Clase_9

Ejemplo: En un río se ha registrado los caudales medios mensuales, en m3/s, de 3 años de longitud, se pide determinar la probabilidad de que el río transporte un caudal mayor o igual a 0,774 m3/s: Año 1990 1991 1992

Ene. Feb Mar Abr 2.084 1.811 3.045 0.980 4.219 4.857 10.484 2.130 0.835 0.574 4.270 3.050

May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 0.713 0.630 0.572 0.495 0.357 0.358 0.686 3.597 1.390 0.943 0.564 0.448 0.400 0.500 1.323 0.510 1.325 0.937 0.774 0.694 0.500 0.493 0.400 0.400

Ordenando en forma descendente y calculando la probabilidad de acuerdo al criterio de Weibull, tenemos: m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Qdesc 10.484 4.857 4.270 4.219 3.597 3.050 3.045 2.130 2.084 1.811 1.390 1.325 1.323 0.980 0.943 0.937 0.835 0.774

P(%) 2.70 5.41 8.11 10.81 13.51 16.22 18.92 21.62 24.32 27.03 29.73 32.43 35.14 37.84 40.54 43.24 45.95 48.65

m 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Qdesc 0.713 0.694 0.686 0.630 0.574 0.572 0.564 0.510 0.500 0.500 0.495 0.493 0.448 0.400 0.400 0.400 0.358 0.357

P(%) 51.35 54.05 56.76 59.46 62.16 64.86 67.57 70.27 72.97 75.68 78.38 81.08 83.78 86.49 89.19 91.89 94.59 97.30

Graficando %P vs. Q, tenemos la Curva Duración:

12

Curva Duración

10

Q (m3/s)

8

6 4 2 0 0

20

40

60

80

100

%P

De los datos ordenados o de la gráfica tenemos:

La Curva Duración también recibe el nombre de Curva de Persistencia, por lo tanto, el resultado anterior también se puede expresar como: El caudal que transporta el río con una persistencia del 48,65% es 0,774 m3/s. * ¿Cuál es el caudal que transporta el río con una persistencia del 80%? Del Gráfico de la Curva Duración o interpolando obtenemos: Q80% = 0,494 m3/s, es decir: 80% * 36 = 28,8 meses:

“Se espera que durante 28,8 meses el caudal transportado por el río sea mayor o igual (No menor) a 0,494 m3/s”. Este caudal recibe el nombre de caudal garantizado en el río para el 80% de persistencia.

PORCENTAJES DE PERSISTENCIA RECOMENDADOS Tipo de proyecto %P Irrigación 75 Generación de energía 90 Abastecimiento de agua 95 El caudal garantizado se calcula mes por mes a partir de un registro extenso de caudales, este no debe ser menor a 30 años. Ejm: Para el registro de caudales medios mensuales, en m3/s: Estación La Capilla Río: Mala Provincia: Lima Latitud Sur: 12° 31´ Altitud: 468 msnm Año 1939 1940 1941 1942 1943

Ene. 48.97 41.42 39.89 33.90 31.22

Feb 45.78 32.11 37.52 50.76 74.12

Mar 74.12 56.94 41.28 39.95 47.80

Abr 38.15 21.72 2.88 11.34 35.97

Departamento: Lima Cuenca: 2136 km2 Longitud Oeste: 76°31´

May 10.59 5.89 2.82 12.59 4.07

Jun 4.59 3.12 1.97 2.09 2.27

Jul 3.56 2.46 1.67 1.27 1.50

Ago 2.98 2.21 1.43 1.15 1.39

Sep 2.56 2.23 1.26 0.95 1.46

Oct 3.17 2.69 1.43 1.44 2.13

Nov 3.72 4.18 1.80 1.52 2.80

Dic 10.77 3.91 8.43 4.63 11.92

1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987

38.86 25.59 72.91 33.57 45.81 28.59 25.90 38.48 58.65 53.69 39.78 62.28 14.25 10.43 9.29 1.74 25.26 21.67 50.86 53.85 10.51 13.26 15.42 38.81 9.92 3.67 59.91 18.57 23.70 47.85 23.75 42.37 12.35 26.04 7.72 16.50 15.04 16.52 11.40 45.20 14.19 79.68 81.27 24.04

51.70 28.03 110.90 27.42 32.04 25.64 41.47 53.58 63.11 108.95 83.66 31.53 79.36 48.30 13.30 37.19 21.70 39.24 49.28 55.16 47.48 50.42 19.14 118.87 8.67 10.78 21.56 26.62 47.30 44.33 23.75 109.72 72.46 43.04 54.91 11.20 80.07 104.29 6.77 180.31 52.48 75.87 54.33 53.95

70.30 63.05 179.13 57.07 32.78 47.64 47.44 80.19 70.55 121.48 87.21 32.32 57.42 48.74 23.60 78.07 13.37 46.05 62.14 70.14 56.90 39.64 39.67 71.78 13.84 29.00 21.35 48.45 118.49 51.76 113.84 71.93 42.66 16.19 65.36 17.61 66.39 32.89 37.71 104.34 57.69 82.66 22.68 21.54

19.84 27.11 67.31 21.75 23.84 28.34 43.45 25.34 22.96 35.68 16.09 17.41 22.54 25.70 14.84 21.56 5.21 30.25 27.52 35.98 39.10 7.39 7.45 8.92 8.05 14.45 13.52 13.80 30.69 31.17 21.54 21.26 9.79 12.81 13.93 14.21 12.62 15.89 58.41 37.82 48.35 44.85 6.10 23.65

7.36 5.40 10.34 8.20 10.03 5.57 5.39 5.88 9.38 16.22 5.08 6.86 4.35 7.00 2.07 5.26 3.92 7.96 4.58 5.75 7.15 3.29 2.86 5.98 1.84 2.75 9.22 3.76 9.16 10.48 8.21 4.57 3.23 2.89 2.29 2.08 1.69 3.96 9.99 9.25 7.74 11.23 3.82 7.61

2.80 2.61 3.30 2.58 3.38 3.83 2.61 2.63 1.60 5.29 2.78 2.84 2.30 1.82 1.39 2.74 1.53 2.36 3.86 2.45 3.14 1.67 1.43 3.63 1.21 1.10 3.93 2.28 3.21 7.26 2.78 2.76 1.87 1.74 1.43 1.33 1.07 2.51 5.19 5.47 5.24 4.44 2.71 2.37

2.50 1.91 2.27 1.98 1.84 2.78 2.13 2.13 1.31 3.42 2.29 1.97 1.83 1.34 1.12 1.64 1.07 1.87 2.11 2.17 1.84 1.33 1.18 1.91 0.80 0.82 2.15 1.75 2.24 2.89 1.53 2.09 1.72 1.28 1.26 1.10 1.14 2.08 4.46 3.51 4.02 2.80 2.16 1.58

2.01 1.48 1.85 1.58 1.47 1.66 1.46 1.42 1.54 1.85 2.04 1.66 1.81 1.33 1.42 1.29 0.99 1.29 1.48 1.55 1.46 1.09 1.11 1.48 0.64 0.71 1.35 1.57 1.89 1.69 1.66 1.89 1.58 1.10 1.07 0.88 1.20 1.31 4.57 2.92 3.26 2.27 2.08 1.65

1.78 1.31 1.72 1.51 1.23 1.52 1.47 1.35 1.26 1.47 1.70 1.38 2.09 1.11 1.26 1.14 1.22 1.07 1.38 1.61 1.54 1.04 1.03 1.36 0.65 0.56 2.69 1.13 1.94 1.88 1.97 1.63 1.56 0.91 1.09 0.84 1.06 1.18 4.58 3.14 2.61 2.70 1.82 1.35

1.82 1.27 2.66 3.46 13.26 1.85 1.66 3.94 1.27 1.67 1.74 3.58 2.03 1.19 1.49 1.91 1.34 1.06 1.29 1.78 1.39 0.97 11.71 5.36 0.81 1.86 3.53 1.26 3.25 2.20 1.55 1.78 1.57 0.61 1.37 4.56 2.28 3.60 4.37 7.55 2.64 1.99 1.85 1.78

2.00 6.44 6.42 2.03 11.21 1.32 2.60 26.84 2.78 16.11 28.89 1.53 1.84 1.38 1.87 1.60 1.82 9.77 1.49 6.75 1.70 1.53 3.91 2.82 2.21 4.06 2.74 1.24 3.10 4.60 5.16 1.91 6.26 1.91 1.43 2.74 4.42 12.73 4.79 12.55 2.96 2.54 3.40 2.55

5.10 20.32 21.36 6.10 2.82 0.92 40.14 28.59 27.62 18.19 15.35 4.37 1.67 2.11 2.19 6.78 2.03 40.15 5.93 27.17 4.60 3.08 16.27 4.04 4.50 23.21 10.37 6.20 14.49 10.42 8.41 2.73 5.33 10.06 1.60 9.18 13.06 9.11 20.95 44.11 17.63 18.92 7.02 10.53

1988 1989 1990 1991

55.62 119.08 126.36 41.66 13.55 6.55 25.26 6.45 16.52 27.78 67.86 14.67 15.99 6.12 30.56 9.27

6.77 2.15 7.17 2.38

3.83 1.70 3.77 1.48

2.48 1.12 2.08 0.89

1.82 0.92 1.44 0.80

1.75 0.95 0.98 0.53

3.80 2.65 2.42 1.31

5.49 10.32 5.65 1.34

3.02 17.17 4.58 2.41

Se pide determinar los caudales mensuales garantizados al 75% de persistencia. Ordenándolos en forma descendente y calculando el porcentaje de persistencia (Criterio de Weibull), tenemos: m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Ene. 81.27 79.68 72.91 62.28 59.91 58.65 55.62 53.85 53.69 50.86 48.97 47.85 45.81 45.20 42.37 41.42 39.89 39.78 38.86 38.81 38.48 33.90 33.57 31.22 28.59 26.04 25.90 25.59

Feb 180.31 119.08 118.87 110.90 109.72 108.95 104.29 83.66 80.07 79.36 75.87 74.12 72.46 63.11 55.16 54.91 54.33 53.95 53.58 52.48 51.70 50.76 50.42 49.28 48.30 47.48 47.30 45.78

Mar 179.13 126.36 121.48 118.49 113.84 104.34 87.21 82.66 80.19 78.07 74.12 71.93 71.78 70.55 70.30 70.14 67.86 66.39 65.36 63.05 62.14 57.69 57.42 57.07 56.94 56.90 51.76 48.74

Caudal ordenado en forma descedente %P Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 67.31 16.22 7.26 4.46 4.57 4.58 13.26 28.89 44.11 1.85 58.41 12.59 5.47 4.02 3.26 3.14 11.71 26.84 40.15 3.70 48.35 11.23 5.29 3.56 2.98 2.70 7.55 16.11 40.14 5.56 44.85 10.59 5.24 3.51 2.92 2.69 5.36 12.73 28.59 7.41 43.45 10.48 5.19 3.42 2.27 2.61 4.56 12.55 27.62 9.26 41.66 10.34 4.59 2.89 2.21 2.56 4.37 11.21 27.17 11.11 39.10 10.03 4.44 2.80 2.08 2.23 3.94 10.32 23.21 12.96 38.15 9.99 3.93 2.78 2.04 2.09 3.80 9.77 21.36 14.81 37.82 9.38 3.86 2.50 2.01 1.97 3.60 6.75 20.95 16.67 35.98 9.25 3.83 2.48 1.89 1.94 3.58 6.44 20.32 18.52 35.97 9.22 3.83 2.46 1.89 1.88 3.53 6.42 18.92 20.37 35.68 9.16 3.77 2.29 1.85 1.82 3.46 6.26 18.19 22.22 31.17 8.21 3.63 2.27 1.85 1.78 3.25 5.65 17.63 24.07 30.69 8.20 3.38 2.24 1.82 1.75 3.17 5.49 17.17 25.93 30.25 7.96 3.30 2.17 1.81 1.72 2.69 5.16 16.27 27.78 28.34 7.74 3.21 2.16 1.69 1.70 2.66 4.79 15.35 29.63 27.52 7.61 3.14 2.15 1.66 1.63 2.65 4.60 14.49 31.48 27.11 7.36 3.12 2.13 1.66 1.61 2.64 4.42 13.06 33.33 25.70 7.17 2.84 2.13 1.66 1.56 2.42 4.18 11.92 35.19 25.34 7.15 2.80 2.11 1.65 1.54 2.28 4.06 10.77 37.04 23.84 7.00 2.78 2.09 1.58 1.52 2.20 3.91 10.53 38.89 23.65 6.86 2.78 2.08 1.58 1.51 2.13 3.72 10.42 40.74 22.96 6.77 2.76 2.08 1.57 1.47 2.03 3.40 10.37 42.59 22.54 5.98 2.74 1.98 1.55 1.47 1.99 3.10 10.06 44.44 21.75 5.89 2.71 1.97 1.54 1.46 1.91 2.96 9.18 46.30 21.72 5.88 2.63 1.91 1.48 1.38 1.86 2.82 9.11 48.15 21.56 5.75 2.61 1.91 1.48 1.38 1.85 2.80 8.43 50.00 21.54 5.57 2.61 1.87 1.48 1.36 1.85 2.78 8.41 51.85

25.26 24.04 23.75 23.70 21.67 18.57 16.52 16.52 16.50 15.99 15.42 15.04 14.25 14.19 13.55 13.26 12.35 11.40 10.51 10.43 9.92 9.29 7.72 3.67 1.74

44.33 43.04 41.47 39.24 37.52 37.19 32.11 32.04 31.53 28.03 27.78 27.42 26.62 25.64 23.75 21.70 21.56 19.14 13.30 11.20 10.78 8.67 6.77 6.55 6.12

48.45 47.80 47.64 47.44 46.05 42.66 41.28 39.95 39.67 39.64 37.71 32.89 32.78 32.32 30.56 29.00 25.26 23.60 22.68 21.54 21.35 17.61 16.19 13.84 13.37

21.26 19.84 17.41 16.09 15.89 14.84 14.67 14.45 14.21 13.93 13.80 13.52 12.81 12.62 11.34 9.79 9.27 8.92 8.05 7.45 7.39 6.45 6.10 5.21 2.88

5.40 5.39 5.26 5.08 4.58 4.57 4.35 4.07 3.96 3.92 3.82 3.76 3.29 3.23 2.89 2.86 2.82 2.75 2.38 2.29 2.15 2.08 2.07 1.84 1.69

2.58 2.51 2.45 2.37 2.36 2.30 2.28 2.27 2.09 1.97 1.87 1.82 1.74 1.70 1.67 1.60 1.53 1.48 1.43 1.43 1.39 1.33 1.21 1.10 1.07

1.84 1.84 1.83 1.75 1.72 1.67 1.64 1.58 1.53 1.50 1.34 1.33 1.31 1.28 1.27 1.26 1.18 1.14 1.12 1.12 1.10 1.07 0.89 0.82 0.80

1.47 1.46 1.46 1.44 1.43 1.42 1.42 1.39 1.35 1.33 1.31 1.29 1.29 1.20 1.15 1.11 1.10 1.09 1.07 0.99 0.92 0.88 0.80 0.71 0.64

1.35 1.35 1.31 1.26 1.26 1.26 1.23 1.22 1.18 1.14 1.13 1.11 1.09 1.07 1.06 1.04 1.03 0.98 0.95 0.95 0.91 0.84 0.65 0.56 0.53

1.82 1.78 1.78 1.78 1.74 1.67 1.66 1.57 1.55 1.49 1.44 1.43 1.39 1.37 1.34 1.31 1.29 1.27 1.27 1.26 1.19 1.06 0.97 0.81 0.61

2.74 2.74 2.60 2.55 2.54 2.21 2.03 2.00 1.91 1.91 1.87 1.84 1.82 1.80 1.70 1.60 1.53 1.53 1.52 1.49 1.43 1.38 1.34 1.32 1.24

La curva de persistencia para cada mes sería:

Q (m3/s)

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Curva Persistencia: Enero

0

20

40

60 %P

80

100

7.02 6.78 6.20 6.10 5.93 5.33 5.10 4.63 4.60 4.58 4.50 4.37 4.04 3.91 3.08 3.02 2.82 2.73 2.41 2.19 2.11 2.03 1.67 1.60 0.92

53.70 55.56 57.41 59.26 61.11 62.96 64.81 66.67 68.52 70.37 72.22 74.07 75.93 77.78 79.63 81.48 83.33 85.19 87.04 88.89 90.74 92.59 94.44 96.30 98.15

Q (m3/s)

. . . 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0

Curva Persistencia: Julio

0

20

40

60

80

100

%P

. . . . . 50

Curva Persistencia: Diciembre

Q (m3/s)

40 30

20 10 0

0

20

40

60 %P

80

100

Q (m3/s)

Comparación de Curvas de Persistencia para los meses de abril y julio: 70 60 50 40 30 20 10 0 0

20

40

60

80

100

%P Abril

Julio

CURVA DURACIÓN REGIONAL Este método se aplica en ríos que no disponen de estación de aforo pero cuentan con estaciones cercanas con información ubicadas en cuencas hidrológicamente homogéneas. Para hallar la Curva Duración Regional se gráfica las curvas duración adimensional de todas las estaciones con información existentes en la zona. Para hacer adimensional estas curvas se les divide entre el caudal multianual medio diario o mensual según corrresponda:

Donde: Z: Caudal adimensional Q: Caudal medio diario o mensual QMEDIO: Caudal multianual medio diario o mensual. De todas las curvas duración adimensionales se obtiene una promedio. Ejemplo: A continuación se muestran los caudales medios mensuales del mes de marzo (Periodo 1980 – 2001) medidos en las estaciones A, B, C y D que se encuentran dentro de una cuenca. A partir de estas estaciones se pide determinar la curva duración regional. m 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

A 1.30 2.19 3.90 1.26 3.09 0.91 2.73 2.38 2.30 4,50 2.13 1.96 1.78 1.67 1.59 1.48 4.41 2.81 1.22 1.18 1.03 3.28

B 0.71 1.58 1.74 2.00 1.82 0.90 1.07 1.69 2.31 1.47 1.22 1.34 2,85 1.20 1.47 1.05 0.94 0.91 1.73 0.88 2.74 0.64

C 1.10 0.60 1.01 0.82 0.98 1.36 2,24 1.24 1.16 1.70 1.10 1.07 1.51 1.00 1.27 0.97 0.83 1.39 0.80 0.69 1.66 0.48

D 1.20 0.79 1.79 1.38 1.25 1.83 1.19 1.08 1.02 0.80 0.67 1,89 0.83 0.95 0.37 0.88 0.72 0.69 0.46 0.64 0.76 0.95

Ordenamos los caudales en forma descendente: m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

A 4.50 4.41 3.90 3.28 3.09 2.81 2.73 2.38 2.30 2.19 2.13 1.96 1.78 1.67 1.59 1.48 1.30 1.26 1.22 1.18 1.03 0.91

B 2.85 2.74 2.31 2.00 1.82 1.74 1.73 1.69 1.58 1.47 1.47 1.34 1.22 1.20 1.07 1.05 0.94 0.91 0.90 0.88 0.71 0.64

C 2.24 1.70 1.66 1.51 1.39 1.36 1.27 1.24 1.16 1.10 1.10 1.07 1.01 1.00 0.98 0.97 0.83 0.82 0.80 0.69 0.60 0.48

D 1.89 1.83 1.79 1.38 1.25 1.20 1.19 1.08 1.02 0.95 0.95 0.88 0.83 0.80 0.79 0.76 0.72 0.69 0.67 0.64 0.46 0.37

Para calcular la Curva Duración Regional, calculamos el caudal medio mensual multianual, m3/s, para cada estación: QmA: 2,23 QmB: 1,47

QmC: QmD:

1,14 1,01

Con estos caudales medios hacemos adimensional el registro anterior aplicando la expresión (1), y graficamos la curva duración de cada una de estas:

m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

%P 4.35 8.70 13.04 17.39 21.74 26.09 30.43 34.78 39.13 43.48 47.83 52.17 56.52 60.87 65.22 69.57 73.91 78.26 82.61 86.96 91.30 95.65

ZA 2.02 1.98 1.75 1.47 1.38 1.26 1.22 1.07 1.03 0.98 0.95 0.88 0.80 0.75 0.71 0.66 0.58 0.56 0.55 0.53 0.46 0.41

ZB 1.94 1.87 1.58 1.36 1.24 1.19 1.18 1.15 1.08 1.00 1.00 0.91 0.83 0.82 0.73 0.72 0.64 0.62 0.61 0.60 0.48 0.44

ZC 1.97 1.50 1.46 1.33 1.22 1.20 1.12 1.09 1.02 0.97 0.97 0.94 0.89 0.88 0.86 0.85 0.73 0.72 0.70 0.61 0.53 0.42

ZD 1.88 1.82 1.78 1.37 1.24 1.19 1.18 1.07 1.01 0.94 0.94 0.87 0.82 0.79 0.79 0.76 0.72 0.69 0.67 0.64 0.46 0.37

Gráficamente: 2.5

2.0 Z

1.5 1.0 0.5 0.0 0

20

40

60

80

%P ZA

ZB

ZC

ZD

100

Finalmente, la Curva Duración Regional, será un promedio de los valores obtenidos en cada estación. Esto se muestra en el cuadro y gráfico siguientes:

m 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 20.0 21.0 22.0

%P 4.35 8.70 13.04 17.39 21.74 26.09 30.43 34.78 39.13 43.48 47.83 52.17 56.52 60.87 65.22 69.57 73.91 78.26 82.61 86.96 91.30 95.65

Z 1.95 1.79 1.64 1.38 1.27 1.21 1.18 1.10 1.04 0.97 0.97 0.90 0.84 0.81 0.77 0.75 0.67 0.65 0.63 0.60 0.48 0.41

2.0

Curva Duración Regional

1.6

Z

1.2

0.8 0.4 0.0

0

20

40

60

80

100

%P

Si se quiere conocer el caudal para una persistencia del 75% de un río X ubicado en esta cuenca, se ingresa a la Curva Duración Regional y se obtiene: Z75, donde: ……….. (a)

Con los caudales multianuales medios mensuales de las estaciones A, B, C y D y sus áreas de cuenca: Est. A B C D

Se obtiene la relación:

Area (km2) 8,5 11 16 31

Qm (m3/s) 1.01 1.14 1.47 2.23

……. (b)

Reemplazamos el área de cuenca del río X en la expresión (b) y hallamos su caudal medio mensual multianual, este valor lo reemplazamos en la expresión (a) y hallamos el Q75 X.

CURVA MASA Para determinar el caudal de regulación de un embalse se aplica el método de la Curva Masa, la cual es una curva de volúmenes acumulados versus el tiempo (Curva creciente). Para su elaboración se debe elegir periodos de tiempo consecutivos en los cuales se presente el menor régimen de caudales (Periodo crítico), esto corresponde a los años de estiaje.

Q

t

Ej.: Considerando un solo año: t 1 2 3 . . . . .

Mes Ene Feb Mar . . . . .

Q QE QF QM .

V VE VF VM .

Vacum VE VE + VF VE + VF + VM .

12

Dic

QD.

VD

VE + …. + VD.

. Vol. Acum (MMC)

t (meses)