Como Aprender a Despejar en 15 Ejemplos Sencillos

COMO APRENDER A DESPEJAR ECUACIONES MATEMATICAS CON 20 EJEMPLOS SENCILLOS Quiere aprender a despejar incógnitas en ecuaciones matemáticas? Esta guía sencilla le dará las herramientas necesarias si la sigue paso a paso. Es bien cierto que una de las herramientas matemáticas que más se utilizan en la resolución de ejercicios numéricos o algebraicos de ciertas materias científicas (física, química, matemáticas, economía, lógica, computación entre otras) son las ecuaciones. Son también una de las mayores dificultades que encuentran tanto los profesores que imparten dichas cátedras como los estudiantes. Los primeros porque observan reiteradamente el desconocimiento de parte de sus estudiantes del método elemental en el despeje de ecuaciones matemáticas y en los alumnos por la frustración que sienten al momento de resolver los ejercicios que se les presenta. Son numerosos los casos donde por no saber plantear y resolver una ecuación matemática, los estudiantes fracasan en una asignatura de corte numérico. Creando la pérdida de tiempo y repitencia que hace daño en los cursos de estudio. Atiborrando las universidades e instituciones educativas de los distintos niveles y modalidades, de alumnos “reiteradamente” repitientes. Aquí se les presenta una guía muy sencilla para aprender a despejar algunas ecuaciones matemáticas elementales. Se recomienda ir en forma progresiva para asimilar el método en su plenitud. Se representaran las variables con letras mayúsculas y los términos en bloques encerrados y coloreados.

Conceptos elementales MIEMBRO: Es cada operación algebraica o aritmética planteada a cada lado de una igualdad o ecuación. Se llama PRIMER miembro a la operación que está a la derecha de la igualdad y SEGUNDO miembro a la que está a su izquierda. Ej:

5X = 4X – 6

5X Es el Primer miembro

4X – 6

Es el Segundo miembro

IGUALDAD: Es toda igualdad donde la operación o resultado del primer miembro debe ser igual a la operación o resultado del segundo miembro. Ejemplo: 2+3 = 1+8–4

esto comprueba 5 = 5

INCOGNITA, VARIABLE O INDETERMINADA: Es el valor desconocido o que puede tener diferentes o variados resultados. Generalmente se representan con letras o símbolos Ejemplo: X + 3 = 5 Esto indica que X tiene un valor definido X = 2 para que se cumpla la igualdad A + C = B Esto Indica que A y C pueden tener infinitos valores para que dé igual B

2 ECUACION MATEMATICA Es toda igualdad que contenga una o varias incógnitas o variables. Posee 2 miembros bien definidos. Al Primer miembro pertenecen todos los elementos, términos o bloques que se encuentran a la derecha de la igualdad. Al segundo miembro pertenecen todos los elementos, términos o bloques que se encuentran a la izquierda de la igualdad Su resolución es encontrar el valor de su(s) incógnita(s) X – 8 (primer miembro) = 3

Ejemplo: X - 8 = 3

(Segundo miembro)

(Puede observarse a simple vista que su resolución es X = 11) Existen innumerables tipo matemáticas de ecuaciones algunas de ellas Ecuación lineal Y = Ax + B

Ecuación cubica Y = Ax3 + Bx2 + Cx + D

Ecuación cuadrática Ax2 + Bx + C = Y

Ecuación logarítmica

Ecuación Exponencial Y = a

x

Ecuación Racional Y = 1 / X

Ecuación Irracional Y = n√ X

Ecuación Trigonométrica Y = sen X

2X + 3Y – Z = 2

Ecuación lineal

Y = logb X

Ecuación no lineal Y = e

-2x1

+ 3 cos (2x2) + π/4

TÉRMINO, SUMANDO O BLOQUE: Se considera un término o bloque a cada producto o cociente separado con sumas o restas. Ejemplos: X

+ Y

X

+ YZ2

=

B =

A.B

– K3+L N

AB–M = X . F .

A + .

BC N

-

–

C

Observa que hay 4 términos: 2 en el 1er miembro y 2 en el 2do

- C

Observa que hay 4 términos: 2 en el 1er miembro y 2 en el 2do

Observa que hay 3 términos: 1 en el 1er miembro y 2 en el 2do Todo cociente abarca un término sin importar la operación del numerador.

F = H + J – L Observa que hay 4 términos: 3 en el 1er miembro y 1 en el 2do M

D.C2 – N5 + K = . F - 2J

G + √ L+ J P2

Hay 2 términos: 1 en el 1er miembro y 1 en el 2do miembro Los cocientes agrupan los términos.

FACTOR:En toda multiplicación deben existir por lo menos 2 factores. Son cada uno de los elementos que forman parte de la multiplicación o de un cociente. Recuerde que AB = A.B En un cociente o división se llaman NUMERADOR y DENOMINADOR Si el factor es – B puede decirse que a su vez tiene 2 factores -1 y B

Ejemplos:

3 3X

( Dos factores: 3 es un factor y

ABC

(tres factores A ,B, C)

AB2 + 2

Toda la expresión se puede considerar como un solo factor

.

Aunque en realidad hay dos términos bien definidos donde uno de ellos tiene 2 factores (2X + 3 B)D

(dos factores: 2X +3B

B/C

( Se consideran 2 factores: B y C )

(KJ – M) . L + G

D)

( 2 factores: (KJ – M) y (L + G) Recuerde que el NUMERADOR (KJ-M) y el DENOMINADOR (L+G) se agrupan como factores separados

(KJ – M)+ (T-L) . 3L + G3

( 2 factores: (KJ – M)+ (T-L)) y (3L + G3) Recuerde que el numerador (KJ-M)+(T-L) y el denominador (3L+G3) se agrupan como factores Si observa puede ver que en el numerador hay un factor con 4 términos. En el denominador hay un factor con 2 términos.

.

.

y

X es otro factor)

.

Antes de comenzar los despejes de incógnitas vamos a repasar los conceptos MIEMBRO, TERMINO, FACTOR. Primordiales para aprender a despejar correctamente. Ejemplos: X

+ Y

-

B

-

C

=

4 términos

TERMINO FACTORES TERMINO FACTORES TERMINO FACTORES TERMINO FACTORE

X

0 1 término

1er MIEMBRO X

X+Y–B–C

2do MIEMBRO 0

Y -B -1

B -C

-1

+ YZ2

+

C

A.B = C

3 términos

- 2

2 términos

2 factores 2 factores TERMINO FACTORES

1er MIEMBRO X

X + YZ2

2do MIEMBRO C

C-2

0

4 TERMINO FACTORES TERMINO FACTORES

AB–M . F

YZ2

-2 Z2

Y A

2

B

= X – K3+L N

1 término

-1

AB

2 factores (el numerador posee 2 sumandos o términos)

2 términos (uno de los cuales posee 2 factores: Numerador y denominador)

2 factores ( el numerador tiene 2 términos y uno de ellos (AB) posee 2 factores(A y B)

√A .. .

+

BC

–

F

=

√H + J – L

N

+

2T

tiene 2 factores ( 2 y T)

M

2 términos

2 términos

2 términos internos (uno tiene 2 factores).

2 factores (en numerador tiene 2 términos (uno de los cuales tiene 2 sumandos o términos internos)

A su vez el numerador tiene 2 factores A y B 1er MIEMBRO √A + BC/N - F TERMINO √A + BC/N

2do MIEMBRO (√(H +J) - L) / M + 2T √(H +J) - L / M

FACTORES TERMINO FACTORES

√(H +J)

-L

-F -1

M 2T

F

2

T

DESPEJE DE INCOGNITAS Para despejar una incógnita o variable de la ecuación o fórmula se debe proceder de la forma siguiente: Ejemplo: Sea la ecuación 3X + 2 = 5 Se observa en que termino o términos se haya la incógnita que se va a despejar. (La variable X) 3X + 2 = 5 Se agrupan aquellos términos que la contengan hacia un mismo miembro. 3X = 5 - 2 Se pasan de miembro los términos o factores que no contengan dicha incógnita tomando en cuenta lo siguiente: *Si están sumando pasan restando *Si están restando pasan sumando *Si están multiplicando pasan dividiendo X = (5 – 2) . 3 *Si están dividiendo pasan multiplicando

5 *Si están elevados a una potencia de exponente n pasan como una raíz de índice n *Si están abarcados por una raíz de índice n pasan como potencia de exponente n *Se realizan las operaciones numéricas o algebraicas que reduzcan o simplifiquen la ecuación resultante. Recuerde que el despeje puede ser por la derecha o por la izquierda. Esto lo indica la facilidad que ofrezca la ecuación. Toda ecuación presenta sus peculiaridades. EJEMPLO 1 Despeje X en la ecuación X – 6 = 8 . – 6 =8

X

El bloque 6 esta sobrando pasa restando al 2do miembro

X = 8 + 6 = 14

EJEMPLO 2 Despeje X en la ecuación X – 6 = 5 P

.

.

De fácil comprobación

X–6 =5 P X –

Observe que el primer miembro tiene un solo término. El factor P pasa a multiplicar . Quedando 2 términos separados en el 1ero.

6 = 5P El termino sobrante 6 pasa a sumar al 2do miembro.

X = 5P + 6 Comprobación: Se sustituye X en la ecuación original X–6=5 . P

(5P + 6) - 6 = 5 P

EJEMPLO 3

B

– 6X = – 3

– 6X = – 3 – B .

6X = 3 + B

.

X=3+B 6

5P + 6 - 6 = 5 P

5P = 5 P

5=5

.

Despeje X en la ecuación B – 6X = - 3 .

El bloque B esta sobrando, pasa restando al 2do miembro Como la variable es de signo negativo multiplicamos ambos miembros por el factor (-1) El factor 6 pasa a dividir al segundo miembro.

6 Comprobación: Se sustituye X en la ecuación original B–6 3+B . 6

B – (3+B) = - 3

B–3–B=–3

-3=-3

EJEMPLO 4 Despeje X en la ecuación 5X – 6 = 8 . 4 6X – 8 = 8 . 5

En el primer miembro hay un solo termino que contiene 2 factores Se rompe el bloque pasando el 5 a multiplicar al primer miembro

6X – 8 = (8).5 .

Observe que el primer miembro se agrupa con un paréntesis porque pasa a ser un factor

6X – 8 = 40

Quedan 2 términos en el primer miembro donde el 8 pasa con signo + al Segundo miembro

6X = 40 + 8

6X = 48 ahora se rompe el termino pasando el 6 dividiendo al 2do miembro

.

X = 48/6

donde

X=8

Comprobacion: Se sustituye X = 8 en la ecuación original 6X – 8 = 8 . 5

6(8) – 8 = 8 5

48 – 8 = 8 5

40 = 8 5

8=8

Se verifica ya que ambos miembros de la ecuación dan resultados idénticos. EJEMPLO 5 Despeje T en la ecuación 5X – T + L = 3 . 6 5X – T + L = 3 . 6

Observe que sobra el termino o bloque donde esta L. Pasa al 2do miembros restando

5X – T = (3 - L) . 6

Se agrupa el 2do miembro con un paréntesis porque será un factor

+5X

– T = (3 - L).6

División. Quedan 2 términos ahora en el primer miembro. 5X esta sobrando, pasa restando al 2do miembro.

. .

-T .

El factor 6 pasa multiplicando al 2do miembro. Se deshace la

= (3 - L).6 - 5X

Quedan 2 términos ahora en el 2do miembro. Cada uno de ellos con 2 factores.

7 despejar T tiene que ser positivo. Se multiplican ambos miembros por (-1) lo que cambia los signos de los términos T = - (3 - L).6 + 5X Opcional: Si se desea se aplica propiedad distributiva para dejar mas explicita la ecuación T = - (3 - L).6 + 5X

T = -(3)6 + 6(L) + 5X

T = 6L + 5X – 18

Comprobación: 5X – T + L = 3 . 6 5X – (6L + 5X – 18) + L = 3 . 6 - 6L + 18 + L = 3 . 6 -L+3+L=3

5X – 6L - 5X + 18) + L = 3 6

- 6L + 18 + L = 3 6

6 (-L + 3) + L = 3 6

3=3

EJEMPLO 6 Despeje A en la ecuación 3X + G - (T – P) = 4 . A 3X + G - (T – P) = 4 . A 3X + G = 4 + (T – P) . A

El bloque ( T - P ) pasa al 2do miembro sumando a 4

El factor A pasa a multiplicar TODO el segundo miembro Debe agruparse con un paréntesis o corchete.

(3X + G) = 4 + (T – P) . A 3X + G

=

A

Observe que el 2do miembro tiene 2 factores El factor 4 + (T-P) pasa a dividir TODO el primer miembro

4+ T–P OTRA OPCION 3X + G = 4 + (T – P) A 1

Al llegar a . .

A

1

3X + G A=

4 + (T – P) 3X + G

4+ T–P

Se pueden invertir ambos miembros simultáneamente por existir una sola fracción en ambos miembros.

donde el factor (3X + G) pasa multiplicando al 2do

8 EJEMPLO 7 Despeje T en la ecuación X + (G-H) – (K –1) = 1 . 1 + A+B . T X + (G-H) – (K – 1) = 1 1 + A+B . T

Se pasa el termino (K -1) al segundo miembro. Observe que hay 2 términos en el primer miembro

X + (G-H) = 1 + (K – 1) 1 + A+B . T

Se pasa el término (K – 1) sumando al segundo miembro. y luego el factor 1 + A+B multiplicando. T

X + (G – H)= 1 + (K–1) 1 + A+B . T

Ahora el factor 1 + (K – 1) dividiendo al primer miembro

.

X + (G-H) = .1+(K–1)

1 +

X + (G-H) – 1 = .1+(K–1)

A+B T

=

Se pasa el factor T multiplicando TODO el primer miembro

A+B

Se pasa el factor T multiplicando TODO el primer miembro

A+B

Luego Se pasa el factor sobrante dividiendo al 2do miembro

X + (G-H) – 1 1+(K–1)

.

.

A+B T

X + (G-H) – 1 T = .1+(K–1) T

Se pasa el termino 1 restando

.

OPCIONAL pueden resolverse si se desea , las operaciones para simplificar la ecuación T

.

=

A+B

=

X + (G-H) – (1+(K–1) 1+(K–1)

1+(K–1) (A+B)

=

X + (G-H) – (1+(K–1)

EJEMPLO 8 Despeje X en la ecuación .

K(A+B)

=

X+G–H–K

AK+BK X+G–H–K

(G - X) – (L + 5) = 1 X-2

Puede observarse que la variable X esta en dos factores del mismo bloque (G - X) – (L + 5) = 1 Se pasa el bloque sobrante . X-2

.

(G - X) = 1+ (L + 5) X-2

Se pasa el bloque sobrante multiplicando al 2do miembro Todo el segundo miembro se agrupa en un corchete

9 Se rompe la división

G – X = 1+ L+ 5

(X-2) se simplifica la expresión. Usando

propiedad distributiva para poder separar los factores que tiene X G – X = 1 + (L+5) X – G- X .

L+ 6) - 2

= X + LX + 5X – 2 – 2L – 10 Se agrupan los términos que contengan X en un miembro

–X – X – LX – 5X = – G – 2 - 2L -10 Se extrae factor común X X(– 1 –1 – L – 5 ) = – G – 2 - 2L -10 X(–7 – L) = - G -2L – 12 X= - G -2L – 12 . (–7 – L)

pasando el factor (-7 – L) dividiendo al 2do miembro

X = - (G+ 2L+12 ) - (7+L)

X= G+2L+12 L+7

Comprobación: Si se desea comprobar se sustituye X en la ecuación original y aplicando operaciones elementales debe llegarse a la igualdad EJEMPLO 9 Despeje X en la ecuación .

(G - X) – (L + X) = 1 T-2

(G - X) – (L + X) = 1 Observe que la incógnita está en 2 términos diferentes del mismo .T - 2 miembro (G - X) – (L + X).(T-2 = 1 . T-2

Linealizando entre (T – 2) dá (G - X) – (L + X).(T-2) = (T-2) Aplicando Propiedad Distributiva se separan en términos.

G – X – LT + 2L –XT + 2X = T – 2

Se agrupan los términos donde esta X

– X –XT + 2X = T – 2 + G + LT- 2L

Extrayendo factor común X

X(-1 – T + 2) = T – 2 + G + LT- 2L

X( 1 – T) = T – 2 + G + L(T- 2) - 2

X= T – 2 + G + LT- 2L . ( 1 – T) EJEMPLO 10 Despeje T en la ecuación .

V–T = T–2 . K – 6

V–T= T–2 K-6

Observe que la incógnita T aparece en ambos miembros

Opción 1 Se rompe la división pasando el denominador multiplicando

V – T = (T - 2)( K -6)

V – T = KT – 6T - 2K + 12 se agrupan las T y se factoriza por factor común.

10 – T + 6T – KT = –2K + 12 – V

T(–1 + 6 – K) = – 2K – V +12

T(5 – K) = – 2K – V +12

T= – 2K – V +12 5–K

.

Opción 2 Se separa el primer miembro en términos separados

.

.

.

V – T K–6 K–6

= T – 2

V +2 = T +T K–6 K– 6

V + 2 = T K–6 V

+ 2

Se agrupa los términos donde aparezca T

Se agrupa los términos donde aparezca T Se extrae factor común T

1 +1 K– 6

Se agrupan los términos donde aparezca T Se extrae factor común T

.

K–6

al simplificar queda T = – 2K – V + 12 5–K

=T

.

1

+ 1

K– 6

EJEMPLO 11 Despeje T en la ecuación .

V – T5 + (L – 2) = K –K–6

V – T5 + (L – 2) = K . –K–6

Pasa el termino sobrante (L – 2) restando al 2do miembro

V – T5 = K – (L – 2) . –K–6

Pasa el factor sobrante (– K – 6) multiplicando al 2do miembro

V – T5 = K–(L – 2) (– K–6) Pasa el factor sobrante (– K – 6) multiplicando al 2do miembro V – T5 = K – (L – 2) (– K – 6)

Pasa el termino sobrante V restando al 2do miembro

– T5 = K– (L–2)(– K– 6)

Se multiplican los términos por el factor (–1)

–V

T5= – K – (L – 2) (– K – 6) + V Se despeja T pasando un radical (índice 5) a todo el 2do . miembro T=

5

– K – (L – 2) (–K – 6) + V

11 EJEMPLO 11 Despeje K en la ecuación .

.

.

.

V – T5 - (M + 2) = 1 – K – 6.

Se pasa el termino sobrante (M+2)

V – T5 –K–6

= 1 + (M + 2)

Se destruye el radical pasando una potencia de índice 2

V – T5 –K–6

= 1 + (M + 2)

2

Se destruye el radical pasando una potencia de índice 2 Como K esta en el denominador pueden invertirse ambas fracciones.

.

.

–K–6 = V – T5

-K-6

1 1 + (M + 2)

.

=

(V - T5)

1 + (M + 2)

K + 6 = .-

K = .-

(V – T5)

1 + (M + 2)

.

K =

.

2

T5 – V 1 + (M + 2)

2

(V - T5) - 6

1

Se multiplican los términos por el factor (-1) Todo el segundo miembro es un solo término

Eliminando el corchete Aplicando propiedad distributiva

– 6 2

Se multiplican los términos por el factor (-1)

2

1 1 + (M + 2)

.

Pasa el denominador multiplicando 2

1

.

.

.

V – T5 - (M + 2) = 1 -K-6 .

12 EJEMPLO 12

Despeje Y en la ecuación

2Y5 + 5T + 5K + 9 + 5K3 = 5K3 + 25T+ 15 3 M–N

. .

2Y5 + 5T + 5K + 9 + 5K3 = 5K3 + 25T+ 15 . 3

Debe romperse el cociente del 1er miembro pasando el denominador (M5 - N)

.

M5 – N

.

multiplicando todo el segundo miembro.

.

2Y5 + 5T + 5K + 9 + 5K3 = (5K3 + 25T+ 15).(M5 – N) 3

.

2Y5 = - 5T - 5K + 9 - 5K3 + (5K3 + 25T+ 15).(M5 – N) 3

.

Y5

Se pasan los términos sobrantes

– 5T – 5K + 9 – 5K3 + (5K3 + 25T+ 15).(M5 – N) = 3 2

Y .

= 5

– 5T – 5K + 9 – 5K3 + (5K3 + 25T+ 15).(M5 – N) 3 2

EJEMPLO 13 .

Despeje K en la ecuación

K2 + 5T + 5K + 9 + K3 =

.

5K3 + 25T+ 15 5

.

Observe que K tiene varias potencias. Esto indica que no se va a poder despejar directamente si no se separan los términos. Debe linealizarse. 5K2 + 25T + 25K + 45 + 5K3 = 5K3 + 25T + 15 5K2 + 25K + 45 - 15 = 0

Se convierte en una ecuación de 2do grado

5K2 + 25K + 30 = 0

puede simplificarse entre 5

13 K2 + 5K + 6 = 0 .

por lo que debe factorizarse o en su defecto aplicar la resolvente de 2do grado. Sabiendo que a=1 b=5 c=6

K = - b ± √( b2 – 4ac)

/ 2a

Lo que resulta K = - 3

EJEMPLO 12

y

K= - 2

Despeje K en la ecuación

K3 - 6K2 + 12K – 8 = 0

Observe que K tiene varias potencias. Esto indica que no se va a poder despejar directamente si no se factoriza la ecuación. Método TEOREMA DE RUFFINI 1 K= 2 1 K= 2 1 K= 2

-6

12

-8

2

-8

8

-4

4

2

-4

-2

0 raíz

0 raíz

2 1

0 raíz

La factorización es (K – 2)3 = 0 Donde K = 2

EJEMPLO 13

Despeje α en la ecuación

1 – 2 cos α = 2 En el caso de despejes de Funciones trigonométricas se aplica el mismo criterio de términos o bloques. El termino 1 pasa restando. 1

–

2 cos α = 2

2 cos α = – 1

– 2 cos α = 2 – 1 Se multiplican ambos miembros por (-1) cos α = –1/2

Se aplica la función inversa α = cos-1 (–1/2) para liberar el argumento α. Tiene 2 soluciones en el dominio 0 < α < 2 π

α1 = 120º

y

α2 = 240º

14 EJEMPLO 14

Despeje X en la ecuación

1 – 2 logb (X +2) = (K – 5) En el caso de despejes de Funciones logarítmicas se aplica el mismo criterio de términos o bloques. El término T pasa restando T – 2 logb (X +2) = (K – 5) 2 logb (X + 2) = - (K – 5) + T

.

logb (X +2) = - (K – 5) + T 2

– 2 logb (X +2)= (K – 5) – T El factor 2 pasa dividiendo

Se aplica un cambio de notación logarítmica a Exponencial para liberar el argumento (X+2)

T-K+5

.

T- K+ 5

2

.

b

x(-1)

2

=X+2

– 2

X= b

donde EJEMPLO 15

Despeje T en la ecuación 5T – 3 = 2

Cuando se tratan de ecuaciones con Valor absoluto se aplica una doble igualdad donde el término o términos que están fuera del signo de valor absoluto no cambian en una ecuación y cambian su signo en la otra. De esta manera se elimina el signo del valor absoluto. –2 = 5T – 3 = 2 Donde se resuelve cada una por separado: 5T – 3 = 2

T=2+3 5

T=1

–2 = 5T – 3

–2+3=T 5

T = 1/5

.

.

EJEMPLO 15

.

Despeje X en la ecuación 5T2 – 3

x+1

=2+Y

Observe que la incógnita buscada se halla en el exponente. Una forma para “bajar” X es aplicar un logaritmo de cualquier base a cada miembro de la ecuación. Se recomienda una base que simplifique el cálculo. En este caso base 10. log

5T2 – 3

x+1

= log (2 + Y)

15 Aplicando propiedades de los logaritmos (x+1) log (5T2 – 3)

= Log (2 + Y)

Se pasa el factor log (5T2 – 3) dividiendo al 2do miembro (x + 1) =

log (2 + Y) log (5T2 – 3)

.

x = .

donde

log ( 2 + Y) log (5T2 –3)

-

1

EJERCICIOS PLANTEADOS CON RESPUESTA: * Despeje la variable indicada en el paréntesis 3X – 5Y + Z = T + L X4 + X2 - 12 = 0 3X – Y - Z = K2 - L . m T+1 2 eX – π = -1 + Y 5T – 3 = - 1 + Y M 5M – K2 - L4 = 0 . 2

(Y) (X) (Y)

Resp ( T - 3X - Z – L)/5 = Y Resp: X = ±√3 X= ±√4 i Resp Y = 3X - m (K2 – L) - Z.

(T)

Resp:

( M)

Resp:

2 – tg (X - π)2 = 1 – cos (y + 2k)

2Sen 2X = -1 P–T

5

.-L√T

+1

M = (5T – 3)/(-1 +Y) M = (5T – 3)/(1 - Y)

(X)

Resp:

X = tg

-1

1 + cos (y + 2k)

(P)

( L)

.

5

3

P –T5

Resp:

–1

(–(M–2S)–1)

1/(X-4) = X/2 - 2 (x) Resp: X=5 X=3 –L . 2 2 (x+3) 2 +T=1-Y ( X) Resp: X = √log2 ( 1 –Y – T) - 3

5

x-3

= 25

x+2

(X)

+π

Resp: P = 3 √(Y + 5K )(M–X) – 5K3 –T – 1 2 Resp: X=105º y X=165º 2 T=

5X – 3T = 5 ( P) . 1 – P –x 10 – e =1 ( X) 2Sen (3α – β) – 1 = 0 (β)

2

.

(x)

+ (M – 2S) = -1

T = Log π (eX2-Y+1) – 1

Resp: √5 M - 2L4

(K)

T + 2P + 1 + 5K3 5 . Y3 = - 5K3 . M-X

.

Resp: P = 1 - 5X -3T 25 Resp: X = - Ln 9 Resp: β = - Sen-1(1/2) - 3 α Resp: X = - 7

.