Columnas

Columnas

Autor: Kevin E. Patrón Hernández Estudiante Ing. Mecánica, VII nivel.

Introducción al Diseño Mecánico Universidad Tecnológica de Bolivar

Columnas Definición de columna 1.

“Los miembros largos y esbeltos sometidos a una fuerza axial de compresión se llaman columnas, y la deflexión lateral que sucede se llama pandeo”. Hibbeler 

2.

“Una columna es una pieza estructural que soporta una carga axial por compresión y tiende a fallar como resultado de una inestabilidad elástica, o pandeo, más que por trituración del material”. Mott 

3.

“El término columna se aplica a todos los elementos sometidos a compresión, excepto en los que la falla sería por compresión compresión simple o pura”. Shigley 

Conceptos básicos 

Si



es la longitud no soportada de la columna, y

misma

     

transversal y

 

, siendo





es el radio de giro mínimo de la

el momento de inercia inercia mínimo del área de la sección

el área de la sección transversal, entonces, la relación geométrica

llama relación de esbeltez.



Es una medida de la flexibilidad de la columna. 

Se entiende por carga crítica a la carga axial máxima que puede soportar una columna cuando está a punto de pandearse, es decir, se encuentra en equilibrio neutro.

se



El que una columna permanezca estable o se vuelva inestable al someterse a una carga axial dependerá de su capacidad de restitución, que se basa en su resistencia a la flexión. Así, para determinar la carga crítica y la forma pandeada de la columna, se aplica la ecuación

  

que relaciona el momento interno en la columna con su forma

flexionada.

Cabe mencionar que con ésta ecuación se supone que la pendiente de la curva elástica es pequeña y que solo hay deflexiones por flexión. Además, la carga es aplicada en el centroide de área de la sección transversal (carga céntrica).



En la figura vemos el diagrama de cuerpo libre de una columna con extremos articulados. Al resolver por estática el momento interno como función de la distancia ecuación diferencial anterior se transforma en

  

, vemos que la

La ecuación resultante es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden, con coeficientes constantes, cuya solución general es

                     

Las constantes de integración

se determinan con las condiciones en la frontera.

Para el caso de extremos articulados,

El valor mínimo de

se obtiene cuando

, resolviendo se obtiene que

, por lo que entonces la carga crítica de la

columna (¡para extremos articulados!) es

     Haciendo un análisis similar, se puede obtener la carga crítica de una columna para diversas condiciones de soporte en los extremos. En general, la carga crítica de una columna cargada céntricamente está dada por la carga crítica de Euler

      La constante C de condiciones de soporte en los extremos , es una constante que depende de la condición de soporte en los extremos de la columna, la cual resulta de resolver la ecuación diferencial con las condiciones de frontera correspondiente al tipo de soporte en los extremos de la columna.

Se obtienen las siguientes constantes con su respectiva condición de soporte en los extremos

En otros textos, la constante que depende de la condición de soporte en los extremos es K  (por lo tanto, el radio de giro mínimo en tales textos es designado por r ). Además, para

 

aplicar la condición de soporte en los extremos se habla de una longitud efectiva, tal que cumpla lo siguiente

    

Cabe mencionar que aplicar la longitud efectiva es equivalente a aplicar la constante multiplicando a la ecuación de carga crítica de Euler



                Así, se establece una relación entre éstos dos constantes de condición de soporte en los extremos (la cual varía únicamente de acuerdo al texto que se esté utilizando!)

 

Una forma alternativa de escribir la ecuación de carga crítica de Euler es

         Así 

     

Lo cual es conocido como esfuerzo crítico o carga unitaria de Euler. Es muy importante notar que la carga crítica es independiente de la resistencia del

material (en columnas de Euler); más bien depende de las dimensiones de la columna y de la rigidez o el módulo de elasticidad del material. Al graficar la ecuación anterior (con



) para diversos valores del esfuerzo crítico en

términos de la relación de esbeltez, se obtiene la siguiente gráfica

Aparentemente la figura anterior cubre toda la variedad de problemas de compresión





desde el elemento más corto sometido a ésta hasta el más largo. De ésta manera, parece que cualquier miembro a compresión con un valor considerar

como

un

elemento

a

compresión

menor que

pura

y

no

como

se podrá columna.

Desafortunadamente ¡esto no es cierto!

Para resolver éste inconveniente se elige un punto T de modo que

    

En ese sentido, se define la razón de transición de delgadez o constante de columna como la relación de esbeltez obtenida tal que el esfuerzo crítico en la columna (o carga unitaria) sea igual a la mitad de la resistencia a la fluencia del material. Es decir

   

La fórmula de la carga crítica obtenida anteriormente no es válida para una columna con

        

valor de

 

menor que

Por lo tanto, al ajustar una curva (parabólica) a la curva de

Euler (curva obtenida por la ecuación de carga crítica obtenida anteriormente), tal que inicie en

y finalice en

se obtiene la curva de J. B. Johnson, la cual es

donde

Las columnas que satisfacen la condición de Johnson,

          

columnas “cortas”, y las columnas que satisfacen la condición de Euler , llamadas columnas “largas”.

son llamadas son

Es importante darse cuenta que una columna se pandea respecto al eje principal del corte transversal que tenga el menor momento de inercia (el eje más débil). Los ingenieros suelen tratar de obtener un equilibrio manteniendo los momentos de inercia iguales en todas direcciones. Entonces, desde el punto de vista geométrico, con

 

tubos redondos se harían columnas excelentes. También los tubos cuadrados o las formas que tienen

se seleccionan con frecuencia para columnas.

Así, puede que se le coloque un arriostramiento a la columna de con el fin de que su capacidad de carga respecto al eje débil aumente. Al arriostrar una columna respecto al eje débil, se cambia la forma de pandeo de la columna, de tal forma que la carga crítica de la misma sea un poco mayor que sin el arriostramiento. Entonces, como consecuencia de cambiar la constante de condición en los soportes, cambia la carga crítica respecto al eje. Así, se obtienen dos cargas críticas diferentes, una para cada una de los ejes sobre los cuales se puede pandear la columna. La siguiente figura muestra ejemplos de columnas arriostradas

Diseño de columnas cargadas céntricamente Formas eficientes para secciones transversales de columnas Una forma eficiente para la sección transversal de una columna es aquella que proporcione buen



rendimiento con poca cantidad de material. Para las columnas, la forma de la sección transversal y sus dimensiones determinan el valor del radio de giro A partir de la definición de la relación de esbeltez,



, se puede observar que a medida que

hace más grande, se hace más pequeña la relación de esbeltez.



se

En las ecuaciones de carga crítica, una relación de esbeltez menor da por resultado una carga crítica más grande, ¡la situación más deseable! .Por tanto, es deseable minimizar el radio de giro para diseñar una sección transversal de columna eficiente. Normalmente, una columna tenderá a pandearse respecto al

eje con el radio de giro más

pequeño. Por tanto, es deseable una columna con valores iguales para el radio de giro en cualquier sentido.Esto indica que para un área determinada de material debemos tratar de maximizar el momento de inercia para maximizar el radio de giro. Una forma con un momento de inercia alto, tiene su área distribuida lejos de su eje centroidal. Las formas que tienen las características deseables que se describen incluyen tuberías y tubos circulares huecos, tubería cuadrada hueca y secciones fabricadas de columnas que se fabrican a partir de formas estructurales colocadas en los límites externos de la sección. Las secciones circulares sólidas y las secciones cuadradas sólidas también son buenas, si bien no tan eficiente como las secciones huecas.

Diseño de columnas cargadas céntricamente

En una situación de diseño, la carga que se espera en la columna se conocerá junto con la longitud que se requiere en la aplicación. Así, el diseñador especificará lo que se menciona a continuación: 1.

La manera en que se conectarán los extremos a la estructura la cual afecta el empotramiento de los extremos.

2.

La forma general de la sección transversal de la columna (por ejemplo, tubo redondo, cuadrado, rectangular y hueco, entre otros).

3.

El material para la columna.

4.

El factor de diseño, considerando la aplicación.

5.

Las dimensiones finales para la columna.

Para algunas formas simples de sección transversal, como la sección sólida redonda o cuadrada, las dimensiones finales se calculan a partir de la fórmula apropiada: la fórmula de Euler o la fórmula de J.B Johnson. Si no es posible una solución algebraica, habrá que recurrir a la iteración. En una situación de diseño, el desconocimiento de las dimensiones de las secciones transversales hace que sea imposible calcular el radio de giro y, en consecuencia la relación de esbeltez. Sin la relación de esbeltez, no puede determinarse si la columna es larga (de Euler) o corta (de Johnson). Por tanto, se desconoce la fórmula que debe utilizarse. Esta dificultad se supera al suponer que la columna es corta o larga y proceder con la forma correspondiente. Así, después que se determinan las dimensiones para la sección transversal, se calculará el valor real de la relación de esbeltez y se comparará con la razón de transición de delgadez. Esto demostrará si se ha utilizado o no la fórmula correcta. En caso afirmativo, la respuesta es correcta. De lo contrario, debe utilizarse la fórmula alternativa y repetirse el cálculo para determinar nuevas dimensiones.

Diseño de una columna que se carga en el centroide de la sección transversal

1.

Especifique

       

,

donde Pa es la carga tolerable o

permisible, que por lo general se establece como igual a la carga máxima real que se espera. Nd es el factor de diseño.

   

2.

Calcule

3.

Suponga que la columna es larga (de Euler).

          

4.

Calcule

5.

Especifique o despeje para las dimensiones de la forma.

6.

Calcule el radio de giro

7.

Si

8.

Si

9.

En caso de ser columna corta (de Johnson), despeje para dimensiones de manera que

   

 

la columna es de Euler, y las dimensiones son correctas (FIN)

la columna es de Johnson. Se usa entonces la fórmula de Johnson.

  

   

10. Siguiendo con el paso 9 , se recalcula

11. Continuando con el paso 10, Si son correctas (FIN)

12. Si

 

, entonces



la columna es de Johnson. Las dimensiones

es casi igual a



, y los resultados obtenidos ya sea

de la ecuación de Euler o de la ecuación de Johnson serán casi iguales

En muchos problemas de columnas se pide el valor de la carga crítica de la columna. En estos problemas, la longitud, condiciones de soporte en los extremos, el material, y las dimensiones de la sección transversal de la co lumna son datos de entrada. Para encontrar la carga crítica y para encontrar la carga admisible máxima se sigue el siguiente procedimiento 1.

Se calculan los valores de los momentos de inercia respecto a los ejes principales centroidales.

2.

Se comparan ambos valores obtenidos del inciso 1 y se observa cual de los dos es menor.

3.

La columna se pandeará alrededor del eje más débil, por lo tanto, el radio de giro se calcula con el momento de inercia menor obtenido en el inciso 2.

4.

Se calcula el valor de la relación de esbeltez.

5.

Se identifica el tipo de columna (corta o larga) comparando la relación de esbeltez con la razón de transición de delgadez.

6.

Se aplica la ecuación de Euler o

Johnson (según sea columna larga o corta

respectivamente) para obtener la carga crítica. 7.

Una vez obtenida la carga crítica, el valor de la carga admisible máxima es

  



La carga máxima admisible es un valor de carga seguro, menor que la carga crítica sobre la columna Obviamente el factor de diseño debe ser mayor que 1. En todo problema de diseño, para comprobar que no existe la falla por pandeo se debe verificar que

Donde



   es la carga de operación real del miembro estructural o mecánico que trabaja

como columna, la cual es obtenida mediante un análisis estático de la estructura. Es importante hacer notar que la carga crítica se puede obtener inmediatamente con la carga de operación real del elemento de máquina que trabaja como columna. Así 

     

Cuando en éste tipo de ejercicios no se menciona algo sobre el factor de diseño, entonces

Además de verificar que no exista falla por pandeo, se debe verificar que la carga con la cual trabajará el elemento no produzca

falla por aplastamiento. Esto se traduce en

comprobar que

    Si no se cumple la condición anterior, las dimensiones de la sección de la sección transversal se deben hallar a partir de

    Evitando así cualquier falla por aplastamiento o trituración del material, y automáticamente evitando el pandeo, pues las dimensiones ahora obtenidas serán mucho mayores.

Diseño de columnas cargadas excéntricamente

Columnas con carga excéntrica Las conclusiones obtenidas anteriormente son válidas únicamente para todas las columnas cargadas céntricamente, las cuales son en realidad columnas ideales. Cabe notar que estas columnas presentan muchas desviaciones respecto a las columnas que se presentan en problemas reales de ingeniería, como la excentricidad de la carga o la encorvadura, las cuales quizás ocurran durante la manufactura o el ensamble de la columna. Una columna cargada excéntricamente es aquella sobre la cual la carga no se aplica en el centroide de la sección transversal, sino en otro punto arbitrario dentro de la sección transversal de la columna o incluso fuera de la misma (utilizando algún elemento unido a la columna en su parte superior y colocando la carga en tal elemento). En realidad las columnas nunca se pandean de repente; más bien comienzan a doblarse, aunque siempre en forma muy insignificante, inmediatamente después de aplicar la c arga. El resultado es que el criterio real para la aplicación de cargas se limita ya sea a una deflexión especificada de la columna, o no permitiendo que el esfuerzo máximo en la columna rebase un valor admisible. Para empezar a estudiar este tipo de columnas, consideremos el diagrama de cuerpo libre de una columna cargada excéntricamente

El momento interno de la columna es

     

En consecuencia, la ecuación diferencial de la c urva de deflexión es

Su solución general consiste en las so luciones complementarias y particular, es decir

         

Al aplicar las condiciones de frontera para éste caso, puede escribir así 

, la curva de deflexión se

       Debido a la simetría de la carga, en el punto medio de la columna habrá la deflexión máxima

      El momento flexionante máximo también ocurre a la mitad de la longitud y es

     

La magnitud del esfuerzo máximo de compresión máximo a la mitad de la longitud se determina superponiendo la componente axial y la componente de la flexión. Esto es

     Reemplazando el valor del momento máximo

        

Como el radio de giro se define como llamada fórmula de la secante

  

, la ecuación anterior se puede escribir en una forma

          Donde

      

esfuerzo elástico máximo en la columna, que se presenta en el lado interno cóncavo, en el

punto medio de la columna. Este esfuerzo es de compresión. carga vertical aplicada a la columna.



, a menos que

ecuación de la secante se convierte en la ecuación de Euler!

 

Excentricidad de la carga

hasta la línea de acción de



; en ese caso



y la

, medida desde el eje neutro del área transversal de la columna

.

distancia del eje neutro a la fibra mas externa de la columna, donde se desarrolla el esfuerzo

máximo de compresión.



Longitud no arriostrada de la columna en el plano de flexión. Para soportes distintos de las

articulaciones, se deberá usar la longitud efectiva

: radio de giro mínimo de la sección transversal de la columna.



Es importante notar que la ecuación de Euler es un caso particular de la fórmula de la secante, cuando

Debido a ésta relación no lineal, todo factor de seguridad que se use para fines de diseño, se aplica a la carga, y no al esfuerzo. Es por eso que en las ecuaciones anteriores para columnas cargadas céntricamente el factor de diseño no se emplea para esfuerzos sino para la carga.

El término



se conoce como relación de excentricidad.

Al graficar

ésta ecuación para cierto acero con una determinada resistencia a la fluencia

compresiva, se observa que las curvas de medida que se incrementa



.

 

se aproximan asintóticamente a la curva de Euler a

  

En la gráfica se compara la fórmula de la secante y la fórmula de Euler para un acero con

             

Al imponer la resistencia a la fluencia compresiva de la secante resulta

como el valor máximo de



, la fórmula

La ecuación de diseño para columnas cargadas excéntricamente introduce un valor menor de la resistencia a la fluencia compresiva, lo cual se obtiene dividiendo la fluencia compresiva por un factor de diseño mayor que 1.

Así, para evitar el pandeo en columnas cargadas excéntricamente se debe verificar la siguiente condición

                      

Para soportes distintos de las articulaciones, se reemplaza

por

y la ecuación anterior queda

Diseño de columnas cargadas excéntricamente

En los problemas donde se necesita la carga crítica excéntrica se emplea la condición de no falla por pandeo   para el caso límite. El esfuerzo crítico por carga excéntrica no es mayor o igual, sino directamente igual  (lo cual es el caso límite) a la resistencia a la fluencia entre un factor de diseño.

          Vemos que determinar la carga crítica excéntrica de ésta ecuación (no lineal) es casi imposible por medios analíticos directos. Para remediar esto, se pueden utilizar diferentes métodos numéricos para solucionar ecuaciones no lineales con una variable independiente, entre los que están el método de punto fijo, el método de la secante y el método de Newton-Rapshon, siendo éste último uno de los más potentes.



Si no se desea entrar en rigurosidades matemáticas, también se puede aplicar simplemente un procedimiento por tanteos. Esto es, dándole valores arbitrarios a igualdad anterior.

de tal forma que se cumpla la

Además, el problema en cuestión se puede resolver también por medio de la gráfica de la ecuación anterior correspondiente a la relación de excentricidad hallada y al acero de la columna utilizado.

Por ejemplo, si

                ,

de un acero con una resistencia a la fluencia

para una columna



Vemos que para éstos valores dados, la carga crítica aproximadamente

y

 

unitaria



es, según

la gráfica,

        

Reemplazando el valor del área

Este valor se puede comprobar, demostrando que satisface la fórmula de la secante

          

(No especifican nada sobre el factor de diseño)

Reemplazando todos los valores dados, la expresión anterior resulta

   

Pueden presentarse casos donde debido a un arriostramiento impuesto en una columna cargada excéntricamente, en un plano de pandeo se presente la excentricidad y en el otro plano de pandeo no obviamente. En esos casos, toca analizar cada plano por separado, es decir, se utiliza la fórmula de la secante para el plano que tiene la excentricidad y la fórmula de Euler (o Johnson según sea el caso) para el plano donde no se presente la excentricidad. Al hallar ambos valores de carga crítica (una para cada eje de pandeo) resultará una menor que la otra. Entonces, la carga crítica definitiva de la columna es la carga crítica menor de las dos cargas críticas obtenidas antes.

Bibliografía 

Mecánica de Materiales, R.C Hibbeler, sexta edición, Ed. Pearson.



Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley, R. Budynas y

J. K. Nisbett, octava

edición, Ed. Mc. Graw Hill. 

Diseño de elementos de máquinas, R. Mott, segunda edición, Ed. Prentice Hall