Clases de Integrales

Guías Modulares de Estudio Cálculo integral

Semana 1: La integral

Semana 1: La integral

La Integral. •

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Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indenida de una función. !ada una función f " x  #$ los métodos de integración son técnicas  x #$ cu%o uso "usualmente com&inado# permite encontrar una función . $ F " x   x # tal que

lo cual$ por el teorema fundamental del c'lculo equivale a (allar  x # es su derivada: 1 una función F ")# ")# tal que f " x 

Integración dir directa •

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En ocasiones es posi&le aplicar la relación dada por el teorema fundamental del c'lculo de forma directa. Esto es$ si se conoce de  x # "%a sea por antemano una función cu%a derivada sea igual a f " x  disponer de una ta&la de integrales o por (a&erse calculado previamente#$ entonces tal función es el resultado de la antiderivada. E+emplo:  –

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Calcular la integral .

En una ta&la de derivadas se puede compro&ar que la derivada de tan" x # es sec," x  #. -or tanto:  x #.

E+emplo:  –

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Calcular la integral .

na fórmula est'ndar so&re so&re derivadas esta&lece esta&lece que . !e este modo$ modo$ la solución solución del pro&lema es .

Integración por sustitución •

El método de integración por sustitución o por cam&io de varia&le se &asa en reali/ar un reempla/o de varia&les adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muc(os casos$ donde las integrales no son triviales$ se puede llevar a una integral de ta&la para encontrar f'cilmente su primitiva. Este método reali/a lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Integración por descomposición

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Este método se &asa en la aplicación de dos propiedades elementales de las integrales:  –

-rimera propiedad de las integrales •

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La integral de una suma "respectivamente diferencia# de funciones$ es igual a la suma "respectivamente diferencia# de las integrales de las funciones: Esto es:

!emostración:

Integración por descomposición

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Segunda propiedad de las integrales  –

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La integral del producto de una constante por una función$ es igual al producto de la constante por la integral de la función. Es decir$ !emostración:

E+ercicios 0 Integración por descomposición

E+ercicios 0 Integración por descomposición

La integral denida •

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La integral denida es un concepto utili/ado para determinar el valor de las 'reas limitadas por curvas % rectas. !ado el intervalo a$ &2 en el que$ para cada uno de sus puntos )$ se dene una función f ")# que es ma%or o igual que 3 en a$ &2$ se llama integral denida de la función entre los puntos a % & al 'rea de la porción del plano que est' limitada por la función$ el e+e (ori/ontal 45 % las rectas verticales de ecuaciones ) 6 a % ) 6 &. La integral denida de la función entre los e)tremos del intervalo a$ &2 se denota como:

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-ropiedades de la integral denida

La integral denida cumple las siguientes propiedades:  7oda integral e)tendida a un intervalo de un solo punto$ a$ a2$ es igual a cero. 8uando la función f ")# es ma%or que cero$ su integral es positiva9 si la función es menor que cero$ su integral es negativa. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función "es decir$ se puede sacar; la constante de la integral#. g ")#$ se verica que:

Semana ,: La integral

E+ercicios 0 Integral denida

?unción Integral •

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8onsiderando una función f continua en a$ &2 % un valor ) @ a$ &2$ es posi&le denir una función matem'tica de la forma:

donde$ para no inducir a confusión$ se (a modicado la notación de la varia&le independiente de ) a t. Esta función$ sim&oli/ada (a&itualmente por ? ")#$ reci&e el nom&re de función integral o$ tam&ién$ función 'rea pues cuando f es ma%or o igual que cero en a$ &2$ ? ")# nos da el 'rea.

 7eorema fundamental de c'lculo integral •

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La relación entre derivada e integral denida queda esta&lecida denitivamente por medio del denominado teorema fundamental del c'lculo integral$ que esta&lece que$ dada una función f ")#$ su función integral asociada ? ")# cumple necesariamente que:

< partir del teorema fundamental del c'lculo integral es posi&le denir un método para calcular la integral denida de una función f ")# en un intervalo a$ &2$ denominado regla de AarroB: Se &usca primero una función ? ")# que verique que ?C ")# 6 f ")#. Se calcula el valor de esta función en los e)tremos del intervalo: ? "a# % ? "&#. El valor de la integral denida entre estos dos puntos vendr' entonces dado por:

-rimer teorema

Segundo teorema

Semana D % :