Compendio I - 26.09.19

 

SESIÓN 01: SEGMENTOS

I) LÍNEA RECTA

- La medida de  AB  es un número real y positivo representado así: m AB  o AB.

IV) OPERACIONES CON SEGMENTOS C SEGMENTOS C OLINEALES A) NOTACIÓN:  AB ; Se lee “Recta AB ”, o

L

 que se lee “Recta

L” B) CARACTERÍSTICAS: - Dos puntos determinan una recta. - Toda recta contiene infinitos puntos. - Una recta es ilimitada en extensión - Todos los puntos de una recta siguen la l a misma dirección.

II) RAYO

a) ADICIÓN:  AC = AB + BC ⇒ x = a + b

Porción de líne Porción línea a rect recta a limitada en un extremo e ilimitada por el otro.

A) NOTACIÓN:

Ubiquemos en una recta tres puntos A, B y C en forma cons consecut ecutiva, iva, dete determinán rminándose dose ento entonces nces dos segmentos consecutivos  AB   y BC , con lo cual quedan establecidos establecidos tres segm segmento entos: s:  AB , BC   y  AC , tal como se muestra en la figura. Si a continuación utilizamos las medidas de cada uno de los segmentos, se podrán establecer las siguientes relaciones:

OA

: Se lee “Rayo OA”

B) CARACTERÍSTICAS: - Se origina a partir de un punto (O) llamado origen. - Es limitado por extensión. - Todos sus puntos siguen la misma dirección. OBSERVACIÓN: La figura formada por todos los puntos del rayo OA sin el punto “O” se llama semirrecta OA y se denota así OA .

b) SUSTRACCIÓN:   AB = AC – BC ⇒ a = x – b BC = AC – AB ⇒ b = x – a Dónde: AC = x, AB = a ∧ BC = b OBSERVACIONES: a)  Si en una recta se consideran “n” puntos consec con secut utivo ivos, s, el númer número o de segmen segmentos tos (N) que quedan determinados por dichos puntos, está dado por la siguiente relación: N=

n(n-1)

 

2

b) La relación de Adición se puede generalizar  así: Tomemos “n” puntos consecutivos A1, A2,  A3, … An  en una misma recta, entonces se verificará la siguiente relación.

III) SEGMENTO DE RECTA A1An=A1A2+A2 A3+ +A A3 A 4 +...+An-1An

Porció Porc ión n de líne línea a re rect cta a limi limita tada da po porr am ambo boss extremos.

A) NOTACIÓN:  AB , se lee “Segmento de recta  AB ” B) CARACTERÍSTICAS: - Es una porción limitada de una recta. - Los extremos de  AB  son los puntos A y B.

 A este resultado se le conoce como “La regla de la Ca Cade dena na”” o el Te Teor orem ema a de Ch Char arle les. s. Debemos notar que los segmentos considerados son consecutivos.

c) Se establece que B es el punto medio de  AC , si y sólo si: AB=BC=

AC 2

 

 

VII) SECCIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO

V) CUATERNA ARMÓNICA

El segmento  AP  del gráfico adjunto se dice que es la sección áurea del segmento  AB , sí y sólo si se verifican las siguientes relaciones: Los puntos colineales y consecuencias A, B, C y D forman una cuaterna armónica si y sólo si se cumple: AB AD = BC CD

VIII) PROPIEDADES DE LA SECCIÓN ÁUREA

Observación: Observaci ón: Si consideramos los segmentos dete de term rmin inad ados os (e (en n el gráf gráfic ico o mo most stra rado do)) de izquierda a derecha, entonces  AB  es el 1ro: BC el 2do, CD   el 3ro  y  AD   el 4to, luego la relación anterior se podrá expresar también como: 1°

=

4°

PRO ROP PIEDADES ARMÓNICA

Siendo  AP   la sección áurea de cumplen las siguientes propiedades:

a) AP >

 AB 2

 AB

, se

 

 5 1    2   5 1    c) AP = AB.   2 

b) AB = AP. 

2° 3°

VI)

- AP > PB. - (AP)2 = AP.PB.

DE

LA

CUATERNA

Sabiendo que A, B, C y D forman una cuaterna armónica se cumplen las siguientes propiedades:

d) PB, es la sección áurea de AP.  5 1      2 

e) AP = PB. 

f) Número Áureo: AB = AP.

 5 1       2 

PRÁCTICA DIRIGIDA 01

a) AB > BC

I. OPERACIONES CON SEGMENTOS

b) Relación de Descartes: 2

=

1

+

1

AC AB AD

 

c)  Rela Relación ción de Newto Newton: n:  Si “O” es el punto medio de  AC  entonces: (OC)2 = OB.OD. loss se segm gmen ento toss de dete term rmin inad ados os po porr la d)  Si lo cu cuat ater erna na armó armóni nica ca ve veri rififica can n la si sigu guie ient nte e relación: AB BC

=n.

AD CD

, donde n > 0 

n+1 n 1 = + AC AB AD

 

01. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que AC=BD, BC=8 y AD=18. Calcule AC.  A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 02. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que AB+CD=14 y AD=21. Calcule BC.  A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 03. A partir del gráfico, calcule x. Considere que 2(BC)=5(AB) y BC-AB=9.

 

 A) 17 D) 20

B) 18 E) 21

C) 19

04. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, M y C. Si M es punto medio de AC, AB=12 y BC=20, calcule BM.  A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 05. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que  AB+CD=2(BC) y AC+CD=27. Calcule Calcule BC.  A) 7 B) 9 C) 11 D) 12 E) 13 06. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, M, B y C, de modo que  AM=MC y AB-BC-36. Calcule BM.  A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22 07. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, de manera que  AB=BC, CD=2(DE) y AB+AE=4S. Halle AD.  A) 26 B) 30 C) 33 D) 39 E) 42 08. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, M, B y N, además AM=BN. Si MN=12, calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de BM y AM.  A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 09. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C. Si M es punto medio de BC y AB2 +AC2 = 26, calcule AM2 + BM2.  A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 10. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Si (AC) 2  = (AB) (AD) y BC=4, calcule  A) 1/4 D) 2/3

B) 1/3 E) 1

. C) 1/2

PR =

y

RS es:  A) 8 D) 30

el valo valorr de B) 12 E) 38

C) 24

UNT (2015 II-ÁREA “B” - LETRAS)

12. So Sob bre una recta ecta se to toma man n los los punt nto os consecutivos A, B, C y D de modo que (AB) (CD) = 2(AD)(CD). Si

,

entonces el valor de “x” es:  A) 6 B) 7 D) 9 E) 11

C) 8

UNT (2015 I-ÁREA “B” - LETRAS)

13.. Sobr 13 Sobre e un una a lílíne nea a rect recta a se cons consid ider eran an los los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F de tal man ma nera que D es punt nto o me med dio de , además AC=CE y BD=DF, entonces el valor  de: P =

. Es:

 A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

EXCELENCIA (2017 I-ÁREA “A” - CIENCIAS)

14. Si se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D en una línea recta dispuesta dispuesta de tal manera que:  Si: Ent nton once cess la lon longitu itud d de el sse egme ment nto o  A) D)

B)

se será rá:: C)

E)

EXCELENCIA (2016 I-ÁREA “A” - CIENCIAS)

15. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D done se sabe que: 2.AB = 3.CD y AB + CD = 50 cm. Si A, B, C y D forman una cuaterna armónica, el valor  de BC en centímetros, es:  A) 5 B) 8 C) 10 D) 15 E) 30

II. EXÁMENES DE ADMISIÓN UNT 2015 II-ÁREA “A” - CIENCIAS)

11. Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos P, Q, R, S tal que: PS = 2PQ;

EXCELENCIA (2015 I-ÁREA “A” - CIENCIAS)

16.. Sobr 16 Sobre e un una a lílíne nea a rect recta a se cons consid ider eran an los los puntos consecutivos A, B, C y D. M es punto

 

medio de La longitud de  A) 3 D) 9

, AB + CD =10 y BM – MC=2. es: B) 6 E) 12

C) 8

III SUM. - CEPUNT (2017 II-ÁREA “B” - LETRAS)

17. A, B, C, D y E son puntos colineales y consecutivos, si AE=5BD, AD=5CD y DE=5, la medida del segmento BC es:  A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 2,5 E) 3,0   III SUM. - CEPUNT (2017 I-ÁREA “A” - CIENCIAS)

18. Si P, Q, R y T so son n puntos tos coli colin neales les consecutivos de tal forma que

 A) 13 D) 16

B) 14 E) 17

C) 15

04. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, de manera que C es punto medio de AD y AD-2(AB)=24. Halle BC.  A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 05. En el gráfico, M es punto medio de AC. Calcule BM.

. Si el punto Q biseca a PR, entonces el valor de  A) 4 B) 9 D) 12 E) 13

es: C) 11

19. Sobre una línea recta se toman los puntos colineales M, N, P y Q, luego los puntos A y B puntos medios de y respectivamente, si: MN = 5 y PQ = 11. Hallar AB.  A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 20.. So 20 Sobr bre e un una a líne línea a rect recta a se cons consid ider eran an los los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F. Halla Hallarr A AF, F, ssi:i: DE=AB DE=AB;; AD AD=2/5 =2/5AF AF y  AC+BD+CE+DF=35.  A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

 A) 3 D) 6

B) 4 E) 7

C) 5

06. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D, tal que 3(AD) + 5(BC)=80 y 3{AB)=5(CD). Calcule BD.  A) 8 D) 11

B) 9 E) 12

C) 10

07. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D; tal que AC=24 y BD=30 BD= 30.. Cal Calcul cule e la lon longit gitud ud del del seg segmen mento to que une los puntos medios de AB y CD.  A) 24 B) 27 C) 30 D) 32 E) 34 08. A partir del gráfico, calcule “x” si:

.

PRÁCTICA DOMICILIARIA 01

01. En una recta se ubican los puntos consecutivos A M, B y C, tal que M es punto medio de AC. Si AB-BC=40, calcule BM.  A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 02. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, donde M es punto medio de AB y AC+BC=14. Calcule MC.  A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 03. En el gráfico, F y G son puntos medios de  AB y DE, respectivamente: Si AB+DE=10, calcule FG.

 A) m-n D)

B) 2m-n E)

C) mn

09. Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D. Son tales que: AD = 18, BD = 13 y AC = 12.  A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5 10. P, Q y R son tres puntos consecutivos de una recta. PQ = 2QR + 1 y PR = 31. Hallar  QR.  A) 9 D) 12

B) 10 E) 8

C) 11

 

 A) 12 D) 20

PROBLEMAS PROPUESTOS 01

01.

Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tales que: AD = 24,  AC = 16 y  A) 3 D) 3,6

C) 18

10. Sean los puntos colineales y consecutivos L, M, N, P, Q, sien siendo do:: 2LM 2LM = MN y

. B) 4 E) 5

B) 16 E) 24

C) 6

02. A, C, D y E, son colineales y consecutivos tal que D sea punto medio de CE y AC + AE = 50. Hallar AD.  A) 25 B) 12,5 C) 50 D) 20 E) 17 03. A, B y C, son puntos colineales y consecutivos, tales que 7AB = 8BC y AC = 45. Hallar BC.  A) 25 B) 19 C) 23 D) 21 E) 17 04. Los punto ntos cons consec ecu utivo tivoss A, M, B y C pertenecen a la misma recta. M, es el punto medio MB, 32.18  A) 8 de AC. HallarB) 32 si: AB – BC = C) D) 16 E) 24 05. En una recta se tienen los puntos co cons nsec ecut utiv ivos os A, B, C, D, cu cump mplilien endo do la relación: 4AB – BD – 2CD = 4. Hallar AD, si  AB = 3 y AC = 5.  A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 7

.

Hallar:  A) 12 D) 1/13

B) 1/12 E) 24

C) 13

CLAVES SESIÓN 01 PRÁCTICA DIRIGIDA 01

01 C 11 A

02 B 12 A

03 E 13 B

04 B 14 E

05 B 15 C

06 C 16 B

07 B 17 A

08 B 18 C

09 C 19 E

10 A 20 E

09 B

10 B

PRÁCTICA DOMICILIARIA 01

01 C

02 A

03 C

04 D

05 B

06 C

07 B

08 D

PROBLEMAS PROPUESTOS 01

01 B

02 A

03 D

04 D

05 E

06 B

07 D

08 E

09 E

06. Sean los puntos colineales y consecutivos E, F, G y H. Si: EF = 8, GH = 9 y EG.GH + EF.FH = FG.EH, hallar FG.  A) 10 B) 12 C) 14 D) 17 E) 18 07. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E, siendo C punto medio de AE, además AB = CD. Calcular la longitud de BD, si AE = 18.  A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 08. M, N, R, son puntos colineales y consecutivos, tales que 2MN + 3NR = 81. Hallar NR, si MR = 36.  A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 9 09. A, B, P, C y D, son puntos colineales y consecutivos. CD = 2AB, BP = PC y AP = 12. Hallar BD.

SESIÓN 02: ÁNGULOS – RECTAS PARALELAS

I. DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

10 C

 

Se llama ángulo a la unión de dos rayos que tienen el mismo origen. Los elementos de un ángulo son los siguientes:

2. Cu Cua ando nos dice icen “el “el su sup pleme lemen nto de dell suplemento del suplemento del suplemento del … de un ángulo que mide ∅”, tendremos:

Lados: Son los dos rayos. Vértice: Es el origen de los dos rayos.

RECTAS PARALELAS PROPIEDADES; Si L//L1. 1.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es el rayo interior cuyo origen es el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos congruente congruentes. s.  

2.

II. COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO El complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para ser igual a 90º.  

III. SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO Es lo que le falta al ángulo para ser igual a 180º. Sea la medida de un ángulo igual a 86º.

OBSERVACIONES: 1. Cu Cuan ando do no noss dice dicen n “el “el co comp mple leme ment nto o de dell complemento del complemento del complemento del … de un ángulo que mide ∅”, tendremos:

3.

 

D) 60°

E) 65°

PRÁCTICA DIRIGIDA 02

I. ÁNGULOS CONSECUTIVOS 01. Sean los ángulos consecutivos AOM y MOB. Halle el ángulo formado por sus bisectrices si m∡ AOB=126°.  A) 60° B) 61° C) 62° D) 63° E) 64° 02. Los ángulos AOB y BOC forman un par  lineal y sus medidas se diferencian en 70°. Halle m∡BOC.  A) 25° B) 35° C) 45° D) 55° E) 65° 03. Se tiene los ángulos adyacentes A OS y BOC, tal que m∡ AOB = m∡BO BOC C + 54 54°. °. Calcule la medida del ángulo formado por el rayo y la bisectriz del ∡ AOC.  A) 21° B) 22° C) 23° D) 24° E) 27° 04. Calcu Calcule le “x” si y son bise bisectrice ctricess de los ángulos AOC y AOD, respectivamente.

 A) 29° D) 32°

B) 30° E) 33°

C) 31°

05 05.. Se tie tiene ne los ángu ángulos los con consec secuti utivos vos AOB AOB,,

08. Un tercio de la diferencia entre el suplemento y el complemento de la medida de un ángulo es igu igual al doble de su complemento. Calcule dicha medida.  A) 15° D) 70°

B) 45° E) 75°

C) 60°

III. RECTAS PARALELAS 09. Si

, calcule “x”:

 A) 10° D) 23°

B) 20° E) 18°

10. Si

, calcule “α”:

 A) 100° D) 150° 11. Si

C) 15°

B) 120° E) 160°

C) 130°

, calcule “x”:

BOC  yde Luegoyse trazandellas ∡bisectrices dCOD. el ∡ AOB COD. CO D. Si m∡ AOC=30° y m∡XOY=50°, halle m∡BOD.  A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 90°

II. COMPLEMENTO Y SUPLEMENTO 06. El suplemento de un ángulo disminuido en 50° es igual a doce veces la medida de dicho ángulo. Halle su medida.  A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30° 07. Sea “β” la medida de un ángulo, tal que el sup suplem lemen ento to del de l com comple plemen mento to deCalcule “β” y el complemento de 3β suman 130°. el complemento de β.  A) 45° B) 50° C) 55°

 A) 30° D) 60° 12. Si

B) 40° E) 70° ,

C) 50°

y θ + β = 70°. Calcule “x”:

 

17. Si

 A) 35°

B) 40°

C) 60°

D) 70° E) 75° 13. Si , calcule “x”:

 A) 90° D) 120°

, calcule “x”:

B) 100° E) 140°

C) 110°

IV. EXÁMENES DE ADMISIÓN III SUMATIVO 2006 I (OCT.05-FEB.06 (OCT.05-FEB.06)) 18. En la siguiente figura L 1//L2  y α  + β = 310°, entonces el valor de “α”, es:

 A) 10° D) 25° 14. Si

B) 15° E) 30°

C) 20°

, calcule “x”:  

 A) 20° D) 50°

B) 30° E) 70°

C) 40°

III SUMATIVO 2005 I (ENE.05-ABR.05) 19. En el gráfico L1//L2. El valor de (x+y)/2, es:  A) 95° D) 110° 15. Si

B) 100° E) 115°

C) 105°

, calcule “x”:

     A) 14° D) 20° 16. Si

 A) 35° D) 40°

B) 16° E) 22°

C) 18°

, m – n = 38°, calcule “x”:

B) 36° E) 42°

C) 38°

A) 90° D) 35°

B) 45° E) 30°

C) 40°

III SUMATIVO 2000 II (OCT.00-FEB.0 (OCT.00-FEB.01) 1) 20. Si AB//CD y AD//BC, entonces el valor de “x” es:

   

A) 70° D) 20°

B) 60° E) 10°

C) 30°

 

PRÁCTICA DOMICILIARIA 02

01 01.. Se tie tiene ne los ángu ángulos los con consec secuti utivos vos AOB AOB,, BOC y COD. Si es bisectriz del ∡ AOD y m∡BOC=24°, halle m∡ AOC-m∡COD.  A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30° 02. Los ángulos AOB, BOC, COD y DOA son proporcionales a los números 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Halle m∡ AOB.  A) 16° B) 18° C) 19° D) 21° E) 36° 03. Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD miden 30°, 40° y 60°, respectivamente. Halle la med medida ida de dell ángulo form rma ado por las las bisectrices de los ángulos AOB y COD.  A) 75° B) 80° C) 85° D) 90° E) 95° 04 04.. Se tie tienen nen los ángul ángulos os consec consecut utivos ivos AOB AOB,, BOC y COD, tal que los ángulos AOC y C D for∡mBOD=220°. an un Calcule par mli∡nBOC. eal y mO ∡ AOC+m  A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60° 05. La dif ife ere ren nci cia a del su sup ple leme men nto co con n el complemento de la medida de cierto ángulo es ig igua uall al tr trip iple le de dell án ángu gulo lo.. Ca Calc lcul ule e el complemento de la mitad de dicho ángulo.  A) 65° B) 70° C) 75° D) 80° E) 85° 06. Halle el valor del ángulo que disminuido en su sup suple leme ment nto o es ig igu ual al doble de su complemento.  A) 60° B) 70° C) 80° D) 90° E) 100° 07. La suma entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual a 210° y la dif ife ere ren nci cia a entre el su sup pleme lemen nto y el complemento del mismo ángulo es igual a 90°. Halle la medida de dicho ángulo.  A) 15° B) 20° C) 25° D) 30° E) 35° 08.

La tercera parte de la mitad del complemento del suplemento de la medida de un ángulo excede en 8º a los tres quintos del complemento de la mitad de la medida del mismo ángulo. Hallar la medida de dicho ángulo.

 A) 150º D) 165º

B) 155º E) 170º

C) 160º

09. Si a la medida de un ángulo le disminuimos su cuarta parte más que la mitad de su comp comple leme ment nto o, resu result lta a un te terc rcio io de la dife iferen rencia cia entr tre e el comp comple leme men nto y el suplemento de la medida del mismo ángulo. Hallar dicho ángulo.  A) 12º B) 22º C) 22º D) 32º E) 42º 10. 10. Del grá gráfic fico o mos mostra trado do deter determin minar ar el val valor  or  entero de “x” cuando “y” tome su máximo valor entero.

 A) 12º D) 62º

B) 22º E) 82º

C) 42º

PROBLEMAS PROPUESTOS 02

01. Se tienen los ángulos consecutivos m ∡POQ, m∡QOR y m∡ROS, de modo que el rayo   es bisectriz del ángulo m∡QOS. Calcular m∡POQ + m∡POS = 140°.  A) 70º B) 100º C) 35º D) 150º E) 110º 02. Se divide la medida de un ángulo x en k partes iguales, por un punto de uno de los lados se trazan “m” perpendiculares a los rayos que divide a “x”. Calcular la medida del ángulo que forma la primera y la última perpendicular.  A) B) C) D)

E)

03. El doble de un ángulo es mayor que otro en 30º. Si los ángulos son conjugados internos comprendid compr endidos os entr entre e recta rectass paralelas paralelas.. ¿En cuánto se diferencian estos ángulos?  A) 40º B) 45º C) 50º D) 30º E) 35º 04. En el gráfico, hallar el máximo valor entero de “y”.

 

   

 A) 50º D) 40º

B) 35º E) 52º

05.. En la fifigu 05 gura ra,, el rayo rayo

C) 41º es bi bise sect ctri rizz de dell

ángulo AOD,msiendo POC. - m∡BOP = 20°. Calcular ∡ AOB -mm∡∡COD

A) 30° D) 18°

B) 25° E) 24°

C) 20°

10.. Dado 10 Dadoss los los án ángu gulo loss cons consec ecut utivo ivoss AO AOB B y BOC,, se trazan BOC trazan las bis bisect ectric rices es y de dich dichos os án ángu gulo los, s, resp respec ectitiva vamen mente te.. Si m∡ AOB - m∡BO BOC C = 60 60°, °, ha hallllar ar m∡BOR donde es bisectriz de m∡POQ.   A) 30° B) 12° C) 21°   D) 18° E) 15° CLAVES SESIÓN 02 PRÁCTICA DIRIGIDA 02

 A) 22º D) 10º

B) 40º E) 20º

C) 25º

06. Sean los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que m∡ AOC - m∡BOD = 10°; luego se traza las bisectrices OM y ON de los ángu án gulo loss AO AOB B y CO COD D resp respec ectitiva vame ment nte. e. Calcular la medida del ángulo formado por  las bisectrices de los ángulos AOM y CON si m∡MON = 100º.  A) 112º30’ B) 100º30’ C) 106º30’ D) 105º E) 102º30’

01 D 11 D

02 D 12 D

03 E 13 C

04 D 14 D

05 C 15 C

06 A 16 C

07 E 17 C

08 E 18 D

09 B 19 B

10 E 20 D

09 A

10 D

PRÁCTICA DOMICILIARIA 02

01 C

02 E

03 C

04 C

05 C

06 D

07 D

08 D

PROBLEMAS PROPUESTOS 02

01 A

02 C

03 A

04 B

05 D

06 E

07 C

08 A

09 C

07 07.. Se tie tienen nen los ángul ángulos os consec consecut utivos ivos AOB AOB,, BOC y COD, de modo que la m∡BOC exc xce ede a la m∡ AOB es 40º y la m∡COD excede a la m∡ AOB en 20º. Luego se trazan las bisectrices OM, ON, OQ, OE, y OF de los ángulos AOB, BOC, COD, MON y NOQ resp respec ectitiva vame ment nte. e. Ca Calc lcul ular ar la m∡BOE m∡COF.  A) 10° B) 15° C) 5°   D) 18° E) 25° 08.. Si la di 08 dife fere renc ncia ia entr entre e el supl suplem emen ento to y el complemento de un ángulo es igual a la medida del ángulo, hallar el suplemento del complemento de dicho ángulo.   A) 120° B) 90° C) 135°   D) 150° E) 100° 09.. Se 09 Seis is án ángu gulo loss cons consec ecut utiv ivos os titien enen en su suss medidas en progresión aritmética y su suma es 18 180º 0º, , ad adem ás la medi da menor. de dell án ángu gulo lo mayor es el emás doble de me la dida del ¿En cuánto excede la medida del ángulo mayor a la medida del menor?

SESIÓN 03: TRIÁNGULOS I

10 E

 

I. DEFINICIÓN Se llama triángulo a la figura geométrica plana formada por tres segmentos de recta que tienen, dos a dos, un punto común que se denomina vértice.

2.5. Teorema de la desigualdad triangular: En un triángulo, la longitud de uno de sus lados es menor que la suma de las longitudes de los los ot otro ross do doss lado lados, s, pero pero ma mayo yorr qu que e la diferencia de dichos lados.

II. TEOREMAS FUNDAMENTALES 2.1. Teorema de la suma de las medidas de los ángulos ángulos inte interio riores res:: La suma de las medidas de los ángulos internos es igual a 180º.

2.2. Teore Teorema ma del ángu ángulo lo exterio exterior: r: La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las med medida idass de los ángu ángulos los interi interiore oress no adyacentes.

III. III. PRO PROPIE PIEDAD DAD ADI ADICIO CIONAL NAL “CO “CORBA RBATIT TITA A MICHI”

IV. ÁNGULOS FORMADOS POR RECTAS DE UN TRIÁNGULO A)

TEOREMA DE LAS BISECTRICES INTERIORES La me medi dida da del del án ángu gulo lo qu que e fo form rman an do doss bisectrices interiores de un triángulo es igual a 90º más la mitad del tercer ángulo.

B)

TEOREMA DE LAS BISECTRICES EXTERIORES La me medi dida da de dell án ángu gulo lo fo form rmad ado o por por do doss bisectrices exteriores es igual a 90º menos la mitad del tercer ángulo del triángulo.

2.3. Teorema de la suma de las medidas de los ángulos ángulos exte exterio riores res:: La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360º.

2.4. Teorema de la suma de las medidas de doss áng do ángulo uloss ex exter terior iores: es: La suma de las medidas de dos ángulos exteriores a 180º más la medida del tercer ángulo interior.

 

C) TEOREMA DE UNA BISECTRIZ INTERIOR  Y UNA BISECTRIZ EXTERIOR EXTERIOR La me medi dida da de dell án ángu gulo lo form formad ado o po porr un una a bisectriz interior y una bisectriz exterior, que parten de dos vértices diferentes, es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo del triángulo.

G) PROPIEDAD

PRÁCTICA DIRIGIDA 03

01. Del gráfico, calcule “x”.

D) TEOREMA DE DOS ALTURAS La me medi dida da de dell án ángu gulo lo qu que e fo form rman an do doss al altu tura rass es igua iguall al supl suplem emen ento to del del te terc rcer  er  ángulo del triángulo.  A) 10° D) 30°

B) 24° E) 15°

C) 20°

02. Del gráfico, si AB = BC, calcule “x”.

E)

TEOREMA DE LA ALTURA Y LA BISECTRIZ INTERIOR La me medi dida da de dell án ángu gulo lo form formad ado o po porr un una a altura altu ra y una bisectr bisectriz iz inte interior, rior, que part parten en de un mismo vértice, es igual a la semidiferencia de las medidas de los otros dos ángulos del triángulo.

F) TE TEOR OREM EMA A DE DEL L CU CUAD ADRI RIL LÁT ÁTER ERO O NO CONVEXO En un cuadrilátero no convexo, la medida dell án de ángu gulo lo co conv nvex exo o co corr rres espo pond ndie ient nte e al ángulo no convexo es igual a la suma de las medidas de los otros tres ángulos interiores del cuadrilátero.

 A) 90° D) 150°

B) 100° E) 115°

C) 120°

03. Del gráfico, si AB = BC = CD, calcule “ θ”.

 A) 25° D) 40°

B) 50° E) 45°

C) 30°

04. Del gráfico, si AB = BC y AD = DB, calcule “x”.

 A) 80° D) 100°

B) 90° E) 120°

C) 110°

 

05. Del gráfico, si AB = BC = DC, calcule “x”.

 A) 60° D) 80°

B) 75° E) 50°

C) 70°

06. Del gráfico, calcule “x”.

 A) 70° D) 85°

B) 75° E) 90°

09. Del gráfico, calcule “ θ”.

 A) 20° D) 40°

B) 25° E) 45°

C) 30°

10. Del gráfico, calcule “x”.

C) 80°

07. Del gráfico, calcule x-y.

 A) 50° D) 40°

B) 60° E) 55°

C) 70°

11.. En un tr 11 triá iáng ngul ulo o AB ABC, C, es la bise bisect ctri rizz interior y es la altura del triángulo ABE. Si m∡ ABH=50°, calcule m∡BAC.  A) 80° B) 70° C) 50° D) 75° E) 65°

 A) 15° D) 30°

B) 20° E) 35°

C) 25°

08. Del gráfico, calcule x+y.

12. En un triángulo ABC, se ubica el punto E en su regi región ón inte interi rior or,, ta tall qu que e AB=B AB=BC= C=AE AE;; además, la m∡BCA=50° y la m ∡EAC=20°. Calcule la m∡ AEB.  A) 80° B) 85° C) 60° D) 75° E) 90° 13. En un triángulo ABC, se ubican D y E en   y en la reg región ión ext exteri erior or rel relat ativa iva a , respectivame men nte, tal que BDE es un triángulo trián gulo equ equiláte ilátero. ro. Si es la altura altura del triángulo ABC, AB=3 y AD=2, calcule BE.  A) B) 2 C) 1 D)

 A) 140° D) 150°

B) 100° E) 115°

C) 120°

E)

 

14.. De 14 Dell gr gráf áfic ico, o, halle halle Ja me medi dida da de dell án ángu gulo lo determinado por y .

 A) 28° D) 32°

B) 30° E) 18°

18. Del gráfico, calcule “x”.

C) 24°  A) 52° D) 58°

15. Del gráfico, calcule “x”.

B) 61° E) 64°

C) 46°

19. En un triángulo ABC se ubican los puntos M, D y E en , y en la prol prolonga ongación ción de , respectivamente, tal que E, D y M son colineales. Si AE=EM y m∡ AEM=20°, calcule m∡EMC.  A) 80° B) 100° C) 110° D) 120° E) 118°  A) 90° D) 85°

B) 105° E) 155°

C) 100°

20. En un triángulo ABC se ubican E y F en y la prolongación de

16. Calcule “x”.

, respectivamente.

Si ; DB = DE DE;; m∡ ABC=80° y m∡BCA=50°, calcule m∡EFC.  A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 45° PRÁCTICA DOMICILIARIA 03

01. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BM, tal que BM=BC. Si  A) 46° D) 72°

B) 64° E) 54°

C) 63°

∡BMA. m∡100° MBC=30°, calcule  A) B)m120° D) 90° E) 115°

C) 105°

02. En un triángulo ABC, se traza la ceviana exterior BD (D está en la prolongación de ). Si BC=CD y m∡CBD CBD=26 =26,, calcul calcule e m∡BCA.  A) 40° B) 50° C) 60° D) 52° E) 46°

17. Calcule “x”.

03. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior y en el triángulo ABD se traza la cevi cevia ana inte interi rio or BE BE,, ta tall que BD=B BD=BE E y  A) 79° D) 67°

B) 84° E) 69°

C) 82°

∡BDC. m∡110° EBD=40°. Calcule  A) B)m100° D) 130° E) 105°

C) 120°

 

04. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD, tal que BD=AB. Si m ∡DAB=80°, calcule m∡ ABC.  A) 45° B) 30° C) 40° D) 60° E) 50°

02. Según el gráfico, m ∡ ABC + m∡ ACB = 100º, ca calc lcul ular ar la suma suma de las las me medi dida dass de los los ángulos DPE y DQE.

05. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior AM, tal que AM=BM y m ∡ ACB=60°. Calcule m∡BAM.  A) D) 40° 30°

B) E) 50° 20°

C) 60°

06.. En un triá 06 triáng ngul ulo o AB ABC, C, la me medi diat atri rizz de interseca a y en D y E, respe res pecti ctivam vament ente. e. Si m∡ ACB=20°, calcule m∡BDE.  A) 90° B) 110° C) 100° D) 130° E) 120°

 A) 75º D) 30º

B) 25º E) 50º

C) 15º

03. Según Según el gráfico gráfico,, AN = AT, BM = BR y CS = CP, calcular “α + β + θ”.

07. En un triángulo ABC, se traza la mediana BD, tal que AC=2BD. Si m ∡BCA=40°, calcule m∡BAC.  A) 35° B) 40° C) 50° D) 60°

E) 70°

08. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH y en el triángulo BHC se traza la bisectriz interior CD. Si m ∡BAC=70°, calcule m∡HDC.  A) 60° B) 70° C) 100° D) 80° E) 110° 09. En un triángulo ABC, se traza la altura BH. Si BC=AC y m∡BCA=40°, calcule m∡ ABH.  A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50° 10. in En un se=DC= traza la. bisectriz inte teri rior or triángulo AD AD,, ta tall ABC, qu que e AD AD=D C=AB AB. Ca Calc lcul ule e m∡BAD.  A) 24° B) 30° C) 44° D) 36° E) 48° PROBLEMAS PROPUESTOS 03

01. En un triángulo acutángulo ABC se traza las mediat med iatric rices es de y que inters interseca ecan n a  en M y N respectivamente; calcular la medi me dida da de dell án ángu gulo lo de dete term rmin inad ado o po porr la bisectriz del ángulo ANM y la recta pe perpe rpendi ndicul cular ar , si m∡ ABC + m∡ ACB = 115º y m∡NAM + m∡ AMN = 110º.  A) 10º B) 22º30’ C) 5º30’ D) 5º E) 7º30’

 A) 360º D) 180º

B) 270º E) 300º

C) 135º

04. Según el gráfico, a + b + c + d = 420º, calcular “θ”.

 A) 25º D) 18º

B) 15º E) 20º

C) 10º

05. Según el gráfico, calcular “x”.

 A) 15º D) 12º

B) 6º E) 18º

C) 9º

 

10. Según el gráfico, calcular x, si m + n = 105º.

06. Según el gráfico, calcular “x + y + z”.

 A) 45º D) 20º  A) 180º D) 135º

B) 360º E) 120º

C) 270º

07. Según el gráfico, AB = CD, AM = MD y BN = NC. Calcular “x”.

B) 30º E) 60º

C) 50º

CLAVES SESIÓN 03 PRÁCTICA DIRIGIDA 03

01 A 11 A

02 C 12 D

03 B 13 A

04 D 14 A

05 B 15 D

06 C 16 C

07 B 17 A

08 A 18 B

09 D 19 B

10 E 20 A

09 B

10 D

PRÁCTICA DOMICILIARIA 03

01 C

02 D

03 A

04 C

05 A

06 B

07 C

08 D

PROBLEMAS PROPUESTOS 03

 A) 50º D) 40º

B) 65º E) 70º

C) 80º

01 D

02 E

03 B

04 E

05 A

06 A

07 D

08 C

09 C

08. Según la figura, β + ϕ = 90º. Calcular x + y.

 A) 180º D) 135º

B) 360º E) 120º

C) 270º

09. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), la bisectriz exterior del ángulo A interseca a la prolonga prol ongación ción de en P y la bise bisectriz ctriz del en R R.. Si AP = 7y PC ∡ APC interseca a = 5, calcular .  A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3,5

SESIÓN 04: TRIÁNGULOS II

10 A

 

1ER CRITERIO: “TRAZO DE LA CEVIANA” Cuando Cuan do se ob obse serv rva a un triá triáng ngul ulo o qu que e te teng nga a ángulos interiores en la relación de uno a dos, de la siguiente forma.  

2DO  CRI RIT TERIO ERIO:: “CO “COMPLE MPLET TANDO ANDO A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES” Cuando se observe en un triángulo una bisectriz interior, se buscará completarlo a un triángulo isósceles de la siguiente manera.

PROCEDIMIENTO A) 1º OPCIÓN (Ceviana Interna):  Se trazará una ceviana interna tal que forme un ángulo igual al mayor en la mis misma base del triángulo.

PROCEDIMIENTO

B) 2º OPCIÓN (Ceviana externa): Se traza una cevian extern qu forme foirme ángulo ulo icev guaiana l aal ext merna enoar tal en que lae m sma un basáng e d el triángulo.

3ER  CRI RIT TER ERIO IO:: “COMP COMPLE LET TANDO ANDO A UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO”

 

PROCEDIMIENTO

5TO CRITERIO: “BUSCANDO CONGRUENCIA” Cuando se observan triángulos siguientes con lados iguales en forma alternada, se realizarán los siguientes trazos.

4TO 

CRITERIO:

“PROPIEDAD BISECTRIZ”

DE

LA

Cuando se observa en una figura de la siguiente forma se realizará el siguiente trazo.

PROCEDIMIENTO

PROCEDIMIENTO

Se realizará el siguiente trazo para obtener la siguiente figura:

 

 A) 10º D) 25º

PRÁCTICA DIRIGIDA 04

01. En la figura, calcular “x”.

 A) 10º D) 40º

B) 20º E) 50º

B) 15º E) 30º

C) 20º

06. En la figura, calcular “x”.

C) 30º  A) 30º - θ  D) 70º - θ 

02. En la figura, calcular “x”.

B) 50º - θ  E) 90º - θ

C) 80º - θ

07. En la figura, calcular “x”.

 A) 10º D) 40º

B) 20º E) 50º

C) 30º  A) 30º - θ  D) 70º - θ 

03. En la figura, calcular “x”.

B) 50º - θ  E) 60º - θ

C) 80º - θ

08. En la figura, calcular “ α”.

 A) 10º D) 40º

B) 20º E) 50º

C) 30º

04. En la figura, calcular “x”.

 A) D) 10º 16º

B) E) 12º 18º

C) 14º

09. En la figura, calcular “x”.  A) 30º - θ  D) 70º - θ 

B) 50º - θ  E) 90º - θ

C) 80º - θ

05. En la figura, calcular “ α”.

 A) 66º

B) 56º

D) 76º E) 36º 10. En la figura, calcular “x”.

C) 86º

 

15. En la figura, calcular “ θ”.

 A) 60º D) 70º

B) 50º E) 30º

C) 80º  A) D) 10º 16º

11. En la figura, calcular “ θ”.

B) E) 12º 18º

C) 14º

PRÁCTICA DOMICILIARIA 04

01. Calcular “x”.

 A) 10º D) 25º

B) 15º E) 30º

C) 20º

12. En la figura, calcular “x”.

 A) 10º D) 40º

B) 20º E) 60º

C) 30º

B) 24º E) 44º

C) 30º

B) 24º E) 36º

C) 18º

B) 30º E) 36º

C) 40º

02. Calcular “x”.

 A) 10º D) 16º

B) 12º E) 18º

C) 14º

13. En la figura, calcular “x”.

 A) 10º D) 16º

B) 12º E) 18º

03. Calcular “x”.

C) 14º

14. En la figura, calcular “x”.

 A) 10º D) 25º

B) 15º E) 30º

 A) 16º D) 32º

 A) 15º D) 30º 04. Calcular “x”.

C) 20º

 A) 20º D) 42º

 

05. Calcular “α”.

 A) 10º D) 40º  A) 4º

B) 5º

D) 4,5º

E) 6º

C) 5,5º

B) 20º E) 60º

C) 30º

05. Calcular “x”.

PROBLEMAS PROPUESTOS 04

01. Calcular “α”.

 A) 5º D) 18º

B) 10º E) 20º

C) 15º

06. Calcular “θ”.  A) 6º D) 8º

B) 7º E) 9º

C) 7,5º

02. Calcular “x”.  A) 10º D) 18º

B) 12º E) 20º

C) 15º

B) 30º E) 60º

C) 32º

07. Calcular “α”.  A) 20º D) 23º

B) 21º E) 24º

C) 22º

03. Calcular “x”.  A) 20º D) 37º 08. Calcular “x”.

 A) 10º D) 18º 04. Calcular “x”.

B) 12º E) 22,5º

C) 15º

 A) 5º D) 20º 09. Calcular “x”.

B) 10º E) 25º

C) 15º

 

 A) 20º D) 45º

B) 30º E) 60º

C) 37º

10. Calcular “x”.

 A) 10º D) 30º

B) 20º E) 60º

C) 45º

CLAVES SESIÓN 04 PRÁCTICA DIRIGIDA 04

01 A 11 A

02 C 12 D

03 B 13 A

04 D 14 A

05 B 15 D

06 C 16 C

07 B 17 A

08 A 18 B

09 D 19 B

10 E 20 A

09 B

10 D

PRÁCTICA DOMICILIARIA 04

01 C

02 D

01 D

02 E

03 A

04 C

05 A

06 B

07 C

08 D

PROBLEMAS PROPUESTOS 04

03 B

04 E

05 A

06 A

07 D

08 C

09 C

10 A

SESIÓN 05: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

 

I. DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes, cuando tienen sus ángulos y sus lados congruentes tomados de dos en dos.

III. APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA A. PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ Todo To do pu punt nto situ situad ado o del enángulo. la bise bisect ctri rizz siem siempr pre e equidista deo los lados La notación notación ∆ ABC≅∆DEF se lee “El triángulo ABC es congruente al triángulo DEF”.

II. CASOS DE CONGRUENCIA Para afirmar que dos triángulos son congruentes no es necesarios ios que los los seis pares de elementos (3 lados y 3 ángulos) sean congruentes; es necesario y suficientes que tres pares de elementos sean congruentes, donde por lo menos, uno de estos pares de elementos deber ser lados.

B. PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ Todo punto sit itu uado en la me med diatriz y un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento.

1º CASO: “ALA” Dos trián triángu gulos los son con congru gruent entes, es, si tie tiene nen n un lado lad o con congru gruent ente e y los ángul ángulos os ady adyace acente ntess a dicho lado respectivamente congruentes.

2º CASO: “LAL” Dos triángulos son congruentes, cuando tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre los dos lados respectivamente congruentes.

3º CASO: “LLL” Dos triángulos son congruentes, cuando tienen los tres lados respectivamente congruentes.

C. TEOREMA DE LA BASE MEDIA El segmento que une los puntos puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado. Si MN//AC y además M y N son puntos medios.

  D. TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO La med median iana a rel relati ativa va a la hip hipote otenu nusa sa sie siempr mpre e mide la mitad de lo que mide la hipotenusa.

 

E. PROPIEDAD DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES Si trazamos la altura en la base de un triángulo isósc isósceles eles,y, mediatriz. dich dicha a altu altura ra será también media mediana, na, bisectriz

F. ÁNGULO ENTRE LA ALTURA Y LA MEDIANA  Ángulo formado por la altura y la mediana rela relatitiva vass a la hi hipo pote tenu nusa sa,, en un triá triáng ngul ulo o rectángulo.

IV.

TRIÁNGULOS NOTABLES

PRÁCTICA DIRIGIDA 05

01. Del gráfico, si EB=4C, calcule “x”.

RECTÁNGULOS

 A) 50º D) 80º

B) 60º E) 40º

C) 70º

02.. Del 02 Del gráf gráfic ico, o, si el △ ABC si el △DBE son equiláteros, calcule “x”.

 A) 34º D) 46º

B) 30º E) 48º

C) 44º

03. Del gráfico, si AB = EB y BC = BD, calcule “x”.

 

07. Del gráfico, si AM = MB, calcule “x”.

 A) D) 30º 15º

B) E) 35º 20º

C) 25º

04. Del gráfico, si AB=AC; BE = AD y DC=AE, calcule “x”.

 A) 50º D) 25º

B) 60º E) 70º

C) 45º

05. Del gráfico, CD = 8 y AC = 5 + AB, calcule “x”.

 A) D)

B) 6 E)

06. Del gráfico, “L” es la mediatriz de DC. Calcule “x”.

 A) 2 D) 1

B) 3 E) 2,5

C) 4

08. Del gráfico, si AD = DC, calcule “x”.

 A) D) 10

B) E) 14 13

C) 15

09. Del gráfico, si AM = MC = 2 y DB = 3, calcule “x”.

C) 7

y AB =

 A)

B) 5

D)

E)

C)

10. Del gráfico, si AE = BC y ED = DB, además, “L” es la mediatriz de AC, calcule “α”.

 A) 20º D) 35º

B) 25º E) 40º

C) 30º

 

 A) 30º D) 36º

B) 24º E) 25º

C) 15º

 A)

B)

D)

E)

C)

11. Del gráfico, si BC = 20, calcule AB. 16. Si S es punto medio de PT y RT = 2(PQ), calcule “α”.

 A) 12

B)

C) 16

D)

E) 18

12. Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados miden 5; 5 y 8. Halle la medida del mayor de sus ángulos internos.  A) 90º B) 102º C) 106º D) 112º E) 120º 13. Calcule “β” si AB = 3 y BC = 2.

 A) 15º D) 26,5º

B) 16º E) 30º

 A) 30º D) 53º

B) 37º E) 60º

C) 45º

17. En el gráfico, M y N son puntos medios de  y , respectiv respectivament amente. e. Si AC=4( AC=4(RN), RN), calcule “β”.

C) 18,5º  A) 14º D) 37º

14. Calcule AD si BC = 6.

B) 16º E) 45º

C) 30º

18. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz exterior relativa a . Si AC + CB = 15 y BD = 5, calcule m ∡BAC.  A) 14º B) 16º C) 37º/2 D) 15º E) 53º/2  A) 16 D) 24

B) 18 E) 32

C) 20

19. Calcule “ϕ” si BH = 3 y AC = 10.

15. Calcule BC si AD = 2.

 A) 14º D) 26,5°

B) 16º E) 15°

C) 18,5°

20. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior inte rior . Si AB = 5, CD = 12, m∡CBD = 90° y m∡BCD = 15°, calcule m∡BAC.  A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º

 

 A) 80º D) 86º

PRÁCTICA DOMICILIARIA 05

01. En el interior de un triángulo ABC se marca un punto “O” tal que m ∡BAO = m∡ ACO = ϕ, m∡ ABO = 2  ϕ, m∡ AOC = 5  ϕ, AO=6 y  AB=OC. Calcular AC.  A) 18 B) 12 C) 24 D) 32 E) 28 02. En un triángulo equilátero ABC se trazan las cevianas interiores y que se intersecan en el punto F. Hallar m ∡EFC, si BD=CE.  A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 90º 03. Calcular el valor de “x” si y AD=CF.

B) 82º E) 88º

C) 84º

B) 115º E) 90º

C) 80º

07. Hallar m∡BAC.

 A) 120º D) 75º

08. En la figura: AB=CE, CB=CD. Hallar “α”.

, AB=FD  A) 36º D) 40º

B) 22º E) 42º

C) 32º

B) 20º E) 40º

C) 30º

09. BD=AE, hallar “x”.

 A) 9º D) 15º

B) 10º E) 20º

C) 12º

04. Calcular “x” si AM = MN, PQ = QC, AB = NC.

 A) 10º D) 12º

10. Encontrar AC si BC=x+7; CD=2x-3; AD=CE.

 A) 72º D) 24º

B) 18º E) 27º

C) 9º

05. En un triángulo ABC, m∡ A=30°, m∡C=20°, sobre sob re el lad lado o se tom toma a un punto punto F, las mediatricess de mediatrice y se inte interseca rsecan n en el punto E. Hallar m∡ ACE, si AB = FC.  A) 36º B) 30º C) 29º D) 50º E) 55º 06. Hallar m∡ ABC.

 A) 18 D) 34

B) 12 E) 28

C) 24

PROBLEMAS PROPUESTOS 05

01. Calcular “x”, si AB=EC.

 A) 10º D) 15º

B) 20º E) 40º

C) 30º

 

02. Calcular AE si AB=BD, BC=BE, CD=14.

08. En un triángulo ABC, m ∡ A = 2m∡C se traza  perpendicular a la bisectriz interior del ángulo A. Calcular BC, si AF = 4  A) 12 B) 7 C) 5 D) 6 E) 8

C) 16

09. 09. Sob Sobre re la hip hipot otenu enusa sa de un trián triángu gulo lo rectángulo ABC se marca un punto D tal que

03. Calcular “x” si AM=BC, BM=MN, m ∡ AMN= m∡MBC=30º.

 AC = 14, Calcular BD.m∡ ABD = 30° y m∡C = 40°.  A) 3 B) 6 C) 7 D) 4 E) 3,5

 A) 28 D) 14

 A) 40º D) 50º

B) 7 E) 12

B) 30º E) 25º

C) 20º

04. Encontrar AC si AE=CD, m ∡ A= m∡ECD=ϕ, m∡ AEB= m∡EDC=2 ϕ, CE=8.

10. En el triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la ceviana interior tal que m∡ ACD = 10° y m∡DC DCB B = 30 30°, °, se ma marc rcan an los los puntos medios M de y N de . Hallar  m∡MBN.  A) 10° B) 15° C) 20° D) 5° E) 25 CLAVES SESIÓN 05 PRÁCTICA DIRIGIDA 05

 A) 8 D) 24

B) 12 E) 36

C) 16

01 D 11 B

02 D 12 C

05. Los triángulos ABC y CDE son equiláteros. Hallar “x”.

03 B 13 D

04 A 14 A

05 A 15 C

06 D 16 A

07 A 17 C

08 E 18 C

09 A 19 C

10 D 20 B

09 D

10 D

PRÁCTICA DOMICILIARIA 05

01 B

02 C

01 B

02 D

03 E

04 E

05 E

06 D

07 B

08 A

PROBLEMAS PROPUESTOS 05

 A) 46º D) 40º

B) 22º E) 42º

C) 32º

03 A

04 C

05 E

06 D

07 E

08 E

06. En un triángulo ABC se toma el punto medio M del lado y sobr sobre e el lado se toma el punto N tal que m∡BAC= m∡ ANM, AB= 16. Encontrar MN.  A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 3 07. En un triángulo ABC, la altura

pasa por 

el p pu unto medio F d de e lla a mediana . Calcular BF, si FH = 3.  A) 12 B) 24 C) 18 D) 6 E) 9

SESIÓN 06: POLÍGONOS

09 C

10 A

 

I. DEFINICIÓN Es la reunión de tres o más segme men nto toss consecutivos o coplanares, tal que el extremo del primero coincide con el extremo del último; ning ningún ún pa parr de se segm gmen ento tos, s, se in inte terc rcep epte ten, n, ex exce cept pto o en sus sus extr extrem emos os y do doss segm segmen ento toss consecutivos no sean colineales.

2.2. POR POR LA MEDI MEDID DA DE SUS LA LADO DOS S Y ÁNGULOS A. POLÍGONO EQUIÁNGULO Cuando Cuan do tien tienen en to todo doss sus sus án ángu gulo loss inte intern rnos os y externos congruentes.

B. POLÍGONO EQUILÁTERO Cuando tienen todos sus lados congruentes.

Elementos Vértices: A, B, C, D, ... Lados: ∢ internos: α, β, ∅, … m ∢ externos: x, y, z, ... Diagonales: Diagonales medias:

C. POLÍGONO REGULAR Cuanto Cuan to tien tienen en to todo doss su suss án ángu gulo loss inte intern rnos os congruentes y todos sus lados congruentes.

II. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS 2.1. POR LA REGIÓN QUE LIMITAN A. POLÍGONO CONVEXO Es cuando tienen todos sus ángulos internos conv convex exos os,, es de deci cir, r, ma mayo yore ress qu que e cero cero y menores que 180º.

D. POLÍGONO IRREGULAR Será cuando no es regular.

B. POLÍGONO NO CONVEXO (CÓNCAVO) Cuando uno ángulos internos co conv nvex exos ostienen es de deci cirrmás ma mayo yore ress qu que e 18 180º 0º noy menores que 360º.

 

2.3. SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono

Número de lados (n) 3 lados 4 lados 5 lados 5 lados 7 lados

Octágono Nonágono Decágono Undecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono

8 9 lados lados 10 lados 11 lados 12 lados 15 lados 20 lados

Eneágono

“n” lados

Nombre

 

En todo polígono de “n” lados.

B. Número total de diagonales: Para polígonos convexos y cóncavos.

III. PROPIEDADES DEL POLÍGONO Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que:

3.1. En todo polígono de “n” lados.

C. Nú Núme mero ro de di diag agon onal ales es me medi dias as de un polígono de un punto medio:

 

3.2. Suma de medidas de los ángulos internos (Si) Para polígonos convexos y cóncavos.

3.3. Suma de medidas de los ángulos externos (Se) Para polígonos convexos y cóncavos.

D. Número Número to total tal de dia diagon gonal ales es me media diass en todo polígono de “n” lados:

  E. Nú Núme mero ro de di diag agon onal ales es de “V “V”” vé vért rtic ices es consecutivos:

3.4. Número de diagonales de un polígono A. Número de diagonales trazadas desde un vértice:

 

PRÁCTICA DIRIGIDA 06

3.5. Medida de un ángulo interior en polígonos equiángulos:

01. ¿Cuántos lados tiene un polígono, si de 5 vértic vér tices es consec consecuti utivos vos se han han tra trazad zado o 39 diagonales?   A) 15 B) 14 C) 12   D) 16 E) 20 02. Encontrar rar el númer mero de lados de un polígono, si se cumple que la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a la suma suma de las las me medi dida dass de sus sus án ángu gulo loss exteriores.   A) 3 B) 5 C) 8   D) 6 E) 4

3.6. Medida de un ángulo exterior en polígonos equiángulos:

03. Hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono, si su número de diagonales es igual a ocho veces su número de lados.   A) 3050º B) 3060º C) 3040º   D) 3030º E) 3080º 04. Encontrar rar el númer mero de lados de un

   

IV. RESUMEN 1 2 3 4

Suma de los internos ( ) Suma de los externos ( ) #Número de diagonales (#D) # Diag. de 1 sólo 1

vértice (#D ) # Diag. medias (#Dm)

= 180°(n-2)

políg podlígono sabien sab iendo que, , , si su su nnúmer nú mero lad la osono, au, me ment nta a do en que uno úme mero roo de de diagonales aumenta en seis. A) 12 B) 6 C) 10 D) 7 E) 8

05. La figura nos muestra un pentágono regular  y un hexágono regular. Calcular “x”.

= 360° = = n-3 =

   

6

# Diag. de “V” vértices consecutivos (#DV)

=

7

Ángulo interno ( )

=

06. El polí polígono gono equián equiángulo gulo ABCDE … es de “n” lados y el polígono equiángulo MNCDP … es de (n-2) lados. Hallar “n”.

8

Ángulo externo ( )

=

9

Ángulo central ( )

=

5

   

A) 132° D) 124°

A) 12 D) 14

B) 130° E) 136°

B) 15 E) 18

C) 128°

C) 10

 

07. Encontrar el número de polígonos regulares que existen, en los cuales la medida de un án ángu gulo lo ext exteri erior or en un val valor or enter entero o may mayor  or  que 24° y cuyo número de diagonales es mayor que 20.   A) 1 B) 2 C) 3   D) 4 E) 6 08. El número de lados de un polígono es el

   

doble del además número de lados de de las un segundo polígono, la suma medidas de los ángulos interiores del primer polígono es igual al triple de la suma de las medidas de lo loss án ángu gulo loss inte interi rior ores es de dell se segu gund ndo o polílígo po gono no.. Ha Halla llarr el nú núme mero ro de lado ladoss de dell primer polígono. A) 4 B) 6 C) 5 D) 8 E) 12

09.. En un po 09 polílígo gono no re regu gula larr la su suma ma de las las medidas de los ángulos interiores excede en 360° a la su suma ma de las las me medi did das de los los án ángu gulos los ext exteri eriore ores, s, ademá ademáss el númer número o de lados de un segundo polígono excede en 2 al nú núme mero ro de lado ladoss de dell prime primerr po polílígo gono no.. Enco En con ntrar rar la suma suma de los los núme mero ross de diagonales de los dos polígonos.   A) 28 B) 29 C) 30   D) 32 E) 36 10. En un polígono el número de ángulos rectos que contiene la suma de las medidas de los ángulos los in intteri rior ores es,, más más el núm úme ero de ángulos rectos que contiene la suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 24. Hallar la suma de las medidas de los ángulos interiores.   A) 1080º B) 2160º C) 1800º  

D) 1440º

E) 1560º

11.. Ca 11 Calc lcul ular ar el pe perí ríme metr tro o de un he hexá xágo gono no equiángulo ABCDEF, si AB = 3, BC = 2, CD = 7, AF = 8.   A) 32 B) 24 C) 30   D) 18 E) 25 12. En un ic ico oság ságon ono o reg egu ula larr AB ABCD CDE E …. ….,, encontrar la medida del ángulo formado por  las mediatrices de los lados y .   A) 30° B) 36° C) 40°   D) 45° E) 60° 13. La suma de las medidas de cuatro ángulos in inte teri rior ores es cons consec ecut utiv ivos os de un he hexá xágo gono no co conv nvex exo o es 50 500° 0°.. Ha Hallllar ar la me medi dida da de dell

   

ángulo que forman las bisectrices interiores de los otros dos ángulos. A) 70° B) 80° C) 60° D) 75° E) 90°

14. En un hexágono equiángulo ABCDEF, AB = CD = EF, BC = DE = AF, BF = 16. Hallar la distancia del vértice D a la diagonal .  A) D) 9

B) E) 4

C) 8

15. Los lados de un polígono regular miden 5 cada uno, su perímetro es numéricamente igual al número de diagonales. Encontrar la suma de las me med didas de los ángulos interiores.  A) 1960º B) 1860º C) 1880º   D) D) 1980º E) 2000º 16.. En un po 16 polílígo gono no co conv nvex exo o el núme número ro de tr triá iáng ngul ulos os que que se fo form rman an al tr traz azar ar su suss diagonales desde uno de sus vértices, es al número total de diagonales como 4 es a 9. Hallar el número de lados del polígono.   A) 9 B) 7 C) 6   D) 5 E) 8 17.. En un po 17 polílígo gono no co conv nvex exo o el núme número ro de diagon dia gonale ales, s, más el númer número o de triáng triángulo uloss que se forman al unir un vértice con los otros vértices, más el número de ángulos rectos que contiene la suma de las medidas de los los ángu gulo loss inte intern rno os es igu igual a 14. Encontrar el número de lados.   A) 4 B) 5 C) 6   D) 8 E) 10 18.. número 18 ¿Cuá ¿Cuánt ntos os lado ladoss titien ene eseun po polílígo gono no, , sisiete su de diagonales multiplica por al duplicarse su número de lados?  A) 3 B) 6 C) 5   D) 4 E) 7 19.. Los 19 Los nú núme mero ross de lado ladoss de do doss po polílígo gono noss reg regulare laress son “n” “n” y “m” m”.. Enco Encon ntr tra ar la difere diferenci ncia a de las med medida idass de los ángul ángulos os interiores, si 5(n-m) = mn.   A) 18° B) 25° C) 36°   D) 45° E) 72° 20. 20. En un políg polígono ono desde los (n(n-4) 4) pri primer meros os    

vértices se han trazado diagonales. Hallar el número de lados (3n-3) del polígono. A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 10

 

PRÁCTICA DOMICILIARIA 06

01.. Ca 01 Calc lcul ular ar el nú núme mero ro de diag diagon onal ales es de un polígono convexo equiángulo, en el cual la medida de un ángulo interno es la novena parte de la suma de medidas de los ángulos in inte tern rnos os de un po polílígo gono no es estr trel ella lado do cuyo cuyo polígono base es un dodecágono.   A) 115 B) 120 C) 125   D) 130 E) 135 02. Se tiene un decágono regular ABCDE…… Hallllar Ha ar la medi medida da de dell me meno norr án ángu gulo lo qu que e forman las prolongacione prolongacioness de y .   A) 64º B) 66º C) 68º   D) 70º E) 72º 03. En cierto polígono convexo, el número de triángulos obtenidos al unir un punto de uno de sus lados con los vértices, es 9. Hallar el número de diagonales de dicho polígono.   A) 31 B) 32 C) 33   D) 34 E) 35 04. Cada lado de un polígono regular mide 6 cm, y el pe perí ríme metr tro o eq equi uiva vale le al nú núme mero ro qu que e expresa el total de diagonales, en cm. Hallar  la medida de un ángulo central.   A) 21° B) 22° C) 23°   D) 24° D) E) 25° 05. ¿Cuál es el polígono que tiene 119 diagonales?   A) 15 B) 16 C) 17   D) 18 E) 19

08. 08. Si un políg polígono ono de "n" lado ladoss tuv tuvier iera a (n – 3) lado ladoss meno menos, s, te tend ndrí ría a (n + 3) diag diagon onal ales es menos. El número de lados del polígono es:   A) 3 B) 4 C) 5   D) 6 E) 15

UNT 2013 II “A” 09. Si la suma de las medidas de cinco ángulos inte intern rnos os de un polí polígo gono no conv convex exo o es 76 760 0

 

grados, entonces la suma de las medidas m edidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes es: A) 145º B) 156º C) 160º D) 220º E) 360º

UNT 2017 I “EXCELENCIA” 10. Si se tiene un polígono regular cuyo ángulo interno es (x+11) veces el ángulo exterior, adem ad emás ás,, si el núme número ro de diag diagon onal ales es es 110x, entonces, el número de lados de dicho polígono es:   A) 32 B) 33 C) 34   D) 35 E) 40 PROBLEMAS PROPUESTOS 06

01. ABCDEF, es un hexágono regular. Sobre , se toma un punto R, que, al ser unido con F, determinar un segmento secante a   en el punto Q. Si: y    

A) 11º D) 14º

. Hallar el valor de “α”. B) 12º E) 15º

C) 13º

06. Sea W uno de los vértices de un icoságono regular. El número de diagonales de dicho polígono que no pasa por W es:   A) 169 B) 167 C) 160 D) 153 E) 150

02.. En el nú 02 núme mero ro de lado ladoss de un polí polígo gono no regu regula larr au aume ment nta a en 10 10,, cada cada án ángu gulo lo de dell nuev nu evo o po polílígo gono no es 3º mayo mayorr qu que e cada cada ángulo del original. ¿Cuántos lados tiene el polígono original?   A) 30 B) 31 C) 32   D) 33 E) 34

UNT 2016 II “B” 07.. De un 07 uno o de lo loss vé vért rtic ices es de un po polílígo gono no convexo se pueden trazar (a+4) diagonales, entonces, la cantidad de ángulos rectos a que equiva uivale le la suma suma de sus sus án ángu gulo loss internos de dicho polígono es:   A) 2(a+4) B) 3(a-3) C) 2(a+5) D) (a+5) E) a(a+5)

03. Dos números consecutivos, representan los núme nú mero ross de vé vért rtic ices es de do doss po polílígo gono noss convexos. Si la diferencia de los números de diagonales totales es 3. ¿Cómo se llama el polígono mayor?   A) Pentágono Pentágono B) Hexágono Hexágono C) Heptágono D) Octágono E) Nonágono

UNT 2015 I “EXCELENCIA”

04. Si al ángulo interno de un polígono regular  se le disminuye en 10º, resulta otro polígono

UNT 2016 II “B”

 

cuyo número de lados es 2/3 del número de la lado doss de dell po polílígo gono no an ante teri rior or.. Ca Calc lcul ular ar el número de lados de ambos polígonos.  A) 11 B) 12 C) 13   D) 14 E) 15 05. Si en un polígono convexo se trazan todas las diagonales de un vértice, dicho número de diagonales más el número de triángulos

   

formados es igual a el 5/18 del número de diagonales. Hallar número de ladostotal del polígono. A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

06.. Si el nú 06 núme mero ro de lado ladoss de un po polílígo gono no co conv nvex exo o di dissmi minu nuye ye en 2, el nú núme mero ro de diagonales del nuevo polígono es menor en 15. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos, original.   A) 1410º B) 1420º C) 1430º D) 1440º E) 1450º

PRÁCTICA DIRIGIDA 06

01 C 11 E

02 E 12 B

03 B 13 A

04 D 14 A

05 A 15 D

06 A 16 C

07 C 17 B

08 D 18 C

09 B 19 E

10 C 20 C

09 D

10 B

PRÁCTICA DOMICILIARIA 06

01 E

02 E

03 E

04 D

05 C

06 D

07 C

08 D

PROBLEMAS PROPUESTOS 06

01 B

02 A

03 A

04 B

05 E

06 D

07 C

08 A

09 E

07. Si un polígono de “n” lados tuviera (n-3) la lado dos, s, te tend ndrí ría a (n+3 (n+3)) diag diagon onal ales es me meno nos. s. ¿Qué polígono es?   A) 2 B) 4 C) 6   D) 8 E) 10 08. Hallar el número de lados de un polígono co con nve vexo xo,, cu cuyo yo núm úme ero de dia iago gona nale less excede en 26 al de otro polígono convexo.  Además, el equivalente en ángulos rectos de la suma de ángulos internos del primero, excede en 8, al número de ángulos rectos que contiene la suma de las medidas de ángulos internos del otro.   A) 10 B) 11 C) 12  

D) 13

E) 14

09. Calcular la medida del ángulo interno del polígono regular, en el cual se pueden trazar  51 diagonales desde 8 vértices consecutivos.   A) 110º B) 120º C) 130º D) 140º E) 150º 10. Las medidas de los ángulos interiores de un polílígo po gono no co conv nvex exo o está están n en prog progre resi sión ón aritmética de razón 5º, siendo la medida del menor: 120º. Hallar el número de lados del polígono.  

A) D) 15 12 óó 35

B) 13 16 óó 79 E)

CLAVES SESIÓN 06

C) 11 ó 5

SESIÓN 07: CUADRILÁTEROS

10 B

 

I. DEFINICIÓN Son aquel aquellas las figura figurass det determ ermina inadas das al tra trazar  zar  cuatro cua tro rec rectas tas sec secan antes tes y cop coplan lanare ares, s, que que se interceptan dos a dos. Los segmentos que se dete de term rmin inan an so son n sus sus la lado doss y lo loss pu punt ntos os de intersección son sus vértices.

2DA. Segmento que une los puntos medios de las diagonales diagonales..

II.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS

LOS

2.1. TRAPEZOIDE  Aquellos que no tienen tienen lado opuestos paralelos paralelos

2.3. PARALELOGRAMOS  Aquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ángulos opuestos de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se bisecan.

2.2. TRAPECIOS Tienen dos lados opuestos paralelos llamados base ba sess y los los otro otross lado lados, s, llllam amad ados os lado ladoss no paralelos III. PROPIEDADES ESPECIALES 1ERA.

2DA.

PROPIEDAD DEL TRAPECIO ERA

1

. Mediana de un trapecio

 

3ERA.

 A) 2 D) 6

B) 3 E) 4

C) 8

05.. Sobr 05 Sobre e la diag diagon onal al de un cu cuad adra rado do  ABCD se marca un punto F, tal que, m∡BCF = 15 15°, °, FC = . Enco Encont ntra rarr el lado lado de dell cuadrado.  A) 9 B) 6 C)

4TA.

D)

E) 12

06. En un trapecio recto ABCD, m ∡ A=m∡B=90°, so sobr bre e el lado lado se to toma ma el pu punt nto o E y además ade más se toma el pu punto nto medio F del del lado , de modo que, m ∡FEB = 53°, FE=5 y  AE=2. Hallar AB.  A) 15 B) 20 C) 5 D) 10 E) 25

5TA. En trapecios isósceles:

07. Sobr Sobre e el lado de un rectá rectángu ngulo lo ABCD se toma un punt punto o E y sobre sobre el lado se marca marc a su pu punt nto o medi medio o F, de mo modo do qu que e m∡FEC=m∡CEB, 2AE+EB=18. Calcular EF.  A) 4,5 B) 18 C) 9 D) 6 E) 3

PRÁCTICA DIRIGIDA 07

01.

En un cuadrilátero convexo ABCD, m∡ A=70°, m∡B=100°. Encontrar la medida dell án de ángu gulo lo form formad ado o po porr las las bi bise sect ctri rice cess interiores de los ángulos C y D.  A) 75º B) 95º C) 85º D) 80º E) 82º

02. En un trapecio ABCD, // , m∡ A=53°, m∡B=45°, AB = 10, BC = 5, Calcular AD.  A) 22 D) 21

B) 17 E) 19

C) 18

03. Sobre el lado de un rectángulo ABCD se toma un punto F, de modo que FC=BC, se traza BM perpendicular a FC. Calcular AB, si BM = 6.  A) 12 B) 6 C) 8 D) 4 E) 3 04. En un trapecio ABCD,

//

, por el

pu punto nto med medio io E del lad lado o

se tra traza za una una

re rect cta a que co cort rta a al lad lado

en F y a la

pr prol olon onga gaci ción ón de dell lado lado en G, ta tall qu que, e, FG=2EF. Calcular la mediana del trapecio  ABCD, si CG=12, además m∡EFD=m∡ ADC.

08. 08. Sob Sobre re la pro prolon longac gación ión del del lad lado o de un paralelogramo ABCD se toma un punto E, de mo modo do que, que, AE=A AE=AD D y el cu cuad adri rilá láte tero ro BECD sea un trapecio isósceles. Calcular la altura del paralelogramo, si CD=6.  A) B) 4 C) 3 D)

E)

09. En el triángulo ABC, por la parte del lado   exteriormente se toma un punto D de modo que m∡ ABC = 45°, =m∡CBD = 53°,  AB = y BD=20. Encontrar la distancia entre los puntos medios de  A) 4 B) 5 D) 8 E) 3

y

10. En el trapecio isósceles ABCD,

. C) 6 //

,

las prol prolonga ongacione cioness de los lado ladoss y se cortan en el punto E, tal que, AC = BE, BC = AB AB.. Calc Calcul ular ar la me medi dida da de dell án ángu gulo lo  ACB.  A) 15º B) 36º C) 20º D) 30º E) 45º

 

11.. En un tr 11 triá iáng ngul ulo o AB ABC, C, AC=1 AC=14, 4, m∡C=45°, sobre el lado exteriormente se construye un cuadrado de centro O. Hallar la distancia del punto O al lado .  A) 5 B) 7 C) 6 D) 3,5 E) 3 12. Sobr Sobre e los lados lados no para paralelos lelos

y

16. En la figura, calcular “x”.

de

un trapecio ABCD se toman los puntos E y F, de modo que, es paralelo a las bases, además EF=14, AD=16, BE=3.EA, CF=3.FD. Calcular BC.  A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 12 13. En un paralelogramo ABCD, m ∡B=100°, las medi me diat atri rice cess de lo loss lado ladoss y , se

 A) D) 25

B) E) 36

C) 4

17. En un trapecio isósceles, la diagonal mide el doble de su mediana. Calcular la medida del ángulo formado por las diagonales.  A) 45º B) 60º C) 30º D) 150º E) 90º 18. En la figura, calcular “x”.

in inte ters rse ecar car en un punto nto F del lad lado . Calcular la medida del ángulo FAD.  A) 20º B) 15º C) 10º D) 30º E) 25º 14. Calcular EF, si BE = EC, MC = 3 y AM = 9.  A) 3 D) 6

B) 4 E) 8

C) 5

19. En la figura, calcular “x”.

 A) D) 10,5

B) E) 21,25

C) 1,5

15. En los cuadrados ABCD y DEFG encontrar  PQ, si AG=12.

 A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

20. En el trapecio ABCD mostrado, m ostrado, calcular “x”.

 A) 3 D) 6

B) 4 E) 8

C) 5

 A) 2 D) 5

B) 3 E) 1

C) 4

 

06.. En el gráf 06 gráfic ico, o, ABCD ABCD es un rect rectán ángu gulo lo.. Calcula AE, si PE = PC.

PRÁCTICA DOMICILIARIA 07

01. ABCD es un rectángulo,  AO=OC=OE, hallar el valor valor de x.

  y

⊥

     A) 62º D) 68º

B) 64º E) 70º

C) 66º

02. La figura ABCD, es un rectángulo   mid mide e 34º, 34º, biseca él BPC.

bis biseca eca él

⊥

;

y

. Hallar la medida del ángulo

03. En un rombo,

   

B) 67º E) 73º

C) 69º

< 90º, se trazan

y

,

perpendiculares a perpendiculares (H en y R en su prolongación). prolongación ). Hallar HD, si: AR = 17 y HR = 11. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

B) 3 E) 7

C) 4

07. En un romboide ABCD, AB = 5, BC = 12, las bisectrices de los ángulos A y B se cortan en el punto M y las de los ángulos C y D en N. Halla la longitud de .  A) 7 B) 8 C) 9   D) 10 E) 6 08. Si las diagonales de un trapezoide miden 8 y 12,, calc 12 calcul ula a el perí períme metr tro o de dell cuad cuadri rilá láte tero ro cuyos cuy os vértic vértices es son los punto puntoss med medios ios del  

 A) 65º D) 71º

A) 2 D) 5

trapezoide.  A) 23 D) 21

B) 18 E) 24

C) 20

09. En un rombo ABCD las diagonales AC y BD miden mid en 6 y 12 12,, resp respec ectitiva vamen mente te.. Hall Halla a la altura BH relativa a .  A)

B)

D) 10

E)

C)

10. En la figura mostrada, calcula EF, si NC = DC.

04. En un triángulo ABC, M es punto medio de . Se traza ⊥ ; (H en ). Hallar   la longitud de

   

punto me med dio de  AH= 3 y HC=7. A) 2 D) 8

y B) 4 E) 10

⊥

, E es , siendo C) 6

 A) 3 D) 8

B) 4 E) 12

C) 6

PROBLEMAS PROPUESTOS 07

es median mediana a del tra trape pecio cio

01. En un pa para rale lelo log gramo ramo AB ABCD CD,, sob sobre la diagonal diag onal se toma el pun punto to P. Por A, se

 ABCD. = RH y HT = TN. Si BC = 36 y  AD = 48.MR Hallar PQ. A) 28,5 B) 29,5 C) 30,5 D) 31,5 E) 32,5

traza p pa aralela a , cco ortando a la prolongación de en el punto R. Si CP = RP, BP = 12 y PD = 5; hallar AR.

05 05.. En la figura figura,,    

, si F esta sobre

 

   

A) 1 D) 7

B) 3 E) 9

C) 5

02. En un romboide ABCD, AB = 5 y BC = 12; las las bi bise sect ctri rice cess de los los án ángu gulo loss A y B se cortan en el punto M y las de C y D en N. Hallar la longitud de .   A) 1 B) 3 C) 5   D) 7 E) 9 03.. AB 03 ABCD CD,, es un cu cuad adri rilá láte tero ro no co conv nvex exo, o, siendo D, el ángulo entrante, Si: , hallar la medida del menor ángulo formado por las bisectrices de los ángulos B y D.   A) 12º B) 14º C) 16º   D) 18º E) 20º

   

A) 21 D) 27

B) 23 E) 29

C) 25

08. En un triángulo ABC, las distancias de los vértices A, B y C, a una recta secante a los ladoss lado y , son AE = 17, y BF = 10 y CQ = 11. Hallar la dist istancia GR, del Baricentro G del ∆ ABC, a la misma recta.   A) 2 B) 4 C) 6   D) 8 E) 10 09.. En un tr 09 trap apezo ezoid ide e AB ABCD CD,, , CD =

, AB =

y

. Hallar la

distancia del punto medio M de A) 12 B) 14 D) 18 E) 20

   

a

. C) 16

04. ABCD, es un romboide. Las distancias de los vértices A, B, C y D, a una recta secante a los lad lados os y , son: son: AE, BF, CQ y DH. Si AE = 7, CQ = 28 y BF = 16; hallar  DH.

10.. En un tr 10 trap apez ezoi oide de AB ABCD CD,, AB=B AB=BC= C=CD CD,, y . Ha Hallllar ar la medi medida da de dell ángulo D.   A) 72º B) 74º C) 76º

  

 

A) D) 31 37

B) E) 33 39

C) 35

D) 78º

E) 80º CLAVES SESIÓN 07

05. En la figura, ABCD es un trapecio. AM = MD,  AE = EC, EQ = QM, y BC = 18. Hallar QR.

PRÁCTICA DIRIGIDA 07

01 C 11 B

02 E 12 C

03 B 13 A

04 D 14 C

05 A 15 D

06 D 16 A

07 C 17 B

08 E 18 B

09 B 19 C

10 B 20 C

PRÁCTICA DOMICILIARIA 07

   

A) 12,5 D) 15,5

B) 13,5 E) 16,5

C) 14,5

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

C

E

E

C

A

C

A

C

C

C

PROBLEMAS PROPUESTOS 07

06. En un cuadrado ABCD, cuyo lado mide 18 cm. M y N, son puntos medios de y

 

, resp respectiv ectivament amente. e. y el punto Q. Hallar QB. A) B) D)

01 D

02 D

03 C

04 D

05 B

06 C

07 A

08 C

09 C

, se corta cortan n en C)

E)

07. En un paralelogramo ABCD, las distancias de los vértices A, B y C a una recta secante a los lad lados y , mi mid den 6, 7 y 8, resp respec ectitiva vamen mente te.. Ha Halla llarr la di dist stan anci cia a de dell vértice D, a la misma recta.

SESIÓN 08: CIRCUNFERENCIA

10 A

 

I. DEFINICIÓN Es un conjunto infinito de puntos de un plano, que qu e eq equi uidi dist stan an de otro otro pu punt nto o fijo fijo de dell mismo mismo plano llamado centro.

II. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA 5. Teorema de Poncelet En tod todo o trián triángul gulo o rec rectán tángu gulo: lo: la sum suma a de cate cateto toss es igua iguall a la hipo hipote tenu nusa sa más más el doble del radio de la circunferencia inscrita.

III. TEOREMAS FUNDAMENTALES

6. Teorema de Pitot En to todo do cuad cuadri rilá láte tero ro circ circun unsc scri rito to a un una a circ circu unferen rencia cia se cum ump ple que 2 lad lados opuestos suman igual que los otros 2.

1. Teorema del que radio y laaltangente Todo radio llega punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. t P r 

P: punto de tangencia r : radio T: recta tangente

IV. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1. Ángulo central

2. Teorema de las dos tangentes Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una misma circunferencia, los segmentos segme ntos compr comprendid endidos os entr entre e los punt puntos os de tangencia y el punto exterior son congruentes.

3. Teorema de la bisectriz del ángulo formado por 2 tangentes El segmento que une el vértice del ángulo formado por dos tangentes con el centro de la circunferencia, es bisectriz del ángulo.

2. Ángulo Semi-inscrito

3. Ángulo Inscrito

4. Teorema COROLARIO I

 

Todos los ángulos inscritos en un mismo arco tienen igual medida.

PRÁCTICA DIRIGIDA 08

01. En la figura, calcula “x”.

COROLARIO II Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es ángulo recto.

   

A) 1,5 D) 2,5

B) 3 E) 2

C) 4

02. Si AB = 6 y PH = 1, calcula R. B

 A r 

 A B : D iá m et ro

4. Ángulo Interior 

 A) 7 D) 5

B) 3 E) 6

03. Calcula OB, si AC = 2 y BC =

C) 4 .

5. Ángulo Exterior  1ER CASO: 2 rectas secantes.  A) 7 D) 5

2DO CASO: 1 recta tangente y 1 recta r ecta secante.

B) 3 E) 6

C) 4

04. Sob Sobre la hip hipote ten nusa de un tr triá ián ngulo ulo rectángulo ABC (recto en B), se construye exteriormente el cuadrado ACEF de centro O. Calcula la medida del ángulo CBO.  A) 30° B) 37° C) 60° D) 53° E) 45° 05. En la prolongación del diámetro PQ de una semicircunferencia se ubica el punto C y se traza la secante CBA, tal que AB = BC = 2 y m∡C=45°. Calcula el radio de la semicircunferencia.  A) B) 5 C) 4

ER

D)

E)

3  CASO: 2 rectas tangentes. 06. Calcula “α”, si: E, F, H, L y T son puntos de tangencia.

 

 A) 76° D) 64°

B) 72° E) 60°

C) 68°

07. Según el gráfico A; B; C y D son puntos de tangencia. Si AE = BD, y m∡DBC = 20°, calcula m∡BEC.  A) 1

B) 3/2

C) 2

D) 5/2 E) 3 12. En la siguiente figura, AB = 12, calcula “r”.

 A) 10° D) 25°

B) 15° E) 30°

C) 20°

08. En la figura, AE = 1 y AT = 3. Calcula BC.

 A) 9 D) 14

B) 10 E) 15

C) 12

09. En el siguiente gráfico calcula x. Si P; Q; T y L son puntos de tangencia.

 A) 80° D) 115°

B) 100° E) 95°

 A) 7 D) 6

B) 5 E) 9

C) 8

13. En un triángulo ABC se traza la mediana BM,, las BM las circ circun unfe fere renc ncia iass insc inscri rita tass en los los tr triá iáng ngul ulos os AB ABM M y BM BMC C de dete term rmin inan an los los punt nto os de ta tan nge gen ncia cia P y Q sob obre re BM, BM, calcula PQ si: BC - AB = 12.  A) 10 B) 8 C) 6 D) 7 E) 4 14. Calcular “x” si m

=120°, m

=40°.

C) 90°

10. Calcula BE si: AP = PE, AM = a y MB = b.

 A) 40° D) 60°

B) 30° E) 20°

C) 50°

15. En la circunferencia de centro “O”, calcular  m , si m +m = 70°.

 A)

B)

D) b-a

E) a-b

C) 2b-a

11. Calcula el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo EPO; Si EF = 10; FC = 14, EO = 8 y AC = 16.

 A) 35° D) 90°

B) 80° E) 40°

C) 70°

 

16. En el cuarto de circunferencia calcular “x”, si m = 58° y BD=DC.

20. En la figura mostrada O es punto medio de , AO=R. Calcule el valor del perímetro del triángulo ADE.

   A) 24° D) 29°

B) 32° E) 28°

C) 30°

17. Encontrar el valor de “x”, el punto “O” es centro de la circunferencia menor.

 A) 12° D) 15°

B) 14° E) 16°

C) 13°

18. Encontrar m∡ AFD, si m∡C=80°.

A)

B)

D)

E)

C)

PRÁCTICA DOMICILIARIA 08

01. El perímetro de un triángulo ABC es 42, BC = 18, la circunferencia inscrita en el triángulo es tangente al lado en F. Hallar AF.  A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5 02. El perímetro de un triángulo ABC es 38, además AB=14, la circunferencia exinscrita relativa rela tiva al lado es tang tangente ente a en el punto M. Calcular BM.  A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 03. Calcular AF en:

 A) 100° D) 130°

B) 110° E) 150°

C) 120°

19. C es una circu circunfere nferencia ncia con diáme diámetro tro y P es un punto exterior a C. Se trazan los segmentos y tal que la prolongación de corta a la circ circunfe unferenc rencia ia en C. Si el ángulo APC mide 25º, calcule la medida del ángulo CAP.   A) 53° B) 65° C) 45° D) 37° E) 55°

 A) 28 D) 16

B) 12 E) 6

C) 14

04. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, m∡ A=37°, AC=10. Encontrar la longitud del radi radio o de la circu circunf nfer eren enci cia a insc inscri rita ta en el triángulo.  A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 1,5 05. En un cuadrilátero ABCD, m ∡ A=90°, CD=16, la circ circun unfe fere renc ncia ia cu cuyo yo radi radio o mide mide 5 es inscrita en el cuadrilátero y tangente al lado  en F. Calcular AD, si FC=12.  A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

 

06.. Lo 06 Loss lado ladoss no pa para rale lelo loss de un trap trapec ecio io rectángulo circunscrito a una circunferencia miden 4 y 5. Hallar la longitud de la base mayor.  A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 07.. En un tr 07 triá iáng ngul ulo o AB ABC, C, AB AB=9 =9,, AC AC=1 =12, 2, la circunfere circu nferencia ncia inscr inscrita ita es tang tangente ente al lado

 

y AB= AB=12 12.. tangente. Hallar PQ.

BC en D y la ci circ rcun unfe fere renc ncia ia exin exinsc scri rita ta relativa al lado es tangente a dicho lado en el punto F. Hallar DF.  A) 2 B) 3 C) 3,5 D) 4 E) 5

 

A) D) 14

  08. En el rectángulo ABCD, encontrar “x”.

 A) 5 D) 8

B) 6 E) 14

es diámet diámetro; ro; B) 52 E)

C) 3

03. En la fi fig gura, ra, O y P son ce cen ntr tro os de las las circunferencias congruentes. Además, O es punto de tangencia. Hallar el valor de x.

C) 7  

09. En un triángulo ABC se toman los puntos medioss M del lado medio y N del lado , de mod mo do que, el cua cuadrilá riláte terro AM AMNC NC se sea a circunscrito a una circunferencia. Encontrar  el perímetro del triángulo ABC, si MN=9.  A) 60 B) 64 C) 68 D) 70 E) 72

A) 80°30’ D) 83°30’

04. 04. En la fig figura ura,,

B) 81°30’ E) 84°30’

C) 82°30’

es diá diámet metro. ro. B, C, T y P:

puntos de tangencia. la medida del

.

A) 44° D) 66°

B) 56° E) 36°

mide 124°. Hallar 

10. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 17, la suma de los l os radios de las circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo es igual a 13. Hallar la longitud del otro cateto.  A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9 PROBLEMAS PROPUESTOS 08

01. En un cuarto de circunferencia de centro O y radios radi os , , se toma el punt punto o E y lueg luego o

 

; (H y P sobre Hallar EP, si AH=15 y BP=8. A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

02. En la figura:

). C) 3

 

C) 22°

05. En la figura, T y B, son puntos de tangencia. El arco AB mide 68° y el arco BC 104°. Hallar la medida del ángulo ATB.

 

09. En el gráfico adjunto:

= 104° y

 (A y B son puntos de tangencia). Hallar la medida del ángulo FBA.

 

A) 77° D) 80°

B) 78° E) 81°

C) 79°  

06. En la figura, el arco AB mide 82°. T y F son puntos de tangencia. Hallar el valor de x.

 

A) 11° D) 41°

B) 21° E) 51°

B) 50° E) 30°

C) 20°

10. En la figura, O es el centro de la circunferencia circunscrita al ∆ ABC. Hallar el valor de x.

C) 31°

07 07.. La Lass tres tres cir circun cunfe feren rencia ciass de la fig figura ura,, son congruentes y T punto de tangencia entre doss de el do ella las. s. mi mide de 52 52°. °. Ha Hallllar ar la medida del

A) 40° D) 60°

 

A) 50° D) 110°

B) 70° E) 130°

C) 90°

. CLAVES SESIÓN 08 PRÁCTICA DIRIGIDA 08

01 E 11 C

 

A) 122° D) 128°

B) 124° E) 130°

C) 126°

08. En un triángulo ABC, recto en B, sobre se tom toma a el punto punto F y se tra trazan zan

3 y14cm, respectivamente. A) B) 3 D) 7 E) 9

03 D 13 C

04 C 14 C

05 E 15 C

06 B 16 D

07 C 17 C

08 C 18 A

09 C 19 B

10 E 20 D

09 E

10 E

PRÁCTICA DOMICILIARIA 08

01 B

02 D

03 C

04 A

05 E

06 D

07 B

08 C

y

, resp respectiv ectivamente amente (P y Q en y ). Ha Halllla ar el inra inrad dio del ∆ ABC, si los inradios de los triángulos APF y FQC, miden  

02 D 12 B

C) 5

PROBLEMAS PROPUESTOS 08

01 B

02 D

03 C

04 C

05 E

06 D

07 D

08 D

09 A

10 C

 

SESIÓN 09: PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALIDAD

I.

TEOREMA DE EQUIDISTANTES

LAS

PARALELAS B) En el Trapecio Si

“Tres o más rect “Tres rectas as para paralelas lelas y equi equidista distantes ntes determinan dete rminan sobr sobre e cual cualquie quierr rect recta a seca secante, nte, segmentos congruentes”.

III. PRIMER TEOREMA DE LA BISECTRIZ

II. TEOREMA DE THALES “Si tres o más rectas paralelas son cortadas por 2 rectas secantes, los segmentos determinados en la primera primer a secan secante te seca secante nte so son n prop proporcion orcionales ales a los segmentos determinados en la segunda secante”.  A

A. PARA UNA BISECTRIZ INTERIOR “E “En n to todo do tr triá iáng ngul ulo, o, los los lado ladoss late latera rale less a una una bisect bis ectriz riz son pro propo porci rciona onales les a los seg segmen mentos tos determinados por la bisectriz del lado opuesto”.

E

B

C

D

F

  B. PARA UMA BISECTRIZ EXTERIOR “E “En n tod odo o tr triá ián ngulo una bisec isectr triz iz ext xte erio rior  dete de term rmin ina a so sobr bre e la prol prolon onga gaci ción ón de dell lado lado opuesto, segmentos proporcionales a los lados laterales a dicha bisectriz”.

G

H

  CASOS PARTICULARES

A) En el Triángulo (

//

)

 

 

IV. TEOREMA DEL INCENTRO “En tod todo o tr trián iángul gulo, o, el inc incen entro tro div divide ide a cad cada a bisectriz en 2 segmentos que son proporcionales a la suma de las longitudes de lo loss la lado doss late latera rale less y al lad lado do don nde cae cae la bisectriz”.

VIII.

TEOREMA LONGITUD EXTERIOR.

PARA CALCULAR LA DE UNA BISECTRIZ

V.TEOREMA DE MENELAO “En todo triángulo al trazar una recta secante a dos lados, pero no paralela al tercer lado, se forman seis segmentos consecutivos. Empezando.” PRÁCTICA DIRIGIDA 09

01. Halla “x/y”.

 

VI. TEOREMA DE CEVA “En “En to todo do tr triá iáng ngul ulo o al traz trazar ar tres tres cevi cevian anas as concurrentes, empezando por cualquier vértice, se cumple que: El producto de la lass longitude longitudess de tres segmentos no con consecutivos secutivos es igu igual al al producto de las longitudes de los otros tres”.

TEOREMA LONGITUD INTERIOR.

PARA CALCULAR LA DE UNA BISECTRIZ

B) 1/4 E) 3/5

02. Calcula “x”, si

 

VII.

A) 10/9 D) 11/10

 A) 2 D) 5

C) 9/10 .

B) 3 E) 7

C) 4

03. En un triángulo ABC, AB = 16, se traza la medi me dian ana a BM BM.. Calc Calcul ula a BM BM,, si: si: m ∡MBC = m∡BAC + m∡BCA.  A) 9 B) 10 C) 16   D) 6 E) 8 04. Del Del gráf ráfico, ico, calcu alcula la x (T es punto de tangencia).

 

 

D) 14

E) 15

09. Del gráfico mostrado, calcula “x”.

 

 A) 5 D) 9

B) 6 E) 12

C) 8  

 A) 1 D) 5

B) 2 E) 4

05. En la figura: AD = DC, BC = 2AB, BE = 9 y EF = 3, Calcula FD.

10. De la figura, calcula x si DE // CQ.

 A) 5 B) 9 C) 6   D) 8 E) 12 06. Si G es el baricentro e I el incentro del triángulo ABC, calcula AC.

 A) 1   D) 1,4 11. Calcula “x”.

 

 A) 6 D) 9

B) 7 E) 12

C) 8  

07. Calcula AD, si BF = FC, además FE // AB.

 

B) 4 E) 2

C) 6

08. Si: 3(MA) = 2(NC) y 5(MB) = 2(DC), calcula “x”.

B) 7 E) 6

C) 1,2

C) 8

12. En un triángulo ABC las bisectrices interiores  AE y BD se intersecan en el punto F.  

 A) 5 D) 3

 A) 4 D) 5

B) 1,5 E) 2

C) 3

Calcula 9; 3EC  A) 12 AC si AF = B) 15 = 4EF. D) 10 E) 7

C) 9

13. En un triángulo ABC: AB = 6 u; BC = 8 u y  AC=10 u. Se trazan las cevianas concurrentes AP, BQ y CD. Si AD = 2 y AQ = 4; calcula BP.  A) 5 u B) 32/7 u C) 9/2 u   D) 30/7 u E) 4 u 14. De la figura, calcula la suma de los valores que toma “x”.

 A) 12

B) 18

C) 20/3

 

19. Halla x/y donde I es el incentro del triángulo  ABC.

 

 A) 5 D) 11

B) 7 E) 6

C) 12

15. En la figura, ABCD es un paralelogramo. Si  AP = 6 y PQ = 4, calcula QR.

 

 A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

 

 A) 1,5 D) 2,5

B) 1,8 2 E)

C) 3

20. En un triángulo ABC: AB = 10, BC = 14 y AC = 16. Calcula la diferencia de las medidas de los segmentos que determina la bisectriz interior del ángulo B sobre AC.  A) 1 B) 2 C) 3   D) 4 E) 8/3 PRÁCTICA DOMICILIARIA 09

16. Si BC // AD, calcula MN.

01. Si , PB = 2; PA = 3 y QC = 5. Calcula BQ.

 A) 86/5 B) 96/5 C) 56/5   D) 76/5 E) 17 17. En el gráfico: son diámetros,  AP = 2; PQ = 3 y CR = 4. Calcula Calcula SR.

 

 A) 10/3 D) 4/3

B) 20/3 E) 25/3

C) 8/3

02. Calcula “x”, en la figura.

 

 A) 8/3 D) 5/3

B) 7/3 E) 3/5

18.. En el gr 18 gráf áfic ico: o: Calcula EC.

 

C) 2  

, HC = 4, AE = 3.

 A) 12

B)

D)

E) 6

C) 7

 A) 2 D) 3,5

B) 3 E) 1,8

C) 2,5

B) 1,8 3 E)

C) 2,5

03. Halla “x – 1”.

 

 A) 2 D) 3,5

04. Si:

calcula “x”.

 

 

 A) 11/3 D) 5

05. Si:

 

 A) 2 D) 5

B) 3 E) 4

C) 2  

 A) 1 D) 5

B) 2 E) 6

C) 4

B) 10 E) 12

C) 8

10. Halla “x”.

calcula “x”.

B) 3 E) 6

C) 4

 

 A) 9 D) 6

PROBLEMAS PROPUESTOS 09

06. En un triá triángul ngulo o ABC, son bisec bisectriz triz interior y exterior, respectivamente. Calcula CE, si: AD = 5 y DC = 3.  A) 9 B) 10 C) 11   D) 8 E) 12

01. Halla “y”.

07. En el gráfico, AE = 4 y FC = 6. Halla AC.

 

 A) 4 D) 13

B) 12 E) 9

 A) 19   D) 22 02. Halla “x”.

B) 20 E) 18

C) 21

 A) 9 D) 6

B) 8 E) 7

C) 10

 A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 9

C) 6

08. En CE.el gráfico, AB = 2(BC) y AC = 4. Calcula  

03. Halla “y”.

 

 A) 3 D) 4

09. Si: Hallar DE.

B) 6 E) 8

C) 2

BC = 2(A (AB) B) y DF = 12.  

04. Halla “x”.

 

09. 09. Si: AB = 5, CD = 7, EG = 15 y FH = 19. Calcula FG.

 

 A) 6 D) 12

B) 10 E) 8,5

C) 8

05. En la figura mostrada: AB = 10; BC = 12, AM = MC y DM = 0,5. Calcula AC.

 

 A) 10 D) 13

B) 11 E) 14

 

 A) D) 12

C) 4

10. Si: AB = 6, BC = 8 y AC = 7, calcula AF.

C) 12  

 A) 2 D) 5

06. En la figura, calcula PD. Si: AM = 9 ; MB = 6 y MP = 8, (AN = ND) Además:

B) 53 E)

B) 3 E) 4,5

C) 4

CLAVES SESIÓN 09

. PRÁCTICA DIRIGIDA 09

01 A 11 E

 A) 2   D) 5 07. Si: Calcula EF.

 

 A) 6 D) 9

B) 4 C) 6 E) 1 3AB = 2BC y DF = 15.

B) 7 E) 10

C) 8

08. Si AB = 12, BC = 8 y AC = 10, calcula AF.

 

 A) 25 D) 30

B) 35 E) 50

C) 40

02 A 12 A

03 E 13 B

04 B 14 D

05 C 15 E

06 B 16 B

07 A 17 A

08 C 18 E

09 C 19 B

10 B 20 E

09 C

10 C

PRÁCTICA DOMICILIARIA 09

01 D

02 B

01 A

02 A

03 A

04 A

05 D

06 E

07 B

08 D

PROBLEMAS PROPUESTOS 09

03 B

04 C

05 B

06 B

07 D

08 D

09 E

10 B