Columnas 2

 Mecánica de materiales II   M.I. Norberto López Luiz

 Marzo 2011

Columnas Una columna es un elemento que soporta una carga de compresión axial; las bielas de la locomotora y los apoyos verticales de los edificios son ejemplos de soportes o columnas. La falla de una columna se produce por pandeo o deflexión lateral; por ejemplo, la falla de un elemento corto sometido a una compresión se produce por la fluencia del material (aplastamiento) y una barra larga falla al producirse una deflexión lateral o pandeo, debido a la inestabilidad de la barra a una cierta carga crítica ( Pcr ). Por lo tanto un elemento corto soportará una carga mayor que una barra larga. Cuando un elemento se somete a compresión pueden ocurrir tres tipos de fallas: 1. las columnas cortas fallan por aplastamiento del material 2. las columnas largas fallan por pandeo 3. las columnas intermedias fallan por una combinación de pandeo y aplastamiento. Es importante reducir el esfuerzo permisible en relación al pandeo; mientras más larga es una columna para la misma sección transversal, mayor es su tendencia al pandeo y menor su capacidad de carga. La tendencia de un elemento al pandeo se mide por su relación de esbeltez, la cual es la relación entre la longitud del elemento y su menor radio de giro ( L/r ), ), si la columna tiene libertad de giro en ambos extremos, el pandeo ocurre respecto al eje para el cual es mínimo el radio de giro y el momento de inercia.

Carga critica Esta carga es el valor de la fuerza axial suficiente para que un elemento sometido a compresión adopte una forma ligeramente l igeramente flexionada.

 Formula de Euler para columnas La formula de Euler publicada en 1757 por el matemático suizo Leonard Euler, es valida para columnas largas, calcula lo que se conoce como la carga critica de pandeo; es decir, la carga última que puede ser soportada por una columna larga. Sea una columna AB y se busca hallar el valor crítico de la carga P es decir el valor de Pcr  de la carga para para el cual la posición de la siguiente figura 1 deja de ser estable si P > Pcr  la menor falta de alineación o perturbación provocará provocará que la columna se doble es decir que adopte una forma curva figura 2.

Figura 1. Columna posición vertical

Figura 2. Columna flexionada

1

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Para una columna soportada en sus dos extremos por articulaciones sometida a una carga axial P, inicialmente recta, homogénea, de sección transversal constante en toda su longitud y se comporta cumpliendo la ley de Hooke, además, que los esfuerzos son inferiores al limite de proporcionalidad del material, la carga crítica de pandeo es: 2

Pcr  

  

 EI  (1)

2

 L

Siendo: Pcr = carga crítica de pandeo (N, lb) 2 2 E = módulo de elasticidad del material (N/m , lb/plg ) I = menor momento de inercia de la sección transversal de la columna con 4 4 respecto al eje de pandeo (m , plg ) L = longitud de la columna (m, plg)

 Fórmula de Euler para otras condiciones en los extremos La figura 3 muestra los cuatro tipos de condiciones en los extremos más comunes en columnas:

Figura 3. Condiciones de apoyo en los extremos en columnas La longitud L cambia a una longitud efectiva  Le de la columna, según el tipo de apoyo. La Le es la distancia entre los puntos de inflexión de la curva deformada que adopta el eje de la columna. “

” 

 Le  KL

siendo K el factor de longitud efectiva De manera general, la ecuación de Euler se expresa:

Pcr  

  

2

 EI 

 L2



  

2

 EI 

( KL)

(2)

2

2

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Radio de giro. El radio de giro es otra definición matemática que es enteramente útil en la solución de ciertos problemas de mecánica. Es muy común la aplicación de esta cantidad, particularmente con respecto al diseño de columnas. El radio de giro se define como:  I 

r  

(3)

 A

Donde: r = radio mínimo de giro (m, plg) 4 4 I = momento de inercia de la sección (m , plg ) 2 2 A = área de la sección (m , plg ) El radio de giro se determina con respecto a un eje, aquel con respecto al cual se toma el momento de inercia. El radio de giro con respecto a ejes particulares se describe como: r  x 

 I x

r  y 

 A

 I y  A

 Ecuación para el esfuerzo crítico en función de la ecuación de Euler 2

  

cr 



  

E 

 kL     r  

(4)

2

 Preguntas de repaso: 1. Definir que es una columna. 2. Debido a que situaciones puede fallar una columna, mencionar y describir. 3. Que es la relación de esbeltez? 4. Respecto de que eje ocurrirá el pandeo en una columna? 5. Que entiendes por carga crítica? 6. Cuál es la ecuación de Euler para columnas y que se calcula con esta ecuación? 6a. Cuando es válido aplicar la ecuación de Euler para columnas? 7. En base a las condiciones de los extremos de la columna, que es la longitud efectiva, como se afecta la ecuación de Euler. 8. Cuál es el valor del factor de longitud efectiva para las condiciones de los extremos de una columna? 9. Que es el radio de giro de una columna? 10. Cuál es la ecuación que permite calcular el esfuerzo crítico en una columna?  EJEMPLOS: Problema 13.1, página 670, Hibbeler 1ª edición. Problema 13.4, página 669, Hibbeler 1ª edición.

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Diseño de columnas de acero estructural con carga centrada CODIGO AISC Al diseñar una columna se debe elegir la fórmula adecuada de esfuerzos permisibles para esto, el material usado, los códigos y especificaciones bajo los cuales se hace el diseño, proporcionarán esta información. En el diseño se conocen la longitud, las condiciones de los extremos y la carga aplicada. De acuerdo al material, se debe comprobar que la fórmula a usar sea aplicable para la relación de esbeltez de la columna a diseñar, así mismo debe proporcionar directamente el valor del esfuerzo admisible aplicando un factor de seguridad apropiado según las especificaciones. Las columnas de acero estructural se diseñan con base en fórmulas propuestas por el Structural Stability Research Council (SSRC), a las cuales se les aplica un FS y han sido tomadas como especificaciones por el AISC (American Institute of Steel Construction). De acuerdo a ensayos efectuados con el acero se tienen las siguientes fórmulas:

 para

 para

kL r 

kL r 

Si cr = ½ y entonces

 Cc

,

  kL 2        r        1       cr   y 2  2Cc     

[5]

2

 Cc

,

  

cr 



 E 

  

 kL 

[6]

2

    r    kL r 

 Cc por lo tanto, se tiene: 2

Cc   2

2  

E 

2

,

Cc 

2  



E 

[7]

  

   y 

 y 

Incluyendo un factor de seguridad (FS) para obtener las fórmulas de diseño del AISC que define el adm como función de kL/r. Para kL/r  Cc, es decir, para columnas largas se usa un FS constante de 1.92 y se debe considerar el uso de columnas para las cuales kL/r no exceda de 200. kL para Cc    200 r 

,

  

adm 



  

cr  

FS 

2



  

E 

 kL  1.92    r   

[8]

2

El FS para columnas cortas e intermedias se determina.

 3  kL / r   1  kL / r   FS        3  8   Cc   8   Cc   5

3

[9]

4

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Por lo tanto para kL / r   Cc    200 , y de la ecuación (5) se tiene: 2   1  /  kL r      cr     1        ad m FS FS  2   Cc      

  

 y

[10]

De esta manera se puede determinar el adm (axial) para cierta calidad de acero y cualquier valor admisible de kL/r, el procedimiento consiste en: 1. Determinar Cc a partir de la ecuación (7) 2. Verificar que para valores de kL/r > Cc usar ecuación (8) para calcular el adm y/o 3. Verificar que para valores de kL/r 89 puede emplearse la fórmula de Euler para determinar la carga de pandeo, ya que el esfuerzo permanece elástico. Si kL/r < 89 el esfuerzo en la columna excederá el punto de cedencia antes de que ocurra el pandeo, por tanto la ecuación de Euler no es válida de aplicar.

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Figura 4. Grafica de esfuerzo – relación de esbeltez

La carga crítica de una columna se determina usando la fórmula de Euler y se investigan las deformaciones y esfuerzos en las columnas cargadas excéntricamente; las columnas reales no se ajustan a unas idealizaciones, pero el diseño de columnas se basa en ecuaciones empíricas que reflejan los resultados de numerosas pruebas de laboratorio. Las columnas de acero han sido probadas aplicándoles una carga axial céntrica e incrementando la carga hasta producir la falla; los resultados de tales pruebas se representan en la siguiente figura 5.

Figura 5. Resultados de pruebas

donde a cada una de las muchas pruebas se ha marcado un punto con la ordenada igual al valor correspondiente de la relación efectiva de Esbeltez  Le .Aunque hay una r  considerable dispersión en los resultados se observan regiones correspondientes a tres tipos de fallas. Para columnas largas donde  Le es grande, la falla se puede predecir con r  exactitud por la fórmula de Euler y el valor de   cr  depende del módulo de elasticidad E del acero utilizado pero no del límite de fluencia

  

 y

. Para columnas cortas y bloques a

compresión, la falla ocurre esencialmente como un resultado de la fluencia, y tenemos    cr      y . Las columnas de longitud intermedia comprenden aquellos casos en donde la falla depende de

  

 y

y E.

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Acero Estructural Las ecuaciones más usadas para el diseño de columnas de acero bajo carga crítica se encuentran en las especificaciones del AISC. Una expresión parabólica como la ecuación [6] se usa para producir   ad m en las columnas de longitudes cortas e intermedias, y una relación de tipo Euler se utiliza para columnas largas. El esfuerzo admisible en la sección transversal de miembros a compresión cargados aproximadamente, cuando (kL/r), la mayor relación de esbeltez efectiva de una longitud de columna arriostrada es menor que C c. El AISC especifica que la relación de esbeltez de partes a compresión sea menor que 200. La especificación de la relación es la columna de diseño para columnas cortas e intermedias considerando un factor de seguridad variable se toma en cuenta el hecho de que las columnas cortas fallan por aplastamiento y las columnas largas por pandeo procuran ser más consistentes las resistencias de las columnas en el intervalo de (kL/r). Figura 6.

Aplicación de ecuación [10]

Aplicación de ecuación [8]

Figura 6. Aplicación de ecuaciones de acuerdo al tipo de columna

Preguntas de repaso: 1. Las columnas de acero estructural están diseñadas basadas en que códigos? 2. Cuál es el rango para aplicar la ecuación de columna larga, cuánto vale el factor de seguridad para estas columnas? 3. Describe cual es el procedimiento para resolver columnas de acero estructural. 4. Que valores de FS se puede aplicar a la ecuación de J. B Johnson. 5. De acuerdo a las gráficas (kL/r) – σ, cuales son los rangos aceptables para aplicar la ecuación de Euler. 6. Que rangos de relación de esbeltez se consideran para clasificar a las columnas? Ejemplos: Problema 13.4, página 669, Hibbeler 1ª edición, considerar perfil de acero Problema 11.3, página 664, Beer y Johnston, 2ª edición Problema ejemplo 13.3, página 680, Hibbeler, 6ª edición resolver con AISC Ejemplo 13.9, página 698, Hibbeler, 1ª edición

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