Complemento de Un Conjunto

 

Complemento de un conjunto Llamamos conjunto complementario de un conjunto un conjunto  

y lo representamos por

al conjunto

siendo U el conjunto universal universal.. Esto es:

diferencia:: diferencia

El conjunto complemento de A es el conjunto de los elementos x, que cumplen que, x pertenece a U, y que, x no pertenece a A. Por ejemplo, si tenemos que:

entonces:

Propiedades 1. 2. 3. 4.

Nota: Otras notaciones para designar al conjunto complemento pueden ser:

 No obstante, alguna alguna de estas notaciones puede puede llevar a confusión, confusión, ya que tambin se usan para represen representar tar otros conceptos.

EJERCICIOS DE LO CONJUNTOS REPRESENTADOS GRAFICAMENTE

Conjuntos: U = !", #, $, %, &, ', (, )* A = !$, &, '* B = !#, &, (* C = !", $, %* 1._ (A’ – B’) C U A’

  !! = (A’ – B’)

C

(A’ – B’)

 

 "._ (B ∩ C’) – C

U

B ∩  C’

C’

 

!! = (B ∩ C’) – C

 

#._ (C’

A) – B’

U

C’

B’

 

(C’

A)

!! = (C’

A) – B’

  $%$&'A' '* C%+$*'+'N,% Conjuntos. U = !#, $, %, &, '* A = !%, &, '*  

1._ (A’)’ = A  U (A’)’ = A

U

"._ (A ∪ A’) = U

 

 #._ A ∩  A  A’’

U

A’

!! = (A ∩  A’) = ∅ 

-._ A’ = U – A  U !! = A’ = U – A

+ El universo no tiene complemento, por lo tanto nos queda conjunto vacio.

   'l conjunto /acio no tiene elementos0 por lo tanto el complemento es el

conjunto uni/erso.  

$%$&''A ' *A UN&%N ' C%NUN,% 1._ A ∪  A = A

* *a uni2n de A es el mismo mismo conjunto. (3a 4ue tiene los mismos elementos). 

"._ A ∪  ∅ = A

  $or l25ica la uni2n del conjunto 6A7 con el conjunto /acio es i5ual al mismo conjunto 6A7. #._ A ∪  U = U U -._ A ∪  B = B ∪  A   A B

B

  = 89_ (A ∪ B) ∪ C = A ∪  (B ∪ AC)   A B =

B

A

C

 

   

C A $%$&'A ' *A &N,''CC&N

∩  1._ A A A = A

"._ A ∩ ∅ = ∅

#._ A ∩  U = A U   -._ A ∩  B = B ∩  A   A B

B

  8._ (A ∩  B) ∩  C = A ∩ (B ∩  C)   A B

A

B

C

  C A $%$&'A' ' *A &;''NC&A 1._ A – A =

∅

   *a disoc >socia iati tivi vida dad: d:

<

%.

<

.

&.

<

.

'.

si y sólo si

<

.

si y sólo s3

.

 Demostración.. ? Prueba@  Demostración  Prueba@ Aostremos, por ejemplo, la primera parte de la /ltima propiedad 4las otras pruebas son semejantes y se dejan al lector6.

BB

CC: 1ea

CC: 1i

BB

BB

. Day que mostrar

. 2tilicemos el principio de la doble inclusión: BB

, entonces como todo elemento de

CCCC:: 1i

, en ento tonc nces es

es elemento de

.

po porr pr prop opie ieda dad d &.

CC: 1upongamos

. 8ebemos probar

 pero por 0ipótesis este conjunto es

, luego

. 1ea

ó

. Entonces

,

y terminamos.

Es una operación binaria binaria.. Por esto, una e5presión de la forma debe traducirse a

, necesariamente

en principio es ambiga y

. Pero en virtud del lema anterior ambas e5presiones

 

denotan el mismo conjunto, y por lo tanto definimos

como

4o

F6. Por supuesto la observación anterior tambin vale si cambiamos

1i uno se encuentra con una e5presión de la forma

o en

por

.

, puede transformarla en

, seg/n le convenga. > continuación continuaci ón un ejemplo:

 Ejemplo 1"  Auestre que  Demostración.. ??Solución  Demostración Solución@@

.

, la /ltima igualdad valiendo por asociatividad. >0ora avanGamos un poco m-s, y comenGamos a relacionar la unión con la intersección mediante las llamadas leyes de la distribución:  Lema 1# 48istribución6 48istribución6  Para

,

y

conjuntos:

1.

.

2.

.

 Demostración.. ? Prueba@  Demostración  Prueba@ 416: Lo mo mostr stram amos os utiliG utiliGand ando o doble doble inclus inclusión ión:: BB Entonces 1i

y

. Por lo primero,

, entonces

. Luego

o

. 1i

o

CC: 1ea

.

, entonces

.

, es decir,

.

BB

CC: 1ea , entonces

. Entonc Entonces es , luego

o

. En el prime primerr caso, caso, como como

. En el segundo caso, como

entonces , luego . En cualquier caso, 4"6: La prueba es similar a 4"6 y se deja para el lector.

;i5ura: 2nión e intersección

, .

 

>s3 como podemos restar n/meros, podemos restar conjuntos, de una manera natural:  Definición 1- 4diferencia6 Para

y

conjuntos, definimos su diferencia diferencia como  como el conjunto

. Por lo tanto, para todo 1e denom enomin inaa BB

meno enos

,

.

CCCC..

>lgunos ejemplos:

".

.

#. 1i

y

$. 1i

y

, ento entonc nces es

son disyu disyunto ntos, s, ent enton onces ces

.

. 49Por 49Por qu qu6. 6.

%. Pregunta: Pregunta: 9Es cierto cierto que

4para cualquier cualquier par de conju conjuntos ntos

8ado un conjunto , el conjunto de todos sus elementos es mismo: conjunto de todos sus subconjuntos resulta ser muy distinto, como se ver- m-s adelante.

 Definición 18 4=onjunto partes6 8ado

y

6

. Pero el

un conjunto, definimos el conjunto

.

Esto es, para todo , . 1uele llamarse tambin el conjunto potencias de .  Ejemplo 1D 4>lgunos ejemplos del conjunto potencias6 ".

, para cualquier >.

#.

: para ver esto, basta preguntarse qu conjunto de

: 1i

posee al menos un elemento

, entonces

es candidato a ser subconjunto

, y por ende

. Por otro lado,

es subconjunto de cualquier conjunto, en particular de l mismo. $. 1ea

.

%. 1ea

tie tiene ne

.

&. 1ea 1ea

tie tiene ne

. tiene

eleme elemento nto..

ti tien enee

elementos.

eleme elemento ntos. s.

el elem emen ento tos. s.

.

tie tiene ne

.

eleme elemento ntos. s.

tie tiene ne

eleme elemento ntos. s.

.

 

;i5ura: 8istintas representaciones del conjunto

. La primera consiste en un diagrama de

Henn. enn. En la segunda se construye el ret3culo en donde se pintan l3neas siempre que 0aya contenencia 4sin  pintar, por por supuesto, todas las l3neas posibles6. posibles6. En la tercera se asocia a cada conju conjunto nto una sucesión ordenada de ceros y unos, en donde se coloca un ejemplo, a

en la posición si y sólo si

se le asocia la sucesión

4as3 por 

6.

>0ora tomamos un conjunto y trabajamos en < esto significa que todos los conjuntos que consideremos ser-n subconjuntos de . Llamaremos a nuestro universo de discurso, discurso , o simplemente el universo  . Esto nos permite definir el complemento de un conjunto universo :

 Definición 1E 4complemento6 Para un conjunto

 Note que

, definimos su complemento

.

.

>lgunos autores suelen notar por ,  puede escribir como la unión unión disyunta disyunta de

o incluso . Note que para cualquier y su complemento, complemento, esto es, 4"6

. Para mostrar 4"6 utiliGamos doble inclusión: 1i son subconjuntos de

, entonces

. 1i por el contrario

. >0ora, sea

, dado que tanto . Day dos casos: si

y

se

como

, entonces

, entonces 4por definición de complemento6

. Aostremos a0ora 4"6 por contradicción: si Pero entonces

, y 4#6

, luego

, entonces e5iste

, lo cual es una contradicción. 1e concluye

.

.

>lgunas propiedades del complemento:  Lema 1   Para

1. 2.

3.

,

subconjuntos subconjuntos de

:

. 4doble complemento6.

, si y sólo s3

 Demostración.. ? Prueba@  Demostración  Prueba@ 416: Pa Para ra

. ar arbi bitr trar ario io,,

si y sólo sólo si 4

y

6 si y sólo sólo s3

.

 

4"6: 1i

, entonces

entonces

y

. Pero adem-s

complemento6,

, luego necesariamente

4de lo contrario se tendr3a

. >0ora, si

,

6, y entonces 4por definición de

.

4#6: BB CC : 1uponga que . Day que mostrar que . 1ea Este /ltimo 0ec0o m-s la 0ipótesis implican que 4o de lo contrario

. Entonces y ser3a elemento de 6.

.

BB y CC : 1uponga que m-s acabamos de mostrar 4donde juega el papel de el de 6que se tiene que. Por la implicación , y esto 416 garantiGan el resultado.  Note que la prueba de 416 no fue descompuesta en dos inclusiones, como de costumbre, sino que consistió en mostrar directamente que pertenecer al primer conjunto equival3a a pertenecer al segundo 4luego al ambos conjuntos tener los mismos elementos, deben ser iguales6. Iuien no 0aya quedado convencido de esta prueba puede 0acer otra utiliGando doble inclusión, y despus volver a revisar la que 0emos  presentado. Pese a la elegancia elegancia del mtodo directo, directo, el lector se dar- cuenta con el tiem tiempo po de que muc0as  pruebas de igualdad de de conjuntos deben 0acerse 0acerse utiliGando la do doble ble inclusión. Teorema 1 4Leyes de 8e Aorgan6  Para

1. 2.

:

4el complemento de la unión es la intersección de los complementos6. complementos 6. 4el complemento de la intersección es la unión de los complementos6. complementos6.

 Demostración.. ? Prueba@  Demostración  Prueba@ La prueba de 4 16 se deja al lector, y probamos 4 "6: 1i y

< pero esto /ltimo implica , esto es,

1i

ó

, entonces

. Por ende, necesariamente

. , entonces 4i6

, ó 4ii6

. En el caso 4ii6, , e.d.,

y

. En el caso 4i6, , luego

y

. Por lo tanto

, luego y

.

magine a0ora la siguiente situación: se le entregan dos conjuntos

y

y usted debe decidir cómo se

relacionan entre s3. Day varias posibilidades:

1. 2.

 pero  pero

3.

y

: en este caso,

4.

y

: en este caso diremos que

, es decir, 4es decir,

;i5ura ".#: 8ados dos conjuntos

4

es subconjunto propio de 6.

6.

.

y

y

no son comparables 4entre comparables 4entre s36.

, ocurre una y sólo una de estas cuatro posibilidades posibilidades..

ó

 

Complemento de un conjunto. El complemento de un conjunto J es aquel conjunto Jc que contiene todos los elementos Iue est-n en el conjunto universo, sin que estn contenidos en J. Ejemplos: 1i definimos como conjunto universo: 1 K n/meros entre  y #. Entonces se cumple que: >c K ! ", "", "#, "$, "%, "&, "', "(, "), "M, # * ==. K ! , ", $, &, (, M, "", "$, "&, "', "(, "), "M, # * '.7 Operaciones entre conjuntos. a6 2nión 4∪ 6. 8e la unión de dos conjuntos J e ; resulta otro conjunto que contiene los elementos =ontenidos tanto en J como en ;, tomando en cuenta una sola veG los que est-n en ambos. Ejemplos: >∪  K ! , ", #, $, %, &, ', (, ), M, a, e, i, o, u * >∪ = K ! , ", #, $, %, &, ', (, ), M, ", "#, "% *  b6 ntersecció ntersección n 4 6. 8e la intersección de dos conjuntos J e ; se obtiene otro conjunto que contiene los Elementos que est-n en ambos a la veG. Ejemplos: > = K ! #, %, ', ) *  E K ! a, e, i, o, u * c6 esta 4Q 6. El resultado de la resta entre dos conjuntos J e ;, es un conjunto que contiene los Elementos que pertenecen a J, pero no pertenecen a ;. Ejemplos: >Q = K ! , ", $, &, (, M * >Q 8 K ! $, %, &, ', (, ), M * (.7 Propiedades de las operaciones. a6 Operaciones con los conjuntos vac3o y universo. 1i 1 es el conjunto universo escogido yR el conjunto vac3o< para cualquier conjunto J se =umple:7 J ∪  1 K 1 J ∪   R K J J  1 K J J R K KR R  b6 Operacion Operaciones es consigo consigo mismo mismo y su su com complemen plemento. to. J ∪  J K J J  J K J J∪ JcK 1 J JcKR c6 =onmutatividad. La unión y la intersección son operaciones conmutativas, ya que no importa el orden en Iue apareGcan los conjuntos con los que se trabaja. J ∪  ; K ; ∪  J J  ; K ;  J  Nota: La resta resta de conjunto conjuntoss no es conmu conmutativa. tativa. c6 >sociatividad. La unión y la intersección son operaciones asociativas, porque cumplen la siguiente =ondición: 4J∪ ;6∪ S K J∪ 4;∪ S6 4J ;6 S K J 4; S6  Nota: La resta resta de conjunto conjuntoss no es asociat asociativa. iva. d6 8istributividad.

 

La unión de conjuntos es distributiva con respecto a la intersección: J∪ 4; S6 K 4J∪ ;6  4J∪ S6 La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión: J 4;∪ S6 K 4J ;6 ∪ 4J S