Codificacion y Decodificacion

 

Codificación de información binaria y detección de errores

 

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Introducción

La tarea básica en la transmisión de información es reducir la probabilidad de recibir una  palabra diferente de la palabra enviada. Se estudiará las nociones básicas de : •

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Codificación de Información Binaria y detección de errores Decodificación y corrección de errores

Se enmarcará el problema en el contexto de la transmisión de la información en canales discretos posiblemente afectados de ruido. Se revisarán los Códigos Lineales como primera p rimera vía para sistematizar la búsqueda y el uso  práctico de Códigos Correctores.

 

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Introducción

Los errores de transmisión en las líneas se deben a mucho a diversos factores, como el ruido térmico, ruido impulsivo y ruido de intermodulación. Dependiendo del medio de transmisión y del tipo de codificación empleado, se pueden presentar otros tipos de anomalías como ruido de redondeo y atenuación, así como cruce de líneas y eco. Se han diseñado dos estrategias diferentes para el tratamiento de los errores: Códigos : Consiste en incluir en los datos d atos transmitidos, una cantidad de bits redundantes redund antes de forma que  permita al receptor detectar que se ha producido un error, pero no qué tipo de error ni donde, de forma que tiene que solicitar retransmisión. Códigos correctores de error: Consiste en la misma filosofía que el anterior, incluir información redundante pero en este caso, la suficiente como para permitirle al receptor deducir cual fue el carácter que se transmitió, por lo tanto, el receptor tiene capacidad para corregir un número limitado de errores.

 

Codificación de Información Binaria y detección de errores

La unidad una básica de información, palabra, es una secuencia finita de “m” ceros y unos.

 

Codificación de Información Binaria y detección de

errores •

•

La tarea básica en la transmisión de información es reducir la probabilidad de recibir una palabra diferente de la palabra enviada. En la practica el canal de trasmisión de dicho (secuencia de 0 yproblemas 1), puede eléctricos, sufrir disturbios, llamados de manera general ruidos, debido a lamensaje interferencia del clima, etc.

Palabra transmitida

Canal de transmisión

Palabra recibida

 

La codificación del umensaje Para nos(en binario), luego cuando se recibe es decodificado.   enviar el mensaje, primero se codifica en ceros y unos(en

•

•

El alfabeto binario es escogido del conjunto: B={0,1} bajo la operación binaria +  A x A → A

•

+

0

1

0

0

1

1

1

0

X

Y

0 0 11

0 1 00

0 1 11

1

1

0

Obsérvese que tiene elementos, es de decir, cir, el orde ordenn del grupo es

 

¿Cómo se envía el mensaje? •

 Un elemento x es enviado atreves de un canal de transmisión y re recibido cibido como un elem elemento ento , en este  proceso puede ocurrir un error en donde x ≠ , para reducir la probabilidad de que esto suceda se procede a:

  Se elige un entero n > m y una función uno a uno , la función es una función de codificació codificación n (m, n) y es vista como un medio para representar cada palabra en

Si b , entonces e(b) es la palabra codificada que

representa a b •

 Nótese que se quiere determinar una función uno a uno, de modo que diferentes palabras en tengan asignadas diferentes palabras codificadas.

 

Diagrama •

  Palabra transmitida

e Palabra codificada

 b

X=e(b)

Canal de transmisión

  Palabra recibida

•

Si no hay interferencias en la transmisión x=Por lo que es posible identificar a b

 

• •

Peso de x |x|

 En general suelen presentarse errores en la transmisión. La palabra codificada x=e(b) ha sido trasmitida con k  o  o menos errores si x y difieren en almenos una pero no mas de k  posiciones.  posiciones.

•

Si x , entonces el número de unos en

  Ejemplo:

x es el peso de x y es denotado como |x|

  Determine le peso de ca cada da una de las siguientes palabras en : (a) x=01000;   (b) x= 11 11100; 100; (c) x= 00000; (d) x= 11 1111 111; 1;  Solución: (a) |x|=1

(b) |x|=3

(c) |x|=0

(d) |x|=5

 

Código de verificación de paridad Consiste en incluir en los datos transmidos, una candad de bits redundantes de forma que permita al receptor detectar que se ha producido un error, pero no qué po de error ni donde, de forma que ene que solicitar retransmisión. retransmisión.

El resultado

e:

La función

e(b)=

   0 si |b| es par .  1 si |b| es impar  Condición

(m,m+1)

Los parámetros

 

Código de verificación de paridad • •

•

•

 Obsérvese que es cero solo si el numero de unos en b es par. Esto implica que cada palabra codificada e(b) tiene peso par. Lo que significa que si la palabra tiene ciertos unos impares la transforma a par agregando un uno mas, de lo contrario agrega un cero para que la palabra siga siendo par. Ejemplo: Sea m=3, entonces:

e(000)=0000 par se agrega un cero e(000)=0000 e(001)=00111 im par se agrega uno e(001)=001 e(010)=01011 e(010)=010 e(011)=01100  e(011)=011 •

PALABRAS CODIFICADAS

e(100)=1001 e(100)=1001 e(101)=10100 e(101)=101 e(110)=11000 e(110)=110 e(111)=11111 e(111)=111

 Nótese que al ser m=3 son 3 cifras en e(111) e(111) y al ser m+1=(3+1) son 4 cifras como resultado

 

¿Por que usar el código de verificación de paridad? •

•

Porque se observa que un solo error en la transmisión de la palabra codificada cambia la palabra recibida por una palabra de peso impar y por lo tanto es posible detectarla. Se debe observar que si la palabra recibida tiene peso par, entonces no es posible concluir que fue transmitida en forma correcta, ya que esta función fu nción no detecta un numero par de errores.

 

Ejemplo: UNA FUNCION CODIFICACION EXPRESADA COMO

Función (m,3m)e: •

 Significa que la función repite tres veces cada palabra p alabra de .

•

Para un ejemplo SI m=3. Entonces e(000)=000000 e(000)=000 000000 000 e(001)=001 e(001)= 001001 001001 001 e(010)=010 e(010)= 010010 010010 010 e(011)=011 e(011)= 011011 011011 011

•

e(100)=100100 e(100)=100 100100 100 e(101)=101 e(101)= 101101 101101 101 e(110)=110 e(110)= 110110 110110 110 e(111)=11 e(111)= 111111 111111 1111

Supóngase ahora que b=011. Entonces e(011)=011 e(011)= 011011011 11011 supóngase que el canal de transmisión comete un error y en lugar del 0 coloca un 1  ahora la palabra recibida es 011111011 11011 Esta no es una palabra codificada por lo que se ha detectado un error.

 

Código

La xdistancia de Hamming y x,y x • •

  Sean

y  palabras en . La distancia de Hamming

) entre  y y  es el peso

|x y| de x y. Así la distancia entre x= y y= es el numero de valores de i tal que ; es decir, el numero de  posiciones donde difieren difieren x y y. y. x y xy   números de bits que difieren dos palabras 0 0 0 Ejemplo Determine la distancia entre  x y y (a) (b) 1100 0011 11,, de modo que |x y| =4 =4 x=11 x= 1101 01110  x=0001100 a) x y= 11 x=0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

0110010, de modo que |x y| =3 =3 y=0001 y=00 01001 y=0110110 (b) x y= 011 y=0    Nótese que están en rojo rojo solo donde ya que para que esto suc suceda eda solo pueden aparecer aparecer un cero y un uno que son diferentes, en caso de uno y uno no se cumple que esas posiciones sean distintas, igual que cero y cero. Otra forma de entenderlo es usar el cuadro de la operación binaria xor,

 delta

 

Teorema 1: Propiedades de las función distancia •

Propiedades de las función distancia:   (a) x , y)= x , y) (b) x , y) 0   (c) x , y)= (d) x , y) x , z) + z , y)

 delta

  La distancia mínima de una función de codificación e: es la mínima de las distancias entre todas las distintas parejas de palabras codificadas.

 

Ejemplo: •

Considere la siguiente función de codificación (2,5) e dado por: e(00)= e(10)= 00000 001111 0011 e(01)= 011 01110 10 e(11)= 11111

La distancia mínima es 2, lo que se puede verificar si se calcula el mínimo de las distancias entres las 6 distintas parejas de palabras codificadas.

  00111 =  = 3 1) 00000 y 00111

4) 0011 1111 y 01 01110 = 2

  2) 00000 y 0111 011100 = 3   3) 00000 y 11111 = 11111 = 5  5

5)  5) 00111 y 11 11111 111 = 2 6) 011 11110 y 111 11111 = 2

Distancia Hamming denida por él número de bits en que dieren. Y la distancia mínima es el menor de los valores

 

Teorema 2: detectar k o menos •

•

 Una función de codificación (m , n) e: puede detectar k o menos error errores es si y solo si su

distancia mínima es al menos k+1. •

Considere la función de codificación (3,8)e: definida por: e(000)=00000000 e(001)=10111000   e(001)=10111000 e(010)=00101101 e(011)=10010101 e(100)=10100100 e(101)=10001001 e(110)=00011100 e(111)=00110001

  ¿Cuantos errores detectara e? Como la distancia mínima es 3, se tiene que o3  3 menos k+1, o errores. k  2. Así Después el códigodedetectara dos calcular las 28 distintas distancia mí mínimas nimas

 

Grupo de código es un grupo de código si )= { )/ } = Ran () eess un ssubgrupo ubgrupo de 

Ejemplo considere la función (3,6) e:

e(000)=000000 e(001)= 001100  001100  e(010)=010011 e(011)=011111 e(100)=100101 e(101)=101001 e(110)=110110 e(111)=111010

  ¿muestre q esta función de codificación es un grupo de código? Como N ={000000, ={000000, 001100… 110110, 111010 111010}} Verificar la identidad , pertenece a N, Luego se hace x y y se verifica que pertenecen a N Para concluir N es un subgrupo de y la función codificada es un grupo Sea un grupo den ser una operación binaria *, es asociativa , tiene un elemento neutro y elemento simétrico simétrico

 

Grupo de código Sea A= {a, b, c} y la operación * definida por A por medio de la siguiente tabla

¿muestre q esta función de codificación es un grupo de código?   Verificar erificar q es una operación Binaria interna 1. V   Si puesto que todos todos los elementos de la matriz son A √ 2. Veri erific ficar ar que la propie propiedad dad asocia asociativ tivaa   a * (b * c) = (a * b) b) * c  b * c = a * b   b = c   a*b =c*c   c = c√ Al verificar las propiedades se cumple que es un grupo G

*

a

b

c

a  b c

b c a

c a b

a b c

3. Propiedad del elemento neutro (e) o identidad a*____ = a  b*____ = b c*____ = c Y el resultado en todos es C al revisar la tabla. e = c √ 4. Prop Propied iedad ad del inv invers ersoo a * ____ ______ = e   a * _____ = c   b * _____ = c   c * _____ = c Revisando en la tabla el inverso de a = b el de b = a y el de c es c. Y b, a y c son pastes √

 

Teorema 3 Distan Distancia cia mínima en un grupo de números de 1 en una

código (peso mínimo)  Sea e: un grupo  de código. La distancia mínima de e es el peso mínimo de una palabra codificada

 palabra luego de hacer la x y

• •

distinta de cero. = (x , y) , donde x , y  Demostración: sea  ladistintas distancia. Además mínima del código, y supóngase que codificada n elde son palabras codificadas seangrupo peso mínimo de una palabra distinta de cero y suponga que n=|z| para una palabra codificada z como e es un grupo código, x y es una palabra codificada distinta de cero.

Así  = (x , y) = | x y |≥ n. Por otro lado, como 0 y z son palabas distintas,  N = |z| = |z 0| = (z , 0) ≥ . Por lo tanto n = .  delta

 

 

Ejemplo: se tiene la función (3,6) e:

e(000)= 000000 e(001)= 001100  001100  e(010)= 010011 e(011)= 01111 0111111 e(100)= 100101 e(101)= 101001 e(110)= 110110 e(111)= 111010

  ¿cuan es la distancia mínima del grupo? Al hacer el x y con todas las posibles combinaciones de pares par es de palabras. Verificamos cual es mínimo 1en el resultad de después de hacer la operación, lo que nos daría el peso para este caso habría que hacer 28 comparaciones por ejemplo la del 000000 comparada con todas las demás sería (= 2)

la del 001100 comparada con todas las demás sería= 3

000000

000000

000000

000000

000000

000000

000000

001100

010011

011111

100101

101001

110110

111010

001100

010011

011111

100101

101001

110110

111010

001100

001100

001100

001100

001100

001100

010011

011111

100101

101001

110110

111010

011111

010011

101001

100 001101

111010

110110

la repuesta después de hacer todas las operaciones el peso es 2 que es mínimo de 1 en el resultado de las operaciones

 

Ejemplo: se tiene

1011 1101 01 1 0

Suma modulo 2 D E [ 1 1 0 1] [ 1+1 0+1 1+0 1+1 ]

[ 0 1 1 0] [1 0 1 1] [0 1 1 0] [ 1 1 0 1] = [ 0+1 1+1 1+0 0+1 ] = [ 1 0 1 0] •

[1 0 0 1]

[0 1 1 1]

[ 1+0 0+1 0+1 1+1 ]

[ 1 1 1 0]

Observe que F = D E , esto es lo que permite generar el grupo de código entonces es cero cuando y son ambas cero o ambos uno.

el grupo de código generado es

0 1 1

1 0 1

1 1 1

0 0 0

x

y

xy

0 0 00 1 1 1 1

0 0 11 0 0 1 1

0 0 11 1 1 0 0

 

x

Ejemplo: se tiene Producto booleano modulo 2

0 1

1 0

1 1

*

D * E  0 1 1

1 0 1

= =

1 ∙ 1 + 1 ∙ 1+ 0 ∙ 0 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1+ 1 ∙ 0 0 1

1 0

.

X  Y

y

0 0

0 1

0 0

1 1

0 1

0 1

1 ∙ 0 + 1 ∙ 1+ 0 ∙ 1 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1+ 1 ∙ 1

 

Teorema 4:  propiedad distributiva •

 Sean D y E matrices booleanas m X p , y sea F una matriz booleana p X n entonces

(D E)* F = (D * F) (E * F)

•

Es decir , propiedad distributiva es valida para y *.

 

Teorema 5:  propiedad asociativa Considérese ahora el elemento x=

como la matriz 1 x n[ ].

 Sean m y n enteros no negativos con m= 2k + 1

•

de modo que k ak definida por: : sea a K  una

•

f(k)=a K , para toda k k.

•

Se mostrara que f es uno a uno y sobre.

•

Para demostrar que f  es  es uno a uno , se supone que

•

f() = f(),

•

Entonces

•

 =

, K.

 

Teorema 3: •

 Si m, n, r, H y son como ante antes, s, entonces es sobre.

Demostración: Sea b=b1b2 cualquier elemento en . Si  x=000 (m ceros).

•

Se obtiene obtiene x*H= así, , de modo que es sobre.

•

 

 

Teorema 4:

Sean x, y y elementos en . Entonces x y y pertenecen a la misma clase izquierda de N en si y solo si (x) = (y), es decir, si y solo si tienen el mismo síndrome. Ejemplo: considere la matriz de verificación de paridad •

 

[1 1 0] = H [1 0 1]

[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]

Así N = {000000, 001011, 010101, 011110, 100110, 110011, 111000}  

 Y el grupo(3,6): . Entonces Palabra codificada: e(000)=000000 [0 1 1] e(001)=001011   e(001)=001011 e(010)=010101 e(011)=011110 e(100)=100110 e(101)=101101 e(110)=110011 e(111)=111000

 

  Síndrome del  líder

Líder de clase

000

000000

001 010 011 100

000001 000010 001000 000100

101 110 111 111

010000 100000 001100

 

Código de Hamming -codificación https://www.youtube.com/watch?v=zg06eShv6ok 

Mirar el video hasta el minuto 4:52

• •

 Ejemplo : información o datos = 0110.

•

Hamming(7,4)

•

Tabla: para hacer la codificación de Hamming armaremos una tabla que incluya los bits de paridad.

•

Bits: en la tabla se agregaran , bits de paridad en las posiciones que son las potencias de 2(ej: =1, =2, =4,….). posición

0001   (1)

0010 (2)

0011   (3)

11

00 00 00

1

0

D Daattooss 11

H(7,4)

1

0100   (4)

0 00

0101   (5)

0110   (6)

0111 (7)

11 11

11

00 00 00 0 00

1 11

11 1 11

H(7,4)

1

1

0

0

1

1

0

 

Código de hamming - Decodificación https://www.youtube.com/watch?v=zg06eShv6ok  •

•

•

 Ejemplo: información o datos = 0110. Hamming (7,4) = 1100110 Provocamos u error de bit 110010 1100100 posicion

0001   (1)

0010   (2)

datos 1

0

0011   (3)

Mirar el video desde el minuto 5 hasta el minuto 8:36

0100  (4)

0101  (5)

0110 (6)

0111 (7)

0

1

0

0

0 0

1

0 0

0 0 0

1 •

Paridad-> ->110=6->error en el bit 6

•

Corrección->doy vuelta el bit 6->1100110

1

Datos 0 110

Paridad Deco.

Paridad Cod.

Paridad error

1 0 1

1 1 0

Ok (0) Error(1) Error(1)