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PROBLEMAS de DINÁMICA (Algunos con respuesta.) PRIMER PARCIAL. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Y MOVIMIENTO RECTILÍNEO. LIBRO: Mecánica vectorial para ingenieros. Dinámica. Beer, Johnston, Eisenberg. 8va. Edición. P11.1. El movimiento de una partícula está definido por la relación x  t  (t  3) , donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine a) el momento en el que la aceleración es cero, b) la posición y la velocidad de la partícula en ese momento. Resp. a) t=3.33s, b) x=11.07m, v =6.33m/s. 2

3

P11.2. El movimiento de una partícula está definido por la relación x  t  (t  2) , donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine a) el momento en el que la aceleración es cero, b) la posición y la velocidad de la partícula en ese momento. Resp. a) t=0.333s, b) x=–2.74m, v =3.67m/s. 3

2

P11.3. El movimiento de una partícula está definido por la relación x  5t  4t 3t  2 , donde x y t se expresan en pies y segundos, respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=2s. 2 Resp. a) x=52 ft, v =115 ft/s, a=192 ft/s . 4

P11.4.

El

movimiento

de

una

partícula

está

definido

por

3

la

relación

x  6t  8t 14t  10t  16 , donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=3s. 2 Resp. a) x=562 in, v =770 in/s, a=764 in/s . 4

3

2

P11.5. El movimiento de la corredera A se define mediante la relación x  500 sin kt , donde x y t se expresan en milímetros y segundos, respectivamente, y k es constante. Si k=10 rad/s, determine la posición, la velocidad y la aceleración de la corredera A cuando t=0.05s. 2 Resp. a) x=240 mm, v =4.39 m/s, a=–24.0 m/s . 0.2t

P11.9. La aceleración de una partícula se define mediante la relación a  3e , a y t se 2 expresan en ft/s y segundos, respectivamente. Si x=0 y v=0 en t=0, determine la velocidad y la posición de la partícula cuando t=0.5s. Resp. v =1.427 ft/s, x=0.363 ft. P11.10. La aceleración del punto A se define mediante la relación a  5.4 sin kt , donde a y 2 t se expresan en ft/s y segundos, respectivamente, y k=3 rad/s. Si x=0 y v=1.8 ft/s cuando t=0, determine la velocidad y la posición del punto A cuando t=0.5s. Resp. v =0.1273 ft/s, x=0.598 ft. P11.11.

La

aceleración

del

punto

A

se

define

mediante

la

relación

a  3.24 sin kt  4.32 coskt , donde a y t se expresan en ft/s2 y segundos,

respectivamente, y k=3 rad/s. Con x=0.48 ft y v =1.08 ft/s cuando t=0, determine la velocidad y la posición del punto A cuando t=0.5s. Resp. v =–1.360 ft/s, x=0.393 ft. P11.18. La aceleración del punto A se define mediante la relación a  600 x(1  kx ) , 2 donde a y x se expresan en ft/s y pies, respectivamente, y k es constante. Si la velocidad de A es de 7.5 ft/s cuando x=0 y de 15 ft/s cuando x=0.45 ft, determine el valor de k. –2 Resp. k=3.84 ft . 2

P11.19. La aceleración del punto A se define mediante la relación a  800x  3200x , donde a y x se expresan en 2 ft/s y pies, respectivamente. Si la velocidad de A es de 10 ft/s y x=0 cuando t=0, determine la velocidad y la posición de A cuando t=0.05s. Resp. v =34.3 ft/s, x=0.779 ft. 3

P11.27. La aceleración de la corredera A se define por medio de la relación

a  2k k 2  v 2 , donde a y v se expresan en ft/s2 y ft/s, respectivamente, y k es constante. El sistema inicia en el tiempo t=0 con x=1.5ft y v =0. Si x=1.2ft cuando t=0.2s, determine el valor de k. P11.28. La aceleración de la corredera A se define mediante la relación

a  2 1  v 2 , donde a y v se expresan en ft/s2 y ft/s, respectivamente. El sistema inicia en el tiempo t=0 con x=1.5ft y v =0. Determine la posición de A cuando a) v = – 0.6 ft/s, b) la posición de A cuando t = 0.3s. P11.29. A partir de x=0 sin velocidad inicial, la aceleración de un auto de carreras está definida por la relación

v  154 1  e 0.00057 x , donde v y x se expresan en m/s y metros, respectivamente. Determine la posición y la aceleración del auto de carreras cuando a) v =20m/s, b) v =40m/s. 2 2 Resp. a) x=29.8 m, a=6.65 m/s , b) x=122.5 m, a=6.30 m/s . P11.37. Un avión inicia su despegue en A con velocidad 0 y aceleración constante a. Si empieza a volar 30 s después en B y la distancia AB es de 2700 ft, determine a) la aceleración a, b) la velocidad de despegue vB.

LIBRO: Ingeniería Mecánica. Dinámica. Pytel y Kiusalaas. 2da. Edición. E12.2. El perno P situado al extremo de una barra telescópica en la figura, se desliza a lo 2 largo de la trayectoria parabólica fija y =40x, donde x y y se miden en milímetros. 2 La coordenada y de P varía con el tiempo t (medido en segundos) según y=4t +6t mm. Cuando y=30mm, calcule (1) el vector de velocidad de P, y (2) el vector de aceleración de P. 2 Resp. v = 34.1i + 22.7j mm/s, a = 37.8i + 8j mm/s E12.3. Las coordenadas rectangulares que describen el movimiento espacial de un punto son

x  R cost

y

R sin 2t 2

z  R sin 2 t

donde R y  son constantes. (a) por medio del cálculo de la magnitud del vector de posición r, demuestre que la trayectoria se encuentra en una esfera de radio R con centro en el origen del sistema de coordenadas. (b) determine las componentes rectangulares y las magnitudes de los vectores de velocidad y aceleración. Resp. (a) r = R, (b) v  R sin

2

t  1 , a  R 2 cos 2 t  4

E12.4. La leva circular de radio R=16mm gira en un pivote situado en O, produciendo así una excentricidad de R/2. Por medio de geometría demuestre que la relación entre x, la coordenada de posición del seguidor (también llamado vástago o balancín) A, y el ángulo  es

x( )  R2 (cos  cos2   3) La leva esta girando alrededor de O con velocidad angular constante =d/dt=2000rev/min, en el sentido del giro de las manecillas del reloj. (a) Calcule la velocidad del seguidor cuando =45º, (b) encuentre la aceleración del seguidor cuando =0. 2

Resp. v = –1.6323 m/s, a = –527 m/s

P12.6. La leva circular R y excentricidad R/2 gira en el sentido del giro de las manecillas del reloj con una velocidad angular  constante. (a) Demuestre que el movimiento vertical resultante del seguidor plano A es

 1  x  R 1  cos t   2  (b) Obtenga la velocidad y aceleración del seguidor como función de t. (c) Si  se duplicara, ¿cómo cambiaría la velocidad máxima y aceleración máxima del seguidor? Resp. (b)

v   12 R sin t , a   12 R 2 cos t , (c) vmax es doble, amax es

cuadrúple.

P12.10. Un automóvil desciende por una colina que tiene la sección transversal parabólica que se muestra. Si se supone que la componente horizontal del vector de velocidad tiene una magnitud constante v0, determine (a) la expresión para hallar la velocidad del automóvil en términos de x, y (b) la magnitud y dirección de la aceleración. Resp. (a)

v  v0 1  (hx / b 2 ) 2 , (b) a  2hv02 / b 2 

P12.13. Cuando una rueda de radio R gira con una velocidad angular constante , el punto B sobre la circunferencia de la rueda traza una curva conocida como cicloide, cuya ecuación es x  R(t  sent ) , y  R(1  cost ) Encuentre la magnitud de la velocidad y aceleración.

P12.14. Cuando una partícula se mueve a lo largo de la hélice que se muestra, las componentes de su vector de posición son

x  R cost

y  R sin t

z   2h t

donde ω es constante. Demuestre que la velocidad y aceleración tienen magnitudes constantes y calcule sus valores si R=1.2m, h=0.75m y =4 rad/s. 2

Resp. v = 15.15m/s, a = 189.5 m/s . 2

2

P12.16. El movimiento espacial de una partícula se describe por x=3t +4t, y=–4t +3t y z=–6t+9 donde las coordenadas se miden en pies y el tiempo t en segundos. (a) Determine los vectores de velocidad y aceleración de la partícula como funciones del tiempo. (b) Verifique que la partícula experimenta movimiento bidimensional (el movimiento no está en un plano de coordenadas) al demostrar que el vector unitario, perpendicular al plano formado por v y a, es constante. 2

Resp. (a) v = (6t + 4)i + (–8t + 3)j – 6k ft/s, a = 6i – 8j ft/s . P12.17. El movimiento tridimensional de un punto se describe por:

x  R cost

y  R sin t

z  R2 sin 2t

donde R y ω son constantes. Calcule la velocidad máxima y aceleración máxima del punto. P12.19. Para el mecanismo que se muestra, determine (a) la velocidad x de la corredera C en términos de  y , y (b) la aceleración x de C en términos de ,  y .

P12.22. Demuestre que la coordenada de posición del pistón A está relacionada con el ángulo de manivela  del volante por



x  R cos  9  sin 2 



El volante gira a una velocidad angular constante . Obtenga la expresión para la velocidad v del pistón como función de . Resp.



v  R sin  1  cos / 9  sin 2 



P12.24. La leva gira con velocidad angular constante =1200 rev/min. Por medio del perfil de leva que aparece a continuación, (a) trace una gráfica de la velocidad del seguidor A durante una rotación de 30º de la leva desde la posición que se muestra; (b) estime la aceleración del seguidor cuando la leva esté en la posición mostrada.  (grados) r (mm)

0 55.0

5 54.8

10 54.2

15 53.1

20 51.7

25 49.9

30 47.6

2

Resp. (b) –662 m/s .

MOVIMIENTO CURVILÍNEO. Problemas lógicos. 1.- Una llanta de 500 mm de diámetro se lleva uniformemente desde el reposo hasta una velocidad de 300rpm en 20s. Calcular la velocidad y aceleración de un punto de la llanta 2s después del arranque. 2.- Un vehículo con unas llantas de 20 cm de radio viaja a 100 km/h. Si las llantas se cambian por otras de 25 cm de radio ¿a qué velocidad viajará el vehículo cuando las ruedas tengan la misma velocidad angular?

LIBRO: Ingeniería Mecánica. Dinámica. Pytel y Kiusalaas. 2da. Edición. E13.1.- El ángulo entre la barra de 2m que se muestra en la figura y el eje x varía según  (t )  0.3t  1.6t  3 rad, donde t es el tiempo en segundos. Cuando t=2s, (a) determine las magnitudes de la velocidad y aceleración final de A y (b) demuestre los vectores de velocidad y aceleración de A en un dibujo de la barra. 2 Resp. (a) v=4.00 m/s, a=10.76 m/s . 3

E13.2.- El auto de carreras que se muestra en la figura se desplaza a 90 mi/h cuando entra a la curva semicircular en A de 1000ft de radio. El conductor aumenta la velocidad a una rapidez uniforme, emergiendo de la curva en C a 120 mi/h. Determine la aceleración cuando el auto está en B. 2 Resp. a = 24.3 ft/s .

E13.3.- La banda flexible corre alrededor de dos poleas de radios diferentes. En el instante que se muestra, el punto C de la banda tiene una velocidad de 5 m/s y una 2 aceleración de 50 m/s en sentido contrario al reloj. Calcule las magnitudes de las aceleraciones de los puntos A y B en la banda en ese instante. 2 2 Resp. aA = 174.0 m/s , aB = 255 m/s .

P13.6.- De la figura, la primer polea (la más grande) tiene 8 in de radio y es llamada polea C, la segunda polea (la más pequeña) tiene 2 in de radio y es llamada polea B, la tercera (la mediana) tiene 5 in de radio y es llamada polea A, la cual está unida al cigüeñal del motor que se mueve a 2000rev/min. Encuentre (a) la velocidad de la banda, (b) las aceleraciones de las tres poleas y (c) la máxima aceleración de cualquier punto de la banda a medida que corre alrededor de las tres poleas. 2 Resp. a = 45700 ft/s .

P13.9.- Un auto se desplaza por la porción AB de la curva en S a una velocidad constante, desacelera en BC y acelera en CD. Demuestre la dirección aproximada del vector de aceleración en cada uno de los cinco puntos indicados.

2

P13.12.- La rapidez de cambio de velocidad de la banda está dada por 0.06(10 – t) m/s , donde t esta en segundos. La velocidad de la banda es 0.8 m/s en t=0. Cuando la 2 aceleración normal de un punto en contacto con la polea es de 40 m/s , determine: (a) la velocidad de la banda y (b) el tiempo necesario para alcanzar esa velocidad si el radio de la polea es de 0.2m, y (c) la distancia recorrida por la banda. Resp. (a) 2.83 m/s, (b) 4.31 s, (c) 8.21 m.

P13.14.- Un automovilista que entra en una rampa de salida de una carretera a 40 km/h aplica de inmediato los frenos para que la magnitud de la aceleración de su auto en A 2 sea 1.5 m/s . Si se mantiene la aceleración tangencial, ¿cuánto recorrerá el auto antes de detenerse?

E13.5.- Un collarín se mueve sobre una barra giratoria de radio OB. La posición angular de la barra está dada por

  23 t 2 rad,

y la distancia del collarín desde O varía

con R  18t  4 in, donde el tiempo se mide en segundos. Determine los vectores de velocidad y aceleración del collarín en t=0.5s. 2 Resp. v = 14.01 in/s,  = 50.0º, a = 67.0 in/s ,  = 61.9º. 4

E13.6.- La partícula P de la figura se desplaza con una velocidad constante v0 a lo largo de la trayectoria descrita por R  b cos3 . Determine el vector de aceleración de la partícula cuando  = –30º. 2  2v 0 eˆ Resp. a  3b

P13.27.- El movimiento de la barra OB está descrito por   t , donde   1.2 rad/s es la aceleración angular constante de la barra. La posición del collarín A en la barra es R  v 0 t , donde v0  0.8 m/s es la velocidad constante hacia fuera del

2

collarín con relación a la barra. Calcule los vectores de velocidad y aceleración del collarín como funciones del tiempo.

P13.29.- El collarín B se desliza a lo largo de la barra guía que tiene la forma de la espirál R  b . Un perno en el collarín se desliza en el brazo ranurado OC. Si OC gira a una velocidad angular constante , determine la magnitud de la aceleración del collarín cuando este se encuentra en A.

P13.31.- El brazo ranurado OB gira alrededor del perno en O. La esfera A en la ranura es precionada contra la leva estacionaria C por el resorte. Si la velocidad angular de OB es  constante, calcule las magnitudes máximas de (a) la velocidad de A, (b) la aceleración de A.

P13.32.- El brazo ranurado OB gira alrededor del perno en O. La esfera A en la ranura es precionada contra la leva estacionaria C por el resorte. La posición angular del brazo OB depende del tiempo t como    sin t , donde  es constante. Deternine los vectores de velocidad y aceleración de la esfera A cuando    / 2 . Resp.

v  3.85b en 45º, a  17.38b 2 en -19.6º.

P13.34.- La porción curva de la hoja de trébol de una intersección de carretera está definida por R  b sin 2 , para 0    90º . Si un auto avanza a lo largo de la curva a una velocidad constante v0, determine su aceleración en A. 2

2

2

Resp. 3v 0 / b en 45º.

P13.46.- La trayectoria de una particula que se mueve sobre la superficie de un cono de ángulo de pico , y de finida por R  2h  tan  y z  2h  en coordenadas cilíndricas. Si la velocidad angular es constante ω determine lo siguiente como función de . a). El vector velocidad. b). Las componentes cilíntricas del vector de aceleración.