Complejos

Style Definition: Normal: Font: 10 pt  Style Definition: Heading 1: Font: 16 pt, Bold, Font color: Dark Red, Centered, Space Before: 24 pt, After: 24 pt  Style Definition: Heading 2: Font color: Dark Red, Justified, Space Before: 48 pt, After: 30 pt, Border: Top: (Single solid line, Dark Red, 1 pt Line width) Style Definition: Heading 3: Font: Not Bold, Font color: Dark Red, Space Before: 18 pt,   After: 12 pt 

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Style Definition: Estilo Título 1 + Justificado: Font: 16 pt, Bold, Font color: Dark Red, Centered, Space Before: 24 pt, After: 24 pt 

 por Jorge José Osés Recio Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes ± Bogotá ± Colombia - 2004 Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax 2  bx  c ! 0 se analizó el signo del discriminante b 2  4ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo negativ o se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar  los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.

Sección 1 Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.  Definición. Llamamos c onjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra

£ al conjunto de

los pares de números reales a, b en el cual definimos las siguientes o peraciones: S um uma.

a, b   c, d  ! a  c, b  d   M ultipli ultiplicación. a, b  c, d  ! ac  bd , ad  bc En el número complejo a, b llamaremos a a la  parte real  y a suma y producto de pares no está definida en ¡ 2 .

b

la  parte imag in inaria. Note que la

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y qu e se mantienen para los complejos son:  Ig uald ad .

a, b  ! c, d   a ! c 

ultiplicación por un es cal ar.  M ultipli  jemplo .  E 

E

b

! d 

(a , b ) ! (E a, E b) donde

Dados 2,1 y 0, 3 , hallar:

a) 2,1 0, 3 ! 2  0 ,1  (3)  ! 2,  2   b) 2, 10,  3 ! 2(0)  1(3), 2(3)  1(0)  ! 3 ,  6 c) 2,10, 3  2 1,1 ! 3,  6   2 ,  2  ! 5 ,  8 

1

E

¡ .

Style Definition: Estilo Estilo Título 1 + Justificado + Superior: (Sin borde): Font: 16 pt, Bold, Space After: 24 pt  Style Definition: Estilo Título 3 + Sin Negrita: Font: 14 pt, Bold

Como los números complej os son pares de números reales podemo s efectuar una representa ción de los mismos mediante el plano ¡ 2 (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real ( Re) al eje de las  x y eje imag inario ( I m) al eje de las  y .

Gráfica

1: Representación del número complejo ( a , b ) .

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el  plano ¡ 2 el número complejo a, 0 coincide con el número real a . De este modo tenemos a ! ( a, 0) cuando a  ¡ . Los números complejos de la forma (0 , b) son llamados imag inarios puros. Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar  E  ¡ :

E a, b  ! E a, E b  Para eso escribimos el número real E en la forma E, 0  y aplicamos la definición de multiplicación: E

a, b  !  , 0 a, b  !  E

E

a  0b

,

Eb

 0a  ! E a , E b  .

Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra i y lo llamaremos unid ad imag inaria. Es fácil demostrar que i 2 !  1 . 2

2

i ! (0,1) ! (0,1) (0,1) ! 0(0)  1(1) , 0(1)  1(0)  ! ( 1, 0) ! 1

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación  x2  1 ! 0 . 2

x 1 !

0

2

x!

1 

2

x! i

2

 x ! si

Forma binómica de un número complejo Sea

 z  !

( a , b) un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:  z 

! ( a , b) ! ( a, 0)  (0, b) ! a (1, 0)  b (0,1)

Pero como (1, 0) ! 1 y (0,1) ! i , entonces (a, b) ! a  bi . En este caso binomia del número complejo. 2

a  bi

se llama  forma binómica o

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica a  bi   c  di  ! a  c   b  d i , puesto que a , b, c , d   son todos números reales. a  bi c  di  ! ac  adi  bci  bdi2 ! ac  bd    ad  bc i porque i 2 ! 1 . Ahora observe que los resultados son los mismos que las definicionesde suma y producto dados al inicio;  por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo. ,

 jemplo .  E   z1

Si

 z 1

! (3, 2) y

 z 2

! (4, 1) , halle

 z1

 z 2 y

 z1 z 2

.

 z 2 ! (3, 2)  (4,  1) ! 3  2i   4  i ! 7  i

 z1 z 2

! (3, 2) (4, 1) ! (3  2i)(4  i ) ! 12  3i  8i  2i 2 ! (12  2)  (3  8)i ! 14  5i

Conjugado de un número complejo Si  z  ! x  yi es un número complejo llamaremos conju gado del número  z  al número  z  ! x  yi , es decir , al número complejo que tiene la misma parte real que  z  pero la parte imaginaria de signo opu esto. ,

 jemplo .  E 

Si

 z  !

3  2i , entonces

 z 

! 3  2i y si

 z  !

3  2i , entonces

 z 

! 3  2i .

Módulo y argumento de un número complejo Sea

 z 

! ( a , b) ! a  bi un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo 2

2

número real dado por  a  b y lo denotaremos por  origen del número  z  (Gráfica 2).

 z 

 z  ,

al

. El módulo se interpreta como la distancia al

Por otra parte, llamaremos ar  g umento del número complejo  z  ! a  bi , al ángulo comprendido entre el eje x y el radio vector que determina a  z  . El argumento de  z  se denota por arg( z ) y se calcula mediante la expresión: arg( z ) ! arctan ¨© ¹¸ . ª aº b

Formatted:

3

Centered

Gráfica

2: Módulo y argumento de un número complejo. Formatted:

Propiedad:

zz

!

2

z 

 Demostr ación:  z z 

! (a  bi )( a  bi) ! a2  abi  abi  y 2 i2 !

! a 2  b 2   ab  ab i ! a 2  b 2  0i ! a 2  b 2 !

z 

2

División de números complejos La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador:  z 1  z 2

 jemplo .  E 

Dados

(a) Como

 z 2

!

 z 1

 bi a  bi c  d i ac  bd  (  ad  bc) i ac  bd  ( ad  bc) i !  ! ! 2 2 2 c  d i c  d i c  d i c  d  z 2 a

! 2  3i y

 z 2

!  1  2i entonces

(b) Para hallar 

 z 1  z 2

! 1  2i , halle: (a)  z 2

 z 2

y (b)

 z 1  z 2

.

!  1  2i

multiplicamos y dividimos por el conjugado  z 2 .  z 1  z 2

! !

2  3i 2  3i 1  2i (2  3i) ( 1  2i )  ! !  1  2i  1  2i  1  2i (1  2i )( 1  2i )  2  4i  3i  6i 2 2

(1)  (2 )

2

!

8  i

5

8 1 !  i

5 5

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado Si el discriminante de la ecuación a x2  bx c ! 0 es negativo, debe sustituirse el signo negativo por  i 2 y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.  jemplo .  E 

Resolver la ecuación  x 2  2 x  6 ! 0 .

Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:  x

!

( 2) s ( 2) 2  4(1)(6)

2(1)

!

2 s 4  24 2 s 20 ! 2 2

Se puede ver que el discriminante es 20 lo cual puede escribirse como 20 i 2 . Por lo tanto:

 x

!

2 s 20 2 s 20i 2 2 s 2 5 i ! ! ! 1s 5 i 2 2 2

Así, las raíces complejas de la ecuación son:

 x1

!1  5 i y

4

 x2

! 1 5 i .

Centered

Ejercicios de la Sección 1. 1) Dados los números complejos  z  ! (3, 2) y (a)

 z  

, (b) z 

w

! ( 1, 4) , halle:

, (c) 3 z   4 , (d) (1, 0)w , (e ) (0, 2) z  .

2) Muestre que (0, 0) es el elemento neutro para la suma de números complejos. 3)

Muestre que (1, 0) es el elemento neutro para la multiplicaciónde números complejos.

4) Calcule: (a) i 3 , (b) i 4 , (c ) i 5 , (d )

1 i

, (e )

1 i2

.

5) Calcule: (a) i 4 n , (b ) i 4 n 1 , (c) i 4 n  2 , (d) i 4 n 3 . 6)

Dado el número complejo ( x , y ) halle el par  (u , v ) tal que ( x, y ) (u, v) ! (1, 0) . Al par se le llama inverso multiplicativo de ( x, y ) . Concluya que el par  (u , v ) es único y que el (0, 0) no tiene inverso multiplicativo.

7) Verifique que 8)

 z

!

z  .

Verifique que uv y uv son conjugados.

9) Calcule: (a)

1  3i 3  3i . , (b) 2  4i 2  2i

10) Resuelva la ecuación ( 2  i ) z  ! 3  i . 11) Halle

 z 

tal que (2  i )(1  i ) ! 2  z i .

12) Calcule y represente en el plano complejo los números  z  ! x  yi , tales que: (a)

 z 

! 5 , (b)

e5.

 z 

13) Calcule y represente en el plano complejo los números  z  ! x  yi tales que: (a)

 z   2

e 5 , (b)

 z   i

e z   i , (c ) z  z !

14) Resuelva la ecuación cuadrática

 x

2

 3x  3 ! 0 .

15) Resuelva la ecuación cuadrática 2 x 2  4 x  5 ! 0 . 16) Resuelva la ecuación cuadrática 17) Resuelva la ecuación

 x

4

 x

2

 3x  8 ! 0 .

 13x 2  36 ! 0 .

5

2

z  .

Sección 2 Forma trigonométrica o polar de un número complejo La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo de la i g ur a 3 :

Gráfica

En este caso se tiene que r  !

z 

3: Forma trigonométrica de un número complejo.

! ( x, y ) y que

y U ! arg( z ) ! tan 1 ¨© ¹¸ . ª  x º

Luego:

®sin U !  y   y ! r sin U ± ± r  ¯  x ±cos U !   x ! r cos U ± ° r  Por lo tanto:  z 

! ( x, y) ! x  yi ! r cos U  i r sin U ! r (cos U  i sin U)

Ésta es la llamada  forma tri g onométrica o pol ar  del número complejo, la cual está en términos del módulo y el argu mento. Se denota comúnmente por   z  ! r cis U .

 jemplo :  E 

Halle la forma trigonométrica de

.

 z  ! 1  i

T ¨ 1 ¸ (1) 2  (1) 2 ! 2 y U ! tan 1 © ¹ !  . 1 4 ª º

Hallemos r  !

 Note que U está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:  z  ! 1  i

¨ ª

¨ T ¸  i sin ¨  T ¸ ¸ ! 2 ¨ cos ¨ T ¸  i sin ¨ T ¸ ¸ ! 2 cis ¨ T ¸ . © ©4¹ ¹ © 4 ¹¹ © 4 ¹¹ © 4¹ ª 4º ª ºº ª ºº ª º ª ª º

! 2 © cos © 

6

Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica Sean u ! r cis E y v ! s cis F , entonces u v ! rs cis E  F  . En otros términos: uv ! rs cos(E  F)  i sin(E  F ) 

Demostración: u v ! r cis E  s cis F

! rs cis E cis E  ! rs cos E  i sin E cos F  i sin F  ! rs cos E cos F  i cos E sin F  i sin E cos F  i 2 sin E sin F ! rs cos E cos F  sin E sin F  i (cos E sin F  i sin E cos F)  ! rs cos(E  F )  i sin(E  F ) ! ( rs) cis( E  F)

Por lo tanto , la multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.  jemplo .  E 

¨

¸

¨ ¸ Sea u ! 2cis © ¹ y v ! 3 © cos ¨© ¹¸  i sen ©¨ ¹¸ ¹ ! 3 cis ©¨  ¹¸ . ª4º ª 4ºº ª 4º ª ª4º T

T

T

T

Entonces u v ! 6 cis(0) ! 6 cos(0)  i sin(0) ! 6

Fórmula de Moivre Empleando el resultado del E  jer cicio 3b de esta sección,

n

 z 

! r n cis( nU) , y tomando r ! 1 , tenemos:

n

cos U  i sin U  ! cos(nU )  i sin(nU )

.

Esta expresión es la llamada  fórmul a de  M oivre.

Forma exponencial de un número complejo Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los números reales , los conceptos de función, derivadas, series, etc. Vamos a demostrar la  fórmul a de  E uler : eiU

! cos U  i sin U . g

Empleemos el desarrollo en serie de potencia s de la función e ! §  x

n !0

cuando la variable

 x

 x

n

n!

, suponiendo que sea válido para

es un número complejo  z  . g

e !§  z 

n !0

n

z

n!

! 1

z

2



z

1! 2!

7

3



z

3!

n

 ..... 

z

n!

 

...

Si tomamos

 z 

! i U , nos queda: (iU)n (iU) (iU) 2 (iU)3 (iU) n ! 1    .....   ... n! 3! n! 1! 2! n !0 g

i eU ! §

! 1 i ! 1 i

U 1!

 i2

U2 2!

U U2 

1! 2!

 i3

i

U3 3!

 i4

U3 U 4 3!



4!

U4

i

4!

U5 5!

 i5

U5 5!

 ...

 ....

Agrupando tendremos: e iU

¨ U 2 U4 ¸ ¨ U U 3 U5 ¸ ! © 1    .... ¹  i ©    .... ¹ ª 2! 4! º ª 1! 3! 5! º

Estos son los desarrollos de cos U y sin U respectivamente. Así que eiU ! cos U  i sin U . Sea  z  ! r (cos U  i sin U) un número complejo donde r  es su módulo y U su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:  z 

! r (cos U  i sin U) ! r eiU .

Esta expresión es la llamada  forma e x ponencial  del número complejo. Note que la forma exponencial es equivalente a la trigonométrica pues dependen de los mismos elementos:módulo y argumento del número complejo  z  . Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multiplicación , división y potenciación empleando las leyes del ál gebra.

Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial Sean u ! re i y v ! se iF . Entonces: E

iE

iF

u v ! re se ! rs e u

!

rei

v  se

E

iF

¨ r ¸  ! © ¹ ei ( ª sº

 jemplo :  E 

E

i (E F )

F )

i

T

i

T

i

T

Sea u ! 6 e 4 y v ! 3 e 4 . Entonces u v ! 18 e 2 ! 6i y

u v

! 2ei (0 ) ! 2 .

Ejercicios de la Sección 2. 1) Represente: (a) en la forma trigonométrica el número complejo 3  3i . (b) en la forma binómica el número complejo 2 cos T  i sin T  . 2) Represente:

8

(a) en la forma trigonométrica el número complejo 2  2i .

¨

T

T ¸

(b) en la forma binómica el número complejo 2 © cos ¨© ¹¸  i sin ©¨ ¹¸ ¹ . ª 3 ºº ª ª3º 3)

Multiplicando el mismo número complejo n veces, efectúe y emplee identidades trigonométricaspara comprobar que si

 z 1

! r1 (cos U1  i sin U1 ) ,

! r2 (cos U2  i sin U2 ) , «,  z n ! rn (cos Un  i sin Un )  z 2

entonces 2

(a)

 z 1

(b)

 z 1

n

(c)

! r12 cos(2U1 )  i sin(2U1 )  ! r1n cos(nU1 )  isin( nU1 ) 

z1 z2 ... zn   !

r1r2 ...r n cis U1  U 2  ...  U n  .

Extienda el resultado a las potencias enteras negativas. 4) Calcule: 9

(a) 1  i 3  , (b)

1 7 2  2i 

5) Dados u ! 2  i 2 y v ! 2  i 2 , emplee la forma exponencial para hallar: (a) uv , (b) u v . 6)

Dados u ! 2  i 2 y v ! 2  i 3 , emplee la forma exponencial para hallar: (a) uv , (b) u v . 4

7) Halle

 3  i . 1  i 3 

8) Halle

1  i  9 1  i 

6

84

9

Sección 3

Raíces n -ésimas de un número complejo En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma trigonométrica o exponencial un mismo número complejo tiene infinitas representaciones diferentes, i ( U 2 k T ) con k  ¢ . Para cada valor de k  habrá una representación diferente del número complejo  z  ! r e  z  . Definamos la radicación como la operación inversa de la potenciación, esto es: z

!

n

w



! w.

n

z

Supóngase que w ! reiU es un número complejo de módulo r  y argumento U y que complejo de módulo  s y argumento J . Entonces  z n ! w equivale a: n

 z 

 z  !

se

iJ

un número

! s n ei nJ ! rei U ! r ei ( U 2 k T )  ! w .

De esta manera: (1)  s n ! r  (2) nJ ! U  2 k T Por lo tanto,

 z 

! seiJ donde  s ! n r  y J !

U  2k T n

, con k

! 1, 2,K  , n .

Estas son las fórmulas para hallar las n raíces n-ésimas de cualquier número complejo. Compruebe que  para todo otro valor de k  , con k  ¢ , se obtienen las mismas n raíces que para k ! 0,1,K  , n  1 .  jemplo .  E 

Hallar  1  i . i

T

 2k T , con k  ! 0,1 . Entonces: 2 ! 4 2 y J! 4 2

T

1  i ! 2 e 4 . Por lo tanto  s !

Para k  ! 0 , tenemos

 z 1

!

4

i

T

2e 8 .

Para k  ! 1 , tenemos  z 2 ! 4 2 e

i

9T 8

.

El logaritmo de un número complejo Al igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un número complejo como la operación inversa de la exponencial, esto es:  z  !

log w  e ! w . z 

10

Supóngase que

w!

iU re es un número complejo de módulo r  y argumento

e z  ! r ei ( U 2k T ) !  jemplo .  E 

w



z  !

U , entonces:

ln r  i (U  2k T) .

Sea 1 ! 1ei (0 ) . Por tanto log (1) ! ln(1)  i (2 k T) ! 2 k T i , con k  ¢ .

Ejercicios de la Sección 3 1) Halle las raíces cuadradas de 1 y verifique que son i y  i . 2) Halle las raíces cúbicas de 1. 3)

Halle las raíces cúbicas de 1 .

4) Halle las raíces cuadradas del número 1  3 i y expréselas en la forma binómica. 5) Halle las raíces cúbicas del número 1  i 3 y expréselas en la forma binómica. 6)

Halle las raíces cuadradas de 2  2i y represéntelas en el plano complejo.

7) Muestre que log(1) ! Ti . 8)

Halle:

(a) log(e ) , (b) log(i ) , (c ) log( ei ) . 1 T 9) Muestre que log(1  i ) ! ln 2  i . 2 4

11

Respuestas Sección 1 1) a) (2, 2) , b) (5, 14) , c) (13, 22) , d) (1, 4) , e) (4, 6)

¨  x y ¸ , 2 2 2  x y x   y 2 ¹º ª

6) u , v  ! ©

3  9i

9 ) a)

10

11) 3  i 2

13) a)  x  2   y 2 e 25 , círculo de radio 5 centrado en (2, 0) y su interior. 1 15)  1 s i 2 17) s2i , s 3i

Sección 2 ¨ ¸ 1 a) 3 2 cis © ¹ ª 4º 3T

5) a) 2 , b) i 7)

1  103 i e 4 Formatted:

Space After: 12 pt 

Formatted:

Spanish (Mexico)

Sección 3 3)

1 3 s i 2 2 i

4

T

5) 2e 9 , 2e

i

10 T 9

i

, 2e

16 T 9

8) a) 1  2k T i , c) 1 

T

2

i

12

Tomado de http://temasmatematicos.uniandes.edu.co

13

Formatted:

Centered