Commande numérique basée sur le placement de pôles des procédés linéaires à retard
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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Abderrahmane MIRA-BEJAIA Faculté de la technologie Département d’électronique
Spécialité : Master 1 en électronique
Commande numérique basée sur le placement de pôles des procédés linéaires à retard Présenté par: Mr ZADRI Samir
Promoteur: Mr LECHOUCHE Hocine
2009-2010
Au terme de mon travail je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mon promoteur LECHOUCHE Hocine pour son aide, ses conseils et pour m’avoir assisté tout au long de ce travail. Je remercie également mes deux amis Toufik et Atef pour leur aide et leur disponibilité continue ainsi que tous mes proches. Je tiens aussi à exprimer au président et aux membres du jury mes remerciements les plus respectueux pour l’honneur qu’ils mon fait, d’avoir accepté de juger ce modeste travail.
ZADRI Samir
Je dédie notre travail à : Mes parents Mes frères : Nabil, Walid, Khaled Tous mes amis
Sommaire Introduction générale ................................................................................................................. 1 Chapitre I : Généralités sur la commande numérique I.1 Introduction .............................................................................................................................. 2 I.2 Procédés et signaux ..........................................................................................................................2 I.3 Structure des systèmes à commande numérique .............................................................2 I.4 Fonction de transfert de la boucle d’asservissement ......................................................3 I.4.1 En boucle ouverte ........................................................................................................................... 3 I.4.2 En boucle fermée ........................................................................................................................... 3
I.5 Transmittance en présence d’un bloqueur d’ordre zéro ............................................ I.6 Système comportant un retard pur
4
........................................................................................ 4
I.7 Le système dans cas discret et continue
............................................................................... 4
I.7.1 Système du 1er ordre .................................................................................................................. 4 I.7.2 Système du 2ème ordre ................................................................................................................ 5
I.8 Stabile des systèmes numériques...............................................................................................5 I.9.1Critère du revers dans le plan de Nyquist .......................................................................... 5 I.9.2 Critère de Jury ................................................................................................................... 6
I.9 Précision des systèmes asservis échantillonnés .................................................................7 I.10 Conclusion ..........................................................................................................................................8 Chapitre II : La commande numérique basée sur le placement des pôles II.1 Introduction
...................................................................................................................................... 9
II.2 Le régulateur RST
......................................................................................................................... 9
II.2.1 Définition .................................................................................................................................... 9 II.2.2 Effet de l’intégrateur ................................................................................................................... 10
II.3 Synthèse du régulateur RST avec un retard
................................................................. 11
II.3.1 Principe de la synthèse ........................................................................................................... 11 II.3.2 Simplification de zéros du système à régler ................................................................... 13 II.1.3.3 Equation de Diophante ........................................................................................................ 13
II.1.3.4 Choix du modèle à poursuivre ............................................................................................ 15 II.1.3.5 Algorithme synthèse du régulateur RST ........................................................................... 15
II.4 Conclusion .........................................................................................................................................16 Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques III.1 Introduction
.................................................................................................................................. 17
III.2 Simulation des systèmes dynamiques par le régulateur RST ...............................17 er
III.2.1 Système du 1 ordre sans et avec retard ............................................................................ 17
III.2.2 Système du 2ème ordre sans et avec retard ......................................................................... 20 III.2.3 Système du l’ordre supérieure à 2 avec retard (par exemple : 3ème ordre) .................................. 26
III.3 Conclusion
..................................................................................................................................... 28
Chapitre IV : Application de la commande numérique sur un procédé chimique IV.1 Introduction....................................................................................................................................29 IV.2 Structure et Principe de fonctionnement d’une colonne à distiller IV.3 Modèles dynamique de la colonne
................. 29
.................................................................................... 31
IV.3.1 Modèle de plateau ..................................................................................................................... 31
IV.3.2 Modèle de ballon de tète ....................................................................................................... 32 IV.3.3 Modèle de ballon de fond ...................................................................................................... 32
IV.4 Application numérique sur un procédé chimique ......................................................32 IV.5 Conclusion .......................................................................................................................................34 Conclusion générale
............................................................................................................................. 35
Annexe Références bibliographique
Introduction générale Introduction générale L'automatique est la science qui traite de l'analyse et de la commande des systèmes dynamiques évoluant avec le temps. En d'autres mots de l'automatisation de tâches par des machines fonctionnant sans intervention humaine. Le système de la commande peut fonctionner en boucle ouverte à partir d’un signal d’entrée. Cependant, uniquement en boucle fermée est capable de stabiliser, d’améliorer les performances et de rejeter les perturbations externes des systèmes dynamiques. La loi de commande est générée par un système de commande qu’on appelle correcteur ou régulateur. Comme sa mise en œuvre est réalisée avec des systèmes concrets, qui peuvent être analogiques ou numériques.
De nos jours, grâce aux développements de l’électronique et de l’informatique, la plupart des lois de commande sont implémentées sur des micro-ordinateurs ou processus numériques. L’implémentation d’un algorithme de commande sur l’ordinateur en comparaison à une réalisation analogique, offre de nombreux atouts : coût faible, précision élevée, insensibilité au bruit et facilité d’implémentation et souplesse par rapport aux modifications.
Parmi les algorithmes de placement de pôles utilisés dans la commande numérique, on trouve les deux méthodes les plus répondues, la méthode polynomiale basée sur les polynômes RST et la méthode de commande par retour d’état.
L’objectif de notre travail est d’implémenter une commande numérique basée sur le placement des pôles pour la simulation des systèmes dynamiques et d’étudier l’influence du retard sur la réponse de la commande de chaque système. Pour ce faire, on a programmé trois systèmes à différents ordre (1er ordre, 2ème ordre, et supérieur à 2) sous Matlab. En fin, cette technique est appliquée sur un procédé chimique nommé colonnes à distiller.
Notre mini projet comporte quatre chapitres : • Chapitre I: Généralité sur la commande numérique ; • Chapitre II : La commande numérique basée sur le placement des pôles ; • Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques ; • Chapitre IV : Application de la commande numérique sur un procédé chimique.
1
Chapitre I : Généralité sur la commande numérique
I.1 Introduction Dans ce chapitre, on va introduire les structures de base et le fonctionnement de la commande numérique et les différentes classes de systèmes dynamiques.
I.2 Procédés et signaux [1] Un procédé est décrit comme une boite noire qui introduit une relation entre deux catégories de signaux : Les signaux d'entrée ou signal de commande du procédé. Les signaux de sortie ou sorties commandées. Le cas le plus simple est celui des procédés mono-variables (SISO) qui est étudié dans un premier temps, la généralisation se fait ensuite au procédés plus complexes. La représentation d'un procédé mono-variable est donc la suivante :
u (t)
y (t)
Procédé
Figure I.1 La représentation d'un procédé Dans tout le manuscrit l’entrée ou commande de procédé est notée par u(t) et la sortie par y(t).
I.3 Structure des systèmes à commande numérique Le pilotage par ordinateur des procèdes physiques, notamment leur asservissement, est de plus en plus utilisé dans le milieu industriel pour des raisons de coût et de rapidité d’implémentation. La commande numérique du procédé est illustrée par la figure I.2 [2]. h Yc(k) Consigne numérique
+ -
e(k)
u(t) Correcteur
CNA
y(t) Procédé
h
CAN Calculateur numérique
Capteur Mesure analogique
Figure I.2 structure de la commande numérique
2
Chapitre I : Généralité sur la commande numérique Le principe d’un système à commande numérique est de remplacer la commande analogique du système par des algorithmes mis en œuvre sur calculateur. Le calculateur numérique nécessitant un certain temps pour effectuer ces opérations, on introduit alors un découpage temporel des signaux au niveau du calculateur. Les systèmes à commande numérique considérés présentent donc un caractère hybride, temps continu - temps discret [2]. Par conséquent, il est nécessaire de réaliser une interface entre le calculateur et le procédé et cette interface est obtenue à l’aide : D’un convertisseur numérique-analogique (CNA) pour convertir les signaux numériques issus du calculateur dans des signaux analogiques constituant l’entrée du procédé ; D’un convertisseur analogique-numérique (CAN) pour convertir les mesures effectuées sur le procédé et les fournir au calculateur. Il peut arriver que le capteur soit lui-même discret et qu’il n’y ait donc pas de conversion analogique-numérique à faire.
I.4 Fonction de transfert de la boucle d’asservissement I.4.1 En boucle ouverte La figure I.2, montre que la boucle ouverte est formée de deux systèmes numériques en cascade : calculateur et le processus numérisé, donc la fonction de transfert en boucle ouverte est le produit de fonction de transfert ܥሺݖሻܪሺݖሻ [3].
ܥሺݖሻ est la fonction de transfert du correcteur (calculateur).
ܪሺݖሻ est la fonction de transfert du processus échantillonnée muni de son bloqueur d’ordre zéro.
I.4.2 En boucle fermée Yc(z)
+ -
ℇ(z)
C(z)
U(z) H(z)
Y(z)
Bouclage Tous les signaux ݕ ሺ݇ሻ, ݑሺ݇ሻ, ݕሺ݇ሻ݁݁ ݐሺ݇ሻ ont une transformée en z données par les Figure I.3 : le système de commande en boucle fermée
fonctions ܻ ሺݖሻ, ܷሺݖሻ, ܻሺݖሻ݁ ݐℇሺݖሻ respectivement. La figure I.3 exprime la structure de la fonction
de la boucle dans le domaine z, les fonctions de transfert sont : •
ܻሺݖሻ = ܪሺݖሻܥሺݖሻ ℇሺݖሻ
En boucle ouverte :
ሺI. 1ሻ 3
Chapitre I : Généralité sur la commande numérique •
ܻሺݖሻ ܥሺݖሻܪሺݖሻ = ܻ ሺݖሻ 1 + ܥሺݖሻܪሺݖሻ
En boucle fermée :
ሺI. 2ሻ
I.5 Transmittance en présence d’un bloqueur d’ordre zéro
Si le système échantillonné en entrée est bloqué sur la période (cas le plus fréquent en commande numérique), il vient (figure I .4) [4] : ܻ
ܤ
ܪሺሻ
ܻ
ܪሺሻ ܼܶሺܤ ሺሻሺሻሻ = ሺ1 − ି ݖଵ ሻܼܶ ቆ ቇ
Figure I.4 : Système avec échantillonnage -bloqueur
ሺI. 3ሻ
I.6 Système comportant un retard pur
Soit le processus comportant un retard pur ܶ = ݀ℎ + ݐ avec d entier et ݐ < ℎ (figure I.5). ܻ
݁
ି்ೝ
ܪሺሻ
ܻ
En notant ܪ ሺሻ = ݁ ି்ೝ ܪሺሻ , il vient ;
Figure 1.5 : système avec retard pur
ܼܶሺܪ ሺሻሻ = ି ݖௗ ܼܶሺ݁ ି௧ೝ ሻH ሺpሻሻ
Si h est choisi sous- multiple exacte de ܶ , on a : ݐ = 0 soit : ܼܶቀ݁ ିௗ ܪሺሻቁ = ି ݖௗ ܪሺݖሻ
I.7 Le système dans le cas discret et continue
ሺI. 4ሻ
I.7.1 Système du 1er ordre 1 ߬p + 1
On prend un modèle qui correspond à une fonction de transfert sous forme canonique [5]: Hሺpሻ = k
Hሺpሻ: C’est la fonction du transfert en transformée de Laplace, telle que
ሺI. 5ሻ
K : le gain statique ;
τ : La constante de temps.
4
Chapitre I : Généralité sur la commande numérique La fonction du transfert en transformé z est :
Hሺzሻ = k
୦
൬1 − eି τ ൰
ሺI. 6ሻ
୦
൬z − eି τ ൰
I.7.2 Système du 2ème ordre Système du second ordre est représenté par la fonction de transfert H(p) donnée par. w୬ଶ Hሺpሻ = ଶ p + 2ϛw୬ p + w୬ଶ
ሺI. 7ሻ
ݓ : La pulsation propre de système et ϛ : le coefficient d’amortissement. La fonction du transfert
équivalente en discret est ;
telle que
Hሺzሻ =
zଶ
bଵ z + bଶ + aଵ z + a ଶ
ܽଵ = −2ߙߚ, ܽଶ = ߙ ଶ ,ܾଵ = 1 − ߙሺߚ +
Avec
ϛݓ ϛݓ ߛሻ ܾ݁ ݐଶ = ߙ ଶ + ߙሺ ߛ − ߚሻ ݓௗ ݓௗ
ሺI. 8ሻ
ݓௗ = ݓ ඥ1 − ϛଶ , ߚ = cosሺ ݓௗ ℎሻ, ߛ = sin ሺ ݓௗ ℎሻ,ߙ = ݁ ିϛ௪
,
I.8 Stabile des systèmes numériques I.8.1 Critère Nyquist ܥሺݖሻܪሺݖሻ 1 + ܥሺݖሻܪሺݖሻ
La fonction de transfert du système en boucle fermée est ; ܨி ሺݖሻ =
ሺI. 9ሻ
point (0,0) des racines du polynôme caractéristique 1 + ܥሺݖሻܪሺݖሻ = 0, le contour de Nyquist est
L’étude de la stabilité du système asservi revient à la position par rapport à un cercle unité centré au
défini comme étant le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique, donc le contour fermé C s’écrit comme, = ܥ൛ ݁ = ݖ௪ , [߳ݓ−ߨ, ߨ]ൟ
5
Chapitre I : Généralité sur la commande numérique
Figure. I. 6 : contour de Nyquist
I.8.2 Critère de Jury Un système à temps discret est dit stable si chaque séquence d’entrée bornée produit une séquence de sortie bornée [2]. Pour qu’un système à temps discret de la fonction de transfert H(z) soit stable il faut que tous les pôles de H(z) soient situés à l’intérieur du cercle unité du plan z. Cette condition peut être déduite de système continu et sachant que z=ehp et cette application transforme le demi plan ouvert gauche au plan p à l’intérieur du cercle unité de plan z. Dans le cas de système continu, on utilise le critère de Routh pour tester la stabilité. Pour le ܦሺݖሻ = ܽ ݖ + ܽଵ ݖିଵ + ⋯ + ܽ
ሺI. 10ሻ
cas de systèmes discrets on utilise le critère de jury. Pour une équation caractéristique de la forme :
Tableau I .1 : critère de Jury Table de Jury ܽ
ܽସ
ܽଵ
ܽଷ
ܾ
ܾଵ
ܿ
ܿଵ
ܾଷ ܿଶ
݀
݀ଵ
݁
ܾଶ
ܿଵ
݀ଵ
݀
ܽଶ
ܽଶ
ܾଶ
ܾଵ
ܿଶ ܿ
0
ܽଷ
ܽଵ
ܾଷ
ܾ 0
ܽସ
ܽ 0
Réglage de formation Les coefficients de D(z) selon les puissances décroissante de z. avec D(z) arrangé pour que ܽ = 1 , ܭଵ = ర
బ
ሺ1ère ligne aሻ −ܭଵ ∗ ሺ 2ème ligne aሻ ܭଶ =
ܾଷ ܾ
ሺ1ère ligne bሻ −ܭଶ ∗ ሺ 2ème ligne bሻ ܿଶ ܭଷ = ܿ ሺ1ère ligne cሻ −ܭଷ ∗ ሺ 2ème ligne cሻ ܭସ =
݀ଵ ݀
ሺ1ère ligne dሻ −ܭସ ∗ ሺ 2ème ligne dሻ 6
Chapitre I : Généralité sur la commande numérique Jury à démontrer que toutes les racines de l’équation (I.10) sont dans le cercle unité si et seulement si tous les premiers éléments (b0 ; c0 ; d0 ;…) sont tous positives. Il faut au départ arranger D(z) pour que a0=1 ensuite procéder. Dans ces conditions {(b0 ; c0 ; d0 ;…) positive}, la condition e0>0 est équivalente aux conditions {(D(1)>0) et ((-1)n D(-1)>0)}. Ces deux conditions nécessaires pour la stabilité et doivent être testées avant même de former la table. Il faut aussi noter qu’en cas d’instabilité, le nombre de pôle en dehors du cercle unité est égal au nombre des a0, b0, c0, d0 et e0...
I.9 Précision des systèmes asservis échantillonnés L’erreur d’asservissement est définie comme étant l´écart entre la consigne et la grandeur à régler. L’analyse de l’erreur en régime permanent est très importante parce qu’elle nous donne une mesure de la qualité de l’asservissement en termes de précision statique. Dans cette section nous étudions l’erreur permanente d’asservissement en supposant que le système bouclé est stable [2]. Le signal d’erreur est :
ܧሺݖሻ =
ܻ ሺݖሻ 1 + ܥሺݖሻܪሺݖሻ
ሺܫ. 11ሻ
D’après le théorème de la valeur finale pour les systèmes à temps discret, on peut calculer l’expression de l’erreur en régime établi par ; ℇஶ = limሺ ݖ− 1ሻ ܧሺݖሻ ௭→ଵ
ሺI. 12ሻ
en ݁ = ݖ = 1. Ainsi, si la somme des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert du
Dans le cas d’un système à temps discret, une intégration est caractérisée par la Présence d’un pôle
système considérée est nulle alors le système comporte au moins un intégrateur. Mettons 1 ܰሺݖሻ ሺ ݖ− 1ሻ ܦሺݖሻ
maintenant en évidence le pole z = 1 de multiplicité m de la fonction de transfert en boucle ouverte : ܨ ሺݖሻ =
ሺI. 13ሻ
Avec N(z), D(z) des polynômes de degrés appropriés. Soit la constante K définie par N(1)/D(1). L’entier m est appelée la classe du système en boucle ouverte. •
Entrée échelon : Dans ce cas l’erreur statique est également appelée écart permanent ܧ ݖ ݖ−1
d’ordre 0. Alors, l’entrée s’écrit comme :
Et donc :
ܻ ሺݖሻ =
ܧ ܧ ℇஶ = lim = ൝1 + ݇ = ݉ ݅ݏ0 ௭→ଵ 1 + ܨை ሺݖሻ 0 > ݉ ݅ݏ0
ሺI. 14ሻ ሺI. 15ሻ
7
Chapitre I : Généralité sur la commande numérique
•
Entrée rampe : l’entrée s’écrit comme : ܻ ሺݖሻ =
ܸ ݖ ሺ ݖ− 1ሻଶ
∞ = ݉ ݅ݏ0 ܸ ܸ ℇஶ = lim =൞ = ݉ ݅ݏ1 ௭→ଵ ሺ ݖ− 1ሻ1 + ܨை ሺݖሻ ݇ 0 > ݉ ݅ݏ1 Et donc :
ሺI. 16ሻ ሺI. 17ሻ
I.10 Conclusion
Dans ce chapitre, on a présenté la commande numérique qui comporte un régulateur. Celleci permet de commander plusieurs systèmes définis par leur fonction de transfert. Le teste de stabilité peut être effectué par plusieurs méthodes, on peut citer les plus utilisées à savoir la méthode graphique appelée Nyquist et la méthode algébrique nommée Jury.
8
Chapitre II : la commande numérique basée sur le placement de pôles
II.1 Introduction Ce chapitre est entièrement dévolu au régulateur RST, ce nom prevenant des trois polynômes qu’il fait intervenir. Le régulateur RST est défini dans le reste de chapitre, temps en temps, il est obligatoire d’introduire un intégrateur pour assurer l’erreur statique nulle. La méthode de synthèse du régulateur RST avec retard est mise en œuvre.
II.2 Régulateur RST II.2.1 Définition Un régulateur RST est un organe de contrôle permettant d’effectuer une régulation en boucle fermée d’un système industriel. Autre mot dit, c’est un correcteur couramment utilisé dans les systèmes de commande numérique. Le sigle RST vient du nom des 3 polynômes doivent être déterminés afin d'obtenir une commande efficace. La synthèse de ce type de correcteur s'effectue par placement de pôles. La résolution du système met en œuvre un polynôme de poursuite [6]. La structure générale du régulateur de RST est représentée ci-dessous. ܻ ሺି ݖଵ ሻ )
RST
ܷሺି ݖଵ ሻ
Hሺz ିଵ ሻ
ܻሺି ݖଵ ሻ
Bouclage
Figure II.1 schéma fonctionnel du montage en asservissement avec un régulateur RST [6] ܻ ሺି ݖଵ ሻ , ܷሺି ݖଵ ሻ ܻ݁ ݐሺି ݖଵ ሻ dénotent les grandeurs de consigne, de commande et de sortie à régler
respectivement, la fonction du procédé est donnée par cette forme rationnelle strictement propre avec un retard d. ܪሺݖ
ିଵ ሻ
=ݖ
−݀
ܤሺି ݖଵ ሻ ܣሺି ݖଵ ሻ
ሺII. 1ሻ
9
Chapitre II : la commande numérique basée sur le placement de pôles
Le degré de polynôme Aሺz ିଵ ሻ est strictement plus grand que celui de polynôme Bሺz ିଵ ሻ. Aሺz ିଵ ሻ est
monique et Aሺz ିଵ ሻ et Bሺz ିଵ ሻ n’ont aucun facteur commun, l’algorithme de réglage complet est
décrit par l’équation polynomiale suivante :
ܴሺି ݖଵ ሻܷሺି ݖଵ ሻ = ܶሺି ݖଵ ሻܻ ሺି ݖଵ ሻ − ܵሺି ݖଵ ሻܻሺି ݖଵ ሻ
ሺII. 2ሻ
et la fonction de transfert en boucle fermée est :
ܻሺݖ−1 ሻ ݖ−݀ ܤሺݖ−1 ሻ ܶሺݖ−1 ሻ = ܻ ሺݖ−1 ሻ ܣሺݖ−1 ሻ ܴሺݖ−1 ሻ + ݖ−݀ ܤሺݖ−1 ሻ ܵሺݖ−1 ሻ
ሺII. 3ሻ
Le polynôme Rሺz ିଵ ሻest choisi monique de degré p : = Rሺz ିଵ ሻ = ࢠିࢊ ሺ1 + rଵ z ିଵ + ⋯
Dénotons σ le degré du polynôme S (z ିଵ) : = S ሺz ିଵ ሻ =s + sଵ z ିଵ + ⋯ Et soit τ le dégrée de polynôme Tሺz ିଵ ሻ : Tሺz ିଵ ሻ =t + tଵ z ିଵ + ⋯
+ sσ z ିσ
+ r୮ z ି୮ ሻ
+ t τ t z ିτ
II.2.2 Effet de l’intégrateur Considérons maintenant le montage régulateur, dans lequel la consigne yc(k)=0 tandis qu’une addition analogique w(t) agit de manière additive en amont du processus à régler. ܻ
ሺି ݖଵ ሻ
=0
ܶሺݖ
ିଵ
ሻ
1 ܴሺି ݖଵ ሻ
+
ܷሺି ݖଵ ሻ
ܹሺି ݖଵ)
+
ܪሺି ݖଵ ሻ
ܻሺି ݖଵ ሻ
+
Bouclage ܵሺି ݖଵ )
Figure II.2 : schéma fonctionnel du montage en intégrateur avec un régulateur RST [6] On déduit l’influence de perturbation sur la grandeur à régler par : ܻሺݖ
ିଵ ሻ
= ܹሺݖ
ିଵ ሻܪሺି ݖଵ ሻ
+ ܪሺݖ
ିଵ ሻ
ܵሺି ݖଵ ሻ ൭− ܻሺି ݖଵ ሻ൱ ିଵ ሻ ܴሺܼ
ሺII. 4ሻ
10
Chapitre II : la commande numérique basée sur le placement de pôles
D’où, en posant ܭሺି ݖଵ ሻ = Alors ܻሺି ݖଵ ሻ =
ௌ൫௭ షభ ൯
ሺII. 5ሻ
ோሺ షభ ሻ
ܹሺି ݖଵ ሻܪሺି ݖଵ ሻ 1 + ܭሺି ݖଵ ሻܪሺି ݖଵ ሻ
ሺII. 6ሻ
La nécessité pour rejeter des perturbations, de la présence de α effets intégrateurs, obtenus en
remplaçant dans tous les développements précédents et venir R ሺି ݖଵ ) par ሺ1 − ି ݖଵ ሻ ܴሺି ݖଵ ሻ, la
fonction de transfert ܭሺି ݖଵ ሻ =
ௌሺ௭ షభ ሻ
ோሺ௭ షభ ሻ
, doit alors être échangée avec ;
ܵሺݖ−1 ሻ ܭሺ ݖሻ = ሺ1 − ݖ−1 ሻఈ ܴሺݖ−1 ሻ −1
ሺII. 7ሻ
்ሺ௭ షభ ሻ ܶሺݖ−1 ሻ et ܴሺݖ−1ሻ avec : ሺଵି௭ షభ ሻഀ ோሺ௭ షభ ሻ
II.3 Synthèse du régulateur RST avec un retard II.3.1 Principe de la synthèse La fonction de transfert du montage en asservissement avec retard d est citée dans l’équation (II.3).
Les polynômesܴሺݖ−1), S (ି ݖଵ ) et ܶሺݖ−1) du régulateur RST sont dimensionnées afin que cette
fonction de transfert en boucle fermée soit identique à la fonction de transfert ܪ ሺݖ−1 ሻ d’un
modèle à poursuivre (modèle de référence), donnée par l’utilisateur ; ܪ ሺݖ−1 ሻ = ݖ−݀
ܤ ሺݖ−1 ሻ ܣ ሺݖ−1 ሻ
ሺII. 8ሻ
ܪ ሺି ݖଵ ሻ est une fonction rationnelle propre ; de plus, le polynôme ܣ ሺି ݖଵ ሻ est monique et ses zéros sont tous à l’intérieur du cercle unité. la figure II.3 illustre cette méthode.
11
Chapitre II : la commande numérique basée sur le placement de pôles ܻ ሺି ݖଵ ሻ
ܶሺି ݖଵ ሻ
1 ܴሺି ݖଵ ሻ
+
ܶሺݖ
ሻ
ܷሺି ݖଵ ሻ
ି ݖௗ ܪሺି ݖଵ ሻ ݖ
Bouclage
ܪሺݖ
ܻሺି ݖଵ ሻ
ሻ
ܵሺି ݖଵ ) ܵሺݖ
=
ܻ ሺି ݖଵ ሻ
ܪ ሺି ݖଵ ሻ =
ି ݖௗ ܤ ሺି ݖଵ ሻ ܣ ሺݖሻ
ܻሺି ݖଵ ሻ
Figure II.3 : principe de la synthèse du régulateur RST avec un retard Les pôles du système en boucle fermée sont positionnés dans des endroits permettant de satisfaire des spécifications sur l’amortissement du régime transitoire. De par la structure de l’architecture classique, ce positionnement est limité à certaines régions du plan complexe et les spécifications ne peuvent pas toujours être vérifiées. L’approche présente un aspect empirique, impossible à transcrire sous une forme algébrique. Le dimensionnement du régulateur RST généralise considérablement la synthèse dans le lieu des pôles. On désire toujours placer les pôles du système en boucle fermée dans le but de maîtriser le régime transitoire. Toutefois, il est possible de distribuer ces pôles, qui sont des zéros du polynôme ܣ ሺି ݖଵ ሻ, arbitrairement dans le plan complexe.
De plus, le degré de ܣ ሺି ݖଵ ሻ n’est forcément égal à celui de Aሺି ݖଵ ሻRሺି ݖଵ ሻ + ି ݖௗ Bሺି ݖଵ ሻSሺି ݖଵ ሻ, en fait, un modèle à poursuivre très simple, avec un polynôme ܣ ሺି ݖଵ ሻ de degré nettement inferieure à
celui de (Aሺݖ−1 ሻRሺݖ−1 ሻ + ݖ−݀ Bሺݖ−1 ሻSሺݖ−1 ሻ .
Le modèle à poursuivre ܪ ሺି ݖଵ ሻ doit être choisi de sorte que l’erreur permanente d’asservissement
lim௭→ஶ ሺݕ ሺ݇ሻ − ݕሺ݇ሻሻ vérifier les spécifications. En fin, la synthèse provoque l’égalité : ܪ ሺݖ−1 ሻ =
ݖ−݀ ܤሺݖ−1 ሻܶሺݖ−1 ሻ
ܣሺݖ−1 ሻܴሺݖ−1 ሻ + ݖ−݀ ܤሺݖ−1 ሻܵሺݖ−1 ሻ
ሺII. 9ሻ
12
Chapitre II : la commande numérique basée sur le placement de pôles
II.3.2 Simplification des zéros du système à régler La synthèse d’un régulateur RST consiste à déterminer les polynômes R(ି ݖଵ z), S(ି ݖଵ ) et T(z)
afin que :
ݖ−݀ ܤሺݖ−1 ሻܶሺݖ−1 ሻ
ܣሺݖ−1 ሻܴሺݖ−1 ሻ + ݖ−݀ ܤሺݖ−1 ሻܵሺݖ−1 ሻ
=
ݖ−݀ ܤ ሺݖ−1 ሻ
ሺII. 10ሻ
ܣ ሺݖ−1 ሻ
Le polynôme ܤሺݖ−1 ) est factorisé en un facteur Bା ሺି ݖଵ ሻ, qui sera également un facteur du
polynôme Aሺି ݖଵ ሻRሺି ݖଵ ሻ + Bሺି ݖଵ ሻSሺି ݖଵ ሻ pour obtenir des simplifications dans (II.10), et un facteur B ି ሺzሻ , dont aucun zéro n’est racine de Aሺି ݖଵ ሻ Rሺି ݖଵ ሻ + ି ݖௗ Bሺି ݖଵ ሻ Sሺି ݖଵ ሻ et ܤሺି ݖଵ ሻ = ିܤሺି ݖଵ ሻܤା ሺି ݖଵ ሻ
ሺII. 11ሻ
ᇱ Les zéros de ି ܤሺݖ−1 ሻ doivent êtres des zéros de B୫ ሺݖ−1 ሻ donc ; ܤ ሺି ݖଵ ሻ = ିܤሺି ݖଵ ሻܤ ሺି ݖଵ ሻ, les
zéros ܤା ሺݖ−1 ሻ sont par conséquent, des zéros de ܴሺݖ−1) ce traduit par, ܴሺି ݖଵ ሻ = ܤା ሺି ݖଵ ሻܴᇱ ሺି ݖଵ). A partir de ces simplifications, on obtient une équation sous la forme : ݖ−݀ ܶሺݖ−1 ሻ
ܣሺݖ−1 ሻܴ ᇱ ሺݖ−1 ሻ + ݖ−݀ ି ܤሺݖ−1 ሻܵሺݖ−1 ሻ
=ݖ
−݀
ܤ′ ሺݖ−1 ሻ ܣ ሺݖ−1 ሻ
ሺII. 12ሻ
Il découle de cette égalité que le polynôme Tሺݖ−1 ሻ est égale au polynôme B′୫ ሺݖ−1 ሻ ; à un
polynôme A ሺݖ−1 ሻ en facteur près, et que ܣሺି ݖଵ ሻܴᇱ ሺି ݖଵ ሻ + ି ݖௗ ିܤሺି ݖଵ ሻܵሺି ݖଵ ሻ est égal à A୫ ሺݖ−1 ሻ au même facteur A ሺݖ−1 ሻ près ;
ܶሺݖ−1 ሻ = ܤᇱ ሺݖ−1 ሻܣ ሺݖ−1 ሻ
ܣሺݖ−1 ሻܴ ᇱ ሺݖ−1 ሻ + ݖ−݀ ି ܤሺݖ−1 ሻܵሺݖ−1 ሻ = ܣ ሺݖ−1 ሻܣ ሺݖ−1 ሻ
ሺII. 113ሻ
ሺII. 14ሻ
II.3.3 Equation de Diophantine Soient des polynômesܣሺݖ−1 ),ܤሺି ݖଵ) et ܥሺି ݖଵ ) dont les coefficients sont des nombres
réels ܺሺݖ−1 ) et ܸሺି ݖଵ ) inconnus. L’égalité polynomiale est appelée équation de Diophantine : Aሺݖ−1 ሻXሺݖ−1 ሻ + Bሺݖ−1 ሻVሺݖ−1 ሻ = Cሺݖ−1 ሻ
ሺII. 15ሻ
Théorème de Diophantine possède une solution ܺሺݖ−1 ) et ܸሺݖ−1) si et seulement si le pus grand
commun diviseur de ܣሺݖ−1 ) et ܤሺݖ−1) est un facteur de ܥሺݖ−1 ).
Si ܺ ሺݖ−1) et ܸ ሺି ݖଵ) est une solution de l’équation de Diophantine alors : 13
Chapitre II : la commande numérique basée sur le placement de pôles
Aሺݖ−1 ሻX ሺݖ−1 ሻ + Bሺݖ−1 ሻV ሺݖ−1 ሻ = Cሺݖ−1 ሻ
ሺII. 16ሻ
Dans ce cas,ܺሺି ݖଵ ) =ܺ ሺି ݖଵ) +Q (ି ݖଵ ) B (ି ݖଵ ) et, V (ି ݖଵ ) = V0(ି ݖଵ ) -Q (ି ݖଵ ) A (ି ݖଵ ), ou Q(ି ݖଵ ) est un
polynôme quelconque, constitue aussi une solution ; en effet ;
Aሺݖ−1 ሻሺX ሺݖ−1 ሻ + Qሺݖ−1 ሻBሺݖ−1 ሻሻ + Bሺݖ−1 ሻሺV ሺݖ−1 ሻ − Qሺݖ−1 ሻAሺݖ−1 ሻሻ = Aሺݖ−1 ሻX ሺݖ−1 ሻ + Bሺݖ−1 ሻV ሺݖ−1 ሻ = Cሺݖ−1 ሻ
ሺII. 17ሻ
Les polynômes ܺሺݖ−1 ሻ et ܸሺݖ−1 ሻ constituent une solution de l’équation Diophantine vérifiant
deg ሺܵሺݖ−1 ሻሻ < deg ሺܣሺݖ−1 ሻሻ.
Une façon de résoudre l’équation de Diophantine consiste à égaler les coefficients des
termes de même degré des polynômes Aሺݖ−1 ሻXሺݖ−1 ሻ + Bሺݖ−1 ሻVሺݖ−1 ሻ et Cሺݖ−1 ሻ. Il en découle un
système d’équations algébriques linéaire donnant les coefficients inconnus des polynômes Xሺݖ−1 ሻ et Vሺݖ−1 ሻ. Dans le contexte de la synthèse du régulateur RST, le système linéaire associe à
l’équation Diophantine présente le plus souvent l’allure suivante : ۍ1 ܽ ܽ ێଵ ێଶ ⋮ ێ ⋮ ێ ⋮ ܽێ ێఋ ێ0 ⋮ ێ ۏ0
0 1 ܽଵ ܽଶ ⋮ ⋮ ⋮ ܽఋ ⋮ 0
… 0 ⋮ ⋱ 0 ⋱ 1 ⋱ ⋱ ܽଵ ⋱ ܽଶ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ … ܽ ఋ
0 ⋮ ܾ ܾଵ ܾଶ ⋮ ܾఋ 0 ⋮ 0
0 ⋮ 0 ܾ ܾଵ ܾଶ ⋮ ܾఋ ⋮ 0
… 0 ݔଵ ܿଵ − ܽଵ ⋮ ݔ ۍ ېଶ ܿ ۍ ېଶ − ܽଶ ې ⋱ ⋱ 0 ێ ۑ ⋮ ێۑ ۑ ⋮ ⋱ ⋮ ێ ۑ ⋮ ێۑ ۑ ⋮ ⋱ 0 ݔێ ۑఋ ܿێ ۑఋ − ܽఋ ۑ ⋱ ܾ ۑ ݒ ێ ܿ ێ = ۑఋାଵ ۑ ⋱ ۑ ⋱ ܾଵ ݒ ێ ۑଵ ܿ ێ ۑఋାଶ ۑ ⋱ ܾଶ ێ ۑ ⋮ ێ ۑ ⋮ ۑ ⋱ ⋮ ⋮ ێ ۑ ێ ۑ ⋮ ۑ … ܾ ݒۏ ےఋ ܿ ۏ ےఋାఋାଵ ے ఋ
ሺII. 18ሻ
Tel que
ܣሺݖ−1 ሻ = 1 + ܽ1 ݖ−1 + ⋯ + ܽߜݖ ܣ−ߜ ܣ, ܤሺݖ−1 ሻ = ܾ0 + ܾ1 ݖ−1 + ⋯ + ܾߜݖ ܤ−ߜܤ
ܺሺݖ−1 ሻ = ݔ0 + ݔ1 ݖ−1 + ⋯ + ݖ ܺߜݔ−ߜܺ , ܸሺݖ−1 ሻ = ݒ0 + ݒ1 ݖ−1 + ⋯ + ݖ ܸߜݒ−ߜܸ ܥሺݖ−1 ሻ = ܿ0 + ܿ1 ݖ−1 + ⋯ + ܾߜܺ+ߜܸ ݖ−ሺߜܺ+ߜܸ+1ሻ II.3.4 Choix du modèle à poursuivre Le modèle à poursuivre est généralement très simple, d’ordre peu élevé, garantissant
globalement les caractéristiques souhaitées en boucle fermée. Toutefois, le numérateur ܤ ሺݖ−1 ሻ du ᇱ ce modèle vérifie ܤ ሺݖ−1 ሻ = ି ܤሺݖ−1 ሻܤ ሺݖ−1 ሻ un choix possible est le suivant.
ି ܤሺݖ−1 ሻܲሺ1ሻ ି ܤሺ1ሻ ܪ ሺݖ−1 ሻ = ݖௗ ܲሺݖ−1 ሻ
ሺII. 19ሻ
14
Chapitre II : la commande numérique basée sur le placement de pôles
Dans ce cas : ܤ ሺି ݖଵ ሻ =
ష ൫௭ షభ ൯ሺଵሻ ష ሺଵሻ
, ܤ ′ ሺି ݖଵ ሻ =
ሺଵሻ
ష ሺଵሻ
, ܣ ሺି ݖଵ ሻ = ݖௗ ܲሺି ݖଵ ሻ
Le facteur ݖௗ dans ܣ ሺݖ−1 ), provoquant un retard de d périodes d’échantillonnage. Le
nombre
ሺଵሻ
ష ሺଵሻ
assure Hm(1)=1. le polynôme ܲሺି ݖଵ ) est monique et de degré 1 ou 2 selon que des
oscillations de la grandeur à régler sont bannies ou tolérées, respectivement : ܲሺݖ−1 ሻ = 1 + ܿି ݖଵ , ܲሺݖ−1 ሻ = 1 + ܿଵ ݖ−1 + ܿଶ ି ݖଶ .
II.3.5 Algorithme synthèse du régulateur RST Algorithme synthèse du régulateur RST est résumé sous la forme d’un tableau suivant ; Tableau II.1 : synthèse du régulateur SRT avec un retard Données
ܣሺݖ−1 ሻ et ܤሺݖ−1 ሻ, d Spécifications
ܣ ሺݖ−1 ሻ, B୫ ሺݖ−1 ሻ et ܣ ሺݖ−1 ሻ Conditions
ܣሺݖ−1 ሻ et ܤሺݖ−1 ሻ n’ont aucun facteur commun ܤሺݖ−1 ሻ = ି ܤሺݖ−1 ሻܤା ሺݖ−1 ሻ
ᇱ ሺ −1 ሻ B୫ ሺݖ−1 ሻ = ି ܤሺݖ−1 ሻB୫ ݖ
deg൫ܣ ሺݖ−1 ሻ൯ − deg൫ܤ ሺݖ−1 ሻ൯ ≥ deg൫ܣሺݖ−1 ሻ൯ − deg ሺܤሺݖ−1 ሻሻ deg ሺܣ ሺݖ−1 ሻሻ ≥ 2 deg൫ܣሺݖ−1 ሻ൯ − deg൫ܣ ሺݖ−1 ሻ൯ − 1
deg ሺܴሺݖ−1 ሻሻ = deg ሺܣ ሺݖ−1 ሻ + deg ሺܣ ሺݖ−1 ሻ − deg ሺܣሺݖ−1 ሻሻ+d deg ሺܵሺݖ−1 ሻሻ = deg൫ܣሺݖ−1 ሻ൯ − 1 Etape 1
Résoudre ܣሺݖ−1 ሻܴሺݖ−1 ሻ + ݖ−݀ ܤሺݖ−1 ሻܵሺݖ−1 ሻ = ܣ ሺݖ−1 ሻ ܣ ሺݖ−1 ሻ Etape 2
Calculer ܶሺݖ−1 ሻ = ܤ′ ሺݖ−1 ሻܣ ሺݖ−1 ሻ
15
Chapitre II : la commande numérique basée sur le placement de pôles
II.4 Conclusion La synthèse de régulateur RST offre une solution attractive pour l’implémentation d’une loi de commande. L’intérêt de cette approche est de proposer une solution algorithmique au problème de synthèse, permettant ainsi une mise en place aisée de procédure de calcul automatisée des paramètres du régulateur. Le calcul des polynômes du régulateur s’effectue en deux étapes : 1. La résolution d’équation Diophantine principale conduisant aux polynômes R (ି ݖଵ ) et ܵሺݖ−1 ) ;
2. Calcul de polynôme ܶሺݖ−1 ) déterminé soit de manière à assurer un gain unitaire en boucle fermé si la consigne de référence est un polynôme temporel d’ordre supérieur à 1.
16
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques
III.1 Introduction Dans ce chapitre, on va présenter l’application du régulateur RST sur différents systèmes dynamiques, à savoir, les systèmes du premier ordre avec et sans retard, les systèmes du deuxième ordre avec et sans retard et celui de l’ordre supérieur à 2 avec retard.
III.2 Simulation des systèmes dynamiques par le régulateur RST III.2.1 systèmes du 1er ordre sans et avec retard Système du premier l’ordre est représenté par la fonction de transfert : ܪሺሻ = ݁ ିௗ ݇
1 ߬ + 1
La fonction transfert du système est donnée par :
ܪሺି ݖଵ ሻ = ି ݖௗ ݇
൬1 − ݁ ି ఛ ൰ ି ݖଵ
൬1 − ሺ݁ ି ఛ ሻି ݖଵ ൰
Telle que d : c’est un retard du système. k : Gain global du système ; h : Période d'échantillonnage en seconde ; τ : Constante de temps du système ;
a) Sans retard (d=0) Algorithme Les données k, h, τ et ka : Nombre de coups d'horloge, afin d'atteindre 95% de la valeur finale ;
൫௭ షభ ൯
ܪሺି ݖଵ ሻ = ሺ௭ షభ ሻ ; ܤሺି ݖଵ ሻ = ݇ ൬1 − ݁ ି τ ൰ ି ݖଵ et ܣሺି ݖଵ ሻ = ൬1 − ݁ ି τ ି ݖଵ ൰, Le choix des polynômes P, A0 , Bm, Am et Hm ೌ
ܲሺି ݖଵ ሻ = 1 − ݁ ି ୪୭ቀౡቁ ି ݖଵ ; ି ܤሺି ݖଵ ሻ = ܤሺି ݖଵ ሻ , ܣ ሺି ݖଵ ሻ = 1 ሺଵሻ
ೌ
′ ሺି ݖଵ ሻି ି ܤଵ ′ ሺି ݖଵ ሻ ܤ ሺି ݖଵ ሻ = ܤ ሺ ݖሻ ;ܤ = ష ሺଵሻ;ሺି ݖଵ ሻ = 1 − ݁ ି ୪୭ቀౡቁ ି ݖଵ
ܪ ሺି ݖଵ ሻ =
ܤ ሺି ݖଵ ሻ ܣ ሺି ݖଵ ሻ
Résolution de l’équation de Diophantine En choisi : R(ି ݖଵ )=1 ; donc : S(ି ݖଵ )=s0 ′ ሺି ݖଵ ሻܣ ିଵ ܶሺି ݖଵ ሻ = ܤ ሺ ݖሻ
Tracés de u(t) et y(t) yc(t) = un échelon unitaire. 17
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques
Résultats de simulation k=1, τ=0.1, ka=5 la réponse de système Y 1.5
Y (t)
1
0.5
0
0
50
100
h=0,1 h=0,5 h=1 150
t
Figure III.1 : influence de la période d’échantillonnage sur la réponse du système 1er ordre
la commande de système u 1.5
u(t)
1
h=0,1 h=0,5 h=1
0.5
0
50
100
150
t
Figure III.2 : influence de la période d’échantillonnage sur la commande du système 1er ordre
b) Avec retard (d) Algorithme Les données Ce sont les mêmes données que dans l’algorithme du système du 1er ordre sans retard sauf ici, on impose un retard(d). ܪሺି ݖଵ ሻ = ି ݖௗ
ܤሺି ݖଵ ሻ ܣሺି ݖଵ ሻ
ܤሺି ݖଵ ሻ = ݇ሺ1 − ݁ ି τ ሻି ݖଵ et ܣሺି ݖଵ ሻ = 1 − ݁ ି τ ି ݖଵ 18
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques Le choix des polynômes P, A0 , Bm, Am et Hm ೌ
ܲሺି ݖଵ ሻ = 1 − ݁ ି ୪୭ቀౡቁ ି ݖଵ , ܣ ሺି ݖଵ ሻ = 1 ′ ሺି ݖଵ ሻି ି ܤଵ ′ ܤ ሺି ݖଵ ሻ = ܤ ሺ ݖሻ ; ܤ ሺି ݖଵ ሻ =
ܪ ሺି ݖଵ ሻ = ି ݖௗ
ܤ ሺି ݖଵ ሻ ܣ ି ݖଵ
ሺଵሻ
ష ሺଵሻ
;ܣ ሺି ݖଵ ሻ = 1 − ݁
ି ୪୭ቀ
ೌ ቁ ౡ
ି ݖଵ ;
Résolution de l’équation de Diophantine ′ ሺି ݖଵ ሻܣ ିଵ en choisi : ܴሺି ݖଵ)= ି ݖௗ ; donc : ܵሺି ݖଵ)= s0ି ݖଵ ;ܶሺି ݖଵ ሻ = ܤ ሺ ݖሻ
Tracés u(t) et y(t) yc(t) = un échelon unitaire.
Résultats de simulation k=1, τ=0.1, ka=5, h=0.1 la réponse de système Y 1.2
1
Y(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
d=1 d=2 d=3 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
Figure III.3 : influence du retard sur la réponse du système 1er ordre la commande u 1.2
1
u(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
d=1 d=2 d=3 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
Figure III.4 : influence du retard la commande du 1er ordre
19
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques
c) Interprétation des résultats •
A partir de la figure.III.1.et la figure.III.2, la réponse du système et la commande sont plus rapides pour un temps d’échantillonnage plus petit.
•
A partir de la figure.III.3.et la figure.III.4, la réponse du système et la commande sont plus retardées pour une valeur de retard plus grande mais, pour un retard inférieur ou égal à la période d’échantillonnage (d=1) le retard n’influence pas sur la réponse de la commande.
III.2.2 Systèmes du 2ème ordre sans et avec retard Système du 2ème ordre est représenté par la fonction de transfert : ܪሺሻ = ି ݖௗ
݇ݓଶ ଶ + 2ϛݓ + ݓଶ
La fonction transfert du système en temps discret est donnée par : ܪሺݖ
ିଵ ሻ
=ݖ
ିௗ
ܾଵ ି ݖଵ + ܾଶ ି ݖଶ ݇ 1 + ܽଵ ି ݖଵ + ܽଶ ି ݖଶ
telle que : wn : la pulsation propre ; ϛ : le coefficient d''amortissement. ݓௗ = ݓ ඥ1 − ϛଶ ,ߚ = cosሺ ݓௗ ℎሻ ,ߛ = sin ሺ ݓௗ ℎሻ, ߙ = ݁ ିϛ௪ , ܽଵ = −2ߙߚ ܽଶ = ߙ ଶ ,ܾଵ = 1 − ߙሺߚ +
ϛݓ ϛݓ ߛሻ ܾ݁ ݐଶ = ߙ ଶ + ߙሺ ߛ − ߚሻ ݓௗ ݓௗ
a) sans retard Algorithme Les données : k, h, wn et ϛ ܪሺݖ
ିଵ ሻ
ܾଵ ି ݖଵ + ܾଶ ି ݖଶ = 1 + ܽଵ ି ݖଵ + ܽଶ ି ݖଶ
ܣሺି ݖଵ ሻ = ܾଵ ି ݖଵ + ܾଶ ି ݖଶ ,ܣሺି ݖଵ ሻ = 1 + ܽଵ ି ݖଵ + ܽଶ ି ݖଶ Le choix A0 ,P, Ac C, Bm Am et Hm Soit :ܣ ሺି ݖଵ ሻ = ሺ1 + ܽ ି ݖଵ ሻଶ, ܲሺି ݖଵ ሻ = ܣ ሺି ݖଵ ሻ = 1 + ܽଵ ି ݖଵ + ܽଶ ି ݖଶ ,
ି ܤሺି ݖଵ ሻ = ܤሺି ݖଵ ሻ
ܥሺି ݖଵ ሻ = ܣ ሺି ݖଵ ሻܣ ሺି ݖଵ ሻ = 1 + ܿଵ ି ݖଵ + ܿଶ ି ݖଶ + ܿଷ ି ݖଷ + ܿସ ି ݖସ telle que : ܽ = ݁ _ఈ ,ܽଵ = −2݁ ିϛ௪ cosሺݓௗ ℎሻ,ܽଶ = ݁ _ଶϛ௪
ܿଵ = 2ܽ + ܽଵ ,ܿଶ = 2ܽ ܽଵ + ܽଶ ܽ ଶ ,ܿଷ = ܽଵ ܽ ଶ + 2ܽଶ ܽ ,ܿସ = ܽଶ ܽ ଶ ሺଵሻ
′ ሺି ݖଵ ሻି ି ܤଵ ′ ܤ ሺି ݖଵ ሻ = ܤ ሺ ݖሻ ; ܤ ሺି ݖଵ ሻ = ష ሺଵሻ ;ܣ ሺି ݖଵ ሻ = 1 + ܽଵ ି ݖଵ + ܽଶ ି ݖଶ ;
20
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques
ܪ ሺݖ
ିଵ
ܤ ሺି ݖଵ ሻ ሻ= ܣ ሺି ݖଵ ሻ
Résolution de l’équation de Diophantine ܣሺݖ−1 ሻܴሺݖ−1 ሻ + ܤሺݖ−1 ሻܵሺݖ−1 ሻ = ܥሺݖ−1 ሻ ܴሺି ݖଵ ሻ = 1 + ݎଵ ି ݖଵ + ݎଶ ି ݖଶ
ܵሺି ݖଵ ሻ = ݏ + ݏଵ ି ݖଵ + ݏଶ ି ݖଶ ′ ሺି ݖଵ ሻܣ ିଵ ܶሺି ݖଵ ሻ = ܤ ሺ ݖሻ
Trace u(t) et y(t) yc(t)= un échelon unitaire.
Résultats de simulation k=1, ϛ=0.707, h=0.1 la réponse de système Y 1.5
Y (t )
1
0.5
wn=0,1 wn=0,5 wn=1 0
0
10
20
30
40 t
50
60
70
80
Figure III.5 : influence de la pulsation propre sur la réponse du système du 2ème ordre la commande u 1.2
1
u(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
wn=0,1 wn=0,5 wn=1 0
10
20
30
40
50
60
70
80
t
Figure III.6 : influence de la pulsation propre sur la commande du 2ème ordre 21
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques
k=1, ϛ=0.707, wn=1 la réponse de système Y 1.5
Y (t )
1
0.5
0
h=0,1 h=0,5 h=1 0
0.5
1
1.5
2
2.5 t
3
3.5
4
4.5
5
Figure III.7 : influence de la période d’echantionnage sur la réponse de système du 2ème ordre
la commande u 1.2
1
u (t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
h=0,1 hi=0,5 h=1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
t
Figure III.8 : influence de la période d’échantillonnage sur la commande du 2ème ordre
22
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques
k=1, wn=1 h=0.1 la réponse de système Y 1.8
1.6
1.4
1.2
Y (t)
1
0.8
0.6
0.4 psi=0,1 psi=0,7 psi=0,9
0.2
0
0
10
20
30 t
40
50
60
Figure III.9 : influence de ϛ sur la réponse du système du 2ème ordre
la commande u 1.2
1
u (t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
psi=0,1 psi=0,7 psi=0,9 0
10
20
30
40
50
60
70
80
t
Figure III.10 : influence de ϛ sur la commande du système du 2ème ordre
23
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques
b) Avec retard Algorithme Les données Ce sont les mêmes données que dans l’algorithme du système de 2ème ordre sans retard sauf ici, on impose un retard (d). ܪሺି ݖଵ ሻ = ି ݖௗ
ܾଵ ି ݖଵ + ܾଶ ି ݖଶ 1 + ܽଵ ି ݖଵ + ܽଶ ି ݖଶ
ܣሺି ݖଵ ሻ = ܾଵ ି ݖଵ + ܾଶ ି ݖଶ , ܣሺି ݖଵ ሻ = 1 + ܽଵ ି ݖଵ + ܽଶ ି ݖଶ Le choix : A0 ,P, Ac C, Bm , Am et Hm Soit :ܣ ሺି ݖଵ ሻ = ሺ1 + ܽ ି ݖଵ ሻଶ , ܲሺି ݖଵ ሻ = ܣ ሺି ݖଵ ሻ = 1 + ܽଵ ି ݖଵ + ܽଶ ି ݖଶ , ି ܤሺି ݖଵ ሻ = ܤሺି ݖଵ ሻ
ܥሺି ݖଵ ሻ = ܣ ሺି ݖଵ ሻܣ ሺି ݖଵ ሻ = 1 + ܿଵ ି ݖଵ + ܿଶ ି ݖଶ + ܿଷ ି ݖଷ + ܿସ ି ݖସ telle que : ܽ = ݁ _ఈ ,ܽଵ = −2݁ ିϛ௪ ܿݏሺݓௗ ℎሻ,ܽଶ = ݁ _ଶϛ௪
ܿଵ = 2ܽ + ܽଵ , ܿଶ = 2ܽ ܽଵ + ܽଶ ܽ ଶ , ܿଷ = ܽଵ ܽ ଶ + 2ܽଶ ܽ , ܿସ = ܽଶ ܽ ଶ ሺଵሻ
′ ሺି ݖଵ ሻି ି ܤଵ ᇱ ܤ ሺି ݖଵ ሻ = ܤ ሺ ݖሻ, ܤ ሺି ݖଵ ሻ = ష ሺଵሻ, ܣ ሺି ݖଵ ሻ = 1 + ܽଵ ି ݖଵ + ܽଶ ି ݖଶ
ܪ ሺି ݖଵ ሻ = ି ݖௗ
ܤ ሺି ݖଵ ሻ ܣ ሺି ݖଵ ሻ
Résolution de l’équation de Diophantine Aሺݖ−1 ሻRሺݖ−1 ሻ + ି ݖௗ Bሺݖ−1 ሻSሺݖ−1 ሻ = Cሺݖ−1 ሻ ܴሺି ݖଵ ሻ = 1ଶ + ݎଵ ି ݖଵ + ⋯ + ݎௗାଶ ି ݖሺௗାଶሻ ܵሺݖሻ = ݏ + ݏଵ ି ݖଵ + ݏଶ ି ݖଶ
′ ሺି ݖଵ ሻܣ ିଵ ܶሺି ݖଵ ሻ = ܤ ሺ ݖሻ
Trace u(t) et y(t) yc(t)= un échelon unitaire.
24
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques
Résultats de simulation k=1, h=1, wn=1, ϛ=0.707 la réponse de système Y 1.8 1.6 1.4 1.2
Y (t)
1 0.8 0.6 0.4 d=1 d=2 d=3
0.2 0
0
10
20
30
40
50 t
60
70
80
90
100
Figure III.11 : influence du retard sur la réponse du système du 2ème ordre la commande u 1.8 1.6 1.4 1.2
u (t)
1 0.8 0.6 0.4 d=1 d=2 d=3
0.2 0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t
Figure III.12 : influence du retard sur de la commande du système du 2ème ordre
c) Interprétations des résultats •
A partir de la figure.III.5, la réponse du système est plus rapide pour une pulsation propre plus grande.
•
La figure.III.7 montre que, la réponse du système est plus exacte pour un temps d’échantillonnage plus petit.
•
La réponse du système est plus rapide pour un facteur d’amortissement plus grand mais, le dépassement est plus grand pour un facteur d’amortissement plus petit voir la figure III.9. 25
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques •
A partir de la figure.III.6, la figure.III.8 et la figure.III.10, la commande reste constante malgré la variation de facteur d’amortissement, pulsation propre et temps d’échantillonnage.
•
Les figure.III.11.et figure.III.12 montrent que, les réponses du système et les commandes sont retardées et le dépassement augmente par rapport celui des systèmes sans retard.
III.2.3 Systèmes du l’ordre supérieure à 2 avec retard (par exemple : l’ordre 3) La fonction transfert du système est donnée par : ܪሺݖ
ିଵ
ሻ=ݖ
ିௗ
bଵ ି ݖଵ + bଶ ି ݖଶ + bଷ ି ݖଷ 1 + aଵ ି ݖଵ + aଶ ି ݖଶ + ି ݖଷ
a) Algorithme Les données Ce sont les mêmes données que dans l’algorithme du système du 2ème ordre avec retard. ܪሺݖ
ିଵ
ሻ=ݖ
ିௗ
bଵ ି ݖଵ + bଶ ି ݖଶ + bଷ ି ݖଷ 1 + aଵ ି ݖଵ + aଶ ି ݖଶ + ି ݖଷ
ܣሺݖ−1 ሻ = ሺbଵଵ ି ݖଵ + bଶଶ ݖ−2 ሻሺ1 − a ݖ−1 ሻ, ܤሺି ݖଵ ሻ = ሺ1 + aଵଵ ି ݖଵ + aଶଶ ି ݖଶ ሻሺ1 + ܽ ି ݖଵ ሻ,
Soit : ݓௗ = ݓඥଵିϛమ , ߚ = cosሺ ݓௗ ℎሻ ,ߛ = sin ሺ ݓௗ ℎሻ, ߙ = ݁ ିϛ௪ , ܽଵଵ = −2ߙߚ , ܽଶଶ = ߙ ଶ , ܾଵଵ = 1 − ߙሺߚ +
ϛ௪ ௪
ߛሻ ܾ݁ ݐଶଶ = ߙ ଶ + ߙሺ
ܽଵ = ܽଵଵ + ܽ ,ܽଶ = ܽଶଶ + ܽଵଵ ܽ , ܽଷ = ܽଶଶ ܽ
ϛ௪ ௪
ߛ − ߚሻ ; ܽ = ݁ _ఈ .
ܾଵ = ܾଵଵ, ܾଶ = ܾଶଶ − ܾଵଵ ܽ, ܾଷ = −ܾଶଶ ܽ Le choix : A0 ,P, Ac C, Bm , Am et Hm,
Soit : ܣ ሺݖ−1 ሻ = ሺ1 + ܽ ݖ−1 ሻଶ , ܲሺݖ−1 ሻ = ܣ ሺݖ−1 ሻ = 1 + aଵ ݖ−1 + aଶ ݖ−2 + aଷ ݖ−3 ି ܤሺݖ−1 ሻ = ܤሺݖ−1 ሻ
ܥሺݖ−1 ሻ = ܣ ሺݖ−1 ሻܣ ሺݖ−1 ሻ = 1 + ܿଵ ݖ−1 + ܿଶ ݖ−2 + ܿଷ ݖ−3 + ܿସ ݖ−4 + ܿହ ݖ−5 ;
Tel que : ሺଵሻ
′ ሺ −1 ሻ ି ܤ−1 ′ ܤ ሺݖ−1 ሻ = ܤ ݖ ሺ ݖሻ , ܤ ሺݖ−1 ሻ = ష ሺଵሻ
ܪ ሺݖ−1 ሻ = ି ݖௗ
ܤ ሺݖ−1 ሻ ܣ ሺݖ−1 ሻ
Résolution de l’équation de Diophantine ܣሺݖ−1 ሻܴሺݖ−1 ሻ + ି ݖௗ ܤሺݖ−1 ሻܵሺݖ−1 ሻ = ܥሺݖ−1 ሻ
ܴሺݖ−1 ሻ = 1 + ݎଵ ି ݖሺଵሻ + ݎଶ ି ݖଶ + ⋯ + ݎௗାଶ ି ݖሺଶାௗሻ ;ܵሺݖ−1 ሻ = ݏ + ݏଵ ݖ−1 + ݏଶ ݖ−2 ′ ሺ −1 ሻܣ −1 ܶሺݖ−1 ሻ = ܤ ݖ ሺ ݖሻ
Trace u(t) et y(t) yc(t) = un échelon unitaire. 26
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques
b) Résultats de simulation k=1, h=1, wn=4, ϛ=0.707
la réponse de système Y
1
0.8
Y (t)
0.6
0.4
0.2
0
d=1 d=2 d=3 0
20
40
60
80
100
120
t
Figure III.13 : influence du retard sur la réponse du système d’ordre supérieure à 2 la commande u 0.04
0.035
0.03
u (t)
0.025
0.02
0.015
0.01
d=1 d=2 d=3
0.005
0
0
20
40
60
80
100
120
t
Figure III.14 : influence du retard sur la commande du système d’ordre supérieure à 2
27
Chapitre III : Simulation des systèmes dynamiques
c) Interprétations les résultats •
Selon de la figure.III.13, la réponse du système est très satisfaisante malgré pour un grand retard.
III.3 Conclusion Si le système initial n’admet pas de zéro instable, sa réponse suit la consigne avec un retard de d périodes d’échantillonnage. Le choix de P (z-1) de degré 1 permet un démarrage rapide mais entraine une forte sollicitation des actionneurs. Le choix P (z-1) de deux permet un démarrage plus doux, si l’on souhaite diminuer le temps de montée (on risque d’abord d’augmenter le dépassement) P (z-1) peut être choisi de façon à correspondre à la description échantillonnée d’un seconde ordre amorti avec ϛ voisin de 0 ,7. De façon à éviter l’oscillation en réponse à un échelon, il est souhaitable de munir le processus d’un système anti-emballement de l’intégrateur ou de prévoir un filtre du premier ordre ou de second ordre de dynamique choisie.
28
Chapitre IV : Application de la commande numérique sur un procédé chimique
IV.1 Introduction Les colonnes à distiller sont des unités très fréquentes dans les industries chimique, pétrochimique. De plus, elles consomment une grande partie de l’énergie totale d’une usine. L’optimisation de leur conception et de leur fonctionnement est donc un objectif primordial. Les contraintes opératoires de plus en plus sévères qui leur sont imposés rendent leur maîtrise plus délicate et nécessitent des stratégies de commande performantes.
IV.2 Structure et Principe de fonctionnement d’une colonne à distiller
Figure IV.1 : colonne à distiller La distillation est l’une des opérations unitaires utilisées pour le raffinage. Elle permet d’isoler les divers constituants d’un mélange de composés chimiques .Elle a pour origine le résultat d’expérience suivant .Quand un mélange d’hydrocarbures est placé dans une enceinte sous certaines conditions de température et de pression, deux phases différentes apparaissent l’une liquide et l’autre vapeur, et un équilibre thermodynamique s’établit entre
elles .Une analyse de la
composition des deux phases révèle que la vapeur contient préférentiellement les composés dont la mase molaire est petite. Cette opération de séparation, appelée flash, peut s’effectuer de façon contenue. L’enceinte est alimentée par le mélange et deux flux en sortent, un flux de liquide, plus riche en composés lourds que le mélange de départ, et un flux de vapeur, plus riche en composés légers [8]. 29
Chapitre IV : Application de la commande numérique sur un procédé chimique
En pratique, la séparation ainsi obtenue n’est pas assez sélective et l’on procède par séparations successives. Les opérations de flash ont physiquement lieu sur des plateaux, empilés à l’intérieure d’une colonne chaque plateau est alimenté à la fois par la phase vapeur sortant du plateau inferieure et par la phase liquide sortant du plateau supérieure .On parle d’opération à contre –courant .Un plateau spéciale, le plateau d’alimentation, reçoit en plus le mélange à séparer. Un équilibre thermodynamique tend à s’établir sur chaque plateau, autour de la surface de contact entre les quantités de liquide et de vapeur qui y sont retenues. On distingue traditionnellement deux zones dans une colonne : La zone de rectification est l’ensemble des plateaux situés au-dessus du plateau d’alimentation ; La zone d’épuisement est l’ensemble des plateaux situés au-dessus du plateau d’alimentation ; Dans le cas le plus simple, illustré sur la figure (IV.1) le flux de vapeur qui sorte en haut (ou en tête) de la colonne est totalement condensé. Le liquide ainsi obtenue est devisé en deux parties : le distillat, qui est un des produits de la séparation, et reflux, qui constitue l’alimentation de plateau de tête. Le produit liquide soutiré en bas(ou en fond) de la colonne est un autre produit de séparation, le résidu. Il est en partie vaporisé dans un rebouilleur pour générer le flux de vapeur au fond de la colonne. La précision est pratiquement identique sur tous les plateaux (elle croit en fait très faiblement d’un plateau au plateau inferieur), mais est plus faible dans le ballon de tête qu’en fond de colonne, ce qui permet au flux de vapeur de monter par différence de précision. Les flux de liquide, quant à eux, descendent par gravité. Moyennant un nombre suffisant de ces flashs successifs, on réussit à obtenir un distillat contenant essentiellement les composés légers et un résidu contenant essentiellement les composés lourds. Comme une séparation totale n’est ni possible ni d’ailleurs systématiquement souhaitée, on caractérise les produit de la distillation par leurs taux d’impureté : Pour le distillat, le taux d’impureté est la proportion de composés lourds qu’il contient ; Pour le résidu, le taux d’impureté est la proportion de composés légers qu’il contient.
30
Chapitre IV : Application de la commande numérique sur un procédé chimique
IV.3 Modèles dynamique de la colonne Nous détaillons dans ce paragraphe un modèle de colonne à distiller du type de la figure (IV.1). Ce modèle capte la dynamique des grandeurs que l’on cherche à contrôler, les compositions.il est, par rapport à d’autres incluant une hydrodynamique détaillée, de complexité intermédiaire. A notre connaissance, c’est ici la première fois que se modèle est décrit explicitement. Son étude qualitative reste un problème ouvert pour lequel nous n’avons pas de résultat sans hypothèse supplémentaire sur la thermodynamique. [9]
IV.3.1 Modèle de plateau Nous adaptons les hypothèses classiques suivantes : Le liquide et la vapeur sont à l’équilibre thermodynamique ; Le liquide, comme la vapeur, est hormogène ; Les parois du plateau sont adiabatique ; Les volumes des phases liquide et vapeur sont constants et la pression également. Le modèle est algébro- différentiel : La partie différentielle consiste en les bilans de matière et d’énergie, pour lesquels la variation des quantités accumulées est égale à la différence entre les flux entrant et sortant du plateau ; La partie algébrique comprend deux types d’équations : •
Le calcul des quantités accumulées ;
•
Les équations d’équilibre thermodynamique.
En utilisent des notions inspirées du modèle de flash, le modèle s’écrit(les plateaux sont numérotés de haut en bas, j=2 pour le plateau de tète, j=n-1 pour le plateau juste au-dessus du fond) [8] :
ሬሬሬԦ ܴ݀ ۓఫ = ܮ ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬԦ ሬሬԦ ఫିଵ + ܸఫାଵ − ܮఫ − ܸఫ ݀ݐ ۖ ۖ ݒҧ ݒҧ௩ ሬሬሬԦ ሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ ܴ۔ఫ = ሬሬሬԦ ሬሬԦ ܮఫ + ௩ ሬሬሬԦ ሬሬԦ ܸ ఫ ܮ( ݒఫ , ܲఫ ) ܮ( ݒఫ , ܲఫ ) ۖ ۖ ሬሬሬԦ ௩ ሬሬԦ ݑ൫ܮఫ , ܲ ൯ = ݑ൫ܸఫ , ܲ ൯ ە
(IV. 1)
ሬԦ (ݏ݁ݎ. ܸ ሬԦ ) Correspond au flux liquide (resp.vapeur) de sortie ; ܮ ሬԦ Correspond aux rétentions dans le liquide et dans la vapeur ; ܮ
ሬԦ ) Sont les potentiels chimique du liquide (resp.de la vapeur) ; ݑ ሬԦ (ݏ݁ݎ. ݑ
ሬԦ)(ݏ݁ݎ. ݒ௩ (ܸ ሬԦ ) est le flux volumique de ݒ (݁ݏ. ݒ௩ ) est la fonction volumique (resp.vapeur), ݒ (ܮ
liquide (resp.de vapeur) ; 31
Chapitre IV : Application de la commande numérique sur un procédé chimique ݒ൫ݏ݁ݎ. ݒ൯ Est le volume de liquide (rep.vapeur).
௩
Les inconnues sont ሬሬሬԦ ܴఫ , ሬሬሬሬԦ ܮఫ , ሬሬԦ ܸఫ .les volumes ݒҧ , ݒҧ௩ et la pression ܲ sont des constantes.
IV.3.2 Modèle de ballon de tète Il s’agit du plateau j=1. Nous supposons pour simplifier que la condensation est partielle, i.e. le distillat est vapeur. Le débit de reflux, disponible pour la commande en qualité, est ainsi fixé par la puissance de condensation Qc. Les volumes des phases liquide et vapeur sont constants et la pression également. Le modèle est algébro-différentiel. Sa structure est semblable à celle d’un modèle de plateau. [8]
ሬሬሬሬԦଵ ܴ݀ ሬሬሬሬԦ + ܸ ሬሬሬԦଶ − ܮ ሬሬሬሬԦଵ − ܸ ሬሬሬԦଵ =ܳ ݀ݐ ݒҧଵ ݒҧଵ௩ ሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ ሬሬሬԦ ܴଵ = ܮଵ + ܸଵ ௩ ሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ ሬሬሬԦ ܮ( ݒଵ , ܲଵ ) ܮ( ݒଵ , ܲଵ )
(IV. 2)
ሬሬሬሬԦଵ , ܲଵ ൯ = ݑ௩ ൫ܸ ሬሬሬԦଵ , ܲଵ ൯ ݑ ൫ܮ
ܴଵ , ሬሬሬሬԦ ܮଵ , ሬሬሬԦ ܸଵ et ሬሬሬሬԦ ܳ = (0, … ,0, ܳ ) ,ou ܳ est la puissance du condenseur. Les inconnues sont ሬሬሬሬԦ
IV.3.3 Modèle de ballon de fond Il s’agit du plateau j=n. Nous supposons que le rebouillage est une source d’énergie Q qui permet de vaporiser une partie du liquide présent dans le ballon. Le liquide et la vapeur sont à l’équilibre thermodynamique. Les volumes des phases liquide et vapeur sont constants et la pression également. Par rapport à un modèle de plateau, les bilans sont modifiés car le ballon, s’il n’est pas alimenté en vapeur, bénéficie d’une source d’énergie extérieure. [8] ሬሬሬሬԦ ܴ݀ ሬԦ + ܮ ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ ሬሬሬԦ =ܳ ିଵ − ܮ − ܸ ݀ݐ ݒҧ ݒҧ௩ ሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ ሬሬሬԦ ܴ = ܮ + ܸ ሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ ሬሬሬԦ ݒ (ܮ ݒ௩ (ܮ , ܲ ) , ܲ )
(IV. 3)
௩ ሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ ݑ ൫ܮ , ܲ ൯ = ݑ൫ܸ , ܲ ൯
ሬԦ = (0, … . ,0, ܳ). Les inconnues sont ሬሬሬሬԦ ܴ , ሬሬሬሬԦ ܮ , ሬሬሬԦ ܸ nous avons notéܳ
IV.4 Application numérique sur un procédé chimique à colonne à distiller La colonne de distillation est composée de nombre d’étages bien déterminé est munie de deux boucles de régulation, qui contrôlent la pression de la colonne en agissant sur le refroidissement du condenseur et la température de l’avant-dernier plateau par action sur la quantité d’énergie fournie au rebouilleur. L’emplacement de ce capteur a été choisi après une analyse de
32
Chapitre IV : Application de la commande numérique sur un procédé chimique fonctionnement de la colonne en régime permanent qui a montré que la sensibilité de la température à une variation de la quantité de chaleur fournie au bouilleur état la plus important à cet endroit. Le but de cette application est d’appliquer un algorithme du contrôle RST et d’évaluer les performances par simulation. Pour une colonne de distillation, on a proposé de manipuler le rapport entre la pression de tête et le débit de reflux. Une augmentation de puissance de chauffage provoque une augmentation de pression qui est contrecarrée par une augmentation de sa sortie. Nous considérons un modèle du deuxième ordre qui est défini par la fonction de transfert [10]: ି ݖ(ܪଵ ) = ି ݖௗ
ି ݖ(ܤଵ ) ି ݖ(ܣଵ )
d : c’est le retard du système.
ି ݖ(ܣଵ ) = 1 − 0,589ି ݖଵ − 0,098ି ݖଶ ି ݖ(ܤଵ ) = 0,202ି ݖଵ − 0,0807ି ݖଶ
a) Algorithme Les données h : période d'échantillonnage en seconde ; a0 : un pôle de l’observateur A0 ; d : le retard du système qui est égale à 2.
ି ݖ(ܣଵ ) = 1 + ܽଵ ି ݖଵ + ܽଶ ି ݖଶ B(z ିଵ ) = bଵ z ିଵ + bଶ z ିଶ
Le choix des polynômes P, A0 , Bm, Am et Hm
Soit :ܣ (z ିଵ ) = 1 + ܽ z ିଵ ,
ܲ(z ିଵ ) = ܣ (z ିଵ ) = ܣ (z ିଵ ) = 1 + ܽଵ z ିଵ + ܽଶ z ିଶ,
(ܥz ିଵ ) = 1 + ܿଵ z ିଵ + ܿଶ z ିଶ + ܿଷ z ିଷ ;
′ (z ିଵ )ି ି ܤଵ ′ ܤ (z ିଵ ) = ܤ (z ) ; ܤ (z ିଵ ) = (ష (ଵ) ;
ܪ (z
ିଵ
)=ݖ
ିௗ
(ଵ)
ܤ (z ିଵ ) ܣ (z ିଵ )
Résolution équation de Diophantine
A(ݖ−1 )R(ݖ−1 ) + ି ݖௗ B(ݖ−1 )S(ݖ−1 ) = C(ݖ−1 ) ܴ(ି ݖଵ ) = 1 + ݎଵ ି ݖଵ + ⋯ + ݎௗାଵ (ି ݖௗାଵ) ܵ(ݏ = )ݖ + ݏଵ ି ݖଵ
′ (ି ݖଵ )ܣ ିଵ ܶ(ି ݖଵ ) = ܤ () ݖ
Tracement de u(t) et y(t) yc(t) : la variation de la température rebouilleur avec retard. y(t) : c’est la variation de la température de l’avants dernier étage. 33
Chapitre IV : Application de la commande numérique sur un procédé chimique b) Résultat de simulation h=1, a0=0,2 et d=2 150
température
100
50
l'entrée de température sortie de température 0
0
100
200
300
400
500
600
temps
Figure IV.2 : la réponse indicielle du système 160
140
120
100
80
60
40
20
0
la commande 0
100
200
300
400
500
600
temps
Figure IV.3:la commande c) Interprétations des résultats •
La vitesse d’évaporation est plus rapide quand la puissance de chauffage du rebouilleur est grande, c’est-à-dire la puissance de chauffage du rebouilleur est très importante.
•
Le retard influe sur la pression de la vapeur, c’est-à-dire, si on augmente le nombre d’étages donc la pression de la vapeur va retarder.
IV.5 Conclusion Dans cette application, on conclu que, plus le nombre des plateaux (étages) est important plus la pression de la vapeur dans le condenseur est plus grande, mais la vitesse d’équilibre démunie. La distillation est reliée à la variation de la température et le nombre d’étages de la colonne à distiller. Plus que le retard augmente plus que le nombre d’étages est grand, c’est–à-dire la distillation est plus élevée.
34
Conclusion générale
Conclusion La commande numérique reste un outil très important dans l’étude des procédés ce qui élargit son application dans plusieurs domaines à savoir l’électronique , la physique, la chimie et la mécanique et d’autres disciplines. A fin de montrer l’intérêt du placement de pôles, nous avons utilisé la méthode polynomiale RST pour obtenir une régulation. L’avantage de cette méthode est de pouvoir facilement choisir un compromis entre différents objectifs. Le travail de ce mini projet s’articule autour de deux axes principaux. Le premier est l’influence du retard sur la réponse des systèmes dynamiques et le second c’est le calcul de commande basé l’aspect polynômial RST. Une approche a été implémentée permettant le placement de pôles par la méthode polynomiale RST. L’avantage que représente l’utilisation des pôles en boucle fermée comme paramètres. Ce qu’on peut conclure dans ce travail : •
Stabiliser les systèmes instable en boucles ouverte ;
•
Commande d’un système qui représente un retard de d périodes d’échantillonnage ;
•
le système est toujours affecté par des perturbations en pratique, ce qui reste à remédier par des méthodes d’optimisation.
•
On peut utiliser à la place de la méthode polynomiale RST, la méthode de retour d’état. En fin, ce travail peut être suivi par d’autres travaux sur la commande adaptative robuste
basée sur les techniques de placement de pôles pour le réglage automatique de contrôleur et l’amélioration des performances de ces systèmes.
36
Références bibliographique
[1] : Emmanuel Godoy et coll. Régulation industrielle (édition dunod, Paris, 2007)
[2]: Ludia BARA et Michel de MATHELIN, commande numérique des systèmes, Edition 20042005. [3] : Maurise Rivoire, Jean louis Ferrier, cours d’automatique, commande par calculateur Identification. [4] : ph Vantieghe, C Sueur, P Borme, Automatique des systèmes échantillonnés. [5] : Hubert Egon, Michel Marie et Pascale Porée.Traitement de signale et automatique (Asservissement linéaire, échantillonnée et représentation d’état). [6] : ROLAND LONGCHAMP, Commande numérique de systèmes dynamiques, première édition, presses polytechniques et universitaires romandes, 1995. [7] : Automatique (de cahier des charges à la réalisation de systèmes), Dunod, paris, 2007. [8] : Jean pierre. CORRIOU, Commande
de procédés chimiques –Réacteurs et colonne de
distillation, Paris, Hermès Science Publications ,2001. [9] : Jean pierre. CORRIOU, Commande des procédés, Technique et documentation 1996. [10]: loond.D.Londau end Gianluca Zito, Digital control systems design, identification and implementation.
Annexe Programme d’application sur un procédé chimique à colonne à distiller %**************************************************************************** % % Synthèse d'un régulateur RST, pour un modèle de poursuite du % deuxième ordre. % Le régulateur RST avec un retard. % clear all; clc; format long; echo on; %************************************************************************** % une application sur un procédé chimique (colonne à % distiller) %**************************************************************************** echo off; % Introduction de la période d'échantillonnage en seconde h = input('Période d''échantillonnage en seconde : ') % Introduction de la valeur de pole A0 a0 = input('la valeur de a0 :') % Introduction du retard du système d=input('le retard du système :') % --- Fonction de transfert H(z) de notre système (système du deuxièmel'ordre) l=zeros(1,d); a1=-0.589;a2=-0.098;b1=0.202;b2=0.0807; denH=[1 a1 a2 l]; numH=[b1 b2]; echo on; % Fonction de transfert H(z) H = tf(numH,denH,h) echo off; A = [1 a1 a2],B = numH % --- Régulateur RST % Polynôme C(z) de degré 4 c1=a0+a1;c2=a0*a1+a2;c3=a2*a0; C =[1 c1 c2 c3]; Bplus = 1; Bmoins = B; % --- Modéle de référence Hm(z) en z Bmp = (1+a1+a2)/(B(1)+B(2));Bm= Bmp*Bmoins;
Am1 = [1 a1 a2 l]; Am = [1 a1 a2] echo on; % Modéle de référence Hm = tf(Bm,Am1,h) echo off; % --- Polynôme observateur A0(z) % Degré du polynôme dA0 = 2*(length(A)-1) - (length(Am)-1) - 1 % Initialisation de A0(z) A0 =[1 a0]; % --- Degré des polynômes R(z) et S(z) % Degré du polynôme R(z) dRp = (length(Am)-1) + (length(A0)-1) - (length(A)-1) % Degré du polynôme S(z) dS = (length(A)-1) - 1 % Détermination de s0, s1, r1, r2…. d'après l'équation de Diophantine sol=[1 0 0;a1 b1 0;a2 b1 b2]^-1*[c1-a1;c2-a2;c3]; % --- Mise en forme du polynôme T(z) T =Bmp*A0; % --- Affichage des valeurs trouvées sous MatLab echo on; % --- Coefficients du régulateur RST avec un retard --% Polynôme R(z) R=[1 sol(1) l] % Polynôme S(z) S=[sol(2) sol(3)] % Polynôme T(z) T echo off; %La représentation graphique de la consigne température, la sortie de température et la commande temps=(0:h:600); G_uc_u=tf(conv(A,T),conv(A,R)+[0 l conv(B,S)],h); G_yc_u=tf(conv(B,T),conv(A,R)+[0 l conv(B,S)],h); yc1=0*temps;u1=lsim(G_uc_u,yc1,temps);y1=lsim(G_yc_u,yc1,temps); yc2=80*(temps>=d*h),u2=lsim(G_uc_u,yc2,temps);y2=lsim(G_yc_u,yc2,temps); yc3=-30*(temps>=280),u3=lsim(G_uc_u,yc3,temps);y3=lsim(G_yc_u,yc3,temps); yc4=90*(temps>=300),u4=lsim(G_uc_u,yc4,temps);y4=lsim(G_yc_u,yc4,temps); yc5=-40*(temps>=460),u5=lsim(G_uc_u,yc5,temps);y5=lsim(G_yc_u,yc5,temps); Yc=yc1+yc2+yc3+yc4+yc5;U=u1+u2+u3+u4+u5;Y=y1+y2+y3+y4+y5; plot(temps,Yc,temps,U,temps,Y); %***********************************fin **********************************
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