Clasificación de Los Sistemas de Ecuaciones Lineales y Tipos de Solución

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución. = Clasificación =

•

•

•

•

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma: Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no ay solución Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. !ienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución "ondiciones que de#en cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones: $na solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales.

•

%&emplo: Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los t'rminos independientes no lo son.

•

%&emplo: nfinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el t'rmino independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra.

%&emplo: =Tipos de Solución= Sustitución %l m'todo de sustitución consiste en despe&ar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferi#lemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su *alor. %n caso de sistemas con m+s de dos incógnitas, la seleccionada de#e ser sustituida por su *alor  equi*alente en todas las ecuaciones excepto en la que la emos despe&ado. %n ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este m'todo reiteradamente. Por e&emplo, supongamos que queremos resol*er  por sustitución este sistema:

%n la primer primera a ecuaci ecuación, ón, selecc seleccion ionamo amos s la incóg incógnit nita a y por ser la de menor menor coefic coeficien iente te y que posi#lemente nos facilite m+s las operaciones, y la despe&amos, o#teniendo la siguiente ecuación.

%l siguiente paso ser+ sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra e cuación, para as o#tener una ecuación donde la única incógnita sea la x.  -l resol*er la ecuación o#tenemos el resultado x, y si aora sustituimos esta incógnita por su *alor en alguna de las ecuaciones originales o#tendremos y/, con lo que el sistema queda ya resuelto. gualación %l m'todo de igualación se puede entender como un caso particular del m'todo de sustitución en el que se despe&a la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre s la parte dereca de am#as ecuaciones. !omando el mismo sistema utili0ado como e&emplo para el m'todo de sustitución, si despe&amos la incógnita en am#as ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

"omo se puede o#ser*ar, am#as ecuaciones comparten la misma parte i0quierda, por lo que podemos afirmar que las partes derecas tam#i'n son iguales entre s.

$na *e0 o#tenido el *alor de la incógnita x, se su#stituye su *alor en una de las ecuaciones originales, y se o#tiene el *alor de la y. La forma m+s f+cil de tener el m'todo de sustitución es reali0ando un cam#io para despe&ar x despu's de a*eriguar el *alor de la y. 1educción %ste m'todo suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utili0a para resol*er sistemas no lineales. %l procedimiento, dise2ado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que o#tengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita apare0ca con el mismo coeficiente y distinto signo. - continuación, se suman am#as ecuaciones produci'ndose as la reducción o cancelación de dica incógnita, o#teniendo as una ecuación con una sola incógnita, donde el m'todo de resolución es simple. Por e&emplo, en el sistema:

no tenemos m+s que multiplicar la primera ecuación por 34 para poder cancelar la incógnita y. -l multiplicar, dica ecuación nos queda as:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, o#tenemos una nue*a ecuación donde la incógnita y a sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el *alor de la incógnita x:

%l siguiente paso consiste únicamente en sustituir el *alor de la incógnita x en cualquiera de las ecuaciones donde aparecan am#as incógnitas, y o#tener as que el *alor de y es igual a:

5'todo 6r+fico "onsiste en construir la gr+fica de cada una de las ecuaciones del sistema. %l m'todo (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 4.

•

•

%l proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el m'todo gr+fico se resuel*e en los siguientes pasos: Se despe&a la incógnita (y) en am#as ecuaciones. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado o#teniendo la ta#la de *alores correspondientes.

•

Se representan gr+ficamente am#as rectas en los e&es coordenados.

•

%n este último paso ay tres posi#ilidades:

•

•

•

Si am#as rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos *alores de las incógnitas (x,y). 7Sistema compati#le determinado7. Si am#as rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respecti*as coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden am#as. 8Sistema compati#le indeterminado9. Si am#as rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. 5'todo de 6auss La eliminación de 6auss3ordan, m+s conocida como m'todo de 6auss, es un m'todo aplica#le únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matri0 aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, asta o#tener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo *alor ser+ igual al coeficiente situado en la misma fila de la matri0. %ste procedimiento es similar al anterior de reducción, pero e&ecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algortmico. %l 5'todo de 6auss consiste en con*ertir un sistema normal de ; ecuaciones con ; incógnitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene ; incógnitas, la segunda ecuación tiene 4 incógnitas, y la tercera ecuación tiene < incógnita. =e esta forma ser+ f+cil a partir de la última ecuación y su#iendo, calcular el *alor de las tres incógnitas. %n primer lugar, reducimos la incógnita x, sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por  4>;, y a la tercera, la primera fila. La matri0 queda as:

%l siguiente paso consiste en eliminar la incógnita y en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por 34 y por 3?, respecti*amente.

Por último, eliminamos la 0, tanto de la primera como de la segunda fila, sum+ndoles la tercera multiplicada por 34 y por 4, respecti*amente:

Llegados a este punto podemos resol*er directamente las ecuaciones que se nos plantean:

@, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matri0 por: 4, 4 y 3< respecti*amente, y o#tener as autom+ticamente los *alores de las incógnitas en la última columna.

Pongamos un e&emplo del c+lculo de un sistema de ecuaciones por el m'todo de 6auss: Se reúnen ;A personas entre om#res, mu&eres y ni2os. Se sa#e que entre los om#res y el triple de mu&eres exceden en 4A el do#le de los ni2os. !am#i'n se sa#e que entre om#res y mu&eres se duplican al número de ni2os. Plantear y resol*er el sistema de ecuaciones. xnúmero de om#resB ynúmero de mu&eresB y 0número de ni2os. Se reúnen ;A personas entre om#res, mu&eres y ni2os: xCyC0;A. Se sa#e que entre los om#res y el triple de mu&eres exceden en 4A el do#le de los ni2os: xC;y40C4A. !am#i'n se sa#e que entre om#res y mu&eres se duplican al número de ni2os: xCy40.  -grupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:

 -plicamos 6auss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:

%n este caso en la tercera ecuación se a eliminado la y, por lo que no es necesario acer m+s operaciones. Por lo tanto o#tenemos que 0 