Compendio Ejercicios
August 11, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Colecci´ o on n de Matem´ a aticas ticas Universitarias
´ ´ n al Algebra Introduccion o Lineal Ejercicios Oihane Oih ane Fde Fdez. z. Bla Blanco nco
3
Imagen de portada: tejidos t´ıpicos ecuatorianos ©AMARUN
Colecci´ on on de Matem´ aticas aticas Universitarias, 3 ´ Algebra Lineal y sus aplicaciones ´ Introducci´ on on al Algebra Lineal Ejercicios Oihane Fdez. Blanco
© Asociaci´on on AMARUN, AMARU N, Par´ Par´ıs, 2017 Biblio th` e eque qu e Nati National onale e de Fr France ance Dep´osito osito legal: legal: Biblioth` Impreso en Francia
Fecha de la versi´on: on: enero 2017 ISBN
La Asociaci´ on AMARUN tiene por objetivo desarrollar las ciencias exactas en am´ on eeririca del sur, principalmente en pa´ pa´ıses de la regi´on on andina (Bolivia, Colombia, Ecuador, Per´ u). u). Entre las diversas actividades de AMARUN se encuentra la organizaci´ o on n de escuelas de verano en matem´ aticas, aticas, la producci´ on o n de material pedag´ o ogico gico (leccio(lecciones, hojas de ejercicios) y la edici´ on o n de una revista de divulgaci´ on. on. Para mayores informacion inform aciones es sobre los pro proyect yectos os y actividades actividades,, consultar consultar www.amarun.org
´Indice general 1
Vector ectores es y matrices matrices con con coeficien coeficientes tes en R
n
1.1 Escala Escalares res,, y vecto vectores res en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 1.2 Matr Matric ices es de de m n con coeficientes en R . . . . . . . . . . . . .
×
2
Sistem Sistemas as de Ecuac Ecuacion iones es linea lineales les
2. 2.11 2.2 2.2 2.3 2.4 3
4
Defin Definic ici´ i´ on on de un sistema de ecuaciones lineales . Reso Resolu luci ci´on ´on de un sistema de ecuaciones lineales . Sistemas Sistemas homogeneo homogeneoss e independenc independencia ia linea lineall . . . Matric Matrices es in inve verti rtible bless . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9 9 14 18 21
3.1 Sistemas Sistemas genera generadores dores y subespacio subespacioss vectori vectoriales ales . . . . . . . . . 3.2 Bases, Bases, dimensione dimensioness y coordenadas coordenadas en en un subespacio subespacio vector vectorial ial .
21 28
3.3 su In Inter terpre pretac taci´ i´ on osoluci´ n geom´ ge om´ etrica ecu conjunto on onetrica . . .de. un . . sistema . . . . .de. ecuaciones . . aciones . . . . .lineales . . . . y. 3.4 Transformac ransformaciones iones lineales lineales y matriciale matricialess . . . . . . . . . . . . . .
36 38
Ortogonalidad Ortogonalidad y M´ınimos Cuadrados
41
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Valores y vectores propios y el polinomio caracter´ caracter´ıstico ıstico . . . . . 6.1.1 6.1 .1 Diagon Diagonali alizac zaci´ i´ on on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Vectores ectores propio propioss y transform transformacion aciones es linea lineales les . . . . . . .
i
41 42 44 45 47 49 53
Ejercicio Ejercicioss determi determinan nante te de de una una matriz matriz . . . Matric Matrices es inve inverti rtible bless y Regla de de Cramer Cramer . . . In Inter terpre pretac taci´ i´ on on geom´etrica etrica del determinante determin ante Determinan Determinantes tes y transforma transformacione cioness lineale linealess .
Valores alores y vecto vectores res prop propios ios
6.1
Product Productoo punto: punto: longi longitud tud,, distan distancia cia y angulo a´ngulo entre vectores . . Ortogonali Ortogonalidad dad entre entre vectore vectoress y el complemen complemento to ortogonal ortogonal H ⊥ . Conjun Conjuntos tos y bases bases orto ortogon gonale aless . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proyec Proyeccione cioness ortogonal ortogonales es y el proceso proceso de Gram-S Gram-Sch chmidt midt . . . . El problema de m´ınimos cuadrados cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices Matrices ortogo ortogonales nales y transfor transformaci maciones ones lineales lineales . . . . . . . .
Determ Determina inante ntess
5.1 5.2 5.3 5.4 6
1 4
9
Subespa Subespacio cioss vecto vectoria riales les de Rn y transformaciones lineales
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 5
1
53 59 59 60 61
61 66 68
1 Vecto ectore ress y matr matric ices es con con R
coeficientes en 1.1. 1. 1.
Esca Escala lare res, s, y ve vect cto ores res e en n Rn
1. Diga si estas afirmaciones afirmaciones son verdader verdaderas as o falsas, falsas, y justifique justifique su respuesrespuesta. 4 4 3 . es (a) Otra notaci notaci´on ´on para el vector 3
− −
(b) un ejempl ejemploo de combin combinaci aci´on ´on lineal de los vectores vvvv 1 y vvvv 2 es el 1 vector 2 vvvv1 . (c) Cualquier Cualquier lista lista de cinco n´ umeros umeros reales es un vector en R5 . (d) El vecto vectorr vvvv resulta cuando un vector vector u
vvvv se suma al vector v. vector vvv.
− −2 −1
(e) el vecto vectorr 2 1 7 es m´ ultiplo ultiplo del vector
7 .
2. Instala en tu computadora el programa Open Source Octave (https://www.gnu.org/software/octave/download.html) o alternativamente el programa Matlab que requiere comprar una licencia. Estos dos programas son casi equivalentes, sin embargo hay algunos comandos (sobre todo avanzados) que si son diferentes. En adelante habr´a regularmente ejercicios num´ericos ericos que requieren el uso de este software. software. 2 1 a ) Crea Matlab los vectores v (usanCrea en Maxima, en Maxima, Octave o Matlab los vectores v1 = 0 1 0 1 . Usa el comando w do el comando v1 v1 = [2;1 [2;1;0 ;0;1 ;1] ]) y v2 = 3 1 = v 1 + v 2 para calcular la suma v suma v 1 + v2 . 2 5 0 1 b ) Crea Octave o Matlab la matriz A = Crea en Maxima, Octave 0 1 2 4 usando el comando vv1 y A Avv2 en A = [2,5,0 [2,5,0,1; ,1;0,1 0,1,-2 ,-2,4] ,4]. Calcula el resultado de A de A Maxima, Octave o Matlab. Matlab.
−
u = 3. Sean los vectores vectores
− −
4. Dados Dados los vectores vectores u = v. y u 2vvv.
−
1 , vv = 2
3 2 , v v =
3 . Calcule Calcule u + vvvv y u 1
−
− 2vvv.v .
2 1 , realice las operaciones operaciones u + vvvv
− 1
−
2
Cap Cap´ ´ıtulo 1. Vectores y matrices con coeficientes en R
5. Sean los los vector vectores es u =
− − − − − −
v, en el plano R2 : u, vvv,
1 3 , vv = . Grafique los siguientes vectores vectores 2 1 vvv, v , 2vvv, v , u + vvv, v , u vvvv y u 2vvv. v.
−
3 2 v = , represente en una gr´aafica fica los y vvv = 1 2 v , vvv, v , 2vvv, v , u + vvv, v , u vvvv y u 2vvv. v. siguientes vectores: vectores: u, vvv,
u = 6. Dados Dados los vectores vectores
− −
−
−
−
Octave (resolver 7. Hacer todos los ejercicios ejercicios anteriores anteriores usando Maxima usando Maxima u Octave (resolver y gr´aficar aficar todo construyendo un c´odigo odigo para tal fin. ) 8. Sea la figur figura: a:
b, vvcc y vvd d son combinaciones lineales de u y vvv? v? a ) ¿Los ¿Los vecto vectores res a, Justifique su respuesta. b ) ¿Los , x, y y vz vz son combinaciones lineales de u y vvv? v? ¿Los vecto vectores res w
Justifique su respuesta. b en R2 , que se muestran en la 9. Considere Considere los vectores vectores vvvv 1 , vvvv 2 , vvvv 3 y b?. ¿Es unica u ´ nica figura. ¿Tiene soluci´on on la ecuaci´on x on x 1vvvv1 + x2vvvv 2 + x3vvvv3 = la soluci´on? on? utilice la figura para explicar sus respuestas.
1.1. Escalares, y vectores en Rn
3
= (w1 , . . . , wn ), vvvv = (v1 , . . . , vn ) y w ), 10. Con los vectores vectores u = (u1 , . . . , un ), n verifique las siguientes propiedades algebraicas de R . v ) + = u + ( v + w ). (a) ((u + vvv) + w = (vvv + v ) = cu + cvv para cada escalar (b) c(u + vvv) escalar c. u = (u1 , . . . , un ) para verificar las siguientes propiedades 11. Utilice Utilice el vector vector n
algebraicas de R . (a) u + ( u) = ( u) + u = 0.
−
−
u) = (cd cd))u para todos los escalares (b) c(d escalares c y d. 12. Determina si el vector vector v0 =
0 0 es combinaci´on on lineal de los vectores 0
1 6 3 2 , 4 , 2 , con alg´ u un n peso distinto de cero. En caso de que la 6 2 1 respuesta sea positiva, representa en un dibujo esta combinaci´on on lineal.
13. Determina Determina el valor valor de de a, si es que existe, de tal forma que el vector
0 0 0 1 , y es combinaci´on on lineal de los vectores 0 1 1 1
1 1 . 2 0
1 2 a 5
14. Usando las propiedades propiedades de la la multiplicaci´ multiplicaci´on on escalar y la suma de vectores:
−
a ) Demues Demuestra tra que ( 1) 1)u =
−u.
b ) Sup´ v0 para alg´ on on que c que cu = = un un escalar c escalar c distinto distinto de cero. Demuestra
v 0. que u = que = 15. Una compa˜ n´ıa minera posee dos minas. En un d´ıa, la mina #1 produce mineral que contiene 30 toneladas m´etricas etricas de cobre y 600 kilogramos de plata, mientras que, tambi´en en en un d´ıa, ıa, la mina #2 produce produ ce m mineral ineral que contiene 40 toneladas m´etricas etricas de cobre y 380 kilogramos k ilogramos de plata. Sean 30 40 vv vv 1 = y vvvv 2 = . As´ı vvvv1 y vvvv 2 representan la “producci´oon n 600 380 diaria” de la mina #1 y la mina #2, respectivamente.
Responda a las siguientes preguntas: (a) ¿Qu´e interpret inter pretaci´ aci´on on f´ısica puede darse al vector 5vvvv 1 ? (b) Suponga Suponga que la compa˜ compa˜ n´ıa opera la mina #1 durante durante x1 d´ıas ıa s y la mina #2 por por x2 d´ıas. ıas. Escriba una ecuaci´on on vectorial cuya soluci´on on d´e el numero u ´ mero de d´ıas que cada mina deber´ deber´ıa operar para producir 240 toneladas de cobre y 2824 kilogramos de plata. No resuelva la ecuaci´ on. on.
4
Cap Cap´ ´ıtulo 1. Vectores y matrices con coeficientes en R
a ) [M] Con [M] Con la ayuda de un software matem´atico, atico, resuelva la ecuaci´on on
en (b). 16. Una planta el´ectrica ectrica de vapor vapor quema dos tipos de carb´on: on: antracita (A) y bituminoso (B). Por cada tonelada de A que se quema, la planta produce 27.6 millones de Btu de calor, 3100 gramos (g) de di´ooxido xido de sulfuro, y 250 g de contaminantes s´olidos olidos (part´ (part´ıculas). Por cada tonelada de B que se quema, la planta produce 30.2 millones dert´ Btu, 6400 oxido de sulfuro, y 360 g de contaminantes s´olidos olid os (part (pa ´ıculas) ıcul as). . g de di´oxido Responda a las siguientes preguntas: (a) ¿Cu´anto anto calor produce la planta cuando quema x1 toneladas de A y x2 toneladas de B? (b) Suponga Suponga que la producc producci´ i´ on on de la planta de vapor est´a descrita por un vector que lista las cantidades de calor, di´oxido oxido de sulfuro y contaminantes s´olidos. olidos. Exprese esta producci´oon n como una combinaci´on on lineal de dos vectores, suponiendo que la planta quema x quema x 1 toneladas de A y y x2 toneladas de B. a ) [M] Durante [M] Durante cierto tiempo, la planta de vapor produjo 162 millones
de Btu de calor, 23.610 g de di´oxido o xido de sulfuro y 1623 g de contaminantes s´olidos. olidos. Determine cu´aantas ntas toneladas de cada tipo debe haber quemado la planta. Como parte de la soluci´on, on, incluya una ecuaci´ on on vectorial.
1.2 1. 2.
Matri atrice cess de m
× n con coeficientes en R
17. Responde Responde si es verdader verdaderoo o falso, falso, y justifica: justifica: a ) Si las columnas columnas primera primera y tercera tercera de la matriz B matriz B son iguales, enton-
AB.. ces tambi´en en lo ser´an an las columnas primera y tercera de AB b ) Si las filas primera y tercera de la matriz B son iguales, entonces
AB.. ta tambi´ mbi´en en lo ser´ ser an ´an las filas primera y tercera de AB c ) Si A son las columnas primera y tercera tercera de la matriz myatriz AB.. entonces AB ta tambi´ mbi´ en en lo ser´ ser an ´an las columnas primera tercera deiguales, d ) Si las filas primera y tercera de la matriz A son iguales, entonces
AB.. ta tambi´ mbi´en en lo ser´ ser an ´an las filas primera y tercera de AB e ) (AB AB))2 = A2 B 2 .
18. Verdadero erdadero o Falso. Justifica Justifica tu respuesta. respuesta. a ) Si existe A2 , entonces necesariamente A tiene que ser una matriz
cuadrada. b ) Si existen AB y BA, BA , entonces existen AB entonces A y B son necesariamente matrices
cuadradas. c ) Si existe AB B A, entonces AB B A son necesariamente matrices existe AB y BA entonces AB y BA
cuadradas. d ) Si AB = B, B , entonces necesariamente A I .. Si AB necesariamente A = = I
1.2. Matrices de m
× n con coeficientes en R
5
e ) El produc producto to de A de Av v es una suma de vectores.
19. Dadas Dadas las matrices matrices A =
− 2 1
3 ; 4
B =
−
1 1 ; 0 5
C =
−
2 1
3 4 2 0
−
encuentra: a ) (2 A + B )C (2A b ) C T (B
T
− A)
c ) (AC )T d ) C T AT
e ) Usa Maxima Octave para construir un c´odigo Usa Maxima u Octave para odigo que resuelva este
problema computacionalmente (cada item). 20. Dadas Dadas las matrices matrices A =
−
1 2 4 3
0 ; 2
−
B =
− 2 3 1
1 2 3
;
C =
− 2 1
1 , 3
Octave para construir un AB,, AT y AB 2C . Usa Maxima Usa Maxima u Octave para calcula AB calcula c´odigo odigo que resuelva este problema computacionalmente.
−
21. Escribe Escribe las matrices matrices A y B que verifican que sus componentes son: aij = i + j
y
bij = ( 1)i+j .
−
AB y BA BA.. Encuentra las matrices matrices AB 22. Realiza Realiza las siguient siguientes es operaciones: operaciones:
−
(1 (1,, 2, 7)
− 1 2
−
; (1 (1,, 2, 7)
− × 3 5
1 2
;
7 1 23. Da un ejemplo de una matriz matriz A de dimensi´on on 3 cero, tal que:
(3 (3,, 5, 1)
7 3 distinta de la matriz
j . a ) A es una matriz diagonal, esto es, aij = 0 si si i = j. b ) A es una matriz sim´ de i, j . etrica, etrica, esto es, es, aij = aji para todo valor de i, c ) A es una matriz triangular superior, esto es, si i > j . es, aij = 0 si d ) A es una matriz antisim´ antisim´etrica, etrica, esto es, es, aij =
de de i, j .
−a
ji para
todo valor
24. Realiza Realiza las siguient siguientes es operac op eracione iones, s, usando usando la inte interpre rpretaci´ taci´ on on de combinaci´ on on lineal de vectores para el producto. Usa Maxima u Octave para dibujar en R3 la combinaci´on on lineal que se est´a realizando, y comprueba que coincide coincide la suma geom´ geom´etrica etrica de los vectores vectores reescalados reescalados con el resultado obtenido algebraicamente:
6
Cap Cap´ ´ıtulo 1. Vectores y matrices con coeficientes en R
4 0 1 (a) 0 1 0 4 0 1
3 4 5
−
1 0 0 (b) 0 1 0 0 0 1
5 2 3
25. Realiza Realiza la siguient siguientee multiplic multiplicaci´ aci´ on: on:
2 0 1 3
1 1
Dibuja los lo s vectores columna c olumna de d e la primera pri mera matriz. matr iz. Haz la suma geom´etrica etrica 2 en R de estos vectores columna. Verifica que efectivamente, el producto calculado coincide con la suma de esos dos vectores. ¿Por qu´ q u´ e? e? 26. Realiza Realiza las siguien siguientes tes operaciones operaciones,, usando usando la interpre interpretaci´ taci´ on on de combinaMaxima u Octave Octave para ci´ on on lineal de vectores para el producto.Usa Maxima para 3 on lineal que se est´a realizando, y compruedibujar en R la combinaci´on ba que coincide coincide la suma geom´ geom´etrica etrica de los vectores vectores reescalados reescalados con el resultado obtenido algebraicamente:
4 1 (a) 5 1 6 1
1 3
1 2 3 (b) 4 5 6 7 8 9
(c) 46 36 8 9
0 1 0
1/2 1/3
27. ¿Cu´ ¿Cual ´al o cu´ales ales de estas matrices son igual a (A ( A + B )2 ? A2 +2 AB+ +2AB +B 2 ,
A(A+B )+ B (A+B ), (A+B )( A+B ), )+B )(A
A2 +AB AB+ BA+ +BA +B 2
28. Mediant Mediantee prueba prueba y error, error, encuentra encuentra ejemplos ejemplos de matrices 2 a ) A2 =
× 2 tal que:
−I , donde todas las componentes de de A son valores reales. b ) B 2 = (0) y y B = (0). c ) C D = −DC DC y C D = (0).
d ) EF EF = (0) aunque ninguna componentes de las matrices E E y F F es
igual a cero. 29. Encuent Encuentra ra las potencias A potencias A 2 , A3 , B 2 , B 3 , C 2 , C 3 para las siguientes matrices: 1/2 1/2 1 0 A = B = 1/2 1/2 0 1 1/2 1/2 C = 1/2 1/2
− −
−
¿Podr´ ¿Po dr´ıas ıa s de dedu duci cirr qu qui´ i´eenes n es se serr´ıan ıa n Ak , B k , C k ? C una matriz de 30. Sea A una matriz de 3 5, B una matriz de 5 3, C 5 1 y D una matriz de 3 1. Si todas las componentes de las matrices A ,B,C,D valen ,B,C,D valen 1, ¿cu´ales ales de estas operaciones est´an an permitidas, y cu´al al
×
es el resultado? BA
×
AB
×
×
AB D
DB A
A(B + C )
1.2. Matrices de m
× n con coeficientes en R
7
vx es a11 x1 + . . . + a1n xn . ¿Cu´al ser´ıa 31. La primera componente del vector A vector A es a la tercera componente de A de Av x? ¿Y la componente de la primera fila y la 2 primera columna de de A ? EF ,, F E y E 2 : 32. Multiplica Multiplica las siguien siguientes tes matrices para encontrar encontrar EF E =
1 0 0 a 1 0
y
F F =
1 0 0 0 1 0
b 0 1 0 c 1 Maxima u Octave para Octave para construir un c´odigo Usa Maxima Usa odigo que resuelva este problema computacionalmente. 33. Sean Sean A y B las matrices complejas 3 A =
− i 2i + 1 1 − 2i −3i 1
3+i
2
,
×2 B =
i 1 2i 2i 5 + 3i 3i 1 3 i
− −
,
entonces A + B es? entonces 34. ¿Qu´ e filas o columnas o matrices se deben deb en multiplicar para conseguir...? a ) ...la tercera AB?? tercera columna columna de de AB b ) ... AB?? ...la la primera primera fila de de AB c ) ... ...la la compone component ntee de la fila 4 y la column columnaa 3 de AB de AB?? d ) ... ...la la compone component ntee de la fila 1 y la column columnaa 1 de C de C DE ?
35. Encuentra la matriz B de 3 3 tal que, para cualquier matriz A, se A = 4A. Usa Maxima Octave para construir un c´odigo verifica que B que BA Usa Maxima u Octave para odigo que resuelva este problema computacionalmente.
×
b, escriba la ecuaci´on Av v = on matricial co36. Utilizando la definici´on o n de A b sea mo una ecuaci´on on vectorial, y especifique los pesos que hacen que combinaci´on on lineal de los vectores columna de de A. 2 a )
b)
− − − − − − − − − − − − −
A = 37. Si Si A =
1 2
2 3
2 3 8 2
3 2 5 1
3 1
3 y B y B = 1
1 1
3 5
=
1 2 1
=
4 1
21 1 49 11
2 , encuentra las matrices: A matrices: A T B, B T A,AB T , BA T . 2
38. Demuestra que para una matriz distinta de la matriz cero, cero, A2 = (0) es posible pero pero AAT = (0) es imposible. 39. En genera generall (AB (AB))T = B T AT pero (AB (AB))T = AT B T . ¿Qu´e propieda prop iedad d deb deben en T T T verificar las matrices matrices A y B para que se verifique (AB (AB)) = A B ?
8
Cap Cap´ ´ıtulo 1. Vectores y matrices con coeficientes en R
×
C y 40. Suponga Suponga que que A es una matriz de m n, y que existan las matrices C D de AD = I m . Demuestre que de n m, tales que que C A = I n y AD que m = n y C = D D.. (Sugerencia: Piense en el producto C AD). AD).
×
2 Siste Sistema mass de Ecuacio Ecuacione ness linea lineale less 2.1. 2. 1.
Defi Definici nici´ o ´ on n de un sistema de ecuaciones lineales
41. Escribe a qu´e sistemas de ecuaciones lineales represen representan tan las siguientes ecuaciones matriciales:
1 2 2 (a) 2 4 5
u v w
=
1 4
1 2 2 (b) 2 4 4
u v w
=
1 4
42. Escribe Escribe las siguien siguientes tes ecuacione ecuacioness vectoria vectoriales les que sirven sirven para determinar determinar si un vector b es o no combinaci´on on lineal de ciertos vectores como un sistema siste ma de ecuacione ecuacioness lineales, lineales, y despu´ despu´ eess escribe escribe la forma matricial matricial de
− − − − − − − − − − − − − −
este sistema de ecuaciones lineales. 5 4 3 1 a ) x1 + x2 + x3 5 7 4 1 b ) z1
2 + z2 4
1 + z3 5
1 3 , v2 = 43. Sean Sean v1 = 0 ecuaci´ on on vectorial
0 3 2
7 8 0 2
=
0 4 + z4 2 3
, v3 =
5 1 5
6 8 0 7
=
, b =
5 12
2 1 . Considera la 5
x1v1 + x2v2 + x3v3 = b.. = b b es combinaci´on que al resolverla determinar´ a si on lineal o no de los vectores v1 , v2 , v3 . Escribe el sistema de ecuaciones lineales, la matriz aumentada correspondiente y la ecuaci´on on matricial equivalentes a la ecuaci´oon. n. 44. Plantea el sistema sistema de ecuaciones que hay hay que resolver para para determinar si el 11 1 2 6 b = 4 es combinaci´on vector on lineal de los vectores 0 , 2 , 7 , 1 9 2 5 con alg´ un un peso distinto de cero, y su forma matricial.
−
2.2. 2. 2.
− −
Reso Resolu luc ci´ o on n de un sistema de ecuaciones lineales
45. (Verdadero (Verdadero / falso) En el siguiente, marca cada enunciado enunciado como verdade verdadero ro o falso y justif´ justif´ıca tu respuesta. respuesta . 9
10
Cap Cap´ ´ıtulo 2. Sistemas de Ecuaciones lineales
a ) Todas las operaciones operaciones elementales elementales de fila son reversi reversibles. bles. b ) Dos matrices son equivalentes por filas si tienen el mismo n´umero umero
de filas. c ) Multiplica Multiplicarr una fila de una matriz matriz aumentada aumentada por cero es una ope-
raci´ on on elemental de fila. d ) Todas las entradas entradas principales principales de una matriz en forma forma escalonad escalonadaa
est´ an an situadas en columnas distintas. e ) Si un sistema lineal tiene m´ as as variables que ecuaciones, entonces necesariamente tiene un n´ umero umero infinito de soluciones. f )) En algunos algunos casos, una matriz matriz se puede reducir reducir por filas a m´as as de una
matriz en forma escolonada reducida, mediante diferentes secuencias de operaciones por fila. 46. (Verdadero (Verdadero / falso) Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas fa lsas y justif j ustif´´ıca tu respuesta. respuest a. a ) Todas las operaciones operaciones elementales elementales de fila son reversi reversibles. bles.
b es consistente si la matriz aumentada b ) La ecuaci´ x = on on matricial matricial A b) tiene una posici´on (A on pivote en cada fila. c ) Dos matrices son equivalentes por filas si tienen el mismo n´umero umero
|
de filas. d ) Multiplica Multiplicarr una fila de una matriz matriz aumentada aumentada por cero es una ope-
raci´ on on elemental de fila. e ) Sea Sea A una matriz de 3
× 5. La ecuaci´on x = b tiene al menos una on A
b si y s´olo olo si si A tiene 3 pivotes. soluci´ on on para todo 47. Considera Considera el sistema sistema lineal
2x1 + x2 + x3 = 5x3 = 5x1 + 4x2 x3 = 3x1 + 2x2
− −
−
5 1 3
a ) Escribe Escr ibe la matriz matriz de coeficiente coeficientess y la matriz aumentada aumentada de este sistema. b ) Usa el m´ etodo etodo de Gauß para encontr encontrar ar la form formaa escalonad escalonadaa redu redu--
Maxima, Octave Octave cida de la matriz aumentada del sistema. Usa Maxima, o Matlab para determinar que la forma escalonada reducida que has calculado es correcta. (El comando correspondiente en Octave y Matlab es rref(A)). c ) Escribe Escribe el conjunto conjunto soluci´ solucion ´on del sistema.
48. Usa el m´etodo etodo de Gauß para resolver el siguiente sistema lineal y determinar su conjunto soluci´on: on: 2x + 2y + 4z w y 3z 2w + 3x + y + z 2w + x + 3y 2z
−
−
− −
= = = =
0 0 0 0
2.2. Resol Resoluci´ uci´ o on n de un sistema de ecuaciones lineales
11
Octave para construir un c´odigo Adem´ as, as, usa Maxima usa Maxima u Octave para odigo que resuelva este problema computacionalmente, computacionalmente, y as as´´ı comprobar que tu respuesta es correcta. 49. Encuentr Encuentraa todos los valores valores para a para a y b de manera que el sistema lineal
x1 + ax2 = 3 4x1 + 8x2 = b
a ) no tenga tenga soluci soluci´on, ´on, b ) tenga una unica u ´ nica soluci´on, on, c ) tenga un n´ umero umero infinito de soluciones.
50. Determina Determina para para cu´ ales ales valores de a de a,, b, c el siguiente sistema lineal es consistente: x3 = a 2x1 + 3x2 x1 + x2 + 2x3 = b 2x2 3x3 = c
− −
51. Sup´oon n que un sistema de ecuaciones lineales tiene una matriz aumentada de 3 5 cuya quinta columna es una columna pivote. ¿El sistema es consist cons istente? ente? ¿Por qu´e? e?
×
Maxima, Octave o Matlab para Matlab para determinar la forma escalonada 52. Usa Usa Maxima, 3 2 4 0 6 12 0 . (El comando corresponreducida de la matriz A = 9 6 4 8 0 diente en Octave y Matlab es rref(A)).
− −−
53. Encuentra las soluciones en forma param´etrica etrica para los siguientes sistemas de ecuaciones lineales dados en forma matricial:
u v w
1 2 2 2 4 5
54. Encuentra la matriz las variables libres? 1 A = 0 1
=
1 4
u v w
1 2 2 2 4 4
=
1 4
escalonada de las siguientes matrices. ¿Cu´ales ales son 2 0 1 1 1 0 2 0 1
B =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
b es el siguiente sis55. Bajo qu´e condiciones en las componentes del vector tema consistente: b1 1 0 u 0 1 = b2 v b3 2 3
b es el siguiente sis56. Bajo qu´e condiciones en las componentes del vector tema consistente: A =
1 2 0 3 2 4 0 7
b =
b1 b2
12
Cap Cap´ ´ıtulo 2. Sistemas de Ecuaciones lineales
57. Escriba las soluciones en forma param´ etrica etrica del siguiente sistema de ecuaciones lineales.
−
2x1 + 2x2 + 4x3 = 8x3 = 4x2 4x1 3x2 3x3 =
− −
− −
58. Deter Determin minaa si el vecto vectorr 0 =
8 16 12
−
00 es combinaci´on on lineal de los vectores 0
3 6 1 2 , 4 , 2 , con alg´ un un peso distinto de cero. Usa Maxima, Usa Maxima, Oc1 2 6 tave o Matlab para Matlab para comprobar que tu respuesta es correcta.
b = 59. Determina Determina si el vector
−
11 4 es combinaci´on on lineal de los vectores 9
− − − − −
1 0 , 1 Octave
6 2 2 , 7 , con alg´ un un peso distinto de cero. Usa Maxima, 5 2 o Matlab para Matlab para comprobar que tu respuesta es correcta.
4 1 2 3 , b = 1 . Determina para cu´ales 4 , v2 = ales valo60. Sean Sean v1 = h 2 7 res de de h R el vector b vector b es combinaci´on on lineal de los vectores vectores v1 , v2 .
∈
61. Determina Determina el valor valor de de a, si es que existe, de tal forma que el vector
0 0 0 1 , y es combinaci´on on lineal de los vectores 0 1 1 1 62. Sea Sea A =
−−
1 3 4 2 3 2
1 1 . 2 0
1 2 a 5
− −
4 6 . 7
∈ R3 la ecuaci´on b tiene on matricial matricial Ax = = b tiene
a ) Determina Determina si para para todos todos b
una soluci´on. on.
b ) Usa Maxima Octave para construir un c´odigo Usa Maxima u Octave para odigo que resuelva este
problema computacionalmente 63. Suponga Suponga que la siguie siguient ntee matriz matriz es la matriz matriz aument aumentada ada de un sis sistem temaa de ecuaciones lineales. ¿Es el sistema consistente o inconsistente?
2 0 0
1 0 1
7 3 0
3 2 0
4 1 0
.
2.2. Resol Resoluci´ uci´ o on n de un sistema de ecuaciones lineales
13
64. Revisa Revisa estas tres ecuacione ecuacioness y decide decide si el sistema es consistente consistente::
x + 2y = 2 x y = 2 y = 1
−
¿Qu´´e ocurre si todas las constan ¿Qu constantes tes del lado derecho derecho son cero?. cero?. ¿Exist ¿Existee alguna posibilidad cambiar los de la derecha a escalares tintos de cero, parade que la soluci´ on onvalores sea consistente, esto es, para quedislas tres rectas intersequen en un mismo punto?. 65. Un importante asunto asunto en el estudio de transferencia transferencia de calor es determinar la distribuci´on on de temperatura de estado estable de una placa delgada cuando se conoce la temperatura en los bordes. Sup´on on que la placa que se ilustra en la figura representa una secci´on on transversal de una viga de metal, con flujo de calor despreciable en la direcci´on on perpendicular a la ,..., T 4 las temperaturas en los cuatro nodos interiores de placa. Sean Sean T 1 ,..., la malla en la figura. La temperatura en un nodo es aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos m´as as cercanos, esto es, a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo. Por ejemplo, T 1 = 10 + 20 + T 2 + T 4 , o 4T 1 4
− T 2 − T 4 − 30. 30.
a ) Escribe Escribe un sistema sistema de cuatro cuatro ecuaciones ecuaciones lineales lineales para determinar determinar las
temperaturas T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . temperaturas b ) Resuelve Resuelve este sistema. sistema.
66. Una planta el´ectrica ectrica de vapor quema dos tipos tip os de carb´ on: on: antracita (A) y bituminoso (B). Por cada tonelada de A que se quema, la planta produce 27,6 millones de Btu de calor, 3100 gramos (g) de di´ooxido xido de sulfuro, y 250 g de contaminantes s´olidos olidos (part´ (part´ıculas). Por cada tonelada de B que se quema, la planta produce 30,2 millones de Btu, 6400 g de di´oxido oxido de sulfuro, y 360 g de contaminantes s´olidos olid os (part (par t´ıculas) ıcul as).. (a) ¿Cu´ ¿Cuanto ´anto calor produce la planta cuando quema x1 toneladas de A y x2 toneladas de B? (b (b)) Sup´ Sup´ on on que la producci´on on de la planta de vapor est´a descrita por un vector que lista las cantidades de calor, di´oxido oxido de sulfuro y contaminantes s´olidos. olidos. Expresa esta producci´on on como una combinaci´oon n lineal de dos vectores, suponiendo que la planta quema x quema x 1 toneladas de A y y x2 toneladas de B.
14
Cap Cap´ ´ıtulo 2. Sistemas de Ecuaciones lineales
(c) Durante Durante cierto cierto tiempo, la planta de vapor produjo 162 millones de Btu de calor, 23.610 g de di´oxido oxido de sulfuro y 1623 g de contamiMatlab para determinar nantes s´olidos. Usa olidos. Usa Maxima, Octave o Matlab para cu´ antas antas toneladas de cada tipo debe haber quemado la planta. Como parte de la soluci´on, on, incluye una ecuaci´on on vectorial.
2.3.. 2.3
Sistem Sistemas as h homo omogen geneos eos e indepe independ ndenc encia ia lline ineal al
67. Indica Indica si cada enunciad enunciadoo es verdadero verdadero o falso falso con su respectiv respectivaa justificajustificaci´ on. on. a ) Una ecuac ecuaci´ i´ on on homog´enea enea siempre es consistente. consist ente.
x = b ) La ecuaci´ on on homo ho mog´ g´eenea n ea A 0 tiene la soluci´on on trivial si y solo si la ecuaci´ ecuaci´ on on tiene al menos una variable libre. c ) Un sistema homog´ eneo eneo de ecuaciones puede ser inconsistente. d ) Si x es una soluci´on Si on no trivial de A de Ax = 0, entonces cada entrada en
x es distinta de cero. e ) Si x es una soluci´on x = 0,, entonces cada entrada en Si on no trivial de de A = 0
x es distinta de cero. f )) La ecuac b es una ecuaci´on 0 es una ecuaci´ i´ on A on Ax = on homog´ homo g´enea enea si el vecto vectorr 0 es
soluci´ on. on. b es homog´ x = enea enea si el vector cero es una soluci´ on. on. g ) La ecuaci´ on on A h ) Las operaciones de fila no afectan afectan las relaciones de dependencia lineal
entre las columnas de una matriz.
×
68. Sea Sea A es una matriz de 3 3 con tres posiciones pivote. Indica si, x = a ) la ecuaci´ on on A 0 tiene una soluci´on on no trivial. b ) La ecuaci´ x = b tiene al menos una soluci´on on on A on para toda posible
b. ¿Y m´as as de una soluci´on? on? 69. (Verdad (Verdadero ero / Falso) En el siguient siguiente, e, marca marca cada enunciado enunciado como verdaverdadero o falso fa lso y justif´ justif´ıca tu respuesta. respuesta . 3 (a) Un conjunto conjunto de 4 vectores vectores en R no puede ser linealmente independiente. (b) Un conjunto conjunto de 2 vectore vectoress en R3 es linealmente independiente. (c) Si un conjunto conjunto de 3 vectores vectores v1 , v2 , v3 en Rn es linealmente independiente, entonces para cualquier k R 0 el conjunto kv1 , kv2 , kv3 tambi´en en es linealmente linealm ente independiente. indep endiente.
{
}
∈ \{ }
{
v Rn es un vector distinto de cero, entonces el conjunto v es (d) Si Si linealmente independiente.
∈
{ }
v, v v Rn es un vector distinto de cero, entonces el conjunto v, (e) Si Si es linealmente independiente.
{ − }
∈
(f) Si v1 , v2 , v3 , v4 es un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces el conjunto v1 , v2 , v3 es linealmente independiente.
{
}
{
}
}
2.3. Sistemas homogeneos e independencia lineal
15
Entonces u (g) Sean Sean v1 , v2 R7 vectores linealmente independientes. Entonces v, u + v son linealmente independientes.
∈
−
conjunto S = v1 , v2 , v3 (h) Si ninguno ninguno de los tres vector vectores es en R3 del conjunto S es linealmente es m´ ultiplo ultiplo de alguno de los otros dos, entonces S independiente.
{
2
1 (i) Los vectore vectoress
}
− −
3 son colineales. 2
1 y 1
S = v1 , . . . , vs de vectores linealmente inde(j) Dado Dado un conjun conjunto to S S est´a formado ıo de S pendientes, cualquier subconjunto S no vac´ıo por vectores linealmente independientes.
{
}
u es combinaci´on (k) Sean tres tres vectore vectoress v u, v v , v w tales que vvu es on lineal de vvvv vw . Entonces, los vectores vw son linealmente dependientes. y vw. vectores vvvv y vw (l) Las column columnas as de una matriz matriz 4
× 5 son linealmente dependientes.
70. El siguiente siguiente sistema de ecuacione ecuacioness lineales lineales tiene como soluci´ soluci´ oon n (x, y ) = a hay (0 (0,, 0). 0). ¿Para ¿ Para qu´e valor val ores es de d e a hay m´as as de una soluci´on? on? Escribe el conjunto soluci´ on on como combinaci´on on lineal de vectores. Dibuja la soluci´oon n en el plano. plan o. ¿Qu´e se obtiene obt iene??
ax + 2y = 0 2x + ay = 0
71. Comprueba que el vector vector x =
− − −−
2 1 es una soluci´on x = on del sistema sistema A 0, 1
3 6 0 2 . ¿Puedes encontrar m´as as soluciones a este donde A = 0 2 1 1 1 sistema?? ¿Por qu´ sistema q u´e es e s esto posible? posib le? 72. Sea Sea A una matriz de 2 5 con dos posiciones pivote. Determina, x = a ) ¿la ecuac ecuaci´ i´ on on A 0 tiene una soluci´oon n no trivial?
×
b ) ¿La ecuac x = b tiene al menos una soluci´on ecuaci´ i´ on on A on para toda posible
b? x = b tiene una soluci´on. 73. Sup´on on que que A on. Explique por qu´e la soluci´ on o n es x = 0 tiene solo la soluci´on u unica ´nica precisamente cuando cuando A on trivial. x = 74. Describe Describe todas las soluciones soluciones de de A 0 en forma vectorial param´etrica, etrica, donde A es equivalente por filas a la matriz dada. donde 1
00 0
−4 −2 00 0
01 0
−5 10 −41
0 3 00 0 0
0
16
Cap Cap´ ´ıtulo 2. Sistemas de Ecuaciones lineales
B x = 75. Encuentra las soluciones s oluciones para los sistemas si stemas homog´ ho mog´eneos A eneos Ax = 0 y B 0. A =
1 2 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1
B =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
y es inconsistente 76. Sup´ Supon ´on que F que F es es una matriz de n de n n. Si la ecuaci´on F on F x = = para alguna alguna y en Rn , ¿qu´e se puede decir acerca de la ecuaci´ on on F x = 0? ¿Por Por qu´e? e?
×
77. Explica por p or qu´e las columnas de una matriz A de de n independientes cuando A cuando A es invertible.
× n son linealmente
78. Encuent Encuentre re el mayor mayor n´ u umero mero posible de vectores linealmente independientes entre los siguientes vectores:
v1 =
− 1 1 0 0
, v2 =
− 1 0 1 0
, v3 =
− 1 0 0 1
, v4 =
− 0 1 1 0
, v5 =
− 0 1 0 1
, v6 =
−
79. Diga si estos vectores vectores son linealmen linealmente te dependien dependientes tes o independien independientes. tes.
− − −
(a) Los vector vectores es 1 3 2 , 2 1 3 y 3 2 1 (b) Los vector vectores es 1
3 2 , 2 1
3 y
3 2 1
1 , w 2 , w 3 son vectores linealmente independientes, muestre que las 80. Si w 2 w 3 , v2 = w 1 w 3 y v3 = w 1 w 2 son linealmente dediferencias v1 = w pendientes. Para ello, encuentre una combinaci´on on de las vectores v1 , v2 , v3 que da cero como resultado.
−
−
−
1 , w 2 , w 3 son vectores linealmente independientes, muestre que las 81. Si w 2 + w 3 , v2 = w 1 + w 3 y v3 = w 1 + w 2 son linealmente sumas v1 = w sumas independientes. Para ello, escriba c escriba c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 en e n t´ermin erm inos os de los 1, w 2demostrar ,w 3 . Encuentre vectores y resuelva ecuaciones para las constantes c1 , c2 , c3 , w para demostra r que q ue ´estas estas son cero.
82. Sean Sean v1 y v2 vectores en R3 . Entonces: (a) Los vectores vectores v1 y v2 ser´an an linealmente dependientes si ..........................
(b) Los vectore vectoress v1 y 0 0 0 son linealmente dependientes porque ..........................
a b c U = 0 d e . Demuestre que si a = 0 ´o d = 0 ´o f f = 0, los 83. Sea U 0 0 f U son linealmente dependientes. vectores columna de de U son a,, d d y f en 84. Si Si a y f en el ejercicio anterior son todos diferentes de cero, muestre que U triangular superior la unica u ´ nica soluci´on on para para U x = 0 es es x = 0. Entonces Entonces U tendr´ a columnas linealmente independientes.
0 0 1 1
2.3. Sistemas homogeneos e independencia lineal
85. Sean Sean U =
2 0 0 0
3 6 0 0
4 7 0 0
1 0 y A = 9 0
2 0 0 4
3 6 0 6
17
4 7 0 8
1 0 . 9 2
U . Escoja tres vectores columna que sean linealmente independientes de de U . A . Luego Proponga dos opciones distintas. Haga lo mismo para A. 86. Demuestra que los vectores vectores a1 , a2 , a3 son linealmente independientes pero a1 , a2 , a3 , a4 son linealmente dependientes: a1 =
1 0 0
, a2 =
1 1 0
, a3 =
1 1 1
, a4 =
2 3 4
.
1 , w 2 , w 3 tres vectores linealmente independientes en R3 . Demues87. Sean w tra que: 2 w 3 , v2 = w 1 w 3 , v3 = w 1 w 2 son lineal(a) Los vectore vectoress u1 = w mente dependientes. (Sugerencia: Encuentra una combinaci´on on lineal
−
−
−
no trivial de los los vi que de cero.) 2 son li 1 + w 3 , u3 = w 1 + w 3 , u2 = w 2 + w (b) Los vecto vectores res u1 = w nealmente independientes. (Sugerencia: Escribe la ecuaci´oon n c1u1 + i .) c2u2 + c3 u3 = 0 y reformula esta usando los w 88. ¿Cu´antas antas columnas pivote debe tener una matriz de 6 columnas sean linealmente independiente?
× 4 para que sus
89. Dados Dados los siguientes siguientes conjuntos conjuntos de vectores vectores,, diga si son linealmente linealmente independientes o no, y en cada caso explique por qu´e: e:
− − − − −
a )
b)
c )
d )
1 1
2 2
,
0 1 , 1
0 2 1 , 3 1
1 0 0 0 0
2 3 0 0 0
1 1 0
,
,
1 0 1 0 0
,
1 2 3
,
0 0 0
v1 +2 v2 , v4 = 90. Sean Sean v 1 y v2 dos vectores linealmente linealmente independientes, y v3 = = +2 v1 2v2 . Demuestra que v 3 y v4 tambi´ t ambi´en en son linealmente linealme nte independientes. indep endientes.
18
2.4. 2. 4.
Cap Cap´ ´ıtulo 2. Sistemas de Ecuaciones lineales
Ma Matr tric ices es inve invert rtib ible less
91. Argumenta por qu´e una matriz con una columna de ceros nunca va a ser invertible.
A = 92. Sea la la matriz matriz A =
2 1 4 6 0 3 8 5 00 00 00 79
tible.
. Demuestra que A que A no no puede ser inver-
(Pista: Si existiera A −1 , entonces la matriz A multiplicada para la tercera columna de 0 0 A−1 deber´ıa de ser la columna . ¿Es esto posible? 1 0
93. Demuestr Demuestraa que A que A = = a,b,c,d tal a,b,c,d tal que:
1 1 no tiene inversa, demostrando que no existen 3 3 a c b d
1 1 3 3
=
1 0 0 1
A de 94. Sea una una matriz matriz A de tal forma que su tercera fila es la suma de la primera fila m´as as la segunda fila. Demuestra que A no es invertible.
5 7 95. Determina Determina si la matriz matriz es invertible. Usa tan pocos c´alculos alculos 3 6 como sea posible. Justifica tu respuesta.
− −
96. Sea A una matriz. Demuestre que, si la inversa de la matriz A2 es B , AB.. entonces la inversa de de A es es AB 97. Encuent Encuentra ra tres matrices 2 2 diferentes de de I 2 y I . de si mismas, esto es, que verifiquen que A que A 2 = I .
×
−I 2, que sean inversas
98. Responde Responde a estas cuestiones: cuestiones: a ) Demuestr AB = AC , entonces C . Demuestraa que si A si A es invertible y y AB = AC entonces B = = C
´ Esto s´olo OBSERVACION: ON: Esto olo es cierto si A es invertible. Contra1 0 encuentra un ejemplo de dos matrices B matrices B,, C ejemplo: si A si A = = 0 0 C .. Demuestra que A que verifican que AB que AB = AC pero B pero B = C que A no no es invertible. Para ello, plantea el problema de la existencia de la matriz 1 0 en t´erminos erminos de un sistema de ecuaciones ecu aciones lineales. inversa de 0 0
99. La matriz ((AB ((AB))−1 )T se puede calcular conociendo (A ( A−1 )T y (B −1 )T . ¿De qu´e forma? for ma? A T , A−1 , (A−1 )T , (AT )−1 para las matrices: 100. Encuent Encuentra ra A
1 0 9 3
y
1 c c 0
2.4. Matrices invertibles
19
A,, B,C son 101. Si A son matrices invertibles, y AB = C , encuentra una f´ormula ormula − 1 para A . para 102. Sup´on on que A que A es es invertible y que intercambiando sus dos filas conseguimos la matriz B matriz B . ¿Es B ¿Es B invertible? ¿C´omo omo const con strui ruirr´ıas B −1 a partir de A de A −1 ? 103. Encuentra la inversa (si existe) de las siguientes matrices. Si no existe, justifica por qu´e no existe: a ) A1 =
b ) A2 =
c ) A3 =
d ) A4 =
e ) A5 =
f )) A6 =
g ) A7 =
− − − − − − − − 0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 1/2 0 0
1 0 0 0
0 1 2/3 0
0 0 1 3/4
0 0 0 1
1 0 0 1 1 1 0 0 1 2 1 0
1 2 1
0 1 2
0 0 1 0 1 1 1 1 1
cos θ sin θ sin θ cos θ
1 0 0 1/4 1 0 1/3 1/3 1 1/2 1/2 1/2
0 0 0 1
B son las siguientes 104. ¿Bajo que condicion condiciones es sobre las componentes componentes de A de A y y B matrices invertibles? A =
a b c d e 0 f 0 0
B =
a b 0 c d 0 0 0 e
3 Subesp Subespac acios ios vecto vectorial riales es de Rn y transformaciones lineales 3.1. 3. 1.
Sis Siste tema mass ge gene nera rado dore ress y su subes bespa paci cios os vectoriales
Sistemas generadores 105. (Verda (Verdadero dero / falso) falso) Determina Determina si cada enunciado enunciado es verdader verdaderoo o fals falsoo y justifica tu respuesta. a ) Los puntos puntos en el plano que corres correspond ponden en a
− −
5 est´an an 2
2 y 5
sobre una recta que pasa por el origen.
{
}
b ) El conjun conjunto to gen u, v v siempre se visualiza como un plano que pasa
por el origen.
c ) Preguntar si el el sistema lineal correspondiente correspondiente a la matriz aumen aumentada tada
a1 a2 a3 b
tiene soluci´on on equivale a preguntar si el vector
b est´a en gen a1 , a2 , a3 .
{
}
d ) El vecto vectorr 31 vvvv 1 est´a en el subespacio vectorial generado por por vvvv 1 y
vvvv 2 .
∈ R3 dos vectores distintos de cero. Entonces, el espacio
e ) Sean Sean v u, vv
vectorial generado por por vu y vu y vvv consiste v consiste exactamente en el origen, en u y en la recta que pasa por v. la recta que pasa por por vvu y por vvv. f ) Si la ecuaci´ Av x = vvbb es inconsiste on on A inconsistente nte,, ent entonces onces vvbb est´a en el
espacio generado por las columnas de de A.
∈ gen{vu, vv}, para cualesquiera dos vectores vectores vu, vv en R
g ) v0
h ) gen
1 0 1
,
1 1 1
,
1 2 1
1 3 1
,
,
1 4 1
i ) Si las columna columnass de una matriz matriz A de de m
n
.
= R3
× n generan a R
m
, entonces
b en Rm . b es consistente para cada x = la ecuaci´on on A j ) Si A es una matriz de m
× n cuyas columnas no generan a R
m
,
b en Rm . b es consistente para toda x = entonces la ecuaci´on on A 106. ¿Cu´antas antas columnas pivote debe tener una matriz de 4 columnas pivote generen a R4 ? 21
× 6 para que sus
22
Cap Cap´ ´ıtulo 3. Sube Subespacios spacios vectorial vectoriales es de Rn y transformaciones lineales
b que pueden ser alcanzados por los 107. Describe Describe el conjunto conjunto de los vectore vectoress vvb que 0 1 vectores 1 y 0 . 3 2
108.. Sea 108 Sea A =
− − 1 3 4 2
4 6 .
3 2 7 a ) Escribe A v x = vvb, b, para Escribe el sistem sistemaa de ecuacion ecuaciones es lineal lineales es dado dado por por A 3 vvbb R . cualquier cualquier
∈
b ) Determina si para todos v vbb
tiene soluci´on. on.
∈ R3 la ecuaci´on Av x = vvbb on matricial A
c ) Interpreta el resultado resultado obtenido en el literal anterior. ¿Las col columnas umnas
de de A generan R3 ? d ) Usa Maxima Octave para construir un c´odigo Usa Maxima u Octave para odigo que resuelva este
problema computacionalmente. 109.. Sea 109 Sea A =
1 3 4 2 3 2
−
4 6 . 7
−
(a) Escribe Escribe el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales lineales dado por A por A v x = vvb, b, para vvbb R3 . cualquier cualquier
∈
(b) Determina si para todos vvbb tiene una soluci´on. on.
∈ R3 la ecuaci´on Av x = vvbb on matricial A
(c) Interpreta el resultado resultado obtenido en el literal anterior. ¿Las col columnas umnas 3 de de A generan R ? Maxima u Octave para Octave para construir un c´odigo (d) Usa Usa Maxima odigo que resuelva este problema computacionalmente. A de 110. Construy Construyee una matriz matriz A de 3 3 cuyas columnas generen R3 y una matriz
×
B de 3
× 3 cuyas columnas no generen R3. −2 1 1 y vvvv2 = vv 1 = 3 . Haz una lista de 5 vectores en 111. Dados Dados vv −2 0 vv 1 , v v2 }. gen{vv −4 3
} − − − −
vv 1 = 112.. Sean 112 Sean vv
1 2
y vvvv2 =
0 1
. Ha Hazz una una list listaa de 5 vec ecto tore ress en
vv 1 , v v2 . gen vv
{
5 3 1 8 y 5 . ¿Con qu´e valor b = 3 , a2 = val or (o valores) valores ) 113. Sean 113. Sean a1 = h 2 1 b en el plano generado por de de h se encuentra por a1 y a2 ?
3.1. Sistemas generadores y subespacios vectoriales
−−
−
−
23
h 2 1 3 . ¿Con qu´e valor (o y = 1 y 114. Dados Dados vvvv 1 = 0 , vvvv2 = 5 7 2 y en el plano generado por valores) de de h se encuentra encuentra por vvvv1 y vvvv2 ? 115. Realiza Realiza una descripci´ descripci´ on on geom´etrica etri ca de gen vvvv 1 , v v2 para los vectores de los ejercicios ejercicios 113 y 113 y 114.
{
−
2 y vv vv vv = 1 para todas las las h y k.
116. Sean u =
}
h 2 . Demuestra que est´ a en gen u, vv k 1
{
}
117. Construy Construyee una matriz matriz A de 3 3, con entradas diferentes de cero, y un 3 b no est´e en el conjunto vector b en R tal que co njunto generado por las columnas A.. de de A
×
−
− −
−
1 0 4 b = 0 3 2 y 118. Sean Sean A = 2 6 3 a1 , a2 , a3 , y sea sea W = = gen a1 , a2 , a3
{
4 1 . Denota las columnas de de A por 4 .
}
b en a1 , a2 , a3 ? ¿Cu´antos (a) ¿Est´ ¿Est´ a antos vectores hay en a1 , a2 , a3 ?
{
}
b en W ?? ¿Cu´antos W ?? (b) ¿Est´ ¿Est´ a en W antos vectores hay en en W
{
}
W .. en W (c) Demuestr Demuestraa que que a1 est´a en
− −
10 2 0 6 W el b = 3 y sea sea W el conjunto de todas las 119. Sean Sean A = 1 8 5 y 7 1 2 1 combinaciones lineales de las columnas de A. b en W ?? (a) ¿Est´ ¿Est´ a en W W .. (b) Demuestr Demuestraa que la segunda segunda columna columna de de A est´a en en W
−
3 5 0 2 6 . ¿Est´a u en el plano en R3 generado A = 120. Dados Dados u = 4 y A = 4 1 1 por las columnas de de A? ¿Po ¿Porr qu qu´´e?. e? .
4
−
−1 21 −01
2 5
. ¿Est´a u en el subconjunto de 121. Sean Sean u = 41 y A = 01 generado por las columnas de de A? ¿Po ¿Porr qu qu´´e?. e? .
−
R
3
24
Cap Cap´ ´ıtulo 3. Sube Subespacios spacios vectorial vectoriales es de Rn y transformaciones lineales
− − − −
b1 1 2 1 2 2 0 y u = b2 , demuestra que la 122. Considera Considerando ndo A = b3 4 1 3 b no tiene soluci´on b, y describe el ecuaci´ on A on Ax = on para todas las posibles b s´ b para las cuales x = s´ı tien ti enee sol soluc uci´ i´oon. n. cuales A conjunto de todas las 1 4 1
2
− −
0 1 3 4 . ¿Cada vector en R4 se puede 0 2 6 7 2 9 5 7 escribir como una combinaci´on on lineal de las columnas de la matriz B ? Dicho de otra manera, ¿las columnas de B generan a R4 ?
123. Dada la matriz B =
− −
1 0 vv 1 = , vvvv 2 = 124.. Sean 124 Sean vv 1 0 a R4 ? ¿Por ¿Po r qu´e? e? vv 1 = 125.. Sean 125 Sean vv a R3 ?
0 0
, vvvv 2 =
3 ¿Por ¿Po r qu´e? e?
− − 0 1 0 1
0 3
y vvvv 3 =
y vvvv 3 =
9
− −
1 0 . ¿Generan vvvv 1 , vv2 , vv3 0 1
{
}
126.. Constr 126 Construy uyee una matriz matriz de 3 3, no en forma escalonada, cuyas columnas no generen a R3 . Demuestra que la matriz que construiste tiene la caracter´ cara cter´ııstica st ica deseada. dese ada. b un vector dado en R4 tal que 127.. Suponga 127 Suponga que que A es una matriz de 4 4 y A x = b tiene una soluci´on on unica. u ´ nica. Explique por qu´e las columnas de de A 4 deben generar a R .
×
Ejercicios sobre subespacios vectoriales 128. Responde si las siguientes afirmaciones afirmaciones son verdaderas verdaderas o falsas, y justifica tus respuestas. (a) El conjunt conjuntoo de todas las soluci solucione oness de un sistem sistemaa de de m ecuaciones homog´ hom og´eeneas n eas con co n n inc´ognitas ognitas es un subespacio vectorial de Rm . B es la forma escalonada de una matriz A (b) Si Si B matriz A,, entonces las columnas pivote de de B forman un conjunto generador para C para C ol ol((A). vvvv 1 , . . . , vvvv p en Rn , el conjunto de todas las com(c) Dados Dados los vectores vectores binaciones lineales de estos vectores es un subespacio vectorial de n R . H un subespacio vectorial de Rn . Si (d) Sea Sea H un Si x est´a en en H , y y est´a en n R , entonces y est´a en entonces x + en H .
∈
V , entonces u V V . (e) Si Si u es un vector en un subespacio vectorial vectorial V , entonces λ (f) El conjunto v 0 no es un subespacio vectorial de Rn . (g) R2 es un subespacio vectorial de R3 .
{ }
}
4 2 . ¿Generan vvvv 1 , vv2 , vv3 6
×
{
3.1. Sistemas generadores y subespacios vectoriales
25
H .. entonces v0 / H (h) Si Si H es es un subespacio vectorial de Rn , entonces
∈
H el conjunto de todos los vectores de la forma 129. Sea Sea H el esto es:
−2t H =
R
3
53tt
2t 5t , con con t 3t
∈ R,
R
: t
∈
−
∈
.
H = gen vvvv . ¿Por qu´e esto deEncuentra un vector vector vvvv en R3 tal que que H = H es un subespacio vectorial de R3 ? muestra que que H es
{ }
130. Sea Sea H el el conjunto de todos los vectores de la forma esto es: H =
− ∈ 3t 0 7t
R
3
: t
∈ R
−
3t 0 , con con t 7t
∈ R,
.
Demuestra que que H es es un subespacio vectorial de R3 . 4a + 3b 3b 0 W el conjunto de todos los vectores donde a, b y c 131. Sea W a + 3b 3b + c 3b 2c representan n´ umeros umeros reales arbitrarios, , esto es:
W =
∈
4a + 3b 3b 0 a + 3b 3b + c 3b 2c
−
3 R
−
∈ R
a, b, c : a,
.
W es Determina si si W es o no un subespacio vectorial de R3 .
4a + 3b 3b 1 W el conjunto de todos los vectores donde a, b y c 132. Sea W a + 3b 3b + c 3b 2c representan n´ umeros umeros reales arbitrarios, , esto es:
W =
∈
4a + 3b 3b 1 a + 3b 3b + c 3b 2c
−
3 R
−
a, b, c : a,
∈ R
.
W es Determina si si W es o no un subespacio vectorial de R3 .
133. Determina Determina si los siguientes siguientes conjuntos conjuntos son o no un subespacio subespacio vectorial: vectorial: (a)
ab c
a, b, c = 2 : a,
26
Cap Cap´ ´ıtulo 3. Sube Subespacios spacios vectorial vectoriales es de Rn y transformaciones lineales
(b)
(c)
(d)
(e)
− r s t
: 3r
p q : p r s a b c d
− 2 = 3s + t
− 3q = p = s + 5r = 4s y 2 p = s 5r
c y a + b + 2c : 3a + b = = c 2c = 2d
s 2t 3 + 3s 3s 3s + t 2s
: s, t reales
134. Sea una una matriz matriz A. Responde a las siguientes preguntas: (a) Si a˜ nadimos nadimos a la matriz una nueva columna, entonces el espacio columna aumenta en n´ umero umero de vectores, a no ser que la columna a˜nadida nadida sea ............................ (b) Encuentra un ejemplo ejemplo d´ onde onde al a˜ nadir nadir la columna el espacio columna aumenta, y otro donde no lo haga. Ax = b es consistente si, al au(c) ¿Por qu´e un sistema de ecuaciones ecuaciones Ax mentar la matriz A matriz A precisamente precisamente con el vector b vector b,, el espacio columna no cambia? 135. ¿Existe ¿Existe un subespacio subespacio vectorial vectorial de R4 que sea el conjunto soluci´on on de las siguientes ecuaciones: ecuaciones: t = 0, 0, z = 0 y x + y + z + t = 1? 136.. El ve 136 vecto ctorr b pertenece al espacio columna de de A cuando es una soluci´on on de .................... El vector vector c pertenece al espacio fila de de A cuando es una soluci´ on on de .................... 137. Es posible demostrar demostrar que una soluci´ soluci´ oon n del sistema que se muestra a continuaci´on on es es x1 = 3, x2 = 2, y x3 = 1. Con base en este hecho y en la teor´ııaa de esta est a secci´ secc i´on, on, explica por qu´e otra soluci´on on es es x1 = 30, 30, x2 = 20, 20, y x3 = 10. (Observa c´omo omo est´an an relacionadas las soluciones, pero no realice otros c´alculos). alculos).
−
−
−−
x1 3x2 3x3 = 0 2x1 + 4x2 + 2x3 = 0 x1 + 5x2 + 7x3 = 0
−
−
Matlab para demostrar que w est´a en el subes138.. Usa Maxima, 138 Usa Maxima, Octave o Matlab para 4 pacio vectorial de R gener generado ado por por vvvv 1 , vv2 , vv3 , donde 9 w =
− 44 7
8 , vv1 =
− 43 9
, v v2 =
−4 −32 −8
, v v3 =
−7 −65 −18
3.1. Sistemas generadores y subespacios vectoriales
27
Maxima, Octave o Matlab para Matlab para determinar si 139. Usa Usa Maxima, si y est´a en el subes4 pacio vectorial de R generado por las columnas de de A, donde
y =
− − − 4 8 6 5
, A =
− − − − − − 3 8 5 2
5 7 8 2
9 6 3 9
ul((C ) cuando C es 140. ¿Qu´ e se puede decir acerca de de N ul cuando C es una matriz de 6 4 con todas sus columnas linealmente independientes? Responde de manera tan amplia como sea posible y justifica tus respuestas.
×
Maxima ma,, Octa Octave o Matla Matlab b. Sea H H = gen vvvv 1 , vv2 y K K = 141. Usa Maxi gen vvvv3 , vv4 , donde
{
}
vvvv1 =
5 3 8
, v v2 =
1 3 4
, v v3 =
− 2 1 5
{
}
, v v4 =
−− 0 12 28
Entonces, H y K son Entonces, H son subespacios vectoriales de R3 . De hecho, H hecho, H y K son 3 planos en R que pasan por el origen, y que se cruzan en una recta que distinto de cero que genere esa recta. pasa por por v0. Encuentra un vector w se puede escribir como c1vvvv 1 + c 2vvvv 2 y tambi´en (Sugerencia: w en como vv 3 + c 4vvvv4 . Para construir w, resuelva la ecuaci´on c3vv on c1vvvv 1 + c 2vvvv 2 = c3vv vv 3 + c4vvvv 4 para las inc´ognitas c ognitas c j ). H un subespacio sea H un 142. Sean Sean u y vvvv vectores en el espacio vectorial Rn , y sea n H .. Exp H t que u, v v H Explica lica po porr qu´e H tambi´ ambi´en en contien cont ienee a vectorial de R tal que gen u, v vv v vv . Esto demuestra que gen u, v vv vv v es el menor subesV que v. pacio vectorial de de V que contiene a a u y vvv.
{
∈
}
{
}
143. Sean Sean H H y K dos K dos subespacios vectoriales de Rn . La intersecci´ on de H y K , que se representa como H K , es el conjunto de los vectores vectores vvvv en n R que pertenecen tanto a a H como como K , esto es:
∩∩
H K = vvvv
n
∩∩ { ∈ R : vvvv ∈ H H y vvvv ∈ K } . Demuestra que H que H ∩ K es es un subespacio vectorial de R . (V´ease ease la figura figur a 2 on H H ∪ K a continuaci´ continuaci´ on). on). Da un ejemplo en R para demostrar que la uni´ n
de dos subespacios vectoriales no es, en general, un subespacio vectorial, donde: H K = vvvv Rn : vvvv H H o vvvv K .
∪ ∪
{ ∈
∈
∈ }
28
Cap Cap´ ´ıtulo 3. Sube Subespacios spacios vectorial vectoriales es de Rn y transformaciones lineales
144. Dados Dados los subespacios subespacios vectoriales vectoriales H y K de Rn , la suma de H y K , que se escribe como H como H + + K , es el conjunto de todos los vectores en Rn que se pueden representar como la suma de dos vectores, uno en en H y y el otro en K ; es decir,
{ ∈ R
H +K = w
n
}
: w = = u+vv vv vv para alg´ un un u en en H y H y alg´ un un vv vv vv en en K n
(a) Demuestr Demuestraa que que H + + K es es un subespacio vectorial . H es un subespacio vectorial de H + K K es un (b) Demuestr Demuestraa que que H es + K y K subespacio vectorial de de H + + K . de R
H = v vq son vecto vectores res en Rn , y sea H 145.. Sup´ 145 Supon ´o n que u1 , . . . , u p y vvvv 1 , . . . , vv v vq . = gen v1 , . . . , vv gen u1 , . . . , u p y K =
}
{
{
{
}
}
v vq . Demuestra que que H + + K = = gen u1 , . . . , u p , v1 , . . . , vv
3.2. 3. 2.
Ba Base ses, s, dime dimens nsio ione ness y coord coorden enad adas as en en un subespacio vectorial
146. Marca Marca cada enunciado enunciado como verdade verdadero ro o falso. falso. Justifi Justifica ca tus respuestas respuestas.. Toma en cuenta que que A es una matriz de de m n. (a) Si Col(A Col(A) s´oolo lo contiene al vector cero, entonces la matriz A es la matriz cero.
×
(b) El espacio espacio columna columna de la matriz 2A 2A es el mismo que el de la matriz A. (c) El espacio espacio columna columna de A de A A.
− I es es igual al espacio columna de la matriz
β = vvvv 1 , . . . , vvvv p es una base para un subespacio H , y si (d) Si Si β si x = c1vv vv 1 + . . . + c pvvvv p , entonces c1 , . . . , c p son las coordenadas de x + c respecto de la base base β .
{
}
× n forman una base
(e) Las columnas columnas de una matriz matriz in inve verti rtible ble de n n
R
para . (f) Cada recta en Rn es un subespacio vectorial unidimensional de Rn . ol(A) es el n´ (g) La dimensi´ dimensi´ on on de de C ol( umero umero de columnas pivote de de A. (h) El n´ umero umero de columnas pivote de una matriz es igual a la dimensi´on on de su espacio columna. o n 2 de R3 . (i) Un plano en R3 es un subespacio vectorial de dimensi´on (j) R2 es un subespacio vectorial de dimensi´on o n 2 de R3 . x = (k) El n´ umero umero de variables libres en la ecuaci´on on A 0 es igual a la A. dimensi´ on on de Nul de Nul A. (l) El unico u ´ nico subespacio vectorial de dimensi´on o n 3 de R3 es el propio R3 . 4vectores linealmen x + 2y 147. 3Encuent Encu dos lmente tetres independien indepen dientes tes en el plano plano 2y z tentra R vectores = ra 0 en . Luego, linea encuentra vectores linealmente independientes. ¿Por qu´ q u´e no cuatro? ¿Este plano es el espacio nulo de qu´e matriz?
−
−
3.2. Bases, dimensiones y coordenadas en un subespacio vectorial
29
148. Determina cu´ales ales de los siguientes conjuntos son bases para R2 o R3 . Justifica tus respuestas. (a) (b)
(c)
(d)
(e)
(f (f))
− − − − − − − − − − − − − 4 , 2
16 3
2 , 5
4 10
0 0 2
5 0 4
1 1 3
3 8 1
1 6 7
,
6 3 2
,
,
3 1 2
,
6 2 5
,
3 6 7
,
5 1 4
,
3 7 5
0 7 9
,
149.. Dada 149 Dada una matriz matriz A y su forma forma escalo escalonad nada, a, enc encuen uentra tra una base base para para C ol ol((A) y una base para N ul( ul(A), det determ ermina ina su dimens dimensi´ i´ oon n y describe geom´etricamente etricame nte cada subespacio sube spacio vectorial.
− − − ∼ − − − −− − ∼ − − − ∼ − − − − − − − − − − − − ∼ − − − − −− −− −− − −
(a) A =
4 5 9 6 5 1 3 4 8
(b) A =
3 2 3
(c) A =
(d) A =
[M] Sea 150. [M]
11 2 3
3 3 0 6
3 7 5 3
2 12 3
1 2 6 0 1 6 0 0 0
6 9 4 7 6 6
0 2 6
24 2 6
33 5 5
1 1 3 3
5 9 7 7
78 9 9
3 3 9 9
0 4 2 3
1 0 0
2 5 4 0 3 6 0 0 0
47 5 2
1 0 1 2
1 9 5 4
5 5 0
01 0 0
8 2 4 6
42 0 0
3 0 0 0
85 0 0
1 2 0 0
00 1 0
3 6 0 0
51 4 0
0 0 1 0
6 4 2 0
3 11 . 7 0
Construye bases para el espacio columna y para el espacio nulo de la matriz A. Justifica tu trabajo. matriz
30
Cap Cap´ ´ıtulo 3. Sube Subespacios spacios vectorial vectoriales es de Rn y transformaciones lineales
[M] Sea 151. [M]
− − − − − − − 5 4 5 7
3 1 1 5
2 3 4 2
6 8 5 8
8 7 . 19 19 5
Construye bases para el espacio columna y para el espacio nulo de la matriz A. Justifica tu trabajo. matriz
− −
−
1 y 2 , [x]β = 1 1 minado por el vector de coordenadas respuesta con una figura.
β = 152. Dados Dados β
3 . Encuentre el vector x deter2 [x]β y la base [ base B dados. Ilustra tu
3 3 1 , y [x]β = . Encuentre el vector vector x deter1 2 2 minado por el vector de coordenadas [ [x]β y la base base B dados. Ilustra tu respuesta con una figura.
153.. Sean 153 Sean β =
b1 , b2 , x , si el vector 154. Dados Dados los vectore vectoress vector x est´a en un subespacio vectorial H con b1 , b2 , encuentre las coordenadas de con una base base β = = de x.
{
2 , b2 = 3
(a) b1 = b1 = (b) b1 = (c)
b1 = (d) b1 = 155.. Sean 155 Sean
{
− − − − −
} }
−1 5
− − − − −
1 , b2 = 5
, b2 =
2 7 5
3 2 4
, b2 =
7 3 5
0 7
− −
2 , x = 3
1 4 3
3 , b2 = 0
, x =
1 9
, x =
2 9 7
, x =
5 0 2
1 ,w = 2
7 , x = 2
−
4 b1 , b2 . y β = 1
{
}
]β calcular Usa la figura [w y [x]β . Confirma tu estimaci´on o n de [ [x]β x. b1 , b2 para us´ andola andola juntopara con estimar calcular
{
b1 = 156.. Sean 156 Sean b1 , b2 .
{
}
0 b2 = 2 ,
}
2 1 , x =
2 3 , y =
2 4 , z =
1 β = 2,5 y β
− − −
3.2. Bases, dimensiones y coordenadas en un subespacio vectorial
31
y ]β y [z]β . Confirma tu estimaci´oon Usa la figura para estimar [ [x]β , [ n de b1 , b2 para calcular [y ]β y [z ]β us´andola andola junto con calcular y y z .
{
}
A y 157. Dadas Dadas las matrices matrices A y una forma escalonada de A de A.. Encuentra bases para Col A y A y Nul Nul A, A, y despu´ eess establece las dimensiones de estos subespacios vectoriales y describelos describ elos geom´etricamente. etricame nte. (a)
(b)
(c)
(d)
1 3 2
3 9 6
2 1 1
− 6 5 9
1 3 3 0 0 5 0 0 0
∼
2 7 5
−
− − − − − − − − − ∼ − − − − − − ∼ − − − − − − − −− ∼ − − − − − − − − − − − −− −− − − − − − 5 15 0 14 1 2 1 5 2 1 1 5 2 0 2 1 3 1 4 1 2 3 0 3
4 6 0 6
1 2 5 1 4 6
5 8 9 7
0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0
4 6 6 5
2 3 0 3
3 5 9 10
1 0 0 0
2 0 0 0
1 2 8 4 0 2 3 4 0 0 5 0
4 4 6 9 2 10 9 12 15
1 1 0 0
2 0 1 0
5 5 0 0
0 3 0 1
1 0 0 0
4 5 0 0
6 1 5
0 0 0 0 0 3 4 5 8 9 158. Encuentra una base para el subespacio vectorial generado por los vectores dados. ¿Cu´al al es la dimensi´on on del subespacio vectorial? Describelo geom´ geo m´eetri tricam cament ente. e. (a)
(b)
1 3 2 4
1 1 2 3
,
3 9 6 12
,
2 3 1 4
,
2 1 4 2
,
0 1 3 2
,
4 5 3 7
,
1 4 7 7
,
3 7 6 9
159. Encuentr Encuentraa el vector vector x determinado por el vector de coordenadas [ [ x]β y la base β . base
32
Cap Cap´ ´ıtulo 3. Sube Subespacios spacios vectorial vectoriales es de Rn y transformaciones lineales
− − − − − −− − − − − − − − − − − −− − −− − − − − − 3 , 5
(a) β = =
4 6
3 4 , 2 1
(b) β = =
1 2 3
(c) β = =
2 2 0
(d) β = =
, [x]β =
5 0 2
,
,
5 3
, [x]β =
3 0 2
4 3 0
,
4 1 3
,
2 5
, [x]β =
1 0 2
3 2 1
, [x]β =
β = 160.. Encuen 160 Encuentra tra el vecto vectorr de coorden coordenada adass [x]β de de x respecto de la base β b1 , . . . , bn
b1 = (a) b1 = (b) b1 = (c)
b1 = (d)
1 , b2 = 2
3 , x = 5
1 1
1 , b2 = 4
2 , x = 3
1 6
1 1 3
1 1 3
3 4 9
, b2 =
, b2 =
2 0 8
2 2 4
, b3 =
, b3 =
1 1 3
8 9 6
, x =
, x =
0 0 2
3 generan a R2 , 7 1 pero no forman una base. Encuentra formas diferentes de expresar 1 como una combinaci´on on lineal de de vvvv1 , vv2 , vv3 .
161. Los vectores vectores vvvv 1 =
1 , vv2 = 3
−
2 , vv3 = 8
−
162. Para cada subespacio vectorial vectorial dado, encuentra encuentra una base para el subespacio, e indica la dimensi´on. on. Describe geom´ etricamente etricamente el subespacio vectorial. s 2t s + t : s, t en R (a) 3t (b)
− −− −− 2a 4b 2a 2c
(c)
ba 3bc a + 2b 2b
: a, b en R
a, b, c en R : a,
3.2. Bases, dimensiones y coordenadas en un subespacio vectorial
(d)
(e)
− − − −− − −− − −
33
p + 2q 2q p : p, q en R 3 p q p + q p 2q 2 p + 5r 5r
p,, q , r en R : p
+ 26r 32 pq + + 2r 6rr
(f (f))
3a c b 3c 7a + 6b 6b + 5c 5c 3a + c
a,, b, c en R : a
{ − 3b + c = 0, b − 2c = 0, 2b − c = 0} a,b,c,d)) : a − 3b + c = 0} (h) {(a,b,c,d a,b,c)) : a (g) (a,b,c
163. Encuentr Encuentraa la dimensi´ dimensi´ on on del subespacio vectorial de todos los vectores en 3 R cuyas entradas primera y tercera sean iguales. 164. Encuentra la dimensi´ dimensi´ on on del subespacio H de de R2 generado por
15 ,
102 ,
− − −
165. Encuentra la dimensi´ dimensi´on on del subespacio vectorial generado por los vectores dados: 1 3 2 5 (a) 0 , 1 , 1 , 2 . 2 1 1 2 (b)
− − − − − − 1 2 0
,
3 6 0
,
2 3 5
3 5 . 5
,
ul((A) y C ol ol((A) de las matrices que se 166. Determina Determina las dimensione dimensioness de de N ul muestran a continuaci´on: on: 1 6 9 0 0 1 2 4 (a) A = 0 0 0 5 0 0 0 0
(b) A =
(c) A =
(d) A =
− − − − − − − 1 0 0 0
2 0 0 0
4 0 0 0
3 1 0 0
1 2 3 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
3 2 6 5
−
2 5 1 0
2 0 1 0
6 3 4 0
0 7 2 1
153 .
34
Cap Cap´ ´ıtulo 3. Sube Subespacios spacios vectorial vectoriales es de Rn y transformaciones lineales
(e) A =
(f (f)) A =
− − 1 0 0
1 0 1 3 0 1
1 1 0 2 0 0
1 0 0
167.. Suponga 167 Suponga que las columna columnass de una matriz matriz A = a1 . . . a p son linealmente independientes. Explica por qu´e a1 , . . . ,a p es una base para C ol ol((A).
{
}
p cuyo 168.. Sea A 168 Sea A una una matriz de n de n p cuyo espacio columna es p es p-dimensional. -dimensional. Explica por qu´e las columnas de de A deben ser linealmente independientes.
×
169.. Descr 169 Describe ibe el espacio espacio fila, el espacio espacio columna columna y el espacio espacio nulo de las siguientes matrices: A =
− 1 0
1 ; 0
B =
0 0 3 ; 1 2 3
C =
170. Describe geom´etricamente etricamente los espacios columna y los espacios fila de las siguientes matrices: A =
1 2 0 0 0 0
B =
1 0 0 2 0 0
C =
1 0 2 0 0 0
171.. ¿Cu´ 171 ¿Cu´aall de las siguientes afirmaciones es correcta? Puede haber m´as as de una: x1 1 1 1 0 x2 = vx de Avx = Las soluciones soluciones vx de A forman... 1 0 2 0 x3 (a) un plano. (b) una l´ınea. ınea . (c) un punto. punto. (d) un subespacio subespacio vectorial. vectorial. (e) el espacio espacio nulo nulo de de A. (f) el espaci espacioo columna columna de de A.
×
0 0 0 0 0 0
172. Construy Construyee una matriz 3 3 cuyo espacio columna contiene los vectores (1 (1,, 1, 0) y (1, (1, 0, 1) pero no (1, (1, 1, 1). Construye una matriz 3 3 cuyo espacio columna colu mna es una l´ınea. ınea .
×
Teorema de la base, del conjunto generador y del rango 173. Determina Determina si estas afirmacione afirmacioness son verdadera verdaderass o falsas: falsas: dim V V = n y S S es V , (a) Si Si dim es un conjunto linealmente independiente en en V , V .. entonces S es entonces es una base para para V
3.2. Bases, dimensiones y coordenadas en un subespacio vectorial
35
dim V V = n, n, y si V , entonces V . (b) Si Si dim si S genera genera a a V , entonces S es es una base de de V . vvvv 1 , . . . , vvvv p genera un espacio vectorial V (c) Si un conjun conjunto to vectorial V de dimensi´on on finita y si T si T es es un conjunto de m´as as de p de p vectores vectores en V en V ,, entonces T es T es linealmente dependiente. ol(A) y N ul ul((A) suman el n´ (d) Las dimensi dimensiones ones de C de C ol( umero umero de columnas de de A.
−
(e) Si un conjun conjunto to de de p vectores generan un subespacio subespacio p dimensional H H de Rn , entonces estos vectores forman una base para H para H .. Ax = b de 9 filas y 12 columnas es consistente para todo 174. Si un sistema sistema Ax vvb, b , entonces Col(A Col(A) =............. =...... ......... .. ¿Por qu´e? e?
×
dim((NulA NulA)) = 3 y 175. Si es posibl p osible, e, construye construye una matriz matriz A de 3 5 tal que que dim dim((ColA dim ColA)) = 2. Justifica cada respuesta o construcci´on. on. F es 176. Sup´on on que que F es una matriz de 5 5 cuyo espacio columna no es igual 5 ul((F )? F )? Responde de manera tan a R . ¿Qu´ e se puede decir acerca de de N ul amplia como sea posible y justifica tus respuestas.
×
R
7
olde 177. Si Si una matriz de 7ecuaciones 7 y C ol( (Bla )= ¿qu´ puede decir 7acerca xe =se b para b en R ? Resde B las essoluciones de las forma, B forma B ponde de manera tan amplia como sea posible y justifica tus respuestas.
×
C es una matriz de 6 6 y N ul ul((C ) es el subespacio vectorial v0 , 178. Si Si C es ¿qu´ e se puede decir acerca acerca de las solucione solucioness a ecuacione ecuacioness de la form formaa 6 Cx = b para b en R ? Responde de manera tan amplia como sea posible y justifica tus respuestas.
×
{ }
179. ¿Qu´ ¿Qu´e se puede decir acerca de la forma forma de la matriz matriz escalonada escalonada de una matriz A de m n cuando las columnas de A forman una base para m R ? Responde de manera tan amplia como sea posible y justifica tus respuestas.
×
B es una matriz de 5 5 y N ul( ul(B ) no es el subespacio vectorial v0 , 180. Si Si B ol(B )? Responde de manera tan amplia ¿qu´e se puede decir acerca de de C ol( como sea posible y justifica tus respuestas.
×
{ }
181. Cu´aall de las siguientes frases proporciona una definici´oon n correcta del rango de una matriz: a ) el n´ umero umero de filas distintas de cero en la matriz escalonada. b ) el n´ umero umero de columnas menos el n´umero umero total de filas. c ) el n´ umero umero de columnas menos el n´umero umero de variables libres.
182. Si A es una matriz de 8 8, entonces el espacio columna de A es ....................... ¿Por Po r qu´e?
×
A es una matriz invertible de 8 183. Si Si A es ............. ...... .............. .......... ... ¿Por qu´e? e?
× 8, entonces el espacio columna de de A
36
Cap Cap´ ´ıtulo 3. Sube Subespacios spacios vectorial vectoriales es de Rn y transformaciones lineales
184. Sea una matriz cuyas cuyas columnas columnas son n son n vectores vectores en Rm . Si son linealmente independientes, ¿cu´al al es el rango de la matriz? Si son una base de Rm , ¿entonces que relaci´on on hay entre entre m y n? 185. Sea una una matriz matriz A de dimensi´on on 5 a todo R5 , entonces:
× 5. Si el espacio columna de A de A genera
a ) la ecuaci´ Ax = on on Ax = 0 tiene una unica u ´ nica soluci´on on porque ..................
∈ R5 porque ............
Ax = b es b ) la ecuaci´ on on Ax = b es consistente para todo todo b
c ) la matriz es ............. ............. y tiene rango ........... ................ ....... ..
c y d las siguientes matrices tienen rango 2? 186. ¿Para qu´e valores de de c A =
3.3. 3. 3.
1 2 5 0 5 0 0 c 2 2 0 0 0 d 2
B =
c d d c
In Inte terp rpre reta taci ci´ on on geom´ ´ etrica etrica de un sistema de ecuaciones lineales y su conjunto soluci´ o on n
187. Determina Determina si cada enunciado enunciado es verdadero verdadero o falso, falso, justi justifica fica tu respuesta. respuesta. p + t tv v describe una recta que pasa por a ) La ecuaci´ on on x = vvp + por vvvv y es p. paralela para lela a vvp. b ) El conjunto x = b es el conjunto de todos los vectores conjunto soluci´ soluci´ on on de de A
= vvp + p + vvvv h , donde o n de la donde vvvv h es cualquier soluci´on de la forma w x = 0. ecuaci´ on on A c ) El efecto de sumar p a un vector es mover a dicho vector en una sumar vvp
direcci´ on on paralela a a vvp. p. b se b es consistente, entonces el conjunto soluci´on d ) Si Ax = on de A de Ax = Si A x = obtiene por traslaci´on on del conjunto soluci´on on de de A 0. 188. Dibuja Dibuja las tres rectas de este sistema de ecuacione ecuacioness lineales para determinar si el sistema es consistente:
x + 2y = 2 x y = 2 y = 1
−
¿Qu´e ocurre si todas las constant ¿Qu´ constantes es del lado derecho derecho son cero?. cero?. ¿Exist ¿Existee alguna posibilidad de cambiar los valores de la derecha a escalares distintos de cero, para que la soluci´on on sea consistente, esto es, para que las tres rectas intersequen en un mismo punto?. 189. Usando un argumento geom´ etrico, etrico, encuentra todos to dos los valores para a para a y b de manera que el sistema lineal sea consistente
x1 + ax2 = 3 4x1 + 8x2 = b
3.3. Interpretaci´ o on n geom´ eetrica trica de un sistema de ecuaciones lineales y su conjunto soluci´ o on n
37
190. Sin resolver el sistema de ecuaciones ecuaciones lineales dado, deter determina mina si las rectas 2 en R definidas por las ecuaciones tienen ninguno, uno o un n´u umero mero infinito de puntos de intersecci´on. on. Si existe un ´u unico nico punto de intersecci´ intersecci´on, on, encuentra sus coordenadas. 2x2 = 4 3x1 (a) 4x2 = 9 6x1 (b) (c)
− − x1 − − 84xx22 == 21 42x 1 x1 − 2x2 = 0 x1 − 4x2 = 8
191. Describe las soluciones de forma param´etrica etrica para los siguientes sistemas, y de descr´ scr´ııbela b elass geom´ ge om´eetric tricam ament ente: e:
1 2 2 2 4 5
u vv w
=
1 4
1 2 2 2 4 4
u vv w
192.. Descr 192 Describe ibe y compar comparaa los conjun conjuntos tos soluci soluci´on ´o n de x1 + 5x2 x1 + 5x 5 x2 3x3 = 2.
−
−
=
1 4
− 3x3 =
0 y
193. Escriba las soluciones del siguiente sistema en forma vectorial param´etrietrica. Tambi´en, en, brinda una descripci´ descrip ci´on on geom´etrica etrica del conjunto soluci´on. on.
−
2x1 + 2x2 + 4x3 = 4x1 4x2 8x3 = 3x3 = 3x2
− −
− −
8 16 12
−
M que pasa a trav´eess de p 194. Obt´en en una ecuaci´on on param´etrica etrica de la recta M de vvp vq . (Sugerencia: M es paralela al vector vvq q vvp. p . V´ease y vq (Sugerencia: M ease la figura que aparece m´as as abajo). 4 3 , v q = q = vvp = p = 3 1
− −
−
195. Encuentr Encuentraa un sistema lineal con 2 ecuaciones ecuaciones y 3 variables variables cuyo conjunto conjunto soluci´ on on es la recta
∈ 12 0
+t
13 1
t
R
.
38
Cap Cap´ ´ıtulo 3. Sube Subespacios spacios vectorial vectoriales es de Rn y transformaciones lineales
Ayuda: ¿podr ¿po dr´´ıas encontrar el sistema lineal homog´eneo eneo asociado asocia do al con1 junto soluci´ on on t 3 t R ? 1 196.. Sea 196 Sea A =
∈ − 2 1 0 1
1 . 1
Av x = v 0. (a) Resuelve Resuelve A = Av x = vvb, b , donde b = (b) Resuelve Resuelve A = donde vvb =
0 . 2
(c) Escribe en forma param´etrica etrica el conjunto soluci´on o n de (b (b), y da una interpretaci´ on on geom´etrica etrica de dicho conjunto. Octave para construir un c´odigo (d) Usa Maxima Usa Maxima u Octave para odigo que resuelva este problema computacionalmente
∈ R2
×
197. Encuent Encuentra ra un ejemplo ejemplo de una matriz matriz A de 2 2 y de un vector vector vvbb tales que: Avx = 0 tenga (a) La ecuaci ecuaci´on ´on homo ho mog´ g´eenea n ea A = 0 tenga soluciones no triviales. vvbb no tenga soluciones. (b) La ecuaci ecuaci´on A ´on Av x = =
Maxima u Octave para Octave para construir un c´odigo (c) Usa Usa Maxima odigo que resuelva este problema computacionalmente.
3.4.. 3.4
Tran ransfo sforma rmacio ciones nes lin lineal eales es y m matr atricia iciales les
−
1 2 , . Puesto que el mapeo de coordenadas deter4 9 β es una transformaci´on minado por por β es on lineal de R2 en R2 , este mapeo se debe implementar mediante alguna matriz A matriz A de 2 2. Encu´entrala. entra la. (Su (Su-gerencia: La multiplicaci´on on por por A deb deber er´´ıa transformar transform ar un vector vector x en su vector de coordenadas [ [x]β ).
198.. Sea 198 Sea β β =
−
×
199.. Deter 199 Determin minaa cu´ ales ales de las siguie siguient ntes es transf transform ormaci acione oness de Rn a Rm son lineales y cu´ales ales no son. Justif´ Justif´ıca tu respuesta, es decir, si es lineal, compru´ ebalo ebalo y determina la matriz asociada. aso ciada. Si no es lineal, detalla cu´al al de las 2 condiciones de linealidad no est´a satisfecha.
→ → → → → → 2 R
(a) T :
v1 v2
R
(b) S :
3
v2 v1
R
vv1 2 v3
4
v2 v1 v3 + 1 0
v1 v2 v3
3 R
(c) R :
2 R
R
2v1 + e3 v2
3.4. Transformaciones lineales y matriciales
→ → 3 R
(d) U :
v1 v2 v3
39
R
2v1 + e3v
2
R de la forma f 200. Una funci´ funci´ on f on f : R forma f ((x) = mx + b normalmente se llama f una transformaci´oon “funci´ on on lineal” porque su grafo es una recta. ¿Es f n matricial seg´ un un la definici´on on que vimos en clase? Justif´ Justif´ıca tu respuesta.
→
201. Recuerda Recuerda que un segmento segmento de recta recta en Rn es un conjunto de la forma n
{λvv + (1 − λ)w ∈ R |λ ∈ [0, [0 , 1]} , T : Rn Rm una transSea T en donde donde vvvv y w son dos vectores en Rn . Sea formaci´ on on lineal. Demuestra que que T T mapea mapea segmentos de recta en Rn en segmentos de recta en Rm .
→
− − − − − 1 0 2
4 1 6
7 4 6
5 3 , sea T sea T : R4 4
→ R3 la transformaci´on on matri−1 b = −1 est´a en el rango de cial definida por A por A.. Determina si el vector vvb = 0 T T (es vx ∈ R4 con T ((vvx) x ) = vvb). b ). Adicional, Usa (es decir, si existe un vector vector vx con T
A = 202. Sea Sea A =
Maxima u Octave para Octave para construir un c´odigo odigo que resuelva este problema computacionalmente
m n T : Rn R R un 203. Sea Sea T una transformaci´on on lineal, sea vvvv 1 , vv 2 , vv 3 T ((vvvv 1 ), T T ((vvvv 2 ), T T ((vvvv 3 ) conjunto conj unto linealm lin ealmente ente dependi dep endiente. ente. Expl Exp l´ıca por po r q qu´ u´e T m R tambi´en en es linealmente dependiente. depen diente.
→
{
{
}⊂
204. (Verda (Verdadero dero / Falso) En el siguient siguiente, e, marca marca cada enunciado enunciado como verdaverdadero o falso fal so y justif j ustif´´ıca tu respuesta. respuest a. (a) Existen Existen transforma transformacione cioness lineales lineales Rn
m
→R
que no son matriciales.
A es (b) Si Si A es una matriz de r de r s y si T si T es es la transformaci´on on lineal definida s T es R . por A, entonces el codominio de por de T
×
(c) El rango de una transform transformaci´ aci´ on on matricial definida por una matriz A matriz A es el espacio generado por las columnas de de A.
}⊂
40
Cap Cap´ ´ıtulo 3. Sube Subespacios spacios vectorial vectoriales es de Rn y transformaciones lineales
(d) Una transformaci´ transformaci´ on on lineal preserva las operaciones de la suma de vectores y la multiplicaci´on on escalar.
205. Determina Determina las matrices matrices est´ andar andar asociadas con las siguientes transforma3 3 R . ciones lineales R
→
(a) Rotaci´ Rotaci´ on on del plano plano x1 , x2 en el or´ or´ıgen en π2 en sentido antihorario dejando eje eje x3 invariante. (b) Reflexi´ Reflexi´ on on en el plano x plano x 1 , x3 (c) Proyec Proyecci´ ci´ on on en el plano plano x1 , x2 .
T : R3 206.. Sea T 206 2 1 4 0
→
1 4 R una transformaci´ on on lineal con T 1 0 0 0 . 4 0
0 , T 0 1
=
(a) Determina Determina la matriz matriz est´ andar andar asociada a a T T inyectiva? (b) ¿Es ¿Es T T sobreyectiva? (c) ¿Es ¿Es T
=
− 1 3 0 0
0 , T 1 1
=
4 Ortogon Orto gonali alidad dad y M´ınimos ınimos Cuadrados 4.1.
Producto punto: punto: longitud, longitud, distan distancia cia y ´ a angulo ngulo entre vectores
207. Contesta verdadero o falso a las siguientes preguntas. Justifica tu respuesta: a ) El conjunto conjunto de de los vectores vectores de R2 que verifican que vvvv = 1 se iden-
|| ||
tifican con los puntos de una circunferencia de radio uno y centrada en el origen.
|| || || ||
b ) Si dos vecto u , entonces vectore ress v v, vu no nulos verifican que vvvv = vvu
vvv = v = vu, vu , esto es, son el mismo vector. 208. Sean los vectores u =
− 1 , v = 2
Calcule: u u, u v y a )
· · u · u b) u. u · v 1 c ) w. w · w x · w d ) w. w · w e ) || x||.
4 = , w 6
−− 3 1 5
y x =
−
6 2 . 3
u u . u v
· ·
209. Normalice Normalice los siguient siguientes es vectores, vectores, esto es, consiga un vector vector unitario con la misma direcci´on on del vector indicado. 3 . a ) 4 b)
c )
d )
− −
6 4 . 3
7 2 . 4
8 . 6
41
42
Cap´ııtulo tu lo 4. Orto Ortogona gonalida lidad d y M´ınim ınimos os Cuad Cuadrado rados s
210. Encuent Encuentre re la distancia distancia entre entre los puntos: puntos: a ) P P =
b ) R =
− 3 y Q = 4
8 . 6
6 S = 4 y S 3
7 2 . 4
−
− −
211. Encuent Encuentre re el angulo a´ngulo entre los puntos: a ) P P =
b ) R =
4.2. 4. 2.
3 y Q = 4
8 . 6
6 S = 4 y S 3
7 2 . 4
Or Orto togo gona nalid lidad ad e ent ntre re v vec ecto tore ress y e ell complemento ortogonal H ⊥
Pregunt Pre guntas as de teor teor´ ´ıa 212. Diga si es verdadero verdadero o falso, y justifique justifique su respuesta: respuesta:
−
1 a ) Como los los vectores vectores 1 y 1 nos x + y + z = 0 y x + y nos
−
1 1 son ortogonales, entonces los pla2 2z = 0 son planos ortogonales.
b ) Si a 1 y a2 , y W W =< v a1 , va2 >, entonces vz Si vvzz es ortogonal a a vva entonces vz
W ⊥ .
∈
c ) Si dos vectores v v, vu no nulos son ortogonales entre s´ı, entonces
||vvuu + vvvv ||2 = ||vu vu ||2 + ||vvvv ||2 .
b tiene una soluci´on Ax = on y adem´as as se verifica que A que A T y = 0 para d ) Si Si A b = 0. un vector vector y , entonces entonces y
·
− −
e ) El subespacio W = gen subespacio vectorial vectorial W
el subespacio vectorial W vectorial W = = gen
1 1 0 , 0 0 1 1 0 , 0 0
0 0 0 1 1 2 2 3 4 4
es ortogonal con
.
−
f )) El complemento complemento ortogonal al subespacio vectori vectorial al W = = gen
0 0
1 1 0 0 0
,
0 1 1
4.2. Ortogonalidad entre vectores y el complemento ortogonal H ⊥
es el subespacio vectorial vectorial W = = gen
− − − 1 1 0 0 0
,
2 2 3 4 4
43
.
y es ortogonal con , entonces tambi´en 213. Demuestre que si si con v y w en lo es con v + . + w y es ortogonal con , entonces tambi´en 214. Demuestre que si si con v y w en lo es con W = g gen en v , w .
{ }
215. Demuestr Demuestree que si si z
∈ W W y z ∈ W ⊥ , entonces entonces z = 0.
x = x = 216. Demuestr Demuestree que si A si A T A 0, entonces entonces A 0.
W un subespacio vectorial en R9 de dimensi´on 217. Sea Sea W un on 6. ¿Qu´e dimensi dime nsiones ones ⊥ tiene el conjunto ortogonal W ortogonal W ? W el subespacio generado por los vectores 218. Sea Sea W el
W = = Gen
10 , 11 , 21 0 0 0
1 1 2 0 , 1 , 1 , esto es, 0 0 0
Determine cu´al al es la respuesta correcta:
tiene (a) W y y su espacio ortogonal W ⊥ pertenecen a R3 , el subespacio W tiene ⊥ on y est´a genedimensi´ on on dos, el subespacio subespacio W tiene una dimensi´on 0 ⊥ 0 . rado por un vector: vector: W = Gen 1
tiene (b) W y y su espacio ortogonal W ⊥ pertenecen a R4 , el subespacio W tiene ⊥ on y est´a genedimensi´ on on tres, el subespacio subespacio W tiene una dimensi´on 0 ⊥ 0 rado por un vector: vector: W = Gen 1 W y su espacio ortogonal W ⊥ pertenecen a R3 , el subespacio W (c) W n y est´a tiene dimensi´on on dos, el subespacio subespacio W ⊥ tiene una dimensi´oon 0 0 0 , 1 . generado por dos vectores: vectores: W ⊥ = Gen 1 1 W y su espacio ortogonal W ⊥ pertenecen a R4 , el subespacio W (d) W on dos y est´a tiene dimensi´on on tres, el subespacio subespacio W ⊥ tiene dimensi´on 0 0 0 , 1 . generado por dos vectores: vectores: W ⊥ = Gen 1 1 Preguntas Pre guntas de pr´ actica acti ca
W ⊥ de los subespacios vec219. Encuentr Encue ntre e elR3subespacio ortogo W W siguientes un dibujo toriales de , describa ortogonal geom´etricamente enal W tricamente y W ⊥ y realice aproximado de los mismos:
44
Cap´ııtulo tu lo 4. Orto Ortogona gonalida lidad d y M´ınim ınimos os Cuad Cuadrado rados s
−
a ) W = 0 .
1 1 1
b ) W = = gen
.
1
c ) W = = gen
11
1
,
11
.
1 1 3 2 , W = gen en R4 . Encuentre y el complemento orto220. Sea 220. Sea W = 3 2 2 4 W y W ⊥ ? Desc W ⊥ . ¿Qu´e dimen Describa riba geom´etricame etri camente nte W d imension siones es tiene tie ne W gonal W gonal ⊥ W . 221. Encuentre el el complemento ortogonal ortogonal para el subespacio vectorial vectorial en R4 de 1 0 0 0 1 1 . Desc Describ ribaa geom´etrietri dimensi´ on on 3 generado por y , 1 1 0
− − −
4.3. 4. 3.
1
0
0
W y W ⊥ . camente W camente
Co Conj njun unto toss y base basess ort ortog ogon onal ales es
222. 222. Supon Suponga ga que que la matr matriz iz A est´a compue compuesta sta por vecto vectores res unitar unitarios ios que T adem´ as as son dos a dos ortogonales entre s´ı. Encuentre Encuentre A A.
×
223. Encuent Encuentre re una matriz matriz A A de de dimensi´on on 3 3 sin ninguna componente igual a cero, y de tal forma que sus columnas formen un conjunto ortogonal de vectores. Calcule A Calcule A T A. 224. A˜ nada nada dos vectores constituidos unicamente u ´ nicamente por 1, -1 en sus componentes al conjunto de vectores conjunto ortogonal.
− − 11 1 1
,
11 1 1
para que ´este este siga siendo un
225. ¿Son estos vectores vectores ortonormales ortonormales?? ¿y ortogonale ortogonales? s? ¿y linealmen linealmente te independientes? a ) b)
− − 1 y 0
1 . 1
cos θ y sin θ
sin θ . cos θ
P en R3 definido por la ecuaci´on x 226.. Sea el 226 el plano plano P on x a las siguientes preguntas:
3y
− −
a ) Encuent P = N ul ul((A). Encuentre re la matriz A matriz A tal que que P
4z = 0. Responda
4.4. Proyecciones ortogonales y el proceso de Gram-Schmidt
45
b ) Encuentr P . Encuentree una base para el plano plano P . c ) Encuentr Encuentree una base para la recta recta P ⊥ perpendicular al plano.
6 d ) Descom Descompong pongaa el vecto vectorr vvvv = 4 en la suma de un vector en el 5 plano y otro en la recta perpendicular al plano. P el plano en R4 definido por 227. Sea Sea P el por x1 + x2 + x3 + x4 = 0. Encuentre una P y otra para ¿Q u´e dimensiones di mensiones tienen estos subespacios sube spacios base para para P y para P ⊥ . ¿Qu´ vectoriales? W de R4 definido por 228. Encuentre una base para el subespacio vectorial W x2 + x3 x 4 = 0, otra + x todos los puntos que verifican la ecuaci´on on x1 + ⊥ W y para el complemento ortogonal ortogonal W , y encuentre dos vectores b1 W 1 1 b2 W ⊥ de tal forma que b1 + b2 = . 1 1
∈
4.4. 4. 4.
−
∈
Pr Pro oyecci eccion ones es ort ortog ogon onal ales es y el pr proces oceso o de Gram-Schmidt
Proyecciones ortogonales 229. Diga si es verdadero verdadero o falso, y justifique justifique su respuesta: respuesta: a ) Sea vy un vector cualquiera, y sea W un subespacio vectorial. EnSea vy sea W un
vy tonces, el vector vector vy b ) Si vy vy Si
− proj
∈ W W ,, entonces proj
vvy) y) W (
vvy) y) W (
y. = vvy.
230. Encuentr Encuentree la proyec proyecci´ ci´ on on ortogonal de
matriz A = matriz
1 0 1 1 . 1 2
b = 231. Proyecte Proyecte el vector
por el vector la recta.
3 4 4
W .. es ortogonal a a W
6 0 en el espacio columna de la 0
sobre la l´ıınea nea que pasa p asa por p or el origen generada
2 b) proy(( 2 . Compruebe que que e = = proy 1
b = 232. Proyecte Proyecte el vector
3 4 4
− b es perpendicular con
sobre el plano que pasa por el origen generado
46
Cap´ııtulo tu lo 4. Orto Ortogona gonalida lidad d y M´ınim ınimos os Cuad Cuadrado rados s
2 por 2 y 1 el plano.
1 0 . Compruebe que que e = proy proy(( b) 0
233.. Sea 233 Sea A la matriz identidad de dimensi´on on 4 1 b = Encuentre la proyecci´on o n de de
− b es perpendicular con
× 4 menos la ultima u ´ ltima columna.
2 sobre el espacio columna de A. 3 4 Encuentra un vector cuya proyecci´on on sobre Col(A Col(A) es el vector 0, y otro donde se verifica que la proyecci´on on es el mismo vector.
− − − 6 0 sobre: 0 2
b = 234. Calcule Calcule la proyec proyecci´ ci´ on on de
a ) la recta recta generad generadaa por
b ) la recta recta generad generadaa por
1 1 . 1
1 1 1 . 1 1
1 1 y 1 1
c ) el plano plano generado generadorr por
1 1 . 1 1
−
Sume las proyecciones obtenidas en los literales 234 literales 234a y 234b y compruebe que coincide con lo obtenido en el literal 234c . ¿P ¿Por or qu´e? 235. Consideramos un vag´ vag´ de tren parado, pero sin frenos puestos un rail horizontal en direcci´ on ooon nn oeste-este. Hay un viento que sopla en en direcci´ on on noreste con una velocidad de 10km/ 10km/h. ¿Qu´e veloci vel ocidad dad alca alcanzar nzar´a´ el vag´on on eventualmente? figura tren
El proceso de Gram-Schmidt 236. Dado el conjunto conjunto de vectores vectores
− 1 1 1
,
1 1 0
,
1 1 1
:
a ) Demuestre que el conjunto es linealmente independiente y por lo
tanto base de R3 . b ) Construy vvw w 1 , v w2 , v w3 para R3 a partir de la Construyaa una base ortogonal ortogonal
base dada.
4.5. El problema de m´ınimos cuadrado cuadrados s
47
c ) Verifique erifique que es, realmente, realmente, una base ortogonal. ortogonal. d ) Normalice Normalice los elementos elementos para conseguir una base ortonormal. ortonormal.
237. Encuentr Encuentree una base ortogonal ortogonal y otra ortonormal ortonormal para el subespacio subespacio vectorial 1 2 3 W = = gen
,
,
− − − 01
02
33
.
− − −
238. Encuentre un un base ortonormal para el plano plano generado por
1 3 4 5 7
y
6 6 8 . 0 8
239. Encuentr Encuentree tres vectores vectores ortonormal ortonormales es en R3 de tal forma que los dos 1 1 primeros generen el espacio columna de la matriz matriz A = 2 1 . 2 4
240. Encuentre una base ortogonal para el plano generado por a =
b =
1 2 . 0 0
4 5 y 2 2
241. Encuentr Encuentree una base ortogonal ortogonal para el subespacio subespacio vectorial vectorial en R4 de di1 0 0 1 1 0 mensi´ on on 3 generado por , y . 0 1 1 0 0 1
4.5.. 4.5
− − − El prob problem lema a de m´ m´ıni ınimos mos cua cuadra drados dos
242. Cu´al a l es el m´ ultiplo ultiplo de de a =
4 5 b = m´as as cercano a 2 2
1 2 . 0 0
243. Argumen Argumente te si los siguientes siguientes problemas son inconsiste inconsistente ntess y encuent encuentre re la soluci´ on on de m´ınimos ınimos cuadrados, cuadrados, el vector vector error error y el erro errorr en cada caso. Comprueba Compr ueba que el vector vector error es ortogonal ortogonal con el espacio columna de A de A:: a ) A =
1 1 0 1 y b = 0 0
2 3 . 4
48
b ) A =
c ) A =
Cap´ııtulo tu lo 4. Orto Ortogona gonalida lidad d y M´ınim ınimos os Cuad Cuadrado rados s
1 1 1 1 y b = 0 0 1 2 2
4 4 . 6
1 1 y b = 4
1 2 . 7
−
−
244.. Cu´ 244 al al es la combinaci´oon n lineal de los vectores
a
2 1 . 1
245. Sea el plano generado por
b =
1 3 4 5
y
7
1 0 0 : 0 0
− 1 2 1
y
1 0 1
m´as as pr´oxima oxima
−
6 6 8 . Encuentre la proyecci´on o n de 0 8
a ) Usando Usando una base ortonormal ortonormal para el plano. plano. b ) Resolviendo un problema de m´ınimos cuadrados.
H el plano generado por 246.. Sea 246 Sea H
b = H de sobre H sobre
− −
4 3 : 3 0
− 1 1 y 1
2 0 . Encuentre la proyecci´on on 1
1
3
a ) Usando Usando una base ortonormal ortonormal para el plano. plano. b ) Resolviendo un problema de m´ınimos cuadrados.
β 1 de la recta de m´ınimos cuadrados 247. Encuent Encuentra ra la ecuaci´ ecuaci´ on on y = β 0 x + + β que mejor se ajuste a los puntos de datos (2, (2 , 3) 3),, (3 (3,, 2) 2),, (5 (5,, 1) 1),, (6 (6,, 0). 248. Para Pa ra medir el desempe˜ desempe˜ no no de un avi´ on on durante dura el despegue, despeg ue,Las cada segundo segundo t = 0nte t = 12. se midi´ o su posici´ on on horizontal, desde desde hasta hasta posiciones (en pies) fueron:
4.6. Matrices ortogonales y transformaciones lineales
Ti Tiem empo po (s (seg eg.) .) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
49
Pos osic ici´ i´ oon n (pies) 0 8 .8 29.9 62.0 104.7 159.1 222.0 294.5 380.4 471.1 571.7 686.8 809.2
β 1 t + β 2 t2 + β 3 t3 que + β + β Buscamos una curva c´ ubica ubica de la forma forma y = β 0 + modele estos datos. (a) Usando Usando los datos, datos, encuentra encuentra un sistema sistema de ecuacione ecuacioness lineales en los coeficientes β 0 , β 1 , β 2 , β 3 que tiene que ser satisfecho aproximadacoeficientes 2
3
β 0 + β 1 t + β 2 t + β 3 t modele nuestros datos. mente para que que y = = β (b) Usa Matlab Matlab o Ovtave Ovtave para determinar determinar los coeficiente coeficientess de m´ınimos ınimos β0 , β β1 , β β2 , β β3 . cuadrados β
(c) Con estos estima la velocidad velocidad horizontal horizontal del avi´ on on en t en t = = 4,5 segundos.
4.6.. 4.6
Matric Matrices es o orto rtogon gonale aless y tra transf nsfo orma rmacio ciones nes lineales
249. Diga si es verdadero verdadero o falso, y justifique justifique su respuesta: respuesta: y = a ) Si las column columnas as de una una matriz matriz U n× p son ortogonales, entonces U U T vvy = projCol(U ) (vy). vy ).
250. Sea la transformaci´ on on ortogonal P dada dada por la matriz B = (A1 T A1 )−1 A1 T , B x. esto es, P es, P ((x) = B P (e). a ) Calcul P (ˆb) y P ( Calculaa P (
∈ W W ,, entonces P (w ) = w . Para ello, recuerda entonces P (
b ) Demues Demuestra tra que, que, si w
que W = col que col((A).
v ) = 0. Para ello, recuerda ∈ W ⊥ , entonces P entonces P ((vvv) ⊥
c ) Demuestr Demuestraa que, que, si vvvv
col((A)) . que W ⊥ = (col que
d ) ¿Podr´ P ? ¿Cu´al ¿Podr´ıas explicar el nombre otorgado a P ? a l es el efecto que
produce la transformaci´on on sobre cualquier vector vector x?
50
Cap´ııtulo tu lo 4. Orto Ortogona gonalida lidad d y M´ınim ınimos os Cuad Cuadrado rados s
REPASO DE LA MATERIA
−
−
Sea el subespacio W generado generado por los vectores (1, (1, 1, 0) , ( 1, 2, 0) , (1 (1,, 7, 0) , (5 (5,, 1, 0): W = = gen
− − − 1 1 0
,
1 2 0
,
1 7 0
,
5 1 0
Responde a las siguientes preguntas:
W y una base cualquiera β cualquiera β 1 para para W y su dimensi´on. on. Encuentra las 2 2 en esta base. Interpreta el resultado coordenadas del vector b = 0 geom´ geo m´eetric tricame amente nte..
Encuentra
¿A
W ?? qu´e espacio vectorial m´as as general pertenece pertenece W
W .. Encuentra las coordenadas del una base ortogonal β ortogonal β 2 para para W 2 2 en esta base. Interpreta el resultado vector b = re sultado geom´etricamente. etricamente. 0
Encuentra
−
Encuentra
−
una base ortonormal ortonormal β 3 para para W . W . Encuentra las coordenadas 2 2 en esta base. Interpreta el resultado geom´ etricaetricadel vector b = 0 mente.
Obs´ ervese ervese
que, para un mismo subespacio sub espacio vectorial, estamos construyenW , y el do tres bases distintas. ¿Podr´ ¿Podr´ıas esbozar el subespacio vectorial vectorial W , eje de coordenadas para cada una de las bases, en tres dibujos distintos? Interpreta el resultado.
Encuentra
W .. el complemento ortogonal ortogonal W ⊥ a W
Encuentra
β 4 para on. para W ⊥ y su dimensi´on. una base base β
W y W ⊥ de forma form a conju c onjunta nta geom´etrietri un esbozo de c´omo om o se ver´ıan ıa n W camente.
Haz
W y W ⊥ obtenidas, una usando cualquiera de las bases de W base β para base para todo R3 .
Construye,
Encuentra,
en la base construida en el literal anterior, las coordenadas b contenido en R3 . generales de cualquier vector
Calcula
b = ( 1, 4, 3) sobre W y el vector sobre W la proyecci´on on ortogonal ˆb de
e. error error Relaciona
−
b, ˆb, e y los subespacios en un dibujo (geom´etrico) etrico) los vectores
W W ¿A qu´e escribir subespacio vectorial pde ertenece el vector error error e? ¿Y el y W ˆb⊥ b como ? .¿Puedes vector sumapertenece dos vectores ortogonales entre s´ı? Comprueba que q ue estos vectores son, de verdad, ortogonales.
4.6. Matrices ortogonales y transformaciones lineales
51
Plantea
un problema de m´ınimos cuadrados para cuadrados para la descomposi a la soluci´ on o n de y d´ ci´ on on del vector b obtenida en el ejercicio anterior, y m´ınimos cuadrados y el error para estos dos casos: on de m´ınimos cuadrados (i) para para una matriz matriz A1 para la cual la soluci´on del problema anterior tiene soluci´on on u unica ´ nica y, on de m´ınimos ıni mos cuadrado cuad radoss (ii) ii) para para otra matriz matriz A2 para la cual la soluci´on del problema anterior tiene m´as as de una soluci´on. on.
En
los problemas problemas de m´ınimos ınimos cuadrados cuadrados de la pregu pregunta nta anterior anterior,, ¿ha ¿hay y m´as as de una proyecci´on on ortogonal para b? ¿Hay m´as as de un vector error error e? Justifica.
5 Dete Determ rmin inan ante tess 5.1. 5. 1.
Ej Ejer erci cici cios os d det eter ermi mina nant nte e de un una a ma matri triz z
A se Recu´erdese erdese que para p ara denotar den otar el determinante det erminante de una un a matriz matr iz A se usan indistintamente las notaciones A o det(A det(A).
| |
251. Contesta Contesta si las siguientes siguientes afirmaciones afirmaciones son verdader verdaderas as o falsas. falsas. Justifica Justifica tu respuesta. En caso de que la afirmaci´on on sea falsa, justifica la respuesta brindando un contraejemplo de una matriz de dimensi´oon n 2 2.
×
| | b ) El determ B )det( C ). determinan inante te de ABC es es |A||B ||C |, esto es, det(ABC det(ABC ) = det(A det(A)det( )det(B )det(C c ) El determi determinan nante te de 4A 4 A es 4|A|, esto es, det(4A det(4A) = 4det(A 4det(A). d ) El determin BA)) = 0. determinan ante te de de AB − BA es cero, esto es, det(AB det(AB − BA a ) El determina I + A es 1+ A , esto es, det(I A). determinante nte de de I + det(I + + A) = 1 + de det( t(A
Intenta un ejemplo con con A =
0 0 . 0 1
AB no e ) Si Si A no es invertible, entonces entonces AB no es invertible. f ) El determinan determinante te de A de A siempre es el producto de sus pivotes. g ) El determinan determinante te de A de A
− B es igual a det(A B ). det(A) − det( det(B
h ) AB y AB y BA tienen el mismo determinante, esto es, det(AB det(AB)) = det(BA det(BA)). i ) Si Si A y B so son n id´enticas, enticas, excepto por b11 = 2a11 , entonces det(B det(B ) =
2det(A). 2det(A j ) Si A es Si A es invertible pero B pero B no no lo es, entonces AB entonces AB tampoco tampoco es invertible. 1
k
) El determinan determinante te de S de S − AS es es igual al determinante de de A.
l ) Las propie propiedad dades es del determ determina inant ntee se verifi verifican can tanto para las filas filas
como para las columnas. m ) Si Si A y B son dos matrices, entonces det(A det(A + B ) = detA detA + detB detB . n ) Si Si A es una matriz 3
× 3, entonces det(5A det(5A) = 5det A.
n ˜ ) Si la matriz B se ha matriz B h a conseguido cons eguido despu´es es de hacer una u na operaci´ op eraci´on on fila
A,, entonces det(A sobre A sobre det(A) = det (B (B ).
× n y det A = 2, entonces det(A det(A3 ) = 8. p ) Si A es una matriz cuadrada n×n y λ es cualquier valor real, entonces
o ) Si Si A es una matriz matriz n
A). det(A det(λA)) = λn det( det(λA
q ) Si una matriz matriz cuadrada tiene dos filas iguales, iguales, entonces entonces su determidetermi-
nante es cero. r ) En genera general, l, det(A det(A) = det(A det(AT ).
53
54
Cap Cap´ ´ıtu ıtulo lo 5. Det Determi erminante nantes s
252. Dadas Dadas las matrices matrices A =
−
1 2 4 3
0 ; 2
−
B =
− 2 3 1
1 2 3
;
C =
− 2 1
a ) Que combin combinaci acione oness (suma, (suma, product producto, o, traspu traspuest esta) a) son posible posibless de
tal que el determinante calcular. det((forma det AB)) es AB posible ya que Ase y B = 3 Por =pueda 2 3 calcular. 2. ejemplo: el
×
×
b ) Calcule Calcule los determinan determinantes tes de las combinacio combinaciones nes encontradas encontradas en el
apartado anterior. 253. Considera Considera las siguient siguientes es matrices 4 0 1 A = 0 1 0 y B = 4 0 1
− 1 4 0
4 0 1 0 0 1
·
a ) ve B ). verifi rifica ca si det(A det(A B ) = det(A det(A)det( )det(B b ) Completa Completa la igualdad igualdad det(A det(A + B ) = ....................
∈ R entonces det(λA λ det(A A). det(λA)) = λdet(
c ) ve verifi rifica ca si dado dado λ
d ) Calcul Calculaa det(A det(A3 ). e ) Calcul Calculaa det(B det(B T ). f )) Calcul Calculaa det(A det(AT B T ).
254. Encuent Encuentra ra los determinan determinantes tes de las siguientes siguientes matrices de rotac rotaci´ i´ oon n y reflexi´ on: on: cosθ sinθ 1 2cos2 θ 2cosθsinθ Q = y Q = sinθ cosθ 2cosθsinθ 1 2sin2 θ
−
−
−
−
−
255. Demuestr Demuestree que todas las matrices matrices ortogonale ortogonales, s, esto es, aquellas que veriT I ,, tiene determinante 1 o 1. Para ello, usa la regla del fican que Q que Q Q = = I producto AB = A B y la regla de la traspuesta A = AT .
−
| | | || |
| | | |
AB)) = det(A B ), demuestra que: 256. Usando Usando la regla del producto det( det(AB det(A)det( )det(B Qn ) = (det(Q (a) det( det(Q (det(Q))n . > 1 (det(Q))n crece. ¿C´omo omo se puede (b) Si det(Q det(Q) > 1 entonces det(Q det(Qn ) = (det(Q saber que esto no le va a suceder a las componentes de Qn ? 257. Indica Indica si estas matrices matrices tienen tienen determinant determinantee 0, 1, 2 o´ 3: A =
0 0 1 1 0 0 0 1 0
B =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
C =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A a 258. Reduce Reduce A a su forma escalonada U escalonada U o o usa las propiedades del determinante para encontrar det(A det(A): A =
1 1 1 1 2 2 1 2 3
A =
1 2 3 2 2 3 3 3 3
1 , 3
5.1. Ejercicios determinante de una matriz
55
259. Aplicando operaciones fila para conseguir conseguir una matriz triangular triangular superior, calcula el determinantes de estas matrices e indica si son invertibles o no: 1 2 1 0
−
2 6 0 2
3 6 0 0
−1 0 0 − 2 −1 0 −1 2 −1
0 1 3 7
2 1 0 0
0
1
2
−
260. Utiliza las propiedades de los determinantes para simplificar y calcular estos determinantes: 1 t t2 t 1 t t2 t 1
101 201 301 102 202 302 103 203 303
U y U −1 y U 2 para: 261. Encuentr Encuentraa los determinan determinantes tes de de U U =
1 4 6 0 2 5 0 0 3
A) = 262. Sabiendo Sabiendo que det( det(A
a b = ad c d
y
U =
a b 0 d
− bc, bc, encuentra los determinantes de
2 1 − λI para para A = . Encuentra adem´aass dos 1 2 n´umeros umeros λ que verifiquen que det(A det(A − λI ) = 0. Escribe la matriz matriz A − λI
las matrices matrices A, A−1 y A
para cada uno de esos n´umeros λ umeros λ (obser (observa va que estas matrices no deber´ıan ıan ser invertible, dado que su determinante se anula).
4 1 , encuentra A2 , A −1 y A λI y y sus determi encuentra A 2 3 nantes correspondientes. ¿Cu´ales ales son los dos n´ u umeros meros λ que logran que A λI ) = 0? det(A det(
263. Dada la matriz A matriz A = =
−
−
264. Use operaciones fila para encontrar encontrar el determinante determinante de la siguiente matriz:
A =
− − − − − − − 1 1 1 1 0
1 2 1 1 1
1 1 3 1 1
1 1 1 4 1
1 1 1 1 5
265. Halla el determinante de la siguiente matriz usando las propiedades de los determinantes: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
− − − − − −
266. Dada las siguientes siguientes matrices matrices
56
A =
Cap Cap´ ´ıtu ıtulo lo 5. Det Determi erminante nantes s
− − −− −− − 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
x 2x 1 4 y 2y 0 z 2z 23 3
B =
− −
a ) Hallar los determinantes determinantes de las matrices usando el m´etodo etodo que m´aass
te convenga. b ) Hallar x,, y,z, y,z , si es posible, para que Hallar x que B NO sea invertible. c ) Hallar x y,z , si es posible, para que Hallar x,, y,z, que B sea invertible. d ) Calcular Calcular la inversa inversa de de A, si es posible.
ij , demuestra que 267. Si la entrada i, j de A es i veces j , esto es, aij = ij, det(A det( A) = 0. j , , esto es, aij = i + j , demuestra que 268. Si la entrada i, j de A es i + + j + j detA = detA = 0 excepto cuando cuando n = 1 o´ 2. 269. Calcula los determinantes determinantes de las siguientes matrices matrices usando las propiedades de los determinantes:
A =
0 a 0 0 0 b c 0 0
0 a 0 0
B =
0 0 b 0 0 0 0 c d 0 0 0
C =
a a a a b b a b c
fila 1 al es el determi270. En este caso, 270. caso, si se conoce conoce que det( det(A) = fila 2 = 6, ¿cu´al fila 3 fila 3 + fila 2 + fila 1 fila 2 + fila 1 ? nante de de B para para B = fila 1
271. Si una una matriz matriz 4 4 tiene det(A det(A) = 21 , encuentra det(2A det(2A), det( A), det(A det(A2 ) y det(A det(A−1 ).
×
−
A) = 272. Si una matriz 3 3 tiene det( det(A − 2 1 A ) y det(A det(A det( det(A ).
×
−1, encuentra det( 12 A), det(−A),
273. Encuent Encuentre re el determinan determinante te de: (a) la matriz triangula triangularr superior superior U = (b) la matriz triangular triangular inferior inferior U T . (c) la matriz matriz inversa inversa U −1 . M = (d) la matriz triangula triangularr M
4 0 0 0
4 1 0 0
0 0 0 2 0 0 2 6 0 1 2 2 4 4 8 8
U . bios de filas en en U .
8 2 2 0
8 2 . 6 2
que resulta de intercam-
5.1. Ejercicios determinante de una matriz
57
274. Sup´on on que haces dos operaciones fila en un s´olo olo paso, yendo de a b a mc b md a . c d c la d lb
−
− −
−
Encuentra el determinante de las matrices y comp´aralos. aralos. 275. Enumera Enumera los intercam intercambios bios de filas para encontr encontrar ar estos determinan determinantes: tes: 0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 = +1 0 0
0 0 0 1
y
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 = 1 0
−1
x y z 276. Sabiendo que 3 0 2 = 1, utiliza las propiedades del determinante 1 1 1 para hallar el determinante de la siguiente matriz :
− −
x 2x 1 4 y 2y 1 z 2z 23 3
−
.
277. Encuentr Encuentraa los determinant determinantes es de: A =
1 A−1 = 10
4 2 , 1 3
3 1
−
2 , 4
A λI =
−
− 4
λ 2 1 3 λ
−
− λI es es una matriz no invertible. 278. Una matriz sesgada sim´ etrica etrica satisface satisface K = −K . Un ejemplo de una Determina para qu´e valores de de λ, A
T
matriz sesgada es:
K =
−− − 0 a b a 0 c b c 0
.
K ). (a) Argumenta Argu menta por p or qu´e para n = 3 se verifica que det( K ) = ( 1)3 det( det(K ).
−
−
K ) = (b) Demuestr Demuestraa que para cualquier cualquier otra dimensi´ dimensi´ oon n se tiene que det( det(K 0. 279. Eval´ Eval´ ua ua el determinante de lasa sigueintes matrices reduciendo la matriz a su forma escalonada o usando las propiedades del determinante. A =
1 1 3 0 4 6 1 5 8
,
B =
1 1 3 0 4 6 0 0 1
,
C =
1 1 3 0 4 6 1 5 9
¿Cu´ ales ales son los determinantes de B,C, de B,C, AB,AT A y C T ? 280. Sup´on on que que C D =
−DC . Encuentra el error en el siguiente argumento:
se toman determinantes en la igualdad, se consigue que (det(C (det(C ))(det(D ))(det(D)) = −Si(det( D))(det( C )), (det(D ))(det(C )), entonces det(C det(C ) = 0 ´o det(D det(D) = 0. Por lo tanto, C D = −DC DC es es posible s´olo olo si si C ´o D no es invertible.
58
Cap Cap´ ´ıtu ıtulo lo 5. Det Determi erminante nantes s
det((A−1 ), det ı, no; no ; por qu´e? e? 281. Existe Existe alguna relaci´ relaci´ on on entre det entre det((A), ), det ), det((AT ), ¿s´ı, 282. Usa las propiedades del determinante determinante para verificar verificar la siguiente igualdad: igualdad: 1 a a2 1 b b2 = (b 1 c c2
− a)()(cc − a)()(cc − b)
×
283. Encuent Encuentra ra el determinan determinante te 4 4 de las siguientes matrices usando las propiedades del determinante: 11 21 31 41
12 22 32 42
13 23 33 43
1 t t2 t3 t 1 t t2 t2 t 1 t t3 t2 t 1
14 24 34 44
284. Aplicando Aplicando operaciones operaciones fila hasta lograr una matriz matriz triangular triangular superior U superior U ,, calcula: 2 1 1 1 1 2 3 0 1 2 1 1 2 6 6 1 det det 1 1 2 1 1 0 0 3 1 1 1 2 0 2 0 7
−
285. Demuestra Demuestra las siguientes propiedades propiedades del determinante:
a ) Si dos filas de una matriz son proporcionales , entonces el determinante de la matriz es cero. Sugerencia: cero. Sugerencia: Una matriz tiene dos filas proporcionales si existe c R tal que:
A =
∈ ·
a11 . . . c a11 . . . .. .
..
.
an1 . . .
a1n c a1n
·
.. .
ann
b ) Si una matriz tiene una fila de ceros, entonces el determinante es
cero. 1
1 det(A) .
c ) det( A− ) = det(A d ) Si dos filas de una matriz son iguales , entonces el determinante de
la matriz es cero (caso particular de (a (a)). 286. Dada la la matriz matriz
− α
A =
0 0 0
−6
1
9 8 0 5 3 α 2 1 0 1 α+1
− −
a ) Usa el e l m´etodo etod o que qu e m´as as te convenga para calcular det(A det(A). b ) Encuent Encuentra ra los valores valores de de α para los cuales la matriz A matriz A es invertible.
A satisface la ecuaci´oon A 287. Demuestr Demuestraa que si una matriz cuadrad cuadradaa A satisface n A 2 + 2A + I = 0 0,, entonces entonces A es invertible. Determina la inversa de A de A.. A con A 3 = I qu I quee no sea invertible? Expl´ 288. Puede Puede existir una matriz matriz A con A Expl´ıca tu respuesta.
5.2. Matrices invertibles y Regla de Cramer
5.2. 5. 2.
59
Ma Matr tric ices es iinv nver ertib tible less y Re Regla gla de C Cra rame merr
289. Resuelve el siguiente sistema usando el m´ etodo etodo de Cramer:
− − − − −− −− 1 2 1
290. Sea Sea A =
1 3 4 2 3 2
x1 x2 x3
2 1 0 1 3 1
=
4 1 6
4 6 . 7
a ) Determ b Determina ina si para todo
una soluci´on. on. ¿Es unica? u ´ nica?
∈ R3 la ecuaci´on x = b tiene on matricial matricial A
b ) Calcula Calcula la soluci´ soluci´ on on usando el m´etodo etod o de Cramer.
291. Determinar si las siguientes siguientes matrices son invertibles invertibles y en el caso afirmativo calc´ ula ula las inversas: 1 0 0 a ) A = 1 1 1 0 0 1 b) B =
c ) C = d ) D =
− − 1 0 0 1 0 0 1 1 1
0 3
1 4
cos(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ en donde donde ϕ [0, [0 , 2π ]. ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ sin(
∈
−
292. Encuentr Encuentraa la matriz matriz inversa inversa de de A mediante el m´etodo etod o de d e los cofactores: cofactores : A =
5.3. 5. 3.
1 2 3 0 4 5 0 0 6
Inte Interp rpre reta taci ci´ o ´ on n geom´ etrica etr ica del dete determin rminante ante
= (1 293. Sean los vectore vectoress v = (3 (3,, 2) y w (1,, 4). . (a) Encuen Encuentra tra el ´area area del paralelogramo con lados lados v y w y v + . (b) Encuen Encuentra tra el ´area area del tri´angulo angulo con lados lados v, w + w y v (c) Encuentr Encuentraa el area ´area del tri´angulo angulo con lados lados v, w
− w . y w − v . (d) Encuen Encuentra tra el ´area area del tri´angulo angulo con lados lados v, w 294. Una caja tiene sus lados desde (0, (0, 0, 0) hasta (3, (3, 1, 1) y desde (1, (1, 3, 1) hasta (1, (1, 1, 3). Encuentra su volumen y el ´area area de cada paralelogramo que conforma sus caras.
60
Cap Cap´ ´ıtu ıtulo lo 5. Det Determi erminante nantes s
295. Encuentra el volumen del paralelep par alelep´´ıpedo (prisma/re ( prisma/rect´ ct´angulo) angulo) cuyos lados 1 1 1 1 , 2 , 4 est´ an an dados por los vectores 1 3 9
296. Encuentra el volumen del paralelep´ paralelep´ıpedo definido por p or las columnas de la matriz A, siendo la matriz matriz
− −− − 1 4
A =
4 3 4 5 1 2 6
π
4
297. Encuent Encuentra ra el aarea ´rea del paralelogramo definido por las columnas de la ma√ 2 1 . triz C , siendo triz siendo C = 2 3 1 3
−
298. 298. (a (a)) Las Las esqu esquin inas as de de un tri tri´angulo ´angulo son (2, (2, 1), (3 (3,, 4) y (0, (0, 5). ¿Cu´al a l es su ´area? area? (b) A˜ nade n ade una esquina en ( 1, 0) para lograr una figura irregular de cuatro lados. Encuentra su area. ´area.
−
299. El paralelogra paralelogramo mo de lados (2, (2, 1) y (2, (2, 3) tiene la misma area ´area que el paralelogramo de lados (2, (2, 2) y (1, (1, 3). Encuentra esas areas ´areas con determinantes de 2 en 2, e indica de forma escrita y gr´afica afica por qu´e deben d eben ser iguales. 300. Encuentre el volumen del paralelep´ paralelep´ıpedo con un v´eertice rtice en el origen y v´ertices erti ces adyacentes adyac entes en (1, (1, 0, 2) 2),, (1 (1,, 2, 4) y (7, (7, 1, 0) 301. Encuent Encuentre re una f´ ormula ormula para el ´aarea rea del tri´angulo angu lo cuyos v´ertices erti ces son 0, 0, v1 , 2 y v2 en R .
5.4.. 5.4
Determ Determina inante ntess y transf transfo ormacio rmaciones nes lin lineal eales es
302.. Sea 302 Sea T : R3
3 R
una transformaci´on on lineal con
→1
−
T 1 0
=
1 3 0
0 , T 1 1
=
2 1 4
0 , T 0 1
=
0 0 4
(a) Determina Determina la matriz matriz est´ andar andar asociada a a T T ,, biyectiva?, sugerencia: Use determinantes . (b) Es Es T (c) Encuent Encuentra ra el area a´rea del paralelogramo definido por las columnas de la T .. matriz asociada a la transformaci´on on T E acotada 303.. Sean 303 Sean a y b n´umeros umeros positivos. Encuentre el ´area area de la regi´on on E acotada por la hip´erbola erbol a cuya ecuaci´on on est´a dada por: 2
x2 a
2
− yb2 = 1
6 Valo alores res y vecto vectore ress propios ropios 6.1. 6. 1.
Valo alore ress y vecto vectores res pro propi pios os y el poli polino nomi mio o cara aracter´ er´ıst stiico
falso, y justifica: 304. Responde si es verdadero es verdadero o falso, a ) Una matr matriz iz A no es invertible si y solo si 0 es un valor propio de A. b ) Si x = λx para alg´ Si A = λ un un escalar λ escalar λ,, entonces entonces x es un vector propio de
A. c ) Si Ax = λx para alg´ Si A = λ un un vector vector x, entonces λ entonces λ es es un valor propio de A de A.. d ) Si v1 y v2 son vectores propios linealmente independientes, entonces Si
corresponden al mismo valor propio. e ) Si λ es Si λ es un valor propio de A de A,, entonces le corresponde un unico u ´ nico vector
propio de de A.
f )) Si x es un vector propio de A Si de A,, entonces le corresponde un unico u ´ nico valor
propio de de A. g ) Si Si λ + 5 es un factor del polinomio caracter´ caracter´ıstico de de A, entonces 5
es un valor propio de de A. h ) La multiplicidad multi plicidad de una un a ra´ ra´ız ız r de la ecuaci´on on caracter´ cara cter´ııstica st ica de A de A se
llama multiplicidad algebraica de de r de un valor propio de de A. i ) A es diagonalizable si P DP −1 para alguna matriz matriz D y alguna si A = = P
P invertible. matriz P matriz j ) Si P tal que Si A es diagonalizable, entonces existe una ´unica unica matriz matriz P
A = P DP −1 = P k ) Si Si A es diagonalizable, entonces existe una unica u ´ nica matriz matriz D tal que
A = P DP −1 = P l ) Si Si A es invertible, entonces entonces A es diagonalizable.
305. Sean Sean A =
1 6 5 2
, u =
6 5
y v =
−
3 2
−
.
−4? b ) ¿Es v un vector propio cuyo valor propio correspondiente es λ es λ = = −4?
a ) ¿Es ¿Es u un vector propio cuyo valor propio correspondiente es λ es λ = =
c ) Si Si v es un vector propio de A, ¿cu´al al es su valor propio correspon-
diente?
−2 3 −10 −12 −23 4
λ = 306. ¿Es ¿Es λ = 1 un valor propio de A de A = =
dos vectores propios correspondientes. 61
? Si es as´ as´ı, det determi ermina na
62
Cap Cap´ ´ıtulo 6. Valores y vectores propios
×
307. Explica por p or qu´e una matriz de 2 2 puede tener, a lo mucho, dos valores propios distintos. Tambi´ ambi´en en indica por qu´e una matriz de n n puede tener, cuando mucho, mucho, n valores propios diferentes.
×
308. Sin hacer hacer c´ calculos ´alculos excesivos, obt´en en un valor propio y dos vectores propios p ropios 2 2 2 linealmente independientes de de A = 2 2 2 . Justifica tu respuesta. 2 2 2
309.. Sean 309 Sean A =
− 1 0 1
0,5 0,2 0,3 0,3 0,8 0,3 0 ,2 0 0 ,4
, v1 =
0 ,3 0 ,6 0 ,1
− , v2 =
1 3 2
y v3 =
.
a ) Demuestr Demuestraa que los vectores vectores v1 , v2 y v3 son vectores propios de de A. b ) ¿Cu´ ales ales son los valores valores propios asociados a cada vector vector propio? propio? Uti-
liza la definici´on on para encontrarlos. c ) ¿Los vector vectores es v1 , v2 y v3 forman un conjunto linealmente indepen-
diente? d ) ¿Los tres tres vectore vectoress v1 , v2 y v3 pueden generar un espacio bidimensio-
nal? 310.. Sean 310 Sean A =
2 1
−
−1 2
y A2 =
5 4
−
−4 5
.
a ) Encuent 4I . Encuentra ra los valores alores y vectores vectores propios propios de de A, A−1 y A + 4I b ) Encuen Encuentra tra la traza traza y el determin determinan ante te de A y de de A2 , y relacionalos
con los valores propios de de A. 311.. Encuen 311 Encuentra tra los valores alores y vecto vectores res propio propioss de la sig siguie uient ntee matriz matriz 3 sim´etrica etrica y no invertible, i nvertible, cuya traza t raza es 4: A =
× 3,
− − − − 1 1 0
1 2 1
0 1 1
5 5 0 2 0 2 3 6 312.. Sea 312 Sea A = . Lista los valores propios reales, repetidos 0 0 3 2 0 0 0 5 de acuerdo con su multiplicidad.
−
−
313. Utiliza Utiliza una propiedad propiedad de los determinan determinantes tes para demostrar demostrar que que A y AT tienen el mismo polinomio caracter´ caracter´ıstico, por tanto, son similares . 314.. Demu 314 Demuest estra ra que si A = QR con Q invertible, invertible, entonces entonces A es similar a RQ.. A1 = = RQ
6.1. Valores y vectores propios y el polinomio caracter caracter´ ´ıstico
315. Sea Sea A =
5 1 2 4
0 3 1 2
0 0 3 2
− −
0 0 0 1
63
.
a ) Encuentr Encuentraa los valores alores propios de de A. b ) Encuentr Encuentraa los valores alores propios de de AT . c ) ¿Porqu´ e los l os valores propios de de A y AT son los mismos? d ) Encuentr Encuentraa el espacio propio propio de de A con el valor propio propio λ = 3. e ) Encuentr Encuentraa el espacio propio propio de de AT con el valor propio propio λ = 3. f )) ¿Son iguales los espacios anteriore anteriores? s?
316. Encuentra los valores valores y vectores propios propios de estas matrices, y compara los vectores propios y los valores propios de A y de de A + I : A =
1 4 2 3
A + I =
2 4 2 4
317.. Calcul 317 Calculaa los valores alores propio propioss y vecto vectores res propio propioss de A y A−1 . Revisa el polinomio caracter´ caracter´ıstico en cada caso y rellena adecuadamente la frase de abajo: 1/2 1 0 2 A−1 = A = 1 1 1/2 0
−
A−1 tiene ........... ................ ..... vectores vectores propios propios que A. Cuando A tiene valores valores propios λ1 y λ2 su inversa tiene valores propios.................... . propios 318. Calcula Calcula los valores alores propios propios y vectores vectores propios propios de de A y A2 . A =
− 1 3 2 0
A2 =
7 2
−
−3 6
A2 tiene los mismos ................ que A. Cuando Cuando A tiene valores propios λ1 y λ2 , A2 tiene valores propios.................... . En este ejemplo, ¿por qu´e λ21 + λ22 = 13? 319. Encuentr Encuentraa los valores valores propios de de A, B (f´acil acil para matrices triangulares) y A + B: A =
3 0 1 1
B =
1 1 0 3
A + B =
4 1 1 4
Los valores propios de A de A + B (son iguales a) (no son iguales a) los valores propios de de A m´ as as los valores propios de de B . 320. Si A = AB = AB =
1 0 1 1
1 2
B =
BA = BA =
1 2 0 1
3 2
1 3 1 1 BA , y responde a las siencuentra los valores propios de A, B , AB y BA, guientes preguntas:
64
Cap Cap´ ´ıtulo 6. Valores y vectores propios
(a) ¿Los valores valores propios propios de AB son iguales a los valores propios de de A por los valores propios de de B ? B A? (b) ¿Los valor valores es propios propios de AB de AB son son iguales a los valores propios de BA 321. Termina ermina la frase: frase: x es un vector propio de una matriz A (a) Si se sabe que que matriz A,, la forma de en λ el contrar λ contrar el valor propio al que est´a asociado asociado x es.............................. . (b) Si se sabe que λ es un valor propio de una matriz A, la forma de x un vector propio de A encontrar encontrar de A asociado asociado a λ a λ es.............................. es.............................. . λ . Enton322.. Se sabe 322 sabe que que x es un vector propio de la matriz con valor propio λ. x = λx de forma que puedas probar los siguientes ces, usa la ecuaci´on on A literales: (a) λ2 es un valor propio de de A2 . de A−1 . (b) λ−1 es un valor propio de (c) λ + 1 es un valor propio de de A + I . 323.. Sea 323 Sea Q = plano.
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
la matriz de rotaci´oon n para un ´angulo angulo θ en el
a ) Demuestr cosθ Demuestraa que los valores alores propios de la matriz son λ son λ = = cosθ
resolviendo la ecuaci´on on det(Q det(Q valores propios reales.
± isinθ
− λI ) = 0, de tal forma que no existen
− λI λI ))x = 0.
b ) Encuentra los vectores propios de Q resolviendo (Q (Q
Utiliza i2 = Utiliza
−1.
324. Obs´ervese ervese que una u na matriz de permutaci´ per mutaci´on on deja el vector vector x = (1 (1,, 1, , 1) intacto. Por tanto, tanto, x es un vector propio de una matriz de permutaci´on, on, y λ = 1 siempre es un valor propio para una matriz de permutaci´on on
···
cualquiera. Sean ahora las matrices de permutaci´on: on: P P =
0 1 0 0 0 1 1 0 0
y
Q =
0 0 1 0 1 0 1 0 0
Encuentra Encuent ra dos valores alores propios propios m´ as as (posible (posiblemen mente te comple complejos jos)) para para las P y Q. matrices de permutaci´on on P C adecuadamente 325.. Escoge 325 Escoge las las ultimas u ´ ltimas filas de A de A y y C adecuadamente para que A que A tenga tenga como valores propios a 4, 4, 7, y C a 1, 2, 3:
Matrices compa˜ neras: neras:
A =
∗ 0 1
C =
∗
0 1 0 0 0 1
∗
6.1. Valores y vectores propios y el polinomio caracter caracter´ ´ıstico
65
326. Demuestra las siguientes siguientes afirmaciones: afirmaciones: a ) los valor valores es propios propios de de A y de de AT son iguales. Para ello, demuestra det(A λI ) = det det((AT λI ), ), esto es, es, A y AT tienen el mismo que det( que po polin linomio omio caracter´ cara cter´ııstico. st ico. AT NO son iguales. Para ello, encuenb ) los vectore vectoress propios propios de A de A y y de de A tra un contraejemplo.
−
−
×
327. Encuentr Encuentraa 3 matrices 2 2 que no son la matriz nula y que tienen valores λ 2 = 0. propios λ1 = propios = λ Obs´ ervese ervese que la traza de estas matrices y el determinante ambos valen valen 2 cero, y y A = 0. 328. Sea la siguien siguiente te matriz no invertib invertible:. le:.
1 2 1
A =
2 1 2 =
2 1 2 4 2 4 2 1 2
Encuentre sus valores propios y los vectores propios asociados. 329. Sea la matriz
0 1 3 0 2 3 0 4 . A = B C = 0 0 6 1 0 D 0 0 1 6 C tiene valores propios El bloque bloque B tiene valores propios 1, 1, 2, el bloque bloque C 3, 4 y el bloqueD bloqueD tiene valores propios 5, 5, 7. Encuentra los valores propios de la matriz matriz A4×4 .
−
330. Encuentr Encuentraa el rango y los cuatro cuatro valores valores propios de de A y C . A =
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
C =
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
331. Si a las dos matrices del ejercicio anterior le resta restamos mos la matriz identidad, se obtiene: 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 C = I A = B = A I = = A 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0
−
− − − −− − − −− − − −
−
Encuentra los valores propios y el determinantes de estas matrices. 332. Encuentr Encuentraa los valores valores propios de de A, B y C . A =
1 2 3 0 4 5 0 0 6
B =
0 0 1 0 2 0 3 0 0
C =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b . Demuestra que si b = c + d,, entonces si a + + b + d c d (1 (1,, 1) es un vector propio. Encuentra los dos valores propios de A.
333. Sea la matriz matriz A =
66
6.1.1. 6.1 .1.
Cap Cap´ ´ıtulo 6. Valores y vectores propios
Diagon Diagonali alizac zaci´ i´ o on n
334.. Sea 334 Sea A de dimensi´on on 3 3 con dos valores propios y cada espacio propio es unidimensional, ¿es A diagonalizable? Justifica tu respuesta.
×
335. Demuestr Demuestraa que si A si A es es invertible invertibl e y diagonalizable, diagonal izable, entonces tambi´en en lo l o es − 1 A .
0,6 0,3 336.. Sean 336 Sean A = 0,4 0,7
3/5 4/5
y v1 =
.
a ) ¿Todos ¿Todos los vectores propios linealmente linealmente independientes independientes de A de A generan generan 2 R ?
b ) Encuentra una base de R2 que lleve un vector propio de A y otro
vector que no sea vector propio. c ) ¿Por ¿Po r qu´e A es diagonalizable? d ) Diagonali Diagonaliza za A.
337.. Sea 337 Sea A =
4 0 0 2 2 0 3 h 4 3 3 14
0 0 0 2
y h
R.
∈
a ) Encuent Encuentra ra los valores alores propios de de A. b ) ¿Cu´ al al es la multiplicidad algebraica de cada valor propio distinto?. c ) Determina Determina el valor valor de de h tal que el espacio propio asociado a a λ = 4
sea unidimensional. d ) Determina Determina el valor valor de h de h tal que la matriz matriz A sea diagonalizable.
338.. Sea 338 Sea A =
3 0 0 1
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
. Si es posible, diagonaliza diagonaliza A. Justifica, si no.
339. Construy Construyee una matriz matriz A de dimensi´on on 2 no sea diagonalizable. 340.. Sea 340 Sea A =
2 −2 −2 3 −3 −2 2 −2 −2
× 2 que sea invertible pero que
.
a ) Demuestr Demuestraa que que A es diagonalizable. b ) Encuent Encuentra ra dos formas diferentes diferentes de diagonaliz diagonalizar ar A.
341. Si es posible, posible, factoriza factoriza estas dos matrices matrices encontrand encontrandoo una matriz inve inverr− 1 S ΛS : tible S tal tible tal que que A = = S (a) A = (b) A =
1 2 . 0 3 1 1 . 3 3
6.1. Valores y vectores propios y el polinomio caracter caracter´ ´ıstico
67
S ΛS −1 encuentra una expresi´on 342. Si Si A = = S on para en t´erminos erminos de de A, S y S −1 para A3 y A−1 . para propio x1 = 343. Si Si A tiene tiene λ1 = 2 con un vector propio x2 = propio propio
1 y λ2 = 5 con vector 0
1 , usa usa S ΛS −1 para encontrar encontrar A. 1
S la matriz cuyas 344. Escribe cu´al al de estas afirmaciones es verdadera: sea S S es una matriz cuadrada y columnas son los vectores propios de A. Si S adem´ as as sus columnas son linealmente independientes, entonces: (a) A es invertible. (b) A es diagonalizable. (c) S es es invertible. (d) S es es diagonalizable. S que 345. Describe Describe todas las matrices matrices S que diagonalizan esta matriz A matriz A (encuentra todos los vectores propios): A =
4 0 1 2
Luego, describe todas las matrices que a diagonalizan A −1 . 346. Escriba la matriz m´as as general que tiene vectores propios
1 y 1
1 . 1
−
347. Escribe si es verdadero o falso: Si los valores propios de A son 2, 2, 5, entonces la matriz ciertamente es: (a) Invertib Invertible. le. (b) Diagonaliz Diagonalizable. able. (c) No diagonaliza diagonalizable. ble. (d) Ninguna Ninguna de las anteriore anteriores. s. 348. Escribe si es verdadero o falso: Si los ´unicos unicos vectores propios de A son m´ultiplos ultiplos de (1, (1, 4), entonces A entonces A : (a) No tiene inver inversa. sa. (b) tiene un valor valor propio repetido. repetido. (c) No es diagonalizab diagonalizable. le. A para calcular S 349. Diagonali Diagonaliza za A calcular S Λ Λk S −1 y as´ as´ı prob probar ar esta f´ormula ormula para para Ak : A =
2 1
−
−1 2
1 A = tiene tiene A 2 k
1 + 3k 1 3k
−
1 3k 1 + 3k
−
B y calcula ormula para para B k . 350. Diagonali Diagonaliza za B calcula S Λk S −1 para demostrar esta f´ormula B =
5 1 tiene tiene B k = 0 4
5k 0
5k
−4
4k
k
68
Cap Cap´ ´ıtulo 6. Valores y vectores propios
−1 y
351. Los valores valores propios propios de de A son 1 y 9, y los valores propios de B son 9. 5 4 4 5 . A = y B = 4 5 5 4
√ S ΛS −1 Encuentra una Matriz Ra´ Ra´ız Cuadrada de de A desde desde R = = S 6.1.2. 6.1 .2.
Ve Vecto ctores res prop propios ios y trans transfo forma rmacio ciones nes lineal lineales es
n R una transformaci´ 352.. Sea T 352 Sea T : Rn on on lineal tal que T que T ( ( x) = Ax en donde A es diagonalizable. Expresa a T como una composici´on a T como on de transforma P DP −1 . ciones lineales de tal manera que que A = = P
→
d2 bases para los espacios vectoriales 353.. Sean 353 Sean = = u1 , u2 , u3 y = d 1 , V V y W , W , respectivamente. Sea T : V W W una transformaci´on Sea T on lineal tal que T ( que ( u1 ) = 3d 1 5d 2 , T ( ( u2 ) = d 1 + 6 d 2 , T ( ( u3 ) = 4d 1 . Determina la T respecto a y matriz para para T respecto
B {
} D
−
B D
−
→
falso, y justifica: 354.. Respond 354 Respondee si es verdadero es verdadero o falso, AP y x es un vector propio de Si Si B = P −1 AP de A correspondiente a un 1
valor propio de λ de λ,, entonces P entonces P − x es un vector propio de B de B ta tambi´ mb i´en asociado a a λ. Se puede demostrar que la traza de un matriz matriz A es igual a la suma de los valores propios de A de A.. Comprueba este enunciado para el caso cuando A es diagonalizable. cuando GF )) para cualesquieSe puede comprobar que traza que traza (F G) = traza (GF F y G de ra dos matrices matrices F de n n. Si Si A y B son similares, entonces, traza (A) = traza (B ).
×
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