Compendio Cálculo Estructural II
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COMPENDIO de Cálculo Estructural para ingeniería mecánica y aeronáutica Julio Massa, Juan Giró y Alejandro Giudici
Marzo de 2017
PRÓLOGO Este compendio cubre diecisiete capítulos para los cursos de Cálculo Estructural Avanzado para estudiantes de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Aeronáutica de la Universidad Nacional de Córdoba. Este material didáctico está orientado al diseño y análisis de estructuras que habitualmente son proyectadas por Ingenieros Mecánicos ó Aeronáuticos y se divide en tres partes: 1. Mecánica del sólido continuo, 2. Estabilidad del equilibrio y 3. Estructuras y componentes. Los estudiantes de Ingeniería Mecánica omiten el Capítulo 11, mientras que los alumnos de Ingeniería Aeronáutica omiten los últimos tres capítulos Los conceptos teóricos se complementan con ejercicios resueltos al final de cada capítulo. Marzo de 2017
Julio MASSA, Juan GIRÓ y Alejandro GIUDICI
ÍNDICE Capítulo 1
Ecuaciones fundamentales ..............................................................
Capítulo 2
Criterios de falla para tensiones combinadas ................................. 29
Capítulo 3
Cilindros con elevada presión ......................................................... 51
Capítulo 4
Teoría de placas ............................................................................. 73
Capítulo 5
Teoría de segundo orden para elementos prismáticos .................... 95
Capítulo 6
Cargas críticas de placas ................................................................. 117
Capítulo 7
Pandeo de cilindros ......................................................................... 133
Capítulo 8
Pandeo local de elementos compuestos .......................................... 151
Capítulo 9
Vigas curvas ................................................................................... 161
1
Capítulo 10 Vigas de pared delgada ................................................................... 177 Capítulo 11 Vigas compuestas y estructuras a recubrimiento resistente ............ 209 Capítulo 12 Método de los elementos finitos ..................................................... 233 Capítulo 13 Falla por fatiga ................................................................................ 277 Capítulo 14 Mecánica de fracturas ..................................................................... 313 Capítulo 15 Cañerías .......................................................................................... 325 Capítulo 16 Estructuras metálicas: Torres ......................................................... 363 Capítulo 17 Recipientes de presión .................................................................... 387
BIBLIOGRAFÍA General x Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, Budynas y Nisbett , 9º Ed., McGraw-Hill, 2012. x Diseño de Elementos de Máquinas, 4ta Edición, Robert L. Mott, Pearson Education, 2006. x Diseño de Elementos de Máquinas, 4ta Edición, Vigil M. Faires, Limusa, 1998. x Diseño de Máquinas, Hall, Holowenko y Lauglin, Series Schaum, McGraw-Hill, 1990. x Advanced Mechanics of Materials, Arthur Boresi and Richard Schmidt, John Wiley & Sons, 2006. x Failure of Materials in Mechanical Design, 2º Ed., Jack A. Collins, John Wiley & Sons, 1993. x Advanced Mechanics of Materials, Cook and Young, McMillan Publising Co. 2º Ed., 1998. x Mechanical Behavior of Materials, Dowling, Norman E., Pearson Education, 2013. x Roark's Formulas for Stress and Strain, 8th Ed., Warren Young, Richard Budynas and Ali Sadegh, McGraw Hill Companies, 2012. x Fundamentals of Machine Component Design, 5º Ed., Juvinall y Marshek, John Wiley, 2011.
Capítulos 1 y 2
Ecuaciones Fundamentales y Criterios de falla
x Introducción a la Teoría de la Elasticidad, 3ª Edición, Luis A. Godoy, Carlos A. Prato y Fernando G. Flores, Universitas, 2009.
Capítulos 5, 6, 7 y 8
Estabilidad del Equilibrio
x Buckling of Bars, Plates and Shells, Don Brush and Bo Almroth, McGraw Hill Companies, 1975. x Buckling of Bars, Plates and Shells, Robert Millard Jones, Bull Ridge Publishing, 2006.
Capítulo 12
Método de los elementos finitos
x El Método de los Elementos Finitos, Volumen 1: Formulación Básica, 4ta Edición, Zienkiewicz O., Taylor, R., Zhu J., McGraw-Hill, 2012. x El Método de los Elementos Finitos, Volumen 2: Mecánica de Sólidos, 4ta Edición, Zienkiewicz O., Taylor, R., McGraw-Hill, 2010. x Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos. Análisis Estático Lineal, Eugenio Oñate, CIMNE, 1995. Referencias históricas del Capítulo 12 x Energy Theorems and Structural Analysis, Argyris, J. and Kelsey S.; New York Press, 1955 (originalmente publicado en una serie de artículos en Aircraft Engineering, 1954 a 1955). x Elementary Matrices and Some Applications to Dynamics & Differential Equations”, Frazer, R., Duncan W. and Collar A.; Cambridge University Press, 1st Ed. 1938, 7th printing 1963. x Die Berechnung der Drehschwingungen, Holzer, H.; Berlin: Springer-Verlag, 1921. x A Structural Analysis Program for Static and Dynamic Response of Nonlinear Systems, Bathe, K., Wilson, E. and Iding, R.; Structural Engineering Laboratory, University of California, Berkeley, 1974. x The Finite Element Method in Structural and Solid Mechanics, Zienkiewicz O. and Cheung, Y.; McGraw Hill, London, 1967 y 1994. x Integrated Theory of Finite Element Methods, Robinson, J.; John Wiley & Sons, 1973
x The Finite Element Method, Rockey K., Evans H., Griffiths D. and Nethercot D., Ed. Granada, 1975 x Matrix Methods in Elastomechanics, Pestel, E. and Leckie, F.; McGraw-Hill, 1963. x Theory of Matrix Structural Analysis, Przemieniecki, J.; McGraw-Hill, 1968. x Backus, J. et al.; “The FORTRAN automatic coding System”, Proceeding. Western Joint Computer Conference, Los Angeles, California, 1956. x McHenry, D.; “A lattice analogy for the solution of plane stress problems”, Journal of Inst. Civil Engineering, 21, 59-82, 1943. x Myklestad, N.; “A new method of calculating natural modes of uncoupled bending vibration of airplane wings and other types of beams”, Journal of Aeronautical Sciences, April, 1944. x Turner, M.; “The direct stiffness method of structural analysis”, Structural and Materials Panel Paper, AGARD Meeting, Aachen, Germany, 1959. x Wilson E.; “SAP: A general structural analysis program”, SESM Report 70-20, Dept. of Civil Engineering, University of California, Berkeley, 1970. x Duncan,W. and Collar, A.; “Method for the solution of oscillations problems by matrices”, Phil. Mag. Series 7, 17, pp. 865, 1934. x Duncan, W and Collar, A.; “Matrices applied to the motions of damped systems”, Phil. Mag., Series 7, 19, pp. 197, 1935.
Capítulo 13
Falla por fatiga
x Budynas y Nisbett, Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, 9º Ed., McGraw-Hill, 2012. x Juvinall y Marshek, Fundamentals of Machine Component Design, 5º Ed., John Wiley, 2011. x Collins, Failure of Materials in Mechanical Design, 2º Ed., John Wiley & Sons, 1993. x Hall, Holowenko y Lauglin, Diseño de Máquinas, Series Schaum, McGraw-Hill, 1990. x Boresi y Schmidt, Advanced Mechanics of Materials, 6o Ed., John Wiley & Sons, 2003.
Capítulo 14
Mecánica de fracturas
x Fracture and Fatigue Control in Structures, 3º Ed., Applications of Fracture Mechanics - 3rd Edition, John Barsom and Stanley Rolfe, ASTM, 1999. x Comportamiento de un gasoducto con fisuras, J.C. Massa y A. J. Giudici, Revista Internacional de Desastres Naturales, Accidentes e Infraestructura Civil, vol. 9(1-2), pp. 143 -162, Año 2009. Descargar: http://academic.uprm.edu/laccei/index.php/RIDNAIC/article/viewFile/205/192 x Análisis de falla por fractura en gasoductos, José Stuardi, Leonardo Cocco, Guillermo Chiappero y Alejandro Giudici, Mecánica Computacional, vol. 32, pp. 1671-1686, 2013. Descargar: http://www.cimec.org.ar/ojs/index.php/mc/article/viewFile/4447/4377
Capítulo 15
Cañerías
x ASME/ANSI B31.1 Power Piping, American Society of Mechanical Engineers, 2014. x ASME/ANSI B31.3 Process Piping, American Society of Mechanical Engineers, 2014. x ASME/ANSI B31.8 Gas Transmission and Distribution Piping Systems, American Society of Mechanical Engineers, 2014. x R. K. Livesley, Matrix Methods of Structural Analysis, Pergamon Press, 1969. x Hayrettin Kardestuncer, Introducción al Análisis Estructural con Matrices, Mc Graw – Hill, 1975.
x John Robinson, Integraded Theory of Element Finite Methods, John Wiley & Sons, 1973. x SST Systems Inc., http://www.caepipe.com/, 2016. x Intergraph CADWorx & Analysis Solutions, http://www.coade.com/products/caesarii, 2016. x Bentley Systems, Incorporated, https://www.bentley.com/en/products/product-line/pipe-stress-andvessel-analysis-software/autopipe, 2016. x Pipingh Handbook, Mohinder L. Nayyar, 7th Edition, McGraw-Hill. 2000.
Capítulo 16
Estructuras metálicas: Torres
x ASME/ANSI B31.1 Power Piping, American Society of Mechanical Engineers, 2014. x ASME/ANSI B31.3 Process Piping, American Society of Mechanical Engineers, 2014. x ASME/ANSI B31.8 Gas Transmission and Distribution Piping Systems, American Society of Mechanical Engineers, 2014.
Capítulo 17
Recipientes de presión
x Pressure Vessel Handbook – Eugene Megyesy - Pressure Vessel Handbook Publishing, 14º Ed., 2008. x Pressure Vessel Design Manual, Dennis R. Moss and Michael M. Basic, Elsevier (ButterworthHeinemann), 2013. x Pressure Vessel Design Handbook, 2º Ed., Henry Bednar, Krieger Publishing Company, 1991. x Theory and Design of Pressure Vessels, John F. Harvey, Van Nostrand Reinhold Company, 1985. x ASME Boiler and Pressure Vessel Code (BPVC), Section II – Materials, American Society of Mechanical Engineers, 2015. x ASME Boiler and Pressure Vessel Code (BPVC), Section VIII - Rules for Construction of Pressure Vessels, American Society of Mechanical Engineers, 2015. x CIRSOC 102, Reglamento Argentino de Acción del Viento sobre las Construcciones, INTI; 2005. x CIRSOC 103, Reglamento Argentino para Construcciones Sismorresistentes, INTI; 2013.
Capítulo 1
ECUACIONES FUNDAMENTALES 1 INTRODUCCIÓN La mecánica de los medios continuos estudia los sólidos y los fluidos desde un punto de vista macroscópico basado en la mecánica clásica. Este capítulo está dedicado únicamente al estudio de sólidos. A tal fin se definen los desplazamientos y las fuerzas como vectores y las deformaciones y tensiones como tensores. Esas variables están esquematizadas en la Figura 1. Campos geométricos Campos vectoriales Campos tensoriales
Campos elásticos
u
f
Desplazamientos
Fuerzas
Deformaciones
Tensiones
Figura 1: Campos asociados a un problema elástico
Existen relaciones que permiten relacionar entre sí dichos campos ( ver Figura 2 ). Ellas son: i) relaciones cinemáticas entre deformaciones y desplazamientos, ii) relaciones constitutivas entre tensiones y deformaciones, que dependen del material, y iii) ecuaciones de equilibrio que relacionan fuerzas con tensiones.
u
f
Cinemáticas
Equilibrio
= (u)
f = f () Constitutivas
= ()
Figura 2: Relaciones entre los diferentes campos asociados a un problema elástico
Ejemplo: Para ilustrar los conceptos mencionados se considera la barra traccionada de la Figura 3.
Figura 3: Ejemplo simple de una barra en tracción
1. Ecuación cinemática
H
u / L ( Problema geométrico ).
2. Ecuación de equilibrio
F
VA
( Fuerzas y tensiones ).
3. Ecuación constitutiva
V
HE
( Depende del material ).
EA u ……..…. (1) L que es una ecuación de equilibrio en función del desplazamiento que corresponde al método de la rigidez. A es el área de la sección, L es el largo de la barra, u es el alargamiento y E es el módulo de Young del material de la barra. Empleando estas ecuaciones se llega a ……………....………......…. F
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2 ANÁLISIS DE TENSIONES 2.1 Vector tensión Se considera un cuerpo tridimensional para el cual interesa conocer las tensiones asociadas a un punto P de un plano. Dicho plano queda definido por la dirección normal Q . Notación: un tilde debajo de una variable significa que es un vector.
Figura 4: Tensión en un punto de una sección plana
De acuerdo con el principio de tensión cuando el área tiende a cero (ver figura 4 ) el cociente entre la carga ' Fv y el área ' A tiende a un valor definido V v . ( Recordar que realizamos un análisis macroscópico). El vector de tensión V v varía de punto a punto y también depende de la dirección Q . 'F dFv (2) lim v Vv A ' o 0 'A dA Como, en general, V v no coincide en dirección con el versor Q , se puede descomponer en una componente de tensión normal al plano V vv y otra componente de tensión cortante V vs contenida en el plano según se muestra en la Figura 5.
Vv
V vv V vs
V vv v V vs s
(3)
Figura 5: Descomposición del vector de tensión en una tensión normal y otra cortante
2.2 Tensor de tensiones Para estudiar el estado tensional en un punto de un cuerpo tridimensional se comienza definiendo una terna cartesiana t 1 , t 2 , t 3 (versores) y las tensiones V i asociadas a las caras de un cubo elemental cuyas caras coinciden con los planos coordenados (ver Figura 6 ).
Figura 6: Tensiones asociadas a las caras del cubo elemental en coordenadas cartesianas Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Cada vector de tensión V i ( Figura 6-a ) puede descomponerse en las tres direcciones cartesianas dando origen a las llamadas componentes cartesianas de tensión V ij , ( Figura 6-b) donde el primer índice indica el plano al cual se asocia la tensión y el segundo la dirección de la componente. Notar que cuando los índices son iguales se trata de tensiones normales y cuando son distintos de tensiones de corte. V 1 V 11 t 1 V 12 t 2 V 13 t 3 (4) V 2 V 21 t 1 V 22 t 2 V 23 t 3 V 3 V 31 t 1 V 32 t 2 V 33 t 3 Para abreviar la notación se utiliza notación indicial donde índices repetidos en un mismo término indican sumatoria.
Vi
V ij t j
(5)
El índice “i ” se llama índice libre, mientras que el índice repetido “ j ” indica una sumatoria para los posibles valores de j = 1, 2, 3. Más adelante se demuestra formalmente que ij son las componentes de un tensor cartesiano de segundo orden que en lo sucesivo llamaremos tensor de tensiones ij.
2.3 Relación entre el vector de tensión y el tensor de tensiones Se puede demostrar que cuando es conocido el tensor de tensiones en un punto se puede determinar el vector de tensión correspondiente a cualquier dirección arbitraria definida por un versor Q . Para ello basta considerar el equilibrio entre las fuerzas actuantes en las caras de un tetraedro elemental como se muestra en la Figura 7.
Figura 7: Fuerzas actuantes sobre las caras del tetraedro de Cauchy
V v dAv V 1 dA1 V 2 dA2 V 3 dA3 o bien en notación indicial:
(6)
0
V v dAv V i dAi
0 donde, aunque no lo hacemos aquí, se puede demostrar que: dAi vi dAv reemplazando y simplificando: V v vi V i 0 por lo tanto: V v Sustituyendo (5) en (9) y despejando se llega a:
Vv
V ij vi t j
(7) (8)
vi V i
(9)
(10)
Esta ecuación conocida como fórmula de Cauchy muestra que el tensor de tensiones ij define completamente el estado tensional en un punto ya que a partir de ese tensor se puede determinar el vector tensión V v asociado a cualquier plano definido por su dirección (versor ) Q . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Desarrollando (10) se tiene:
Vv
(V 1 j v1 V 2 j v2 V 3 j v3 ) t j (11) (V 11 v1 V 21 v2 V 31 v3 ) t 1 (V 12 v1 V 22 v2 V 32 v3 ) t 2 (V 13 v1 V 23 v2 V 33 v3 ) t 3 Aquí resulta obvia la conveniencia de usar notación indicial ya que (10) es más compacta.
Para hallar la componente normal del vector de tensión basta proyectar V v sobre la dirección Q (12) V vv V v v (V i m vi t m ) (v j t j ) recordando que los versores son ortonormales:
° 0... si... j z m ® °¯ 1... si... j m
tj tm
(13)
se tiene:
V vv
V i j vi v j
(14)
Para hallar la componente tangencial V vs se usa el teorema de Pitágoras ( Figura 5) y se tiene:
V v V vQ 2
V vs
2
(15)
2.4 Reciprocidad de las tensiones tangenciales El equilibrio de momentos alrededor del eje x1 en el cubo infinitesimal de la Figura 6-b, implica que: (V 23 dx1 dx3 ) dx2 (V 32 dx1 dx2 ) dx3 0 (16) y en consecuencia:
V 23
V 32
(17)
similarmente tomando momentos con respecto a los otros ejes se llega a la condición de reciprocidad:
V ij
V ji
(18)
que permite afirmar que el tensor de tensiones es simétrico.
2.5 Cambio de coordenadas Interesa saber cómo se transforman las componentes del vector de tensión V v y las componentes del tensor de tensiones V ij cuando se efectúa un cambio de coordenadas (ver Figura 8 ). Para el nuevo sistema utilizamos el índice prima.
ª t1 « «t 2 « «t ¬ 3
º » » » » ¼
ª O11 O12 « « O 21 O 22 « «O ¬ 31 O 32
O13 º ª t c1 º » « »
O 23 » < « t c2 »
» « » O 33 »¼ «¬ t c3 »¼
(19)
donde ij es la proyección del versor t i sobre el versor t cj En notación indicial (19) se escribe:
tm
Figura 8: Cambio de coordenadas Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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O m n t cn
(20)
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El vector de tensión puede expresarse en el sistema sin prima:
Vv
Vm t m
(21)
Vv
V nc t cn
(22)
o bien en el sistema prima como:
y teniendo en cuenta (20) se puede escribir (21) como:
Vv
Comparando (22) con (23) se tiene:
V nc
Omn V m
V m O m n t cn
(23)
n 1, 2,3 m 1, 2,3
(24)
La ecuación (24) muestra como se transforman las componentes del vector de tensión. Cada término contiene un solo coseno director mn, siendo ésta la característica de la transformación de un tensor de primer orden ( o sea un vector). Teniendo presente que la matriz de rotación tiene por inversa a su transpuesta, matricialmente se tiene t O t c , t c O T t . Indicialmente t cn Omn t m , llevando esto a (22) y comparando con (21) se muestra que:
Vm
O mn V nc
n 1, 2,3 m 1, 2,3
(25)
Mediante un razonamiento similar se puede ver como se transforman las componentes de tensión V ij . Expresando la componente normal V vv , que es un invariante, en ambos sistemas de referencia, según (14) se tiene:
V vv
V ij vi v j
V vv
V Acm Q Ac Q mc
(sistema sin prima )
(26)
(sistema prima )
(27)
Teniendo en cuenta (20) se puede escribir (26) como:
V vv
V ij (O iA Q Ac ) (O j m Q mc )
(28)
igualando los segundos miembros de (27) y (28), pasando todo al primer miembro y sacando factor común se tiene:
( V Ac m O iA O j m V ij ) Q Ac Q mc
(29)
0
Expresión que debe ser válida para cualquier dirección vc de modo que debe anularse el paréntesis, resultando:
V Ac m
O iA O j m V ij
(30)
En efecto, basta tomar vc (1,0,0) en (29) para demostrar que (30) se cumple para V 11c . c . Posteriormente eligiendo Tomando Q c ( 0, 1, 0) se demuestra que se cumple para V 22 Q c ( 2 / 2, 2 / 2, 0) y teniendo en cuenta lo anterior se demuestra que (30) es válida para V 12c . Similarmente se demuestra que (30) es válida para los restantes valores de “ A ” y “ m ”. La ecuación (30) muestra que V ij es un tensor de segundo orden. Recordar que lo que define el carácter tensorial de una variable es su ley de transformación; “ si en la ley de transformación hay dos cosenos directores en cada término estamos en presencia de un tensor de segundo orden ”
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2.6 Direcciones principales de tensión Anteriormente se vio ( Figura 5 ) que para cualquier dirección v arbitraria queda definida una tensión normal V vv y una tensión de corte V vs . Definiremos como direcciones principales ( si existen ) a aquellas direcciones para las cuales las tensiones cortantes son nulas.
V vs
0
v es una dirección principal
(31)
Esas direcciones principales resultan muy importantes porque según se demuestra más adelante tienen asociadas tensiones normales máximas (o mínimas) que se denominan tensiones principales.
0 se cumple cuando V v coincide con v , es decir: Vv V v donde V es un escalar. Reemplazando V v según la fórmula de Cauchy (10) y siendo v (V ij vi V v j ) t j 0 V ij vi V v j 0 porque para que se anule el vector deben anularse las tres componentes. La condición V v s
(32)
vj t j (33)
Desarrollando (33) se obtiene un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son las componentes de la dirección principal v v1 , v2 , v3 V 21 V 31 º ª v1 º ª 0 º ª V 11 V « » « » « » (34) V 22 V V 32 » < « v2 » « 0 » « V 12 « » « » « » «¬ V 13 V 23 V 33 V »¼ «¬ v3 »¼ «¬ 0 »¼ Para obtener una solución no trivial, y en consecuencia una dirección principal, debe anularse el determinante de la matriz de coeficientes.
V 3 I1 V 2 I 2 V I 3
(35)
0
donde:
I1
V ii
I2
1 2
( V ii V jj V ij V ji )
I3
det (V ij )
(36)
son tres valores: I1 , I 2 , I 3 que no dependen del sistema de coordenadas elegido, denominados invariantes de tensión. Desarrollando resulta:
I1
V 11 V 22 V 33
( traza de la matriz )
(37)
I2
V 11 V 22 V 22 V 33 V 33 V 11 ( V 122 V 232 V 132 )
(38)
Resolviendo (35) se encuentran las tres raíces que resultan reales y si además son distintas corresponden a tres direcciones mutuamente ortogonales. Esto se puede adelantar basándose en conocimientos de álgebra lineal. Supondremos que las tensiones principales distintas están ordenadas por tamaño:
V (1) ! V (2) ! V (3)
Tensiones principales:
(39)
Si se utilizan las direcciones principales correspondientes a esas tres tensiones principales distintas como sistema coordenado, el tensor de tensiones resulta diagonal.
V ij
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ª V (1) « « 0 « « 0 ¬
0
V (2) 0
6
0 º » 0 » » V (3) »¼
(40)
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Teniendo en cuenta (40) y (14) podemos escribir la tensión normal asociada a una dirección arbitraria v (v1 , v2 , v3 ) cuyas componentes están referidas a ejes principales como: (41) V vv V (1) (Q 1 ) 2 V (2) (Q 2 ) 2 V (3) (Q 3 ) 2 Teniendo en cuenta (39) y recordando que el módulo del versor v es unitario: 2 2 2 (Q 1 ) (Q 2 ) (Q 3 ) 1
(42)
se observa que el máximo valor de (41) corresponde a:
v1
v2
1;
v3
0;
V vv máx
0
V (1)
(43)
Notar que haciendo v (1, 0, 0) en el sistema coordenado usado en (40) se obtiene la dirección principal v 1 . Similarmente se puede demostrar que el valor mínimo para la tensión normal se obtiene de (41) cuando v ( 0, 0,1) y resulta:
V vv mín
V (3)
(44)
Es posible demostrar, aunque no lo hacemos aquí, que la máxima tensión de corte es:
V vs máx
1 2
(V (1) V (3) )
(45)
2.6.1 Caso particular donde una de las tensiones principales es nula Frecuentemente se anula alguna de las columnas del tensor de tensiones ( y la correspondiente fila por simetría). En tal caso, bosquejar el círculo de Mohr (como se indica en la Figura 9), ayuda a “recordar” las expresiones para las tensiones máximas (1), (3) y máx dadas en las ecuaciones (48). Pero hay que tener presente que el círculo de Mohr de la izquierda de la Figura 9 no es suficiente, ya que deben considerarse tres círculos de Mohr (no hay que olvidar a la tensión normal nula):
Figura 9: Círculos de Mohr para el caso de tensión plana
Ejemplos:
V ij
ª VD « « W « 0 ¬
A
W
0º » 0» 0 »¼
VE 0
;
2
V máx
V (1)
V mín
V (3)
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0 0 0
W º
» 0 » V E »¼
(46)
2
VD V E
V vs ( máx )
V ij
;
ª VD « « 0 « W ¬
W máx
R
§ VD V E · 2 ¨ ¸ W 2 © ¹
^ A R , 0 ` el menor entre ^ A R , 0 ` 1 (V V ) (1) (3) 2
(47)
el mayor entre
7
(48)
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2.6.2 Círculo de Mohr Un caso muy frecuente de transformación de coordenadas ( Sección 2.5 ) es la rotación de un sistema alrededor de uno de los tres ejes. Consideramos una rotación antihoraria alrededor de eje “z” como se indica en la Figura 10. Las componentes del tensor de tensiones en el sistema nuevo ( prima ) se pueden obtener a partir de las componentes en el sistema viejo (sin prima) considerando condiciones de equilibrio según (19), donde debemos recordar que las componentes de m n son las componentes del sistema viejo en el sistema nuevo.
Ox
( cos T , sen T , 0 )
Oy
( sen T , cos T , 0 )
Oz
( 0, 0, 1 )
(49)
Figura 10: Rotación del sistema de coordenadas alrededor del eje z
ªV xc º « » «V cy » « » «¬W xyc »¼
ª cos 2 T « « sen 2 T « «¬ sen T cos T
sen 2 T
2 sen T cos T
cos 2 T sen T cos T
º ªV x º » « » 2 sen T cos T » < «V y » » « » cos 2 T sen 2 T »¼ «¬W xy »¼
(50)
(50) también puede expresarse en función del ángulo doble (2 )
V xc
A B cos 2T W xy sen 2T
V cy
A B cos 2T W xy sen 2T
A
W xyc
B sen 2T W xy cos 2T
B
donde
Vx Vy (51)
2 Vx V y 2
Estas tres ecuaciones se pueden representar en un círculo de Mohr como se indica en la Figura 11. Se ubican en el eje de las abscisas las tensiones V x y V y ( V x t V y ). Importante: W xy es positivo si al actuar en la cara perpendicular a “x” tiene el sentido positivo del eje “y”. Regla: W xy positivo hacia abajo
A R
Vx Vy
B
2
Vx V y 2
2 B 2 W xy
radio
V xc
A R cos E ;
V máx
A R
W xyc
R sen E ;
V mín
A R
V cy
A (V xc A) ;
W máx
R
(52)
Figura 11: Cambio de tensiones normales y cortantes por una rotación alrededor del eje z
2.6.3 Caso general ( tridimensional ) Se debe calcular I1, I2 e I3, resolver la ecuación (35) y luego calcular los máximos según (43), (44) y (45). Generalmente no es importante determinar las direcciones principales (vectores propios ), pero si es necesario hacerlo se puede resolver el sistema (34) para cada uno de los valores propios (1), (2) y (3). Se sugiere al lector deducir (48) empleando (35) y (36). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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2.7 Ecuaciones diferenciales de equilibrio Se desea encontrar la relación de equilibrio entre las fuerzas másicas en un punto y la variación de las tensiones que se originan en las proximidades de ese punto. Estudiaremos el equilibrio del cubo elemental de la Figura 12 que es similar al de la Figura 6 .
Figura 12: Equilibrio del cubo elemental
Considerando el equilibrio de fuerzas (vectorial ) en las caras y en el volumen se tiene:
§ wV 3 · § wV 1 · § wV 2 · ¨ dx1 ¸ dx2 dx3 ¨ dx2 ¸ dx1 dx3 ¨ dx3 ¸ dx1 dx2 F dx1 dx2 dx3 © wx1 ¹ © wx2 ¹ © wx3 ¹
0
Simplificando y considerando componentes según la dirección “ j ” se tiene: wV 1 j wV 2 j wV 3 j Fj 0 wx1 wx2 wx3
(53)
(54)
que puede escribirse en notación indicial como:
wV ij wxi
Fj
0
(55)
Notar que se trata de tres ecuaciones (una para cada uno de los posibles valores del índice “j ” ) de cuatro términos cada una. Suponiendo conocidas las fuerzas másicas Fj ( x1 , x2 , x3 ) asociadas al volumen, y reconociendo la simetría del tensor de tensiones quedan aún seis incógnitas (componentes del tensor de tensiones) por lo que el sistema (55) es estáticamente indeterminado.
2.8 Condiciones de borde de tensión En el contorno del cuerpo también se debe cumplir equilibrio de fuerzas ( ver Figura 13). Por ello el vector de tensión asociado a la dirección normal a la superficie en cada punto es exactamente igual a la tensión producida por la fuerza distribuida sobre la superficie que llamaremos f . (56) Vv { f reemplazando V v según (9) (57) vi V i f Figura 13: Condiciones de borde de tensión
De la última ecuación vectorial se pasa a sus componentes usando (5) llegando a:
V ij v j
fi
(58)
Conclusión: Las componentes del tensor de tensiones son tales que equilibran las fuerzas másicas en el interior del cuerpo según (55) y satisfacen la condición (58) en el contorno. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Notar que (58) debe cumplirse aún en aquellos puntos en que f { 0. Más aún, en el caso en que f1 , f 2 y f 3 son todas nulas, la ecuación (58) no implica que todas las componentes de V ij sean nulas. En el caso de un cilindro cargado axialmente como se indica en la Figura 14, si se considera un elemento próximo a la cara lateral se observa que no hay tensión normal ni cortante asociada a la cara lateral pero si hay tensión normal en el sentido vertical. Un argumento similar puede hacerse para (55); la ausencia de fuerzas másicas (caso en que F1 0, F2 0, F3 0 ) en las proximidades (infinitesimales ) de un punto no implica que las tensiones permanecen constantes en las proximidades de ese punto.
Figura 14
Los razonamientos anteriores concuerdan con el hecho de que no es posible hallar las tensiones en un punto basándose solamente en las fuerzas (másicas o de superficie) que actúan en dicho punto.
3 ANÁLISIS DE DEFORMACIONES 3.1 Alargamiento específico de una fibra Se considera una fibra AB de longitud infinitesimal que antes de la deformación tenía dirección O ( versor ). Después de la deformación la fibra AB ocupa la posición AcBc y su longitud cambió de dr a dR . Denotamos u al desplazamiento del punto A. Para el punto B infinitamente próximo a A el desplazamiento es u du. Todo eso se indica en la Figura 15. r xi t i o dr dxi t i ½ dxi ° °¾ O (59) ® i dr °¯además dr dr O dr Oi t i °¿ Nos proponemos relacionar el alargamiento específico longitudinal de la fibra definida por O con los desplaza mientos del punto A :
EO
dR dr dr
dR 1 dr
(60)
Figura 15: Deformación de una fibra en la dirección
La longitud inicial es el módulo del vector dr :
dx12 dx22 dx32
dr
dr
de donde: Similarmente:
dR
2
2
dxi dxi
(dxi dui ) (dxi dui ) 2
dxi dxi
(61) (62)
dxi dxi dxi dui dui dxi dui dui
(63)
2
(64) dR dr dxi dui dx j du j dum dum Notar que se puede cambiar el índice repetido dentro de cualquier término sin cambiar el valor de la sumatoria que dicho índice repetido está indicando.
o también:
Por propiedad de diferenciales se tiene:
dui
wui wu wu dx1 i dx2 i dx3 wx1 wx2 wx3
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10
wui dxm wxm
(65)
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entonces (64) puede escribirse como: 2
dR dr
2
§ wu · · § wu j · § wu · § wu dxi ¸ dx j ¨ m dxi ¸ ¨ m dx j ¸ ¨¨ i dx j ¸¸ dxi ¨ ¨ ¸ © wxi ¹ © wxi ¹ © wx j © wx j ¹ ¹
(66)
§ wui wu j wum wum · ¨¨ ¸ dxi dx j wxi wx j ¸¹ © wx j wxi
(67)
o bien: 2
dR dr
2
A continuación se definen las componentes de deformación ij como:
1 2
J ij
§ wui wu j wum wum · ¨¨ ¸ x x w w wxi wx j ¸¹ j i ©
(68)
Entonces (67) puede escribirse como: 2
dR dr
2
2J ij dxi dx j
(69)
dxi dx j dr dr
(70)
dividiendo por ( dr dr ) se tiene: 2
dR 2 1 dr
2 J ij
y teniendo en cuenta (59) resulta: 2
dR 1 2 J ij Oi O j 2 dr Finalmente reemplazando en (60) se llega a:
EO
1 2 J ij O i O j
(71)
1
(72)
De (69) y (68) se deduce que los alargamientos específicos están relacionados con las derivadas de los desplazamientos.
3.2 Distorsión angular Al deformarse, las fibras además de alargarse ( o acortarse) giran produciendo variaciones en el ángulo ( ) formado por dos fibras ( y ) concurrentes en un punto (ver Figura 16). Resulta particularmente útil conocer la variación del ángulo entre fibras que antes de la deformación formaban un ángulo de 90° porque esa distorsión angular está asociada a tensiones cortantes. Se puede demostrar (no lo hacemos aquí) que el cambio de ángulo IOP entre dos fibras ( y ) a 90° (distorsión angular) está relacionado con las componentes de deformación J ij : Cambio de ángulo:
sen IOP
2 J ij O i P j 1 2 J ij O i O j
1 2 J ij P i P j
(73)
Figura 16: Variación del ángulo entre dos fibras concurrentes en un punto
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3.3 Tensor de deformaciones Según se observa en (72) y (73) las llamadas componentes de deformación J ij permiten calcular las deformaciones longitudinales y angulares en un punto de un sólido deformado. Dichas componentes definen completamente el estado de deformación en un punto. Interesa conocer como se transforman las J ij cuando se cambia el sistema coordenado. Para ello escribimos el invariante definido en (69). 2
2
(74) dR dr 2 J ij dxi dx j Teniendo en cuenta que la diferencia de los cuadrados de las longitudes antes y después de la deformación no depende del sistema de referencia empleado, se puede emplear un nuevo sistema que denotaremos con el superíndice prima, y escribir: (75) dR dr 2 J Acm dxAc dxmc Recordando como se transforman las componentes de un vector, ver (24), podemos escribir (74) como: 2 2 (76) dR dr 2 J ij (O iA dxAc ) (O j m dxmc ) Restando miembro a miembro (76) de (75) se obtiene: (J Acm O iA O j m J ij ) dxAc dxmc 0 y como dxc es arbitrario el paréntesis debe ser nulo: 2
2
J Ac m
O iA O j m J ij
(77)
Esto demuestra el carácter tensorial de las componentes de deformación ij ya que figuran dos cosenos directores en cada término y ésa es una característica de los tensores de segundo orden.
En (78) se define formalmente al tensor de deformaciones no lineal de Lagrange, ver (68).
1 2
J ij
§ wui wu j wum wum · ¨¨ ¸ wxi wx j ¸¹ © wx j wxi
(78)
Notar que si se intercambian los subíndices “i ”, “j ” en (78) se obtiene el mismo resultado. Por lo tanto el tensor de deformaciones resulta ser simétrico
J ij
J ji
(79)
Notar además que J ij es una función no lineal de las derivadas de los desplazamientos debido al término que contiene el producto:
wum wum wui wx j
(3 términos )
(80)
Hay que destacar que en (78) sólo intervienen variables geométricas por lo que se trata de una ecuación del tipo cinemática.
3.4 Interpretación física del tensor de deformaciones ij Si en (72) se hace coincidir a con alguno de los ejes de referencia, digamos el eje xi , se tiene i = 1 y j = 0 para , y resulta:
Ei
1 2 J ii 1
(81)
Ei 12 Ei2
(82)
Despejando se obtiene:
J ii
Notar que las componentes de la diagonal del tensor de deformaciones dependen de una manera no lineal de las deformaciones específicas longitudinales en las direcciones de los ejes coordenados. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Si en (73) se hace coincidir con el eje coordenado xi y se hace coincidir con el eje coordenado xj se obtiene: 2J i j (83) sen I ij 1 2 J ii 1 2 J jj donde considerando (81) se puede escribir:
2J i j
sen I ij
(84)
(1 Ei ) (1 E j )
y despejando se tiene:
J ij
1 (1 E ) (1 E ) sen I i j ij 2
iz j
(85)
Esta ecuación muestra que las componentes fuera de la diagonal del tensor de deformaciones dependen de una manera no lineal (debido a la función seno) de la distorsión angular Iij que sufren las fibras orientadas según dos ejes coordenados. Notar que la incidencia de las Ei en los términos fuera de la diagonal es pequeña porque Ei 1 y lo mismo ocurre con Ej.
Caso de pequeñas deformaciones En este caso se tiene Ei2 Ei 1 , entonces:
sen Ii j # Iij
(86)
considerando (82) y (85) se tiene:
ª E1 « J ij # « 12 I12 « « 1I ¬ 2 13
1 2
1 2
I12
1 2
I13 º
E2
1 2
I 23
I 23
E3
» » » » ¼
(87)
donde se observa que en el caso de pequeñas deformaciones el tensor de deformaciones tiene un sentido físico preciso.
3.5 Tensor lineal de deformaciones ij En la definición del tensor no lineal de deformaciones (78) el término
1 wum 2 wxi
wum wx j
(88)
representa un giro que generalmente puede despreciarse. Además, por lo general, las deformaciones son pequeñas y resulta
§ wu ¨¨ i © wx j
2
· wui ¸¸ wx j ¹
(89)
Podemos entonces definir el tensor lineal de deformaciones H ij como:
H ij
1 §¨ wui wu j 2 ¨ wx j wxi ©
· ¸¸ ¹
(90)
expresión mucho más simple que la correspondiente a ij en la ecuación (78) y que se utiliza en la mayoría de los casos. Notar que (90) es válida para pequeñas deformaciones y pequeños giros. Hay que remarcar que en el caso de pandeo resulta imprescindible utilizar el tensor no lineal de Lagrange ij dado en (78). Las distintas teorías se pueden resumir en el siguiente cuadro. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Cuadro resumen de las deformaciones según las distintas hipótesis
Tensor de deformaciones
Grandes deformaciones y grandes giros
§ · 1 ¨ wui wu j wum wum ¸ 2 ¨ wx wxi wx j ¸¹ © j wxi
J ij
Deformación específica Ei
Ei
Distorsión angular Iij
Iij
Pequeñas defor. grandes giros
1 2J ii 1
ª º 2 J ij arcoseno « » «¬ 1 Ei (1 E j ) »¼
Pequeñas defor. pequeños giros
H ij
J ij
§
·
1 ¨ wui wu j ¸ 2 ¨ wx ¸ © j wxi ¹
Ei | J ii
Ei | H ii
Iij | 2J ij
Iij | 2 H ij
4 ECUACIONES CONSTITUTIVAS 4.1 Modelos de comportamiento de un material En las secciones anteriores se presentaron las ecuaciones de equilibrio y las ecuaciones cinemáticas. Para definir completamente el problema deben especificarse, además, las características del material. Estas características en su forma más general se definen por ecuaciones que relacionan las tensiones con las deformaciones:
f1 (V ij )
f 2 (J ij )
(91)
Los materiales empleados en ingeniería presentan gran diversidad en cuanto a su comportamiento, el cual depende de su estado tensional y las variaciones en el tiempo. Para poder solucionar el problema se admiten modelos ( idealizaciones ) definidos por las funciones f1 (V ij ) y f 2 (J ij ) que aproximen a los resultados experimentales ( ensayos ) en el rango de tensiones y el tipo de variación que corresponda. Se ha desarrollado una variedad de modelos para cubrir la mayoría de los casos de interés práctico. Algunos son muy complejos y permiten estudiar problemas de plasticidad, fractura, creep, etc. En este curso por razones de tiempo limitamos nuestra atención al caso más simple correspondiente al material linealmente elástico e isótropo. Este modelo a pesar de su sencillez permite estudiar muchos problemas de interés práctico.
4.2 Materiales linealmente elásticos Para el caso linealmente elástico unidimensional en el sentido x1 se utiliza la conocida ley de Hooke, como se muestra en la Figura 17: V 11 E H11 (92) donde E es el módulo de elasticidad longitudinal del material. Esta idealización es una buena aproximación para muchos materiales. Para el caso de deformaciones de corte en una dimensión se tiene: (93) V 12 G 2 H12 Figura 17: Ley de Hooke
donde G es el módulo de elasticidad transversal. Notar que el factor 2 se origina en la definición de H12 , ver (87) y (128).
Para el caso tridimensional de tensiones resulta necesario relacionar el tensor de tensiones con el tensor de deformaciones mediante una relación del tipo:
V ij
Cij k Al J k A
(94)-a
V ij
Cij k Al H k A
(94)-b
(94)
donde Cijk A es un tensor de cuarto orden llamado tensor de elasticidad que contiene 81 componentes de elasticidad. En muchos casos por simplicidad se reemplaza a J k A por H k A Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
14
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El carácter tensorial de Cij k A se puede demostrar escribiendo (95) en el sistema prima y luego reemplazando V cpq según (30) y H stc según (77). Dado que V ij y H k A son ambos simétricos requieren solo seis componentes distintas cada uno. Para relacionar las seis componentes de tensión con las seis componentes de deformación bastan 36 componentes distintas. (95) V i Cij H j i, j 1, 2,.....,6 donde
V 1 V 11
V 2 V 22
V 3 V 33
V 4 V 12
V 5 V 13
V 6 V 23
H1 H11
H2
H 3 H 33
H4
H 5 H13
H6
H 22
H12
(96)
H 23
Para el caso general, si además existe una función para la energía de deformación se necesitan sólo 21 constantes distintas porque se puede demostrar que Cij es simétrico. Para el caso de materiales anisótropos que presentan algún tipo de simetría el número de constantes distintas se reduce. Tipo de simetría
diagonal
tetragonal
octogonal
13
7
5
Constantes independientes
Notar que un sólido posee simetría n-gonal si el sistema prima se obtiene por una rotación de valor 2S /n y resulta Cijk A C cpqAm
4.3 Caso de material elástico lineal e isótropo Un material es isótropo cuando posee las mismas propiedades en cualquier dirección. En este caso se puede demostrar que el número de constantes independientes requerido se reduce a sólo dos. Es común que el ingeniero utilice: E = Módulo de elasticidad o módulo de Young. = Módulo de Poisson. Recordar que para el ensayo simple de tracción ( ver esquema en la Figura 18 ) se tiene:
Vy
EHy
;
Hx
Q H y
( acero: Q | 0,3 )
(97)
El material elástico lineal e isótropo puede definirse también a través de las llamadas constantes de Lamé y . Por supuesto esas constantes están relacionadas con las constantes E y Q ya que hay sólo dos constantes independientes. Las relaciones son:
O Figura 18
EQ 1 Q 1 2Q
P
E 2 1 Q
G
P 3O 2P OP
E
Q
O 2 O P
(98)
Notar que la segunda constante de Lamé es el módulo de elasticidad transversal G.
Se puede demostrar que la relación (94)-b en el caso elástico lineal e isótropo se reduce a:
V ij
y también:
H ij
donde G ij es el delta de Kronecker
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
E ª Q º Hi j H kk G i j » « 1 Q ¬ 1 2Q ¼
(99)
1 Q Q Vij V kk G i j E E
(100)
G ij
15
1 ® ¯0
cuando i
j
cuando i z j
(101)
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En el caso de variación de temperatura debe agregarse, al segundo miembro de (99), el término: E (102) D 'T G ij 1 2Q Se propone como ejercicio para el lector desarrollar las ecuaciones (99) y (100) y reducirlas a su forma más sencilla posible. La solución, que incluye el cambio de temperatura, está en el anexo al final del capítulo en las ecuaciones (128) hasta (132) que son las que se utilizan en los problemas del práctico.
5 MÉTODOS GENERALES DE LA ELASTICIDAD LINEAL 5.1 Ecuaciones generales En elasticidad se trata con fuerzas, tensiones, deformaciones y desplazamientos. Las tensiones describen fuerzas en el interior de un cuerpo; las deformaciones se refieren a distorsiones locales y los desplazamientos a movimientos de los puntos. Estas variables están relacionadas entre sí a través de ecuaciones de distinto tipo como se muestra en las secciones anteriores: a) Ecuaciones de equilibrio: son relaciones entre las tensiones y: i ) las fuerzas por unidad de volumen F dadas en (55) o bien ii) fuerzas distribuidas en el contorno f dadas en (58):
wV ij son de origen físico.
wxi
Fi
V ij Q i
0
fj
(103)
b) Ecuaciones cinemáticas: relacionan deformaciones con desplazamientos. Para el caso de pequeñas deformaciones y giros, en (90) se definió,
H ij que es de tipo geométrico.
1 2
§ wui wu j ¨¨ x w wxi j ©
· ¸¸ ¹
(104)
c) Ecuaciones constitutivas: Relacionan tensiones con deformaciones. Para el material elástico, lineal e isótropo según (99) y (102) se tiene,
º E ª Q E H k k G ij » D 'T G ij «H ij 1 Q ¬ 1 2Q ¼ 1 2Q que tiene origen experimental.
V ij
(105)
Dado un cierto problema se tienen 15 incógnitas, a saber: 3 componentes de desplazamiento, 6 componentes de tensión y 6 componentes de deformación. Por otra parte, se cuenta con 3 ecuaciones de equilibrio, 6 ecuaciones cinemáticas y 6 ecuaciones constitutivas. Según como se sustituyan las ecuaciones unas en otras se tienen dos grandes métodos: el de rigidez y el de las fuerzas. Los problemas de elasticidad generalmente tienen las fuerzas másicas en el interior del cuerpo como datos y en el contorno se tienen dos zonas: una donde se conocen las fuerzas de superficie (nulas o no) y otra donde se conocen los desplazamientos (generalmente nulos ). Cuando se usa el método de la rigidez se resuelven primero los desplazamientos y cuando se usa el método de las fuerzas se calculan primero las tensiones.
5.2 Método de los desplazamientos - Ecuaciones de Lamé ( Método de la rigidez ) Comenzamos escribiendo las ecuaciones constitutivas (99) utilizando las constantes de Lamé (98):
V ij
2 P H ij O H mm G ij
(106)
A continuación sustituimos en las ecuaciones de equilibrio (103) ó (55)
w (2 P H ij O H mm G ij ) F j wxi
0
(107)
y en estas tres ecuaciones de equilibrio sustituimos las deformaciones empleando las ecuaciones Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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cinemáticas (104):
§ wu wu j w ª « 2 P 12 ¨¨ i wxi ¬« wxi © wx j
P
o bien:
w 2u j wxi2 w 2u j
P
· § wu wu ¸¸ G ij O 12 ¨ m m wxm © wxm ¹
w 2ui w 2 um G ij O Fj wxi wx j wxi wxm
·º ¸ » Fj ¹ ¼»
0
0
(108)
(109)
w 2ui w 2 um (110) Fj 0 O wxi2 wxi wx j wx j wxm ya que debido al G ij sólo subsiste el término en que “ i = j ”. En el segundo término podemos cambiar en índice repetido “i” y llamarlo por ejemplo “m” sin que altere el resultado de la sumatoria indicada por el índice repetido. Entonces las ecuaciones de Lamé son:
P
entonces:
P
w 2u j wxi wxi
P
P O
w § wum · ¨ ¸ Fj wx j © wxm ¹
0
i 1, 2,3 m 1, 2,3
(111)
Notar que hay dos sumatorias indicadas por los índices repetidos. El vector desplazamiento que satisface (111) en el interior del cuerpo y que también satisface las ecuaciones de desplazamientos y/o fuerzas en el contorno es la solución del problema. Las ecuaciones (111) son tres ecuaciones de equilibrio que una vez resueltas permiten hallar las deformaciones H ij ( usando las cinemáticas) y luego a partir de las ij se pueden hallar las ij ( usando las constitutivas ).
6 TEOREMAS ENERGÉTICOS 6.1 Identidad fundamental La expresión:
³
§ wu wu j · wV i j V i j 12 ¨ i dV { ³ Q j V i j ui dS ³ ui dV ¸ ¨ ¸ V S V © wx j
wxi ¹
wx j
(112)
es una identidad que se verifica a condición de que V ij V ji . La identidad se verifica independientemente de los valores V ij y ui estén o no relacionadas entre sí. Para demostrar (112) basta reordenar el primer miembro y aplicar el teorema de Green que establece que la divergencia en el volumen es igual al f lujo a través del contorno. Esta identidad es importante porque según sea el significado asignado a las variables tensiones y desplazamientos se obtienen los diferentes teoremas de trabajos virtuales.
6.2 Ecuación de trabajos virtuales Definimos como desplazamiento virtual G ui a cualquier desplazamiento posible compatible con las condiciones de borde y al cual puede asociársele un tensor de deformaciones virtuales.
1 §¨ wG ui wG u j ·¸ 2 ¨ wx j wxi ¸¹ © En el interior del volumen, la ecuación de trabajos virtuales establece que:
GH ij
³
V
V ij GH i j dV
³S
f
f i G ui dS ³ Fi G ui dV V
(113)
(114)
cuya interpretación física es la siguiente: El trabajo virtual interno es igual a la suma del trabajo virtual de las fuerzas de superficie más el trabajo virtual de las fuerzas de volumen. En esencia, (114) establece la igualdad entre el trabajo virtual interno y externo. Notar que del contorno “S” sólo se considera la parte “Sf ” donde las fuerzas de superficie fi son conocidas, ya que donde las fuerzas (reacciones ) son desconocidas, es decir en los apoyos, los desplazamientos virtuales son nulos. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Resulta simple demostrar que la ecuación de trabajos virtuales garantiza que se cumple equilibrio tanto en el interior del volumen como en la superficie de contorno “Sf ”. Partimos de la ecuación (112) que rescribimos como: wV i j (115) ³ V V ij GH i j dV ³ S Q j V i j G ui dS ³ V G ui wx j dV igualando el segundo miembro de (115) al segundo miembro de (114)
³ Q j V ij G ui dS ³ S
V
G ui
wV ij wx j
³
dV
S
fi G ui dS ³ Fi G ui dV
(116)
V
y reordenando términos
wV
ij ³ ( wx j F ) G ui dV ³ (Q j V ij fi ) V
S
G ui dS
(117)
Esta ecuación debe cumplirse para cualquier desplazamiento virtual G ui . Podemos suponer que dejamos fijo G ui 0 en “S ” mientras variamos G ui en V , entonces (117) se cumplirá sólo si
wV i j wx j
Fi
0
en V
(118)
Por lo tanto el primer miembro es nulo para cualquier G ui . La única forma de que se anule el segundo miembro para cada uno de los infinitos G ui z 0 posibles en S es que
v j V i j fi
0
en S
(119)
quedando demostrado que al cumplirse la ecuación de trabajos virtuales se satisface el equilibrio.
6.3 Teorema de trabajos virtuales De acuerdo con lo anterior se puede enunciar: “Para que un sistema de tensiones, fuerzas de volumen y fuerzas de superficie estén en equilibrio es necesario y suficiente que se cumpla la ecuación de trabajos virtuales para cualquier desplazamiento virtual ”. Notar que no se utilizaron las ecuaciones constitutivas y por lo tanto la ecuación de trabajos virtuales vale para cualquier material (incluso para materiales no lineales). El teorema se puede emplear de varias maneras. La más útil consiste en expresar las tensiones en función de los desplazamientos reales, empleando las ecuaciones constitutivas y cinemáticas. En ese caso (114) resulta una condición suficiente para que se cumpla equilibrio en función de los desplazamientos reales. Nota: de una manera similar, es posible establecer un teorema de trabajos virtuales complementarios. La ecuación de trabajos virtuales complementarios garantiza que se satisfacen las ecuaciones de compatibilidad.
6.4 Energía interna de deformación Como se indica en la Figura 19, se define la energía por unidad de volumen o densidad de energía W tal que:
dW
V i j dH i j
;
V ij
dW dHi j
(120)
Figura 19: Energía interna de deformación Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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La función W es tal que al derivarla con respecto al tensor de deformaciones se obtiene el tensor de tensiones; de manera que la existencia de W implica la existencia de una ecuación constitutiva. Para un sólido linealmente elástico resulta:
W
1 2
Hi j V i j
(121)
(9 términos )
Si además de ser linealmente elástico, el material es isótropo se tiene la ecuación constitutiva (106) o bien (99). Sustituyendo en (121) se tiene:
W
1 H (2 P H O G H ) ij i j mm 2 ij
(122)
de donde:
W
P H i j H i j 12 O H j j H m m
material lineal, elástico e isótropo
(123)
Notar que W es una función cuadrática en las deformaciones. Como además sólo contiene cuadrados es definida positiva, vale decir, H ij 0 W 0 y si H ij z 0 W ! 0 . Notar que en el caso de variación de temperatura a la tensión dada por (106) o bien (99) debe adicionársele el término (102).
E D 't 1 2Q
O (1 Q ) D 't Q
o bien
(124)
Si en (122) se reemplazan las deformaciones por las derivadas de los desplazamientos utilizando para ello las ecuaciones cinemáticas (90) se obtiene: 2
P § wui
wu j · O wum wul ¨¨ ¸¸ 4 © wx j wxi ¹ 2 wxm wxl
W
(125)
6.5 Energía potencial total Se define la energía potencial total de un cuerpo elástico, , como la suma de la energía interna de deformación más la suma de la energía potencial de las fuerzas exteriores. W dV ³ F u dV ³ f u dS (126) V S S es un funcional escalar porque la variable es una función. También depende del material a través de W definida según (123) o (125).
S
³
x
x
V
Partiendo de un desarrollo de Taylor para el funcional S puede demostrarse que si se anula la primera variación de S se satisface la ecuación (114) de trabajos virtuales (T.V.) y queda garantizado entonces el equilibrio.
GS
0
Se satisface la ecuación de T.V.
Se cumple equilibrio
(127)
6.6 Teorema de mínima energía potencial total El teorema de mínima energía potencial total establece que: “De todos los posibles desplazamientos u que cumplen con las condiciones geométricas de contorno, aquel que hace mínimo a S corresponde a un estado de equilibrio estable”. Es posible demostrar que la condición GS Lamé, ver (111).
0 es equivalente a integrar las ecuaciones de
Nota: También es posible definir el funcional S , denominado energía potencial complementaria; y haciendo GS 0 se puede garantizar que se cumplen las ecuaciones de compatibilidad. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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ANEXO DEL CAPÍTULO 1 Ecuaciones constitutivas para materiales elásticos, lineales e isótropos Tensiones en función de las deformaciones (99)
V 11
E ªH 1 Q Q Q 1 1 2Q ¬ 11
E D 't 1 2Q
V 12
E H12 1 Q
G 2H12
V 22
E ªH 22 1 Q Q H11 H 33 ¼º D 't ¬ 1 2Q 1 Q 1 2Q
V 13
E H13 1 Q
G 2H13
V 33
E ªH 33 1 Q Q H11 H 22 ¼º D 't ¬ 1 2Q 1 Q 1 2Q
V 23
E H 23 1 Q
G 2H 23
H 22 H 33 ¼º
E
E
(128)
Para obtener más exactitud en (128) se puede reemplazar a H k A por J k A . Deformaciones en función de las tensiones (100)
H11
1 ªV 11 Q V 22 V 33 º¼ D 't E¬
H12
1 Q V 12 E
V 12
H 22
1 ªV 22 Q V 11 V 33 º¼ D 't E¬
H13
1 Q V 13 E
V 13
H 33
1 ªV 33 Q V 11 V 22 º¼ D 't E¬
H 23
1 Q V 23 E
2G 2G
(129)
V 23 2G
Estado plano de tensiones: 33 = 0 V 33
0
H 33
Q 1 Q D 't H11 H 22 1 Q 1 Q
(130)
reemplazando (130) en las tensiones (128) se tiene:
V 11
E ªH11 Q H 22 1 Q D 't ¼º 1 Q 2 ¬
V 22
E ªH 22 Q H11 1 Q D 't ¼º 1 Q 2 ¬
V 12
E H12 1 Q
(131)
G 2 H12
Las relaciones inversas resultan:
H11
1 (V 11 Q V 22 ) D 't E
H 22
1 (V 22 Q V 11 ) D 't E
H12
1 Q V 12 E
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
20
(132)
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
PRÁCTICO
Ecuaciones Fundamentales
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1. Demostrar el carácter tensorial de las componentes de tensión V
ij
partiendo de la fórmula de
Cauchy.
2. Escribir en forma desarrollada las siguientes ecuaciones: a) VQQ (14)
c (30) b) V 13
c) (55) y (58) para j = 3
d) EO (72)
e) J 11 y J 22 (68)
f ) H11 y H12 (90)
3. Explicar cómo se demuestra la simetría en los siguientes casos: a) Tensor de tensiones.
b) Tensor de deformaciones.
4. En un punto interior de un sólido se ha computado el tensor de tensiones V i j (en kg/cm 2 ) resultando :
Vij
Se pide:
ª 820 « « « simet ¬
240 680
º » 0 » 200 »¼ 0
a) Determinar la máxima tensión normal y la máxima tensión cortante en el punto considerado. b) Determinar la tensión normal VQQ y la tensión cortante VQ s asociadas a un plano vertical bisectriz del primer octante.
c del tensor c) Usando el resultado 2-b, encontrar la componente V 13 de tensiones referido al nuevo sistema que se obtiene rotando un ángulo en sentido antihorario alrededor del eje x3.
D
arctg (4/3)
d) Hallar (matricialmente) el tensor de tensiones en el nuevo sistema definido en 4-c y comentar el resultado.
5. Para un sólido cilíndrico, de 1 cm de radio, sometido a torsión se conocen los desplazamientos: u1
x1 (1 cos ax3 ) x2 sen ax3
u2
x2 (1 cos ax3 ) x1 sen ax3
u3
12 a 2 ( x12 x22 ) x3
Material: Q
0,3
E
2100000 kg / cm 2
siendo a 0,001
Vf
2800 kg / cm 2
Se pide: a) Calcular H ij en A = [ 1, 0, 100 ] y con ese valor calcular V ijA . b) Calcular J ij en A y con ese valor calcular V ijA . c) Calcular H ij en B = [ 1, 0, 0 ] y con ese valor calcular V ijB . d) Calcular J ij en B y con ese valor calcular V ijB . e) Comparar los resultados obtenidos en a), b), c) y d). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
21
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
6. Escribir en forma desarrollada las ecuaciones (111) y (123). 7. Dado el siguiente estado de tensión plana: ¿se puede anticipar que H 33 es nulo ?
V ij
Si no es nulo calcular su valor. Nota: V i j está dado en [ kg/cm 2 ] y el material es acero.
8. Dado el siguiente estado de deformación plana: ¿se puede anticipar que V 33 es nulo?
H ij
Si no es nulo calcular su valor. Nota: el material es acero.
ª 1000 « « « ¬ simet
400 250
0,0003 ª 0,0010 « 0,0004 « « ¬ simet
0 º » 0 » » 0 ¼
0 º » 0 » » 0 ¼
9. Determinar el estado tensional y las deformaciones en el interior del cilindro confinado del croquis. Material aluminio E = 750000 kg/cm2
G = 275000 kg/cm2
Ignorar el rozamiento en las paredes.
10. Mediante 3 extensómetros eléctricos adheridos a la superficie libre plana de un sólido como se muestra en el croquis de la derecha se midieron las siguientes deformaciones:
H11
0,0001
H 22
0,0002
EO
0,0004
0,2 = 4000 kg/cm2
= 0,3
Material acero: E = 2100000 kg/cm2
Calcular la máxima tensión normal y la máxima tensión cortante. Ayuda: 1) Por ser superficie libre V 33
0.
2) Una vez conocidas las tensiones usar el círculo de Mohr.
11. Los desplazamientos de la cuña de la figura son: u1
0
u2
0,0005 x3
u3
0,001 x3
[cm]
Se pide: a) Hallar las fuerzas de volumen F = [ F1, F2, F3 ] necesarias para mantener el estado deformado. b) Hallar la fuerza de superficie f Nota: 1) Material acero:
[ f1 , f 2 , f 3 ] en las caras.
E = 2100000 kg/cm2
2) F y f son densidades: Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
0,2 = 3200 kg/cm2
= 0,3
Fi en [ kg/cm3] y fi en [ kg/cm2 ]
22
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
SOLUCIÓN del PRÁCTICO
Ecuaciones Fundamentales
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1
Demostración del carácter tensorial del tensor de tensiones: Ec. (25)
Ec. (10)
Ec. (20)
(V ij O ir O js ) Q rc tsc en el sistema sin prima VQ V rsc Q rc t cs en el sistema prima. Igualando y reordenando se tiene: ( V rsc V ij O ir O js ) Q rc tscs 0 ( V rsc V ij O ir O js ) Q rc 0 s ya que el vector nulo tiene todas las componentes nulas. Además Q c es arbitrario. Si Q c = (1, 0, 0 ) el paréntesis debe anularse para r = 1 Si Q c = (0, 1, 0 ) el paréntesis debe anularse para r = 2 Si Q c = ( 0, 0, 1 ) el paréntesis debe anularse para r = 3 En consecuencia el paréntesis se anula para todo ‘s’ y para todo ‘r’, por lo tanto:
VQ
V ij ( O ir Q rc ) ( O js tsc )
V ij Q i t j
V rsc
2
Forma desarrollada de varias ecuaciones dadas en notación indicial.
a)
Ec. (14)
VQQ
b)
Ec. (30)
V11Q1Q1 V12Q1Q 2 V13Q1Q 3 + V 21Q 2Q 1 V 22Q 2Q 2 V 23Q 2Q 3 V 31Q 3Q 1 V 32Q 3Q 2 V 33Q 3Q 3
V i j Q iQ j
Por simetría V i j
c V 13
V ji
V ij O ir O js
V 1 j Q 1Q j V 2 j Q 2Q j V 3 j Q 3Q j
VQQ
o
O iA O j 3 V ij
V 11Q 12 V 22Q 22 V 33Q 32 2V 12Q 1Q 2 2V 13Q 1Q 3 2V 23Q 2Q 3
O11 (O13 V 11 O 23 V 12 O 33 V 13 ) +O 21 (O13 V 21 O 23 V 22 O 33 V 23 ) O31 (O13 V 31 O 23 V 32 O 33 V 33 )
c)
Ec. (55)
wV i 3 F3 wxi
Ec. (58) V i 3 Q i
f3
0
wV 13 wV 23 wV 33 F3 wx1 wx2 wx3
V 13 Q 1 V 23 Q 2 V 33 Q 3
0
f3
Por similitud con el resultado 2 a) reemplazamos por 1
d)
Ec. (72) EO
ª1 2 V 11 O 21 V 22 O 22 V 33 O 32 2V 12 O1O 2 2V 13 O1O 3 2V 23 O 2 O 3 º 2 1 ¬ ¼ 2 2 2 wu1 1 ª§ wu1 · § wu2 · § wu3 · º «¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ » wx1 2 «© wx1 ¹ © wx1 ¹ © wx1 ¹ » ¬ ¼ 1 ¨§ wu1 wu2 wu1 wu1 wu2 wu2 wu3 wu3 ¸· 2 ¨ wx2 wx wx1 wx2 wx1 wx2 wx1 wx2 ¸¹ 1 ©
Ec. (68)
J 11
Ec. (68)
J 12
f)
Ec. (90)
H11
3
Demostración de la simetría del tensor de tensiones y del tensor de deformaciones.
a)
Ec. (18)
La simetría del tensor de tensiones se demuestra planteando equilibrio de momentos en un cubo infinitesimal.
b)
Ec. (78)
La simetría del tensor de deformaciones se demuestra por simple inspección de la ecuación de definición de dicho tensor.
e)
1 § wu1 wu1 · 2 ¨© wx1 wx1 ¸¹
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
wu1 wx1
H12
23
1 § wu1 wu2 · 2 ¨© wx2 wx1 ¸¹
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
4
Conociendo el tensor de tensiones en un punto (dato) se determinan las tensiones asociadas a un plano y se efectúa una transformación del tensor de tensiones.
a) Cálculo de la máxima tensión normal y la máxima tensión cortante en el punto considerado. Ec. (37)
I1
820 680 – 200
Ec. (38)
I2
820 x 680 680 x (–200) (–200) x 820 – (2402 – 02 – 02 )
200000
820 x 680 x (–200) – [(–240) x (–240) x (–200)] –100000000
Ec. (36) I 3 Ec. (35)
1300
det = V 3 1300 V 2 200000 V 100000000 0 V (1)
1000 V (2)
500 V (3)
200
Máxima tensión normal:
Ec. (43)
V máx V (1) 1000 ....................................... V máx
1000 kg / cm 2
Máxima tensión de corte:
Ec. (45)
W máx
1 (V V ) 1 >1000 (200) @ ( 3) 2 (1) 2
600 kg / cm 2
W máx
b) Tensión normal VQQ y tensión cortante VQ s en el plano vertical bisectriz del primer octante. Q
sen45 , o
Problema 2-a
VQQ
Ec. (11) VQ
VQ
cos 45o , 0
0,7071,
820 x ( 0,7071)2 680 x 0,70712 0 200 x (–240) x ( 0,7071) x 0,7071 0 0
990
[820 x 0, 70712 240 x 0, 7071 0] t1 > 240 x (0, 7071) 680 x 0, 7071 0@ t 2 > 0 0 0@ t 3
749,53 t1 311,13 t 2 0 t 3
Ec. (15)
0,7071, 0
VQ s
(992,5)2 (990)2
VQ
70 .................
2
2
(749,53) (311,13) 0
VQQ
2
992,5
VQ s
990 kg / cm 2
70 kg / cm 2
c del tensor de tensiones referido a un nuevo sistema coordenado. c) Componente V 13 = 53,13º sen = 0,8 cos = 0,6
Problema 2-
V 13c
0,6 x 0 0 0 0,8
x
x1c
x2c
x3c
x1
0,6
0,8
0
x2
0,8
0,6
0
x3
0
0
1
0 0 0 0 x 0 0 0
V 13c
0 ...................
0
d) Tensor de tensiones en un nuevo sistema coordenado Ec. (30)
V Ac m
O i A O j m V ij
O A
T
El cómputo se puede organizar matricialmente:
i
Vij
Ojm
( )A j
V Ac m
820
240
0
0,6
0,8
0
240
680
0
0,8
0,6
0
0
0
200
0
0
1
0,6
0,8
0
300
400
0
500
0
0
0,8
0,6
0
800
600
0
0
1000
0
0
0
1
0
0
200
0
0
200
Comentario: Todas las tensiones de corte se anulan en el nuevo sistema de referencia, lo que implica que los nuevos ejes son direcciones principales. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
24
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
5
En este ejemplo se muestra que el tensor lineal de deformaciones ij resulta inapropiado para describir estados de deformación donde los giros son grandes, aún en los casos donde las deformaciones son pequeñas.
El cilindro está empotrado en la parte inferior (x3 = 0), allí en el punto B, ij resulta adecuado, mientras que en el extremo superior (punto A) que ha girado (100 a) = 0,1 radianes = 5,7 grados, ij resulta totalmente inapropiado. Por otra parte ij da el resultado correcto en ambos extremos (puntos A y B ). Derivadas parciales:
wu1 wx1 wu1 wx2 wu1 wx3
wu2 wx1 wu2 wx2 wu2 wx3
cos ax3 1
sen ax3 x1 a sen ax3 x2 a cos ax3
wu3 wx1 wu3 wx2 wu3 wx3
sen ax3
cos ax3 1 x2 a sen ax3 x1 a cos ax3
a 2 x1 x3
a 2 x2 x3 1 a 2 ( x12 x22 ) 2
Componentes del tensor lineal de deformaciones:
H11
wu1 wx1
cos ax3 1
H12
1 § wu1 wu2 · ¸ 2 ¨ wx © 2 wx1 ¹
0
H 22
wu2 wx2
cos ax3 1
H13
1 § wu1 wu3 · ¸ 2 ¨ wx © 3 wx1 ¹
12 a x1 sen ax3 x2 cos ax3 a x1 x3
H 33
wu3 wx3
12 a 2 ( x12 x22 )
H 23
1 § wu2 wu3 · ¸ 2 ¨ wx © 3 wx2 ¹
12 a x2 sen ax3 x1 cos ax3 a x2 x3
Derivadas en el punto A
wu1 wx1 wu1 wx2 wu1 wx3
wu2 wx1 wu2 wx2 wu2 wx3
0,00499583
0,09983342 0,00009983
wu3 wx1 wu3 wx2 wu3 wx3
0,09983342
0,00499583 0,00099500
0,00000100
0 0,00000050
a) Se calcula H ij en A = [ 1, 0, 100 ] y con ese valor se calcula V ijA . 0 ª 49958 « 107 « 49958 « ¬ sim
Ec. (90)
H ij A
Ec. (128) 504 º » 4975 » V ij A » 5 ¼
0 0 ª 20176 º « » 804 » [kg / cm 2 ] 20176 « « » 12107 ¼ ¬ sim
b) Se calcula J ij en A = [ 1, 0, 100 ] y con ese valor se calcula V ijA . ª « 7 10 « « ¬
Ec. (78)
J ij A
0
0 0
sim
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
5
Ec. (128) º » 5000 » V ij A » 0 ¼
25
ª 0 « « « ¬ sim
0 0
º » 807,69 » [kg / cm 2 ] » 0 ¼ 0
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
Derivadas en el punto B
wu1 / wx1
0
wu2 / wx1
0
wu3 / wx1
0
wu1 / wx2
0
wu2 / wx2
0
wu3 / wx2
0
wu1 / wx3
0
wu2 / wx3
0,001
wu3 / wx3
0,0000005
c) Se calcula H ij en B = [ 1, 0, 0 ] y con ese valor se calcula V ijB . Ec. (90)
H ijB
ª 0 « « « sim ¬
º » 0,0005 » 0,0000005 »¼
0
Ec. (128)
0
0
V ijA
0 ª 0,61 « 0,81 « « sim ¬
º » 807,69 » [kg / cm 2 ] 1, 41 »¼ 0
d) Se calcula J ij en B = [ 1, 0, 0 ] y con ese valor se calcula V ijB . Ec. (78)
J ijB
ª 0 « « «¬ sim
0 0
0 0,0005 0
º » » »¼
Ec. (128)
V ij A
ª 0 « « «¬ sim
0 0
0 807,69 0
º » [kg / cm 2 ] » »¼
e) Comparación de los resultados obtenidos en a), b), c) y d). En el punto inferior ( punto B ) donde no hay giros, los resultados c) son correctos. En el punto superior ( punto A ) debido a que el giro es “grande” los resultados a) son totalmente incorrectos. Sabemos que en el caso de torsión de un cilindro no hay tensiones normales en el sentido radial del cilindro, pero empleando H i j de la parte a) obtenemos: A
Ec. (128)
V 11
2100000 > 4,996 x 0,7 0,3 x ( 4,996 0,0005) @ x103 1,3 x 0,4
que es 7 veces el valor de fluencia ( V f
20176 kg / cm 2
2800 kg / cm 2 ).
Notar que la tensión de corte máxima tiene un valor razonable, 807,7 kg/cm 2, que es un 58 % del valor de la tensión de corte en fluencia ( f 2800 / 2 ).
6
Forma desarrollada de las ecuaciones (111) y (123). Forma desarrollada de las ecuaciones de Lamé (111): Ec. (111)
§ w 2u j
P¨ ¨
2 © wx1
w 2u j wx22
w 2u j · § wu wu wu · P O ¨ 1 2 3 ¸ Fj 2 ¸ wx3 ¸¹ © wx1 wx2 wx3 ¹
j 1, 2,3
0
Forma desarrollada de la ecuación (123) para la energía interna de deformación: Ec. (123) W
7
P H112 H 222 H 332 2 H122 2 H132 2 H 232
O 2
H11 H 22 H 33
No se puede anticipar que 33 es nula. Se determina la deformación 33: Ec. (129) H 33
1 ª0 0,3 x 1000 250 º¼ 2100000 ¬
0,000107
V ij
2
ª 1000 400 « 250 « simet ¬
La Ec. (129) se usó asumiendo que estamos en el período elástico lineal ........ H 33
8
No se puede anticipar que 33 es nula. Se determina la tensión 33: Ec. (128)
V 33
2100000
ª0 0,3 x 0,001 0,0004 º¼ 727 1,3 x 0, 4 ¬
ª0,0010
H ij «
« simet ¬
0º 0» 0 »¼
0,000107
0,0003 0 º 0,0004 0 » 0 »¼
La Ec. (128) se usó asumiendo que estamos en el período elástico lineal ......... V 33 727 kg / cm 2 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
26
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
9
Determinación del estado tensional en un cilindro confinado. Datos: V 33
H11 0
1500 kg / cm 2
H12
por simetría
H 23
H 22
0
H 31
0
Ec. (98)
G
E 2 (1 Q )
Ec. (128)
V 33
1500
Ec. (128)
V 11
750000 x ª 0 0,364 x 0 0,001169 ¼ º .................. V 11 1,364 x 0, 273 ¬
857 kg / cm 2
Ec. (128)
V 22
750000 x ª 0 0,364 x 0 0,001169 º ¼ .................. V 22 1,364 x 0, 273 ¬
857 kg / cm 2
ª 857 « « «¬ simet
V ij
E 1 2G
Q
750000 1 2 x 275000
0,3636
750000 x ªH 33 0,636 0,364 0 0 º ¼ 1,364 x 0, 273 ¬
0 857
0 º 0 » [ kg / cm 2 ] » 1500 »¼
ª 0 « « «¬ simet
H ij
H 33
0 0
0,001169
0 º » 0 » 0,001169 »¼
Notar que V 12 V 23 V 13 0 y que H12 H 23 H13 0 pero de todas maneras hay tensiones cortantes en otras direcciones. Notar que la máxima tensión cortante resulta: Ec. (45)
W máx
1 > 857 (1500) @ 2
1 (V V ) ( 3) 2 (1)
321 kg / cm 2
10 Cálculo de la máxima tensión normal y cortante usando mediciones. El versor a 45 con el eje x es...... O o
EO 1
se despeja:
Ec. (72)
(0,0004 1)2 1 2
2
0,7071; 1
2
0,7071; 0
J ij O i O j
0,0001 x 0,70712 0,0002 x 0,70712 0 2 H12 x 0,7071 x 0,7071 0 0
2100000 0,00055 1,3
Despejando:
H12
Ec. (128) V 33
2100000 x ªH 33 0, 7 0,3 0, 0001 0, 0002 º ¼ 1,3 x 0, 4 ¬
0,00055
o
Ec. (128)
W12
0 ............ H 33
889 kg / cm 2 0,0001286
V 11
2100000 1,3 x 0, 4
0, 7 0,3 x 0, 0002 0, 0001286 º¼ ...... V 11
369, 23 kg / cm 2
V 22
2100000 x ª 0, 0002 x 0, 7 0,3 x 0, 0001 0, 0001286 º ¼ ....... V 22 1,3 x 0, 4 ¬
530,77 kg / cm 2
xª ¬ 0, 0001 x
A
> 369, 23 (530,77)@ / 2
450
Ec. (52) B
> 369, 23 ( 530,77)@ / 2
80,77
Ec. (52)
Ec. (52) W máx
R
Ec. (52) V 1
450 893
443 kg / cm 2
Ec. (52) V 2
450 893
1343 kg / cm 2
V máx
80,77 2 8892
1343 kg / cm 2
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
W máx
893 kg / cm 2
893 kg / cm 2
27
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11 Conociendo los desplazamientos se calculan las fuerzas en el volumen y en las caras de una cuña. Se utiliza el siguiente esquema:
u derivando o H
constitutivas o V
derivando o F y f
Se usa la Ec. (90) para las deformaciones y la Ec. (128) para las tensiones:
H11
wu1 wx1
0
H 33
H 22
wu2 wx2
0
H12
H13 H 32
1 § wu1 wu3 · 0 2 ¨© wx3 wx1 ¸¹ 1 § wu2 wu3 · 0,00025 2 ¨© wx3 wx2 ¸¹
0,3 x 0 0,001 º¼
1211
V 12
2100000
V 22
x ª 0 x 0,7 0,3 x 0 0,001 º ¼ 1,3 x 0, 4 ¬
1211
V 13
2100000
V 33
2100000
V 23
2100000
V 11
2100000
wu3 0,001 wx3 1 § wu1 wu2 · 0 2 ¨© wx2 wx1 ¸¹
1,3 x 0, 4
xª ¬0 x 0,7
2100000
1,3 x 0, 4
x ª ¬ 0,0001 x 0,7
0,3 x 0 0 º¼
2827
1 0,3
x0
1 0,3 1 0,3
x0
0 0
x 0,00025
404
a) Determinación de las fuerzas de volumen F = [ F1, F2, F3 ]
Cuando las tensiones son constantes las fuerzas de volumen son nulas. A modo de ejemplo se desarrolla (54) para el caso j = 1: Ec. (54)
wV 11 wV 21 wV 31 F1 wx1 wx2 wx3
0
F1
0
por lo tanto:
F1
0
F2
0
F3
0
b) Cálculo de las fuerzas de superficie f = [ f1, f2, f3 ] actuando sobre las caras de la cuña.
Para calcular las fuerzas externas sobre las caras se comienza determinando los versores normales a las caras y posteriormente se usa la ecuación (58):
Vij vj
Ec. (58)
Qj
fi
El cómputo se puede organizar matricialmente
V ij
1 0 1 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0,6 0 0,8
fi
0
0
0
1211
0
0
727
f1
0
404
0
1211
404
323
f2
0
404
404
0
404
2827
–2262
f3
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
28
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Capítulo 2
CRITERIOS DE FALLA PARA TENSIONES COMBINADAS 1 INTRODUCCIÓN En los casos de estados de tensión estática uniaxial resulta muy sencillo predecir la condición de falla o dimensionar la pieza de modo de evitar la falla. Para ello se utilizan los resultados de un ensayo de tracción obtenidos de la curva de tensión - deformación. Cuando el estado tensional es bidimensional o tridimensional la predicción de la falla ya no resulta tan simple. Se requeriría una variedad de ensayos donde cada una de las componentes de tensión se debería hacer variar en todo su rango de posibles valores y además tener en cuenta todas las combinaciones posibles entre las distintas componentes. Esos complejos ensayos resultan prohibitivos desde el punto de vista económico y aún imposibles desde el punto de vista físico para muchas de las posibles combinaciones de tensiones. Ante un problema tan complejo resulta justificado que se propongan teorías aproximadas que relacionan el comportamiento de una cierta “variable” en el caso complejo con el comportamiento de esa misma variable en un caso simple y verificable experimentalmente. El ensayo simple que se utiliza habitualmente como referencia es el ensayo de tracción. La característica común de los diferentes criterios de falla para tensiones combinadas es predecir la falla cuando el valor de cierta variable física predeterminada, alcanza en el estado multiaxial un valor igual al que dicha variable alcanza en el momento de la falla en un ensayo de tracción con el mismo material. Se han desarrollado docenas de criterios, algunos más exitosos que otros, que se pueden agrupar de la siguiente manera: 1) 2) 3) 4) 5)
Criterios basados en las tensiones. Criterios basados en las deformaciones específicas. Criterios basados en la energía de deformación. Criterios basados en la estructura de la materia. Criterios empíricos.
No existe ningún criterio que pueda aplicarse con éxito a todos los materiales. En realidad cada material daría origen a su propia teoría de falla. Los materiales isótropos pueden clasificarse en dúctiles y frágiles: Los materiales dúctiles se adaptan muy bien a ciertos criterios, mientras que los materiales frágiles se adaptan a criterios diferentes. En este capítulo sólo se presentan los cuatro criterios que se utilizan con mayor frecuencia: de la máxima tensión normal, de la máxima tensión de corte, de la energía de distorsión y de Mohr.
2 CRITERIO DE LA MÁXIMA TENSIÓN NORMAL ( CRITERIO DE RANKINE ) Se predice la falla en el estado tensional combinado cuando la tensión principal máxima alcanza un valor igual a la tensión normal máxima en el momento de la falla en un ensayo uniaxial ( tracción o compresión ) usando una probeta del mismo material. Considerando tensiones principales V 1 t V 2 t V 3 este criterio predice la falla cuando:
V1 t V t
o cuando
V3 d Vc
(1)
donde V t es la tensión de falla en tracción mientras que V c es la tensión de falla en compresión. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
29
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Las tensiones de falla que se adoptan ( V t y V c ) dependen del modo de falla elegido ( fluencia, rotura, límite de proporcionalidad, etc.) y del comportamiento del material. Este criterio sólo considera la máxima tensión principal sin tener en cuenta para nada a las restantes tensiones principales. Es un criterio muy pobre a los efectos de predecir el inicio de la fluencia. Para el caso de presión hidrostática ( V 1 V 2 V 3 ), este criterio predice la falla cuando V 1 V c , pero esta afirmación no se verifica experimentalmente para ningún material. Por el contrario, aún para altísimas tensiones hidrostáticas no se verifica ninguna plastificación. El criterio de Rankine no debe ser utilizada para materiales dúctiles. El criterio de la máxima tensión normal se adapta muy bien en el caso de fundición, existiendo muchos resultados experimentales que lo confirman. El criterio de Rankine es tal vez el mejor criterio para materiales frágiles.
3 CRITERIO DE LA MÁXIMA TENSIÓN DE CORTE ( CRITERIO DE TRESCA ) Se predice la falla en el estado tensional combinado cuando la tensión de corte máxima alcanza un valor igual a la tensión de corte máxima en el momento de falla en el ensayo de tracción usando una probeta del mismo material. Considerando las tensiones principales V 1 t V 2 t V 3 se puede obtener la máxima tensión cortante según la ecuación (45) del Capítulo 1:
W máx Para el caso de tracción simple V 2
1 2
(V 1 V 3 )
0 y V3
Wf
(2)
0 y en el momento de falla se verifica que 1V 2 f
(3)
De las dos últimas expresiones se deduce que el criterio de la máxima tensión cortante predice la falla cuando (4) W máx t 12 V f V1 V 3 t V f El criterio de Tresca es satisfactorio para materiales dúctiles. En realidad existe otro criterio, el de la energía de distorsión, que concuerda mejor con los resultados experimentales que el criterio de corte máximo en el caso de tensiones combinadas. Al aplicar el criterio de Tresca al caso de compresión/tracción hidrostática ( 1 = 2 = 3) a tensiones superiores a f , este criterio no predice falla lo que se ve corroborado por los experimentos. A modo de ejemplo se puede verificar que el criterio de la máxima tensión cortante (4) no predice falla para el estado: 1 = 9 f , 2 = 8,5 f , 3 = 8,01 f . Notar que si 1 y 3 son de igual signo existen casos que no producen falla donde 1 > f ; por ejemplo, cuando 1 = 1,1 f , 2 = 0,9 f y 3 = 0,2 f , el criterio (4) no predice falla. Notar también que si 1 y 3 son de distinto signo pueden darse casos de falla aun cuando las tres tensiones principales sean bastante inferiores a f ; por ejemplo, cuando 1 = 0,6 f , 2 = 0,2 f , 3 = – 0,5 f , el criterio de la máxima tensión cortante (4) predice falla ( lo cual es correcto).
4 CRITERIO DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN ( CRITERIO DE VON MISES ) Se predice la falla en el estado tensional combinado cuando la energía de distorsión por unidad de volumen alcanza el valor de la energía de distorsión por unidad de volumen en el momento de falla en el ensayo de tracción usando una probeta del mismo material. El criterio de Von Mises se desarrolló como una mejora respecto a otro criterio, debido a Beltrami, que predice la falla basada en la energía total de deformación y que no es satisfactorio. Expresando la energía interna de deformación, ecuación (121) del Capítulo 1, para un sólido linealmente elástico e isótropo en función de las tensiones principales y restando la energía asociada al cambio de volumen ( la deducción está en el Anexo 2 al final de este capítulo), se tiene: Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
30
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1 Q [ V 1 V 2 2 V 2 V 3 2 V 3 V 1 2 ] 6E donde Wd es la energía (densidad ) de distorsión y V 1 , V 2 , V 3 son tensiones principales. Wd
(5)
Para el ensayo de tracción se tiene ( 1 = f ) y ( 2 = 3 = 0 ) y la energía de distorsión resulta
Wd
1 Q (2 V 2f ) 6E
(6)
Por lo tanto el criterio de la energía de distorsión predice la falla si:
V 1 V 2
2
V 2 V 3 V 3 V 1 t 2V 2f 2
2
(7)
De todos los criterios referidos a materiales dúctiles, el criterio de la energía de distorsión es el que mejor se aproxima a los resultados experimentales. Más aún, a pesar de haberse deducido en el rango elástico mantiene validez en el campo plástico. Notar que si el criterio (7) de Von Mises predice que un estado ( 1, 2, 3 ) está en la zona segura, todo otro estado ( 1 2+ 3+ ! " #!!" " "" principales, "$! *" (2) > (3) se traza el mayor círculo de Mohr usando (1) y (3) y a partir del centro del círculo se traza una perpendicular a la envolvente de falla determinando los puntos P y Pc ( Figura 14 ). Entonces:
Cs donde: AP (V (1) V (3) ) /2
APc
R1 V t / 2
APc
A (V (1) V (3) ) /2
R2 ( R2 R1 )
R2
(63)
AP
R2 A R2 R1
Vc / 2
siendo V (1) ! V (2) ! V (3) tensiones principales Figura 14: Coeficiente de seguridad para material dúctil donde t c
Hay que notar que (63) se reduce a (62) cuando V c
Vt .
Tensión plana Cuando una tensión principal es nula, se calculan las otras tensiones principales I > II y se calcula el coeficiente de seguridad Cs considerando tres zonas. Recordar que V c es negativa. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
42
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V I ! 0 y V II ! 0
ambas positivas
o
Cs
Vt VI § V I V II · ¨ ¸ © Vt Vc ¹
distinto signo
V I ! 0 y V II 0
o
Cs
ambas negativas
V I 0 y V II 0
o
Cs
(64) 1
Vc V II
(65) (66)
donde hay que tener presente que V c es negativa y que I > II . El coeficiente de seguridad dado en (65) se deduce a continuación utilizando la Figura 15 que corresponde al 4º cuadrante de la Figura 5-b.
Figura 15: Deducción del coeficiente de seguridad del criterio de Mohr en el 4º cuadrante
Por semejanza de triángulos:
Cs
PcR ° ® °¯ OR
OPc
PcR
OR
OP
V2
V1
PcR
V t OR Vt
V 2 Cs
(67)
V 1 Cs
y también por semejanza de triángulos:
Vc
(68)
Reemplazando (67) en (68) y despejando se obtiene (65) que coincide con (13). El coeficiente en el 2o cuadrante se obtiene simetrizando respecto a la diagonal del 1o cuadrante. c) Material frágil donde ct En el caso de un material frágil donde la resistencia en compresión XcXes mayor que la resistencia a tracción t se usa el criterio de Mohr modificado. Se utiliza la Figura 5-c y se consideran sólo las tensiones (1) y (3) y se ignora el valor de (2). Por tratarse de un material frágil sólo interesan las tensiones máximas.
donde:
)1
Vt V (1)
V (1) ! 0 y V (3) d V (1)
o
Cs
Vt V (1)
(69)
V (1) ! 0 y V (3) ! V (1)
o
Cs
menor ^ )1 , ) 3 `
(70)
V (1) d 0 y V (3) 0
o
Cs
Vc V (3)
(71)
y
)3
Vc V (3) V (1) V c / V t 1
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
43
(72)
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Tensión plana: Cuando una tensión principal es nula, se calculan las otras dos tensiones principales I > II y se calcula el coeficiente de seguridad observando la Figura 5-c que corresponde al criterio de Mohr modificado, también relacionado con el criterio de Rankine. Para determinar el coeficiente de seguridad hay que distinguir tres zonas.
V I ! 0 y V II V I
o
Cs
Vt / VI
(73)
V I ! 0 y V II ! V I
o
Cs
V c / ª¬V II V I (1 V c /V t ) º¼
(74)
V I 0 y V II 0
o
Cs
V c / V II
(75)
donde hay que tener presente que V c es negativa y que I > II .
Anexo 5:
Tensión efectiva V ( Resumen )
Resumen de los valores de la tensión de comparación V que depende del material y de las tensiones. \ "!" ""
V en el caso general
Material
D Ú Vc Vt C T I L Vc ! Vt
Cs
1 [(V (1) 2
Vt
F R Á G I Vc ! Vt L
D
Vt Vc
Criterio o de falla N
V x2 V y2 V xV y 3W xy2
Energía de distorsión
1
Corte máximo
2
R A m A! R °° ® R AD ( R A) m A R ° m A R °¯D R A
Mohr
3
R A
Máxima tensión normal
4
R A m A!0 °° ® R A (1 2D ) m R A 0 ° m A d R °¯D R A
Mohr modificado
5
° R A ® °¯2 R
V (1) V (3) [V (1) V (3) ] 1 D
2 1 D [V (1) V (3) ] / V t
el mayor de
^
V (1) ; V (3)
(76)
V en tensión plana
V (2) ) 2 (V (2) V (3) ) 2 (V (3) V (1) ) 2 ]
Deducida de la ecuación (63) Vc
Vt V
`
V (1) m V (1) ! 0 V (3) d V (1) °° ®mayor ^V (1) ; )` m V (1) ! 0 V (3) ! V (1) ° m V (1) d 0 V (3) 0 °¯D V (3) donde ) D V (3) (1 D ) V (1)
m
A !R
m
A dR
V x , V y , W xy
V ij m tensor lleno tensiones principales V (1) ! V (2) ! V (3)
A
Vx Vy 2
V z W xy W yz
0
2
R
2 §Vx Vy · ¨ ¸ W xy 2 ¹ ©
t = tensión de falla en tracción. c = tensión de falla en compresión. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
44
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PRÁCTICO
Criterios de Falla
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1. En una sección rectangular de 3 cm x 2 cm de una estructura tridimensional se han calculado los esfuerzos indicados en el croquis. Se pide calcular el coeficiente de seguridad a fluencia en los siguientes casos: a) Material acero 1020: f = 2800 kg/cm2. b) Material fundición maleable: t = 2500 kg/cm2 c ^_`0 kg/cm2.
2. En una sección de un tubo se han calculado los esfuerzos indicados en el croquis adjunto. Diámetro exterior 8 cm y espesor 0,4 cm. Calcular el coeficiente de seguridad para los dos materiales del problema 1.
3. Dimensionar el eje horizontal de acero del croquis calculando el diámetro externo con un coeficiente de seguridad a fluencia dato: PH = 300 kg
f = 2600 kg/cm2
PV = 600 kg
CS t 1,8
a) eje macizo. b) eje hueco de espesor 0,5 cm.
4. Una cañería de 30 cm de diámetro externo lleva agua a presión p = 8 kg/cm2 y está apoyada cada 600 cm. Se pide:
a) Hallar el coeficiente de seguridad CS a fluencia sabiendo que el material es acero:
f = 3400 kg/cm2
peso = 0,00785 kg/cm3 b) Determinar el valor de la presión pf que produce falla por fluencia. Nota: Debido a la continuidad de los tramos suponer tramos biempotrados.
5. Calcular la tensión efectiva en el caso de un eje circular macizo sometido a flexión y torsión. Comparar los resultados de los distintos criterios (Rankine, Tresca y Von Mises).
6. Para los 4 materiales dados, calcular el C para cada uno de los 3 estados tensionales que se listan S
a continuación. Usar la tabla resumen del Anexo 5 en la página anterior y comparar con otras fórmulas para el CS. En todos los casos las unidades son [cm] y [kg]. Materiales 1 Dúctil 2 3 Frágil 4
t 2500 2500 2500 2500
c –2500 –3570 –2500 –5000
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
Tensiones
x
y
xy
x = xz = yz
1 2
1000 300
200 –500
300 300
0 0
3
–200
–1000
300
0
45
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SOLUCIÓN del PRÁCTICO
Criterios de Falla
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1 Cálculo del coeficiente de seguridad de una sección rectangular. N o VN
Tensión normal:
600 / 6
100
Las tensiones de corte de Jourasky tienen variación parabólica y máx ocurre en el centro de los lados:
Q2 o W 2 máx
1,5 x Q2 / A 1,5 x 320 / 6 80
Q3 o W 3máx
1,5 x Q3 / A 1,5 x 240 / 6 60
Tensiones por flexión
bh 2 /6 3 x 22 /6 2
W3
W2
M3 o V3
M 3 / W3
1600 / 2
800
M2 o V3
M 2 / W2
1500 / 3
500
2 x 32 /6 3
Para las tensiones por torsión se usan las fórmulas del caso 6 del Anexo del Capítulo 10: x a /b 2 / 3 CW
T CW b a 2
W 3 W máx (W 2 /W 3 )
W2
1 / 3 0, 225 x 0,1 x 2
1093 0, 2278 x 3 x 22
0, 2278
400
(0,74 x3 0,74 x 4 ) 0,89
(W 2 /W 3 )W máx
0,89 x 400
356
Para encontrar el punto crítico se calculan las tensiones en 8 puntos ( puntos A hasta H ) Material y criterio
ACERO Ec. (24) Criterio de Von Mises
Tensiones
VA VC VE VG
100 800 500 200 100 800 500 1400 100 800 500 400 100 800 500 1200
V B ® ¯W B
100 500 600
°V D ® °¯W D
100 800 900
°V F ® °¯W F
100 500 400
°V H ® °¯W H
100 800 700
CSC
FUNDICIÓN MALEABLE Criterio de Mohr
2800 /1400 2
80 356 436
60 400 340
CS D
2800
2,6
9002 3 x 3402
60 400 460
Coeficiente de seguridad Punto crítico Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
2800 7002 3 x 4602 CS = 2 punto C
46
3200 / (1400) 2, 29
CSG
2500 /1200 2,08
V D 450 r 4502 3402 V D 1 114 V D 2 1014 CS D
80 356 276
CS H
CSC
2,64
§ 114 1014 · ¨ ¸ © 2500 3200 ¹
1
2,76
V H 350 r 3502 4602 V H 1 928 V H 2 228 CS H
§ 928 228 · ¨ ¸ © 2500 3200 ¹ CS = 2,08 punto G
1
2, 26
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2 Cálculo del coeficiente de seguridad de una sección tubular. Área:
A
S (D2 d 2 ) / 4
S (82 7, 22 ) / 4
S (D d )
S (8 7, 2 )
64 D / 2
64 x 4
4
Módulo: W
4
4
9,55
4
17, 29
Para la torsión se usa 2W 99002 141602
M
VN
200 / 9,55
VM
17278 / 17, 29
WT
17278
20,9
11060 / (2 x 17, 29) V Punto A ® ¯W
Tubo: Espesor 0,4 cm Diámetro exterior 8 cm
999,3 319,8
999,3 20,9 319,8
999,3 20,9 V Punto B ® ¯ W 319,8
978, 4
1020, 2
a) Acero: Criterio de la energía de distorsión. Punto crítico: Punto B ............................ Ec. (24)
2800 /
CsA
978, 42 3 x 319,82
2800 / 1020, 22 3 x 319,82
CsB
2, 49
CsB
b) Fundición maleable: Criterio del corte máximo. Punto crítico: Punto A ................... en A: A V / 2 489, 2
R
489, 22 319,82
A V / 2 510,1
R
510,1 2 319,8 2
en B
Ec. (65)
CsA
§ 1073,7 95,3 · ¨ ¸ 3200 ¹ © 2500
584,5 V I 602,1
VI
-1
CsB
2,18
A R 1073,7 A R 92,0
§ 92,0 1112, 2 · ¨ ¸ 3200 ¹ © 2500
2, 41
CsA
V II V II
2, 41
2,18
A R 95,3 A R 1112,2
-1
2,60
3 Dimensionado de un eje solicitado a flexión y torsión (cálculo del diámetro) con un C
S
{ 1,8.
Esfuerzos en el punto crítico ( punto B) Momento flector máximo:... M Momento torsor:.................... T Hay que satisfacer el requisito Ec. (24) 1,8
d 2600
/
108002 18002 600 x 15
300 x 30
10949 9000
CS t 1,8 : 2
2
§ 9000 · § 10949 · 3 ¸ .......................................... Wreq t 9,30 cm ¨ ¸ 3 ¨ W W 2 © ¹ © ¹
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
47
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
a)
Sección llena
S D3
Módulo resistente: W
b)
Wreq t 9,30 ........................................ D t 4,56 cm
32
Sección hueca de espesor 0,5 cm
b-1) Cálculo aproximado: considerando sección de pared delgada, el módulo resistente aproximado Waprox se calcula con la fórmula de la última columna del Anexo del Capítulo 8:
Waprox
t S rm2
Wreq t 9,30 o
rm t 2, 433 o
D t 2 rm t ........... D t 5,37 cm
No se obtiene una buena aproximación porque el espesor no es muy pequeño, para ese diámetro, se puede verificar que el coeficiente de seguridad es 1,65 y no 1,8.
b-2) Cálculo exacto: Wexacto
S [ D 4 ( D 2 x 0,5)4 ] 64 x D / 2
por tanteos
Wreq t 9,30 o D t 5,577 ..... D t 5,58 cm
Se puede verificar que la sección hueca reduce el peso del eje a la mitad.
4 Cálculo del coeficiente de seguridad a f luencia Cs y del valor de la presión pf que produce falla por fluencia en una cañería de 30 cm de diámetro exterior y 0,5 cm de espesor, que lleva agua a presión. Tubo: Área S (30 29 ) / 4 46,34
Peso A
AU
46,34 x 0,0078 0,3614
Agua: Área S 292 / 4 660,5
Peso A
AU
660,5 x 0,001 0,6605
2
Carga q
2
0,3614 0,6605 1,022
Módulo W
S (304 294 ) 64 x 15
336,15
Tensión longitudinal V A debida a la flexión del tubo
q A2 12
M
1,022 x 6002 12
30660 o V A
M W
30660 336,15
91, 2
Tensión circunferencial V c causada por la presión interior ( p = 8 kg/cm2)
2V c e A
°V pd A o ® c °¯ V c
pd 29 p 2e 29 x 8 232
El punto crítico está en la parte inferior de los apoyos donde la tensión longitudinal ( V A tiene distinto signo que la tensión circunferencial ( V c 232 ).
91, 2 )
a) Cálculo del coeficiente de seguridad CS : Ec. (24)
CS
3400 (91, 2) 232 ( 91, 2) x 240 2
.................................................. CS 11,8
2
b) Cálculo de presión pf que produce la falla ( CS = 1 ) : Ec. (24)
3400
1
(91, 2) (29 p f ) (91, 2) (29 p f ) 2
2
p 2f 3,145 p f 13736 0 p f 115, 6 kg /cm2
Notar que p f z CS p (117,2 z 11,8 x 8 94,4 ) ya que se incrementó la presión mientras el peso propio ( tubo más agua) permaneció sin cambio. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
48
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5 Cálculo de la tensión efectiva en el caso de un eje circular macizo sometido a flexión y torsión usando distintos criterios (Rankine, Tresca y Von Mises) para comparar los resultados.
Ec. (18)
A
Ec. (18)
R
V 2 2
§ V · 2 ¨ ¸ W © 2 ¹
Por lo tanto R > A
I
Propiedades:
A2 W 2 ! A
A R
S d4 64
S d4
JR
W
32 M W
Tensión normal por flexión...... V
32
Tensión cortante por torsión.... W
2
2
§1 · 2 ¨ V ¸ W ©2 ¹
Ec. (18) R
S d3
§1 M · § T · ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 W ¹ © 2W ¹
2
1 2W
T 2W
M 2 T2
a. Criterio de la máxima tensión normal: Ec. (16)-c y (25) V
*
V (1)
A R
M 1 2W 2 W
M 2 T 2 ...... V *
1 2W
(M
M 2 T2
)
b. Criterio de la máxima tensión de corte: Ec. (31)
A R o V*
2 R .................................................. V *
1 W
M 2 T2
1 W
M 2 0,75 T 2
c. Criterio de la energía de distorsión: 2
2
Ec.(32)
V*
V 2 3W 2
§ T · § M · * ¸ ............... V ¨ ¸ 3 ¨ ©W ¹ © 2W ¹
Tabla resumen: Valores de * según el criterio utilizado y el tipo de solicitación Solicitación
T=0 Flexión pura
M=0 Torsión pura
Rankine ( máxima tensión normal )
M/W
0,500 M/W
Tresca-Guest ( máxima tensión de corte )
M/W
1,000 M/W
Von Mises (energía de distorsión)
M/W
0,866 M/W
Criterio
Conclusiones: 1) En el caso de f lexión pura los tres criterios son concordantes. 2) En el caso de torsión pura los tres criterios dan resultados diferentes. Aceptando que los ejes se fabrican con materiales dúctiles para los cuales se adecúa mejor el criterio de la energía de distorsión, podemos concluir que el criterio del corte máximo dará resultados conservativos mientras que el criterio de la máxima tensión normal dará resultados inadecuados y lo que es peor, inseguros. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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6
Para hacer comparaciones se calcula de varias maneras el coeficiente de seguridad, para 3 estados tensionales y para 4 materiales distintos.
Primero se calculan los valores de A y R que definen el círculo de Mohr y con ellos se calculan las dos tensiones principales no nulas. Los resultados se resumen en la siguiente tabla donde figuran: i) las tensiones no nulas dato (x, y, xy), ii) los valores característicos para trazar el círculo de Mohr (A y R), iii) las tres tensiones principales ((1), (2), (3)) y iv) las dos tensiones principales no nulas para ser usadas en las ecuaciones (64), (65), (66), (73), (74) y (75) que se dan en las dos últimas columnas. Estado tensional 1 2 3
Datos
Círculo de Mohr
Tensiones principales
Otras tensiones (64)-(66), (73)-(75)
Vx
Vy
W xy
A
R
V (1)
V (2)
V (3)
VI
V II
1000 300 –200
200 –500 –1000
300 300 300
600 –100 –600
500 500 500
1100 400 0
100 0 –100
0 – 600 –1100
1100 400 –100
100 – 600 –1100
Para cada uno de los 15 casos considerados (3 estados tensionales y 5 criterios de falla) se calculó el CS de tres maneras distintas. En la columna (4) se consideraron las fórmulas para la tensión efectiva en el caso general de un tensor lleno dadas en el Anexo 5 y con esa tensión efectiva se calculó el CS indicado en la columna (5). De manera similar pero considerando el caso particular de tensión plana se obtuvieron los resultados reportados en las columnas (6) y (7). Existe total concordancia entre los resultados de las columnas (5) y (7) excepto en el caso del material 2. Para ese material las diferencias en promedio son menores al 10 % y se deben a que en el caso de tensor lleno se adopta el criterio de la Figura 14 que no concuerda con lo propuesto en la Figura 5-b para el caso de tensión plana. En la columna (9) se muestra el CS calculado con: i ) las ecuaciones (16), (17) y (24) dadas en el punto 8 del Capítulo 2 para materiales con igual resistencia en tracción y compresión y ii ) las fórmulas dadas en el Anexo 4 del Capítulo 2 para materiales donde XcX~t. Notar que hay total concordancia entre los resultados mostrados en las columnas (7) y (9). Eso se debe a que las fórmulas utilizadas tienen un origen común. En un caso se calcula directamente el CS y en otro a partir de la tensión efectiva V * .
Material (1)
Fórmulas del Anexo 5 del Capítulo 2 Caso general Tensión plana V* V* CS CS
Criterio de falla
Estado tensional
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1054 872 1054 1100 1000 1100 1001 840 877 1100 600 1100 1100 500 550
2,37 2,87 2,37 2,27 2,50 2,27 2,50 2,98 2,85 2,27 4,17 2,27 2,27 5,00 4,54
1054 872 1054 1100 1000 1100 1100 820 770 1100 600 1100 1100 500 550
1 Von Mises 1 2 Tresca 2
3 Mohr
3
4 Rankine
4
5 Mohr modificado
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Otras fórmulas para el coef. de seguridad Ecuación
CS
(7)
(8)
(9)
2,37 2,87 2,37 2,27 2,50 2,27 2,27 3,05 3,25 2,27 4,17 2,27 2,27 5,00 4,54
(24) (24) (24) (17) (17) (17) (64) (65) (66) (16) (16) (16) (73) (74) (75)
2,37 2,87 2,37 2,27 2,50 2,27 2,27 3,05 3,25 2,27 4,17 2,27 2,27 5,00 4,54
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Capítulo 3
CILINDROS CON ELEVADA PRESIÓN 1 INTRODUCCIÓN Existen numerosos problemas de interés práctico que presentan simetría respecto a un eje y pueden analizarse ventajosamente utilizando coordenadas cilíndricas. Problemas de este tipo son frecuentes en ingeniería, lo que justifica, de por sí, su estudio. Además, tratar el problema de cilindros de pared gruesa es una oportunidad para utilizar las ecuaciones fundamentales de la elasticidad y ganar experiencia en el manejo de las mismas. La teoría de la elasticidad provee las ecuaciones básicas para cada problema, pero sólo en unas pocas excepciones es posible encontrar la solución exacta en forma analítica. Lo habitual es usar métodos numéricos aproximados, generalmente el método de elementos finitos. En el caso de cilindros gruesos debido a la simetría geométrica, cuando se dan ciertas condiciones de simetría de las cargas, por ejemplo presión interior, es posible encontrar la solución exacta en forma de expresiones analíticas que describen las tensiones y los desplazamientos en todos los puntos en función de sus coordenadas.
2 ECUACIONES DE LA ELASTICIDAD EN COORDENADAS CILÍNDRICAS En esta sección se plantean las ecuaciones básicas que son necesarias para estudiar cilindros gruesos: 2.1) ecuaciones cinemáticas; 2.2) ecuaciones de equilibrio y 2.3) ecuaciones constitutivas. En la Figura 1 se muestra el sistema de coordenadas cilíndricas (r, , z) adoptado, también se indican los desplazamientos (u,v,w) asociados a esas coordenadas. Figura 1: Sistema de coordenadas cilíndricas
2.1 Ecuaciones de equilibrio Para formular las ecuaciones de equilibrio se hace un planteo similar al desarrollado en la Sección 2.7 del Capítulo 1. Aquí se trabaja con un elemento de volumen en coordenadas cilíndricas como el mostrado en la Figura 2.
Figura 2: Elemento de volumen en coordenadas cilíndricas Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
51
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Si se compara la Figura 2 de la página anterior con la Figura 12 del Capítulo 1 se observan varias diferencias. Primero las tensiones r y (r + r) actúan sobre caras de áreas diferentes y segundo, las tensiones y ( + ) actúan sobre caras que no son paralelas. Es muy común que un estudiante, en su primer intento por plantear las ecuaciones de equilibrio, olvide considerar alguno de esos nuevos “ingredientes” y en consecuencia “pierda” algunos términos en las ecuaciones. Cada uno de los seis vectores de tensión asociados a las caras del elemento de la Figura 2 puede descomponerse en sus tres componentes cilíndricas como se muestra en la Figura 3, donde además se indican las componentes de la fuerza másica por unidad de volumen, F.
Figura 3: Tensiones actuando en las caras de un elemento de volumen en coordenadas cilíndricas
A modo de ejemplo, observando la Figura 4, se plantea el equilibrio de fuerzas en dirección “r ”:
Caras r o
wV rr · § dr ¸ r dr dT dz V rr r dT dz ¨ V rr wr © ¹
Caras T o
ª wV T r wV TT dT · § · dT º § dT ¨ V TT dT ¸ ¨ V T r V TT ¸ dr dz «V T r » dr dz 2 ¹ wT wT © © ¹ 2 ¼ ¬
Caras z o
(1)
wV zr · ª§ ª§ º § º dr · dr · V zr «¨ r dz ¸ «¨ r ¸ dT dr » ¨ V zr ¸ dT dr » w 2 z 2 ¹ ¹ ¹ ¬© ¬© ¼ © ¼
dr · § Volumen o Fr ¨ r ¸ dT dr dz 2 ¹ © Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
0
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Figura 4: Planteo del equilibrio en la dirección r
Efectuando productos, simplificando y despreciando infinitésimos de orden superior se tiene:
wV rr 1 wV rT wV rz V rr V TT Fr r wT r wr wz
(2)
0
Planteando el equilibrio según z y según se obtienen otras dos ecuaciones que unidas a la anterior constituyen las ecuaciones diferenciales de equilibrio en coordenadas cilíndricas.
wV rr 1 wV rT wV rz V rr V TT Fr wr wz r wT r
0
wV rT 1 wV TT wV T z 2V rT FT wr wz r wT r
0
wV rz 1 wV T z wV zz V rz Fz wr wz r wT r
0
(3)
2.2 Ecuaciones cinemáticas Por simplicidad se comienza trabajando en el plano en coordenadas polares y considerando pequeños desplazamientos y giros. Para deducir físicamente las deformaciones específicas r y se usa la Figura 5.
Figura 5: Desplazamientos en coordenadas polares
Fibra AC
Largo inicial = AC
dr
Largo final = AcC c
dr (u
wu wr
dr ) u
Deformación específica
Hr
AcC c AC
dr
AC
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
wu wr
dr dr
dr
53
o
Hr
wu wr
dr
wu dr wr
(4)
(5)
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Fibra AB
r dT
Largo inicial = AB
Largo final
AcBc
r u dT (v
wv
dT ) v
wT
(6)
Deformación específica
HT
u dT (dv / dT ) dT r dT
AcBc AB AB
HT
o
u 1 wv r r wT
(7)
Para deducirla el valor de la distorsión angular H T r se usa la Figura 6
Figura 6: Desplazamientos y giros en coordenadas polares
Giro de la fibra AC
D
D 2 D1
donde: D1
Giro de la fibra AB
E
v r
y
D2
dv / dr dr dr
du / dT dT
(8)
(9)
r dT
Cambio de ángulo entre las fibras AC y AB
IT r
D 2 D1 E
o HT r
1I 2 Tr
§ wv
v
1
H T r = 12 ¨ r r © wr
o
wu · ¸ wT ¹
(10)
Agregando la coordenada z y trabajando de manera similar se pueden encontrar las restantes componentes del tensor de deformaciones lineal en coordenadas cilíndricas. Notar que este enfoque, que en un principio parece más simple que el planteo del Capítulo 1 debido a su contenido físico, se torna un tanto engorroso. Por ello resulta fácil cometer errores y olvidar uno o varios términos durante la deducción. A continuación se resumen las relaciones cinemáticas lineales (los desplazamientos se indican en la Figura 7):
Figura 7: Cubo elemental
H rr
wu wr
H rT
1 ª wv 1 wu v º » 2 « wr r wT r¼ ¬
H TT
1 wv u r wT r
HT z
1 ª 1 ww wv º » 2 « r wT wz ¼ ¬
H zz
ww wz
H rz
1 ª wu ww º 2 «¬ wz wr »¼
(11)
Notar que el coeficiente 1/2 se utilizó para que el tensor de deformaciones lineales sea simétrico. Esto se logra colocando la mitad del cambio del ángulo en cada lado de la diagonal.
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2.3 Ecuaciones constitutivas Las ecuaciones constitutivas (128) y (129) desarrolladas en el Capítulo 1, para sólidos linealmente elásticos e isótropos, mantienen su validez porque las direcciones r, , y z son mutuamente ortogonales. Por ejemplo para i = j = r, podemos desarrollar y reordenar a la ecuación (128) del Capítulo 1 :
V rr
E 1 Q
1 Q 1 2Q
[ H rr
Q 1 Q
(H TT H zz )]
(12)
Similarmente haciendo i = j = r y t = 0 en la ecuación (129) de Capítulo 1, se obtiene:
1 ªV rr Q V TT V zz º¼ E ¬
H rr
(13)
3 CILINDRO DE PARED GRUESA SOMETIDO A PRESIÓN Se estudia el cilindro mostrado en la Figura 8, de radio interior a y de radio exterior b, para determinar la distribución de tensiones dentro del espesor del cilindro sometido a presión interna pi y externa pe y a una tensión axial uniforme, o.
Figura 8: Cilindro grueso con cargas axilsimétricas
Esta configuración provee un modelo aplicable a muchos casos de interés práctico como ser: cilindros de presión, submarinos, cañones, prensas hidráulicas, recipientes para reactores nucleares, etc. El problema puede resolverse utilizando las tres ecuaciones de equilibrio (3), las seis ecuaciones cinemáticas (11) y las seis ecuaciones constitutivas, ecuación (128) del Capítulo 1, que son del tipo (12) o sus inversas (13). Además deben considerarse las condiciones de borde del problema. El planteo del problema se ve notablemente simplificado por la simetría radial de las cargas. Basados en la simetría se puede anticipar que los desplazamientos en el sentido son nulos y que todas la tensiones y deformaciones son independientes de También se hace la hipótesis tentativa de que la tensión z es uniforme y en consecuencia todas las tensiones y deformaciones son independientes de z. Con estas hipótesis el problema se reduce notablemente ya que las tensiones y deformaciones de corte se anulan en todos los puntos. La ecuación (2) se reduce a:
r
wV r Vr Vt wr
(14)
0
donde = 0 ( , z = o = cte., y las tensiones y deformaciones de corte son nulas. Además, denotamos t = ( tensión tangencial ) ; r = rr ( tensión radial ) . Las relaciones cinemáticas (11) se reducen a:
Hr
wu ; wr
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Ht
u ; r
55
Hz
ww wz
(15)
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Las ecuaciones constitutivas del tipo (12) son:
donde: E *
Vr
E * [H r
Vt
E* [ H t
Vz
E * [H z
Q
(H t H z )]
(16)
(H r H z )]
(17)
( H t H r )]
(18)
1 Q
Q 1 Q
Q 1 Q
E 1 Q
1 Q 1 2Q
Sustituyendo las relaciones cinemáticas (15) en las constitutivas (16) y (17) y reemplazando esas tensiones en la ecuación de equilibrio (14), esta última queda en función de los desplazamientos:
d 2u 1 du u 2 2 dr r dr r
0
(19)
cuya solución general es de la forma:
Ar
u
B
(20) r Para determinar las constantes se procede de la siguiente manera: se reemplaza (20) en (16) y se imponen las condiciones de borde:
Vr
pi
r a
Vr
,
r b
pe
(21)
de las (21) se despejan las constantes A y B .
1 Q E
Vr
^ pi [(b / r ) 2 1] pe [(b / a) 2 (b / r ) 2 ] ` / [(b / a) 2 1]
pi a 2 pe b 2
B
1 Q E
a 2b 2 pi pe
A
(22) b2 a 2 b2 a 2 Conocido u se lo reemplaza en las ecuaciones cinemáticas (15), las que a su vez son llevadas a las ecuaciones constitutivas (16) y (17) y se obtiene
Vt
^ p [(b / r )
2
i
;
1] pe [(b / a) 2 (b / r ) 2 ] ` / [(b / a) 2 1]
Hz
Vo E
pi a 2 pe b 2
2Q E
b2 a 2
(23) (24) (25)
La ecuación (25) muestra que z es independiente de la posición dentro del cilindro y que depende de la tensión axial o y de las presiones pi y pe a través del coeficiente de Poisson. Las ecuaciones (23) y (24) muestran que las tensiones transversales t y r varían con r y son función lineal de las presiones, siendo en cambio, independientes de la tensión axial.
3.1 Cilindro con presión interior: pe = 0 Haciendo pe = 0 en (23) y (24) se llega a :
Vt
pi
Vr
pi
a2 b2 a 2
a2 b2 a 2
§ b2 · 1 ¨ ¸ r2 ¹ ©
(26)
§ b2 · 1 ¨ ¸ r2 ¹ ©
(27)
Estas ecuaciones muestran que V t ! V r y que en ambos casos la tensión es máxima en r = a. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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En la Figura 9 se presentan dos casos de cilindros con presión interior de mucho interés práctico, uno referido a actuadores mediante un pistón y el otro a recipientes cerrados.
Figura 9: Dos casos de interés práctico
En el cilindro del actuador de la Figura 9-a la tensión z es nula
Vz
caso a) cilindro actuador
0
(28)
En el recipiente de presión de la Figura 9-b en zonas alejadas de los extremos se tiene
Vz
caso b) recipiente de presión
a2 b2 a 2
pi
(29)
además: caso a)
Vr r
caso b)
Vt
a
r a
pi
a2 [1 (b / a)2 ] b2 a 2
donde [1 (b / a) 2 ] 0
(30)
pi
a2 [1 (b / a)2 ] b2 a 2
donde [1 (b / a) 2 ] ! 2
(31)
En conclusión, en ambos casos t máx es mayor que z y r máx es menor que z ; por lo tanto la condición de diseño está dada por t máx , o bien por la máxima tensión de corte W máx 12 (V t V r ) que ocurre en r a. La variación de t , se muestra esquemáticamente en la Figura 10-a.
a)
b)
Figura 10: Tensiones tangenciales t en el espesor del cilindro y máxima tensión cortante máx en r = a
Las máximas tensiones resultan:
Vr
V r( r
a)
V tmáx
V t (r
a)
W máx
1 2
máx
pi
(32)
pi (b 2 a 2 ) / (b 2 a 2 )
(33)
(V t V r )( r
a)
pi b 2 / (b 2 a 2 )
(34)
Notar que W máx ! pi . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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3.2 Cilindro con presión exterior: pi = 0 Haciendo pi = 0 en (23) y (24) se llega a:
Vt
pe
§ b2 a2 · 1 ¨ ¸ b2 a 2 © r2 ¹
(35)
Vr
pe
§ b2 a2 · 1 ¨ ¸ b2 a 2 © r2 ¹
(36)
Estas ecuaciones muestran que ambas tensiones son de compresión y que V t ! V r
4 ZUNCHADO La Figura 11, basada en la ecuación (34), muestra que cuando el valor de b/a es mayor que 2, aumentar b casi no ayuda a bajar las tensiones máximas. Por ello, en el caso de grandes presiones se recurre al zunchado. El zunchado es un proceso constructivo, que consiste en montar dos cilindros tales que el diámetro interno del mayor es menor que el diámetro externo del menor. Se fabrican con una interferencia y para permitir el montaje se enfría el cilindro interior y/o se calienta el cilindro exterior. Otra aplicación del zunchado es el montaje forzado de poleas o ruedas dentadas sobre ejes.
Figura 11: Tensión tangencial máxima en función del espesor del cilindro
Después del montaje la temperatura se hace uniforme y los cilindros se ejercen una presión de zunchado pz que es externa para el cilindro interior, cuyo radio externo disminuye 1 mientras que para el cilindro exterior es presión interior y su radio interno aumenta 2. Por compatibilidad se tiene:
G1 G 2
G
G
dato
(37)
Los valores de 1 y 2 se pueden determinar a partir de la solución de la ecuación (19) calculando adecuadamente las constantes A y En el cilindro interior, haciendo z = 0 , r (r=a) = 0 y r (r=b) = – pz " u1 En el cilindro exterior, haciendo z = 0 , r (r=b) = – pz y r (r=c) = ` " u2 donde a y b son los radios del cilindro interior y b y c los radios del cilindro exterior. Reemplazando para r = b se tiene:
|u
1(r b)
| u
2(r b)
G
(38)
Notar que si se considera rozamiento nulo = 0 y además z = 0, eso implica que el cilindro interior se alarga libremente por el efecto de Poisson ( 1 ~0) y el exterior se acorta libremente ( 2 ~0). Desarrollando (38) se llega a: Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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· b pz § c 2 b 2 · b pz § b 2 a 2 Q Q 2 ¸ ¨ 2 ¨ 2 1¸ 2 2 E1 © b a E2 © c b ¹ ¹
G
(39)
La ecuación (39) permite despejar la presión de zunchado pz. En el caso frecuente, donde ambos cilindros son del mismo material, o tienen igual módulo de Poisson, se tiene;
pz
EG
b2 a 2 c2 b2 c2 a2 2 b3
(40)
Conocido el valor de la presión de zunchado pz se calculan los valores de las tensiones en el cilindro exterior considerando presión interior pi = pz usando (26) y (27) haciendo a = b y b = c. Para el cilindro interior se considera presión exterior pe = pz y se usa (35) y (36). Si el cilindro zunchado es sometido posteriormente a presión interior se producen tensiones iguales a las que corresponden a un cilindro único de radios a y c, que deben superponerse a las tensiones de zunchado como se indica en la Figura 12.
Figura 12: Diagramas de tensiones en un cilindro zunchado
Wa
Una situación conveniente se logra cuando
Wb
(41)
5 AUTOZUNCHADO POR TENSIONES RESIDUALES Se puede lograr un efecto similar al zunchado aplicando una alta presión interior que produzca la fluencia del material y al quitarse deje tensiones residuales tangenciales, de compresión en la zona interna del cilindro y de tracción en la zona externa. La fluencia en la zona interna, según (34), se inicia cuando: 1 V V r 2 t
Wf
(42)
La presión que inicia la fluencia también puede despejarse usando (34).
pf
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
Wf
b2 a 2 b2
59
(43)
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Figura 13: Diagrama elastoplástico de deformaciones
Suponiendo que el material se comporta perfectamente plástico como se indica en la Figura 13, la ecuación (42) se verifica en todos los puntos de la zona plastificada y puede reemplazarse en la ecuación de equilibrio (14), que es independiente del estado elástico o plástico, llegando a:
wV r wr
2W f
1
(44)
r
que puede ser integrada obteniendo:
Vr
2W f ln r c
(45)
La ecuación (45) es válida en toda la zona plastificada. Suponiendo plastificado todo el espesor se puede calcular la constante “c” a partir de la condición de borde r (r=b) = 0 llegándose a: r (46) V r 2W f ln b Haciendo r = a en (46) se determina la presión pp que produce la plastificación total. Considerando que f f /2 (Tresca) y además teniendo en cuenta que ln ba ln ab se tiene:
pp
2W f ln
a b
pp
V f ln
b a
(47)
Reemplazando (46) en (42) permite despejar el valor de la tensión tangencial en el campo plástico:
Vt
r · § 2W f ¨1 ln ¸ b¹ ©
(48)
Al quitar la presión interior pp el material se recupera elásticamente según se indica en la Figura 12 y deben restarse las tensiones que produciría la presión pp actuando en el campo elástico. A fin de visualizar conceptualmente el fenómeno se grafican las tensiones correspondientes al caso b/a = 2. En la Figura 14-a se muestra que la plastificación se inicia cuando se cumple (42). Durante la plastificación aumenta la presión interior y por consiguiente la tensión radial r mientras que la tensión tangencial se modifica de modo que en todos los puntos se cumpla (42). Notar que en general t aumenta, pero en la zona interior las deformaciones plásticas son considerables y t disminuye al ceder el material, esto se observa en la Figura 14-b.
Figura 14: Diagrama de tensiones de autozunchado Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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En la Figura 14-c se grafican las tensiones elásticas que deben restarse y finalmente en la Figura 14-d se muestran las tensiones residuales resultantes. Notar que después del autozunchado el cilindro se ha “endurecido” por la deformación plástica y se comportará elásticamente hasta que la presión interna alcance el valor de pp dado en (47). Normalmente no se provoca la plastificación de todo el espesor porque resulta “peligroso” ya que se estaría trabajando muy próximo a la rotura. La teoría también se puede desarrollar para plastificación parcial del espesor, conceptualmente hay poco cambio con respecto a lo ya explicado. Resumiendo las ventajas del autozunchado son : Se aumenta notablemente la resistencia en el campo elástico y por lo ! ! "! ! # $!&# ' + Según se observa en la Figura 15 la resistencia a fluencia de un cilindro común se hace constante para relaciones b/a > 3 y no se gana casi nada con aumentar el radio externo. Mientras que si se considera el campo plástico la resistencia a rotura aumenta continuamente a medida que se incrementa el radio exterior. Las ventajas del autozunchado son notables en el caso de cilindros de pared muy gruesa.
Figura 15: Inicio de la fluencia y finalización de la plastificación función de b/a
La curva inferior de la Figura 15 se obtiene de (43) y la superior de (47). Se puede observar que para b/a = 2 , la presión pp casi duplica el valor de pf ( pp / pf = 1,39 /` 5 ). Para un cilindro de pared delgada, por ejemplo b/a= 1,05 resulta ( pp / pf ) 1,05 y la ventaja es por lo tanto insignificante.
6 CRITERIOS DE DISEÑO Hasta aquí se han desarrollado “fórmulas” para obtener los valores de las tensiones tangenciales y radiales suponiendo que son conocidas las presiones actuantes y la geometría del cilindro. Sin embargo, el interés práctico reside en dimensionar cilindros con un coeficiente de seguridad para la condición crítica que se define como falla. Resta, por lo tanto, relacionar las fórmulas ya desarrolladas con una teoría de falla adecuada. Siempre resulta posible efectuar un predimensionado y en una etapa posterior verificar que las máximas tensiones resultantes no superen el valor que se considera admisible de acuerdo con un coeficiente de seguridad, Cs, prefijado. Ese procedimiento es válido y además es muy utilizado en cálculo estructural. Sin embargo, siempre que sea posible se prefiere utilizar una fórmula que provea directamente las dimensiones óptimas ( mínimas ) que garanticen un Cs requerido prefijado de antemano. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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6.1 Diseño de un cilindro grueso de material dúctil Se desea encontrar el espesor (o diámetro exterior ) de un cilindro sometido a presión interior, pi , cuyo diámetro interno está prefijado por la función que el cilindro debe cumplir. 6.1.1 Teoría de la máxima tensión cortante Suponiendo que z es tal que r < z < t , el diseño se basa en la máxima tensión de corte que ocurre para r = a y cuyo valor está dado por (34). pi (49) W max 2 1 a / b Siendo el material dúctil se puede utilizar la teoría de la máxima tensión cortante haciendo : Cs pi (50) 2 Vf Cs V Cs 2W ( max ) 2 1 a /b lo que permite despejar el radio exterior :
b
1
a
válida para V r V z V t
1 2 Cs pi /V f
(51)
Notar que existe solución sólo si el radicando es positivo y en tal caso.
1 2
Limitación
Cs pi
Vf
! 0
pi 0,5
Vf Cs
(52)
6.1.2 Teoría de la energía de distorsión Al utilizar la teoría de la energía de distorsión se debe considerar el valor de la tensión axial z . Caso z = 0 En el caso del actuador de la Figura 9-a donde z = 0, se emplea la ecuación (24) del Capítulo 2:
V 2f V 12 V 22 V 1V 2
Cs2 donde:
según (32)
V1
Vr r
pi
según (33)
V2
Vt r
pi
a
a
b2 a 2 b2 a 2
Operando algebraicamente y haciendo (Cs pi /V f )
D
§ Cs pi ¨¨ © Vf
· ¸¸ ¹
(53)
2
o
b
2
D se llega a:
1 D 4 3D
a
1 3D
(54)
Notar que solo existe solución si los dos radicandos de (54) son positivos y para ello es suficiente que:
1 3D ! 0
Limitación
pi 0,577
Vf
Cs
(55)
Caso z originado en la presión interior pi En el caso del recipiente de la Figura 9-b donde z ~` "$ ! la ecuación (22) del Capítulo 2.
Cs2
2V 2f
V 1 V 2
2
V 2 V 3 V 3 V 1 2
2
(56)
donde 1 y 2 están dados por (32) y (33) como en el caso anterior mientras que: Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
62
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V3 V z
según (29)
pi
1
b/ a
2
(57)
1
Reemplazando 1, 2 y 3 en (56), definiendo D igual que en el caso anterior y denotando 2 x = (b/a) , se puede despejar x en función de D . Esto permite finalmente despejar b:
D
C p s
i
/V f
2
o
x
1 r 3D 1 3D b
de donde:
o
1
x
1
3D
o b
a
1 1
Vf
a
3D
(58)
(59)
V f 3 Cs pi
Notar que existe solución sólo si el radicando es positivo
V f 3 Cs pi ! 0
pi 0,577
Vf
(60) Cs La ecuación (54) requiere espesores mayores que la (59); la diferencia en el espesor nunca supera el 15 % y ello ocurre cuando las presiones son pequeñas. Por otra parte el rango de validez de (54) es el mismo que tiene (59).
6.2 Diseño utilizando Cs a rotura Al diseñar un recipiente de presión cilíndrico es conveniente definir como condición de falla a la fluencia. No obstante resulta de sumo interés contar con una fórmula para calcular la máxima presión interior que puede resistir el cilindro al momento de producirse el “estallido”' del mismo.
Figura 16: Gráfico tensión vs. deformación
La presión de estallido, que denotaremos pE se puede obtener suponiendo que el estallido ocurre cuando todo el material del cilindro alcanza la tensión de corte de rotura R. En tal caso basta reemplazar f por R en la fórmula (47) que da la presión de plastificación: a (61) pE 2W R ln b Como en general R no es conocido se aproxima R R /2 (ver Figura 16) y además teniendo en cuenta que ln ba ln ba se tiene :
pE
V R ln
b
(62)
a
Svensson propuso afectar a la fórmula de un coeficiente empírico K que tiene en cuenta el endurecimiento por deformación: m
K
1 § 2, 72 · ¨ ¸ 4 m 0,908 © m ¹ (63)-a
pE
K V R ln
b a (63)-b
(63)
Esta fórmula da predicciones en perfecta concordancia con los ensayos de rotura de cilindros Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
63
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por estallido. El coeficiente K es generalmente próximo a la unidad lo que muestra la validez de (62), la que puede utilizarse en caso de no conocer el valor de m. Para aceros de bajo y medio contenido de carbono resulta:
0, 4 (1 V f /V R )
m
(64)
Notar que para un acero típico f /R ` m 0,16 y en consecuencia - 1,016. La ecuación (62) puede emplearse de dos maneras: 1. Una vez dimensionado el cilindro usando la fluencia como condición de falla se calcula el CsE a estallido para tener información adicional : CsE pE / pi
(65)
2. En casos donde la deformación producida durante la plastificación no torna inoperable al cilindro, se puede dimensionar considerando al estallido como condición de falla. La utilización de (63) y (65) permite despejar el radio exterior
b
a e
§ CsE pi · ¨¨ K V ¸¸ R ¹ ©
(66)
Naturalmente, el CsE usado en (66) debe ser bastante mayor que el utilizado en las fórmulas de diseño a f luencia (51), (54) y (59). Siendo que la presión pE está relacionada con R , ver (62), podría denominarse simplemente presión de rotura del cilindro. Se prefiere el término estallido porque el mismo induce en el proyectista tendencia a ser precavido. En casos donde la presión interna es producida por un gas comprimido, la rotura ( reventón ) resulta generalmente catastrófica pudiendo provocar pérdidas de vidas humanas. Hay que tener presente que (66), a diferencia de las anteriores reglas de diseño, siempre provee una solución sin importar cuán grande sea la presión interior pi. En el caso de un cilindro hidráulico como el de la Figura 9-a la deformación excesiva por fluencia es una condición de falla y por lo tanto (66) no puede emplearse para el diseño. En ese caso si es posible emplear (65) como se indica en el ítem 1 a fin de tener una idea del grado de seguridad a rotura.
6.3 Diseño de un zunchado óptimo Para el caso de muy altas presiones, las fórmulas (51), (54) y (59) fallan si no se cumplen las restricciones (52), (55) y (60). También puede ocurrir que el espesor calculado con esas fórmulas resulte demasiado grande, en esos casos se puede recurrir al zunchado, fenómeno tratado en la Sección 4. A continuación se resuelve el siguiente problema: conocido el radio interno “a” y la presión interior “pi ” determinar los radios “b” y “c”, y también la interferencia “ ” de manera eficiente garantizando que ningún punto del cilindro compuesto supere la tensión admisible. El problema puede resolverse por tanteos, como lo sugieren muchos autores, pero preferimos hallar un criterio de diseño que cumpla dos requisitos: 1) Que provea directamente el resultado ( valores “b”, “c” y “ ” sin tanteos). 2) Que el diseño sea óptimo ( que economice material ).
6.3.1 Criterio de zunchado óptimo basado en la teoría de la máxima tensión de corte Para optimizar el cilindro zunchado en este apartado se emplea la teoría del corte máxima que se adapta bien a los materiales dúctiles y permite un tratamiento matemático relativamente sencillo. La relación entre la presión interna y las tensiones en el cilindro zunchado es no lineal porque deben # ! 0 # 0 0 1 #3 4 # # # 0 # 6 se aplica el coeficiente de seguridad a la presión interior definiendo:
ps
Presión mayorada
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
64
Cs pi
(67)
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En la Figura 17 se ha repetido el gráfico de la Figura 12 indicando los valores de las tensiones obtenidos utilizando las ecuaciones (26), (27), (35) y (36).
Figura 17: a) Tensiones en un cilindro zunchado, b) zunchado óptimo
Las máximas tensiones cortantes en cada cilindro se obtienen valuandolas 1 W máx V t V r 2 en el radio interno de cada cilindro, de modo que la tensión efectiva de Tresca resulta:
(68)
2 b 2 c2 a2 (69) V p ps ps z ° a b2 a 2 c2 a2 °
V Vt Vr ® a 2 (c 2 b 2 ) a 2 (c 2 b 2 ) c2 b2 ° V p p ps p z s z (70) °¯ b c2 b2 b 2 (c 2 a 2 ) b 2 (c 2 a 2 ) Debemos determinar tres valores ( b, c y p) por lo tanto podemos fijar arbitrariamente tres condiciones que aseguren un diseño óptimo para un dado Cs , proponemos:
V a V b V m V m V m min (mínimo)
(71)
V m min
(73)
Vf
(72)
La ecuación (71) asegura igual tensión efectiva máxima en ambos cilindros. Reemplazando (69) y (70) en (71) se obtiene la relación entre la presión de zunchado y la presión interior mayorada:
c 2 (b 2 a 2 ) b 2 (c 2 b 2 )
(c 2 b 2 ) (b 2 a 2 )
pz
c 2 (b 2 a 2 ) b 2 (c 2 a 2 )
ps
(74)
Reemplazando (74) en (69) y considerando (71) se obtiene V m :
2 c 2b 2
V m
ps b 2 (c 2 b 2 ) c 2 (b 2 a 2 ) 2 Para satisfacer (72) igualamos a cero la derivada de V m respecto a b . wV m b2 a c 0 2 wb Reemplazando (76) en (75) y luego reemplazando en (73) se obtiene:
V m
c p (c a ) s
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
c
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a V f / (V f ps )
(75)
(76)
(77)
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Reemplazando (76) en (74) podemos despejar la presión de zunchado pz. Llevando ésta a (40) y teniendo en cuenta (76) se determina la interferencia en el radio :
ps ( c a ) / [ 2 ( c a ) ]
pz
G
b ps / E
(78)
Resumiendo se tiene: Criterio de zunchado óptimo de tres pasos basado en la teoría de corte máximo: 1) Se calcula el radio externo c según (77). 2) Se calcula el radio medio b según (76). 3) Se calcula la interferencia en el radio medio según (78). Teniendo en cuenta (77) se observa que la solución existe sólo si “c” es positivo y finito, y en ese caso el denominador debe ser positivo.
ps o V f
V f ps ! 0
cof
pi V f / Cs
(79)
Comparando (79) con (52) vemos que el zunchado duplica el rango de tensiones posibles
6.3.2 Criterio de zunchado óptimo basado en la teoría de energía de distorsión Se puede aplicar el mismo procedimiento del apartado anterior utilizando tensiones efectivas de Von Mises pero el desarrollo es bastante más engorroso. Una simplificación muy importante se logra aceptando a priori que (76) mantiene vigencia. Esto da resultados para el radio exterior “c” que difieren del óptimo absoluto, que se puede lograr por tanteos en tres variables (c, b, pz ), en bastante menos del 1% en todo el rango de tensiones. Adoptamos b/a = c/b como en (76) y definimos radios, presiones y tensiones adimensionales:
c
c ; a
b ; a
b
p
ps
Cs pi
Vf
Vf
además consideramos que V z
V ta
;
pz
pz
Vf
;
V Vf
V
b a
c b b
c
(80)
0 . Remplazando en los valores de la Figura 17, se tiene
c 1 2c p pz 2 c 1 c 1 2
V ra
p
(81)
§ c 1 · (82) p pz ¸ ¨ 2 © c 1 ¹ La tensión efectiva de Von Mises para el estado plano está dada por la ecuación (35) del Capítulo 2 con W xy 0, V x V t , V y V r . Además V t ! 0 y V r 0.
V tb
c 1 c 1 p pz 2 c 1 c 1
(V )2
V rb
(V t )2 (V r )2 V t V r
(83)
La presión óptima de zunchado es la que iguala la tensión efectiva en r
pz
Dp
donde D
3c
2
1
6 c 4 6 c 3 3c 2 1
/ c
a y r 2
1
b. (84)
llevando este valor óptimo a (83) en r = a e igualando la tensión efectiva adimensional a la unidad se puede calcular la presión interior admisible:
p d c 2 1 /
3 c 4 D c 1 [4D c 2 c 1 6 c 3 2c ] 1
(85)
Notar que (84) y (85) resultan óptimos exactos para b c . Para determinar el radio c partiendo de pi = dato debe procederse por tanteos utilizando (85) donde está determinado por (84). Para evitar los tanteos puede utilizarse la siguiente fórmula aproximada con un error menor que 0,5%:
c
^ ª¬ 4 p 9,6 p 0,5¼º p
2
20
G
finalmente la interferencia de zunchado es
` / 20 19 p 2 b pz (c a ) / [ E (c a )]
Datos: a, pi , Cs E y V f . Secuencia: (80) p (86) c
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
66
(86)
(80) b
(87)
(84) pz (87) G
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6.3.3 Criterio de zunchado óptimo para materiales frágiles Para el caso de materiales frágiles puede desarrollarse un procedimiento totalmente análogo a los anteriores utilizando la tensión efectiva de Rankine. Ese desarrollo se deja como ejercicio para el lector y los resultados se encuentran en el cuadro resumen de la Sección 7.2 para zunchado óptimo. Es importante destacar que al utilizar aceros aleados tratados térmicamente se tiene un f elevado, además siempre: c (88) 2, 41 a Esto está lejos de ser una panacea y, en general, debe evitarse el uso de materiales frágiles en el caso de presiones elevadas porque no tienen resistencia adicional por plastificación. Recordar que para materiales dúctiles cuando el espesor adimensional (b/a) >>1 la resistencia a estallido es varias veces superior a la resistencia a f luencia y esto provee un coeficiente de seguridad adicional a favor del calculista/diseñador. Nota: de las ecuaciones podría inferirse que pi(máx) = 3 f pero éste valor tan elevado no puede lograrse porque está limitado por la tensión radial en r a.
y como siempre en r
a
o
V ra d V f
V ra
o
pi
V ra d 1 p máx
(89)
1
(90)
6.3.4 Criterio de zunchado óptimo para tres tubos A continuación se resumen los resultados para el zunchado óptimo de tres tubos de material dúctil.
b
xa ;
donde
siendo
x
c
xa ;
d
x 1,5 a
1 ° Fx 1 2 p / 3 .............. p d 0,951 ® ° F > 1 /(1 p ) @ 1/ 3 ........0,951 p d 1 ¯ x CS pi
p
Vf
la presión adimensional
(91) (92)
(93)
Presión de zunchado
pb
· x 1 § x3 p 1 ¸ V f ............................ p d 0,951 F ° b ¨ 3 2¹ x © x 1 ° ® ° F x 1 V ......................................................0,951 p d 1 f °¯ b 2 x
(94)
pc
ª x 1 § 1 º x · Fc « p ¸ V f » .............................0 p 1 ¨2 3 x 1 ¹ ¬ x © ¼
(95)
Interferencia en el radio 2b Gb > ( x 1) pb x pc @ E ( x 1)
Gc
2c > ( x 1) pc pb @ E ( x 1)
(96)
Los coeficientes Fx , Fb y Fc dependen del criterio utilizado. En el criterio de Tresca son todos iguales a la unidad mientras que en el criterio de Von Mises son menores que uno: Coeficiente
Tresca
Von Mises
Fx
1
1 – 0, 2387 p 2 0,08535
(97)
Fb
1
0,76 0,116 p 2 0,064 p 3
(98)
Fc
1
0,755 0,1933 p 3
(99)
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67
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7 RESUMEN DE FÓRMULAS 7.1 Cilindro grueso con elevada presión interior Tensión Teoría Material de falla longitudinal V z Frágil Rankine
Tresca
Radio necesario función de la presión
pmáx
Vz V f
p
b 2 1 b 2 1
b
1 p 1 p
1
(100)
Vr V z Vt
p
b 2 1 2b 2
b
1 1 2 p
0,5
(101)
b
1 p 4 3 p2 1 3 p2
Vz
Dúctil
Presión admisible función del radio
b 2 1
p
0
3b 4 1
Von Mises
2
V z por presión
b 1
p
3b
1
b
2
b : radio exterior adimensional ................... b
b/a
p : presión interior adimensional ................ p
ps / V f
0,577 (102)
0,577 (103)
1 3 p
donde b es el radio exterior
(104)
Cs pi / V f
(105)
V z : tensión longitudinal
7.2 Zunchado óptimo Mat.
Teoría de falla
Presión admisible función del radio
Radio necesario función de la presión
p D D2 E
3 c 1 c 1 2 2 c 1 2 2 E [ 3 c 1 4] / c 1 p
Tresca
p
1 p 2 1 p 3 p
c
Rankine D Frágil
c cmáx
c 2 1
Von Mises
c 3 c M 1
donde : c cmáx
13,0486
M
E (4 c E 6 c 2 2)
E
(3 c 2 1 Z ) / c 1
Z
pz
I p 2 20
c
donde:
I
c 1 2 c 1
p
pz
20 19 p
3
Dúctil
2, 4142
p o1 c o f
pmáx
p (c 2 1) c 2 1 2 c ( c 1)
pz
1 / (1 p )
c
c 1 c
Presión de zunchado
p
4 p 9,6 p 0,5
1
(107)
1
(108)
E
c 1
E
( 3c 2 1 Z ) / c 1
Z
6 c 2 c 2 c 0,5 1
b : radio intermedio adimensional ............... b
b/a
se adopta b
c : radio exterior adimensional .................... c
c/a
c es el radio exterior
p : presión interior adimensional ................. p
ps / V f
pz : presión de zunchado adimensional ....... pz
pz / V f
68
(106)
donde:
6 c 2 c 2 c 0,5 1
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
1
Cs pi / V f
c
(109) (110) (111) (112)
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PRÁCTICO
Cilindros con Elevada Presión
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1. El cilindro de una prensa tiene un radio interior de 5 cm y debe soportar una presión p = 110 kg/cm . 2
i
Calcular el diámetro exterior con un coeficiente de seguridad Cs = 3 para un acero f = 3300 kg/cm2. a) Emplear la teoría del corte máximo. b) Emplear la teoría de la energía de distorsión. c) Calcular la diferencia porcentual entre los espesores determinados en a) y en b).
2. Suponiendo que el cilindro del problema anterior debe soportar una muy alta presión p = 582 kg/cm : 2
i
a) Verificar que la teoría del corte máximo indica que no hay solución para Cs = 3. b) Verificar que la teoría de la energía de distorsión provee solución para Cs = 3. c) Determinar el coeficiente de seguridad Cs según la teoría del corte máximo si se adopta como solución el radio externo calculado en la parte b).
3. Siendo la tensión de rotura
R
= 5100 kg/cm2, calcular la presión de estallido pE del cilindro diseñado en:
a) Parte b) del Problema 1. b) Parte b) del Problema 2. En ambos casos calcular el coeficiente de seguridad a estallido CsE y compararlo con el coeficiente de seguridad a fluencia Cs =3 utilizado anteriormente.
4. Con los mismos datos de los problemas 1, 2 y 3 (a = 5 cm, C
= 3 y f = 3300 kg/cm2 ) diseñar un cilindro zunchado usando el criterio de Tresca para una presión interior muy alta pi = 700 kg/cm2. s
a) Calcular los radios b y c y la interferencia . b) Graficar esquemáticamente las tensiones radiales y tangenciales en función del radio calculando únicamente los valores en r = a, b y c debidos a: i) zunchado
ii) presión interna
iii ) estado superpuesto.
c) Calcular el 78 mínimo para efectuar el zunchado.
5. Resolver el problema anterior utilizando el criterio de Von Mises y comparar el volumen de material necesario en cada caso.
6. Se colocó un extensómetro eléctrico (strain gage) en el sentido longitudinal de un cilindro sometido a presión interior para medir la deformación específica z. Suponiendo conocidos , E, a, b y z hallar una fórmula para determinar la presión interior en función de la deformación específica z medida. NOTA: La solución se deja como ejercicio para el lector.................... pi Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
69
H z E [ (b / a) 2 1] /(1 2Q )
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SOLUCIÓN del PRÁCTICO Cilindros con Elevada Presión Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1
Determinación del diámetro exterior del cilindro de una prensa donde a = 5 , Cs = 3 y pi = 110. a) Teoría del corte máximo 1 Ec. (51) b a 1 2 Cs pi / V f
5
b) Teoría de la energía de distorsión
Ec. (54)
Ec. (54)
5,59 ..................... Ie 11,18
1 2 x 3 x 110 / 3300
1 D ( 4 3D ) 1 3D
b a
1
D
0,01 x 4 3 x 0,01
1
5
( Cs pi / V f )2 ( 3 x110 / 3300 )2 0,01 5,56 .................. Ie 11,12
1 3 x 0,01
c) Diferencia porcentual entre los espesores (5,59 5) (5,56 5) diferencia 5, 4 ................................................. diferencia 5, 4 % x 100 (5,56 5) Notar que se requiere un 11 % más de material porque el volumen depende del radio al cuadrado !
2
Se resuelve el problema anterior donde a = 5 , Cs = 3 para una presión elevada pi = 582. a) Teoría del corte máximo. No provee solución porque Ec.(52)
1 2
Cs pi
Vf
! 0
pi máx
0,5
b) Teoría de la energía de distorsión. Ec. (54)
1 D 4 3D
b a
0,5x
Cs
Ec. (54)
D
3300 3
máx
582 ! pi máx 550
550 ............. pi
(Cs pi / V f ) 2
(3 x582 / 3300) 2
0, 28 x 4 3 x 0, 28
1
5
1 3D
Vf
pi ! pi
0, 28
17, 413 .............. Ie
1 3 x 0, 28
34,83
c) Cálculo del Cs del espesor calculado en b) mediante la teoría del corte máximo Ec. (50)
3
Cs
Vf
1 a / b
2
Vf
2 pi
1 5 / 17, 413
2
2 x 582
2,601 ............................................ Cs
2,6
Determinación de la presión de estallido y el coeficiente de seguridad a estallido en dos casos. Ec. (64)
Acero al carbono
Ec. (63)-a
K
1 4 m 0,908
0, 4 (1 V f /V R )
m
e m
1 4 x 0,141 0,908
m
0, 4 (1 3300 / 5100) 0,141 ...... m x
2,72 0,141
a) Datos del problema 1 parte b) b = 5,56 y pi = 110 b 5,56 Ec.(63)-b pE 1,03 x 5100 x ln 556,7 ..... K V R ln a 5
0,141
Ec.(65)
0,141
1,03 ............... K
C sE
b) Datos del problema 2 parte b) b = 17,41 y pi = 582 b 17, 41 Ec.(63)-b pE K V R ln 1,03 x 5100 x ln 6554 ....... Ec.(65) CsE a 5
1,03
pE pi
556,7 110
5,06
pE pi
6550 582
11, 25
pi [kg/cm2] pE [kg/cm2] Cs a fluencia Cs a estallido
TABLA RESUMEN
b [cm]
a) Datos problema 1 parte b)
5,56
110
557
3
5,1
b) Datos problema 2 parte b)
17,41
582
6554
3
11,2
CONCLUSIÓN: El coeficiente de seguridad a estallido (rotura) es bastante mayor que el coeficiente de seguridad a fluencia, especialmente en el caso b) donde el espesor es grande. Esto juega a favor del proyectista y de la seguridad. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
70
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
4
Diseño de un cilindro zunchado para una presión interior elevada ( pi = 700) con el criterio de Tresca. a) Cálculo de los radios b y c y de la interferencia
a V f / (V f ps )
c
Radio externo .......
Ec. (77)
Radio intermedio ..
Ec. (76) b
Interferencia .........
Ec. (78)
2
G
o
ac
b ps / E
b
5x 3300 / (3300 3 x 700) ......... c 13,75 cm 5 x13,75
8, 29 ......................... b
8, 29 x ( 3 x 700) / 2100000 ............. G
8, 29 cm
0,00829 cm
El problema de zunchado óptimo está totalmente resuelto. A continuación se grafican las tensiones para visualizar el estado tensional asociado a ps Cs pi 3 x 700 2100 . b) Gráfico esquemático de las tensiones radiales y tangenciales ca 13,75 5 Presión de zunchado. Ec. (78) pz x 2100 490 ps 2 c a 2 x 13,75 5
p
490 kg / cm 2
i) Tensiones por zunchado El cilindro interno recibe la presión de zunchado como presión externa pe = 490, las tensiones se calculan con (35) y (36)...... pe b 2 /(b 2 a 2 ) 490 x 8, 292 /(8, 292 52 ) 770 Ec. (35) Ec. (36)
>V t @r a >V r @ r a
770 x [1 (5 / 5) 2 ] 1540 .................. >V t @r 0 ........................................................... >V r @ r
b b
770 x [1 (5 / 8, 29) 2 ] 1050 770 x [1 (5 / 8, 29) 2 ]
490
El cilindro externo recibe la presión de zunchado como presión interior pi = 490, las tensiones se calculan con (26) y (27).... pi b 2 / (c 2 b 2 ) 490 x 8, 292 /(13,752 8, 292 ) 280 Ec. (26)
>V t @ r
b
280 x ª¬1 (13,75 / 8, 29) 2 º¼ 1050 ....... >V t @ r
Ec. (27)
>V r @ r
b
280 x ª¬1 (13,75 / 8, 29) 2 º¼
ii) Tensiones por presión interior.
280 x ª¬1 (13,75 / 13,75) 2 º¼ 560
c
490 ........ >V r @ r
c
0
Presión interior en el cilindro zunchado ps
3 x 700 2100
Las tensiones se calculan como en un cilindro único de radios a y c usando las ecuaciones (26) y (27).......... ps a 2 /(c 2 a 2 ) 3 x 700 x 52 /(13,752 52 ) 320 Ec. (26)
>V t @ r
Ec. (27)
>V r @ r
320 x [1 (13,75 / 5) 2 ] 2740 .. >V t @ r
a a
2100 ............... >V r @ r
b
b
320 x [1 (8, 29 / 5) 2 ] 1200 .. >V t @ r
320 x [1 (13,75 / 8, 29) 2 ] 560 ................ >V r @ r
c) Cálculo del mínimo para efectuar el zunchado. G 0,00829 Salto térmico: H 8 D '8 11 x 10 6 x '8 ; H b 8, 29 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
c
71
640 c
0
0,001 ; H 8 ! H .... '8 ! 90,9 o 9 Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
5
Diseño del cilindro zunchado del problema anterior con el criterio de Von Mises y cálculo del ahorro de material. Notación: el trazo sobre una variable indica valor adimensional. a) Cálculo de los radios b y c y de la interferencia Presión interior adimensional .... Ec. (80) y (111) p Cs pi / V f Radio externo adimensional...
p
0,636363
^ [(4 p 9,6) p 0,5] p
c
Ec. (86) y (108)
Radio externo..... Ec. (80) ....... c c a Radio intermedio adimensional Radio intermedio
Presión de zunchado: (datos p Ec. (84) y (108)
pz
p (3 c 2 1
Ec. (80) y (112)
pz
pz / V f
Interferencia entre los cilindros
G
0,63636
20 ` / (20 19 p ) ..... c
2, 27328
2, 27328 x 5 .................................................... c 11,37 cm
1,50774 ................. b
1,50774
b b a 1,50774 x 5 .................................................. b
7,54 cm
Ec. (109)
Ec. (80) y (109)
2
3 x 700 / 3300 ........ p
b
c
0,63636 y c
2,27328
2, 27328 )
6 c 4 6 c 3 3c 2 1 pz
pz V f
Ec. (87)
G
) / (c 2 1) .....................
pz
0,119084
0,119084 x 3300 392,98 ............ pz
393 kg / cm 2
2 b pz (c 1) / [ E ( c 1)]
2 x 7,54 x 393 x (11,37 5) / [2100000 x (11,37 5)] .......................................... G
0,00725 cm
b) Gráfico esquemático de las tensiones radiales y tangenciales i) Tensiones por zunchado: El cilindro interno recibe la presión de zunchado como presión externa pe = 393 y las tensiones se calculan con (35) y (36). El cilindro externo recibe la presión de zunchado como presión interior pi = 393 y las tensiones se calculan con (26) y (27). ii) Tensiones por presión interior: El cilindro zunchado resiste presión interior ps 3 x 700 2100 . Las tensiones se calculan como en un cilindro único de radios a y c con las ecuaciones (26) y (27). A continuación se presenta el gráfico de las tensiones, los cálculos son similares a los del problema anterior y se dejan para el lector.
c) mínimo para efectuar el zunchado
7,54 ; G
b
0,00725 ....................... '8 ! 88 o 9
d) Ahorro de material respecto del diseño de Tresca del Problema 4 Volumen Tresca = S (13,752 52 ) A 515, 42 x A . Volumen Von Mises = S (11,37 2 52 ) A 327,6 x A Ahorro
100 x (515, 42 x A 327,6 x A ) / (515, 42 x A ) ................................................. Ahorro 36, 4 %
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
72
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Capítulo 4
TEORÍA DE PLACAS 1 INTRODUCCIÓN Se considera como lámina al sólido tridimensional donde una de las dimensiones, el espesor, es mucho menor que las otras. Se pueden considerar dos casos: láminas planas, que llamaremos placas, y láminas curvas que llamaremos cáscaras. Para las placas adoptamos un sistema de referencia cartesiano ortogonal que sitúa los ejes x1 y x2 en coincidencia con el plano medio de la placa de espesor h y el eje x3 perpendicular a dicho plano y hacia abajo como se indica en la Figura 1.
Figura 1: Ejes coordenados ubicados sobre el plano medio de la placa
Los puntos ubicados sobre el plano medio quedan definidos por las coordenadas x1 y x2.
P x1 , x2
(1)
Los puntos fuera del plano medio se denotan con un asterisco y están relacionados con el punto del plano medio ubicado sobre la normal a través de la coordenada x3:
P ( P, x3 )
(2)
Las fuerzas másicas, Fi, (fuerzas por unidad de volumen) se integran en el espesor resultando fuerzas por unidad de superficie, pi, que se suman a las fuerzas de borde. pi
³
x3 h / 2 x3 h / 2
Fi dx3
;
i
1, 2,3
(3)
2 RELACIONES CINEMÁTICAS Para reducir el problema tridimensional a un problema de dos dimensiones es necesario hacer varias hipótesis simplificativas. 1) Los desplazamientos son pequeños:
u1 1 h
u2 1 h
u3 1 h
(4)
Esta hipótesis permite utilizar el tensor lineal de deformaciones H ij . 2) Las condiciones geométricas de contorno permiten desplazamientos en el plano medio de la placa. Las hipótesis 1 y 2 permiten desacoplar el problema de la placa en su plano del problema de la flexión. 3) Las fibras rectas y normales al plano medio de la placa permanecen rectas y normales al plano medio deformado y no cambian de longitud. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
73
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Figura 2: Tramo de placa y su posición deformada donde se indican los desplazamientos
Según se puede observar en la Figura 2 los desplazamientos membranales de un punto genérico P * están relacionados con los desplazamientos membranales del punto P ubicado sobre el plano medio:
ui
ui x3 E i
i 1, 2
(5)
Ei
wu3 wxi
i 1, 2
(6)
donde por definición:
Además se supone que:
u3
u3
(7)
La hipótesis 3 se debe a Kirchhoff y es similar a la hipótesis de Navier para vigas en flexión. En conclusión los desplazamientos son:
u1
u1 x3
wu3 wx1
;
u2
u2 x3
wu3 wx2
;
u3
u3
(8)
Estos desplazamientos se utilizan para determinar el tensor lineal de deformaciones:
H ij
1 § wui wu j ¨¨ 2 wx j wxi ©
· ¸¸ ¹
(9)
Teniendo en cuenta que los desplazamientos del plano medio u1, u2 y u3 son sólo funciones de x1 y x2 se tiene:
H ij
ª wu1 w 2u3 x « 3 wx12 « wx1 « « « « simetría « « «¬
2 1 § wu1 wu2 · x w u3 ¸ 3 2 ¨ wx wx1wx2 © 2 wx1 ¹
0
w 2u3 wu2 x3 wx2 wx22
0 0
º » » » » » » » » »¼
(10)
La hipótesis de Kirchhoff implica que las deformaciones por corte trasversal a la placa son
0 ), como se observa en (10). Esta aparente contradicción puede subsanarse como nulas ( H13 H 23 en la teoría de vigas calculando los esfuerzos de corte a partir de las ecuaciones de equilibrio. Esto último implica usar (20) y (21) como definición de los esfuerzos de corte . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
74
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Definiendo las curvaturas ij como:
F11
w 2u3 w x12
F 22
w 2u3 w x22
F12
w 2u3 w x1 w x2
(11)
podemos reducir las ecuaciones cinemáticas (10) a sólo tres ecuaciones:
H ij
H ij x3 F ij
;
i
1, 2
(12)
donde ij es el tensor lineal de deformaciones para puntos del plano medio.
3 ECUACIONES DE EQUILIBRIO Se hace una hipótesis adicional referida a las tensiones, que permite reducir el problema:
V 33
(13)
0
Esta hipótesis es coherente con el hecho de suponer que los desplazamientos u3* son constantes en el espesor según (8) y con la integración de las fuerzas másicas en el espesor según (3) para el
0 pero debemos caso i = 3. Sin embargo existiría cierta contradicción con (10) según la cual H 33 recordar que en lo sucesivo consideraremos sólo las relaciones cinemáticas (12) que no contienen tal limitación. La ecuación (13) hace imposible distinguir si la carga de borde actúa por arriba o por debajo de la placa, de todas maneras este hecho no tiene mayor importancia, como tampoco lo tiene en la teoría de vigas.
3.1 Esfuerzos resultantes En la teoría de vigas en flexión se determina el esfuerzo axial en una sección dada, integrando las fuerzas debidas a las tensiones normales a lo largo de toda el área de la sección. De igual manera se determina el momento flector como un efecto integrado del momento de las fuerzas asociadas a las mismas tensiones normales. De manera similar en la teoría de placas se definen los esfuerzos resultantes por unidad de longitud integrando las fuerzas y los momentos actuantes a lo largo del espesor de la placa. Fuerzas por unidad de longitud o N ij
³
Momentos por unidad de longitud o M ij
³
donde:
³
x3
³
x3 h / 2 x3 h / 2
V ij dx3
(14)
V ij x3 dx3
(15)
x3
x3
(16)
Notar que ij es función de x1, x2 y x3 y por lo tanto al integrar según x3 se obtienen los esfuerzos Nij y Mij que son sólo funciones de x1, y x2. Teniendo en cuenta la simetría del tensor ij solo quedan seis Nij distintos. Recordando que según (13) 33= 0 se reducen a sólo cinco. Dos de ellos son fuerzas normales, N11 y N22 y los tres restantes son fuerzas cortantes: N12, N13 y N23 . Además, debido a la simetría de ij, los momentos (15) se reducen a seis; como 33 = 0 se elimina M 33 y como el brazo de palanca x3 es nulo para 13 y 23 se eliminan M13 y M23. Los momentos son entonces tres: dos momentos f lectores, M11 y M22 y un momento torsor M12. Resulta conveniente definir como momento flector positivo al que tracciona las fibras inferiores, coincidiendo así con el sentido positivo adoptado para los giros (los giros son positivos cuando el vector que los representa tiene el sentido positivo de los ejes). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
75
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Figura 3: Relación entre los momentos torsores M12 y M21
A fin de mantener la convención anterior y además respetar la reciprocidad (ver Figura 3), para los momentos torsores adoptamos: M 12
³ V 12 x3 dx3 x3
;
M 21
M 12
(17)
En resumen los ocho esfuerzos resultantes se pueden agrupar, como se indica a continuación, según el efecto que producen en la placa, en esfuerzos membranales y flexionales. Dibujamos solamente el plano medio. ( Notar que h >> dx1 y que h >> dx2 ). 3.1.1 Esfuerzos membranales Considerando en la Figura 4 equilibrio según x1 y x2 y simplificando se tiene:
wN11 wN12 p1 wx1 wx2
0
(18)
wN 22 wN12 p2 wx2 wx1
0
(19)
donde se consideró N21 = N12, p3 = 0 y i 3 = 0.
Figura 4: Esfuerzos membranales actuando sobre el plano medio de un elemento infinitesimal de placa
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3.1.2 Esfuerzos flexionales Observando la Figura 5, considerando equilibrio de momentos con respecto a x1 y x2, equilibrio de fuerzas según x3, despreciando infinitésimos de orden superior y simplificando se obtiene:
wM 11 wM 21 N13 wx1 wx2
0
(20)
wM 21 wM 22 N 23 wx1 wx2
0
(21)
wN13 wN 23 p3 wx1 wx2
0
(22)
donde se consideró M12 ^M21, p1 = 0 y p2 = 0.
Figura 5: Esfuerzos flexionales actuando sobre el elemento infinitesimal de placa
4 ECUACIONES CONSTITUTIVAS Si se utiliza material elástico, lineal, isótropo y homogéneo podemos utilizar la ecuación (131) del Capítulo 1. Considerando 33 = 0 dado en (13) puede despejarse 33 en función de 11 y 22 y ser sustituido en las expresiones para 11 y 22, lo que permite escribir:
V 33
0 H 33
Q (H11 H 22 ) 1 Q
° V 11 ° ° ® V 22 ° ° ° V 12 ¯
E (H11 v H 22 ) 1 Q 2 E (H 22 v H11 ) 1 Q 2 E H12 1 Q
(23)
Las ecuaciones (23) son válidas para un punto P * de la placa y pueden integrarse a lo largo del espesor. En el primer miembro según la definición (14) se obtiene una fuerza por unidad de longitud Nij . En el segundo miembro considerando las ecuaciones cinemáticas (12) se tienen integrales del tipo
(24) ³ H ij dx3 H ij ³ dx3 Fij ³ x3 dx3 x3
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
x3
77
x3
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4.1 Estado membranal Teniendo en cuenta que en el estado membranal (estado plano), u3 { 0 y considerando la definición de las curvaturas (11) resulta:
F ij
i 1, 2
0 ;
(25)
Teniendo en cuenta (14), (24) y (25), se pueden integrar las ecuaciones constitutivas (23) llegando a: N11 C H11 Q H 22
N 22
C H 22 Q H11
N12
C 1 Q H12
(26)
que es la versión integrada de las ecuaciones constitutivas para el estado plano caracterizado por (25), donde: Eh (27) C 1 Q 2 es la rigidez membranal por unidad de longitud, que es el equivalente al AE de las vigas.
4.2 Estado flexional Teniendo en cuenta que el estado membranal se trata en forma independiente podemos considerar al estado flexional como caracterizado por:
H ij
i, j 1, 2
0 ;
(28)
Si en ambos miembros de las ecuaciones constitutivas (23) se multiplica por x3 y se integra en el espesor h de la placa se obtiene lo siguiente: 1) En los primeros miembros según (15) se obtienen los momentos resultantes por unidad de longitud M i j i, j 1, 2 . 2) Considerando (12), en el segundo miembro se obtienen integrales del tipo:
³
x H i j dx3
x3 3
H i j ³ x3 dx3 F ij ³ x32 dx3 x3
x3
(29)
según (28) ij = 0 por lo tanto (29) queda:
³
x3
x3 H i j dx3
Fi j
x33 3
h/2
h/ 2
h3 Fi j 12
(30)
Teniendo en cuenta (15) y (30) pueden integrarse las ecuaciones constitutivas (23) llegando a:
M 11
D F11 Q F 22
M 22
D F 22 Q F11
M 21
D 1 Q F12
(31)
que es la versión integrada de las ecuaciones constitutivas para el estado flexional caracterizado por (28), donde: E h3 D (32) 12 (1 Q 2 ) es la rigidez f lexional de la placa por unidad de longitud, que es el equivalente al EI de las vigas. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
78
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5 FORMULACIÓN DIFERENCIAL DEL MÉTODO DE RIGIDEZ Sustituyendo las ecuaciones cinemáticas en las ecuaciones constitutivas y reemplazando luego el resultado en las ecuaciones de equilibrio se obtienen las ecuaciones diferenciales de equilibrio en función de los desplazamientos.
5.1 Estado membranal: ij = 0 Haciendo ij = 0 en las ecuaciones cinemáticas (12) y recordando la definición del tensor lineal de deformaciones resulta: 1 § wui wu j · (33) H i j H i j ¨ ¸ 2 ¨© w x j w xi ¸¹ Reemplazando (33) en (26) y luego reemplazando las fuerzas resultantes Nij (i,j = 1, 2) en las ecuaciones de equilibrio (18) y (19), resultan dos ecuaciones en derivadas parciales:
w 2u1 w 2 u2 w 2u1 · p1 1 Q § w 2 u2 Q ¨ ¸ 2 © w x1 w x2 w x22 ¹ C w x12 w x1 w x2
0
(34)
w 2 u2 w 2u1 w 2u2 · p2 1 Q § w 2u1 Q ¨ ¸ 2 © w x1 w x2 w x12 ¹ C w x22 w x1 w x2
0
(35)
La formulación del problema debe completarse dando las condicionas de borde. Sea, por ejemplo, el caso de la Figura 6. Para el borde libre x1 = a empleando (26) se tiene:
x1
N ° 11 ° a ® ° ° N12 ¯
0
0
o o
ª wu1 Q wu2 º w x2 »¼ «¬ w x1 x1 ª wu1 wu2 º ¬« w x2 w x1 »¼ x1
0 a
x2 0 a
>u1 @x 2 °° 0 ® ° °¯ >u2 @x2
0
0 (36)
0
0
mientras que en x2 = 0 la placa está impedida de desplazarse en el plano. Se sugiere al lector completar las condiciones de borde (36).
Figura 6: Ejemplo de condiciones de borde en un estado membranal de una placa rectangular
Encontrar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (31) que cumpla las condicionas de borde del tipo (36) resulta casi imposible aún en un caso aparentemente simple como el de la Figura 6. La solución existe pero no somos capaces de encontrar su representación analítica. En general, se encuentran soluciones aproximadas por vía numérica utilizando técnicas tales como diferencias finitas o elementos finitos. Más adelante, en el Capítulo 12, se desarrolla en detalle el método de elementos finitos para estados planos de modo que no nos ocupamos de ese tema en el presente capítulo. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
79
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5.2 Estado flexional: ij 0 Despejando los esfuerzos cortantes en (20) y (21), derivando respecto de x1 en (20) y respecto de x2 en (21) se obtiene:
wN13 w x1
w 2 M 11 w 2 M 21 w x12 w x1 w x2
(37)
wN 23 w x2
w 2 M 21 w 2 M 22 w x1 w x2 w x22
(38)
Reemplazando (37) y (38) en (22) se tiene:
w 2 M 11 w 2 M 12 w 2 M 22 p3 2 wx12 wx1 wx2 wx22
0
(39)
Reemplazando en (31) las curvaturas según su definición (11) y luego reemplazando en (39) se obtiene una ecuación diferencial en derivadas parciales de 4º orden:
w 4u3 w 4u3 w 4u3 2 w x14 w x12 w x22 w x24
p3 D
(40)
que es la ecuación diferencial de la placa en flexión derivada por primera vez por Navier en 1820. Utilizando la notación del operador bilaplaciano, 4u3 , se pone en evidencia la similitud con la ecuación diferencial para vigas: w4 y q p3 u3 @x
1
>u3 @x
2
0
0
0
0
ª wu3 º « » ¬ w x1 ¼ x1
0
ª wu3 º « » ¬ w x2 ¼ x2
0
0
(42)
0
(43)
2) Borde apoyado: no hay desplazamiento transversal y se anula el momento f lector por unidad de longitud M11. Según (31) y (11) se tiene:
> M 11 @x
1
a
ª¬ D F11 Q F 22 º¼ x 1
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
a
ª§ w 2u3 w 2u3 · º Q D «¨ ¸» 2 w x22 ¹ ¼ x ¬© w x1 1
80
0
(44)
a
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La ecuación (44) puede independizarse del material. A lo largo del apoyo u3 a, x2 { 0 u3
o
0
ª w 2u3 º « 2 » ¬ w x2 ¼ x1
ª w 2u º entonces (44) queda « 23 » ¬ w x1 ¼ x1
0 a
0
(45)
a
Resumiendo, para el borde apoyado x1 = a, según (44) y (45) se tiene:
a >u3 @ x
x1
1
a
ª w 2u3 w 2u3 º « 2 » w x22 ¼ x ¬ w x1
0
1
(46)
0 a
3) Borde libre: son nulos los esfuerzos resultantes
x2
b M 22
M 21
0
0
N 23
(47)
0
Estas tres condiciones no pueden ser independientes porque al ser la ecuación diferencial de 4º orden permite imponer solo dos condiciones en cada extremo. Esta situación se resuelve definiendo el “corte efectivo” que relaciona el momento torsor M21 con el corte N23. Teniendo en cuenta el principio de Saint Venant se pueden reemplazar los momentos torsores infinitesimales por cuplas, también infinitesimales como se indica en la Figura 8.
Figura 8: Reemplazo de momentos torsores infinitesimales por cuplas infinitesimales
Según se observa en la Figura 8-b se puede definir un corte equivalente al momento torsor N 23
y con él definir el corte efectivo N 23 efectivo :
x2
b N 23
wM 21 w x1
o
N 23 efectivo
ª wM 21 º « N 23 » w x1 ¼ x ¬ 2
(48) b
Recordando que los esfuerzos cortantes se calculan a partir de los momentos en la ecuación de equilibrio, puede reescribirse (48) considerando (21), (31) y (11) como:
N 23 efectivo
§ wM 21 wM 22 · wM 21 ¨ ¸ w x2 ¹ w x1 © w x1
2
wM 21 wM 22 w x2 x1
ª w 3u3 w 3u3 º D « 2 Q » w x12 w x2 w x23 ¼ ¬
(49)
La condición M22 = 0 conduce a una condición similar a (42) y (43) para el borde apoyado. En resumen considerando (49), (42) y (43) se tiene para el borde libre: x2
b
o
ª w 3u3 w 3u3 º ( 2 Q ) « 3 » w x12 w x2 ¼ x ¬ w x2
2
0 b
ª w 2u3 w 2u3 º « 2 » w x22 ¼ x ¬ w x1
2
0
(50)
b
La solución de la ecuación diferencial de la placa en flexión (40) que satisface las condicionas de borde del tipo descripto en (42), (43), (46) y (50) resulta imposible de lograr en forma analítica aún en casos aparentemente sencillos en cuanto a la carga p3 y a las condiciones de borde. En general se obtienen soluciones numéricas aproximadas mediante técnicas tales como diferencias finitas o elementos finitos. No obstante, como se ve en la sección siguiente, existen algunos casos particulares, pero de mucha aplicación práctica para los cuales la solución se conoce en forma exacta o casi exacta y se encuentra tabulada. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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6 SOLUCIONES TABULADAS Para los casos prácticos más frecuentes se dispone de resultados tabulados. Existen fórmulas aproximadas para estimar las tensiones máximas y los desplazamientos máximos para diversas condiciones de apoyo y de cargas, para placas de espesor constante de forma circular, anular, elíptica, rectangular, etc., tanto para pequeñas como para grandes deformaciones. A modo de ejemplo, se puede mencionar el manual “ROARK’s Formulas for Stress and Strain” donde se han tabulado soluciones para una diversidad de situaciones de las placas. En esta sección se presentan fórmulas aproximadas para casos de interés práctico referidos a: 6.1 placas circulares, rectangulares y elípticas con carga distribuida uniforme; 6.2 placas circulares cargadas en el centro; 6.3 placas anulares con distintos tipos de apoyo y de cargas; 6.4 cargas de colapso.
6.1 Placas con carga transversal uniformemente repartida q = cte. En esta subsección se presentan fórmulas para placas circulares, elípticas y rectangulares con carga uniformemente repartida para el caso de pequeños desplazamientos (6.1.1: teoría lineal) y también para para el caso de grandes desplazamientos (6.1.2: teoría no lineal). A continuación se establecen consideraciones de diseño para el caso lineal (6.1.3) y el no lineal (6.1.4). 6.1.1 Pequeños desplazamientos ( wmáx < 0,5 h ) - Caso lineal En este caso el efecto membranal es despreciable y se utilizan las siguientes fórmulas:
q §c· G ¨ ¸ E ©h¹
wmáx h
V donde:
tensión máxima.
§c·
4
(51)
2
Eq¨ ¸ ©h¹
(52)
h espesor de la placa.
c lado menor de la placa.
q carga transversal uniforme por unidad de área.
módulo de Poisson.
wmáx desplazamiento transversal máximo de la placa.
E módulo de elasticidad.
Los coeficientes y para ser usados en (51) y (52) se obtienen de la Tabla 1 en la página siguiente y de la Tabla 6 al final del capítulo para el caso = 0,3; en esas tablas se encuentran tabulados los valores de o , 1/ c y 1/ e que permiten calcular , c y e : ^ 2 )/o se usa en (51) para determinar el desplazamiento transversal máximo. c se usa en (52) para hallar la tensión en el centro de la placa. e se usa en (52) para hallar la tensión en el centro del borde empotrado. Las mayores tensiones ocurren en el borde empotrado donde se utiliza e. a) En el caso de materiales dúctiles se puede admitir cierta plastificación localizada en el empotramiento y diseñar utilizando en la ecuación (52) un p promedio:
Ep
1 2
Ec Ee
(53)
b) En el caso de materiales frágiles debe utilizarse siempre e . c) En el caso de carga repetida (fatiga ) debe utilizarse siempre e . Para grandes deformaciones (w máx > 0,5 h ) los valores dados por (51) y (52) son demasiado conservativos, por ello resulta conveniente encarar un análisis no lineal como se ve más adelante. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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6,37 + 5,91 + 8,63 4
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Tabla 1: Pequeñas deflexiones: wmáx < 0,5 h
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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6.1.2 Grandes desplazamientos (w máx > 0,5 h ) - Caso no lineal Cuando se producen grandes deflexiones la placa desarrolla su capacidad de resistir membranalmente (como los cables). La placa aumenta su rigidez al poder equilibrar la carga en parte por tracción (además de la f lexión ). El problema es altamente no lineal.
Figura 9: Tensión máxima en la placa en función del desplazamiento máximo
Figura 10: Carga soportada por la placa en función del desplazamiento máximo
Figura 11: Tensión máxima en la placa en función de la carga creciente
Una buena aproximación para calcular la tensión adimensional V en función del desplazamiento máximo adimensional w se logra agregando un término cuadrático. Ver la Figura 9 y la ecuación (56). Para la calcular la carga adimensional q en función del desplazamiento máximo adimensional w conviene agregar un término cúbico. Ver la Figura 10 y la ecuación (55). En la Figura 11 se observa que el aumento porcentual de la tensión es menor que el aumento porcentual de la carga q. Cuando el desplazamiento se hace grande la placa se hace más rígida y más resistente. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Definiendo variables adimensionales se pueden usar fórmulas aproximadas relativamente simples:
w
w h
q § c · ¨ ¸ E © h ¹
q
4
V § c ·
V
2
(54)
¨ ¸ E © h ¹
q
K1 w K 2 ( w)
V
K 3 w K 4 ( w)
3
(55)
2
(56)
Los coeficientes K1, K2, K3 y K 4, se presentan en la Tabla 2 para 7 casos. La Tabla 3 tiene 12 casos particularizados para el módulo de Poisson = 0,3. En los casos de apoyos empotrados se dan dos pares valores para K3 y para K4 que permiten calcular la tensión en el centro y en borde empotrado, en este último caso se indican con un asterisco. Notar que (51) puede escribirse como : 1 (57) w q
G
Además, multiplicando ambos miembros de (52) por ( c/h )2/E y luego reemplazando q por el valor dado en (57) se tiene :
E (58) w G En consecuencia existe correspondencia entre los valores (, ) de la Tabla 1 para pequeñas deflexiones y los valores ( K1, K 3 ) de la Tabla 2 para grandes deflexiones: 1 E K1 ; K3 (59) G G Hay que tener presente que las ecuaciones no lineales propuestas (55) y (56) son aproximaciones algo burdas, pero una mejor aproximación requeriría varios términos de orden superior (desarrollo de McLaurin). Para evitar inconsistencias K1 K 4 w ! w0 siendo w0 (60) (55) y (56) sólo deben usarse cuando: K 2 K3 V
Esas aproximaciones relativamente simples (cuadrática y cúbica) permiten despejar la solución de una manera sencilla: x Si el dato es la carga q se resuelve la ecuación cúbica (55) haciendo qoq o T
q o S 2K2
[ K1 /(3K 2 )] 3 T 2 o w ( S T )1/3 ( S T )1/3 o V o ( w, V )
(61)
Para obtener buenos resultados, S y T deben calcularse con muchas cifras significativas. x Si el dato es la tensión (por ejemplo adm ) se resuelve la ecuación cuadrática (56) haciendo ( K3 ) 4 K 4 V K3 2
V
o
V
o
w
2K4
o
w ow
q
q oq
(62)
6.1.3 Consideraciones de diseño usando la teoría lineal Se tienen dos ecuaciones y cinco variables principales (c, h, , q y w ) . w q E q (c / h ) 2 (52) V (51) G (c / h ) 4 h E Siempre es posible despejar dos de las variables cuando se conocen las tres restantes. El problema más frecuente en diseño es calcular el espesor h cuando c y q son datos y se dan los valores máximos admisibles para las tensiones y los desplazamientos:
V d V adm Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
w d wadm
85
(63)
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reemplazando estos valores en (51) y (52) permite despejar dos valores para el espesor 1/3
4
2
§ G q c4 · Eq §c· E q ¨ ¸ V adm h ! h2 c ¨ ¸ V adm ©h¹ © wadm E ¹ y debe adoptarse el mayor espesor entre h1 y h2 porque satisface las dos ecuaciones. q §c· w G ¨ ¸ adm h ! h1 E ©h¹ h
(64)
6.1.4 Consideraciones de diseño usando la teoría no lineal La Figura 12 (similar a la Figura 11) muestra la relación no lineal entre la carga q y la tensión . Notar que en este caso no lineal el coeficiente de seguridad en tensiones es menor que el coeficiente de seguridad en cargas, o sea: ( Cs )V ( Cs ) q .
Figura 12: Distintas maneras de calcular el coeficiente de seguridad (en cargas o en tensiones )
Para estar del lado seguro se puede utilizar (Cs) = falla / , o definir una adm. Para calcular el espesor h en función de los datos habituales c, q, adm y wadm se procede por tanteos. Datos:
c, q, adm y wadm
Proponemos: hi
Calculamos:
qi o wi o V i o ( wi ,V i )
Controlamos que: V i V adm y wi wadm
Debemos repetir hasta satisfacer (63). Notar la importancia de la expresión explícita (61) que provee directamente la solución de la ecuación (55). Conviene hacer una tabla del tipo (65): h
q
T
( S T )1/3 ( S T )1/3
S
V
w
wmáx
V
(65)
Debe destacarse que generalmente la diferencia 8 parece insignificante, pero debe calcularse con cuidado porque su raíz cúbica puede ser importante. El cálculo no lineal es necesario cuando se debe calcular el espesor para una carga pequeña menor que qL :
qL
G (V adm ) 2 2 w0 E E
(V adm ) K2 K3 K 4 E
2
(66)
La carga pequeña qL se dedujo haciendo wmáx = ( w0 h ) en (51) y adm en (52) lo que permite eliminar el tamaño característico “c”, luego se usaron (59) y (60). La ecuación (66) muestra que la carga pequeña q < qL que requiere análisis no lineal no depende del tamaño de la placa pero si depende de la forma y del tipo de apoyo. METODOLOGÍA DE CÁLCULO
x El hecho de que la carga sea menor que qL no justifica comenzar el cálculo del espesor necesario utilizando de entrada la teoría no lineal; la carga qL es sólo un valor de referencia. x Es recomendable comenzar siempre empleando la teoría lineal porque es más simple. x Si al emplear la teoría lineal se encuentra que w ! w0 , los valores obtenidos son igualmente útiles ya que están del lado de la seguridad y además sirven como referencia si se decide realizar un posterior análisis no lineal. x Si el cálculo no lineal es necesario, es recomendable adoptar de entrada el espesor mínimo que estamos dispuestos a utilizar por razones de fabricación y manipuleo y luego usar (65). Todo lo anterior se puede observar en detalle en el gráfico final del problema 5 en la página 94. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Tabla 2 Grandes deflexiones w > w0
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siendo w0 = K 1 K 4 / K 2 K 3
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Tabla 3 Grandes deflexiones w > w0 = K 1 K 4 / K 2 K 3
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Caso = 0,3
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6.2 Placa circular con presión en una pequeña zona central ( r0 / r < ½ )
Tabla 4: Placa circular con carga en el centro r0 < r /2 0,33 h r0 0,5 r si r0 0,33 h
o
o usar r0
Bordes empotrados
S r02 q
0,33 h
máx en el centro
wmáx
r02 · 3P § r Q Q 1 (1 ) (1 ) ln ¨ ¸ 2S h 2 © 4r2 ¹ r0 3 (1 Q ) P § r r02 · ¨ ln + ¸ 2S h 2 © r0 4 r 2 ¹
3 (1 Q ) (3+Q ) P r 2 4S E h3
Placa circular Bordes apoyados
P
3 (1 Q 2 ) P r 2 4S E h3
6.3 Placa anular con distintos apoyos y cargas
Tabla 5: Placa anular a: radio de la placa ro: radio del orificio
V máx
K1
q a2 h2
wmáx
K2
q a4 E h3
V máx
K1
P h2
wmáx
K2
P a2 E h3
Los coeficientes K1 y K2 se interpolan en función de x para 0,1 < x < 0,9 Caso
K1
x
r0 / a
K2
1
3,3 4,37 x 4,54 x 2 18,36 x3 12,75 x 4
0,52 1, 4 x 2, 46 x 2 0,54 x 3
2
10 34 x 56, 4 x 2 48,5 x 3 16,1 x 4
1 3, 26 x 9,57 x 2 5,31 x 3
3
8 29,76 x 48, 44 x 2 40, 46 x3 13,78 x 4
1 2, 2 x 1,15 x 2 5, 26 x 3 2,91 x 4
4
2,06 1,97 x 2,56 x 2 2, 48 x3
0,92 2,56 x 2, 25 x 2 0,61 x 3
5
6 21,6 x 31,6 x 2 22, 4 x 3 6, 4 x 4
0,54 1,98 x 2, 43 x 2 1 x 3
6
2,5 9,88 x 18, 44 x 2 17,17 x 3 6,11 x 4
0, 236 0,764 x 0,83 x 2 0,3 x 3
7
2,6 1,8 x 1, 25 x 2 0, 45 x 3
0, 43 3, 23 x 7,39 x 2 3,73 x 3
8
2,86 6,86 x 6,87 x 2 3,53 x 3 0,657 x 4
0,63 1,57 x 0,74 x 2 0,75 x 3 0,55 x 4
9
4 21,3 x 48, 26 x 2 48,67 x 3 17,71 x 4
0, 274 0,156 x 2,35 x 2 3,12 x3 1, 2 x 4
10
0,76 0,09 x 0,89 x 2 1,73 x 3 1,77 x 4
0,19 0, 246 x 2,1 x 2 2,7 x 3 1,036 x 4
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6.4 Carga de colapso para materiales dúctiles Resulta útil poder determinar un coeficiente de seguridad a colapso de una placa. La carga de colapso se puede expresar de manera similar a (52):
J V f h /c
qc
donde: J
2
(67)
6 para una placa circular apoyada. ° ® 11, 26 para una placa circular empotrada. ° 1,3 para una placa rectangular apoyada D ¯ 1, 42 4,06 D
c /A d 1
qc resulta superior al valor provisto por (52) en el orden del 80 %. La máxima carga concentrada, P , actuando en cualquier punto de una placa de cualquier forma y tamaño y cualquier condición de apoyo puede estimarse como:
Pc
1 S h2 V f 2
(68)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tabla 6: Pequeñas deflexiones: wmáx < 0,5 h ( módulo de Poisson = 0,3 )
Forma
lado menor lado mayor
D
Relación de lados
Apoyo
Caso
1/
1/c
1/e
Articulado
1
23
3,232
////
Empotrado
2
93,77
8,205
5,333
Articulado
3
7 + 6,5 + 9,5
Empotrado
4
35,2 + 58,6
Articulado
5
7 + 15,7
Empotrado
6
35,2 ( 1 + 4 )
Cortos apoyados Largos empotrados
7
35,2 + 10,8
Cortos empotrados Largos apoyados
3
3
4
1,332 + 1,9
4 + 4,2
////
3
1,33 + 2,2
4
2,2
2 + 3,33 3 2,8
////
4
4
2(1+ )
4(1+ )
4+
5
2 + 0,4
5
3,2
8
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
7 + 41
90
3,5
X` _ 1 3
Y ` _
1,33 + 1,1
3,6
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PRÁCTICO
Teoría de Placas
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1. Un recipiente circular de 240 cm de diámetro y 100 cm de altura está lleno de agua. El fondo está apoyado en el perímetro y en un círculo central de 40 cm de diámetro.
adm = 1200
E = 2100000
^` _
Calcular el espesor del fondo y la carga sobre el apoyo central.
2. Estimar la tensión máxima en el fondo circular del croquis cuando la brida de salida es forzada a subir 0,2 cm durante el montaje con el tanque vacío.
f = 2400
^` _ E = 2100000
h=1
h1 = 0,4
3. Una escotilla elíptica de 0,516 cm de espesor debe soportar una presión de 300 cm de agua. Considerar bordes apoyados sin restricción axial.
f = 2400
adm ^``^` _ E = 2100000
a) Determinar (CS ) c a presión de colapso. b) Determinar (CS ) a tensión de fluencia. b) Verificar si wmáx < c/100. (c = lado menor)
4. Para disminuir la
en una placa cuadrada se le coloca una viga central de apoyo, resultando dos tramos rectangulares. máx
a) ¿ En qué porcentaje disminuye la tensión máxima máx si el espesor de la placa se mantiene ?
b) ¿ En qué porcentaje se puede disminuir el espesor determinado por la tensión admisible ? Considerar el caso apoyado y el empotrado, admitiendo y no admitiendo plastificación.
5. Se deben fabricar tanques cilíndricos de 45 cm de diámetro y diversas alturas H. Graficar la relación entre el espesor mínimo requerido (h) y la presión (q) en el fondo plano del tanque lleno de agua para H ``cm. Material: adm = 1200
E = 2100000
= 0,3
Considerar bordes apoyados sin restricción axial. Restricciones:
a) El desplazamiento máximo debe ser menor a 0,45 cm. b) La tensión máxima debe ser menor que la tensión admisible. c) Por razones de fabricación y manipuleo considerar hmín = 0,2 cm. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
91
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SOLUCIÓN del PRÁCTICO
Teoría de Placas
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1 Cálculo del espesor del fondo y la carga sobre el apoyo central en un recipiente circular con agua. Resolvemos por el método de las fuerzas quitando el apoyo central q U h 0,001 x 100 0,1 a) Considerando bordes apoyados Sin apoyo central: Caso 1 Tabla 6 G 0,04348 E 0,3094
qc 4 0,1 x 2404 6,8693 x 0,04348 3 3 Eh 2100000 h h3 Desplazamiento 1 en el centro debido a la carga unitaria actuando sola en la zona central: 3(1 Q ) (3+Q ) P r 2 3 x 0,7 x 3,3 x 1 x 1202 0,0037815 Tabla 4 G 1 3 3 4S E h 4 x S x 2100000 x h h3 Ec. (51)
G0
G
Ecuación de compatibilidad: G 0 X G 1
6,8693 / h3 X 0,0037815 / h3
0
0 o
X
1817 kg
Notar que la reacción en el apoyo central es independiente del espesor de la placa. La superposición de las tensiones de distinto signo X y q no puede superar a adm . Ec. (52)
q V q
0,3094 x 0,1 x (240 / h)
Tabla 4
X V X
r02 · r 3P § ln 1 (1 ) (1 ) Q Q ¨ ¸ r0 2S h 2 © 4 r2 ¹
V X V q d V adm
2
1782 / h
2
3 x1817 § 120 202 · ln 1 1,3 0,7 x x x ¨ ¸ 2 S h2 © 20 4 x 1202 ¹
2884 h2
2884 / h 1782 / h d 1200 ................ h t 0,96 cm
o
2
2
b) Considerando bordes empotrados G
1 / 93,77
0,01066
G0
1,685 / h3
E
1 / 8, 205
0,1219
X
1131
G1
Vq
0,00149 / h3
VX
702 / h 2
1263 / h 2 ......... h t 0,68 cm
c) Considerando una situación intermedia entre los casos a) y b) Promediando los resultados a) y b) se tiene ...............................
X
1474 kg .......... h t 0,82 cm
Comparación: Calculamos el espesor ignorando el apoyo central y considerando bordes apoyados: Ec. (64)
ht c
E q / V adm
240 x
0,3094 x 0,1 / 1200
1, 22 .........
50 % más que en el caso c)
2 Estimación de la tensión máxima en un fondo circular por un defecto de montaje.
E h3 wmáx K2 a2
P
V máx
K 1P / h2
Tabla 5 wmáx
K 2 P a 2 / ( E h3 ) despejando P:
2100000 x 13 x 0, 2 ............... P K 2 x 502
K 1 (168 / K 2 ) / (1)2 ..... V máx
168 / K 2 168 K1 / K 2
Se consideran varias condiciones de apoyo aplicables a esta problema: x = ro /a = 10/50 = 0,2 Perímetro apoyado apoyado empotrado
Centro apoyado empotrado apoyado
Caso 1 8 9
K1 2,37 1,74 1,31
K2 0,706 0,351 0,234
P 238 479 718
máx 557 833 940
Como las distintas condiciones de apoyo consideradas son casos ideales, se puede asumir que el caso real corresponde a una situación intermedia y se puede estimar que: ................... 600 V máx 900 Si se quiere estar del lado de la seguridad se puede suponer que ..................................... V máx Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
92
940
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3 Verificación de la seguridad de una escotilla elíptica y su desplazamiento máximo. Uh
q
Carga de 3 metros de agua:
0,001 x 300
0,3
D c /A 48 / 80 0,6 o K1 7 6,5 x 0,6 9,5 x (0,6)4 12,13 4 2 x (0,6) 4 4,26 ; K 3 5,27 1,84 x (0,6) 2 5,93 ; K 4 1,18
Tabla 3, Caso 5:
K2
a) Coeficiente de seguridad a colapso
J 1,42 4,06 x (0,6) 1,3 3,51
Ec. (67)
CS
C
(se estima con la fórmula para rectángulos)
qC / q
0,9735 / 0,3
qC
J V f h /c
2
3,51 x 2400 x (0,516 / 48) 2
3, 24 .........................................................................
CS
0,9735 C
3, 24
b) Coeficiente de seguridad a fluencia Ec. (66)
K 2 (V adm ) 2 K3 K 4 E
qL
Secuencia (61)
w
§ 48 · 0,3 x¨ ¸ 2100000 © 0,516 ¹
q
Ec. (54)
4, 26 x 1200 2 0, 42 q 0,3 qL 0, 42 Cálculo no lineal 5,93 x 1,18 x 2100000 q o S [ K1 / (3K 2 )] 3 T 2 o w ( S T )1/3 ( S T )1/3 o V o V qoq o T 2K2
(2,815)1/3 (0,3038)1/3
4
10,697
0,74
o
Ec. (56)
10,697 2 x 4, 26
T
V
1, 2555
o
5,93 x 0,74 1,18 x (0,74)2
Vf 2400 § 0,516 · ........ 5,03 x 2100000 x ¨ ¸ 1221 CS f 1221 V © 48 ¹ c) Control del desplazamiento máximo wmáx w h 0,74 x 0,516 0,38 ½° ¾ ........................................................ wmáx wadm wadm c / 100 48 / 100 0, 48°¿ 2
Ec. (54)
V
S
1,5593
5,03
CS
f
1,96
VERIFICA
d) Comparación con el cálculo lineal ( Tabla 6 caso 3 ) Ec. (51) wmáx G qc 4 / ( Eh3 ) 0, 08247 x 0,3x 484 / (2100000 x 0,5163 ) 0, 46 20 % superior al real Ec. (52)
V máx
E q c2 / h2
0,5135 x 0,3 x 482 / 0,5162 1333
9 % superior al real, V máx
1221
4 Incidencia de agregar un travesaño.
Notación: c = cuadrado r = rectángulo. La relación entre los lados menores (c) es: cr = cc /2 Ec. (52)
Vc Vr
E c q (cc / hc )2 ½°
¾ E r q (cr / hr )2 °¿
o Vr /Vc
hr
hc
Vr
V c o h r / hc
E r / (4 E c ) E r / (4 E c )
Los valores de para placa cuadrada y rectangular se pueden obtener en la Tabla 6 para = 0,3: TABLA 6 (pág. 90) Caso5 Caso 6
Apoyado Empotrado
Placa Cuadrada = cc /[ = 1 Centro c Borde e Promedio p 0,283 --------0,125 0,250 0,188
Placa rectangular = cr /[ 0,5 Centro c Borde e Promedio p 0,607 --------0,235 0,470 0,353
Disminución de la tensión máxima o del espesor requerido debido al agregado del travesaño: Valores fijos
Valor que disminuye
Bordes Apoyados
Bordes empotrados Sin Plastificación Con plastificación
q, c, h
Disminución % en máxima
46,4
53,0
53,0
q, c, adm
Disminución % en hrequerido
26,8
31,5
31,5
Conclusión: Al agregar el travesaño la tensión máxima en la placa se reduce alrededor de un 50 %, o bien se puede usar una placa con un espesor menor (disminuye alrededor de un 30 % ) . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
93
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5 Cálculo del espesor requerido para un fondo plano circular en función de la carga. Cálculo lineal:
Tabla 6 caso 1
Cálculo no lineal: Tabla 3 caso 1 Ec. (66)
qL
K 2 (V adm ) K3 K 4 E
2
G 1 / 23 0,04348
E 1 / 3, 232 0,3094
K1
K3
K2
23
6
7,11
K 4 1,18
2
6 x (1200) 7,11 x 1,18 x 2100000
0,49
a) Cálculo lineal cuando q > 0,49 Ec. (51)
wmáx h
G
Ec. (52)
V máx
E q c / h q2
q 4 c / h q1 E 2
E wadm
(h1 )3
Gc V adm (h )2 E c2 2 4
2100000 x 0, 45 (h1 )3 4 0,04348 x (45) 1200 (h 2 )2 .... 0,3094 x 452
q1
5,300 (h1 )3
q2 1,915 (h 2 ) 2
b) Cálculo no lineal cuando q < 0,49 3 dato wadm = 0,45 w1 wadm / h1 0,45/h1 Ec. (55) q 1 23 x (0,45 /h1 ) 6 x (0,45/h1 ) Ec. (54) q1 q1 E (h1/c) 4 0,512 q1 (h1 ) 4 ................................................ q1 5,3 (h1 )3 0, 28 h1 dato adm = 1200, usamos la secuencia propuesta en (62):
Ec. (62)
Ec. (54)
V adm o V V 1,157 / (h 2 )
V adm c 2 o w E h2 2
w2
( K3 )2 4 K 4 V K3 2K4
9, 08 0,98 /(h 2 ) 3, 01
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
2
94
o q
Ec. (55) y (54)
K1 w K 2 ( w)3 o q
q E (h/c)4
q2 0,512 x ¬ª 23 w 2 6 ( w 2 ) 3 ¼º (h 2 )4
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Capítulo 5
TEORÍA DE SEGUNDO ORDEN PARA ELEMENTOS PRISMÁTICOS 1 INTRODUCCIÓN En un curso anterior de Análisis Estructural se dedujo la matriz de rigidez considerando el equilibrio en el sistema indeformado. Allí se formularon las matrices para pórticos y emparrillados planos suponiendo desacoplado el efecto de emparrillado plano del efecto de pórtico plano y además ambos efectos se consideraron desacoplados del efecto axial. Esa formulación que generalmente se denomina teoría de 1er orden permite plantear y resolver de una manera relativamente sencilla los problemas lineales y por ello se la utiliza en la mayoría de los casos. La limitación más seria de la teoría de 1er orden es que no permite considerar grandes deformaciones y tampoco permite estudiar el fenómeno de la estabilidad del equilibrio. Cuando se aplica la teoría de 2do orden, se deben plantear las ecuaciones de equilibrio en el sistema deformado. En el caso de una barra prismática bajo la acción de una carga axial deben plantearse tres ecuaciones diferenciales de equilibrio en función de los desplazamientos. Dos de ellas están asociadas a direcciones perpendiculares al eje de la barra (ejes principales de inercia ) y la restante al giro de cada sección alrededor del eje longitudinal de la barra. Esas tres ecuaciones diferenciales están ‘acopladas’ por lo deben resolverse simultáneamente. En el contexto de la teoría de 2do orden, un pórtico plano (estructura plana con cargas contenidas en su plano) debe considerarse como un problema espacial. Es conocido que si una barra en compresión “pandea” lo hace según la dirección que tiene asociada menor momento de inercia, y podría ser la dirección perpendicular al plano del pórtico. Un elemento prismático sometido a una carga axial de compresión (con o sin carga de f lexión) como el mostrado en la Figura 1 se denomina ‘viga-columna’.
Figura 1: Esquema de una viga-columna
Es importante notar que al considerar el equilibrio en la barra deformada (en el plano y fuera del plano) se acoplan los efectos axiales, flexionales y torsionales. Es obvio que en la parte central de la viga deformada hay una contribución de la carga axial al momento flector, según el plano del dibujo (Figura 1). Cuando la barra tiene desplazamientos horizontales, la carga axial también contribuye al momento flector según el plano perpendicular. No es tan obvio, aunque es igualmente cierto, que en ese caso la reacción de apoyo vertical produce una contribución al momento torsor en la parte central de la viga-columna.
2 ECUACIONES
DE EQUILIBRIO DE UNA BARRA DE PÓRTICO PLANO EN EL SISTEMA DEFORMADO
Cuando las cargas axiales son importantes hay un acoplamiento significativo entre las cargas axiales y el efecto de la f lexión aún para pequeños desplazamientos transversales. Para poder considerar esa situación y además poder calcular las cargas críticas de pandeo resulta imprescindible plantear las ecuaciones diferenciales de la elástica en el sistema deformado. A continuación se considera el caso de la barra de pórtico plano mostrada en la Figura 2. Se trata de una barra prismática simétrica respecto al plano (x1, x3 ) bajo la acción de cargas compresivas P y momentos M 1 y M 2 actuado en los extremos. Las cargas P actúan en el centro de gravedad de la sección y los momentos deforman a la viga en el plano vertical ( x1, x3 ). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
95
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
Figura 2: Barra de un pórtico plano
Como vamos a plantear el equilibrio en el sistema deformado, tenemos en cuenta que la barra puede flexionarse en el plano ( x1, x3 ) y también en el plano transversal ( x1, x2 ), y además torsionarse alrededor del eje x1. Las ecuaciones diferenciales son las habituales para flexión y torsión:
E I x2
d 2u3 dx12
M x*2
(1)
E I x3
d 2 u2 dx12
M x*3
(2)
d M x*1
d 4I d 2I E Iw 4 G J R dx1 dx12
(3)
dx1
donde los asteriscos, *, significan que los momentos están referidos a ejes locales ubicados en el sistema deformado, según se indica en la Figura 3. La ecuación (1) corresponde a la flexión en el plano de las cargas (recordar que la Figura 2 corresponde a un pórtico en el plano x1, x3 ). La ecuación (2) corresponde a la flexión en un plano transversal al plano de las cargas. La ecuación (3) es la ecuación diferencial de equilibrio correspondiente a la torsión (ver la Sección 6 del Capítulo 10 referido a vigas de pared delgada); en el primer miembro hay un primer término asociado a la restricción al alabeo libre y un segundo término asociado a las tensiones de corte de Saint Venant. Las reacciones verticales R 1 y R 2 según la dirección del eje x3 se originan en los momentos M 1 y M 2 actuantes en los extremos de la barra mostrada en la Figura 3:
R1
( M 2 M1 ) / L
R2
( M1 M 2 ) / L
(4)
Estas reacciones junto a los momentos de extremo M 1 y M 2 producen un momento f lector
M x2
M 1 R 1 x1
(5)
que provoca deformaciones de flexión contenidas en el plano vertical (x1, x3). Debido a la deformación en el plano horizontal aparece un momento torsor M x1 (de segundo orden ) causado por las reacciones verticales: (6) M x 1 R1 u2
a) vista según eje x1
b) vista según eje -- x2
c) vista según eje x3
Figura 3: Tres vistas mostrando la barra en el sistema deformado Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
96
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La contribución de los momentos M x1 y M x2 a los momentos asterisco resulta du M x*1 M x1 cos (x1 x1* ) M x2 cos (x2 x1* ) M x1 M x2 2 dx1 § · du M x*2 M x1 cos (x1 x2* ) M x2 cos (x2 x2* ) M x1 ¨ 2 ¸ M x2 © dx1 ¹ § du · M x*3 M x1 cos (x1 x3* ) M x2 cos (x2 x3* ) M x1 ¨ 3 ¸ M x2 I © dx1 ¹
(7)
Notar que M x2 >> M x1, porque M x1 está originado sólo en las pequeñas deflexiones laterales. Por ello, se puede despreciar el producto de M x1 por un pequeño giro frente a M x2. La contribución de la carga axial P a los momentos asterisco resulta dM x* 1 I d 2I P o M x*2 P u3 M x*3 d x1 A d x12 donde A es el área de la sección mientras que Io = Ix2+ Ix3 .
P u2
(8)
Sumando las contribuciones (7) y (8) y utilizando (5) se tiene d M x* 1 I o d 2I d 2 u2 P (M 1 R1 x1 ) d x1 dx12 A dx12 M x*2 M 1 R1 x1 Pu3
(9)
( M 1 R1 x1 ) I Pu2
*
M x3
Reemplazando R1 por el valor dado en (4) y llevando (9) a (1), (2) y (3) se obtiene un sistema de ecuaciones “desacoplado”
d 2u3 M M1 Pu3 2 x1 M 1 2 dx1 L
0
(10)
§ M M1 · d 2 u2 Pu2 ¨ 2 x1 M 1 ¸ I 2 dx1 L © ¹
0
(11)
E I x2 E I x3
2 I o · d 2I ª d 4I § § M 2 M 1 · º d u2 G J P M x 0 (12) 1 1 R ¨ ¸ ¨ ¸ « » 2 dx14 © A ¹ dx12 ¬ L © ¹ ¼ dx1 Notar que u3 y su derivada sólo aparece en la ecuación (10), por lo tanto podemos resolver esa ecuación en forma independiente de las otras dos.
EI w
Si suponemos, como ocurre en muchos casos, que los esfuerzos predominantes están contenidos en el plano del pórtico podemos dejar sin resolver las ecuaciones (11) y (12). Nos proponemos ahora plantear la matriz de rigidez de una barra de pórtico plano resolviendo la ecuación diferencial desacoplada (10).
3 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA CON CARGA AXIAL Para deducir la matriz de 2do orden (13) procedemos en la forma habitual deduciendo primero la matriz de rigidez en un sistema local. Suponemos que la barra está orientada según el eje x1.
ª AE/L « 0 « « 0 « « AE/L « 0 « ¬« 0
0
0
K 22 K 32 0 K 52 K 62
K 23 K 33 0 K 53 K 63
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
AE/L 0 0 AE/L 0 0
97
0 K 25 K 35 0 K 55 K 65
0 K 26 K 36 0 K 56 K 66
i º u1 » °ui » ° 2 » °° I i » 2(1 cos kL ) kL sen kL @ k
(20) K 33
k ( sen kL kL cos kL ) EI 2(1 cos kL) kL sen kL
(26)
Reordenando (25) y (26), los elementos K23 y K33 de la matriz de 2do orden pueden escribirse como un coeficiente que multiplica al correspondiente elemento de la matriz de 1er orden:
K 23
6 EI D2 L2
o
D2
K 33
4 EI D3 L
o
D3
(kL) 2 (1 cos kL )
(27)
6 > 2 (1 cos kL) kL sen kL @ kL (sen kL kL cos kL )
(28)
4 > 2(1 cos kL) kL sen kL @
Los elementos K53 y K63 se determinan por equilibrio de fuerzas y momentos en la Figura 4:
K 23
por equilibrio de fuerzas verticales
K 53
por equilibrio de momentos respecto al nudo j
K 63 K 33 K 23 L
(29)
0
(30)
Despejando K63 en (30), reemplazando K23 y K33 según (25) y (26) y operando se puede escribir el elemento K63 de la matriz de 2do orden como un coeficiente 4 que multiplica al correspondiente elemento de la matriz de 1er orden: 2 EI kL ( kL sen kL ) (31) D 4 K 63 o D4 L 2 [2 (1 cos kL) kL sen kL] 3.1.2 Deducción de los elementos de la 2da columna de la matriz de rigidez Para obtener la 2da columna de la matriz de rigidez se utiliza un razonamiento físico similar al usado para obtener la 3ra columna; hacemos el desplazamiento correspondiente igual a la unidad ( u2i = 1 ) , y los restantes iguales a cero ( u2j Ii I j = 0 ) como se indica en la Figura 5.
Figura 5: Deducción de la 2da columna de la matriz de rigidez de una barra comprimida
Aplicando el principio de reciprocidad a los sistemas de las Figuras 4 y 5 se tiene
K 32 u2i
K 23 I i
donde I i = 1 ( Figura 4 ) y u2i
1 ( Figura 5) o
K 32
K 23
(32)
Observando la Figura 5 se tiene: por equilibrio de fuerzas verticales en la Figura 5
K 52
K 22
(33)
por la condición de antisimetría en la Figura 5
K 62
K 32
(34)
Por equilibrio de momentos respecto al nudo j en la Figura 5:
K 32 K 62 K 22 L P x 1
0 usando (34) K 22
2 K32 P / L
(35)
Usando (32), (25) y (17) y operando algebraicamente en (35) se llega a:
K 22
12 EI D1 3 L
o
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
D1
(kL)3 sen kL 12 [2 (1 cos kL) kL sen kL] 99
(36)
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3.1.3 Deducción de los elementos de la 5ta y 6ta columna de la matriz de rigidez Las columnas 5ta y 6ta se obtienen fácilmente comparando el sistema de la Figura 6-a con el sistema de la Figura 5 y el sistema de la Figura 6-b con el sistema de la Figura 4.
Figura 6: Esquemas de deformación para obtener la 5ta y 6ta columna de la matriz de rigidez
Comparando la Figura 6-a con la Figura 5 se obtiene la 5ta columna: K 25 K 52 K 35 K 62 K 55 K 22 K 65 K 32
(37)
Comparando la Figura 6-b con la Figura 4 se obtiene la 6ta columna:
K 53
K 26
K 36
K 63
K 23
K 56
K 66
K 33
(38)
3.1.4 Matriz de rigidez de una barra con carga axial de compresión Resumiendo todos los resultados anteriores podemos escribir en forma explícita la ecuación (13)
K
( AE ) / L
K1 12 EI / L3 K2
6 EI / L2
K3
4 EI / L
ª « « « « « « « « ¬
K
0
0
K
0
0
K1 D1
K2 D2
0
K1 D1
0
K2 D2
K3 D 3
0
K2 D2
K
0
0
K
0
0
K1 D1 K 2 D 2
0
K1 D1
0
K2 D2
0
K2 D2
1 2
K3 D 4
i º u1 » ° K 2 D 2 » ° u2i 1 K 3 D 4 » °° I i 2 » K @
(5628000 D 3
(1)
S 2 x 2100000 x 134 / 3002 ..... Pe
3752000 D 3
(2)
3752000
12 x 2100000 x 134 / 3003 ... K1( 2)
125,067
ªI2 º «u » ¬ 3¼
ªM 2 º «Q » ¬ 3¼
ª5628000 D 3(1) 3752000 D 3( 2 ) « 18760 D 2( 2 ) ¬«
) 125,067 D1
(2)
30859
3752000 ........ K 3( 2)
K 2(2) D 2(2) º » K1(2) D1(2) ¼
Matiz de rigidez del sistema: ............................ K
5628000
M2
4 x 2100000 x 134 / 300 18760
69433
(18760 D 2 ) (2)
2
18760 D 2( 2 ) º » 125,067 D1( 2 ) ¼»
0 . Se resuelve por tanteos.
Se puede acotar el caso real entre dos condiciones límites considerando la contribución de la barra (1) a la rigidez al giro del nudo 2: Ec. (59) caso b
Ec. (59) caso d
Pcrít = ¼ Pe = 7715
Pcrít = ?????
Pcrít = Pe = 30859
K = K3(1) 3(1)
K=0
K = _
Dado que 7715 < Pcrít < 30859, comenzamos el tanteo proponiendo P = 20000 kg. P
Barra (1) Pe = 69433 x=P/Pe 3 = 1– 0,35 x
x=P/Pe
Barra (2) Pe = 30859 3 = 1– 0,35 x 1 = 1– x
2 = 1– 0,17 x
det [K]
20000
0,288
0,899
0,648
0,773
0,352
0,890
+ 72 x 106
22000
0,317
0,889
0,713
0,750
0,287
0,879
+ 8,96 x 106
22500
0,324
0,886
0,729
0,745
0,271
0,876
– 6,39 x 106
22000 500 (8,96) / (8,96 6,39)
22292 kg .
Interpolando Pcrit
c) Carga crítica de la columna La carga crítica de la columna es...... Pcrít Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
x1 x3
x1 x2
menor ^ 28934 ; 22292
113
` .............
Pcrít
22292 kg
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2 Determinación de las cargas máximas admitidas por una columna tubular considerando pandeo y mayorando todas las cargas con un coeficiente de seguridad CS = 3 en todos los casos. Propiedades de la sección tubular A S (42 3,42 ) / 4 3,49 cm 2
S (44 3,44 ) / 64
I
6 cm 4
3 cm3
6/2
W
a) Carga máxima Qadm cuando P = 0 Verificación a f luencia: .................. Ec. (57)
V máx
Qadm L / 8
M máx
Qadm L / 8 Qadm x 300 / 8 12,5 Qadm 3 3 o 12,5 Qadm 2800 / 3 ............. Qadm 75 kg
M máx W V f / CS
V máx
b) Carga máxima Padm cuando Q = 0 Verificación a fluencia: V Verificación a pandeo: Ec.(44)
Pcrít CS
(S E I ) / L
3
2800 / 3 ... Padm
3257 kg
Carga crítica columna biempotrada = 4 Pe.
2
V crít
5527
Padm
Padm / 3, 49
(S x 2100000 x 6) / 3002 ................... Pe
2
4 x 1381,7
Ec. (59) "
2
Pe
V f / CS
Pcrít / A
5527 / 3, 49
1381,74
1584 V f
Pcrít / 3 = 5527 / 3 = 1842,3 ..................... Padm
1842 kg
c.1) Carga máxima Qadm cuando P = 500 – Teoría de 1er orden Verificación a f luencia:
P M máx A W
V
3 x 500 3 x Qadm x 300 / 8 3, 49 3
1500 112,5 Qadm 3, 49 3
V
Vf
2800 .............. Qadm
2800 63 kg
c.2) Carga máxima Qadm cuando P = 500 – Teoría de 2do orden Matriz barra (1) Ec.(39)
ª K1(1) D1(1) « (1) (1) ¬« K 2 D 2
K 2(1) D 2(1) º ªu2 º »b. Los valores asintóticos para a > >b de las Figuras 7, 8, 9, 10 y 11 del Capítulo 6, se resumen en la Tabla 1. Tabla 1: Coeficientes de pandeo local ( valores asintóticos para a > > b )
Caso
Figura del C apítulo 6
Tipo de apoyo de los lados largos
Sección A-A ( Figura 4 )
K
1
Dos lados apoyados
7
4,0
2
Dos lados empotrados
8
7,0
3
Un lado empotrado y otro apoyado
9
5,4
4
Un lado empotrado y otro libre
10
1,3
5
Un lado apoyado y otro libre
11
0,42
El valor de la tensión crítica dada en la ecuación (2) es independiente del largo a y de las condiciones de apoyo (articulado o empotrado) en los extremos donde actúa la carga de compresión P. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
152
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3.2 Placa solicitada en flexión y/o compresión En el caso de placas que están solicitadas a f lexión o f lexo-compresión, la tensión crítica se calcula con la ecuación (2) y los coeficientes de pandeo dados en la Tabla 2. Tabla 2: Coeficientes de pandeo local K para el caso de flexión de la placa
"
1
"$@
2 /
1
3
4
5
6
7
8
empotrado empotrado
2
apoyado
apoyado
empotrado
libre
apoyado
libre
empotrado apoyado
empotrado
apoyado
libre
empotrado
libre
apoyado
1
7,0
5,4
5,4
4,0
1,3
1,3
0,42
0,42
0
13,6
11,6
9,8
7,7
5,9
1,6
1,7
0,57
–1
39,6
35,0
28,0
23,8
14,9
2,16
6,8
0,84
Para valores intermedios de la relación x = 2/1 se puede interpolar utilizando las expresiones aproximadas dadas en la Tabla 3. Debe respetarse la siguiente convención: 1) Cuando 1 y 2 son ambas de compresión se denota 1 a la de mayor valor absoluto. 2) Cuando 1 y 2 tienen distinto signo se denota 1 a la tensión de compresión. Tabla 3: Fórmulas de interpolación para el coeficiente K en función de la relación x = 2 / 1
Caso
1
2
Polinomio de interpolación
x = –1
x=0
x = +1
1
Empotrado Empotrado
13,6 – 13 x + 9,7 x2 – 3,3 x3
39,6
13,6
7,0
2
Empotrado Apoyado
11,6 – 12 x + 8,6 x2 – 2,8 x3
35,0
11,6
5,4
3
Apoyado
Empotrado
9,8 – 9 x + 6,9 x2 – 2,3 x3
28,0
9,8
5,4
4
Apoyado
Apoyado
7,7 – 7 x + 6,2 x2 – 2,9 x3
23,8
7,7
4,0
5
Empotrado Libre
5,9 – 6 x + 2,2 x2 – 0,8 x3
14,9
5,9
1,3
6
Libre
Empotrado
1,6 – 0,37 x + 0,13 x2 – 0,06 x3
2,16
1,6
1,3
7
Apoyado
Libre
1,7 – 2,55 x + 1,91 x2 – 0,64 x3
6,8
1,7
0,42
8
Libre
Apoyado
0,57 – 0,19 x + 0,06 x2 – 0,02 x3
0,84
0,57
0,42
3.3 Placa solicitada en corte En el caso de placas de alma de secciones del tipo mostrado en la Figura 2 que están solicitadas a corte como se indica en la Figura 5, la tensión crítica de corte crít se calcula usando las ecuaciones (48) y (49) del Capítulo 6. Partiendo de N12 crít, la tensión crítica de corte se obtiene haciendo crít = N12 crít / h y se llega a :
W crít
S 2E §h· K ¨ ¸ 2 12 (1 Q ) © b ¹
2
(3)
donde para a/b > 1 bordes apoyados
K = 5,35 + 4 / (a/ b)
2
" @ " K = 8,98 + 5,6 / (a/b)
(4) 2
(5)
Figura 5: Tensión crítica de una placa solicitada a corte Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
153
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3.4 Placa solicitada en flexión compuesta y corte En casos de carga combinada, como en la Figura 6, se debe calcular por separado la tensión crítica V crít para f lexión compuesta sola como se indicó anteriormente y la tensión crítica crít para el corte actuando solo, para luego calcular el coeficiente de seguridad CS empleando una curva de interacción.
CS
OPc OP
(6)
Figura 6: Coeficiente de seguridad de una placa solicitada a flexión compuesta y corte
Notar que la tensión crítica crít debe calcularse según (2) utilizando el coeficiente de pandeo que corresponda usando las Tablas 1, 2 ó 3. Debe tenerse presente que el crít utilizado no puede ser mayor que la tensión de f luencia en compresión.
V crít
2 ° ½° S 2E §h· menor ® K ¨ ¸ , Vf ¾ 2 °¿ ¯° 12 (1 Q ) © b ¹
(7)
Similarmente la tensión de corte crítica se calcula según (3) usando los coeficientes de pandeo aproximados dados por (4) y (5).
W crít
2 ° Vf S 2E §h· menor ® K ¨ ¸ , 2 2 °¯ 12 ( 1 Q ) © b ¹
½° ¾ °¿
(8)
El coeficiente de seguridad para el pandeo local se puede obtener también usando la ecuación (9) provista por la Norma DIN 4114.
1 CS
V1 V 2 4 V crít
2
§ 3V 1 V 2 · § W · ¨ ¸ ¨ ¸ © 4 V crít ¹ © W crít ¹
2
(9)
4 SECCIÓN COMPACTA Una manera de evitar que el modo de falla sea el pandeo local es garantizando que la tensión crítica de pandeo local sea mayor o igual a la tensión de f luencia en compresión f. Haciendo crit t f en la ecuación (2) se puede despejar la relación máxima admisible entre el ancho (b) y el espesor (h) :
b d h
K
S2
E
12 (1 Q ) V f 2
(10)
Cuando la relación entre el ancho y el espesor de cada una de las placas que componen la sección resistente cumple con la condición (10) se dice que la sección es ‘compacta’ y en ese caso no necesita verificarse al pandeo local. Notar que el coeficiente de pandeo K en (10) depende del tipo de apoyo (o sea de la sección) y también del tipo de carga (corte, f lexión o compresión). Hay que tener en cuenta que cuesta el mismo trabajo verificar el pandeo local de una sección usando (2) que verificar si esa sección es compacta (y por lo tanto no necesita ser verificada a pandeo local) usando (10). Esto se debe a que (10) se deduce de (2). No obstante el concepto de “sección compacta” es importante. Por ejemplo, el hecho de que los perfiles comerciales (T, doble T, ele, canal, etc.) tienen secciones compactas, da tranquilidad al proyectista quien no debe preocuparse por la posibilidad de que el modo de falla sea el pandeo local. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
154
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5 VIGAS Y COLUMNAS RETICULADAS En el caso de elementos reticulados (vigas o columnas) en compresión puede darse el fenómeno de pandeo del conjunto denominado “pandeo global” o el pandeo de alguno de sus elementos constitutivos en forma individual, denominado “pandeo local”, como que se indica en la Figura 7.
Figura 7: Pandeo local y global de vigas y columnas reticuladas
En el caso de la Figura 7-a, debe adoptarse un coeficiente de seguridad mayor para el pandeo del conjunto porque es más peligroso. Recordar que para el pandeo de columna la carga crítica es la máxima carga portante. Por otro lado, al verificar elementos a pandeo local habitualmente se consideran los extremos como articulados cuando en realidad siempre existe un cierto grado de restricción al giro (empotramiento elástico) y en ese caso se está del lado de la seguridad al considerar al extremo como libre de girar. En el caso de una columna, como la mostrada en la Figura 7-a, puede pandear cualquiera de los tramos montantes porque los tramos generalmente tienen iguales características. Notar que si se considera el peso propio el tramo más solicitado es el inferior. En cambio, en el caso de una viga en f lexión de tramos iguales, como la mostrada en la Figura 7-b, el mayor peligro de pandeo local lo tiene el elemento más cargado en compresión que está asociado al momento f lector máximo. En el caso de estructuras hiperestáticas puede ocurrir que después del pandeo de algún elemento ( pandeo local) se produzca una redistribución de tensiones y la estructura admita cargas adicionales. Generalmente las barras comprimidas de los reticulados se verifican a pandeo local usando el método omega. En tales casos debe verificarse que
F V adm (11) A donde F es la fuerza de compresión, A es el área de la barra, adm es la tensión admisible en tracción del material y ~ es un coeficiente definido como:
Z
Z
Tensión admisible en tracción Tensión admisible en pandeo
(12)
La tensión admisible adm se encuentra tabulada en las normas para los materiales habitualmente usados en estructuras metálicas reticuladas. El coeficiente ~ también se encuentra tabulado en las normas para los distintos materiales en función de la esbeltez dada por (13)
O
Lp / r
(13)
donde Lp es la longitud de pandeo (que depende las restricciones en los extremos de la barra) y r es I / A , donde I es el momento de inercia y A es el área de la sección). el radio de giro ( r Este tema se trata más detalladamente en el Capítulo 16: Estructuras Metálicas – Torres. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
155
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ANEXO DEL CAPÍTULO 8 PROPIEDADES DE SECCIONES DE PARED DELGADA DE ESPESOR UNIFORME t : espesor pequeño y uniforme en todas las caras b : ancho h : altura
Propiedad
Ix Momento de inercia
Wx Módulo resistente
Iy Momento de inercia
Wy
t h3 4b h 12 b h
t h2 6b h 12
t h2 3b h 6
t h 4b h /6 arriba
t h 2 4b h
th 6b h 6
t b3 12
t b3 6
th 3b h 3
6 2b h abajo t b2 b 3h 6
t h3 2b h
t h3 4b h
t h 2b h /3 arriba
t h 4b h /6 arriba
t h 2 2b h
t h 2 4b h
t b2 b 6h 12
t b 3 b 4h 12 b h
----
tb 2 (b 4h) 6 (b 2h) a derecha t b (b 4h) /6 a izquierda
-----
3 b 2h
3 b h abajo
12 b h
t S r3
t S r2
6 2b h Abajo
t b2 6
t b2 3
tb b 3h 3
tb b 6h 6
Producto de inercia
0
0
0
0
t b2 h2 4 b h
0
JR
t3 b h 3
t3 2b h 3
2t b 2 h 2 bh
t3 b 2h 3
t3 b h 3
2t S r 3
h 2 6b h
h 2 3b h
h3 2b h /3
----
0, 7071 r
h2 2 b h
-----
-----
-----
Módulo resistente
Ixy
Módulo torsional
rx
h3 4b h / 12
Radio de giro
bh
Eje neutro desde arriba
h2 2 b h
ry Radio de giro
b3 12 b h
12 2b h
----b3 6 2b h
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
12 b h
----b 2 b 3h 12 b h
156
b 2h
h2 b 2h b 2 b 6h
12 b 2h
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PRÁCTICO
Pandeo Local de Elementos Compuestos
1. Partiendo de una chapa de 1,2 mm de espesor, 2,8 m de largo y 24 cm de ancho se ha fabricado una columna de extremos articulados. Determinar en los tres casos siguientes la máxima carga portante que garantice: CS { @ ! @ !$ CS { @ ! @ local y CS { @ f luencia en compresión, siendo f = 2400 kg/cm2, E = 2100000 kg/cm2 y = 0,3. a) Sección U de 8 cm de lado de chapa doblada (sección abierta). b) Sección cuadrada hueca de chapa doblada y soldada de 6 cm de lado (sección cerrada). c) Sección circular hueca de chapa curvada y soldada de 7,64 cm de diámetro (sección cerrada).
2. Hay que diseñar una columna de 6 m de altura con una carga de 12 T utilizando 4 perfiles L de alas iguales según se indica en el croquis. f = 2400 kg/cm2, E = 2100000 kg/cm2 y = 0,3. Se pide: a) Elegir el área del perfil de modo que CS { para compresión simple. b) Determinar b para lograr el CS requerido por el pandeo de columna ( pandeo global ). c) Calcular h para obtener el CS requerido por el pandeo de un tramo de columna ( pandeo local ). d) Verificar que el perfil elegido es “compacto” para el pandeo de placa (pandeo local). Para pandeo considerar CS
3,5......................... si O ! 100 ® 2 ¯ 1,7 0,00018 O .....si O 100
Ayuda: Se dan los datos de un perfil L de lados iguales de 2” x "@"¡ .
A1
3,16 cm 2
IK
3, 29 cm 4
Ix
7,5 cm 4
3. En el croquis se indica la sección de una bandeja portacables de chapa doblada de 1,2 mm. f = 2400 kg/cm2
E = 2100000 kg/cm2
= 0,3
La bandeja tiene tramos igualmente espaciados cada 2 m y pesa 20 kg/m incluyendo los cables. Se pide: a) Calcular CS para falla por f luencia. b) Determinar CS considerando pandeo local. c) Calcular el espesor requerido para que CS {_@ pandeo local. d) Para el caso h = 1,2 mm determinar la distancia entre apoyos de modo que sea CS {_. Ayuda: Se muestra el momento flector en el primer tramo.
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
157
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SOLUCIÓN del PRÁCTICO
Pandeo Local
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1 Determinación de la máxima carga portante con un dado C
de tres columnas fabricadas con chapa doblada cuyas secciones tienen igual área (2,88 cm ) e igual espesor (1,2 mm) pero forma diferente. S
2
El área es la misma en los tres casos: A = 24 x 0,12 = 2,88 cm2.................................. A 2,88 cm 2
( A x V f ) / CS
La máxima carga con CS = 2 a f luencia es: ........ Pmáx
(2,88 x 2400) / 2
3456 kg
83 (2 x 8 8) /3 8 2x8
2,667 cm
a) Sección U de 8 cm de lado Pandeo global (columna) Radio de giro:
Anexo Cap. 8
h3 (2 b h)/3 b 2h
rx
82 x (8 6 x 8) L 280 105,0 3,53 se utiliza el menor : rx. Ec. (13) Esbeltez: Ox rx 2,667 12 x (8 2 x 8) Considerando la Ec. (59) caso c !@¢ V crit S 2 x E / O 2 S 2 x 2100000 /1052 1880 kg / cm 2 ry
Pcrit
V crit A
5414 kg
1880 x 2,88
Pandeo local (placa) Tensión crítica en cada ala:
o
Tabla 1 Caso 5
Pmáx
Kf
Pcrit / CS
1353 ……... Pmáx
5414 / 4
0, 42 Ec. (2) V crít
0, 42
1353 kg
S 2 x 2100000 § 0,12 · ¨ ¸ 12 (1 0,32 ) © 8 ¹
2
179, 4
2
Tensión crítica en el alma:
Kf
Tabla 1 Caso 1
Carga crítica del conjunto:
¦A
Pcrít
i
S 2 x 2100000 § 0,12 · Ec. (2) V crít 4 ¨ ¸ 12 (1 0,32 ) © 8 ¹ 2 x (8 x 0,12) x 179, 4 (8 x 0,12) x 1708, 2
4
(V crít )i
1984,3 / 2,5 o
Carga máxima limitada por el pandeo local de las placas.... Pmáx
1708, 2 1984,3
Pmáx
793 kg
b) Sección cuadrada de 6 cm de lado Pandeo global (columna) Radio de giro: Ec. (13)
Ox
V crít A 1586,5 x 2,88
h 2 3b h
Tensión crítica:
280 /2, 45 114,3
Carga crítica: Pcrít
Anexo Cap. 8
rx
12 b h
Cap. 5 Ec. (59)
crít en cada lado:
Tabla 1 Caso 5
Kf
12 x 6 6
2, 45
V crít S 2 x 2100000 /114,32 1586,5
4569 kg
Carga máxima limitada por el pandeo global de la columna: Pmáx Pandeo local (placa)
62 x 3 x 6 6
Pcrít / Cs 4569 / 4 o Pmáx
1142 kg
2 S 2 x 2100000 § 0,12 · x¨ 3036,8 ° Ec. (2) o V crít 4 x ¸ 12 x (1 0,32 ) © 6 ¹ ® 4 ° ¯ Pcrít 3036,8 x 2,88 8746 o Pmáx 8746 / 2,5 3498 kg
c) Sección circular de 7,64 cm de diámetro (radio = 3,82 cm) Pandeo global (columna) Radio de giro: Cap. 5 Ec. (59)
£@¢
rx
0,7071 x 3,82 2,70 o Ox
280 / 2,70
103,7
V crít S 2 x 2100000 /103,7 2 1927 o Pcrít (1927 x 2,88) 5550 o Pmáx 5550 / 4 1387 kg
Pandeo local (cáscara) 1,26 0,52 0,74 x 3,82 ) 2185 Cap. 7 Ec. (47) V crít 0,76 x 2100000 x 0,12 / (280
o
Pmáx 2185 x 2,88/ 2,5
Carga máxima limitada por el pandeo global de la columna:.....................................
Pmáx
2517 kg
1387 kg
CONCLUSIÓN: La sección circular es más eficiente para evitar el pandeo que las dos restantes. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
158
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2 Diseño de una columna de 6 m de altura con una carga de 12 T usando 4 perfiles L. a) Elección del área del perfil de modo que CS para compresión simple
Carga Área
V
12000 4 A1c
Vf
V adm
2400 2,5
CS
¤`
A1c t 3,125 cm 2 ........................................ Adoptamos A1 = 3,16 cm2
Ix = 7,5 cm4 (máx)
A = 4 x 3,16 = 12,64 cm2 CS
12000 d ¤` 4 A1c
perfil L 2" x 2" x 1/8"
I- = 3,29 cm4 (mín)
= 12000/12,64 = 949 kg/cm2
2,53 ..................................................................................................... CS
2400 /949
2,53
b) Determinación de b para obtener el coeficiente de seguridad requerido ( pandeo global )
V
Datos:
¤¤ kg cm 2
`` cm V crít
A
cm 2
A
S 2 E O 2 I
O
Arx2
Ar
Tanto el coeficiente de seguridad como la tensión crítica dependen de la esbeltez. Suponemos que ¦`` CS = 1,7 + 0,00018 2
Tensión crítica de Euler:
Cap. 5 Ec. (44)
V crít S 2 x E / O 2 S 2 x 2100000 / O 2
V crít S 2 x 2100000 / O 2 1,7 0,00018 O 2 0,17082 O 4 1613,3 O 2 20726169 0 949 V 2 2 Resolviendo la ecuación de 2do grado en la incógnita se tiene = 7262,46 = 85,22 CS
2 Notar que para = 85,22 el coeficiente de seguridad es CS = 1,7 + 0,00018 x (85,22) = 3,00
La esbeltez depende del radio de giro
Ec. (13)
O
600 / rx
85, 22 rx
7,04 cm
30 12,64 a 2 ½ ° ¾ ... ...a 6,87 cm 12,64 x (7,04) 2 626, 46 °¿
I
4 x (7,5 3,16 a 2 )
I
A rx2
a b / 2 1,39 6,87 b 16,52 ........
b 16,5 cm
c) Cálculo de h para obtener el CS requerido por los tramos de la columna ( pandeo local )
V
Datos:
¤¤ kg cm 2
A1
_ cm 2
IK
_ ¤ cm 4
A
h
Expresando la tensión crítica de Euler crít y el coeficiente de seguridad a pandeo de columna CS en función de la esbeltez como se hizo en el punto anterior se encuentra que: = 85,22 Radio de giro r-:........... IK
A1 rK2
rK
IK / A1
3, 29 / 3,16
Largo del tramo h:...... O
h / rK
h
85, 22 x 1,02
86,92 cm
n t 600 / 86,92
6,9
o
Se adoptan 7 tramos o 600 / 7
1,02
85, 71 cm ...............
h
85, 7 cm
d) Verificación del carácter “compacto” del perfil elegido ( pandeo local) $! @ ! K _ = 0,42
Tabla 1 caso 5
b h
2 1/8
0, 42 x
16
S2 12 x (1 0,32 )
x
2100000 2400
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
½ ° ° ¾ 18, 22 ° ° ¿
159
Ec. (10)
16 < 18,22
El perfil elegido satisface la ecuación (10)
Sección compacta
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3 Verificación a pandeo de una bandeja portacables de chapa delgada. 0,12 x 52 x (2 x 30 5) 3 x (30 5)
Anexo Cap. 8 Warriba
1,857 Wabajo
0,12 x 5 x (2 x 30 5) 3
13
El croquis de la izquierda muestra los cuatro puntos críticos del primer tramo de la viga donde se determinaron las tensiones y se calcularon los coeficientes de seguridad a f luencia y a pandeo. Notar que en los tramos interiores los momentos f lectores son menores. [ 200 cm,
Tabla resumen: Tensiones en los puntos críticos.
q = 0,2 kg/cm y h = 0,12 cm.
Punto Posición W Tensión = M/ W 1 arriba 1,857 – 344,64 Centro del tramo 0,08 x0,2 x2002 = 640 z = 0,4 [ 2 abajo 13 49,23 3 arriba 1,857 430,80 Sobre el apoyo 0,1x 0,2 x 2002 = 800 z=[ 4 abajo 13 – 61,54
crít
CS
653,76 2400 2400 121,5
1,90 48,7 5,57 1,97
Momento = M
Ubicación
Pandeo de las caras laterales en el centro del tramo (z = 0,4 [ ) con un borde apoyado y el otro libre: Pág. 153 !_ x V 2 /V 1 49, 23 / (344, 64) 0,14285 Tabla 3, caso Ec. (2)
K
V crít
0,57 0,19 x 0,06 x 2 0,02 x3
0,598 x
S
2100000 § 0,12 · x¨ ¸ 12 (1 0,32 ) © 5 ¹ 2
x
0,598
2
653,76
Pandeo de la cara inferior comprimida en la zona del apoyo (z = [ ) con los dos bordes apoyados: dos lados @ " K _ = 4
Pág 152 ! "
M W
V
800 13
61,54
Ec. (2) V crít
4x
S 2 x 2100000 § 0,12 · x¨
2
¸
12 x (1 0,32 ) © 30 ¹
121, 47
a) Coeficiente de seguridad considerando falla por fluencia debida a la flexión La máxima tensión por f lexión ocurre en el punto 3 en la parte superior sobre el apoyo: Tensión máxima por f lexión:....... V M / W ( 0,1 x 0,2 x 200 2 ) / 1,857 430,80 kg /cm 2
V f /V
Coeficiente de seguridad:............. CS
2400 / 430,8
5,57 ............................ CS
5, 6
b) Coeficiente de seguridad considerando pandeo local Se deben considerar las dos zonas más comprimidas (puntos 1 y 4) porque si bien el punto 4 tiene menor tensión, también tiene menor tensión crítica de pandeo. Punto 1: V Punto 4: V
V crít 653,76 V crít 121,47
344,64 61,54
CS CS
V crít /V V crít /V
653,76 / 344,64 121,47 / 61,54
1,90 ½ ¾........ CS 1,97 ¿
1,9
c) Espesor para el cual CS En la parte b) se determinó que la zona más crítica en pandeo es el punto 1 en el centro del tramo. Para ese punto, en la primera parte se determinó que el coeficiente de pandeo es K = 0,598. 2 V crít 45400 h 2 S 2 x 2100000 h x 2 t 3 h t 0,15 cm 45400 h 2 o CS V crít 0,598 x 2 12 (1 0,3 ) 5 344, 64 V d) Distancia entre apoyos para que sea CS sin aumentar el espesor ( h = 1,2 mm ) En el punto b se determinó que el coeficiente de seguridad a pandeo local es 1,9 cuando A = 200 cm. Al variar A cambia el momento f lector en el punto 1 y por lo tanto la tensión máxima de compresión. La tensión crítica no cambia porque el cociente 1/ 2 K = 0,598 crít = 653,8 kg/cm2 Tensión función de A :
M
0,08 x 0, 2 x A 2
Tensión admisible con CS = 3:
V adm
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
0,016 A 2 V
V crít CS
_ 3
160
M /W
¤
0,016 A 2 / 1,857
V
0,008616 A 2
V adm A d 159 cm
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Capítulo 9
VIGAS CURVAS 1 INTRODUCCIÓN La fórmula de la f lexión simple, = M / W, da resultados correctos para las vigas rectas cargadas simétricamente en f lexión pura. También se la utiliza para vigas rectas cargadas por flexión y corte cuando las cargas pasan por el centro de corte y en tal caso el error es despreciable si el largo de la viga es mucho mayor que el alto de la misma. En el caso de vigas curvas donde el radio de curvatura es mayor que cinco veces la altura de la viga, la fórmula de f lexión simple da resultados aceptables, pero los errores son importantes cuando el radio de curvatura es comparable con la altura de la viga, como en el caso de la Figura 1-a. Por ello es necesario encontrar una solución que, aun siendo aproximada, de resultados satisfactorios para el caso de grandes curvaturas. La teoría de vigas curvas que se presenta en este capítulo se basa fundamentalmente en dos hipótesis simplificativas: 1) Las secciones planas perpendiculares a la línea baricéntrica permanecen planas después de la deformación. 2) Tanto la tensión radial r como la tensión de corte son suficientemente pequeñas para poder considerar al problema como unidimensional (ver Figura 1-b). La fórmula para las tensiones normales circunferenciales V T que resulta de estas dos hipótesis está dada en (14) y se denomina “fórmula para vigas curvas en flexión”. En la próxima sección se demuestra que debido a la curvatura de la viga las secciones planas giran alrededor de un punto distinto del eje baricéntrico y además que la ley para las tensiones normales V T no sigue una ley lineal en el espesor sino hiperbólica.
Figura 1: Equilibrio de un elemento de viga curva
2 TENSIONES NORMALES CIRCUNFERENCIALES En la Figura 2-a se considera un elemento infinitesimal de viga definido por los puntos 1, 2, 3 y 4. Las cargas exteriores producen en la sección considerada esfuerzos flexionales, cortantes y normales que deben equilibrarse por tensiones normales y r y cortantes . Hay que tener presente que se consideran secciones simétricas y cargas actuando en el plano de simetría, por lo tanto no hay torsión. Las tensiones de corte producen alabeo de la sección plana y modifican levemente la tensión . Es usual despreciar el efecto del corte salvo en el caso de vigas con alma muy delgada. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
161
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
Figura 2: Elemento infinitesimal de viga curva
Las tensiones transversales z (ver Figura 2-b ) son despreciables por lo que estamos en presencia de un caso de tensión plana.
2.1 Fórmula de la flexión compuesta para vigas curvas Considerando equilibrio de fuerzas en dirección circunferencial (eje x en la Figura 2-a ) se tiene:
³
A
³
A
V T dA N
0
(1)
V T R r dA M z
0
(2)
Estas integrales no pueden ser evaluadas si no se conoce la relación entre y el radio r. Esa relación se obtiene de la hipótesis cinemática que asume que las secciones planas rotan alrededor del eje neutro y permanecen planas. Hay que tener presente que a esta altura de la formulación la posición del eje neutro es desconocida. El alargamiento e es función lineal de la distancia a la fibra neutra ( R n – r ) pero debido a que el largo inicial varía con el radio r se obtiene una variación no lineal para las deformaciones específicas . ( R n r ) ' (dT ) § R n · eT 1¸ Z HT (3) ¨ r dT r dT © r ¹ donde:
Z
' ( dT ) dT
(4)
Por la ley de Hooke se tiene:
VT
HT E
Rn r r
ZE
EZ R n r
EZ
(5)
Notar que en (5) se ha despreciado el efecto de la tensión radial r. Según se observa en la Figura 1-b debería ser: 1 HT (6) V T Q V r E luego
VT
HT E Q V r
(7)
El término ( r ) puede despreciarse porque r en mucho menor que y además el máximo de r no ocurre en los extremos donde es máximo (allí r es nulo como se muestra en la Sección 3). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
162
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
Sustituyendo (5) en (1) y (2) y reordenando se tiene: N R n E Z Am EZ A
Mz
(8)
R n EZ ( R Am A)
(9)
donde A es el área de la sección y Am es el “área modificada”
Am
³
A
dA r
(10)
Notar que los elementos de área más alejados del centro de curvatura ( r grande ) contribuyen menos al área modificada, además Am resulta levemente superior a ( A/R ):
Am | A / R
Am ! A / R
y también:
(11)
La ecuación (9) puede reescribirse como:
Mz R Am A Sustituyendo (12) en (8) y despejando 4~ se tiene Am M z N EZ A ( R Am A) A R n EZ
(12)
(13)
Finalmente sustituyendo (12) y (13) en (5) se tiene
Am · §1 Mz N ¨ ¸ A R Am A © r A ¹
VT
(14)
que es la fórmula de la f lexión compuesta para vigas curvas. Nota: N positivo indica tracción y M z positivo implica tracción en las fibras del radio interior (puntos más próximos al centro de curvatura ). La tensión circunferencial dada por (14) tiene una variación hiperbólica debida al término (1/r ) como se puede apreciar en la Figura 3. Cuando la viga es “poco curva” los valores de “r ” son grandes respecto a la altura de la viga y entonces la variación se hace casi lineal concordando con los valores provistos por la fórmula de f lexión simple para viga recta (15). Notar que en la derivación de la ecuación (14) se plantearon ecuaciones de equilibrio (1) y (2), cinemáticas (3) y constitutivas (5). Hay que tener presente que la “fórmula” (14) para vigas curvas en flexión es todavía aproximada debido a las numerosas hipótesis simplificativas usadas en su derivación. Los valores hallados con la fórmula de vigas curvas (14) pueden compararse con los resultados exactos provistos por la teoría de la elasticidad como también por la fórmula menos exacta (15) que se usa para vigas rectas. En la Tabla 1 se muestran los cocientes entre las tensiones máximas provistas por las diferentes teorías para el caso de una sección rectangular sometida a f lexión pura para varias relaciones entre el radio R y la altura de la viga h (R y h están indicados en las Figuras 2 y 3). Tabla 1: Comparación entre los resultados provistos por distintas teorías
V T viga curva
V T viga recta
R h
V T teoría elasticidad
0,75
1,012
0,526
47 %
1
0,997
0,654
35 %
2
0,997
0,831
17 %
5
0,999
0,933
7%
V T teoría elasticidad
error %
Como en los casos prácticos generalmente R / h > 1, los resultados de la fórmula para vigas curvas pueden considerarse exactos. La teoría de viga recta da un error del 7 % cundo R / h = 5 y el error crece hasta el 35 % cundo R/h = 1. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
163
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Figura 3: Variación hiperbólica de las tensiones circunferenciales en función de r
En la Figura 3 se graficó esquemáticamente la distribución de tensiones normales circunferenciales para el caso de una viga rectangular sometida a f lexión pura donde R / h = 1. Se puede demostrar, aunque es bastante laborioso, que cuando R / h ! $ (14) se reduce a la fórmula de f lexión compuesta para vigas rectas:
VT
Mz N ymáx A Iz
(15)
La fórmula para vigas curvas (14) requiere evaluar la integral (10) para calcular el área modificada con gran exactitud por lo mencionado en (11) ya que RA m tiende a A cuando la viga es poco curva y en consecuencia R/h se hace grande. Para facilitar los cálculos, Am está tabulado para las secciones de uso corriente (ver Tabla 2 ). Vale aclarar que hay otra formulación para vigas curvas en flexión que primero calcula con gran exactitud la excentricidad (distancia entre el eje baricéntrico y el eje neutro, ver Figura 3).
2.2 Ubicación del eje neutro El eje neutro se obtiene de (14) haciendo = 0 para r = Rn : A Rn A m ( A R A m ) N /M z
(16)
que en el caso de f lexión pura donde N = 0 se reduce a
Rn
A / Am
(17)
Tanto en (16) como en (17) debe calcularse Am con precisión por lo ya mencionado anteriormente con referencia a la ecuación (11).
2.3 Sección compuesta por varias áreas simples A menudo la sección de la viga curva puede descomponerse como se indica en la Figura 4 en varias áreas simples que se encuentran tabuladas.
Figura 4: Secciones compuestas por varias áreas simples
En estos casos debido a la propiedad aditiva de la integral se tiene
A
¦ Ai
Am
¦ Ami
R
¦ ( Ri Ai ) / A
(18)
Las fórmulas para calcular A, Am y R para las secciones de uso habitual se muestran en la Tabla 2. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Tabla 2 Expresiones analíticas para A, R y Am = ³
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A
dA / r
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3 TENSIONES NORMALES RADIALES r La fórmula para la tensión circunferencial , ecuación (14), se derivó con la hipótesis de que la tensión radial r ( ver Figura 2-b) es despreciable. Esta suposición es correcta en el caso de secciones llenas (circular, rectangular, etc.) pero puede no serla en el caso de secciones con alma delgada (T, doble T, etc.).
Figura 5: Variación de las tensiones radiales r en el espesor de la viga
Para determinar r aislamos un elemento infinitesimal de viga ABCD como se indica en la Figura 5. Debido a la curvatura de la viga, la resultante, T, de las tensiones circunferenciales , tiene una componente, T sen (dT /2) , en la dirección de la línea media OL (ver Figura 5-d) que debe ser equilibrada por tensiones r según esa dirección.
³
T
r a
V T dA
(19)
Siendo sen (dT /2) (dT /2) se puede plantear equilibrio de fuerzas según OL
dT T V r t r dT V r 2 tr Sustituyendo (14) en (19) y el resultado de la integral en (20) se llega a: 2T
Vr donde
A*m
³
r a
dA r
N
y
A A*m A* Am A* Mz tr A t r A ( R Am A) A*
³
r a
dA
(20)
(21) (22)
Notar que este razonamiento es enteramente similar a la deducción de las tensiones de corte de Jourasky, en el caso de vigas rectas. Las tensiones r se obtienen a partir de las que a su vez fueron deducidas despreciando el efecto de r. No obstante si se compara el valor de r dado en (21) con el resultado exacto de la teoría de la elasticidad se comprueba que el error es muy pequeño y está del lado conservativo. Para vigas rectangulares donde R/h > 1 el error es menor del 6 %. La tensión radial r es nula en el radio interior, a, y crece con el radio, r, hasta alcanzar el máximo en coincidencia con el eje neutro, luego decrece hasta anularse en el radio exterior (ver Figura 5-c).
4 CORRECCIÓN DE
EN VIGAS T Y DOBLE T
Si se aísla una porción infinitesimal de una viga doble T como en la Figura 6-a se observa que debido a la curvatura de la viga se originan componentes radiales porque las fuerzas que actúan sobre las alas (T que tracciona abajo y C que comprime arriba) traccionan el alma originando tensiones r. Las alas están sometidas a f lexión y debido a su escasa rigidez se f lexionan hacia fuera según se indica en la Figura 6-b. En la Subsección 4.1, se muestra que la distorsión mencionada en el párrafo anterior origina una pérdida de rigidez y una disminución de las tensiones en los extremos de las alas respecto al valor Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
166
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dado por (14). Esta redistribución de tensiones hace que las tensiones hacia el centro de las alas sean mayores que el valor previsto por (14).
Figura 6: Flexión de las alas causada por la curvatura de la viga
4.1 Pérdida de rigidez y resistencia en las alas de secciones T y doble T En la Figura 7 se analiza la deformación, muy exagerada para claridad de dibujo, de un elemento infinitesimal de viga doble T. Para el centro del ala, punto 1, el largo inicial es AB, el largo final es AB' y el acortamiento es BB' . Para el extremo del ala, punto 2, el largo inicial es AB, el largo final es A''B'' y el acortamiento es BB''' . Observando que BB''' < BB' concluimos que la deformación específica y por consiguiente la tensión es menor en el punto extremo 2 que en el punto central 1.
Figura 7: Flexión de las alas causada por la curvatura de la viga
Similarmente se puede analizar el ala inferior. Para la fibra central 3, la longitud inicial es AB, el largo final es AB' y el alargamiento es BB' . Para la fibra extrema 4, el largo inicial es el mismo, es decir AB, el largo final es A''B'' y el alargamiento es BB''' . Nuevamente resulta que BB''' < BB' y concluimos que el alargamiento específico es menor en los extremos y por consiguiente también resulta menor la tensión . La distorsión analizada aumenta el brazo de palanca de las fuerzas asociadas a de los puntos extremos, pero el aumento de distancia B'B'' es insignificante cuando se lo suma a B'N . En cambio la corrección B'B''' es del mismo orden de magnitud que B'B , y por lo tanto tiene un efecto significativo en la disminución de la deformación específica . Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
167
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4.2 Factores de corrección de Bleich Una forma práctica de tener en cuenta la variación de la tensión circunferencial en las alas se debe a Bleich y se describe a continuación.
a) Tensión variable en las alas
b) Sección real
c) Sección reducida
Figura 8: Corrección de Bleich del largo de las alas
Se sigue utilizando la ecuación (14) para determinar pero se reduce el largo de las alas:
bic
2 (D i A i ) t
(23)
donde: bic = ala reducida, A i = parte del semiala en voladizo y t = ancho del alma. El coeficiente depende de la relación A 2 /(r Z ) y se obtiene interpolando en la Tabla 3 o se calcula con la ecuación (25). Los valores de A , r y ~ están indicados en la Figura 8. Notar que el radio r se mide hasta la mitad del espesor del ala, A y ~ son respectivamente la parte en voladizo y el espesor del ala considerada. Notar también que si las dos alas tienen iguales valores para A y ~ resulta b2c b1c porque los radios de las alas son diferentes ( r2 < r1 (2 < 1) ! Tabla 3: Factores de corrección de Bleich y
A 2 / (rZ )
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,5
2,0
3,0
5,0
§
0,979
0,923
0,850
0,776
0,708
0,651
0,583
0,506
0,422
0,341
0,555
1,018
1,347
1,550
1,661
1,713
1,732
1.711
1,674
1,692
Figura 9: Factores de corrección de Bleich y definidos en la ecuación (25)
Cuando se aplica la ecuación (14) a la sección reducida ( no distorsionada) se obtiene una tensión máxima que coincide con el valor máximo en la sección verdadera y distorsionada. Debido a la f lexión de las alas (ver Figura 6-b) se originan (en las alas) tensiones normales z (indicadas en la Figura 2-b) cuyo valor se calcula por medio del coeficiente deducido por Bleich:
Vz
E VT
(24)
donde: se interpola en la Tabla 3 o se calcula con la ecuación (25) y se calcula aplicando (14) a la sección reducida empleando el radio correspondiente a la mitad del espesor del ala considerada. El signo menos en (24) se debe a que z es de signo opuesto a . Notar que z tiene un valor importante ya que generalmente es mayor que 1 ( ver Figura 9). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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A cada ala le corresponde un valor de r distinto y por lo tanto tienen distintos valores de y . El ala más próxima al centro de curvatura que tiene menor radio r y menor ya que decrece monótomante con r, esta situación es más perjudicial que en el ala más alejada del centro de curvatura. Las expresiones exactas para y son las siguientes:
D donde:
O
1 OA
senh z sen z 2 cosh z cos z
[3 (1 Q 2 ) / (r 2Z 2 )]1/4
E z
y
3
cosh z cos z 2 cosh z cos z
2O A
(25) (26)
Un caso importante ocurre cuando la semiala A es muy larga, en tal caso, para = 0,3 la semiala reducida tiene un valor límite dado por
lim (D A )
A of
bc
entonces:
rZ
0,778
t 1,56
(27)
rZ
(28)
La ecuación (27) se puede demostrar usando (25) y (26) y haciendo = 0,3, la deducción se deja para el lector. Ayuda: A z A (1/) tgh z A 1/. La ecuación (28) aparece en los manuales de recipientes con vacío interior que tienen anillos de refuerzo para evitar el pandeo. Usando (28) se adiciona la contribución del espesor del recipiente (~) al momento de inercia del anillo refuerzo siendo r el radio del cilindro trabajando en vacío. Se recomienda al lector repetir minuciosamente el análisis correspondiente a las Figuras 6 y 7 cambiando el sentido del momento M z . Se observará que la distorsión de las alas es de sentido opuesto y el sentido de d 'T también se invierte. Se llega a las mismas conclusiones: disminución de rigidez, disminución de tensiones en los extremos de las alas y por consiguiente aumento de tensiones en la zona central. Para el caso de un perfil rectangular hueco solicitado como en el caso de la Figura 10-a se produce tracción en las caras laterales y f lexión de las caras superior e inferior. La sección se distorsiona según el esquema que se indica en la Figura 10-a.
Figura 10: Efecto Bleich en el caso de un tubo rectangular
Cambiando el sentido del momento M la distorsión se produce en sentido contrario como se indica en la Figura 10-b. Notar que, tanto en el caso a) como en el caso b) disminuye la rigidez. Lamentablemente en este caso no se dispone de una fórmula para el factor de corrección.
5 CODOS CON Y SIN PRESIÓN INTERIOR Mediante un razonamiento completamente análogo al anterior se puede demostrar que los codos solicitados en f lexión se “ovalizan” y disminuyen notablemente su rigidez, cualquiera sea el sentido del momento f lector actuante. La sección ovalizada de la Figura 11-a induce a pensar que el aumento del momento de inercia alrededor del eje x debido a la ovalización podría rigidizar la sección y disminuir las tensiones máximas. Esto no ocurre ya que, según se comentó en la sección anterior, ese efecto es despreciable. En cambio, la variación de debido a la curvatura es muy significativa.
Figura 11: Ovalización de un codo f lexionado
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
169
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El primer estudio de ovalización se debe a Von Kármán y data del año 1911. En esta sección se enuncia sucintamente la metodología a usar. Todo se resume a disminuir la rigidez y aumentar la tensión máxima calculada con la fórmula para vigas rectas en f lexión utilizando coeficientes que tienen en cuenta el efecto de la curvatura y de la presión interior.
5.1 Codos sin presión interior En la Figura 12 se indica el radio medio del caño rm ( hasta la mitad del espesor ), el radio del codo R y el espesor del caño t. La rigidez f lexional del codo (EI ) o es menor que la rigidez nominal (EI ) nom correspondiente a una viga recta:
S rm3 t (29)-a
I nom
: o I nom
(29) (29)-b donde :o es el factor de disminución de rigidez f lexional por ovalización de la viga curva dado en (33).
Io
p = presión interior
M 12 M 22 T 2
M=
(30)
Figura 12: Geometría de un codo y cargas actuantes
La tensión máxima para verificación o se encontró como la combinación más desfavorable de tensiones membranales (longitudinales y circunferenciales), tensiones f lexionales (longitudinales y circunferenciales ) debidas a la ovalización y tensiones de corte por torsión,
M rext (31) V o Ko V nom (31)-a (31)-b I nom donde Ko es el factor de incremento de tensión por la ovalización de la viga curva y M es el momento resultante dado en (30) que está indicado en la Figura 12 y corresponde al criterio de Tresca.
V nom
Para determinar los factores :o y Ko debidos a la ovalización se definen previamente dos factores adimensionales O y J : Rt R O (32) J 2 2 r (32)-a (32)-b m r 1 Q m
Luego
:o
0,6 O
Ko
O 0,667 1 0,25 / J
Od1
restringido a
restringido a
(33)
0,05 d O d 1
(34)
5.2 Codos con presión interior Por efecto de la presión interior ‘p’ aparecen tensiones membranales que tienden a devolver la forma circular al codo ovalizado (lo rigidizan) y esto modifica los valores asociados a la ovalización:
cuando: 0,05 d O d 1 y 0 d \ d 0,1
donde:
:
1+1,75 O 1,333 e 1,15 \
K 1+O 1,333 e \
°° ® ° °¯
Ip
( :o I nom ) :
(35)
Vp
(Ko V nom ) / K
(36)
0,25
(37)
0,25
(38)
siendo \ un parámetro adimensional proporcional a la presión:
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
170
\
2
pR E rm t
(39)
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6 CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS EN UNA VIGA CURVA A los efectos del cálculo de desplazamientos en una viga curva, planteamos primero la energía de deformación para el elemento infinitesimal de viga curva correspondiente a d, bajo la acción simultánea de Mz, Q y N, de acuerdo a la Figura 2. Posteriormente aplicamos el teorema de Castigliano.
6.1 Energía de deformación en un tramo de viga curva En la ecuación (40), el primer término es energía por corte, el segundo es energía por esfuerzo axial, el tercero corresponde a la flexión y el cuarto se debe al acoplamiento entre Mz y N. Ese último término se explica porque al girar la sección alrededor del eje neutro produce un desplazamiento del eje baricéntrico donde actúa N.
W
³
Am (M z ) 2 Mz N Q2 N2 R dT ³ R dT ³ dT ³ dT AE 2 Ac G 2 AE 2 AE ( RAm A)
(40)
Debe tenerse cuidado al asignar los signos de M z y N en el término de acoplamiento: N es positivo si es de tracción y M z es positivo si trata de disminuir la curvatura de la viga. Para secciones T y doble T debe considerarse la sección reducida por el efecto Bleich según (23) y en el caso de codos debe utilizarse el momento de inercia reducido según (29) y (35).
6.2 Desplazamiento de un punto de una viga curva Para calcular la componente del desplazamiento de un punto de una viga curva en una dirección dada se puede aplicar el teorema de Castigliano. Para ello: i ) se aplica un fuerza ficticia “X ” en el punto donde se quiere calcular el desplazamiento y en la dirección deseada, ii ) se determinan los esfuerzos N, Q y M z causados por todas las fuerzas aplicadas (incluyendo la fuerza ficticia X ) , iii ) se computa la energía de deformación W( X) usando la ecuación (40), iv) se calcula la derivada de la energía de deformación respecto de X: wW( X ) u X (41) wX y finalmente v ) se reemplaza en u(X) a la fuerza ficticia por su verdadero valor: X = 0. Resulta obvio que cuando se quiere conocer la componente del desplazamiento de un punto donde esta aplicada una carga P, dato del problema y en la dirección de la carga P, no hace falta utilizar la carga ficticia. Basta reemplazar X por P en la ecuación (41). Nota importante: Los desplazamientos están menos inf luenciados por la curvatura de la viga que las tensiones circunferenciales . Por ello para valores R/h > 3 se pueden reemplazar el 3er y 4to término del segundo miembro de (40) por el término habitual que corresponde a la f lexión de vigas rectas dado en (42): M z2 (42) ³ 2 EI R dT simplificando notablemente los cálculos y cometiendo un error menor al 2 %. Adicionalmente los cálculos se pueden realizar de una manera más eficiente derivando según (41) previo a realizar la integración (42) :
u X
wW( X ) wX
w wX
³
(M z ( X ) )2 2 EI
R dT
³
ª M z (X ) w M z (X ) º « EI wX »¼ ¬
R dT
(43)
X 0
ya que en los tramos de la integral donde se anula alguno de los términos dentro del corchete la integral en ese tramo no se realiza porque resulta nula. En los casos donde predomina la f lexión puede ignorarse la contribución del esfuerzo axial N y del corte Q y si además R/h > 3 todo el cálculo queda reducido a lo indicado en (43). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
171
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
PRÁCTICO
Vigas Curvas
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1. Determinar el coeficiente de seguridad del gancho del croquis para una carga máxima de 6000 kg. Comparar el resultado obtenido con la teoría de viga curva con el correspondiente a viga recta. Material: acero f = 2800 kg/cm2
2. Calcular el desplazamiento vertical del punto A debido a la carga F que inicia la f luencia. Aro con un radio medio de 4 cm. Material: acero f = 2800 kg/cm2 Comparar resultados considerando viga curva y viga recta.
3. Determinar el coeficiente de seguridad de la prensa del croquis para una carga máxima de 1200 kg. Material: acero f = 3420 kg/cm2. Ayuda: Emplear corrección de Bleich y calcular la tensión circunferencial en el punto A.
4. Un codo de 90 º sin presión interior empotrado en el extremo A tiene una carga perpendicular a su plano en el extremo libre B. Espesor: t = 0,2 cm
Material: acero f = 4000 kg/cm2
Se pide: a) Calcular la máxima carga admisible con CS = 2. b) Repetir el cálculo ignorando la ovalización del codo (usando teoría de viga recta). c) Comparar los resultados obtenidos.
5. Para calcular la matriz de rigidez de un codo se comienza calculando la matriz de f lexibilidad para un extremo libre considerando el otro extremo como empotrado.
ª F11 «F « 21 «¬ F31 Material:
F12 F22 F32
acero
F13 º ª P1 º F23 »» < «« P2 »» F33 »¼ «¬ M »¼
ª u1 º «u » « 2» «¬ I »¼
E = 2100000 kg/cm2
= 0,3
Calcular F31 empleando el teorema de Castigliano. a) Codo sin presión interior. b) Codo con presión interior p = 40 kg/cm2. Ayuda: Considerar teoría de vigas rectas teniendo en cuenta la pérdida de rigidez por ovalización a través de Io dado por la ecuación (29). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
172
R = 12
rm = 4
t = 0,2
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SOLUCIÓN del PRÁCTICO
Vigas Curvas
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1 Cálculo del coeficiente de seguridad de un gancho para una carga de 6000 kg. 1.a Solución exacta como viga curva Propiedades: Tabla 2 caso 3 A 12 x (8 2 )/2
A = 60
R
[6 x ( 2 x 8 2) 18 x (8 2 x 2 )] / [3 x (8 2 )] R = 10,8
Am
( 8 x 18 2 x 6 ) x ln (18 /6) / 12 8 2 Am = 6,0847352
Ec. (14) V T
V f /V T
CS
§ 1 6, 0847352 · 6000 6000 x 10,8 ¨ ¸ ........... V T 60 10,8 x 6, 0847352 60 © 6 60 ¹ 2800 / 839,9 3,33 .................................................... CS
839,9 3,33
1.b Solución aproximada como viga recta h 12 ; b1 8 ; b2 =2 ;
VA
h3 ( b12 4 b1 b2 b22 ) / [ 36 ( b1 b2 )] 633,6 ;
I
6000 64800 (10,8 6 ) 590,9 60 633,6
M
6000 64800 (18 10,8) 60 633, 6
VB
6000 x 10,8 64800
V máx
636, 4
636, 4
CS V f /V máx 2800 / 636,4 .............................................................................................. Cs 4, 40 La tensión máxima como viga recta es 24 % menor, tiene signo opuesto y ocurre en un punto distinto.
2 Determinación del desplazamiento vertical del punto A causado por la carga que inicia la f luencia. 2.a Carga que inicia la fluencia Propiedades: Tabla 2 caso 4 .....b ^` A S b 2
S x ( 0,5) 2 ............... A = 0,7854
R = 4................................................................................................................... R = 4 Am 2 S ( R R 2 b 2 ) 2 x S x ( 4 42 (0,5) 2 ) .................. Am = 0,1971226 Ec. (14)
VT
VT
V máx
r 3,5
§ 1 0,1971226 · F F x 4 x¨ ¸ .... V T 0,7854 4 x 0,1971226 0,7854 © 3,5 0,7854 ¹
Vf
46, 23 F ;
V máx V f
2800 ;
F
46, 23 F 60,57 kg
Nota: Se puede verificar que la fórmula para vigas rectas predice F = 66,64 kg, con un error del 10 %. 2.b Cálculo del desplazamiento del punto A Esfuerzos: Ec. (40)
G
³
S
0
E 2(1 Q )
sen 2T dT
Ec. (41)
uF
0,385 E ; Ac
³
S
0
cos 2T dT
wW wF
Q
³
W
0,85 A ;
S 2
o
F cos T
N
;
F sen T
;
Mz
F ( R sen T )
( F cos T ) 2 ( F sen T ) 2 R dT ³ R dT 2 Ac G 2 AE Am ( F R sen T ) 2 ( F R sen T ) ( F sen T ) dT ³ dT +³ AE 2 AE ( RAm A) S
cos T ³ [ 0,85 x 0,385 sen T 255 sen T 2 sen T ] dT
wW wF
FR EA
wW wF
SFR
S x 60,57 x 4 2 x 2100000 x 0,7854
2
2
2
0
2E A
x 257
2
[N 3
1 255 N 2 ] N
corte normal flexión acople
0,0593 ....................................
uF
0,0593 cm
Comentario: Notar que usando la teoría de viga recta con una carga P = 60,57 kg se obtiene un desplazamiento uF = 0,060 cm con un error de apenas el 1,2 %. Esto confirma que el efecto de viga curva en los desplazamientos es mucho menor que en las tensiones. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
173
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3 Cálculo del coeficiente de seguridad de una prensa con una carga máxima de 1200 kg. 3.a Corrección de Bleich para las alas usando la ecuación (23)
Ec. (25)
0,535586 ° °O [3x (1 0,3 ) / (7,2 x 0,8 )] Ec. (26) ® ® °¯ z 2 O A 2 x 0,535586 x 0,7 0,749821 °¯ Ec. (23) b1c 2 D1 A 1 t 2 x ( 0,9961 x 0,7 ) 1, 2 .... 2
2
2
0,25
D
0,9961
E
0, 2421
b1c 2,5945
° D ® °¯ E 2 x ( 0,9381 x 1, 2 ) 1, 2 ........................ b2c
°O [3x (1 0,32 )/(2,92 x1, 42 )] 0,25 0,637937 Ec. (26) ® °¯ z 2 O A 2 x 0,637937 x 1, 2 1,5310 Ec. (23)
2 D 2 A 2 t
b2c
0,9381
Ec. (25)
0,9244 3, 4514
3.b Cálculo del área A, del área modificada Am y del radio R de la sección reducida
A1
A2 1, 2 x 3, 2 3,84
2,5945 x 0,8 2,0756
Am1 2,5945 x ln
Am 2 1, 2 x ln
R1
7,6 0, 288575 6,8 6,8 7,6 / 2 7, 2
R2
A3
3, 4514 x 1, 4 4,8320
Am 3 R3
6,8 0,763186 3,6 3,6 6,8 / 2 5, 2
Propiedades de la sección compuesta: Ec. (18) A A1 A2 A3 10,7476
3,6 1,699733 2, 2 2, 2 3,6 / 2 2,9 3, 4514 x ln
Am1 Am 2 Am 3
Am
R ( A1 R1 A2 R2 A3 R3 ) / A
3.c Cálculo de las tensiones variables en la altura de la viga Esfuerzos:......... N 1200 kg M 1200 x ( 7,3 4,55219)
M
Punto 7: Punto r
z *
r
V z7
0, 2421 x V T
r 7,2
1 2,2 1700 – 760 2181
Ala superior 2 2,9 822 0 822
3 3,6 – 286 760 665
Tensión de von Mises V *
200
4 3,6 + 286 0 286
Alma 5 4,132 0 0 0
6 6,8 – – 760 0 760
4,55219
14222,6 kg -cm
§ 1 2,75149 · 1200 14222,6 VT x¨ ¸ 10,7476 4,5522 x 2,751494 10,7476 © r 10,7476 ¹ Punto 1: V z1 0,9244 x V T Tensión transversal: Ec. (24) V z E VT Ec. (14) . V T
2,751494
7 6,8 + – 760 200 878
1936,5
8000, 4 r
760
r 2,9
V T2 V z2 V T V z Ala inferior 8 9 7,2 7,6 – 826 – 884 0 – 200 826 803
3.d Gráfico de las tensiones
3.e Determinación del coeficiente de seguridad de Von Mises CS V f /V * 3420 /2181 1,57 ................................................................................... Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
174
CS
1,57
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4 Determinación de la carga admisible aplicable en un extremo de un codo sin presión. 4.a Cálculo teniendo en cuenta la ovalización de la viga curva Propiedades geométricas del codo:
R
(14,6 9,4 ) / 2
rm
(14,6 9,4 0,2 ) / 2
R
12 .....................................................
12
2,5 ........................................ rm
2,5
t = 0,2 .................................................................................. t
0, 2
Momento de inercia nominal (como viga recta): Ec. (29)-a
I nom
S rm3 t
S x (2,5)3 x 0, 2 ................... I nom
9,8175
Momento resultante M para usar en el codo: Ec. (30)
(12 P ) 2 (12 P ) 2 .......................... M
M
16,97 P
Relaciones geométrica adimensionales de la viga curva: Ec. (32)-a
O
R t / (rm2
Ec. (32)-b
J
R / rm
1 Q 2 12 / 2,5
)
12 x 0, 2 / (2,52
Tensión máxima considerando ovalización: 16,97 x P M Ec. (31)-a V nom rext I nom 9,8175
Vo
Ko V nom
1 0,32
) ....................
O
0, 4025
4,8 .......................................................................... J
Incremento de tensiones por efecto de ovalización: O 0,667 (1 0,25 / J ) Ec. (34) 0,05 d O d 1 o Ko
Ec. (31)-b
x
0,4025 0,667 (1 0,25 / 4,8 ) .... Ko
4,8 1,93
4, 494 P ............................... V nom
4, 494 P
1,93 x 4,494 P ............................................................ V o
8,674 P
Determinación de la carga admisible: V o V f / CS 8,674 Padm
x 2,6
4000 / 2 ……………...…….…...….…..
Padm
230,6 kg
Notar que se ha considerado que el empotramiento no impide la ovalización. 4.b Cálculo ignorando la ovalización (teoría de viga recta) Momento de inercia como viga de pared delgada Ec. (29) I S rm3 t S x (2,5)3 x 0, 2 ..................................................................... I
9,8175
Módulo torsional (JR del tubo circular de pared delgada) Anexo Cap. 8, pág. 156 J R 2 S (rm )3 t 2 x S x (2,5)3 x 0, 2 .................................... J R
19,635
Tensión normal por f lexión en el extremo A: M 12 x P 3,178 P x 2,6 ................................ V V rext I 9,8175 Tensión de corte por torsión en el extremo A: Caso 2 Anexo Cap. 10, pág. 200 T 12 x P 1,589 P rext x 2,6 .................................. W W JR 19,635 Tensión efectiva de Von Mises
V*
V 2 3W 2
(3,178 P ) 2 3 x (1,589 P ) 2 ............................................. V *
Carga admisible con coeficiente de seguridad igual a 2: V * V f / CS 4, 204 Padm 4000 /2 ………..……...…....……..….. Padm
4, 204 P
475,7 kg
4.c Comparación de los resultados CONCLUSIÓN: Al comparar los resultados 4.a y 4.b, se observa que debido al efecto de viga curva se pierde más del 50 % de la resistencia debido a la ovalización !!!!!! Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
175
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5 Cálculo de un elemento de la matriz de f lexibilidad de un codo. El elemento F31 de la matriz de f lexibilidad es igual al giro I en radianes producido por una carga unitaria horizontal de valor unitario: P1 = 1 kg. Para resolver empleando el teorema de Castigliano se coloca un momento ficticio Mo en el extremo libre que se anula después de derivar.
Q 1 sen T ° Esfuerzos: ® N 1 cos T ° ¯ M M o R (1 cos T )
R = 12
Área de la sección plana de pared delgada: A 2 x S x rm x t
rm = 4
t = 0,2
2 x S x 4 x 0, 2 .................... A
5,03
Relación geométrica adimensional de la viga curva: Ec. (32)-a
R t / (rm2
O
1 Q 2
)
12 x 0, 2 / (42 x 1 Q 2
) ..................................
O
0,15724
0,6 x 0,15724 ................................................... :o
0,09434
Disminución de la rigidez :o : Ec. (33)
O 1 o :o
0,6 x O
Comentario: como la curvatura es elevada [R/(2rm ) = 1,5 ] y el espesor es pequeño ( t M o R (1 cosT )@ R dT > M o R (1 cosT )@ cosT dT sen 2 T cos 2 T R dT ³ R dT ³ Ec. (40) y (42) W ³ ³ 2 Ac G
2 AE
2E Io
AE
Derivada de la energía de deformación respecto al momento ficticio M o : wW wM o
F31o
0 0
S /2
³ 0
wW wM o
S /2 M o R (1 cos T ) cos T R dT ³ dT EIo AE 0
2
Mo 0
R T sen T E Io
S /2 0
1 sen T EA
S /2
(1,0276 0,0095) x105
0
F31o
1,04 x105 rad / kg
5.b Flexibilidad del codo con presión interior El único cambio respecto al caso 5.a es el incremento de la rigidez por el efecto estabilizante de la presión interior aplicada al codo. Esto se traduce en un incremento del momento de inercia reducido lo que disminuye de manera inversamente proporcional la deformación por f lexión. Parámetro adimensional de presión \ : Ec. (39)
\
p R 2 / E rm t
40 x 122 /(2100000 x 4 x 0, 2 ) ..................................... \
0,003429
Incremento de rigidez : : Ec. (37)
:
1+1,75 x (0,15724) 1,333 x e1,15 x 0,003429
0,25
1,178
Ip
: Io :
1,178
La rigidez del codo aumenta un 18 % debido a la presión interior que es estabilizante, en consecuencia: p F31p (1,0276 / : 0,0095) x 105 (1,0276 /1,178 0,0095) x 105 .... F31
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
176
0,882 x105 rad / kg
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Capítulo 10
VIGAS DE PARED DELGADA 1 INTRODUCCIÓN Este capítulo está dedicado al estudio de vigas de pared delgada. El objetivo es determinar las tensiones y las deformaciones, en especial las tensiones de corte causadas por el momento torsor y los esfuerzos de corte. A modo de ejemplo se considera una viga de pared delgada abierta de forma arbitraria cuya sección plana se muestra en la Figura 1. Primero se procede a determinar las propiedades de la sección: i) área (A), ii) ubicación del centro de gravedad (punto G), iii ) momentos de inercia y producto de inercia, iv) ejes principales de inercia que se interceptan en el centro de gravedad de la sección (ejes “y” y “z” ) y v) ubicación del centro de corte (punto C ). A continuación se determinan los esfuerzos que solicitan a la sección plana: i) el esfuerzo normal N y los momentos f lectores M y y M z que pasan por el centro de gravedad G. ii ) el momento torsor T y los esfuerzos de corte Qy y Qz que pasan por el centro de corte C.
Figura 1: Esfuerzos en una sección de pared delgada y tensión normal en un punto genérico
Una vez determinadas las propiedades de la sección plana y los esfuerzos actuantes se pueden calcular las tensiones. Las tensiones normales en un punto genérico ( punto A) de la sección, definido por las coordenadas ( yA y zA ) respecto a los ejes principales de inercia, se calculan por la “fórmula de la f lexión compuesta” que es totalmente general,
V x A
My N Mz zA yA A Iy Iz
(1)
siendo aplicable a todo tipo de secciones: llenas, de pared delgada ( abiertas o cerradas), y también de pared gruesa, sean ellas simétricas o no. Las tensiones de corte en un punto genérico tal como el A dependen del momento torsor ( T ) que se calcula tomando momentos respecto al centro de corte y de los esfuerzos cortantes (Qy y Qz ) que tienen la dirección de los ejes principales de inercia pero pasan por el centro de corte. Nos preguntamos: ¿Existe una fórmula totalmente general, para calcular las tensiones de corte?
WA
f ( T , Q y , Qz , y A , z A )
?
(2)
Lamentablemente la respuesta es no, en cada caso se deben tener en cuenta las particularidades de la sección considerada. En algunos casos como en las secciones circulares se conoce la solución general, en otras secciones llenas (rectángulo, elipse, triángulo, hexágono, etc.) se tiene una fórmula para determinar la tensión de corte máxima pero no se dispone de una expresión para determinar la tensión de corte en un punto genérico en función de sus coordenadas. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
177
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En este capítulo se derivan fórmulas para las tensiones de corte de secciones cerradas y abiertas de pared muy delgada, que pueden tener o no ejes o centros de simetría. En el Anexo al final del capítulo se resumen las fórmulas para calcular la tensión de corte máxima y el módulo torsional de diversos tipos de secciones. Finalizamos esta introducción anticipando que a lo largo de este capítulo se demuestra que en ciertos casos de vigas de pared delgada, el momento torsor T produce tensiones normales denominadas “tensiones secundarias” que se agregan a las provocadas por el esfuerzo axial y los momentos flectores considerados en la ecuación (1), la cual se modifica como se indica en (3) (3) My N Mz zA y A V (T , s , E ) A Iy Iz donde ‘s’ es una coordenada curvilínea que recorre la línea media del espesor del contorno de la sección plana de pared delgada y ‘ ’ es el giro por unidad de longitud de viga correspondiente a la sección considerada, que está definida por la coordenada axial x indicada en la Figura 1.
VA
2 TORSIÓN DE UNA SECCIÓN CERRADA UNICELULAR DE PARED DELGADA Nos referiremos a un perfil cerrado de pared delgada como el de la Figura 2-a. El espesor puede ser variable pero debe ser muy pequeño en comparación con el perímetro y sin cambios bruscos porque en ese caso se produce concentración de tensiones. El espesor, t, y las tensiones de corte, no varían en el sentido axial (eje x).
Figura 2: Determinación del flujo de corte en una sección de pared delgada unicelular
Se aísla un elemento, digamos el ABCD, como se muestra en la Figura 2-b y se plantea el equilibrio de fuerzas en el sentido x teniendo en cuenta la reciprocidad de las tensiones tangenciales y el hecho de que los puntos A y C son arbitrarios. Se observa que el producto de por t es constante en todo el perímetro del perfil. El producto ( t ) se denomina “f lujo de corte”.
W 1 t1 dL
W 2 t2 dL
o
W 1 t1
W 2 t2
o
cte
q Wt
(4)
Para calcular el momento torsor se integra a lo largo del perímetro el momento infinitesimal que el flujo de corte produce respecto a un punto arbitrario P como se muestra en la Figura 2-c.
T
v³ r q ds
q
v³ r ds
(5)
El flujo de corte q se ha sacado fuera de la integral por ser constante a lo largo de todo el perímetro. La integral debe efectuarse a lo largo de la línea media y tiene una interpretación geométrica muy simple. En efecto, ( rds ) es el doble del área del triángulo de base (ds) y altura ( r ).
v³ r ds
2*
o
T
2 q*
(6)
Notar que el área no es el área A de la sección recta, sino, el área encerrada por la línea media del perímetro (normalmente >> A). La tensión de corte por torsión en la sección cerrada de pared delgada depende del espesor, de (6) y (4) se tiene: T T W q (7) y 2* 2* t Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
178
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El giro por unidad de longitud ( = d/dx ) puede determinarse por un simple planteo energético. El trabajo realizado por el momento torsor T es:
We ½ TT donde: T EL (8) Cuando actúa solamente la tensión de corte, la energía por unidad de volumen “w ”, dada en la ecuación (121) del Capítulo 1 se reduce a una expresión sencilla que se puede integrar en el volumen (dV = Ltds ) para calcular la energía interna de deformación elástica Wi . w ½W J
½
W2 G
o
Wi
v³ w dV
v³ ½ ½ TEL
Igualando We con Wi
W2 dV G
o
³½
v³ ½
Wi
W2 Lt ds G
(9)
W2 Lt ds , G
(10)
se puede despejar . Reemplazando (4) y (6) en (10) se puede expresar de dos maneras según convenga en función del momento torsor T o del flujo de corte q:
E
q 2G*
v³
ds t
E
(11)-a
T 4 G* 2
ds t
v³
(11)
(11)-b
Las ecuaciones (6) y (11) son conocidas como fórmulas de Bredt, quien las dedujo en 1896. Notar que son fórmulas aproximadas válidas para espesores t muy pequeños. Como en general los espesores de las vigas de pared delgada no son tan pequeños el error no es insignificante. A modo de ejemplo se puede mencionar que si la fórmula (6) se aplica a un tubo circular cuyo espesor es igual al 20 % del radio medio, la tensión máxima calculada es un 8 % inferior al verdadero valor. En ese mismo ejemplo el giro por unidad de longitud calculado con (11) tiene un 1% de error en exceso. Teniendo en cuenta la ley de Hooke se puede expresar el giro por unidad de longitud como
TL G J R (12)-a
T
o
E
T G JR
(12) (12)-b
donde el producto (G JR ) es la rigidez a la torsión de la sección. Al comparar la ecuación (12)-b con la (11)-b se obtiene la fórmula (13)-a para calcular el módulo torsional JR de una sección cerrada de pared delgada que es el equivalente al momento de inercia polar de una sección circular. Módulo torsional
JR
4* 2
v³ ds / t
(13)-a
si t es constante J R
4* 2 t perímetro (13)-b
(13)
donde se observa que el módulo torsional de secciones cerradas crece con el cuadrado del área encerrada y sólo linealmente con el espesor t. En el caso de una sección cerrada con aletas se suman las contribuciones de esos elementos
JR
42 ¦ / ds t v³
³ ൈ t ds 3
i
(14)
i
Es muy importante destacar la gran diferencia entre el módulo torsional de una sección cerrada y el de otra similar abierta. A modo de ejemplo se sugiere al lector verificar que el tubo soldado (cerrado) de la Figura 3-b tiene una rigidez ( G JR ) que es 300 veces la rigidez del mismo tubo sin soldar de la Figura 3-a. Asimismo puede verificarse que la tensión máxima en la sección abierta es 30 veces el valor correspondiente a la sección similar pero cerrada.
J R cerrada J R abierta
§r · 3¨ m¸ © t ¹
W max abierta W max cerrada
3
rm t
2
300
30
Figura 3: Comparación entre dos secciones aparentemente similares: a) abierta, b) cerrada Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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3 TORSIÓN DE SECCIONES CON VARIAS CÉLULAS Las secciones cerradas multicelulares de pared delgada son de uso frecuente en ingeniería naval, mecánica y aeronáutica. Su análisis es una simple generalización de los resultados obtenidos por Bredt para una sección cerrada (unicelular ). Analizaremos una sección de dos células del tipo de la Figura 4, pero los resultados pueden generalizarse al caso de n células. Se considera que el f lujo de corte q1 actúa en la célula 1 y que el f lujo de corte q2 actúa en la célula 2, mientras que en el tabique interior se superponen ambos f lujos.
Figura 4: Sección cerrada de pared delgada de dos células
Repitiendo un razonamiento similar al que permitió deducir (4) se puede probar que
q1 q 2
q3
(15)
esto permite tratar los flujos de corte en las células como corrientes en las mallas de circuitos eléctricos. Suponiendo que las secciones planas no se distorsionan en su plano (teoría de Saint Venant ) se puede anticipar que todas las células giran lo mismo, de esa manera según (11) se tiene:
E
E 1 = E 2 .....= E n
1 2 G i
Ei
donde:
v³
qi ds i
i 1, 2, n
(16)
El momento torsor total se obtiene como suma de la contribución de todos los tramos. Considerando la sección de dos células de la Figura 4-a se tiene
T
³
ABC
q1 r ds ³
CDA
q 2 r ds ³
CA
q
1
q 2 r ds
q1 2 (* 1 * 3 ) q2 2 (* 2 * 3 ) (q1 q2 ) 2 * 3
(17)
2 (q1 * 1 q2 * 2 )
n
Generalizando para n células
o
T
2 ¦ qi * i
(18)
i 1
Un problema típico es el siguiente: Son datos la geometría, el material (G) y el momento torsor total T y se pide hallar los n flujos de corte qi y el giro por unidad de longitud ( ). Se tienen n células y por lo tanto n+1 incógnitas. Se dispone de un sistema de n ecuaciones acopladas (16) que permiten calcular los qi en función de (que es único). Reemplazando luego en (18) podemos despejar el valor de con el que finalmente se calculan los qi . Secuencia de cálculo para resolver la sección de dos células de la Figura 4:
E
Comenzamos definiendo: Ec. (16)
ª a b º ª q1 º « »« » ¬ c d ¼ ¬ q2 ¼
Ec. (18)
T
ª*1 º 2E G « » ¬* 2 ¼
2E G ;
ª a b º ª q1 º « » « » ¬ c d ¼ ¬ q2 ¼
despejando 2 E * 1 q1 * 2 q2 o E
qi = E qi
(19)
q1 ª*1 º resolviendo « » o ® ¬* 2 ¼ ¯ q2
° q1 T o ® 2 (* 1 q 1 * 2 q 2 ) ¯°q2
E q1 E q2
(20)
(21)
Para obtener el módulo torsional se parte de (12)-b, se tiene en cuenta (19) y se generaliza (21): JR
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
4 ¦ * i qi
180
(22)
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4 ÁREA SECTORIAL Las vigas de pared delgada pueden estar solicitadas por torsión o bien torsión y flexión. El análisis de tales problemas se facilita definiendo la propiedad de la sección llamada Área Sectorial.
Figura 5: Definición del área sectorial
Para la sección abierta de pared delgada de la Figura 5 se elige arbitrariamente un punto inicial ( I ) para medir la distancia ‘s’ sobre la línea media. También se elige arbitrariamente un punto ( P) como ‘polo’ y se define el área sectorial ~ (s) como
Z (s)
³
s 0
s
³
r ds
0
dZ
[cm 2 ]
(23)
Notar que el área sectorial es un valor asociado a cada punto de la línea media de la sección. El incremento ~ es positivo cuando PQ rota en sentido antihorario. Notar que si se cambia el punto inicial, el valor del área sectorial cambia en una cantidad fija en todos los puntos (el cambio es igual al valor anterior que tenía el área sectorial en el nuevo punto inicial ). A modo de ejemplo en la Figura 6 se muestran gráficos del área sectorial para una misma sección donde se cambia la ubicación del polo y del punto inicial.
Figura 6: Gráficos del área sectorial obtenidos cambiando el polo y el punto inicial
Otras propiedades útiles para el análisis de secciones de pared delgada son las siguientes: 1) Momento estático sectorial.............
MZ
2) Momentos sectoriales de 1er orden....
SZx
³ Z (t ds) s
³
s
[cm 4 ]........................................ (24)
y Z (t ds )
SZy
³
s
x Z (t ds )
[cm5 ] (25)
donde y es la distancia al eje “x” y x es la distancia al eje “y”. 3) Momento de inercia sectorial..........
IZ
³Z s
2
(t ds )
[cm 6 ]....................................... (26)
Notar que estas propiedades de las secciones de pared delgada dependen de la geometría de la sección y de la elección de los puntos “I ” y “P ”. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
181
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Las propiedades (24), (25) y (26) son propiedades globales de la sección (constantes), a diferencia del área sectorial definida en (23) que varía de punto a punto de la sección (variable). Notar que (25) depende además del eje de referencia (ya sea “x ” o “y ” ) .
4.1 Diagrama principal de área sectorial Cuando se utiliza el centro de corte como polo, los momentos sectoriales de 1er orden ( SZx y SZy ) definidos en (25) respecto a ejes principales resultan nulos independientemente de la elección del punto inicial. Esto se demuestra más adelante, ver ecuación (66). Si además se elige el punto inicial de modo que el momento estático sectorial se anule, se obtiene un diagrama de área sectorial que se denomina “diagrama principal de área sectorial ”. Para obtener el diagrama principal se calcula primero ~1(s) usando al centro de corte como polo y adoptando un punto inicial cualquiera
Z 1( s )
³
s 0
r ds
(27)
Cambiar el punto inicial implica restar una constante (~o ) en todos los puntos de la sección
Z (s)
Z 1( s ) Zo
(28)
Para que la nueva área sectorial ~ (s) así definida sea el diagrama principal deberá cumplirse que
³ de donde
³Z
Resumiendo:
1( s )
(t ds) Zo ³ (t ds)
s 0
Z ( s ) (t ds) 0
o
0
(29)
Zo
1 A
³Z
1( s )
(t ds)
(30)
1º ) se calcula ~1(s) según (27) usando al centro de corte como polo. 2º ) se calcula la constante ~o usando (30), donde A es el área de la sección. 3º ) se obtiene el área sectorial principal ~ (s) usando (28).
Nota 1: Recordar que debe utilizarse como polo al centro de corte. Nota 2: Cuando hay un eje de simetría basta tomar el punto inicial I sobre el eje de simetría para obtener directamente el diagrama principal sin necesidad de usar el procedimiento anterior !
5 ALABEO - TENSIONES SECUNDARIAS La mayoría de las secciones alabean cuando son torsionadas. Se denomina ‘alabeo’ a los desplazamientos en el sentido axial que hacen que las secciones originalmente planas no permanezcan planas después de ser torsionadas. Cuando el alabeo está restringido por los apoyos se originan tensiones denominadas “secundarias” que son de dos tipos: i) axiales en el sentido de viga, como se indica en el recuadro sombreado en la ecuación (3) y ii) de corte actuando en las secciones transversales. Las tensiones secundarias también aparecen cuando varía el momento torsor a lo largo de la viga; en tal caso las secciones próximas intentan alabearse de manera distinta y eso debe compatibilizarse.
5.1 Desplazamientos por alabeo Para desarrollar expresiones que permitan calcular el desplazamiento axial u, se considera el tramo de viga de la Figura 7-a.
Figura 7: Contribuciones a las deformaciones por corte en una viga solicitada en torsión Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
182
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Aislando un elemento genérico ABCD se observa que hay dos contribuciones a las deformaciones de corte (ver Figura 7-b): i ) la primera que llamaremos se origina en la rotación relativa de una sección respecto a otra que se encuentra a una distancia dx y ii ) la segunda que llamaremos se origina en la variación de los desplazamientos axiales u, ( alabeo ):
J
D O
du ds
Er
(31)
La distorsión de corte J produce en el plano medio un flujo de corte q. Según (2) y la ley de Hooke asociada al corte se tiene: (4) Hooke
q
W
W t ½° ¾ o J J G °¿
q Gt
(31)
du ds
q Er Gt
(32)
5.2 Secciones abiertas Recordando que las secciones abiertas no tienen f lujo de corte q { 0 , se puede integrar (32) llegando a:
u
E
³
s 0
r ds u0
o
u( s )
E Z( s ) u 0
(33)
La ecuación (33) muestra que los desplazamientos por alabeo en secciones abiertas de pared delgada son proporcionales al giro por unidad de longitud E y tienen la misma ley de variación que el área sectorial ~(s) a lo largo del perímetro. Notar que u0 es una traslación de toda la sección que depende del punto inicial utilizado para definir el área sectorial. IMPORTANTE: Las secciones abiertas cuya área sectorial es nula en todos los puntos no se alabean. Esto ocurre, por ejemplo, cuando la sección está constituida por un haz de elementos rectos que concurren en un punto como se muestra en la Figura 8.
Figura 8: Secciones abiertas formadas por un haz de rectas concurrentes cuya área sectorial es nula
5.3 Secciones cerradas En una sección cerrada no existe el corte EF presente en la Figura 7-a y se obtiene en general un f lujo de corte no nulo constante en el perímetro. Integrando (32) y haciendo nula la constante de integración u0 se obtiene:
u( s )
E Z( s )
q G
s
³ t
ds t
(34)
Reemplazando las fórmulas de Bredt, (11)-b y (6) en (34) se tiene u( s )
T § Z (s) ¨ 2G * © 2*
v³
ds t
³
s 0
ds · ¸ t ¹
(35)
Si se recorre todo el perímetro ~ = 2 y entonces u(s) = 0, lo que es correcto porque estamos nuevamente en el punto inicial. Empleando (35) se puede verificar que existen algunos casos donde u(s) ¨` "!"@$ " por lo tanto la sección no alabea. Tal es el caso de las secciones mostradas en la Figura 9-a, 9-b y 9-c. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
183
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Figura 9: Ejemplos de secciones que no alabean
5.4 Tensión axial secundaria Cuando el alabeo varía a lo largo del eje x se originan tensiones normales secundarias en el sentido del eje de la viga. Se denominan tensiones secundarias porque a priori no se esperaría que la torsión produzca tensiones normales que se suman a las causadas por los momentos flectores y el esfuerzo axial. La variación en el desplazamiento de alabeo, u, se origina en las siguientes causas: 1. Variaciones del momento torsor a lo largo de la viga, 2. Restricción al alabeo libre en una o más secciones (apoyos) o 3. Una combinación de las dos causas anteriores actuando simultáneamente. Para el caso de torsión actuando sola se tiene: du( s ) H x (s) o dx
V x (s)
E H x (s)
V x (s)
E
(36)
a) Sección abierta Empleando (36) y (33) se tiene:
V x(s)
E
dE Z (s) dx
o
d 2T Z (s) dx 2
(37)
La ecuación (37) muestra que, para el caso de torsión pura, la distribución de tensiones axiales secundarias sigue la misma ley de variación que el área sectorial principal. Debido al tipo de solicitación (torsión pura) deben anularse: i) la resultante de las fuerzas axiales, ecuación (38) y ii) los momentos de las tensiones axiales respecto a ejes principales de inercia de la sección transversal (ejes “y” y “z”), ecuaciones (39) y (40) ( dichos momentos serían momentos f lectores ). Fx ³ V x ( s ) dA 0 (38) A
My
³
Mz
³ y V x ( s ) dA
A
z V x ( s ) dA
0
(39)
0
A
(40)
Siendo x proporcional al área sectorial y teniendo en cuenta (38) se deduce que ~(s) en (37) es el área sectorial principal definida en (28) y que se calcula usando los valores obtenidos con las ecuaciones (27) y (30). Las ecuaciones (39) y (40) son los momentos sectoriales de primer orden definidos en (25) que se anulan cuando se utiliza al centro de corte como polo. Esto último se demuestra en el corolario al final de la Subsección 8.2 Para calcular la tensión axial secundaria x(s) es necesario conocer la variación de o como función de x y eso depende del problema en particular que se esté considerando. b) Sección cerrada En una sección cerrada hay tensión axial secundaria x(s) sólo si el momento torsor varía en función de x. Empleando (36) y (35) se tiene:
V x(s)
E § Z( s ) ¨ 2G * © 2 *
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
v³
184
ds t
³
s 0
ds · dT ¸ t ¹ dx
(41)
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5.5 Tensión de corte secundaria Si d /dx no es constante aparece un f lujo de corte variable en el contorno, aún en el caso de secciones abiertas, y la tensión cortante, = q/t, no se anula sobre la línea media de la sección. Notar que, de acuerdo a la teoría de Saint Venant, la variación de las tensiones de corte por torsión es lineal en el espesor de las vigas abiertas de pared delgada y la línea media tiene tensión de corte nula.
Figura 10: Tensiones de corte secundarias en secciones abiertas de pared delgada
Para un elemento de una sección abierta debe cumplirse equilibrio de fuerzas según la dirección del eje de la viga (eje x). Observando la Figura 10 se tiene:
§ wV x ( s ) · § wq( s ) · dx ¸ t ds ¨ ds ¸ dx ¨ © wx ¹ © ws ¹
0
(42)
Sustituyendo x(s) según (37), simplificando e integrando se obtiene:
wq( s ) ds q( s )
E
d 3T MZ (s) dx 3
E
d 2E Z t dx 2 ( s )
(43)
donde: M Z ( s )
sc s
³ sc 0 Z ( sc) t dsc
(44)
M ~(s) es el momento estático sectorial que varía en el contorno en función de ‘s’ a diferencia de la propiedad definida en (24) que corresponde a toda la sección. La constante de integración en (44) resulta nula porque siempre se integra a partir de un extremo libre de la sección donde s’ = 0, s = 0 y q = 0. El valor de Z ( sc ) en cada punto es igual al valor del diagrama principal de área sectorial en ese punto. Notar que en el extremo libre donde s’ es nula, el f lujo de corte q es nulo pero el área sectorial no es nula en ese punto (¡el valor nulo ocurre en el punto inicial con que se definió el área sectorial principal !). Notar que hay una aparente incongruencia en el razonamiento. En efecto (43) y (44) se basan en (33) que se derivó suponiendo que la tensión de corte es nula en la línea media y luego a partir de ella se derivó (44) para calcular el f lujo de corte q que no es nulo en la línea media. Razonamientos similares son utilizados en teoría de flexión de vigas y teoría de flexión de placas. La obtención de (43) se basa en condiciones de equilibrio similares a las que permiten obtener las tensiones de corte de Jourasky. El error que se comete al calcular x ignorando q es muy pequeño y por lo tanto el error de q basado en x también resulta despreciable.
6 TORSIÓN CON ALABEO RESTRINGIDO La teoría de Saint Venant supone que las cargas externas y los apoyos son tales que permiten el libre alabeo de las secciones, pero existen muchos casos de interés práctico en que el alabeo está restringido. Un caso muy común es aquel en que se tiene una viga en voladizo donde los desplazamientos axiales están restringidos en el empotramiento (apoyo). Nos proponemos resolver el siguiente problema: Determinar el giro por unidad de longitud, , y las tensiones como función de x en el caso de una viga de pared delgada solicitada por torsión y con restricción al alabeo. La teoría correspondiente comenzó a ser desarrollada por Timoshenko en 1905 y fue completada por Vlasov alrededor del año 1950. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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6.1 Ecuación general de la torsión para secciones abiertas Se considera una sección abierta de forma arbitraria del tipo de la Figura 11-a solicitada por un momento torsor ‘T ’ en el extremo libre.
Figura 11: Tensiones por torsión de una viga de pared delgada y sección abierta
Si se considera una sección cualquiera (para un cierto valor de la coordenada x) como la indicada en la Figura 11-a se observan tensiones de corte de Saint Venant que varían linealmente en el espesor ( Figura 11-b) y tensiones de corte uniformes en el espesor pero variables en el contorno, correspondientes al f lujo de corte secundario, qs, debido a la restricción al albeo libre ( Figura 11-c). Partiendo de la ecuación (5) se puede calcular el momento torsor, Tq , resistido por el f lujo de corte secundario qs debido a las restricciones al alabeo:
Tq
³ r q ds ³ q s
s
dZ
(45)
El cálculo de qs está dado en la ecuación (44) y requiere hacer una integración a lo largo del contorno medio de la sección abierta. Para evitar esa integral se recurre a la integración por partes de la ecuación (45): wq F Tq ³ qs d Z (46) >Zs qs @ I ³ Zs §¨ s ds ·¸ © ws ¹ La cantidad entre corchetes se anula porque q = 0 en los puntos extremos de la sección abierta (puntos I y F, en la Figura 11-c). Reemplazando ( qs s) por el valor dado en (43) se tiene
Tq
E
d 2E dx 2
³ Zs
2
(t ds ) o
Tq
E
d 2E IZ dx 2
(47)
Notar que la integral es el momento de inercia sectorial I~ definido en la ecuación (26) que se calcula a partir del área sectorial principal. La parte del momento torsor, TSV , resistido por las tensiones de corte de Saint Venant de variación lineal en el espesor t, bosquejado en la Figura 11-b se calcula de la manera habitual considerando (12):
dT
dT dx
T dx o E G JR
T G JR
o
TSV
E G JR
(48)
Sumando las contribuciones dadas en (47) y (48) y multiplicando por menos 1, se tiene:
d 2E G JR E T (49)-b (49) Tq TSV T (49)-a dx 2 El coeficiente (EI~ ) se denomina rigidez al alabeo, mientras que el coeficiente (GJR ) es la rigidez a la torsión clásica de Saint Venant. Dividiendo por EI~ se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden en o
E IZ
d 2E K2 E dx 2 donde
K2
G JR E IZ
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
K2
T G JR
(50) (51)
186
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Reemplazando en (50) por (d/dx) y derivando respecto a x se tiene 2 d 4T 2 d T K dx 4 dx 2
Tc G JR
(52)
dT dx
Tc
donde
K2
(53)
La ecuación (52) es la ecuación diferencial de la torsión para secciones abiertas. Debe quedar claro que tanto T en (50) como T c en (52) son en general variables en función de la coordenada x. Para el caso T = cte., la solución de (50) es
E
B1 senh ( Kx) B2 cosh ( Kx) T / (G J R )
(54)
Para el caso de momento torsor de variación lineal, T c cte. la solución de (52) es:
T
C1 C2 x C3 senh ( Kx) C4 cosh ( Kx) T c x 2 / 2 G J R
(55)
Las constantes de integración se calculan a partir de las condiciones de borde. Por ejemplo para un borde empotrado: T constante: en x 0 o E 0 (56)
Tc
0 o T
en x
constante:
0 y dT / dx
0
(57)
En el caso general donde T tiene una variación arbitraria se recurre a la integración numérica de la ecuación diferencial, tema desarrollado más adelante en la Subsección 9.2.
7 FLUJO DE CORTE POR CORTE En el caso de vigas rectas de pared delgada, abiertas y de sección constante, las tensiones de corte por corte son tangentes a la línea media de la sección y uniformes en el espesor. Esto da origen a un f lujo de corte q(s) que varía a lo largo del perímetro de la sección, cuyo valor se determina por la conocida fórmula de Jourasky.
7.1 Secciones abiertas simétricas Sea, por ejemplo, la viga en voladizo de la Figura 12 donde los ejes “y” y “z” son ejes principales de inercia que pasan por el centro de gravedad de la sección. El eje x tiene la dirección de la viga que es recta y de sección constante. El centro de corte se ubica sobre el eje de simetría.
Figura 12: Tensiones de corte por corte en una sección abierta simétrica de pared delgada
La tensión de corte debida al esfuerzo de corte Qz actuando en el centro de corte, se calcula con la fórmula de Jourasky:
W
QS tI
(4)
q( s)
Qz S y ( s ) I y*
s
donde: S y ( s )
³ z t ds
(58)
I
donde q(s) es el f lujo de corte activo que recorre la línea media de la sección de pared delgada; s es la coordenada curvilínea que sigue la línea media de la sección (s es igual a cero en el extremo que se toma como punto inicial I ) ; Qz es el esfuerzo de corte en la sección, Sy (s) es el momento estático Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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respecto al eje “y” del área comprendida entre el punto inicial y el punto definido por la coordenada * “s”, I y es el momento de inercia consistente respecto al eje “y”. * El momento de inercia consistente I y se calcula concentrando el área sobre la línea media de la sección. Siendo consistente se garantiza que al integrar el f lujo de corte q(s) dado por (58), que se considera actuando sobre la línea media, se obtendrá el valor del esfuerzo cortante Q que es dato. Convención de signos: Q es positivo cuando tiene el sentido del eje z positivo. El f lujo de corte q(s) resulta positivo cuando apunta en el sentido creciente de la coordenada s que define el punto donde se calcula el f lujo de corte. El “f lujo de corte activo” tiene por resultante al esfuerzo de corte y pasa por el centro de corte. Se denomina “reactivo” al f lujo que equilibra el esfuerzo de corte. En la Figura 12 se observa que el f lujo de corte es de intensidad variable (varía de acuerdo al valor del momento estático del área que es nulo en los extremos y máximo en el centro de gravedad ) y tiene la dirección de la línea media. Notar que en las alas superiores el f lujo de corte es horizontal a pesar de que el esfuerzo de corte Q es vertical (según el eje z ) . Notar que se han graficado flujos activos.
7.2 Secciones abiertas asimétricas En el caso de una sección asimétrica como la mostrada en la Figura 13 se deben determinar primero los ejes principales de inercia ‘y* ’ y ‘z* ’. La carga P que es vertical debe descomponerse según las direcciones principales para determinar los esfuerzos de corte Qy* y Qz*. Se puede anticipar que el centro de corte está ubicado en la intersección de las líneas medias de las alas.
Figura 13: Tensiones de corte por corte en una sección abierta asimétrica
Los f lujos de corte por corte causados por Qy* y Qz* se calculan por separado usando (58) y posteriormente se suman las dos contribuciones al f lujo de corte por corte q (s).
q ( s ) z*
Qz* S y* ( s ) I
* y*
q ( s ) y*
Q y* S z* ( s ) I z**
o
q( s)
q ( s ) z* q ( s ) y*
(59)
7.3 Secciones cerradas simétricas Cuando la sección cerrada posee un eje de simetría y la carga cortante actúa según ese eje de simetría, se puede anticipar que el flujo de corte es nulo sobre el eje de simetría (debido a la simetría).
Figura 14: Tensiones de corte por corte en una sección cerrada simétrica
En casos como el de la Figura 14 se puede aplicar la fórmula de Jourasky (58) tomando como punto inicial al punto A. Para un punto tal como el C se debe calcular el momento estático del área ABC respecto al eje ‘y’. Notar que el momento estático es máximo a la altura del centro de gravedad ( punto G ) y en consecuencia el f lujo de corte por corte también resulta máximo en esa zona.
7.4 Secciones cerradas asimétricas La determinación del flujo de corte por corte en el caso de secciones cerradas asimétricas se trata más adelante al final de la Sección 8 dedicada al centro de corte. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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8 CENTRO DE CORTE La incidencia de la ubicación del centro de corte puede visualizarse considerando una viga en voladizo como la mostrada en la Figura 15-a. Bajo la acción de la carga vertical aplicada en el extremo, la viga se f lexiona y puede también girar por torsión.
Figura 15: Giro de una sección abierta en función de la ubicación de la carga respecto al centro de corte
El esquema indicado en la Figura 15 permite intuir que existe una ubicación de la carga para la cual la viga no gira por torsión ya que si la carga está a la izquierda como en el caso de la Figura 15-b el giro es antihorario y si está a la derecha como en el caso 15-d el giro es en sentido horario. Una carga transversal que pasa por el “centro de corte” no produce torsión en la viga. En el caso de secciones “llenas” el centro de corte está muy próximo o coincide con el centro de gravedad de la sección. En tales casos, la ubicación precisa no es importante. La ubicación del centro de corte en vigas delgadas abiertas es muy importante por su baja resistencia y rigidez a torsión (aunque la rigidez aumenta considerablemente cuando se restringe el alabeo en los apoyos). Es importante enfatizar que el momento torsor debe calcularse respecto al centro de corte. El centro de corte es el punto donde pasa la resultante de las tensiones de corte (o f lujos de corte) de Jourasky para cualquier dirección de la carga transversal. En el extremo donde actúa la carga, el centro de corte real no coincide con el calculado porque no es posible aplicar la carga transversal en forma de tensiones de corte exactamente iguales a las calculadas con la fórmula de Jourasky. En las proximidades del extremo empotrado el centro de corte real tampoco coincide con el calculado por Jourasky debido a que la restricción al alabeo produce un f lujo de corte adicional. Cuando se desprecian las deformaciones de la sección de pared delgada en su propio plano debido a la f lexión, el centro de corte coincide con el centro de giro. Hay que recordar que el centro de giro es el punto que no se desplaza cuando la sección gira por torsión. En la Figura 16 se observa que la variación del f lujo de corte de Jourasky, proveniente de la variación del corte a lo largo de la viga, deforma la sección plana de la viga de pared delgada.
Figura 16: Variación del f lujo de corte de Jourasky y deformación de la sección de la viga
Aplicando el teorema de reciprocidad se puede demostrar que el centro de corte coincide con el centro de giro (ver Figura 17 ). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Figura 17: Aplicación del Teorema de Reciprocidad
En el estado I, la carga Q actuando en el punto A produce un giro TQA . En el estado II, el momento torsor T aplicado en A produce un desplazamiento vertical uTA .
Q uTA
Por reciprocidad se tiene: A Cuando A coincide con el centro de corte, TQ es también centro de giro.
T TQA
0 entonces según (60) uTA
(60)
0 , por lo tanto A
8.1 Centro de corte de secciones abiertas con un eje de simetría Cuando una sección de pared delgada tiene un eje de simetría como en el caso de la Figura 18-a, se puede anticipar (por simetría) que el centro de corte está ubicado sobre dicho eje de simetría. En efecto, una carga cortante horizontal, Qy, actuando en el eje de simetría (eje ‘y’) produce tensiones de corte simétricas respecto al eje ‘y’ cuya resultante pasa por el eje de simetría.
Figura 18: Sección abierta con un eje de simetría
Para ubicar el centro de corte hay que calcular la distancia “e” indicada en la Figura 18-c. Primero se calcula el f lujo de corte q (s) debido al esfuerzo de corte Q según Jourasky y luego se ubica el centro de corte ‘C’ de modo que el momento T respecto a C de las fuerzas asociadas al f lujo de corte sea nulo. T (61) v³ r [q( s) ds] 0 Notar que q(s) es variable y se calcula usando la fórmula de Jourasky (58) en función de la coordenada curvilínea “s” que recorre la línea media del espesor de la sección de pared delgada. En el caso de tramos rectos como en la sección de la Figura 18, conviene encontrar, en cada tramo, la resultante Fi del f lujo de corte variable y luego tomar momentos respecto al centro de corte ( punto C ). En el caso de la Figura 18-c se tiene:
h h F2 e F3 0 2 2 lo que permite despejar la distancia e que ubica al centro de corte. F1
La fuerza F1 se calcula integrando ......... F1 donde el f lujo de corte se calcula con (58) ..... q1 ( s ) siendo el momento estático variable .….......... S1 y ( s )
³
b 0
(62)
q1( s ) ds
Q S1 y ( s ) I y*
( s t ) (h /2)
Signos: S1y(s) es positivo, Q es positivo (hacia arriba), luego q1(s) es negativo ( hacia la derecha). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Procediendo de manera similar se puede obtener F2, mientras que F3 = – F1. Notar que no es * necesario calcular I x porque se lo puede sacar factor común en la ecuación (62) que está igualada a cero. Como alternativa se puede tomar momentos respecto a intersección de F2 y F3 y de esa * manera no hace falta calcular ni F2 ni F3, pero en ese caso si hace falta calcular I x .. Notar que para determinar el centro de corte, en este ejemplo se utilizó (61) en conjunción con (58), pero existe un procedimiento alternativo dado por las ecuaciones (64) y (65) donde se calcula primero el momento estático de 1er orden dado en (25) utilizando ejes principales de inercia para determinar las coordenadas del centro de corte. Cuando una sección tiene un centro de simetría, el centro de corte coincide con el centro de simetría, tal es el caso de la sección de la Figura 19-a. En el caso de secciones formadas por un haz de rectas que concurren en un punto como en las Figuras 19-b, 19-c y 19-d se puede anticipar que el centro de corte se halla en la intersección común a todas las líneas medias de los tramos rectos, porque allí concurren las fuerzas resultantes de los f lujos de corte en cada tramo.
Figura 19: Ubicación del centro de corte de una sección con centro de simetría y de tres secciones formadas por rectas concurrentes
8.2 Centro de corte de secciones abiertas asimétricas En el caso de una sección de pared delgada abierta de forma arbitraria como la mostrada en la Figura 20-a que no tiene ejes de simetría ni centro de simetría, se debe calcular primero el centro de gravedad (punto G ) y los ejes principales de inercia ‘y*’ y ‘z* ’.
Figura 20: Ubicación del centro de corte en secciones abiertas sin eje de simetría
Para ubicar la posición del centro de corte se calculan por separado sus coordenadas ey* y ez* referidas a los ejes principales. Primero se calcula la coordenada ey* donde pasa la resultante de los f lujos de corte de Jourasky para el esfuerzo de corte Qz* según z *. Calculando q(s) según (58), usando ejes principales y eligiendo el baricentro como polo (punto G) se plantea el equilibrio de momentos respecto al punto G (momento antihorario positivo):
Qz* ey*
³
F
I
r [q( s ) ds]
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
o
191
e y*
1 F S y*( s ) rds I y** ³I
(63)
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Para realizar la integral (63) es necesario calcular previamente el momento estático Sy* (s) resolviendo la integral dada en la ecuación (58). Esto se puede evitar integrando por partes la ecuación (63) como se indica a continuación:
e y*
F d F 1 ½ Z ( s ) S y*( s ) I ³ [ S y*( s )] Z ( s ) ds ¾ * ® I I y* ¯ ds ¿
1 F z* Z ( s ) t ds o I y** ³ I
SZy* I y**
e y*
(64)
donde se ha tenido en cuenta la definición (25) de momento sectorial de 1er orden respecto al eje principal y* y el hecho de que Sy* (s) se anula en el punto inicial I y en el punto final F. Notar que en la integración por partes:
³
i ) se integró al diferencial de área sectorial
s
0
r ds
Z (s) .
d d s S y*( s ) z * t ds z * t . ds ds ³ I En una segunda etapa se calcula la otra coordenada del centro de corte: Para ello se repite el procedimiento anterior y se obtiene un resultado similar excepto por el signo, (momento antihorario positivo): ii ) se derivó al momento estático dada en (58)
³
Q y * ez *
F
I
r (q( s ) ds)
repitiendo el procedimiento
o
ez *
SZz* I z**
(65)
Corolario importante Si en el caso de la Figura 20-a se toma momentos respecto al centro de corte (punto C ) y se repite el procedimiento que conduce a las ecuaciones (64) y (65) se puede anticipar que las nuevas distancias al centro de corte ( ecy* y ecz* ) serán nulas, porque se está tomando momentos respecto al centro de corte. (64) ecy*
SZc y* I y**
0 o
SZc y*
0
(65) ecz*
SZc z* I z**
0 o
SZc z*
0
(66)
Esto permite afirmar que: Cuando se utiliza el centro de corte como polo, los momentos sectoriales de primer orden (S~) definidos en (25) respecto a ejes principales resultan nulos independientemente de la elección del punto inicial. Este hecho tiene mucha importancia en el contexto de los momentos f lectores definidos en (39) y (40). El centro de corte puede también calcularse usando ejes no principales, como por ejemplo los ejes ‘y’ y ‘z’ en la Figura 20-a. En tal caso las expresiones para las coordenadas son las siguientes:
ey
I z* SZz I yz* SZy I y* I z* ( I yz* )
ez
2
I y* SZy I yz* SZz I y* I z* ( I yz* )
2
(67)
8.3 Centro de corte de secciones cerradas con simetría En el caso de secciones cerradas con dos ejes de simetría, el centro de corte se halla en la intersección de esos dos ejes. Tal es el caso de las secciones mostradas en las Figuras 21-a, 21-b y 21-c. Si una sección tiene un centro de simetría radial como en la Figura 21-d, ese punto es también el centro de corte.
Figura 21: Ubicación del centro de corte de secciones con simetría Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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8.4 Centro de corte de secciones cerradas sin simetría En un caso general como el mostrado en la Figura 22, el f lujo de corte resulta estáticamente indeterminado. Para resolver el problema se considera la superposición de dos estados ( E stado I y Estado II ) y en uno de esos estados (Estado I ) se elige un punto arbitrario (digamos el punto A) donde el f lujo de corte es nulo. Eso permite calcular el f lujo en los puntos restantes usando la fórmula de Jourasky partiendo de ese punto.
Figura 22: Ubicación del centro de corte de una sección cerrada no simétrica
Para hallar la ubicación del centro de corte se determina primero el baricentro ( punto G ) y los ejes principales de inercia ‘-’ y ‘ ’ . Luego se calculan por separado cada una de las coordenadas (-c y c ) del centro de corte (punto C ) respecto a los ejes principales utilizando esfuerzos de corte unitarios (1- y 1 ) aplicados en el centro de corte. La coordenada -c se calcula en tres pasos: Paso 1: Se elige un punto cualquiera, digamos el punto A como referencia y se obtiene el Estado I restando qA al f lujo q(s). De esa forma el f lujo de corte en el punto A en el Estado I es nulo y permite calcular el f lujo de corte por Jourasky considerando como punto inicial al punto A.
qI ( s )
q( s ) q A
o
qI ( s ) se calcula por Jourasky
(68)
Paso 2: Se calcula qA exigiendo que la sección no gire por torsión ( = 0) porque el esfuerzo de corte unitario 1 actúa en el centro de corte. Utilizamos la expresión generalizada (11) para el caso de f lujo de corte variable.
E
0
1 2G *
v³ q
I (s)
qA
ds t( s )
0
o
v³ (qI ( s ) / t( s ) ) ds
qA
v³ ds / t
(69)
(s)
Paso 3: Se ubica el centro de corte determinando el punto de aplicación de la resultante del f lujo de corte q(s) que es el esfuerzo de corte unitario (1 ). Notar que qI (s) se calculó en el Estado I para una fuerza unitaria y que el f lujo qA actuando en la sección cerrada del Estado II produce momento torsor pero no fuerza resultante. Tomando momentos respecto al baricentro (punto G ) se puede despejar el valor de la coordenada -c.
q( s )
qI ( s ) q A
o
1[ Kc
v³ q
(s)
ds r( s )
o
Kc
v³ q
(s)
r( s ) ds
(70)
Notar que resultaría más conveniente, en este caso particular, tomar momentos respecto a uno cualquiera de los vértices porque sólo tendríamos que considerar la integral en el tramo recto opuesto al vértice considerado (por ejemplo el punto A). Para calcular la coordenada c se procede de manera similar (pasos 1, 2 y 3). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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8.5 Flujo de corte por corte y torsión de una sección cerrada sin simetría En la Figura 23 se presenta el caso general de una sección cerrada no simétrica solicitada por cargas que no actúan en el centro de corte y por lo tanto producen torsión además de corte. Primero se determina el centro de gravedad G, los ejes principales de inercia y el centro de corte C. A continuación se reemplaza al sistema de fuerzas ( Ph y Pv ) por los dos esfuerzos de corte según los ejes principales (Q- y Q ) que actúan en el centro de corte y por el momento torsor T de las fuerzas respecto al centro de corte. Notar que para calcular T se necesita conocer -c y c .
Figura 23: Sección cerrada no simétrica solicitada por corte y torsión
Para resolver el problema de determinar los flujos de corte de una sección cerrada no simétrica solicitada en corte y torsión existen dos alternativas: i ) calculando previamente la ubicación de centro de corte, y ii) sin encontrar previamente el centro de corte. Alternativa 1. Utilizando las coordenadas del centro de corte 1. Se determinan primero los flujos de corte causados por el esfuerzo de corte Q actuando en el centro de corte (punto C en la Figura 23-b). Como el problema es estáticamente indeterminado se procede a descomponer el sistema en la suma de dos estados (I y II) como se muestra en la Figura 24. Notar la similitud con el caso de la Figura 22.
Figura 24: Descomposición en dos estados para calcular el f lujo de corte causado por Q
2. El f lujo de corte constante del Estado II (q) se calcula, como en el caso de la Figura 22, exigiendo que la sección no gire por torsión ( = 0) porque el esfuerzo de corte Q actúa en el centro de corte. Utilizamos la expresión generalizada (11) para el caso de f lujo de corte variable y obtenemos nuevamente la ecuación (69). 3. Se determinan luego los flujos de corte causados por el esfuerzo de corte Q- actuando en el centro de corte (punto C en la Figura 23-b) repitiendo el procedimiento del punto 1.
Figura 25: Descomposición en dos estados para calcular el f lujo de corte causado por Q
4. El f lujo constante del Estado II (q-) se calcula repitiendo el procedimiento del punto 2. 5. A continuación se calcula el f lujo de corte por torsión usando la fórmula de Bredt. Notar que para calcular el momento torsor T se necesita conocer las coordenadas del centro de corte -c y c.!
qT
T /(2 * )
(71)
6. Finalmente se calcula el f lujo de corte total, q(s), causado por el sistema de cargas (Ph y Pv ), que es Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
194
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equivalente al momento torsor T y los dos esfuerzos de corte, Q y Q- .
q( s )
(qI [ ( s ) q[ A ) (qIK ( s ) qK A ) qT
(72)
Alternativa 2. Sin utilizar las coordenadas del centro de corte Notar que la ecuación (72) puede reescribirse como:
q( s )
q[ ( s ) qK ( s ) q0
(q[ A qK A q )
donde: q0
T
(73)
Esto da lugar a un procedimiento alternativo más simple que se muestra esquemáticamente en la Figura 26. Sólo hace falta calcular q0 en vez de sus tres componentes ( q, q-A, y qT ).
Figura 26: Descomposición en tres estados
Paso 1: Se calculan por Jourasky los f lujos q (s) del Estado I de la Figura 26 ( se considera Q ) . Paso 2: Se calculan por Jourasky los f lujos q- (s) del Estado II de la Figura 26 ( se considera Q- ) . Paso 3: Se calcula el valor del f lujo constante q0 del Estado III de la Figura 26. Para ello se iguala el momento de las cargas aplicadas (Ph y Pv ) con el momento del f lujo de corte que recorre el contorno de la sección cerrada respecto a un punto arbitrario que resulte conveniente:
¦ P d ³ (q[ i
i
s
(s)
qK ( s ) q0 ) r( s ) ds o
q0
1 2*
[ 6Pd ³ (q[ i
i
s
(s)
qK ( s ) ) r( s ) ds]
(74)
Paso 4: Se computa el f lujo de corte total, q(s), causado por el sistema de cargas (Ph y Pv ), usando la ecuación (73) y los valores q (s), q- (s) y q0 calculados en los pasos 1 2 y 3.
9 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA TORSIÓN Resuelto el problema de ubicar al centro de corte estamos en condiciones de calcular el momento torsor. Cuando una viga solicitada principalmente en f lexión soporta cargas transversales que no pasan por el centro de corte se debe calcular el momento torsor T teniendo en cuenta la distancia de las fuerzas al centro de corte. Conocer el valor del momento torsor es muy importante en el caso de secciones abiertas de pared delgada debido a su escasa rigidez y resistencia a la torsión.
9.1 Soluciones analíticas En el caso donde el momento torsor es constante a lo largo de la viga (T = cte) la solución está dada en (54) y cuando la variación del momento torsor es constante a lo largo de la viga ( T c cte ) la solución está dada por (55). Las constantes se determinan de acuerdo a las condiciones de borde. 9.1.1 Viga con momento torsor constante y alabeo restringido en un extremo (Figura 27 ). La solución está dada en (54)
E
B1 senh ( Kx) B2 cosh ( Kx) T / (G J R )
Las constantes de integración se determinan a partir de las condiciones en los extremos de la viga. Figura 27: Viga canal solicitada en torsión Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
195
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Condiciones de borde: En el apoyo con restricción al alabeo se tiene:
0 E
x
0
(54)
T / (G J R )
B2
(75)
En el extremo libre se observa que x = 0 x
d 2T dx 2
Vx
L
0
(37) o V x ( s )
d 2T Z( s ) dx 2
E
ª º § T · « K B1 cosh ( Kx) K ¨ ¸ senh ( Kx) » «¬ »¼ x © G JR ¹
x L
o
0
d 2T dx 2
o
0
0
T tanh ( KL) G JR
B1
L
(76)
x L
(77)
Reemplazando en (54) el valor de las constantes hallados en (75) y (77)
T (78) > tanh ( KL) senh ( Kx) cosh ( Kx) 1 @ G JR El giro en el extremo libre se obtiene integrando el giro por unidad de longitud ( ) a lo largo de la viga: L tanh ( KL) º TL ª 1 T L ³ E dx TL o (79) « » 0 G JR ¬ KL ¼
E
KL o f
Cuando
tanh ( KL) o 1
TL
T L / (G J R )
(80)
por lo tanto en las vigas “largas” el efecto de la restricción al alabeo no es importante ya que (80) es la solución de Saint Venant. La tensión axial secundaria debida al alabeo se obtiene de (37): dE TK V x(s) E Z (s) E Z (s) > tanh ( KL) cosh ( Kx) senh ( Kx) @ dx G JR La máxima tensión axial ocurre en el empotramiento:
(81)
ª ET K º tanh ( KL) » Z ( s ) (82) « ¬ G JR ¼ Las tensiones de corte cerca del extremo libre son principalmente tensiones de Saint Venant de variación lineal en el espesor cuyo valor máximo es aproximadamente: T (83) W máx | t JR Para una sección genérica las tensiones de Saint Venant resultan: x
(48)
0
E G JR
TSV
(83) W máx SV
V x(s)
o
½° ¾ ( TSV / J R ) t °¿
x 0
SV (78) W máx
Tt > tanh ( KL) senh ( Kx) cosh ( Kx) 1@ JR
(84)
La tensión secundaria de corte debida al flujo de corte por restricción al albeo se obtiene de (44). s E d 2E s T Z t dsc o W q (44) o W q (85) > tanh ( KL) senh ( Kx) cosh ( Kx)@ ³ 0 Z sc t dsc 2 ³ 0 sc t dx t IZ
Wq
El máximo ocurre para x = 0
sc s
[ T / (t( s ) IZ )] ³ sc 0 Z sc t sc dsc
(86)
9.1.2 Viga con momento torsor constante y alabeo restringido en ambos extremos Las constantes de (54) se obtienen de las condiciones de borde y después se integra de 0 a L.
x 0 E
TL
0 B2
³
L 0
E dx
T / (G J R ) ; x o
TL
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
LE
0 B1
T L ° ® 1+ G J R ¯°
196
[T /(G J R )] (cosh KL 1) / senh KL (87)
[cosh ( KL) 1] KL senh ( KL)
2
senh ( KL) °½ ¾ KL ¿°
(88)
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9.2 Soluciones numéricas En el contexto de la Teoría de Vlasov resulta conveniente definir el bimomento B
E IZ
B
dE dx
(89)
que se mide en kg-cm2 o sea que tiene la dimensión del momento de un momento. Para tener una interpretación física de este “esfuerzo” podemos observar que según (37) B está relacionado con las tensiones axiales secundarias. B V x(s) Z (90) IZ s Multiplicando ambos miembros de (90) por ~(s) e integrando en toda el área de la sección se tiene:
³ V ( s ) Z dA A
x
s
B IZ
³ Z dA A
2 s
B
o
³V
B
A
x(s)
Z s t s ds
(91)
La ecuación (91) muestra que el bimomento es una fuerza generalizada de las tensiones axiales secundarias a través de un esquema de deformaciones asociado a ~(s). En el caso de tener cargas axiales concentradas se tiene n
B
¦ F Z s i
(92)
i
i 1
Retornando al objetivo de resolver numéricamente la ecuación general de la torsión (52) que es de 4to orden, se comienza reduciendo el orden planteando 4 ecuaciones diferenciales de 1er orden como se muestra a continuación. según (49) y (48) se tiene......................... Tq E (G J R ) derivando (93) y considerando la definición de B (89) y de K 2 (51)............ dTq / dx de (47) y (89)............................................ dB / dx por definición de B (89)........................... d E / dx por definición de .................................... dT / dx
T
(93)
K 2B T c
donde: T c
dT / dx
Tq
(94) (95)
B / ( E IZ )
(96)
E
(97)
Reemplazando las derivadas de 1er orden por diferencias finitas entre los valores de las respectivas variables en dos estaciones sucesivas de integración (i ) e (i+1) se llega a:
' x K 2 ( B i 1 B i ) / 2 'x (Tic1 Tic ) / 2
de (94) ............................ Tq i 1 Tq i
(98)
de (95) ............................ B i 1 B i
'x (Tq i 1 Tq i ) / 2
de (96) ............................ E i 1 E i
'x ( B i 1 B i )/( 2 E IZ )
(100)
de (97) ............................ T i 1 T i
'x ( E i 1 E i ) / 2
(101)
(99)
Substituyendo B i 1 de (99) en (98) y reordenando se tiene de (98) ...... Tq i 1
^[1 K ' x /2 ]T 2
i
qi
'x (Tic1 Tic )/ 2 K 2 ' xi Bi
` / [1 K ' x /2 ] 2
i
(102)
de (99) ...... B i 1
B i ' xi (Tq i 1 Tq i ) / 2
(103)
de (100) .... E i 1
E i ' xi ( B i 1 B i ) / (2 E IZ )
(104)
de (101) .... T i 1
T i ' xi ( E i 1 E i ) / 2
(105)
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
197
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A continuación se define el vector de estado que contiene las cuatro variables
Tq ½ ° ° V ( x) ® B ¾ (106) °E ° ¯T ¿i Condiciones de borde: Por tratarse de una ecuación diferencial de 4to orden deben especificarse dos condiciones en cada extremo. Ejemplo: Para ilustrar el procedimiento nos referiremos a la viga de la Figura 27 con un estado general de cargas donde actúan momentos torsores distribuidos y concentrados. En el empotramiento se conoce que y son nulos, siendo desconocido el valor del bimomento (B) y el valor del momento torsor por restricción al alabeo (Tq). La solución, V (x) dado en (106), se puede expresar como una combinación lineal de la forma
V ( x)
V0 ( x ) D1 V1 ( x ) D 2 V2 ( x )
(107)
donde V0(x) es una solución particular relacionada con las cargas exteriores ( T c momento torsor distribuido por unidad de longitud ) y las condiciones no-homogéneas de borde que pudieran ser especificadas. Las soluciones V1 y V2 corresponden al problema homogéneo (sin cargas exteriores ) T c 0 y valores nulos para las variables especificadas en los extremos. Las tres soluciones se calculan con las fórmulas de recurrencia (102) a (105) recordando que para V1 y V2 debe considerarse T c 0 en todos los puntos. Para iniciar el proceso de integración en x = 0 se adoptan para V0 (0) valores especificados (conocidos) o de lo contrario se le asignan valores nulos a las variables. Para las soluciones V1(0) y V2(0) se asocian valores nulos a las variables especificadas porque ya fueron consideradas en V0(0) y a cada variable desconocida se le asocia un valor unitario en una de las soluciones homogéneas y un valor nulo en la otra. Para el problema de la Figura 27, en x = 0 se tiene:
0½ °0° ®0¾ ° ° ¯0¿
V0 (0)
1½ °0° ®0¾ ° ° ¯0¿
V1 (0)
V2 (0)
0½ °1° ®0¾ ° ° ¯0¿
(108)
Aplicando las fórmulas de recurrencia (102) a (105) se llega hasta el extremo x = L donde deben imponerse las restantes condiciones de borde que permiten determinar los coeficientes 1 y 2 de la ecuación (107) con la cual se calcula vector de estado en todos los puntos. Observando (106), (107) y (108) resulta obvio que en este ejemplo 1 = Tq (0) y que 2 = B (0). En el extremo x = L no actúan fuerzas axiales externas, V x { 0 , y según (91) y (92) resulta nulo el bimomento:
x
L B( L)
o
0
B0 ( L) D1 B1 ( L) D 2 B2 ( L)
(109)
0
además, se conoce el momento torsor, T, actuando en el extremo x = L y según (93) resulta
x
L
Tq ( L) G J R E ( L)
[Tq 0 ( L)
T ( L)
D1 Tq1 ( L) D 2 Tq 2 ( L )] G J R [ E 0 ( L ) D1 E1 ( L ) D 2 E 2 ( L)]
(110)
T ( L)
Las ecuaciones (109) y (110) pueden escribirse como
B1 ( L) ª « «¬ Tq1 ( L) GJ R E1 ( L)
º ª D1 º »Z ( s)@ t ds 3
I Z1
2
1
0
1
F
Z
2
I
IZ 2
11,889
³
6 0
(7,71 3 s2 ) 2 0,2 ds2
2 ( IZ1 IZ 2 ) 2 11,889 34,397 ....
IZ
34,397
92,57 cm6
NOTA: Los resultados obtenidos en la parte a (e = 2,57) y en la parte c ( I~ = 92,57) concuerdan con los valores provistos por las fórmulas dadas como ayuda en el enunciado del problema 6, para la sección canal.
6 Determinación de la rigidez torsional de un perfil de pared delgada de 100 cm de largo en tres casos. En los tres casos se comienza calculando el giro producido por un momento torsor genérico T. Notación: el subíndice 9 se usa para el tramo debilitado de 9 cm y 91 para el tramo restante de 91 cm. a) Perfil cuadrado de espesor constante 0,2 cm que no alabea (ver Figura 9 y caso 8 del Anexo) 2 Área encerrada: * 9,8 x 9,8 96,04 Ec. (11)-b E [ T / (4 G * )] v ³ ds / t E
T 100
[ T / (4 xG x 96,042 )] [(4 x 9,8) / 0, 2] ........................... E 0,0053124 T /G EL
0,0053124 T / G x 100
0,53124 T / G ............. T /T 1,8824 G
b) Perfil de 100 cm debilitado con una sección cerrada de 9 cm de largo Rigidez del tramo intacto de 91 cm: T 91
EA
0,0053124 T / G x 91 ..........
T91 0, 48343 T /G
En el tramo de 9 cm se puede ignorar el alabeo porque las secciones cerradas alabean muy poco. Área encerrada: * 9 E9
T 100 T91 T 9
9,8 x 4,65
45,57
Ec. (11) b
[ T / (4 x G x 45,572 )] [(4, 65 x 2 9,8) / 0, 2 9,8/ 0,5]
0, 48343 T / G 0, 013857 T / G x 9 T 100
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
205
E
[ T / (4 G * 2 )] v³ ds / t E9
0, 60814 T / G
0, 013857 T /G
T /T
1,6444 G
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c) Perfil de 100 cm debilitado con una sección abierta de 9 cm de largo Rigidez del tramo debilitado de 9 cm: La sección canal tiene muy poca rigidez torsional debido al alabeo, pero en este caso se trata de un tramo muy corto de 9 cm cuyos extremos tienen el alabeo restringido por el resto del perfil. "£
(9,8 2 x 4,9) x 0, 23 /3 ................................. J R
JR
Momento de inercia sectorial: b D b / h 0,5 ; E tb / th 1 ;
E / [2(1 Q )]
0,3 ; G
Ec. (88)
T9
L 9;
th
D 2 h5 th [1 D E (2 z 2 6 z 6)] / (12 z 2 ) .............................
Iw
Q
4,9 ; h 9,8 ; tb 0, 2 ; z 2 1 / (3D E ) 2,667
E
2,6 G
K
G J R /( E IZ )
0,052267
0, 2
I w 164,777 KL 0,09941
0,011045 ....
[T L / (G J R )] ^ 1 + [cosh ( KL) 1] / [ KL senh ( KL)] senh ( KL) / ( KL) `
senh ( KL) 0,09957 ;
T 100 T91 T 9
cosh ( KL) 1,00495 ...............................
0, 48343 T / G 0,14164 T / G T 100
T9
0,62507 T / G
0,14164 T / G
T /T
1,5998 G
En el caso c de la sección abierta, la rigidez torsional se reduce el 15 % y en el caso b de la sección cerrada se reduce el 12,6 %, por lo tanto cerrar la sección sólo agrega un 2,8 % de rigidez torsional. CONCLUSIÓN: Se puede dejar la sección debilitada abierta sin mayor pérdida de rigidez.
7 Análisis de un tramo en voladizo de sección doble T solicitado a torsión y f lexión. Carga en cada voladizo: P = (0,04 x200 x 60)/2 = 240 Carga distribuida:................... q = 240/60 = 4 La excentricidad de la carga provoca torsión. Excentricidad de la carga:..... e = b/2 = 8/2 =4 Torsor distribuido:....… T’ = q e = 4 x 4 = 16 Momento torsor función de x:.. T = 960 – 16 x 7.1 Solución analítica del problema de torsión En el caso de variación lineal del momento torsor, el giro está dado por la ecuación (55). T C1 C2 x C3 senh ( K x) C4 cosh ( K x) T c x 2 / 2 G J R Ec. (55) Derivando:
Tc
C2 K C3 cosh ( K x) K C4 senh ( K x) T c x / G J R
Derivando:
T cc
K 2 C3 senh ( K x) K 2 C4 cosh ( K x) T c / G J R
Derivando:
T ccc
K 3 C3 cosh ( K x) K 3 C4 senh ( K x)
Propiedades torsionales de la sección doble T:
JR
¦A t
IZ
b3 h 2 t /24
3 i i
Ec. (51)
/ 3 [ (8 10 8) x 0,53 ] / 3 J R 1,083333 G J R
K
Condiciones de borde: o ° T 0 x 0® o °¯ T c 0
2, 24 x10 9
875333 / 2, 24 x109 ................................................. K
0,019768
C1 C4 C2 K C3
1066,667
0 0
EIZ
o
C1
C4 .............................................C1
o
C3
C2 / K ............... C3
T ° x A® ° Vx ¯
875333
1066,67 x 2,1 x106 EIZ
83 x 102 x 0,5 /24 IZ
G J R /( E IZ ) =
1,083333 x 808000 G J R
0
Ec. (50) o
T ccc(A) K 2T c(A) 0 o C2
0
Ec. (90) o
B 0
Ec. (89) o T cc(A)
0....... C4
T cA / (GJ R ) .....................C2
C4
T cA / ( K G J R )
T cA / (G J R )
º T cA 2 ª tanh ( K A ) 1 « » 2 G JR ¬ KA ( K A ) cosh ( K A ) ¼
Evaluando: C1 = – 0,0721471147 C2 = 0,0010967255 C3 = – 0,0554798515 C4 = 0,0721471147 Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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7.2 Solución numérica del problema de torsión empleando x = 20 cm Se consideran sólo tres tramos pero la solución obtenida es exacta independiente de cuantos tramos se utilicen dado que T ’ es constante. La única limitación es que la solución se conocerá sólo en los 4 puntos de discretización adoptados (estaciones).
n 3 o ' xi 60 /3 20 T c 16 K 0,01976799587 La secuencia de avance en las sucesivas estaciones de integración es la siguiente: Ec. (102)
Tq i 1
1,081333012 Tq i 10, 40666506 ( Tic1 Ti c ) 0,008133012 Bi
Ec. (103)
B i 1
B i 10 ( Tq i 1 Tq i )
Ec. (104)
E i 1
E i 4, 464285714 x 109 ( B i 1 B i )
Ec. (105)
T i 1
T i 10 ( E i 1 E i )
Estación
x
T’
Tq
B
[10- 6 ]
[10- 6 ]
1 2 3 4
0 20 40 60
16
0 ___ ` ` ` 1224,53
0 ___` _ _ _ 33309,51
0 14,8667 91,6183 302,2064
0 148,67 1213,52 5151,77
V1 ( x )
1 2 3 4
0 20 40 60
0 0 0 0
1 1,08133 1,33856 1,81353
0 20,8133 45,0123 76,5332
0 0,09292 0,38678 0,92939
0 0,92917 5,72614 18,88790
V2 ( x )
1 2 3 4
0 20 40 60
0 0 0 0
0 0,00813 0,01759 0,02991
1 1,08133 1,33856 1,81353
0 0,0092917 0,0200948 0,0341666
0 0,09292 0,38678 0,92939
V0 ( x )
Solución particular
Ec. (111)
B1 ( L) ª « «¬ Tq1 ( L) GJ R E1 ( L)
º ª D1 º » Qcrít ) la tensión de compresión 1 no aumenta mientras que la de tracción 2 crece. Para cargas aún mayores (Q >> Qcrít ) se puede hacer la hipótesis simplificativa de que la tensión 1 es despreciable frente a 2 y suponer que el alma trabaja sólo a tracción ( ) con una inclinación próxima a los 45º. En tal caso es necesario colocar montantes para resistir la acción que tiende a aproximar las platabandas entre sí. El modelo simplificado de la Figura 19-b se conoce como viga Wagner. La tensión de tracción ( ) y las fuerzas de tracción en las platabandas (F1 y F2 ) pueden calcularse planteando equilibrio estático (ver Figura 20):
Q FV V t (h cos D ) ½ V ¾ o ht sen D cos D FV sen D Q 0 ¿ Tomando momentos respecto al punto A se tiene:
§ h cos D · FV ¨ ¸ F1 h Q x © 2 ¹
(26)
F1
Qx Q h 2 tan D
(27)
Tomando momentos respecto a B: F2
Qx Q h 2 tan D
(28)
0 o
Figura 20: Cálculo de los esfuerzos en el alma y en las platabandas de una viga Wagner
Cuando x = 0, F1 = – Q/(2tan) y esto se debe a que la acción transversal F sobre el montante del extremo izquierdo es resistido por la compresión de las platabandas (superior e inferior ). La tensión de tracción actuando sobre el alma provoca fuerzas Fd sobre las platabandas que a su vez comprimen los montantes internos con una fuerza FV ( ver Figura 21). Fd V t (d senD ) ½ Q d tan D ° FV (29) V dada por (26) ¾ o h °¿ FV Fd senD Figura 21 : Compresión de los montantes debido a la acción del alma sobre las platabandas Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Las platabandas trabajan como vigas continuas cargadas en el sentido axial y transversal y se deforman como se indica en la Figura 22. Debido a la fuerza de compresión FV , los montantes deben verificarse al pandeo en el plano perpendicular a la viga. En estudios experimentales se han medido valores de FV bastante inferiores al valor dado en (29). El primer montante está cargado en sentido axial y transversal, recibiendo en los extremos cargas horizontales y verticales provenientes de las platabandas y en el interior actúa la carga distribuida que ejerce la placa que se descompone en una carga axial y otra transversal. Todo eso se esquematiza en la Figura 22 donde además se muestran los diagramas de esfuerzos internos y su expresión analítica.
N
FV Q x 2 h
§ d tg { Q¨ h © 2h
· ¸; ¹
Q
x 2 tg 3 tg
§ {· ¨1 ¸ ; 2 tg © 3 ¹
M
Mo
{2 x 2 tg 3 tg 2
(30)
Figura 22 : Solicitaciones actuando sobre el primer montante de la viga Wagner
Una hipótesis simplificativa consiste en ignorar M o en el primer montante con lo que se obtiene un M máx mayor al real y se está del lado de la seguridad. El valor del ángulo (ver Figura 19-b) se puede calcular con la siguiente expresión aproximada:
tg D
4
1 ht / Aplat
(31)
1 d t / Amont
donde los valores t, h y d ya fueron definidos con anterioridad en la Figura 19: t es el espesor del panel, h es la altura del montante y d es la distancia entre montantes. Aplat y Amont son respectivamente el área de la platabanda y del montante que rodean al panel. En los casos prácticos se cumple aproximadamente que: h d (32) | o D | 45o Aplat Amont La teoría presentada en esta sección es muy resumida y sus resultados son poco exactos pero permite calcular valores tentativos. El lector interesado en este tema debe recurrir a la literatura especializada. Esta sección sólo pretende ilustrar sobre el comportamiento estructural de la viga Wagner en el estado poscrítico conocido como campo de tensión diagonal.
4 ESTRUCTURAS A RECUBRIMIENTO RESISTENTE Las estructuras a recubrimiento resistente (ver Figura 23 ) están constituidas por tres tipos de elementos: i) la lámina delgada del recubrimiento, ii) los cordones longitudinales ( largueros) y iii) los refuerzos transversales ( cuadernas).
Figura 23 : Elementos componentes de una estructura a recubrimiento resistente Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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I.
El recubrimiento transmite el corte, resiste el momento torsor a través de tensiones de corte y además resiste parte de la f lexión a través del ancho efectivo ( el resto lo toman los largueros).
II. Los largueros resisten la f lexión a través de esfuerzos normales; los que resultan comprimidos deben verificarse a pandeo. Estos elementos estabilizan los paneles definiendo el ancho de pandeo (b) de los paneles que es igual a la distancia entre largueros (ver Figura 23-b ). III. Las cuadernas son marcos cerrados que tienen dos funciones: i) estabilizar los largueros definiendo la longitud de pandeo “a” que es igual a la distancia entre cuadernas (ver Figura 23-a). ii ) recibir cargas concentradas y transmitirlas al recubrimiento y viceversa.
5 CONTRIBUCIÓN DE LOS PANELES A LA FLEXIÓN - ANCHO EFECTIVO La teoría simplificada desarrollada en la Sección 2 que desprecia la contribución de los paneles en cuanto a la resistencia a f lexión produce diseños que en algunos casos resultan demasiado conservativos y esto debe evitarse especialmente en el campo aeronáutico que es muy exigente con el peso de las estructuras. En las llamadas “estructuras a recubrimiento resistente” se considera la contribución del área de los paneles en el cálculo del centro de gravedad, momentos estáticos y momentos de inercia.
Figura 24 : Contribución del área de los paneles en una estructura a recubrimiento resistente
Una manera simple de tratar el problema es considerar un “área modificada ” para el refuerzo como se indica en la Figura 24 : (33) A Ar bt Esta forma de trabajar supone que el alma y el refuerzo son del mismo material y además que la tensión calculada para el refuerzo es la misma tensión que solicita al alma. Esta última hipótesis es correcta para las zonas traccionadas y en las zonas comprimidas donde la tensión ( por f lexión ) es menor que la tensión crítica de la placa. Es necesario recordar la fórmula de la tensión crítica de pandeo de una placa:
Pcrít
K
S 2D b
o V crít
K
S 2D t b2
o
V crít
K
S 2E t2 12 (1 Q 2 ) b 2
(34)
donde E y son el módulo de Young y el módulo de Poisson del material, t y b son respectivamente el espesor y el ancho del panel mientras que K depende de las condiciones de borde. Para bordes simplemente apoyados donde a/b > 1 resulta K ¢
Figura 25: Variación de la tensión en los paneles comprimidos y esquema del ancho efectivo be Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Cuando el panel de la Figura 25-a se comprime progresivamente, al principio la tensión es constante en todo el ancho del panel como se indica en los niveles de carga 1 y 2 de la Figura 25-b. Cuando la carga supera el valor de la carga crítica de pandeo ( P > Pcrít ) dada por (34), la distribución de tensiones no es uniforme en el ancho del panel comprimido. Esto se puede observar en los niveles de carga 3, 4, 5 y 6 de la Figura 25-b; en la proximidad de los refuerzos el panel toma la tensión máxima pero en el centro apenas supera la tensión crítica. Esta diferencia se hace más notable a medida que la carga de compresión crece. El concepto de “ancho efectivo” establece que el ancho real “b” trabajando a una tensión variable en el ancho del panel puede reemplazarse por un “ancho efectivo be” (be < b)solicitado por una tensión constante e igual la tensión máxima ( máx ) que ocurre en los bordes. P
³
b 0
V (x) (t dx)
V máx t be
o
be
1
V máx
³
b 0
V (x) dx
(35)
donde be es el “ancho efectivo” o “ancho de colaboración” definido precisamente por (35). Como la distribución de tensiones V (x) es bastante compleja se recurre a fórmulas prácticas (aproximadas) para el cálculo de be. Existen varias expresiones, pero la más utilizada es la siguiente: be
Fórmula general
be d b
V crít /V máx
b
(36)
que fue propuesta por Von Kármán en 1932. Esta expresión surge de considerar una placa cuyo ancho be es tal que su tensión crítica es máx.
panel real ancho b ...............V crít
K S 2 D / (t b 2 ) ½° ¾ o se deduce (36) K S 2 D / (t be2 ) °¿
panel efectivo ancho be .......V máx
(37)
Reemplazando (34) en (36) y considerando Q = 0,3 se obtiene:
be
0,95 t
K E /V máx
(38)
Suponiendo que a/be > a/b > 1 y que los bordes están " @! @ " K
be
Caso particular K = 0,3
1,9 t
E /V máx
(39)
El valor de máx debe ser menor que la tensión crítica de pandeo del conjunto placa-refuerzo esquematizado en la Figura 23-b. Notar que la tensión máxima en cada panel se calcula por la fórmula clásica de la f lexión
V máx
M y I
(40)
La ubicación del eje neutro depende de las áreas modificadas ( A Ar be t ) dadas en (33), que a su vez dependen de los anchos efectivos be . Por lo tanto el momento de inercia ( I ) y la distancia a la fibra neutra ( y) dependen de la tensión máx en los diferentes paneles. En la Figura 26 se muestra el caso de una viga comprimida en la parte superior que tiene una sección circunferencial, con 32 largueros y 32 paneles. Se ha indicado el ancho efectivo para un panel genérico ( se eligió el panel 5). Notar que si bien el ancho “b” de los paneles en la Figura 26 es único, cada panel tiene su propio ancho efectivo “be” dividido en dos mitades iguales “be /2” cuyas áreas ( t be / 2 ) se suman a los largueros en los extremos de ese panel. Notar que en la parte inferior de la sección que esta traccionada el ancho efectivo es b. A modo de ejemplo en (41) se indica el valor del área modificada de un larguero genérico i: (41) A Ar t be /2 i t be /2 i 1 i
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
i
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Figura 26 : Contribución de los paneles a la f lexión - Ancho efectivo
Para resolver el problema se debe proceder en forma iterativa proponiendo un be tentativo para cada panel de la zona comprimida donde máx > crít que puede ser posteriormente mejorado reemplazando el valor provisto por (40) para máx en la expresión (36) para be hasta convergencia. Una situación interesante se da cuando se desea determinar el momento flector último resistido por la viga de la Figura 26. En ese caso se puede iniciar el cálculo proponiendo un valor tentativo y para la ubicación del eje neutro para calcular las tensiones en el centro de cada panel, con la condición de que MÁX sea igual al menor entre la tensión de fluencia del recubrimiento y la tensión crítica de pandeo del larguero. Con la tensión en el centro de cada panel se puede calcular el ancho efectivo usando (36) y luego usando (41) se puede construir un modelo de áreas concentradas que permite recalcular la ubicación del eje neutro. Este proceso iterativo converge rápidamente en tres o cuatro pasos.
6 ANÁLISIS DE LAS CUADERNAS Las secciones anteriores están dedicadas al análisis del recubrimiento y de los cordones longitudinales (largueros). En esta sección se encara el análisis de las cuadernas que son pórticos planos (marcos cerrados). En la Figura 27-a se muestra un ejemplo sencillo de una estructura a recubrimiento resistente. La cuaderna central recibe una carga concentrada P y está apoyada en el recubrimiento. Las cuadernas de extremo reciben la acción del f lujo de corte y lo transmiten a los apoyos.
Figura 27 : Esquema mostrando las cuadernas de una estructura a recubrimiento resistente
Partiendo del diagrama de corte que se muestra en la Figura 27-b pueden calcularse los f lujos de corte como se indica en la Subsección 2.4. El f lujo de corte en una sección próxima al extremo A se obtiene a partir de RA. El flujo de corte a izquierda de la cuaderna central C se obtiene a partir de Q1 mientras que el flujo de corte a derecha de la cuaderna C se obtiene a partir de Q2. La acción sobre la cuaderna es la suma ambos esfuerzos de corte ( Q1 + Q2 ) que es igual a la carga concentrada P actuando sobre la cuaderna. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Las cuadernas son generalmente simétricas, lo que facilita su análisis, en tales casos el centro de corte está ubicado sobre el eje de simetría. Si tanto la cuaderna como el sistema de cargas son simétricos, como en el caso de la Figura 28, se puede reducir el análisis a la mitad de la cuaderna.
Cargas exteriores
Flujo reactivo de Jourasky
Solicitaciones
Análisis de la mitad
Figura 28: Análisis de una cuaderna simétrica con cargas simétricas
El sistema de cargas ( q, P ) esquematizado en la Figura 28-c es autoequilibrado. Por simetría corresponde colocar empotramientos deslizantes en A y en B. La reacción vertical en A es nula porque el sistema de fuerzas aplicado es autoequilibrado. Sin embargo, si se utiliza el método de rigidez es imprescindible restringir el desplazamiento vertical de cuerpo rígido y esto se logra restringiendo el desplazamiento vertical de algún punto (en este caso se eligió el punto A ). Una alternativa es considerar un modelo como el de la Figura 29. El sistema de cargas consiste sólo en q y la reacción en el punto C (donde actuaba la carga) resultará igual a P. Figura 29: Modelo alternativo para resolver el problema de la Figura 28-d
Si las cargas resultan asimétricas la determinación del f lujo de corte reactivo resulta sencilla. Aprovechando la simetría en la geometría de la cuaderna, el sistema de la Figura 30-a se puede descomponer en dos estados trasladando la carga al eje de simetría y considerando el momento torsor (T = Pa ). Notar que en los sistemas de las Figuras 30-b y 30-c se ha agregado el f lujo reactivo que ejerce el recubrimiento sobre la cuaderna para establecer el equilibrio.
Carga asimétrica
Flujo asimétrico de Jourasky para sección abierta
Flujo constante fórmula de Bredt
Acciones sobre la cuaderna
Figura 30: Análisis de una cuaderna simétrica con cargas asimétricas
El sistema de cargas de la Figura 30-d es autoequilibrado. Si se analiza por el método de las fuerzas tiene tres incógnitas hiperestáticas. Si en cambio se analiza por el método de rigidez es imprescindible restringir el desplazamiento de cuerpo rígido a través de una sustentación isostática como se muestra en las Figuras 31-a, b y c. En todos los casos las reacciones de apoyo resultan nulas dado que el sistema de cargas es autoequilibrado.
Figura 31: Modelos alternativos para restringir desplazamientos de cuerpo rígido al resolver el problema de la Figura 30-d por el método de la rigidez Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Aprovechando la simetría se puede descomponer el sistema asimétrico como la suma de dos estados, uno simétrico y otro antisimétrico como se muestra en la Figura 32. En ambos estados se analiza sólo la mitad imponiendo condiciones de apoyo adecuadas sobre el eje de simetría y evitando desplazamientos de cuerpo rígido. Sistema asimétrico
Sistema simétrico
Sistema antisimétrico
Figura 32: Descomposición de un estado asimétrico en un estado simétrico y otro antisimétrico
Las acciones (solicitaciones ) sobre la cuaderna son la carga P y el f lujo de corte reactivo q que equilibra la cuaderna.
Figura 32-b o Q
P; T
Figura 32-c o Q
0;
T
0;
q1
Pd ;
q2
Q Sy Iy Pd 2*
flujo de corte por corte (Jourasky)
(42)
flujo de corte por torsión (Bredt)
(43)
Notar que en la determinación del f lujo de corte que “sostiene” a la cuaderna no intervienen las propiedades de la cuaderna y si intervienen las propiedades del panel que sostiene a la cuaderna. Si q1 se calcula usando sólo el momento estático Sy del recubrimiento, su variación es continua. En cambio si se calcula Sy usando sólo los largueros, q1 resulta constante entre largueros. Lo más conveniente es discretizar el área del panel en áreas concentradas que se agregan a las áreas de los largueros, de modo que el f lujo de corte resulte constante en cada tramo. En la Figura 33 se indican las solicitaciones S correspondientes a la cuaderna de la Figura 32 cuando se aprovecha la simetría. Solicitaciones S1
Solicitaciones S2
q1 por Jourasky (10.58)
q2 por Bredt (10.7)
Solicitaciones totales S S1 + S2
S 1 S2
Figura 33: Determinación de los esfuerzos aprovechando la simetría de la cuaderna de la Figura 32
Primero se resuelven los casos b y c ( Figura 33) obteniéndose S1 y S2 para la mitad izquierda y después se hace S = S1 + S2 para la mitad izquierda, mientras que a derecha se tiene S = S1 – S2. El flujo de corte q1 se calcula por Jourasky usando la ecuación (58) del Capítulo 10 y está bosquejado en la Figura 33-b mientras que el flujo de corte q2 constante se calcula por la fórmula de Bredt usando la ecuación (7) del Capítulo 10 y está bosquejado en la Figura 33-c. Las solicitaciones totales S se muestran en la Figura 33-d. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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PRÁCTICO
Vigas Compuestas
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1. Determinar el centro de corte de las secciones abiertas a) y b) y de las secciones cerradas c) y d).
Todos los paneles tienen igual espesor: t
0,1 cm .
Área de los cordones A1
2 cm 2 ; A2
4 cm 2 .
2. Determinar el espesor t del alma de la viga Wagner de modo que Cs t 2 para: a) falla por pandeo del alma. b) falla por f luencia del alma.
E
750000 kg /cm 2 ; Q
0,33; V f
2500 kg /cm 2
c) Para el caso t = 0,1 cm, calcular las solicitaciones en el alma, los montantes y las platabandas.
3. Placa rectangular simplemente apoyada. Dimensiones: ancho = 20 cm
largo = 40 cm
espesor = 0,3 cm
Datos del material:
E
750000 kg / cm 2 ;
Q
0,3 ;
V f 2500 kg / cm 2
Graficar la tensión máxima máx en función de la carga aplicada creciente hasta llegar a f luencia.
4. Determinar el momento flector último M
resistido por el fuselaje poligonal de 16 lados iguales del croquis. u
El momento f lector comprime la parte superior. La altura del fuselaje es H = 100 cm. Los lados del polígono miden A = 19,891 cm. El recubrimiento tiene un espesor t = 0,16 cm. 2
Los largueros tienen un área AL = 2 cm y una tensión crítica de pandeo V L crít 2770 kg / cm 2 . Material: E
750000 kg / cm 2 ; Q
0,3 ; V f 2500 kg / cm 2 .
5. Determinar el momento flector último M
resistido la viga cajón de pared delgada del croquis de 10 x 20 cm. El momento flector comprime la parte superior. Material: E
750000 kg / cm 2 ; Q
u
0,3 ; V f 2400 kg / cm 2
La solución se deja para el lector: .... M u Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
53840 kg -cm
225
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SOLUCIÓN del PRÁCTICO
Vigas Compuestas
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg ].
1 Se determina el centro de corte de cuatro vigas compuestas: dos secciones abiertas y dos cerradas. a) Se determina el centro de corte de una sección de viga compuesta abierta con paneles rectos.
Momento de inercia: I x
¦A y i
2 x (4 x102 2 x 62 )
2 i
944 ................................ I x 944 cm 4
Flujo de corte en el panel 1: q1
Q S1 / I x
Q x (4 x10) / 944 0,04237 x Q
q1
0,04237 xQ kg /cm
Flujo de corte en el panel 2: q2
Q S2 / I x
Q x (4 x10 2 x 6 ) / 944
q2
0,05508 x Q kg / cm
Flujo de corte en el panel 3: q3
Q S3 / I x
Q x [4 x10 2 x 6 2 x ( 6)] / 944
q3
0,04237 x Q kg /cm
a.1) Teoría simplificada utilizando la Ecuación (7). Se toman momentos respecto al punto O, intersección de las rectas de los paneles 1 y 3, sólo interviene q2 (ver Figura a.1). Distancia del panel 2 a la intersección (punto O): Fig. a.1) d 2 /6 10 /4 o d 2 Carga resultante en el panel 2: F2 Ec. (7)
Qe
¦F d i
Q e
i
Distancia al centro de corte:......... xc
15 ..... d 2 15 cm
q2 A 2
( 0,05508 x Q ) x12 0,661 x Q .......... F2
F2 d 2
( 0,661 xQ ) x15 e 0,661x15 e 9,915
d2 e
15 9,915
5,085 .........................
0,661x Q kg
xc
5,085 cm
a.2) Teoría simplificada utilizando la Ecuación (9). Se toman momentos respecto al punto C intersección de los paneles 2 y 3, sólo interviene q1 (ver Figura a.2). Área asociada al panel 1: Fig. a.2) * 1 (10 x12 ) / 2 60 ............................................. * 1 60 cm 2 Flujo de corte en el panel 1: ya fue calculado con anterioridad ................... q1 Ec. (9)
Qe
¦2*
i
2 * 1 q1 Q xc
qi Q xc
0,04237 x Q kg / cm
2 x 60 x (0,04237 x Q ) ........ xc
5,085 cm
a.3) Cálculo exacto incluyendo los paneles en el cálculo. Se toman momentos respecto al punto O intersección de las rectas de los paneles 1 y 3, sólo interviene q2 (ver Figuras a.2 y a.3). Longitud del panel 1: A1
AB
102 42
10,77 ............................................... A1 10,77 cm
Momento de inercia incluyendo los paneles:
Ix
2x [4x102 (10,77 x 0,1 ) x (82 42 /12) 2 x 62 ( 6 x 0,1) x (32 62 /12) ] ............... I x
1099,13 cm 4
Momento estático variable en el panel 2 función de la variable y (ver Figura a.3):
S 2(y)
4 x10 10,77 x 0,1 x 8 2 x 6 0,1 y ( 6 y /2 ) ................ S 2(y)
Flujo de corte variable en función de y en el panel 2: q2(y) Momentos respecto al punto O: Q (15 xc )
³
12
0
15 q2(y) dy
( 60,616 0,6 y 0,05 y 2 ) cm3
Q S 2(y) / I x
³
12
0
15 [ Q S 2(y) / I x ] dy
Se despeja la distancia xc al centro de corte: xc
15 ³
12
0
(0,82724 0,008188 y 0,0006824 y 2 ) dy
15 10,123 ...................... xc
4,877 cm
Conclusión: La teoría simplificada es más simple y el resultado difiere sólo en un 4 % (4,877 / 5,085). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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b) Con la teoría simplificada se determina el centro de corte de una sección abierta simétrica de viga compuesta con cuatro cordones y tres paneles curvos que son parte de una circunferencia.
Momento de inercia: I x
¦A y
2 x (2 x 102 4 x 102 ) 1200 ........................... I x
2 i
i
1200 cm 4
Flujo de corte en el panel 1: q1
Q S1 / I x
Q x ( 2 x10 ) /1200
Q /60 ................... q1
Q /60 kg / cm
Flujo de corte en el panel 2: q2
Q S2 / I x
Q x ( 2 x10 4 x10) /1200 Q / 20 ...... q2
Q /20 kg / cm
Flujo de corte en el panel 3: q3
Q S3 / I x
Q x [2 x10 4 x 6 4 x( 6)] /1200 ......... q3
Q /60 kg / cm
b.1) Teoría simplificada utilizando la Ecuación (9). Se toman momentos respecto al punto O centro de la circunferencia porque facilita el cálculo de las áreas (ver Figura b.1). Ec. (9)
Q xc
( S r 2 ) /4 *
102 102 =14,142 Área asociada a los paneles: *
Radio: r
Qe
¦2*
i
2 * 1 q1 * 2 q2 * 3 q3
qi Q xc
2 * Q /60 Q /20 Q /60
157,08 cm 2
2 x 157,08 x 1/60 1/20 1/60 .......... xc
xc
26,18 cm
b.2) Teoría simplificada utilizando la Ecuación (7). Se toman momentos respecto al punto O centro de la circunferencia (ver Figura b.2). Ec. (5) Carga
F1
q1 A1
resultante en los paneles: q
(Q /60) x 20 Q /3
e 2* * / AB
Ec. (6) Excentricidad: Ec. (7) Q e
c)
¦F d i
i
q2 A 2
F2
q AB Fi
Qx / AB Qx
(Q /20) x 20 Q
F3
q3 A 3
qi A i
(Q /60) x 20 Q /3
2 x (* 100) / 20 2 x (157,08 100) / 20 ...... e 5,708 cm
(Q /3) x 15,708 Q x 15,708 (Q /3) x 15,708 xc
Q xc
26,18 cm
Con la teoría simplificada se determina el centro de corte de una sección de viga compuesta cerrada.
Momento de inercia: I x
¦A y i
2 i
2 x (2 x10 4 x 10 ) 1200 ............................ I x 2
2
1200 cm 4
c.1 Determinación de los flujos de corte en la sección cerrada: El estado a resolver se descompone en un Estado I y un Estado II como en la Figura13. El estado I (Figura c.2) se resuelve por Jourasky acumulando momento estático a partir del panel 1. Flujo de corte en el panel 1: qI 1 Q S1 / I x Q x (4 x10)/1200 Q /30 ............... qI 1 Q /30 kg / cm Flujo de corte en el panel 2: qI 2
Q S2 / I x
Flujo de corte en el panel 3: qI 3
Q S3 / I x
Q x [4x10 4 x( 10) 2 x ( 10)] /1200
qI 2
0 kg / cm
qI 3
Q /60 kg / cm
> (Q /30) x 20 / 0,1) 0 ( Q /60) x 20/ 0,1@ / > ( 20 12 20 12) / 0,1@ .... q0
Q /192 kg / cm
Ec. (17) Cálculo
q0
Q x[4 x10 4 x ( 10)] /1200 0 ....
de q0 q0
( ¦ qI i li / ti ) / ( ¦ li / ti )
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
227
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c.2 Teoría simplificada utilizando la Ecuación (19). Se toman momentos respecto al punto O donde se intersectan los paneles 3 y 4, sólo intervienen q1 y q2 (ver Figura c.4 y c.5). Ec. (18) Flujo de corte en el panel 1:
q1 qI 1 q0 Q /30 Q /192 ........... q1
Ec. (18) Flujo de corte en el panel 2:
q2 qI 2 q0 0 Q /192 ........................ q2
Cálculo de las áreas: * 1
(12 x 20 )/2 120
Ec. (19) Ubicación del centro de corte:
Q xc
Qe
*2
0,028125xQ kg / cm Q /192 kg / cm
( 20 x12 )/2 120 ............. * 1
¦2*
i
qi Q xc
2 x [120 x ( 0,028125 x Q ) 120 x ( Q /192 )] xc
* 2 120 cm 2
2 * 1 q1 * 2 q2
2 x (3,375 0,625)
xc
5,5 cm
c.3 Teoría simplificada utilizando la Ecuación (7) que vale para secciones abiertas y cerradas. Se toman momentos respecto al punto O intersección de los paneles 3 y 4, sólo intervienen q1 y q2 (ver Figura c.5). Carga resultante en el panel 1: F1
q1 A1
Carga resultante en el panel 2: F2
q2 A 2
Ec. (7) Q e
¦F d i
F1
0 (Q /192 ) x12 0,0625 x Q .. F2
F1 d1 F2 d 2
Q xc
i
(0,028125 x Q ) x 20 0,5625 x Q ..
0,5625 x Q kg 0,0625x Q kg
(0,5625x Q) x12 (0,0625 x Q ) x 20
xc
5,5 cm
OBSERVACIÓN: Notar que los cordones más gruesos están a la izquierda, mientras que el centro de corte está ubicado a la derecha del centro del rectángulo ( xc = 5,5 < 12/2). Esto no es una conclusión porque si se intercambian las dimensiones (20 y 12 cm) el centro de corte se ubica a la izquierda del centro del rectángulo ( xc = 10,8 > 20/2).
d) Se ubica el centro de corte de una sección simétrica de viga compuesta cerrada con la teoría simplificada.
Momento de inercia: I y
¦A x i
2 i
2 x102 4 x 02 2 x102
400 ........................... I y
400 cm 4
Determinación de los flujos de corte en la sección cerrada: El estado a resolver se descompone en un Estado I y un Estado II como en la Figura13. El estado I (Figura d.2) se resuelve por Jourasky acumulando momento estático a partir del panel 1. Flujo de corte en el panel 1: qI 1
Q S1 / I y
Q x (2 x10) / 400
Flujo de corte en el panel 2: qI 2
Q S2 / I y
Q x [2 x 10 2 x (10)] / 400 0 ............
Ec. (17) Cálculo
q0
de q0 q0
Q /20 ................. qI 1
Q /20 kg / cm qI 2
0 kg / cm
( ¦ qI i li / ti ) / ( ¦ li / ti )
> (Q /20 ) x 20 / 0,1 0 x 20 / 0,1@ / > ( 20 20 20 ) / 0,1@ ............................... q0
Q /60 kg / cm
Teoría simplificada utilizando la Ecuación (19). Se toman momentos respecto al punto O donde se intersectan los paneles 0 y 2, sólo interviene q1 (ver Figura d.4). Ec. (18) Flujo de corte en el panel 1:
Cálculo del área: * 1 Ec. (19)
Qe
¦2*
q1
qI q0 0
Q /20 Q /60
Q / 30 ......... q1 Q /30 kg / cm
( 20 x17,32 ) /2 173, 2 ........................................................ * 1 173, 2 cm 2 i
qi Q yc
2 * 1 q1 2 x 173, 2 x (Q /30) yc
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
228
2 x173, 2 /30
yc
11,55 cm
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2 Se determina el espesor t del alma de la viga Wagner de modo que Cs t 2 para: a) falla por pandeo del alma. b) falla por fluencia del alma.
E 750000 kg / cm 2 ; Q
0,33; V f 2500 kg / cm 2
c) Para el caso t = 0,1 cm, calcular las solicitaciones en el alma, los montantes y las platabandas. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Flujo de corte en el alma:
q Q /t
800 / 40 20 ................................................ q
20 kg / cm
a) Falla por pandeo del alma: CS 2 Coeficiente de pandeo: Cap. 6 Ec. (50) a / b 50 /40 1, 25 K Flujo de corte crítico por corte en el alma: Cap. 6 Ec. (49) qcrít
qcrít
5,35 4 / (1, 25) 2 .... K
7,91
K S E t / [12 (1 Q ) b ] 2
3
2
2
7,91 xS 2 x 750000 x t 3 / [12 x (1 0,332 ) x 402 ] 3422 t 3 .................... qcrít
Garantizamos el coeficiente de seguridad: CS q d qcrít 2 x 20 d 3422 x t 3
3422 t 3
t t 0, 23 cm
b) Falla por f luencia del alma (criterio de Von Mises): CS 2 \ ¢_ !@¢ Von Mises:
V*
3W 2
3 (q / t ) 2
3 (20 / t ) 2
34,64 / t ............... V *
Garantizamos el coeficiente de seguridad: CS V * d V f 2 x 34,64 / t d 2500
34,64 / t
t t 0,03 cm
c) Solicitaciones en la viga Wagner cuando t = 0,1 cm (asumiendo = 45º ) q y qcrít ya fueron calculado" qcrít
3422 t 3
3422 x (0,1)3
3, 42 ......... q
20 !! qcrít
3, 42
Corresponde considerar campo de tensión diagonal (estado poscrítico). Tensión de tracción en el alma: Q 800 Ec. (26) V ht sen D cos D 40 x 0,1 x sen 45 x cos 45
Carga de compresión en los montantes: Q d tan D 800 x 50 x tan 45o Ec. (29) FV h 40
400 ....................... V
400 kg / cm 2
1000 ...................................... V
1000 kg / cm 2
Variación de la carga en la platabanda superior comprimida: Qx Q 800 x 800 Ec. (27) F1 ...................................... F1 400 20 x kg h 2 tan D 40 2 x1 En x = 0 la platabanda superior está comprimida con 400 kg, ese valor se va incrementando 1000 kg por cada tramo de 50 cm llegando a los 4400 kg en el empotramiento. La platabanda superior comprimida con una carga axial distribuida de 20 kg/cm se debe verificar a pandeo fuera del plano de la viga. Variación de la carga en la platabanda inferior traccionada: Qx Q 800 x 800 Ec. (28) F2 .................................... F2 400 20 x kg h 2 tan D 40 2 x1 En x = 0 la platabanda inferior está comprimida con 400 kg, a ese valor se le va incrementando 1000 kg de tracción por cada tramo de 50 cm llegando a los +3600 kg en el empotramiento a la derecha. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
229
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3 Se grafica la tensión máxima
en una placa rectangular simplemente apoyada en compresión, en función de la carga aplicada P creciente hasta llegar a fluencia. máx
ancho = 20 cm ;
largo = 40 cm ;
espesor = 0,3 cm
Datos del material:
E
750000 kg / cm 2 ; Q
Vf
0,3 ;
2500 kg / cm 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.1 Ignorando el pandeo (falla por fluencia)
V f x Área 2500 x 0,3 x 20 2500 x 6 15000 ... Pf
Carga que inicia la fluencia: Pf Tensión cuando
V
0 P 15000 kg
15000 kg
P /6 ............................................ V
P / Área
P /6
3.2 Considerando el inicio del pandeo como falla, pero ignorando el comportamiento poscrítico Coeficiente de pandeo Ec. (34)
Pcrít
V crít
a / b 40 /20 2 Figura 6-b y Figura 7 del Cap. 6: Pandeo de Placas
2 S 2E t K 2 2 12 (1 Q ) b
S 2 x 750000 4x 2 12 x (1 0,3 )
2
x
0,3 2 20
V crít
610,07 V f
K
4
610 kg / cm 2
V crít x Área 610 x 0,3x 20 3660 .................................................................. Pcrít
3660 kg
3.3 Considerando el comportamiento poscrítico utilizando ancho de colaboración Cuando P ! 3660 kg P
V máx Área
Ec. (36)
V máx 0,3x be
be b V crít /V máx
V máx 0,3 x 494 / V máx
20
610,07 /V máx ...... be
494 / V máx
V máx
P / 148, 2
148, 2 V máx
2
Gráfico de la tensión máxima máx en función de la carga creciente hasta llegar a fluencia
Conclusión 1: Debido al pandeo la placa no puede alcanzar la resistencia de 15000 kg calculada en el punto 3.1 ya que sólo resiste 7140 kg determinados en el punto 3.3. La resistencia se reduce en más del 50 % debido al pandeo. Conclusión 2: Si se considera a la tensión crítica como condición de falla la pérdida de resistencia es muy significativa (49 %) cayendo de 7140 a 3660 kg. Al considerar el ancho de colaboración la resistencia aumenta un 102 % pasando de 3660 a 7410 kg. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
230
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4 Se determina el momento f lector último M
resistido por el fuselaje del croquis que es un polígono de 16 lados iguales. u
El momento flector comprime la parte superior. La altura del fuselaje es H = 100 cm. Los lados del polígono miden A = 19,891 cm. El recubrimiento tiene un espesor t = 0,16 cm. Los largueros tienen un área AL = 2 cm2 y una tensión crítica de pandeo V L crít 2770 kg / cm 2 . Material: E
750000 kg / cm 2 ; Q
0,3 ; V f 2500 kg / cm 2 .
---------------------------------------------------------------------4.1 Momento último Mu1 ignorando el pandeo (falla por fluencia) Se considera un modelo simplificado de áreas concentradas donde a cada larguero se le adiciona la mitad del área de cada uno de los paneles vecinos. Las áreas se multiplican por 2 debido a la simetría respecto al eje ‘y’ y se consideran 8 largueros (i = 1,..8). Usando (41) se tiene: Ec. (41)
Aci
2[ Ai (t b / 2)i (t b /2)i 1 ] 2[2 0,16 x19,891/2 0,16 x19,891/2]
Momento de inercia: I
¦ Ac ( y 8
1
i
i
Aci 10,365 cm 2
2
y ) . Se tiene en cuenta la igualdad de las áreas y se aprovecha
la simetría respecto al eje ‘x’ considerando sólo 4 largueros y multiplicando todo por 2.
I
2 x 10,365 x [(100 50) (92,388 50) (78,323 50) (59,946 50)
Tensión por f lexión: V f
2
2
(M u
1
2
2
]
I
107752 cm 4
/ I ) ymáx M u1 2500 x 107752 / 50 5387600 M u 1 53,9 T - m
4.2 Momento último Mu2 considerando el inicio del pandeo (falla por crít ) Se utiliza el mismo modelo simplificado de áreas concentradas del caso anterior: En los paneles se consideran bordes simplemente apoyados y se usa la Tabla 1 del Cap. 8 ....... Tensión crítica en los paneles del recubrimiento: Cap. 8 Ec. (2) V crít
V crít 4 x S 2 x 750000 x 0,162 / [12 x (1 0,32 ) x19,8912 ] 175, 44 V f Tensión por flexión: V crít
(M u
2
/ I ) ymáx M u2
K
4
K S 2 E t 2 / [12 (1 Q 2 ) b 2 ]
2500
V crít 175, 44 kg / cm 2 Mu2
175, 44 x107752 / 50 378080
3,78 T -m
4.3 Momento último Mu3 considerando el comportamiento poscrítico (ancho de colaboración) Como en los casos anteriores, se utiliza un modelo simplificado de áreas concentradas en los largueros. En los paneles se consideran bordes simplemente apoyados donde K = 4. La tensión crítica en los tramos de recubrimiento ya fue calculada en el punto anterior 4.2 siendo:................. V 175, 44 kg / cm 2 crít
En la parte superior comprimida, cuando se supera la tensión crítica los paneles sólo contribuyen con su ancho efectivo que depende de la tensión aplicada sobre el panel, que a su vez depende de la ubicación del eje neutro de la viga (fuselaje) en coincidencia con el centro de gravedad y . El problema debe resolverse en forma iterativa hasta convergencia. A continuación se presenta un proceso iterativo donde: i) se propone una ubicación tentativa para el eje neutro ( y < H/2). ii ) con ese valor y se calculan las tensiones V i en los centros de los paneles con la condición de que en y = H = 100 la tensión no supera el valor de falla ( fluencia en el recubrimiento o en el larguero o pandeo del larguero). iii ) con las tensiones V i se calculan los anchos efectivos bei de los paneles. iv) con los anchos efectivos se determinan las áreas del modelo de áreas concentradas Aci . v) se calcula la nueva ubicación del eje neutro. vi) se repite el procedimiento hasta convergencia. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
231
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Procedimiento iterativo
Menor ^V f ; V L crít `
V Falla
Paso 1: Se propone una ubicación tentativa para el eje neutro: yo Paso 2: Se calcula la tensión por flexión en el centro de cada panel (panel i) con la condición de que la tensión en el panel superior (panel 1 a una altura y = H = 100 cm) sea igual a la tensión de falla.
Menor ^ V f ; V L crít ` Menor ^ 2500 ; 2770 ` 2500
V Falla
Vi V Falla
yi y Hy
V i
yi yo 100 yo
2500
Paso 3: Se calcula el ancho efectivo en cada panel comprimido (panel i). Ec. (36) be
V crít V máx
b
19,891
175, 44
263, 46
Vi
Vi
Paso 4: Debido a la simetría respecto al eje ‘y’ se multiplica por 2 el área concentrada en cada uno de los 8 largueros (nudo i). Ec. (41)
Aci
2 x [ Ai (t be / 2) i (t be / 2 ) i +1 ] 4 0,16 x ( be i be i +1 )
Paso 5: Se calcula el nuevo centro de gravedad y1 y se lo compara con el propuesto en el Paso 1 ( yo ). De ser necesario se repiten los pasos 2 a 5 con el valor y1 . Esto puede repetirse hasta convergencia, algo que ocurre en dos o tres pasos !!! Planilla de cálculo en convergencia cuando y = 41,450 cm
NUDOS (largueros) Aci yi nudo i altura yi área Aci
PANELES (recubrimiento)
Aci (yi y )
2
panel i altura yi
tensión i
bei
1 2
100,000 92,388
5,715 5,845
571,50 540,05
19591,6 15167,1
1 2
100,000 96,194
500,00 __ ¤
5,269 5,449
3
78,323
6,200
485,58
8429,0
3
85,356
70
6,085
4
59,946
7,432
445,54
2542,5
4
69,134
`8
7,663
5
40,054
9,389
376,06
18,3
5
50,000
_ `
13,789
6
21,677
10,365
224,69
4052,5
6
30,866
+451,92
19,891
7
7,612
10,365
78,90
11868,4
7
14,645
+1144,54
19,891
8
0,000
10,365
0,00
17808,6
8
3,806
+1607,33
19,891
65,677
2722,32
79478,0
9
0,000
+1769,85
19,891
«$
Centro de gravedad: y
¦ Ac y / ¦ Ac
Momento de inercia: I x
¦
i
8 1
i
i
2 Aci ( yi y )
2722,32 / 65,676 41, 450 .................... y
41, 450 cm
Ix
79478 cm 4
79478,0 ............................................
Tensión por flexión en la parte superior donde y =H: V Falla (M u 3 / I x ) / (100 y ) , de allí se despeja M u 3 : Momento último:
M u3 2500 x 79478 / (100 41, 450 ) 3393595 ...................
Mu3
33,9 T -m
Conclusión 1: Si se ignora el pandeo (suponiendo que todos los paneles pueden llegar a fluencia sin fallar) se sobreestima la resistencia en un 59 % (53,9/33,9) lo que es muy inseguro. Conclusión 2: Si se considera falla cuando el panel más solicitado llega a la tensión crítica de pandeo, y se ignora el comportamiento poscrítico se desprecia el 89 % (3,78/33,9) de la resistencia, lo que es demasiado conservativo. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Capítulo 12
MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 1 INTRODUCCIÓN La solución analítica exacta de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de cuerpos deformables es de sumo interés en innumerables circunstancias para el ingeniero, pero la posibilidad de acceder a la misma está seriamente limitada por la complejidad de los problemas de interés práctico. En efecto, la geometría del cuerpo, las condiciones de borde o apoyo, los estados de carga y los aspectos relacionados al comportamiento mecánico de los materiales hacen que con frecuencia las soluciones exactas sean inaccesibles. Esta seria limitación, reconocida por físicos y matemáticos de todos los tiempos, llevó al desarrollo de técnicas o teorías aproximadas destinadas a la resolución de problemas específicos de la mecánica de sólidos elásticos. Así, surgió la teoría de vigas, con la hipótesis de que las secciones planas permanecen planas y normales al eje deformado, las teorías de placas planas en f lexión, como una generalización de la teoría de vigas a dos dimensiones y luego las teorías de láminas o cáscaras curvas, entre otras. Estas teorías fueron posteriormente modificadas o ampliadas para cubrir un número mayor de casos de interés práctico, pero a pesar de ello subsisten muchísimos problemas que no pueden ser resueltos satisfactoriamente con ellas. Tanto esas teorías especiales como la teoría general de la elasticidad dan origen a sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas, donde interesa obtener su solución para condiciones de carga, geometría y contorno más o menos arbitrarios con el mayor grado de generalidad posible. Como respuesta a ese problema surgieron métodos de aproximación basados en consideraciones energéticas, pudiendo citarse los métodos de Rayleigh-Ritz y Galerkin entre otros. Estos métodos son procedimientos analíticos que proponen reemplazar la respuesta del sistema (campo de desplazamientos desconocido) por funciones de aproximación que sean relativamente simples (polinomiales o armónicas), que deben cumplir ciertas condiciones de continuidad y además satisfacer las condiciones de borde establecidas para el problema. Así es que se transforma el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales que gobiernan el fenómeno en un sistema de ecuaciones algebraicas, cuyas incógnitas representan los parámetros característicos de las funciones de aproximación adoptadas. Aunque por ese camino se pueden resolver muchos problemas interesantes, se comprueba que en los casos de estructuras complejas, ya sea por su geometría, condiciones de apoyo y/o condiciones de carga, no es posible la determinación de una función de aproximación que conduzca a la solución a través de un procedimiento sistemático que ofrezca cierta generalidad. El párrafo anterior merece un comentario aparte. Debe notarse que la misión del ingeniero es resolver problemas y para ello es necesario disponer de herramientas de aplicación general, que no requieran de un tratamiento específico y particular para cada caso que se presente. Esta es una de las principales causas por las que fue abandonado el Método de las Diferencias Finitas, donde en las ecuaciones diferenciales que representan un problema se reemplazan las derivadas por expresiones incrementales, lo que conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas. Las Diferencias Finitas permiten resolver problemas estacionarios y transitorios con muy buena aproximación, para ello debe procederse con precaución utilizando incrementos de las variables independientes de un tamaño apropiado. Sin embargo, como contrapartida, se requiere un tratamiento específico para cada caso particular, con muy pocas posibilidades de generalización, por lo que resulta muy costoso introducir cambios en los modelos o reciclar soluciones de problemas similares. En ese contexto hizo su aparición el Método de los Elementos Finitos (MEF ), favorecido por el vertiginoso desarrollo de la computación y destinado a provocar un trascendental impacto en el cálculo estructural y posteriormente en todos los campos de estudio de los medios continuos. Puede afirmarse, sin exagerar, que muchas de las estructuras concebidas en los últimos cuarenta años hubiesen sido impracticables de no contarse con una herramienta de cálculo como lo es el Método de los Elementos Finitos. Para brindar un ejemplo, las estructuras de los aviones de fuselaje ancho solo fueron posibles al poder determinarse los campos de tensiones con gran detalle, lo que condujo a estructuras más confiables y livianas. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Como introducción general, puede decirse que el método de los elementos finitos permite obtener la solución de un problema mediante la descomposición del objeto estudiado en un gran número de constituyentes básicos (elementos), los que se interconectan a través de puntos denominados nodos. Esto se basa en el hecho de que es posible determinar numéricamente el comportamiento físico de cada uno de estos elementos, a partir de las ecuaciones propias del problema tratado y de las condiciones de contorno adyacentes. Una vez determinadas las propiedades de cada elemento, éstas son combinadas para posibilitar la representación de la estructura completa y evaluar su comportamiento. La solución del problema provee los desplazamientos de los nodos, y a partir de ellos se determinan las deformaciones y las tensiones del sistema estudiado. Nótese que eso ya fue tratado en un curso anterior donde se ensamblaron estructuras de elementos prismáticos a través de una formulación matricial con el Método de la Rigidez, por lo que puede decirse que el método de los elementos finitos es una evolución o generalización del Cálculo Matricial de Estructuras, e históricamente de hecho lo fue. Inversamente, y desde una óptica general, puede reconocerse a las barras prismáticas como elementos finitos de una sola dimensión. Así ambos, el Método de los Elementos Finitos y el Cálculo Matricial de Estructuras exhiben la cualidad que carecía el método de las Diferencias Finitas: su aplicabilidad sistemática. Como ejemplos se muestran dos modelos de elementos finitos. En la Figura 1 se representan dos piezas deslizantes y en la Figura 2 el modelo de una biela de un motor de combustión interna. Superficie de contacto
Figura 1: Dos piezas deslizantes con superficie de contacto cilíndrica
Figura 2: Modelo de una biela de un motor de combustión interna
Para estudiar las piezas deslizantes de la Figura 1 puede asumirse que la profundidad es muy grande y que basta con representar un corte en un plano transversal de las mismas, por tratarse de lo que es denominado estado plano de tensión. Para ello se utilizan elementos finitos de dos dimensiones, tales como los triángulos y cuadriláteros, en lugar de tener que representar la totalidad del sólido, lo que implica una enorme reducción en la complejidad del modelo. Por el contrario, la biela de la Figura 2 está sometida a condiciones de trabajo que obligan a desarrollar un modelo espacial con elementos 3D que represente fielmente los alojamientos del perno de pistón y cojinete de bancada, reproduzca las irregularidades geométricas que seguramente dan lugar a concentración de tensiones y permita aplicar las condiciones de carga distribuidas sobre superficies de contacto.
2 BREVE RESEÑA HISTÓRICA En realidad, esta forma de abordar un problema físico fue propuesta hace ya varios siglos, pero su efectiva puesta en práctica debió esperar hasta la disponibilidad de las primeras computadoras. Las elevadas exigencias de cálculo inherentes a este enfoque, en especial cuando se trabaja con modelos tridimensionales, restringían su aplicación manual a casos muy simples. No es por lo tanto una coincidencia que el Método de los Elementos Finitos haya comenzado a utilizarse tan pronto se dispuso de computadoras y de lenguajes superiores de programación ( Backus et al., 1956). A partir de allí, la incesante evolución de la tecnología ofreciendo procesadores más rápidos, mayor capacidad de memoria y compiladores más eficientes favoreció la amplia difusión del método de los elementos finitos y la posibilidad de tratar modelos de dimensiones asombrosas. A esto debe sumarse la contribución de la evolución experimentada en otros campos, como son el análisis numérico y la computación gráfica. Mucho más recientemente, el procesamiento paralelo suma un nuevo recurso que tendrá un fuerte impacto, hoy insospechado, en el cálculo estructural y procesos de simulación de los próximos años. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Volviendo a la historia del MEF, se reconocen como precursores a Duncan y Collar, quienes en 1930 presentaron una formulación matricial destinada a resolver problemas aeroelásticos. Ellos mismos fueron luego autores de los primeros dos artículos sobre el tema (Duncan y Collar, 1934 y 1935) y presentaron juntamente con Frazer un libro que introdujo la terminología que es aún hoy utilizada (Frazer, Duncan y Collar, 1938 ). Llegaron luego los aportes de McHenry (1943) y la publicación de una serie de artículos en la que Argyris presentó un enfoque matricial de los métodos de las fuerzas y rigidez que se apoyó en los teoremas energéticos. Argyris también insinuó que su enfoque matricial podría ser extendido más allá de las barras prismáticas, para considerar elementos estructurales de dos y tres dimensiones (Argyris y Kelsey, 1955). A los pocos años Turner (1959) trabajó en un modelo aeroelástico de un ala delta en el que empleó barras y elementos triangulares para representar su recubrimiento, lo que constituyó una de las primeras aplicaciones prácticas del método para la resolución de problemas reales. Además, propuso al método de los desplazamientos como el camino más apropiado para una implementación sistemática y eficiente del nuevo procedimiento de cálculo. Hasta ese momento, la implementación del análisis matricial de estructuras primero y del método de los elementos finitos después daba lugar a dos enfoques posibles según el orden en que se formulaba el problema matemático y en consecuencia cuales eran las incógnitas principales resultantes: desplazamientos o fuerzas. Finalmente, el Método de la Rigidez con los desplazamientos como incógnitas principales demostró ser el más apropiado para su implementación en computadora, tal como lo comprobó Turner, y quedo de hecho establecido. Sin embargo, hubo prestigiosos autores que insistieron por mucho tiempo con las bondades del Método de las Fuerzas (Robinson, 1973) y también quienes propusieron una combinación de desplazamientos y fuerzas como incógnitas principales, reunidas en lo que fue llamado “vector de estado”. Ese último método de incógnitas combinadas, denominado de Matrices de Transferencia, estaba inspirado en la técnica propuesta por Holzer (1921) para el análisis dinámico de cigüeñales, fue extendido por Myklestad (1944) al estudio de vigas en f lexo torsión y posteriormente planteado matricialmente por Pestel y Leckie (1963). Si bien se trata de un método conceptualmente muy interesante, es muy difícil de sistematizar para tratar estructuras de geometría compleja, por lo que fue prácticamente abandonado. El Método de los Elementos Finitos se desarrolló entonces en base a los desplazamientos como incógnitas principales y su nombre “elementos finitos” fue empleado por primera vez por Clough en 1960. Posteriormente, los libros presentados por Przemieniecki (1968) y Zienkiewicz (1967 y 1994) contribuyeron enormemente a la difusión del método en los ámbitos universitarios e industriales. El mismo Zienkiewicz junto a otros autores (Cheung y Taylor) presentó una interpretación amplia del método de los elementos finitos en la que extiende su aplicación a diversos problemas de campos. Naturalmente, lo anterior constituye una reseña histórica muy breve que omite a numerosísimos investigadores que hicieron sustanciales aportes para que el Método de los Elementos Finitos cubra en la actualidad todo el espectro de problemas de la mecánica del continuo, y lo haga eficazmente, convirtiéndose en una herramienta esencial para la ingeniería moderna. Sin embargo, no sería justo terminar esta reseña sin mencionar a los prestigiosos profesores Edgard Wilson y Klaus Bathe, de la Universidad de California, Berkeley. Wilson desarrolló uno de los primeros sistemas integrales para la aplicación práctica del Método de los Elementos Finitos, denominado SAP - Structural Analysis Program, (Wilson, 1970). Posteriormente se incorporó Bathe al grupo de trabajo y con su aporte se completó el proyecto en 1972, denominado SAP IV. Ambos, Bathe y Wilson, desarrollaron luego un nuevo sistema de cálculo denominado NONSAP (Bathe, Wilson e Iding, 1974) que contemplaba materiales no lineales, grandes deformaciones y grandes desplazamientos. También cabe destacar que ambos fueron autores de un libro titulado “Numerical Methods in Finite Element Analysis” (1976) en el que sintetizan sus experiencias y que se convirtió rápidamente en un clásico. El mérito de Bathe y Wilson estuvo tanto en la calidad de sus trabajos como en su distribución gratuita en todo el mundo, incluyendo los programas fuentes, posibilitando que el Método de los Elementos Finitos salga de los ámbitos académicos y se incorpore como herramienta práctica de uso habitual en las oficinas de proyecto de ingeniería. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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3 MODELOS DISCRETOS El proceso de resolver un problema de ingeniería a través de una computadora se presenta en el esquema de la Figura 3. Para comenzar, el problema físico debe ser idealizado a través de un modelo conceptual que debe preservar las características esenciales de la realidad y descartar toda otra característica que no tenga incidencia significativa en el caso estudiado. Estas características incluyen el comportamiento de la estructura (desplazamientos grandes o pequeños), tipos de cargas (estáticas o dinámicas), propiedades del material (linealidad, elasticidad, isotropía, etc.), complejidad geométrica (2D, 3D, etc.), condiciones de apoyo (concentradas, distribuidas, etc.) y otras condiciones de trabajo que formen parte del problema (movimientos de apoyos, variación térmica, rozamiento, etc.). La definición correcta de esa etapa es fundamental para entender y delimitar el fenómeno estudiado y puede conducir a dos situaciones extremas: i) modelos incapaces de representar adecuadamente el problema estudiado y ii) modelos innecesariamente complejos. En el primer caso se han ignorado características esenciales en el desarrollo del modelo y éste no será capaz de brindar resultados correctos referidos al problema planteado, con el consiguiente riesgo que esto implica. En el segundo caso ocurre lo contrario, es decir se han preservado características no relevantes y/o un nivel de detalle innecesario, lo que dificulta la determinación de la solución, la hace muy costosa o contribuye a confundir comportamientos importantes con otros que no lo son.
Idealización
Sistema f ísico
Modelo conceptual
Discretización
Modelo matemático
Solución
Modelo discreto
Solución discreta
Errores de la solución
Errores de la discretización y la solución
Errores de la formulación matemática, la discretización y la solución
Errores de la idealización, la formulación matemática, la discretización y la solución
Verificación
Validación Figura 3: Proceso de resolución de un problema de ingeniería
Una vez que está disponible el modelo conceptual se pasa a la segunda etapa, en la que se propone una formulación matemática para resolver el problema físico, que ya ha sido convenientemente delimitado. Para ello, y en el caso de la mecánica del sólido continuo, se recurre a las denominadas ecuaciones fundamentales de la elasticidad: ecuaciones de equilibrio, relaciones cinemáticas y ecuaciones constitutivas, las que normalmente conducen a una formulación matemática del problema a través de un sistema de ecuaciones diferenciales. Con el fin de poder alcanzar este modelo matemático es muchas veces necesario simplificar aún más el modelo conceptual y/o definir con claridad su alcance dentro del rango de las variables independientes del problema estudiado. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Tal como fue comentado con anterioridad, el modelo matemático no puede ser planteado en forma integral para dominios de interés práctico, quedando esta posibilidad reservada solo a casos muy simples. Para superar esta dificultad se transforma al modelo matemático en un modelo discreto, ya sea a través de diferencias finitas o a través del método de los elementos finitos. En el primer caso, como fue anticipado, la formulación diferencial es convertida en un sistema de ecuaciones algebraicas al introducir fórmulas de derivación numérica. En el segundo el sólido elástico es descompuesto en elementos simples, aquí es muy importante seleccionar los tipos de elementos apropiados para representar el comportamiento del objeto estudiado. Luego es necesario disponer los elementos formando mallas de elementos, establecer sus condiciones de apoyo y definir las cargas actuantes, todas las cuales deben ser discretizadas en concordancia con los tipos de elementos utilizados. Finalmente, la última etapa corresponde a la obtención de la solución, que normalmente incluye la resolución de un gran sistema de ecuaciones algebraicas que conduce a la determinación de desplazamientos, que son las incógnitas primarias del problema. Posteriormente se obtienen las incógnitas secundarias, representadas por las solicitaciones, reacciones de apoyos, deformaciones y tensiones. En el caso del estudio de la respuesta de estructuras en el dominio del tiempo la solución incluye el cálculo de frecuencias y modos de vibración (autovalores y autovectores) y la integración numérica de sus ecuaciones dinámicas. Nótese que cada una de las etapas tiene características muy particulares y son por si mismas fuentes de errores, todos los cuales contribuyen a desviar los resultados respecto de los que corresponden al problema real. Como se puede comprobar, los errores tienen orígenes diversos y para identificarlos es necesario tener en claro los conceptos de “validación” y “verificación”. La verificación se refiere a la comprobación de que el problema ha sido correctamente resuelto, teniendo esencialmente que ver con su formulación matemática, discretización y resolución numérica. La validación, por el contrario, tiene que ver con que el problema resuelto sea el correcto. Es decir, podría suceder que se haya resuelto correctamente un problema que en realidad no es el problema planteado. El proceso de validación se refiere a la comprobación de que el modelo conceptual estudiado responde al problema físico, es decir que el modelo capta todas las características esenciales de la realidad. En resumen, comprobar que se estudió el problema correcto es el objetivo de la validación y que se alcanzaron las soluciones correctas es el objetivo de la verificación. Una solución incorrecta podría ser consecuencia de: una formulación matemática errónea, una mala discretización, el uso de un algoritmo inapropiado, un error de programación, un problema numérico que condujo a una excesiva propagación de errores, etc. Una vez planteado el proceso tendiente a la obtención de la solución de un problema, la comprobación de su corrección y la identificación de las causas de errores, es oportuno reconocer otro concepto muy vinculado a los problemas y es el de su complejidad. El concepto de complejidad admite diferentes interpretaciones según el punto de vista considerado. Estas son: i ) Complejidad del problema, que es inherente al objeto estudiado, ii ) Complejidad cognitiva, que se refiere al esfuerzo requerido para entender el problema, iii ) Complejidad matemática, que es la naturaleza de la formulación involucrada, iv ) Complejidad algorítmica, que ref leja la dificultad que ofrece el proceso adoptado para alcanzar la solución, v) Complejidad estructural, que es la composición del software usado para implementar los algoritmos y vi ) Complejidad operativa, que es una medida del esfuerzo que demanda alcanzar la solución del problema. Desde un punto de vista informático, intuitivamente se asocia la complejidad operativa con los recursos de cómputo requeridos para resolver un problema, es decir espacio de memoria y tiempo de proceso. Como se comprueba, cualquiera sea la interpretación de complejidad, se trata de un indicador difícilmente cuantificable salvo en el caso de la complejidad operativa, motivo por el cual esta ha sido intensamente estudiada y ha dado lugar a una disciplina denominada Teoría de la Complejidad Computacional. A partir de sus indicadores, y bajo ciertas precauciones que aseguren que sus valores puedan ser comparables, se los utiliza para evaluar otras interpretaciones de la complejidad, como la matemática y la algorítmica. Los indicadores de complejidad operativa, el espacio de memoria y tiempo de proceso, son los factores que impidieron la utilización de los elementos finitos hasta que se dispuso de medios automáticos de cálculo con capacidades acordes a los requerimientos de los problemas de interés práctico. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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4 PUNTOS DE VISTA EN EL ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Como ya fue mencionado, la idea general del método de los elementos finitos es la división de un dominio continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos, donde las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del dominio completo gobiernan también el de cada uno de los elementos. Ese proceso de discretización permite pasar de un sistema continuo de infinitos grados de libertad, que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema discreto con un número de grados de libertad finito y cuyo comportamiento se representa por un sistema de ecuaciones algebraicas, que pueden ser lineales o no. A partir de esta descripción general se advierte que el estudio del método de los Elementos Finitos puede ser abordado con diferentes objetivos desde tres diferentes puntos de vista que se describen a continuación.
4.1 Utilización de sistemas en la resolución de problemas de ingeniería Existen sistemas de cálculo generales que son aptos para abordar los más diversos tipos de problemas y hay también otros más específicos, destinados a resolver problemas particulares. Los sistemas generales prevén el análisis estático y dinámico de estructuras, la determinación de desplazamientos, solicitaciones y tensiones. Es decir se trata de sistemas destinados al análisis de estructuras. Por el contrario, los sistemas específicos incluyen también opciones de diseño estructural según las previsiones de normas e incluyen verificación del cumplimiento de las mismas. Además, disponen de elementos específicos, facilidades para las definiciones de las condiciones de carga y la emisión de los correspondientes diagnósticos. Pueden citarse como ejemplos los sistemas de análisis y diseño de torres metálicas y los de cañerías. Los sistemas de Elementos Finitos, ya sean generales o específicos, se han convertido en una herramienta insustituible para el ingeniero y su utilización exige un profundo conocimiento de las facilidades de cálculo disponibles, sus alcances y limitaciones. En efecto, es necesario poder seleccionar los elementos más apropiados para cada caso, establecer los apoyos, definir las condiciones de carga y finalmente interpretar los resultados. Para esto último se dispone normalmente de facilidades para su representación gráfica.
4.2 Desarrollo de sistemas de cálculo A pesar de la gran oferta de sistemas de análisis estructural de variado alcance, no debe descartarse la posibilidad de tener que desarrollar un sistema específico para estudiar problemas particulares. En estos casos se restringe la generalidad del sistema con el fin de abordar en análisis y diseño de estructuras especiales que deben responder a normas particulares. Aquí debe tenerse en cuenta que el desarrollo de sistemas requiere un profundo conocimiento de tres disciplinas básicas; que son: i ) el cálculo estructural, ii ) el análisis numérico y iii ) la programación de computadoras. Aún a pesar de la ya mencionada disponibilidad de variados sistemas de análisis y diseño estructural, el desarrollo de nuevos sistemas, en muchos casos de dimensiones reducidas, también se justifica ampliamente en ámbitos universitarios y de investigación por brindar la oportunidad de conocer el problema en profundidad y desarrollar aptitudes para la obtención de mejores rendimientos a través del mejor aprovechamiento de los recursos tecnológicos disponibles. El aprovechamiento efectivo del procesamiento paralelo sirve de ejemplo en este sentido.
4.3 Desarrollo de nuevos elementos Un dominio es discretizado a través de elementos que deben ser seleccionados según las características y propiedades que se desea preservar en el modelo. Para ello debe disponerse de una amplia variedad de elementos y su desarrollo constituyó un activo campo de investigación durante muchos años. En la actualidad se busca desarrollar nuevos elementos que mejoren el comportamiento de elementos existentes, ya sea porque conducen a la obtención de resultados similares con modelos más simples o porque permiten mejorar la calidad de los mismos. También se trabaja en el desarrollo de elementos para tratar problemas muy especiales, como son el caso de la propagación de grietas, representación de materiales compuestos, análisis plástico, no lineal, etc. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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5 CONCEPTOS GENERALES DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) En las secciones anteriores se ha descripto la idea general de dividir un dominio continúo en un conjunto discreto de subdominios interconectados. Como ejemplo en la Figura 4 se muestra el caso de una planchuela plana cargada en su plano que se aprovecha para definir la terminología de uso habitual en el tratamiento de este tema: Elementos: subdominios elementales continuos que son tratados mediante las ecuaciones de la elasticidad y utilizados para representar el objeto de estudio. Nodos: Puntos característicos en función de los cuales se definen las propiedades elásticas de los elementos y permiten vincular diferentes elementos entre sí. Mallas: Ensamble de elementos destinado a reproducir un cierto medio continuo a través de un modelo discreto. Grados de libertad de un nodo: Número mínimo de parámetros necesarios para definir completamente la posición de un nodo. Grados de libertad de un elemento: Cantidad de parámetros a través de los cuales se expresan las propiedades elásticas de un elemento, lo que significa que es el orden de su matriz de rigidez. Grados de libertad de un modelo discreto: Total de grados de libertad de los nodos de una malla de elementos menos los grados de libertad que están restringidos por condiciones de apoyo, ya sean fijos o de movimientos predefinidos. Representa el orden de la matriz de rigidez de la estructura. Condición de carga: Conjunto de acciones aplicadas sobre el objeto estudiado. a)
b)
Discretización
Objeto estudiado Modelo discreto Figura 4: Dominio plano y su modelo discreto
A título de ejemplo, la planchuela de la Figura 4 da lugar a un estado plano de tensión, por lo que cada nodo tiene dos grados de libertad (desplazamientos en dos direcciones ortogonales) y los elementos triángulo empleados en el modelo tienen seis grados de libertad cada uno. El modelo tiene un total de 31 nodos y 56 grados de libertad (31 x 2 – 3 x 2 = 56), con una malla formada por 43 elementos del mismo tipo. Nótese que los elementos han sido dispuestos de manera de reproducir el contorno del dominio de la mejor manera posible, lo que obviamente depende de la cantidad de elementos utilizados. El mejor modelo será el más simple que permita obtener resultados correctos, con errores máximos acordes a los objetivos planteados para el análisis.
5.1 Funciones de aproximación Un término adicional que debe ser introducido es el de función de desplazamiento o de aproximación, que se refiere a la función adoptada para representar el comportamiento de los desplazamientos dentro de cada tipo de elemento. Su importancia reside en que el MEF es implementado a través del método de la rigidez, con los desplazamientos de los nodos como incógnitas principales, y las distribuciones de desplazamientos, deformaciones y tensiones en el interior de los elementos dependerá de los valores resultantes de los desplazamientos de los nodos y de la función de aproximación adoptada en la formulación del método. Por tal motivo, es necesario disponer de una expresión que permita conocer los desplazamientos de cualquier punto del elemento a partir de su posición y de los desplazamientos de los nodos que lo definen. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Para esas funciones de aproximación se utilizan normalmente polinomios, que ofrecen dos ventajas importantes: i ) son fáciles de manipular matemáticamente; evaluar, derivar, integrar, etc. y ii ) a medida que aumenta el grado del polinomio la solución converge asintóticamente a la del medio continuo representado, lo que implica que un polinomio de grado infinito permitiría obtener una solución exacta. Las funciones de aproximación polinomial de grado “n” para el problema de dos dimensiones del ejemplo de la Figura 4 responden a las siguientes expresiones:
u1 ( x1, x2 )
2
2
n
n
2
2
n
n
D10 D11 x1 D12 x2 D13 x1 x2 D14 x1 D15 x2 " D1( m 1) x1 D1m x2
(1)
u2 ( x1, x2 ) D 20 D 21 x1 D 22 x2 D 23 x1 x2 D 24 x1 D 25 x2 " D 2( m 1) x1 D 2 m x2
Las consideraciones expuestas conducen a pensar en la conveniencia de adoptar polinomios de grado elevado. Sin embargo, al aumentar el grado “n” de los polinomios aumenta también la cantidad de constantes Dik (i = 1, 2.. ; k = 0, 1.., m) que son necesarias para su definición, y estas constantes deben obtenerse a partir de las incógnitas principales del problema, es decir los desplazamientos de los nodos incluidos en el elemento. Esto significa que los elementos deben contener una cantidad de nodos acorde al grado de la función de aproximación, de manera de hacer posible la determinación de esos coeficientes. En conclusión, aumentar el grado de la función de aproximación mejora la calidad de la solución y a la vez aumenta el número de nodos y grados de libertad de los elementos, lo que conduce a modelos más complejos, por lo que es necesario encontrar una solución de compromiso. Para ilustrar el tema se presenta a continuación un ejemplo con un caso muy simple. Ejemplo 1 En la ecuación (2) se adopta una función de aproximación lineal para un elemento triángulo plano mostrado en la Figura 5 (similar a los utilizados en el modelo de la Figura 4) y se desea expresar los desplazamientos de cualquier punto del dominio en función de los desplazamientos de los nodos.
p
D10 D11 x1 D12 x2
p 2
D 20 D 21 x D 22 x
u1 ( x1 , x2 )
p
p
(2)
u ( x1 , x2 )
p 1
p 2
Figura 5: Elemento triángulo plano y sus funciones de aproximación lineal
Nótese que en la definición de los símbolos que representan las posiciones y desplazamientos de los nodos el subíndice define la dirección y el supraíndice define el punto considerado. Las expresiones (2) son aplicables en todos los puntos del dominio y por lo tanto pueden aplicarse a los vértices del triángulo, cuyos desplazamientos son conocidos. Se obtiene así el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
punto
udirección
° ® ° ¯
u1i ( x1 , x2 )
D10 D11 x1i D12 x2i
j
j
j
u1 ( x1 , x2 ) D 10 D 11 x1 D 12 x2
u1k ( x1 , x2 )
D10 D11 x1k D12 x2k
u2i ( x1 , x2 ) j
D 20 D 21 x1i D 22 x2i j
j
u 2 ( x1 , x2 ) D 20 D 21 x1 D 22 x 2 u2k ( x1 , x2 )
(3)
D 20 D 21 x1k D 22 x2k
Estas ecuaciones son expresadas en forma matricial y reordenadas en (4), de manera de expresar a las incógnitas en función de los desplazamientos de los nodos y sus posiciones. Las incógnitas del problema son los coeficientes D ik que definen las funciones de aproximación (2). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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D10 °D ° 11 °° D12 ® ° D 20 ° D 21 ° °¯ D 22
ª « « « « « « « «¬
½ ° ° °° ¾ ° ° ° °¿
1 0 1 0 1 0
x1i
x2i
0 x1j 0
0 x2j 0
x1k
x2k
0
0
0 1 0 1 0 1
0 x1i 0 x1j 0 x1k
0 x2i 0 x2j 0 x2k
º » » » » » » » »¼
-1
° ° °° ® ° ° ° °¯
u1i ½
° ° °° ¾ ° u1k ° ° u2k °¿ u2i u1j u2j
(4)
En forma resumida (4) puede presentarse como
^D ` > X @ ^ u ` -1
(5)
donde la matriz “X ” está compuesta por las posiciones de los vértices del triángulo. Tal como fue planteada, la determinación de los coeficientes “D ” involucra la inversión de “X ”, cuyo orden es igual a la cantidad de grados de libertad del elemento, y estos coeficientes permiten conocer los desplazamientos de cualquier punto del dominio según lo expresa (2).
5.2 Funciones de aproximación en coordenadas triangulares La necesidad de invertir la matriz “X ”, una operación matricial que normalmente se desea evitar, llevó a explorar alternativas para definir las funciones de aproximación de manera más directa. Algunas de ellas son muy ingeniosas, y para el caso de elementos triangulares se propuso hacerlo a través de coordenadas triangulares, que se definen a continuación.
Figura 6: Elemento triángulo plano. Simbología utilizada en coordenadas triangulares
Los nodos del triángulo son identificados como “i”, “j”, “k”, ordenados en un cierto sentido, en este caso antihorario. A su vez, se asigna la misma denominación a los lados opuestos de los nodos, mostrados en la Figura 6 entre paréntesis. Por último, las componentes horizontal y vertical de cada uno de los lados del triángulo son identificados con la letra “a”, donde el subíndice corresponde a la dirección y el supraíndice el lado correspondiente. Así, todos los lados del triángulo quedan definidos por las siguientes componentes: lado
a dirección
° ® ° ¯
i
a1 i
a2
k
j
k
j
x1 x1 ; x2 x2 ;
j
a1
j
a2
i
k
i
k
k
x1 x1 ;
a1
k
x2 x2 ;
a2
j
i
j
i
x1 x1 (6)
x2 x2
Nótese que todo punto arbitrario “p” perteneciente al dominio define sobre el triángulo tres zonas, cuyas áreas son identificadas como Ai , Aj y Ak , siendo Ai +Aj +Ak = A el área total del triángulo. A partir de los valores de estas áreas se definen las llamadas coordenadas triangulares, que son las siguientes: Ai Aj Ak (7) ] i ( x1 , x2 ) , ] j ( x1 , x2 ) , ] k ( x1 , x2 ) A A A
y de acuerdo a como están definidas, no se trata de tres coordenadas independientes ya que ] i ( x1 , x2 ) ] j ( x1 , x2 ) ] k ( x1 , x2 ) Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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(8)
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Disponiendo de estas coordenadas triangulares, se pueden emplear para definir funciones de aproximación destinadas a expresar los desplazamientos de cualquier punto del dominio a partir de los desplazamientos de sus vértices (nodos). u1 ( x1 , x2 )
u1i ] i ( x1 , x2 ) u1j ] j ( x1 , x2 ) u1k ] k ( x1 , x2 )
u2 ( x1 , x2 )
u2i ] i ( x1 , x2 ) u2j ] j ( x1 , x2 ) u2k ] k ( x1 , x2 )
(9)
Es decir que, en lugar de definir los desplazamientos en función de los coeficientes “D ” de las expresiones (2) y (4), se lo hace con las expresiones (9) y para ello se deben determinar las coordenadas ] i. Eso se hace a través del algebra vectorial, tal como se muestra a continuación: G JG JG t1 t2 t3 JJG JJG 1 ( jk u jp ) 1 (10)-a a1i a2i 0 o Ai ( x1 , x2 ) 12 ª¬( x1j x1 ) a2i ( x2j x2 ) a1i º¼ 2 2 j j x1 x1 x2 x2 0 JG JJG 1 (ki u kp ) 2
G t1 1 a1j 2 x1 x1k
JG t2 a2j x2 x2k
JG t3 0 0
JG JG 1 ( ij u ip ) 2
G t1 1 ak 1 2 x1 x1i
JG t2 a2k x2 x2i
JG t3 0 0
similarmente:
JG JG
1 ( ij u ik ) 2
G t1 1 ak 1 2 a1j
o Aj ( x1 , x2 )
1 ª( x k x ) a j ( x k x ) a j º 1 2 2 2 1 ¼ 2¬ 1
(10)-b
o Ak ( x1 , x2 )
1 ª( xi x ) a k ( xi x ) a k º 2 2 1 ¼ 2¬ 1 1 2
(10)-c
JG t2 a2k a2j
JJG t3 0 0
o
A
1 ªa j ak a j ak º 2 1 ¼ 2 ¬ 1 2
(10)-d
Reemplazando (10) en (7) se obtienen las expresiones específicas para las coordenadas triangulares que permiten definir las funciones de aproximación (9).
] i ( x1 , x2 ) ] j ( x1 , x2 ) ] k ( x1 , x2 )
Ai A Aj A Ak A
( x1j x1 ) a2i ( x2j x2 ) a1i 2A k j ( x1 x1 ) a2 ( x2k x2 ) a1j 2A i k ( x1 x1 ) a2 ( x2i x2 ) a1k 2A
(11)
Ejemplo 2 Se propone expresar en coordenadas triangulares varios puntos característicos mostrados en el triángulo representado en la Figura 7: punto “A” centro de gravedad del elemento, y los puntos medios de los lados, puntos “B”, “C ” y “D”. P ( i , j , k ) A ( B ( 0, ½ , ½) C (½ , 0 , ½) D ( ½, ½, 0 ) Figura 7: Identificación de posiciones de puntos usando coordenadas triangulares
Tal como fue expresado en la ecuación (8), no se trata de coordenadas independientes ya que definen las posiciones de puntos en el plano a través de tres parámetros. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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5.3 Funciones de aproximación y condiciones de convergencia Se ha demostrado que las propiedades de rigidez de una estructura obtenidas a través del MEF son mayores que las que corresponden a la solución exacta, lo que equivale a decir que los verdaderos desplazamientos representan un límite superior para los que puedan obtenerse a través de diferentes modelos discretos. En estas condiciones, es de esperarse que los desplazamientos brindados por los diferentes modelos se aproximen asintóticamente, y en forma creciente, a los valores reales a medida que crece la cantidad de elementos (y grados de libertad). Sin embargo, para asegurar esta tendencia asintótica las funciones de aproximación de los desplazamientos deben cumplir tres condiciones básicas: i ) ser continuas dentro del dominio y que los desplazamientos de elementos adyacentes sean compatibles en los bordes. ii ) incluir el movimiento del sólido como un cuerpo rígido, condición en que todas las deformaciones deben ser nulas. iii) permitir la representación de condiciones de deformación constante. Se dice que las formulaciones de las funciones de aproximación que cumplen la condición i ) son “compatibles” y las que satisfacen las condiciones ii ) y iii ) son “completas”. Sin embargo, a pesar de que las tres condiciones son suficientes para asegurar convergencia, se ha comprobado que con solo cumplir la tercera condición se pueden obtener resultados prácticos aceptables. Más específicamente, muchos elementos que no cumplen con el primer criterio, es decir que sus funciones de aproximación son completas pero no compatibles, han sido ampliamente utilizados con éxito. Los problemas que presentan los elementos no compatibles son esencialmente dos: a) no se puede asegurar que su rigidez se encontrará siempre por encima de los valores atribuidos a la solución exacta y b) el proceso de convergencia hacia la solución exacta puede no existir o ser muy lento.
5.4 Consideraciones energéticas Como es sabido, la energía potencial total 3 de un sólido elástico es la suma de su energía interna de deformación W y la energía potencial de las fuerzas exteriores U: 3
W U
(12)
donde la energía interna de deformación W se obtiene integrando la densidad de energía de deformación en todo el volumen y el potencial U incluye la acción de fuerzas másicas y fuerzas de superficie. Se obtiene así: GG GG (13) 3 ³ Z dV ³ F u dV ³ f u ds V
V
S
El teorema de la Mínima Energía Potencial Total establece que, de todos los campos de desplazamientos que cumplen con las condiciones geométricas de contorno, aquel que hace estacionario a 3 corresponde a un estado de equilibrio. Más aun, se puede demostrar que en una condición de equilibrio estable la energía potencial total de un sólido elástico no solo es estacionaria sino que es mínima. Luego, se asegura el equilibrio de un sólido elástico a partir de imponer las condiciones de que las derivadas de 3 con respecto a los desplazamientos de los nodos sean nulas: w3 w uk
0
(14)
Aquí cabe reconocer que, si la condición de equilibrio requiere un mínimo absoluto de la energía potencial total, un modelo discreto con funciones de desplazamientos aproximadas siempre tendrá un valor de 3 que será superior al del sólido continuo. Podría esperarse que este valor tienda al mínimo absoluto a medida que la cantidad de grados de libertad del modelo crece, pero para ello es necesario que las funciones de aproximación de los desplazamientos cumplan con las condiciones de convergencia ya establecidas en el punto anterior. De lo contrario, la condición de energía potencial total mínima nunca podrá ser alcanzada. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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6 DESARROLLO DE UN ELEMENTO BÁSICO DE DOS DIMENSIONES (TTC ) Para mostrar la forma en que se define un elemento finito para obtener la expresión de su matriz de rigidez se estudia un triángulo destinado a representar un estado plano de tensión. Para ello se comienza adoptando la función de aproximación de los desplazamientos, y en este caso se opta por la forma más simple: una función lineal, tal como la que fue estudiada a través de las coordenadas triangulares y fue expresada en (9). El elemento seleccionado tiene un espesor “h”, su área es “A”, está sometido a la acción de fuerzas másicas constantes en el interior del dominio y no tiene cargas de superficie. Se recuerdan ahora las ecuaciones fundamentales para el estudio del comportamiento de sólidos elásticos: i ) equilibrio, ii ) constitutivas y iii ) cinemáticas. Estas ecuaciones son presentadas a continuación para el caso en que las tensiones normales al plano del elemento son nulas, lo que corresponde a un estado plano de tensión: i) Ecuaciones de Equilibrio:
wV 11 wV 21 F1 wx1 wx2
V 11 ½ ° ° ®V 22 ¾ ° ° ¯V 12 ¿
ii) Ecuaciones Constitutivas:
iii) Ecuaciones Cinemáticas:
H11
0
ª1 E « Q 1 Q 2 « «0 ¬
wu1 ; wx1
H 22
wV 12 wV 22 F2 wx1 wx2
;
Q 1 0
wu2 ; wx2
0 º » 0 » 1 Q »¼
H12
0
H11 ½ ° ° ®H 22 ¾ ° ° ¯H12 ¿
1 ª wu1 + wu2 º 2 « wx wx1 »¼ ¬ 2
(15)
(16)
(17)
6.1 Deformaciones en función de la distribución de desplazamientos Como ya fue mencionado, para los desplazamientos del elemento triángulo se han propuesto las funciones de aproximación lineal expresadas en coordenadas triangulares dadas en (9). Para comenzar el desarrollo del elemento es necesario expresar las deformaciones (17) en función de los desplazamientos propuestas en (9).
H11
wu1 wx1
wu1 w] i wu1 w] j wu1 w] k w] i wx1 w] j wx1 w] k wx1
H 22
wu2 wx2
wu2 w] i wu2 w] j wu2 w] k w] i wx2 w] j wx2 w] k wx2
H12
1 ª wu1 wu2 º « » 2 ¬ wx2 wx1 ¼
(18)
1 ª wu1 w] i wu1 w] j wu1 w] k wu2 w] i wu2 w] j wu2 w] k º « » 2 ¬« w] i wx2 w] j wx2 w] k wx2 w] i wx1 w] j wx1 w] k wx1 »¼
Derivando los desplazamientos u dados en (9) con respecto a las variables ] y derivando las coordenadas ] dadas en (11) con respecto a las coordenadas cartesianas x se obtiene (en notación indicial):
H11
(u1i a2i u1j a2j u1k a2k ) / (2 A)
H 22
(u2i a1i u2j a1j u2k a1k ) / (2 A)
H12
Deformaciones específicas
1 ª(u i a i u j a j u k a k ) (u i a i u j a j u k a k ) º / (2 A) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ¼ 2¬ 1 1
H11 ° ° ® H 22 ° ° H12 ¯
u1m a2m / (2 A) u2m a1m / (2 A)
(19)
(u1m a1m u2m a2m ) / (4 A)
Es importante notar que los valores de las deformaciones obtenidas (19) son independientes de las coordenadas del punto considerado, es decir que las deformaciones tienen un valor constante en todo el interior del elemento. Esto es consecuencia del tipo de función de aproximación usada, en este caso lineal. Además, de acuerdo a las ecuaciones constitutivas (16) también serán constantes las tensiones en el interior del dominio. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Si se fijan valores arbitrarios a las deformaciones H 11, H 22 y H12 debería ser posible despejar de las ecuaciones (19) los valores de los desplazamientos que producen tales deformaciones. Pero, por ser tres las deformaciones y seis los desplazamientos existen infinitos juegos de desplazamientos capaces de cumplir tales condiciones. La indeterminación de los desplazamientos es de grado tres y para ser superada deben fijarse las componentes del desplazamiento del cuerpo rígido en el plano. También es importante observar que las funciones de aproximación propuestas para los desplazamientos son continuas en los límites entre elementos vecinos para cualquier conjunto de valores de desplazamientos nodales. Por el contrario, las deformaciones son constantes en cada elemento y presentarán una discontinuidad en la frontera entre ellos.
6.2 Energía de deformación La energía interna de deformación dada en (20) para el caso de un sólido linealmente elástico expresa en notación indicial una suma de nueve términos
1 V H dV , 2 V³ ij ij
W
(20)
que se reduce a tres en el caso en que una de las tensiones es nula. Se integra sobre el área por tratarse de un elemento de espesor “h” constante: (21) Wn 1 ³ V 11 H11 V 22 H 22 2V 12 H12 h dA 2 A
Reemplazando las tensiones en función de las deformaciones usando las ecuaciones constitutivas (16) se tiene: Wn
E 2(1 Q 2 )
³ [H
2 11
H 22 2 2 Q H11H 22 2 (1 Q ) H12 2 ] h dA
(22)
A
e integrando sobre toda el área del triángulo se obtiene una expresión aproximada para la energía elástica de deformación. Como ya fue mencionado, y a raíz del tipo de función de aproximación utilizada para expresar los desplazamientos, las deformaciones (16) son constantes para todo el dominio. hE A (23) Wn [H112 H 22 2 2 Q H11 H 22 2(1 Q ) H12 2 ] 2 2 (1 Q )
6.3 Potencial de las cargas exteriores El potencial de las cargas exteriores se compone de un término que proviene de las fuerzas másicas por unidad de volumen (en este caso por unidad de área) y de otro que corresponde a las fuerzas de contorno por unidad de superficie (en este caso por unidad del perímetro). Se tiene entonces: ³ F1 u1 F2 u2 dA v³ f1 u1 f 2 u2 dS
Un
A
(24)
S
Considerando que son constantes las fuerzas másicas en el interior del triángulo y que son nulas las fuerzas de superficie sobre su contorno, resulta: Un
F1 ³ u1i ] i u1j ] j u1k ] k dA F2 ³ u2i ] i u2j ] j u2k ] k dA A
(25)
A
Puede además demostrarse que:
³]
1
³]
dA
A
2
dA
A
³]
3
A 3
dA
A
(26)
Con lo que, una vez integrada la expresión (25) se obtiene:
Un
F1 A 3
u
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
i 1
u1j u1k
245
F2 A 3
u
i 2
u2j u2k
(27)
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6.4 Mínima energía potencial total Cuando un dominio continuo es representado por un modelo discreto compuesto por cierto número de elementos, su potencial total resulta de sumar las contribuciones de las energías internas de deformación y los potenciales de las cargas exteriores de cada uno de ellos. 3
n
n
k 1
k 1
¦Wk ¦U k
W U
(28)
Considerando en particular la contribución de un dado elemento a la energía potencial total y aplicando el teorema que establece que esta energía será mínima cuando el sistema esté en equilibrio, se pueden establecer dos ecuaciones de equilibrio para cada uno de los grados de libertad:
w3 wu1i w3 wu2i
0 ;
w3 wu1j
0 ;
w3 wu2j
0 ;
w3 wu1k
0
0 ;
w3 wu2k
0
(29)
A modo de ejemplo, las dos ecuaciones que corresponden al nudo “i ” en las direcciones “x1” y “x2” se desarrollan a continuación:
§ wH11 wH 22 wH wH wH · wU Q H11 22i Q H 22 11i 2(1 Q ) H12 12i ¸ i ¨ H11 i H 22 i wu1 wu1 wu1 wu1 wu1 ¹ wu1 ©
w3 wu1i
hE A 1 Q 2
w3 wu2i
wH wH wH wH · wU h E A § wH11 H 22 22i Q H11 22i Q H 22 11i 2(1 Q ) H12 12i ¸ i H i 2 ¨ 11 wu2 wu2 wu2 wu2 wu2 ¹ wu2 1 Q ©
(30)
A partir de las ecuaciones (19) se deduce que: wH11 wu1i wH11 wu2i
a2i , 2A
0 ,
wH 22 wu1i
0 ,
wH12 wu1i
a1i 4A
wH 22 wu2i
a1i , 2A
wH12 wu2i
ai 2 4A
(31)
Introduciendo las ecuaciones (31) junto con las derivadas de (27) en las ecuaciones (30) y luego reemplazando en las (29) se tiene:
siendo:
w3 wu1i
D ª¬ u1m ( a2m a2i E a1m a1i ) u2m (Q a1m a2i E a2m a1i ) º¼
AF1 3
0
w3 wu2i
AF2 D ª¬ u (Q a a E a a ) u ( a a E a a ) º¼ 3
0
m 1
m 2
D
i 1
m i 1 2
m 2
Eh ; 4 A (1 Q 2 )
m i 1 1
E=
m i 2 2
1 Q 2
(32)
(33)
donde E y Q representan propiedades del material, h y A propiedades geométricas del elemento y los coeficientes a son las componentes cartesianas de los lados del triángulo definidas en (19). De la misma forma se obtienen las expresiones que corresponden a los restantes nodos “j ” y “k”, totalizando seis ecuaciones de equilibrio. Los factores que multiplican a los desplazamientos nodales en estas ecuaciones de equilibrio pueden ser interpretados como coeficientes de rigidez del elemento triangular “i-j-k”, con un sentido similar al de los coeficientes de rigidez de los elementos prismáticos (barras), que establecen una relación entre los desplazamientos de los nodos y las fuerzas sobre los mismos. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
246
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6.5 Matriz de rigidez del elemento triángulo Agrupando los factores de los desplazamientos de los nodos y expresando las ecuaciones de equilibrio del tipo (32) en forma matricial se tiene: ª « « « « « « « « « « ¬
kii11
kii12
kij11
kij12
kik11
kii21
kii22
kij21
kij22
kik21
k 11ji
k 12ji
k 11jj
k 12jj
k 11jk
k 21 ji
k 22 ji
k 21 jj
k 22 jj
k 21 jk
kki11
kki12
kkj11
kkj12
kkk11
kki21
kki22
kkj21
kkj22
kkk21
kik12 º » kik22 » » k 12jk » » » k 22 jk » kkk12 » » kkk22 »¼
u1i ° ° u2i ° °° u1j ® j ° u2 ° k ° u1 ° k ¯° u2
½ ° ° ° °° ¾ ° ° ° ° ¿°
F1i ° ° F2i ° j A °° F1 ® 3 ° F2j ° k ° F1 ° k ¯° F2
½ ° ° ° °° ¾ ° ° ° ° ¿°
(34)
donde queda definida la matriz de rigidez de un elemento triangular de espesor constante donde los desplazamientos en el interior del dominio son proporcionales a los desplazamientos de los nodos. Al igual que en el caso de barras prismáticas, la matriz de rigidez es simétrica. Además, para un conjunto de elementos triangulares la matriz de rigidez global del dominio se ensambla en forma similar a la de un sistema de barras prismáticas, solo que considerando que ahora cada elemento vincula entre sí tres nodos en lugar de dos. En el caso del Triángulo de Tensión Constante (TTC) los elementos de la matriz de rigidez responden a las ecuaciones: 11 kim
D ( a2m a2i E a1m a1i )
12 kim
D (Q a1m a2i E a2m a1i ) (35)
k
21 im
D (Q a a E a a m 2
i 1
m 1
i 2
)
k
D (a a E a a m 1
22 im
i 1
m 2
i 2
)
donde y están dadas en (33) y los coeficientes a son las componentes cartesianas de los lados del triángulo definidas en (6). Ejemplo 3 Se determinan los coeficientes de la partición “4-4” de la matriz de rigidez del TTC mostrado en la Figura 8.
K
11 ª k33 « 21 « k33 « 11 « k43 « 21 « k43 « 11 « k53 « k 21 ¬ 53
12 k33
11 k34
12 k34
11 k35
k3322
k3421
k3422
k3521
12 k43
11 k44
12 k44
11 k45
k4322
k4421
k4422
k4521
12 k53
11 k54
12 k54
11 k55
k5322
k5421
k5422
k5521
12 º k35 » 22 k35 » » 12 k45 » 22 » k45 » 12 » k55 » k5522 »¼
Figura 8: Elemento triángulo de tensión constante 11 k44
D [a24 a24 E a14 a14 ]
D [(80) 2 (60) 2 E ]
12 k44
D [a14 a24Q E a24 a14 ]
D [(60) (80) Q (80) (60) E ]
k4421
D [a24 a14Q E a14 a24 ]
D [(80) (60) Q (60) (80) E ]
k4422
D [a14 a14 E a24 a24 ]
(36)
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
D [(60) 2 (80) 2 E ]
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7 OTROS ELEMENTOS DE USO CORRIENTE En la sección anterior se presentó detalladamente la formulación de un elemento básico muy simple (el TTC). A continuación se describen sucintamente elementos más sofisticados tales como: i) triángulo y cuadrilátero de tensión lineal y cuadrática para estados planos de tensión y deformación; ii) tetraedro de tensión constante y prisma rectangular para estados tridimensionales de tensión; iii) elementos isoparamétricos; iv) elementos axilsimétricos; v) bandas finitas y; vi) una librería de elementos finitos de un software comercial.
7.1 Estados planos de tensión y deformación El Triángulo de Tensión Constante desarrollado en detalle en el punto anterior es de gran utilidad práctica y su implementación en programas de cálculo es relativamente sencilla. Sin embargo, en muchos casos y para obtener un grado aceptable de aproximación deben emplearse mallas muy densas, compuestas por un elevado número de elementos. Como alternativa puede emplearse un número menor de elementos triángulo, desarrollados a partir de funciones de aproximación de grado más elevado, como cuadráticas o cúbicas, y también elementos cuadriláteros con estas mismas funciones. 7.1.1 Triángulos de tensión lineal y cuadrática Como mejora del Triángulo de Tensión Constante aparece el Triángulo de Tensión Lineal (TTL), en el que se introducen polinomios de segundo grado para expresar los desplazamientos en las dos direcciones ortogonales, u1 y u2, tales como:
u1
a10 a11 x1 a12 x2 a13 x1 a14 x2 a15 x1 x2
u2
a20 a21 x1 a22 x2 a23 x1 a24 x2 a25 x1 x2
2
2
2
2
(37)
Con el fin de satisfacer continuidad de los desplazamientos en los límites entre elementos se debe introducir un nudo intermedio en cada lado del triángulo, que por simplicidad es ubicado en los puntos medios como muestra la Figura 9-a. Tal como ocurrió en el caso del Triángulo de Tensión Constante, se puede facilitar el desarrollo empleando coordenadas triangulares para expresar las funciones de aproximación de desplazamientos. En este caso se tiene: u1 ( x1 , x2 ) u1i ] i (2] i 1) u1j ] j (2] j 1) u1k ] k (2] k 1) 4 u1A ] i] j 4 u1m ] j] k 4 u1n ] k ] i u2 ( x1 , x2 ) u2i ] i (2] i 1) u2j ] j (2] j 1) u2k ] k (2] k 1) 4 u2A ] i] j 4 u2m ] j] k 4 u2n ] k ] i
(38)
Por un procedimiento enteramente similar al seguido en la Sección 6, se pueden plantear las ecuaciones de equilibrio y obtener la matriz de rigidez asociada a un Triángulo de Tensión Lineal, identificado como TTL.
a)
b)
Figura 9: Triángulos de tensión lineal y cuadrática
Una nueva mejora en el elemento triángulo puede introducirse adoptando funciones de aproximación cúbicas, lo que conduce a que las funciones de deformación y tensión sean cuadráticas. Para satisfacer la continuidad de los desplazamientos en los bordes de los elementos aquí es necesario definir dos puntos intermedios sobre cada lado del triángulo, tal como muestra la Figura 9-b. Se observa que al aumentar el grado de la función de aproximación se hace necesario aumentar el número de nudos necesarios para definir cada elemento, y consecuentemente aumentan sus grados de libertad, lo que queda reflejado en la Tabla 1 que se presenta a continuación. En ella se muestra para las funciones de aproximación lineal, cuadrática y cúbica: i) el grado de la función de deformación que corresponde a cada una, ii ) la cantidad de nodos necesarios para definir el elemento y iii ) la cantidad de grados de libertad. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Tabla 1: Grado de las funciones, cantidad de nudos y de grados de libertad en elementos triángulo
Función de aproximación
Grado de la función de deformación
Cantidad de nodos
Grados de libertad
Lineal
Constante
3
6
Cuadrática
Lineal
6
12
Cúbica
Cuadrática
9
18
El uso de elementos más sofisticados, en este caso con una mejor función de aproximación, reduce la cantidad de elementos necesarios para definir un cierto modelo, pero como se desprende de la tabla anterior no necesariamente reduce la cantidad total de grados de libertad involucrados o por lo menos no lo hace en la misma proporción. En efecto, el uso de elementos más sofisticados, y por lo tanto la reducción de la cantidad de elementos, no tiene normalmente por finalidad disminuir los grados de libertad del modelo sino más bien facilitar la definición de los datos, mejorar la calidad de la solución y facilitar la interpretación de los resultados. Puede también darse el caso de que estos mejores elementos sean indispensables para una adecuada representación del fenómeno físico estudiado. 7.1.2 Cuadriláteros Los elementos cuadrilátero son de gran utilidad práctica. Su forma arbitraria les permite adaptarse a dominios de forma irregular y presentan sobre los triángulos la ventaja de que el número de elementos del modelo se reduce significativamente, lo que simplifica la tarea de preparación de los datos. Al igual que lo ya visto para el caso de los triángulos, pueden generarse para el cuadrilátero innumerables funciones de aproximación, desde algunas muy sencillas hasta otras muy sofisticadas. La forma más simple de formar un cuadrilátero es adjuntando dos triángulos de tensión constante ( Figura 10-a y 10-b) y para ello basta con superponer las correspondientes matrices de rigidez. Otra forma de generar el cuadrilátero es componer cuatro triángulos (Figura 10-c) y eliminar el nodo central común a todos ellos a través de condensación matricial. Esta eliminación debe hacerse para expresar la rigidez de cada cuadrilátero sólo en función de los cuatro vértices, antes de combinar la matriz global del sistema.
a)
b)
c)
Figura 10: Cuadriláteros formados por dos y cuatro triángulos
7.2 Estados tridimensionales de tensión La generalización para estados elásticos tridimensionales del método desarrollado en los puntos anteriores para estados planos sigue los lineamientos ya presentados. El procedimiento para la formulación de las matrices de rigidez es enteramente similar, por lo que se hará una breve descripción de algunos de los tipos de elementos de uso corriente. 7.2.1 Tetraedro de tensión constante El tetraedro de tensión constante, mostrado en la Figura 11, constituye una inmediata generalización del triángulo de tensión constante. Se adopta un tetraedro de forma arbitraria y se desarrollan sus propiedades a partir de coordenadas adimensionales que relacionan volúmenes, de la misma forma que anteriormente en el estado plano de tensión se relacionaron áreas. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
249
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[k
Vk V
Figura 11: Elemento tetraedro de tensión constante
7.2.2 Prisma rectangular El elemento prisma rectangular, mostrado en la Figura 12, puede ser obtenido dando una tercera dimensión a un cuadrilátero regular, proponiendo las correspondientes funciones de aproximación y siguiendo un procedimiento similar al ya visto para el caso del triángulo con el fin de plantear las ecuaciones de equilibrio y desarrollar la matriz de rigidez del elemento.
Figura 12: Elemento prisma rectangular
7.3 Elementos isoparamétricos Se han visto hasta ahora diversos elementos de variada complejidad en las funciones de aproximación, pero todos ellos de formas geométricas simples y lados rectos. También pudo comprobarse que al mejorar la función de aproximación del elemento es necesario introducir nodos adicionales y por lo tanto nuevos grados de libertad. Un método alternativo para mejorar elementos existentes, que no implica introducir mayor cantidad de grados de libertad, consiste en generalizar su forma geométrica. Esto es, desarrollar elementos con lados curvos. Se llega así a un elemento que, además de disponer de la capacidad de representar el comportamiento elástico de un sólido, se adapta con facilidad a un contorno irregular sin hacer necesario un refinamiento excesivo de la malla. La innovación introducida por los elementos “isoparamétricos” consiste en adoptar para la forma de los bordes una función del mismo tipo que la empleada para la función de aproximación de los desplazamientos, y de aquí proviene su denominación. En la Figura 13 se muestran elementos isoparamétricos de diferente configuración, planos y espaciales.
a)
b)
c)
Figura 13: Elementos isoparamétricos en dos y tres dimensiones
Cuando se usa para la geometría una función de grado inferior a la utilizada para los desplazamientos el elemento es definido como “subparamétrico” y si ocurre lo contrario, es decir que la función adoptada para representar la geometría es de mayor grado que la de los desplazamientos, el elemento es definido “superparamétrico”. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
250
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La principal limitación que presentan los elementos de este tipo reside en la necesidad de una transformación única entre las coordenadas cartesianas globales y las coordenadas adimensionales propias del elemento, la que no siempre existe.
7.4 Elementos axilsimétricos El problema de la distribución de tensiones en cuerpos de revolución (axilsimétricos) bajo condiciones de cargas también axilsimétricas es de considerable interés práctico. Desde un punto de vista matemático, el problema planteado es muy similar al de los estados planos de tensión o de deformación, ya que el análisis requerido se reduce en una dimensión y es bidimensional. Por simetría, dos componentes de desplazamiento en cualquier sección plana orientada radialmente definen completamente el estado de deformación y por lo tanto el estado de tensión. Una sección que cumple esta condición se muestra en la Figura 14, siendo r y z las coordenadas radial y axial que definen la posición de cualquier punto. Para estos casos pueden emplearse las mismas funciones de desplazamientos adoptadas en los desarrollos de los elementos triángulos. La diferencia esencial reside en que el desplazamiento radial induce deformación en la dirección circunferencial, por lo que una cuarta componente de deformación y tensión debe ser considerada. Definiendo vectores de tensión y deformación tales como y ¬:
H
Hz ½ °H ° ° r° ® ¾ ° HT ° °¯J rz °¿
V z ½ °V ° ° r° ® ¾ °V T ° °¯W rz °¿
V
;
(39)
donde: J rz
2 H rz
es posible relacionarlos a través de las ecuaciones constitutivas ya estudiadas en el Cap. 1, ecuación (131), y en el Cap. 3, ecuación (12). Se tiene así:
^V ` >C @ ^H ` donde:
>C @
D
Q Q ª1 Q « Q 1 Q Q « D « Q Q 1 Q « « 0 0 0 ¬«
(40)
0 0 0 1 2Q 2
E (1 Q ) (1 2Q )
º » » » » » ¼»
(41)
(42)
Figura 14: Sólido modelado con elementos axilsimétricos
El resto de la formulación para el desarrollo del elemento sigue el mismo lineamiento general visto con anterioridad, sólo que naturalmente es más compleja. Tal como fue presentada, la solución a este problema requiere que las cargas tengan también una distribución axilsimétrica. De no ser así, y en el caso en que las cargas presentan una distribución armónica que es función del ángulo T , el problema puede ser planteado en términos similares a los ya expuestos. En caso contrario, es decir que no haya una representación armónica de las cargas, deben previamente ser descompuestas a través del análisis de Fourier con el fin de ser expresadas como una sumatoria de funciones cosenoidales. Por ser las funciones cosenoidales ortogonales entre sí, las funciones de aproximación quedan desacopladas para cada armónica y por lo tanto las matrices de rigidez que corresponden a cada una de ellas pueden obtenerse por separado. De esta manera queda planteado un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para cada armónica, cuyos resultados deben ser combinados para la obtención de los desplazamientos y tensiones finales que correspondan al estado de cargas aplicado. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
251
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7.5 Bandas finitas Se considera aquí el caso de estructuras que presentan una sección transversal constante a lo largo de un eje, tal como ocurre en el ejemplo ilustrado en la Figura 15. Como principales aplicaciones para este tipo de elemento pueden mencionarse el modelado de cubiertas o techos, puentes y recipientes. En este último caso se trata de objetos que han perdido su condición de axilsimétricos como consecuencia de refuerzos o por formar parte de una configuración multicelular. Todos estos casos pueden ser tratados con los elementos finitos de uso general ya comentados con anterioridad, pero la ventaja que ofrecen las bandas finitas es un enorme ahorro en la preparación de los datos del modelo, esfuerzo de procesamiento e interpretación de los resultados. Scordelis empleó en 1964 un planteo similar al de las Bandas Finitas para el análisis de techos múltiples de configuración semicilíndrica y Cheung desarrolló y difundió a partir de 1968 una técnica de análisis que él mismo denominó “Método de las Bandas Finitas” (Finite Strip Method ).
Figura 15: Bandas finitas
Volviendo a la Figura 15, un desplazamiento genérico “w” de cualquier punto de la cubierta puede expresarse a través de un desarrollo de Fourier en la dirección del meridiano, es decir: n
w ( x, y , z )
¦ w ( x, y) sen i
i 1
iS z L
(43)
donde L representa la altura del meridiano en la dirección z. De esta forma un problema espacial es reducido en una dimensión, debiendo analizarse para cada armónica un problema de dos dimensiones en el plano (x, y). Posteriormente, los resultados se extienden a la tercera dimensión z superponiendo la contribución de todas las armónicas. Aquí es necesario destacar que esta separación de variables es posible debido a las propiedades de ortogonalidad que presentan las funciones armónicas, que ya fueron mencionadas al presentarse los elementos axilsimétricos. En resumen, para resolver un problema por el método de las Bandas Finitas se deben cumplir los siguientes pasos: a) Expresar la condición de cargas como una combinación de funciones senoidales a través de un análisis armónico de Fourier. b) Obtener las matrices de rigidez de los elementos correspondientes a cada una de las armónicas determinadas en el análisis del punto anterior. c) Armar las matrices de rigidez de la estructura y calcular los correspondientes desplazamientos y solicitaciones para cada armónica por separado. d) Combinar los resultados anteriores con el fin de obtener los desplazamientos y solicitaciones finales en cualquier punto z a lo largo del meridiano. Volviendo al punto “b”, se presentan dos variantes para el desarrollo de las matrices de rigidez de los elementos. Si las bandas empleadas son planas se sigue un procedimiento análogo al mostrado en detalle para el TTC y éste es el método clásico de “bandas finitas planas”. Por el contrario, si se adoptan bandas de sección curva se recomienda integrar numéricamente a lo largo del elemento para determinar sus propiedades y armar así sus matrices de rigidez para cada armónica. Estos últimos elementos son denominados “elementos finitos semianalíticos. Llegado a este punto es necesario reconocer la principal limitación que presenta el método de las bandas finitas. Por ser los desplazamientos y esfuerzos expresados a través de funciones senoidales provenientes del análisis de Fourier, la solución propuesta queda limitado a estructuras que presenten una condición de apoyo simple en sus bordes extremos, que corresponden a z = 0 y z = L. En efecto, una condición de apoyo con desplazamientos y rotaciones nulas, correspondientes a un empotramiento, no es representable mediante la función senoidal empleada. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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7.6 Otros elementos Las ventajas que ofrece el Método de los Elementos Finitos para la resolución de problemas estructurales motivó que se haya dedicado un gran esfuerzo a desarrollar nuevos elementos más sofisticados para reemplazar otros ya existentes o para modelar casos muy particulares. Por ello en la actualidad se dispone de Elementos Finitos que representan materiales compuestos ( plásticos reforzados con fibra de vidrio o carbono, panel de abejas, etc.), materiales fisurados, materiales con diverso grado de anisotropía, etc. Estas propiedades especiales y sus diversas formas hacen posible la correcta representación de sólidos elásticos de la más variada geometría, propiedades y condiciones de trabajo. A estos nuevos elementos deben agregarse los otros más simples y ya conocidos del curso anterior, como son los elementos prismáticos en todas sus variantes: barra, viga, resorte axial y tubo recto con presión interior. Además, deben también sumarse el tubo curvo (codo) y el elemento elástico (resorte) en f lexión y torsión. Todos estos elementos están normalmente disponibles en las “librerías” de los grandes sistemas de cálculo que emplean este método, mostrándose como ejemplo en la Tabla 2 una de estas librerías que podría ser considerada típica. Tabla 2: Librería de Elementos Finitos de un sistema comercial ( NISA)
Nótese que las filas de la tabla de esta librería corresponden a los diferentes tipos de elementos disponibles, que son definidos en la primera columna. La segunda columna describe los grados de libertad por cada nodo, donde el prefijo “U” corresponde a desplazamientos y el “R” a rotaciones. Luego, las siguientes columnas corresponden a diferentes funciones de aproximación de los desplazamientos, tales como lineal, cuadrática, cúbica o una combinación de estas. Es decir que se trata de una tabla de doble entrada que permite seleccionar cierto tipo de elemento y su función de aproximación. Por ejemplo, en la sexta fila se encuentran los elementos de placa de tipo general (general shell), que tienen seis grados de libertad por nodo (tres desplazamientos y tres rotaciones, es decir que los nodos transmiten momentos) y en la quinta columna se encuentra el elemento de placa Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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general definido con una función de aproximación de desplazamientos cúbica. Nótese que los elementos de placa de esa sexta fila se definen a partir de nodos distribuidos sobre el plano medio y que el elemento de la quinta columna queda definido por 12 nodos, es decir se trata de un elemento de 72 grados de libertad. La séptima fila también corresponde a placas, pero en ese caso se trata de elementos con espesor que quedan definidos a partir de nodos en ambos planos, superior e inferior, que solo tienen tres grados de libertad de desplazamientos y no incluyen rotaciones. En este caso el elemento con función de aproximación cúbica queda definido por 24 nodos (12 nodos en cada plano) con 72 grados de libertad (igual que en el caso anterior). Este elemento es apropiado para placas de espesor considerable y el anterior es adecuado para placas delgadas. En la parte inferior derecha de la tabla se presentan elementos especiales, tales como los destinados a representar placas sándwich o laminados con materiales compuestos. Como se observa, hay una amplia disponibilidad de elementos que requieren de criterio y experiencia para su correcto uso y el mejor aprovechamiento posible. En caso de duda siempre es recomendable desarrollar varios modelos progresivamente más complejos y comprobar la consistencia de sus resultados. La librería de elementos mostrada en la Tabla 2 pertenece al Sistema de Cálculo NISA (Numerically Integrated elements of System Analysis), pero hay que aclarar que, si bien los diversos sistemas tienen particularidades que los caracterizan, todos disponen de librerías similares a la mostrada en la Tabla 2.
8 COMBINACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS Tal como fue comentado al presentar la Figura 3, el objetivo del Método de los Elementos Finitos es desarrollar modelos discretos de sólidos elásticos que permitan el cálculo de las tensiones y deformaciones que experimentan ante ciertas condiciones de trabajo. El primer paso fue desarrollar esos elementos, que quedan representados por sus matrices de rigidez, y una vez que esos elementos están disponibles, el paso siguiente es combinar dichos elementos de forma tal que reproduzcan correctamente el comportamiento de los objetos estudiados. Los interrogantes que aquí se presentan son varios y muchos de ellos solo encuentran respuesta en la experiencia. ¿Qué elementos usar? ¿Cómo disponer los elementos para conformar una malla? ¿Qué densidad de elementos es conveniente? son algunos de estos interrogantes. En esta sección se dan recomendaciones para la definición de las mallas referidas a: i) tamaño y disposición de los elementos; ii) cantidad de elementos; iii) numeración de los nudos y los elementos; y iv) convergencia de los resultados. Además, se describe como se ensambla y cómo impactan sobre la matriz de rigidez global de la estructura las recomendaciones recién enumeradas.
8.1 Mallas de elementos Como ejemplo se presenta el caso de una viga simplemente apoyada, sometida a una condición de carga estática, cuya sección transversal presenta gran altura respecto de su distancia entre apoyos (luz). La viga en cuestión es representada en la Figura 16-a y el ejemplo fue presentado por K. Rockey en su libro (Rockey et al, 1975). Nótese que se eligió este caso porque, pese a su sencillez, la solución exacta no se obtiene en forma inmediata debido a la elevada altura de la sección. Para resolver este problema mediante el método de los Elementos Finitos se proponen diferentes modelos y se comparan las soluciones obtenidas con cada uno. Para representar los modelos de la viga se adoptaron triángulos de tensión constante y dos formas diferentes de disponer estos triángulos, que se muestran en las Figuras 16-b y 16-c. Después de estudiar algunos casos se comprueba que la malla 16-b conduce a mejores resultados que la malla 16-c y presenta además la ventaja de que su regularidad facilita la generación automática de los datos. Una vez encontrada la forma más conveniente de disponer los triángulos, el paso siguiente es determinar la densidad de malla requerida para alcanzar la solución del problema. Las Figuras 16-d, 16-e y 16-f muestran los tres modelos empleados en el análisis y con los cuales se obtuvieron resultados. En todos ellos se impusieron las condiciones de apoyo haciendo nulos los desplazamientos verticales de los nodos del borde inferior de ambos extremos y las características de estos tres modelos se resumen en la Tabla 3 presentada a continuación. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
254
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Tabla 3: Características de los modelos de la viga de la Figura 16-a
Modelo
Elementos
Nudos
Grados de libertad
Figura 16-d
96
65
130
Figura 16-e
150
96
192
Figura 16-f
600
341
682
En la Figura 16-g se graficaron las deflexiones de la viga obtenidas con los diferentes modelos y se las compara con las def lexiones que corresponden a la solución exacta y a la obtenida a partir de la teoría de vigas. Para este último caso no se consideró la deformación por corte.
Figura 16-a: Viga de elevado espesor
Figura 16-d: Modelo de 96 elementos
Figura 16-b: Modelo de malla regular
Figura 16-e: Modelo de 150 elementos
Figura 16-c: Modelo de malla simétrica
Figura 16-f: Modelo de 600 elementos
Figura 16-g: Desplazamientos de la viga
Figura 16-h: Tensiones longitudinales y transversales
En todos los casos estudiados los resultados obtenidos con elementos finitos están por debajo de los verdaderos. Como puede apreciarse, al afinarse la malla los resultados se aproximan a los de la solución exacta, lo que demuestra la “convergencia” del modelo. Finalmente, en las Figuras 16-h se muestran gráficos con las tensiones longitudinales y transversales en toda la altura de la sección. Para representar estos resultados y por haberse utilizado triángulos de tensión constante, se asumió que los valores corresponden a los centroides de los elementos. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
255
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A partir del análisis realizado se obtiene una primera conclusión: se recomienda usar varios modelos hasta hallar uno que demuestre convergencia en los resultados cuando el número de elementos crece. De esta forma puede asegurarse que el modelo es correcto y puede concentrarse la atención en seleccionar el tamaño de malla más apropiado. Deben evitarse las mallas más densas de lo necesario ya que, no solo consumen esfuerzo de cálculo, sino que también aumentan el trabajo de preparación de los datos y dificultan la interpretación de los resultados. Otro interrogante que enfrenta quien emplea el método de los Elementos Finitos es el siguiente: ¿conviene usar elementos simples en una malla densa o elementos sofisticados con una malla poco poblada? Aparentemente este interrogante tendría rápida respuesta si se considera el problema desde el punto de vista de facilitar la entrada de datos, ya que indudablemente resulta ventajosa una malla poco poblada. Sin embargo, esto no es definitivo ya que la definición de los elementos sofisticados requiere de mayor cantidad de nodos. Además, si se considera la calidad de los resultados tampoco pueden darse recomendaciones definitivas y nuevamente la experiencia es la que tiene la última palabra.
8.2 Algunas recomendaciones para la definición de mallas Si bien una buena modelización con elementos finitos es en gran medida el resultado de la propia experiencia del analista, se proponen algunas pautas que pueden ser útiles para alcanzar los siguientes cinco objetivos principales: x x x x x
Facilitar la definición del modelo y sus datos. Representar adecuadamente las características elásticas del objeto estudiado. Evitar problemas numéricos. Reducir el esfuerzo de cálculo (tiempo de proceso). Facilitar la interpretación de los resultados.
Las recomendaciones enumeradas a continuación son en realidad sólo lineamientos que serán más oportunas en algún caso que en otro, y si bien son aplicables para cualquier tipo de elemento, serán especialmente útiles cuando se trabaje con los elementos más simples, que son las que corresponden a las mallas más densas. Estas son las siguientes: a) Elementos 1) Los elementos deben ser tan regulares como sea posible, los elementos distorsionados o con ángulos obtusos deben evitarse. En el caso de triángulos lo ideal son los equiláteros. La buena relación de aspecto de los elementos mejora la convergencia y la exactitud. b) Mallas de elementos 2) La malla debe respetar los contornos del objeto tan fielmente como sea posible y debe densificarse, reduciendo el tamaño de los elementos, en las zonas en que el contorno presenta radios pequeños o discontinuidades. 3) Desde el punto de vista de los resultados, las mallas deben densificarse en las zonas donde se espera el mayor gradiente de tensiones. 4) Las mallas deben densificarse gradualmente, y no en forma brusca, evitándose que elementos finitos de tamaños muy diferentes compartan un mismo nodo. 5) Las mallas deberían ser regulares en el sentido de que cada nodo sea compartido por una cantidad similar de elementos. 6) En un proceso de refinamiento es recomendable que las mallas mas densas estén incluidas en las anteriores, lo que significa que todos los nodos de las mallas más gruesas forman parte de las derivadas de ellas (más finas). c) Cantidad de elementos 7) Las mallas densas son costosas y deben evitarse. Por este motivo, se sugiere introducir mejoras en los modelos a través de densificaciones localizadas en zonas especiales tomando como base una malla general aceptable. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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d) Numeración de nodos y elementos 8) Se debe ser sistemático en la asignación de la identificación numérica a nodos y elementos. Esto facilita la definición del modelo y la interpretación de los resultados. 9) Siempre que sea posible, debe procurarse que los nodos de un mismo elemento estén identificados con números próximos entre sí, ya que de esta manera se reduce el ancho de banda de la matriz de rigidez de la estructura. e) Convergencia de los resultados 10) Una buena malla debe mostrar que su sucesiva refinación conducen a resultados que muestran un comportamiento asintótico a lo que se supone que es la solución exacta. Por el contrario, la falta de una tendencia clara en los resultados debe tomarse como una señal de advertencia que está poniendo en evidencia problemas en el desempeño del modelo. A título de ejemplo en las Figuras 17 y 18 se muestran dos mallas de elementos finitos y seguidamente se comentan los criterios utilizados en la definición de cada una.
Figura 17: Placa con orificio rectangular (sólo un 1/4 del dominio por doble simetría)
Figura 18: Accesorio de montaje ( planchuela plana con orificios) Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Puede observarse que ambos modelos respetan las recomendaciones 1 (elementos de forma regular), 2 (los modelos respetan los contornos geométricos), 3 (las mallas se densifican en las zonas de concentración de tensiones, donde se espera mayores gradientes), 4 (la densificación de las mallas es gradual ), 5 (en general los nodos comparten la misma cantidad de elementos) y 7 (las zonas más densas están localizadas). Para evaluar los criterios 6, 8, 9 y 10 se requiere de mayor información que la suministrada. 8.3 Ensamble de la matriz de rigidez de la estructura Una vez definida la malla que materializa el modelo discreto, el paso siguiente es el armado de la matriz de rigidez global de la estructura. Esta es una etapa que realiza en forma automática el sistema de cálculo, y por lo tanto es totalmente externa al usuario. Sin embargo, es muy importante que este último este informado sobre las características de esta tarea, aun cuando no vaya nunca a desarrollar su propio sistema. Algunas de las recomendaciones referidas a la definición de mallas presentadas en el punto anterior tienen impacto directo en la matriz de rigidez a la que se hace aquí referencia. Por ejemplo, la matriz de rigidez tendrá sus valores numéricos concentrados en torno a la diagonal principal si los nodos son numerados de conformidad con la recomendación No. 9. Esto es muy importante debido a que el orden de estas matrices puede llegar a ser enorme (cientos de miles) y a efectos de reducir el espacio de almacenamiento y el tiempo de proceso sólo se almacenan y operan los valores de la semibanda ( perfil de valores no nulos a partir de la diagonal ). De no cumplirse con este criterio los elementos estarán dispersos en toda la matriz y en el peor de los casos habrá que almacenar y operar la matriz completa, limitando la capacidad del sistema y aumentando el tiempo de cálculo. Por ello es habitual que el software de elementos finitos renumere internamente los nudos para obtener ventajas computacionales. Las recomendaciones 1, 4 y 5 también impactan en la matriz de rigidez. Elementos distorsionados o la combinación de elementos de dimensiones extremadamente diferentes, por citar algunos casos típicos, pueden llevar a un mal condicionamiento de la matriz (ill conditioned ) que contribuirá a una mayor propagación de errores en el proceso de resolución del sistema de ecuaciones. En casos extremos se pueden llegar a tener resultados inútiles por la importante presencia de errores. La eventualidad de un problema de mal condicionamiento en la matriz de rigidez se pone de manifiesto en la falta de equilibrio global de la estructura (cargas y reacciones de apoyos) y/o en la falta de equilibrio en los nodos, por lo que es recomendable hacer ambos controles antes de comenzar a interpretar los resultados. Volviendo al propio armado de la matriz de rigidez, se trata de una actividad sistemática donde cada una de las particiones de las matrices de cada elemento de la malla debe ser transformada a un sistema de coordenadas global de referencia y posteriormente incorporada a la matriz global de la estructura. Esta tarea es totalmente similar al armado de la matriz de rigidez de estructuras de barras prismáticas, solo que debe considerar la mayor cantidad de nodos en la definición de cada elemento. La necesidad de la transformación de coordenadas se origina en que las matrices de los elementos son definidas con referencia a sistemas locales y deben ser objeto de un cambio de base para referirlos a un sistema de referencia único. Tal como en el caso de las estructuras de barras, se trata de una transformación ortogonal. Luego, en el proceso de armado de la matriz de rigidez global de la estructura debe tenerse en cuenta que cada elemento finito es definido por una cierta cantidad de nodos “m”, que son localmente identificados en un cierto orden (normalmente antihorario). A su vez, cada nodo tiene cierta cantidad de grados de libertad “g” (entre dos y seis), por lo que la matriz de rigidez de cada elemento es de orden n = m x g y en ella se reconocen m2 particiones de orden g. Por su parte, la estructura queda definida por “M” nodos, que corresponde a un total de N = M x g grados de libertad y una matriz de rigidez global que tendrá M 2 particiones de orden g. El armado de la matriz global implica establecer un vínculo entre cada partición de esta y cada partición de las matrices de los elementos, incorporándolas progresivamente. Ejemplo 4 Mostrar en detalle el armado de la matriz de rigidez global que corresponde al ensamble de tres triángulos de tensión constante presentado en la Figura 19. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Por razones de claridad y espacio disponible, se presentan por separado las contribuciones de las matrices de rigidez de los elementos “A”, “B” y “C” a la matriz de rigidez global de la estructura. Figura 19: Ensamble de tres elementos triángulo
La contribución del triángulo “A” es la siguiente:
KA
ª « « « « « « « « « « « « « « «¬
K1111
K1112
K1211
K1212
21 11
22 11
21 12
22 12
0
0
K1411
K1412
0
21 14
22 14
0
K
K
K
K
0
0
K
K
11 K 21
12 K 21
11 K 22
12 K 22
0
0
11 K 24
12 K 24
0
21 21
22 21
21 22
22 22
0
0
K
21 24
22 24
0
K
K
K
K
K
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11 K 41
12 K 41
11 K 42
12 K 42
0
0
11 K 44
12 K 44
0
K 4121
K 4221
K 4221
K 4222
0
0
K 4421
K 4422
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0º » 0» 0» » 0» » 0» 0» » 0» » 0» 0 »» 0 »¼
(44)
De igual forma, la contribución del elemento “B” a la matriz de rigidez global es:
KB
ª « « « « « « « « « « « « « « «¬
K1111
K1112
0
0
K1311
K1312
K1411
K1412
0
K1121
K1122
0
0
K1321
K1322
K1421
K1422
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
K
11 31
K
12 31
K
21 31
K
22 31
0
11 K 41
12 K 41
0
21 41
22 41
K
K
K
11 33
0
K
21 33
0
11 K 43
12 K 43
11 K 44
12 K 44
0
0
0
K
21 43
22 43
21 44
22 44
0
0
0
K
12 33
K
22 33
K
K
11 34
K
21 34
K
K
12 34
0
K
22 34
0
K
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0º » 0» 0» » 0» » 0» 0» » 0» » 0» 0 »» 0 »¼
(45)
0 º » 0 » 0 » » 0 » 12 » K 35 » 22 » K 35 » 12 » K 45 22 » K 45 » 12 » K 55 » K 5522 »¼
(46)
Por último, la contribución del elemento “C” a la matriz de rigidez es:
KC
ª « « « « « « « « « « « « « « «¬
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11 33
K
12 34
11 K 35
0
0
0
K
0
0
0
0
K 3321
K 3322
K 3421
K 3422
K 3521
0
0
0
0
11 K 43
12 K 43
11 K 44
12 K 44
11 K 45
0
0
0
0
K 4321
K 4322
K 4421
K 4422
K 4521
0
0
0
0
11 K 53
12 K 53
11 K 54
K 5124
11 K 55
0
0
0
0
K 5321
K 5322
K 5421
K 5422
K 5521
259
K
11 34
0
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K
12 33
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
La matriz de rigidez de los tres elementos considerados es la suma de las matrices anteriores. Representando con un solo símbolo las cuatro particiones que corresponden a cada nodo se tiene:
K
K A KB KC
ª K11A K11B « A « K 21 « K 31B « A B « K 41 K 41 « 0 ¬
K12A K 22A 0 K 42A 0
0 º » 0 » K 35C » C » K 45 » K 55C »¼
K14A K14B K 24A K 34B K 34C C K 44A K 44B K 44 K 54C
K13B 0 B K 33 K 33C C K 43B K 43 K 53C
(47)
Observando la matriz de rigidez se pueden sacar las siguientes conclusiones: a. Las particiones que corresponden a los nodos 1-5, 2-3 y 2-5 son nulas, en correspondencia con la falta de un elemento que vincule estos nodos en forma directa. Es decir, ningún elemento aporta rigidez relativa entre ellos. Debido a la simetría de la matriz de rigidez y a la misma razón ya expuesta, también son nulas las particiones de los nodos 5-1, 3-2 y 5-2. b. Sobre la diagonal principal y en correspondencia con los nodos 1 y 3 se verifica la contribución de la rigidez de dos elementos. En efecto, a la rigidez de los nodos 1 y 3 contribuyen los elementos “A-B” y “B-C” respectivamente, por tener esos nudos en común. c. A la partición del nodo 4 sobre la diagonal principal contribuyen los tres elementos “A”, “B” y “C” ya que este nodo es común a todos ellos. d. Los nodos 2 y 5 pertenecen cada uno a un único elemento, por lo que las correspondientes particiones sobre la diagonal principal tienen una sola contribución. Supóngase ahora que se desea aumentar la rigidez relativa entre los nodos 1 y 5 y para ello se recurre a un tensor “D” como se muestra con línea de trazos en la Figura 20. Esto significa que se desea combinar una malla de elementos triángulo con un elemento prismático que es definido por dos nodos, en este caso los identificados como “1” y “5”.
Figura 20: Ensamble de tres elementos triángulo con un tensor de refuerzo
Lo que debe hacerse es incorporar a la matriz de rigidez de la estructura las cuatro particiones de la matriz de rigidez del elemento “D”, que contribuyen a la rigidez de las particiones de los nodos 1 y 5. Es así que las particiones 1-5 y 5-1 dejan de ser nulas y se incorpora rigidez a las particiones correspondientes sobre la diagonal.
K
K A KB KC KD
ª K11A K11B K 11D « K 21A « « K 31B « « KA KB 41 41 « D «¬ K 51
K12A
K13B
K14A K14B
K 22A
0
K 24A
0
K 33B K 33C
K 34B K 34C
K
A 42
0
K K B 43
K
C 53
C 43
K K K A 44
B 44
K 54C
º » 0 » » C K 35 » C » K 45 » K 55C K 55D »¼ K 15D
C 44
(48)
El ejemplo propuesto sirve para mostrar la facilidad con que pueden combinarse diferentes tipos de elementos finitos en un modelo discreto, a condición de asegurar compatibilidad en los grados de libertad de los nodos involucrados. También para poner en evidencia que el armado de la matriz de rigidez implica un proceso algorítmico completamente sistemático, que resulta particularmente apropiado para ser implementado a través de computadoras. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
9 IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS Tan pronto como se resuelve un primer caso simple, como los propuestos en la guía de prácticos, se comprueba lo inadecuado del método para su tratamiento manual. En efecto, a partir de esa pequeña experiencia numérica puede fácilmente imaginarse la cantidad de operaciones matemáticas que encierra el análisis elástico de modelos de regular dimensión, tales como los representados en las Figuras 17 y 18. Esto justifica plenamente que el desarrollo, evolución y difusión del MEF haya seguido muy de cerca los progresos de la tecnología computacional, ya que esta última le fue brindando la plataforma necesaria para su aplicación práctica en dominios cada vez más ambiciosos en dimensión y complejidad. Debido a este estrecho vínculo entre el MEF y la tecnología computacional es que resulta ahora necesario considerar los aspectos relacionados con la implementación del método.
9.1 Contexto de un sistema de cálculo MEF Un sistema moderno de cálculo por Elementos Finitos se estructura en torno a tres elementos básicos, que son: i) un archivo (o tabla) de datos del modelo, ii ) un núcleo de cálculo y iii ) un archivo de resultados. Este último incluye desplazamientos de los nudos, reacciones de apoyos, solicitaciones en los elementos estructurales, desplazamientos y tensiones, según el caso considerado. A su vez el núcleo de cálculo resolverá grandes sistemas de ecuaciones algebraicas si se trata de un análisis estático, calculará autovalores y auto vectores si el objetivo es conocer las características dinámicas de la estructura o integrará las ecuaciones diferenciales del equilibrio dinámico si la finalidad es conocer la respuesta del sistema en el dominio del tiempo. Estos elementos básicos son complementados con numerosos módulos auxiliares que tienen dos finalidades principales: i ) facilitar la definición de los datos e interpretación de resultados y ii ) orientar el sistema al tratamiento de estructuras de cierto tipo específico, incorporando recomendaciones de normas y estándares que faciliten su dimensionamiento y verificación. Todos estos componentes conforman un contexto operativo que es resumido en la Figura 21.
Preparación de datos
Edición gráfica de modelos
Optimización ancho de banda
Datos modelos
Representación de gráficos Resultados Control de consistencia
Núcleo de cálculo
Tensiones y deformaciones
Verificación de normas Diagnósticos e informes
Figura 21: Contexto operativo de un Sistema de Cálculo del MEF
En el esquema de la Figura 21 se presentan los módulos que se describen a continuación: Preparación de Datos: A partir de los datos básicos, consistentes en coordenadas de nodos, topología de la malla de elementos, condiciones de apoyos, propiedades geométricas de elementos, propiedades de materiales y condiciones de carga, tiene la finalidad de verificar su integridad y consistencia y prepararlos para las etapas siguientes. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Edición gráfica de modelos: En los primeros tiempos del método los datos eran directamente definidos en tablas con editores de texto. Modernamente, se recurre a sistemas CAD que permiten la definición grafica interactiva del modelo en dos o tres dimensiones, incluyendo la generación automática o semiautomática de las mallas de elementos a partir de ciertos criterios que deben ser estipulados. Posteriormente, los datos del problema son extraídos del modelo gráfico con el consiguiente ahorro de esfuerzo, y lo que es igualmente importante, con una enorme reducción de las posibilidades de que se introduzcan errores. Aquí es necesario notar que el enorme volumen de datos de estos modelos hace muy difícil la identificación de errores, muchos de los cuales pueden pasar completamente inadvertidos, por lo que la extracción automática de los datos tiene un valor incalculable y respalda la confianza sobre los resultados. Optimización de ancho de banda: Como ya fue visto, la distribución de los aportes de las rigideces de los elementos en la matriz global de la estructura esta en directa relación con la numeración que se asigna a los nodos. Esa matriz tendrá sus elementos concentrados en torno a su diagonal principal si la numeración de los nodos de cada elemento está próxima entre sí, lo que muchas veces es impracticable, especialmente en estructuras complejas. Este módulo incluye algoritmos muy complejos que tienen la finalidad de renumerar los nodos de manera de hacer óptima la distribución de valores no nulos sobre la matriz de rigidez, manteniendo las designaciones originales para la futura interpretación de los resultados. Núcleo de cálculo: es el elemento central del sistema, destinado al análisis estático o dinámico de los desplazamientos de la estructura y es representado con mayor detalle en la Figura 22.
Definición de condiciones de carga Datos modelos
Armado matrices de rigidez de elementos
Análisis estático y dinámico
Determinación de desplazamientos Resultados Cálculo de solicitaciones
Núcleo de cálculo Figura 22: Detalle de los módulos de un núcleo de cálculo del MEF
Tensiones y deformaciones: Como ya fue estudiado, al emplearse el método de la rigidez los desplazamientos son las incógnitas principales del problema, y las deformaciones, tensiones, solicitaciones y reacciones de los apoyos son incógnitas secundarias y terciarias que se determinan en forma sucesiva a partir de las primeras. La complejidad de este módulo está relacionada con los tipos de elementos disponibles y sus funciones de aproximación de los desplazamientos. Representación de gráficos: Con el desarrollo actual de la tecnología informática no es concebible un sistema de cálculo que no disponga una potente interfaz gráfica que permita representar el modelo, sus deformaciones, tensiones, solicitaciones y reacciones de apoyos. Más aun, se espera poder identificar las condiciones de trabajo del sólido elástico a partir de una representación cromática y la posibilidad de visualizar el modelo desde distintos puntos de vista, en forma isométrica o con vistas en perspectiva. Aquí el dicho de que un buen grafico expresa más que mil palabras tiene especial vigencia. Verificación de normas: Los sistemas de cálculo que incluyen el tratamiento de tipos especiales de estructuras, como es el caso de torres metálicas, cañerías de presión, recipientes de presión, puentes, cabriadas industriales, etc. disponen de post procesadores destinados a la comprobación del cumplimiento de normas y estándares específicos para cada caso. Estos módulos incluyen normalmente además facilidades de dimensionamiento y cómputo de materiales, entre otros. Diagnósticos e informes: Estrechamente relacionado con el objetivo del sistema y el tipo de estructuras tratadas se presenta la necesidad de elaborar informes que deben cumplir con ciertas especificaciones, tanto en su forma como en su contenido. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Control de consistencia: La enorme dimensión y complejidad de las estructuras tratadas con el Método de los Elementos Finitos hace prácticamente imposible poder asegurar la ausencia de errores en los datos del modelo y en sus resultados. Por este motivo, la disponibilidad de un buen módulo de control de consistencia que a partir de diversos criterios y heurísticas reconozca la existencia de eventuales errores de cualquier tipo y facilite la identificación de sus causas es de un valor incalculable.
9.2 Sistemas precursores del MEF A pesar de su relativa corta vida, unos cincuenta años, el MEF es muy rico tanto por la cantidad y calidad de sus pioneros como así también por la jerarquía de los productos que rápidamente estuvieron disponibles, contribuyendo a su difusión y aplicación. Sin entrar en mayores detalles, y en la seguridad de caer en involuntarias omisiones, pueden mencionarse los siguientes sistemas:
SAP (Structural Analysis Program): Desarrollado por la Universidad de California (Berkeley) fue presentado en su primera versión en 1970. Luego fue seguido por una sucesión de versiones que fueron incorporando nuevos elementos y condiciones de análisis: SOLID SAP (1971), SAP III (1972), SAP IV (1973) y NONSAP (1974). Sus principales autores fueron Edgard Wilson y Klaus Bathe. Posteriormente aparecieron versiones comerciales de la Universidad del Sur de California, tales como el SAP 6 y SAP7, que condujeron al actual SAP2000 que opera sobre computadoras personales y plataforma Windows.
STRUDL (STRUctural Design Language): Forma parte del Sistema ICES ( Integrated Civil Engineering System) desarrollado en gran parte en el MIT (Massachussets Institute of Technology) a partir de 1964. La primera versión de STRUDL fue presentada en 1967 y estaba dedicada al análisis de pórticos espaciales, extendiendo las facilidades del célebre programa STRESS. La versión STRUDL II fue presentada en 1969 con la incorporación de facilidades para el dimensionamiento automático. Posteriormente el STRUDL III tuvo sucesivas mejoras en las que se le incorporaron una completa biblioteca de elementos finitos, análisis dinámico, análisis no lineal, estabilidad estructural, etc. NASTRAN (NAsa STRuctural ANalysis): Se trata de un sistema de aplicación general inspirado en la necesidad de analizar estructuras de gran tamaño vinculadas con la industria aeronáutica y espacial. Su desarrollo fue propiciado por la NASA a partir de 1964 y fue puesto en servicio en 1970. NASTRAN dispone de una completa biblioteca de elementos finitos, contempla el análisis estático y dinámico de estructuras lineales y no lineales e incluye análisis aeroelástico. Con posterioridad, NASTRAN fue soportado y comercializado por McNeal-Schwendler de California.
ASKA: Es un sistema desarrollado en la Universidad de Stuttgart (Alemania) por Argyris y sus colaboradores. La primera versión de ASKA fue presentada en 1970 y estaba destinada al análisis estático lineal. La siguiente versión (ASKA II) incorporó en 1971 el análisis dinámico lineal y en ASKA III se sumaron facilidades no lineales y de pandeo. ASKA dispone de una completa biblioteca de elementos finitos y soporta subestructuras. NISA (Numerically Integrated elements of System Analysis): Es un sistema específicamente orientado a resolver problemas de ingeniería mecánica. Fue desarrollado por EMRC (Engineering Mechanics Research Corporation) de Detroit (Michigan) y al igual que NASTRAN y ASKA cubre todos los tipos de análisis con una extensa biblioteca de elementos, que esta presentada en la Tabla 2 y fue analizada a título de ejemplo. Una característica de NISA es la disponibilidad de elementos para representar materiales compuestos, tales como plásticos reforzados, laminados y paneles de abeja. Incluye el análisis de la respuesta en frecuencia y vibraciones aleatorias. Dispone de un módulo específico destinado a la generación interactiva de modelos y mallas. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
263
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9.3 Otros sistemas vinculados al MEF de gran vigencia ABAQUS: Es un sistema de cálculo para análisis por elementos finitos e ingeniería asistida por computadora que fue presentado en 1978. El Sistema incluye cuatro módulos principales destinados a: i) CAE (Computer-Aided Engineering), ii ) CFD (Computational Fluid Dynamics), iii ) análisis estándar de elementos finitos y iv ) análisis de elementos finitos de propósitos especiales destinado a sistemas altamente no lineales sometidos a condiciones de cargas transitorias. Abaqus es principalmente utilizado en la industria aeroespacial y automotriz, y tiene una muy amplia difusión en ambientes académicos. CATIA: (Computer Aided Three-Dimensional Interactive Analysis): Este sistema fue desarrollado por Dassault Systemes y es considerado el CAD 3D más avanzado del mercado. Fue inicialmente desarrollado para servir en la industria aeronáutica y dispone de una arquitectura abierta para el desarrollo de aplicaciones o para personalizarlas. Las interfaces de programación de aplicaciones se pueden programar en Visual Basic y C++.
SOLIDWORKS: Se trata de un programa de diseño asistido por computadora para modelado mecánico desarrollado en la actualidad por SolidWorks Corp., una subsidiaria de Dassault Systèmes (Suresnes, Francia), para el sistema operativo Microsoft Windows. Fue introducido en el mercado en 1995 para competir con otros programas CAD como CATIA y Autodesk Mechanical Desktop. El objetivo es modelar piezas y conjuntos y extraer de ellos tanto planos como otro tipo de información necesaria para la producción, funcionando en base a las nuevas técnicas de modelado de CAD. La empresa SolidWorks Corp. fue fundada en 1993 por Jon Hirschtick con su sede en Concord, Massachusetts y lanzó su primer producto (SolidWorks 95) en 1995. En 1997 fue adquirida por la compañía Dassault Systèmes, mejor conocida por su software CAD CATIA.
10 EJEMPLOS DE APLICACIÓN De manera muy resumida se presentan a continuación problemas típicos de la ingeniería mecánica que han sido resueltos a través del método de los elementos finitos y para los cuales fue necesario desarrollar los modelos correspondientes. En cada uno de los ejemplos citados se enuncia el objeto de estudio, se describen los tipos de elementos finitos utilizados en los modelos y las magnitudes de los mismos. Estas magnitudes se expresan en términos de las cantidades de nodos y de grados de libertad de las mallas. Descripción del problema y detalles del modelo empleado
Representación gráfica del modelo discreto
Modelo de un pistón de un compresor para analizar su comportamiento bajo carga térmica y presión interior. Se utilizaron elementos de placa isoparamétricos de 16 nodos y elementos de placa general de 8 nodos, con un total de 12600 grados de libertad. Pistón de compresor
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
264
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Descripción del problema y detalles del modelo empleado Análisis bajo cargas térmicas de un múltiple de escape, que está apoyado en los puntos de fijación al block del motor. El modelo está desarrollado con 234 elementos de placa “gruesa” de 16 nodos, con un total de 1488 nodos y 4464 grados de libertad.
Representación gráfica del modelo discreto
Múltiple de escape
Carcaza de diferencial y parte del sistema de una suspensión primaria. Modelo desarrollado en base a elementos isoparamétricos sólidos de 20 nodos, elementos de placa “gruesa” de 16 nodos y placa general de ocho nodos. Se emplearon 192 elementos definidos por 1308 nodos y 7800 grados de libertad.
Número de elementos : 234
Carcaza de diferencial
Número de elementos : 192
Modelo de chasis de un camión desarrollado para estudiar su comportamiento en flexotorsión. Está compuesto por 1400 elementos de placa general de ocho nodos, definidos por un total de 4400 nodos y 24000 grados de libertad.
Chasis de camión Número de elementos : 1400
Representación de un sector de cigüeñal compuesto por elementos sólidos isoparamétricos de 20 nodos. Se emplearon en total 750 elementos con 5300 nodos y 15900 grados de libertad. Sector de cigueñal Número de elementos : 750
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Descripción del problema y detalles del modelo empleado
Representación gráfica del modelo discreto
Representación de un diente de engranaje desarrollado con elementos isoparamétricos de 20 nodos con el fin de estudiar su respuesta ante una carga de impacto.
Diente de engranaje
Una llanta de automóvil es representada por un modelo confeccionado con elementos isoparamétricos de 20 nodos y placas generales de 8 nodos. En la figura se presenta un gráfico realizado con un plotter donde se muestran líneas de tensiones constantes, donde la proximidad entre las mismas delata las mayores concentraciones de tensiones.
Llanta de automóvil
Modelo de un chasis de un auto de competición de fórmula 2. Se trata de un chasis tubular con recubrimiento de aluminio, modelado con elementos prismáticos y elementos triángulo de tensión constante. El modelo incluye un total de 550 elementos, 193 nodos y alrededor de 1000 grados de libertad. El objetivo del estudio fue determinar la rigidez torsional de la estructura, ajustar el modelo con un ensayo de la estructura real y utilizar posteriormente el modelo para evaluar la conveniencia de modificaciones que permitan incrementar la rigidez torsional.
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
Chasis de competición
266
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COMENTARIO FINAL Han pasado algo más de 50 años desde que Turner modeló un ala delta con elementos triángulos, circunstancia que es reconocida como una de las primeras aplicaciones del Método de los Elementos Finitos para resolver problemas concretos de ingeniería inspirados en la necesidad de la industria, en ese caso la aeronáutica. Desde entonces fueron escritos sobre este tema cientos de libros y miles de artículos, proponiendo nuevos elementos, algoritmos de resolución, el abordaje de nuevas aplicaciones y propuestas de ideas ingeniosas para superar las dificultades que inevitablemente se fueron presentando a medida que se abordaban nuevos problemas. Todo ese esfuerzo estimuló a su vez la implementación de numerosos y variados sistemas de cálculo, tanto de tipo general como otros más especializados para resolver problemas específicos. Aquí hay que hacer una distinción, ya que mientras muchos de estos sistemas eran desarrollados en ámbitos académicos con la intención de profundizar en el conocimiento del método y contribuir a su divulgación, otros sistemas persiguieron objetivos comerciales, presentándose como productos integrados destinados a usuarios finales de todos los campos de la ingeniería. En resumen, a partir de aquellas ideas planteadas por Frazer, Duncan y Collar (1938) se desarrolló una vigorosa industria de proyecciones aún hoy insospechadas. Como se anticipó al comienzo de este artículo, es seguro que la ausencia del método de los elementos finitos hubiese hecho que el mundo en que vivimos no fuese el actual. Ante tan abrumadora cantidad de material y antecedentes sobre este tema es necesario justificar la necesidad de escribir este material para la Cátedra de Cálculo Estructural II. Se buscó reunir y resumir las ideas centrales, buscando un equilibrio al presentar el problema desde los distintos puntos de vista ya expuestos, que sirva de respaldo al escaso tiempo disponible para presentar el tema en clase. El objetivo es estimular el interés de los alumnos sobre este tema e invitarlos a revisar algunos de los textos disponibles, varios de ellos en la biblioteca de la Facultad. Estas breves notas no pretenden en modo alguno reemplazar a ninguno de ellos. Juan Giró Marzo 2011
Referencias sobre la historia del Método de los Elementos Finitos x x x x x x x x x x x x x x x x
Argyris, J. and Kelsey, S.; “Energy Theorems and Structural Analysis”, New York Press, 1955 (originalmente publicado en una serie de artículos en Aircraft Engineering, 1954 a 1955). Backus, J. et al.; “The FORTRAN automatic coding system”, Proceeding. Western Joint Computer Conference, Los Angeles, California, 1956. Bathe, K., Wilson, E. and Iding, R.; “A structural analysis program for static and dynamic response of nonlinear systems”, Structural Engineering Laboratory, University of California, Berkeley, 1974. Duncan,W. and Collar, A.; “Method for the solution of oscillations problems by matrices”, Phil. Mag. Series 7, 17, pp. 865, 1934. Duncan, W and Collar, A.; “Matrices applied to the motions of damped systems”, Phil. Mag., Series 7, 19, pp. 197, 1935. Frazer, R., Duncan, W. and Collar, A.; “Elementary matrices and some applications to dynamics & differential equations”, Cambridge University Press, 1st Ed. 1938, 7th printing 1963. Holzer, H.; “Die Berechnung der Drehschwingungen”, Berlin: Springer-Verlag, 1921. McHenry, D.; “A lattice analogy for the solution of plane stress problems”, Journal of Inst. Civil Engineering, 21, 59-82, 1943. Myklestad, N.; “A new method of calculating natural modes of uncoupled bending vibration of airplane wings and other types of beams”, Journal of Aeronautical Sciences, April, 1944. Pestel, E. and Leckie, F.; “Matrix methods in elastomechanics”, McGraw-Hill, 1963. Przemieniecki, J.; “Theory of Matrix Structural Analysis”, McGraw-Hill, 1968. Robinson, J.; “Integrated Theory of Finite Element Methods”, John Wiley & Sons, 1973. Rockey K., Evans H., Griffiths D. and Nethercot D.; “The Finite Element Method”, Ed. Granada, 1975. Turner, M.; “The direct stiffness method of structural analysis”, Structural and Materials Panel Paper, AGARD Meeting, Aachen, Germany, 1959. Wilson E.; “SAP: A general structural analysis program”, SESM Report 70-20, Dept. of Civil Engineering, University of California, Berkeley, 1970. Zienkiewicz, O. and Cheung, Y.; “The Finite Element Method in Structural and Solid Mechanics”, McGraw Hill, London, 1967 y 1994.
Bibliografía actual sobre el Método de los Elementos Finitos x Zienkiewicz, O., Taylor, R. and Zhu, J.; “El método de los elementos finitos, Volumen 1: Formulación Básica”, 4ta Edición, McGraw-Hill, 2012. x Zienkiewicz, O. and Taylor, R.; “El método de los elementos finitos, Volumen 2: Mecánica de Sólidos”, 4ta Edición, McGraw-Hill, 2010. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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Método de los Elementos Finitos
PRÁCTICO
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm] y las fuerzas en [kg].
1. Dada la estructura del croquis con la carga estática indicada, considerar el modelo propuesto de dos triángulos de tensión constante (elementos I y II) para determinar: a) b) c) d) e) f)
Matriz de rigidez. Vector de cargas. Desplazamientos de los nudos. Deformaciones. Tensiones. Tipo de acero requerido (definido por su tensión de f luencia) para obtener un coeficiente de seguridad no inferior a 2.
Datos:
= 0,3 2
E = 2100000 kg/cm
h = 0,2 cm
Q1 = 40 kg/cm
P = 5000 kg
Q2 = 200 kg/cm
2. Para disminuir el costo de la estructura del problema anterior se propone utilizar un acero SAE
1020 con f =2400 kg/cm2, enmarcando la estructura con barras de reticulado, articuladas entre sí y fijadas a la chapa en los cuatro vértices. Las barras son de sección cuadrada de 2 cm de lado. Se pide determinar el nuevo coeficiente de seguridad.
3. El elemento triángulo de tensión constante mostrado en la figura forma parte de una estructura que soporta una carga membranal para la cual se han calculado los desplazamientos nodales. Con los valores que se indican, se pide determinar: a) Deformaciones específicas del elemento. b) Tensiones membranales. c) Coeficiente de seguridad Cs = ? Datos:
u1
ª u11 « 1 ¬u2
h = 0,4
0,02 º » 0,04 ¼
= 0,3
u2
ªu12 « 2 ¬ u2
f = 2100 0,0275º » 0,04 ¼
E = 2100000
ªu13 « 3 ¬ u2
u3
0,0275º » 0,01 ¼
4. Para un triángulo de tensión constante de espesor h = 0,5 cm, se dan las coordenadas de los nodos i, j y k y los desplazamientos nodales. Se pide: a) Calcular la rigidez del elemento para una fuerza actuando en el nudo k en la dirección 2 para producir un desplazamiento en el nudo j en la dirección 1. b) Calcular el Cs utilizando el criterio de Von Mises. c) Determinar el desplazamiento del punto P en el interior del triángulo. Datos del material:
= 0,3
f = 2500 dirección
Coordenadas [cm] Desplazamientos [cm]
1 2 1 2
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
E = 700000 -------- Nodos del triángulo -------j i k 10 13 11,2 5 6 7,5 0,003 0,003 0,001 0,002 0,001 0,004
268
Punto P 11,5 6,5 ? ?
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5. La estructura romboidal de la figura de espesor 0,4 cm está cargada con 400 kg. Usar cuatro elementos triangulares de tensión constante como se indica en el croquis para calcular: a) Las tensiones. b) La energía interna de deformación Wi. c) El trabajo externo (verificar que Wi = We ). Datos del material:
= 0,3
f = 2500
E = 2100000.
Ayuda: Aprovechar la doble simetría de la estructura y de las cargas.
6. Analizar una solución alternativa del Problema 1 utilizando dos elementos dispuestos como se muestra en la figura a la derecha. Usar los mismos datos del Problema 1, comparar los resultados y justificar las diferencias obtenidas. Datos:
= 0,3
E = 2100000 kg/cm2
h = 0,2 cm
Q1 = 40 kg/cm
P = 5000 kg
Q2 = 200 kg/cm
7. Para reducir a la mitad el desplazamiento vertical del nodo 1 del Problema 1, se propone usar un tensor del mismo material dispuesto en diagonal uniendo los nudos 1 y 4, como se muestra en la figura a la derecha. Determinar el área mínima requerida para el tensor.
8. Una placa de acero está anclada en todo su contorno y soporta una carga aplicada en su centro. La carga P = 5000 kg actúa en el plano de la placa con la dirección indicada en el croquis ( 22,5º con la horizontal ). El material y las dimensiones son iguales que en el Problema 1. Usando un modelo de cuatro triángulos de tensión constante como el indicado en la figura, determinar: a) Los desplazamientos del centro. b) Las tensiones en la placa.
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SOLUCIÓN del PRÁCTICO
Método de los Elementos Finitos
Nota: Todos las longitudes se dan en [cm], las fuerzas en [kg] y se ignora el peso propio.
1
Análisis de una placa mediante un modelo de dos triángulos de tensión lineal. Es un modelo muy burdo donde sólo se desplaza el nudo 1 ya que los tres nudos restantes están restringidos. Se usa la Ecuación (6):
Coordenadas de los lados: i 1 lado ° j 2 a dirección ® k 3 °¯ Ec. (10)-d
1
80 ;
a1
1
150 ;
a2
a1
a2
2
3
80 ;
a1
0 ;
a2
0,5x >80 x150 0 x 0@
1 ªa 2 a3 a 2 a3 º 2 1 ¼ 2 ¬ 1 2
A
2
3
0 150
A 6000
a) Matriz de rigidez
Eh 4 A (1 Q 2 )
2100000 x 0, 2 4 x 6000 x (1 0,32 )
E
1 Q 2
1 0,3 2
Ec. (33)
D
Ec. (35)
k1111 D (a12 a12 E a11a11 ) 19, 23077 x [(150) 2 0,35 x ( 80) 2 ] ................... k1111
Ec. (35)
12 k11
D (a11a12 Q E a12 a11 )
Ec. (35)
k1122
D (a11a11 E a12 a12 ) 19, 23077 x [( 80) 2 0,35 x (150) 2 ] ..................
19, 23077 ;
475769 150000
k1112
19, 23077 x [( 80) x ( 150) x 0, 3 0, 35 x ( 150) x ( 80)]
b) Vector de cargas P11 0 ...................................................... P21 (40 x 150) / 2 (200 x 80) / 2 5000
0,35
k1122
274519
1 ° P1 °½ 0 ½ ® 1¾ ® ¾ °¯ P2 °¿ ¯16000 ¿
c) Desplazamientos
ª 475769 150000 º « » ¬ 150000 274519 ¼
<
1 ° u1 °½ ® 1¾ °¯ u2 °¿
0 ½ ® ¾ ¯ 16000 ¿
"!# !""
u11
0,022200
1 2
0,070414
u
Notar que el nudo 1 baja por la tracción y se corre a la izquierda por el efecto Poisson. d) Deformaciones.
Se usa la Ecuación (19)
H11 [u1i a2i u1j a2j u1k a2k ] /(2 A) [ 0,022200x (150) 0 x a2j 0 x a2k ] /12000 .... H11
0,0002775
H 22 [u2i a1i u2j a1j u2k a1k ] /(2 A) [0,070414 x (80) 0 x a1j 0 x a1k ] / 12000 .... H 22
0,00046943
H12
^ [u a
i i 1 1
u1j a1j u1k a1k ] [u2i a2i u2j a2j u2k a2k ] `/(4 A)
^ [0, 0222
e) Tensiones.
V 11 ½ ° ° ®V 22 ¾ ° ° ¯V 12 ¿
x ( 80)
`
H12
0 x a1 0 x a1 ] [ 0, 070414 x ( 150) 0 x a2 0 x a2 ] / 24000 ..... j
k
j
k
0,0003661
Se usa la Ecuación (16)
ª 1 0,3 0 º 0,0002775½ 2100000 « ° ° 0,3 1 0 » ® 0,00046943 ¾ ............................ 2 « » 1 0,3 0 0,7 ¼» °¯ 0,0003661°¿ ¬« 0
Tensión de Von Mises: V *
V 11 V 22 V 12
315, 4 kg / cm 2 891, 2 kg / cm 2 591, 4 kg / cm 2
* 315, 42 891, 22 (315, 4) x 891, 2 3 x 591, 42 .. V VM
1491 kg / cm 2
f ) Elección del material con Cs > 2 * Se requiere que V f ! 2xV VM
2 x 1491 2982 kg / cm 2 ...............................
V f ! 2982 kg / cm 2
Adoptamos acero SAE 1045 QUE CUMPLE EL REQUERIMIENTO. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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2
Cálculo del nuevo coeficiente de seguridad al enmarcar la placa del Problema 1 con barras de 4 cm2. Barra horizontal que une los nudos 1 y 3 k H A E / A H 4 x 2100000/80 105000 se agrega a k1111 .
A E / AV
Barra vertical que une los nudos 1 y 2 kV
56000 se agrega a k1122 .
4 x 2100000/150
a) Desplazamientos. Se modifica la matriz de rigidez por el agregado de las barras de reticulado. 1 150000 ª 475769 + 105000 º u1 ½ B Vale la hipótesis de deformación plana. 2 2 r ( K r /V f ) / (6S ) 56,83/51 / (6S ) 0,07 o r 8/10 Vale la hipótesis de defor. elástica.
Ec. (3)
1 (C V /V f ) 2 / 6 CV
Sa / E
1 (1,129 x 10 / 51) 2 / 6 ................................... E
(1,129 x 10 x S x 8 ) / 0,996 .......................................
0,996
Kr
56,83
b) Coeficiente de seguridad a fractura para espesor 2 mm Todo el cálculo se hace igual, pero como 2 y B = 6 resulta e < B, entonces NO vale la hipótesis de deformación plana. Por ello podemos afirmar que estamos del lado de la seguridad : El coeficiente de seguridad a fractura es mayor que el valor calculado en a.2)............ CS r ! 1, 44
2 Cilindro de aluminio de 150 mm de diámetro externo y 5 mm de espesor. Material: Aluminio 2024 – T 851. Considerando la posibilidad de falla por fractura debido a una grieta longitudinal externa de profundidad a = 1,5 mm, se pide: Calcular la presión admisible con CS = 2,5.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Propiedades del material No 18 del Anexo A Kc = 79 f = 46 B=7 R = 0,16 La tensión nominal en la parte exterior del cilindro con presión interior se calcula como cilindro grueso: V t pi ri 2 (1 ro 2 / r 2 ) / (ro 2 ri 2 ) p 702 (1 752 /752 ) / (752 702 ) ................. V 13,52 pi r 75
a) Falla por fluencia con CS = 2,5 V adm 13,52 padm ; V adm V f / CS padm b) Falla por fractura con CSR = 2,5 Gráfico 4 del Anexo B a /(ro ri ) Aplicamos el CSR a la tensión: 1,6 x ª¬ 2,5 x 13,52 padm º¼
padm Ec. (5) Ec. (3)
0,64 o V adm Kr
r
CV
S a /E
1,5 / (75 70)
Ec. (11)
C ( CS R V )
S x (1,5 0,16) 13,52 x 0,64
(1,6 x 8,65 x
( 46/ 2,5 ) /13,52 ................ padm
8,65
0,3
ri / ro
S (a R)
70 / 75
E
(30, 29/46) / (6 x S ) 0,02 a /10 0,15
padm
1 1,6 x 8,65 / 46 / 6 2
S x 1,5 ) / 0,992 30, 29 CSr
2
C 1,6
0,93
Kc
79 ........................................ Ec. (6)
1,36 Kg / mm 2
K c /K r
0,64 Kg / mm 2
E
79/30, 29 CS r
0,992 2,6
Vale la hipótesis de deformación elástica.
e = 5 < B = 7 No vale la hipótesis de deformación plana Los resultados son algo conservativos.
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
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3 El resorte de ballesta del croquis es de acero 17 – 4 PH. a) Calcular el espesor b de modo que la rigidez sea K = 2 kg/mm. b) Calcular uadm en el extremo con CS = 3 a falla por fluencia. c) Repetir lo pedido en b) para una grieta pasante de 1,5 mm de profundidad en la posición más desfavorable.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dimensionado de un resorte de ballesta y verificación a falla por fractura. Las propiedades del material se obtienen del Anexo A: Acero, material No 7 del Anexo A K c = 155 f = 120 B = 4
R = 0,09
a) Cálculo del espesor b del resorte de ballesta para que la rigidez sea K = 2 kg/mm P (2) Momento de inercia: I [(6 b) b3 ] / 12 b 4 /2 (1) Relación carga–desplazamiento: K u 3 Desplazamiento en el extremo del voladizo: u ( P A )/(3 E I ) (3). Llevando (1) y (2) a (3) se obtiene: 0,25
0,25
§ 2 K A3 · § 2 x 2 x 10003 · ( K u ) A3 o b 15,9 .... Adoptamos ¸ : b 16 mm ¨ ¸ ¨ ¸ 3E (b 4 /2) © 3E ¹ © 3 x 21000 ¹ Relación entre la tensión por flexión y el desplazamiento en el extremo del voladizo: M ( Ku ) A (2u ) x 1000 ............…. V 0, 488 u W [(6 b) b 2 ]/6 b3 163 4096 o V 4096 W W b) Desplazamiento admisible considerando falla por f luencia
u
V adm
0, 488 uadm ;
V adm
V f / CS
120 / 3
o
40
40 .....
0, 488 uadm
uadm
82,0 mm
c) Desplazamiento admisible considerando falla por fractura La ubicación más desfavorable de la grieta es próxima al empotramiento y en la cara superior. Anexo C, caso 4
C ( CS R V )
Aplicamos el CSR a la tensión:
Ec. (11)
(1,12 2,4 x 3,15 x 2 1,5 x3 ) / (1 x) 1,5 ... C 1,068
x = a/b=1,5/16 = 0,094 C
S (a R)
Kc
1,068 x ( 3 x 0, 488 uadm ) S (1,5 0,09 ) 155 ........................................ uadm 44,3 mm Conclusiones: 1) Con ese tamaño de grieta (1,5 mm), el modo de falla es fractura (ocurre antes que la fluencia). 2) Con CSR = 3, se puede aplicar una carga P 88,6 kg ( = K u 2 x 44,3) que produce una def lexión de 44,3 mm en el extremo.
4 Al desmontar un panel de 4 mm del fuselaje de un avión se descubrió que un agujero para alojar un remache tiene una grieta pasante de 5 mm en dirección perpendicular a la dirección de la carga de tracción. En la dirección de la grieta no hay carga de tracción. Material 2024–T 351 laminado. b) Repetir para CS r = 2. a) Calcular adm con CSR = 2 a fractura.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Determinación de la tensión admisible con CS = 2 en un panel de fuselaje que tiene una grieta. f = 38 B = 25 R = 0,53 Propiedades del material frágil No 17 del Anexo A Kc = 120 Falla por fluencia con CS = 2
V adm
a) Falla por fractura con CSR = 2 Caso 5 del Anexo B: a 5 x a / b 5 / (3,5 5)
V f / CS 0,588
38 / 2 ....................... V adm Fo 1, 21
Aplicamos el CSR a la tensión: Ec. (11) 1, 21 x 2 x V adm S (5 0,53) b) Usando CSr Ec. (5)
Kr
60
Ec. (6) E
[1 (1, 21 x11,9 / 38)2 /6]1/ 2 0,988
(1, 21 x V adm x S x5 ) / E
V adm
D 120
Ec. (9) K r
0
C
V adm
Fo
19 kg / mm 2 C = 1,21
11,90 kg / mm 2
K c / CSr 120/2
12,511 x E iterando V adm
Kr
60
12,35 kg / mm 2
e = 4 3,8 usando el criterio de Rankine. b) Calcular el CS para una grieta no pasante en forma elíptica de 12 mm. c) Repetir lo pedido en b) para una grieta con orientación circunferencial. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Se determina el espesor de un recipiente cilíndrico y se lo verifica a fractura por una grieta. Propiedades del material No 12 del Anexo A Kc = 275 f = 143 B=9 R = 0,2 a) Cálculo del espesor con CS > 3,8 usando el criterio de Rankine Considerando cilindro de pared delgada, la tensión máxima es la tensión circunferencial: V máx p r / e 1,74 x 200 / e 348 / e ...................................................................... V máx
CS
V f /V máx V f /(348 / e ) ! 3,8 e ! 9, 25
Adoptamos espesor e
b) Verificación a fractura por una grieta longitudinal Tensión circunferencial perpendicular a la grieta: V 348 / e Coeficiente C según el caso 6 del Anexo C: C
x
0,5
36,63
(9,5 / 2) / 12 ...... x 0,396
.............................. C
S (4,75 0, 2)
Se aplica el CSR a la tensión: 0,81 x (CS R x 36,63)
9,5 mm
348 / 9,5 .................. V
a / b (e / 2) / 12
1,12 ^ 0,77 0,57 x 5,5 x 2 2,5 x 3 0, 22[1 (V /V f ) 2 ] `
Ec. (11)
348 / e
275
0,81
CS R
2,35
CS R
4,70
c) Verificación a fractura por una grieta circunferencial Como la tensión longitudinal (18,31) es la mitad de la tensión circunferencial (36,63), el CSR vale el doble ya que C tiene un cambio insignificante ( C 0,808 0,81 ). Por lo tanto resulta:...... CS R 2 x 2,35 4,7 .......................................................................... CONCLUSIÓN: El modo de falla es fluencia ya que CS = 3,8 < CSR = 4,7.
8 Un caño de aluminio 2024–T 851 soporta tracción estática. Diámetro exterior 50 mm y espesor 6 mm. Se ha detectado una grieta transversal pasante de 15 mm. a) Determinar la carga admisible con CS = 2. b) Repetir el análisis si la grieta es longitudinal. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Se determina la carga admisible con CS = 2 en un caño de aluminio con una grieta. f = 46 B=7 R = 0,16 Propiedades del material No 18 del Anexo A Kc = 79 Falla por fluencia ...... A
S (502 382 ) / 4
829, 4 .... 2 x Padm / 829, 4
46 ….. Padm
19080 kg
a) Falla por fractura en grita circunferencial Desplegamos el cilindro haciendo un corte imaginario longitudinal y resulta el caso 1 del anexo C :
b S dm
h Co Usamos CSR en tensiones:
S x 44 138
300 o E 1,0016 o C
Ec. (11) 1,0017 x
a 7,5 o x
69 / 300
7,5 / 69
0, 23 1,5
o
1 1,0072 x (1,0016 1)
2 x Padm /829, 4 S (7,5 0,16)
79
x 0,0272 fE
1,0072
C
1,0017
Padm 6667 kg
e = 6 < B = 7 Vale la hipótesis de deformación plana. R = 0,16 ¡” ?
Total UW--11(a)(5)
No
Seleccionar radiografiado (2)
Nada UW--11(c)
Parcial UW--11(b)
Seleccionar tipo de junta 1
Tipo 1 E = 1,0
2
Tipo 2 E = 0,9
Radiografiado total
Si
Seleccionar tipo de junta 1
Tipo 1 E = 0,85
2
Tipo 2 E = 0,8
Seleccionar tipo de junta 1
2
Tipo 1 E = 0,7
Radiografiado parcial
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
No
¿ Soldadura a tope ?
Tipo 2 E = 0,65
Seleccionar tipo de junta 3
4
Tipo 3 E = 0,6
Tipo 4 E = 0,55
5
Tipo 5 E = 0, 5
6
Tipo 6 E = 0,45
Sin radiografiar
425
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
Anexo 12
Coeficiente de fuerza Cf para calcular la fuerza del viento Todo h
Otras estructuras Coeficientes de fuerza C f
Tabla 10
Sección transversal
Tipo de superficie
Chimeneas, tanques y estructuras similares
h/D 1
7
25
Cuadrada viento normal a la cara
Todas
1,3
1,4
2
viento según la diagonal
Todas
1,0
1,1
1,5
Todas
1,0
1,2
1,4
Moderadamente suave
0,5
0,6
0,7
Rugosa ( D* /D # 0,02 )
0,7
0,8
0,9
Muy rugosa ( D* /D # 0,08 )
0,8
1,0
1,2
Todas
0,7
0,8
1,2
Hexagonal u octogonal
Circular
D qz ! 5, 3 D en m,
qz en N/m2
Circular
D qz ื 5, 3 D en m,
qz en N/m2
Notas: 1. La fuerza de viento de diseño se debe determinar en base al área Af de la estructura proyectada sobre un plano normal a la dirección del viento. Se supone que la fuerza actúa paralelamente a la dirección del viento. 2. Se permite la interpolación lineal para valores de h/D distintos de los indicados. 3. Simbología: D: diámetro de la sección transversal circular y menor dimensión horizontal de la sección transversal cuadrada, hexagonal u octogonal a la altura considerada en m; *
D : profundidad de los elementos salientes tales como costillas y alerones, en m; h : altura de la estructura, en m; y qz : presión dinámica evaluada a la altura z sobre el terreno, en N/m2. Reglamento CIRSOC 102
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
Tablas - 57
426
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
Anexo 13
Coeficiente de exposición para la presión dinámica Kz
Reglamento Argentino de Acción del Viento sobre las Construcciones
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
427
Tablas - 52
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
Anexo 14 Factor topográfico Kzt para calcular la presión dinámica del viento
Reglamento CIRSOC 102
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
Figuras - 29
428
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
Anexo 15
Velocidades básicas del viento en la República Argentina
Figura 1 A
Velocidad básica del viento
Notas: 1. Los valores se refieren a velocidades de ráfagas de 3 segundos a 10 m sobre el terreno para Categoría de Exposición C y están asociados a una probabilidad anual 0,02. 2. Es aplicable la interpolación lineal entre contornos de velocidades de viento. 3. En islas y áreas costeras fuera del último contorno se debe usar el último contorno de velocidad del viento del área costera. 4. Los terrenos montañosos, quebradas, promontorios marinos y regiones especiales de viento se deben examinar para condiciones inusuales de viento. Reglamento CIRSOC 102
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
Figuras - 27
429
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Anexo 16
Zonificación sísmica de la República Argentina
Reglamento IMPRES-CIRSOC 103, Parte I
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
430
Cap. 2 - 15
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Anexo 17
Valores de los factores Ki para el cálculo de tensiones en recipientes de presión horizontales
K1
K2
K3
K4
K5
K6
K7
K8
K9
120 122 124 126 128
0,335 0,345 0,355 0,366 0,376
1,171 1,139 1,108 1,078 1,050
0,880 0,846 0,813 0,781 0,751
0,401 0,393 0,385 0,377 0,369
0,760 0,753 0,746 0,739 0,732
ver gráfico en la página siguiente
0,603 0,618 0,634 0,651 0,669
0,340 0,338 0,336 0,334 0,332
0,0525 0,0509 0,0494 0,0479 0,0464
130 132 134 136 138
0,387 0,398 0,409 0,420 0,432
1,022 0,996 0,971 0,946 0,923
0,722 0,694 0,667 0,641 0,616
0,362 0,355 0,347 0,340 0,334
0,726 0,720 0,714 0,708 0,702
K6 depende de y de A /Rm
0,689 0,705 0,722 0,740 0,759
0,330 0,328 0,325 0,323 0,320
0,0449 0,0435 0,0421 0,0407 0,0394
140 142 144 146 148
0,443 0,455 0,467 0,480 0,492
0,900 0,879 0,858 0,837 0,819
0,592 0,569 0,547 0,526 0,505
0,327 0,320 0,314 0,308 0,301
0,697 0,692 0,687 0,682 0,678
0,780 0,796 0,813 0,831 0,853
0,318 0,315 0,312 0,309 0,307
0,0380 0,0368 0,0355 0,0343 0,0331
150 152 154 156 158
0,505 0,518 0,531 0,544 0,557
0,799 0,781 0,763 0,746 0,729
0,485 0,466 0,448 0,430 0,413
0,295 0,289 0,283 0,278 0,272
0,673 0,669 0,665 0,661 0,657
0,876 0,894 0,913 0,933 0,954
0,304 0,301 0,297 0,294 0,291
0,0319 0,0307 0,0296 0,0285 0,0275
160 162 164 166 168
0,571 0,585 0,599 0,613 0,627
0,713 0,698 0,683 0,668 0,654
0,396 0,380 0,365 0,350 0,336
0,266 0,261 0,256 0,250 0,245
0,654 0,650 0,647 0,643 0,640
0,976 0,994 1,013 1,033 1,054
0,288 0,284 0,281 0,277 0,274
0,0265 0,0255 0,0245 0,0235 0,0226
170 172 174 176 178 180
0,642 0,657 0,672 0,687 0,702 0,718
0,640 0,627 0,614 0,601 0,589 0,577
0,322 0,309 0,296 0,283 0,271 0,260
0,240 0,235 0,230 0,225 0,220 0,216
0,637 0,635 0,632 0,629 0,627 0,624
1,079 1,097 1,116 1,137 1,158 1,183
0,270 0,266 0,262 0,258 0,254 0,250
0,0217 0,0209 0,0201 0,0193 0,0185 0,0177
Exceptuando a K 6, los factores K i para el cálculo de tensiones en recipientes horizontales varían de manera suave y pueden aproximarse por polinomios de segundo grado. Previamente se transforma T medido en grados en T haciendo:
T K1
0,3588 T 20,1 T
K2
4,121 34,6 T 83 T
K3
4,113 38, 26 T 93,8 T
K4
1,083 7, 44 T 14,6 T
T 1000
2
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2
2
2
431
K5
1, 48 8,53 T 21 T
K7
1,91 T 26 T
K8
0,323 1, 244 T 9,14 T
K9
0, 2 1,66 T 3,6 T
2
2
2
2
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Anexo 18
Valores del factor K6 para el cálculo de tensiones circunferenciales en la zona de los apoyos en recipientes horizontales
El factor K6 depende del ángulo de la zona de contacto sobre los apoyos y del cociente entre el largo en voladizo A y el radio del recipiente Rm . Según se observa en el gráfico de la Figura 18 el factor K6 sólo varía en la zona 0,4 < A/Rm < 1,1, en la zona 0,5 < A/Rm < 1,0 la variación es prácticamente lineal. El valor que toma el factor K6 cuando A/R m < 0,4 es constante y está indicado a la izquierda o o o del gráfico para valores de entre 120 y 180 con incrementos de 10 . Lo mismo ocurre cuando A/R m > 1,1 y en ese caso el valor está indicado a derecha del gráfico.
Valor del factor K 6
o
120
0,0528
0,05 o
130 0,04
0,0449 o
140
0,0378 o
150
0,0316
0,03 o
160
0,0261
o
170 0,02
0,0216
o
180
0,0178
0,0129 0,0110 0,0093 0,01 0,0078 0,0065 0,0054 0,0045
0 0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
Relación voladizo/radio A/R m Figura 18 : Gráfico para determinar el factor K6 en función de y A/R m
Expresiones analíticas para el factor K6 a 0,0513 0, 44 T T
2
b 0, 2135 1,843 T 4, 2 T c 0, 2697 2,33 T 5,3 T
donde T
2
o
2
K6
a...........sólo depende de T ...................A /R m d 0, 4 ° ° a 5 c ( A/R m 0, 4) 2 ..................0, 4 A /R m 0,5 °° ® a c ( A/R m 0, 45)....................0,5 d A /R m d 1,0 ° 2 ° b 5 c (1,1 A/R m ) ...................1,0 A /R m 1,1 ° °¯ b...........sólo depende de T .................. A /R m t 1,1
T /1000 , siendo el ángulo de contacto en los apoyos medido en grados.
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
432
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PRÁCTICO
Recipientes de Presión
1. Un recipiente de presión horizontal con cuerpo cilíndrico de 61 cm (24”) de diámetro exterior será construido sin costuras, y tendrá como cierres laterales un casquete elíptico 2:1 y un casquete semiesférico, ambos sin costuras ( ver Figura 1). Además, tendrá una derivación en la parte inferior construida con caño sin costura de 32,4 cm ( 12 ¾ ” ) de diámetro exterior, que se cierra con un casquete torisférico. El recipiente alojará una sustancia letal a una presión interna de diseño de 35 kg/cm2 y una temperatura de 230ºC. El sobreespesor por corrosión se establece en 0,3 cm, el material de los cuerpos cilíndricos es SA-106 GºB y el de los casquetes SA-234 GºWPB. Los espesores propuestos son: cuerpo cilíndrico principal 1,75 cm, casquete elíptico 1,59 cm, casquete semiesférico 0,95 cm; cuerpo cilíndrico de la derivación 1,27 cm y su casquete torisférico 1,43 cm. Los tipos de las uniones soldadas están indicadas en la Figura 1. Se pide: verificar si los espesores propuestos cumplen el Código ASME Sección VIII - División 1. Casquete elíptico 2:1 Espesor 1,59 cm
Casquete semiesférico Espesor 0,95 cm Tipo 1
Tipo 2 Cuerpo cilíndrico D0 = 61 cm Espesor 1,75 cm
Tipo 2
Derivación D0 = 32,4 cm Espesor 1,27 cm
Casquete torisférico Espesor 1,43 cm
Figura 1: Recipiente de presión horizontal sometido a presión interna
2. Considerar una variante del problema anterior donde el recipiente de presión será usado para servicio general y las soldaduras solo tendrán examen visual. Se pide: verificar si los espesores propuestos cumplen el Código ASME Sección VIII - División 1.
3. Una torre de proceso está compuesta por varios tramos cilíndricos. El recipiente está soportado por un faldón soldado en la zona de la unión del cabezal inferior al tramo cilíndrico. Las juntas longitudinales ( Categoría A) de los tramos cilíndricos son Tipo 1; mientras que las circunferenciales ( Categoría B) entre tramos cilíndricos son Tipo 2. Para las juntas longitudinales se propone realizar un radiografiado parcial y no radiografiar las circunferenciales. Los datos del recipiente y del proceso son: Diámetro interno: D = 61 cm (24 ” ) Presión interna de diseño: P = 14 kg/cm
Altura: H = 13 m 2
Temperatura de diseño: 90 ºC
Peso del recipiente: Wr = 1450 kg
Peso del contenido: Wc = 4300 kg
Momento en la base por viento: Mv = 766000 kg-cm
Tensión admisible: S = 970 kg/cm2
Determinar la tensión admisible en compresión usando la Figura CS-2 del Anexo 4. Se pide: determinar el espesor necesario del cuerpo cilíndrico en la base de la torre. No considerar sobreespesor por corrosión. Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
433
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
4. Un recipiente horizontal cuyo tramo cilíndrico mide 18 m (L), está apoyado en dos soportes tipo montura de 140 º que están ubicados a 75 cm (A) de las uniones soldadas del cuerpo cilíndrico con los cabezales elípticos del recipiente. Las soldaduras longitudinales (Categoría A) de los tramos cilíndricos son Tipo 1; mientras que las soldaduras circunferenciales (Categoría B) entre los tramos cilíndricos entre sí, y entre ellos y los cabezales, son Tipo 2. Se propone un radiografiado parcial para las soldaduras longitudinales y no radiografiar las circunferenciales.
Otros datos del recipiente y del proceso: Diámetro externo: D = 304,8 cm (120”) Altura de los cabezales: H = 67 cm Presión interna de diseño: P = 3,5 kg/cm2 Peso del recipiente: Wr = 13600 kg Peso del contenido: Wc = 141000 kg
Espesor del cuerpo cilíndrico: t = 0,8 cm Ancho de los apoyos: b = 60 cm Temperatura de diseño: 40 ºC Tensión admisible: S = 970 kg/cm2 Tensión de fluencia: Sy = 2090 kg/cm2
Para determinar la tensión admisible en compresión usar la Figura CS-2 del Anexo 4. Se pide: verificar el espesor propuesto del cuerpo cilíndrico sin considerar sobreespesor por corrosión.
5. Una torre de destilación de más 6 m de altura en su tramo cilíndrico, debe soportar una presión externa de una atmosfera ( 1,033 kg/cm 2 ) a una temperatura de 370 ºC. La torre posee bandejas de fraccionamiento que actúan como anillos de refuerzo. Otros datos del recipiente son:
Material: acero SA 285 Grado C
Diámetro interno: D = 426,7 cm ( 168 ” )
Distancia entre bandejas: L = 100 cm
Se pide: determinar el espesor requerido, sin considerar sobreespesor por corrosión.
6. Un recipiente de 152,4 cm ( 60”) de diámetro interno posee una derivación de 32,4 cm (12 ¾”) de diámetro externo, según se muestra en el esquema de la Figura 2. Las tensiones admisibles de los distintos elementos a la temperatura de operación son: Tensión adm. del cuerpo: Sv = 1005 kg/cm2 Tensión adm. de la derivación: Sn = 1167 kg/cm2 Tensión adm. del refuerzo: Sp = 928 kg/cm2 Otros datos del recipiente y del proceso son: Presión interna de diseño: P = 17,6 kg/cm2 Espesor del cuerpo principal: t = 1,9 cm
Temperatura de diseño: 370 ºC Espesor de la derivación: tn = 1,27 cm
Diámetro exterior del refuerzo: Dp = 47,6 cm (si fuera necesario) Espesor del refuerzo: te = 0,95 cm ( si fuera necesario) Se pide: verificar si es necesario instalar un refuerzo para la apertura. No considerar sobreespesor por corrosión. La apertura no está ubicada en una junta Categoría A. Cateto soldadura c42 = 0,79 cm Espesor del cuerpo principal: t = 1,9 cm
Derivación D0 = 32,4 cm Espesor tn = 1,27 cm
Cateto soldadura c41 = 0,95 cm
Espesor del refuerzo te = 0,95 cm
Figura 2: Derivación en un recipiente sometido a presión interna
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
434
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SOLUCIÓN del PRÁCTICO
Recipientes de Presión
1 Como el recipiente alojará una sustancia letal, se deben radiografiar todas las uniones soldadas (100%). Los espesores requeridos por las distintas partes del recipiente se calculan a continuación.
1.a
Cuerpo cilíndrico
t c
1,75 0,3 ...................... tcorr
1, 45 cm
Espesor mínimo considerando corrosión y tolerancia de fabricación ( ± 12,5 %): tmin t T fabr c 1,75 x 0,875 0,3 ..................................... tmin
1, 23 cm
Espesor nominal considerando corrosión: ... tcorr
Radio interno:
R
D0 2 tcorr
61/2 1, 45
29 cm ....................................... R
29 cm
Esfuerzo tangencial La eficiencia de la junta longitudinal corresponde a un caño sin costura: ....................... E
1
Material SA-106 Gr B ( Anexo 3 - renglón 16 ), para 230 o C: ...S = 118 MPa..... S 1200 kg / cm 2 Ec. (4)
tr
PR S E 0,6 P
35 x 29 1200 x 1 0,6 x 35
0,86 cm
tmín
1, 23 cm ! tr
Verifica
Esfuerzo longitudinal La eficiencia de junta circunferencial, se obtiene del Anexo 6. Debido a la presencia de una unión Tipo 2, radiografiada 100 % ................................... E 0,90 PR 35 x 29 Ec. (5) tr 0, 47 cm tmín 1, 23 cm ! tr Verifica 2 S E 0, 4 P 2 x1200 x 0,9 0, 4 x 35
1.b
Cabezal elíptico 2:1 Espesor considerando corrosión: ........ tcorr
Diámetro interno: ................................ D
t c
1,59 0,3 ............................... tcorr
D0 2 tcorr
61 2 x 1, 29 ....................
1, 29 cm
D
58, 4 cm E
Teniendo en cuenta que el accesorio es sin costura, según UG-32 ( d ) y Anexo 8: .............
1
Material SA-234 WPB ( Anexo 3 - renglón 10 ) , para 230 o C es S = 118 MPa ... S 1200 kg / cm 2 Ec. (7)
tr
PD 2 S E 0, 2 P
35 x 58, 4 2 x 1200 x 1 0, 2 x 35
0,85 cm tcorr
1, 29 cm ! tr
Verifica
1.c
Cabezal hemisférico Espesor considerando corrosión: ........ tcorr
t c
0,95 0,3 ............................. tcorr
0,65 cm
Radio conformado del cabezal: ........... L R D0 2 tcorr 61 2 0,65 ............... L 29,85 cm La eficiencia de la junta circunferencial del accesorio sin costura soldado al cuerpo, E 1 con una junta Tipo 1 radiografiada 100 %, se obtiene de UG-32 ( f ) y Anexo 8 : ........... El material es el mismo del cabezal elíptico, por lo tanto..................................... S 1200 kg / cm 2 Ec. (9)
1.d
tr
PL 2 S E 0, 2 P
35 x 29,85 2 x 1200 x 1 0, 2 x 35
0, 44 cm tcorr
0,65 cm ! tr Verifica
Cuerpo cilíndrico de la derivación
Espesor considerando corrosión: ................. tcorr
t c
1, 27 0,3 .................... tcorr
Considerando corrosión y tolerancia de fabricación ( ±12,5%):... T fabr
0,97 cm
1 0,125 0,875 .
Espesor mínimo: ............. tmín
t T fabr c
1, 27 x 0,875 0,3 ..............................
tmin
0,81 cm
Radio interno: ................. R
D0 2 tcorr
32, 4 2 0,97 ...................................
R
15, 2 cm
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
435
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
Esfuerzo tangencial Tensión admisible :....... S 1200 kg / cm 2
Eficiencia de junta: ....... E 1 ( caño sin costura). Ec. (4)
tr
PR S E 0,6 P
35 x 15, 2 1200 x 1 0,6 x 35
0, 45 cm tmín
0,81 cm ! tr
Verifica
Esfuerzo longitudinal Eficiencia de junta unión Tipo 2, radiografiada 100 %......................................................... E Ec. (5)
1.e
tr
PR 2 S E 0, 4 P
35 x 15, 2 2 x1200 x 0,90 0, 4 x 35
0, 25 cm
tmín
0,81 cm ! tr
0,90
Verifica
Cabezal torisférico de la derivación
tn c
Espesor considerando corrosión :......... tcorr Radio conformado del cabezal : ........... L
D
1, 43 0,3 ...........................
D0 2 tcorr
tcorr
32, 4 2 x 1,13 ............
1,13 cm
L 30,1 cm
Eficiencia de junta del accesorio sin costura, según UG-32(e) y Anexo 8 : ......................... E
1
Tensión admisible ( anteriormente determinada en el punto 1.b ) : ....................... S 1200 kg / cm 2 Ec. (8)
tr
0,885 P L S E 0,1 P
0,885 x 35 x 30,12 1200 x 1 0,1 x 35
0,78cm tcorr
1,13 cm ! tr
Verifica
2 Se debe utilizar la Tabla UW-12 del Anexo 6 y los flujoramas de los Anexos 8 a 11 para determinar las distintas eficiencias de junta E, teniendo en cuenta que el recipiente será utilizado para servicio general y las soldaduras sólo tendrán examen visual. Los espesores requeridos para las distintas partes del recipiente se calculan a continuación.
2.a
Cuerpo cilíndrico
Esfuerzo tangencial
Con respecto al Problema 1 sólo se modifican las eficiencias de junta. Soldadura Tipo 1: según Anexo 9 ( caño sin costura) y Punto UW-12 ( d ) ................... Ec. (4)
tr
PR S E 0,6 P
35 x 29 1200 x 0,85 0,6 x 35
1,02 cm
tmín
1, 23 cm ! tr
E
0,85
Verifica
Esfuerzo longitudinal
Eficiencia de junta de la unión Tipo 2, sin radiografiar (Anexo 6 ):.................................. E Ec. (5)
tr
PR 2 S E 0, 4 P
35 x 29 2 x1200 x 0,65 0, 4 x 35
0,65 cm tmín
0,65
1, 23 cm ! tr Verifica
2.b
Cabezal elíptico 2:1 Accesorio sin costura, ver UG-32(d), con una unión Tipo 2 no radiografiada, que no cumple con UW-11(a)(5)(b) (ver Anexo 8) ................. Ec. (7)
tr
PD 2 S E 0, 2 P
35 x 58, 4 2 x 1200 x 0,85 0, 2 x 35
1,00 cm tcorr
E
0,85
1, 29 cm ! tr Verifica
2.c
Cabezal hemisférico Eficiencia de junta del accesorio sin costura donde la soldadura al cuerpo es Tipo 1 sin radiografiar, (según Anexos 6 y 8) : .......................
Ec. (9)
tr
PL 2 S E 0, 2 P
35 x 29,85 2 x 1200 x 0,70 0, 2 x 35
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
436
0,62 cm tcorr
E
0,70
0,65 cm ! tr Verifica
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2.d
Cuerpo cilíndrico de la derivación
Esfuerzo tangencial
Para determinar la eficiencia de junta se usa el flujorama para cuerpos cilíndricos y cónicos del Anexo 9 (caño sin costura) y Punto UW-12(d)......................... Ec. (4)
tr
PR S E 0,6 P
35 x 15, 2 1200 x 0,85 0,6 x 35
0,53 cm
tmín
E
0,81 cm t tr
0,85
Verifica
Esfuerzo longitudinal
Eficiencia de junta Tipo 2, sin radiografiar según el Anexo 6: ............................................. E Ec. (5)
tr
PR 2 S E 0, 4 P
35 x 15, 2 2 x 1200 x 0,65 0, 4 x 35
0,34 cm
tmín
0,65
0,81 cm ! tr Verifica
2.e
Cabezal torisférico El accesorio es sin costura, ver UG-32(e), y se trata de una unión Tipo 2 no radiografiada, por ello no cumple con UW-11(a) (5) (b) (ver Anexo 8)..........
Ec. (8)
tr
0,885 P L S E 0,1 P
0,885 x 35 x 30,1 1200 x 0,85 0,1 x 35
0,92 cm
tcorr
E
1,13 cm ! tr
0,85
Verifica
3 Se determina el espesor necesario del cuerpo cilíndrico en la base de una torre considerando las diferentes combinaciones de cargas a la que estará sometida.
3.a
Espesor requerido por la tensión tangencial
Eficiencia de junta según la Tabla UW-12 del Anexo 6 para las soldaduras longitudinales (tensión tangencial) Categoría A, Tipo 1, radiografiado parcial: ........ E 0,85 En este caso se tienen que considerar la presión interna y la presión originada por la altura del contenido. Las condiciones más severas se encuentran en el fondo del recipiente: Wc Wc W 4300 La presión por el fluido es: Pc H Pc 1, 47 kg / cm 2 2 Volúmen Area S D 4 S x 61 2 4 Ec. (4)
3.b
t r1
P Pc R S E 0,6 P Pc
14 1, 47 x 30,5 970 x 0,85 0,6 x 14 1, 47
0,579 ... tr1
0,58 cm
Espesor requerido por la tensión longitudinal en tracción
Eficiencia de junta según la Tabla UW-12 del Anexo 6, para las soldaduras circunferenciales (tensión longitudinal) Categoría B, Tipo 2 sin radiografiado:......... Radio medio:...(estimamos tr2 tr1 = 0,58 cm)...... Rm
61/2 0,58 /2 ........... Rm
E
0,65
30,79 cm
Se debe considerar la presión interna, el peso de recipiente y su contenido y la carga del viento. Ec. (34)
SL
P§ R · 0, 2 t ¸ ; ¨ t © 2 ¹
La tensión de comparación
V*
Ec. (30)
S L S P SV
SP
Wc Wr ; 2 S Rm t
Ec. (29)
debe cumplir la Ec. (31)
Al estar presente un esfuerzo provocado por el viento, el código permite + aumentar un 20 % la tensión admisible : S E = 1,2 S E = 1,2 x 970 x 0,65......... S E
SV
M viento
S Rm2 t
V* d S E
(A)
756,6 kg / cm 2
La condición más severa se da en el fondo del recipiente, sobre la línea de soporte donde......... Wc y donde el momento por viento provoca tracción. Sacando factor común a 1/t en * se despeja :
0
ª 1450 766000 º tr 2 0,61 cm «14 (30,5 /2 0, 2 x 0,58) » / 756,6 2 2 x S x 30,79 S x 30,79 »¼ «¬ La estimación inicial de tr2 fue muy buena, por lo que no necesario iterar con un nuevo valor de Rm. V*
SE
tr 2
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
437
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3.c
Espesor requerido por la tensión longitudinal en compresión
EA
Eficiencia de junta de soldaduras a compresión : .................................................................
1
Estimamos Rm usando el espesor calculado ( tr2 = 0,61 cm )... Rm = 61/2 + 0,61/2... Rm
30,8 cm
R0
31,1 cm
Lo mismo hacemos con el radio exterior ..... R0 = 61/2 + 0,61 ............................... Tensión admisible en compresión : Ec. (1) A
0,125 R0 t2
0,125 .............. A 0,00245 cm 31,1 0,61
Entrando en la Figura CS-2 del Anexo 4 con el valor de Ase o obtiene la tensión admisible en compresión B para el material a 90 C: 2 A 0,00245 B 110 MPa 1120 kg /cm 2 S E 1, 2 x 970 x 1 1164 .... S E 1164 kg / cm
Como B > S (1120 > 970), se conserva la tensión admisible del material en tracción (más un 20 %). La fórmula a aplicar es la misma que en tracción, ecuación (A) de la página anterior, pero en este caso la condición más severa en compresión ocurre sin presión interna. ª 1450 766000 º Ec. (31) V * S E tr 3 « » / 1164 ...................... tr 3 0, 23 cm 2 S x 30,8 »¼ «¬ 2 x S x 30,8
3.d
Determinación del espesor
El espesor requerido es: tr = mayor { 0,58 ; 0,61 ; 0,23 } = 0,61. Adoptamos ¼”... t
0,635 cm
4 Para verificar el espesor propuesto del cuerpo cilíndrico, se tienen que considerar las distintas combinaciones de cargas a la que estará sometido el recipiente horizontal.
4.0
Espesor requerido por la tensión tangencial debida a la presión interior
Eficiencia de junta, según la Tabla UW-12 del Anexo 6, para las soldaduras longitudinales (tensión tangencial) para Categoría A, Tipo 1 y radiografiado parcial.... Et Radio exterior : ............................. R0 = D0 /2 = 304,8/2 ........................................
R0
0,85
152, 4 cm
En este caso solo se considera el espesor requerido por la presión interior: P R0 3,5 x 152, 4 Ec. (4) t r1 0,646 cm t 0,8 cm ! tr1 Verifica S Et 0, 4 P 970 x 0,85 0, 4 x 3,5
4.1
Verificación de la tensión longitudinal de tracción en el plano del apoyo (arriba, punto 1) En este caso se debe considerar la presión interna y los pesos del recipiente y su contenido. Reacción en cada apoyo: ..... Q Radio medio: ........................ Rm A = 75; Rm / 2 = 76
13600 141000 /2 . 304,8 0,8 / 2 .
Q
77300 kg
Rm
152 cm
A Rm /2 según el punto 1) debajo de la Ecuación (32).........
K*
S
77300 x 75 § 1 75/1800 (1522 67 2 ) / (2 x 75 x 1800) · 2 1 ¨ ¸ ... S 1 2,1 kg / cm S x 1522 x 0,8 © 1 4 x 67 / (3 x 1800) ¹ Este valor insignificante se debe a que los apoyos están próximos a los extremos del recipiente (A R0 /(2 t ) 0,7 @ 3,5 x >152, 4/(2 x 0,8) 0,7 @ ....................
SL
330,9 kg / cm 2
Eficiencia de junta, según la Tabla UW-12 del Anexo 6, para las soldaduras circunferenciales (tensión longitudinal) para juntas Tipo 2 sin radiografiado: .............. EA Ec. (33)
V*
S1 S L
2,1 330,9 333 ; S E
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
438
970 x 0,65 630
V* d S E
0,65
Verifica
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
4.2
Verificación de la tensión longitudinal de compresión en el plano del apoyo (abajo, punto 2)
EA
1
Cálculo de S1: A 75 Rm /2 76 según el punto 1) debajo de la Ecuación (32)......... K *
S
Eficiencia de junta de soldaduras a compresión: ............
Por lo tanto el valor de S1 coincide con el calculado en el punto 4.1
2,1 kg / cm 2
S1
Ec. (32)
Tensión admisible en compresión a 40 oC según la Figura CS-2 del Anexo 4: Ec. (1)
B
A 0,125 /(152, 4 / 0,8) 0,00066
68 MPa
Ec. (35) V
4.3
*
10, 2 x 68 kg / cm 2
S1
2,1; SC
B 68 MPa
Figura CS-2 Anexo 4
694 kg / cm 2 ................................................... B 694 kg / cm 2
menor ^S ; B ` menor ^ 970 ;694 `
694 V * d SC Verifica
Verificación de la tensión longitudinal de tracción en el plano medio del recipiente (abajo, punto 3)
Datos: ........... Q
77300 kg
A 75 cm
Rm
152 cm
H
67 cm
L 1800 cm t
0,8 cm
77300 x 1800 § 1 2 x (1522 67 2 )/1800 2 4 x 75 · 477, 4 kg / cm 2 ¨ ¸ ..... S1 2 4 S x 152 x 0,8 © 1 4 x 67/(3x 1800) 1800 ¹ Eficiencia de junta Tipo 2 sin radiografiado de soldaduras circunferenciales (tensión longitudinal) según Tabla UW-12 del Anexo 6: .............................................. EA 0,65 Ec. (36)
S1
r
La tensión longitudinal por presión se calculó en el punto 4.1: Ec. (33)
V*
S1 SL
477, 4 330,9 ; S E
Ec. (34)
970 x 0,65 V *
330,9 kg / cm 2
SL
808,3 ! S E
630
No Verifica
Para solucionar el problema se pueden proponer diversas alternativas :
Opción 1: Incrementar el porcentaje de radiografiado de las juntas circunferenciales aplicando un radiografiado al 100 %: ......................... Ec. (33) V
*
S1 SL
477, 4 330,9 ;
970 x 1
SE
EA
1
V * 808,3 S E 970 Verifica
Opción 2: Aumentar el valor de A corriendo los apoyos hacia el centro del recipiente, esto requiere realizar nuevos cálculos. La solución “fácil ” para el diseñador es la opción 1 !!! 4.4 Verificación de la tensión longitudinal de compresión en el plano medio del recipiente (arriba, punto 4)
Tensión por flexión por peso propio....... (punto 4.3)
477, 4 kg / cm 2
S1
Tensión admisible SC en compresión a 40 oC (punto 4.2) SC Ec. (35)
4.5
V*
S1
477, 4 punto 4.2 SC
694
V*
477, 4 d SC
694 kg / cm 2
694 Verifica
Verificación de la tensión de corte ( punto 5)
A Rm /2
A = 75 c ; Rm /2 = 152/2 = 76 cm "$"!Ec. (38) porque o
Según la tabla del Anexo 17 para = 140 K3 = 0,592 ...... A < Rm " $"!Ec. (38) S 2
K3 Q Rm t
0,592 x 77300 152 x 0,8
376 ....
S2
Según la Ec. (39) se debe cumplir que S2 < 0,8 S = 0,8 x 970 = 776.............. 0,8 S En conclusión se satisface la Ec. (39) ......... S 2
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
439
376 0,8 S
776 kg / cm 2
K3
0,592
376 kg / cm 2 776 kg / cm 2
Verifica
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
4.6
Optimización cambiando la ubicación de los apoyos
En este punto se desarrolla la opción 2 del punto 4.3 que propone optimizar la ubicación de los apoyos para no tener que radiografiar las juntas. Se determina la tensión de comparación ( * ) en seis puntos para valores de A comprendidos en el rango de 40 a 300 cm y se la compara con la tensión admisible multiplicada por la eficiencia de junta sin radiografiar ( S E). Se grafica la evolución de la tensión relativa adimensional ( * /S E ) en los seis puntos críticos del cuerpo del recipiente (puntos 1 a 6). Se observa que para valores de A menores a 217,7 cm la mayor tensión relativa corresponde al punto 3 (en la parte inferior del centro del recipiente). Pero esa tensión decrece monótonamente cuando crece el valor de A, mientras que simultáneamente crece la tensión en el punto 1 (parte superior sobre los apoyos). El valor óptimo se da cuando A = 217,7 cm ( 0,12 L) porque la tensión relativa máxima alcanza un mínimo.
En el gráfico se pueden cotejar los resultados obtenidos anteriormente para A = 75 cm donde el espesor t = 0,8 cm es aceptable pero requiere radiografiar todas las soldaduras circunferenciales !!! Es importante notar que el valor mínimo de A que no requiere radiografiar es A = 209 cm. En la tabla siguiente se resumen los resultados para tres casos: 1) A = 75 cm que requiere radiografiar, 2) A = 209 cm que es el valor mínimo que no requiere radiografiar y 3) A = 217,7 cm que es el valor óptimo porque la tensión relativa máxima alcanza un mínimo (0,982). Cuando A > 76 (A > Rm /2) no se considera S1 en el punto 2 porque t/Rm > 0,005 según el punto 3) debajo de la Ecuación (32).
Caso
A [cm]
1
75
2
209
3
217,7
Tensión SE * * /S E * * /S E * * /S E
Plano de los apoyos 4.1 Arriba 4.2 abajo tracción compresión 630 694 333,1 2,1 0,529 0,003 596,0 ----0,946 -----618,4 ----0,982 -------
Centro del recipiente 4.3 Abajo 4.4 arriba tracción compresión 630 694 808,4 477,4 1,283 0,688 630,0 299,1 1,000 0,431 618,4 287,5 0,982 0,414
Corte 4.5 en el ecuador 776 376,3 0,485 443,3 0,571 437,3 0,563
4.7
Verificación de la tensión circunferencial en la zona del cuerno del soporte Sin anillo ni placa de apoyo, el espesor t = 0,8 cm no verifica como se muestra a continuación : L = 1800 cm ; 8 Rm = 8 x 152 = 1216 cm L ! 8 Rm se debe usar la Ec. (40)-a
K6 se obtiene de la Figura 18 en el Anexo 18, para = 140º y A/Rm = 75/152 = 0,492 ...... K 6 Ec. (40)- S3
77300 4 x 0,8 x (60 1,56 152 x 0,8
1,5 S 1,5 x 970 1455 kg / cm 2
S3
)
3 x 0, 011 x 77300
2306 kg / cm 2
2 x 0,8
2
Ec. (41)
0,011
313 1993
2306
S3 ! 1,5 S
No Verifica
Adoptando un valor mayor para el espesor del cuerpo cilíndrico, digamos t = 7/16” = 1,11 cm se obtiene S3 = 217 + 1033 = 1250 < 1455 que si verifica. Esta solución es muy antieconómica porque incrementa el peso del cuerpo cilíndrico en un 39 % ( el espesor pasa de 0,8 a 1,11 cm). Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
440
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
Una solución eficiente y económica es reforzar la zona del apoyo. Proponemos agregar una placa de
espesor t p
apoyo con las siguientes características:..
1/ 4”
0,635 cm ; ancho 90 cm ; T P
160
O
Peso de las dos placas = 2 x 2 x x [ (304,8 + 0,635) / 2] x (160 / 360) x 90 x 0,635x 0,0078 = 380 kg Peso del recipiente = 13600 + 380 = 13980 kg Ç^(141000 + 13980 )/2 ....
Q
77490 kg
Rm = R + ( t + tp ) /2 = ( 304,8 / 2 – 0,8 ) + ( 0,8 + 0,635 ) / 2 ……………................. Rm
Ec. (40)- S3
77490 4 x (0,8 0, 635) x (60 1,56 152,3 x (0,8 0, 635)
1,5 S 1,5 x 970 1455 kg / cm 2
S3
1388 kg / cm 2
)
152,3 cm
3 x 0, 011 x 77490 2 2 2 x (0,8 0, 635 )
1388
S3 1,5 S .. Verifica
Ec. (41)
Importante: Notar que el peso del recipiente sólo aumenta un 3 % contra el 39 % del caso anterior.
4.8
Verificación de la tensión circunferencial en la zona del fondo del apoyo = 140 È tabla del £ K5 = 0,697............................................................... Ec. (42)
S3
0,697 x 77490
(0,8 0,635) x ( 60 1,56 152,3 x (0,8 0,635) )
Tensión de fluencia : Sy = 2090 kg /cm2
5 Para obtener el diámetro externo D
Ec. (43)
.................... S3 453 0,5 S y
S3
D2t
426,7 2 x 0,80 ....................................................... D0
Según el Anexo 3, la tensión admisible del material SA-285 Gº C del renglón 2 a 370 oC es: S = 89,1 x 10,2 ............... Anexo 5
0,697
453 kg / cm 2
1045 .... Verifica
0
hay que proponer un espesor de pared. ......................... Se adopta: t
D0
K5
Relaciones: L / D0 100/428,3 0, 233 ;
D0 / t
S2
0,8 cm 428,3 cm
909 kg / cm 2
428,3 / 0,8 535, 4 ! 10
Utilizando el ábaco del Anexo 5, se determina la relación geométrica A: .....................
A 0,0005
En el Anexo 4 se obtiene B para la temperatura de 370ºC usando la 2 Figura CS-2: ....B = 42 MPa = 428 kg/cm2. Por lo tanto B < S ( 428 < 909 ) ... B 428 kg / cm 4B 4 x 428 Presión externa máxima admisible: Ec. (13) Pa .... Pa 1,066 kg / cm 2 3 D0 t 3 x 535, 4 Como Pa
1,066 kg /cm 2 ! Patm
1,033 kg / cm 2 ......el espesor propuesto :
t
0,8 cm ... Verifica
6 Primero se determinan los espesores necesarios para soportar la presión, tanto en el cuerpo cilíndrico principal como en la derivación, aplicando la fórmula del esfuerzo tangencial. Cuerpo cilíndrico principal Radio interno: ....... R
D 2 152, 4 2 76, 2 cm ................................................... R
Dado que la apertura no interfiere con ninguna soldadura longitudinal la eficiencia es: ....... Ec. (4)
tr
PR S E 0,6 P
17,6 x 76, 2 .......................................... 1005 x 1 0,6 x 17,6
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
441
tr
76, 2 cm E
1
1,35 cm
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
Derivación Radio interno: .............. Rn
D0 2 tn
32, 4 2 1, 27 .......................................
Rn
14,93 cm E
Como la derivación está construida con un caño sin costura, la eficiencia de junta es :...... P Rn
17,6 x 14,93 .......................................... S E 0,6 P 1167 x 1 0,6 x 17,6 Nota: ver la Figura 8, para visualizar las áreas y las fórmulas usadas a continuación. Ec. (4) t r n
trn
1
0, 23 cm
6.a
Cálculo del área de refuerzo requerida AR Factor de corrección: F 1 .................................................................................................. Factores de reducción: f r1
fr 2
S n Sv 1167 1005 ! 1 .........................................
Diámetro final de la abertura: .......... d
2 x 14,93 ....................................
2 Rn
d tr F 2 tn tr F 1 f r1 29,86 x 1,35 x 1 0 .............................................
AR
f r1 d
AR
F
1
fr 2
1
29,86 cm 40,31 cm 2
6.b Cálculo del área de refuerzo disponible AD en el caso de no agregar una montura Debemos considerar: A1 = área disponible en el cuerpo, A2 = área disponible en la derivación, parte externa y A41 = área disponible por la soldadura : A1 mayor ^ d E1 t F tr 2 tn E1 t F tr 1 f r1 ; 2 t tn E1 t F tr 2 tn E1 t F tr 1 f r1 ` mayor ^ 29,86 x 1 x 1,9 1 x 1,35 0 ; 2 1,9 1, 27 x 1 x 1,9 1 x 1,35 0 `
mayor ^ 16, 42 ; 3,58 ` 16, 42 cm 2 ................................................................. A1 16, 42 cm 2
^
menor 5 tn tr n f r 2 t ; 5 tn tr n f r 2 tn
A2
menor ^ 5 x 1, 27 0, 23 x 1 x 1, 9 ; 5 x 1, 27 0, 23 x 1 x 1, 27 `
menor ^ 9,88 ; 6,60 `
A41
(c41 ) 2 f r 2
AD
A1 A2 A41
6.c
`
6,60 cm 2 ................................................................. A2
(0,95) 2 x 1
0,90 cm 2 ............................................................... A 41
16, 42 6,60 0,90
23,92 o No cumple o
6,60 cm 2
0,90 cm 2
23,92 AR
AD
40,31
Cálculo del área de refuerzo disponible AD agregando una montura
A1 es igual que el caso anterior, mientras que A2 se modifica levemente .............. A1 16, 42 cm 2 menor ^ 5 tn trn f r 2 t ; 2 tn trn 2, 5 tn te f r 2
A2
`
menor ^ 5 x 1, 27 0, 23 x 1 x 1, 9 ; 2 x 1, 27 0, 23 x 2, 5 x 1, 27 0, 95 x 1 `
menor ^ 9,88 ; 8,58 `
8,58 cm 2 ................................................................ A2
Factores de reducción :........... f r 3
fr 4
S p Sv
928 1005
0,923 ............
8, 58 cm 2
fr3
f r 4 0,923
A41
(c41 ) 2 f r 3
(0,95) 2 x 0,923
0,83 cm 2 .......................................................
A41
0,83 cm 2
A42
(c42 ) 2 f r 4
(0,79) 2 x 0,923
0,58 cm 2 ......................................................
A42
0,58 cm 2
A5
13,34 cm 2
A5
( D p d 2 tn ) te f r 4 (47,62 29,86 2 x 1, 27) x 0,95 x 0,923 13,34 cm 2
AD
A1 A2 A41 A42 A5 16,42 8,58 0,83 0,58 13,34 o No cumple AD
39,75 AR
40,31
Se debe incrementar el tamaño para el refuerzo. El máximo diámetro válido para el refuerzo es: D p máx
2 x mayor ^ d ; Rn tn t ` 2 x mayor ^ 29,86 ; 14,93 1, 27 1,9 `
59,72 cm
Se propone Dp = 50,8 cm (20”) .............................................................................
Dp
50,8 cm
50,8 29,86 2 x 1, 27 x 0,95 x 0,923 ........................
A5
16,13 cm 2
A5
( D p d 2 t n ) te f r 4
AD
A1 A2 A41 A42 A5 16,42 8,58 0,83 0,58 16,13 o Cumple
Compendio de Cálculo Estructural – FCEFyN – UNC
442
AD
42,54 ! AR
40,31
Julio Massa – Juan Giró – Alejandro Giudici - 2017
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