Combinatoria - Principio de La Suma y Multiplicación, Permutaciones, Variaciones y Combinaciones PDF

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Ing. Darío Guamán Lozada MSc.

Estadística Análisis combinatorio – Principio del producto y adición, Permutaciones, Variaciones y Combinaciones

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Principio de multiplicación El método del producto es un método de conteo que consiste en descomponer el experimento n en otros experimentos más simples n1, n2, n3... y multiplicar el número de posibilidades de cada experimento. Por tanto todos los experimentos juntos pueden hacerse de:

n1· n2· n3· ...

formas diferentes.

Ejemplo 1

En un restaurante el menú se pueden elegir entre tres primeros platos, tres segundos y cuatro postres. ¿Cuántos menús diferentes se pueden pedir? 𝑛 𝑇 = 𝑛1 ∗ 𝑛2 ∗ 𝑛3 𝑛 𝑇 = 3 ∗ 3 ∗ 4 = 36

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Ejemplo 2

Principio de multiplicación

En una tienda on-line tienen las siguientes prendas para la temporada de verano: 4 tipos distintos de camiseta, 3 tipos de pantalones y 2 tipos de calzado. ¿Cuántos grupos de prendas podemos elegir para vestir? 𝑛 𝑇 = 𝑛1 ∗ 𝑛2 ∗ 𝑛3 𝑛 𝑇 = 4 ∗ 3 ∗ 2 = 24 Ejemplo 3

Lanzamos simultáneamente una moneda y un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. Describe cuántas y cuáles son las posibilidades del experimento. Haz un diagrama de árbol. 𝑛 𝑇 = 𝑛1 ∗ 𝑛2 𝑛 𝑇 = 2 ∗ 6 = 12

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Principio de adición El método de adición es un método de conteo que consiste en descomponer un experimento n en otros experimentos excluyentes más simples n1, n2, n3... y sumar el número de posibilidades de cada experimento. Por tanto todos los experimentos juntos pueden hacerse de: n1+ n2+ n3+ ...

formas diferentes.

Ejemplo 4

Lanzamos al aire tres monedas: una de 2€ , una de 1€ y una de 0.20€. ¿De cuántas formas diferentes se pueden obtener una, dos o tres caras? Una cara= (C,S,S); (S,C,S); (S,S,C)

1€ (C)

0.20€ (C)

(C,C,C)

0.20€ (S)

(C,C,S)

2€ (C)

1€ (C)

0.20€ (C) (S,C,C) 0.20€ (S)

(S,C,S)

2€ (S) 1€ (S)

0.20€ (C)

(C,S,C)

0.20€ (S)

(C,S,S)

Dos caras= (C,C,S); (C,S,C); (S,C,C) Tres caras= (C,C,C)

𝑛 𝑇 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 1€ (S)

0.20€ (C) (S,S,C) 0.20€ (S)

𝑛 𝑇 = 3 + 3 + 1 =7

(S,S,S) 4

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Factorial Factorial Dado un número natural m, llamamos factorial de m, y lo denotamos por m! , al producto de m por todos los números naturales menores que él.

m! = m · (m - 1) · (m - 2) · ... · 3 · 2 · 1 0! = 1! = 1

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Resumen

Combinatoria Permutaciones

Intervienen todos los elementos.

Influye el orden en el que se coloca.

Variaciones

No intervienen todos los elementos.

Influye el orden en el que se coloca.

Combinaciones

No intervienen todos los elementos

No influye el orden en el que se coloca.

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Permutaciones: sin repetición Las permutaciones sin repetición Pm son los distintos grupos de m elementos diferentes tomados de m en m. 𝑃𝑚 = 𝑚! = 𝑚 ⋅ (𝑚 − 1) ⋅ (𝑚 − 2) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

• Intervienen todos los elementos. • No se pueden repetir. • Influye el orden en el que se coloca. Ejemplo 5 ¿Cuántos números distintos de tres cifras diferentes se pueden escribir con los dígitos: 1, 5, 7 ?

• Intervienen todos los elementos. • No se pueden repetir. • Influye el orden en el que se coloca.

157 175 517 Números: 571 715 751

P3 = 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

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Permutaciones: con repetición Las permutaciones con repetición PRma, b, ...,k son los grupos ordenados de m elementos repetidos o no tomados de m en m que pueden formarse. Donde el primero se repite a veces; el segundo b veces; el tercero c veces; y el último k veces. PRa,b,…k m

m! = , con a + b + ⋯ + k = m a! ⋅ b! … ⋅ k!

• Intervienen todos los elementos. • Se pueden repetir. • Influye el orden en el que se coloca. Ejemplo 6 ¿Cuántos números distintos se pueden escribir con los dígitos 1 y 5 en que el 1 se repite 2 veces, el 5 se repite 3 veces? 11555 • Intervienen todos los elementos. 15155 • Se pueden repetir. 5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 20 2,3 15515 • Influye el orden en el que se coloca. 𝑃5 = = = = 10 Números: 2! ⋅ 3! 2 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 2 55115 55511 ⋮ 8

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Variaciones : sin repetición Las variaciones sin repetición u ordinarias, Vm, n son los distintos grupos de m elementos diferentes tomados de n en n (m > n). 𝑉𝑚,𝑛 = 𝑚 ⋅ (𝑚 − 1) ⋅ (𝑚 − 2) ⋅ … ⋅ (𝑚 − 𝑛 + 1൯ →

Vm,n =

m! (m − n)!

• No intervienen todos los elementos. • No se pueden repetir. • Influye el orden en el que se coloca. Ejemplo 7 ¿Cuántos números distintos de tres cifras diferentes se pueden escribir con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 123 132 • No intervienen todos los elementos. 321 • No se pueden repetir. 𝑉9,3 = 9 ⋅ (9 − 1) ⋅ (9 − 2) ⋅ (9 − 3) = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 Números: 213 • Influye el orden en el que se coloca. 231 ⋮ 9

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Variaciones : con repetición Las variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, VRm, n son las variaciones que se pueden formar permitiendo que los elementos se repitan. VR m,n = m ⋅ m ⋅ m ⋅ … ⋅ m = mn • No intervienen todos los elementos. • Se pueden repetir. • Influye el orden en el que se coloca. Ejemplo 8 Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ¿cuántos números distintos de 3 cifras diferentes o no, se pueden formar? 123 111 132 222 • No intervienen todos los elementos. 321 333 • Se pueden repetir. VR 9,3 = 93 = 729 Ejemplos: 213 112 • Influye el orden en el que se coloca. 231 122 412 422 ⋮ ⋮ 10

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Combinaciones: sin repetición Las combinaciones Cm, n son los distintos grupos de m elementos diferentes tomados de n en n (m > n). Vm,n Cm,n = Pn • No intervienen todos los elementos • No se pueden repetir. • No influye el orden en el que se coloca. El numero Cm,n también se llama coeficiente binomial o numero combinatorio. Dados dos números naturales m y n, tales que n ≤ m, definimos el número combinatorio "m sobre n" como: m! 𝑚 = 𝑛 n! (m − n)!

Ejemplo 9 A una reunión asisten 12 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se intercambiarán? • No intervienen todos los elementos • No se pueden repetir. • No influye el orden en el que se coloca.

C12,2 =

12 ⋅ 11 132 = = 66 2⋅1 2

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Combinaciones: con repetición Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos que podemos formar con los m elementos, de manera que : (m + n − 1)! n,m−1 CR m,n = Pm+n−1 = n! ⋅ (m − 1)! • No intervienen todos los elementos • Se puede repetir. CR m,n = Cm+n−1,n • No influye el orden en el que se coloca. Ejemplo 10 En una heladería tienen 12 sabores distintos. a) ¿Cuántos cucuruchos de 2 sabores distintos se pueden elegir? b) ¿Y si se pueden repetir los sabores? • No intervienen todos los elementos • No influye el orden en el que se coloca.

b) CR 12,2 = C12+2−1,2 = C13,2 =

13⋅12 2⋅1

=

156 2

a)

= 78

12!

C12,2 = 2!⋅(12−2)! =

132 2

= 66

• No se pueden repetir.

• Se pueden repetir. 12