Columnas Esbeltas Sometidas a Flexo Compresion

1

Instituto de Mecánica Estructural y Riesgo Sísmico

HORMIGÓN II unidad 5:

COLUMNAS ESBELTAS SOMETIDAS A FLEXO-COMPRESIÓN. PRESCRIPCIONES REGLAMENTARIAS. CIRSOC-2005.

Profesor: CARLOS RICARDO LLOPIZ.

2

Contenido. 5.1 Introducción. 5.2 Columnas Cargadas Axialmente. 5.2.1 Consideraciones Generales. 5.2.2 Columnas sin Desplazamiento de Extremos. 5.2.3 Columnas con Desplazamiento de Extremos. 5.2.4 Columnas dentro de la Estructura. 5.3 Compresión y Flexión. 5.3.1 Momentos de Primer y Segundo Orden. 5.4 Problemas Referidos a la Estabilidad. 5.5 Diferencia entre comportamiento de columna no esbelta y esbelta. 5.6 Resumen de los factores que afectan el comportamiento de las columnas esbeltas. 5.7 Criterio del C-201-05 para Definir Pórticos Desplazables e Indesplazables. 5.8 Criterios del C-201-05 para Tener en Cuenta o Ignorar la Esbeltez. 5.9 Diseño de Columnas Esbeltas. Criterios. 5.10 Procedimiento de Diseño dado por el Código ACI-318-05 y C-201-05. El método de la magnificación de momentos. 5.10.1 Fundamentos. 5.10.2 Procedimiento de aplicación. 5.10.3 Momentos Amplificados. Pórticos Indesplazables. 5.10.4 Momentos Amplificados. Pórticos Desplazables. 5.11 Ejemplo de Aplicación E1. 5.12 Ejemplo de Aplicación E2. 5.13 Ejemplo de Aplicación E3. 5.14 Ejemplo de Aplicación E4. 5.15 Análisis de Segundo Orden para Efectos de Esbeltez. 5.16 Breve comentario sobre las consideraciones sobre columnas esbeltas según las normas DIN. 5.16.1 Introducción. 5.16.2 Criterio de rigidez lateral. 5.16.3 Obtención del factor de esbeltez. 5.16.4 Excentricidad de las cargas. 5.16.5 Definición de columna esbelta de acuerdo a normas DIN. 5.16.6 Otras consideraciones. 5.17 Bibliografía.

Filename

Emisión

T5-COL-ESBEL.doc Feb 2006 41 Páginas

Revisión 1 Revisión 2 Revisión 3 Ago 2007 43

Oct 2007 42

Ene 2009 60

Observaciones

3 COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO ESBELTOS SOMETIDOS A FLEXO-COMPRESIÓN. 5.1 INTRODUCCIÓN. Las columnas se pueden clasificar, de acuerdo a sus dimensiones (sección y altura) y condiciones de borde, en columnas no esbeltas y columnas esbeltas. Una columna no esbelta es aquella en la cual su carga última, para una excentricidad dada, está gobernada solamente por la resistencia de los materiales y las dimensiones de la sección. En otras palabras, el diagrama de interacción M-P obtenido a partir de las dimensiones y del contenido de armadura de la sección transversal es suficiente para determinar la resistencia nominal de la columna en flexo-compresión. Una columna es esbelta cuando la carga última que puede soportar está influenciada además por la esbeltez, la cual produce un momento adicional debido a deformaciones transversales. Se ha preferido en este trabajo referirse a columnas no esbeltas en vez de llamarlas cortas pues la tipología de columna corta en diseño sismo resistente se refiere a un tipo de estructura que se desea evitar. En la práctica, como se verá, la mayoría de las columnas son no esbeltas, salvo casos muy especiales de dimensiones pequeñas de la sección transversal y sobre todo cuando están acompañadas de deformaciones estructurales entre los bordes de las columnas que amplifican su altura constructiva. Es reconocido, ref.[1], que el grado de esbeltez es el que define si la columna es o no esbelta. El grado de esbeltez se expresa como:

λ=

le l = e r I A

(1)

donde con le se designa la longitud efectiva de pandeo de la columna, I es el momento de inercia con respecto al eje alrededor del cual se produce la flexión por pandeo (sería el menor I si pudiera deformarse en ambas direcciones) y A es el área de la sección transversal. Se referirá con detalle más adelante a la longitud efectiva. Como introducción al problema, y para crear una rápida idea de esbeltez, digamos que se puede expresar de una forma simplificada el radio de giro i, para una sección rectangular, como: bh 3 / 12 r= = h 1 / 12 = 0.289h ≅ 0.30h bh

(2)

Este es el valor que como se verá toma la norma ref.[8] para evaluar el radio de giro en forma aproximada. Para poner casos muy visibles, digamos que si el grado de esbeltez está por debajo de 30 puede decirse que no es esbelta, pero si es del orden de 100 es muy esbelta. Tomemos el caso de una columna que tenga condiciones de deformación entre sus extremos tal que su longitud efectiva de pandeo sea casi la misma que su longitud o altura libre l. Si es una columna con una altura de su sección en la dirección de pandeo del orden de la décima parte de su altura, o sea l/h = 10, resultará no esbelta, ya que para el límite de 30 de esbeltez, λ= 30 = l/0.3 h, debería ser h≥0.10 l. Por el contrario, si h ≤ 0.03 l (o lo que es lo mismo, la luz libre de la columna más de 30 veces la altura h de la sección), la columna resultará muy esbelta. Los tipos de fallas son muy diferentes, por lo que las metodologías de diseño también lo serán.

4 5.2 COLUMNAS CARGADAS AXIALMENTE. 5.2.1 COSIDERACIONES GENERALES. La teoría del comportamiento de columnas rectas, biarticuladas en sus extremos y esbeltas fue estudiada y resuelta por Leonhard Euler en 1757, Ref.[1].

(c)

(d)

Fig. 5.1 (a) y (b) Modelo de Columna esbelta articulada utilizada para derivar la fórmula de Euler; (c) Curva elástica de flexión y rotaciones; (d) Diferentes modos de pandeo.

La Fig. 5.1 muestra en forma resumida los modelos de análisis. Se recuerda que la ecuación que relaciona las curvaturas φ con la variable estática M a través del módulo de rigidez es: dθ d 2 y M P = 2 = =− y φ= dx dx EI EI

(3)

con los significados que se aprecian en la figura. El resolver la ecuación diferencia de segundo orden (para detalles ver Ref.[1]) lleva a la expresión: n 2π 2 EI Pcr = L2

(4)

la cual para el mínimo valor de la carga crítica buscada, n=1.0, por lo que: Pcr =

π 2 EI L2

(5)

donde I es el momento de inercia de la columna y E el módulo de elasticidad longitudinal del material considerado lineal y elástico. La generalización de la fórmula para el caso de una columna con longitud real L = l , pero con longitud efectiva de pandeo kl , y para ley constitutiva de material f-ε donde se pueda especificar el módulo de elasticidad más allá del límite de proporcionalidad, Et, como muestra la Fig. 5.2, es: Pcr =

π 2 Et I (kl ) 2

(6)

5 Fig. 5.2 (a) Curva Tensión vs. Deformación del material, por ejemplo, para el hormigón y (b) Efecto de la esbeltez (kl/r) en la carga de falla de una columna.

La Fig. 5.1(a) muestra el caso más simple de columna articulada en los dos extremos, de material con módulo de elasticidad E según Fig. 5.2(a). Si λ es elevado, para la carga crítica evaluada según ecuación (6) el elemento originalmente recto fallará por pandeo y adoptará una forma de media onda sinusoidal como muestra la figura. Una vez iniciado el mecanismo de inestabilidad, en cualquier sección en la altura de la columna aparece la excentricidad y según indica la Fig. 5.1(a) y se inducen los momentos flectores M= Py. Estas deflexiones continúan aumentando hasta que la combinación creciente del esfuerzo de compresión con el momento produce la falla del elemento. En la Fig. 5.2(b) se muestra la representación de la carga de falla vs. esbeltez. Esta podría corresponder a una columna de hormigón armado de longitud real l, longitud efectiva kl y sección transversal Ag= bxh, a la que corresponde r≅ 0.3h, con armadura determinada, Ast, y calidad de hormigón, f´c, y acero, fy, definidos. Se ve que para esbeltez reducida hasta un valor límite la falla de la pieza se produce cuando se alcanza la resistencia nominal Pn. En este rango la resistencia de la pieza es independiente de la esbeltez: es una columna no esbelta. Note que el valor de la resistencia no depende ni del factor (EI), pues no está en flexión, ni del mismo valor E, módulo de elasticidad, sino que la falla se producirá cuando la deformación máxima del hormigón alcance su capacidad, εc= 0.003 según C-201-05, ref.[4]. Por ello se define como falla por aplastamiento o agotamiento del hormigón en compresión. Como muestra también la Fig. 5.3, la resistencia nominal para excentricidad cero, Po, como la designa el C-201-05 está dada por: Po = 0.85f´c (Ag–Ast) + fy Ast

(7)

Fig. 5.3 Ensayo a compresión simple de una columna no esbelta. Componentes de la contribución a la resistencia nominal.

Una vez superado el valor límite de esbeltez, por ejemplo porque su altura real l aumenta o efectiva ( kl ) crece, pese a que tiene la misma sección transversal de

6

hormigón armado, el valor de la carga de falla irá decreciendo en función de lo que indica la ecuación (6). De allí se ve que: (i) la carga Pcr decrece rápidamente con el crecimiento de ( kl )2, y (ii) si la deformación de la fibra extrema de la sección crítica es tal que fc≤fp en la Fig. 5(2), el módulo de elasticidad Ec puede considerarse como aún constante y el pandeo se produce en rango elástico. Como en la sección de hormigón armado están involucrados ambos materiales, por observación de Fig. 5.(3) podría decirse que el límite es cuando ambas curvas se transforman en francamente no lineales y en esa figura es cuando el acero entra en plasticidad. Este sería un caso de pandeo elástico. Si en cambio la falla se produce cuando el material ya está en comportamiento no lineal, el pandeo es inelástico: se ve cómo disminuye el valor de E. 5.2.2 COLUMNAS SIN DESPLAZAMIENTO DE EXTREMOS. Con referencia a la Fig. 5.4, que corresponde a columnas cuyos extremos no sufren desplazamiento lateral, si el elemento tiene extremos que impiden las rotaciones, ambos bordes empotrados, la configuración inestable es la que se muestra en el centro: se pandea entre los puntos de inflexión y que ahora se ubican a una distancia entre sí que es la mitad de la que corresponde al de bordes perfectamente articulados. Para la misma longitud real l , la longitud efectiva es ahora la mitad, o sea ( kl /2), por lo que la ecuación (6) nos dice que en estas condiciones la columna resistirá cuatro veces más.

(a) (b) (c) Fig. 5.4 Longitud efectiva de columnas con impedimento de desplazamiento lateral.

Sin embargo, las columnas rara vez, menos en hormigón armado, se encuentran con condiciones de borde ideales como biarticuladas o perfectamente empotradas. La condición real es alguna intermedia entre ambas situaciones ideales y en forma esquemática está representada a la derecha en la Fig. 5.4. Allí se ve que los extremos tienen restricciones limitadas a la rotación, por lo que los puntos de inflexión estarán en alguna sección entre el borde articulado y la sección ubicada a l/4 del extremo. En este caso, la longitud efectiva es menor que la real l, pero mayor que la mitad, es decir 1/2≤k≤1. Como el problema de inestabilidad, en este caso de nudos

7

indesplazables, hace que se pase de un problema de compresión simple a uno de flexión, lo que controla el grado de impedimento a rotación es, para una columna de rigidez determinada, la relación entre la rigidez a flexión de la columna en estudio en el extremo considerado con respecto a la rigidez a flexión de las vigas que llegan al nudo. Cualquiera sea el caso, nudos indesplazables horizontalmente o columnas con bordes desplazables, que a continuación se trata, importa el grado de rigidez a impedimento de deformaciones horizontales. Por lo tanto, en forma similar a cuando se estudia la rigidez de los pórticos a acciones horizontales, la rigidez de la estructura, y de cada elemento en particular, depende de la condición de los nudos para permitir o no la rotación de los elementos que a él llegan. De una manera similar al método de Muto, ver ref.[2], apéndice A, el grado de restricción de un extremo de una columna comprimida se evalúa a partir del coeficiente ψ que relaciona la rigidez a rotación de las columnas con las de las vigas que concurren al nudo extremo de la columna: ( EI / l )columnas ψ =∑ ∑ ( EI / l )vigas c e

v e

(8)

Sólo deben incluirse los elementos del piso que estén dentro de un plano en cualquiera de los extremos de la columna. El C-201-05, ref.[4], aclara que para la determinación de las rigideces de vigas y columnas se deben tener en cuenta los efectos de diferentes cuantías de armaduras y de efectos de fisuración, los cuales inciden en forma directa en la rigidez. De forma aproximada, para las vigas se puede tomar como I ev = 0.35 I g y para las columnas I ec = 0.70 I g , valores similares a los que adopta el IC-103-2005, ref.[3], Tablas 2.1 y 2.2, para evaluar la rigidez ante acciones sísmicas. La Fig. 5 muestra un esquema de caso típico a analizar, la nomenclatura y elementos a considerar. Las longitudes de los elementos se toman a eje o centros de apoyos.

Fig. 5.5. Para el nudo A se toma la columna a estudiar y la que está por encima, junto con las vigas a izquierda y derecha de A.

En la Fig. 5.6 se muestran los nomogramas de Jackson y Moreland que acepta el C201-05 para la determinación aproximada del factor k de longitud efectiva a partir de los valores de los coeficientes ψ de los extremos. Es importante ver que los valores de k están comprendidos entre 0.5 y 1.0, valores extremos como se dijo antes para el caso de pórticos de nudos indesplazables y que corresponden a los casos ideales. En el caso de que la rigidez de las vigas sea muy pequeña con relación a las de las columnas, el denominador de la ecuación (8) tiende a cero (0), y el resultado tiende a ∞, es decir ψ A =ψ B = ∞. Se está cerca del caso con ambos extremos son articulados, al que corresponde k=1.0, Fig. 5.4(a).

8

Fig. 5.6 Nomogramas para determinar gráficamente el factor de longitud efectiva k para el caso de columnas con Nudos arriostrados.

Por otro lado, si ahora la rigidez de las vigas es muy grande con respecto a la de las columnas, éstas prácticamente no pueden rotar, estarán empotradas, y el denominador tiende a ∞ lo cual quiere decir que la tendencia es a ψA=ψB = 0, es decir ambos extremos están empotrados, por lo que k= 0.50, caso de Fig. 5.4(b). El lector podrá demostrar, y luego se verá en un ejemplo, que es más efectivo para reducir la esbeltez de pandeo aumentar la rigidez de las vigas en vez de aumentar las dimensiones de la kl columna. Dado que λ = aumentar la dimensión de la columna, a lo cual uno estaría r tentado en primera instancia, es cierto que aumenta el denominador r, pero a la vez el factor ψ crece por lo cual el numerador aumenta más que el denominador. Note que de los gráficos se ve que si a uno de los extremos corresponde ψ= 0 y al otro ψ= ∞ el caso es empotrado y articulado y le corresponde k= 0.70.

9

El C-201-05 también permite utilizar expresiones analíticas para obtener k. Para columnas con desplazamiento lateral impedido, dice que se puede adoptar como límite superior para el factor de longitud efectiva, el menor de los que responde a las expresiones de Cranston (ref. [5]): k = 0.7 + 0.05 (ψa+ψb) ≤ 1.0 k = 0.85 + 0.05 ψmín ≤ 1.0

(9a) (9b)

pudiendo adoptar el menor de ambos, y siendo ψmín el menor de los ψ. 5.2.3 COLUMNAS CON DESPLAZAMIENTO DE EXTREMOS. La situación es muy diferente a las de Fig. 5.4 si ahora alguno de los extremos de la columna se puede desplazar con respecto al otro. Distintas situaciones se muestran en la Fig. 5.7, donde se ve que ahora el valor mínimo de k= 1.

(a) (b) (c) Fig. 5.7 Longitud efectiva de columnas con posibilidad de desplazamiento lateral.

Si la columna está perfectamente empotrada en un extremo y totalmente libre en el otro, en voladizo o tipo poste, caso de Fig. 5.7(a), la longitud de la semionda sinusoidal es ahora el doble de la longitud real, por lo que k= 2, lo cual sugiere que los puntos de inflexión están uno en el extremo libre y el otro en la extensión imaginaria de la onda de pandeo, para asemejarlo al caso de Euler biarticulado. Si la columna ahora está fija contra rotación en ambos extremos, pero uno de ellos puede moverse horizontalmente respecto del otro, la configuración deformada por pandeo es la de Fig. 5.7(b). Se ve que los puntos de inflexión están separados una distancia igual a la longitud real de la columna, donde uno de los puntos está a mitad de altura de la columna real y el otro en la mitad de la extensión imaginaria. Si se

10

compara este caso con el de la Fig. 5.4(b) se observa que al ser la longitud efectiva ahora el doble del caso de nudos no desplazables, la carga crítica será cuatro veces menor. Esto demuestra el hecho de que los elementos sometidos a compresión que están sujetos a pandeo teniendo posibilidades de desplazamiento lateral son siempre más vulnerables que en el caso que a la estructura se la provea de arriostramientos que minimicen los desplazamientos horizontales. El caso de Fig. 5.7(c) es el más real que se presenta en pórticos desplazables, pues los extremos no corresponden a situaciones ideales sino a intermedias. En este caso el pandeo ocurre con longitudes efectivas que van desde poco más grandes que la longitud real hasta casos en que el valor de k puede crecer mucho y la longitud efectiva ser varias veces mayor que la real (incluso teóricamente no tiene límite). Si los extremos tienen vigas muy rígidas se aproximan al caso de k= 1.0. Si las vigas son muy flexibles la situación se parece al de columna biarticulada pero con posibilidad de desplazamiento lateral, por lo que esto tiende a ser inestable y numéricamente el valor de kl crece muchísimo por cual hace que el valor de Pcr tienda a cero, es decir, cualquier pequeña carga de compresión puede producir el colapso. Nuevamente se pueden utilizar los nomogramas de Jackson y Moreland que se muestran en la Fig. 5.8 para determinar k a partir de los valores de ψ de los extremos. Del gráfico se ve que los extremos de k= 1.0 corresponden a rigidez muy grande de vigas, con valores de ψ que tienden a cero, ver Fig. 5.7(b), y el más desfavorable a rigidez despreciable de vigas, con lo cual los con valores de ψ que tienden a infinito y lleva a k a valores extremadamente grandes. En la sección 10.13.1, el C-201-05 dice que debe tomarse k>1.0, y en los comentarios, sección 10.12.1 establece que para pórticos desplazables: Si Ψm < 2.0

k= Si Ψm ≥ 2.0

20 −ψ m 1 +ψ m 20

k = 0 .9 1 + ψ m

(10a) (10b)

siendo Ψm el promedio de los valores de Ψ, factores de restricción al giro en los nudos, en los dos extremos del elemento. En elementos desplazables y con un extremo articulado:

k = 2 + 0.3ψ siendo ψ el valor en el extremo restringido.

(10c)

11

Fig. 5.8 Nomogramas para determinar gráficamente el factor de longitud efectiva k para el caso de columnas de pórticos con desplazamiento horizontal o no arriostrados.

12

5.2.4 LAS COLUMNAS DENTRO DE LA ESTRUCTURA. En estructuras de hormigón armado raramente se trabaja con elementos individuales. En general, los pórticos son de nudos rígidos (no quiere decir empotrados), es decir con resistencia a momentos (no articulados). Esto es particularmente cierto en zonas sísmicas donde si bien se pretende filosofía de columna fuerte y viga débil, (y esto refiere a resistencia) éstas deben tener suficiente rigidez como para mantener los desplazamientos horizontales dentro de ciertos límites. La rigidez de la columna a desplazamientos laterales depende de la rigidez global de la estructura a la que el pilar pertenece o a la que está de alguna manera vinculada. En la Fig. 5.9 se ven distintas configuraciones de deformaciones globales, de donde se induce los posibles factores de longitud efectiva.

Fig. 5.9 Modos de pandeo para pórticos (a) arriostrados y (b) no arriostrados contra desplazamiento lateral.

La Fig. 5.10(a) muestra cómo tabiques de hormigón armado (en este caso utilizados en el mismo plano del pórtico) pueden controlar y minimizar la deformación lateral (induciendo un tipo de deformación lateral de flexión). Si bien no lo sugiere el gráfico, los desplazamientos en los pisos cuando hay tabiques continuos son pequeños por lo que los desplazamientos relativos también resultan pequeños. No ocurre lo mismo en el caso de la Fig. 5.9(b), donde una estructura porticada de nudos rígidos ante cargas laterales adquiere una deformación típica de corte con desplazamiento relativo entre cabeza y pie de columnas significativo y potencial efecto P-∆ muy serio. La Fig.5.9(c) muestra el caso de una estructura con un piso inferior "blando", para el cual el desplazamiento relativo de los pilares del piso inferior puede ser muy grande. Para los pisos superiores, los nudos extremos de la columna se mantienen casi sobre la misma vertical, y ahí el efecto P-∆ será mucho menor que para los pilares inferiores.

(a)

(b)

(c)

Fig. 5.10 Diferentes casos de pórticos interactuando con tabiques.

13

Fig. 5.11 Esquemas conceptuales para longitudes de pandeo para el caso de pórticos de un nivel (a) arriostrado lateralmente; (b) sin arriostramiento.

La Fig. 5.11 muestra en forma esquemática varias de las consideraciones que se han llevado a cabo hasta ahora para el caso de pórtico de un solo piso. 5.3 COMPRESIÓN MÁS FLEXIÓN. En la mayoría de los casos, en las columnas, la compresión está acompañada de flexión, ya sea provocada por cargas transversales en los tramos o por continuidad estructural. 5.3.1 MOMENTOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN. Consideremos una columna esbelta, inicialmente recta, sometida a las fuerzas de compresión P y momento inicial M= P.e, tal cual muestra la Fig.5.12. Fig. 5.12 Columna esbelta con carga excéntrica.

En este caso particular la disposición de las cargas P produce una flexión en la pieza con curvatura simple (momento de un solo signo a lo largo de su altura). La deformación de flexión produce en la sección que corresponde a la sección crítica, una excentricidad adicional ∆, que se agrega a la excentricidad inicial e para incrementar el momento flector que en esa sección se hace máximo. Un análisis estructural basado en la teoría de primer orden nos daría un diagrama de momento flector como el que corresponde a la Fig.5.13(b). Se ve que si la carga axial no estuviera presente, el Momento Mo sería constante a lo largo del elemento e igual al de los extremos Me. Para este caso la flexión del elemento sería como se indica con línea punteada en Fig.5.13(a). Por acción de P el momento en cualquier punto se incrementa en una cantidad igual a P por el brazo de palanca. Ahora la deformación se indica con línea continua. Para el cálculo de las solicitaciones por la teoría de segundo orden se debe tener en cuenta la posición final de la pieza; en otras palabras, para el cálculo de la excentricidad se debe considerar la deformación de la pieza sometida a las cargas actuantes. Así entonces, un análisis basado en la teoría de segundo orden daría un diagrama de momento flector como el indicado en Fig.5.13(b).

14

Fig. 5.13 Momentos en elementos esbeltos que se someten a compresión más flexión, deflectados en curvatura simple.

Se observa que el considerar el efecto de la deformación propia del pilar en las solicitaciones aumenta el momento máximo desde P.e a P(e+∆). Este efecto es comúnmente conocido como el efecto P-∆. En elementos flexo comprimidos y esbeltos el efecto P-∆ puede adquirir relevancia, lo cual depende del tipo de carga y, como antes se expresó, de las condiciones de borde del elemento estructural. El valor del momento es entonces: M = M o + Py (11) La Fig. 5.13(c) presenta el caso en que la flexión es producida por la carga transversal a la columna designada como H. Si P está ausente, el momento en cualquier punto a distancia x es Mo= Hx/2, con máximo en el centro e igual a Hl/4. El diagrama se indica con Mo en Fig. 5.13(d), y la deformada en trazo discontinuo en Fig.5.13(c). Cuando se aplica P, aparecen los momentos adicionales Py, distribuidos como se muestra y el momento en cualquier punto de la columna consta de las dos componentes mencionadas. En la Ref.[6] se indica que las flechas y de columnas elásticas como las que se muestran en la Fig. 5.13 se pueden obtener a partir de los valores de yo, es decir de aquellas independientes de la carga axial, a partir de:

y = yo

1 1 − P / Pc

(12)

Si ∆ es la flecha en correspondencia con el momento máximo, se puede escribir:

M max = M o + P∆ = M o + P∆ o

1 1 − P / Pc

(13)

Según la misma referencia, la misma ecuación puede ser expresada como:

15

M max = M o

1 +ψP / Pc 1 − P / Pc

(14)

donde ψ es un coeficiente función del tipo de carga y que varía aproximadamente entre +0.20 y –0.20, en la mayoría de los casos. Además, como P/Pc es relativamente pequeño, entonces el término [1+(ψP/Pc)] es muy pequeño y despreciable, por lo que:

M max = M o

1 1 − P / Pc

(15)

  1  se conoce como factor de amplificación de momento, ya que El factor   1 − P / Pc  representa la cantidad que debe incrementarse a Mo por efecto de esbeltez. La Fig. 5.14(a) muestra cómo se incrementa el momento por encima de Mo cuando aumenta la esbeltez que implica disminución de Pc como muestra la Fig. 5.2(b). Fig.5.14 (a) Efecto de la esbeltez, y (b) de la carga axial sobre los Momentos en las columnas.

Es importante notar la diferencia de dónde ocurren los incrementos de momentos por esbeltez. En la Fig. 5.13, en ambos casos, el mayor momento que produce P, designado como P∆, se suma directamente al máximo de primer orden, sea el Mo que se induce en los apoyos, o el Mo= Hl/4 del caso de Fig. 5.13(c). A medida que la carga aumenta, el momento en el centro de la luz se incrementa más rápido que la carga P (no son lineales), con ley de variación dada por la ecuación (11) y (14) para el máximo, lo cual se grafica en Fig. 5.14(b). La falla del elemento se producirá cuando la combinación M-P alcance los valores de Mn-Pn, resistencias nominales de la sección transversal. El momento máximo producido por P, o sea (∆M=P∆), no siempre se presenta en la misma sección donde se ocurre el máximo momento de primer orden, Mo, es decir la suma directa de ambos efectos no siempre ocurre. Por ejemplo, en la Fig. 5.15 los momentos extremos son iguales pero de distinto signo, generando un diagrama de momentos Mo indicado en (b). Las deflexiones producidas sólo por Mo, indicadas con línea de trazos en (a), se verán nuevamente amplificadas cuando se aplica la carga P, pasando a la línea continua de (a). Según la Ref.[6], las flechas totales se pueden aproximar mediante:

y = yo

1 1 − P / 4 Pc

(16)

Al comparar con la ecuac. (12) se ve que la amplificación es bastante menor por la presencia del factor 4 que divide a P/Pc.

16 Fig. 5.15 Elementos esbeltos sometidos a compresión más flexión con doble curvatura.

Los momentos adicionales Py se distribuyen según (c) y su máximo, a cierta distancia del apoyo, no se corresponde con los máximos de Mo, o sea Momax=Me que están en los apoyos. Los momentos totales, M=Mo+Py pueden tener configuraciones como se muestran en (d) y (e), una u otra. En el primer caso ocurriría que el momento máximo sigue estando en el apoyo, es decir es Me, por lo cual se concluye que en ese caso la presencia de la fuerza axial no produce incrementos de los momentos máximos (sí en la altura). En el caso (e) se plantea la alternativa de que el máximo total se desplace del apoyo, y por lo tanto sea mayor que Me. Al comparar las Figs. 5.13 y 5.15, se pueden sacar las siguientes conclusiones: (i)

para columnas sometidas a momentos que producen curvatura simple:

(a) Si la columna está sometida a momentos iguales en ambos extremos o a cargas simétricas (caso (c) de Fig. 5.13), los valores de Mo coinciden con los máximos de yo, por lo cual la amplificación de Py también es máxima. (b) Si los momentos en los extremos son diferentes, existirá amplificación de Mo, aún en forma importante, pero no tanto como en caso anterior. (ii)

para columnas sometidas a momentos que producen curvatura doble (es decir hay punto de inflexión dentro del elemento), no existirá amplificación o ésta será pequeña.

Si se plantea el caso general de momentos en extremos de distinto valor, digamos M1 y M2, se puede demostrar que para los casos de Figs. 5.13(a) y 5.15, la amplificación depende entonces de la magnitud relativa de los momentos en los extremos y está dada por: Cm M max = M o (17) 1 − P / Pc Se ve que esta ecuación es casi idéntica a la (15), con la sola variación de la presencia del factor Cm, y que puede tomar como máximo el valor de 1.0, en cuyo caso ambas coinciden. El C-201-05, en su sección 10.12.3.1, dice que para los elementos que pertenecen a pórticos indesplazables, con cargas transversales: C m = 1 .0

(18)

17

y para elementos sin cargas transversales, en pórticos no arriostrados, la expresión general del coeficiente Cm, que es un factor que relaciona el diagrama real de momentos con un diagrama equivalente de momentos uniforme, está dada por:

1.0 ≥ Cm = 0.6 + 0.4

M1 ≥ 0.4 M2

(19)

M1 es el menor de los dos momentos, M2 el mayor, es decir M2= Mo. La relación (M1/M2) se toma como positiva si los momentos producen curvatura simple, con lo cual si ambos son iguales se llega a la máxima amplificación, Cm= 1.0. Para doble curvatura, la relación se toma negativa, por lo que si fueran iguales los momentos la ecuación (18) daría un Cm menor del mínimo (0.2), por lo que se adopta el valor mínimo de 0.4 indicado. Es obvio que si M1= 0, Cm= 0.6. Esto se expresa en la Fig. 5.16.

Fig. 5.16 Tomada de C-201-05, Fig. 10.12.3.1. Valores de Cm.

Se verá a continuación que la ecuación (19) sólo es válida para el caso de pórticos arriostrados, ya que para los desplazables el coeficiente Cm no se puede tomar como reductor de momentos. Los elementos arriostrados contra desplazamiento horizontal incluyen columnas que puedan formar parte de estructuras en las que los desplazamientos están minimizados por: muros suficientemente rígidos en su propio plano, Fig. 5.10(a), arriostramiento vertical en otros planos (como los suministrados por muros de hormigón armado en los núcleos de circulaciones verticales en edificios), o rigidizaciones que se coloquen en el pórtico al que pertenece la columna.

18

Si no se suministra tal arriostramiento, el desplazamiento lateral ocurre para el pórtico completo y en forma simultánea. Se había dicho que para columnas sin desplazamiento, momentos extremos con signos cambiados (doble curvatura, punto de inflexión en el tramo) era favorable. Obsérvese ahora la Fig. 5.17, y compárese con la Fig. 5.18.

Fig. 5.17. Pórtico empotrado y sin arriostramiento lateral.

Fig. 5.18. Pórtico empotrado y con arriostramiento lateral

En el pórtico simple de la Fig. 5.17, se supone la carga horizontal H, podría ser por viento o sismo, con fuerzas de compresión P, debido a cargas gravitatorias. Los momentos Mo sólo debidos a H aparecen en dicha figura (b). La deformación asociada se indica en línea de trazos. El desplazamiento de sus extremos superiores provoca que P induzca momentos adicionales, graficados en (c), y que a su vez provocan mayores desplazamientos horizontales que ahora se totalizan en la línea continua. El diagrama total se indica en (d). Se observa que los momentos máximos, tanto los debidos a H como los debidos a P (que en la teoría de primer orden no existen), ocurren en el mismo sitio, en los extremos de las columnas. Son aditivos y producen una considerable amplificación de los momentos. Sin embargo, si el pórtico está impedido de desplazarse, como se esquematiza en la Fig. 5.18, los máximos momentos, los debido a P por teoría de primer orden o sea Mo,máx, y los máximos que las mismas fuerzas P provocan por deformación de las columnas o sea MP,máx, se dan en secciones diferentes. Si hubiera amplificación, como antes se expresó, sería mucho menor, como lo intenta cuantificar la expresión de Cm. Debe observarse que los desplazamientos horizontales podrían provenir no solamente de cargas de viento o acciones de sismo, sino de asimetría de cargas verticales, o de asimetría en la estructura, o ambas. En síntesis:

19

(i) En elementos esbeltos sometidos a flexión, la compresión produce mayores deflexiones y momentos adicionales Py. Los incrementos aumentan con la esbeltez. (ii) En elementos arriostrados, si la flexión produce curvatura simple, los momentos de primer y segundo orden ocurren en el mismo sitio o muy cercanos, por li cual hay amplificaciones importantes. Si los momentos Mo producen doble curvatura, la amplificación o no existe o es pequeña. (iii) En elementos no arriostrados, los momentos Mo y Py se producen en las mismas secciones: extremos de las columnas, por lo cual la suma es total, a pesar de la existencia de un punto de inflexión. 5.4 PROBLEMAS REFERIDOS A LA ESTABILIDAD. A los efectos de enfatizar el fenómeno físico de la inestabilidad, se lleva a cabo a continuación una descripción cualitativa del problema. Fig. 5.19. Equilibrio e Inestabilidad en columnas y la diferencia con las vigas.

Se supone una columna idealmente recta, relativamente alta, con un extremo empotrado y otro libre. Con referencia a la Fig. 5.19, si se aplica una carga axial P relativamente pequeña a dicha columna, la misma sufrirá un acortamiento, deformación menor de compresión, pero permanece recta. Además, si cuando está actuando P se le aplica una pequeña carga horizontal Q, la misma experimentará un pequeño desplazamiento horizontal, que desaparece al quitar la acción Q que la produjo. El mismo ejercicio se puede llevar muchas a veces a cabo hasta valores de P justo por debajo del crítico Pcr de Euler. Como al sacar la carga Q la columna vuelve a su posición vertical, es decir deflexión cero, el equilibrio es estable. Al alcanzar el valor crítico de axial, Pcr, la columna permanecerá con una deformada permanente luego de la remoción de Q. La posición vertical se puede recuperar si la pequeña carga Q se aplica en sentido contrario. Esta condición instantánea se llama estado de equilibrio neutro o indiferente. Cuando se ha alcanzado el valor de Pcr la aparición de una fuerza horizontal, aunque de magnitud insignificante, puede precipitar el pandeo lateral y por lo tanto destruir la precaria condición de equilibrio en la que se encuentra la columna en posición recta. Si la fuerza P se incrementa por encima de Pcr, aunque sea por un valor insignificante, si la columna es sometida a un mínimo valor de Q, luego de que ésta sea removida, no retornará a su posición recta. Esta respuesta se esquematiza en la Fig. 5.19(b) con línea llena, y según se indica, con las posibilidades de desplazamiento en cualquiera de las direcciones, equilibrio indiferente, punto de bifurcación. Analíticamente, ver Ref.[1], y con referencia a la Fig. 5.19, se podría demostrar que con apenas un incremento del 1.5 % por sobre Pcr (es decir el aplicar 1.015 Pcr) puede llevar a desplazamientos de la columna del orden del 22 % de la altura, suponiendo comportamiento elástico del material. Este grado de desplazamientos no puede ser tolerado en las construcciones. Baste recordar, por ejemplo, que para acciones últimas de sismo severo las rotaciones de piso máximas que se pueden admitir no superan el 2.0 a 2.5 %, es decir, 10 veces menos que lo antes expresado. En consecuencia, la determinación de la carga Pcr es fundamental en los casos en que el pandeo pueda influir, pues realmente representa la

20

capacidad última de una columna ideal. En la práctica, las columnas que inevitablemente no son estrictamente rectas y que además no pueden ser cargadas en forma perfectamente axial, tendrán desde el principio una deflexión desde el inicio. Como referencia se recuerda que el C-201-05 en su sección 6.5.2 establece tolerancias de verticalidad de columnas construidas in situ del orden de 1 a 2 por mil (0.001 a 0.002). Para una columna real, con comportamiento indicado por la línea punteada de la Fig. 5.19(b), la ordenada de valor Pcr representa una asíntota y valor techo muy significativo. En contraste, el comportamiento de una viga, (sin esfuerzo axial) con desplazamiento lateral restringido, como la indicada en la Fig. 5.19(c) es graficada en la Fig. 5.19(d). En este caso la deflexión del extremo de la viga es una función lineal de P ( δ = Pl 3 / EI ). Si la carga se duplica de la misma forma se incrementa la flecha. En el caso de la columna, antes de que se alcance Pcr el aumentar al doble o cuatro veces el valor de P no produce un efecto apreciable. No hay un graduable incremento del desplazamiento horizontal que preavise del nivel de carga peligrosa alcanzado. Paso siguiente, un repentino pandeo se produce al acercarse o alcanzar Pcr, como esquematiza Fig. 5.19(b). El diagrama de carga P vs. deflexión no es una función lineal con P. Por ello, las fallas de columnas en las estructuras de ingeniería son catastróficas y en muchos casos por problemas de inestabilidad.

Fig. 5.20 Diagrama Cargas P vs. Deformación v. Estados de equilibrio.

Según la Fig. 5.20, Ref.[7, para el caso de curva 1, barra recta a compresión sin flexión, por debajo de Pki= Pcr se está en equilibrio estable, caso 1a, y apenas alcanzado el mismo, se pasa al estado de equilibrio indiferente, con bifurcación, pudiendo seguir 1b o 1c.

Para el caso de curva 2, se ve que actúan desde el inicio un axial P y un momento P(e+v). La pieza no es tan esbelta y la falla se produce por agotamiento de la tensión máxima en la sección crítica: es un problema tensional. Como se verá luego, debido al efecto de segundo orden (deflexión v), hay una reducción en la capacidad de M-N (ya no hay relación lineal con de M con N con la excentricidad total) con respecto al caso en que la esbeltez fuera despreciable. Pero no hay problemas de inestabilidad. Si la barra es bastante esbelta, caso 3, para valores de P por debajo de Pkr, es decir v 1.

(25)

28

5.9 DISEÑO DE COLUMNAS ESBELTAS. CRITERIOS. Como se expresó, en la práctica hay dos formas de abordar el problema del diseño de columnas esbeltas: 1. utilizando un método “exacto”, o bien 2. usando algún método aproximado. En el primer caso se debe utilizar un método de análisis que tenga en cuenta: 1. la rigidez real de los elementos estructurales. 2. los efectos de las deformaciones en el valor de las solicitaciones internas. 3. el efecto de la duración de las cargas. Este tipo de análisis, por ya incluir los efectos de segundo orden, arrojará las solicitaciones internas finales (momentos, cortes, axiales) con los cuales las secciones pueden ser diseñadas sin necesidad de corrección posterior alguna. Sin embargo este procedimiento es muy complejo (depende por supuesto de la estructura en estudio), requiere un soporte computacional de importancia y su rigurosa aplicación no siempre es necesaria. Como depende de una buena modelación, como siempre, la sofisticación de los métodos de análisis no asegura resultados indiscutibles. Como alternativa, los métodos aproximados se basan en obtener las solicitaciones a través de un análisis estructural convencional de primer orden, y luego las secciones son dimensionadas para resistir acciones modificadas (mayoradas) que tienen en cuenta en forma aproximada el efecto de las deformaciones en las solicitaciones reales de la estructura. Los métodos mas comúnmente utilizados son los dados por el código ACI-318, las normas DIN 1045 y las recomendaciones del Comité Europeo CEB-FIP. 5.10 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL CÓDIGO ACI-318-05 y C-201-05 EL MÉTODO DE LA MAGNIFICACIÓN DE MOMENTOS 3.10.1 FUNDAMENTOS. El método parte de las solicitaciones obtenidas por medio de un análisis estructural de primer orden. A posteriori, el momento último de diseño se magnificará con un factor δ que tendrá en cuenta los efectos de segundo orden. γ.q

γ.H

Mu

Pu

Vu

γ: Coeficiente de mayoración de cargas (coef. de seguridad)

(a) Estructura y cargas.

(b) Solicitaciones por análisis de primer orden para una columna.

Figura 5.23. Pórtico simple. Cargas y solicitaciones.

29

Supongamos la estructura simple de la Fig.5.23. La columna de la derecha, por ejemplo, tendrá como solicitaciones últimas de primer orden el axial Pu y el momento Mu= Pu.e. Los fundamentos en los que se apoya el método de magnificación de momento del ACI quedan ilustrados en la figura Fig.5.24. Se supone que la columna es esbelta y por tanto que el método es de aplicación.

P

Fig. 5.23. Diagrama de interacción.

Magnificación de momentos. ACI (1) Momento y carga de falla determinados por análisis estructural convencional. (3) Momento y carga de falla supuestos para el diseño final.

Pu

(1)

Pu´

(3)

(2)

(a)

(b)

M Mu

δ.Mu

Del análisis de primer orden Mu y Pu son el par de valores que producen la falla de la columna si esta no fuera esbelta, y dan un punto (1) en el diagrama (a) de interacción M-P. Ese diagrama corresponde a una sección de hormigón armado de determinadas dimensiones y cantidad de armadura. Sin embargo, dado que la columna es esbelta la relación M-P deja de ser lineal y de utilizarse esa sección de hormigón armado la rotura de la pieza se alcanzaría en el punto (2) del diagrama (a) de interacción, con la consecuente reducción de la capacidad última Pu de la columna, ya que P'u < Pu.

El método consiste en encontrar un factor δ de magnificación del momento Mu para que δ.Mu y Pu sean el par de solicitaciones últimas para el diseño del pilar. Esto implicará que será necesario utilizar una sección de hormigón armado tal que le corresponda el mismo valor Pu como capacidad axial de columna y un momento último δ.Mu, donde δ > 1,0. En otras palabras, una sección de hormigón armado a la que le corresponda un diagrama de interacción M-P como el (b) de Fig.5.23, donde la rotura de la columna se alcance en correspondencia con el punto (3) del citado diagrama M-P que es el que finalmente se usará en la verificación del diseño de la pieza. 5.10.2 PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN El método en su aplicación es bastante simple e involucra tres pasos: 1. obtención de las solicitaciones últimas Mu y Pu, usando teoría de primer orden. 2. calcular δ, coeficiente de mayoración de Mu. 3. diseñar para las solicitaciones Pu y δMu. donde el factor de magnificación de momento δ se designa como δns para el caso de pórticos indesplazables y δs para pórticos desplazables, ya que el método es válido para ambos casos, y el C-201-05 los trata en forma separada y en la forma que a continuación se presenta.

30

5.10.3 MOMENTOS AMPLIFICADOS. PÓRTICOS INDESPLAZABLES. En la sección 10.12 el C-201-05 especifica que los elementos comprimidos se deben diseñar para la carga Pu que resulta de cargas mayoradas (método LRFD) y el momento asociado Mu2 (es el mayor) amplificado por un factor δns tal que: M c = δ ns M u 2

(26)

El factor amplificador está dado por:

δ ns =

Cm Pu 1− 0.75Pc

(27)

La expresión es igual a la ecuac. (17), en la que se incluye φk. El factor Cm de efecto de extremos, ver Fig. 5.16, vale: 1 Cm= 0.6+0.4(M1/M2) ≥ 0.4 para columnas cuyo desplazamiento lateral está impedido y sin cargas transversales entre los apoyos del pilar. 2 Cm= 1.0 para los otros casos, por ejemplo cuando hay cargas transversales entre los apoyos del pilar. M1: el menor de los momentos últimos de extremo de la columna obtenido con análisis de primer orden, y es positivo para pilar flexado con curvatura simple, y negativo si lo está con curvatura doble. M2: el mayor de los momentos de extremo de la columna y que se toma siempre positivo. Pu: carga última de la columna según la teoría de primer orden. φk= 0.75 factor de reducción de rigidez (no de resistencia) para tener en cuenta las diferencias entre las características de los elementos reales y los calculados Pc: carga crítica de pandero elástico dada por la expresión teórica de Euler: Pc =

π 2 EI (klu ) 2

(28)

Lu: longitud libre de la columna. EI: rigidez de flexión de la sección de la columna, y viene dada por la expresión o (21) o (22), cualquiera de ellas. En la sección 10.12.3.2 el C-201-05 establece que en los casos en que la columna es esbelta pero sus momentos últimos de primer orden son nulos o pequeños, se debe diseñar con excentricidad mínima, dada por:

M 2 ≥ M 2 min = Pu (15 + 0.03h)

(29)

Se aclara que no es necesario que se aplique en forma simultánea respecto a los dos ejes principales.

31

5.10.4 MOMENTOS AMPLIFICADOS. PÓRTICOS DESPLAZABLES. En el método que utiliza el ACI-318 y C-201-05 para pórticos sujetos a desplazamiento horizontal considerable, las cargas que actúan en la estructura deben separarse en dos categorías: cargas que no producen desplazamiento lateral (o es mínimo) y cargas que generan desplazamientos laterales de consideración. Se requieren entonces de dos análisis independientes del pórtico, uno para cada tipo de carga, además de que para cada caso deben usarse los factores k y βd que son diferentes. La norma, en la sección 10.13.3, establece que los momentos de diseño M1 y M2 en los extremos de un elemento individual comprimido son:

y

M1 = M1ns + δs . M1s

(30)

M2 = M2ns + δs . M2s

(31)

M1 y M2 = son los momentos menor y mayor, respectivamente, mayorados (es decir para diseño por resistencia) en cada extremo del elemento. M1ns = momento mayorado que actúa en el extremo de M1 causado por cargas que no producen desplazamiento lateral, y obtenido de análisis de primer orden. M2ns = momento mayorado que actúa en el extremo de M2 causado por cargas que no producen desplazamiento lateral, y obtenido de análisis de primer orden. M1s = momento mayorado que actúa en el extremo de M1 causado por cargas que sí producen desplazamiento lateral, y obtenido de análisis de primer orden. M2s = momento mayorado que actúa en el extremo de M2 causado por cargas que sí producen desplazamiento lateral, y obtenido de análisis de primer orden. δs= factor de amplificación de momentos en pórticos no arriostrados contra desplazamiento horizontal para reflejar dicho desplazamiento. Los máximos momentos causados por cargas horizontales ocurren en los extremos de las columnas, pero los que generan las cargas gravitatorias pueden ocurrir en cualquier sitio de la zona central de la columna, variando la ubicación en función de los momentos extremos. Como en la mayoría de los casos los momentos máximos para ambos tipos de carga no ocurren en el mismo sitio, la norma no aplica el coeficiente de amplificación δs a los momentos gravitacionales. Es decir, es poco probable que el momento máximo real exceda la suma de los momentos gravitacionales no amplificados y los momentos inducidos por desplazamientos horizontales amplificados. De allí la forma de las ecuaciones anteriores. En definitiva, la norma en su sección 10.13.4 indica que los momentos amplificados por efectos de desplazamiento lateral se pueden determinar de tres modos: (i) a partir de un análisis elástico de segundo orden, basado en las rigideces degradadas de los elementos, según antes se indicó. (ii) Obteniendo el factor de amplificación δs a partir del índice de estabilidad Q. (iii) Obteniendo el factor de amplificación δs a partir de relación entre cargas últimas y cargas críticas de pandeo del piso en que se encuentra la columna. En la sección 10.13.4.2 especifica que:

32

δs =

1 ≤ 1.50 1− Q

(32)

Si el valor del factor es mayor de 1.50 se deben utilizar otros métodos, utilizando la siguiente expresión, similar a la ecuac. (27) con Cm=1.0:

δs =

1 ≥ 1.0 ΣPu 1− 0.75ΣPc

(33)

ΣPu = es la carga axial total para todas las columnas del piso en consideración. ΣPc = es la carga de pandeo crítica total para todas las columnas del piso en consideración.

La equivalencia cercana entre Q y P/Pcr, que sugieren las ecuaciones (32) y (33) para estructuras de hormigón armado se puede demostrar a partir del comportamiento de una columna con posible desplazamiento horizontal en uno de sus extremos y con ambos restringidos a la rotación, como el caso de Fig. 5.7(b). Para esa columna el índice de estabilidad está dado por ecuac.(20):

Q=

Pu ∆ o Vu lc

(34)

Dado que:

Vu 12 EI = 3 ∆o lc

(35)

es la rigidez a desplazamiento horizontal, por lo que entonces el índice Q vale:

Q=

Pu

(36)

(12 EI / lc2 )

Para una columna como esa, con k=1.0, de longitud no soportada o libre (unsupported length) lu = 0.9lc , la carga crítica de Euler es, según ecuac. (6):

Pcr =

π 2E I (lu ) 2

(37)

Por lo que la relación:

P Pu Pu = 2 = 2 Pc π EI /(0.9lc ) (12.18 EI / lc2 )

(38)

Las ecuaciones (36) y (38) confirman lo expresado. La Ref.[2] indica que para valores de Q0.6, existe una gran similitud entre Q y P/Pc, por lo cual, para el caso de Q= 0.05, límite que se impuso para separar pórticos desplazables de arriostrados, la ecuac. (27), sin φk y para Cm= 1.0 sería:

δ ns =

1 1 = = 1.05 1 − Q 1 − 0.05

(39)

En los comentarios, C10.13.5, se dice que si: lu < r

35 Pu f c´ Ag

(40)

El momento máximo en cualquier punto a lo largo de la altura de dicha columna será menor que 1.05 veces el momento máximo extremo. Como ejemplo, supongamos dos casos, uno en que el esfuerzo axial es importante, tal que la relación Pu / f c´ Ag = 0.49 y otro con poco nivel de axial, digamos Pu / f c´ Ag = 0.16 . Podría se el caso de una columna de 200mmx200mm, con f´c=25MPa,

por lo que, suponiendo βd= 0.2: 0.4 x 23500 x0.133 x109 EI = = 1.04 x1012 Nmm 2 1 .2

La carga crítica: Pc =

π 2 x1.04 x1012 3300

2

N = 0.95 x106 N = 95t

Para el caso de gran axial, Pu= 0.49x0.25x202= 49 t, y para bajo nivel de axial sería de 16t. En el primer caso el segundo miembro de ecuac. (40), es decir el índice de axial (en realidad su valor es inverso al índice de axial) es (35/0.70= 50), y en el segundo caso el índice es (35/0.40= 87.5). Si lu = 3300mm y la columna fuera de h = 200mm , la relación lu / r = 3300 / 0.3 x 200 = 55. Se ve que para el caso de poca carga axial, se cumpliría la ecuac.(40) ya que 55 < 87.5. Si, por ejemplo, k= 1.0 y M1= 0, la ecuac. (23) daría:

klu = 55 > 34 r

34

por lo que la esbeltez no puede ser ignorada, y el momento amplificado nunca superaría en su altura el 1.05Mmáx, por la condición impuesta a Q 50, es decir no se cumple la ecuac. (40), y por esa condición de carga axial importante podría suceder que en algún punto de la columna, [la norma indica ver referencia 10.25], el momento superará el máximo en más de1.05 veces. Esto es lo que demuestran los valores de 0.67 (que debe tomarse 1.05) y el de 1.92, que representa ahora 92.5% mayor del máximo. Por ello, en la sección 10.13.5, el C-201-05 indica que para valores de: lu > r

35 Pu f c´ Ag

(41)

se debe diseñar la columna para la carga Pu y un momento Mc de acuerdo a la ecuac. (26) y (27). Los valores de M1 y M2 se deben determinar con las ecuac.(30) y (31). El menor de los momentos se usa para determinar Cm. El valor de k corresponde a pórtico arriostrado, y βd según el estado de carga que se considere. El C-201-05 también, sección 10.13.6, incluye verificaciones adicionales para pórticos desplazables para protegerlos del pandeo lateral de todo un piso bajo cargas gravitatorias solamente. Las restricciones dependen del método utilizado para evaluar δsMs: (i)

si se utilizó análisis elástico de segundo orden la relación entre las deformaciones laterales de segundo y primer orden no debe exceder 2.5, para las combinaciones de U=1.2D+1.6L más las cargas laterales mayoradas.

(ii)

si se usó la ecuac.(39), debe cumplirse que Q ≤ 0.6 (lo cual implica δs≤ 2.50).

(iii)

si utilizó la ecuac.(33), debe cumplirse que δs>0 y δs≤ 2.50.

35

5.11 EJEMPLO DE APLICACIÓN E1. Pórtico de un vano y un piso. Hormigón H27. Acero ADN-420. Columnas 35x35cm. Viga Superior 25x50cm. Viga de Fundación 25x25cm. H total de piso a ejes = 4.50m. Luz de viga a ejes L=6.0m Requerido: Diseño de Columna CD. Suponer pórtico arriostrado. Fig. E1-1 Geometría y Cargas.

1. Análisis de Primer Orden. De la Fig. E1-2 se ve que el desplazamiento lateral debido a las cargas U=1.2D+1.6L es de 8 mm en la parte superior del piso. De la Fig. E1-3 se ve que el momento flector en la parte superior de Col(CD) es 16.66 tm sin considerar efecto P-∆ y considerando dicho efecto es de 16.76 tm, a partir del programa ETABS. 2. Verificación si el Pórtico es o no desplazable. (i) Dado que (16.76/16.66 = 1.006 < 1.05), es decir se podría decir que es “indesplazable”. (ii) A partir del índice de estabilidad, se necesitaría un valor de Vu, o sea algún tipo de carga horizontal que produzca desplazamiento lateral. Como no existe fuerza horizontal en la estructura, la norma permite utilizar algún valor de referencia y con respecto a él obtener ∆o. A partir del mismo modelo, y con las reducciones de rigidez que dice la norma resultó que para una fuerza unitaria, 1.0 ton, en la parte superior del piso originó un desplazamiento horizontal de 4.0 mm. Las fuerzas axiales últimas en las columnas son:

PuAB = 26t

PuCD = 40t

ΣPu = 66t

36

Fig. E1-2. Deformada por análisis primer orden y debida a U=1.2D+1.6L.

Fig. E1-3. Esfuerzos internos por análisis primer orden debidos a U y de segundo orden, valores indicados ( ).

37

El índice es entonces:

Q=

66tx0.004m = 0.059 > 0.05 1tx 4.50m

Se ve el pórtico entraría en la categoría de desplazable, a no ser que existieran, por ejemplo, líneas estructurales paralelas que puedan rigidizar todo el edificio, incluyendo este pórtico, y hacer bajar el valor de Q por debajo de 0.05. Como se demostró, existe una similitud entre Q y la relación P/Pc. Para evaluar la estabilidad de otra manera, se procede a verificar la relación anterior. Es necesario calcular las Pcr de ambas columnas. Se requiere EI y (kl). Ec = 4700 27 = 24422 MPa = 24422 N / mm 2 = 2442200t / m 2 I g = (0.35m) 4 / 12 = 1.25 x10 −3 m 4

β dAB =

UD = 12t / 26t = 0.46 U ( D+ L )

β dCD =

UD = 24t / 40t = 0.60 U ( D + L)

EI

AB

0.4 x 2442200 x1.25 x10 −3 = = 836tm 2 (1.46)

EI CD =

0.4 x 2442200 x1.25 x10 −3 = 763tm 2 (1.60)

Valores de longitud efectiva de pandeo: Factores ψ de extremos: ψ A = 0 ya que está empotrada.

ψC =

0.7 x35 x353 x6 = 2 x1.4 x1.43 x1.333 = 10.24 0.35 x 25 x 253 x 4.5

ψ B ,D =

0.7 x35 x353 x6 = 2 x1.4 x0.7 3 x1.333 = 1.28 3 0.35 x 25 x50 x 4.5

Utilizando las expresiones analíticas: (kl ) AB = 0.7 + 0.05(0 + 1.28) = 0.764 (kl ) AB = 0.85 + 0.05(0) = 0.85 El menor valor para Col(AB) es (kl)= 0.764. (kl )CD = 0.7 + 0.05(10.24 + 1.28) = 1.276 (kl )CD = 0.85 + 0.05(1.28) = 0.914 El menor valor para Col(CD) es (kl)= 0.914.

Ahora se pueden evaluar las cargas críticas de pandeo de cada columna.

38

π 2 836tm 2

PcrAB =

(0.764 x 4.125m) 2

=

CD cr

P

π 2 763tm 2 (0.914 x 4.125m) 2

= 830t = 530t

66t ΣPu = = 0.0485 < 0.05 y tiene una diferencia cercana al 20 % con el valor ΣPcr (830 + 530)t obtenido para Q (es cercano; no se esperaba igualdad por supuesto). Se ve que está en el límite, y se va a considerar que hay “otros elementos” en la estructura que proveen la suficiente rigidez como para considerarlo pórtico arriostrado. 3. Verificación de la esbeltez.

klu 0.914 x 4.125 3.7 = = 36 < 34 − 12(− ) = 34 + 12(0.22) = 34 + 2.67 = 36.66 r 0.3x0.35 16.66 Se ve que está casi en el límite de esbeltez, por debajo por lo cual podría considerarse que no es esbelta. De todos modos se continuará con el ejemplo suponiendo que es esbelta (debería hacerse pues la diferencia es apenas 1.8%). 4. Método de Amplificación de Momentos. Cm = 0.6 + 0.4(−0.22) = 0.6 − 0.088 = 0.512

δ ns =

0.512 0.512 = = 0.57 40 0 . 899 1− 0.75 x530

El factor de amplificación es menor que 1.0, por lo que no habría que incrementar los valores de los momentos. 5. Provocamos mayor esbeltez en el ejemplo: aumentamos la altura de columna entre ejes a H=8.0 m. La altura de la columna se lleva a 8.0 m, es decir se incrementa 8/4.5= 1.78 veces, como se esquematiza en la Fig. E1-4. Reevaluamos factor de longitud efectiva:

ψC =

0.7 x35 x353 x6 = 2 x1.4 x1.43 x0.75 = 5.76 3 0.35 x 25 x 25 x8

ψ

0.7 x35 x353 x6 = = 2 x1.4 x0.73 x0.75 = 0.72 3 0.35 x 25 x50 x8

B, D

Utilizando las expresiones analíticas: (kl )CD = 0.7 + 0.05(5.76 + 0.72) = 1.02 (kl )CD = 0.85 + 0.05(0.72) = 0.886 ≅ 0.89

39

klu 0.89 x7.625 = = 65 > 36.66 r 0.3 x0.35 Es esbelta, pero como no supera el valor de 100 es posible continuar con método aproximado. Ahora se puede evaluar la carga crítica de pandeo de la columna. PcrCD =

π 2 763tm 2 (0.89 x7.625m) 2

= 164t

Los valores de los momentos en los extremos casi no han cambiado, por lo que: 0.512 0.512 δ ns = = = 0.76 40 0.675 1− 0.75 x164 Fig. E1-4. Geometría en escala aumentando notablemente la altura de la columna.

Se ve que aunque la columna es esbelta, el factor de amplificación no es aplicable. Sin embargo, si el pórtico no estuviera arriostrado sería obviamente “desplazable”. En ese caso, como ψm=(5.76+0.72)=3.24>2, el factor de longitud es: k = 0.9 1 + 3.24 = 1.85 La esbeltez resulta:

klu 1.85 x7.625 = = 135 > 100 r 0.3 x0.35 Por lo que supera el límite y ya no puede ser analizada por un método aproximado. Como se ve, la gran diferencia la hace el hecho de ser o no desplazable, que incide en la longitud efectiva de pandeo. Aunque no es correcto, se sigue con el método aproximado. (kl ) AB = 0.7 + 0.05(0 + 0.72) = 0.74 (kl ) AB = 0.85 + 0.05(0) = 0.85 PcrAB =

π 2 836tm 2 (0.74 x7.625m) 2

δs =

= 262t

1 1 .0 = = 1.18 66 1 − 0.15 1− (262 + 164)

Se observa que por éste método (se reitera, no aplicable en este caso), el incremento en los momentos extremos de las columnas sería del orden del 20%. Note que el factor de estabilidad es aproximadamente Q≅0.15.

40

6. Provocamos mayor esbeltez en el ejemplo: inducimos curvatura simple en col(CD), pero la suponemos arriostrada por otros elementos. Movemos en apoyo en C hacia el interior, como lo indica la Fig. E1-5, donde además se muestra los esfuerzos resultantes.

Fig. E1-5. Modificación de apoyo de columna en estudio, CD. Esfuerzos internos. Se supone indesplazable (arriostrada por otros), es decir k 34 − 12( ) = 34 + 12(0.90) = 34 + 11 = 23 r 0.3x0.35 13.63 Cm = 0.6 + 0.4(0.90) = 0.6 + 0.36 = 0.96

δ ns =

0.96 0.96 = = 1.42 40 0 . 674 1− 0.75 x164

Se aprecia la fuerte incidencia que tiene el hecho de tener columna con curvatura simple, y para colmo, con momentos casi iguales en ambos extremos, es decir relación (M1/M2≅1.0), lo que aumenta Cm de 0.512 a 0.96 (1.875 veces). El momento de diseño sería: M uCD = 1.42 x13.63tm = 19.35tm

41

Fig. E1-6. Sección Transversal de Columna y Diagrama de interacción Resistencias Nominales.

42

5.12 EJEMPLO DE APLICACIÓN E2. Pórtico de un vano y un piso similar a Ejemplo E1. Se aumenta la altura total. Hormigón H27. Acero ADN-420. Columnas 35x35cm. Viga Superior 25x50cm. Viga de Fundación 25x25cm. H total de piso a ejes = 7.0 m. Luz de viga a ejes L=6.0m Se le agrega carga Horizontal de E=10 ton en Losa. Requerido: Diseño de Columna CD.

Fig. E2-1. Pórtico Esbelto de Ejemplo E2.

1. Análisis de Primer Orden. De la Fig. E2-1 se ve que el desplazamiento lateral debido a cargas E, que es el que provoca Vu, es de 134 mm en la parte superior, es decir rotación de piso cercana a 2%. 2. Verificación si el Pórtico es o no desplazable. Del análisis de primer orden a cargas mayoradas, o sea U=1.2D+1.6L, los esfuerzos axiales máximos resultantes en el piso son:

PuAB = 27t

PuCD = 40t

ΣPu = 67t

43

Q=

67tx0.134m = 0.128 > 0.05 10tx7.0m

Por lo que si no es arriostrado por otros elementos, el pórtico es “desplazable”.

3. Verificación de la esbeltez.

ψC =

0.7 x35 x353 x6 = 2 x1.4 x1.43 x0.857 = 6.60 3 0.35 x 25 x 25 x7

ψ B ,D =

0.7 x35 x353 x6 = 2 x1.4 x0.7 3 x0.857 = 0.82 0.35 x 25 x503 x7

Utilizando las expresiones analíticas:

ψ m = (6.60 + 0.82) / 2 = 3.71 > 2 k = 0.9 1 + 3.71 = 1.95

klu 1.95 x(7.0 − 0.125 − 0.25) 12.93m = = = 123 > 100 r 0.3x0.35 0.105m La longitud efectiva, al ser desplazable, se ha elevado a casi 13 metros. Es muy esbelta pues supera por amplio margen el valor de 22, pero además supera el valor de 100, límite para poder aplicar el método aproximado.

4. Se rediseña la estructura para disminuir la esbeltez. Es conveniente bajar la longitud efectiva de pandeo, o sea el factor (k/r). Posibilidades: •

en primer lugar generalmente aparece la tentación de aumentar la dimensión de la columna, en particular hc, para aumentar el valor del radio de giro r, con lo cual bajaría la esbeltez. Por ejemplo, si se lleva hc= 0.50 m, sin variar el ancho de 35cm, resulta:

(i)

r= 0.30 x 0.50 m = 0.15 m, es decir un aumento del 43 % con relación al valor anterior de r= 0.105m

El problema está en que también se modifican los factores ψ que tienen en cuenta la “relación de rigideces de vigas y columnas que llegan al nudo”. (ii)

Los factores ψ son ahora:

0.7 x35 x503 x6 ψ = = 2 x1.4 x 23 x0.857 = 19 3 0.35 x 25 x 25 x7 C

44

ψ B, D =

0.7 x35 x503 x6 = 2 x1.4 x1.03 x0.857 = 2.40 3 0.35 x 25 x50 x7

ψ m = (19.40 + 2.40) / 2 = 10.70 > 2 k = 0.9 1 + 10.70 = 3.07

klu 3.07 x6.625 20.33m = = = 136 > 123 > 100 r 0.3 x0.50 0.15m

Por lo cual, si mantenemos las dimensiones de las vigas, en vez de mejorar hemos empeorado el problema, pues la longitud efectiva creció a más de 20 metros, y pese a que el radio de giro es mayor, el factor de esbeltez crece de 123 a 136. •

La dependencia de k= f(ψ), es muy fuerte, y la misma se puede apreciar en los gráficos de Fig. 5.8. Es claro que lo que hay que hacer es hacer que los valores de ψ sean pequeños. En el límite, si ambos son cero el factor k toma su mínimo valor que para pórticos desplazables es k=1.0. Para ello, lo que se debe hacer es aumentar la rigidez, a través de momento de inercia I, de las vigas con relación a las columnas. Por ejemplo, si dejamos las columnas de 35x35cm, pero aumentamos la altura de la viga de fundación a 50 cm, igual a la de piso, tal que ψC= ψD =0.82 (corresponde a columna de hc =35cm y viga de hv =50cm).

ψ m = 0.82 < 2 k=

20 − 0.82 1 + 0.82 = 1.29 , en vez de 3.07 !!!!! 20

klu 1.29 x6.625 8.55m = = = 81 < 100 r 0.3x0.35 0.105m Ahora pese a que el radio de giro es menor, la longitud efectiva de pandeo se redujo notablemente, de 20 a 8.55 metros. Note además que el volumen de hormigón que se gastaría en aumentar la viga de fundación es ∆V(volumen)vigaF = 0.25x0.25x5.65m= 0.35m3, es bastante menor que el que corresponde al aumento de las dimensiones de las columnas, que sería para este caso ∆V(volumen)Col = 0.15x0.35x6.5mx2= 0.70m3, es decir el doble. Es mucho más efectivo aumentar la rigidez de las vigas, ya que el problema de inestabilidad es un problema de rigidez, de desplazamientos, de configuración de deformación lateral, y la rigidez de una columna está fuertemente controlada por la rigidez de las vigas extremas.

45

5. Cálculo de los Momentos Amplificados. El factor de amplificación de momentos se puede obtener como: 1 1 1 δs = = = = 1.15 1 − Q 1 − 0.128 0.87

6. Momentos de extremo de Columnas. Con referencia a la Fig. E2-2: M u1 = 2.93 + 1.15 x8.62 = 12.85tm M u 2 = 10.77 + 1.15 x13.96 = 26.82tm

Como referencia, se comenta que del análisis de primer orden, el momento mayor M2u= 13.96+10.77 = 24.73 tm. De un análisis con ETABS solicitando que se tenga en cuenta efectos de segundo orden, el M2u-P∆= 25.67tm. El lector puede sacar sus propias conclusiones.

Fig. E2-2. Pórtico Esbelto de Ejemplo E2. Esfuerzos internos

46

5.13 EJEMPLO DE APLICACIÓN No3: DISEÑO DE COLUMNA DE PÓRTICO ARRIOSTRADO. Se requiere el diseño de una columna esbelta de un pórtico arriostrado, según muestra la Fig. E3-1, aplicando los lineamientos del Reglamento CIRSOC 201-2005, basado en el ACI-318-2005, por el método de amplificación de momentos. El pórtico es de varios pisos y formando parte de un edificio arriostrado, por ejemplo por núcleo rígido de circulaciones verticales, posee vigas de 1.20 m de ancho por 0.30 m de alto, con luz (a ejes de columnas) de 7.30m. La altura de los pisos del pórtico es de 4.30 m, con luz libre entonces lu= 4.0m. Las columnas se han prediseñado en 45cmx45cm. La estructura estará sometida a cargas permanentes, D, y accidentales o de uso, L. Se ha llevado a cabo un análisis estructural de primer orden y, para la distribución de cargas vivas L que se muestra en la figura, la columna C3, Línea C, 3er. nivel, estaría sometida a los máximos momentos con curvatura simple y carga axial, con los siguientes valores de solicitaciones a nivel de cargas de servicio: Carga Permanente D P= 115 t P= 85 t M2s = 0.35 tm M2s = 17 tm M1s = -0.35 tm (doble curvatura)

Carga Accidental L

M1s = 16 tm (curvatura simple)

Se ve entonces que la columna queda sometida a curvatura doble cuando actúa sólo la carga muerta y a curvatura simple para carga viva o superposición de ambas.

Fig. E3-1. Pórtico de hormigón armado que forma parte de un edificio arriostrado.

Características materiales:

de

los

Hormigón H25, Ec = 23500 MPa, Acero ADN-420. Solución: En principio se diseña la columna como NO esbelta. Los valores de las cargas de diseño mayoradas son: Pu = 1.2 D + 1.6 L = 1.2 x115 + 1.6 x85 = 274t M u = 1.2 x0.35 + 1.6 x17 = 28tm

Se hace el prediseño de la columna a flexo-compresión, haciendo notar que es una columna fuertemente comprimida ya que: Pu 274 = = 0.54 ´ f c Ag 0.25 x 452

47

Utilizando los diagramas de interacción de ayuda para diseño a flexo-compresión, ver apunte de columnas Hormigón I, Fig. 4.36(a), para γ= 0.80, los coeficientes adimensionales son: P 274 n= ´u = = 0.54 f c Ag 0.25 x 452 m=

Pu e 2800 = = 0.122 ´ f c Ag h 0.25 x 452 45

por lo que resultaría una cuantía del orden de 0.012. Sin embargo, del análisis de la sección, como la columna está muy comprimida, el factor de reducción de resistencia seguramente será φ= 0.65, por lo que se prediseña con una cuantía cercana a 1.8 %. En definitiva se adoptan 4 barras de diámetro 25 mm en las esquinas y 2 barras adicionales interiores en cada cara de diámetro 20 mm. El área total de acero es Ast = 4x4.91 + 8x3.14 = 45cm2, lo que da una cuantía de del 2.2%. Esta cuantía permitiría incrementos de armadura en el caso que los efectos de esbeltez así lo soliciten, por lo que se mantiene la sección de hormigón (a los efectos de que la esbeltez controle el diseño). El análisis de la sección a flexo-compresión arroja los siguientes resultados: N= 0 N=274 t

Mn =35 tm Mn =45 tm Md = 0.65 x 45 tm = 29 tm>28 tm

para una deformación de la última capa de acero εs= 0.00126, es decir menor del 0.002 (0.2%), por lo que φ= 0.65, tal cual supuesto, y la columna tendría un tipo de rotura frágil pues no llega a fluir antes de romper. Se aclara que este es un caso muy particular, no muy usual en la práctica (ver altura de pisos, dimensiones de vigas, etc.) pero ha sido elegido para poder incluir efectos de esbeltez. No es un buen diseño si el pórtico es construido en zona sísmica. Revisión inicial de la esbeltez: Reglamento CIRSOC 201-2005, sección 10.12.1 especifica que para elementos comprimidos en pórticos indesplazables el factor de longitud efectiva k debe tomarse igual a 1.0, a menos que se justifique por medio de un análisis la posibilidad de utilizar un valor menor. En ese caso se deben tener en cuanta los valores de EI, rigidez a flexión, de la sección 10.11.1.

kl u 1.0 x 400 = = 30 r 0.3x 45 M1 = 1.2 (-0.35) + 1.6x 16 = 25.20 tm. En este caso resulta:

 25.2  34 − 12  = 23  28  por lo que la esbeltez de 30 resulta mayor que este límite y no pueden ser ignorados sus efectos en el diseño de la columna.

48

Re-evaluación de k. En la sección C-10.12.1 (comentarios), la norma dice que se puede tomar, para sistemas o pórticos indesplazables, como factor de longitud efectiva k el menor valor entre: k= 0.7 + 0.05(ψA + ψB) ≤ 1.0 k= 0.85 + 0.05ψmin ≤ 1.0 Para el caso que nos ocupa, para la columna: Ic = 0.7 Ig = 0.7 x 454/12 cm4= 0.7 x 341719 cm4 = 239 x 103 cm4 y tomando a Lc = 4.30 m, resulta Ic/Lc = 556 cm3. y para las vigas: Iv = 0.35 Ig = 0.35 x 120 x 303/12 cm4 x 2 = 189 x 103 cm4 donde se ha aplicado un factor de 2.0 por ser la viga de sección T. Al respecto la norma dice que se debería considerar el ancho efectivo definido en la sección 8.10, pero es suficiente tomar para vigas T el valor de Ig como 2 veces el valor del Ig del alma. Como Lv = 730 cm, resulta Iv/Lv = 259 cm3. Con referencia a Fig. E3-1, como las vigas y columnas son de igual dimensión en todos los niveles, los factores de restricción a rotaciones en los extremos A y B son iguales y de valor:  2 x556  ψ A = ψ B = ψ min =   = 2.15  2 x 259  Por aplicación de las expresiones anteriores, o gráficamente de las figuras precedentes, el nuevo valor de k resulta: k= 0.7 + 0.05 x 2 x 2.15 = 0.915 o k= 0.85 + 0.05 x 2.15 = 0.81 por lo que se puede adoptar el valor de 0.81, con lo que el límite a considerar para ignorar o no la esbeltez es ahora:

kl u 0.81x 400 = = 24 r 0.3x 45 y se ve que, aunque por poco, supera el valor de 23 antes calculado. La norma a su vez exige en la sección 10.12.3.2 que el momento mayor M2 mayorado no debe ser menor de: M2 ≥ M2,min = Pu (0.015 + 0.03h) donde los valores de 0.015 y h se deben expresar en metros. En este caso: M2,min = 274t (0.015m + 0.03 x 0.45) = 274 t x 0.0285 m = 7.81 tm por lo que se continúa con el momento M2 obtenido del análisis estructural.

49

Coeficiente Cm. En la sección 10.12.3 la norma dice que los elementos comprimidos se deben diseñar para la carga Pu y un momento amplificado: Mc = δns M2 Donde:

δ ns =

Cm ≥ 1 .0 Pu 1− 0.75Pc

es el factor de amplificación de momentos para pórticos indesplazables. En la expresión se está tomando un factor de reducción de rigidez igual a φk= 0.75 tanto para columnas con estribos cerrados como zunchadas. M Cm = 0.6 + 0.4 1 ≥ 0.40 M2 En este caso la relación (M1/M2) vale 0.90, por lo que: Cm = 0.60 + 0.4 x 0.90 = 0.96 Se observa que como la relación de momentos es casi 1.0, el factor Cm≅ 1.0. Coeficiente βd. La fluencia lenta debida a cargas de larga duración origina el incremento de la deformación lateral de la columna, lo que se tiene en cuenta reduciendo la rigidez EI. Para el caso en estudio: 1.2 D 1.2 x115t βd = = = 0.50 1.2 D + 1.6 L 274 Rigidez a flexión de la columna. La norma permite utilizar cualquiera de las expresiones antes vistas EI =

0.2 E c I g + E s I se 1 + βd

en este caso: Ec = 235 t/cm2 Ig = 341719 cm4 Es = 2000 t/cm2 Ise = 13.92cm2x(18cm)2x2 + 6.28cm2x(6cm2)x2= 9472 cm4 para el primer diseño de armaduras, por lo que:

EI =

0.2 x 235 x 341719 + 2000 x 9472 = 23.34 x10 6 tcm 2 1 + 0.50

y por la expresión simplificada: EI =

0 .4 E c I g 1 + βd

=

0.4 x 235 x 341719 = 21.41x10 6 tcm 2 1.50

50

resultando una diferencia del 9 % mayor por aplicación de la más sofisticada, lo cual indica que para cuantías reducidas la aproximación será mayor y el uso de la expresión simplificada es justificada. Carga crítica de pandeo.

Pc =

π 2 EI ( klu ) 2

=

π 2 23.34 x10 6 tcm 2 (0.81x 400) 2 cm

2

= 2194t

por lo que Pu= 274 t representa el 12 % de la carga crítica de pandeo. Factor de amplificación de momentos. Cm 0.96 = = 1.152 Pu 274 1− 1− 0.75 x 2194 0.75Pc

δ ns =

por lo que la columna debe diseñarse para un incremento del 15.2 % del momento obtenido del análisis de primer orden, es decir: M2= Mu = 28 tm x 1.152 = 32.25 tm Con el diseño anterior, cuantía de 2.2%, el momento de diseño era 29 tm, por lo que hay que incrementar un poco las armaduras. Rediseño de la sección. Utilizando 12 barras de 25 mm distribuidas en todo el perímetro, es decir 4 por cara, con Ast= 58.92 cm2 y ρ= 2.9%, los resultados del análisis seccional son: N= 0 N= 274 t

Mn= 44 tm Mn= 51 tm Md = 0.65 x 51 tm = 33.15 tm > 32.25 tm

Note que si se recalcula la rigidez a flexión, con el nuevo momento de inercia por incremento de armaduras, Ise= 13434 cm2,

EI =

0.2 x 235x 341719 + 2000 x13434 = 28.62 x106 tcm 2 1 + 0.50

por lo que:

Pc =

π 2 EI ( klu ) 2

=

π 2 28.62 x10 6 tcm 2 (0.81x 400) 2 cm

2

= 2690t

y

δ ns =

Cm 0.96 = = 1.11 Pu 274 1− 1− 0.75 x 2690 0.75Pc

finalmente: M2= Mu = 28 tm x 1.11 = 31.10 tm lo que implica un margen un poco mayor de resistencia a flexión.

51

5.14 EJEMPLO DE APLICACIÓN No 4: DISEÑO DE COLUMNA DE PÓRTICO NO ARRIOSTRADO. Se requiere el diseño de una columna, C3, esbelta de un pórtico NO arriostrado, según muestra la Fig. E3-1, por el método de amplificación de momentos. Suponiendo que el núcleo de circulaciones verticales del edificio del ejemplo anterior no posea rigidez suficiente, la columna a diseñar puede considerarse de que forma parte de un edificio que tiene desplazamientos horizontales importantes. De una evaluación inicial se continúa con las dimensiones del ejemplo anterior, disponiendo para las columnas interiores de 45x45cm de 12 barras de diámetro 25mm, cuatro por cara, es decir Ast= 58.92 cm2 y ρ= 2.9%. Para las exteriores de 40x40cm de 4 barras de 25mm en las esquinas y 2 barras más por cara de diámetro 20mm, es decir un total de Ast= 4x4.91 + 8x3.14= 44.77 cm2 y ρ= 2.8%. El edificio está sometido a cargas permanentes D, accidentales L y Horizontales debidas al viento, W. De un análisis elástico de primer orden para cargas de servicio en D y L, y último para viento, y con valores de rigidez a flexión (EI) de la tabla de página 6 como exige la norma, resultan las siguientes solicitaciones, axiales, corte y momento, para las columnas del 3er. Piso: esfuerzo ND NL NW VW M2D M2L M2W M1D M1L M1W

A3 y F3 50 t 35 t ±20 t 4t

B3 y E3 115 t 85 t ±13 t 8t

C3 y D3 115 t 85 t ±4 t 8t 0.35 tm 12 tm ±18 tm - 0.35 10 tm ±20 t

observaciones servicio “ último “ servicio “ último servicio “ último

El desplazamiento horizontal para el corte total de viento VW= (8+8+4)x2= 40 t resultó ser de δ3Vw= 2.50 cm. Solución. Se verifica si el pórtico puede considerarse arriostrado o no arriostrado. La norma, en la sección 10.11.4.1 especifica que una columna de una estructura se puede considerar como indesplazable si el incremento de los momentos en los extremos de la columna luego de un análisis de segundo orden es menor o igual al 5 % de los que se obtienen por un análisis de primer orden. Alternativamente, para no hacer el análisis de segundo orden, la norma pide el cálculo de un índice de estabilidad, Q, e impone esta condición para suponer nudos indesplazables: ∑ Pu ∆ o ≤ 0.05 Q= Vu lc siendo: Pu = la carga vertical total del piso

52

Vu = esfuerzo de corte en el piso considerado. ∆o = desplazamiento relativo de primer orden entre parte superior e inferior debida a Vu lc = longitud del elemento comprimido medida entre ejes de los nudos del pórtico. Para la norma, la combinación (o una de ellas) para acción con viento es: U= 1.2D + 1.6 L+ 1.0 W De acuerdo a esto, entonces, las fuerzas axiales mayoradas para combinación con viento pero para todo el piso son: Columnas A3 y F3 Nu= 1.2 x 50 t + 1.6 x 35 t = 116 t Columnas B3, C3, D3 y E3 Nu=1.2 x 115 t + 1.6 x 85 t = 274 t valor este último que ya teníamos del ejercicio anterior. Note que no se incluye las componentes del viento pues estas se cancelan al considerar el piso en su totalidad. Sumatoria de cargas últimas para piso completo es:

∑Pu = 2 x 116 t + 4 x 274 t = 1328 t. El índice de estabilidad es:

Q=

∑ Pu ∆ o 1328 x 2.50 2900 = = = 0.193 f 0.05 Vu lc 40 x 430 17200

por lo que no puede considerarse arriostrado. Verificación de factor k y esbeltez. Se ha aclarado antes que es muy diferente el comportamiento de elementos esbeltos comprimidos dependiendo de si forman parte de estructuras arriostradas contra desplazamientos horizontales relativos de sus extremos. La carga crítica de pandeo, Pc, depende de la longitud efectiva (klu), y mientras que en los pórticos arriostrados el factor k varía entre 0.5≤k≤1.0, cuando hay desplazamientos entre extremos es 1.0≤k≤∞. Por lo tanto, una columna no arriostrada presentará pandeo a una carga mucho menor que otra idéntica de un pórtico arriostrado. En la sección 10.13.1 dice que debe tomarse k>1.0, y en los comentarios, sección 10.12.1establece que para pórticos desplazables: Si Ψm < 2.0

k= Si Ψm ≥ 2.0

20 − ψ m 1 −ψ m 20

k = 0 .9 1 + ψ m

siendo Ψm el promedio de los valores de Ψ, factores de restricción al giro en los nudos, en los dos extremos del elemento.

53

En elementos desplazables y con un extremo articulado:

k = 2 + 0.3ψ siendo ψ el valor en el extremo restringido. Del ejemplo anterior:

 2 x556   = 2.15  2 x 259 

ψ A = ψ B = ψ min =  por lo que:

k = 0.9 1 + 2.15 = 1.60

y que se puede verificar en los nomogramas de Fig. C10.121.b antes presentada, e implica para este caso un valor bastante mayor que 1.0. La norma impone, en sección 10.13.2 que para ignorar los efectos de esbeltez en columnas de pórticos desplazables se debe cumplir que:

kl u ≤ 22 r y en este caso el factor es:

kl u 1.60 x 400cm = = 47.40 r 0.3x 45cm por lo que la esbeltez no puede ser ignorada. Note además que en la sección 10.11.15 se establece que si:

kl u ≥ 100 r sea desplazable o no la estructura, el diseño del elemento comprimido se debe hacer en base a fuerzas y momentos mayorados obtenidos a partir de un análisis de segundo orden, teniendo en cuenta además el comportamiento no lineal de los materiales, la fisuración, la duración de las cargas, la contracción, la fluencia lenta y la interacción suelo estructura. Esto y decir que no se use esa esbeltez es casi lo mismo. Momentos amplificados. Para el caso en estudio, con Q= 0.193, resulta:

δs =

1 = 1.24 < 1.50 1 − 0.193

con δs siempre mayor que 1.0 En los comentarios se aclara que la expresión anterior para cuantificar el factor

δs y los momentos amplificados resultantes, es sólo confiable para valores de δs que se mantengan por debajo de 1.5. (iii) factor de amplificación δs a partir de relación entre cargas últimas y cargas críticas. En la sección 10.13.4.3 se especifica que:

54

δs =

1 > 1.0 ∑ Pu 1− 0.75 ∑ Pc

donde las sumatorias expresan que se deben involucrar a todas las columnas del piso donde se encuentra la columna analizada. En nuestro ejemplo: Columnas A3 y F3: I c = 0.7 I g = 0.7 x 404 / 12 = 0.7 x 213333cm 4 = 149333cm 4

por lo que la relación: I c / lc = 149333cm 4 / 430cm = 347cm 3 Vigas: I v = 0.35I g = 0.35 x 2 x120 x 303 / 12 = 0.35 x 2 x 270000cm 4 = 189000cm 4 por lo que la relación: I v / l = 189000cm 4 / 730cm = 259cm 3 Como son columnas externas, los factores de restricción rotacional ψ con dos columnas y una viga para cada nudo son:  2 x 347  ψ A = ψ B = ψ min =   = 2.68  259  y para pórticos no arriostrados es: k = 0 .9 1 + ψ m

y como Ψm ≥ 2.0 en este caso: k = 0.9 1 + 2.68 = 1.73

Para calcular la rigidez a flexión, incorporando la armadura que ya se prediseñó: EI =

0.2 E c I g + E s I se 1 + βd

Con: I se = ( 2 x 4.91 + 2π ) x16.502 x 2 + 2π 5.52 x 2 = 9148cm 4 para las armaduras, teniendo en cuenta una distancia de 4.5 cm de borde de hormigón a eje de barra longitudinal.

EI =

0.2 x 235 x 213333 + 2000 x 9148 = (10 + 18.3) x106 tcm 2 = 28.30 x106 tcm 2 1 + βd

donde el factor βd para el caso se pórticos desplazables es la relación entre el máximo corte mayorado que actúa en forma permanente (carga de larga duración) en un entrepiso y el corte máximo mayorado en dicho entrepiso. Para el caso de cargas de

55

viento y sismo que no son de larga duración, el factor βd= 0. El coeficiente no sería nulo en pocos casos como el que se presentaría en un edificio ubicado en un lugar con pendiente sometido a la presión del terreno de un solo lado. La carga crítica para estas columnas es:

Pc =

π 2 EI ( klu ) 2

=

π 2 28.30 x106 tcm 2 (1.60 x 400) 2 cm

2

= 682t

y se puede apreciar, con respecto a columnas en pórticos arriostrados, cómo la carga crítica, para valores similares de (EI), se ha reducido drásticamente. Columnas B3, C3, D3 y E3: Con k= 1.60 y valores de (EI) anteriormente obtenidos:

Pc =

π 2 EI ( klu ) 2

=

π 2 28.62 x106 tcm 2 (1.60 x 400) 2 cm

2

= 690t

y para todas las columnas del piso: ∑ Pc = 2 x 682t + 4 x 690t = 4124t y como ∑Pu = 1328t, resulta:

δs =

1 1 = = 1.75 ∑ Pu 1328 1− 1− 0.75 ∑ Pc 0.75 x 4124

factor éste que resulta bastante mayor que el obtenido a partir del índice Q. Según los autores, esto es normal cuando se comparan ambos métodos. De todas maneras, para el ejemplo que se desarrolla se adoptará el menor valor, utilizando la alternativa (ii) de la norma, es decir δs= 1.24. Momentos totales de diseño. Recordando que: y

M1 = M1ns + δs . M1s M2 = M2ns + δs . M2s

En este caso: donde Mns = 1.2 MD + 1.6 ML, es decir: M1ns =1.2 x (-0.35) tm + 1.6 x 10 tm = 15.60 tm M2ns =1.2 x 0.35 tm + 1.6 x 12 tm = 19.60 tm Son los mayorados sin amplificar, y los amplificados son:

δs . M1s = 1.24 x –14 tm = -17.40 tm δs . M2s = 1.24 x 18 tm = 22.30 tm

56

por lo que finalmente, los momentos de diseño para resistencia de la columna C3 son: M1 = 15.60 – 17.40 = -3.40 M2 = 19.60 – 22.30 = 41.90 que se deben combinar con axiales de 274t ± 4 t. Diseño de la sección de la columna. Para el ejemplo No 3 se vio que para columna de 45x45cm y 12 barras diámetro 25 mm distribuidas el Md = 33 tm, lo cual no es suficiente en este caso. Se aumenta la sección de armaduras reemplazando en las esquinas por barras de 32mm. La armadura total es Ast = 4x8.04 + 8x4.91 = 71.45 cm2, que implica ρt = 3.53%, bastante elevada. Los resultados del análisis seccional dan: N= 0 Mn = 53 tm N= 270 t Mn = 63 tm

Md = 63 tm x 0.65 = 41 tm

Es decir cubre el 98 % del Mu. Sin embargo, si se evalúa ahora nuevamente la rigidez a flexión (EI) con la nueva armadura para la columna central:

I se = ( 2 x 4.91 + 2 x8.04) x182 x 2 + 2 x 4.91x 62 x 2 = 17490cm 4 0.2 x 235 x 341719 + 2000 x17490 = 51x106 tcm 2 1 + βd por lo que:

EI =

Pc =

π 2 EI ( klu ) 2

=

π 2 51x106 tcm 2 (1.60 x 400) 2 cm

2

= 1227t

∑ Pc = 2 x 682t + 4 x1227t = 6270t y como ∑Pu = 1328t, resulta:

δs =

1 1 = = 1.40 ∑ Pu 1328 1− 1− 0.75 ∑ Pc 0.75 x 6270

que de todas maneras es mayor que el valor de 1.24 obtenido por la alternativa (ii). El diseño, por lo ajustado que está, puede considerarse satisfactorio. Requerimientos adicionales. En la sección 10.13.5 la norma especifica condiciones adicionales a satisfacer que no se tratan en este trabajo, y se remite al lector a la norma y al ejemplo para completar las condiciones de diseño.

57

5.15 ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN PARA EFECTOS DE ESBELTEZ. En general se está de acuerdo que el método de amplificación de los momentos propuesto por el ACI-318 funciona bastante bien cuando es aplicado a pórticos arriostrados. Su extensión a pórticos con desplazamiento lateral aparece como más delicado por las posibilidades de error en la evaluación del factor de amplificación. Con la disponibilidad de computadoras y programas sofisticados de análisis estructural, el ACI-318 estimula obtener directamente los efectos de esbeltez a partir de análisis no lineales que tengan en cuenta el efecto P-∆, en particular para pórticos no arriostrados. De todas maneras, la norma impone dos limitaciones adicionales que aparecen en la sección 10.01.1 y se remite al lector a su lectura. Existen varios programas disponibles que llevan a cabo análisis completos no lineales, incluyendo los efectos de las deformaciones. Sin embargo, programas más simples se pueden utilizar para llevar a cabo análisis no lineales mediante pasos iterativos de sucesivos análisis lineales. Fig 5.24. Pórtico sometido a cargas horizontales y verticales.

La Fig. 5.24 muestra un pórtico simple sometido a cargas horizontales H y cargas verticales P. El desplazamiento horizontal ∆ inducido por las cargas (sea por H y/o por la no simetría de cargas verticales) se puede obtener mediante un análisis de primer orden, con las rigideces de los elementos según especifica la norma. A medida que el pórtico se desplaza lateralmente, los momentos en los extremos de las columnas deben equilibrar los inducidos por las cargas horizontales y además un momento de “piso” igual a (∑P)∆: es decir:

∑(Msup+Minf) = Hlc + ∑P∆ donde ∆ es el desplazamiento relativo entre la parte superior e inferior del piso. El momento ∑P∆ puede representarse por fuerzas cortantes horizontales equivalentes (∑P)∆/lc, donde lc es la altura del piso. Las fuerzas asociadas a este desplazamiento deben sumarse a las acciones horizontales H y la estructura debe entonces analizarse de nuevo, obteniendo nuevos valores de desplazamiento y momentos incrementados. Se pueden llevar a cabo varios pasos iterativos. Si con respecto al análisis previo los desplazamientos de piso con las nuevas cargas aumentan significativamente, por ejemplo en más del 5 por ciento, deben nuevamente repetirse uno o más iteraciones hasta que los cambios sean insignificantes. En general, con pocas iteraciones basta. La ref.[2] aclara que algunos autores sugieren una corrección en el análisis debido a que el diagrama de momentos P∆ real debería tener la misma forma que la columna deflectada, pero en el análisis con fuerzas horizontales equivalentes el diagrama es lineal. Por ello, como el real diagrama de momentos es mayor, las deformaciones deberían ser mayores. Se sugiere entonces que las fuerzas horizontales equivalentes sean incrementadas en un 15 % con respecto a los valores que se obtienen después de cada iteración.

58

5.16 BREVE COMENTARIO SOBRE LAS CONSIDERACIONES SOBRE COLUMNAS ESBELTAS SEGÚN LAS NORMAS DIN. 5.16.1 INTRODUCCIÓN. Las normas DIN aceptan la aplicación del cálculo simplificado para el caso de columnas esbeltas en reemplazo de la teoría de segundo orden dado la complejidad de esta para su aplicación. Para tener en cuenta los efectos de segundo orden se adiciona a la excentricidad inicial e un valor de excentricidad f, el cual nos dará un momento de diseño mayorado con respecto al que se obtuvo del análisis estructural de primer orden, con lo cual en suma la filosofía para resolver el problema del pandeo en columnas de hormigón armado es similar a la utilizada por el código ACI-318. Sin embargo las consideraciones en detalle y la definición de esbeltez límite para cada caso como así también el criterio para discernir cuando una columna pertenece a estructura con o sin nudos desplazables es diferente de lo estipulado en el ACI. 5.16.2 CRITERIO DE RIGIDEZ LATERAL. Las normas DIN establecen que una estructura porticada de hormigón armado puede considerarse como indesplazable cuando la restricción lateral esta impuesta por tabiques de arriostramiento tal que se cumple la siguiente condición: h.

h.

N < 0.6 Et .I

para n > 4.0

N < 0.2 + 0.1n Et .I

para 1.0 < n < 4.0 h: altura del edificio desde nivel de fundación de los tabiques de arriostramiento hasta la parte superior de la estructura. N: suma de cargas verticales actuando sobre el edificio. Et.I: suma de rigideces de flexión de todos los tabiques de arriostramiento, calculando los momentos de inercia con la sección bruta de hormigón de cada tabique (estado I). n: número de pisos. 5.16.3 OBTENCIÓN DEL FACTOR DE ESBELTEZ. La esbeltez queda definida, al igual que lo hace el código ACI, de esta manera:

k .Lu r donde r= 0,289b y r= 0,25D para secciones rectangulares y circulares respectivamente.

λ=

5.16.4 EXCENTRICIDAD DE LAS CARGAS. La excentricidad de las cargas que actúan sobre las barras queda definida como se ilustra en Fig. 5.16 como la mayor excentricidad que resulte de considerar el tercio medio central del pilar. Las expresiones a usar son:

es =

M o + 2M s 3P

59

ei =

2M o + M s 3P

Mo y Ms se deben utilizar con sus signos para obtener las excentricidades es y ei, las cuales luego son comparadas en sus valores absolutos y de ellas se adopta la mayor como excentricidad de las cargas de la barra. 5.16.5 DEFINICIÓN DE COLUMNA ESBELTA DE ACUERDO A NORMAS DIN. En estas normas se estipula que se puede obviar la consideración del efecto de segundo orden si se cumple al menos una de estás condiciones: a. para pórticos de nudos desplazables: si λ ≤ 20 b. o siendo λ > 20 si 1 e/d > 3.5 para 20 < λ ≤ 70 o bien si 2 e/d > 3.5 λ/70 para λ > 70 lo cual implícitamente supone la disminución de los efectos de segundo orden en barras a flexo-compresión con flexión importante. c. para columnas de nudos indesplazables el pandeo no se considera si:

λ < 45 − 25

M1 M2

Fig. 5.25. Criterio para definir excentricidad de cargas según DIN 1045.

sk/3

(Mo+2Ms)/3p

sk/3

Ms/p

5.16.6 OTRAS CONSIDERACIONES. sk/3

(2Mo+Ms)/3p

Cuando λ > 45 la columna debe dimensionarse con M 2 > M 1 > 0, 2.P.d

para λ > 100 debe hacerse análisis especial. la deformación diferida del hormigón puede considerarse si se cumple al menos una de las siguientes condiciones: Mo/p

no

e/d > 2.0 λ < 45 para caso de nudos desplazables. λ < 70 para caso de nudos indesplazables. establecen las normas DIN que una columna debe considerarse con una excentricidad no prevista de: eu = sk / 300 donde sk es la longitud efectiva de pandeo.

60

5.17 BIBLIOGRAFÍA [1] “Mechanics of Materials”. E. P. Popov. Prentice Hall, Inc. 1957. [2] “Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Structures”. T. Paulay and M.N.J. Priestley. John Wiley & Sons. 1992. [3] INPRES CIRSOC-103-II-2005. Reglamento Argentino para Construcciones Sismo Resistentes. Julio 2005. Código y Comentarios. [4] CIRSOC 201 y sus comentarios. Reglamento Argentino de Estructuras de Hormigón. Noviembre 2005. (Basado en ACI-318-2005). [5] “Analysis and Design of reinforced concrete columns”. W.B. Cranston. Research report 20. Paper 41020 CCA. London 1972. [6] “Diseño de Estructuras de Concreto”. Arthur H. Nilson. Mc Graw Hill – 12th. Edición. 1999. [7] “Estructuras de Hormigón Armado”. Tomo I. Fritz Leonhardt. El Ateneo. 1988. [8] “Reinforced Concrete Structures”. R. Park and T. Paulay. John Wiley and Sons. 1975. [9] “Cálculo límite de vigas y estructuras porticadas”. Ing. Alberto Hugo Puppo. [10] “ Design of slender columns”. J. G. Mac Gregor, J. Breen and E. O. Pfrang. Journal ACI Vol. 67. Nº1. Enero 1970. [11] “Columns slenderness and charts for design”. R. W. Furlong. Journal del ACI Vol. 68. Nº 1. Enero 1971. [12] “ Determination of effective length factors for slender concrete columns”. Breen, Mac Gregor and Pfrang. Journal ACI Vol. 69. Nº 11. Noviembre 1972.