Comentários NBR 6118
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Exemplos e comentários NBR 6118...
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ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação SEÇÃO 19 – Dimensionamento e verificação de lajes
EXEMPLOS DE LAJES Túlio Nogueira Bittencourt1; Januário Pellegrino Neto2; João Carlos Della Bella3 1 2
3
Professor Titular do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP. Professor Associado da Escola de Engenharia Mauá – CEUN‐IMT; Professor Assistente do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP. Professor Doutor do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP; Engenheiro Civil, Diretor Técnico da Intentu Engenharia Ltda.
Revisor: Sander David Cardoso4 4
Professor Assistente da Escola de Engenharia Mauá – CEUN‐IMT; Engenheiro Civil, Sócio da EGT Engenharia Ltda.
1. Introdução
O objetivo destes dois exemplos é a aplicação dos conceitos da seção 19 e 20 NBR 6118:2014, apresenta‐se um roteiro prático para o dimensionamento (ELU – Estado‐limite último) e o detalhamento de lajes de concreto armado, exemplos simples de lajes armadas em uma direção e em duas direções: I. Laje armada em uma direção; II. Laje armada em duas direções. 2. Exemplo I – Laje armada em uma direção
Na figura 2.1 indica‐se a planta de formas para as lajes L1 e L2 simétricas, e o diagrama de momentos fletores característicos (mk – kN.m/m), considera‐se classe de agressividade I, concreto C20 (f ck=20MPa) e aço CA50 (f yk=500MPa).
Figura 2.1 – Planta de formas e diagrama de momentos fletores.
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ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação SEÇÃO 19 – Dimensionamento e verificação de lajes
O concreto C20 atende a seção 7 da NBR 6118:2014 com relação à durabilidade (tabela 7.1), e adota‐ se um cobrimento c = 2,0 cm, especificado na tabela 7.2. Os momentos fletores da figura 2.1 decorrem de uma carga total p = 5,5 kN/m2, sendo a carga permanente g = 3,5 kN/m2 (peso próprio e revestimento) e a carga acidental q = 2,0 kN/m2. As lajes L1 e L2 são lajes armadas em uma direção, pois não há vigas nas bordas horizontais, portanto têm o funcionamento de uma viga contínua, que pela simetria, é equivalente a uma viga simples hiperestática, apoiada‐engastada, cujo momento hiperestático negativo sobre a viga V2 (apoio L1‐L2) vale m x12 p x / 8 5,5 4 / 8 11,0 kN m / m , e os momentos positivos nos vãos das lajes L1 e 2
2
L2 resultam m x1 mx 2
p 2x / 14,2 5,5 42 / 14,2 6,2 kN m / m .
2.1. Dimensionamento da armadura positiva
−
Armadura principal
m xd
f mxk 1,4 6,2 8,68 kN.m / m ;
b 100cm , considera‐se uma faixa de largura de 1m; d x h c / 2 , adotando 10mm , tem‐se d x 10, 0 2, 0 1, 0 / 2 7,5 cm .
10 mm
Linha neutra: x 1,25 d 1 1
x 1,25 7,5 1 1
Armadura:
Asx
2 0,425 b d fcd md
x , 0,17 0,259 D2 . cm 1,3 2 d 0,425 100 7,5 2,0 / 1,4 868
Md fyd (d 0,4 x )
868
50 1,15
2,9 cm2 / m ( 8c / 17)
(7,5 0,4 1,3)
A escolha da bitola e espaçamento ( x s) deve respeitar as prescrições da seção 20 da NBR 6118:2014, e para as bitolas comerciais tem‐se as seguintes recomendações:
Bitola
Espaçamento:
4 mm
h
8
100 8
12,5 mm ,
− armadura principal:
8cm s x
− armadura secundária:
s y
2h 20cm 20cm
33cm
Para as bitolas, adota‐se um mínimo de 4 mm e um máximo correspondente a um oitavo da espessura da laje. O espaçamento mínimo de 8 cm tem por finalidade facilitar a concretagem da laje e, o espaçamento máximo, visa garantir a uniformidade de comportamento admitida nos cálculos. A tabela 2.1 indica o cálculo do espaçamento para as bitolas comerciais da armadura positiva principal.
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ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação SEÇÃO 19 – Dimensionamento e verificação de lajes Tabela 2.1: Bitolas e espaçamentos. 5
6,3
8
10
12,5
As1 (cm2)
0,20
0,315
0,50
0,80
1,25
scalculado (cm)
6,9 < 8
10,8
17,2
27,5 > 20
41,7 > 20
Sadotado (cm)
‐‐‐‐
10
17
‐‐‐‐
‐‐‐‐
(mm)
−
Armadura secundária
mxk 0,2 6,2 1,24 kN m / m ; myd f myk 1,4 1,24 1,74kN m b 100cm , considera‐se uma faixa de largura de 1m; dy h c x y / 2 , utilizou‐se x 8 mm , e para y 5mm , tem‐se myk
dy
10, 0 2, 0 0, 8 0,5 / 2 6,95 cm
y 5mm
x
Linha neutra:
x 1,25 6,95 1 1
x , 0,04 0,259 D2 . 0,26 cm 2 d 0,425 100 6,95 2,0 / 1,4 174
Armadura:
Asy
50 1,15
Asy
0,20 Asx 0,2 2,9 0,58 cm2 / m 0,6 As,mín 2 0,9 cm / m (6,95 0,4 0,26) 174
0,9 cm2 / m ( 5c / 22) , observando o espaçamento máximo sy 33cm .
2.2. Dimensionamento da armadura negativa
−
Armadura principal
m xd
f mxk 1, 4 11,0 15, 4kN.m / m ;
b 100cm , considera‐se uma faixa de largura de 1m; d x h c / 2 , adotando 10mm , tem‐se d x 10, 0 2, 0 1, 0 / 2 7,5 cm .
10 mm
Linha neutra:
x 1,25 7,5 1 1
Armadura:
Asx
x D2 . 2,4 cm , 0,32 > 0,259 D3. 2 d 0,425 100 7,5 2,0 / 1,4 1540
1540 50 1,15
5,2 cm2 / m ( 10c / 15) 5,4
(7,5 0,4 2,4 1,7)
A tabela 2.2 explicita a escolha da bitola e espaçamento em consonância com as prescrições da seção 20 da NBR 6118:2014.
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ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação SEÇÃO 19 – Dimensionamento e verificação de lajes Tabela 2.2: Bitolas e espaçamentos. 5
6,3
8
10
12,5
As1 (cm2)
0,20
0,315
0,50
0,80
1,25
scalculado (cm)
3,8 < 8
6,0 < 8
9,6
15,4
24,0 > 20
Sadotado (cm)
‐‐‐‐
‐‐‐‐
9
15
‐‐‐‐
(mm)
−
Armadura secundária
myk
mxk 0,2 11,0 2,2kN m / m ; 1,4 2,2 3,08kN m myd f myk b 100cm , considera‐se uma faixa de largura de 1m; dy h c x y / 2 , utilizou‐se x 10 mm , e para y 5mm , tem‐se dy
10, 0 2, 0 1, 0 0,5 / 2 6,75 cm
x
y 5 mm
Linha neutra:
x 1,25 6,75 1 1
x , 0,07 0,259 D2 . 0,48 cm 2 d 0,425 100 6,75 2,0 / 1,4 308
Armadura: Asy
50 1,15
Asy
0,20 Asx 0,2 5,2 1,04 cm2 / m 1,10 As,mín 2 0,9 cm / m (6,75 0,4 0,48) 308
1,1 cm2 / m ( 5c / 18) , observando o espaçamento máximo sy 33cm .
2.3. Detalhamento das armaduras
As armaduras obtidas para os momentos de vão (também chamadas de armaduras de momentos positivos) são, usualmente, estendidas, a favor da segurança, de apoio a apoio da laje; sendo também uma recomendação, 20.1 da NBR 6118:2014, para as lajes maciças em uma ou em duas direções, em que seja dispensada armadura transversal de acordo com 19.4.1 da NBR 6118:2014, e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença de momentos volventes nas lajes, toda armadura positiva deve ser levada até os apoios, não se permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio. As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje (também chamadas de armaduras “negativas”) são estendidas de modo a “cobrir” o diagrama de momento fletor negativo; uma extensão de x/4 para cada lado do apoio é, normalmente, suficiente para essa finalidade (quando as lajes adjacentes têm vãos não muito diferentes entre si, pode‐se adotar o maior destes vãos para a definição do comprimento da barra). Nas bordas da laje, junto às vigas de apoio, costuma‐se posicionar uma armadura (As,borda) com extensão x/5, visando atenuar uma eventual fissuração proveniente do engastamento parcial da laje nestas vigas. Pode‐se considerar suficiente, a As,borda correspondente à BITTENCOURT, T. N.; PELLEGRINO NETO, J.; DELLA BELLA, J. C.
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0,67.mín conforme tabela 19.1 da NBR 6118:2014, usualmente não menor do que 1,5 cm2/m e restringindo o espaçamento entre as barras a 2h. Assim, As ,borda
5c / 1 3 0,67 mín (Tab.19.1) 0,10% 1,5 cm2 / m As,borda 1,5 cm2 / m 6, 3c / 20
O detalhamento destas armaduras está indicado na fig. 2.2.
Figura 2.2 – Detalhamento das armaduras.
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ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação SEÇÃO 19 – Dimensionamento e verificação de lajes 2.4. Verificação ao cisalhamento (ELU)
De acordo com a NBR 6118:2014, 19.4.1 – Lajes sem armadura para força cortante, as lajes maciças ou nervuradas, podem prescindir de armadura transversal para resistir as forças de tração oriundas da força cortante, quando a força cortante de cálculo, a uma distância d da face do apoio, obedecer à expressão: VSd
V Rd 1 ,
V Sd é a força cortante solicitante de cálculo dada por:
VSd
f VSk 1,4 (5,5 4 / 2 11,0 / 4,0) 19,25kN ,
cortante no apoio interno junto à viga V2, e V Rd 1 é a força cortante resistente de cálculo dada por:
V Rd 1 Rd k 1, 2 40 1 0,15 cp bw d , onde
0,25 fctd 0,25 1,105 0,276 MPa , f ctd de acordo com 8.2.5: fctk ,inf 0,7 f ct ,m 0,7 0,3 f ck2/3 0,21 202/3 1,105MPa ; fctd
Rd
c
c
c
1,4
k 1,6 d [m] 1,6 0,075 1,525 m 1,0 ; 10c /15
1
As1 bw d
5,33 100 7,5
0,71% 0,0071 0,02 ;
As1 para armadura negativa 10c/15, pois VSd é cortante no apoio interno; N cp Sd 0 , pois NSd = 0; Ac Assim: VRd 1
0,0276 1,5251,2 40 0,0071 0 100 7,5 46,8kN .
Portanto, VSd
19,25 kN VRd 1 46,8 kN , não há a necessidade de
estribos.
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ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação SEÇÃO 19 – Dimensionamento e verificação de lajes 3. Exemplo I – Laje armada em duas direções
Na figura 3.1 indica‐se a planta de formas para as lajes L1 a L8, considera‐se classe de agressividade I, concreto C20 (f ck = 20 MPa) e aço CA50 (f yk = 500 MPa).
Figura 3.1 – Planta de formas.
O concreto C20 atende a seção 7 da NBR 6118:2014 com relação à durabilidade (tabela 7.1), e adota‐ se um cobrimento c = 2,0 cm, especificado na tabela 7.2. A carga total p = 5,5 kN/m2, sendo a carga permanente g = 3,5 kN/m2 (peso próprio e revestimento) e a carga acidental q = 2,0 kN/m2. A planta de formas da figura 3.1 tem dois eixos de simetria, eixos sobre as vigas V3 e V7, portanto somente duas lajes serão dimensionadas – L1 e L3 – pois, L1=L2=L7=L8 e L3=L4=L5=L6. As lajes L1 e
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L3 são lajes armadas em duas direções com condições de contorno diferentes devido à continuidade com as lajes adjacentes. As lajes são consideradas como painéis isolados, determinando‐se os momentos fletores máximos nos vãos e sobre os apoios (quando engastados) para a carga p = 5,5 kN/m2. 3.1. Determinação dos Esforços Solicitantes
Nas lajes interessam, particularmente, os momentos fletores máximos (em valor absoluto) nos vãos e sobre os apoios (quando engastados). Existem tabelas que nos fornecem estes momentos máximos para alguns casos usuais de lajes maciças (tabelas de Kalmanock, Barès, Czèrny, Timoshenko, etc.). Nos edifícios, onde o carregamento usual é constituído de carga distribuída uniforme, são muito úteis as tabelas de Czèrny preparadas com coeficiente de Poisson 0,2 (admitido para o concreto). Os momentos fletores extremos são dados por: mx
p 2x
x
; my
p 2x
y
; m x
p 2x
x
; m y
p 2x
y
onde, as variáveis e estão tabeladas em função dos seguintes parâmetros:
tipo de carga (por exemplo, distribuida uniforme) condições de apoio da laje (tipos de apoio) relação (l y / l x).
Para os pisos usuais de edifícios residenciais e comerciais (sobrecargas de valores moderados) pode ser aplicado o método simplificado. Considera‐se o piso esquematizado na figura 3.2, onde:
Figura 3.2 – Planta de formas.
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lajes isoladas: inicialmente, isolam‐se as lajes, admitindo‐se, para cada uma delas, as seguintes condições de apoio:
− − −
apoio livre, quando não existir laje vizinha junto a este apoio; apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nível permitindo, assim, a continuidade da armadura negativa de flexão de uma laje para a outra; vigas rígidas de apoio da laje;
e, calculam‐se os momentos fletores máximos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas (mx, my, mx’ e my’).
correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as lajes vizinhas:
−
−
−
momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: adota‐se para momento fletor de compatibilização, o maior valor entre 0,8 m>‘ e (m1’ + m2’) / 2, onde m1’ e m2’ são os valores absolutos dos momentos negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado e, m>‘, o maior momento entre m1’ e m2’. momentos nos vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podem ser adotados os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas; portanto, sem nenhuma correção devido à continuidade. Para sobrecargas maiores convém efetuar essas correções, principalmente, quando acarretar aumento no valor do momento fletor. Para isso, existem tabelas apropriadas.
Lajes isoladas
Na tabela 3.1 calculam‐se os momentos fletores nas lajes isoladas. Tabela 3.1: Momentos fletores – Tabelas de Czerny. x
y
y
(m)
(m)
x
L1
4,0
6,0
L3
4,0
6,0
Laje
−
m x
my
m x
my
(kN.m/m)
(kN.m/m)
(kN.m/m)
(kN.m/m)
12,4
3,96
1,67
9,17
7,10
17,5
3,17
1,14
7,04
5,03
x
y
x
y
1,5
22,2
52,6
9,6
1,5
27,8
76,9
12,5
Momentos fletores sobre os apoios
Na tabela 3.2 indicam‐se as correções dos momentos fletores sobre os apoios comuns às lajes adjacentes. Tabela 3.2: Momentos fletores sobre os apoios.
mi
m
(kN.m/m)
(kN.m/m)
L1–L2
7,10
7,10
L1–L3
9,17
L3–L4 L3–L5
Apoio
mi mj
0,8 m
mij
(kN.m/m)
(kN.m/m)
7,10
5,68
7,10
7,04
8,11
7,34
8,11
5,03
5,03
5,03
4,02
5,03
7,04
7,04
7,04
5,63
7,04
2 (kN.m/m)
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ABNT NBR 6118:2014 Comentários e Exemplos de Aplicação SEÇÃO 19 – Dimensionamento e verificação de lajes 3.2. Dimensionamento das armaduras positivas e negativas
Na tabela 3.3 indica‐se o dimensionamento e a escolha da bitola ( – mm) e o espaçamento (s – cm). O momento poisitivo mx da laje L1 foi corrigido devido a compatibilização dos momentos negativos das lajes L1 e L3: m x 1 3, 96 (9,17 8,11) / 2 4, 49 kN.m .
m x 1
mx 3
Tabela 3.3: Dimensionamento das armaduras. d
m
md
x
As
As,mín
As,adot.
(cm)
(kN.m)
(kN.m)
(cm)
(cm /m)
(%)
(cm /m)
(cm /m)
2
(mm) e s(cm)
m x
7,5
4,49(*)
6,29
0,90
2,00
0,10
1,00
2,00
5c/10
my
6,5
1,67
2,34
0,38
0,85
0,10
1,00
1,00
5c/20
m1,2
7,5
7,10
9,94
1,48
3,31
0,15
1,50
3,31
8c/15
m1,3
7,5
8,11
11,35
1,72
3,83
0,15
1,50
3,83
8c/13
m x
7,5
3,17
4,44
0,63
1,41
0,10
1,00
1,41
5c/14
my
6,5
1,14
1,60
0,26
0,58
0,10
1,00
1,00
5c/20
m3,4
7,5
5,03
7,04
1,02
2,28
0,15
1,50
2,28
6,3c/13
m3,5
7,5
27,8
76,9
12,5
17,5
3,17
1,14
7,04
8c/15
Laje
L1
L3
2
2
3.3. Detalhamento das armaduras
Nas figuras 3.3 e 3.4 detalham‐se apenas as lajes L1 e L3, considerando a simetria do painel de lajes, separadamente as armaduras negativas (superiores) e positivas (inferiores).
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Figura 3.3 – Detalhamento das armaduras superiores (negativas).
Figura 3.4 – Detalhamento das armaduras inferiores (positivas).
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