Cociente Notable

I.E. “Leonardo de Vinci” Mes: Setiembre

COCIENTES NOTABLES

A. Cálculo del Resto: Por el teorema del resto. x-a = 0  x=a R=an-an=0  R=0

Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales el cociente y el residuo de la división se obtienen sin mediar algoritmo correspondiente, o sea sin necesidad de efectuar la operación. La división es exacta (esto es, el resto es nulo).

Esto indica que para cualquier valor entero de “n”, será siempre exacta por lo tanto es un cociente notable.

Estos casos especiales son de la forma general.

x a n

B. Cálculo del cociente:

x n  an

n

x a

xa

Donde “n” es par o impar

Donde: x, a son las bases nN  n2

Ejemplo: Calcular el cociente en forma directa de:

Condiciones que deben cumplir

x 4  a4  x 3  x 2 a  xa 2  a 3 x a

a) Deben tener las bases iguales. b) Deben tener los exponentes iguales.

SEGUNDO CASO:

xn  an xa

Así:

Numéricamente:

x 10  a10 A. Cálculo del resto: Por el teorema del resto. x-a=0  x=a R=an+an  R=2an0

xa

Existen cuatro casos de cocientes notables, que se determinan combinando convenientemente los signos; las cuales son:

x a

;

x n  an x a

x n  an x a

CASOS DE COCIENTES NOTABLES

x n  an

 x n 1  x n  2a  x n  3a 2  .....  xa n  2  a n 1

;

x n  an x a

;

Vemos que en éste caso para cualquier valor de “n” el resto es siempre diferente de cero por lo cual el cociente que se obtiene será siempre un cociente completo y nunca un cociente exacto.

x n  an x a

B. Cálculo del cociente:

PRIMER CASO:

xn  an 2an  xn1  xn2a  xn3a2  ....  an1  xa xa

x n  an x a

Donde “n” es par o impar.

Sub – Área: Álgebra

7

2º Secundaria

I.E. “Leonardo de Vinci” Mes: Setiembre Importante: Excluiremos el presente caso debido a que la división no es exacta, en consecuencia no es un cociente notable.

cocientes notables sin necesidad de conocer los demás:

Sabemos que: TERCER CASO:

xn  an xa

x  an n

x a

A. Cálculo del Resto: Por el teorema del resto. x+a=0  x=-a R=(-a)n+an

t2

t3

t1=xn-1=xn-1a° t2=xn-2a=xn-1a1 t3=xn-3a2=xn-3a2 t69=……..=xn-69a68

En General

B. Cálculo del cociente.-

x a

t1

Donde:

Si:n=# par  R=an+an=2an0 (cociente completo) Si:n=# impar  R= -an+an=0 (cociente exacto):

x n  an

2 3 2  x n 1   x n a x n a  ...  xa n  2  a n 1  

tk=

 x n 1  x n  2a  x n  3a 2  ...  xa n  2  a n 1

x

n-k k-1

; 1 k  n

a

 signo

Donde “n” es impar. Donde: K es el lugar pedido N  es el exponente de las bases en el numerador El signo  se colocará de acuerdo al caso que corresponda.

Ejemplo: Calcular el cociente en forma directa de:

x 5  a5 x a

 x 4  x 3a  x 2a 2  xa 3  a 4

REGLA PARA EL SIGNO CUARTO CASO:

x n  an

a) Cuando el divisor es de la forma (x-a):

x a

Todos son positivos (+)

b) Cuando el divisor es de la forma (x+a) y si:

A. Cálculo del resto.- Por el teorema del resto. x+a=0  x=-a R=(-a)n-an

K=# impar  (positivo +) K=# par  (negativo -)

Ejemplo: En el cociente notable de:

Si:n = # par =an-an=0 (cociente exacto) Si:n = # imparR=-an-an=-2an0(cociente completo)

x 60  y 60 xy

B. Cálculo del cociente.-

Hallar el término de lugar 15.

x n  an

1 x n es par. x n  2a  x n  3a 2  ...  xa n  2  a n 1 Donde “n”

Resolución:

x a

Recordando en

FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los

Sub – Área: Álgebra

xn  y n xy

 tk=xn-kyk-1

En el problema n=60  k=15

 t15 = x60-15 . y15-1  t15=x45y14 9

2º Secundaria

I.E. “Leonardo de Vinci” Mes: Setiembre

Ejemplo:

LEYES DE UN COCIENTE NOTABLE

x 7  a7

 x 6  x 5a  x 4a 2  x 3a 3  x 2a 4  xa 5  a 6

x a I.

Si la división tiene la forma que origina un cociente notable, el exponente que se repite en el dividendo indica el número de términos del cociente. a)

b)

x100  y 100 xy

x 200  y 300 x4  y 6

# de tér min os  100



VII. Para calcular un término cualquiera contando de derecha a izquierda, sólo basta con intercambiar las bases tanto en el numerador como en el denominador, para luego aplicar la fórmula del término general. Ejemplo: Calcular el término 35 contando a partir de derecha a izquierda del desarrollo

( x 4 )50  ( y 6 )50 x4  y 6

x 121  a121

de: # de términos = 50

x a

Resolución: Intercambiando las bases:

a121  x 121

II. El cociente se caracteriza por ser completo y ordenado respecto a sus bases; además de ser homogéneo respecto a las mismas.

ax Luego: t35=a121-35x35-1=x34a86

III. El primer término del desarrollo se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primero del divisor.

VIII. Si: IV. A partir del segundo término los exponentes de la primera base disminuyen de uno en uno, mientras que los de la segunda van aumentando de uno en uno.

x m  an

origina un cociente notable

x p  aq

Entonces se cumple: Además:

V. Si el divisor es un binomio diferencia (x-a) todos los términos del cociente serán positivos; pero si es un binomio suma (x+a) los términos del cociente serán alternados (los de lugar impar positivos y los de lugar par negativos).

Ejemplo:

m p



si

n q

m



p

n q

 número de términos

x n 1  y 200 x2  y 4

origina

un

cociente notable, calcular el valor de “n”.

VI. Solo cuando “n” es impar, las bases del término central tendrán igual exponente.

Resolución * Como origina un cociente notable:

n 1 2



200 4

 n+1=(50)(2) n=100-1  n=99

Sub – Área: Álgebra

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2º Secundaria

I.E. “Leonardo de Vinci” Mes: Setiembre

ACTIVIDAD EN AULA

1. Calcular el 4to. término del desarrollo de:

5. ¿Cuál es el número de términos que presenta el desarrollo del cociente notable:

64 x 6  1

x m  y 4m 60

2x  1

x3  y 9 2

Rpta: -4x

Rpta: 20 2. Calcular el 3er. término del desarrollo de:

x14  128y 7

6. Encontrar el cociente de dividir el t5 entre el t10 del siguiente desarrollo:

a51b119  m 85 n 34

x 2  2y

a3b7  m  5n  2 Rpta: 4x8y2 Rpta: a15b35m25n10

3. Calcular el término 25 en el desarrollo del cociente notable:

7. Dado el cociente notable:

x150  a100

xm  y n

x 3  a2

x5  y 7 Determinar los valores de “m” y “n” sabiendo que su desarrollo tiene 8 términos.

Rpta: t25=x75a48

Rpta. m=40 ; n=56 4. Calcular el 4to. término del desarrollo de:

(a  b)18  (a  b)12

8. Si la expresión:

(a  b)3  (a  b)2

x 5 n  3  y 5( n  6 ) x n 1  y n  2

Para a=2 3 ; b= 10

Es un cociente notable. Indicar cuántos términos tiene su desarrollo.

Rpta: t4=64

Rpta. 9

Sub – Área: Álgebra

11

2º Secundaria

I.E. “Leonardo de Vinci” Mes: Setiembre

Actividad Domiciliaria

Sub – Área: Álgebra

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2º Secundaria

I.E. “Leonardo de Vinci” Mes: Setiembre 1. Calcular el número de términos del desarrollo de: a) 5 d) 3

b) 10 e) 8

x 15  32 x3  2

c) 2

2. ¿Cuántos términos admite el desarrollo del cociente notable?

x 25 m  a 25 m  25 x m  a m 1 a) 15 d) 30

b) 20 e) 35

c) 25

3. Indicar el valor de verdad: I. II. III.

x3  y 3 xy

, es un cociente notable exacto.

x 31  y 31 xy

x5  y n xy

, es un cociente notable no exacto. , es un cociente notable si n=5

a) FFF d) VVF

b) VVV e) FVV

c) FFV

4. Hallar el coeficiente del cuarto término del desarrollo de:

32x 5  243y 5 2x  3y a) –27 d) 54

b) –54 e) 10

c) 27

5. Halle el valor numérico del término central generado por el desarrollo del cociente notable:

( x  1)20  ( x  1)20 8 x( x 2  1) a) 16 d) 28

Para: x= 3

b) 64 e) 32

c) 256

6. Calcular el t21 en el siguiente cociente notable:

2a  a 2 1 a  1 Sub – Área: Álgebra

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2º Secundaria

I.E. “Leonardo de Vinci” Mes: Setiembre a) a-2 d) a2+3

b) a-1 e) a2-5

c) a2-1

7. Sabiendo que el siguiente cociente notable;

xm  y p x2  y 7 Admite ser desarrollado como término central a xay70. Evaluar: K=P-3m-20 a) 5 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

8. Si el término “k” contado a partir del extremo final del desarrollo del cociente notable:

x 75  y 30 x5  y 2 Tiene grado absoluto 40. calcular el grado absoluto del tk+2 contado a partir del primero. a) 55 b) 54 c) 53 d) 52 e) 51 9. Simplificando la expresión:

N

x 4 m 1  x 4 m  2  x 4 m  3  ...  x 3  x 2  x  1 x 2m 1  x 2m  2  x 2m  3  ...  x 3  x 2  x  1

a) x2m-1 d) x3m-1

b) x2m+1 e) x5m

Obtenemos:

c) x2m-2

10. Que lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable:

x160  y 280 x4  y 7

El término que tiene grado absoluto 252. a) 35 b) 34

Sub – Área: Álgebra

14

2º Secundaria