Clase Prueba Hipotesis Para La Media y Proporcion Poblacional(1) (1)

PRUEBA DE HIPÓTESIS En la prueba de hipótesis se comienza proponiendo una hipótesis tentativa acerca de un parámetro poblacional. Esta hipótesis tentativa acerca de un parámetro poblacional se le llama hipótesis nula y se representa por H0 . A continuación se define otra hipótesis, llamada hipótesis alternativa, que es la opuesta de lo que se afirma en la hipótesis nula, se representa con H1. El procedimiento para probar una hipótesis comprende el uso de datos de una muestra para probar las dos aseveraciones representadas. FORMAS DE LA HIPÓTESIS NULA Y ALTERNATIVA Sea µ0 el valor numérico específico que se considera en las hipótesis nula y alternativa. En general, una prueba de hipótesis referente a los valores de una media de la población µ debe asumir una de las tres formas: Prueba H. Bilateral

Ho : µ = µ0 H 1 : µ ≠ µ0

Prueba H. Unilateral Derecha

Ho : µ ≤ µ0 H 1 : µ > µ0

Prueba H. Unilateral Izquierda t(1− α / 2;n− 1) = t( 0,9 7 ;51 4) =

H 1 : µ < µ0

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA DE UNA SOLA POBLACIÓN (Varianza Conocida) Muestra grande n ≥ 30

Ejemplo 1: 1)Un grupo de investigadores desea conocer la edad media de cierta población. Ellos se preguntan lo siguiente: ¿Se puede concluir que la edad media de la población es diferente de 3 años? Datos: Edades de una muestra aleatoria de 30 individuos, extraída de la población de interés. A partir de esa muestra se calcula la media de 3,5 años. Suposición: Se supone que la muestra de valores proviene de una población cuyas edades siguen una distribución aproximadamente normal y una varianza conocida de σ 2 = 1.01 años 2 Solución 1.Hipótesis La hipótesis nula, es la siguiente: la edad media de la población es igual a 3. La hipótesis alternativa indica que la edad media es diferente de 3. En forma abreviada sería: 1

H0 : µ = 3 H1 : µ ≠ 3 2. Supuestos: La muestra de las edades siguen una distribución aproximadamente normal y una varianza conocida de σ 2 = 1.01 años 2 3. Estadística de Prueba Zc =

x − µ0 3,24 − 3 0,24 0,24 = = = = 1,26 σ n 1,05 30 1,05 5,48 0,19

Cuando Ho es verdadera,

Z c tiene una distribución normal estándar.

4. Regla de decisión Consideremos un nivel de significancia del 5% ( α = 0.05 ) Para un nivel de significancia de 0,05 el valor de Z 0,025 = -1,96 , encontrado en las Tablas de la Distribución Normal.

α / 2 = 0.025 (región de rechazo)

α / 2 = 0.025 (Región de rechazo) 0.95

-1,96

0 Zc= 1,26 1,96 Región de No rechazo

1) Si Zc cae en la región de rechazo, rechazamos Ho. 2) Si Zc no cae en la región de rechazo, no rechazamos Ho. En el ejemplo, como Zc = 1,26 cae en la región de No rechazo, No rechazamos Ho y Concluimos que la edad media de la población no es diferente a 3 años.

2

Ejemplo 2: En base al ejercicio 1, en lugar de preguntarse la posibilidad de concluir que µ ≠ 3 , suponga que los investigadores se hubieran preguntado: ¿Es posible concluir que la edad media de la población es inferior a 3 años, µ < 3 ? Solución 1. Hipótesis: (Hipótesis Unilateral) H0 : µ ≥ 3 H 1 : µ < 3 (LA EDAD MEDIA DE LA POBLACIÓN ES INFERIOR A 3 AÑOS) 2.Supuestos: La muestra de las edades siguen una distribución aproximadamente normal y con varianza conocida de σ 2 = 1.01 años 2 3.Estadística de Prueba

Zc =

x − µ0 3,24 − 3 0,24 0,24 = = = = 1,26 σ n 1,05 30 1,05 5,48 0,19

4. Regla de decisión Consideremos un nivel de significancia del 5% ( α = 0.05 ) Para un nivel de significancia de 0,05 el valor de Z 0,05 = -1,645 , encontrado en las Tablas de la Distribución Normal.

α = 0.05 (región de rechazo) 0.95 -1,645

0

1,26 Región de No rechazo

En el ejemplo, como Zc = 1,26 cae en la región de No rechazo, No rechazamos Ho y Concluimos que la edad media de la población no es menor a 3 años.

Ejemplo 3: 3

En base al ejercicio 1, en lugar de preguntarse la posibilidad de concluir que µ ≠ 3 , suponga que los investigadores se hubieran preguntado: ¿Es posible concluir que la edad media de la población es superior a 3 años, µ > 3 ? Solución 1.Hipótesis: (Hipótesis Unilateral) H0 : µ ≤ 3 H 1 : µ > 3 ( LA EDAD MEDIA DE LA POBLACIÓN ES SUPERIOR A 3 AÑOS) 2.Estadística de Prueba

Zc =

x − µ0 3,24 − 3 0,24 0,24 = = = = 1,26 σ n 1,05 30 1,05 5,48 0,19

3.Regla de decisión Consideremos un nivel de significancia del 5% ( α = 0.05 ). Para un nivel de significancia de 0,05 el valor de Z 0,95 = 1,645, encontrado en las Tablas de la Distribución Normal.

α = 0.05 (Región de rechazo) 0,95 0 1,26 1,645 Región de No rechazo En el ejemplo, como Zc = 1,26 cae en la región de No rechazo, No rechazamos Ho y Concluimos que la edad media de la población no es mayor a 3 años.

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA DE UNA SOLA POBLACIÓN Muestra pequeña (Varianza Desconocida) 4

En general se desconoce la varianza de la población en situaciones reales. Cuando el muestreo se realiza a partir de una población que sigue una distribución normal con una varianza desconocida la estadística de prueba es:

tc =

x − µ0 s/ n

tc tiene una distribución T Student con n-1 grados de libertad. Ejemplo 4 : Los investigadores Castillo y Lillioja describieron una técnica, desarrollada por ellos, para la canulación linfática periférica en seres humanos. Los autores afirman que su técnica simplifica el procedimiento y permite la recolección de volúmenes convenientes de linfa para estudios metabólicos y cinéticos. Los individuos estudiados fueron 14 adultos varones sanos representativos de un rango amplio de pesos corporales. Una de las variables de medición fue el índice de masa corporal (IMC) = peso (kg)/estatura 2 ( m 2 ). Los resultados se muestran en el Cuadro Nº 1. Se pretende saber si es posible concluir que la media del IMC para la población de la que se extrajo la muestra no es 35. Cuadro Nº 1: índice de masa corporal (IMC), mediciones para un grupo de individuos Individuo IMC Individuo IMC Individuo IMC 1 23 6 21 11 23 2 25 7 23 12 26 3 21 8 24 13 31 4 37 9 32 14 45 5 39 10 57 Datos: Los datos consisten en las mediciones del IMC de los 14 individuos. Supuestos: Los 14 individuos constituyen una muestra aleatoria de una población de individuos con las mismas características, Se supone que la muestra de valores proviene de una población cuyos IMC siguen una distribución aproximadamente normal. Suponemos también que la población tiene una varianza desconocida.

Solución 1. Hipótesis (Hipótesis Bilateral) H 0 : µ = 35 H 1 : µ ≠ 35 ( la media del IMC para la población de la que se extrajo la muestra no es 35) 5

2. Supuestos Se supone que la muestra de valores proviene de una población cuyos IMC siguen una distribución aproximadamente normal con varianza desconocida. 3. Estadística de Prueba tc =

x − µ0 s/ n

=

30,5 − 35 − 4,5 − 4,5 = = = −1,58 10,64 14 10,64 3,74 2,85

4. Regla de decisión Con un nivel de significancia del 0,05 el valor del t tabulado o teórico es t (1−α / 2;n −1) = t ( 0,975;13 ) = 2,1604 , encontrado en la tabla de la Distribución t Student.

α / 2 = 0.025 (región de rechazo)

α / 2 = 0.025 (Región de rechazo) 0.95

t ( α ,n−1) = t ( 0.025,13) = − 2.1604

-1,58 0

-2.1604 Región de No rechazo

Como tc = -1,58 cae en la región de no rechazo , no rechazamos Ho y concluimos que no rechazamos H0, y concluimos que la media del IMC para la población de la que se extrajo la muestra no es diferente a 35. Utilizando el SPSS 1. Ingresemos los datos 2. Procedimiento

6

3. Resultados

7

O ne-Sample Test Test Value = 35

IMC

t -1.583

df 13

Sig. (2-tailed) .138

Mean Difference -4.50

95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper -10.64 1.64

consideremos un nivel de significancia del 5% p = Sig. 0,138 Luego p = 0,138 > 0,05 entonces no rechazamos H0, y concluimos que la media del IMC no es diferente a 35. Ejemplo 5: Supongamos que en el ejemplo anterior, se pretende saber si es posible concluir que la media del IMC para la población de la que se extrajo la muestra es menor que 35. Solución 1.Hipótesis: (Hipótesis Unilateral) H 0 : µ ≥ 35 H 1 : µ < 35 ( LA media del IMC para la población de la que se extrajo la muestra es menor que 35) 2. Supuestos Se supone que la muestra de valores proviene de una población cuyos IMC siguen una distribución aproximadamente normal con varianza desconocida. 3.Estadística de Prueba tc =

x − µ0 s/ n

=

30,5 − 35 − 4,5 − 4,5 = = = −1,58 10,64 14 10,64 3,74 2,85

4.Regla de decisión Consideremos un nivel de significancia del 5% ( α = 0.05 ), el valor del t tabulado o teórico es t (1−α ;n −1) = −t ( 0,95;13 ) = −1,7709 , encontrado en la tabla de la Distribución t Student.

α = 0.05 0.95 t ( α , n −1) = −t ( 0.95,13) = −1.7709

Región de rechazo

-1,58 0

t Región de No rechazo

8

Como tc = -1,58 cae en la región de no rechazo , no rechazamos Ho y concluimos que no rechazamos H0, y concluimos que la media del IMC para la población de la que se extrajo la muestra no es menor a 35. Ejemplo 6: Supongamos que en el ejemplo anterior, se pretende saber si es posible concluir que la media del IMC para la población de la que se extrajo la muestra es mayor que 35. Solución 1.Hipótesis: (Hipótesis Unilateral) H 0 : µ ≤ 35 H 1 : µ > 35 (LA media del IMC para la población de la que se extrajo la muestra es mayor que 5). 2. Supuestos Se supone que la muestra de valores proviene de una población cuyos IMC siguen una distribución aproximadamente normal con varianza desconocida. 3.Estadística de Prueba

tc =

x − µ 0 30,5 − 35 − 4,5 − 4,5 = = = = − 1,58 s / n 10,64 14 10,64 3,74 2,85

4. Regla de decisión Consideremos un nivel de significancia del 5% ( α = 0.05 ), el valor del t tabulado o teórico es t (1−α ;n −1) = t ( 0,95;13 ) = 1,7709 , encontrado en la tabla de la Distribución t Student.

α = 0.05 0.95 -1,58 0

Región de rechazo

t( α , n −1) = t( 0.95,13) = 1.7709

t

Región de No rechazo

Como tc = -1,58 cae en la región de no rechazo , no rechazamos Ho y concluimos que no rechazamos H0, y concluimos que la media del IMC para la población de la que se extrajo la muestra no es mayor a 35. Ejercicios propuestos: 9

1. Uno de los estudios de los investigadores Klesges et al. tiene como propósito averiguar los factores asociados con las discrepancias entre los niveles de carboxihemoglobina y el estado de tabaquismo autodeclarado. Una muestra de 3918 no fumadores autodeclarados presentó un nivel medio de carboxihemoglobina de 0,9 con una desviación estándar de 0,96 . Se pretende saber si es posible concluir que la media de la población es menor que 1. Considere un nivel de significancia del 0,01. 1.Hipótesis: (Hipótesis Unilateral) H0 : µ = 1 H1 : µ < 1 2. Supuestos Se supone que la muestra de valores proviene de una población cuyos niveles de carboxihemoglobina siguen una distribución aproximadamente normal con varianza desconocida. . 3. Estadística de Prueba (muestra grande) Zc =

x − µ0 0,9 − 1 − 0,1 = = = −6,52 s n 0,96 3918 0,96 3918

4. Regla de decisión Consideremos un nivel de significancia del 1% ( α = 0.01 ), Para un nivel de significancia de 0,01 el valor de Z 0,01 = -2,325 , encontrado en las Tablas de la Distribución Normal.

α = 0.01 (Región de rechazo) 0.99 -6,52 -2,325

0 Región de No rechazo

Como Zc = -6,52 cae en la región de rechazo, rechazamos Ho y Concluimos que el nivel medio de carboxihemoglobina en pacientes no fumadores es menor que 1.

10

2. El doctor Jeffrey M. Barrett de Lakeland, reportó los datos correspondientes a 8 casos de prolapso del cordón umbilical. Las edades de las madres eran de 25, 28, 17, 26. 27, 22, 25 y 30 años. Se pretende saber si es posible concluir que la media de la población de la que se supone fue extraída la muestra es mayor a 20 años . Considere un nivel de significancia del 0,05. Solución a. Datos: n=8 X = 25 S =4 Hipótesis: H 0 : µ = 20 µ > 20 H1 : b. Supuestos: Se supone que la muestra de valores proviene de una población cuyas edades siguen una distribución aproximadamente normal con varianza desconocida. Estadística de Prueba tc =

x − µ 0 25 − 20 5 = = = 3,54 s/ n 4 8 4 8

Regla de decisión Consideremos un nivel de significancia del 5% ( α = 0.05 ) El valor del t tabulado o teórico es t (1−α ;n−1) = t ( 0,95;7 ) = 1.8946 , encontrado en la tabla de la Distribución t Student.

α = 0.05 0.95 0

Región de no rechazo

t ( α ,n−1) = t ( 0.95,7 ) = 1.8946

Región de rechazo

11

3,54 t

Como tc = 3.54 cae en la región de rechazo, rechazamos Ho, y concluimos que la media de las edades de las madres con casos de prolapso del cordón umbilical es mayor a 20 años. 3. Los siguientes datos se refieren a los niveles de presión intraocular (en mm Hg) registrados en una muestra de 21 individuos de edad avanzada. 14.5 12.9 14.0 16.1 12.0 17.5 14.1 12.9 17.9 12.0 16.4 24.2 12.2 14.4 17.0 10.0 18.5 20.8 16.2 14.9 19.6 ¿Es posible concluir a partir de estos datos que la media de la población de la cual se extrajo la muestra es mayor que 14? Considere α = 0.05 . c. Datos: n = 21 X = 15.62 S = 3.38 d. Hipótesis: H 0 : µ = 14 H 1 : µ > 14 e. Supuestos: Se supone que la muestra de valores proviene de una población cuyos niveles de presión intralocular (en mm Hg) siguen una distribución aproximadamente normal con varianza desconocida. 3.Estadística de Prueba

tc =

x − µ 0 15,62 − 14 1,62 = = = 2,20 s / n 3,38 21 3,38 21

4. Regla de decisión Consideremos un nivel de significancia del 5% ( α = 0.05 ) El valor del t tabulado o teórico es t (1−α ;n−1) = t ( 0,95; 20 ) = 1,7247 , encontrado en la tabla de la Distribución t Student.

α = 0.05 0.95 0

Región de rechazo

t ( α ,n −1) = t ( 0.95,13) = 1.7247

2,20

Región de No rechazo 12

t

Como tc = 2,20 cae en la región de no rechazo, no rechazamos Ho, y concluimos que la media del niveles de presion intralocular (en mm Hg) para la población de la que se extrajo la muestra no es mayor a 14.

4. Los siguientes datos son los consumos de oxígeno (en ml) durante la incubación de una muestra aleatoria de 15 suspensiones celulares 14.0 14.1 14.5 13.2 11.2 14.0 14.1 12.2 11.1 13.7 13.2 16.0 12.8 14.4 12.9 ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia, a un nivel de significancia de 0.05, de que la media de la población no es igual a 12ml.? ¿Qué supuestos se debe cumplir? Solución a. Datos: n = 15 X = 13.43 S = 1.28 b. Hipótesis H 0 : µ = 12 H 1 : µ ≠ 12 Supuestos Se supone que la muestra de valores proviene de una población cuyo consumo de oxigeno (en ml) siguen una distribución aproximadamente normal con varianza desconocida. Estadística de Prueba tc =

x − µ 0 13,43 − 12 1,43 = = = 4.33 s / n 1,28 15 1,28 15

Regla de decisión

Con un nivel de significancia del 0,05 el valor del t tabulado o teórico es 2,1448 encontrado en la tabla de la Distribución t Student.

α / 2 = 0.025 (región de rechazo)

α / 2 = 0.025 (Región de rechazo) 0.95

t ( α , n −1) = t ( 0.025,13) = − 2.1448

t (1−α / 2;n−1) = t ( 0,975;14 ) =

2.1448 13

4,311

Región de No rechazo Como tc = 4.33 cae en la región de rechazo, rechazamos Ho, y concluimos que la media de consumo de oxigeno por suspensiones celulares es igual a 12ml. 5. Una muestra aleatoria de 20 alumnos universitarios aparentemente sanos proporcionó los siguientes valores de capacidad respiratoria máxima.¿Es posible concluir que la media máxima de respiración no es 11 litros por minuto? 132 33 91 108 67 169 54 203 190 133 96 30 187 21 63 166 84 110 157 138 Considere un nivel d significancia del 0.01 ¿Qué supuestos se debe cumplir? c. Datos: n = 20 X = 111.6 S = 56.30 d. Hipótesis H 0 : µ = 11 H 1 : µ ≠ 11 Supuestos Se supone que la muestra de valores proviene de una población media máxima de respiración por minuto que siguen una distribución aproximadamente normal con varianza desconocida. Estadística de Prueba (muestra pequeña) tc =

x − µ0 111,6 − 11 100.6 = = = 7,99 s / n 56,30 20 56,30 20

Regla de decisión

Con un nivel de significancia del 0,01 el valor del t tabulado o teórico es 2,8609 encontrado en la tabla de la Distribución t Student.

α / 2 = 0.005 (región de rechazo)

t (1−α / 2;n−1) = t ( 0,995;19 ) =

α / 2 = 0.005 (Región de rechazo) 0.95

14

t ( α ,n−1) = t ( 0.025,13) = − 2,8609

2,8609

7,99

Región de No rechazo Como tc = 7,99 cae en la región de rechazo, rechazamos Ho, y concluimos que la media máxima de respiración no es 11 litros por minuto. 6. Los siguientes datos son las presiones sistólicas sanguíneas (en mm Hg) de 12 pacientes sometidos a terapia con medicamentos contra la hipertensión: 183 152 178 157 194 163 144 114 178 152 118 158 ¿Es posible concluir en base a estos datos que la media de la población es menor a 165? Con un nivel de significancia del 0.05 ¿Qué supuestos se deben cumplir? Solución a. Datos n = 12 X = 157.58 S = 24.40 b. Hipótesis H 0 : µ = 165 H 1 : µ < 165 Supuestos Se supone que la muestra de valores proviene de una población cuyas presiones sistólicas sanguíneas (en mm Hg) siguen una distribución aproximadamente normal con varianza desconocida. Estadística de Prueba

tc =

x − µ 0 157,58 − 165 − 7,42 − 7,417 = = = = − 1,05 s/ n 24,4 12 24,4 12 7,044

Regla de decisión Consideremos un nivel de significancia del 5% ( α = 0.05 ), el valor del t tabulado o teórico es t (1−α ;n−1) = t ( 0,95;11) = 1,7959, encontrado en la tabla de la Distribución t Student.

15

α = 0.05 α = 0.05 0.95 -1,05

t ( α , n −1) = t ( 0.95 ,13 ) = 1.7959

Región de rechazo

t Región de No rechazo

Como tc = -1,05 cae en la región de rechazo, rechazamos H0, y concluimos que la media de las presiones sistólicas de los pacientes que fueron sometidos a un tratamiento con medicamentos para la hipertensión es menor a 165 mmHg.

PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE UNA PROPORCIÓN 16

INTRODUCCIÓN : En el área de ciencias de la salud y otras áreas, frecuentemente se suele encontrarse con variables dicotómicas , es decir, con variables que sólo pueden tomar dos valores, recuperados, no recuperados, acierto-error, verdadero-falso, aprobados desaprobados, varón, mujer, etc. Podemos llamar , éxito y fracaso a los dos niveles de una variable de este tipo. La distribución muestral de los estadísticos X : Número de éxitos y P : Proporción de éxitos, ambos se distribuyen según el modelo binomial con parámetros n (número de ensayos) y π : proporción de éxitos .El Modelo binomial, en consecuencia, nos proporciona probabilidades asociadas a los estadísticos X y P, y por eso significa que podemos utilizar la distribución binomial para diseñar contrastes de hipótesis sobre proporciones. Además sabemos que a medida que n va aumentando, las distribuciones de X y P se aproximan a la distribución normal con parámetros:

E ( X ) = nπ E( P) = π

σ X = nπ (1 − π ) σP =

π (1 − π ) n

En consecuencia, la variable:

Z=

X − nπ P −π = nπ (1 − π ) π (1 − π ) n

se distribuirá N (0,1). Podemos, también, por tanto, utilizar la distribución normal para diseñar contrastes de hipótesis sobre proporciones.

Pruebas de Hipótesis sobre una proporción 17

1. Hipótesis: a) Prueba bilateral:

Ho : π = π 0. H1: π ≠ π 0. b) Prueba unilateral derecha: Ho : π ≤ π 0 H1: π > π 0. c) Prueba unilateral izquierda: Ho : π ≥ π 0 H1: π < π 0. 2.Estadística de Prueba:

Zc =

X − nπ 0

nπ o ( 1 − π 0 )

=

P − π0

π o (1 − π 0 ) n

donde : X : Número de éxitos en los n ensayos. X P= : Proporción de éxitos en los n ensayos. n Z c se aproxima a la distribución N(0,1) a medida que n va aumentando. 3. Regla de decisión: a) Contraste Bilateral: Se rechaza Ho si

Z c < − Zα / 2

o

Z c > Zα / 2

b) Contraste unilateral derecha: Se rechaza Ho si

Z c > Z 1−α / 2

c) Contraste unilateral izquierda: Se rechaza Ho si

Z < − Zα / 2

Ejemplo: 18

1. Un investigador clínico elaboró una técnica para aliviar una alergia, y sostiene que la técnica tiene una efectividad superior al 30%, En un periodo de 8 horas, en una muestra de 35 individuos que tenían la alergia, la técnica aludida alivió a 11 personas. Determine si la aseveración del psicólogo es cierta. Utilice un nivel de significancia de α = 0,05 . Solución: Tenemos una variable dicotómica (pacientes aliviados, pacientes no aliviados) y una muestra de n = 25 observaciones). Sea π : proporción poblacional de pacientes aliviados. X : Número de pacientes aliviados, luego X = 11 y, por tanto, la proporción observada de pacientes aliviados es P = 11/35 = 0,31. Vamos a efectuar un contraste sobre π para determinar si la verdadera proporción de pacientes aliviados con la aplicación de la técnica es superior al 30%. 1. Hipótesis: Ho : π ≤ 0,30 H1: π > 0,30

(La proporción de individuos que alivió la técnica es superior al 30%)

2. Estadístico de contraste: X = 11. P = 11/25 = 0,31. Zc =

P −π0 π 0 (1 − π 0 )

= n

0,31 − 0,30 0,01 0,01 = = = 0,13 0,30( 0,70 ) 0,006 0,077 35

3. Regla de Decisión y conclusiones Como Z c = 0,13 < Z 0 , 95 = 1,65 , entonces no rechazamos Ho, y concluimos que la técnica no tiene una efectividad superior al 30% Luego, no es cierto lo que sostiene el investigador, la técnica no tiene una efectividad superior al 30%.

Ejercicios Propuestos

19

1. En una muestra aleatoria de 40 sujetos con problemas de enuresis se ha aplicado un tratamiento cognitivo-conductal y se han obtenido resultados positivos en 28 casos. ¿Es compatible este resultado con la hipótesis de que mas del 90% de los sujetos enuréticos podrá tener curación con este tratamiento? Utilice α = 0,05 Solución: Se tiene una variable dicotómica (tratamiento cognitivo-conductal positivo, tratamiento cognitivoconductal negativo) y una muestra de n = 40 observaciones). Sea π : proporción poblacional de pacientes curados. X : Número de pacientes curados, luego X = 28 y, por tanto, la proporción observada de pacientes aliviados es P = 28/40 = 0,7. Vamos a efectuar un contraste sobre π para determinar si la verdadera proporción de pacientes curados por el tratamiento cognitivo-conductual es superior al 30%. 3. Hipótesis: Ho : π ≤ 0,90 H1: π > 0,90

(La proporción de individuos Curados por el tratamiento cognitivo-conductual es superior al 90%)

4. Estadístico de contraste: X = 28. P = 28/40 = 0,7. Zc =

P − π0 π 0 (1 − π 0 )

= n

0.70 − 0,90 = 0,90( 0,10 ) 40

− 0,20 = −4.22 0,90( 0,10 ) 40

3. Regla de Decisión y conclusiones Como Z c = −4.22 < Z 0 ,95 =1,65 , entonces no rechazamos Ho, y concluimos que la curación de las personas enuréticas mediante el tratamiento no es superior al 90% Luego, no es cierto lo que sostiene el investigador.

2. Un candidato al congreso “asegura” que el 90% de las mujeres de su distrito electoral están bajo control natal sin su consentimiento. Contraste este punto de vista respecto a la hipótesis que establece que dicho porcentaje es menor que el 90% Para llevar a cabo esta investigación 20

se escoge una muestra al azar formada por 1600 mujeres adultas, de las cuales 1400 reportan que el control natal es con su consentimiento. Solución: Tenemos una variable dicotómica (mujeres con control sin consentimiento, mujeres con control con conocimiento) y una muestra de n = 1600 observaciones). Sea π : proporción poblacional de mujeres bajo control con consentimiento. X : Número de pacientes aliviados, luego X = 1400 y, por tanto, la proporción observada de pacientes aliviados es P = 1400/1600 = 0,875. Vamos a efectuar un contraste sobre π para determinar si la verdadera proporción de pacientes aliviados con la aplicación de la técnica es superior al 30%. a. Datos: n=1600 p=1400/1600=0,875 b. Hipótesis: Ho : π = 0,90 H1: π < 0,90 c. Estadístico de contraste:

t (1−α / 2;n−1) = t ( 0,975 ;14 ) = d.

Regla de Decisión y conclusiones Como

Z c =3.33 >Z 0 , 95 =1,65 , entonces rechazamos Ho, y concluimos

que las mujeres que están teniendo un control natal sin el conocimiento del alcalde representan menos del 90%.

3. En una muestra de 1500 residentes de un barrio interior de la ciudad, quienes participaron en un programa de salud, 125 pruebas proporcionaron resultados positivos en cuanto a la anemia de células falciformes. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente que indique que la proporción de 21

individuos con dicha enfermedad en la población muestreada es mayor que 0,06? Considere α = 0,05 . Solución: Se tiene una variable dicotómica (residentes positivos a anemia falciforme, residentes negativos a anemia falciforme) y una muestra de n = 1500 observaciones). Sea π : proporción poblacional de residentes positivos a la anemia falciforme. X: Número de residentes positivos a la anemia falciforme, luego X = 125 y, por tanto, la proporción observada de pacientes aliviados es P = 125/1500 = 0,083. Vamos a efectuar un contraste sobre π para determinar si la verdadera proporción de residentes con resultados positivos a la anemia falciforme es mayor al 6%. 5. Hipótesis: Ho : π ≤ 0,06 H1: π > 0,06

(La proporción de residentes con resultados positivos a la anemia falciforme es mayor al 6%)

6. Estadístico de contraste: X = 125. P = 125/1500 = 0,083. Zc =

P − π0 π 0 (1 − π 0 )

= n

0,083 − 0.06 = 0,06( 0.04 ) 1500

0,023 = 18.18 0,06( 0.04 ) 1500

3. Regla de Decisión y conclusiones

Z c =18 .18 > Z 0,95 =1,65 , entonces rechazamos Ho, y concluimos que la Como proporción de residentes con resultados positivos a la anemia falciforme es mayor al 6%. Luego, es cierto lo que sostiene la hipótesis, la proporción de residentes con resultados positivos a la anemia falciforme es mayor al 6%.

4. Antes el inicio de un programa de inmunización contra la rubeola en una ciudad metropolitana, una encuesta reveló que 150 integrantes de una muestra de 500 niños de primaria habían sido inmunizados contra esta enfermedad ¿Son estos datos compatibles con el 22

punto de vista de que el 50% de los niños de primaria de dicha ciudad habían sido inmunizados contra la rubeola? Considere α = 0,05 . a. Datos: b. Hipótesis: Ho : π ≤ 0,30 H1: π > 0,30

(La proporción de individuos que alivió la técnica es superior al 30%)

c. Estadístico de contraste: X = 11. P = 11/25 = 0,31. Zc =

d.

P −π0 π 0 (1 − π 0 )

= n

0,31 − 0,30 0,01 0,01 = = = 0,13 0,30( 0,70 ) 0,006 0,077 35

Regla de Decisión y conclusiones

Como Z c = 0,13 < Z 0 , 95 = 1,65 , entonces no rechazamos Ho, y concluimos que la técnica no tiene una efectividad superior al 30% Luego, no es cierto lo que sostiene el investigador, la técnica no tiene una efectividad superior al 30%.

Solo esto y ya!

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