Colaborativo_1_Grupo_90004A_288.docx

LÓGICA MATEMÁTICA TRABAJO COLABORATIVO 1

PRESENTADO POR JORGE LEONARDO BELTRAN MEDINA OLGA JANETH CHAPARRO PSICOLOGIA CÓDIGO: 19003352

GRUPO 90004A_288

TUTORA YEIMY JULIETH MORENO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CURSO DE LÓGICA MATEMÁTICA 2016

INTRODUCCION Con la realización de este trabajo, y siguiendo los lineamientos de la guía de actividades del trabajo colaborativo, junto con el módulo de Lógica Matemática, para el buen desempeño lógico de nuestra parte cognitiva, algunos de ellos son la teoría de conjuntos, razonamiento lógico, razonamiento deductivo, proposiciones, tablas de verdad, entre otros. En el contenido del trabajo desarrollaremos algunos ejercicios de relación de conjuntos, lo cual facilitara nuestro desempeño al momento de analizar situaciones confusas, también analizaremos algunos ejercicios de razonamiento lógico y completaremos algunas tablas de verdad para finalmente analizar sus resultados.

TAREA 1: TEORÍA DE CONJUNTOS 1. De los 168 alumnos de la UNAD Sahagún, 110 estudian informática, 90 inglés y 20 ni lo uno ni lo otro. ¿Cuántos estudian ambas materias? Conjuntos: U= { Estudiantes de UNAD Sahagún } A= { Estudiantes de informática } B={ Estudiantes de inglés } Diagramas de Venn:

U A

A - (A ∩ B)

B

(A ∩ B)

B - (A ∩ B)

20

Descripción de la solución del problema: Sabemos que: U=168 A=110

B=90

( A ' ∩B ' )=20 Si A=110=¿ U =A + B+20≤¿ ( A ∩ B ) =0

Aunque sabemos la cantidad total de los elementos en cada conjunto, es necesario determinar cuántos de estos están en la intersección de A y B; ya que si los sumásemos ahora mismo el resultado total de elementos sería superior al número real de elementos en el conjunto universal. Entonces tenemos que hacer una igualdad con los conjuntos: U= A−( A ∩ B ) +B+ 20

En esta tenemos que sustituir los valores. Como no conocemos A ∩ B, no la sustituimos. 168=110−( A ∩ B ) +90+20 Despejamos la incógnita (A ∩ B) para encontrar el valor:

( A ∩B )=110+ 90+20−168 ( A ∩B )=52 Respuesta: La cantidad de alumnos que estudian inglés e informática es 52. Argumentación de la validez de la respuesta: Si se sustituyen los valores hallados en la igualdad inicial planteada, el resultado debe ser equivalente a la incógnita despejada. Es decir: U= A−( A ∩ B ) +B+ 20 Reemplazamos los valores hallados: U=110−52+90+ 20

U=168 U

En este caso la incógnita despejada es U, que es igual al valor conocido de U desde el planteamiento del problema. Esta comprobación se aplica para todas las A B demás incógnitas de la ecuación. 58

52 38

20

2. De un grupo de 105 alumnos de psicología se encuentra que: 51 no toman el curso de Lógica y 50 no siguen el curso de informática. Si 29 alumnos no siguen ni lógica ni informática, ¿Cuántos alumnos toman solo uno de esos cursos? Conjuntos: U= { Alumnos de psicología } A= { Alumnos de lógica } B={ Alumnos de informática } Diagramas de Venn:

U A

B

(U - A') - (A ∩ B) (A ∩ B) (U - B') - (A ∩ B)

29

Descripción de la solución del problema:

Como datos de inicio tenemos el complemento de los conjuntos A y B, así como 29 que es la intersección de dichos complementos. Comprobamos las indicaciones dadas para el ejercicio: U=105 A ' =51 B ' =50

( A ' ∩B ' )=29 Si A ' =51=¿ U = A+ A' =¿ A=54 Si B ' =50=¿ U =B+ B' =¿ B=55 Ahora sabemos que hay 54 alumnos siguiendo el curso de lógica y 55 siguiendo el curso de informática. Nos hace falta esclarecer cuántos de ellos siguen tanto lógica como informática y esto lo haremos siguiendo el mismo método que en el primer ejercicio, sumando todos los valores y despejando la incógnita. De la forma: U= A+ B+ 29−( A ∩ B )

( A ∩B )=138−105 ( A ∩B )=33 Respuesta: La cantidad de alumnos siguiendo sólo el curso de lógica es 21 y los alumnos que sólo siguen informática son 22. Argumentación de la validez de la respuesta: Teniendo en cuenta que A contiene un total de 54 alumnos, B un total de 55 alumnos y que 33 de ellos pertenecen a ambos conjuntos, se resta este último valor al de cada conjunto, determinando así la cantidad de alumnos que sólo pertenece a uno de los dos conjuntos: A=54−33 A=21

B=55−33

B=22 U A

B

21

33 22

29

3. En una encuesta realizada a un grupo de 300 docentes de la UNAD, se conoció que 210 habla Inglés, 110 hablan francés y 12 ninguno de los dos idiomas ¿Cuántos docentes no hablan los 2 idiomas? Conjuntos: U= { Docentes de laUNAD } A= { Docentes que hablan inglés } B={ Docentes que hablan francés }

Diagramas de Venn:

U A

B

B' -12 (A ∩ B)

A'-12

12

Descripción de la solución del problema:

U=300 A=210

B=110

( A ' ∩B ' )=12 '

'

Si A=210=¿ U= A + A =¿ A =90 Si B=110=¿ U=B+ B' =¿ B '=190 Sabemos que en A' se encuentran también los docentes que hablan francés y los que no hablan ninguno de los dos idiomas; este razonamiento se aplica también a B'. Entonces si restamos 12 a ambos valores, obtendremos: '

Que A=B +( A ∩ B)−12 Que B=A ' +( A ∩ B)−12 Entonces resolvemos hallar (A ∩ B) como en los ejercicios anteriores: U= A+ B+ 29−( A ∩ B )

( A ∩B )=332−300

( A ∩B )=32 Comprobamos que A=B' + ( A ∩ B )−12=190+32−12=210 Y que B= A' + ( A ∩ B )−12=90+32−12=110 Y lo que queremos es encontrar sólo los docentes de A que no estén en B, omitimos la intersección: Entonces A=190−12=178

Por lo tanto B=90−12=78

Respuesta: La cantidad de docentes que sólo habla inglés es 178, la cantidad de docentes que sólo habla francés es 78, por lo tanto, la cantidad de docentes que no habla los dos idiomas es 256.

Argumentación de la validez de la respuesta: Teniendo en cuenta que 12 de los docentes no hablan ninguno de los dos idiomas se eliminan de todas las operaciones, pues se requiere saber cuántos docentes habla al menos uno de los dos idiomas, pero no ambos. Así, al total de 300 se resta esa cantidad y nos da 288. De ellos restamos también la cantidad de docentes que hablan ambos idiomas, que según los cálculos realizados son 32 docentes. Por lo tanto quedarían 256, que corresponde a la suma calculada. U A

B 178 32

78

12

4. De los docentes de la facultad de Administración se encuentra que el 40% tiene Especialización, el 35% tiene Maestría, además solo los que tienen Maestría o solo los que tienen Especialización son el 48%, ¿Cuál es el porcentaje de los que no tienen Especialización ni Maestría? Conjuntos: U= { Docentes de la facultad de Administración } A= { Docentes con especialización } B={ Docentes con maestría } Diagramas de Venn:

U A

B

A- (A ∩ B) (A ∩ B) B

- (A ∩ B) (A' ∩ B')

Descripción de la solución del problema: U=100 A=40

B=35 Se sabe que el 48 son sólo los que tienen especialización o sólolos que tienen maestría

A + B−( A ∩B)=48 Nuestra incógnita ahora es la intersección de A y B. Despejamos la incógnita:

( A ∩B )= A+ B−48 Reemplazamos valores y hallamos la incógnita:

( A ∩B )=40 +35 −48 =27 Con esta información, deducimos fácilmente que: U

A

B 13% 27%

8% (A' ∩ B')

Sabemos que U = A+ B+ ( A ' ∩ B' )−( A ∩ B) Entonces despejamos la incógnita y reemplazamos valores:

( A' ∩ B' ) =U− A−B+ ( A ∩B ) ( A' ∩ B' ) =100 −40 −35 + 27

( A' ∩ B' ) =52 Respuesta: El porcentaje de los docentes que no tienen especialización ni maestría es 52%.

Argumentación de la validez de la respuesta: Si sabemos que el 48% de los docentes son sólo los que tienen especialización o sólo los que tienen maestría, entonces deducimos que los demás son los que no tienen ni maestría ni especialización, que equivalen al 52%. Las demás verificaciones permiten determinar el porcentaje de docentes en cada conjunto y en la intersección. Si sumamos los elementos se pueden comprobar los valores dados al inicio del problema. U A

B 13% 27%

8% 52%

5. En la ECBTI somos 150 docentes, de ellos 92 viajaron al “congreso de Ingenierías”, 14 presentaron ponencias, 36 presentaron artículos y 12 participaron en las dos modalidades. ¿Cuántos docentes no mostraron producción académica? Conjuntos: U= { Docentes de la ECBTI } A= { Docentes que viajaronal congreso de ingenierías } B={ Docentes que presentaron ponencias } C={ Docentes que presentaron artículos }

Diagramas de Venn:

U A b A-(b+c)+ (b ∩ c)

b - (b ∩ c) (b ∩ c) c - (b ∩ c)

c

A'

Descripción de la solución del problema: U=150 A=92

b=14 c=36

( b ∩c )=12 Sabemos que todos los elementos de b y c pertenecen al conjunto A Por lo tanto , b y c son subconjuntos de A

Si el total de elementos en U son la suma de elementos de sus conjuntos , entonces U= A + A ' '

Averigüemos qué elementos están en A despejandola variable '

A =150−92 '

A =58 Con esto determinamos la cantidad de docentes que no asistieron al congreso de ingenierías. Nos falta determinar la cantidad de docentes que asistieron al evento pero no presentaron producción académica. Para hallar esta cantidad, debemos hallar b' y c' dentro de A, siguiendo la misma lógica de el cálculo de U:

U= A+ B+ ( A ' ∩ B' )−( A ∩ B)

Así quedaría la ecuación que define al conjunto A: ' ' A=b+c +(b ∩ c )−( b ∩c )

Reemplazamos valores y despejamos la incógnita

(b' ∩c ' ) :

92=14 +36−12+ ( b' ∩ c ' )

( b' ∩c ' )=92−14−36+12 ( b' ∩c ' )=54 Con esto determinamos que la cantidad de docentes que asistió al evento pero no presentó ponencias ni artículos, es 54. U A b 54 2 12 24

c

58

Respuesta: En total, los docentes que no presentaron producción académica fueron 112.

Argumentación de la validez de la respuesta: Está claro que de los 150 docentes, 58 ni siquiera asistieron al evento, así que como mínimo 58 docentes no mostraron producción académica. Aunque 14 docentes presentaron ponencias y 36 presentaron artículos, hubo 12 docentes que presentaron tanto ponencias como artículos, así que estos últimos se restan de la suma de ponentes y artículos

14+36−12=38 .

Un total de 38 docentes presentaron una producción académica o las dos. Como asistieron 92 docentes y 38 presentaron alguna producción académica, la diferencia entre ambos es la cantidad de docentes que no presentó algo 92 - 38 = 54. Así, como ya teníamos 58 docentes que no mostraron producción académica, ahora sumamos otros 54, para un total de 112.

Tarea 2: Aplicación a la teoría de conjuntos 2.1 Resuelva el siguiente Diagrama de Venn de acuerdo a la información que se requiere:

2.1.1. ¿Cuántos estudiantes pertenecen a los cursos Prácticos, Metodológicos y Teóricos a la vez? R/ 4 2.1.2. ¿Cuántos estudiantes pertenecen solo a los cursos Prácticos? R/ 45 2.1.3. ¿Cuántos estudiantes pertenecen solo a los cursos Teóricos? R/ 23 2.1.4. ¿Cuántos estudiantes pertenecen solo a los cursos prácticos y metodológicos pero no a los teóricos? R/ 8 2.1.5. ¿Cuántos estudiantes no pertenecen a los cursos prácticos? R/ 68

2.2 Con base en el diagrama de Venn del punto anterior represente (coloree) cada caso de la forma que se propone en la siguiente relación; un diagrama de Venn para cada ítem. a. P ∩ T = P intersección T P∩T 45 15 23

b. T U M = T unión M

TUM 23

6

32

c. P Δ M = P diferencia simétrica M = (P –M) U (M-P)

45 8 32

d. P – T = P diferencia T P–T 45 15 23

e. (T U M)´ = (T unión M) complemento

23

6

32

2.3.1 Defina por compresión los siguientes conjuntos: a. {Cauca, Chocó, Nariño, Valle del Cauca, Arauca, Casanare, Meta, Vichada}

b. {Atlántico, Bolívar, Cesar, Córdoba, La Guajira, Magdalena, San Andrés, Providencia y Santa Catalina, Sucre} c. {Amazonas, Caquetá, Guainía, Guaviare, Putumayo, Vaupés} Solución: a= {x∈ x/ x es Región Pacífica, ᶺ x∈ Región de la Orinoquía} b= {x/ x es Región Caribe} c= {x/ x es Región de la Amazonía} 2.3.2 Defina por extensión los siguientes conjuntos: a. A = {xЄ x/ x es departamento de la Región Andina} b. P = {xЄ x/ x es departamento de la Región Pacífica} c. O = {xЄ x/ x es departamento de la Región de la Orinoquía} Solución: A = {xЄ x/ x Antioquia, Boyacá, Caldas, Cundinamarca, Huila, Norte de Santander, Quindío, Risaralda, Santander y Tolima.} P = {xЄ x/ x Cauca, Chocó, Nariño y Valle del Cauca} O = {xЄ x/ x Arauca, Casanare, Meta y Vichada}

TAREA 3: PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDAD 3.1. El estudiante revisará individualmente los temas relacionados sobre proposiciones y conectores lógicos, al terminar debe aplicar los conocimientos adquiridos a las Expresiones enumeradas a: 1. Si quieres progresar debes estudiar y ahorrar para el futuro. 2. No puedes dañar a un ser humano o permitir que sufra daño si eres un robot. 3. O viajamos en el día o lo hacemos por la noche 4. Es necesario ser responsable y dedicado para estudiar ingeniería. 5. Si quieres llegar temprano madruga más. 6. La lógica es condición necesaria y suficiente para interpretar una lectura.

7. Los habitantes del campo progresan si y solo si tienen servicios públicos y una Vivienda adecuada. 8. El conector lógico “o” es verdadero si y solo si alguna de las proposiciones es Verdadera. 9. O trabajas en la obra y eres ingeniero o trabajas en el campo y eres agrónomo. 10.Si te portas bien, el domingo pediremos arroz chino o pizza. Cada solución de los ítems enumerados debe contar con las siguientes etapas: a. Expresión en lenguaje natural en donde evidencie los conectivos lógicos. b. Declaración de premisas. c. Expresión en lenguaje Simbólico. d. Tabla de verdad e. Utilizar el simulador truth.

PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDAD 1. Si quieres progresar debes estudiar y ahorrar para el futuro a. Expresión en lenguaje – conectores lógicos Si = Condicional Y = Conjunción b. Declaración de premisas P = Querer progresar Q = Deber estudiar R = Ahorrar para el futuro c. Expresión en lenguaje simbólico

P → (Q˄R) d. Tabla de verdad P F F F F V V V V

Q R (Q˄R ) F V F F F F V V F V F V F V F F F F V V F V F V

P→ (Q˄R) V V V V F F F V

e. Simulador Truth

2. No puedes dañar a un ser humano o permitir que sufra daño si eres un robot a. Expresión en lenguaje – conectores lógicos No = Negación O = Disyunción Si = Condicional b. Declaración de premisas

P = Dañar a un ser humano Q = Permitir que sufra un ser humano R = Eres un robot c. Expresión en lenguaje simbólico R → ¬ (P˅Q) d. Tabla de verdad P F F F F V V V V

Q F F V V F F V V

R (P˅Q) V F F F V V F V V V F V V V F V

¬ (P˅Q) V V F F F F F F

R→ ¬ (P˅Q) V V F V F V F V

e. Simulador Truth

3. O viajamos en el día o viajamos en la noche a. Expresión en lenguaje – conectores lógicos O… o… = Disyunción exclusiva

b. Declaración de premisas P = Viajar en el día Q = Viajar en la noche c. Expresión en lenguaje simbólico P⊕Q d. Tabla de verdad Q P F F V V

F V F V

(P ⊕ Q) F V V F

e. Simulador Truth

4. Es necesario ser responsable y dedicado para estudiar ingeniería a. Expresión en lenguaje – conectores lógicos Y = Conjunción Para = Condicional b. Declaración de premisas

P = Estudiar ingeniería Q = Ser responsable R = Ser dedicado c. Expresión en lenguaje simbólico P → (Q˄R) d. Tabla de verdad P F F F F V V V V

Q R (Q˄R ) F V F F F F V V F V F V F V F F F F V V F V F V

P→ (Q˄R) V V V V F F F V

e. Simulador Truth

5. Si quieres llegar temprano madruga más a. Expresión en lenguaje – conectores lógicos Si = Condicional b. Declaración de premisas P = Llegar temprano

Q = Madrugar más c. Expresión en lenguaje simbólico P→Q d. Tabla de verdad P F V F V

Q P→ Q F V F F V V V V

e. Simulador Truth

6. La lógica es condición necesaria y suficiente para interpretar una lectura a. Expresión en lenguaje – conectores lógicos Es condición necesaria y suficiente = Bicondicional b. Declaración de premisas P = La lógica Q = La lectura c. Expresión en lenguaje simbólico P↔Q d. Tabla de verdad Q P↔ P Q F F V V F F F V F

V V

V

e. Simulador Truth

7. Los habitantes del campo progresan si y sólo si tienen servicios públicos y una vivienda adecuada. a. Expresión en lenguaje – conectores lógicos Si y sólo sí = Bicondicional Y = Conjunción b. Declaración de premisas P = Los habitantes del campo progresan Q = Servicios públicos R = Vivienda adecuada c. Expresión en lenguaje simbólico P ↔ (Q˄R) d. Tabla de verdad P F F F F V V V V e. Simulador Truth

Q R (Q˄R ) F V F F F F V V F V F V F V F F F F V V F V F V

P↔ (Q˄R) V V V F F F F V

8. El conector lógico “o” es verdadero si y sólo si alguna de las proposiciones es verdadera a. Expresión en lenguaje – conectores lógicos Si y sólo sí = Bicondicional b. Declaración de premisas P = El conector lógico “o” es verdadero Q = Alguna de las proposiciones es verdadera c. Expresión en lenguaje simbólico P↔Q d. Tabla de verdad P F V F V a. Simulador Truth

Q P↔ Q F V F F V F V V

9. O trabajas en la obra y eres ingeniero o trabajas en el campo y eres agrónomo a. Expresión en lenguaje – conectores lógicos O… o… = Disyunción exclusica Y = Conjunción b. Declaración de premisas P = Trabajas en la obra Q = Eres ingeniero R = Trabajas en el campo S = Eres agrónomo c. Expresión en lenguaje simbólico (P → Q) ⊕ (R → S) d. Tabla de verdad P F F F F F F F F V V V V V V V V

Q F F F F V V V V F F F F V V V V

R F F V V F F V V F F V V F F V V

S P→Q F V V V F V V V F V V V F V V V F F V F F F V F F V V V F V V V

b. Simulador Truth

R→S V V F V V V F V V V F V V V F V

(P → Q) ⊕ (R → S) F F V F F F V F V V F V F F V F

10. Si te portas bien, el domingo pediremos arroz chino o pizza a. Expresión en lenguaje – conectores lógicos Si = Condicional O = Disyunción b. Declaración de premisas P = Te portas bien Q = Pedir arroz chino R = Pedir pizza c. Expresión en lenguaje simbólico P → (Q ˅ R) d. Tabla de verdad Q R P F F F F V V V V

F F V V F F V V

V F V F V F V F

(Q ˅ R) V F V V V F V V

P → (Q ˅ R) V V V V V F V V

c. Simulador Truth

Tarea 4: Método Científico MÉTODO CIENTÍFICO – CRUCIGRAMA A través de una (1) de las técnicas de aprendizaje relacionado a continuación, exponga las características y etapas que hay que recorrer para obtener un conocimiento válido desde el punto de vista científico. Además, plantear situaciones en la cual se identifiquen los procesos de inducción, deducción, falacias, ambigüedades y enunciados falseables dentro de un proceso de investigación científica.

CONCLUSIONES Con este trabajo concluimos la importancia de tener claro conceptos de conjuntos y sus operaciones, lógica proposicional, lenguaje simbólico y tablas de verdad. Ya que en nuestra futura profesión y en general en muchos de los aspectos de nuestra vida nos van a ayudar a solucionar cierto tipo de problemáticas y a despejar muchas de las dudas que se nos puedan presentar. La importancia de evaluar correctamente una premisa nos guiara a una respuesta e inferencia adecuada ya que si no se infiere correctamente, mediante los mecanismos dispuestos, esto generara inconsistencias a la final; en cuanto a la evaluación que le dimos a la premisa. El uso adecuado de los conjuntos nos permite tener valores más acertados y de una manera más visual, para que logremos identificar correctamente y en valores exactos cada uno de las inquietudes que podamos cuantificar. Es muy importante hacer uso de cada una de las herramientas que se nos han dispuesto ya que estas harán que tengamos conceptos más acertados y además de esto tener muy claro en qué ámbitos los podemos usar y como los podemos usar para minimizar el esfuerzo. Se logró obtener teórica y prácticamente, mediante el aprendizaje basado en problemas la asimilación de conceptos útiles y de gran importancia para nuestro desarrollo como profesionales, tales conceptos abarcan proposiciones lógicas, teoría de conjuntos, conectivos lógicos, tablas de verdad, razonamiento deductivo y razonamiento inductivo. Adicionalmente se desarrollan ejemplos prácticos con los cuales se da alcance a la asimilación de los conceptos teóricos desarrollados en la unidad 1 del módulo de Lógica matemática. Es una disciplina que aplicada de forma correcta y estudiada a consciencia permite al ser humano tener un razonamiento lógico sobre la veracidad de los argumentos planteados cotidianamente y de esta manera tendría una buena estructura cognitiva de su aprendizaje y adquisición de nuevo conocimiento

La lógica matemática sin darnos cuenta hace parte de nuestras tareas cotidianas en la realización de todo pequeño acto como levantarse de la cama, caminar con determinado pie, elegir el color de la prenda a vestir, cada actividad genera un orden lógico y secuenciado de pasos que necesariamente se requiere del primero para poder realizar el segundo y así sucesivamente. La lógica hace que el ser humano se enfrente a problemáticas no muy comunes en su cotidianidad pero que a la hora de enfrentarlas pone a prueba su inteligencia ayudada de un conocimiento previo, esto con la buena aplicación de las reglas de inferencia que se aplican para relacionar los conocimientos y obtener un resultado.

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