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x15n + 50 − y15n − 10 xn + 1 − yn − 2

SEMANA 5

COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN

A) 11 D) 40

Hallar el menor término racional del cociente notable. 3

47 − 23 2 3

B) -1 E) 8

7

⇒

4− 2

Por

Tk =

( 4) ( 2) 3

luego:

término

k −1

efectuando por exponentes 25 − k 6

Tk = 2

....................(α)

25 − k debe ser mínimo ⇒ k = 7; 6 luego en ( α ) :

∴

4.

→ T7 = 23 = 8

( x + 2)

(

− ( x − 2)

10

T11

9

7

4

4

9

→ T10 = x70y36

10

→ T11 = x63y40

G.A. T10 = 106

Si… x195y140 + x190y147 + ... son términos consecutivos del desarrollo de un C.N. Halle el número de términos. B) 59 E) 65

C) 58

RESOLUCIÓN

16

; halle el valor

)

2 x2 + 4

numérico del quinto término para x=1

A) −729 D) 243

B) 126 E) 729

C) 81

Formando un C.N. de:

( ) (y )

... x5

39

7

20

( ) (y )

+ x5

38

7

21

Número de términos = G.A +1

∴

5.

RESOLUCIÓN

NT = 59 + 1 = 60

En

RPTA.: D el

siguiente

cociente

x −y . Calcule el lugar x2 − y3 20

30

Dando la forma de un C.N:

notable

( x + 2)2  − ( x − 2)2      2 2 ( x + 2) + ( x − 2)

que ocupa el término que contiene a x10.

8

8

A) sexto C) octavo E) décimo

2 2 ⇒ T5 = ( x + 2)  ( x − 2)  = (x + 2)6(x − 2)8     3

3.

( ) (y ) = (x ) (y )

En el cociente notable 16

∴

20

4

A) 61 D) 60

RPTA.: E

2.

4

7

T10 = x7

ZU LU

T7 = 2

20

RPTA.: B

Por lo que piden:

25 −7 6

(x ) − (y ) (x ) − (y )

Hallamos los términos centrales.

general

7−k

el

y

15n + 50 15n − 10 = →n=6 n+1 n−2 7

7

4 − 2 3

Por la condición necesaria suficiente se debe de cumplir:

C) 3

RESOLUCIÓN 3

C) 63

RESOLUCIÓN

4− 2

A) 9 D) 5

B) 106 E) 72

ET A

1.

x=1 ⇒

4

T5 = 36.(−1)8 = 729 RPTA.: E

Halle el grado absoluto del primer término central del C.N.

B) quinto D) cuarto

RESOLUCIÓN

( )

Tk = x2

⇒ ∴

10 − k

(y ) 3

k −1

= x10y?

x20 − 2k = x10 → k = 5

El lugar es quinto

RPTA.: B

Luego de factorizar: P(x) = x8 + x4 + 1; halle la suma de los factores primos. A) x + x + 3 4

2

B) x − 3

( P (x) = x − (x ( x + x − 1)( x

)

P ( x ) = x6 − x 4 − 2x2 + 1

3

C) x2 + 3

2

2

3

)

−1

2

≡

)

− x2 + 1

∑ de coef = 1

D) x4 + 2

RPTA.: C

E) x4 − 1

9.

RESOLUCIÓN

Aplicando la identidad de Argan a

(

C) 1

RESOLUCIÓN 6

2

)(

)(

P(x) = x + x + 1 x − x + 1 x − x + 1 2

B) 0 E) -2

ET A

6.

A) −1 D) 2

2

4

2

Factorizar:

(

)

F ( x ) = abx2 + a2 + b2 x + ab , e

indicar la suma de los T.I. de los factores primos.

)

Luego: ∑ fac. primos= x4 + x2 + 3

A) a+b D) b

B) a-b E) ab

C) a

RPTA.: A

RESOLUCIÓN

7.

Luego de factorizar

(

7

5

4

3

en ℤ ( x ) , indique el número de factores primos. B) 3 E) 2

C) 4

⇒

RESOLUCIÓN

( ) ( ) P(x) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( x − x + 1) + x ( x + x + 1) P(x) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) (x − x + 1 + x ) P(x) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( x − x + x + 1) P(x) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( x ( x − 1) + ( x + 1) ( x − x + 1) ) P(x) = ( x + x + 1)( x − x + 1) ( x + 1) ( x − x + 1)

ax

b

bx

a

F(x) = ( ax + b ) (bx + a)

ZU LU

A) 5 D) 6

)

F(x) = abx2 + a2 + b2 x + ab

P(x) = x + x + x + x + x + 1 8

RPTA.: A

P(x) = x8 + x4 + 1 + x7 + x5 + x3 2

4

2

2

3

2

4

2

2

2

2

RESOLUCIÓN

P(x) = 10x2 − 17xy + 3y2 + 5x − y + 0

2

2

5x

-y

0

2x

-3y

1

2

3

Hay 4 factores primos

RPTA.: C

8.

B) 7x-1 D) 4y-1

3

2

∴

Al factorizar: P(x) = 10x2 − 17xy + 3y2 + 5x − y Indicar la suma de sus términos de sus factores primos.

A) 7x-4y+1 C) 4x-7y-1 E) 5x+2y-1

3

2

2

2

2

2

4

4

10.

Factorizar:

P ( x ) = x6 − x4 + 2x2 − 1 indicar la

suma de coeficientes de un factor primo.

∴

P(x) = (5x − y ) (2x − 3y + 1) RPTA.: A

11.

Factorizar:

∴

P(x) = 12x3 + 8x2 − 3x − 2 , e

P(x) = ( x + 1) Luego: M.A =

indicar un factor primo lineal.

( x − 1) ( x + 2 )

2

2

1−1+2 2 = 3 3

ET A

RPTA.: E

A) 3x +2 D) x+2

B) -3x−1 E) 4x+3

RESOLUCIÓN Aplicando Ruffini

C) -2x+1

13.

Al factorizar:

P(x;y) = x4 + 4y4

Calcule el número algebraicos.

A) 4 D) 7

1 2 ÷

de factores

B) 3 E) 8

C) 6

RESOLUCIÓN

P(x;y) = x 4 + 4y 4 + 4x2 y2 − (2xy )

⇒

(

(

)

P(x) = (2x − 1) 6x2 + 7x + 2 3x

P(x;y) = x2 + 2y2

2

(

P(x;y) = x2 + 2xy + 2y2

2x

P(x) = (2x − 1) (3x + 2) (2x + 1) RPTA.: A

2

) (x

2

− (2xy )

2

− 2xy + 2y2

)

∴

Nf .A = (2 × 2 ) − 1 = 4 − 1 = 3 RPTA.: B

14.

Factorice

P(x) = x 4 + 2x2 + 9 ,

ZU LU

⇒

1

)

2

e indicar el número de factores.

12.

Factorice:

P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 − x2 − 8x − 4

A) 2 D) 5

Indique el promedio aritmético de los T.I. de los factores primos.

4 3 3 D) 2

A)

6 5 2 E) 3

B)

C)

B) 3 E) 6

C) 4

RESOLUCIÓN P(x) = x 4 + 2x2 + 9 + 4x2 − 4x2

1 4

P(x) = x 4 + 6x2 + 9 − (2x)2

( P(x) = ( x

P(x) = x2 + 3

RESOLUCIÓN

∴

15.

2

)

2

− (2x )

2

)(

+ 2x + 3 x2 − 2x + 3

)

Nf = 2 × 2 = 4

RPTA.: C

Factorizar P(x) = x3 + x2 − x − 1

en ℤ(x) , luego indique la cantidad de factores algebraicos.

A) 2 D) 6

(

P(x) = ( x + 1) ( x − 1) ( x + 2 ) x2 + 3x + 2 x x

2 1

)

B) 5 E) 7

C) 3

RESOLUCIÓN P(x) = x2 ( x + 1) − ( x + 1)

(

RESOLUCIÓN P(x) = (2x + 1) + 4x2 + 4x + 1 + 1

)

7

P(x) = ( x + 1) × x − 1 2

P(x) = (2x + 1) + (2x + 1) + 1 7

Cambio de variable: y=2x+1

P(x) = ( x + 1) (x − 1) 2

Nf.A = (3) (2 ) − 1 = 6 − 1 = 5 RPTA.: B 16.

A) 7 D) 5

B) 4 E) 2

(

)(

)

⇒

y7 + y2 + 1 ≡ y2 + y + 1 y5 − y4 + y² − y + 1

∴

un factor es : 4x² + 6x + 3

RPTA.: A

Calcule la suma de coeficientes, de un factor primo del polinomio factorizado.

P(x) = x25 + x20 + 1

2

ET A

P(x) = ( x + 1)( x + 1) ( x − 1)

19.

Cuántos presenta:

factores

lineales

P(x;y) = ( x + y ) + x4 + y4 4

A) 1 D) 3

C) 3

B) 0 E) 6

C) 2

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

(

P(x) = y5 + y4 + 1

( P(x) = ( x

)( + 1)( x

P(x) = y2 + y + 1 y3 − y + 1 10

15

∑ coef = 3 ∨ 1

)

− x5 + 1

)

ZU LU

∴

+ x5

RPTA.: C

17.

(

)

2

(

) (

+ 1 − x2 − 1 − x2

)

B) 3 E) 5

C) 1

RESOLUCIÓN

P(x) = x2 + x 4 − 2x3 + 1 − x2 − 1 − x 4 + 2x2 P(x) = −2x3 + 2x2 = 2x2 (1 − x) x ∧ x(1 − x) 2

∴

)

xy

y2

x²

xy

y2

(

)

2

⇒

P(x;y) = 2 x2 + xy + y2

∴

No tiene factores lineales.

RPTA.: B

20.

Calcule el número de factores algebraicos en ℤ(x) , el polinomio.

P(X;Z) = 32 x5 y2 z3

A) 23 D) 72

B) 8 E) 71

C) 10

RESOLUCIÓN NF.A = 6 × 4 − 1 = 24 − 1 = 23

Ojo: y2 no parámetro

es

variable,

es

Son 2 factores cuadráticos

RPTA.: A

18.

+ x4 + y4

2

Indique el número de factores cuadráticos. A) 2 D) 4

2

x²

Factorice:

P(x) = x − x2

)

P(x;y) = 2 x4 + 2x3y + 3x2y2 + 2xy3 + y4

Cambio de variable: x5 = y

⇒

(

P(x;y) = x2 + y2 + 2xy

Señale un factor primo de:

P(x) = (2x + 1) + 4x(x + 1) + 2 7

A) 4x2 + 6x + 3

B) 4x2 + 5x − 1

C) 4x2 − 7 E) 2x² + 3x + 1

D) 4x2 − 7x + 1

RPTA.: A