COMPENDIO DE EP2006-2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE

CALCULO INTEGRAL CB-131 VICTOR MONCADA CAJAVILCA

: : :

CICLO

2006 - II

FECHA

10.10.06

PROBLEMAS DE EXAMENES PARCIALES DE CALCULO INTEGRAL CICLO 2006-1 1.- Resolver las siguientes integrales: a) 2.- Si

∫

tg −1

1 3

0

∫

π

0

2 +tgx dx 1 −2tgx

senx 2 − sen

2

,

dx = M

x

b) ∫x e

(2.5 pts)

∫

calcule:

π

0

xsenx 1 +cos

2

4x

senx

(3.5 pts)

dx

(3.0 pts)

dx

x

3.- Analizar el valor de verdad de los siguientes enunciados. Justificar: 1 a) La función f ( x ) = es integrable sobre [ 1, e 2 ] (1.0 pts) x − x ln x b)

b

∫ f (x )dx a

=0

sólo si

f ( x) = 0

(1.0 pts)

c) Si f ( x ) = cosh x , x < 0 , entonces

cosh

− 1

(x ) =ln  

x2 − 1 −x   



(2.0 pts)

4.- Sea A( R ) = 1 +3x −1 , x ≥ 0 el área de la región R limitado por la gráfica de la función y = f ( x ) y el eje X . Hallar el valor medio de y = f ( x ) para x ∈[1, 8] . (3.0 pts) 5.- Determinar la gráfica de f si: y = f ( x) = x e −x +1 Indicando: a) Valores extremos e intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) Concavidad y puntos de inflexión c) Asíntotas. (4.0 pts) 2

CICLO 2005-2 1.- Evaluar las siguientes integrales: a)

1/ 2

∫

0

1 −x 1− x

2.- Calcular

1 h→0 h lim

(2.5 pts)

dx

∫

π 2

π 2

−8 h +7 h

b)

4

x

e  +  x x 2 x  e +e

∫

(

  dx Lnx + Lnx   1

)

sen ( x 2 ) dx

(4.0 pts)

(2.5 pts)

3.- Un balón de gas presenta una presión interna mediante la función x −x P ( x ) = 2e 2 − 3 x − 2e 2 donde x es la altitud con respecto al nivel del mar. Determinar la altitud a la cual se presenta la mayor presión.

(3.0 pts)

4.- Demostrar que:

1 2π

∫

2π 2 

 t   t   t     − π f  sen    dt = 0  f  sen   2π    2π    π 

0

5.- Bosquejar el gráfico de la función y rango

b) Simetría

f ( x) =

e1−x

(4.0 pts)

2

, indicando:

x 2 −1

a) Dominio

c) Valores extremos e intervalos de crecimiento y de

decrecimiento d) Concavidad y punto de inflexión.

e) Asíntotas.

(4.0 pts)

CICLO 2005-1 1.- Evaluar

lim

x→4

x 3 + x − 64 x −4

cos t + t dt t

x

∫4

(3.0 pts)

2.- La curva que describe un cable colgante entre 2 postes está descrita por la ecuación diferencial:

d2y dx 2

=

ρg T

 dy  1+   dx 

2

donde ρ es la densidad lineal del

cable, g es la aceleración debido a la gravedad, T es la tensión del cable en y = f ( x) =

su punto mas bajo. Verifique que la función

ρ g x cosh   ρg  T  T

solución de la ecuación diferencial.

(3.0 pts)

3.- Analizar el valor de verdad de los siguientes enunciados. Justificar a)

La función

b)

∫a

b

f ( x) =

f ( x )dx =0

1 x − x ln x

es una

es integrable sobre

(4.0 pts)

[1, e ] 2

f ( x) = 0

sólo si

1 −x   x −  Si f ( x ) = cosh x , x < 0 , entonces cosh (x ) =ln    4 4 4 Haciendo t = 1 + x se puede evaluar ∫−4 x 1 +x dx . − 1

c) d)

4.- Hallar a) 5.- Hallar

∫

f ′( x )

f ( x ) = ( cosh x )

e −x − 2e −3 x e

2x

+e

−2 x

−4

(3.0 pts)

dx

2

π /2

∫0

b)

4 cos x dx 9 + cos 2 x

(3.0 pts)

indicando su dominio si sec hx

x

 1  + senh  ln x  + 5 x 2  

x

+ ( x ) 2 ln x .

(4.0 pts)

CICLO 2004-3 1/ 2

a) ∫0

1.- Evaluar las siguientes integrales: b)

∫

( senx + cos x ) dx 3 + sen 2 x

(3.0 pts)

c)

1−x 1− x

(2.5 pts)

dx

e arctgx

∫ x 2 (x −2 +1)3 / 2 dx

(3.0 pts)

2.- Resuelva la ecuación: x

∫9

16 u

− 12

du

16 − u

2

=

(

)

(

)

2π 3 + Ln 2 + x − Ln 5 x − 10 − 2arctg   − Ln 5 3 2

3.- Dada la función f cuya regla de correspondencia es. trazar la gráfica de f, indicando:

i) Dominio y rango

(4.0 pts) f ( x) = −

xe x x +4

se pide

ii) Intervalos de

crecimiento y de decrecimiento. Valores extremos iii) Concavidad y punto de inflexión 4.- Sea

D

iv) Asíntotas.

(4.0 pts)

la distancia de rectas normales a la elipse

x = a cost,

y

y = bsent al origen de coordenadas. Calcular el valor medio de las distancias en el intervalo

0 ≤ t ≤π / 2

(3.5 pts)

CICLO 2004-1 1.- Calcular las siguientes integrales:

−2

a) ∫−3 b)

1

4.- Calcular : ∫0

F (x ) dx

x →0

⇒

0