Compendio de Cálculo
December 3, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN
FACULTAD DE QUÍMICA
Licenciatura Institucional en Química Aplicada
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Compendio
Funciones
2
Las funciones funciones y algunas algunas generalidad generalidades es ------------------------------------------------------------------------ 2 Catálogo Catálo go de funciones funciones -------------------------------------------------------------------------------------------------- 5 límites
11
Enfoque Enfoq ue informal informal de límite------------------------------------------------------------------------------------------ 11 11 Ejemplos Ejemp los resueltos resueltos de límites -------------------------------------------------------------------------------------15 Derivadas
18
Derivadas Deriva das por definición definición --------------------------------------------------------------------------------------------- 18 Reglas Regla s de derivación derivación --------------------------------------------------------------------------------------------------- 19 Diferenciac Difer enciación ión implícita implícita ---------------------------------------------------------------------------------------------- 22 Integrales
23
Método de sustitución sustitución ------------------------------------------------------------------------------------------------ 24 Método de sustitución sustitución trigonométri trigonométrica ca ------------------------------------------------------------------------ 25 25 Método de integración integración por partes ------------------------------------------------------------------------------ 29
1
Funciones Las funciones y algunas generalidades Las funciones son una herramienta para describir el mundo real en términos matemáticos, son los objetos fundamentales con los que trata el Cálculo. Una función puede representarse mediante una ecuación, una gráfica, una tabla numérica o mediante una descripción verbal. Las funciones surgen siempre que de una cantidad depende otra. Por ejemplo. a) La aceleración vertical a de suelo, medida por un sismógrafo durante un terremoto, es una función del tiempo transcurrido t. La figura 1 muestra una gráfica generada por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los Ángeles en 1994. Para un determinado valor de t, la gráfica proporciona un valor correspondiente de a. b) La población humana del mundo P depende del tiempo t. La tabla 1 muestra las estimaciones de la población mundial P(t) en el tiempo t, para algunos años. Por ejemplo: P(1960) 3 040 000 000 Pero para cada valor del tiempo ti empo t hay un valor correspondiente de P, por lo que decimos que P es una función de t.
≅
Figura 1
Tabla 1
Año 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2010
Población millones)
1650 1860 2300 3040 4450 6080 6870
2
Cada uno de estos ejemplos describe una regla según la cual, a un número dado (t), se le asigna otro número (P, a). En cada caso decimos que el segundo número es una función del primero.
Una función es una regla que asigna a cada elemento llamado de un conjunto exactamente elemento, , de un conjunto . un
3
Prueba de la recta vertical
A partir de la definición de una función se sabe que para toda en el dominio de corresponde un solo valor en el rango. Si toda t oda recta vertical que corte la gráfica de una ecuación lo hace en cuanto mucho un punto, entonces la gráfica es la gráfica de una función. La última declaración se denomina prueba de la recta vertical para una función. Por otra parte, si alguna recta vertical corta la gráfica de una ecuación más de una vez, entonces la gráfica no es la gráfica de una función.
Por ejemplo, en la figura 2 se muestran tres gráficas de funciones a las que se les aplica la prueba de la recta vertical, a) es una función, ya que en cualquier punto perpendicular al eje x la recta vertical corta solo una vez a la gráfica de la función, en cambio b) y c) no son funciones ya que la recta vertical corta sus graficas en dos y tres puntos respectivamente.
Figura 2
Dominio y rango de una función
= [, ]
Si se cuenta con una gráfica exacta de una función , a menudo es posible ver el dominio y el rango de . En la figura 3 suponga que la curva azul es la gráfica entera, o completa, de alguna función . Así, el dominio de es el intervalo sobre el eje , sobre y el rango es el intervalo sobre el eje . sobre
[,]
4
Figura 3
Funciones definidas por partes
Una función f puede implicar dos o más expresiones o fórmulas, cada una definida en partes distintas sobre el dominio de f. Una función definida de esta manera se denomina función definida por partes. Por ejemplo.
1 , < 0 = {0, 1, >= 00
no son tres funciones, sino una sola función donde la regla de correspondencia está dada en tres partes. Aunque el dominio de consta de todos los números reales , cada parte de la función está definida sobre una parte diferente de su dominio. Se grafica figura 4
∞,∞, ∞
Figura 4
= 1 < 0 0,=0 1 = 0 > 0
La recta horizontal El punto para
La recta
para
para y .
,
Combinación de funciones
Combinación aritmética: aritmética: Dos funciones y pueden combinarse en varias formas para
obtener nuevas funciones. y pueden combinarse por medio de las cuatro conocidas operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división. Si y son dos funciones, entonces la suma y el cociente
/
, la diferencia
se definen como sigue:
, el producto
,
== = ( ) = ≠ 0 ∘∘ = ∘∘ ∘∘ = ∘∘
Composición de funciones: funciones: si y son dos funciones, la composición de y ,
denotada por
, es la función definida por
La composición de y , denotada por .
.
, es la función definida por
Catálogo de funciones Función lineal
Cuando decimos que es una función lineal de , queremos decir que la gráfica de la función es una recta, de manera que podemos utilizar la forma pendiente-intersección de la ecuación de la recta para escribir una fórmula para la función como:
= = = 3 3 2 2 =33 2 2
donde es la pendiente de la recta y es la intersección de la recta con el eje . Un rasgo característico de las funciones lineales es que crecen a una razón constante. Por ejemplo, la figura 5 muestra una gráfica de la función lineal y una tabla con algunos de sus valores. Observe que cuando aumenta por 0.1, el valor de aumenta por 0.3. Así que aumenta tres veces más rápido que . De este modo, la pendiente de la gráfica , es decir 3, lo que puede interpretarse como la razón de cambio de respecto a .
5
6 Figura 5
Función polinomial
Una función se llama polinomial si
−
donde es un número entero no negativo y son constantes llamadas los coeficientes de la polinomial. El dominio de cualquier polinomial es . Si el coeficiente principal , entonces el grado de la polinomial es . Por ejemplo, la función es una polinomial de grado 6.
, , ,…, ℝ = ∞, = ≠0 − ⋯ ∞, ∞ = 2 √ 2 = = = >0 1
10
Figura 15
límites Las dos grandes áreas del cálculo, denominadas cálculo diferencial y cálculo integral, se basan en el concepto fundamental de límite.
Enfoque informal de límite
− = + 44 4 4 8 4 8 4.8.11 4.8.0011 4.8.000101 3.7.99 3.7.999 3.7.999 − 4 8 lim + = 8 →− ≠4 = +− = +− + = 4 = 4 4 = 4 8
Considere la función . Su dominio son todos los números reales re ales excepto el , y aunque no está definida, la podemos calcular en cualquier x cercano a . Por ejemplo la dos tablas siguientes muestran que cuando tiende a por la izquierda o por la derecha, parece que los valores de la función tienden a ; en otras palabras, cuando está próxima a , está cerca de .
El límite de
, cuando tiende a
es y se escribe así,
.
Si se puede simplificar . Como se puede observar en la figura 16 el gráfico de es casi el de una función lineal , solo que nuestra tiene un hueco en el lugar . Al mismo tiempo las flechas punteadas nos muestran que si se acerca a , se acerca a .
Figura 16
11
Suponga que denota un número finito. El concepto de que tiende a a medida que tiende a un número puede definirse informalmente de la siguiente manera.
Si
puede hacerse arbitrariamente próximo al número al tomar suficientemente cerca de, pero diferente de un número , por la izquierda y por la derecha de , entonces el .
lim = →
Notación:
El análisis del concepto de límite se facilita al usar una notación especial. Si el símbolo de flecha representa la palabra tiende, entonces el simbolismo
→
→ − → + →
indica que tiende al número por la izquierda
Es decir, a través de los números que son menores que , y
significa que tiende al número por la derecha
Es decir, a través de los números que son mayores que . Finalmente, la notación significa que tiende al número desde ambos lados
Límites laterales
= →lim
En general, una función puede hacerse arbitrariamente próxima a un número al tomar suficientemente cerca, pero sin que sea igual, a un número por la izquierda; entonces se escribe
→lim =
la figura 17 ejemplifica lo mencionado
Se dice que el número es el límite por la izquierda de cuando tiende a . De manera semejante, si puede hacerse arbitrariamente próxima a un número al tomar suficientemente cerca a, pero diferente de, un número por la derecha, entonces es el límite por la derecha de cuando tiende a y se escribe
Figura 17
12
Existencia o no existencia del límite
Por supuesto, un límite (por un lado, o por dos lados) no tiene por qué existir. Pero es importante no olvidar lo siguiente:
La existencia de un límite de una función cuando tiende a (desde un lado o desde ambos lados) no depende de si está definida en , sino sólo de si está definida para cerca del número . Por ejemplo, si la función
= +− , x ≠ 4 16 = 5,4 = 4 4 = 5 lim→−li m +− = 8
se modifica de la siguiente manera 13
Entonces
4
está definida y
, pero
figura 18 en general, el límite por los dos lados Si alguno de los dos limites laterales,
Si
→
. Como muestra la
no existe
o
no existe, o
, pero → →lim = y →lim = lim ≠ →lim
Figura 18
Teoremas sobre límites
No es aconsejable ni práctico, en ninguna instancia, llegar a una conclusión respecto a la existencia de un límite con base en una gráfica o tabla de valores numéricos. Debe ser posible evaluar un límite, o concluir su no existencia, de alguna forma mecánica. Los teoremas que se considerarán en esta sección establecen tales mecanismos.
El primer teorema proporciona dos resultados básicos que se usarán en todo el análisis de esta sección. Teorema 1 Dos límites fundamentales
Teorema 2 Límite de una función multiplicada por una constante 14
Teorema 3 Límites de una suma, de un producto y un cociente
Coloquialmente…
Teorema 4 Límites de una potencia
Teorema 5 Un límite no existe
Teorema 6 Límite de una raíz
Teorema 7 Existencia implica Unicidad 15
Ejemplos resueltos de límites Ejemplo 1 Uso del teorema 1
a) A partir del teorema 1, i )
b) A partir del teorema 1, ii )
Ejemplo 2 Uso de los teoremas 1ii) y 2
Ejemplo 3 Uso del teorema 3i)
Ejemplo 4 Uso del teorema 3iii)
Ejemplo 5 Uso del teorema 3i) 16 Ejemplo 6 Uso de teorema 3i) y 4
Ejemplo 7
Ejemplo 8 Uso del teorema 3
Ejemplo 9 Uso del teorema 3 y 5
17
Ejemplo 10
Derivadas Derivadas por definición La recta tangente a una gráfica de una función punto
es la recta que pasa por el
con pendiente dada por
,
= ℎ ℎ = l→im ℎ
18
siempre que el límite exista. Para muchas funciones suele ser posible obtener una fórmula general que proporcione el valor de la pendiente de la recta tangente. Esto se lleva a cabo al calcular
l→im ℎ ℎℎ
para cualquier (para la que existe el límite). Luego sustituimos un valor de después que se ha encontrado el límite.
+ +− l i m → =
define una función: una función El límite del cociente de la diferencia en que se deriva de la función original . Esta nueva función se denomina función derivada, o simplemente la derivada, de y se denota por .
´
A continuación, se mostrarán ejemplos de derivación por definición. Ejemplo 1
Encuentre la derivada de
= 2
Ejemplo 2
Encuentre la derivada de
=
19
Ejemplo 3
Encuentre la derivada de
=
Reglas de derivación
= 6
La derivación por definición tiene la desventaja evidente de ser más bien molesta y cansada de aplicar. Para encontrar la derivada de la función polinomial usando la definición anterior sólo es necesario hacer malabares con 137 términos té rminos en los desarrollos del binomio de y . Hay formas más eficaces para calcular derivadas de una función que usar la definición cada vez. En esta sección, y en las secciones que siguen, veremos que hay algunos atajos o reglas generales a partir de las cuales es posible obtener las derivadas de funciones como literalmente, con un truco de pluma.
4
ℎ ℎℎ
Potencias y sumas
Ahora analicemos las siguientes funciones:
20
observamos que cada coeficiente (indicado en rojo) corresponde al exponente original de en y que el nuevo exponente de en puede puede obtenerse a partir del exponente anterior (también indicado en rojo) al restarle 1. En otras palabras, el patrón para la derivada de la función potencia general es
′
Teorema 1 Regla de potencias
Teorema 2 Regla de la función constante
Teorema 3 Regla de la multiplicación por constante
Teorema 4 reglas de suma y diferencia
Productos y cocientes Teorema 1 Regla del producto
Teorema 2 Regla del cociente 21
Funciones trigonométricas trigonométricas Teorema 1 Derivadas de funciones trigonométricas
Regla de la cadena Teorema 1 Regla de potencias para funciones
Teorema 2 Regla de la cadena
Teorema 3 Derivadas de funciones trigonométricas
22
Diferenciación implícita
Integrales
′ ′ = 3 5 =
En el capítulo anterior se nos daba una función a la cual debíamos encontrar su derivada en términos generales lo que se hacía era encontrar la derivada de una función. Ahora bien pensemos una función como una derivada , a la cual debemos hallar su función original, o bien hallar la función de . A este proceso inverso de hallar la función original de una función dada, se llama anti derivación o bien integral indefinida.
′
3 3 5 = 0 ∫
es una anti derivada de derivada de ya que
, pues .
. Pero
también es una anti
1. En general, si es una anti derivada de , entonces también es una antiderivada de , donde es cualquier constante. 2. De igual forma, si es una anti derivada de y si es cualquier otra anti derivada de , entonces , para alguna constante . Notación:
denotará cualquier anti derivada de
denomina el integrando.
Teorema 1 Propiedades de la integral indefinida
Ejemplos de Integrales directas
. En esta notación
se
23
Método de sustitución Ahora bien, no todas las funciones a integrar se resuelven por el método directo, en cambio deben resolverse a través del método de sustitución. Tome en cuenta las siguientes funciones
Se reconocen los integrandos
24
Este tipo de funciones son de la forma
Pasos para realizar una integración por sustitución
Ejemplos de integración por sustitución
Como se pudo apreciar todos los términos de se sustituyen por términos de , y solo al final del proceso es necesario regresar a los valores en términos de .
Método de sustitución trigonométrica
Cuando un integrando contiene potencias enteras de y potencias enteras de
podemos evaluar la integral por medio de sustituciones trigonométricas. Los tres casos que consideramos en esta sección dependen, a su vez, de las identidades pitagóricas fundamentales escritas en la forma: 25
El procedimiento para una integral indefinida es semejante al análisis en las secciones anteriores • Hacer una sustitución en una integral. • Después de simplificar, efectuar la integración con respecto a la nueva variable. • Volver a la variable original por re sustitución.
= / =
Si se construye un triángulo rectángulo de referencia, uno donde , ,o como se muestra en la figura 19, entonces las otras funciones trigonométricas pueden expresarse fácilmente en términos de .
/ = /
Figura 19
Se toman las siguientes fórmulas: 1) 2) 3)
√ == a coscos √ == s sec √ = a tanan = s sec
Integración trigonométrica de la forma
Integrar la siguiente función
∫ −−
√
Tenemos que los valores a sustituir son:
2 = 2 coscos = 2 = 2cos 2cos 2cos 2cos = = 4 4 22 2 [221] = 2cos 2cos 1 1 2cos = = = = 22 2 2 2 4 = 14 tan
26
Entonces:
Entonces tenemos que: tatann lo=tanto:√4 Por
14 tan = 14 √4 1 = 4 4 4 √4
Respuesta:
Integración trigonométrica trigonométrica de la forma
√
∫ +/ 8/ = 8 8 = 8sec 8sec = 8 = 8 8 8 = lo g|g|sec 8tan =| 8 = = sec cos
Integrar la siguiente función
Tenemos que los valores a sustituir son:
27
Entonces:
Entonces tenemos que:
√ secsec = 8 64 tatann = 8√ 64 √ ln|sec t tanan| = ln 8 64 8 √ 64 8/ = ln 644 √ 64
Por lo tanto:
Respuesta:
Integración trigonométrica de la forma
Integrar la siguiente función
√
∫ √ −
Tenemos √ 1616 que =los √valores 4a sustituir son: 4 = 4 tanan
28
= 4sec 4sec = 4se4 secc θ tantan 4 sec 44 secsec θ tantan 1616(√(1s ec4tanta =n ln|sec 4 t an a n = 1 6 se sec c = ec tan | ) = 8s8 sec tan 8ln|sec tan | 2 secsec = 4 √ tatann = 4 16 8 4 √ 4 16 8ln4 √ 4 16
Entonces:
Entonces tenemos que:
Por lo tanto:
Respuesta:
√ 16 = 2 16 8ln 16
Método de integración por partes Existe una formula importante que puede usarse a menudo para integrar el producto de dos funciones. Para aplicar la fórmula es necesario identificar una de las funciones en el producto como una diferencial. Recuerde que si , entonces su diferencial es la función .
=
Cada regla de derivación tiene una correspondiente regla de integración. Por ejemplo, a la regla de sustitución para la integración, le corresponde la regla de la cadena para la derivación. La regla de integración que le corresponde a la derivación de un producto, se llama integración por partes.
=
[ ]] = ′
La regla del producto establece que si y son funciones derivables, entonces
En la notación para integrales indefinidas, esta ecuación se convierte en
[ ′ ]′] === = ′ = = = = ′
Reacomodando nos queda:
Si utilizamos la siguiente notación se hará un poco más fácil recordar la fórmula. Sea y . Entonces, las diferenciales son y , así que, por la regla de sustitución, la fórmula para la integración por partes se transforma en:
=
∫
El propósito de la integración por partes es remplazar una integración “difícil” una integración “fácil” .
∫
por
Proceso de integración por partes
1. Elegir y , nos apoyaremos con la fórmula ILATE (Inversas, Logarítmicas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales). será la primera función que cumpla con el orden de ILATE y la función restante. 2. Se obtiene la derivada y la integral de y respectivamente. 3. Se ordenan los valores hallados de la forma .
∫ ∫
4. se resuelven la nueva integral sencilla.
29
Ejemplos de integración por partes
Ejemplo 1
∫ cos
Hallar la integral de
Elegimos y
cos = = coscos
con ILATE: 30
es de tipo algebraica
es de tipo trigonométrica
Por ILATE observamos que Algebraica está justo antes de Trigonométrica por lo que y
Hallamos los valores necesarios
== = cos cos =
∫ cos cos = cos
Ordenamos los valores de la forma
Se resuelve la nueva integral sencilla
Respuesta
Ejemplo 2
∫ ln
Hallar la integral de
Elegimos y
con ILATE:
es de tipo Logarítmica es de tipo Algebraica
l1n ln = 1
Por ILATE observamos que logarítmica está justo antes de Algebraica por lo que y
Hallamos los valores necesarios
= ln ==1
∫ ln lnn = ln 1
Ordenamos los valores de la forma
Se resuelve la nueva integral sencilla
Respuesta
ln = lln 1
=
31
Ejemplo 3
Hallar la integral de
1 ∫ √ 1
Elegimos y
con ILATE:
es de tipo Algebraica es de tipo Algebraica
√ 1 = = == 231 1 ///
Por ILATE observamos que los dos términos son de tipo Algebraica. Cuando el integrando está formado por el producto de dos funciones algebraicas, es necesario tomar como , la parte más fácil integrable y como la parte más fácil derivable.
Hallamos los valores necesarios
∫ 23 1 23 1 2 1 2 1 32 1 341 15 3 4 1 2 √ 1 = 3 1 15
Ordenamos los valores de la forma
Se resuelve la nueva integral sencilla
Respuesta
32
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