Cómo Plantear y Resolver Problemas PDF

 

  om o plantear r ebsl o vae sr pro e lm

 

C mo plantear y resolver p r ob l e m as Traducci6n:

G

Prof Julian Zugazagoitia

Polya

Titulo de esta obra en ingles:

How to solve it

© 1945, Princeton University Press US.A. © 1957, G. Polya Version autorizada en espafiol de la segunda edici6n en ingles publicada por Anchor Books

Primera edici6n en espafiol, 1965 Reimpresiones, 1969, 1970, 1972, 1974, 1975, 1976, 1978 y 1979

Novena reimpresi reimpresion on enero 1981 La presentaci6n y disposici6n en confunto de COMO PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS, son propie propiedad dad de editor. Prohibida Prohibida la reproducci6n parcial o total de esta obra, por cualquier medio o metodo, sin autorizaci6n por escrit escrito o de editor Derechos reservados reservados en lengu lengua a espafiola espafiola co nfo rme a la ley © 1965 1965,, Editoria Ed itoriall Trilla Trillas, s, S. A Av. Rio Churubusco 385 Pte., Mexico 13, D. F. Miembro de la Cdmara Nacional de la Industri.o Editorial. Reg. num. 158

Editorial Trillas Mexico

Jmpreso en Mexico

ISBN

968 24 0064 3

 

Pre acio

l

primera edicion

estudio de ios ios metodos de soluci6n. Esta cla clase se de estudio lla llamado mado heuristico por algu algunos nos autores si bien no esta de mod a en nuestros dias tiene un largo pasado y quiza un cierto futuro.

Estudian do los los metodos metodos de soluci6n soluci6n de problemas

percibimos otra

faceta de las matematicas. En efecto las matematicas present pres entan an dos caras: por un lado son la ciencia rigurosa de Euclides

mas. Las matematicas presentadas a la manera euclideana aparecen como una ciencia sistematica deductiv deductiva; a; pero per o las matematicas en via de de forma-

ci6n aparecen como una ciencia ciencia experimental inductiva. Ambos aspectos aspectos son tan viejos como las matematicas mismas. Pero el segundo

es

nuevo en

cierto aspecto; en efecto las matematicas in statu naJcendi en el proceso de ser inventadas nunca han sido presentadas al estudia estudiante nte ni incluso al maestro ni

al

publico en general.

La heurist heuristica ica tiene multiple s ramificaciones: los matematicos

los

logistas los psic6logos los peda pedagogos gogos e incluso los fil6sofos pu ede n reclareclamar varias de sus partes como pertenecientes a su dominio especial. El

autor

consciente de la posibilidad de cdticas provenientes de los mas

diversos medios y muy al tanto de sus sus limitaciones se per mit mitee hacer observar que tiene cierta experiencia en la soluci6n de problemas y en la ensefianza de matematicas en diversos niveles. ·

l

tema

es

tratado mas ampliamente en un extenso libro que el autor

esta en camino de terminar. Univer sidad de Stanford agos agosto to 1 , 1944.

 

Prefacio a la septima reimpresi n en ingles

pero tambien son algo

hora puedo decir gustoso que he cumplido con exito exito al menos en parte una promesa dada en el prefacio a la primera edici6n: Los os volumenes Induction and nalogy in Mathematics y Patterns of Plausible Inference que constituyen mi reciente obra Mathematics and Plausible Reas-

oning continuan la Hnea del pensamiento adoptada en el presente libro. Zurich

agosto agost o 30 1954.

Prefacic

l a s e g u n d a e d i c i on o n en en n g l e s

En esta segunda edici6n se incluye, ademas de algunas mejoras, una nueva cuarta parte: Problemas, Sugerencias, Soluciones. Al tiempo que se preparaba la impresi6n de esta edici6n, apareci6 Testing ng Servic Servicee Princeton N.J. N.J.;; cf. Time 18 un estudio ( Educational Testi de junio, I 956 que l parecer ha formulado algunas observaciones pertinentes; no eran nuevas para los entendidos en la materia, pero y era tiempo que se formulasen para el publico en general general:: las matematic s tienen el dudoso honor de ser el tema menos popular del plan de estudios. . . Futuros maestros pasan por las escuelas elementales aprendiendo a detestar las matematicas . . . Regresan a la escuela elemental a ensefiar a nuevas generaciones a detestarlas . Espero que la presente edici6n, destinada a mas amplia difusi6n, convenza a algunos de sus lectores de que las matematicas, aparte de ser un camino necesario a la ingenieria al conocimiento cientifico, puede n ser divertidas a la ve vezz abrir un panorama en l s actividades intelectuales del mas amplio nivel.

Zurich junio 30 1956.

 

lndice la

Pa rte

n el

salon de

closes

Proposito 1. 2 3

4 5

Ayudar al alumno, 25 Preguntas recomendaciones, operaciones intelectuales, 25

La generalidad, 26 Sentido comun, 26 Maestro y alumno. Imitacion y practica,

27

Divisiones principales, preguntas principales 6 Cuatro fases, 28 7 Comprension de problema, 28 8 Ejemplo, 29 9 Concepcion de un plan, 30 10. Ejemplo, 31 11. Ejecucion del plan 33 12. Eje mplo , 34 13. Visio n retrospectiva, 35 14. Ejemplo, 35 15.. Diver sos plante os, 38 15 16.. El metodo de interrog ar del 16 del maestro, 39 17. Buen as y malas preguntas, 40 Otros ejemplos 18. Problema de construccion, 41 19. Problema de demostracion, 43 20. Problema de rapidez de variacion, 46

2a

Porte Com Como o resolver resolver un un pro ble ma

Un di a.logo, 49

3a

Porte Breve dicci diccionari onario o

Aficion a los problemas, Analogia

de

heuristica

57

57

Bolzano Bernardo, 64 5  

lmli e

  6

Brillante idea, 65

l ml i e

7

Condici6n, 6666 ,:Conoce algun problema que se relacione con el suyo?, 66 Contradictorio, 67 Corolario, 67 ,:Cua es la inc6gnita?, 67 Definici6n, 67

l'.Puede encontrar el resultado en forma diferente?, 169 ~Puede utilizarse el resultado?, 171 Razonamiento heuristico, 17 3 Razonamiento regresivo, 174 Reducci6n al absurdo y demostraci6n indirecta, 179 Redundante 186

Descartes, Rene, 73 Descomponer recomponer el problema problema,, 73 Determinaci6n, esperanza, exitos, 80 Diagn6stico, 81 Dibuje una figura, 82 Distinguir las diversas parks de la condici6n, 82 Elementos auxiliares, 82 Enigmas, 85 ,:Es posible satisfacer la condici6n?, 87

Reglas de ensenanza, 186 Reglas de estilo, 186 Reglas de descubrimiento, l 86 Sabiduria de los proverbios, 187 Simetria, 189 Si no puede resolver el problema propuesto, 190 Terminos antiguos y nuevos, 190 Trabajo subconsciente, 192 Variaci6n de proble ma, 193

Examen de dimensiones, 87 Examine su hip6tesis, 89 Figuras, 93 Futuro matem:itico, El, 96 Generalizaci6n, 97 :Ha empleado usted todos los datos?, 98 He aqui un problema relacionado con el suyo y que usted ha resuelto ya, 100 Heuristica, 101 Heuristica moderna, 102 Indicios de progreso, 105 lnducci6n e inducci6n matematica, 114 Lector inteligente, 119 Leibniz, Gottfried Wilhelm, 120 Lema, 120 ,:Lo ha visto ya antes?, 120 Llevar al cabo l plan, 121 Mire bien la inc6gnita, 12 4 Notaci6n 128 Pappus, 133

inventor, 138 Particularizaci6n, 138 Pedanteria maestria, 143 Planteo de la ecuaci6n, 143 ,:Podria enunciar el problema en forma diferente?, 146 ,:Podria deducir de los datos algun elemento util?, 146 ,:Por que las demostraciones?, 148 Problema auxiliar, 153 Paradoja de

Profesor de matematicas tradicional, El, 158 Progreso y logro, 158 Problemas por resolver, problemas por demostrar, 161 Problemas de rutina, 163 Problemas practicos, 163 ,:Puede comprobar el resultado?, 167

4a

Parte. Problemas sugerencias soluciones

Problemas, 201 Sugerencias, 2020 -  Soluciones, 207

 

lntroduccion

1

Las consideraciones expuestas en el libro hacen referenda y constitu yen el desarrollo de la precedente lista de preguntas y sugerencias titulada Para resolver un problema Toda pregunta o sugerencia que de ella se cite aparecera impresa en cursiv y cuando nos refiramos a ella lo hare moss simplem ente com mo como o la lista o nuestra lista . En las paginas que siguen se discutira el prop6sito de la lista, se ilustrara su uso practico por media de ejemplos y se explicaran las no ciones fundamentales y las operaciones intelectuales. A modo de explicaci6n preliminar se puede decir que si se hace uso correcto de ella, y se plan tean asimismo dichas preguntas y sugerencias en forma adecuada, estas pueden ayudar a resolver el problema. Asimismo si se plantean estas se

preguntas adecuadamente a lossusalumnos y les podra ayudar a resolver problemas. se

les hacen estas sugestiones,

El libro consta de cuatro partes. La primera, titulada: En l salon de clases , contiene veinte seccio nes. Cada secci6n estara enumerada con tipo negro, como por ejemplo secci6n 4 . D e la secci6n a la 5 se discutira en terminos generales el pro p6s ito de nuestra lista. De la a la 17 se expon en cuales cuales son las divisiones prin  cipales las principales pre gun guntas tas de la la lista, y se discutira el primer ejemplo practico. En las secciones 18 19 y 2 se inclu incluyen yen otros ejem plos . a segunda parte, que es muy breve breve,, titulada: C6mo resol resolver ver un pro blema , aparece escrita en forma de dialogo. Un supuesto maestro responde a las breves preguntas que le plantea un alumna un tanto idealizado tambien. La tercera y mas extensa de las partes es un Breve diccionario de heuristica . Nos referiremos a el como el el diccionario . Contiene sesenta y siete articulos ordenados alfabeticamente. Por ejemplo, el significado del termino HEURISTICA ( impreso en versalitas o pequeiias mayusculas) se expone en la pagina 101 en un articulo bajo dicho titulo. Cuando en el texto se haga referencia a uno de tales articulos, su titulo aparecera impreso en versalitas. Ciertos parrafos de algunos articulos son mas tec2  

 

ln tr o d u

io n

nicos; estos se hallaran encerrados en corchetes. Algunos articulos estan

estrechamente relacionados con la primera parte proporcionandole ilustra ciones adicionales y observaciones mas especificas. Otros van un tanto mas alla del objeto de la primera parte, de la que proporcionan explicaciones mas a fondo. Hay un articulo clave sabre HEURISTICA MODERNA. En el se exponen las relaciones entre las diversos articulos, asi coma el plan fundamental del diccionario. Contiene tambien indicaciones de c6mo en contrar informaci6n sabre detalles particulares de la lista. Nos parece necesario destacar, dado que las articulos del diccionario son aparente mente muy variados, el hecho de que existe en su elaboraci6n un plan general que encierra u m cierta unidad. Hay algunos articulos un poco mas extensos, si bien dedicados a una concisa y sistematica discusi6n de

algun tema general. Otros contienen comentarios mas espedficos, mien tras que otros abordan referencias hist6ricas, citas e incluso chistes. El diccionario no debe leerse con premura. Con frecuencia su contexto es conciso y otras un tanto sutil. l lector podra recurrir a el para infor marse sabre un punto en particular. i dichos puntos provienen de su experiencia con sus propios problemas o con los de sus alumnos, su lec tura tiene todas las probabilidades de ser de provecho. por

La cuarta parte lleva para titulo: Problemas, sugerencias, sugerenc soluciones Plantea algunos problemas mas ambicioso. Aias, cada problema. un lector le sigue ( a distancia conveniente) una sugere ncia que puede revelar el camino del resultado, el cual es explicado en la soluci6n . En repetidas ocasiones nos hemos referido al alumna y al maes tro y seguiremos haciendolo una y otra vez. Es conveniente aclarar que al referirnos al alumna , hablamos en terminos generales de cualquier persona que este estudiando matematicas, ya sean de bachillerato, ya de igual, el el maest maestro ro pued e ser un maestro maestro de de bagrado universitario. Al igual, chillerato o de universidad, o cualquier pers_ pers_ona interesada en la tecnica de la ensefianza de las matematicas. l autor adopta unas veces el pun to de vista del alumna, al umna, otras el del del maestro ( est estee ultim o principalmente principalm ente en la primera parte) . Sin embargo, la mayor may or parte par te de las vece vecess ( especialment especialmentee en la tercera parte adopta el punto de vista de una persona, ni alumna ni maestro, ansiosa de resolver un problema que se le ha planteado.

 

1a

arte

En el salon d e c l a s e s

PROPOS TO 1 Ayudar al alumno. Una Je las mas impurtantes tarcas Jel maestro es ayudar a sus alumnos. Tarea nada nad a Heil. Requiere tiempo practica dcdicaci6n y buenos principios. El estudiante debe adquirir en su trabajo personal la mas amplia experiencia posible. Pero si se le deja solo frente a su su proble ma sin ayuda ayuda algu na o ca casi si sin ninguna puede que no progrese. progrese. Por otra parte si el maestr o le ayuda demasiado demasiado nada sc sc le le deja al alumno. El maestro debe ayudarle per pero o no mucho ni demasiado poco de suerte que le deje asumir una parte razonable de trabaj trabajo. o. Si el estudiante no esta en condiciones de hacer gran cosa el maestro debe mantenerle al menos la ilusi6n del trabajo personal. Para tal fin el maestro debe ayudar al alumno discret discretamente amente sin imponersele. Lo mejor es sin embargo ayudar al alumno en forma natural. l maestro debera ponerse en su lugar ver desde el punto de vista del alumno

tratar de comprender lo que le pasa por la mente y plantea r una pregunta o indicar algun camino que pudiese ocurrfrsele al propio alumno. ·2. Preguntas recomendaciones operaciones intelectuales. Al tratar de ayudar al alumno en forma efectiva y natural sin imponersele imponersele el maestro puede hacer la misma pregunta e indicar el mismo camino una y otra vez. Asi en innumerables problemas tene tenemos mos que hacer hacer la pregunt a: c· ual es la inc6gnita? Podemos cambiar el vocabulario y hacer la misma pregunta en diferentes formas: 2Que se requiere?; 2que quiere usted determinar?; 2que se le pide a usted que encuentre? El prop6sito de estas preguntas es concentrar la atenci6n del alumno sabre la inc6gnita. A veces se obtiene el mismo resultado de modo mas natural sugiriendo: Mire atentamente la inc6gnita. Preguntas y sugerencias tienen el mismo fin; tienden a provocar la misma operaci6n intelectual. Nos ha parecido que podria ser interesante el juntar y agrupar las preguntas y sugerencias particularmente utiles en la discusi6n de problemas con los alumnos. La lista que presentamos contiene preguntas y sugerencias de ese tipo tipo cuidad cuidadosamen osamente te elegidas y clasificadas; puede p uede n ser igualmente utiles a aquellas personas que trabajen solas en la resoluci6n de problemas. Si el lector conoce la lista lo suficiente como para poder discernir detras de la sugerencia la acci6n sugerida se dara cuenta que la susodicha 5

 

n el salon de

  8

clases

- c:No ve usted que existen otras relaciones? Por ejemplo, iY y V son independientes una de otra? N o . Cuando y aumenta, V debe aumentar tambien. A s i hay una relaci6n. c:Cual es, pues? P u e s que V es el volum volumen en de cono cuy cuyaa altur a es y. Pero desconozco el radio de la base. - Sin embargo, puede tenerlo en cuenta. Dele un nombre cualquiera, x por ejemplo. 7TX2y

V =  

2a

Parte

o m o resolver un p r o b le ma

3 -E x a c to . Ahora, c:que sabe usted de x? c:Es independiente de y? N o . Cuando la profundidad de agua, y aumenta, el radio de la superficie variable x aumenta tambien.

Un dialogo

A s i pues, hay una relaci6n. c:Cual es esta? - Si, claro, hay triangulos semejantes: x y

=a

b

- Una relaci6n mas, c:ve usted? N o hay que desaprovecharla. N o ol vide que usted queria conocer la relaci6n existente entre V y y. S e tiene y

b

V =

 

ra2y2

b2

- Muy bien. Esto me parece un buen punto de partida. c:Que le parece a usted? Pero no olvide su prop6sito. , Cttal es la inc6gnita? dy dt .

.

- T1ene que encontrar una relac10n entre -dy , d V y otras cantidades. dt dt A q u i tiene una entre y V y otras cantidades. ,;Que hacer? - Pues claro, diferenciando se tiene dv_

=

dr

ra

2 2

y

b2

•

dy dt

He ahi la soluci6n.

-Perfecto. Y, c:para los valores numericos? dV - Si a = 4, b = 3 = r - 2 y = l entonces

dt

2

 

r. X

6 X 1

9

dy dt

 

Familiarizarse con el problema

debo empezar? Empiece por l enunciado del problema. c Que puedo hacer? Trate de visualizar el problema como un todo, tan c Por

d nde

claramente como pueda. No

se

ocupe de

lo

detalles por

el

momento.

c Que gano haciendo esto? Comprendera el problema, se familiarizara con el, grabando su prop6sito en su mente. La atenci6n dedicada al pro· blema puede tambien estimular su memoria y prepararla para recoger los puntos im portantes. Trabajar para una mejor comprensi6n c Por d nde debo empezar? Empiece de nuevo por el enunciado del pro· blema. Empiece cuando dicho enunciado resulte tan claro y lo tenga tan bien grabado en su mente que pueda usted perderlo de vista por un mo mento sin temor de perderlo por completo. c Que puedo hacer? Aislar las principales partes del problema. a hi p6tesis p6te sis y la concl conclusio usion n son las las ptincipales partes de un problema por po r demostrar ; la inc6gnita, los datos y las condiciones son las principales partes de un problema por resolver . Ocupese de las partes principales del problema, considerelas una por una, reconsiderelas, considerelas despues combinandolas entre si, estableciendo las relaciones que puedan existir en· tre cada detalle y los otros y entre cada detalle y el conjunto del problema. c Que gano haciendo esto? Esta usted preparando y aclarando detalles

que probablemente entraran en juego mas tarde. n busca de una idea util c Por

d nde

debo empezar? Empiece por considerar las partes princi·

pales del problema. Empiece cuando dichas partes esten, por usted, clara mente dispuestas y concebidas, gracias a su trabajo previo, y cuando consi dere que su su memor memoria ia responde . c Que puedo hacer? Considere el problema desde varios puntos de vista y busque puntos de contacto con sus conocimientos previamente adquiridos. Considere l problema desde varios puntos de vista. Subraye las dife5

 

3a

Parte

Breve diccionario de heuristica

 

Afici n a los problemas El aficionado a resolver problemas se plantea con frecuencia a si mismo preguntas similares a las que ofrece nuestra relaci6n de temas. temas . Quiza des-

cubre por si mismo pregu preguntas ntas de es esee tipo o habiendo oido hablar de ellas halla directamente el uso que conviene hacer de dichas preguntas. Puede darse el caso que no este consciente en lo absoluto de que esta repitiendo siempre la misma pregunta. pregunta . 0 bien es esaa pregunt preguntaa es su preferida: sabe que forma parte de la actitud mental adecuada durante tal o cual fase del trabajo tiene la costumbre de provocar la actitud correcta planteando la pregunta correcta. Este aficionado a resolver problemas puede encontrar las preguntas sugerencias de nuestra lista de gran utilidad. Le pueden permitir comprender perfectamente las las expl explicaci icaciones ones los ejemplos que las ilustra ilustran n   pueden permitirle sospechar el uso correcto de ellas; pero no lograra una completa comprensi6n a menos de encontrar en su propio trabajo el proceso que la pregunta trata de provocar. Debe experimentar su utilidad descubriendo en lo que le puede ser util personalmente. El aficionado a resolver problemas debe estar preparado a plantearse todas las las preguntas de la lista lista pero no debe debe plantearse ninguna si no le si no estima conduce a ello un atento examen del problema que se estudia que debia plantearsela. e hecho debe reconocer el mismo si la presente situaci6n es parecida a alguna otra en la que ha podido aplicar la misma pregunta con exito. Tra tar a pues ante tod todo o de comprende comprenderr el problema de de un modo tan completo claro como se seaa  posible. Pero esto no basta. Debe concentrarse en el prob problem lemaa desear ansiosamente su soluci6n. i no puede hacer nacer el deseo real de resolverlo resolverlo ma mass vale abandonarlo. El secreto del exito real radica en entregarse al proble problema ma en cuerpo alma.

Analogia La analogia es una especie de similitud. Objetos semejantes concuerdan unos con otros en algunos aspectos mientras que objetos analogos concuerd n en ciert s rel ciones entre sus respectivos elementos. 7

 

4a

Problemas

l

.

~

. .,

·.

arte

sugerenclas

soluciones

 

Esta ultima parte ofrece al lector la oportunidad de practicar con ejerooos.

Los problemas no requieren mayores conocimientos que los que el leetor haya adquirido en los estudios de ensefianza media. Sin embargo, no son problemas de meras aplicaciones de formulas, ni son muy faciles; algunos de ellos requieren cierta originalidad e ingenio. Las sugerencias ofrecen indicaciones que conducen al resultado, citando, sobre todo, alguna frase apropiada de la lista; a un lector muy atento, pronto a captar las sugerencias, le pueden dar Ia idea clave de Ia soluci6n. Las soluciones no solo traen Ia respuesta, sino tambien el metodo que a ella conduce, no obstante el lector debe suplir algunos detalles. Algunas de ellas tratan de abrir nuevos horizontes, por medio de algunas palabias al final. El lector que ha tratado seriamente de resolver el problema, puede sacar provecho de las sugerencias y soluciones. Si por si mismo Ilega al resultado, puede aprender algo comparando su metodo con el que se expone aquL Si despues de un gran esfuerzo se siente inclinado a abandonar el problema, las sugerencias pueden darle Ia idea que le falta . Si las sugerencias mismas no le ayudan, puede ver la soluci6n, tratar de ver Ia idea clave y haciendo el Iibro a un lado, tratar de encontrar la soluci6n .

PROBLEM S

Partiendo de un punto P un oso camina un kil6metro hacia el sur. Cambia entonces de direcci6n y recorre un kil6metro hacia el este. Despues, dando vuelta de nuevo a Ia izquierda, recorre un kil6metro hacia el norte para Ilegar exactamente al punto de partida P 2De que color es el oso? 1.

2.

Roberto quiere un terreno, absolutamente horizontal, delimitado

Excepto el primero

muy conocido, pero muy divertido como para omitirlo)

todos los problemas se han tornado de los Stanford University Competitive Examinations in Mathematics (salvo a gunas ligeras modificaciones). Algunos de ellos se han pub icado en he American Mathematical Monthly o en he California Mathematics Council Bulletin  Bulletin   En esta ultima revista, t autor ha publicado a gunas soluciones que se encontraran mas adelante, convenientemente modificadas. 2 1

 

Esta obra termin6 de imprimirse el d{a 20 de enero de 1981 en los talleres de Tipogrdfica Borsa S A. s encuadern6 en Servicios Editoriales Profesio Profesionales nales S A. s tiraron 3 000 ejemplares mas sobrantes sobrantes de reposici6n

K

1