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TEORÍA Y PROBLEMAS SELECTOS
CÁLLCULO II
Y COMO RESOLVERLOS
PROBLEMAS DE EXÁM MENES UMSA INGENIERÍA A ,U UNI PERÚ--U.TOKIO JAPON
CODEX
VOL.1
J&J PAYE Hnos.
CÁLCULO II
CODEX Derecho reservados de acuerdo al D.L.- 4116-14 AUTORES:
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
PRIMERA EDICIÓN SEPTIEMBRE, 2014 LA PAZ- BOLIVIA
QUEDA AUTORIZADA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
NO AL OSCURANTISMO CIENTÍFICO NOTA: FAVOR DE NO PINTAR NI SELLAR, OBSTACULIZA AL LECTOR
PROLOGO
El presente trabajo “CODEX CALCULO II V1”, En su primera edición contiene básicamente los temas: VECTORES EN R3, GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Y FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL, son temas que se desarrollan en el Primer Parcial en el Curso de Cálculo II en INGENIERÍA. En cada capítulo se expone un resumen de enunciados de definiciones y teoremas, seguido de ejercicios desarrollados y de reto personal. Deseo expresar mi mas profundo agradecimiento a mí FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA, quien va formando profesionales para el desarrollo Técnico y Científico de nuestros país.
JOSE PAYE CHIPANA JOSUE PAYE CHIPANA
DEDICATORIA “A mí Padre por sus Valores y Educarme”
ÍNDICE
PAGINA
1. PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA (2008-2014) …1 2. CAPITULO I VECTORES…………………………………………………………..8 3. PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES …………………………………..11 4. CAPITULO II GEOMETRÍA EN EL ESPACIO R3 ……………………………….29 5. PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA EN EL ESPACIO R3…………34 6. CAPITULO III FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL …………88 7. PROBLEMAS RESUELTOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL………………………………………………………………………………….84 8. PROBLEMAS DE RETO PERSONAL (EXÁMENES DE UNI- LIMA PERÚ, U. TOKIO JAPON)……………………127
JOSE PAYE CHIPANA
CODEX-CÁLCULO II
JOSUE PAYE CHIPANA
PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA (2008-2014) PREGUNTAS DE EXÁMENES DE PRIMER PARCIAL ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA Problemas Resueltos De Exámenes Pasados De La UMSA Ingeniería De (2007-2014) Y Algunos Exámenes De Cálculo II, (UNI –Peru) (U. Tokio-Japon) 1) (27/03/2014)Una recta que pasa por el punto A(-3,8,5) y se desarrolla según la dirección del vector (-1,2,1), se intersecta con el plano de ecuación x y z 4 , Hallar la ecuación de la recta que se refleja en el plano dado. 2) (27/03/2014)Hallar la ecuación de la esfera ,sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento comprendido entre el punto P(1,2,3), y el punto de tangencia de la esfera con el plano x z 2
3 2
3 2
1 3 2 2
5 2
3) (27/03/2014)Dada la curva f (t ) ( cos t , sent , sent ) (a) Determinar si la misma se encuentra contenida en un plano (b) En caso de estarlo, hallar la ecuación de dicho plano (c) Hallar el vector Binormal
s a
s a 2
4) (27/03/2014)Una trayectoria está dada por la función vectorial r ( s) (a cos , a sin , ) n
a R (a) Determinar el parámetro “S” es el arco (b) Obtener el triedro T , N , B (c) Calcular la curvatura y la torsión 5) (27/03/2014)Considerar la Figura. Hallar (a) Coordenadas de D para que ABCD sea un paralelogramo (b) Sin Hallar su ecuación, Demostrar que el paralelogramo se encuentra contenido en un plano (c) Hallar el área del parelogramo
A(1,1,0)
D
B(1,1,1)
C (2,2,0)
n 1 6) (25/11/2013) (a) Sean x , y R dos vectores unitarios tales que: x , y ; x , y x y
2
(i) x e y pueden ser ortogonales
(ii) x y 1
(iii) El ángulo que forman los vectores x e y es (iv)
x y 2
3
(b) Dado el hexágono regular de lado “ a ” Hallar la
A
D F
proyección ortogonal de sobre BE
C
B
E
7) (25/11/2013) El movimiento de un cuerpo en el espacio , está dado por las ecuaciones:
x 3t 2 cos(2t ) y 3t 2 sen(2t ) z 3 3t 2 ,Donde “t” es el tiempo. Si el movimiento empieza observarse en t 0 , para el punto en que el cuerpo haya recorrido por la curva una distancia 38, calcular la curvatura y la torsión. 1
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8) (25/11/2013) Un rayo de luz L1, pasa por el punto (1,2,3) y sigue la dirección del vector
u (2,1,3) . Al llegar al espejo plano cuya ecuación es x y 2 z 30 0 , se origina el rayo
reflejado L2 y esta llega a un segundo espejo 2 x y z 30 0
generando el rayo reflejado
L3, Hallar la distancia mínima entre los rayos L1 y L3. 9) (25/11/2013) Dados los puntos P1(3,2,1),P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1), Hallar las ecuaciones de 4 planos paralelos PL1, PL2, PL3 y PL4 que pasen por P1(3,2,1), P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1) respectivamente de modo que los planos tomados de a dos, se hallen separados una misma distancia, es decir que la distancia entre PL1 y PL2 se a la misma que entre PL2 y PL3 y que PL3 y PL4. 10) (25/11/2013)Hallar la ecuación de la superficie esférica que sea tangente a la esfera
x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 5 0 y al plano 3x 2 y 6 z 4 0 . El punto de tangencia con la esfera (3,0,2). 11) (28/03/2013)(a) Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 6 0 , si el centro es la intercesión de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 (b) Hallar la ecuación 2 3 8
de la recta L1 12) (28/03/2013)Considerar la curva “C” que resulta de la intersección del cilindro parabólico
y x 2 con el plano z 2 x , Para el punto P(1,1,2) Calcular: (a) Los planos Normal, Rectificante y Osculador. (b) La curvatura y la Torsión.
13)
(28/03/2013)Sea f (t ) (t , ln t ) Hallar la circunferencia osculadora de dicha curva en t=1
14)
(28/03/2013)Determinar la forma de la proyección de la curva
( x 1) 2 y 2 z 2 36
en el
yz0
plano XY.
15) (28/03/2013)Sean los vectores m , n y r si m n m r m ;calcular: m n n r n
16) (20/09/2012)Deducir la expresión que calcula la distancia mínima entre dos rectas alabeadas (que se cruzan pero no se cortan) en el espacio R3.
17) (20/09/2012)Para la curva del espacio R3 ; f (t ) (4 cos t ,4sent ,3t ) calcular la curvatura, torsión radio de curvatura, centro de curvatura en el punto donde t0 18) (20/09/2012)Hallar
la
ecuación
del plano que pertenece a la 3x 4 y z 6 2 x 3 y z 2 0 y equidista de los puntos A(3,-4,-5), B(1,2,2)
familia
19) (20/09/2012)Hallar la ecuación de la esfera que contiene a las circunferencias
y 2 z 2 36 y2 z2 9 y x2 x3
20) (20/09/2012)La curva: r (t ) (t 2 1, t 1, t 2 ) intersecta al plano 2 x 3 y z 11 0 en dos puntos. Hallar estos puntos y calcular la distancia entre ellos a través de la curva
2
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21) (20/09/2012)Para la función: f (t ) (e 3t cos(3t ), e 3t sen(3t ), e 3t )
de: f (s )
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(a) Identificar la expresión
(b) Determinar si el parámetro “s” es la longitud de curva
22) (29/03/2012) Escriba el vector A (3,2,6) ;Como la suma de los vectores; uno paralelo a
B (2,4,1) y otro perpendicular a B 23) (29/03/2012) Bosqueje una grafica de la Cuadrica : x 2 y 2 2 x 2 y 0 24) (29/03/2012) Cual
es el radio
de curvatura de la curva de intersección de
( x 2) ( y 1) ( z 3) 4 , con el plano 2 x y z 2 25) (29/03/2012) Puede una curva tener Curvatura k 0 y Torsión 0 ? Justifique su respuesta 2
2
2
26) (29/03/2012) Damos un tetraedro con vértices (-1,2,3);(2,3,-4);(1,5,0);(3,-2,-1) (a) Calcular el Volumen (b) Los VECTORES DE ÁREA, son aquellos perpendiculares a cada cara apuntando hacia fuera y con magnitud igual al área del respectivo triangulo. Verificar que la suma de los 4 vectores se igual a cero. 27) (29/03/2012) Hallar en el plano X,Y un punto P de modo que la suma de sus distancias a los puntos A(4,2,7); B(3,5,5) sea mínima. 2 2 2 28) (29/03/2012) En la cuadrica: x y z 11 2( x 2 y 3z ) . Hallar el punto mas próximo al
plano 3x 4 z 19 0 .Luego calcular la distancia desde ese punto al plano.
29) (29/03/2012) Dada la curva r (t ) ( 2Cosh(t ),2Senh(t ),2t ) (a) Bosquejear una grafica (b) Calcular la curvatura en t=0 (c) Calcular la Torsión en t=0 (d) plano Osculador en t=0. 30) (15/09/2011)Si A(1,1,1), B(2,3,4), C(4,3,2) Son vértices de un triangulo. Si el segmento OP es perpendicular al lado AC y “O” es el punto medio del segmento AB. Determinar el área del cuadrilátero OBCP 31) (15/09/2011)En el paralelogramo ABCD, el Angulo en el vértice A es de 60º y se conoce que:
AB 2 , AB 4 Si: p Pr oy AC , AD
q Pr oy AC Determinar p+q=? AB
32) (15/09/2011)Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 5 0 , el centro es el punto de interseción de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 2 3 8
33) (15/09/2011) (a) Demostrar que la curva determinada por la interseción de las superficies
x2 y 2 2 y 2x 2 0 . Es plana (b) Determinar el plano x y 2 z 2 0 34) (15/09/2011)Determinar la ecuación del plano perpendicular al plano horizontal que pasa por (0,0,2) Contiene al punto B(2,2,2) y forma un Angulo de 60º con el plano
3 x 2 y 3z 2 0
35) (01/04/2011)Si A,B,C son vértices de un triangulo equilátero cualquiera de R3 ; usando propiedades vectoriales (a) Deducir la expresión que calcula su área (b) probar que uniendo los puntos medios de los lados se forman otro triangulo que debe ser también equilátero.
36) (01/04/2011)Si una curva C de R3 se da por r (t ) (r1 (t ), r2 (t ), r3 (t )) (a) anote las expresiones que calculan el centro de curvatura y radio de curvatura (b) si S=parámetro de longitud de arco 3
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explique cómo se halla la expresión de la misma curva según:
r ( s) (r1 (s), r2 ( s), r3 (s)) (c) si
existe, identifique el valor de r ' ( s )
37) (01/04/2011)Se conoce que los que los módulos de los vectores a , b son iguales y forman un ángulo de
3
,Si el módulo de a + b es cuatro unidades mayor que el módulo de a ;
deducir una expresión para el módulo de b 38) (01/04/2011)Encontrar el punto Q que es simétrico de P=(4,1,6) respecto ala recta:
2 x y 2 z 3 0 x y 4 z 12 0
L:
39) (01/04/2011)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente al plano: 2 x y 2 z 12 0 en el punto
2y z 7 0 2 x 3 y 8 0
A(-2,2,5) y tiene su centro en la recta L0 :
40) (01/04/2011)Hallar la curvatura y torsión en un punto cualquiera de la curva definida por:
x2 4 y 0 3 x 24 z 0
( y 2) 2 Luego, analice si existe o no relación de los resultados obtenidos con la cantidad 2 41) (18/09/2010)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente a las rectas L1:
x 4 y 2 z 3 L2 : P(x,y,z)=(-7,-2,1)+m(3,2,1), sabiendo que uno de sus diámetros 2 1 1
es perpendicular a ambas rectas 42) (18/09/2010)Hallar las ecuaciones
de
los
planos
tangentes
x 2 y 2 z 2 10 x 2 y 26 z 113 0 y paralelos a las rectas L1: L2:
a
la
esfera
x 5 y 1 z 13 3 2 2
x 7 y 1 z 8 3 0 2
43) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva “C” descrita por la función vectorial
r (t ) ( x(t ), y(t ), z (t )) expresada en metros y “t” en segundos, Si la rapidez de la partícula es 2 constante e igual a 10 m/s, si el vector Tangente Unitario es paralelo al vector (t ,1,0) ,
determinar (a) La curvatura de ”C” como una función de t (b) La ecuación de la recta tangente a
la curva en el punto r (1) (1,3,6) 3 2 44) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva x t , y t 4 , z t 4t ,
siendo ”t” el tiempo Hallar (a) La componente de su velocidad en la dirección de la recta
x y 1 z (b) ¿Para qué valor de “t” su aceleración no tiene componte sobre la recta dada? 1 1 0 4
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45) (18/09/2010) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 45º y el módulo de b es 3 2
Hallar el módulo de a de modo que el vector a - b sea perpendicular a b 46) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Dada la curva r r (t ) , el plano rectificante es aquel que contiene a los vectores tangente unitario y binormal principal en algún punto de dicha curva (F) 47) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Si u v u v u v
(F)
(V)
(V)
48) (26/03/2010) Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros formados por los planos: 3x 4 y 6 0 ; 6 x 6 y 7 z 16 0 49) (26/03/2010) La Traza de una superficie esférica con el plano XZ es la circunferencia
x 2 z 2 2 x 2 z 3 0 . Hallar su ecuación si pasa por el punto P0 (3,4,2) 1 50) (26/03/2010) Una trayectoria esta definida por: g ( s) (arctg ( s), ln s 2 1, s arctg ( s)) (a) 2 Determinar si el parámetro “S” es la longitud de arco (b) Hallar la curvatura y el radio de curvatura. 51) (26/03/2010) Una partícula se mueve a lo largo de la curva
f (t ) (t 2 , ln(t ),2t ) , siendo t el
tiempo. Hallar en t=1: (a) Las componentes tangencial y normal de la aceleración (b) Las compontes de la velocidad y la aceleración en la dirección de la recta: x t 11 , y 2t ,
z 2t 5 (c) La curvatura, la torsión, el radio de curvatura y el radio de torsión.
dB v 52) (26/03/2010) Indicar si N , donde “ v ” es la rapidez y “ ” es el radio de Torsión, dt Justificar su respuesta. 53) (26/03/2010) Indicar en que plano se encuentra el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio.
54) (26/03/2010) Sean u y v dos vectores no nulos tales que u v t , Si el ángulo entre ambos vectores es
y la norma de su diferencia es 2 t , Hallar: t 3
55) (17/09/2009) Si los vectores no coplanares u , v ,
w
3
R
tiene un origen común.
Demostrar que el plano que pasa los extremos de estos vectores es perpendicular al vector
u v v w w u
56) (17/09/2009)Una función vectorial f (t ) esta dada
g t esta dada por la curva
por la curva
y e x , con 0 x 1 y
x y 2 ln( x y) 2 ln 2 , con 2 x y 2e .Determinar la
relación que existe entre sus longitudes de arco 5
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57) (17/09/2009)Determinar la ecuación de la recta que es paralela a los planos y corta a las
x 5 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2 , 2 3 4 2 3 4
rectas 3x 12 y 3z 5 0 , 3x 4 y 9 z 7 0
58) 17/09/2009)Determinar la ecuación de la esfera cuyo centro esta en la recta Bisectriz
x 1 y 1 z 2 2 2 1 planos 2 x 2 y z 5 0 , 2 x 2 y z 3 0
determinada por las rectas
,
x 1 y 3 z 2 y es tangente a los 6 2 3
59) (17/09/2009)Determinar el plano osculador a la curva determinada por la intersección de las superficies x 2 y 2 z 2 24 ,
x y z 0 ,en el punto A(2,2,-4)
60) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria
x2 y 2 z 2 9 que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto (-2,-1,-2) c: 2 2 x y 3 61) (25/03/2009) Hallar un punto de la recta L1: (2,11,14) t (2,4,5) que equidiste del eje “x” y la L2: (1,7,0) k (0,0,5) k y t son variables Reales.
recta
2 2 2 62) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a ( x 1) ( y 3) ( z 2) 24
y 5 z ,x 5 2 1
, y que pasan por la recta L:
63) (25/03/2009) Demostrar, y dar una interpretación geométrica cuando corresponda:
2
(a) c d c d 2 c d (b)
2
1 c d c d c d 4
64) (25/03/2009) Sean ABCD un cuadrilátero y PQR y S los puntos medios de los lados sucesivos. Demostrar que el perímetro de paralelogramo PQRS es igual a la suma de las longitudes de las diagonales de ABCD 65) (25/03/2009) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto : P(-1,6,-3), y es tangente al plano: P=(7,3,8)+u(-17,3,8)+v(7,-21,8), en el punto P0(7,3,8) 66) (18/09/2008) ¿Qué condición deben cumplir el vector direccional De una recta y el vector normal de un plano, para que la recta sea paralela al plano?
67) (18/09/2008) Si a , b , c 0 ¿Qué significado geométrico tiene este producto triple? Explique 68) (18/09/2008) En una Trayectoria rectilínea señale que componente de la aceleración se anula 69) (18/09/2008) En una Trayectoria circular de radio "a" , indique que dirección tiene la aceleración 70) (18/09/2008) Si el ángulo formado por los vectores
v y w es de 45º y el módulo de v
es 3;encontrar el módulo de w de manera que ( v + w ) forme con v un ángulo de 30º 71) (18/09/2008) Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(3,1,-3), B(-2,4,1), C(5,0,0) y su centro está en el plano 2 x y z 3 0 72) (18/09/2008) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L:(1,8,1)+t(1,-3,1) y forma una ángulo de 60º con el plano 2 x y z 7 6
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73) (18/09/2008) Una particular se mueve siguiendo la trayectoria dada por la intersección de
1 1 1 x 2 y 2 z 2 1 y el plano y z , Hallar: (a) El vector velocidad en el punto P , , (b) 2 2 2 1 1 1 Componentes tangente y Normal de la aceleración en el punto P , , 2 2 2 74) (20/09/2007) Un proyectiles es lanzado desde el nivel suelo (z=0) siguiendo la trayectoria dada por z 125 x 2 y 2 ; y 2 x
.Hallar: (a) El Radio de curvatura en el punto más alto que
alcanza el proyectil (b) El alcance horizontal del proyectil (c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración para t=1(d) la ecuación del plano osculador para t=1 75) (20/09/2007) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0(3,-2,-4), es paralela al
x 2 y 4 z 1 3 2 2
plano 3x 2 y 3z 7 0 y se corta con la recta
76) (20/09/2007) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son 2 a b y 4 a 5 b
;sabiendo que a, b subtienden un ángulo de
y además a 1 b 3 6
77) (20/09/2007) Hallar el valor reducido de: a ( b c ) b ( c a ) c ( a b )
“SE RECOMIENDA LEER Y COMPRENDER EL RESUMEN DE TEORÍA ANTES DE RESOLVER LOS PROBLEMAS Y AL FINAL DEL TEXTO TENEMOS LOS PROBLEMAS DE RETO PERSONAL QUE SON EXÁMENES DE UNIVERSIDADES EXTRANJERAS”
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CAPITULO I VECTOR: [Es un
Q
PQ
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VECTORES SEGMENTO de recta PQ que va de un punto “ P ” a otro punto “ Q ”,
aquí se llama a “ P ” el punto inicial u origen de PQ y “ Q ” se denomina punto terminal, fin o término del vector]
PQ Q P
a a1 , a2 , a3
*El Vector en 3 es una TERNA ORDENADA:
p
*vector opuesto: a a1 ,a2 ,a3 vector nulo: 0 0,0,0
PUNTO MEDIO ( M ): Sean P y Q M
PQ 2
INTERPRETACION GRAFICA
SUMA= UNIR (COLA Y PUNTA)
b
SUMA DE VECTORES (ADICIÓN): Sean
a a1 , a2 , a3 y b b1 , b2 , b3
ab
a
a b
a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3
a
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN
b 3) a 0 0 a a
1) a b b a
2) (a b) c a (b c)
4) a ( a ) 0
DIFERENCIA DE VECTORES: a b a (b) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Sea
a a1 , a2 , a3 un vector y “ m ” un escalar ma ma1 , ma2 , ma3
PROPIEDADES 1) m(na) mn(a)
4) 0(a) m0 0
2) (m n)a ma na
5) 1(a) a
3) m(a b) ma mb VECTORES BASE O BASE CANONÍCA (VECTORES UNITARIOS DIRECCIONALES DEL SISTEMA EUCLIDIANO)
i 1,0,0
j 0,1,0 k 0,0,1
También se puede representar
“ a a1 , a2 , a3 ” como combinación lineal de su base canoníca
a a1 i a2
j , a3 k
PRODUCTO ESCALAR: “EL RESULTADO DE UN PRODUCTO ESCALAR ES UN NUMERO POR TANTO UN ESCALAR”
Sean a a1 , a2 , a3 y b b1 , b2 , b3
a b a1b1 a2 b2 a3b3
PROPIEDADES 3) (ma) b mb a m(a b)
1) a b b a
2) a (b c) a b a c
4) a a 0
MÓDULO DE UN VECTOR: “Es el tamaño del vector” Sea
a a1 , a2 , a3 el módulo es: a a a1 a 2 a3 2
2
2
a aa
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PROPIEDADES 1)
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ANGULO ENTRE DOS VECTORES
a 0
2) a 0 a 0
a
3) ma m a
4) a b a b desigualdad triangular 5)
b
a b a b cos ay b
a b a b
6) a b a b
VECTOR UNITARIO (VERSOR)
a
a
a
condición
a
1
*PARA LA BISECTRIZ ENTRE DOS VECTORES SIEMBRE ES CONVENIENTE USAR VECTORES UNITARIOS EN FUNCIÓN DE COSENOS DIRECTORES PARA VECTORES
3 :
a cos i cos
PERPENDICULARIDAD (ORTOGONALIDAD) DE VECTORES : Si
VECTOR PROYECCIÓN: La proyección de un vector
a
siempre es perpendicular
Pr oy a b
ab Pr oy b a a 2 b b
COMPONENTE: Es el módulo del Vector Proyección
j cos k
PROYECCION
a es perpendicular a b a b 0
ab Pr oy b a 2 b b
b
Pr oy
a
b
Compb a Pr oyb a
PRODUCTO VECTORIAL “EL RESULTADO DE UN PRODUCTO VECTORIAL ES UN VECTOR PERPENDICULAR A LOS MISMOS” ” Sean
a a1 , a2 , a3 y b b1 , b2 , b3
i
j
a b a1 a2 b1
b2
PRODUCTO VECTORIAL
k
a3 a2b3 a3b2 , a3b1 a1b3 , a1b2 a2b1
ab c
b3
PROPIEDADES
“Regla de signos” ”
c
b
a
1) a b b a
2) a (b c) a b a c
3) (ma) b mb a m(a b) 4) a a 0 9
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PARALELISMO DE VECTORES: Si a es paralelo a b a mb ó
ab 0
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AREA DEL PARELOLOGRAMOS
ÁREA DEL PARALELOGRAMO
b
a b a b sen ay b
a b AREA ó
a
PRODUCTO MIXTO
“EL RESULTADO DE UN PRODUCTO MIXTO ES UN ESCALAR” ”
a b AREA
Sean a a1 , a2 , a3 ; b b1 , b2 , b3 y c c1 , c2 , c3
b
a1
a2
a b c a, b, c b1 c1
b2
b3 ( a1 (b2 c3 b3c2 ) b1 a2 c3 a3c2 ) c1 (a2b3 a3b2 )
c2
c3
a
a3
PARALELEPIPEDO
PROPIEDADES
a b c volumen
1) a b c a b c
a
2) a b c c a b b c a
3) a b c c b a b a c
VECTORES CONTENIDOS EN EL PLANO
c
b
(VECTORES COPLANARES)
a bc 0
VOLUMEN DEL TETRAEDRO
a bc 6
VTETRAEDRO
TETRAEDRO
abc
TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
6
1) a (b c) (a c)b (b a)c
volumen
a
2) (a b) c (a c)b (b c)a
b
(a b) c a (b c)
c
IDENTIDAD DE LAGRANGE
a b c d a b c d
10
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PROBLEMAS RESUELTOS DE VECTORES 1) (18/09/2010) Diga si es falso o verdadero
Si u v u v u v
(F)
(V)
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
2) (25/03/2009) Demostrar, y dar una interpretación geométrica cuando corresponda:
(a) c d c d 2 c d (b)
2
2
1 c d c d c d 4
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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3) (29/03/2012) Escriba el vector A (3,2,6) ;Como la suma de los vectores; uno paralelo a
B (2,4,1) y otro perpendicular a B ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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4) (20/09/2007) Hallar el valor reducido de: a ( b c ) b ( c a ) c ( a b ) ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
5) (28/03/2013)Sean
los
vectores
m n n r n (b)
m,n
y
r
si
m n m r m ;
calcular:
(a)
m n n r n
_______________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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6) (15/09/2011)En el paralelogramo ABCD, el Angulo en el vértice A es de 60º y se conoce que:
AB 2 , AB 4 Si: p Pr oy AC , AD
q Pr oy AC Determinar p+q=? AB
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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n 1 7) (25/11/2013) (a) Sean x , y R dos vectores unitarios tales que: x , y ; x , y x y
2
(i) x e y pueden ser ortogonales
(ii) x y 1
(iii) El ángulo que forman los vectores x e y es (iv)
x y 2
3
(b) Dado el hexágono regular de lado “ a ” Hallar la
C
B A
D F
E
proyección ortogonal de sobre BE ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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8) (27/03/2014)Considerar la Figura. Hallar (a) Coordenadas de A para que ABCD sea un paralelogramo (b) Sin Hallar su ecuación, Demostrar que el paralelogramo se encuentra contenido en un plano (c) Hallar el área del parelogramo
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A
B(1,1,1)
D(4,4,1)
C (2,2,0)
___________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
17
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9) (15/09/2011)Si A(1,1,1), B(2,3,4), C(4,3,2) Son vértices de un triangulo. Si el segmento OP es perpendicular al lado AC y “O” es el punto medio del segmento AB. Determinar el área del cuadrilátero OBCP ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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10) (01/04/2011)Si A,B,C son vértices de un triangulo equilátero cualquiera de R3 ; usando propiedades vectoriales (a) Deducir la expresión que calcula su área (b) probar que uniendo los puntos medios de los lados se forman otro triangulo que debe ser también equilátero. ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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11) (26/03/2010) Sean u y v dos vectores no nulos tales que u v t , Si el ángulo entre ambos vectores es
y la norma de su diferencia es 2 t , Hallar: t 3
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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12) (29/03/2012) Damos un tetraedro con vértices (-1,2,3);(2,3,-4);(1,5,0);(3,-2,-1) (a) Calcular el Volumen (b) Los VECTORES DE AREA, son aquellos perpendiculares a cada cara apuntando hacia fuera y con magnitud igual al área del respectivo triangulo. Verificar que la suma de los 4 vectores se igual a cero. ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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13) (25/03/2009) Sean ABCD un cuadrilátero y PQR y S los puntos medios de los lados sucesivos. Demostrar que el perímetro de paralelogramo PQRS es igual a la suma de las longitudes de las diagonales de ABCD ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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14) (01/04/2011)Se conoce que los que los módulos de los vectores a , b son iguales y forman un ángulo de
3
,Si el módulo de a + b es cuatro unidades mayor que el módulo de b ;
deducir una expresión para el módulo de a ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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15) (18/09/2010) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de 45º y el módulo de b es 3 2
Hallar el módulo de a de modo que el vector a - b sea perpendicular a b ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
16) (18/09/2008) Si el ángulo formado por los vectores
v y w es de 45º y el módulo de v
es 3;encontrar el módulo de w de manera que ( v + w ) forme con v un ángulo de 30º ____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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17) (20/09/2007) Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son 2 a b y 4 a 5 b
;sabiendo que a, b subtienden un ángulo de
y además a 1 b 3 6
____________________________________________________________________________ SOLUCIÓN
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18) (18/09/2008) Si a , b , c 0 ¿Qué significado geométrico tiene este producto triple? Explique SOLUCIÓN_________________________________________________________________
a b c 0 ¿El significado geométrico es el volumen del paralelepípedo? Si es Cero los
VECTORES CONTENIDOS EN EL PLANO (VECTORES COPLANARES)
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GEOMETRÍA EN EL ESPACIO ( 3 )
CAPITULO II
PUNTO: [Es una TERNA ORDENADA p x, y, z ] PUNTO MEDIO ( M ): Sean P y Q M
PQ 2
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: FORMA VECTORIAL: Sean P y Q d 0 P 0Q FORMA ESCALAR: Sean P1 ( x1 , y1 , z1 ) y P2 ( x2 , y 2 , z 2 )
d ( x2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 RECTA:
a
p0
[Para obtener una recta es necesario contar
Re cta
con un PUNTO CONOCIDO “ p0 x0 , y 0 , z 0 “
y un VECTOR DIRECCIONAL a a1 , a 2 , a3 ] ECUACIÓN DE LA RECTA MEDIANTE DOS PUNTOS CONOCIDOS:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido Y
p1 x1 , y1 , z1 punto conocido
p0 x0 , y 0 , z 0
=CUALQUIERA DE LOS DOS; VECTOR DIRECCIONAL a p1 p 2 FORMA VECTORIAL DE LA RECTA:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional
p p0 ta
FORMA PARAMÉTRICA DE LA RECTA: [TOMAR EN CUENTA QUE EN ESTA FORMA LA RECTA SE TRANSFORMA EN UN PUNTO MÓVIL]
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional
x x 0 ta1 y y 0 ta 2 z z ta 0 3
FORMA SIMÉTRICA (CANONÍCA) DE LA RECTA:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto
a a1 , a 2 , a3 =
conocido
vector
direccional
x x0 y y 0 z z 0 a1 a2 a 31 FORMA
INTERSECCIÓN
ENTRE
2
PLANOS:
A0 x B0 y C 0 z D0 0 ,Dos A1 x B1 y C1 z D1 0
planos
intersectados forman una recta
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MÉTODOS PARA HALLAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA: MÉTODO 1: se debe hallar
p0 x0 , y 0 , z 0 como el sistema es indeterminado se debe
suponer x0 0 ó y 0 0 ó z 0 0 y resolver el sistema Para el vector direccional a A0 , B0 , C0 A1 , B1 , C1 MÉTODO 2: se debe hallar RESOLVER EL SISTEMA LINEAL EN FORMA PARAMÉTRICA como el sistema es indeterminado se debe realizar el cambio: x t ó y t ó z t y resolver
x x 0 ta1 el sistema el resultado será la ecuación de la recta en forma paramétrica. y y 0 ta 2 z z ta 0 3 CONDICIONES
Una Recta se puede escribir en su forma simétrica como la intersección de dos planos,
Si el vector direccional tiene alguna componte cero, ejemplo
L:
x x0 y y 0 z z 0 x x0 y y 0 L: z z0 a1 a2 0 a1 a2
Una Recta se puede escribir en su forma simétrica como la intersección de dos planos, Si el vector direccional tiene dos componte cero, ejemplo
L:
x x0 y y 0 z z 0 L : x x0 z z 0 a2 0 0
Si dos rectas son paralelas sus vectores direccionales son paralelas Si a es paralelo a b
a mb ó
a b 0 , pero como solo necesitamos la dirección supondremos a b
Si dos rectas son perpendiculares sus vectores direccionales son perpendiculares Si a es perpendicular a b a b 0
Rectas alabeadas “se cruzan pero no se cortan”
Una Recta en su estado natural podría nacer de una familia de Planos (planos intersectados)
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido de la recta
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional de la recta, p1 x1 , y1 , z1 punto externo
desea medir la distancia a la recta
d
del cual se
( p 0 p1 ) a a
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DISTANCIA ENTRE L1
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2 RECTAS
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ALABEADAS: p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido de la recta
a a1 , a 2 , a3 = vector direccional de la recta L1, p1 x1 , y1 , z1 punto conocido de la
recta L2 b b1 , b2 , b3 = vector direccional de la recta L2
d
( p 0 p1 ) (a b) ( a b)
PLANO: [Para obtener un PLANO es necesario contar con un PUNTO CONOCIDO “
p0 x0 , y 0 , z 0 “ y un VECTOR NORMAL N A, B, C el cual es perpendicular a todo el
plano] ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO:
( p p0 ) N 0
N
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
N A, B, C = vector NORMAL
p0
( p p0 ) N 0
ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido N A, B, C = vector NORMAL
[Donde “D D”
Ax By cZ D 0
es el desfase al origen Del Sistema Euclidiano, si D 0
Ax By cZ 0
el plano pasa por el origen del sistema Euclidiano]
z
ECUACIÓN SIMÉTRICA CANONÍCA:
x y z 1 a b c
1 1 1 N , , Vector NORMAL a b c
donde: a ejex b ejey
x y z 1 a b c b
N
a
y
x
c ejez
Formando si un TETRAEDRO de volumen:
c
abc 6
VTETRAEDRO
ECUACIÓN DE UN PLANO POR 3 PUNTOS CONOCIDOS: p 0 , p1 y p 2 punto conocido y no colineales, NORMAL
p0 x0 , y 0 , z 0 =cualquiera de los 3 puntos N p1 p0 p2 p0 vector ( p p0 ) N 0
ECUACIÓN DE UN PLANO POR 2 RECTAS NO PARALELAS:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto cualquiera de las dos rectas
N A, B, C = vector NORMAL se obtiene multiplicando vectorialmente los vectores direccionales de la recta N a b
( p p0 ) N 0
N p0
b a
( p p0 ) N 0
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ECUACIÓN DE UN PLANO POR 2 RECTAS PARALELAS:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto cualquiera de las dos rectas
N
N A, B, C = vector NORMAL se obtiene multiplicando
c
p0
Vectorialmente los vectores, ( a vector direccional)
( p p0 ) N 0
b
a
c (Vector obtenido por p 0 y p1 ) c p1 p`0 N ac
p1
( p p0 ) N 0
DISTANCIA DE UN PUNTO p0 x0 , y 0 , z 0 AL PLANO: PLANO: Ax By cZ D 0 FAMILIA
DE
PLANOS;
PUNTO: p0 x0 , y 0 , z 0
Sea
A0 x B0 y C 0 z D0 0 A1 x B1 y C1 z D1 0
d
Ax 0 By 0 Cz 0 D A2 B 2 C 2
entonces
un
plano
general
A0 x B0 y C0 z D0 k A1 x B1 y C1 z D1 A2 x B2 y C2 z D2 ....... 0 Se simplificando se tiene al representante de la familia:
x y z 0
CONDICIONES GEOMÉTRICAS Si dos PLANOS son paralelos sus NORMALES son paralelas Si N1 es paralelo
a N2
N1 m N 2 ó N1 N2 0 , pero como solo necesitamos la dirección supondremos N 1 N 2 Si dos PLANOS son perpendiculares sus NORMALES son perpendiculares Si N1 es perpendicular a N 2 N1 N 2 0 Todo plano tangente a una esfera se
puede usarse su normal como vector direccional
para hacer pasar una recta por el centro de la esfera Si dos planos son paralelos a una recta ,y no paralelos entre si, el vector direccional de la recta será el producto vectorial de los planos Sean dos planos paralelos y tangentes a una esfera su distancia entre los planos será el
A0 x B0 y C0 z D1 0 A0 x B0 y C0 z D2 0
diámetro de la esfera:
d
D2 D1 2
2
A0 B0 C 0
2
*Un Triángulo inscribe otro triángulo paralelo a sus lados pasando por los puntos medios los vértices de este (Recordar las relaciones que rigen en Geometría Euclidiana)
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CUADRICAS: ESFERA: Centro C (h, j, l ) y
x h
el
2
Radio
y k z l 2
2
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ELIPSOIDE: Centro C (h, j, l )
Ra a2
x h a
2
2
y k
2
2
b
z l
2
1
c2
HIPERBOLOIDE HOJA
x h 2 y k 2 z l 2 a2
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJA
x h a
2
2
y k b
2
2
z l c
2
2
1
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
(SILLA DE MONTAR)
x h a2
2
y k b2
2
CONO
x h a
2
2
y k b
2
2
z l c
CILINDRO
C (h, j, l )
z l
x h
c
a2
2
y k
b2
1
c2
1
PARABOLOIDE ELÍPTICO
x h 2 y k 2 a
2
b
ELÍPTICO: CILINDRO
2
b2
2
2
DE UNA : C (h, j, l )
2
EN
GENERAL
z l c
FORMA
z f ( x, y)
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PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 19) (18/09/2008) ¿Qué condición deben cumplir el vector direccional De una recta y el vector normal de un plano, para que la recta sea paralela al plano? SOLUCIÓN_________________________________________________________________ EL VECTOR DIRECCIONAL DE LA RECTA DEBE SER PERPENDICULAR A LA NORMAL DEL
PLANO, ENTONCES: u N 0 20) (17/09/2009)Determinar la ecuación de la recta que es paralela a los planos y corta a las rectas 3x 12 y 3z 5 0 , 3x 4 y 9 z 7 0
x 5 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2 , 4 2 3 2 3 4
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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21) (25/03/2009) Hallar un punto de la recta L1: (2,11,14) t (2,4,5) que equidiste del eje “x” y la recta
L2: (1,7,0) k (0,0,5) k y t son variables Reales.
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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22) (01/04/2011)Encontrar el punto Q que es simétrico de P=(4,1,6) respecto ala recta:
2 x y 2 z 3 0 x y 4 z 12 0
L:
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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23) (20/09/2012)Deducir la expresión que calcula la distancia mínima entre dos rectas alabeadas (que se cruzan pero no se cortan) en el espacio R3. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
40
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24) (17/09/2009) Si los vectores no coplanares u , v ,
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w
3
R
tiene un origen común.
Demostrar que el plano que pasa los extremos de estos vectores es perpendicular al vector
u v v w w u SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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25) (20/09/2007) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0(3,-2,-4), es paralela al plano
3x 2 y 3z 7 0
y
se
corta
con
la
recta
x 2 y 4 z 1 3 2 2
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
42
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26) (29/03/2012) Hallar en el plano X,Y un punto P de modo que la suma de sus distancias a los puntos A(4,2,7); B(3,5,5) sea mínima. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
43
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27) (27/03/2014)Una recta que pasa por el punto A(-3,8,5) y se desarrolla según la dirección del vector (-1,2,1), se intersecta con el plano de ecuación x y z 4 , Hallar la ecuación de la recta que se refleja en el plano dado. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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(25/11/2013) Un rayo de luz L1, pasa por el punto (1,2,3) y sigue la dirección del vector
u (2,1,3) . Al llegar al espejo plano cuya ecuación es x y 2 z 30 0 , se origina el rayo
reflejado L2 y esta llega a un segundo espejo 2 x y z 30 0
generando el rayo reflejado
L3, Hallar la distancia mínima entre los rayos L1 y L3. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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29) (18/09/2008) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L:(1,8,1)+t(1,-3,1) y forma una ángulo de 60º con el plano 2 x y z 7 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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30) (20/09/2012)Hallar
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la
ecuación
JOSUE PAYE CHIPANA
del plano que pertenece a la 3x 4 y z 6 2 x 3 y z 2 0 y equidista de los puntos A(3,-4,-5), B(1,2,2)
familia
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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31) (25/11/2013) Dados los puntos P1(3,2,1),P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1), Hallar las ecuaciones de 4 planos paralelos PL1, PL2, PL3 y PL4 que pasen por P1(3,2,1), P2(2,-1,0), P3(-1,3,5) y P4(2,-3,1) respectivamente de modo que los planos tomados de a dos, se hallen separados una misma distancia, es decir que la distancia entre PL1 y PL2 se a la misma que entre PL2 y PL3 y que PL3 y PL4. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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32) (15/09/2011)Determinar la ecuación del plano perpendicular al plano horizontal que pasa por (0,0,2) Contiene al punto B(2,2,2) y forma un Angulo de 60º con el plano
3 x 2 y 3z 2 0
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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33) (26/03/2010) Hallar las ecuaciones de los planos bisectores de los ángulos diedros formados por los planos: 3x 4 y 6 0 ; 6 x 6 y 7 z 16 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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34) (27/03/2014)Hallar la ecuación de la esfera ,sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento comprendido entre el punto P(1,2,3), y el punto de tangencia de la esfera con el plano
xz 2 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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35)
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(25/11/2013)Hallar la ecuación de la superficie esférica que sea tangente a la esfera
x y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 5 0 y al plano 3x 2 y 6 z 4 0 . El punto de tangencia con la 2
esfera (3,0,2). SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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36)
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(28/03/2013)(a) Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 6 0 , si el centro es la intercesión de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que
pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 (b) Hallar la ecuación 2 3 8
de la recta L1 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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37) (20/09/2012)Hallar la ecuación de la esfera que contiene a las circunferencias
y 2 z 2 36 y2 z2 9 y x2 x3 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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38) (15/09/2011)Determinar la ecuación de la esfera que es tangente al plano 2 x 2 y z 5 0 , el centro es el punto de interseción de las rectas L1 y L2, donde L1 es la recta que pasa por P(4,3,1) y es perpendicular a la recta L2:
x 5 y 4 z 10 2 3 8
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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39) (01/04/2011)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente al plano: 2 x y 2 z 12 0 en el punto
2y z 7 0 2 x 3 y 8 0
A(-2,2,5) y tiene su centro en la recta L0 :
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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40) (18/09/2010)Hallar la ecuación de la esfera que es tangente a las rectas L1:
x 4 y 2 z 3 L2 : P(x,y,z)=(-7,-2,1)+m(3,2,1), sabiendo que uno de sus diámetros 2 1 1
es perpendicular a ambas rectas SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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41) (18/09/2010)Hallar
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las
ecuaciones
de
los
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planos
tangentes
x 2 y 2 z 2 10 x 2 y 26 z 113 0 y paralelos a las rectas L1: L2:
a
la
esfera
x 5 y 1 z 13 3 2 2
x 7 y 1 z 8 2 3 0
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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42) (26/03/2010) La Traza de una superficie esférica con el plano XZ es la circunferencia
x 2 z 2 2 x 2 z 3 0 . Hallar su ecuación si pasa por el punto P0 (3,4,2) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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43) 17/09/2009)Determinar la ecuación de la esfera cuyo centro esta en la recta Bisectriz
x 1 y 1 z 2 2 2 1 planos 2 x 2 y z 5 0 , 2 x 2 y z 3 0 determinada por las rectas
,
x 1 y 3 z 2 y es tangente a los 6 2 3
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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44) (25/03/2009)
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Hallar
las
ecuaciones
de
( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 24 , y que pasan por la recta L:
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los
planos
tangentes
a
y 5 z ,x 5 2 1
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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45) (25/03/2009) Hallar la ecuación de la superficie esférica que pasa por el punto : P(-1,6,-3), y es tangente al plano: P=(7,3,8)+u(-17,3,8)+v(7,-21,8), en el punto P0(7,3,8) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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46) (18/09/2008) Hallar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(3,1,-3), B(-2,4,1), C(-5,0,0) y su centro está en el plano 2 x y z 3 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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2 2 2 47) (29/03/2012) En la cuadrica: x y z 11 2( x 2 y 3z ) . Hallar el punto mas próximo al
plano 3x 4 z 19 0 .Luego calcular la distancia desde ese punto al plano. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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2 2 48) (29/03/2012) Bosqueje una grafica de la Cuadrica : x y 2 x 2 y 0
SOLUCIÓN_________________________________________________________________ SON DOS PLANO : (VISTA EN PLANTA) PL XY
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CAPITULO III
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FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
Una función vectorial se asigna a la representación de curvas en el (plano 2D y el espacio 3D ), una curva en el espacio C es un conjunto de todas las ternas ordenadas f t , g t , hg t junto a sus ecuaciones paramétricas
x f (t )
donde
y g (t ) z h(t )
f (t ) g (t ) h(t )
son funciones continuas de “t” en un intervalo “I” FUNCIÓN VECTORIAL: Es un tipo de funciones que asigna vectores a números reales
r x, y, z LIMITES
r f (t ), g (t ), h(t )
DERIVADAS
E
INTEGRALES
r f (t ), g (t ), h(t ) se tiene:
EN
Limite: Lim r Lim f (t ), Lim g (t ), Lim h(t ) t t0
Integral:
t t0
t t0
t t0
FUNCIONES
Derivada:
VECTORIALES:
Sea
d d d d r f (t ), g (t ), h(t ) dt dt dt dt
r dt f (t )dt, g (t )dt, h(t )dt
DERIVADAS EN PRODUCTO DE FUNCIONES VECTORIALES PRODUCTO VECTORIAL:
PRODUCTO ESCALAR:
d d d r(t ) f (t ) r(t ) f (t ) r(t ) f (t ) dt dt dt LONGITUD DE CURVA “ l ”: l
d d d r(t ) f (t ) r(t ) f (t ) r(t ) f (t ) dt dt dt
t2
r
(t )
' dt
t1
LONGITUD DE ARCO“ S ”: S
t
r
(t )
' dt
y se obtiene de
0
dS r(t ) ' dt
TRIEDRO MOVIL
TRIEDRO MÓVIL: “Formado por los vectores Tangente unitario,
Binormal unitario y Normal principal unitario, los cuales forman un triedro móvil (ortogonal)
B
N
T
que va viajando a lo largo de la curva suave”
N B T
p0
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TANGENTE
UNITARIO
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T:
T
r( t ) ' r( t ) '
d r s parámetro longitud de T ds
N:
N
'r
'
r(t ) ' r(t ) ' 'r(t ) ' r(t )
r( s ) x( s ) i y( s ) j z( s ) k donde “S” es
BINORMAL UNITARIO
NORMAL PRINCIPAL UNITARIO
CUANDO
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( t ) ' 'r( t )
B:
N
B
r(t ) 'r(t ) ' ' r(t ) 'r(t ) ' '
T'
T'
PLANO OSCULADOR: (PLANO QUE BESA A LA CURVA) ) Si la curva es plana (no una
recta), el plano osculador coincide con el plano de la curva.
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
B = BINORMAL es vector NORMAL
( p p0 ) B 0
RECTA BINORMAL:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
B = BINORMAL es vector DIRECCIONAL
p p0 m B
PLANO NORMAL:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido T = TANGENTE es vector NORMAL
( p p0 ) T 0
RECTA TANGENTE:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido T = TANGENTE es vector DIRECCIONAL
p p0 mT
PLANO RECTIFICANTE:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
N = NORMAL es vector NORMAL
( p p0 ) N 0
RECTA NORMAL:
p0 x0 , y 0 , z 0 =punto conocido
N = NORMAL es vector DIRECCIONAL
p p0 m N
FUNCIÓN VECTORIAL CON PARÁMETRO “S” LONGITUD DE ARCO: Si “C” es una curva
suave dada por: r( s ) x( s ) i y( s ) j z( s ) k donde “S” es parámetro longitud de arco, debe cumplir:: r( s ) ' 1
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*”Si
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“t” es cualquier parámetro de la función vectorial r(t ) x(t ) i y(t ) j z(t ) k y cumple
r(t ) ' 1 entonces t s ”
dT FORMULAS DE FRENET-SERRET: KN ds
dB N ds
dN B K T ds
CURVATURA” K ”:” Es la tendencia de la tangente (velocidad) a cambiar su dirección
r 'r ' ' dT respecto a la recta tangente” ” K 3 ds r' Cuando la función vectorial esta en función del parámetro longitud de arco “S” K r(s ) ' ' Si la curva es dada por: y f (x) K
Si la curva es dada por:
x x(t ) y y (t )
K
y' '
1 y'
3 2 2
x' y ' ' x' ' y '
x'
2
3 2 2
y '
curvatura en función de Velocidad y Aceleración: K
RADIO DE CURVATURA “ RK ”: RK
1 K
a (t ) N (t ) v
2
CENTRO DE CURVATURA: C r RK N
CIRCUNFERENCIA OSCULADORA: Se encuentra contenida en el plano osculador
de curvatura “ C r RK N ” y Radio de Curvatura RK
1 ] K
[Con centro
TORSIÓN” ”: Es la tendencia de apartarse respecto al plano (P PLANO OSCULADOR)
r 'r ' 'r ' ' ' dB 2 ds r 'r ' ' Cuando
la
función
Si una curva es plana 0
vectorial
esta
en
función
del
parámetro
longitud
de
arco
“S”
r( S ) 'r( S ) ' 'r( S ) ' ' ' r( S ) '
2
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RADIO DE CURVATURA “ R ”: R VECTOR
VELOCIDAD:
v(t ) r(t ) '
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1
RAPIDEZ:
v(t )
dS r(t ) ' dt
VECTOR
ACELERACIÓN:
a(t ) r(t ) ' ' COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN:
aT a T
d 2s 2 dt v va
ACELERACIÓN
a aT T a N
EN
aN a N
FUNCIÓN
DE
SUS
va v
2
a aT
2
ds K dt
COMPONENTES
2
TANGENCIAL
NORMAL:
N
PARAMETRIZACION ESPECIALES
Sea la curva que resulta dela intersección:
ax by 2 cz 2 r 2 (1) De (2) despejamos cualquier variable nosotros tomamos “z” kx my nz d (2) 2
2
d (kx my) d (kx my) 2 z en (1) ax 2 by 2 c r n n 2 2 2 2 2 2 2 2 n ax n by cd 2dc(kx my) c(kx my) n r
n2 ax 2 n 2by 2 cd 2 2dckx 2dcmy ck 2 x 2 2ckxmy cm 2 y 2 n 2 r 2
(ck 2 n2 a) x 2 (2ckmy 2dck ) x (n2by 2 cd 2 2dcmy cm 2 y 2 n2 r 2 ) 0 Resolver la ecuación de segundo grado para “x”
p ck 2 n2 a q 2ckmy 2dck r n 2by 2 cd 2 2dcmy cm 2 y 2 n2 r 2
q q 2 4 pr x Donde la estrategia esta en la raíz que se encuentra en función de “y” 2p Recordando Sustitución Trigonométrica q 2 4 pr u 2 y 2
u 2 y 2 y
u
hacemos
sen con lo cual se elimina la raíz y tenemos parametrizadas ya las
x x( ) ecuaciones en función del ángulo: y y ( ) z z ( ) 83
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PROBLEMAS RESUELTOS DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL 49)
( x 1) 2 y 2 z 2 36 (28/03/2013)Determinar la forma de la proyección de la curva en el yz0
plano XY. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
50) (01/04/2011)Hallar la curvatura y torsión en un punto cualquiera de la curva definida por:
x2 4 y 0 3 x 24 z 0 Luego, analice si existe o no relación de los resultados obtenidos con la cantidad
( y 2) 2 2
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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51) (20/09/2007) Un proyectiles es lanzado desde el nivel suelo (z=0) siguiendo la trayectoria dada por z 125 x 2 y 2 ; y 2 x
.Hallar: (a) El Radio de curvatura en el punto más alto que
alcanza el proyectil (b) El alcance horizontal del proyectil (c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración para t=1(d) la ecuación del plano osculador para t=1 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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52) (26/03/2010) Una partícula se mueve a lo largo de la curva f (t ) (t 2 , ln(t ),2t ) , siendo t el tiempo. Hallar en t=1: (a) Las componentes tangencial y normal de la aceleración (b) Las compontes de la velocidad y la aceleración en la dirección de la recta: x t 11 , y 2t ,
z 2t 5 (c) La curvatura, la torsión, el radio de curvatura y el radio de torsión. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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53) (17/09/2009)Una función vectorial f (t ) esta dada
g t esta dada por la curva
por la curva
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y e x , con 0 x 1 y
x y 2 ln( x y) 2 ln 2 , con 2 x y 2e .Determinar la
relación que existe entre sus longitudes de arco SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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54) (18/09/2008) Una particular se mueve siguiendo la trayectoria dada por la intersección de
1 1 1 x 2 y 2 z 2 1 y el plano y z , Hallar: (a) El vector velocidad en el punto P , , (b) 2 2 2 1 1 1 Componentes tangente y Normal de la aceleración en el punto P , , 2 2 2 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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55) (17/09/2009)Determinar el plano osculador a la curva determinada por la intersección de las superficies x 2 y 2 z 2 24 ,
x y z 0 ,en el punto A(2,2,-4)
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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56) (25/03/2009) Hallar las ecuaciones de los planos definidos por el triedro móvil en la trayectoria
x2 y 2 z 2 9
que describe una partícula sobre la curva “C”, en el punto (-2,-1,-2) c:
2 2 x y 3
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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57) (15/09/2011) (a) Demostrar que la curva determinada por la interseción de las superficies
x2 y 2 2 y 2x 2 0 . Es plana (b) Determinar el plano x y 2z 2 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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58) (29/03/2012) Cual
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es el radio
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de curvatura de la curva de intersección de
( x 2) ( y 1) ( z 3) 4 , con el plano 2 x y z 2 2
2
2
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
59) (20/09/2012)La curva: r (t ) (t 2 1, t 1, t 2 ) intersecta al plano 2 x 3 y z 11 0 en dos puntos. Hallar estos puntos y calcular la distancia entre ellos a través de la curva SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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60) (29/03/2012) Dada la curva r (t ) ( 2Cosh(t ),2Senh(t ),2t ) (a) Bosquejear una grafica (b) Calcular la curvatura en t=0 (c) Calcular la Torsión en t=0 (d) plano Osculador en t=0. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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61) (20/09/2012)Para la curva del espacio R3 ; f (t ) (4 cos t ,4sent ,3t ) calcular la curvatura, torsión radio de curvatura, centro de curvatura en el punto donde t0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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(28/03/2013)Considerar la curva “C” que resulta de la intersección del cilindro parabólico
y x 2 con el plano z 2 x , Para el punto P(1,1,2) Calcular: (a) Los planos Normal, Rectificante y Osculador. (b) La curvatura y la Torsión. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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(28/03/2013)Sea f (t ) (t , ln t ) Hallar la circunferencia osculadora de dicha curva en t=1 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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64) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva “C” descrita por la función vectorial
r (t ) ( x(t ), y(t ), z (t )) expresada en metros y “t” en segundos, Si la rapidez de la partícula es 2 constante e igual a 10 m/s, si el vector Tangente Unitario es paralelo al vector (t ,1,0) ,
determinar (a) La curvatura de ”C” como una función de t (b) La ecuación de la recta tangente a
la curva en el punto r (1) (1,3,6) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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3 65) (18/09/2010)Una partícula se mueve a lo largo de la curva x t , y t 2 4 , z t 4t ,
siendo ”t” el tiempo Hallar (a) La componente de su velocidad en la dirección de la recta
x y 1 z (b) ¿Para qué valor de “t” su aceleración no tiene componte sobre la recta dada? 1 1 0 SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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3 2
3 2
1 3 2 2
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5 2
(27/03/2014)Dada la curva f (t ) ( cos t , sent , sent ) (a) Determinar si la misma
se encuentra contenida en un plano (b) En caso de estarlo, hallar la ecuación de dicho plano (c) Hallar el vector Binormal SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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67) (26/03/2010) Una trayectoria esta definida por: g ( s) (arctg ( s),
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1 ln s 2 1, s arctg ( s)) (a) 2
Determinar si el parámetro “S” es la longitud de arco (b) Hallar la curvatura y el radio de curvatura. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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dB v 68) (26/03/2010) Indicar si N , donde “ v ” es la rapidez y “ ” es el radio de Torsión, dt Justificar su respuesta. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
69) (29/03/2012) Puede una curva tener Curvatura k 0 y Torsión 0 ? Justifique su respuesta SOLUCIÓN_________________________________________________________________ PUEDE TENER CURVATURA CERO ES UNA RECTA Y YA QUE SU RADIO DE CURVATURA SERIA INFINITO CUMPLIENDO LA DEFINICIÓN DEL RECTA
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70) (26/03/2010) Indicar en que plano se encuentra el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio. SOLUCIÓN_________________________________________________________________ SE ENCONTRARÍAN EN EL PLANO OSCULADOR
71) (01/04/2011)Si una curva C de R3 se da por r (t ) (r1 (t ), r2 (t ), r3 (t )) (a) anote las expresiones que calculan el centro de curvatura y radio de curvatura (b) si S=parámetro de longitud de arco explique cómo se halla la expresión de la misma curva según:
r ( s) (r1 (s), r2 ( s), r3 (s)) (c) si
existe, identifique el valor de r ' ( s ) SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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72) (20/09/2012)Para la función: f (t ) (e 3t cos(3t ), e 3t sen(3t ), e 3t )
de: f (s )
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(a) Identificar la expresión
(b) Determinar si el parámetro “s” es la longitud de curva
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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73)
(27/03/2014)Una
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trayectoria
está
dada
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por
la
función
vectorial
n s s r ( s) (a cos , a sin , ) a R (a) Determinar el parámetro “S” es el arco (b) Obtener el a a 2 triedro T , N , B (c) Calcular la curvatura y la torsión
SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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(25/11/2013) El movimiento de un cuerpo en el espacio , está dado por las ecuaciones:
x 3t 2 cos(2t ) y 3t 2 sen(2t ) z 3 3t 2 ,Donde “t” es el tiempo. Si el movimiento empieza observarse en t 0 , para el punto en que el cuerpo haya recorrido por la curva una distancia 38, calcular la curvatura y la torsión. SOLUCIÓN_________________________________________________________________
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PROBLEMAS DE RETO PERSONAL EXÁMENES ( UNI LIMA PERU ) INGENIERÍA 78) (II/2010 2T)ABCD es un tetraedro donde C =(-5,14,-3) y D=(32,36,-6). En el triángulo ABC,
L1 7,17,9 t 5,9,4 y L2=
x 3 y 11 z 3 son dos medianas trazadas desde 9 10 4
diferentes vértices. (a) Hallar los vértices del tetraedro (b) Calcular el volumen del tetraedro. 79) (II/2008 2T) ABCD es un cuadrado con centro R, lado 8 2[u ] , BC t (0,8,8), t 0, L1 es una recta que intercepta en R al plano (PL) que contiene al cuadrado. N y E son puntos de L1 tal que AN L1, DN L1, BE L1, EC L1, LAN : x 4 4 y
z , 2
8 y z son rectas que contienen a los segmentos AN y ND respectivamente, M 2 es un punto de AD tal que AM 4MD , sea Q el plano que contiene al triángulo BEC, 8 d ( M , Q) 3 , Hallar la ecuación de PL (plano). 3 3 80) (II/2006 2T) L1 y L2 son rectas que forman un ángulo cuyo coseno es y cuya distancia 5 LND : 8 x
mínima es 6u, en L1 se ubican los puntos A y D y en L2 se ubican los puntos B y C de manera
9 es punto medio BC , CD (1,6,3) , el plano que contiene a D y L2 es: 2 6 x 5 y 8z 132 0 , hallar las coordenadas de D.
que E 6,12,
(II/2005 2T) V – ABC es una pirámide cuya base ABC es un triángulo rectángulo isósceles, recto en C de lado 2 10 , la mediana trazada de A relativa a BC es : L = (4, 4, 0) + t(-1,1, 0) 13 19 L1 BC M , L2 , ,4 t (1,1,3) V, L2 AM N , La proyección de V sobre la cara 3 3
ABC es el punto T de BA, CN k NT , k 0, P = 3x + 9y – 10z – 30 = 0 contiene a AVC. Hallar la ecuación del plano ABC.
82) (II/2004 2T)En un tetraedro D-ABC, D=(12,16,16), AB 650 , BC (7,26,0), DC 456
B=(b1, b1, b3), b1 8, DA t (10,5,16), t 0, BD y AC son ortogonales M=(17,56,0) es punto de la recta que contienen a BC . Calcular el volumen del solido limitado por el tetraedro D- ABC.
83) (II/2004 2T) En un prisma oblicuo ABCD-A’B’C’D’, BD' (3,0,4), C (1,1,1) , A’B’C’D’ es un trapecio cuya mediana M ' N ' 13 P’,Q’ son puntos medios de A' D' y B'C ' respectivamente donde AQ' M ' N ' , AP' AC 3u, P2 : 10 x 6 y 15z 6 0 contiene a los puntos A, P ’ y C. Hallar la ecuación vectorial del plano que contiene a la base ABCD. 84) (II/2003 2T) DABCO es un hexaedro de caras triangulares donde O es el origen de coordenadas, OB a la cara AOC, la medida del ángulo AOC=90º. Los planos que contienen 127
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las caras DOA y DOB son perpendiculares al plano que contiene a ABC, la recta L : Q t (13,2,3) es paralela a la intersección de los planos que contienen a los triángulos DOA y ABC e interseca esta recta AB en W=(8,-1,0). Los planos que contienen a los triángulos ACD y DOA son 2 x 4 y z 9, 2 y 3z 0 Hallar el volumen limitado por el tetraedro OABC.
85) (II/2003 2T) Dados los vectores a (1,1,0) , b (2,1,1) y c (1,3,2) vectores en V3 . x , y, z
son las proyecciones ortogonales de los vectores a , b , c sobre los planos determinados por los
vectores b , c , a , c y a, b respectivamente. Hallar el volumen del tetraedro determinado
por los vectores x , y, z
proy
a c //( 2,3,0) , b
proy
con aristas a, b y c positivamente orientado donde
86) (II/2002 2T) Sea un paralelepípedo
a b //( 4,5,6) y c
a (1,0,0) a .Si una de sus
diagonales es el valor d t (0,1,3), d 4 10 M=(3,-1,-4) es punto de intersección de las diagonales
del
paralelepípedo
L1 (1.1.1) t ( b c )
(a)
Hallar
los
vértices
del
paralelepípedo
(b)
L2 (1.1.1) t ( c b ) P es un plano que contiene a L1 y a L2.
Averiguar si el punto M y el origen de coordenadas están a un mismo lado o en lados opuestos con respecto al plano P. EXÁMENES ( U.TOKIO–JAPON) DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA (TRADUCIDO POR TRADUCTOR GOOGLE www.google.com )
87) (CICLO 2008-1) Sean los vectores a , b , c , d y e de V3 tal que a b c d e e 0,
c a 0, 2
b e 0,
c d a,
a b a b ,
c d
b c b c ,
2 d, 2
2
5 d c 8. Hallar a b d ? 2
88) (CICLO 2006-1) Sean los vectores a , b , c , d de Vn donde a b c d
a b c d 0,
a c d a c b , a a c d b c , , a c b c , 0 ,Hallar
a d a c , ?
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89) (CICLO 2006-1)Dados los puntos P=(0,0,0) y Q=(1,1,1): Determine las proyecciones de los puntos P y Q y además indique si los puntos P y Q se encuentran arriba o debajo del plano (PL) que pasa por el punto (1,4,-2) y dista una unidad de la recta L (2.6.5) t (2,4,0), t R 90) (CICLO 2006-1)Sean R y W: 17 x 17 y 7 z 298 0, dos planos secantes, sean los puntos
3 5 P , ,2 , A y B comunes a los dos planos R y W. D 8, r ,19, es un punto de W, Q es 2 2
un punto de la recta L2 D W a ,W R tal que PQ L1, PQ L2, QP//( 9,9,2),
AQ QB, PC PD, c es un punto de L2 y del plano R, averiguar en que ángulo diedro de la intersección de los planos W se encuentra en el punto Q y el origen de coordenadas. 91) (CICLO 2006-1)En una pirámide A-PRNM, PR PM , el punto P 4,1,0, los planos
P1 : 4 y z 4 0, P2 : X 4 y 0, contiene a los triángulos PAN y PAM respectivamente, el ángulo diedro que forman los planos P3 y P4 que contienen a PRNM y APR respectivamente mide 45º. El plano P3 es perpendicular al plano que contiene a RAN, R=(-4,0,0), m
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