Columnas Con Cargas Axiales Excentricas - TP

 

Universidad Privada del Este – Sede Pdte. Franco – Ingeniera Electromecánica Electromecánica – Mecánica de Materiales

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Columnas.

 

Juan Mereles – 5.745.305, Luis David – 4.449.966.



Resumen – Siempre Siempre que se diseña un miembro constructivo es necesario que satisfaga requisitos específicos de resistencia, flexión y estabilidad. En los capítulos anteriores hemos descrito algunos de los métodos para determinar la resistencia y la deflexión de un miembro, suponiendo que siempre este en equilibrio estable. Sin embargo, hay miembros que pueden estar sometidos a cargas de compresión, y si son largos y esbeltos, la carga puede ser suficientemente grande como para hacer que el miembro se flexione lateralmente, o hacia los lados. Siendo más específicos, los miembros largos y esbeltos sometidos a una fuerza axial de compresión se llaman columnas , y la deflexión lateral que sucede se llama pandeo. Con bastante frecuencia, el pandeo de una columna puede causar una falla repentina y dramática de una estructura o un mecanismo, y en consecuencia se debe poner atención especial al diseño de columnas, para que puedan soportar con seguridad, sin pandearse, las cargas que se pretende.

columna (figura 1a), la carga excéntrica dada se reemplaza por  una fuerza céntrica P y un par  M  A de momento  M  A = Pe   Pe (figura 1b). Es claro que, sin importar lo pequeñas que sean la carga P y la excentricidad e, el par  M  A  causará alguna flexión en la columna (figura 2). A medida que la carga excéntrica se incrementa, tanto el par  M  A como la fuerza axial  Paumentan y ambos provocan que la columna se flexione más. Visto así, el problema del pandeo no es cuestión de determinar cuánto tiempo la columna va a permanecer recta y estable bajo una carga creciente, sino cuánto puede flexionarse la columna bajo carga creciente, sin que el esfuerzo permisible sea excedido y sin que la deflexión máxima ymáx máxima  sea excesiva.  ymáx sea

Índic Índ icee de Términ Términos os – cargas cargas,, pandeo pandeo,, fle flexió xión, n, compre compresió sión n columnas.

I.

INTRODUCCIÓN

E

n los trabajos trabajos anterior anteriores es existían existían dos preocupaci preocupaciones ones  primarias: 1) la resistencia de la estructura, es decir, su capa capaci cida dadd pa parra sost osten eneer una car arga ga espec specif ific icaada sin experi exp erime menta ntarr esfuer esfuerzos zos excesi excesivos vos;; 2) la ca capac pacida idadd de la estruc estructur turaa para para sosten sostener er una car carga ga especi especific ficada ada si sinn suf sufrir  rir  deformaciones inaceptables. En este trabajo se analizará la estabilidad de la estructura, esto es, su capacidad para soportar  una car carga ga dada dada sin experime experimenta ntarr un cambio cambio súbito súbito en su configurac confi guración. ión. El análisis análisis se referirá referirá principal principalmente mente a las co colu lumn mnas as,, es de deci cir, r, al es estu tudi dioo y di dise seño ño de el elem emen ento toss  prismáticos verticales verticales que soportan soportan cargas axiales. axiales. II.

Figura 1

MARCO TEÓRICO.

Hemos analiz Hemos analizado ado las col column umnas as ide ideale ales, s, donde donde las carg cargas as ac actú túan an a tr trav avés és de dell ce cent ntro roid idee de la se secc cció iónn tran transv sver ersa sal. l. Ba Bajo jo es esta tass co cond ndic icio ione nes, s, la lass co colu lumn mnas as  permanecen rectas hasta que se alcanzan las cargas críticas; después, el pandeo se presenta. Ahora se estudiará el problema del pandeo de las columnas en una forma diferente, esto es, observando que la carga P aplicada a una columna nunca es perfectamente céntrica. céntrica. Llamando e a la excentricidad de la carga, es decir, a la distancia que hay entre la línea de acción de P y el eje de la 

 

  Figura 2 Primero se escribirá y resolverá la ecuación diferencial de la curva elástica. Dibujando el diagrama de cuerpo libre de una porción AQ de la columna y escogiendo los ejes, como se muestra (figura 3), se halla que el momento flector en Q es  M =− Py − M A =− Py − Pe

 

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Recordando que  pL  p L  pL sen sen pL =2 sen cos 2

2

Y

− cospL=2 sen

1

2

  pL 2

y sustituyendo en la ecuación, se obtiene, luego de las simplificaciones  A =e tan pL Figura 3 Sustituyendo este valor de M en la ecuación

2

Sustituyendo A y B en la ecuación, se obtiene la ecuación de la curva elástica:   pL

d  y

 y = e ( tan

Trasponiendo el término que contiene a  y y haciendo

El valor de la deflexión máxima se halla haciendo x = L/2 en la ecuación. Se tiene

 P  EI  se tiene,

 y max =e ( tan

2

 M  − P  Pe = =   y − 2  EI  d  x  EI   EI 

 p

2

=

sen

2

d  y 2

d  x

2

2

+ p  y =− p e

2

2

 pL 2

¿e(

senpx + cospx −1 )

  pL 2

sen 2

+ cos

cos

  pL 2

+ cos

  pL 2

  pL 2

 pL

− 1)

2

La solución general de la ecuación ecuac ión será  y = A sen px + B cos  px −e

 y max =e ( sec

Las constantes A y B se obtienen de las condiciones de frontera de la figura 4.

Se escribe

  pL 2

[ (√

 y max =e sec  A.

−1 )

 P  L )− 1  EI  2

]

ORMULA  DE  DE   LA LA SECANTE   PARA PARA COLUMNAS   F ORMULA

Haciendo x =0, y = 0 en la ecuación, se tiene B= e

Haciendo luego x = L, y = 0, se escribe  A sen pL =e ( 1−cos pL )

−1)

Figura 2

2

 

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 El esfuerzo máximo en la columna se puede determinar al tener en cuenta que se debe tanto a la carga axial como al momento, figura 2. El momento máximo está en el punto medio de la columna, y de acuerdo con las ecuaciones de Euler, su magnitud es:  M =| P  P ( e + v máx )|

√

  P  L ¿ )¿  EI  2 El esfuerzo máximo de la columna es de compresión, y su valor es

 M = Pe sec (

σ max=

 P  P  M c  +  ; σ max= P  + ec  sec  A  I   A  I 

( √  )   P  L  EI  2

 I   A anterior se puede escribir en una forma llamada formula de la secante :

Como el radio de giro se define como r

 [

 P σ max=  A

2

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su punto de fractura. El límite elástico marca, por tanto, el  paso del campo elástico a la zona de fluencia. Más formalme form almente, nte, esto comporta comporta que en una situación situación de tensión tensión uní axial, el límite elástico es la tensión admisible a partir de la cual se entra en la superficie de fluencia del material. C.

Pandeo Inelástico.

Pandeo Inelástico El pandeo inelástico ocurre cuando las columnas pasan del límite proporcional del material. La curva o hipérbola de Euler es válida solo en la región región ST, donde la tensión está debajo del límite proporcional del material σpl. El valor de relación de esbeltez arriba de la cual la curva de Euler es válida se obtiene igualando la tensión crítica a la tensión proporcional σpl. Así la relación de esbeltez crítica está dada por .

=  , la ecuación

(  √  )]

+ ec sec  L   P

1

r

2

2

 EI 

 B. Comportamient Comportamiento o elástico e iinelástico nelástico de las columnas.

Comportamiento inelástico de los materiales El térm términ inoo pl plás ásti tico co se ut util iliz izaa pa para ra de desc scri ribi birr ci cier erta tass expresiones, como carga plástica. El término plasticidad se uti utiliz lizaa para para descri describir bir el compor comportam tamien iento to ine inelás lástic ticoo de un material que presente deformaciones permanentes cuando éste se descarga. El comporta comportamien miento to inelástic inelásticoo del material material puede ocurrir   bajo un estado de esfuerzos multiaxial de un sólido sujeto a accion acc iones es de car carga, ga, aún cuando cuando ningun ningunoo de los esfuerzo esfuerzoss excede el esfuerzo uniaxial del material. La implicación es que, bajo un estado multiaxial de esfuerzos, el inicio de la fluencia o daño está gobernada por otra cantidad, diferente a lasPor componentes esfuerzo lo que esde necesa nec esario rioindividuales. combin combinar ar las compon component entes es de esfuerzo en esfuerzos efectivos uniaxiales. Este esfuerzo efectivo se compara con alguna propiedad del material, generalmente el esfuerzo uniaxial unia xial de fluencia fluencia,, mediante mediante un criterio criterio de fluencia fluencia para  predecir el inicio inicio del comportamiento comportamiento no lineal lineal del material. material. El lími límite te el elás ásti tico co,, ta tamb mbié iénn de deno nomi mina nado do lí lími mite te de elastici elas ticidad, dad, es la tensión máxima que un material material elástico elástico  puede soportar sin sufrir deformaciones permanentes. Si se ap apli lica cann te tens nsio ione ness su supe peri rior ores es a este este lí lími mite te,, el mate materi rial al experimen exper imenta ta deformaci deformaciones ones permanent permanentes es y no recupera recupera su forma original al retirar las cargas. En general, un material sometido a tensiones inferiores a su límite de elasticidad es deformado temporalmente temporalmente de acuerdo con la ley de Hooke.

Las columnas cortas, fallan por fluencia y aplastamiento del material sin que intervengan consideraciones de pandeo o estabilidad. En tal caso, se define una tensión de compresión última σult como la tensión de falla del material, la cual establece un límite de resistencia (línea QR).Las columnas intermedias (RS) fallan por pandeo inelástico, lo cual significa que las tensiones máximas están arriba del límite proporcional cuando se presenta el pandeo. Como se rebasa el límite proporcional la pendiente de la curva tensión -deformación es menor que el módulo de elasticidad de la zona proporcional E. Las columnas largas (ST) fallarán  por pandeo elástico elástico o pandeo de Euler. Euler.

Los materiales sometidos a tensiones superiores a su límite de elasti elasticid cidad ad tienen tienen un compor comportam tamien iento to plá plásti stico. co. Si las tensiones ejercidas continúan aumentando el material alcanza

Diseño de columnas bajo bajo una carga céntrica. céntrica.

 D.

Fórmulas de diseño diseño para columnas.

 

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Durante el último siglo, muchas columnas de acero han sido  probadas aplicándoles aplicándoles una carga axial axial céntrica e incrementando la carga hasta producir la falla. Para cada una de muchas pruebas, se ha marcado un punto con la ordenada igual al esfuerzo normal σ cr  de  de falla y su abscisa igual al valor correspondiente de la relación efectiva de esbeltez Le/r.Aunque hay considerable dispersión en los resultados, se observan regiones correspondientes a tres tipos de falla. Para columnas largas, largas, donde Le/r es grande, la falla se puede predecir con exactitud mediante la fórmula de Euler, yutilizado, el valor de σ cr no  depende del de módulo de elasticidad E del acero pero del límite cedencia σ Y. Para columnas muy cortas y bloques a compresión, la falla ocurre. esencialmente como un resultado de la cedencia, y tenemos σcr  σY Las columnas de longitud intermedia comprenden comprenden los casos en donde la falla depende de σ Y y E. En este rango, la falla de la columna es un fenómeno complejo y se han usado datos de laboratorio para guiar el desarrollo de ecuaciones de diseño y especificaciones.

Diseño de columnas bajo bajo una carga excéntrica. excéntrica. Una carga excéntrica P aplicada en un plano de simetría de la columna puede reemplazarse por un sistema equivalente que consta de una carga céntrica P y un par M de momento M=Pe, donde e es la distancia de la línea de acción de la ca carg rgaa al ej ejee lo long ngit itud udin inal al de la co colu lumn mna. a. Lo Loss esfu esfuer erzo zoss normales ejercidos en una sección transversal de la columna se obtien obt ienen en superp superponi oniend endoo los esfuer esfuerzos zos debido debidoss a la ca carga rga céntrica P y al par M, respectivamente, respectivamente, siempre que la sección considerada no esté muy próxima a ninguno de los extremos de la columna y siempre que los esfuerzos incorporados no exceda exc edann el límite límite de propor proporcio cional nalida idadd del materi material. al. Los esfuerzos normales debidos a la carga excéntrica P se expresan como:

Se halla que el esfuerzo máximo de compresión en la columna es:

Las ecuaciones empíricas que expresan esfuerzos permisibles o esfuerzos críticos en función de la relación efectiva de esbeltez se introdujeron hace más de un siglo y han experimentado un proceso continuo de refinamiento y mejora. Algunas ecuaciones empíricas típicas, utilizadas para aproximar datos de laboratorio. Como una sola ecuación no es adecuada para todos los valores de Le/r, se han desarrollado ecuaciones diferentes, cada una con un rango de aplicabilidad,  para los diversos diversos materiales. materiales. En cada caso debe verificarse que la ecuación que va a usarse es aplicable para el valor de L e/r de la columna seleccionada. Además, debe determinarse si la ecuación proporciona el valor del esfuerzo crítico para la columna, en cuyo caso este valor debe dividirse entre el factor de seguridad apropiado, o si da directament directamentee el esfuerzo  permisible.

a.

Méto Método do del esfu esfuer erzo zo permi permisi sibl ble. e. Este Este método método se basa basa en la hipótesis de que los esfuerzos permisibles para una columna con carga excéntrica son iguales para la misma con carga céntrica. Debe tenerse, por tanto, σmáx meno menorr o ig igua uall a σ perm, donde σ perm  es el esfuer esfuerzo zo  permisible bajo carga céntrica, o sustituyendo por σmáx de la ecuación.

 b.

Método de interacción. Recuerde que el esfuerzo  permisible en una columna sometida a carga céntrica es generalmente menor que el esfuerzo permisible en un unaa co colu lumn mnaa so some meti tida da a flex flexió iónn pu pura ra,, ya qu quee la  primera toma en cuenta la posibilidad del pandeo. Por  ta tant nto, o, cu cuan ando do se ut util iliz izaa el méto método do de dell esfu esfuer erzo zo  permisible para diseñar una columna bajo carga excéntrica y se escribe que la suma de los esfuerzos debidos a la carga céntrica P y al par flector M no debe exceder el esfuerzo permisible para una columna con carga céntrica, el diseño resultante con frecuencia es muy muy co cons nser erva vado dor. r. Es po posi sibl blee un méto método do mejo mejor  r  reescribiendo la ecuación como:

 

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y sustituyendo por σ perm  los va valo lorres corresponden, respectivamente, respectivamente, a la carga:

qu quee

III. CONCLUSIÓN La estructura columnas es algoobjeto que usamos cotidianamente  pues esta es lade base de cualquier o cosa no solo es algo las columnas pueden ser del área de Ingeniería, ya que en el diseño son usadas las columnas como soporte a cualquier  objeto ya que deben tener una resistencia que sea garantía en el diseño y calidad.

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