com BaiTapGiaiTichPhanSoPhuc TranSiTung

TRAÀN SÓ TUØNG ---- ›š & ›š ----

BAØI TAÄP GIAÛI TÍCH 12 TAÄP 4

OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC

Naêm 2009

Soá phöùc

Traàn Só Tuøng

CHÖÔNG IV SOÁ PHÖÙC

I. SOÁ PHÖÙC 1. Khaùi nieäm soá phöùc · Taäp hôïp soá phöùc: C · Soá phöùc (daïng ñaïi soá) : z = a + bi (a, bÎ R , a laø phaàn thöïc, b laø phaàn aûo, i laø ñôn vò aûo, i2 = –1) · z laø soá thöïc Û phaàn aûo cuûa z baèng 0 (b = 0) z laø thuaàn aûo Û phaàn thöïc cuûa z baèng 0 (a = 0) Soá 0 vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo. ìa = a ' · Hai soá phöùc baèng nhau: a + bi = a’ + b’i Û í (a, b, a ', b ' Î R) îb = b ' 2. Bieåu dieãn hình hoïc: Soá phöùc z = a + bi (a, b Î R) ñöôïc bieåu dieãn bôûi ñieåm M(a; b) hay r bôûi u = (a; b) trong mp(Oxy) (mp phöùc)

3. Coäng vaø tröø soá phöùc: · ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i · ( a + bi ) - ( a’ + b’i ) = ( a - a’) + ( b - b’) i · Soá ñoái cuûa z = a + bi laø –z = –a – bi r r r r r r · u bieåu dieãn z, u ' bieåu dieãn z' thì u + u ' bieåu dieãn z + z’ vaø u - u ' bieåu dieãn z – z’. 4. Nhaân hai soá phöùc : · ( a + bi )( a '+ b ' i ) = ( aa’ – bb’) + ( ab’ + ba’) i · k (a + bi ) = ka + kbi (k Î R) 5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z = a - bi æz ö z · z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z '; ç 1 ÷ = 1 ; è z2 ø z2 · z laø soá thöïc Û z = z ; z laø soá aûo Û z = - z

z. z = a2 + b2

6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi uuuur · z = a2 + b2 = zz = OM · z ³ 0, "z Î C , z =0Ûz=0 · z.z ' = z . z ' 7. Chia hai soá phöùc: 1 · z -1 = z (z ¹ 0) 2 z

·

z z = z' z' ·

· z - z' £ z ± z' £ z + z' z' z '.z z '. z = z ' z -1 = = 2 z z.z z Trang 102

·

z' = w Û z ' = wz z

Traàn Só Tuøng

Soá phöùc

8. Caên baäc hai cuûa soá phöùc: 2 ì 2 · z = x + yi laø caên baäc hai cuûa soá phöùc w = a + bi Û z2 = w Û í x - y = a î 2 xy = b · w = 0 coù ñuùng 1 caên baäc hai laø z = 0 · w ¹ 0 coù ñuùng hai caên baäc hai ñoái nhau

· Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø ± a · Hai caên baäc hai cuûa a < 0 laø ± - a .i 9. Phöông trình baäc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C laø caùc soá phöùc cho tröôùc, A ¹ 0 ). D = B 2 - 4 AC -B ± d , ( d laø 1 caên baäc hai cuûa D) 2A B · D = 0 : (*) coù 1 nghieäm keùp: z1 = z2 = 2A Chuù yù: Neáu z0 Î C laø moät nghieäm cuûa (*) thì z0 cuõng laø moät nghieäm cuûa (*).

· D ¹ 0 : (*) coù hai nghieäm phaân bieät z1,2 =

10. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: · z = r (cos j + i sin j) (r > 0) laø daïng löông giaùc cuûa z = a + bi (z ¹ 0) ì ïr = a2 + b2 ïï a Û ícos j = r ï b ïsin j = ïî r · j laø moät acgumen cuûa z, j = (Ox , OM ) · z = 1 Û z = cos j + i sin j (j Î R) 11. Nhaân, chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc Cho z = r (cos j + i sin j) , z ' = r '(cos j '+ i sin j ') : · z.z ' = rr '. [ cos(j + j ') + i sin(j + j ')]

·

z r = [ cos(j - j ') + i sin(j - j ')] z' r '

12. Coâng thöùc Moa–vrô: n

· [r (cos j + i sin j)] = r n (cos nj + i sin nj) ,

( n Î N* )

n

· ( cos j + i sin j ) = cos nj + i sin nj 13. Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: · Soá phöùc z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) coù hai caên baäc hai laø: æ j jö r ç cos + i sin ÷ è 2 2ø é æj æ ö æj öù j jö vaø - r ç cos + i sin ÷ = r ê cos ç + p ÷ + i sin ç + p ÷ ú è 2 2ø ø è2 øû ë è2 · Môû roäng: Soá phöùc z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) coù n caên baäc n laø: j + k 2p j + k 2p ö n æ r ç cos + i sin ÷ , k = 0,1,..., n - 1 n n è ø

Trang 103

Soá phöùc

Traàn Só Tuøng VAÁN ÑEÀ 1: Thöïc hieän caùc pheùp toaùn coäng – tröø – nhaân – chia

AÙp duïng caùc quy taéc coäng, tröø, nhaân, chia hai soá phöùc, caên baäc hai cuûa soá phöùc. Chuù yù caùc tính chaát giao hoaùn, keát hôïp ñoái vôùi caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân. Baøi 1. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau:

a) ( 4 – i ) + ( 2 + 3i ) – ( 5 + i )

æ1 ö b) 2 - i + ç - 2i ÷ è3 ø æ3 1 ö æ 5 3 ö e) ç + i ÷ - ç - + i ÷ è4 5 ø è 4 5 ø

æ 1 ö æ 3 ö 1 d) ç 3 - i ÷ + ç - + 2i ÷ - i 3 ø è 2 è ø 2 3 -i 2 -i 3 h) g) 1+ i i 1 + 2i m a+i a l) k) i m a-i a 1+ i a+i b o) p) 2-i i a Baøi 2. Thöïc hieän caùc pheùp toaùn sau: 2

a) (1 + i ) - (1 – i ) æ1 ö d) ç - 3i ÷ è2 ø

2

3

e)

f) ( 2 - 3i )( 3 + i ) i)

3

b) ( 2 + i ) - ( 3 - i )

3

æ2 5 ö c) ( 2 - 3i ) - ç - i ÷ è3 4 ø

(1 + 2i) 2 - (1 - i) 2 (3 + 2i) 2 - (2 + i ) 2

1+ i 1- i

m)

3+ i (1 - 2i )(1 + i )

q)

2 - 3i 4 + 5i

c) ( 3 + 4i ) f) ( 2 - i )

2

6

g) (-1 + i )3 - (2i )3 h) (1 - i)100 i) (3 + 3i )5 Baøi 3. Cho soá phöùc z = x + yi . Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau: z+i iz - 1 Baøi 4. Phaân tích thaønh nhaân töû, vôùi a, b, c Î R: a) z2 - 2 z + 4i

b)

a) a2 + 1

b) 2a2 + 3

c) 4a 4 + 9b2

d) 3a2 + 5b 2

g) a3 + 8

h) a4 + a2 + 1

b) 4 + 6 5i

c) -1 - 2 6i

d) -5 + 12i

f) 7 - 24i

g) -40 + 42i

h) 11 + 4 3.i

k) -5 + 12i

l) 8 + 6i

m) 33 - 56i

e) a4 + 16 f) a3 - 27 Baøi 5. Tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc: a) -1 + 4 3i 4 5 e) - - i 3 2 1 2 i) + i 4 2

VAÁN ÑEÀ 2: Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc Giaû söû z = x + yi. Giaûi caùc phöông trình aån z laø tìm x, y thoaû maõn phöông trình. Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau (aån z): 2

a) z 2 + z = 0

b) z 2 + z = 0

c) z + 2 z = 2 - 4i e) z - 2 z = -1 - 8i

d) z 2 - z = 0 f) ( 4 - 5i ) z = 2 + i Trang 104

Traàn Só Tuøng

Soá phöùc 4

æ z+iö g) ç ÷ =1 è z -iø

h)

i) 2 z - 3z = 1 - 12i

k) ( 3 - 2i )

2

l) [(2 - i ) z + 3 + i ](iz + o)

3 + 5i = 2 - 4i z

(

)(

2+i - 1 + 3i z= 1- i 2+i

( z + i ) = 3i

æ 1 ö 1 m) z ç 3 - i ÷ = 3 + i 2 ø 2 è

1 )=0 2i

(

)

p) ( z + 3i ) z2 - 2 z + 5 = 0

)

q) z2 + 9 z2 - z + 1 = 0

r) 2 z3 - 3z2 + 5z + 3i - 3 = 0

Baøi 2. Giaûi caùc phöông trình sau (aån x):

a) x 2 - 3.x + 1 = 0

b) 3 2 .x 2 - 2 3.x + 2 = 0

c) x 2 - ( 3 - i ) x + 4 - 3i = 0

d) 3i.x 2 - 2 x - 4 + i = 0

e) 3x 2 - x + 2 = 0 g) 3x 3 - 24 = 0

f) i. x 2 + 2i. x - 4 = 0 h) 2 x 4 + 16 = 0

i) ( x + 2)5 + 1 = 0

k) x 2 + 7 = 0

l) x 2 + 2 (1 + i ) x + 4 + 2i = 0

m) x 2 - 2 ( 2 - i ) x + 18 + 4i = 0

o) ix 2 + 4 x + 4 - i = 0

p) x 2 + ( 2 - 3i ) x = 0

Baøi 3. Tìm hai soá bieát toång vaø tích cuûa chuùng laàn löôït laø:

a) 2 + 3i vaø - 1 + 3i b) 2i vaø - 4 + 4i Baøi 4. Tìm phöông trình baäc hai vôùi heä soá thöïc nhaän a laøm nghieäm: a) a = 3 + 4i

b) a = 7 - i 3

d) a = -2 - i 3

e) a = 3 - i 2

c) a = 2 - 5i

f) a = -i 5+i h) a = i 51 + 2i80 + 3i 45 + 4i 38 i) a = g) a = (2 + i )(3 - i ) 2-i Baøi 5. Tìm tham soá m ñeå moãi phöông trình sau ñaây coù hai nghieäm z1, z2 thoaû maõn ñieàu kieän ñaõ chæ ra: a) z2 - mz + m + 1 = 0, ñk : z12 + z22 = z1z2 + 1 c) x 2 + mx + 3i = 0, ñk : z12 + z22 = 8

b) z2 - 3mz + 5i = 0, ñk : z13 + z23 = 18

(

)

(

)

Baøi 6. Cho z1 , z2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình 1 + i 2 z2 - 3 + 2i z + 1 - i = 0 . Tính giaù

trò cuûa caùc bieåu thöùc sau: a) A = z12 + z22

b) B = z12 z2 + z1z22

c) C =

z1 z2 + z2 z1

Baøi 7. Giaûi caùc heä phöông trình sau:

ì z1 + z 2 = 4 + i a) í 2 2 î z1 + z 2 = 5 - 2i

ì z1 .z 2 = -5 - 5.i b) í 2 2 î z1 + z 2 = -5 + 2.i

ìï z13 + z 25 = 0 c) í 2 4 ïî z1 .( z2 ) = 1

ì z1 + z2 + z3 = 1 ï d) í z1 + z2 + z3 = 1 ï z .z . z = 1 î 1 2 3

ì ï ï e) í ï ïî

ì ï ï f) í ï ïî

z - 12 5 = z - 8i 3 z-4 =1 z -8

Trang 105

z -1 =1 z -i z - 3i =1 z +i

Soá phöùc

Traàn Só Tuøng

ìïz2 + z2 = 5 + 2i g) í 1 2 h) ïîz1 + z2 = 4 - i Baøi 8. Giaûi caùc heä phöông trình sau: ì x + 2 y = 1 - 2i a) í b) îx + y = 3 - i

ïì z - 2i = z í ïî z - i = z - 1

ì1 1 1 1 ï + = - i d) í x y 2 2 ï x 2 + y 2 = 1 - 2i î

ìx + y = 5 - i í 2 2 î x + y = 8 - 8i ì x 2 + y 2 = -6 ï e) í 1 1 2 ïx + y = 5 î

ìx + y = 5 - i g) í 2 2 î x + y = 1 + 2i

ìx + y = 1 h) í 3 3 î x + y = -2 - 3i

ìïz 2 + z 2 + 4 z z = 0 1 2 1 2 z z 2 i + = ïî 1 2

i) í

ìx + y = 4 c) í î xy = 7 + 4i ì x + y = 3 + 2i ï f) í 1 1 17 1 + = + i ïî x y 26 26

VAÁN ÑEÀ 3: Taäp hôïp ñieåm Giaû söû soá phöùc z = x + yi ñöôïc bieåu dieån ñieåm M(x; y). Tìm taäp hôïp caùc ñieåm M laø tìm heä thöùc giöõa x vaø y. Baøi 1. Xaùc ñònh taäp hôïp caùc ñieåm M trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá z thoûa maõn

moãi ñieàu kieän sau: a) z + z + 3 = 4

b) z - z + 1 - i = 2

c) z - z + 2i = 2 z - i

d) 2i.z - 1 = 2 z + 3

e) 2i - 2 z = 2 z - 1

f) z + 3 = 1

g) z + i = z - 2 - 3i

h)

k) 2 + z = i - z

l) z + 1 < 1

z - 3i =1 z+i

i) z - 1 + i = 2 m) 1 < z - i < 2

Baøi 2. Xaùc ñònh taäp hôïp caùc ñieåm M trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá z thoûa maõn

moãi ñieàu kieän sau: a) z + 2i laø soá thöïc

b) z - 2 + i laø soá thuaàn aûo

c) z. z = 9

VAÁN ÑEÀ 4: Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc Söû duïng caùc pheùp toaùn soá phöùc ôû daïng löôïng giaùc. Baøi 1. Tìm moät acgumen cuûa moãi soá phöùc sau:

a) - 2 + 2 3.i b) 4 – 4i p p p p d) cos - i. sin e) - sin - i. cos 4 4 8 8 Baøi 2. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau: a) 3 ( cos 20o + i sin 20o )( cos 25o + i sin 25o ) c) 3 ( cos120o + i sin120o )( cos 45o + i sin 45o )

c) 1 - 3.i f) (1 - i. 3 )(1 + i)

æ p pö æ p pö b) 5 ç cos + i.sin ÷ .3 ç cos + i.sin ÷ è 6 6ø è 4 4ø p pö æ p pö æ d) 5 ç cos + i sin ÷ 3 ç cos + i sin ÷ 6 6ø è 4 4ø è

Trang 106

Traàn Só Tuøng

Soá phöùc

e)

2 ( cos18o + i sin18o )( cos 72o + i sin 72o )

g)

2 (cos 45 0 + i. sin 45 0 ) 3 (cos15 0 + i. sin 15 0 )

cos85o + i sin 85o cos 40o + i sin 40o 2(cos 45o + i sin 45o ) h) 3(cos15o + i sin15o )

f)

2p 2p ö 2p 2p æ + i sin 2 ç cos + i. sin ) ÷ 3 3 ø è 3 3 i) k) p p p pö æ 2(cos + i. sin ) 2 ç cos + i sin ÷ 2 2 2 2ø è Baøi 3. Vieát döôùi daïng löôïng giaùc caùc soá phöùc sau: a) 1 - i 3 b) 1 + i c) (1 - i 3 )(1 + i ) d) 2.i.( 3 - i) 2 (cos

e)

1- i 3 1+ i

i) 1 + i 3

f)

1 2 + 2i

k)

3-i

g) sin j + i. cos j

h)

l) 3 + 0i

m) tan

2 +i 2

Baøi 4. Vieát döôùi daïng ñaïi soá caùc soá phöùc sau:

p pö æ b) 2 ç cos + i sin ÷ 6 6ø è 3+i e) (1 + i )(1 - 2i )

a) cos 45o + i sin 45o d) (2 + i)6 1+ i g) 2i + 1

h) ( -1 + i 3 )

1 æ 3p 3p ö k) + i sin ç cos ÷ 4 4 ø 2è

æ1+ i ö l) ç ÷ è 1- i ø

60

100

5p +i 8

c) 3 ( cos120o + i sin120o ) f)

1 i

æ 1+ i 3 ö i) (2 - 2i )7 . ç ÷ è 1- i ø

æ p pö ç cos + i sin ÷ m) è 4 4ø

40

1

(

17

3 - i)

Baøi 5. Tính:

a) ( cos12o + i sin12o )

5

d) éë 2 ( cos30 0 + i sin 30 0 ) ùû 21

16

7

æ 5 + 3i 3 ö ÷ g) çç ÷ 1 2 i 3 è ø p p k) (cos - i sin )i 5 .(1 + 3i )7 3 3

b) (1 + i )

c) ( 3 - i ) 6

e) (cos15o + i sin15o )5

f) (1 + i )2008 + (1 - i )2008

12

æ1 3 ö÷ h) çç + i i) ÷ 2 2 è ø 1 1 l) z2008 + , bieát z + = 1 2008 z z

æ i + 1ö ç ÷ è i ø

2008

Baøi 6. Chöùng minh:

a) sin 5t = 16sin5 t - 20sin3 t + 5sin t

b) cos 5t = 16 cos5 t - 20 cos3 t + 5 cos t

c) sin 3t = 3cos2 t - sin3 t

d) cos3t = 4 cos3 t - 3 cos t

Trang 107

Soá phöùc

Traàn Só Tuøng

II. OÂN TAÄP SOÁ PHÖÙC Baøi 1. Thöïc hieän caùc pheùp tính sau: 6

æ -1 + i 3 ö æ 1 - i 7 ö b) ç ÷ +ç ÷ è 2 ø è 2 ø

a) (2 - i )(-3 + 2i)(5 - 4i ) 16

æ1+ i ö æ1- i ö c) ç ÷ +ç ÷ è 1- i ø è1+ i ø

8

d)

6

3 + 7i 5 - 8i + 2 + 3i 2 - 3i

e) (2 - 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i )(-6 - i )

f) 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

g) i 2000 + i1999 + i 201 + i82 + i 47

h) 1 + i + i 2 + ... + i n , (n ³ 1)

i) i.i 2 .i 3 ...i 2000 k) i -5 (-i )-7 + (-i)13 + i -100 + (-i)94 Baøi 2. Cho caùc soá phöùc z1 = 1 + 2i, z2 = -2 + 3i, z3 = 1 - i . Tính: a) z1 + z2 + z3

b) z1z2 + z2 z3 + z3 z1

d) z12 + z22 + z32

e)

z1 z2 z3 + + z2 z3 z1

c) z1z2 z3 f)

z12 + z2 2

z2 2 + z32

Baøi 3. Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau:

a) A = z4 + iz3 - (1 + 2i)z2 + 3z + 1 + 3i, vôùi z = 2 + 3i 1 b) B = ( z - z2 + 2 z3 )(2 - z + z2 ), vôùi z = ( 3 - i) 2 Baøi 4. Tìm caùc soá thöïc x, y sao cho: x -3 y -3 b) + =i a) (1 - 2i ) x + (1 + 2 y )i = 1 + i 3+i 3-i 1 c) (4 - 3i ) x 2 + (3 + 2i ) xy = 4 y 2 - x 2 + (3 xy - 2 y 2 )i 2 Baøi 5. Tìm caùc caên baäc hai cuûa caùc soá phöùc sau: b) 3 + 4i c) 1 + i a) 8 + 6i æ1+ i ö e) ç ÷ è 1- i ø i)

2

3 -i

æ1- i 3 ö f) ç ÷ ç 3 -i ÷ è ø k)

1

+

1

2

g)

1 2 i 2 2

l) -2 (1 + i 3 )

i

1+ i 3 2 2 Baøi 6. Tìm caùc caên baäc ba cuûa caùc soá phöùc sau: a) -i b) –27 c) 2 + 2i Baøi 7. Tìm caùc caên baäc boán cuûa caùc soá phöùc sau: a) 2 - i 12 b) 3 + i Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau: a) z3 - 125 = 0

c) -2i

b) z 4 + 16 = 0

d) 7 - 24i h) i, –i m)

1 1 + 1+ i 1- i

d) 18 + 6i d) -7 + 24i

c) z3 + 64i = 0

d) z3 - 27i = 0

e) z7 - 2iz4 - iz3 - 2 = 0 f) z6 + iz3 + i - 1 = 0 g) z10 + (-2 + i)z5 - 2i = 0 Baøi 9. Goïi u1; u2 laø hai caên baäc hai cuûa z1 = 3 + 4i vaø v1; v2 laø hai caên baäc hai cuûa z2 = 3 - 4i . Tính u1 + u2 + v1 + v2 ? Trang 108

Traàn Só Tuøng

Soá phöùc

Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc:

a) z2 + 5 = 0

b) z2 + 2 z + 2 = 0

c) z2 + 4 z + 10 = 0

d) z2 - 5z + 9 = 0

e) -2 z2 + 3z - 1 = 0

f) 3z2 - 2 z + 3 = 0

g) ( z + z )( z - z ) = 0

h) z2 + z + 2 = 0

i) z2 = z + 2

k) 2 z + 3z = 2 + 3i

l) ( z + 2i ) +2 ( z + 2i ) - 3 = 0 m) z3 = z

2

2

n) 4 z2 + 8 z = 8 o) iz2 + (1 + 2i)z + 1 = 0 Baøi 11. Giaûi caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc: 2

æ 4z + i ö 4z + i a) ç +6 = 0 ÷ -5 z-i è z -i ø

p) (1 + i )z2 + 2 + 11i = 0

b) ( z + 5i )( z - 3 ) ( z2 + z + 3) = 0

c) ( z2 + 2 z ) - 6 ( z2 + 2 z ) - 16 = 0

d) z3 - (1 + i ) z2 + ( 3 + i ) z - 3i = 0

e) ( z + i ) ( z2 - 2 z + 2 ) = 0

f) z2 - 2iz + 2i - 1 = 0

g) z2 - ( 5 - 14i ) z - 2 (12 + 5i ) = 0

h) z2 - 80 z + 4099 - 100i = 0

2

i) ( z + 3 - i ) - 6 ( z + 3 - i ) + 13 = 0

k) z2 - ( cos j + i sin j ) z + i cos j sin j = 0

Baøi 12. Giaûi caùc phöông trình sau treân taäp soá phöùc:

a) x 2 - ( 3 + 4i ) x + 5i - 1 = 0

b) x 2 + (1 + i ) x - 2 - i = 0

c) 3 x 2 + x + 2 = 0

d) x 2 + x + 1 = 0 e) x 3 - 1 = 0 Baøi 13. Giaûi caùc phöông trình sau bieát chuùng coù moät nghieäm thuaàn aûo: a) z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0

(

b) z3 + ( i - 3 ) z2 + ( 4 - 4i ) z - 4 + 4i = 0

)

Baøi 14. Tìm m ñeå phöông trình sau: ( z + i ) z2 - 2mz + m 2 - 2m = 0

a) Chæ coù ñuùng 1 nghieäm phöùc c) Coù ba nghieäm phöùc

b) Chæ coù ñuùng 1 nghieäm thöïc

Baøi 15. Tìm m ñeå phöông trình sau: z3 + (3 + i )z2 - 3z - (m + i ) = 0 coù ít nhaát moät nghieäm thöïc Baøi 16. Tìm taát caû caùc soá phöùc z sao cho ( z - 2)( z + i ) laø soá thöïc. Baøi 17. Giaûi caùc phöông trình truøng phöông:

a) z 4 - 8 (1 - i ) z2 + 63 - 16i = 0

b) z 4 - 24 (1 - i ) z2 + 308 - 144i = 0

c) z 4 + 6(1 + i )z2 + 5 + 6i = 0

(

)

Baøi 18. Cho z1 , z2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình: z2 - 1 + i 2 z + 2 - 3i = 0 . Tính giaù trò

cuûa caùc bieåu thöùc sau: a) z12 + z22

b) z12 z2 + z1z22

æ1 æ1 2ö 2ö d) z1 çç + ÷÷ + z2 çç + ÷÷ e) z2 z13 + z1z23 è z2 z1 ø è z1 z2 ø

c) z13 + z23 f)

z1 z2 + z2 z1

Baøi 19. Cho z1 , z2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình: x 2 - x + 1 = 0 . Tính giaù trò cuûa caùc bieåu

thöùc sau: a) x12000 + x22000

b) x11999 + x1999 2

c) x1n + x2n , n Î N

Baøi 20. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn caùc soá phöùc thoaû maõn heä

thöùc sau:

Trang 109

Soá phöùc a)

Traàn Só Tuøng

z =3 z -i

b) z2 + z 2 = 1

1 z

c) z =

Baøi 21. Haõy tính toång S = 1 + z + z2 + z3 + ...z n -1

bieát raèng z = cos

Baøi 22. Vieát döôùi daïng löôïng giaùc caùc soá phöùc sau:

a) i 4 + i 3 + i 2 + i + 1

b) (1 - i )(2 + i)

c)

æ p p pö e) -3 ç cos + i sin ÷ 2 è 6 6ø p g) sin a + i(1 - cos a ), 0 < a < 2 Baøi 23. Tìm moâñun vaø moät acgumen cuûa caùc soá phöùc sau: d) 1 - sin a + i cos a , 0 < a <

a)

(2

8

3 + 2i )

+

(1 - i )6

(1 + i )6 8

a)

8

3 + 2i )

+

(1 - i )6

3 - 2i )

10

(1 + i )6

b)

8

(2

(

f) cot a + i, p < a <

1

+

2+i 1- i

p 2

n

4

c) (1 + i 3 ) + (1 - i 3 )

n

n

n

( 2 3 + 2i ) 3 - i) p p p p e) cos - i sin f) -2 + 2 3i d) - sin + i cos 8 8 4 4 p 1 + cos a + i sin a p h) , 0