Clase21 I
January 20, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Clase21 I...
Description
UNIDAD VIII: LA INTEGRAL DEFINIDA
Integrales Integr ales generalizadas generalizadas e impropias. Cambios de variables.
Objetivos Instructivos. Con esta clase clase pretendem pretendemos os que los alumn alumnos os conozcan una generalización del concepto de Integral Definida.
Hasta ahora hemos encontrado integrales de funciones cont co ntinu inuas as sob sobre re inter interva valos los cer cerra rados dos..
En ocasiones podemos encontrar integrales donde las funciones tienen una asíntota vertical en el intervalo de integración o estamos integrando sobre intervalos infinitos, en ambos casos, estamos en presencia de integr int egrales ales impr impropia opias. s.
1
1
1 …
1
2
3
4
Defi De fini nici ción ón 1. Sea f(x) una función definida en el interv rva alo [a,+) A
tal que para todo A a, existe f en sentido Riemann. Si f x dx ( ) a existe (finito) el límite de G(A) cuando A, diremos que la
onv ver erg gen entte y le as asig ign nam amos os a és éstta f ( x )d xes con f
integral impropia
a
el valor alor lími límite te,, es de deci cirr, pa parra un una a inte integr gral al con conver erge gen nte se tien tiene e
a
f ( x)dx
lim G ( A)
A
Obse serv rva ación ción 1. Cuando este límite no existe, diremos que la inte integr gral al im impr prop opia ia de 1er 1era espe especi cie e dive diverg rge. e.
f ( x)d x
Observ Ob servaci ación ón 2. Note que si
converge, también lo l o sse erá
a
cualq cu alqui uier er inte integr gral al im impr prop opia ia de la for orma ma
f ( x )dx
b
cuan cu ando do ba.
A
b
A
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a
a
b
Obse Ob serv rvac ació ión n 3. Todo lo anterior sigue siendo válido si el límite
inferior es el que es infinito, es decir, estamos en presencia de la integral b
f ( x )dx
C es cualquier número real
Y por por defi defini nici ción ón
C
C
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Su convergencia o divergencia, depende de las dos integrales del miembro miem bro der derecho. echo.
Ejemplo 1.
lim
dx
1
x
b
(P es una constante)
lim
b
lim b
P 1
P 1
1
P 1
P 1
P 0
P
1
b
P
x
P 1
dx
b
x
P
¿Qué pasa aquí?
b
P 1
Si mayor entonces hace cada , por tanto, vez cuando b se la integral diverge.
dx
1
1 P 1
b
x
P 1
Si P>1 entonces b posee un exponente negativo y, por tanto, la P 1 0 integral converge, pues b
1
Revisión…
b
dx
1
x
P 0
P
(P es una constante)
1
lim
b
lim b
lim
b
P
x
P 1
dx
b
x
P
P 1
P 1
1
P 1
b
P 1
P 1
Si entonces se hace cada vez mayor cuando b , por tanto, la integral diverge.
dx
1
1 P 1
b
x
P 1
Si P>1 entonces b posee un exponente negativo y, por tanto, la P 1 0 integral converge, pues b
1
e
x
dx
Converge
1
lim
b
lim
b
x
e
dx
1
e
x
1
b
lim
e
b
b
lim
b
1 b
b
e
0
e
1
1
1
e
e
¿
e
x 2
dx converge?
1
Compare:
1
1 x
2
e
Para
a
e
x
x
1,
para valores positivos de x.
x 2
e
e
x
12 x e
1 x
e
1 1
e
x
2
Para
x
1,
x 2
e
e
x
12 x e
1
x
e
1 e
x
0
1
Pues Pu esto to qu que e
2
3
12 es siem siempr pre e me meno norr a 1 , deci decimo moss que que está está e
x
acotada “po porr enci encima ma” por
1
e
e
.
x
Puesto que 1 converge a un número finito, x
x
12 x
también!!!
e
e
Propiedad 1. Si f(x)0 en [a,+) entonces la integral
)d x f ( x
a
O bien ien con onv ver erg ge o tien tiene e un valo alor in infi fin nito ito, se segú gún n la funció ción A
F ( A) f ( x) dx a
Sea acotada o no en [a,+ ).
Observ Obse rvac ació ión n 4. Si f(x)0 para xa, si sien end do f( f(x) x) y g(x (x)) in inttegr egrable abless segú se gún n Rie iem man ann n en [a,A] a,A],, par ara a todo odo Aa y
f ( x) x g ( x)
L Lim im
k , 0 k
Entonces: 1) Si k0 (finito) ambas integrales tienen el mismo carácter. 2) Si k=0, de la convergen convergencia cia de la integr integral al de g, se deduc deduce e la convergencia de la integral de f. 3) Si k=+ k=+ de la divergencia de la integral de f, se deduce la divergencia de la integral de g.
Teo eore rema ma 2. Se Sea a la fu fun nción ción f(x) (x) integ egrrab able le en cual cualq quier uier int inter erv valo alo de la for orm ma [a,A] a,A] con A>a. Si conver erg ge la in intteg egrral
f ( x ) dx a
Entonces converge la integral
f ( x)dx a
Y se cumple
a
f ( x)dx
a
f ( x) dx
Defi De fini nici ción ón 3. La iin ntegral iim mpropia
f ( x )dx
se di dice q qu ue
a
converge absolutamente si co con nverg verge e la inte integr gral al
f ( x ) dx a
Si converge la integral
f ( x )dx y diverge la integral a
f ( x ) dx a
diremos que la integral
f ( x )dx
converge condicionalmente.
a
Ejemplo 2. 2
sin x
1
x
2
dx
El valor máximo de senx es 1 1,, así:
0
sin
2 2
1
x
x
2
on sobre
1,
x
2
Puesto que
1 x
2
converge, sin 2 x
x
converge.
Ejemplo 3.
1
1
x
2
0.1 dx
2
x
0.1 x
Para todo los valores positivos de x, así:
1 x 2
Puesto que
1 x
0.1
1 sobre x
diverge,
1,
1 x 2 0.1
diverge.
Si las funciones crecen en la misma razón, entonces sus integrales son ambas convergentes o ambas divergentes. ¿
Cuando
dx
1
1 x
2
converge?
el
x
“1”
en el denominador se torna
insignificante, así comparamos a
.
1
x
2
1 lim x
x
2
1 1 x
lim x
2
1 x x
2
2
2 x lim 2 x
1
Como
1 x
x
1
2
2
converge,
converge.
1
x
Por supuesto
dx
1
1 x
lim b
2
dx
b
1
1 x
2
4
2
b
lbim
ta tan n x 1
lim tan
1
2
1
b tan
1
4
1
b
ta tan nx
2
y
4
y
,
x
2
4
Por supuesto
dx
1
1 x
lim b
1
dx
b
1
2
1
1 x
x
2
dx
lim
2
b
b
x
2
dx
1
b
lbim
tan ta n
1
x
1
lim tan
1
b tan
lim
1
1
m bli
4
0
1 b 1
2
b 1
1
b
x
b
1
1
View more...
Comments
