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PASO 2 - REALIZAR EL DISEÑO DINÁMICO DE UN ROBOT MANIPULADOR
LUIS EDUARDO URRESTE MELO COD. 6322073
TUTOR:
MANUEL ENRIQUE WAGNER
Curso:
ROBÓTICA AVANZADA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD UNAD CEAD – PALMIRA PALMIRA Noviembre de 2017
INTRODUCCIÓN
En esta actividad se estudiará la dinámica de los robots, la cual se encarga de dos situaciones en particular. Una situación se encarga de la dinámica inversa, la cual consiste en entregar los parámetros geométricos inerciales del robot, así como los movimientos de las articulaciones, en conclusión, determina tres variables que son; la posición, la velocidad y la aceleración. La otra situación se encarga de la dinámica progresiva o directa, donde se obtienen las aceleraciones de las articulaciones, según los parámetros geométricos e inerciales. En esta sección se define en primera instancia la cantidad de movimiento lineal y angular de un cuerpo rígido. Esto se usará para la derivación de las ecuaciones de Newton-Euler (NE) del movimiento de un sistema robótico determinado. Basada en las ecuaciones NE, se presenta un método recursivo para el análisis dinámico, que es útil para el control del robot.
OBJETIVOS.
Entender para qué sirve la implementación de un modelo dinámico en un robot.
Entender lo que es la dinámica inversa y la dinámica progresiva o directa en los robots.
Analizar el problema planteado de acuerdo al algoritmo de Newton Euler
Realizar una simulación del modelo dinámico de un robot.
PASO 2 - REALIZAR EL DISEÑO DINÁMICO DE UN ROBOT MANIPULADOR
Pasos, fases o etapa de la estrategia de aprendizaje a desarrollar El trabajo a desarrollar en esta segunda unidad consta de 5 pasos:
Fase 1: Revisar los temas de la Unidad 2 del curso, haciendo uso de las referencias bibliográficas dadas en el entorno de conocimiento.
Fase 2: Consultar los comandos utilizados para el desarrollo de modelos dinámicos de robots con MATLAB.
Fase 3: Analizar el problema planteado de acuerdo al algoritmo de Newton Euler. Fase 4: Utilizar MATLAB para el desarrollo del problema planteado. Fase 5: Socializar y consolidar en un solo documento, el desarrollo del problema planteado. Actividades a desarrollar Problema Para el desarrollo del siguiente problema se recomienda apoyarse en MATLAB. Hallar los resultados de simulación del modelo dinámico (algoritmo computacional Newton Euler) para un robot manipulador de tres eslabones mientras que no se le aplique ningún par de torsión y nada más la gravedad esté actuando en él; las condiciones iniciales para las coordenadas generalizadas son:
1(0)= 2(0)= 3(0)=0 1̇(0)= 2̇(0)= 3̇(0)=0
/
Tomar los parámetros geométricos e inerciales como:
1= 2=1 3=0.5 1= 2=1 3=0.5
PASO 2 - REALIZAR EL DISEÑO DINÁMICO DE UN ROBOT MANIPULADOR Grados de libertad El robot será del tipo manipulador, y contará con cuatro eslabones y tres grados de libertad (movimiento que puede realizar cada articulación con respecto a la anterior). Cada uno de los grados de libertad será una articulación del tipo rotacional (o rotativa). Tanto los tres primeros eslabones como las tres articulaciones (o grados de libertad para este caso) servirán para posicionar el extremo del robot en la posición deseada y permitirá realizar ejercicios de posicionamiento espacial.
Estructura Mecánica Un Robot está constituido por una serie de elementos o eslabones unidos mediante articulaciones que permiten un movimiento relativo entre cada dos eslabones consecutivos. La constitución física de la gran parte de los robots industriales guarda cierta similitud con la anatomía del brazo humano, es decir, que poseen ciertas características antropomórficas, por lo que en ocasiones a los distintos elementos que componen el robot se les denomina en términos como cuerpo, brazo, codo, muñeca. Cada articulación provee al robot de al menos
un ‘grado de libertad’, o bien, cada uno de los movimientos independientes que puede realizar cada articulación con respecto a la anterior, se denomina "Grado De Libertad" (GDL).
El movimiento de cada articulación puede ser de desplazamiento, de giro o una combinación de ambos. De este modo son posibles seis tipos diferentes de articulaciones:
Esférica o Rótula (3 GDL)
Planar (2 GDL)
Tornillo (1 GDL)
Prismática (1 GDL)
Rotación (1 GDL)
Cilíndrica (2 GDL)
Tipos de Configuraciones Configuración cartesiana: Posee tres movimientos lineales, es decir, tiene tres grados de libertad, los cuales corresponden a los movimientos localizados en los ejes X, Y y Z. Los movimientos que realiza este robot entre un punto y otro son con base en interpolaciones lineales. Interpolación, en este caso, significa el tipo de trayectoria que realiza el manipulador cuando se desplaza entre un punto y otro. A la trayectoria realizada en línea recta se le conoce como interpolación lineal y a la trayectoria hecha de acuerdo con el tipo de movimientos que
tienen sus articulaciones se
le llama interpolación por articulación.
Fig. 2 Configuración Cartesiana del robot. (Tomado de: – http://irinayraul.blogspot.com.co/2012/03/configuraciones-de-un-robot-industrial.html)
CÁLCULOS DEL DISEÑO DEL MODELO DINÁMICO DEL ROBOT.
0,1,2
En la gráfica 1 se puede observar un manipulador con tres articulaciones, la asignación de marcos, los ejes de los marcos referenciales {0}, {1}, {2}, son paralelos y en la misma dirección de los ejes de las tres articulaciones apuntando hacia afuera. Por consiguiente los parámetros y los son todos nulos. En la tabla 1 se muestran los parámetros obtenidos para el ejemplo.
i 1 2 3
1 12 23 0 0 0
0
0 0 0
Tabla 1.
Figura 1 Tenemos para un robot de 6 articulaciones, parametrizamos dichas articulaciones
Figura 2.
i 1 2 3 4 5 6
1 12 23 3 45 6
0 -90 0 -90 90 -90
0
0 0 Tabla 2.
0 0 d3 d4 0 0
MODELAMIENTO CINEMÁTICO DE UN ROBOT SCARA.
Figura 3.
REALIZAR LOS CÁLCULOS NECESARIOS PARA EL MODELO DINÁMICO. CALCULO PARA 3 ARTICULACIONES:
A partir de la Figura 1.
Sean
cos sin 1 1 0 0 01 10 10 01 00 01 20 00 11 12 20 20 10 00 03 30 00 21 23 30 30 10 00 0 0 01 y
, las matrices de transformación serán las siguientes.
123 123 0 1 1 2 2 03 011223 1230 1230 0 111 022 0 0 0 1 1212 1212 1212 1231231213 123 123 123 1 1 0 0 2 2 0 1 01 11 10 01 00 12 20 20 10 00 03 30 00 21 40 40 00 31 23 31 30 10 30 34 40 40 10 40 0 001 0 001 6 6 0 0 5 5 0 0 45 50 50 10 00 56 60 60 10 00 0 0 0 1 0 0 01 06 0001 1111 22121233123 12331314123 4123 22 323
Entonces el modelo directo seria:
Y por último expresamos:
Cálculo para 6 articulaciones.
El modelo directo seria por producto de matrices:
Podemos decir que
Se emplea la convención D-H para su análisis del robot scara de cuatro articulaciones.
1 1 2 02 4 04 0001 I 1 2 3 4
0
di d2 0 d3 0 Tabla 3
0 0 0 0
Empleando el procedimiento usado en los ejemplos anteriores podemos deducir:
En ejemplo anterior no se explicó para el modelamiento SCARA resulta necesario
Ahora desarrollamos las ecuaciones de la matriz:
También podemos encontrar modelamientos ya diseñados dependiendo del modelo y el número de articulaciones.
ENERGÍA CINÉTICA Y ENERGÍA POTENCIAL DE ROBOTS El modelo dinámico tiene por objetivo conocer la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismo. Establece la relación matemática entre: La localización del robot definida por sus variables articulares o coordenadas de su extremo. Las fuerzas y pares aplicadas en las articulaciones o en el extremo del robot. Los parámetros dimensionales como longitud, masas e inercias de los elem entos del robot. Obtener el modelo dinámico del robot es complejo, sin embargo en imprescindible para:
Simulación del movimiento. Diseño y evaluación de la estructura mecánica del robot. Dimensionamiento de los actuadores. Diseño y evaluación del control dinámico del robot
MODELO DINÁMICO DE LA ESTRUCTURA DE UN ROBOT El modelo dinámico se basa fundamentalmente en la segunda movimientos de rotación en la ley de Euler.
ley de Newton, para
∑ ∑ ̇ ×
Del planteamiento del equilibrio de fuerzas y pares, se obtienen los modelos:
()
Modelo dinámico directo: expresa la evolución temporal de las coordenadas articulares del robot en función de las fuerzas y pares que intervienen
Modelo dinámico inverso: determina las fuerzas y pares determinado por
.
()
.
El equilibrio de fuerzas de un robot real de 5 o 6 grados de libertad es mas complicado, deben tomarse en cuenta fuerzas de inercia, gravedad, fuerzas centrípetas y fuerzas de Coriolis. Como alternativa se puede utilizar la formulación Lagrangiana basada en consideraciones energéticas, es sistemático y facilita la formulación de un modelo complejo de un robot.
Ecuación de la formulación Lagrangiana
íó é í ̇ Donde:
.
.
.
.
.
Cualquiera que sea el procedimiento para obtener el modelo dinámico del robot, esta presente la forma:
̈ ` ó , ̇ × , ̇ ×1 ú × 1 , ̇ ∑= ∑= ℎ̇̇ Donde:
q
.
.
.
.
.
.
El vector de pares , supone pares efectivos, por lo tanto:
Los elementos de
,
, pueden obtenerse a partir de
con
MÉTODO NEWTON-EULER
,
, mediante:
La formulación de elemento:
Newton-Euler parte del equilibrio de fuerzas y pares para cada
∑ ̇ ∑ ̇ × , } , ̇ ó ó , ̇ ó ó Donde:
.
.
.
.
.
.
El algoritmo se basa en operaciones vectoriales, siendo mas eficiente, el orden de complejidad computacional es , que indica que depende directamente del número de
grados de libertad
N-E1. Asignar a cada eslabón un sistema de referencia de acuerdo con las normas D-H. N-E2. Establecer las condiciones iniciales:
} ̇ 0 0 0 ó 0 0 0 ̇ 0 0 0 ̇ } 0,0,9,8 + + } , sin, cos } Para el sistema de la base
,
,
son nulos salvo que la base del robot este en movimiento. vector de gravedad expresado en el sistema (con valor de
). Para el extremo se conocerá la fuerza y el par ejercidos vector expresado en
y
.
coordenadas del centro de masa del eslabón respecto al sistema
.
} ( )− 1… } ó ̇) ( ó } ( ̇ ̈ ) ̇ ó × ̇ ̇ ̇ó ̇ × × ( × )ó ( ̈ ̇ 2 ×ó ̇ × ( × ) ) × ̇ × × ( × ) ̇ …1
()
matriz de inercia del eslabón expresado en un sistema paralelo al origen en el centro de masas del eslabon.
N-E3. Obtener las matrices de rotación
Para
y sus inversas
siguiendo:
, realizar de 4-7.
N-E4. Obtener la velocidad angular del sistema
N-E5. Obtener la aceleración angular del sistema
:
:
N-E6. Obtener la aceleración lineal del sistema :
N-E7. Obtener la aceleración lineal del centro de gravedad del eslabón :
Para
realizar los pasos del 8 al 10.
N-E8. Obtener la fuerza ejercida sobre el eslabón :
y con el
+ + +[ ×(+ )( )× +] ( )× ó ó
N-E9. Obtener el par ejercido sobre el eslabón :
N-E10. Obtener la fuerza o par aplicado a al articulación :
Donde es el par o fuerza efectiva (par motor menos pares de rozamiento o perturbación).
UTILIZAR UNA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL COMO MATLAB, PARA REALIZAR TODOS LOS CÁLCULOS MATEMÁTICOS.
Representación en Matlab D-H, La herramienta de robot para Matlab permite definir un robot usando la notación D-H. % programa realizado por luis Eduardo Urreste unad L1=Link([xi, ?i, ?i, di, Articulación],`standard`) xi, Angulo de rotación con respecto al eje Xi ?i, Traslación a lo largo del eje Xi. ?i, Rotación alrededor del Eje Zi-1 di, Traslación a lo largo del Eje Zi-1 L1=link([0,1,0,0,0],'standard') L={L1} r=robot(L) plot(r[0]) view([0,0]) pause view(0,90) syms theta d a alpha % MTH con rotacion alrededor del eje Z rotz = [cos(theta) -sin(theta) 0 0 sin(theta) cos(theta) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1] % MTH con translacion a lo largo del eje Z pz = [1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d 0 0 0 1] % MTH con translacion a lo largo del eje X px = [1 0 0 a 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1] % MTH con rotacion alrededor del eje X rotx = [1 0 0 0 0 cos(alpha) -sin(alpha) 0 0 sin(alpha) cos(alpha) 0 0 0 0 1] % Pos multiplicacion de MTH’S denavit=rotz*pz*px*rotx % denavit = % % [ cos(theta), -cos(alpha)*sin(theta), sin(alpha)*sin(theta), a*cos(theta)] % [ sin(theta), cos(alpha)*cos(theta), -sin(alpha)*cos(theta), a*sin(theta)] % [ 0, sin(alpha), cos(alpha), d] % [ 0, 0, 0, 1]
SIMULACION
PROGRAMA EN MATLAB DEL MÉTODO DE EULER
% programa realizado por luis Eduardo Urreste unad fprintf('\n \tRESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR EL METODO DE EULER\n') f=input('\nIngrese la ecuacion diferencial de la forma: dy/dx=f(x,y)\n','s'); x0=input('\nIngrese el primer punto x0:\n'); x1=input('\nIngrese el segundo punto x1:\n'); y0=input('\nIngrese la condicion inicial y(x0):\n'); n=input('\nIngrese el numero de pasos n:\n'); h=(x1-x0)/n; xs=x0:h:x1; y1=y0; fprintf('\n''it x0 x1 y1'); for i=1:n it=i-1; x0=xs(i); x=x0; x1=xs(i+1); y=y0; y1=y0+h*eval(f); fprintf('\n%2.0f%10.6f%10.6f%10.6f\n',it,x0,x1,y1); y0=y1; end fprintf('\n El punto aproximado y(x1) es = %10.6f\n',y1);
EJEMPLO:
Dada la ecuacion diferencial y'= √(x^2+y^2), use el metodo de Euler para aproximar y(2.3) tomando como numero de pasos n=3 si la condicion inicial es y(2)=0.5
Respuesta: y(2.3) = 1.166470
CONCLUSIONES.
La libertad de un robot está dada por grados, entre más grados de libertad este posea más funcionalidad y movimiento tendrá nuestro prototipo. La aplicación de los robots nos permite cumplir de manera óptima la agilización de tareas. Un robot es una tarea que abarca gran cantidad de conocimientos, saber analizar un robot y la forma que se comporta son algunas de ellas.
En tal sentido, se ha logrado conseguir el objetivo principal de esta actividad, con el cual se pretendía hallar el modelamiento matemático d el brazo robótico de 3 grados de libertad, identificando sus principales variables y características esenciales para su funcionamiento.
De igual manera, se indago y resolvieron los problemas cinemáticos inverso y directo, implícitos dentro de la ejecución del pro yecto, con el fin de establecer cuál será la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia. .
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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BARRIENTOS, L.F. PEÑÍN, C. BALAGUER, R. ARACIL, “Fundamentos de robótica”, McGraw Hill, 1997
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