 1 no dispone de energía 15 y 1 tiene una carga mínima, ¿cuántas pilas defec30 tuosas hay en total?
a) 30 pilas b) 18 pilas c) 45 pilas d) 15 pilas
12. ¿Cuál es la medida de uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 24 lados? a) 135° b) 155° c) 165° d) 125°
13. ¿Cuál es el perímetro de un hexágono regular que tiene un área de 11.25 m2 y una apotema de 3 metros?
10. E n una urna hay 4 canicas etiquetadas con ecuaciones diferentes; la primera tiene la expresión x + 4 = 10; la segunda, x - 3 = 9; la tercera, x + 5 = 12; y la cuarta, x - 6 = 8. ¿Qué es más posible obtener si se extrae sin ver una canica y se resuelve su ecuación? a) Una canica con un múltiplo de seis b) Una canica con un múltiplo de siete c) Una canica con un múltiplo de tres d) Una canica con un múltiplo de dos
a) 7.5 m b) 22.5 m c) 3 m d) 3.4 m 14. En determinados frascos se piensa verter la misma cantidad de esencia: 2.4 mililitros. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con 48 mililitros de esencia? a) 28 frascos b) 25 frascos c) 20 frascos d) 18 frascos
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 11. En la siguiente tabla se muestran las frecuencias absoluta y relativa, esta última expresada en porcentaje, de las miles de toneladas de basura que genera un país en un año. ¿Qué factor de proporcionalidad se aplicó para sacar todos los valores de la última columna? Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Plástico
3100
38.75%
Vidrio
1300
16.25%
Papel
3600
45.00%
8000
100.00%
Tipo de basura
Totales
a) 0.0425 b) 0.0325 c) 0.0225 d) 0.0125
Material para apoyo del docente prohibida 153 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida BLOQUE 4 su reproducción parcial o total Competencias que se favorecen:
• Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente
Es un matemático y astrónomo quien por primera vez en la historia se atrevió a sistematizar en su obras Brama Sputa Siddhanta (Sistema revisado de Brahma) un conjunto de reglas para tratar con lo números negativos: “Positivo divido por positivo, o negativo divido por negativo, es positivo…”
Aprendizajes esperados: • Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas. • Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Brahmagupta
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida Manejo de la información
Contenido 1
2 3 4 5 6 7
Tema Números y sistemas de numeración Figuras y cuerpos Medida
Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad Análisis y representación de datos
Evaluación
Material para apoyo del docente prohibida 154 su reproducción parcial o total
Material para docente prohibida Tema:apoyo Números y del sistemas de numeración Contenido 1 su reproducción parcial o total 1.1 Situaciones que pueden representarse con números positivos y negativos
Los números positivos y negativos pueden ser empleados para representar diversas situaciones, como las escritas a continuación: La temperatura en el Cairo es de 24°C. Ciertos peces se encuentran a 3 metros por debajo del nivel del mar. Pitágoras de Samos nació en el siglo VI antes de nuestra era. Los ingresos y gastos de una compañía. El saldo por debajo de cero de una de las cuentas bancarias. La primera situación se representa con un número positivo, el 24; y la segunda, con un número negativo: - 3. Por otra parte, los números positivos generalmente son escritos sin el signo más (+), a diferencia de los negativos, en los que se requiere anteponer el signo menos ( - ).
◊
Coloca en el espacio en blanco el número, negativo o positivo, que represente la situación descrita.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Situación
Número
La escultura denominada Hombre en llamas se encuentra a 8 metros por debajo del nivel del mar.
-8
El Sistema Meteorológico Nacional (SMN) informó que la temperatura mínima que alcanzará el Valle de México es de 6°C.
6
Giovanni pagó a un banco $500.00 de los ingresos que percibe en la empresa que labora.
- 500
Un avión informó a la torre de control que se encontraba a 9000 metros de altura.
9000
Dos submarinos se encuentran sumergidos a 12 metros por debajo de la superficie de un mar.
- 12
Arquímedes fue un matemático muy reconocido, nació en Siracusa el 287 a. C.
- 287
El Pico de Orizaba se encuentra a 5675 metros sobre el nivel del mar (msnm).
5675
Eduardo, al llevar a cabo una dieta y ejecutar ciertas rutinas de ejercicio, bajó 6 kilos.
-6 300
La altura de la Torre Eiffel es de aproximadamente 300 metros.
1.2 Representación de números negativos y positivos en la recta numérica Para comparar números con signo basta con saber qué lugares ocupan en la recta numérica, dado que así se determina cualquiera que represente un valor superior o inferior. Por ejemplo, de dos números que están ubicados en la recta numérica, el que está más hacia la derecha tendrá un valor mayor que el otro 8 > - 8.
Material para apoyo del docente prohibida 155 su reproducción parcial o total -8
0
8
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Debes tener en cuenta que si un número se encuentra a la misma distancia del cero que otro, pero del lado opuesto y se suman, el resultado siempre va a ser cero. A este tipo de números se les denomina simétricos, y otra cualidad que los distingue es que tienen el mismo valor absoluto. Por ejemplo, el valor absoluto de |8| es 8, y el valor absoluto de | - 8| es 8.
◊
Lleva a cabo lo que se indica en cada inciso.
a) Ubica en la recta numérica los valores de las temperaturas y responde las preguntas. Temperatura registrada por la noche
Ciudad Atenas (Grecia)
8°C
Bruselas (Bélgica)
1°C
Hamburgo (Alemania)
3°C
Miami (Estados unidos)
21°C
Moscú (Rusia)
- 7°C
Pekín (China)
- 3°C
Roma (Italia)
5°C
Zurich (Suiza)
- 3°C
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Moscú
- 12 - 10 - 8 •
-6
Zurich Pekin Bruselas Hamburgo Roma
Atenas
-4
8
-2
0
2
4
6
10
Miami
12
14
16
18
20
22
¿En qué ciudad se registró la temperatura más baja? En la ciudad de Moscú.
•
¿En qué ciudades el clima fue frío? Todos menos Miami.
•
¿En qué ciudad la noche no fue tan fría? En Miami.
•
¿Cuántos grados fue más calurosa o fría la noche en Zurich que en Miami? Es 24 grados más caluroso Miami que Zurich.
•
¿Cuántos grados centígrados de diferencia hay entre las temperaturas registradas en Pekín y Atenas? Es de 11 grados.
Material para apoyo del docente prohibida 156 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Ubica en la recta numérica los números que se muestran a continuación y responde las preguntas. A = - 1, B = - 0.5, C = 0.8, D = - 1.8, E = - 2, F = - 0.9, G = 1.2, H = 1.7, I = - 0.7 y J = 1.5 E
A F
D
I
C
B
- 2.2 - 2 - 1.8 - 1.6 - 1.4 - 1.2 - 1 - 0.8- 0.6 - 0.4 - 0.2 0 •
0.2
0.8
0.4 0.6
G
1
1.2
H
J
1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
¿Cuál es el número con el valor más grande? El número es 1.7
•
¿Cuál es el número con el valor más pequeño? El número es - 2.
•
on base en los números que fueron descritos anteriormente, escribe sobre los espacios los signos C < (menor que) o > (mayor que), según corresponda. 0.8
<
1.5
- 0.5
>
-1
-2 1.7
<
- 0.9
>
- 1.8
- 0.7 1.2
> <
-1 1.5
- 0.5 0.8
>
- 0.7
>
- 0.8
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Ubica en la recta numérica los valores que aparecen a continuación y responde las preguntas.
7 3 2 3 11 12 A =, B =- , C = , D =, E = 0.7, F = - 0.95, G = , H = 1.2, I = - 1.3 y J = 20 5 10 20 25 16 I
- 1.8 - 1.6 - 1.4 - 1.2 •
F
-1
J
B
A
C
D
- 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2
0
0.2
G
0.4
H
E
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
¿Qué valor es el más grande? El número con el valor más grande es 1.2
•
¿Qué valor es el más pequeño? El número con el valor más pequeño es - 1.3
Material para apoyo del docente prohibida 157 su reproducción parcial o total
Material para1.3apoyo docente prohibida Resolución del de problemas su reproducción parcial o total ◊ Resuelve los siguientes planteamientos. a) Las tortugas marinas nadaron en el nivel del mar, después se sumergieron 2 metros, más tarde descendieron otros 3 metros, y finalmente subieron 1 metro. ¿Cuántos metros deben emerger las tortugas para estar en la superficie del mar? Las tortugas deben emerger 4 metros. b) La base de una montaña se encuentra a 5 metros por debajo del nivel del mar, y su altitud por encima del nivel del mar es de 7 metros. ¿Cuál es la altura de la montaña? La altura de una montaña es de 12 metros. c) En una ciudad se registraron diversas temperaturas el mismo día; la primera fue de 5°C, la segunda fue seis grados inferior a la primera, la tercera fue un grado superior a la segunda, la cuarta fue tres grados inferior a la tercera y la última fue seis grados superior a la cuarta. ¿Cuál fue la quinta temperatura que se registró en esa ciudad? La temperatura que se registró para esa ciudad fue de 3 grados centígrados. d) Si Euclides, un celebre matemático, nació el 325 a. n. e. y murió alrededor de 265 a. n. e., ¿cuántos años tenía cuando murió? Tenía 60 años.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total e) Una fábrica elabora diferentes clases de pintura, las distribuye en sus tiendas y las pone a la venta al público. Para ello la empresa invierte en la materia prima, el sueldo de los trabajadores, entre otros aspectos. Si la empresa en el mes de febrero obtuvo un ingreso de $145 546.30 e invirtió $184 210.30, ¿qué sucedió? La empresa tuvo una pérdida de $38 664.
f) Si un tiburón se encuentra a 268 metros de profundidad y sube primero 58 metros y después 112 metros, ¿a cuántos metros de la superficie del mar se encuentra? Se encuentra a 98 metros por debajo de la superficie del mar.
1.4 Profundiza ◊ Resuelve los siguientes problemas. a) Un recipiente con agua a una temperatura de 21°C se puso a calentar hasta subir su temperatura 18 grados centígrados más, y posteriormente se dejó enfriar a temperatura ambiente, alcanzando una temperatura de 28 grados centígrados menos que lo que registró después de ponerse a calentar. Por último, el agua se puso en un congelador, por lo que registró 15 grados menos. ¿Cuál fue la temperatura final del agua? El contenido del recipiente alcanzó una temperatura de - 4o C. b) Ubica en la recta numérica los valores que aparecen a continuación. A =-
6 5 30 17 4 , B = 0.45, C = - , D = 2, E = 0.55, F = - 2.7, G = - 3, H = , I = - 2.62, J = , 1.4 y L = 50 2 25 20 K = 10 G
FI C
J
A
L BE
H
K
D
Material para apoyo del docente prohibida 158 su reproducción parcial o total -3.2 -3
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
2.2
Material para apoyo del ydocente prohibida Tema: Figuras cuerpos Contenido 2 su reproducción parcial o total 2.1 Construcción de círculos a partir del radio
Para construir un círculo conociendo su radio basta con situar la punta del compás en uno de los extremos del radio, por ejemplo, en el extremo B, para después trazar una circunferencia que pase por el otro extremo.
B
A
A
B
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊
Construye el círculo con base en su radio.
a)
b)
I
E
F H
Material para apoyo del docente prohibida 159 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
d)
K
M
L
N
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 2.2 Construcción de círculos a partir de una cuerda Podemos construir un círculo conociendo una de sus cuerdas, por ejemplo, el diámetro, se localiza el punto medio de la cuerda, se apoya la punta del compás en él y se traza el círculo de forma que pase por los dos extremos del diámetro.
R
R
O
O
S
S
Material para apoyo del docente prohibida 160 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Cuando la cuerda no es el diámetro, se traza la mediatriz de la cuerda y, posteriormente, se dibuja un arco que corte a la recta en un punto, que será el centro del círculo y el lugar donde habrá que apoyar la punta del compás para construir el círculo que pase por los dos extremos de la cuerda.
K K Q
P
Q
P
◊
Construye el círculo con la información que se te da en cada inciso.
a) El diámetro FG.
b) La cuerda RT.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total O
F
G
O
R
T
c) La cuerda XY.
d) El diámetro CD. Y
X
O
C
O
D
Material para apoyo del docente prohibida 161 su reproducción parcial o total
Material parade apoyo deldedocente 2.3 Construcción círculos a partir tres puntos no prohibida alineados su reproducción parcial o total También se puede construir un círculo con tres puntos no alineados. Primero se unen los puntos para formar dos segmentos: AB y BC. Luego se trazan las mediatrices de los segmentos. El punto de intersección de las rectas representa el centro del círculo, por lo que en ese punto debe apoyarse la punta del compás para trazar la circunferencia que pase por los tres puntos.
B
B
C
C
O
O
A
A
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊
Construye un círculo basándote en los tres puntos no alineados que se te proporcionan. b)
a)
B
A
0
0
C
R T S
Material para apoyo del docente prohibida 162 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
d)
P
Z
Q
O
O
Y R
X
2.4 Profundiza ◊
Resuelve los problemas que se presentan a continuación.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) Construye tres círculos cuyas circunferencias pasen por los extremos de la cuerda EF. E
C1
C2
C
F
b) Construye un círculo de radio AB, y otro que su circunferencia pase por A, B y C. Por último, dibuja un triángulo isósceles que tenga dos lados de igual medida a la longitud que hay entre los dos centros de los círculos y el otro lado de tamaño equivalente a la longitud AB.
D A
B
Material para apoyo del docente prohibida 163 su reproducción parcial o total C
Material para apoyo del docente prohibida Tema: Medida Contenido 3 parcial o total su reproducción 3.1 Longitud de la circunferencia
La circunferencia se define como una línea curva, plana y cerrada, formada por puntos que se encuentran a la misma distancia del centro. Por ejemplo, los puntos A, B, C, D, E, F y G están a igual distancia del centro. D
E
F
C
G
B A
La relación que hay entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un número aproximado a 3.14; es decir, r (pi). Esa relación se expresa de la siguiente forma: Longitud de la circunferencia =r Diámetro
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Se puede afirmar que la circunferencia es igual a tres veces y un poco más la longitud de su diámetro, por lo que para calcular el perímetro de la circunferencia se considera a la constante y la magnitud del diámetro: C = r D, donde C es el perímetro de la circunferencia, r la constante y D el diámetro. Para llegar a la misma expresión también se puede llevar a cabo lo siguiente: A ambos miembros de la igualdad Longitud de la circunferencia = r, se les multiplica por D, y al resolverla queda: D
a Longitud de la circunferencia k (D) = (r) (D) D Longitud de la circunferencia = rD C = rD
◊
Lee cada situación y responde lo que se pregunta.
a) Si una moneda de $10.00 tiene un diámetro de 2.8 centímetros, ¿cuántos centímetros aproximadamente mide su circunferencia? Mide aproximadamente 8.8 cm.
Material para apoyo del docente prohibida 164 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) El radio de la rueda de una bicicleta es de 8.91 pulgadas. ¿Cuál será la longitud aproximada, expresada en centímetros, de la rueda si una pulgada equivale a 2.54 centímetros?
La rueda de la bicicleta mide aproximadamente 56 pulgadas, que en centímetros equivalen a 142.24 centímetros: 56 in × 2.54 cm ≈ 142.24 cm
c) Elizabeth quiere forrar las bases de un bote con papel azul, y el resto lo quiere cubrir con papel con imágenes de una película animada. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del papel con imágenes si se tiene conocimiento de que el radio de la circunferencia que se forma en una de las bases del bote es igual a 2.5 centímetros? Las dimensiones del papel con imágenes deben ser: 9 × 15.7 cm.
9 cm
3.2 Área del círculo Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total El círculo representa a la superficie que se encuentra limitada por una circunferencia.
Para determinar la fórmula del área del círculo es conveniente considerar lo siguiente: la medida de los lados de los polígonos regulares que están inscritos en la circunferencia va en aumento; el perímetro de los polígonos tiende a acercarse a la longitud de la circunferencia; y la longitud de la apotema es casi igual a la del radio del círculo.
O
O
O
O
De acuerdo con lo anterior, se puede emplear la fórmula A = Pa , que también se utiliza para calcular el área de 2 un pentágono regular, para expresar y calcular el área de un círculo. El perímetro de la circunferencia se puede expresar como P = r D = r 2r = 2 r r. La apotema de la circunferencia es igual a r, que representa al radio.
Material para apoyo del docente prohibida 165 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Sustituyendo en la expresión A = Pa se obtiene la expresión para calcular el área del círculo: el área de un 2 círculo es igual al producto de r por radio al cuadrado.
A=
◊
(2rr) (r) 2r r 2 r r 2 = 2 2 =
Lleva a cabo lo que se indica en cada inciso
a) Traza un círculo cuyo radio sea de 3 cm y calcula su área. Su área es casi igual a 28.26 cm2: A = πr2 = (3.14) (3)2 = (3.14) (9) = 28.26 cm2 O
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Construye un círculo a partir de tres puntos no alineados A, B y C, y calcula su área. B
El área es igual a 22.8906 cm2 :
A
O C
(3.14) (2.7 cm)2 = (3.14) (7.29 cm2) = 22.8906 cm2
c) Determina el área del círculo inscrito en el polígono regular teniendo en cuenta que ambos comparten el mismo centro y que el área del heptágono es de 663 cm2 y uno de sus lados tiene 14 centímetros de longitud. Para determinar el valor de la apotema se sustituyen los valores conocidos en la expresión A = Pa : 2 663 =
(7) (14) (a) 98a 98a 1326 & 663 = 2 & (663) (2) = ^ 2 h ( 2 ) & 1326 = 98a & 98 = a & 2
7) (14) (a) 1326 98a 98a & 663 = 2 & (663) (2) = ( 2 ) & 1326 = 98a & 98 = a & 13.53 . a 2 El área del círculo es aproximadamente igual a 574.81 cm2: Ac =(3.14) (13.532) = (3.14) (183.0609) ≈ 574.81 cm2
Material para apoyo del docente prohibida 166 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 3.3 Profundiza su reproducción parcial o total a) El radio de una circunferencia es de 2 cm. ¿Cuál será el perímetro de una nueva circunferencia cuyo radio es consecuencia de haber aplicado de manera sucesiva los factores de proporcionalidad 1.3 y 1.4 a la longitud del radio de la circunferencia original? El radio de la circunferencia resultante es 1.3 × 1.4 × 2 cm = 3.64 cm Su perímetro es aproximadamente igual a (3.14) (3.64 cm) = 11.4296 cm
b) El octágono que forman los centros de los círculos tiene un área de 46 cm2 y una apotema de 11.5 cm. ¿Cuál es el área de uno de los círculos? Para averiguar el perímetro del octágono y la longitud de uno de sus lados se sustituyen los valores que se conocen en la expresión A = Pa : 2 (P) (11.5) (P) (11.5) 92 ) & 92 = 11.5P & 11.5 = P & 8 = P 46 = & (46) (2) = (2) ( 2 2
11.20) (P) (11.20) 92 & (46) (2) = (2) ( ) & 92 = 11.20P & 11.5 = P & 8 = P 2 2 Si P representa al perímetro del polígono, entonces la longitud de uno de sus 8 lados es 8 = 1. Por lo tanto, el radio del círculo mide 0.5 centímetros y su área es aproximadamente igual a 0.785 centímetros: (3.14) (0.52) = (3.14) (0.25) = 0.785 cm2
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Tema: Proporcionalidad y funciones Contenido 4
4.1 Regla de tres La regla de tres es un procedimiento para determinar un valor faltante en el que intervienen dos cantidades directamente proporcionales; en una de ellas los valores son conocidos y en la otra se conoce sólo un dato. Por ejemplo: En 18 frascos están contenidos 2160 ml de jarabe para la tos. ¿Cuántos mililitros habrá en 8 frascos si cada uno tiene la misma cantidad? La regla de tres para la situación descrita es: 18
2160 ml ¿? ml
8 Y se lee así: 18 frascos son a 2160 mililitros, como 8 frascos a x número de mililitros. Para resolver la regla de tres se efectúan las siguientes operaciones: (2160 ml) # (8) 2160 ml j =` # (8) = (120 ml) (8) = 960 ml 18 18
Material para apoyo del docente prohibida 167 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊
Resuelve los siguientes problemas.
a) En una tienda hay 35 bolsas con el mismo número de gramos de nueces. Si la tienda tiene un total 26.25 kilogramos, ¿cuántos kilogramos de nueces se llevará una persona que ha comprado siete bolsas? 35 7
26.25 kg ¿? kg
(26.25 kg) # (7) 26.25 kg k # (7) = (0.75 kg) (7) = 5.25 kg =a 35 35 La persona se llevará 5.25 kilogramos.
b) Una tienda comercial ha adquirido 14 computadoras personales con las mismas características por la cantidad de $92 386.00. ¿Cuál es la cantidad que pagaría la tienda si sólo hubiera adquirido 6? 14 6
92 386 pesos ¿? pesos
($92 386) # (6) $92 386 = a 14 k # (6) = ($6 599) (6) = $39 594 14
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total La tienda hubiera pagado $39 594.00.
c) Un paquete contiene 24 recipientes pequeños con la misma cantidad de un lácteo fermentado. Si el paquete guarda un total de 199.2 mililitros de dicho producto, ¿qué capacidad de almacenamiento tendrán 13 recipientes? 24 13
199.2 ml ¿? ml
(199.2 ml) # (13) 199.2 ml j =` # (13) = (8.3 ml) (13) = 107.9 ml 24 24 Trece recipientes pueden almacenar 107.9 ml.
d) Jesús tiene almacenados 102.195 litros de pintura en 27 recipientes de la misma capacidad. ¿Cuántos litros de pintura habrá en 19 recipientes? 27 19
102.195 l ¿? l
(102.195 l) # (19) 102.195 l j =` # (19) = (3.785 l) (19) = 71.915 l 27 27 Los 19 recipientes pueden almacenar 71.915 l.
Material para apoyo del docente prohibida 168 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total e) Saúl empaquetó 5.8 kilogramos de cacahuate en 29 bolsas con la misma cantidad de producto cada una. ¿En cuántas bolsas podrá almacenar 17 kilogramos cacahuate? 5 29 bolsas
5.8 kg
¿? bolsas
17 kg 5
17 (29) # ` 5 j 29 17 17 = ` 5.8 j # ` 5 j = (5) ` 5 j = 17 5.8 17 Los 5 kilogramos de cacahuate pueden ser almacenados en 17 bolsas.
f) El señor Ramón dio un bono de la misma cantidad a cada uno de sus empleados que atienden sus cuatro farmacias. A la primera farmacia, en la que trabajan 13 personas, Ramón asignó $3191.50. ¿Cuántas personas laboran en la segunda farmacia si en total les otorgó $1718.50 ? 13 personas ¿? personas
3191.5 pesos 1718.5 pesos
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 13 (13) # (1718.5) e 6 383 o 13 j 2 ` = (1718.5) = (1718.5) = ` 491 j (1718.5) = 7 # 3 191.5 3 191.5 2
En la segunda farmacia trabajan 7 personas.
g) Si los lados del rectángulo pequeño son proporcionales a los de la figura grande, ¿cuál será la longitud de la altura del rectángulo de mayor tamaño? 1 7 8 cm 16 cm 7 16 cm 1 cm ¿? 15 ¿?
7 1 ` 16 cm j # ` 15 cm j 1 8 cm
J K =K K L
N 7 56 1 56 16 cm O ` 1 O # 15 cm j = ` 16 j` 15 cm j = 240 c 1 O 8 cm P
1 7 7 ( 16 cm) # ( 15 cm) 1 56 1 56 7 16 cm = ( 1 1 ) # ( 15 cm) = ( 16 ) ( 15 cm) = 240 cm = 30 cm 1 cm cm cm 8 8 8 1 15 cm
La longitud de la altura del rectángulo grande es de 7 centímetros. 30
Material para apoyo del docente prohibida 169 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 4.2 Profundiza su reproducción parcial o total a) Un artesano pretende vender 113 cajas que ha elaborado por $15 791.75; sin embargo, una persona que está interesada en adquirirlas le ha dicho que no las venda, que la espere un día y le pagará $631.67 más del costo de todas la piezas. ¿Qué porcentaje del total ofreció el comprador pagarle de más al artesano?
15 791.75 pesos 631.67 pesos
100% ¿?
(100) # (631.67) 63167 = 15791.75 = 4 15 791.75 El comprador ofreció un 4% más.
b) En una caja hay 36 latas con agua mineral; todas ellas tienen un total de 310.45 onzas fluidas (unidad de medida frecuentemente usada para indicar el contenido de algunos recipientes en países anglosajones). ¿Cuántos mililitros de agua mineral habrá en una caja que contiene 24 latas si una onza fluida equivale a 29.57 ml.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 36 24
310.45 onzas fluidas ¿? onzas fluidas
(310.45) # (24) 310.45 = ` 36 j # (24) . 206.96 36
^206.96 h # ^29.57 ml h = 6119.8072 ml 206. 96 × 29.57 = 6119.8072 Habrá aproximadamente 6119.8072 ml. c) La señora Fabiola va a preparar 42 litros de chocolate para su invitados. ¿Cuántos gramos de chocolate 75 necesitará si para hacer 25 litros utilizó 4 de gramos? 75 gramos 4 ¿? gramos
` 75 j 4 g # (42 l) 25 l
=
25 litros 42 litros
75 e 4 go 75 ^ h 3150 630 126 25 l # (42 l) = 100 42 l = 100 = 20 = 4
La señora necesitará 126 o 31.5 gramos de chocolate. 4
Material para apoyo del docente prohibida 170 su reproducción parcial o total
Material paraTema: apoyo del docente Proporcionalidad y funciones prohibida Contenido 5 su reproducción parcial o total 5.1 Escalas
Para que una figura y sus partes estén reducidas o aumentadas en una misma proporción, es conveniente representar sus medidas como una relación, es decir, a escala. Esta relación es muy usada por cartógrafos, ingenieros y arquitectos, quienes recurren a ella para representar zonas geográficas, planos de una ciudad o un edificio. En mapas topográficos se puede observar un pequeño rótulo de una regla graduada en el que se indica la escala, por ejemplo, 1:6 500 000, que significa que cada centímetro del mapa representa 6 500 000 kilómetros. Este tipo de escala es de reducción, y también puede ser expresada con 1 la fracción 6 500 000 , que al ser multiplicada por la distancia real arroja la medida que representa a esa distancia en el mapa. Si se tuviera que calcular la distancia real que hay de un lugar a otro, se tendría que medir la distancia entre los puntos que representan a esos lugares en el mapa, para 6 500 000 después multiplicarla por , lo que implicaría 1 hacer una ampliación. Podemos plasmar esta escala de la siguiente manera: 6 500 000:1
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊
Resuelve los siguientes problemas.
a) Las medidas reales de un jardín son 4 m × 3 m. ¿Cuáles serán las medidas de este jardín en un plano si se sabe que tiene una escala de 1:100 centímetros? Las medidas del jardín en el plano serían 4 cm × 3 cm: 1 400 400 # 100 = 100 = 4 1 300 300 # 300 = 100 = 3 Se debe tener en cuenta que 4 metros equivalen a 400 centímetros y 3 metros a 300 centímetros. b) La distancia entre dos ciudades A y B es de 270 kilómetros. ¿Que distancia hay entre esos dos puntos en el mapa si la escala es de 1:10 000 000 centímetros? La distancia entre los puntos A y B en el mapa es de 2.7 centímetros: 1 27 000 000 27 000 000 # 10 000 000 = 10 000 000 = 2.7 Se debe tener en cuenta que 270 kilómetros son equivalentes a 27 000 000 centímetros.
Material para apoyo del docente prohibida 171 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) La altura de un edificio ha sido representada en un plano que está en la escala 1:100 centímetros. ¿Cuál es la altura real del edificio, expresada en metros, si en el plano es de 9.3 centímetros? La altura del edificio es de 9.3 metros:
100 930 9.3 # 1 = 1 = 930 Se debe tener en cuenta que 930 centímetros son equivalentes a 9.3 metros.
d) El plano de la cancha de futbol de la izquierda se construyó con base en el de la derecha: la línea de meta del plano izquierdo mide 3.6 cm, mientras que la cancha de la derecha, 18 cm; la línea de banda del plano más chico tiene una longitud de 4.8 cm, y la de la cancha de la derecha, de 24 cm; el diámetro de la circunferencia que se forma en el centro del plano de la izquierda mide 0.28 cm, y el del plano de la derecha, 1.4 cm. • ¿Qué factor de escala aplicarías a las medidas del plano de la izquierda para obtener la medidas del otro plano? • ¿Qué factor de escala aplicarías a las medidas del plano de la derecha para obtener las medidas de la cancha izquierda? Línea de banda Línea de banda
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Línea de meta
El factor de escala que ayuda a determinar las medidas del plano de la derecha a partir de las de la izquierda es 1.4 = 5 ; mientras que el factor de escala que ayuda a determinar las medidas del plano de la izquierda a 0.28 partir de las de la derecha es 0.28 = 0.2 1.4 e) Lucia creó portadas de madera para dos tipos de cuadernos que piensa vender, y para ello empleó adecuadamente factores de escala. ¿Cuál será la medida faltante en la portada de la izquierda? 20 cm 11 cm
La medida faltante de la portada de la izquierda es 14.3 centímetros:
26 cm
11 286 26 # 20 = 20 = 14.3
Material para apoyo del docente prohibida 172 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 1 1 f) Si al siguiente triángulo se le aplicarán de manera sucesiva los factores de escala 3 y 10 , ¿cuáles serían las medidas que tendría el triángulo resultante?
Las medidas resultantes serían 2 , 8 y 71 centímetros: 900 75 15 3.2 cm
4 cm
1 1 1 4 2 3 # 10 # 4 cm = 30 # 4 cm = 30 cm = 15 cm 1 1 1 32 32 16 8 3 # 10 # 3.2 cm = 30 # 10 cm = 300 cm = 150 cm = 75 cm
7.1 cm
1 1 1 71 71 3 # 10 # 7.1cm = 30 # 10 cm = 300 cm
g) Una fotografía se redujo de tal manera que su altura pasó de 12 cm a 5 cm. • ¿Cuál es la medida de la base de la fotografía resultante al haber aplicado el factor de escala de reducción si la base de la imagen original es de 14 centímetros? • ¿Cuál es el factor de escala de ampliación que aplicarías a las medidas de la foto que fue reducida para obtener la medidas originales?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 12 cm
5 cm
La medida de la base de la fotografía que se redujo es
35 6 de centímetros:
5 70 35 12 # 14 = 12 = 6 12 El factor de escala de ampliación es 5
Cuando intervienen dos relaciones inversas sus factores son recíprocos, ya que el producto entre ellos es igual a 1 la unidad. Por ejemplo, el factor de escala que sirve para determinar las medidas de una segunda figura es 8 , y el factor de escala que sirve para hallar las longitudes de la primera figura es 8 u 8, por lo que el producto de estos 1 dos factores nos da la unidad: 1 8 8 1 8 8 # 1 = 8 = 1 o 8 # 8 = 8 = 1.
Material para apoyo del docente prohibida 173 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total h) El diente de un tiburón está plasmado en dos páginas diferentes en un libro, la figura 1 está a escala 1:3 centímetros con respecto a la figura 2. • ¿Cuál es el factor de escala que permite conocer las medidas de la primera figura a partir de la segunda figura? • ¿Cuál es la longitud de la altura de la figura 2? El factor de escala que proporciona las medi1 das de la primera figura es 3 .
1.2 cm
La longitud de la figura 2 es 3.6 centímetros:
¿? figura 1
3 3.6 cm = 3.6 cm 1.2 cm # 1 = 1
figura 2
i) Ricardo tiene dos vitrales, los cuales se muestran a continuación. • ¿Qué factor de escala ayuda a determinar las medidas del vitral de la izquierda en función de las medidas del otro vitral? • ¿Con qué factor de escala se pueden encontrar las medidas del vitral de la derecha a partir de las medidas del vitral más grande? La respuesta a la primera pregunta es 10 7
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 0.91 m
1.3 m
La respuesta a la segunda pregunta es 7 10
2.24 m
3.2 m
5.2 Profundiza ◊
A continuación se observa un plano de una cancha de baloncesto con algunas de sus medidas a escala. Completa la siguiente tabla basándote en las medidas que aparecen en el plano y considerando que está a una escala de 3:270 centímetros. 6.5 cm Factor de escala o de proporcionalidad
Medidas reales de la cancha (expresadas en centímetros)
Medidas reales de la cancha (expresadas en metros)
11 cm
90
990
9.9
6.5 cm
90
585
5.85
1.8 cm
90
162
1.62
0.9 cm
90
81
0.81
Medidas de la cancha en el plano
11 cm
1.8 cm
0.9 cm
Material para apoyo del docente prohibida 174 su reproducción parcial o total 5 cm
Material para Tema: apoyo delde docente Nociones probabilidad prohibida Contenido 6 su reproducción parcial o total 6.1 Diversos procedimientos
◊
Analiza cada una de las situaciones y responde las preguntas.
a) ¿ Cuántas combinaciones de comida pueden hacerse en un restaurante en donde hay 3 tipos de sopa, 4 bebidas diferentes, 3 distintos guisados y 2 postres? 72 combinaciones.
b) ¿Cuántos posibles resultados se pueden presentar al lanzar simultáneamente un dado y una moneda? 12 posibilidades.
c) Luisa quiere vender los collares que ha elaborado por su propia cuenta. Si tiene collares amarillos, verdes, azules y rojos, y para empaquetarlos cuenta con distintas bolsas pequeñas con caricaturas: de oso panda, de conejo y de venado. ¿Cuántas posibles combinaciones puede hacer Luisa con los collares y las bolsas?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Luisa puede hacer 12 combinaciones
d) ¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden obtener utilizando los dígitos 1, 2 , 3 y 4 si no pueden repetirse dichos dígitos? 24 números diferentes.
e) Si se desea colocar un foco azul, uno verde y uno rojo en un anuncio, ¿de cuántas maneras se pueden distribuir? Se pueden colocar de seis maneras distintas.
Material para apoyo del docente prohibida 175 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 6.2 Recursos para verificar resultados su reproducción parcial o total Un pintor desea mezclar pintura blanca y azul con otros cuatro colores: verde, roja, amarilla y naranja. ¿Cuántas combinaciones de pintura tendrá el pintor?
Cada una de las situaciones que se describen en el problema se puede representar usando un diagrama de árbol; la primera situación se puede interpretar como en la figura 1, y la segunda situación como en la figura 2.
Azul
Blanco
Rojo
Verde
Figura 1. Primeras opciones que tiene el pintor.
Amarillo
Naranja
Figura 2. Opciones que tiene el pintor al combinar el blanco o azul con los otros cuatro colores.
En la figura 3 se observan las posibles combinaciones de las situaciones uno y dos.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Blanco
Verde
Rojo
Azul
Naranja
Amarillo
Verde
Rojo
Amarillo
Naranja
Figura 3. Opciones que tiene el pintor al mezclar las pinturas. El pintor tendrá 8 posibles combinaciones, que también pueden representarse como 2 × 4 = 8, donde 2 refiere a la situación 1; 4 a la situación 2; y 8 es resultado de ambas situaciones.
◊
Utiliza un diagrama de árbol para exponer los resultados de cada uno de los casos que se te presentan y responde las preguntas.
a) Un diseñador necesita elegir uno de dos tipos de árbol, cedro y ciprés, para ilustrar un paisaje que ha creado, y tiene la opción de ponerlo en un formato mediano o grande. ¿Cuántas posibilidades tiene el diseñador para ilustrar el paisaje? El diseñador tiene 4 posibilidades para ilustrar el paisaje.
Diseñador Cedro
Mediano
Ciprés
Grande
Mediano
Grande
Material para apoyo del docente prohibida 176 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) En una nevería venden helado de tres sabores: limón, fresa y vainilla, y puede ser servido en barquillo, en vaso o en una canasta. ¿Cuántas opciones tendrá una persona al elegir el sabor y el lugar en el que se verterá el helado?
Persona
Limón
Barquillo
Vaso
Vainilla
Fresa
Canasta
Vaso
Barquillo
Canasta
Barquillo
Vaso
Canasta
La persona tiene 9 posibles opciones al elegir el sabor y el lugar en que se verterá el helado. c) En una tienda de deportes, por aniversario, se piensa vender dos pares de calcetas deportivas por el precio de uno, y para ello el encargado ha pedido que hagan paquetes con dos pares de dicho producto. ¿Cuántos paquetes diferentes se podrán hacer si la tienda dispone de sólo cuatro marcas para hacer los arreglos: Macro, Dine, Jal y Yargot? Yargot
Dine
Macro
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Dine
Jal
Yargot
Jal
Jal
Yargot
Se pueden hacer 6 paquetes diferentes.
El diagrama de árbol también puede ser empleado en situaciones como las que se presentan a continuación. Mildred quiere ocupar cada una de las casillas para colocar canicas del mismo color. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto si Mildred dispone de canicas rojas, verdes y amarillas? Hay que tener en cuenta que si se deposita en la primera casilla canicas de un color y en la casilla dos canicas de otro color, queda disponible sólo un lugar para poner el último conjunto de canicas. Por ejemplo, si se eligió colocar las canicas rojas en el primer espacio, en la segunda casilla pueden colocarse las canicas verdes o las amarillas, pero ya no las rojas. Suponiendo que en el segundo compartimento se colocaron las canicas verdes, entonces en la última casilla se colocarán las canicas amarillas; pero si se hubieran colocado las canicas amarillas en el segundo espacio, en el tercer compartimento irían las canicas verdes.
1
2
3
Una interpretación del ejemplo descrito se observa en la figura 4. Rojo Verde
Amarillo
Figura 4. Las primeras dos posibles maneras de colocar las canicas.
Material para apoyo del docente prohibida 177 su reproducción parcial o total Amarillo
Verde
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total En la figura 5 se aprecian todas las posibles maneras en que se pueden introducir las canicas en los compartimentos. Rojo
Verde
Amarillo
Verde
Amarillo
Rojo
Amarillo
Verde
Rojo
Amarillo
Verde
Amarillo
Rojo
Rojo
Verde
Figura 5. Posibles formas en las que Mildred puede colocar las canicas en las casillas. En general, Mildred tiene 6 formas de colocar las canicas. Otra manera de representar lo anterior es con una multiplicación: 3 × 2 × 1 = 6, donde 3 representa a las posibilidades de introducir algún conjunto de canicas en la primera casilla, 2 a las opciones que quedan tras haber utilizado la primera casilla y 1 al último lugar disponible para colocar el conjunto de canicas restantes. ◊
Utiliza un diagrama de árbol para exponer los resultados de cada uno de los casos que se describen y responde las preguntas.
a) En un torneo de karate es necesario tener un jurado en cada categoría para evaluar el desempeño de cada uno de los participantes, y en especial cuando se trata de hacer kata (serie de movimientos que se ejecutan en el aire, por ejemplo, bloqueos, golpes, entre otros). Si se dispone de tres sillas para las tres personas del jurado de la categoría de niños, ¿de cuántas formas diferentes pueden colocarse los tres miembros del jurado en las sillas?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Persona 1
Persona 2
Persona 3
Persona 2
Persona 3
Persona 1
Persona 3
Persona 2
Persona 1
Persona 3
Persona 2
Persona 3
Persona 1
Persona 1
Persona 2
Las personas pueden sentarse de 6 maneras distintas. b) Azucena, Patricia, Clarisa y Sandra compraron boletos para el cine y eligieron los asientos A1, B2, C3 y D4. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar? A1 C3
B2
A1
B2
C3
B2 D4
D4
C3
A1
C3
D4
B2
D4
C3
B2
A1
D4
C3
A1
C3
D4
D4
C3
D4
B2
B2
C3
D4
A1
A1
C3
D4
C3
D4
Material para apoyo del docente prohibida 178 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total C3
D4
A1
D4
B2
A1
C3
B2
B2
A1
B2
D4
C3
D4
A1
B2
B2
C3
C3
A1
A1
B2
D4
B2
D4
C3
B2
A1
C3
B2
A1
C3
Las cuatro personas pueden sentarse de 24 maneras distintas. c) Jaime quiere decorar cada uno de los tres rectángulos que se forman en el centro de un vitral con azul, amarillo, naranja y morado. ¿Cuántas combinaciones de tres colores puede obtener Jaime? Azul Amarillo Morado
Naranja
Naranja Amarillo
Morado
Morado Amarillo Naranja
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Amarillo
Azul
Naranja
Morado
Naranja Morado
Azul
Morado Naranja
Azul
Naranja Amarillo
Azul
Morado
Azul
Amarillo
Morado
Morado
Azul
Amarillo
Morado Amarillo Azul
Naranja
Naranja Azul
Amarillo
Azul
Naranja
Amarillo
Material para apoyo del docente prohibida 179 su reproducción parcial o total Jaime puede obtener 24 combinaciones de tres colores.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Otro recurso para mostrar los resultados posibles de ciertas situaciones es un arreglo rectangular, por ejemplo:
Mauricio ha decidido pintar el interior y exterior de su casa; para el interior tiene que elegir entre verde limón, rosa y azul claro; mientras que el exterior lo puede pintar de guinda, amarillo o café. ¿Cuántas opciones tiene Mauricio para pintar su casa, tanto interior como exteriormente? Verde limón
Rosa
Azul claro
Guinda
Guinda
Verde limón Guinda
Rosa Guinda
Azul claro
Amarillo
Amarillo
Verde limón Amarillo
Rosa Amarillo
Azul claro
Café
Verde limón Café
Rosa Café
Azul claro
Café
Mauricio tiene 9 opciones para pintar su casa. ◊
Utiliza un arreglo rectangular para exponer los resultados de cada uno de los casos que se te presentan y responde las preguntas.
a) Uriel pretende dar un regalo a uno de sus amigos, pero para ello tiene que pensar en cómo adornarlo, dado que dispone de papel rojo, verde y azul y tres moños: chico, mediano y grande. ¿Cuántas opciones tiene Uriel para envolver su regalo? Papel Rojo
Verde
Azul
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Chico
Moño
Rojo, chico
Verde, chico
Azul, chico
Mediano
Rojo, mediano
Verde, mediano
Azul, mediano
Grande
Rojo, grande
Verde, grande
Azul, grande
b) Pilar quiere tejer una pelota empleando dos de los cinco hilos de diferentes colores que tiene. Si ella cuenta con hilo verde, amarillo, azul, naranja y gris, ¿de cuántas formas diferentes puede tejer la pelota? Verde
Amarillo
x
x
x
Azul
Naranja
Gris
Verde, amarillo x
x
Verde, azul x
x
Verde, naranja x
x
Resultado
x
x
Amarillo, azul x
x
Amarillo, naranja x
x
Verde, gris
x
x x
Amarillo, gris Azul, naranja
x
Azul, gris
x
Naranja, gris
Material para apoyo del docente prohibida 180 su reproducción parcial o total Pilar puede tejer las pelotas de 10 formas diferentes.
Material para apoyo del docente prohibida 6.3 Profundiza su reproducción parcial o total ◊
Con los números 1, 2 y 3…
a) ¿ Cuántos grupos diferentes de dos números se pueden formar? b) ¿Cuántos números de dos cifras distintas es posible formar? a) Se pueden formar tres grupos diferentes de dos cifras: (1, 2), (1, 3) y (2, 3). 1
2
x
x
b) Se pueden formar 6 números de dos cifras distintas: 12, 13, 21, 23, 32 y 31.
3
x
x x
2
1
2
x
3
1
3
3
2
1
Tema: Análisis y representación de datos Contenido 7
7.1 Representaciones: gráficas de barras y circulares
Material para apoyo del docente prohibida Nacimientos registrados su reproducción parcial o total ◊
En la siguiente gráfica se muestran las cifras que proporciona el Instituto Nacional de Estadística y Geografía (Inegi) sobre los nacimientos registrados por entidad federativa, incluyendo los ocurridos en el extranjero, del 2006 al 2012.
3 000 000 2 500 000
Fuente: INEGI. Instituto Nacional de Estadística y Geografía. Estadística. Población, hogares y vivienda. Natalidad y fecundidad. Natalidad. Sexo, 1990 a 2012. Disponible en: http://www.inegi.org.mx/
2 000 000 1 500 000 1 000 000 500 000
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
a) ¿En qué tipo de gráfica se representa la información? En una gráfica de barras. b) ¿Qué representa la longitud de cada barra? El número de nacimientos que se presentaron por año.
Material para apoyo del docente prohibida 181 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) ¿En qué año se presentaron más nacimientos? En el 2007.
d) ¿En qué año hubo menos nacimientos? En el 2012.
e) En promedio, ¿cuántos nacimientos se presentaron cada año? En promedio, al año nacieron 2 586 203 personas; que es una cantidad a la que deben aproximarse los alumnos ◊
Mercedes ha elaborado una encuesta acerca del tipo de jugo que degustaban más los clientes y con la información que obtuvo hizo una gráfica para representar los datos.
Jugo de betabel Jugo de alfalfa con piña Jugo de naranja
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Jugo de zanahoria con apio
a) ¿Qué nombre le pondrías a la gráfica?
La respuesta depende de la decisión del alumno, pero debe ir acorde con los datos que se están tratando. b) ¿En qué tipo de gráfica se representa la información? En una gráfica de barras. c) ¿Qué indica la longitud de cada barra? El gusto por cada uno de los jugos. d) ¿Qué tipo de jugo degustan más los clientes? Los clientes prefieren el jugo de naranja. e) ¿Qué tipo de jugo tendría que dejar de preparar la señora Mercedes debido a que la mayoría casi no lo pide? El jugo de alfalfa con piña. f) Considerando que fueron encuestadas 100 personas y que a las personas que les gusta más el jugo de naranja alcanzan el 40%, ¿a qué porcentaje aproximadamente le gusta el jugo de alfalfa con piña? Al 3% .
Material para apoyo del docente prohibida 182 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Para plasmar la información anterior también se puede recurrir a una gráfica circular en la que se muestren los porcentajes de personas que prefieren ciertos jugos.
Jugos que se venden con mayor frecuencia
Jugo de zanahoria con apio
22%
35%
Jugo de betabel
Jugo de alfalfa con piña
Jugo de naranja
Para determinar qué parte del círculo, en grados, representa determinado porcentaje, primero se establece una razón entre la medida de la circunferencia —360°— y el porcentaje total —100— 360 , para encontrar el factor de proporcionalidad: 100 = 3.6. Una vez encontrado el factor, éste se multiplica por el porcentaje que representa cada sector: 3%
40%
3.6 × 35 = 126
3.6 × 40 = 144
3.6 × 3 = 10.8
3.6 × 22 = 79.2
Los sectores circulares miden 126°,10.8°,144° y 79.2° respectivamente. ◊
De acuerdo con estadísticas del inegi, en 2012 hubo 338 377 defunciones de personas del sexo masculino, 263 440 del sexo femenino y 537 cuyo género no se ha identificado.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Defunciones en el 2012
338377 defunciones del sexo masculino
263440 defunciones del sexo femenino
537 defunciones de género que no ha sido identificado Fuente: INEGI. Instituto Nacional de Estadística y Geografía. Estadística. Población, hogares y vivienda. Mortalidad. Mortalidad. Sexo, 1990 a 2012, http://www.inegi.org.mx/
◊ Con base en la información de la gráfica circular, responde las preguntas: a) ¿Cuál es el número total de defunciones que se registraron en 2012? Se registraron un total de 602 354. b) ¿Qué porcentaje del total fueron defunciones del sexo masculino? Representan aproximadamente el 56.17%. c) ¿Qué porcentaje de defunciones fueron del sexo femenino? Representan aproximadamente el 43.73%. d) ¿Cuántos grados de la gráfica pertenecen a las defunciones del sexo femenino?
Material para apoyo del docente prohibida 183 su reproducción parcial o total Aproximadamente 157.428°.
Material paraEjercicios apoyo del docente prohibida de reforzamiento 1. su reproducción parcial o total Indica debajo de cada termómetro la temperatura aproximada que registra cada uno. C0
C0
C0
C0
C0
30
30
30
30
25
25
25
20 15
15
20
20
10
15 10
15
10
5
5
5 0
0
0
0
-10
-10
-20
-20
-5
-5
-5 -10
-15
-15
-15
-15
-20 -25
-25
-7.5 0C
C0
-16 0C
8 0C
-25
-21.5 0C
2 0C
-26 0C
2. Material para apoyo del docente prohibida a) su reproducción parcial o total Ubica en la recta los valores que se describen en cada inciso.
La temperatura que registró en promedio una persona fue de 36.5 °C.
-50
-10
-30
0
10
50
30
b) El pecio sumergido (restos de un barco de guerra) de Wellington wreck, en Nueva Zelanda, se encuentra a una profundidad aproximada de 26 metros bajo el nivel del mar.
-20
-40
0
20
40
c) Toluca registró una temperatura de 8 °C bajo cero.
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Material para apoyo del docente prohibida 184 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 3. su reproducción parcial o total a) Determina la distancia que hay entre los valores que se muestran en cada recta numérica.
-5
10
La distancia entre -5 y 10 es igual a 15
b)
-8
4
La distancia entre -8 y 4 es igual a 12
c) -24
12
Material para apoyo del docente prohibida d) su reproducción parcial o total La distancia entre -24 y 12 es igual a 36
-3
12
La distancia entre -3 y 12 es igual a 15
e)
-2
6
La distancia entre -2 y 6 es igual a 8
Material para apoyo del docente prohibida 185 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 4. su reproducción parcial o total Traza una circunferencia con diámetro igual a 7 cm, de tal forma que ésta pase por los extremos de la cuerda.
Primero se traza la mediatriz del diámetro con el fin de obtener el punto medio o centro de la circunferencia. Se abre el compás a la misma distancia que hay entre uno de los extremos del diámetro y el centro, para más tarde apoyarlo en éste último y trazar la circunferencia.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5. Traza una circunferencia, de tal manera que ésta pase por los puntos A, B y C.
A
C B
Se unen los puntos A, B y C. Luego se trazan las mediatrices de cada lado que forman al triángulo. El punto donde concurren es el centro de la circunferencia (circuncentro).
Material para apoyo del docente prohibida 186 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 6. su reproducción parcial o total Considerando que los extremos RS de una cuerda son puntos de la circunferencia, determina el centro de la misma.
C
R
S
Se traza la mediatriz del segmento RS y se ubica un punto (C) sobre ella. Posteriormente se apoya la punta del compás sobre dicho punto y se traza la circunferencia.
7. Completa la siguiente tabla en la que se muestra la longitud del contorno y diámetro de algunos objetos que fueron
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total medidos por un grupo de personas.
Diámetro
Contorno
Medida del contorno Diámetro
Lupa
7.1 cm
22.30 cm
22.30 cm 7.1 cm . 3.14
Aro
6.5 cm
20.42 cm
20.45 cm 6.5 cm . 3.14
Pulsera
4.2 cm
13.19 cm
13.19 cm 4.2 cm . 3.14
Espejo
18.32 cm
57.55 cm
57.55 cm 18.32 cm . 3.14
Objeto
8. Con base en los datos que se te proporcionan, completa la siguiente tabla: Radio
Diámetro
Perímetro
1
2
2r
2
4
4r
3
6
6r
4
8
8r
5
10
10r
6
12
12r
Material para apoyo del docente prohibida 187 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 9. su reproducción parcial o total Completa la siguiente tabla considerando que 3.14 es el valor de r . Objeto
Radio
Área = r r 2
Báscula
32 cm
^3.14 h^32 cm h2 = 3 215.36 cm 2
Lente de un telescopio
6.4 cm
^3.14 h^6.4 cm h2 . 128.61cm 2
Mesa
4.2 cm
^3.14 h^4.2 cm h2 . 55.38 cm 2
18.32 cm
^3.14 h^18.32 cm h2 . 1 053.85 cm 2
Tapete
10. Con base en los datos que se te proporcionan, completa la siguiente tabla. Radio
Radio × radio
Área
1
1
r
2
4
4r
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 3
9
9r
4
16
16r
5
25
25r
6
36
36r
11. Encuentra el valor faltante para cada uno de los casos. 1 a) 20 ml de leche - 4 g de harina 15 ml de leche - x
^15 h` 1 j 15 15 3 4 4 x= = 20 = 80 = 16 20 1 x= 3 16
Para 15 ml de leche se ocupan
3 g de harina. 16
b) 15 g de arroz - 2 l de agua 1 x- 2 l
x=
` 12 j^15 h
15 g de arroz se emplean para medio litro de agua. 4
2
15 15 2 = 2 = 4 1
Material para apoyo del docente prohibida 188 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida c) su reproducción parcial o total 125 ml de cloro -12 l de agua
x=
x - 22 l de agua
Para 22 litros de agua se requieren 1
^22 h^125 h 2 750 1 375 = 12 = 6 12
375 litros de cloro. 6
d) 5 ml de jarabe - 8 h
x=
x - 32 h
^5 h^ 32 h 160 = 8 = 20 8
En 32 horas se consumen 20 ml de jarabe.
e) 2 088 focos - 36 cajas 870 focos -x
x=
^870 h^36 h 31320 = 2088 = 15 2088
Los 870 focos se almacenan en 15 cajas.
f)
3 100 g de levadura - 220 g de azúcar 9 100 g de levadura - x
x=
9 j^ ` 100 220 h 3 100
1 980 198 000 100 = = 300 = 660 3 100
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Por
9 de gramo de levadura se utilizan 660 gramos de azúcar. 100
12. Observa las siguientes figuras y posteriormente responde lo que se describe en cada inciso. a) 7 cm
18 cm
6 cm
6 cm
7 3 cm
2 cm
• Determina el factor de proporcionalidad que te permite obtener las medidas de la segunda figura en función de la primera. El factor de proporcionalidad que permite determinar los valores de la segunda figura respecto a la primera es 2 . 6 • Determina el factor de proporcionalidad que te permite obtener las medidas de la primera figura a partir de la segunda. 6 El factor de proporcionalidad que permite determinar los valores de la primera figura respecto a la segunda es 2 o 3
Material para apoyo del docente prohibida 189 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida b) su reproducción parcial o total 1.2 cm
3 cm
2.4 cm
6 cm
•Determina el factor de proporcionalidad que te permite obtener las medidas de la primera figura a partir de la segunda. El factor de proporcionalidad que permite determinar los valores de la primera figura respecto a la segunda es 5 o 2.5 2 •Determina el factor de proporcionalidad que te permite obtener las medidas de la segunda figura en función de la primera. 2 El factor de proporcionalidad que permite determinar los valores de la primera figura respecto a la segunda es 5 o 0.4
13. Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Completa la siguiente tabla considerando las medidas de la primera figura y los valores que se proporcionan. Medidas de la figura 1
Factor de proporcionalidad
Medidas de la figura 2
Factor de proporcionalidad
Medidas de la figura 1
4 cm
1 4
1 cm
4
4 cm
9.41 cm
1 4
941 400 cm
4
9.41 cm
6 cm
1 4
6 3 4 = 2 = 1.5 cm
4
6 cm
8 cm
1 4
8 4 = 2 cm
4
8 cm
9 cm
1 4
9 4 = 2.25 cm
4
9 cm
9 cm
1 4
9 4 = 2.25 cm
4
9 cm
Material para apoyo del docente prohibida 190 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 14. su reproducción parcial o total Emplea una representación gráfica que muestre todas las posibles opciones que tiene Selene para combinar sus 2 pares de aretes color amarillo y rojo, con sus 3 pares de zapatos de color amarillo, rojo y azul. Zapatos amarillos
Arete amarillo
Zapatos rojos Zapatos azules
Selene Zapatos amarillos Arete rojo
Zapatos rojos Zapatos azules
Selene tiene 6 formas de poder combinar sus aretes y zapatos.
15. Utiliza un diagrama de árbol para determinar el número de combinaciones que puede utilizar Jaime para dis-
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total frazarse, conociendo que dispone de 3 antifaces, uno negro, uno rojo y uno verde; 2 capas, una negra y una blanca; 2 pares de guantes, uno negro y otro blanco. Guantes
Capa
negros
negra
Guantes blancos
Antifaz negro
Guantes Capa
negros
blanca
Guantes blancos Guantes
Jaime
Capa
negros
negra
Guantes blancos
Antifaz rojo
Guantes Capa
negros
blanca
Guantes blancos Guantes
Jaime tiene 12 formas posibles para disfrazarse.
Capa
negros
negra
Guantes blancos
Antifaz verde
Guantes Capa
negros
blanca
Guantes blancos
Material para apoyo del docente prohibida 191 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 16. su reproducción parcial o total ¿De cuántas maneras se pueden formar 3 personas en una fila?
Utiliza un diagrama de árbol para representar tu respuesta.
Se pueden formar de 6 maneras: Primera persona
Segunda persona
Segunda persona
Tercera persona
Tercera persona
Segunda persona
Primera persona
Tercera persona
Tercera persona
Primera persona
Primera persona
Segunda persona
Segunda persona
Primera persona
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Tercera persona
Material para apoyo del docente prohibida 192 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 17. su reproducción parcial o total Se describe en un diario de la Cd. de México, que de 100 personas que fueron encuestadas, cada una cree que al realizar cierta actividad se libera del estrés; 32 prefieren escuchar música; 25 hacen deporte; 16 conviven con los amigos; 9 hacen alguna manualidad, 8 leen un libro, 6 duermen, 3 juegan algún videojuego y una va al cine.
a) Representa la información que se te presentó en una gráfica de barras. 35 30 25 20 15 10 5 0 ine
lc
jue
vid
eo
Do
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go s
ir
rm
r
Le e
s
da de
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Jug
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rte
po
de
Ha ce r
Es
cu
ch
ar
mú
sic
a
igo s
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Con base en la información que se te proporcionó, completa la siguiente tabla. Actividad
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa Fracción
Decimal
Porcentaje
Grados del sector circular
Escuchar música
32
32 100
0.32
32%
115.2o
Hacer deporte
25
25 100
0.25
25%
90o
Convivir con amigos
16
16 100
0.16
16%
57.6o
Hacer manualidades
9
9 100
0.09
9%
32.4o
Leer
8
8 100
0.08
8%
28.8o
Dormir
6
6 100
0.06
6%
21.6o
Jugar videojuegos
3
3 100
0.03
3%
10.8o
Ir al cine
1
1 100
0.01
1%
3.6o
Material para apoyo del docente prohibida 193 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida c) su reproducción parcial o total Actividades Representa la información de las últimas dos columnas de la tabla anterior en una gráfica circular.
3.6o
10.8
o
Escuchar música (115.2o)
21.6o
Hacer deporte (90o)
28.8
o
115.2o 32.4o
Convivir con amigos (57.6o) Hacer manualidades (32.4o) Leer (28.8o)
57.6o 90
o
Dormir (21.6o) Jugar videojuegos (10.8o) Ir al cine (3.6o)
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 194 su reproducción parcial o total
Material para apoyo delbloque docente prohibida Evaluación: 4 su reproducción parcial o total Secundaria:___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊
Subraya en cada caso la respuesta correcta.
1. ¿Qué par de letras representan la posición de los números - 3.6 y
H
- 3.2
D
A
F
B
4 - 5 en la recta? G
1.6
E
C
a) C y G b) F y H c) B y G d) B y H 2. En una ciudad (A) se registró una temperatura de −12°C, mientras que en otra ciudad (B) el termómetro marcó −18°C. ¿En qué ciudad se registró la menor temperatura?
5. ¿Cuál es la distancia aproximada que recorrerá una llanta al dar cuatro vueltas completas si su radio es de 2.3 cm?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) En la ciudad B b) En ninguna ciudad c) En la ciudad A d) En ambas ciudades se registró la menor temperatura
3. ¿Qué datos es indispensable conocer para construir un círculo? a) L a longitud que hay entre dos puntos de la circunferencia b) El centro del círculo c) Tres puntos no alineados d) La longitud de la circunferencia
4. El valor de r es una relación que se establece entre dos variables, ¿cuáles son? a) La longitud de la circunferencia y el diámetro b) La longitud del radio y el diámetro c) D istancia entre dos puntos cualesquiera de la circunferencia y el radio d) Área del círculo y su centro
a) 55.064 cm b) 60.496 cm c) 57.776 cm d) 51.944 cm
6. Para preparar 9 kilogramos de yogur de sabor se necesita 1 de kilogramo de nuez, 3 de kilogramo 4 8 de plátano y 50 gramos de avena. ¿Con qué cantidad de plátano se preparan 3 de kilogramos de yogur? 4 1 a) 16 de kilogramo 1 b) 4 de kilogramo c) 0.10 kilogramos d) 0. 250 kilogramos
7.Fortino necesita hacer banderas de dos tamaños distintos, la mitad con las medidas 8.9 cm de altura y 4.5 cm de base, y el resto con medidas proporcionales a las anteriores. ¿Si se sabe que la base de las segundas banderas tienen una longitud de 24.3 cm, cuál es el valor de la altura? a) 48.20 cm b) 48.05 cm c) 48.37 cm d) 48.06 cm
Material para apoyo del docente prohibida 195 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 8. El siguiente croquis es una reducción que ha hecho Pablo de otro croquis mucho más grande pero con las mismas características. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que permite sacar las medidas del croquis más grande si la reducción está a escala 2 : 5 centímetros?
a)
2 b) 5 4 10 c) 5 d) 12
11. Orlando desea adornar un pino con esferas, escarcha navideña y luces. ¿De cuántas maneras puede decorar el pino Orlando si sólo puede llevar un color de esferas, uno de escarcha y uno de luces, y dispone de esferas rojas y amarillas, escarcha roja y verde y luces amarillas, azules y moradas? a) 10 combinaciones b) 12 combinaciones c) 6 combinaciones d) 7 combinaciones 12. ¿Qué porcentaje de la gráfica representa a la cantidad de calzado vendido en Veracruz? Venta de zapatos en tres estados de la República mexicana 39.6°
9. ¿Cuántos centímetros de malla ciclónica son necesarios para cercar todo el patio de una casa si en el plano que representa a esa área el patio tiene las siguientes dimensiones: 3.2 cm y 6.3 cm? Considérese que el lado que tiene de longitud 3.2 cm en la realidad mide 800 centímetros?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) 4450 centímetros b) 4500 centímetros c) 4750 centímetros d) 4800 centímetros
10. En un zoológico hay tres lugares adyacentes que están reservados para tres clases de animales: un tigre, un león y un leopardo. ¿De cuántas maneras diferentes se puede acomodar a estos tres felinos? a) De seis maneras diferentes b) De tres maneras diferentes c) De 12 maneras diferentes d) De 10 maneras diferentes
90°
230.4°
Veracruz Monterrey Coahuila a) 66% b) 63% c) 64% d) 65%
Material para apoyo del docente prohibida 196 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida BLOQUE 5 su reproducción parcial o total Competencias que se favorecen:
• Resolver problemas de manera autónoma • Comunicar información matemática • Validar procedimientos y resultados • Manejar técnicas eficientemente
Aprendizajes esperados: • Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. • Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales. • Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario.
Matemático y astrónomo quien describió y propuso en un tratado llamado Métrica, un método o algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada, el cual se basa en determinar por aproximaciones sucesivas la raíz cuadrada de un número positivo.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Herón de Alejandría Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida Manejo de la información
Contenido 1 2 3 4 5 6
Tema Problemas aditivos Problemas multiplicativos Patrones y ecuaciones Medida Proporcionalidad y funciones
Evaluación
Material para apoyo del docente prohibida 197 su reproducción parcial o total
Material paraTema: apoyo deladitivos docente prohibida Problemas Contenido 1 su reproducción parcial o total 1.1 Signos iguales y diferentes: suma
Para efectuar una suma con signos iguales se sumará el valor absoluto de los valores que están en el paréntesis, y el resultado será positivo o negativo dependiendo del signo que los acompaña. (+8) + (+8) = 16 porque |+ 8| + | + 8| = 8 + 8 = 16 ( - 8) + ( - 8) = - 16 porque | - 8| + | - 8| = 8 + 8 = 16 (+5) + (+12) = 17 porque |+ 5| + |+12| = 5 + 12 = 17 ( - 5) + ( - 12) = - 17 porque | - 5| + | - 12| = 5 + 12 = 17 En caso de que los sumandos que se encuentran en los paréntesis tengan signo diferente, se procede a restar del número de mayor valor absoluto el número de menor valor absoluto. El resultado será positivo o negativo en función del sumando que tenga mayor valor absoluto. (+7) + ( - 3) = 4 porque + 7 = 7 y - 3 = 3 luego 7 - 3 = 4 ( - 8) + (+2) = - 6 porque - 8 = 8 y +2 = 2 luego 8 - 2 = 6 (+4) + ( - 6) = - 2 porque + 4 = 4 y - 6 = 6 luego 6 - 4 = 2 ( - 9) + (+12) = 3 porque - 9 = 9 y +12 = 12 luego 12 - 9 = 3 ◊ Resuelve los siguientes problemas llevando a cabo las operaciones pertinentes.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) Un tinaco contenía 2450 litros de agua, y por la noche d) Una ruleta está divida en siete sectores; el primero está captó otros 1250 litros del mismo líquido. ¿De cuántos etiquetado con el valor - 3, el segundo con 5, el tercero con 4, el cuarto con - 8, el quinto con - 6, el sexto litros dispone el tinaco ahora? con 9 y el séptimo con - 13. Si Miguel lanzó por vez El tinaco dispone de 3700 litros: primera los dardos y quedaron sobre las superficies (+ 2450) + (+ 1250) = 3700 marcadas con los números - 13 y 5, ¿cuántos puntos a favor o en contra tiene?
b) En Chihuahua se registraron dos temperaturas, la primera se presentó entre 1:00 am y 3:00 am y fue de 4oC, mientras que la segunda fue 3 grados más baja que la primera ¿De cuántos grados fue la segunda temperatura que se registró en Chihuahua? La segunda temperatura que se registró en Chihuahua fue de - 7 grados centígrados: ( - 4) + ( - 3) = - 7 c) Un protón tiene carga positiva (+1), y un electrón, carga negativa ( - 1). Al unir estas partículas forman un átomo, el cual adquiere una carga total que está en función de si perdió o ganó electrones. ¿Cuál es la carga total que tendrá un átomo que tiene 7 protones y 9 electrones? La carga total del ión es de - 2: (+ 7) + ( - 9) = − 2
Miguel tiene 8 puntos en contra: ( - 13) + (+ 5) = - 8 e) Los alumnos de tercer grado de una escuela secundaria diseñaron un prototipo de una calculadora para llevar a cabo exclusivamente operaciones matemáticas con números de distinto signo. Para poner a prueba la calculadora, hicieron la siguiente operación: (2) + ( - 4) + ( - 6) + (10), y el resultado que arrojó fue - 2. Realiza las operaciones correspondientes para verificar si el prototipo funciona correctamente y se encuentra listo para ser usado por todos los alumnos de esa escuela. El resultado correcto es 2: (2) + ( - 4) = - 2 ( - 2) + ( - 6) = - 8 ( - 8) + (10) = 2
Material para apoyo del docente prohibida 198 su reproducción parcial o total
Material para1.2apoyo dely diferentes: docente Signos iguales resta prohibida su reproducción parcial o total Para llevar cabo una resta de dos números con signo, se suman el minuendo y el simétrico del sustraendo. (− 11) − (− 12) = 1, ya que se suman el minuendo y el simétrico del sustraendo: (− 11) + (+ 12) = 1
(+ 12) − (+ 17) = − 5, ya que se suman el minuendo y el simétrico del sustraendo: (+ 12) + (− 17) = − 5 (− 9) − (+ 8) = − 17, ya que se suman el minuendo y el simétrico del sustraendo: (− 9) + (− 8) = − 17 (+ 14) − (− 6) = 20, ya que se suman el minuendo y el simétrico del sustraendo: (+ 14) + (+ 6) = 20 ◊ Resuelve los siguientes problemas efectuando las operaciones pertinentes. a) El equipo de Rafael disputó su último partido de futbol, consiguiendo un total de 21 puntos sin considerar los puntos descontados de acuerdo a las reglas del juego consisten en que por cada amonestación que tenga cada jugador, el equipo perderá 2 puntos, y por cada expulsión, 3 puntos. Además, si el equipo no porta el uniforme, es sancionado con 3 puntos menos. ¿Cuántos puntos a favor tiene el equipo de Rafael si en un juego amonestaron a uno de sus jugadores y otro fue expulsado, y en el último partido perdieron 3 puntos porque una persona no se presentó con el uniforme completo? El equipo de Rafael obtuvo 13 puntos: (+21) − (+2) = 19 (+19) − (+3) = 16 (+16) − (+3) = 13
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Una noche de invierno el termómetro marcó − 2oC a las 7:00 pm; una hora después disminuyó tres grados, de 9:00 pm 10:00 pm la temperatura aumentó cuatro grados; y seis horas más adelante descendió 6 grados. ¿Qué temperatura se registró? Se registró − 7oC: (− 2) − (+ 3) = − 5 (− 5) + (+ 4) = − 1 (− 1) − (+ 6) = − 7 c) Javier se sumergio en el mar y se encuentra a 3 metros de la superficie, mientras que un pez se localiza a 11 metros por debajo del nivel del mar. ¿Qué distancia hay entre Javier y el pez? Hay 8 metros de distancia: (− 3) − (− 11) = 8 d) En un vaso se vertió agua a una temperatura de 18oC, pero a medida que pasó el tiempo, el líquido fue adquiriendo otras temperaturas como consecuencia del cambio del clima. Primero descendió 2 grados, luego 1 grado y después 5 grados. Finalmente, el vaso con agua fue colocado en un congelador, que originó que su temperatura descendiera otros 12 grados. ¿Cuál fue la temperatura final del contenido del vaso? La temperatura del contenido del vaso fue de −2oC: (+ 18) − (+ 2) = 16 (+ 16) − (+ 1) = 15 (+ 15) − (+ 5) = 10 (+ 10) − (+ 12) = −2
Material para apoyo del docente prohibida 199 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total e) El extremo superior del periscopio (instrumento óptico que ayuda a observar zonas inaccesibles) de un buque submarino se encontraba primero a 30 centímetros por encima de la superficie del mar y después a 200 centímetros bajo el nivel del mar. ¿Qué distancia hay entre ambos puntos? La distancia es de 230 centímetros: (+30) − (−200) = 230
1.1 Divisibilidad 1.3 Profundiza entre un número ◊ Lleva a cabo lo que se indica en cada inciso. a) Resuelve las siguientes expresiones. • (− 5) + (4) + (− 2) = − 3
• (− 6) − (− 12) − (− 4) = 10
• (− 3) − (− 2) + (5) = 4
• (− 7) + (− 12) + (− 12) − (− 3) = − 28
• (4) + (8) − (− 16) = 28
• (6) − (− 13) − (− 12) + (9) = 40
b) En la siguiente tabla se muestran los movimientos que Juan realizó con su tarjeta de crédito. Los pagos representan abonos que hizo a su tarjeta, y el resto son gastos que llevó a cabo. ¿Cuánto abonó o gastó de más Juan? Detalle de movimientos
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Fecha
Concepto
Población
México, DF
Cantidad en pesos
Ago12
Café El Londinense
$358.68
Ago12
Su pago…gracias
Ago15
Disposición en efectivo en cajero 4567 Centro comercial UH
Ago15
Comisión por disposición en efectivo
Ago17
Su pago… gracias
Ago21
Tienda de electrónicos UP
México, DF
$120.00
Ago22
Restaurante La Piedad
México, DF
$236.00
Sept6
Florería Cienfuegos
México, DF
$350.00
Sept8
Su pago…gracias
− $240.00
Monterrey, NL
$1500.00 $58.50
− $1455.00
− $950.00
Juan abonó 21.82 pesos de más: (358.68 + 1500.00 + 58.50 + 120.00 + 236.00 + 350.00) + ((− 240.00) + (− 1455.00) + (− 950.00)) = 2623.18 + (− 2645) = − 21.82
Material para apoyo del docente prohibida 200 su reproducción parcial o total
Material para Tema: apoyo delmultiplicativos docente prohibida Problemas Contenido 2 su reproducción parcial o total 2.1 Potencias de 10
El índice, exponente o potencia de la base o número; que en este caso es 10, señala cuántas veces se empleará éste en una multiplicación. Índice, exponente o potencia 103 = 10 × 10 × 10 Base o número Asimismo, el exponente de cantidades que están representadas en notación científica y que requieren ser expresadas en notación decimal, indica el número de espacios que se debe recorrer el punto decimal hacia la derecha. Cantidad expresada en notación científica 3.5 × 105 = 350 000 Cantidad expresada en notación decimal ◊ Lleva a cabo lo que se indica en cada inciso.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) Completa los espacios vacíos de la siguiente tabla y averigua la equivalencia de los prefijos, que sirven para nombrar a los múltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional. 10n
10
Prefijo
12
tera
109
giga
106 103
mega
Notación decimal 1 000 000 000 000
Notación científica 1 × 1012
1 000 000 000 1 000 000
1 × 109 1 × 106
kilo
1000
1 × 103
102
hecto
100
1 × 102
101
deca
10
1 × 101
b) Registra en notación decimal las siguientes expresiones. • 4 × 104 = 40 000
• 4.7 × 103 = 4 700
• 7 × 106 = 7 000 000
• 2.3 × 108 = 230 000 000
• 12 × 105 = 1 200 000
• 9.23 × 104 = 92 300
• 32 × 103 = 32 000
• 7.68 × 1012 = 7 680 000 000 000
c) Anota en notación científica las siguientes expresiones. • 50 000 = 5 × 104
• 270 000 = 2.7 × 105
• 60 000 000 = 6 × 107
• 324 000 = 3.24 × 105
• 24 000 000 = 2.4 × 107
• 879 000 = 8.79 × 105
• 45 000 = 4.5 × 104
• 413 200 000 000 = 4.132 × 1011
Material para apoyo del docente prohibida 201 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Llena los espacios vacíos con la información correspondiente. Parámetro
Notación decimal
Diámetro del Sol
Notación científica 1.392 × 106 km
1 392 000 km
Distancia de la Tierra a la Luna
3.844 × 105 km
384 400 km 12 756 km
Diámetro de la Tierra Longitud del río Tehuantepec
1.2756 × 104 km 2.4 × 102 km
240 km 182 m 381 m
Altura de la Torre Latinoamericana Altura del Empire State Building
1.82 × 102 m 3.81 × 102 m
2.2 Potencias de 10 acompañadas del signo negativo El exponente de base 10, acompañado del signo negativo, indica el número de veces que debe aparecer el 10 en la multiplicación que se efectúa en el denominador de la fracción. Índice, exponente o potencia 10
-3
1 = 10 # 10 # 10
Base o número
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Del mismo modo, el índice de cantidades pequeñas que están representadas en notación científica y que requieren ser expresadas en notación decimal indica el número de espacios que se debe recorrer el punto decimal hacia la izquierda. Cantidad expresada en notación científica 3.5 × 10-5 = 0.000035
Cantidad expresada en notación decimal ◊ Realiza lo que se te pide en cada caso. a) Completa los espacios vacíos de la siguiente tabla y averigua la equivalencia de los prefijos; que sirven para nombrar a submúltiplos de cualquier unidad del Sistema Internacional. 10n
Prefijo
-1
10
deci
0.1
1 × 10-1
10-2 10-3
centi
0.01
mili
0.001
1 × 10-2 1 × 10-3
10 10-9
micro
0.000 001
nano
0.000 000 001
1 × 10-6 1 × 10-9
pico
0.000 000 000 001
1 × 10-12
-6
10
-12
Notación decimal
Notación científica
b) Escribe en notación decimal las siguientes expresiones. • 5 × 10-4 = 0.000 5
• 4.7 × 10-3 = 0.0047
• 8 × 10-6 = 0.000 008
• 2.3 × 10-8 = 0.000 000 023
• 14 × 10-5 = 0.000 14
• 9.23 × 10-4 = 0.000 923
• 32 × 10-3 = 0.032
• 7.68 × 10-12 = 0.000 000 000 007 68
Material para apoyo del docente prohibida 202 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) Anota en notación científica las siguientes expresiones. • 0.0005 = 5 × 10 -4
• 0.000 027 = 2.7 × 10-5
• 0.000 000 6 = 6 × 10-7
• 0.000 032 4 = 3.24 × 10-5
• 0.000 000 24 = 2.4 × 10-7
• 0.000 087 9 = 8.79 × 10-5
• 0.000 45 = 4.5 × 10-4
• 0.000 000 000 041 32 = 4.132 × 10-11
d) Llena los espacios vacíos con la información correspondiente. Parámetro Masa del electrón Carga del electrón Anchura de un espermatozoide
Notación decimal
Notación científica
0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 kg
9.1 × 10-31 kg
0.000 000 000 000 000 00016 kg 0.000 32 m
1.6 × 10-19 kg
Grosor de 250 hojas de un libro
0.02 m
3.2 × 10-4 m 1.5 × 10-2 m 2 × 10-2 m
512 milímetros
0.512 m
5.12 × 10-1 m
Longitud de una mosca
0.015 m
2.3 Profundiza
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Analiza cada situación que se expone y responde las preguntas.
a) El planeta Tierra tiene un diámetro de 12 756 km, ¿cuál será el diámetro de Mercurio si se sabe que éste mide 0.38 veces el diámetro de nuestro planeta? Expresa tu resultado en metros y en notación científica. El resultado de la multiplicación 12 756 × 0.38 es 4 847.28. Por lo que el diámetro de Mercurio es igual a 4 847.28 kilómetros que expresado en notación científica es 4.84728 × 103 m b) La medida del lado de una mesa es igual a 5 × 101 m. ¿Cuál será longitud, expresada en centímetros y en notación científica, de uno de los lados de un objeto que es 0.12 veces el lado de la mesa? El resultado de la multiplicación (5 × 101 )(0.12) es 0.6. Por lo que uno de los lados del objeto mide 0.6 metros que expresado en notación científica es 0.6 × 102 centímetros. c) ¿Cuál es el resultado de la suma de las cantidades 2 × 102 y 2 × 10-2? Expresa tu resultado en notación decimal. El resultado es 200.02: 2 × 102 = 200 y 2 × 10-2 = 0.02. Luego 200 + 0.02 = 200.02
d) Al registrar y sumar en una calculadora las expresiones 3.5 × 10-4 y 2 × 10-2 , la pantalla mostró el siguiente resultado 0.02035. ¿Cuál es la expresión, en notación científica, que represente la solución? El resultado es 2.035 × 10−2: 3.5 × 10−4 = 0.00035 y 2 × 10−2 = 0.02 0.00035 + 0.02 = 0.02035 0.02035 = 2.035 × 10-2
Material para apoyo del docente prohibida 203 su reproducción parcial o total
Material para apoyo docente prohibida Tema: Problemasdel multiplicativos Contenido 3 su reproducción parcial o total 3.1 Potenciación de exponente n
La potenciación resulta de expresar la base, que es a, como factor n veces. Considerando que n es un entero positivo y a es un número real. Índice, exponente o potencia an = a × a × a × a…× a Base o número Por ejemplo: 56 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 15 625 ◊ Calcula las siguientes potencias. a) 35= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
d) 82= 8 × 8 = 64
b) 63= 6 × 6 × 6 = 216
e) 3253= 325 × 325 × 325 = 34 328 125
c) 127= 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12 = 35 831 808
f) 212 = 21 × 21 = 441
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Resuelve las siguientes operaciones matemáticas.
a) 32 + 56 = (3 × 3) + (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5) = 9 + 15 625 = 15 634 b) 102 + 122 = (10 × 10) + (12 × 12) = 100 + 144 = 244
c) 42 − 52 = (4 × 4) − (5 × 5) = 16 − 25 = −9 d) 74 − 84 = (7 × 7 × 7 × 7 ) − (8 × 8 × 8 × 8) = 2401 − 4096 = −1695 e) 102 + 32 = (10 × 10) + (3 × 3) = 100 + 9 = 109 f) 104 ÷ 103 = 10 # 10 # 10 # 10 = 10 000 = 10 10 # 10 # 10 1000
3.2 Raíz principal Para determinar la raíz cuadrada principal, conocidos el radicando y su índice, se debe hallar la base que originó dicho radicando. Índice 2
b
Radical
Radicando Lo que se quiere decir, es que se tiene que encontrar a un número a (base) cuyo exponente sea 2, y que al ser expresado como potencia y operar matemáticamente, de como resultado b. Por ejemplo:
2
2
16 = 4 porque 4 = 4 # 4 = 16
Material para apoyo del docente prohibida 204 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Determina la raíz cuadrada principal de los siguientes números. a)
2
25 = 5 porque 52 = 5 × 5 = 25
d)
2
121 = 11 porque 112 = 11 × 11 = 121
b)
2
36 = 6 porque 62 = 6 × 6 = 36
e)
2
144 = 12 porque 122 = 12 × 12 = 144
c)
2
64 = 8 porque 82 = 8 × 8 = 64
f)
2
225 = 15 porque 152 = 15 × 15 = 225
Un método para hallar la raíz cuadrada principal de un número cuadrado perfecto es descomponiendo el radicando en números primos. 2 441 = 2 3 # 3 # 7 # 7 = 2 3 # 7 # 3 # 7 = 2 21 # 21 El producto de los dos factores que se localizan dentro del signo radical representa el cuadrado de 212; mientras que cualquiera de ambos números representa la raíz cuadrada principal de 441. Por convenio, no se coloca el índice 2 a cuando se trata con este tipo de raíz. un lado del signo ◊ Emplea el método de resolución por descomposición de factores para hallar la raíz cuadrada principal de los siguientes números. 3#3#5#5 =
3#5#3#5 =
15 # 15 = 15
a)
225 =
b)
324 = 2 # 2 # 3 # 3 # 3 # 3 =
c)
361 =
19 # 19 = 19
d)
81 =
3#3#3#3 =
e)
256 =
2#2#2#2#2#2#2#2 =
16 # 16 = 16
f)
576 =
2#2#2#2#2#2#3#3 =
2#2#2#3#2#2#2#3 =
2#3#3#2#3#3 =
18 # 18 = 18
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 9#9 = 9
24 # 24 = 24
◊ Algoritmo para obtener la raíz cuadrada principal. 1
2
3
Se divide el radicando en períodos de dos cifras de derecha a izquierda.
452 2 4 0 Se busca un número que elevado al Se resta de 4 el cuadrado de 2 para cuadrado sea igual o muy cercano a obtener un primer residuo: 4: 2 × 2 = 4. 4−4=0
4
5
452
452 2 052 4
Se baja el segundo período y se duplica la raíz: 2×2=4
452
452 21 052 4
Se divide 5 entre el doble de la raíz. El cociente obtenido, que es 1, se escribe como la siguiente cifra de la raíz.
6
452 21 052 41 - 41
11 Se anota 1 seguido del doble de la raíz y se obtiene 41. Luego se multiplica 1 × 41= 41 y se resta de 52.
Material para apoyo del docente prohibida 205 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 7
8
452 21. 052 41 1100
9
452 21.2 41 052 1100 42
Si se quiere aproximar a decimales, se coloca un punto decimal a un lado de la raíz y se agrega un período de dos ceros.
Se duplica la raíz. Después se divide 11 entre 4 y el cociente obtenido se coloca como siguiente cifra de la raíz.
10
11
452 21.26 052 41 1100 422 25600 4246 124
Se agregan dos ceros al residuo. El procedimiento se repite tal como se describió en los pasos 5 a 9.
452 21.26 052 41 1100 422 25600 4246 124
La razón obtenida hasta el momento se encuentra aproximada sólo a centésimos
452 21.2 41 052 1100 422 - 844 256 Se anota 2 seguido del doble de la raíz (teniendo en cuenta que es un número entero) y se obtiene 422. Luego se multiplica 2 × 422 = 844 y se resta de 1100. 21.26 12 21.26 # 21.26 21.26 # 12756 12756 4252 4252 2126 2126 4252 4252 451.9876 451.9876 + 0.0124 (Residuo) + 0.0124 (Residuo) 452.0000 452.0000 Se ha verificado.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Se desea colocar una cerca con 5 hilos de alambre alrededor de un terreno cuadrangular de tal manera que el alambre pase por los cuatro postes que estarán colocados en las esquinas del terreno de área igual a 15 129 m2. a) ¿Cuál es la distancia que debe haber entre cada poste? b) ¿Cuántos metros de alambre se necesitan comprar para poder cerca el terreno?
Se obtiene la raíz cuadrada principal de 15 129 para obtener la longitud de los lados del terreno. 2
15 129 m = 123 m Los lados del terreno miden 123 metros que a su vez representan la distancia entre un poste y otro. Por otra parte, para cercar el terreno se requieren comprar 2460 metros: 123 m × 4 = 492 m 492 m × 5 = 2460 m ◊ En uno de los lados de un terreno cuadrangular de 121 metros cuadrados se pretende colocar varias plantas de tal manera que la distancia que las separe sea la misma. a) ¿Cuál es la medida de uno de los lados del terreno? b) ¿Cuántas plantas puede haber en un lado del terreno si en sus extremos ya se cuentan con dos y la distancia que debe haber entre cada una es de 2.2 metros? La medida de uno de los lados del terreno es igual a 11 metros. 2
121m = 11m Si hay dos plantas en los extremos del lado del terreno, entonces en el lado habrá un total de 6 plantas. 2.2 m
2.2 m
2.2 m
2.2 m
2.2 m
Material para apoyo del docente prohibida 206 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Mediante el método de aproximación, se consigue aproximar tanto como sea posible la raíz principal de un número. Ésta consiste, en averiguar entre que par de números enteros positivos se encuentra la raíz cuadrada. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 20 se encuentra entre los números 4 y 5; se expresa como: 4 < 20 < 5. Por lo anterior, se sabe que la raíz se localiza entre dos números decimales. Ahora se procede a encontrar los valores, expresados en décimas, más próximos a 20 , como se observa en la siguiente tabla. Número decimal
Cuadrado del número decimal
4.1
16.81
4.2
17.64
4.3
18.49
4.4
19.36
4.5
20.25
Con base en la información de la tabla tenemos que, 4.4 y 4.5 son los valores más a próximos a 20 , porque sus cuadrados se acercan más a 20; y se de la siguiente manera: 4.4 < 20 < 4.5. Además 4.4 es una aproximación por defecto, mientras que 4.5 es una aproximación por exceso.
Si se continua con el proceso, se obtendría un valor más cercano a la raíz cuadrada principal, por ejemplo:
Número decimal
Cuadrado del número decimal
Número decimal
Cuadrado del número decimal
4.41
19.4481
4.45
19.8025
4.42
19.5364
4.46
19.8916
4.43
19.6249
4.47
19.9809
4.44
19.7136
4.48
19.0704
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total De lo anterior se puede afirmar que 4.47 < Número decimal
Cuadrado del número decimal
4.471
19.989841
4.472
19.998784
4.473
20.007729
20 < 4.48. Y si se aproxima por milésimos:
En la tabla se observa que: 4.472 < 20 < 4.473, donde 4.472 y 4.473, son aproximaciones por defecto y por exceso de 20 .
De acuerdo con el método, si se continúa con el proceso se tendrá un resultado cada vez más cercano al valor de la raíz cuadrada principal de 20. Con tu calculadora, dale seguimiento al proceso y observa el resultado. ◊ Completa en cada caso los espacios vacíos de las tablas, para obtener el valor aproximado, con hasta tres decimales, de la raíz cuadrada principal, de los siguientes números. a)
8 Número decimal (en décimos)
Cuadrado del número decimal
Número decimal (en centésimos)
Cuadrado del número decimal
Número decimal (en milésimos)
Cuadrado del número decimal
2.6
6.76
2.81
7.8961
2.826
7.986276
2.7
2.82 2.83
7.9524 8.0089
2.827
2.8
7.29 7.84
2.828
7.991929 7.997584
2.9
8.41
2.84
8.0656
2.829
8.003241
Material para apoyo del docente prohibida 207 su reproducción parcial o total La raíz cuadrada principal de 8 es aproximadamente igual a 2.828
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 6
b)
Número decimal (en décimos)
Cuadrado del número decimal
Número decimal (en centésimos)
Cuadrado del número decimal
Número decimal (en milésimos)
Cuadrado del número decimal
2.3
5.29
2.43
5.9049
2.446
5.982916
2.4
5.76 6.25
2.44 2.45
5.9536 6.0025
2.447
2.5
2.448
5.987809 5.992704
2.6
6.76
2.46
6.0516
2.449
5.997601
La raíz cuadrada principal de 6 es aproximadamente igual a 2.449
◊ Llena los espacios vacíos de las siguientes tablas, para obtener el valor exacto de la raíz cuadrada principal de los siguientes números.
a)
14.6689 Número decimal (en décimos)
Cuadrado del número decimal
Número decimal (en centésimos)
Cuadrado del número decimal
3.5
12.25
3.81
14.5161
3.7
12.96 13.69
3.82
14.5924 14.6689
3.8
14.44
3.84
3.9
15.21
3.85
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 3.6
3.83
14.7456 14.8225
La raíz cuadrada principal de 14.6689 es 3.83
b)
155.2516 Número decimal (en décimos)
Cuadrado del número decimal
Número decimal (en centésimos)
Cuadrado del número decimal
12.1
146.41
12.42
154.2564
12.2
12.43
12.3
148.84 151.29
154.5049 154.7536
12.4
153.76
12.45
12.5
156.25
12.46
12.44
155.0025 155.2516
La raíz cuadrada principal de 155.2516 es 12.46
Material para apoyo del docente prohibida 208 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Otra forma de calcular la raíz cuadrada principal de un número es por medio del método babilónico, que consiste en buscar la longitud del lado de un cuadrado con área conocida. Si se desea saber la raíz cuadrada de 60, se siguen los siguientes pasos: 1. Se buscan dos factores que multiplicados den como resultado 60; por ejemplo, 12 × 5, y se construye un rectángulo con un área de 60 cm2 y las siguientes dimensiones: 12 cm y 5 cm.
5 cm
12 cm 2. Se construirán rectángulos equivalentes que se asemejen a un cuadrado de 60 cm2 de superficie. Posteriormente se promedia la medida de los lados del rectángulo para obtener uno de los lados: 5 cm + 12 cm 17 cm = = 8.5 cm 2 2 2
3. Uno de los lados mide 8.5 cm, por lo que el otro lado es igual a 60 cm . 7.058 cm. De tal forma, se tendría un 8.5 cm rectángulo como el siguiente, que se va pareciendo a un cuadrado.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 7.058 cm
8.5 cm 4. Se saca nuevamente el promedio de la longitud de los lados del rectángulo. 7.058 cm + 8.5 cm 15.558 cm = = 7.779 cm 2 2 5. Se construye un rectángulo que tenga de lado 7.779 cm, y cuyo otro lado es el resultado de la siguiente operación: 2
60 cm 7. 7.779 cm . 713 cm.
7.713 cm
7.779 cm 6. Para obtener la raíz cuadrada principal exacta o próxima, se siguen los mismos pasos que se aplicaron anteriormente.
Material para apoyo del docente prohibida 209 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Utiliza el método babilónico, empleando tres figuras, para averiguar los valores próximos de las raíces cuadradas de los siguientes números. a)
1cm + 1.5376 cm 2.5376 = = 1.2688 cm 2 2
1.5376
1.cm
Medida de uno de los lados: 1.2688 cm Medida del otro lado: 1.211 cm 1.5376 cm 1.211 cm + 1.2688 cm 2.4798 = = 1.2399 cm 2 2
1.211 cm
Medida de uno de los lados: 1.2399 cm Medida del otro lado: 1.24 cm 1.2688 cm
1.2399 cm
El valor próximo es 1.2399 y el exacto 1.24
1.24 cm
3.3 Profundiza
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Lleva a cabo lo que se indica en cada inciso.
a) Averigua si las raíces cuadradas principales de los siguientes números son exactas. •
25 Es exacta
•
400 Es exacta
•
256 Es exacta
•
27 No es exacta
•
196 Es exacta
•
31 No es exacta
•
45 No es exacta
•
441 Es exacta
b) ¿Entre qué números naturales se encuentra la raíz cuadrada principal de cada número que aparece a continuación? •
12
3
1 12 1
4
•
312
17 1 312 1 18
•
18
4
1 18 1
5
•
428
20 1 428 1 21
•
125
11 1 125 1 12
•
1000
31 1 1000 1 32
Material para apoyo del docente prohibida 210 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) La medida del lado desconocido del siguiente rectángulo es igual a la raíz cuadrada principal de la longitud conocida. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo? x
1024 cm 1024 =
2#2#2#2#2#2#2#2#2#2 =
32 # 32 = 32
El perímetro del rectángulo es igual a 1024 cm + 1024 cm + 32 cm + 32 cm = 2112 cm
Tema: Patrones y ecuaciones Contenido 4
4.1 Sucesión de figuras y números: regla general (en lenguaje algebraico) La regla general expresada en lenguaje algebraico ayuda a determinar qué valor asume un término en la sucesión, dependiendo de su posición, y se representa por medio de una expresión algebraica. Por ejemplo, para definir la siguiente sucesión de figuras con progresión aritmética se deben considerar dos reglas.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Regla general expresada en lenguaje común: se multiplica la posición de la figura por la constante aditiva, que es 2, y se le suma 1. Regla general expresada en lenguaje algebraico: 2n + 1.
Donde 2 representa la constante aditiva; n la posición de la figura, y 1 el valor que se suma.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Posición de la figura
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de puntos de la figura
3
5
7
9
11
13
15
17
Constante aditiva (diferencia del número de puntos entre dos figuras consecutivas)
2
2
2
2
Material para apoyo del docente prohibida 211 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Escribe la regla general tanto en lenguaje común como en lenguaje algebraico, que define a cada una de la sucesiones. a)
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Posición de la figura
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de cubos de la figura
1
6
11
16
21
26
31
36
Constante aditiva (diferencia del número de cubos entre dos figuras consecutivas)
5
5
5
5
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición de la figura por la constante aditiva que es 5 y se resta 4.
Regla general expresada en lenguaje algebraico:
5n − 4.
b)
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Posición de la figura
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de puntos de la figura
1
4
7
10
13
16
19
22
Constante aditiva (diferencia del número de puntos entre dos figuras consecutivas)
3
3
3
3
Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición de la figura por la constante aditiva que es 3 y se resta 2. Regla general expresada en lenguaje algebraico:
3n − 2.
Material para apoyo del docente prohibida 212 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c)
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
Posición de la figura
1
2
3
4
5
6
7
8
Número de cuadrados de la figura
5
6
7
8
9
10
11
12
Constante aditiva (diferencia del número de cuadrados entre dos figuras consecutivas)
1
1
1
1
Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición de la figura por la constante aditiva que es 1 y se suman 4. Regla general expresada en lenguaje algebraico: d)
1n + 4.
Posición que ocupa el término
1
2
3
4
5
6
7
8
Término de la sucesión
1
8
15
22
29
36
43
50
Constante aditiva (diferencia entre dos números consecutivos)
7
7
7
7
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición del término por la constante aditiva 7 y se resta 6.
Regla general expresada en lenguaje algebraico: e)
7n − 6.
Posición que ocupa el término
1
2
3
4
5
6
7
8
Término de la sucesión
3
7
11
15
19
23
27
31
Constante aditiva (diferencia entre dos números consecutivos)
4
4
4
4
Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición del término por la constante aditiva 4 y se resta 1. Regla general expresada en lenguaje algebraico: f)
4n − 1.
Posición que ocupa el término
1
2
3
4
5
6
7
8
Término de la sucesión
7
12
17
22
27
32
37
42
Constante aditiva (diferencia entre dos números consecutivos)
5
5
5
5
Regla general expresada en lenguaje común: Se multiplica la posición del término por la constante aditiva 5 y se suma 2.
Material para apoyo del docente prohibida 213 su reproducción parcial o total Regla general expresada en lenguaje algebraico:
5n + 2.
Material 4.2 para apoyo del docente Construcción de sucesiones numéricas prohibida su reproducción parcial o total ◊ En cada uno de los incisos se describe una regla general que define a la sucesión de números, utilízala para completar los espacios vacíos. a) Expresión algebraica: 4n + 2 Término de la sucesión
6
10
14
18
22
26
30
34
38
Posición que ocupa el término
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Término de la sucesión
1
4
7
10
13
16
19
22
25
Posición que ocupa el término
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Término de la sucesión
1
7
13
19
25
31
37
43
49
Posición que ocupa el término
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Término de la sucesión
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Posición que ocupa el término
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b) Expresión algebraica: 3n − 2
c) Expresión algebraica: 6n − 5
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Expresión algebraica: 2n + 4
4.3 Profundiza ◊ Completa los espacios vacíos de la tabla con la información correspondiente. Sucesiones numéricas o de figuras
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Figura 5
2, 4, 6, 8, 10,…
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Regla general Lenguaje común
Expresión algebraica
Multiplicar la posición de la figura por 1 y sumar 1
1n + 1
Números pares.
2n
Multiplicar la posición de la figura por 6 y restar 3.
6n − 3
Figura 5
Material para apoyo del docente prohibida 214 su reproducción parcial o total −3, −2, −1,0,1,…
Multiplicar la posición del término por 1 y restar 4.
1n − 4
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Relaciona las expresiones algebraicas con las sucesiones numéricas anotando en los paréntesis las letras correspondientes. Expresión algebraica a) 7n − 4 b) 4n + 9 c) 7n − 2 d) 2n − 5 e) −7n + 40
( ( ( ( (
Sucesiones a ) 3, 10, 17, 24, 31, … e ) 33, 26, 19, 12, 5, … c ) 5, 12, 19, 26, 33, … b ) 13, 17, 21, 25, 29, … d ) −3, −1, 1, 3, 5, …
Tema: Medida Contenido 5
5.1 Perímetro ◊ Resuelve los siguientes problemas. a) Calcula el perímetro del círculo considerando, si se sabe que dos de los vértices del cuadrado son puntos por los que pasa a la circunferencia y otro vértice, representa el centro del círculo. Toma en cuenta que el área del cuadrado es igual a 4.41cm2 y r = 3.14
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total El área del cuadrado es igual a 4.41 cm2, por lo que 2 4.41cm = 2.1 cm ; que es uno de sus lados mide el radio del círculo. Entonces, el perímetro del círculo es igual a (3.14) (4.2 cm) = 13.188 cm.
b) ¿Cuál será el radio de un vitral cuyo contorno mide 21.98 cm? Considérese que r = 3.14.
3.14 x = 21.98 3.14 21.98 3.14 x = 3.14 x =7 Donde x representa, en centímetros, la medida del diámetro del vitral. Por lo que el radio es igual a 3.5 cm.
Material para apoyo del docente prohibida 215 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total c) La siguiente imagen representa la plataforma de una autopista eléctrica que compró Santiago a su hijo. Si la línea AB mide 1.2 centímetros y BC 0.62 centímetros, ¿cuál es la longitud del contorno de la autopista? Toma en cuenta que el ancho de la pista es igual a 0.2 centímetros y que 3.14 representa al valor de r .
C AB = 1.2 cm BC = 0.62 cm Ancho de la pista 0.2 cm
A
B
La longitud de las dos curvas de la autopista eléctrica se calcula multiplicando dos veces la distancia BC y dos veces la longitud del ancho de la pista para después sumarse los resultados y obtener el diámetro del círculo que forman las partes curvas de la autopista. Su perímetro es igual a 5.1496 cm, porque (3.14)(1.64 cm) = 5.1496 cm, en la que el diámetro es igual a: (0.62 cm × 2) + (0.2 cm × 2 ) = 1.24 cm + 0.4 cm = 1.64 cm. La distancia AB es la medida de cada uno de los pedazos rectos de la autopista, por lo que se suman sus distancias: 1.2 cm + 1.2 cm: 2.4 cm. Entonces, la longitud del contorno de la autopista es igual a: 5.1496 cm + 2.4 cm = 7.5496 cm.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Si el área de un círculo es igual a 12.56 cm2, ¿cuánto mide su circunferencia? Toma en cuenta que r = 3.14.
Empleando la fórmula Ac= r r2, despejamos a r, para averiguar su valor. ?
2 AC 12.56 cm 2 2 2 2 r & = = r & 4 cm = r & r 3.14
2
4 cm = r & 2 cm
Si r es igual a 2 cm, entonces D, que es el diámetro es igual a 4 cm, por lo que la circunferencia tiene una longitud de (3.14) (4 cm) = 12.56 cm.
Material para apoyo del docente prohibida 216 su reproducción parcial o total
Material para apoyo5.2del docente prohibida Área su reproducción parcial o total ◊ Resuelve los siguientes problemas.
a) Si el perímetro del siguiente círculo es igual a 25.13 cm, ¿cuál es su área? Considérese que r = 3.14.
Pc Al despejar D de la expresión Pc = r D, resulta que D = r , y al sustituir los valores se obtiene el valor del diámetro: 25.13 cm . 8 cm . El radio del círculo es igual a 4 cm, por lo que D= 3.14 su área es igual a (3.14) ( 4 cm)2 = 50.24 cm2.
b) ¿Cuál es el área del círculo si se tiene conocimiento de que el perímetro del triángulo isósceles que se forma adentro se define por la expresión 2x + 5 = 11? Considera que x representa a los lados iguales del triángulo y que r = 3.14.
Despejando la expresión 2x + 5 = 11, se tiene: 2x = 11 − 5 2x = 6 6 x= 3. 2 =
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total x representa los lados del triángulo, pero también, el radio del círculo. Por lo que su área es igual a (3.14) (32 ) = 28.26 unidades cuadradas.
c) Averigua cuál es el área sombreada de cada figura e identifica si ambos cuadrados tiene menos superficie sombreada. Considera que el área de cada figura es igual a 81 cm2 y que r es igual a 3.14. El lado de un cuadrado es igual a 9 cm, puesto que la raíz cuadrada de 81 es 9. Además, para el caso de la figura que tiene dos semicircunferencias, su diámetro es igual a 9 cm, que al unirlas forman un círculo de radio 4.5 cm. Por lo que su área es igual a (3.14) (4.5 cm) 2 = 63.585 cm2, al restar éste valor obtenido al área del cuadrado se consigue saber el área de la superficie sombreada: 81 cm2 − 63.585 cm2 = 17.415 cm2. Para conocer el área sombreada de la figura superior, se unen las partes sombreadas para formar los semicírculos como los de la figura inferior. Y darse cuenta que las dos figuras tienen la misma área sombreada.
Material para apoyo del docente prohibida 217 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total d) Determina el área de la parte sombreada teniendo en cuenta que el perímetro del círculo pequeño es igual 18.84 cm, R = 3 cm y r = 3.14.
m
R
=
3c
Para averiguar el área de la zona sombreada se requiere restar el área de la zona sin colorear, al área de todo el círculo, pero antes, se debe averiguar el valor de r, que es el radio del círculo pequeño, al área del círculo más grande, que es r + R. rD = 18.84 cm y D =
18.84 cm = 6 cm. 3.14
Con lo anterior, r = 3 cm y r + R = 3 cm + 3 cm = 6 cm.
El área del círculo sin colorear es (3.14) ( 3 cm)2 = 28.26 cm2 y el área del círculo mayor es (3.14) (6 cm)2 = 113.04 cm2. Restando el área del círculo no sombreado del área total, se tiene que: 113.04 cm2 − 28.26 cm2 = 84.78 cm2
Material para apoyo del docente prohibida 5.3 Profundiza su reproducción parcial o total ◊ Completa los espacios vacíos de la siguiente tabla. Toma en cuenta que r = 3.14 Círculo
Radio
Diámetro
Perímetro
Área
1
2 cm
4 cm
12.56 cm
12.56 cm2
2
1.25
2.5 cm
7.85 cm
4.90625 cm2
3
4 cm
8 cm
25.12 cm
50.24 cm2
4
1.75 cm
3.5 cm
10.99 cm
9.61625 cm2
5
10 cm
20 cm
62.8 cm
314 cm2
Material para apoyo del docente prohibida 218 su reproducción parcial o total
Material paraTema: apoyo del docente Proporcionalidad y funciones prohibida Contenido 6 su reproducción parcial o total 6.1 Dos dimensiones permanecen constantes
En una relación de proporcionalidad múltiple se ve involucrado más de un factor. Además, en ella intervienen tres magnitudes cuya variación es proporcional. Por ejemplo, al determinar el volumen de un prisma rectangular en la tabla 1, se observa que la altura y el largo permanecen constantes, lo único que varía es el ancho. En la tabla 2, el largo y el ancho se mantienen contantes y la altura cambia. En la última tabla, la altura y el ancho son constantes, mientras que el largo varía. Tabla 1
Tabla 2
Altura
Largo
Ancho
Volumen
Altura
Largo
Ancho
Volumen
2 cm
3 cm
2 cm
3
12 cm
2 cm
3 cm
2 cm
12 cm3
2 cm
3 cm
4 cm
24 cm3
4 cm
3 cm
2 cm
24 cm3
2 cm
3 cm
6 cm
36 cm3
6 cm
3 cm
2 cm
36 cm3
2 cm
3 cm
8 cm
48 cm3
8 cm
3 cm
2 cm
48 cm3
Tabla 3 Altura
Largo
Ancho
Volumen
2 cm
3 cm
2 cm
12 cm3
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 2 cm
6 cm
2 cm
24 cm3
2 cm
9 cm
2 cm
36 cm3
2 cm
12 cm
2 cm
48 cm3
Las medidas que varían son de proporcionalidad directa puesto que se relacionan con el volumen del objeto geométrico, es decir, si las longitudes que varían aumentan o disminuyen, el volumen aumenta o disminuye también.
◊ Con base en las medidas del siguiente prisma rectangular que se te proporcionan, completa los espacios vacíos de las tres tablas y responde las preguntas.
3m 4m
2m
a) Altura
Largo
Ancho
Volumen
¿El ancho aumentó ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó? o disminuyó el volumen
3m
4m
4m
48 m3
Aumentó
2
3m
4m
1m
12 m3
Disminuyó
3m
4m
5m
60 m3
Aumentó
1 2 2.5
3m
4m
0.5 m
6 m3
Disminuyó
1 4
Material para apoyo del docente prohibida 219 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b)
Altura
Largo
Ancho
Volumen
¿El largo aumentó o disminuyó?
¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen?
3m
5m
2m
30 m3
Aumentó
1.25
3m
6m
2m
36 m3
Aumentó
1.5
3m
2m
2m
12 m3
Disminuyó
3m
1m
2m
6 m3
Disminuyó
1 2 1 4
Altura
Largo
Ancho
Volumen
4m
4m
2m
32 m3
2m
4m
2m
16 m3
1m
4m
2m
8 m3
9m
4m
2m
72 m3
c) ¿La altura aumentó ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó? o disminuyó el volumen? 4 Aumentó 3 2 Disminuyó 3 1 Disminuyó 3 Aumentó 3
• En la primera tabla, ¿por cuál constante de proporcionalidad hay que multiplicar el ancho de un prisma para obtener el volumen de los nuevos prismas?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Hay que multiplicar por 12.
• En la segunda tabla, ¿por cuál constante de proporcionalidad hay que multiplicar el largo de un prisma para obtener el volumen de los nuevos prismas? Hay que multiplicar por 6. • En la tercera tabla, ¿por cuál constante de proporcionalidad hay que multiplicar la altura de un prisma para obtener el volumen de los nuevos prismas? Hay que multiplicar por 8 ◊ Resuelve los siguientes problemas.
a) Un prisma rectangular tiene 5 cm de altura, 4 cm de largo y 3 cm de ancho. ¿Cuál será el ancho de un nuevo prisma rectangular cuyo volumen es igual a 40 cm3 si su altura y largo permanecen constantes con relación al prisma modelo? Se establece una regla de tres y se resuelve. 3
3 cm
60 cm
x
40 cm
^ 3 h # ^40 h 60
3
3 = ` 60 j # ^ 40 h = ^ 0.05 h ^ 40 h = 2
Su ancho será igual 2 cm.
Material para apoyo del docente prohibida 220 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total b) Se requiere construir una alberca con base en las medidas de otra que tiene de largo 8 metros, de ancho 4 metros y de profundidad 10 metros. Si la longitud de la profundidad y el ancho se conserva, ¿cuál será el largo de la nueva alberca? Considera que el volumen de la alberca resultante será de 140 m3. Se establece una regla de tres y se resuelve. 3
8 cm
320 m
x
140 m
^ 8 h # ^140 h 320
3
=`
8 j # ^140h = ^0.025h^140h = 3.5 320
El largo de la alberca medirá 3.5 m.
6.2 Una dimensión permanece constante Al determinar el volumen del siguiente prisma rectangular, se observa que en la tabla 1, la altura permanece constante, lo que varía es el largo y el ancho. En la tabla 2, el largo se mantiene constante pero la altura y ancho cambian. En la última tabla, el ancho es constante, mientras que la altura y el largo varían.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 3 cm
2 cm
4 cm
Tabla 1
Tabla 2
Altura
Largo
Ancho
Volumen
Altura
Largo
Ancho
Volumen
3 cm
2 cm
1 cm
6 cm
1 cm
4 cm
0.5 cm
2 cm3
3 cm
5 cm
3 cm
45 cm3
2 cm
4 cm
1 cm
8 cm3
3 cm
6 cm
4 cm
72 cm3
5 cm
4 cm
3 cm
60 cm3
3 cm
7 cm
6 cm
126 cm3
6 cm
4 cm
5 cm
120 cm3
3
Tabla 3 Altura
Largo
Ancho
Volumen
1 cm
2 cm
2 cm
4 cm3
2 cm
3 cm
2 cm
12 cm3
5 cm
4 cm
2 cm
40 cm3
6 cm
7 cm
2 cm
84 cm3
A partir del caso anteror, se puede decir que si dos o más cantidades varían y una de ellas es constante, el aumento o disminución del volumen es igual al producto del aumento o disminución que tuvo una de las variables por el aumento o disminución que tuvo la otra variable. Por ejemplo, en el caso de la primera línea de la tabla 1, el largo y ancho 1 1 disminuyeron 2 y el producto de estas medidas es igual a 4 , lo cual representa en este caso, una disminución del volumen con respecto al volumen del prisma original.
Material para apoyo del docente prohibida 221 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Determina el volumen que tendrá el siguiente cuerpo geométrico (original) y responde las preguntas.
2 cm 7 cm
1 cm
Prisma
Altura
Largo
Ancho
Volumen
1
2 cm
6 cm
0.5 cm
6 cm3
2
2 cm
5 cm
0.4 cm
4 cm3
3
2 cm
4 cm
0.3 cm
2.4 cm3
4
2 cm
3 cm
0.2 cm
1.2 cm3
5
2 cm
2 cm
0.1 cm
0.4 cm3
6
2 cm
1 cm
0.09 cm
0.18 cm3
7
2 cm
0.5 cm
0.08 cm
0.08 cm3
8
2 cm
0.25 cm
0.07 cm
0.035 cm3
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del primer prisma respecto al original? 3 Disminuyó 7 .
b) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del segundo prisma respecto al original? Disminuyó
2 7.
c) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del tercer prisma respecto al original? Disminuyó
6 35 .
d) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del cuarto prisma respecto al original? 3 Disminuyó 35 . e) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del quinto prisma respecto al original? 1 Disminuyó 35 .
Material para apoyo del docente prohibida 222 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Determina el volumen que tendrá el siguiente cuerpo geométrico (original) y responde las preguntas.
2 cm 7 cm
1 cm
Prisma
Altura
Largo
Ancho
Volumen
1
10 cm
7 cm
2 cm
140 cm 3
2
9 cm
7 cm
3 cm
189 cm 3
3
8 cm
7 cm
4 cm
224 cm 3
4
7 cm
7 cm
5 cm
245 cm 3
5
6 cm
7 cm
6 cm
252 cm 3
6
5 cm
7 cm
7 cm
245 cm 3
7
4 cm
7 cm
8 cm
224 cm 3
8
3 cm
7 cm
9 cm
189 cm 3
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del primer prisma respecto al original? Aumentó 10 veces.
b) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del segundo prisma respecto al original? Aumentó 13.5 veces.
c) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del tercer prisma respecto al original? Aumentó 16 veces. d) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del cuarto prisma respecto al original? Aumentó 17.5 veces. e) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del quinto prisma respecto al original? Aumentó 18 veces.
Material para apoyo del docente prohibida 223 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Determina el volumen que tendrá el siguiente cuerpo geométrico (original) y responde las preguntas.
2 cm 7 cm
1 cm
Prisma
Altura
Largo
Ancho
1
3 cm
8 cm
1 cm
Volumen 24 cm 3
2
4 cm
7 cm
1 cm
28 cm 3
3
5 cm
6 cm
1 cm
30 cm 3
4
6 cm
5 cm
1 cm
30 cm 3
5
7 cm
4 cm
1 cm
28 cm 3
6
8 cm
3 cm
1 cm
24 cm 3
7
9 cm
2 cm
1 cm
18 cm 3
8
10 cm
1 cm
1 cm
10 cm 3
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del primer prisma respecto al original? 12 Aumentó 7 .
b) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del segundo prisma respecto al original? Aumentó 2 veces.
c) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del tercer prisma respecto al original? 15 Aumentó 7 . d) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del séptimo prisma respecto al original? 9 Aumentó 7 . e) ¿Cuántas veces aumentó o disminuyó el volumen del quinto prisma respecto al original? 5 Disminuyó 7 .
Material para apoyo del docente prohibida 224 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total ◊ Resuelve los siguientes problemas.
a) Si un prisma rectangular de 2 cm de altura y 6 cm de largo tiene un volumen de 48 cm3, ¿cuál será el volumen de un nuevo prisma cuadrangular que tiene una altura de 4 cm y 3 cm de largo si se tiene conocimiento de que el ancho es el mismo?
1 1 La altura aumentó al doble y el largo disminuyó 2 de la medida original por lo que 2 × 2 = 1. Entonces, el volumen del nuevo prisma es de 48 cm3 × 1 = 48 cm3. b) Si una pecera mide 30 cm de altura y 12 cm ancho tiene un volumen 16 200 cm3, ¿cuál será el volumen de una pecera que tiene una altura de 50 cm y 18 cm de ancho si el largo es el mismo? 5 5 3 15 5 La segunda altura aumentó 3 respecto a la primera y el largo es mayor 1.5 veces por lo que 3 # 2 = 6 = 2 . 3 5 81000 cm 3 Entonces, el volumen del nuevo prisma es igual a 16 200 cm3 # = 40 500 cm 2 = 2 c) Si dos perros consumen 8 kilogramos de comida en 20 días ¿cuántos kilogramos de alimento consumirán seis perros en 5 días? 1 1 3 Hay 3 veces más perros y 4 de vez del número de días por lo que 3 # 4 = 4 . 24 kg 3 Entonces, seis perros consumirán en 5 días 6 kilogramos: 8 kg # 4 = 4 = 6 kg d) Si cuatro personas con 0.500 litros de pintura azul pintan una superficie de 192 m2, ¿cuál es la superficie que pintarán 5 personas con 3 litros de pintura del mismo color?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 5 3 5 3 15 Aumentaron 4 veces las personas y 0.500 veces la cantidad de pintura por lo que 4 # 0.500 = 2 . 2 15 2880 m 2 2 = 1440 m Entonces, la superficie que pintarán las cinco personas es igual a 192 m # 2 = 2
6.3 Profundiza ◊ Resuelve cada una de las situaciones que se describen a continuación. a) Si ocho personas consumen 20 litros de agua por día, ¿cuántos litros de agua consumirán 16 personas en 8 días? 16 8 128 Aumentaron dos veces las personas y 8 veces los días por lo que 8 # 1 = 8 = 16. Entonces, el número de litros de agua que consumirán las 16 personas en 8 días es igual a 20 litros × 16 = 320 litros. b) Si 25 personas consumen 58 litros de agua en un día, ¿cuántos días tienen que pasar para que 50 personas consuman 812 litros del líquido? Se sabe que para un día 50 personas habrán consumido 116 litros de agua y que en cierto número de día 50 personas habrán consumido 812 litros de agua, por lo que: 116 litros
1día
812 litros
x
1 # ^ 812 h 1 = ` 116 j # ^ 812 h = 7 116
Tienen que pasar 7 días.
Material para apoyo del docente prohibida 225 su reproducción parcial o total
Material paraEjercicios apoyo del docente prohibida de reforzamiento su reproducción parcial o total 1. Encuentra el valor absoluto de los siguientes números. a) - 35 = 35
f) - 27 = 27
b) 125 = 125
g) - 86 = 86
c) - 15 = 15
h) 32 = 32
d) - 7 = 7
i) - 16 = 16
e) 104 = 104
j) - 8 = 8
2. Efectúa las siguientes sumas. a) 5 + ^- 2h = 3 b) 15 + 12 = 27 c) 21 + ^- 20h = 1
f) ^- 23h + ^- 2h = -25
g)^- 12h + ^- 14h = -26 h) 7 + ^- 2h = 5
Material para apoyo del docente prohibida d) i) e) j) su reproducción parcial o total 45 + 12 = 57
^- 2h + 3 = 1
^- 23 h + 4 = -19
^ - 17 h + ^ - 12 h = -29
3. Efectúa las siguientes restas. a) 2 - ^- 2h = 4 b) 15 -16 = -1 c) 21 - ^- 20h = 41 d) 12 - 5 = 7 e) ^- 2h - 3 = -5
f) ^- 23h - ^- 2h =-21 g) ^12h - ^- 14h = 26 h) 8 - ^- 2h = 10
i) ^- 25h - 4 = -29
j) ^- 11h - ^- 25h =14
4. Efectúa las siguientes operaciones. a) 2 + 3 - ^- 2h = 7
f) ^- 2h + 2 + ^- 7h = -7
c) 6 + 12 + 5 = 23
h) ^- 4h - ^- 2h - ^- 1h = -1
b) 7 + ^- 2h - 2 = 3 d) - 7 - 6 - 5 = -18 e) ^- 2h + ^- 6h - 5 = -13
g) ^- 5h + ^- 3h + ^- 9h = -17 i) 5 + 8 - ^- 6h - 4 =15 j) 6 + ^- 3h + 5 - 7 = 1
Material para apoyo del docente prohibida 226 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 5. su reproducción parcial o total Expresa en notación científica los siguientes números.
a) 24 000= 2.4 × 104
b) 35 200 000 = 3.52 × 107 c) 34 000 000 = 3.4 × 107 d) 123 230 000 = 1.2323 x 108 e) 351.250 = 35 125 × 10-2 f) 1 525.100 =15 251 × 10-1 g) 6.561 000 = 6 561 × 10-3 h) 3 525.000 000 = 3 525 × 100 i) 0.123 000 = 123 × 10-3 j) 0.620 000 = 62 × 10-2 k) 0.012 000 = 1.2 × 10-2
Material para apoyo del docente prohibida l) su reproducción parcial o total 6. 0.000 255 = 2.55 × 10-4
Convierte a notación decimal.
a) 12 × 106 = 1 200 000 b) 6.48 × 107 = 64 800 000 c) 1.4 × 104 = 14 000 d) 3.75 ×106 = 3 750 000 e) 1.5 ×10 - 4 =
0.00015
f) 4.8 × 10 - 5 =
0.000 048
g) 2.7 × 10 - 2 =
0.027
h) 13.85 ×10 - 3 =
0.01385
Material para apoyo del docente prohibida 227 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 7. su reproducción parcial o total a) Encuentra el resultado de las siguientes operaciones.
^2.2 # 10 4 h + ^2.2 # 10 0 h = 22 000 + 2.2 = 22 002.2
b) ^7.5 # 10 5h + ^5 # 10 -1h = 750 000 + 0.5 = 750 000.5
c) ^1.25 # 10 6h - ^1.25 # 10 2h = 1 250 000 - 125 = 1 249 875 d)^7.52 # 10 -2h - ^4.2 # 10 -4h = 0.0752 - 0.000 42 = 0.07478
8. Calcula las siguientes potencias. a) 5.2 3 = 5.2 # 5.2 # 5.2 = 140.608
d) 0.6 2 = 0.6 # 0.6 = 0.36
b) 2.1 5 = 2.1 # 2.1 # 2.1 # 2.1 # 2.1 = 40.84101
e) 0.1 5 = 0.1 # 0.1 # 0.1 # 0.1 # 0.1 = 0.00001
c) 7.9 4 = 7.9 # 7.9 # 7.9 # 7.9 = 3 895.0081
f) 0.5 3 = 0.5 # 0.5 # 0.5 = 0.125
9. Determina las raíces cuadradas principales de los siguientes números. a) d) Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 256 256
-1
b)
625
16
-4
26
225
- 156
- 225
000
000
e)
32 62
82 162
324
- 124
- 324
000
000
655.36 -4
25.6
255
506
- 225
6724 - 64
124
c)
45
156
1024 -9
25
45
f)
992.25 31.5 -9
61
092
625
- 61
030 36
3125
- 30 36
- 3125
00 00
0000
Material para apoyo del docente prohibida 228 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida g) h) su reproducción parcial o total 998.56 31.6
-9
098
42.7
61
1823.29 - 16
82
626
0223
847
- 164
- 61 37 56
059 29
- 37 56
- 59 29
00 00
00 00
10. Considera las siguientes sucesiones con sus respectivas representaciones algebraicas, después expresa de manera escrita una regla general que describa cada situación. Sucesión
Expresión algebraica
2, 6, 10, 14, 18,…
4n - 2
Regla general Multiplicar la posición que ocupa un número por 4 y restar 2.
3 5 7 2 , 2, 2 , 3, 2 ,...
1 2 n+1
Multiplicar la posición que ocupa un número por 1 y sumar 1. 2
3, 4, 5, 6, 7,…
1n + 2
Multiplicar la posición que ocupa un número por 1 y sumar 2.
3, 8, 13, 18, 23,…
5n - 2
Multiplicar la posición que ocupa un número por 5 y restar 2.
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 11. Considera las siguientes sucesiones, con sus respectivas reglas generales, descritas en cada situación y representa algebraicamente cada caso. Sucesión
Expresión algebraica
1, 6, 11, 16, 21,…
5n - 4
Multiplicar la posición que ocupa un número por 5 y restar 4.
1 2n+2
Multiplicar la posición que ocupa un número por 1 y sumar 2. 2
2, 9, 16, 23, 30,…
7n - 5
Multiplicar la posición que ocupa un número por 7 y restar 5.
8, 12, 16, 20, 24,…
4n + 4
Multiplicar la posición que ocupa un número por 4 y sumar 4.
5 7 9 2 , 3, 2 , 4, 2 ,...
Regla general
Material para apoyo del docente prohibida 229 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 12. su reproducción parcial o total Encuentra los primeros seis términos de una sucesión, considerando las expresiones algebraicas que se te presentan. Número de posición de un término n
Expresiones algebraicas 2n
2n + 4
4n
4n -1
1
2
6
4
3
2
4
8
8
7
3
6
10
12
11
4
8
12
16
15
5
10
14
20
19
6
12
16
24
23
13. Observa las siguientes sucesiones de figuras y determina cuál es la expresión algebraica que permite obtener el número de elementos que tendrá la subsecuente figura.
a)
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
La expresión algebraica que corresponde a la sucesión es n + 1
b)
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
La expresión algebraica que corresponde a la sucesión es 2n + 2
Material para apoyo del docente prohibida 230 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 14. su reproducción parcial o total Determina el perímetro de una circunferencia teniendo en cuenta que r = 3.14, y que la medida de su radio es 3 igual a 2 de cm. P = rD
P = ^ 3.14 h^ 3 cm h P = 9.42 cm
El perímetro de la circunferencia es igual a 9.42 cm.
Material para apoyo del docente prohibida 15. su reproducción parcial o total Halla el valor del radio de una circunferencia considerando que r = 3.14, y que el perímetro de ésta es igual a 12.56 cm. P = rD
12.56 cm = ^ 3.14 h^ D h
12.56 cm = D 3.14 4 cm = D
El resultado obtenido representa la medida del diámetro, por lo que hay que dividir entre 2 para conseguir la medida del radio; que es 2 cm.
Material para apoyo del docente prohibida 231 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 16. su reproducción parcial o total Determina el área de la parte sombreada considerando que r = 3.14, y que las distancias: AC = 8 cm, AB = 4 cm, BC = 4 cm y DE = 4 cm
E
D
A
B
C
Primero calculamos el área del semicírculo mayor. Si AC = 8 cm, entonces el radio del semicírculo mayor es igual a 4 cm, por tanto : A = rr
2
A = ^ 3.14 h^ 4 cm h
2
A = ^ 3.14 h^ 16 cm 2 h
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total A = 50.24 cm 2
Luego dividimos entre 2 y tenemos:
50.24 cm 2 Área del semicírculo mayor = 2
Área del semicírculo mayor = 25.12 cm2 Segundo, para encontrar el área de los semicírculos pequeños sólo calculamos el área del círculo del cual se desprendieron estos, considerando la misma longitud de radio, luego, dividimos el resultado entre 2, y éste último lo multiplicamos por tres: A = rr 2
A = ^ 3.14 h^ 2 cm h
2
A = ^ 3.14 h^ 4 cm 2 h A = 12.56 cm 2
12.56 cm 2 Área del semicírculo pequeño = 2 6.28 cm2 = Área del semicírculo pequeño (6.28 cm2) (3) = 18.84 cm2 Por último restamos el área de los tres semicírculos del área del semicírculo mayor, para obtener el valor del área sombreada. 50.24 cm 2 - 18.84 cm 2 = 31.4 cm 2
Material para apoyo del docente prohibida 232 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida 17. su reproducción parcial o total Xóchitl salió de viaje y dejó encargada a su hermana Olivia para que alimentara a sus tres gansos. Si estos tres comen 2 700 gramos de alimento durante seis días, ¿cuánto alimento será necesario si los gansos se quedarán con Olivia 15 días? x 15 6 = 2700 x=
2700 # 15 ` 15 j^ = 6 2 700 h = 6 750 6
a) Con base en tu resultado completa la siguiente tabla. Número de gansos
Días
Alimento (gr)
3
6
2 700
3
15
6 750
b) ¿Cuál será el número de kilogramos que se requieren para alimentar a 6 gansos en 15 días?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Número de gansos
Días
Alimento (g)
3
15
6 750
6
15
x
Alimento necesario para 6 gansos 6 3 = Alimento necesario para 3 gansos
Resolviendo obtenemos el alimento necesario para 6 gansos: 6 # 6 750 = 13 500 3
Alimento para 6 gansos 6 3 = 6 750
18. Encuentra el valor de x para cada uno de los casos. a)
Razón
Pintores
Tiempo (h)
Superficie (m2)
3
4
15
10
6
x
10 3
6 4
Efectuando operaciones tenemos:
^15 h^10 h^6 h 900 10 6 x = ^ 15 h` 3 j` 4 j = = 12 12 x = 75
x 15
Material para apoyo del docente prohibida 233 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida b) su reproducción parcial o total
Razón
Número de llaves
Tiempo (min)
Cantidad de agua (l)
4
10
1 600
12
12
x
12 4
12 10
x 1 600
Número de peces
Días
Cantidad de alimento (gr)
8
2
0.16
Efectuando operaciones tenemos:
^1 600 h^3 h^12 h 57 600 12 x = ^ 1 600 h^ 3 h` 10 j = = 10 10 x = 5 760
c) Efectuando operaciones tenemos:
^0.16 h^14 h^3 h 6.72 14 x = ^ 0.16 h` 8 j^ 3 h = = 8 8 x = 0.84
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Razón
14
6
x
14 8
6 2
x 0.16
Número de conejos
Días
Cantidad de alfalfa (gr)
5
2
1 000
7
6
x
7 5
6 2
x 1 000
d)
Razón
Efectuando operaciones tenemos:
^1 000 h^7 h^ 3 h 21 000 7 x = ^ 1 000 h` 5 j^ 3 h = = 5 5 x = 4 200
Material para apoyo del docente prohibida 234 su reproducción parcial o total
Material para apoyo delbloque docente prohibida Evaluación: 5 su reproducción parcial o total Secundaria:___________________________________________________ Aciertos: _______ Grupo: _________ Nombre del alumno: ___________________________________________________________________________ Nombre del profesor: __________________________________________________________________________ ◊ Subraya en cada caso la respuesta correcta. 1. Resultado de la operación matemática (6) + (−4) − (−2): a) 12 b) 0 c) −4 d) 4 2. Analiza las siguientes operaciones e identifica qué afirmación las define i. (2) − (− 4) + 3 = ii. (2) + (− 4) + 11 = iii. (3) − (− 4) + (2) =
6. ¿Cuál es la medida más próxima a la longitud del radio del círculo si el área del cuadrado es de 80 cm2?
a) 8.94 cm b) 8.96 cm c) 8.92 cm d) 8.91 cm
a) Los resultados de las operaciones i y ii son mayores que el de la iii b) Los resultados de las operaciones ii y iii son menores que el de la i c) Los resultados de las tres operaciones son números negativos d) El resultado de las tres operaciones es el mismo
7. Regla general que define a la sucesión 5, 9, 13, 17, 21, 25, …
3. Representación en notación decimal de 5.3 × 103:
8. ¿Cuál es la sucesión numérica que se rige por la expresión algebraica 6n − 4?
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a) 530 000 b) 53 000 c) 5300 d) 530 4. ¿Cómo se expresa en notación científica el número decimal 0.000 001 6? a) 1.6 × 10-6 b) 1.6 × 106 c) 1.6 × 10-7 d) 1.6 × 107 5. ¿Cuántas unidades tiene de lado un cuadrado con un área de 324 unidades cuadradas? a) 15 unidades b) 19 unidades c) 18 unidades d) 21 unidades
a) 3n + 2 b) 2n + 3 c) n + 4 d) 4n + 1
a) 2, 7, 12, 17, 22,… b) 2, 6, 10, 14, 18,… c) 2, 5, 8, 11, 14,… d) 2, 8, 14, 20, 26,… 9. ¿Cuál de las siguientes expresiones describe el área sombreada de la siguiente figura?
7 8 56 - 8r 2 16r b) 56 - 2 56 - 4r c) 2 56 - 2r d) 2
a)
Material para apoyo del docente prohibida 235 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 10. El área del círculo B es igual a 78.5 cm2 y pasa por el centro del círculo A, al que es tangente. ¿Cuál es el perímetro de la figura A? A B
a) 32.5 cm b) 62.8 cm c) 314 cm d) 43.5 cm
15. Sucesión numérica definida por la expresión algebraica 3n − 2: a) 1, 3, 5, 7, 9,… b) 2, 5, 8, 11, 14,… c) 1, 4, 7, 10, 13,… d) 2, 6, 10, 14, 18,…
16. ¿Cuál es el radio de un semicírculo que tiene una área de 76.93 cm2 si se sabe que 3.14 es el valor que asume r ?
11. Si tres personas limpian 144 m2 en 18 minutos, ¿cuál es área aproximada que limpiarán 5 personas en 8 minutos? a) 104.04 m2 b) 106.66 m2 c) 105.55 m2 d) 107.77 m2
a) 5 cm b) 4.94 cm c) 6.75 cm d) 7 cm
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total 12. ¿Cuántas veces se reduce o aumenta el área de un 1 1 rectángulo, si su largo aumentó 4 y su ancho 5 ?
1 a) El área aumenta 20 9 b) El área reduce 20 1 c) El área reduce 20 9 d) El área aumenta 20
13. Resultado de la operación matemática (4) + (− 2) − (2) − (− 1): a) 1 b) 5 c) −1 d) −5 14. ¿Cuál es la longitud de uno de los lados de un cuadrado si se sabe que tiene un área de 1156 cm2? a) 12 cm b) 24 cm c) 20 cm d) 34 cm
17. Del planteamiento anterior, ¿cuál es la longitud de la semicircunferencia? a) 21.98 cm b) 43.96 cm c) 25.15 cm d) 45.67 cm 18. ¿Cómo se expresa en notación científica el siguiente número: 5 200 000? a) 52 × 104 b) 52 × 106 c) 5.2 × 105 d) 5.2 × 106 19. El número 0.120 000 000 puede representarse en notación decimal como: a) 1.2 × 101 b) 1.2 × 10 −1 c) 1.2 × 10− 9 d) 1.2 × 109
Material para apoyo del docente prohibida 236 su reproducción parcial o total
Material para apoyoFormulario del docente prohibida su reproducción parcial o total Forma Elementos Perímetro Área Cuadrado
l : Lado
P=l+l+l+l
A=l2
b: Base h: Altura
P=l+l+l+l
A=b×h
Rectángulo
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total Triángulo
b: Base h: Altura
b = Lado 1 m: Lado 2 n: Lado 3
P=b+m+n
A=
b#h 2
A=
P#a 2
Pentágono
a: Apotema b: Base
P = 5b
Material para apoyo del docente prohibida 237 su reproducción parcial o total
Material para apoyo del docente prohibida Forma Elementos Perímetro Área su reproducción parcial o total Hexágono
a: Apotema b: Base
P = 6b
r = 3.1416 d: Diámetro r: Radio
P = d#r
A=
P#a 2
Círculo
A= r#r
2
Rombo
Material para apoyo del docente prohibida su reproducción parcial o total a: Lado
d: Diagonal menor D: Diagonal mayor
Trapecio
b = Lado 1 B = Lado 2 n: Lado 3 o: Lado 4 b: Base menor B: Base mayor h: Altura
P = 4a
P=b+B+n+o
A=
A=
D#d 2
^B + bh h 2
Material para apoyo del docente prohibida 238 su reproducción parcial o total
