Combinatorica Si Teoria Grafurilor

COMBINATORICĂ ŞI TEORIA GRAFURILOR 

Prof. Dr. Ioan Tomescu  Partea întâi: Elemente de combinatoric ă

I. FUNCTII DE NUMARARE SI FORMULA MULTINOMULUI În cele ce urmează se va lucra cu mul ţimi finite. Num ărul de elemente din mulţimea finită  X  va fi notat cu  X  . Unei funcţii  f  de la  X  în Y , unde  X  şi

Y  sunt mulţimi finite, astfel încât  X  = { x1 ,..., x n } şi Y  = { y1 ,..., y m } , i se pune în corespondenţă o aranjare a mulţimii  X  de obiecte în mul ţimea Y  de căsuţe, astfel încât în căsuţa  y i să intre obiectele din mul ţimea { x x ∈ X ,  f ( x) =  yi } . Această corespondenţă este o bijec ţie. De asemenea, se poate stabili o bijec ţie între mulţimea funcţiilor   f  : X  → Y  şi mulţimea n -uplelor formate cu elemente din Y  sau a cuvintelor de lungime n formate cu litere din mul ţimea Y  astfel: unei func ţii  f  i se pune în coresponden ţă cuvântul  f ( x1 ) f ( x 2 )... f ( x n ) în care ordinea literelor este esen ţială. rul func ţ iilor  iilor   f  : X  → Y  este egal cu m n  , dacă  Propoziţia 1. Numă rul  X  = n  şi Y  = m . Prin

definiţie

se

noteaz ă

[ x]n =  x( x − 1)...( x − n + 1)

şi

[ x]n =  x( x + 1)...( x + n − 1) , ambele produse conţinând câte n factori consecutivi. Propoziţia 2.

Numă rul rul func ţ iilor iilor injective  f  : X  → Y   , unde  X  = n  şi

Y  = m este egal cu [m]n .   Aranjamente de m

n se numesc cuvintele de lungime n formate cu litere diferite din mul ţimea Y , iar numărul lor este [m]n . Dacă m = n , aceste cuvinte de lungime n formate cu litere din Y  se numesc  permut ări  ale mulţimii Y  şi numărul lor este egal cu [n]n , care se noteaz ă cu n!= 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n şi se numeşte n  factorial . Prin definiţie 0!= 1 . Dacă mulţimea Y  este o mulţime ordonată astfel încât  y1 <  y 2 < ... <  y n , un cuvânt de lungime n format cu litere din Y,  y i1 ... yin se numeşte crescător dacă luate câte

 yi1 ≤  yi2 ≤ ... ≤  yin şi strict crescător dacă  y ii <  yi2 < ... <  yin . Cuvintele strict crescătoare de lungime n formate cu m simboluri se mai numesc combin ări de ie de m luate m luate câte n , iar cele crescătoare se numesc combinări cu repeti  ţ ie câte n . 74

Propozţia 3 .

Numă rul rul cuvintelor strict cresc ă toare toare de lungime n formate

[m] n

cu m simboluri este egal cu

n!

. Acest num ă r este egal   şi cu numă rul  rul 

 submul  ţ imilor imilor cu n elemente ale unei mul  ţ imi imi cu m elemente.

 m     

 Numerele [m]n se mai notează prin   şi se numesc numere binomiale n cu parametrii m şi n . rul cuvintelor cresc ă toare toare de lungime n formate cu Propoziţia 4 . Numă rul

m simboluri este egal cu

[m]n n!

.

 Numerele binomiale apar drept coeficien ţi în formula binomului:

 n  (a + b ) = ∑  a n− k b k  , k = 0  k   n

n

(1)

care este valabil ă pentru orice a, b dintr-un inel comutativ. rul de aranj ă ri ri ale unei mul  ţ  imi de n obiecte Propoziţia 5. Numă rul  ţ imi ime de  p că  su ţ e Y  =  y1 ,..., y p   , astfel încât că  su ţ a  X  = { x1 ,..., xn } într-o mul  ţ ime ină  ni obiecte pentru orice 1 ≤ i ≤  p n1 + ... + n p = n ) este egal cu  yi să  con ţ in n! . n1!n2 !...n p ! n      şi se numeşte Acest raport de factoriale se mai noteaz ă  n n n , ,...,  p    1 2 număr multinomial , care generalizeaz ă numerele binomiale (cazul  p = 2 ) şi apar 

în formula multinomului  care extinde rela ţia (1): n     n1 n2 n p . a1 a 2 ...a p (a1 + a 2 + ... + a p )n = ∑  n1 ,..., n p ≥ 0  n1 , n 2 ,..., n p 

(2)

n1 +...+ n p = n

75

II. PRINCIPIUL INCLUDERII ŞI AL EXCLUDERII ŞI APLICAŢII Principiul includerii şi al excluderii constituie o generalizare a identit ăţii:  A ∪ B =  A +  B −  A ∩ B (3) unde  A, B ⊂  X  . Teorema 1 (Principiul includerii şi al excluderii).  Dacă   A I  ( 1 ≤ i ≤ q )  sunt submul  ţ imi ale unei mul  ţ imi  X  , are loc rela ţ ia: q

q

i =1

i =1

∪ Ai = ∑ Ai − +

∑

∑

Ai ∩ Aj +

1≤i < j ≤ q

Ai ∩ Aj ∩ Ak − ... + ( −1)

q −1

1≤i < j < k ≤ q

(4)

q

∩ Ai i =1

Aplicaţii 1. Determinarea func ţ iei lui Euler  ϕ(n )

Fiind dat un num ăr natural n, ϕ(n ) reprezintă numărul numerelor  naturale mai mici ca n şi relativ prime cu n. Dacă descompunerea lui n în i i i factori primi distinc ţi este n =  p11 p 22 ... p qq şi se notează cu  Ai mulţimea numerelor naturale mai mici sau egale cu n care sunt multipli de  pi , se obţine  Ai =

n n ,  Ai ∩ A j = etc. Deci  pi  pi p j q

ϕ 

( n ) = n − A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Aq = n − ∑ Ai + i =1

q

= n−∑ i =1

∑

Ai ∩ Aj − ...

1≤i < j ≤ q

n n n + ∑ − ... + ( −1)q pi 1≤i< j≤ q pi p j p1 ⋅ ... ⋅ pq

adică

  1    1     1   ϕ(n ) = n1 − 1 − ...1 −  .    p1    p 2      p q   2.   Determinarea numărului   D(n ) al permut ărilor a n

(5) elemente f ăr ă puncte

 fixe

Fie  p o permutare a mulţimii  X  = {1,..., n}, adică o bijecţie  p : X  →  X  . Permutarea are un punct fix în i dacă  p(i ) = i . Dacă notăm cu  Ai mulţimea permutărilor care au un punct fix în i rezultă că n

D ( n ) = n!− A1 ∪ ... ∪ An = n !− ∑ Ai + i =1

76

∑

1≤i < j ≤ n

n

n

Ai ∩ Aj − ... + (− 1) ∩ Ai i =1

Se obţine,  Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik  = (n − k )! deoarece o permutare din mulţimea  Ai1 ∩ ... ∩ Aik  are puncte fixe în pozi ţiile i1 , i2 ,..., ik  , celelalte imagini putând fi alese în (n − k )! moduri. Deoarece k  poziţii i1 ,..., ik  pot

 n        1 1 (−1) k  (−1) n    .  D(n ) = n!1 − + − ... + + ... + (6) 1 ! 2 ! ! ! k  n     Determinarea numărului  s n ,m al func ţ iilor surjective Fie mulţimile  X  = { x1 ,..., x n } şi Y  = { y1 ,..., y m } . Pentru fiecare i , 1 ≤ i ≤ m , să notăm prin  Ai mulţimea funcţiilor de la X în Y pentru care  y i nu este imaginea nici unui element din X, adic ă  Ai = { f  : X  → Y  yi ∉  f ( X )}. Se obţine. fi alese din mulţimea celor n poziţii în   moduri, rezultă k 

3.

m

sn,m = m n − A1 ∪ ... ∪ Am = m n − ∑ Ai + i =1

∑

1≤i < j≤ m

m

Ai ∩ A j − ... + ( −1) m ∩ Ai i =1

.  Ai este mulţimea funcţiilor definite pe X cu valori în Y \ { yi } , deci

 Ai = (m − 1) n şi în general  Ai1 sumă

∑

1≤i1