Compendio Academico de Matematica - Geometria LUMBRERAS

 

C om pendi pendioo A cadém i co

de Mat,mdtlca

 

P6gi ""

7

I\GUOD

A...OULOS Vc.RTIOALES

70

IOENT O ,t. ,t.OE9 OE9 TRIOONOMETRICAS

i411i\l•6li

RES()LLIClóN RES()LLI ClóN DE TR1NiGtA.OH OetlCUANOULOS

127

1 39

 

. . i?J#i,ijij.Jtl

• IW 4u•l •Eil

P.ágln.a.

157

175

1N

., ,e1 4 1 1 • 1 • · » 1 1 ~ i.Ji 4 1 i l i l • f 3 0 1

231

 

Ángulo determinado por las bisectrices de dos 6ngulos Interiores

Bi~ ri.1 e~ti• ri or

11

e E n el & AII C

BE

b1~~

• ·~tl'nor

relativaa A C

DETERMINADOS POR BIS[O"RI BIS[O"RIC[S C[S

Ángulodeterminado por las biseáricu de un Angulo nterior un ángulo exterior

lb,, u(" t " é

bisecíns

un ángulo cqu1dts1.n de l os lados de dicho 4n¡¡,Jlo .

NolA

E n t edc cnangulo 1 só.Kdo, a aait.ir . ~ rc.i.z , ,.a e s rtl(: dia. n.a., bn.cciru rc l 1 1 . t 1 \ 'ól rtl(:dia. p¡.11e de 1 .l. m e d .....

la. ba,.\C'

de ddl4 bese.

B

1 i  

l a figu e & 6 A B C

Si: R , "iW

RQ

S•

abura n::.a u v.i. A l.1 b.u. l

E ntonc~ ntonc~ss 01{ n-.ed,aoa

AC

aiJtmü

e,

bi\t:.lo'..lfU

m cd1w1t

- [ Rll R Q

 

Com

m edia da un trlAngulo 1 ..epnrnto que ucne por

los puntos mtod101 de dos lados de un aJ tercer l ado se Ir decerrunn base.

a de la bau media trft\nguto . una h o 6 R - media es Jon¡:ptud e a la mu.ad de u 1 . a lrt tud.de di chn base.

TRIÁNGULOS RECTÁNGU RECTÁNGULL O S NOTABW dencuuuan n&I dertos L n ángulos

rectángulos en los cuales conocirndo m~idasde ángulc,r. in~rnostd~n0Jninad1> i Mgulos noto.b l e s, se - lf'ndrd pttiwntc un,a dt>t.ermln.tdn ttla.c:.i6n t'ntre l as l ongitud"M de us lndotvu: r-versu Entre leb mna unpcrtantea te-n1· mos: i::,.. Notable dt •s•

m 4

•s· ~ Notable dt Jo• y 60 • f i gura

...

Alll=Mll

llN•NC

b1i;p mttd,11

~ t N / / A (j ,ma

AC

2

de la mtdlana rdatlva a la

L.n tede triñngnl e n'Ct.1.ngu.lo la longit.11d i gual mPd.i.ann relativa n la hipottnuo mi tad rte la loogitu•l de dicha h1pot~nusn

lo Ac:•t Ac:•tMm Mmlco lco

Notable de

1 s•

lllÁNGULOS RECTÁNGULOS APllOXll'IAOOS

NOTABLES

Notablt dt lr y n  mediana l"'l la L t v u a A hipotenusa

53 •

uAf. d,l

..:

2

m

"'

 

Ed  orea

regular a > n v ~ , r : n

1 1 . El I n do C I D u n

ABCDEr

ml d• 2 u

1 4 . P . n ~ · I c. ri . á ng ' U l o A B C

y

Calcule Lodo• I Q J >

emn/\l

lu .2 u y3u

Cl Ocm

D   -ian

Cl S u. Guy7 u 0 2u.3uy4u

IS . SntP

Se cumple

~

Q son lo"' - p w 1

•

•

,1

2

 

"-4PfTU(O IV

u

Compendio Ac-•d4mlco,.

Q

N. olA

M es

rucd,o de A C

o

en~·~•

En la

remooide

Rombo

E.t aqut'l euodril.it.tso eenvexo quei tiene d e lw.lo.s pornlelos

~ s aquel ue po.ralelogramo po.ralelogramoqce qce tiene sus lodos igual lcngrtud sus 4.ngu)os Inierieres tienen medidas dieuntas

90

Es t"quiláU-ro y no f"quiángulo.

..;..,

En la figurn R i : A U //Cl) JB C D :

AO

o

pnraleiogra1no.

En lo figura, OA ICD: n,mbo Rfft.'ingulo

AB• C D

BC D

B AD •

1n

E I aquel p.1ri1IE"logramo que

cun~tlvos de rliírre-nte long longitud itud y lns mcdldae de sus angulos eou iguales 00

m . /\BC • msADC

~o• c · 1 1 c ad6n

ti,·orc dr

sus lo.dos

F.s equmngulc, pero no equllatero

llO • O D

parilltl ogramos

diferente difer ente

1

lcngttud lcngt tud

y ~us

:. d o a tnL-4.'nort"$ uenen medidas chel11\ta' I t i e

Xo es f'qtulatero ni equíangule. equíangule.

ABCD rectá%"1•

n la figum,

41

 

IV

ITULO ITU LO

Com

rectnngule A,. B, A B"" 1 1 J U n l al dobl e d• la lon¡;itud del en el ,r.ed;o M i.,l qw, BM=A C.

23 . En un trnpocio ABCD de

•lmttríco,

que al l o

B>

t os•

0 120'

e l f { J . 1 .Í. Í lO lO O A B C O

c1El... 2

E

.ill.:

e , a ; u n cuadra d o

E F G H •• un rombo. t.11 que lic 1::0 ·~ langr1u:. 1 ,t

H

dr düUuelm AB se

lu · 1 1 0

lil'

tul que AH:2 y IID

traza 8 , J,,.go so

en 1btba- 8 < ' m1drcunf1•~ 1drcunf1•~nt1a nt1ael punto

I que EF= S. Calcul e l a mrdidll d,·I

70•

B;(;b•

C ) 72•

69º

ll35" 0   1 2 7"

132 2" A t 13

113 3º CI 11

130'

 

S.

IM

m A L •mFS, (lt,;IICD

8.

Sn

dós

con1,:ru,• n t

seeanto n l.l.tt i. circu1ú .. rPncini; rn I A C, luego en Ju c1rn1n(el\'J\c

quP ccnuenc el fflJ(llo A se 1ra1..;_\ lu c u erda B Q que inwrat.at a la otru nrcunh•rr1 1 C " I en P. AQ ; 7 c r n , eakule PC. 17

9. A IG9º D I 52 °

6.

En

cm

(; 1

rm

&gun e l grafica

2i()Qi:.-3 d'(Jl y Tt.' i- uunt d e o tangencm (• 1lculi• x

E¡ 50º

Iigurn,, P, Q . T Iigurn

A son , ,untos do

tnn¡;te:nci3. cnkulP rnABC

A1   1 . .

11,

CI 123

2

2

E,

0 37'

1 O.

AJ 65'

7.

CJ IO'

E1

Según i,mílco,.',M •llP . mAN•mNP, 1 '

iruersecta al triángulo TCOt>s mngeru e a BC. S i AB .: 9µ y e  cu cutt dtil.aL4 • ro ASCO { Sinseripnble. ealcule DC..

IOµ

B • 0 . 5µ

Cl7 , 5 C :i l

y P son pu pun ntos d e . t.angl•nci,i. r.alntlt'I la

1 1 . Oei,1 J p

punto cu t:un:fcft·1u:1 n ,re

A

P

81 3 1i'

o,

dmgonnl e s

A ll C ll

P

rxt.rn(}r a uiu trat.an l,t3 recta la.ógcnll S- PA PB { A )' J > U l l 1 . . os dt tanw-oc1n ) wl que m A.PB 1 0"; en mavnr un:u se ubica un pw1to R ~ienddo \.1 N los puntas ntt.•t.ho-ll di • Jo rueneres nrcoa. ,\R Rli re-pr-ctív ívutnent utnentc Cakul" In m P d 1 da drl lingulo di~ ten111nn d, p:1r los segmentos t\~I ) B~

B

C > 23' E, 37 •

a

A l 16'

IJI 1 8º

 

Comp•ndlo

l: ,

1no,trnrln

...

\Ctifo ) ' . AH=2. A H=2.

ts.

Od _grrifitt1 .\

yO

Ac•démlco

puntn,;; dr tiingl'ncin.

;rult • l ii la dil lnncin del r,u.nto D n la ;rult :. A C .

cakuJ,, mAM+mMB

A l 100"

Sq.'Úu l'l ~nllico , ealeule x 5 1 A. B

C MU'I

;.-:m tos (fe, t.ingrncia

1 6. O.Igrañeo. rul\S •

s o - , ~ l . K . L )' T

-cn

puntns di" Wn~enoa, calcule m ~IA:-J .

RI · 1 6 11

t 1 5• U l53'

Cl3iº

1 7 . Segun el gmficc Tes punto d e lnn~· nct.t.ll , R - = 2 . calcule

1 )1 170'

 

s, r e o -

e , isoE   1 65 •

ll)

18. E 1 1 el RJ"áfiM T ea puntodr ianks, s, en un J? Ulo. po~ón drl

~ilo

tk ¡:ictlttnáa dt 1 1 1 . 1 ((•11LJ1 lUJt'i opue~ws. sen 1 g u . 1 . 1 lei ;

exmscruo.

Jr

l->U 1 5

la

exmscrito a

n l fl. lil(Urn, " "

.carcuníerencm

;,

S t o cumplf' '-." - e

b- d

 

Segun el grnñco, G es baricentre de la región ABC; calcule en runción de n R 1 'T punto de t.au~(•ucaal,

3.

En un tnángu)o ncut.ángulo ABC tia rectu del Eulrr intertlffta A Ot puntos

f'n l ó •

Jiil y N rt".$~C.:liv.atn('n1"' tal C J I . I P

llM=Bl'ó, calcule m 4ABC J72• OIG O '

4.

e

C ,,1 5 •

B i 63'

E 75'

Según la figu:ra O )' G son el nu:enl.ro bnricentrc de laR re,g1one@ triangulares ti spt.-ctivam1~nlA spt.-ctivam1~nlA••Rif'nrlu

,\J 3R-2a

CJR•n

Oill+2a

El

01' PC.

DO

NC

2

Al

la figur. mos(r mos(rmla mla M ,','l=A l=A Q AC •BC, "que, punt.o noui.bll' ea Q del lriángulo

Cl2

ACB?

01213

e

E l 3/2

S.

En

Wl

cuadrado All('O ron CPnlro

en O aet

•I arco AC . h"IJI"" olw:1 M v l ' ó en All y C O rw.:¡,e cth,'M'.k'n~itndo ~ N l~ a

AC e n T,

ee p y Q

1 u BA1 )

t,

B~ 1 0 " - • rq ( • ,cnn ll \(' t

1

ltülngulo PTQ ..

,

A l •qw •qwll .U.ro BJ • •óoeeles e. obtusn.ngu.to

eircuncen tro

ertoccrure C eevncen ro O ) batice.a

i:': l insde tnis de t'llo~ st n

1

extrem o

cornun ee 1gu:ll al produtlu de lus lonl{lhKl~ lll dt

Jes otros tre-".

En el grafleo. la bilfftrit >.

divide

BE del ..iABC AC

eumpl- ~

 

""tAflÍT\J lQ VII

~ grofico , Ja recta •

secante a tnñngulo

divatlf" 1ntt-mnmf'Dlf' a A8 y

m~nt..ea

ñc

y

~ cumple, ¡>QrdL·finJetón·

AC

c u m ¡,le. (n m . , ·

b n ' t)

:IDIEMA O E (EVA F.n wdo l.fi.tngulo. trvs cevianaa íntortcres .rrentcs d 1 v 1 d 1 > n rmernamente A cada Indo cumphendcse que el producto de

ngitwlrs de tres de elles, sin remo e s ígun.l ;1J pr oducto de las lon¡; lon¡;itude-8 itude-8 de

n

m

-

1l0

ee ltol\ D e lo -nntt"rior a Jos puntos P denenunn cooju¡atlos annónicos rf~J>f"C'lO "

AdPrna&-, ,\,

armonico.

r. U y

Q forman una cuntr-rnn

Teor~ma En un triángulo, los blhc_-cln(.-~ de uu ónguJu interior de su corrt'1ol>').nillrnte l o atlyprf'nte)

t-1 grafico, l.u eevianas AQ, B R y c o ncum .-nll dlviden intern..-utu·nte .-nll'9 '9 en

b ,dos del .lAOC .lAOC

d.n"ulo

1''1.lf'r1or :

dtvrdr-n

iltmóniC"amC'nl~ al lado opuesto o dt{'hu angule  

; ; ¡ mplc: nnu

bny

IÓ N ARMÓNICA D E U N S E GMENTO "'\o .,

puuto dividen nrmoracameme a on

entu.

dtvlden intemnmente rnu   en la misma azén lo

/º

:,

E n el wilfi< o c 8[)

p

e

his-tdri.i.dE'l

1nt"no r. \BC

o

grañco. J J divide mternamente a

, n . ¡;j P y Q

ic amcnU' ,ll segmente A R

Q

di"iden

Se ~l. lPlt  

~---

71

 

PTopltdad.s Una reetu seeante a un Lriángulo pn-ra1t'1U l a uno dt

.3

f.;n rlc,~ t n t 1 1 1 1 g u J c - s . semejantes

~U..'l

hne

homólog:a I . I O n propQrtion, ile .I .

lados, deot.rnninn un

~'lnJ.,rulo parcaal aemeJanlt' al t;n1u1JtUIO

~:n el grnflco ., eumple .

@aQ

II A C .iABC

En el grufico, ~1\BC 1 ~ 1 Jll'L.

E n looo t.ri:lngulo oculilngulo. rl "'SJTWOlo que une los pies de dos alt alturas uras detem uno un

Ltiuogulo

tt,,rngu.lo d;ido

pnre1n1

l t'mcjanu-.

ni

be

cumple:

2p.

JM"flITTf'lrt't,

Nota

e

m

En rl grañco, ~BC cumple

atu~inRUI•

1t1 r::'iOr

.,. ~cumplo

1 .Q BP lABC

 

En

cevsaea iruaricr

a n g u l o de vértice A en e l p u n l . O T

relativo que

0) 25'

figura

de

tRO "llCIR,.,

C y

Pson punte e

AP=fi, PD=3, cnkul•

que

lado A B del triángulo A B C •• 1 \.

y

S i 1BCI I AE1 m ~T B C .

l50'

mostrada

E.n

sen =

E

1 A C 1 I E F 1 , calcule

B I 1 5•

CHO CH O'

)

10

1 3 ,9

CJ6 1 ::, 1 2

E>:30"

Según el gr.lfiro PR=31RA I , ., AM= 3 , calcule P A s,endo punto d e tangencia.

calcu l e PQ11 IPTKBC•=8O

En la figura mo•tr•d.a M, J', tangencia = calcul e

BC se ubicn e l punto D

c,s

a.a

l 12

eu R

Q 1

:

- - -PD EP

uuerseea P. tal que ml'Q= mé R. sí ,B C K P Q >

CD

calcule A J '.

en

8 2

¡ 1/6

o,

,/?.

B)3/J6

CH/19 E  2111

 

1 7.

En un lridn g u lo A R C " . se t-rnzn la b1 que aon eímemcos respecto o lo. bíi('("\IU de dicho con 101 lnde>s del éngulo dado. ángulo, de igual rnsdida :lngulo:

En

grruico, 111' )' PQ: eeJ,lllt'nt.o• i,;ogo nalt-o

rvspecto al 4ABC.

Se cumple  

G a ey)

e1 d"'C'lr . forman

T I OR E MA DEl PRODUCTO D E DOS LADOS En todo trinngulo.

e l ¡:troducto dP

tgunl al producto las le>ng:iuades dt< la nlturn N"Jau.,;n tercelrulo con e) diametre de Ia ctreunfí>N' longitudt•s de lo.s lados

En

.J ¡¡nilico,

'o~{y

4AOB.

ON

OP.

b,,-,tlri,del 4AOB

royo s •""80nalot

Se cumple por definición

del

J

=

La biS('('lriz de un ángulo

e>

En el gnlfico. R eircunnadio del .u\BC.

TEOREMA DE L A S ISOGONAU:S En todo todo tnangulo,. e prod~to Jongitudf'~ de des tedes.

las longitude i

de 111 .

1gunl ni prorluctq de,

df" 1 0 1 : segmentos

cumple: oc hl hl2 2R>

ecnsideredc

iso¡..-onales;

r c , s p r c . t . , 0 al nngu ]o dfllPrmínA dopor,itt.oti lados. d e modo q u r uno dithos dit hos segmem es

ortogorutl de un punt.Q sobrt:

rrt•no de ln medidn dE "I angulo deo·rmin.ado per- ellos.

/

e

a

AL._

_ _ 1 , D__

En t,1. figura, 60

e

relntivu aJ lado

e

AC

·•"1>-b,p-ntf':I itud t·~1-,'ltnJ n la d1f1•reoc 1 ..i de productos

::fyuct• Dle

lns

..

Preguntas dt Investigación

de los segmentos

Demcetrur, que la difen•nt'ia cir lo,

erminndos por la bi~-clrlz en 1.•I lado uJ eual rtlatlv-a y los Indos udyacr• a dícha ...;w,c t n z

euadrades ch• IRs lonKttudt.•s de dos l,uJoh d, trirlngulo igunl .U doble prodocto

2

figura.

a

lnM•ctn1. exterior- ili-1 .i1ABC'

~ ti,·,, .,11Qdo A C (c>,1> . eumple

dr las longitudes dPI tercer lodo con In proycecíé n dP la mediana mediana n'1ah••a dicho tercer l. , .d~ sobre ur¡w•I Demo ,t11U' qut la aumn lr,s d e lu . lon1;1tudrs dt" la1 de un trü1ng\.1Jo es igual a l~s cuartes tle In suma de los cuadrados de, las l(J1'1¡:¡t1irtr~ de lob tres ( T 1 ' ( 1 r E . · m n dr Dothí O.,.mot,t.rJ.t'" . (\Ut.•

SWlUI

101~ •.)S 1le r w

tas ldnplude- ' tk> los Jactoad~~ u n ronihoidf>es. 1~nl a l a ~um..1 di.' l o" euadrado» Jt• 1,, .. longitudt·~ rlr•

' , U S diagouall'S

 

Relaciones Métricas en Cuadriláteros T E O REMA D E E U ltR

En cuadriltlt.m. In suma de los cuadrado• de lu longitudes de los tulltrO Indos < ' • igual a la 1um.11- de loa, -cuadrados de laa long_itude.t dé 1u.t d.úagon.alcs más \'C Cl'S e l madratlo de longitud d f - 1 ttgmeru.o que une los puntosmedios de dichas di ~ n le " . s , ,

TEOR EMA Ot PTOLOl'lt O En un eundnllltero i nscrtw o 1 nscnptib 1 1

en

eireuníerencía ,

prodoet.o • l e

longitudes de: ,rus dtagonal o 2,S

ll> 1 .5

C J 3.75

t:,~,15

 

.t.P fT L J tO VIII

E n u n triangulo A DC.

J .t.'

traz.a la A ltura

AH lurgocn ,\Ji se ulneaelpuntcPyen ~ el puntoQ Lál que BQ•QC ym~CPQ=90' S i (A B ~- circuníPn>nnda ínngente a

01 00

en l os puntes T P secante o Q R r . a l que Q e calc u le

PO=

t

taJ

/2. ealeole P C .

Ci 1 ,6 E,

02 22.

B l 68

C ) :34 E   60

el 1«áfico L y B son puntos c L UJngru,cill, sJ 135=7 O S " 5 . calcul• L . prcyecciéé n prcyecci

driilátuo A B C O.AB=H, B C = 3 0 . 1 8 . l faunc...dr

C D • 1 0 y A D •46  Calcul • l a lo ngitud de 4 m  :\SC m m4

 

A l 15

C l5

0 25

EllO

r ; ea

l 58/13

o , wn

C ¡ 58/11

B l 8 51 14

•

E> 86113

CAPITU L O X

Objeuvos }l

p,a.mlt p,a.m lt

ltcior

naró

captJtfdaddt

rttioftcs pionas .

C e : Conor:er r a s

func,tut

M

{1(WOJ

c1ato.s

qlk:

lmroducci6n ártlU

Ín loa olro1 urud:ioi Rb R e .

[ A ,_•1p-bJR,J ...., = es i gual

a l a ral.l cu.ad.roda del produ c to de las longilude A de 8tlS Jadoa.

116

En el gráfi IS c m '

D) 20 c i u 1

0J25cmi

•

C) 22 nn' E>Unn2

 

C APITULQ X IIIIII

6.

En el prilma

regular ATJCl)..fWG H.

~ f N - = 1 1 . ~1Q*"b. NP::.c., la 11lturJ. del prisme ee numéricnmtntf' t.gua.l al c o f i . C ' n o d P l

8.

S e - tie ne un tronco dP c1hnctrn oblicuo cuyu basu,;oncongruentPB

un diedro die dro de med1dns o • .

)' deteruunnn

gent ratricc .

.aon de lonfPtud 3

Calcule

su eeceié n recta u n ctreule , calcut" J > L ál't'a dP l n ftlprrfic- 1 1 : totaJ oc:t.aMro rf'gula.r qt.11 , 1nstrito

v o lu,nendel pt:uuna

d¡c:ho l36,/3

o , 10,13 9.

Del

B l ·15,la

1 0 6 cihntlto~ son d r > r~luc1ón cfliru.lro

e

bases se t·ncuentran f t J R R it In su~rfici L • de l at.tr-.1 si la razón de eus ,·ohimf'nrs I a { 2 ° . ealeute m A O B  

I

1 90'

01 53•

Se hMlf'unex.aedro hMlf'unex.aedro regular ABCD-EFGfl ubicnn ~ 1 y N puntos medio de

EH

y

10.

GO"

Se tiene un paralelepípedo

rectangular

secci6n plan•

110 re1pecli\·amMLl' ~ ¡ A B = a . calr:u.le e l

ABCD-E FGR,

úea de la ae.«ión p l ana dc~rminado en e l e x aedro por e l p lano que pnAa p o r :\ I ~ N

determinada y ~l centro de la cara BC G F uene de área '4 '400 . si el diedro entre pl ano secante y E F C I-i mide 3 7 • , C G = 6 calcul e la razón de v o l úmenes de y

e l c e n tro 3

Di

la cnra BC Cf'

a•

Bl

la

101 sóli do& determinados

3

OJ

8

8

e:,

A i 215 O¡

a2

lfJ

El 2f.l

 

Lumbreras

l.

Del grll.Ji c n , \C • ll llC C, P perroo•c• • la b nsé - 1 1 , . . p c r t o r e t• ru rurro la medida del Á ngulo dDu,rmmndo po r o.e ) base d• c e n lm 0 1 "" 60 • valumen de P -AllC ••

del

\,

.. .

0) 9

lllJ-2

'

. ''

···: · :::-:-=. •

e

Calcuíe el volume n d e u n eon.o d e fflblt'ndoqu que el oovo l ucí6n de altura s . fflblt'ndo plano secanre q u e cenuene ,t( v~rc.u.-e. determína en fl .só lilidd o una región triangul 3r r~tangu.la r~tangu.larr y en la ba5t' cuerda qui.' aubhendc_ ur, arco mf'didn u 1w·

Dl 20 1t

e ~ equil átero : 1 1 A , t,.t - = if\ calcule - 1:I ... clumen dd cono de Wrt1ce 8  

..

Ill 24 C) 18

l 61t

Del grlifrco . el c ono

Calcule

cih ndro mldt, G .

2.

4.

18

C l 12 10 1t

CU)'A

A) 61t,'s

D) 10

S.

B) 91t,ÍS

o 8 1 1 /3

El 7 it,/s

Del gr6f1 co, los ,·olUmenond1P nte. estando el eectoe PJt:

g1ro.

860º

Al:\ sob sobrre ot eJe de giro.

( \' l~~

Longuud de la cu~nfA A B V o l u m e n d e l anil lo e..,férsco.

ESFÍIJCO DE DOS B A S E S f:..-c¡ J n porcj6n de r,.fcrn c o m prendida entre

d0s pla. n ~ p : i r•lclw, en tre t.•5 (era.

secantes

3

la

Longued d e

h

proyecc i ón ort~on nl del

arco

de

\'0Ju1 1 1 en dol eectcr e.o.;fl'noo

V.,.,

' ANJ UO ESffRIC O ~·n,:rudo pcn uu ~·l{mf•n t o E ... • I

V _ nh' 6

c 1 r i , J 1 1 1 r .1l ac1r.tr lGtf en t 1 1 r n 1 1 n un dirun C l G a l o $ eie.s coordc nad 0$.

del punto P

díP.

r;:: h _ 'i'_ = - ~ -p ( y -- k , ~ l

Hk-¡,i

e

31eu ll) Rrmp l lWlndo ( 2 1 y 31e

ECUACIÓN D E IA PAMBOLA CON EJE FOCAL P M A L E L O Al Elt Y

Ln ~aciónca.ne.iiannde la paniho)acuyo veruee es V( h; "' y e u tJt rocal « " I paralrlo por:

l a dirt"ctrii

=

ordenando

rwl uciendo se tiene:

Sí p > O . la pa.rá.bola se abre hacia arriba  

 

CAPITULO XVII E C U A O Ó N D E L k PARÁBOLA CON EJE FOCAL

PARAl.ELO A L EJE X eeuneien carteelnna de In p/\r p/\ráhola áhola cuyo vt"rtice es Vth. k) y eu t'jc reent es p:lrnlf'-lo al ~ 1(. f'.lul

dado por·

Rtmnpla.uindot2)y a,

rn

F.lrvado al euadrado, ambos miPmbros ) reduet.endo li'rminoB.

P(r,y)

c1 ,

S1 p

derecha;

y

O , lo

nene  

pnr:tibol:o ee

i n b~ a

la