Column As

TRABAJO DE INVESTIGACION COLUMNAS

Arellano Ramirez Rafael 214289976 Mecanica de materiales

INDICE

Arellano Ramírez Rafael

DEFINICION.............................................................................................2 CARGA CRÍTICA EN COLUMNAS ARTICULADAS..................................3 RELACIÓN DE ESBELTEZ, ESFUERZO CRÍTICO...................................6 COLUMNAS CON VARIOS TIPOS DE SOPORTE...................................8 COLUMNAS SOMETIDAS A CARGA EXCÉNTRICA................................9 COLUMNAS LARGAS, CORTAS E INTERMEDIAS...............................12 COLUMNAS DE ACERO.........................................................................14 DISEÑO DE COLUMNAS BAJO CARGA AXIAL CÉNTRICA..................14 COLUMNAS DE ALUMINIO...................................................................15 COLUMNAS DE MADERA.....................................................................15 DISEÑO DE COLUMNAS BAJO CARGA AXIAL EXCÉNTRICA.............16 EJERCICIOS............................................................................................17 BIBLIOGRAFIA.......................................................................................22

DEFINICION Una columna es un elemento sometido a compresión, el cual es lo suficientemente delgado respecto a su longitud para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para 2

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romperlo por aplastamiento. En esto se diferencia de un elemento corto sometido a compresión, el cual, aunque este cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral despreciable. Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es igual o mayor a diez veces la dimensión menor de la sección transversal. Las columnas se suelen dividir en dos grupos: largas e intermedias. En algunos casos, los elementos cortos sometidos a compresión se consideran en un tercer grupo: el de las columnas cortas.

CARGA CRÍTICA EN COLUMNAS ARTICULADAS Consideremos una viga articulada en sus extremos mediante rótulas que permiten la flexión en todas las direcciones, tal como se muestra en la figura.

Si aplicamos una fuerza

horizontal “H” en un punto medio de la viga se producirá una deflexión, a la que denominaremos “d”. Supondremos que la deflexión “d” es lo suficientemente pequeña como para que la proyección de la longitud de la columna sobre un eje vertical sea prácticamente la misma, estando flexada la viga.

3

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Supongamos ahora que añadimos una carga axial céntrica a compresión “P” y la hacemos aumentar desde cero, al mismo tiempo que disminuimos la carga “H”, de modo que se mantenga constante la deflexión “d” constante.

M  Pcri   Puede observarse que en la sección transversal que sufre la mayor deflexión, el momento flector es:

La fuerza “Pcri” es la carga necesaria para mantener la viga flexada sin empuje lateral alguno. Un incremento de esta carga, implica a su vez un aumento de la deflexión “d” y viceversa.

M ( x)   Pcri  y Si para el caso anterior designamos como “x” al eje vertical (sobre el que se proyecta la longitud de la viga) e “y” al eje horizontal (sobre el cual se producen las deflexiones), puede plantearse el momento flector de la forma:

4

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El signo (-) se debe a que la deflexión producida es negativa (según la orientación el eje “y”), y el momento flector es positivo.

d 2 y M ( x)  2 dx EI

Recordemos la ecuación de la elástica para vigas de sección transversal

constante:

Luego, sustituyendo “M(x)” de la ecuación 6.2.2 en la ecuación 6.2.3, se obtiene:

d 2 y  Pcri  y  dx 2 EI

5



  Pcri  x   C2  cos EI  

y  C1  sin  

 Pcri  x  EI 

La solución general de esta

ecuación es:



0  C1  sin  

 Pcri  L  EI 

Podemos obtener los valores de las constantes “C1” y

“C2” aplicando las condiciones de frontera. Cuando ‘x=0’ → ‘y=0’, de modo que ‘C2=0’. Al plantear la segunda condición (‘x=L’ → ‘y=0’) queda:

Pcri  L  n  EI

La solución de la ecuación anterior sirve para hallar el valor

de “Pcri”, pues debe cumplirse:

Donde ‘n=1, 2,3…’. En la figura pueden verse distintas formas en que puede pandearse la columna utilizando distintos valores de “n”.

2 EI Pcri  L2

Para efectos de diseño, siempre trabajaremos con ‘n=1’.

De modo que la carga crítica queda expresada de la forma:

A esta expresión se le conoce como la carga crítica de Euler para columnas articuladas.

RELACIÓN DE ESBELTEZ, ESFUERZO CRÍTICO El momento de inercia (“I”) puede expresarse de la forma:

I  A r2

2 E A Pcri  (L / r)2 Donde “A” es el área de la sección transversal y “r” es una propiedad de área denominada radio de giro. Si sustituimos esta ecuación en la expresión 6.2.8, obtenemos:

Donde la proporción “L/r” se conoce como relación de esbeltez de la columna. Más adelante observaremos cómo este parámetro sirve para clasificar un elemento cargado axialmente a compresión como una columna corta, larga o intermedia.

Pcri  2  E    cri A (L / r )2 Si en la expresión 6.2.10 enviamos el término “A” a dividir hacia el lado izquierdo, obtenemos:

Mediante esta ecuación se puede determinar el esfuerzo crítico (“scri”) en una columna, el cual indica el esfuerzo normal con el cual la misma comienza a pandearse.

Obsérvese que los términos variables en esta expresión son la

relación de esbeltez (“L/r”) y el esfuerzo crítico en cuestión.

De modo que

podemos construir una gráfica que nos indique cómo varía dicho esfuerzo en función de la relación de esbeltez en columnas. Como el módulo de elasticidad (“E”) varía para cada material, tendremos distintas curvas para diferentes materiales.

Por ejemplo, en se presentan en la figura las curvas del acero estructural y del aluminio. Es importante observar que para cada material existe una esbeltez que se corresponde con su esfuerzo de fluencia, como se señala en las curvas. A la derecha de estos puntos, puede observarse que el esfuerzo crítico disminuye a medida que aumenta la relación de esbeltez (en otras palabras, se requiere menor carga para que se produzca el pandeo en la columna). A la izquierda de estos puntos, la gráfica no tiene sentido práctico.

COLUMNAS CON VARIOS TIPOS DE SOPORTE En la deducción de la ecuación de Euler, se utilizó como base para el desarrollo de las ecuaciones una columna soportada mediante articulaciones en sus extremos, de manera que la deflexión fuese nula en los mismos.

Dependiendo de los

apoyos a los que se sujete una columna, dichas condiciones de extremo pueden variar, alterando a su vez el desarrollo de las ecuaciones.

Con el objeto de

compensar esto, se utiliza en la ecuación de Euler una longitud denominada Longitud efectiva (“Le”), la cual representa la distancia entre dos puntos de la

columna en los cuales el momento flector es nulo, y se puede determinar mediante la relación:

Le  K  L

Donde “K” es el factor de corrección de longitud efectiva y está tabulado para distintas condiciones de apoyo de columnas.

 cri

2E 2E   2 ( Le / r ) ( K  L / r )2 De manera que la ecuación del esfuerzo

crítico en una columna quedaría planteada de la forma:

Los valores de “K” para las condiciones de apoyo más comunes se ilustran en la figura.

COLUMNAS SOMETIDAS A CARGA EXCÉNTRICA La ecuación de Euler se obtiene a partir de la hipótesis de que la carga (“P”) siempre se aplica en el centroide de la sección transversal de la columna, y que ésta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga). Esta situación es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadas no son perfectamente rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto de aplicación de la carga. Por tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino que comienzan a flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente después de la aplicación de la carga. Consideremos entonces una columna sometida a una carga ejercida con una pequeña excentricidad “e” respecto al centroide de la sección transversal, como se muestra. Podemos plantear una expresión para determinar el momento flector en cualquier sección transversal:

M   Pcri  (e  y ) d 2 y M ( x)  Pcri  (e  y )   dx 2 EI EI viga, queda:

Al plantear la ecuación de la elástica de la



  P  x   C2  cos EI  

y  C1  sin  

 P  x   e EI 

La solución general de esta

ecuación es:



P L   EI 2 

C1  e  tan  

Al plantear los límites de frontera, se obtiene que

cuando ‘x=0’ → ‘y=e’, de modo que ‘C2=e’. Luego, cuando ‘x=L’ → ‘y=e’, de modo que:

  y  e   tan   

 P L    sin  EI 2  

  P  x   cos EI  

  P  x   1 EI  

Finalmente

, la ecuación 6.4.3 queda de la forma:



ymax  e  sec 

P L   EI 2 

La deflexión máxima en la viga ocurre cuando

‘x=0,5L. Si introducimos este valor en la ecuación, obtenemos:

En esta ecuación puede observarse que ‘y=0’ cuando ‘e=0’.

Sin embargo, si la

excentricidad “e” es muy pequeña, y el término dentro de la función trigonométrica la hiciese tender a infinito, “y” tendría un valor no nulo.

Pcri L    EI 2 2

Entonces,

como

‘sec(x)→∞’

cuando

‘x→p/2’,

podemos

plantear:

2 EI Pcri  L2

Finalmente, se puede determinar el valor de la carga crítica:

Nótese que éste es el mismo resultado arrojado para el caso de carga excéntrica (ec. 6.2.8). Es preciso recordar que en caso de trabajar con condiciones de apoyo distintas, se debe trabajar con la longitud efectiva (“Le”) en vez de la longitud nominal (“L”) de la columna.

 max 

 P ( P  ymax )  c P    P  e  sec A I A 

P L c    EI 2  I

Podemos

entonces plantear la ecuación del esfuerzo máximo en la sección de mayor deflexión de la viga:

Recordando que ‘I=Ar2’, podemos reescribir esta ecuación de la forma:

 max 

 P ec  1  2  sec A  r 

P L      E  A 2  r  

A esta ecuación se le conoce como la fórmula de la secante, y sirve para determinar el valor del esfuerzo máximo producido tanto por flexión como por compresión que se produce en la viga. Debe cumplirse: ‘P≤Pcri’.

COLUMNAS LARGAS, CORTAS E INTERMEDIAS Mediante ensayos mecánicos realizados en columnas se ha demostrado que la carga crítica señalada por las ecuaciones de Euler y de la secante puede ser superior a la carga crítica real necesaria para pandear la columna, como muestra el gráfico.

De la gráfica anterior pueden verse con claridad tres zonas que, en función de la relación de esbeltez, permiten clasificar las columnas en tres grupos:

Columnas Cortas. A este grupo pertenecen elementos cargados axialmente a compresión con relaciones de esbeltez muy pequeñas, en los que no se produce pandeo y la falla ocurre cuando ‘smax ≈ sy’. Columnas Intermedias.

Cuando en los elementos cargados comienza a

presentarse el fenómeno de pandeo al éstos experimentar esfuerzos menores a “sy”. La ecuación de Euler no se aproxima satisfactoriamente al comportamiento de la columna, requiriendo esta zona de ecuaciones experimentales complejas para predecir con cierta precisión el valor del esfuerzo crítico (con el cual comienza el pandeo en la columna). Columnas Largas. esbeltez.

Referida a aquellos elementos con grandes relaciones de

La ecuación de Euler describe con precisión aceptable el

comportamiento de estas columnas.

 cri 

1 1  k1  ( Le / r ) En la figura que se muestran algunas tendencias que

pueden usarse para determinar el esfuerzo crítico en columnas intermedias. Nótese que la dificultad en el uso de estos criterios radica en determinar con exactitud los límites de la relación de esbeltez en los cuales son válidos. Fórmula de Gordon-Rankine:

 cri   2  k 2  ( Le / r ) Aproximación lineal:

 cri   3  k3  ( Le / r ) 2 Aproximación parabólica:

DISEÑO DE COLUMNAS BAJO CARGA AXIAL CÉNTRICA Como se mencionó anteriormente, el uso de la fórmula de Euler para el diseño es completamente válido si la columna a tratar es perfectamente recta, hechas de un material completamente homogéneo, en las que los puntos de aplicación de la carga son perfectamente conocidos. En realidad, esto no ocurre así. Para compensar todas imperfecciones que tienen las columnas reales, se utilizan códigos de diseño, los cuales son productos de ensayos mecánicos que se llevan a cabo simulando condiciones reales de construcción y trabajo de elementos sometidos a cargas axiales de compresión. A continuación mostraremos algunos ejemplos de códigos de diseño para columnas hechas de distintos materiales.

COLUMNAS DE ACERO Las columnas de acero estructural se diseñan con base en fórmulas propuestas por el Structural Stability Research Council (SSRC). A dichas formulas se le ha aplicado factores de seguridad convenientes, y el American Institute of Steel

Construction (AISC) las ha adoptado como especificaciones para la industria de construcción. Para columnas largas, se utiliza la ecuación de Euler con un factor de seguridad de 12/23:

 K L    r 

c

K L   200  perm r

12   2  E  23  ( KL / r )

Para

 K L    r 

  c

2E y Donde el valor mínimo de relación de esbeltez efectiva

válido para la relación viene dado por:

En columnas con relaciones de esbeltez menores se usa un ajuste parabólico, con un factor de seguridad dictado por una compleja relación:



 perm 

( KL / r ) 2   1 2 ( KL / r ) c  

 5 3 ( KL / r ) 1 ( KL / r ) 3        3 8 ( KL / r ) 8 ( KL / r ) c 3  c 

K L  K L   r  r 

c

Para

COLUMNAS DE ALUMINIO

0

K L  12  perm r

 28ksi La Aluminium Association especifica el

diseño de columnas de aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo de aluminio hay un juego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación común de aluminio (2014-T6) se usa: Para

K L  55  perm r

12 

  30,7  0,23  ( KL / r ) ksi Para

55 

54000ksi K L  perm  ( KL / r ) 2 r Para

COLUMNAS DE MADERA

0

K L  11  perm d

 1,20ksi Las Aluminium Association especifica

el diseño de columnas de aluminio por medio de tres ecuaciones. Par cada tipo

de aluminio hay un juego específico de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso de la aleación común de aluminio (2014-T6) se usa: Para

 perm



1  KL / d   1,20  1    3 26 , 0   



2

 ksi 11  K  L  26  

d

Para

 perm 

5400ksi K L  50 2 26  ( KL / d ) d

Para

DISEÑO DE COLUMNAS BAJO CARGA AXIAL EXCÉNTRICA Existen varias formas de tratar casos donde la carga en la columna es excéntrica. Trataremos en esta ocasión los métodos más comunes: el método del esfuerzo admisible y el método de interacción.

 max 

P M c  A I

Método del esfuerzo admisible. En este caso, se comparan

del esfuerzo máximo producido en la viga y el esfuerzo admisible dictado por la ecuación de Euler. El esfuerzo máximo vendría dado por:

2 E  adm  (L / r )2 El esfuerzo admisible según la ecuación de Euler:

 max  adm Y debe cumplirse:

Método de Interacción. Se llama así pues en él se observan cómo interactúan las tensiones producidas por la carga de compresión y por el momento flector ejercidos en la viga.

 P  A 

 adm  axial

 M c  I   1  adm  flexión En este caso, la condición que debe cumplirse es:

Donde “[sadm]axial”

y “[sadm]flexión” se calculan a partir de códigos de diseño

estipulados para carga axial y carga excéntrica respectivamente. diferencia del caso anterior.

EJERCICIOS

Note que a

1. Una columna corta rectangular de hormigón armado, de 40 cm x 60 cm, está sometida a una carga axial última Pu de 150 T y a un momento flector último Mu de 50 T-m en la dirección más larga de la sección transversal de la culumna (alrededor del eje principal más corto). El hormigón tiene una resistencia a la rotura f’c de 210 Kg/cm2 y el acero tiene un esfuerzo de fluencia Fy de 4200 Kg/cm2. Definir el armado longitudinal requerido para resistir estas solicitaciones. El recubrimiento mínimo del acero es de 4 cm, al que debe añadirse el diámetro de los estribos que puede estimarse en 0.8 cm, y suponiendo un diámetro de las varillas longitudinales de 25 mm, se tiene una distancia aproximada desde la cara exterior de la columna hasta el centro de gravedad de las varillas de 6 cm (4 cm + 0.8 cm + 1.25 cm = 6.05 cm). Adicionalmente se puede suponer una distribución igual del número de varillas en las cuatro caras de la columna, como en el siguiente gráfico:

Se determina el factor de dimensión del núcleo (g) en la dirección de acción del momento flector: g = 48 cm / 60 cm = 0.80 Se calculan la abscisa y la ordenada para utilizarlas en los diagramas auxiliares para columnas rectangulares adimensionales:

Se escoge el gráfico # 3 de los Diagramas de Interacción Adimensionales para Columnas Rectangulares, para la determinación del armado de la columna, el que está definido por f’c = 210 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.80, y 20 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras (6 varillas en cada cara). En el gráfico se busca el punto de coordenadas x = 0.165, y = 0.298. El punto mencionado se ubica entre las curvas de interacción con cuantías de armado total de 0.02 y 0.03, lo que al interpolar gráficamente proporciona una cuantía de armado para la columna r t = 0.025, que por ser mayor a la cuantía mínima en columnas (r mín = 0.01), e inferior a la cuantía máxima en zonas sísmicas (r máx = 0.06), es un valor aceptable. Además, por aspectos de economía en el diseño, una cuantía de armado del 2.5% es razonable.

La sección transversal de acero es: As = r t . b . t = 0.025 (40 cm) (60 cm) = 60.00 cm2 La distribución escogida inicialmente determina que se requerirán 20 varillas de hierro de 20 mm de diámetro, lo que proporciona 62.8 cm2 de sección transversal de acero (ligeramente superior a la cantidad requerida).

También podrían escogerse 16 varillas de 22 mm que proporcionan 60.79 cm2 de acero, lo que significa 5 varillas en cada cara de la columna, que no está muy alejado de la hipótesis inicial de 6 varillas en cada cara.

2. Diseñar una columna zunchada corta cuyo diámetro es de 60 cm, que está sometida a una carga axial última Pu de 160 T y a un momento flector último Mu de 55 T-m, si la resistencia del hormigón f’c es 210 Kg/cm2 y el esfuerzo de fluencia del acero Fy es 4200 Kg/cm2.

Con un recubrimiento de 4 cm, un zuncho de aproximadamente 8 mm de diámetro y un diámetro de las varillas longitudinales de 25 mm, se tiene una distancia de 6 cm. desde la

superficie exterior de la columna al centroide de cada varilla principal de acero, por lo que el factor de dimensión del núcleo g es: g = 48 / 60 = 0.80

La sección transversal geométrica de la columna circular es: Ag = (60)2 p / 4 = 2827.43 cm2 Se calculan la abscisa y la ordenada para utilizarlas en los diagramas auxiliares para columnas zunchadas circulares adimensionales:

Se escoge el gráfico # 3 de los Diagramas de Interacción Adimensionales para Columnas Zunchadas Circulares, para la determinación del armado de la columna, el que está definido por f’c = 210 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.80, y 20 varillas distribuidas uniformemente en toda la periferie. En el gráfico se busca el punto de coordenadas x = 0.154, y = 0.269. El punto mencionado se ubica entre las curvas de interacción con cuantías de armado total de 0.02 y 0.03, lo que al interpolar gráficamente proporciona una cuantía de armado para la columna r t = 0.0225, que por ser mayor a la cuantía mínima en columnas (r mín = 0.01), e inferior a la cuantía máxima para zonas sísmicas (r máx = 0.06), es un valor aceptable. Además, por aspectos de economía en el diseño, una cuantía de armado del 2.25% está por debajo del máximo recomendado de 2.5%.

La sección transversal necesaria de acero es: As = r t . Ag = (0.0225) (2827.43) = 63.62 cm2 La distribución escogida inicialmente determina que se requerirán 20 varillas de hierro de 20 mm de diámetro, lo que proporciona 62.80 cm2 de sección transversal de acero.

BIBLIOGRAFIA



Resistencia de Materiales - Pytel - Singer



Mecánica de Materiales – Timoshenko



http://www.efn.unc.edu.ar/departamentos/estruct/mec1_ic/cap9.pdf



http://www.ingenierocivilinfo.com/2010/02/columnas.html



http://columnasdeacero-moreno.blogspot.com/2011/11/formulasempiricas.html



https://es.scribd.com/doc/55133049/Ejercicios-Resueltos-Columnas-as