Compensador de Adelanto

COMPENSADOR DE ADELANTO Un compensador de adelanto trata de un sistema que nos permite en su salida adelantar la fase de una señal con respecto a la entrada que tenemos, a este sistema se le llamada compensador ya que nos brinda la ventaja de mejorar  la respuesta de un circuito que no está en condiciones o no está para un requerimiento en específico, ya que hay sistemas realimentados que no cumple su propósito satisfactoriamente. La esencia principal de un compensador de adelanto es volver a dar forma a la curva de respuesta en frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto suficiente para compensar el atraso de fase excesivo asociado con los componentes del sistema fijo, en la figura 1 que se encuentra más adelante se notara más simple lo explicado aquí. Cuando incluimos un compensación de adelanto dentro de un sistema, tenemos que tener en cuenta términos como por  ejemplo el margen de fase deseado, el margen de ganancia ideal para el sistema, también en tomar en consideración las constantes de error estático de velocidad que posea el mismo.  A continuación continuación presentamos presentamos la función función de transferencia transferencia de un un compensador  compensador  de adelanto, el cual sería el siguiente:

    ()     Donde

 tiene que ser mayor a 1.

Partiendo de la función de transferencia de este tipo de compensador se puede observar como el polo del compensador esta siempre situado a una frecuencia mayor que la posición del cero, estando el cero y el polo del compensador distanciados por una separación que depende del valor de α. La compensación de adelanto nos genera un mejoramiento razonable en la respuesta transitoria y un cambio pequeño en la precisión en estado estable, también nos permite recalcar los efectos del ruido de alta frecuencia; un sistema de adelanto se caracteriza también en aumentar el orden del sistema en 1, lo que significaría que si tenemos un sistema de primer orden, la aplicación de una compensación nos lo convertiría en un sistema de segundo orden, lo que empezaría a resultar un sistema más complejo y más difícil a controlar en cuanto a nos referimos a respuesta transitoria. En las siguientes graficas observaremos el comportamiento de una señal con un compensador de adelanto, tanto en magnitud como en grados y a su vez variando α:

Grafica 1

Grafica 2 

En la siguiente grafica tendremos una respuesta frecuencial característica de un ejemplo para poder entender el comportamiento de un compensador de adelanto en cuanto a los ceros y polo de un sistema:

Figura 3

Se pudo observar en la figura 3 que el cero está situado en 1 rad/seg  y el polo en 10 rad/seg , el cual representa α = 0,1; el efecto que tiene un compensador  de adelanto en frecuencia según el análisis previsto de la gráfica, le agrega fases al sistema teniendo en cuanta que  (máximo desfase) será la máxima cantidad de fase que el compensador puede añadir, para determinar el máximo desfase se utiliza la siguiente expresión:

Figura 4

 Además la figura 3 nos dice que el compensador afecta al módulo de la respuesta frecuencial, incrementándolo en aquellas frecuencias que están por  encima de la posición del cero del compensador, creando así una mejora en el margen de fase del sistema que se quiera compensar.

Diseño de un compensador de adelanto utilizando el lugar geométrico de las raíces

El lugar geométrico de las raíces nos brinda unas especificaciones en cuanto a por ejemplo, el factor de amortiguamiento relativo, la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso máximo, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento; todos esos factores muy importante a la hora de diseñar un sistema capaz de compensar una señal que viene presentando dificultad debido a lo ya mencionado anteriormente en el informe. Existe una serie de pasos a seguir para obtener un diseño de compensador de adelanto y por consiguiente unos resultados óptimos aplicando el lugar geométrico de las raíces: 1. A partir de las especificaciones de desempeño, determine la ubicación deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. 2. Graficando el lugar geométrico de las raíces, comprobar si el ajuste de la ganancia puede o no por si solo producir los polos en lazo cerrado convenientes; si no, calcule la deficiencia del ángulo Φ. 3. Partiendo de la ecuación del compensador de adelanto:

    ()      Donde α y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo determina a partir del requerimiento de la ganancia en lazo abierto.

 ,

se

4. Si no se especifican las constantes de error estático, determine la ubicación del polo y del cero del compensador de adelanto. 5. Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición de magnitud. Cumpliendo todo estos pasos se verifica el diseño del compensador, si el sistema no cumple las especificaciones de desempeño, repita los pasos anteriores y ajuste el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones. Ay que tomar en cuenta que si los polos dominantes en lazo cerrado seleccionados no son realmente dominantes, será necesario modificar la ubicación de los polos dominantes en lazo cerrado seleccionados; queriendo decir  que los polos en lazo cerrado diferentes de los dominantes modifican la respuesta

obtenida de los polos dominantes en lazo cerrado, así mismo los ceros en lazo cerrado afectan la respuesta si se localizan cerca del origen. Gráficamente, por medio de un ejemplo la realización de un compensador  de adelanto diseñado por el método del lugar geométrico de las raíces consistiría de la siguiente manera:

Figura 5 

Partiendo de la figura 5 y teniendo en cuenta que la función de trasferencia del compensador de este ejemplo:

 () 

  

Observando y analizando todos estos datos, sobre la configuración de los polos y ceros de la ecuación, nos damos cuenta que el controlador de adelanto de fase puede mejorar la estabilidad del sistema en lazo cerrado si sus parámetros se escogen en forma adecuada, así que el lugar geométrico de las raíces me permite colocar el polo y el cero de  () para que las especificaciones de diseño sean satisfecha y a su vez podemos indicar los intervalos apropiados de los parámetros. Los efectos del control de adelanto de fase sobre el desempeño en el dominio del tiempo de un sistema de control, 5resaltaría lo siguiente: 





Cuando se emplea en forma adecuada, puede incrementar el amortiguamiento del sistema. Mejora los tiempos de levantamiento y asentamiento, ya que el cero lo movemos en -1/αT  hacia el origen. El control de adelanto de fase no afecta el error en estado estable.

Ejemplo de aplicación de un compensador de adelanto

Existen muchas formas de obtener compensadores de adelanto en tiempo continuo, tales como redes electrónicas que usan amplificadores operacionales, redes RC eléctricas y sistemas de amortiguadores mecánicos; pero para uno, el ingeniero electrónico es las utilizado por supuesto es con amplificadores operacionales, en la siguiente figura presentamos un diseño de un circuito compensador de adelanto con amplificadores operacionales:

Figura 6 

Para que este circuito con operacional sea un compensador de adelanto, R1C1 tiene que ser mayor que R2C2. Ahora bien, la función de transferencia del siguiente circuito consistiría en lo siguiente:

()   ()     ()     ()      ()     ()     ()     ()   

Dónde:

          

 

Este circuito tiene una ganancia determinada por 

    

y la

configuración de los polos y ceros de este sistema explicado en los pasos anteriores ya mencionado, quedaría de la siguiente manera:

Figura 7 

Ventajas de los compensadores de adelanto







La compensación de adelanto proporciona el resultado deseado mediante su contribución al adelanto de la fase. Suele usarse para mejorar los márgenes de estabilidad, el compensador  produce una frecuencia de cruce de ganancia más alta que la que puede obtenerse con la compensación de atraso. El ancho de banda de un sistema con compensación de adelanto siempre es mayor que la de otros compensadores.

Figura 8 

En esta grafica presentada podemos observar cómo se comparta la señal al pasarla en un circuito de compensador de adelanto, excitando dicho circuito con una entrada de escalón unitario, donde podemos notar la diferencia entra una señal y otra, la señal C1(t) es la respuesta de un sistema sin ningún tipo de red que tenga un compensador y la señal C2(t) seria ya la señal pasado por un circuito de compensador de adelanto, donde notamos ampliamente la diferencia y lo que nos permite hacer dicho compensador.

COMPENSADOR DE ATRASO De igual manera que el compensador de adelanto, un sistema o circuito de compensador de atraso tiene como propósito adecuar la señal que uno requiere para un efecto a fin, ya que lo que hace el compensador de atraso es de atrasar la fase de la señal, debido que un módulo o sistema nos genera una señal con falla respecto a la fase ya que igual manera como el punto anterior la realimentación nos genera dicho problema que no es deseado por el diseñar, entonces este tipo de compensador nos arregla dicha señal a la deseada por uno. El compensador de atraso como los demás compensadores se enfoca a partir de las respuestas en frecuencias y su función principal es proporcionar una atenuación en el rango de las frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema. Se interpreta que un compensador de atraso es bastante parecido a un compensador PI y su diseño se realiza de forma similar, así que mencionado esto el compensador de atraso de fase sitúa un polo y un cero en frecuencia, con una separación que depende de un parámetro de diseño, en este caso sería β. El polo del compensador tiene la característica de estar ubicado a una frecuencia menor que la posición del cero. La función de transferencia de un sistema de compensador de atraso en forma general consistiría de la siguiente manera:

    ()     Donde 1 > β ≥ 0.

En las siguientes figuras se mostrara el diagrama de Bode en cuanto a magnitud y grados de la señal:

Figura 9

Figura 10 

Con respecto a estas gráficas, analizamos lo siguiente: 



La ganancia es prácticamente constante en los intervalos    Dentro del intervalo      , ésta monotónicamente ()

  , decrece

La fase es negativa, por tanto atrasando la de los sistemas con lo que se coloca en cascada, hablando empíricamente de conexión del sistema, la  fase alcanza su mínimo en     ⁄ y este vale  √ 

Teniendo estas características se podría compensador de atraso de la siguiente manera:

enfocar

un

sistema

de

   ()       Teniendo esta función, podemos observar en la siguiente grafica la respuesta del sistema en frecuencia:

Figura 11

La respuesta frecuencial del compensador utilizado en la gráfica tiene situado el polo en 1rad/seg  y el cero en 10 rad/ seg, que representaría β=10.  Analizando esto, observamos como el compensador le resta fase a la señal de un posible sistema, además decremento el módulo de la respuesta frecuencial por lo que disminuye la frecuencia de transición del sistema compensado y en consecuencia ralentiza la respuesta temporal. El compensador de retraso debe diseñarse situando el cero por debajo de la frecuencia de transición del sistema compensado, de manera que el compensador reste la mínima cantidad de grados posible sobre el margen de fase del sistema compensado. La mejora del margen de fase por parte del compensador de retraso es debida a la reducción que causa en la frecuencia de transición del sistema compensado, puesto que atenúa el módulo de la respuesta temporal, y a la característica decreciente de la curva de fase en la respuesta frecuencial de los sistemas. Características de un compensador de atraso

Considere el problema de encontrar un circuito de compensación conveniente para un sistema que exhibe características satisfactorias de la respuesta transitoria, pero características insatisfactorias en estado estable, entonces el circuito compensador incrementa la ganancia en lazo cerrado sin modificar en forma notable las características de la respuesta transitoria, esto quiere decir que no debe cambiarse de manera significativa el lugar geométrico de las raíces en la vecindad de los polos dominantes en lazo cerrado, sino debe incrementarse la ganancia en lazo abierto en la medida en que se necesite, para ello se diseña un compensador de atraso. Para evitar un cambio notable en los lugares geométricos de las raíces, la contribución de ángulo de la red de atraso debe limitarse a una cantidad pequeña, para ello se coloca el polo y el cero de la red de atraso relativamente cerca uno del otro y cerca del origen del plano s; de este modo los polos en lazo cerrado del sistema compensado solo se alejaran ligeramente de sus ubicaciones originales llevando por hecho que las características de la respuesta transitoria cambiara muy poco.

Diseño de un compensador de adelanto utilizando el lugar geométrico de las raíces

El procedimiento para diseñar compensadores de atraso para un sistema cualquiera mediante el método del lugar geométrico de las raíces seria los siguientes pasos, pero tomando en consideración que la respuesta transitoria del sistema cumpla con un ajuste de la ganancia: 1. Dibujar la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado cuya función de transferencia en lazo abierto podría ser por 

ejemplo G(s); con base en las especificaciones de la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de las raíces. 2. Suponga que la función de transferencia del compensador sea la siguiente:

 ()   

 

Que resolviendo para simplificarlo aún más todavía, la F.T. quedaría así:

    ()         Así la función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado se convierte en  ()(). 3. Calcular la constante de error estático especificada en el problema. 4. Determinar el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las especificaciones. 5. Determinar el polo y el cero del compensador que producen el incremento necesario en la constante de error estático determinado sin alterar  apreciablemente los lugares geométricos de las raíces originales. 6. Dibujar una nueva gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado, localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar geométrico de las raíces. Hay que tener en consideración que si el ángulo del sistema de compensación de atraso es muy pequeña, los lugares geométricos de las raíces originales y los nuevos serán casi idénticos, pero sin embargo habrá una ligera separación entre ellos, así que nuevo hay que ubicar sobre el nuevo lugar geométrico los polos dominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificaciones de la respuesta transitoria. 7. Por ultimo ajustar la ganancia  del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.

Ejemplo de aplicación de un compensador de atr aso

Un circuito de compensador de atraso consiste en el mismo que el de un compensador de adelanto, y por ello tomamos la misma figura 6 que mostramos anteriormente:

Figura 12 

Donde podemos observar que es la misma configuración, lo único que se diferencia con respecto al compensador de adelanto es el valor de una resistencia y capacitor, es decir, los valores R1C1 tiene que ser menor que R2C2, todo lo contrario en el compensador de adelanto, que tenía que ser mayor. La función de transferencia de este circuito queda representada de la siguiente manera:

   ()     ()    Donde,

             

La configuración de los polos y ceros de este sistema explicado en los pasos anteriores, quedaría de la siguiente manera:

Figura 13

Para notar un resultado real de un circuito de compensador de atraso y compararlo con una señal original donde tenemos problemas de fase no deseada, presentamos la siguiente gráfica, donde podemos notar la diferencia entre una señal y otra, todo esto probado excitando el sistema con una señal de escalón unitario:

Figura 14

Ventajas de los compensadores de adelanto









El compensador de atraso logra el resultado a través de su señal de salida sobre la propiedad de atenuación en frecuencias altas. El compensador no requiere una ganancia tan alta a comparación del comparador de adelanto para lograr compensar la atenuación inherente de la señal. La compensación de atraso reduce la ganancia del sistema en las frecuencias más altas sin reducirla en las frecuencias más bajas, y por  consiguiente que el ancho de banda del sistema se reduce, este sistema como tal responde a una velocidad más lenta. El compensador de atraso sirve para mejorar la respuesta para bajas frecuencias.