Clase- Lerch & Grossman

METODO DE LERCHS & GROSSMAN Aspectos generales En el año 1965, los investigadores Lerchs y Grossman propusieron un algoritmo matemático que permitía”…diseñar de contorno de una explotación a cielo abierto de tal forma que se maximize la diferencia entre el valor total de la mineralización explotada y el costo total de la extracción del mineral y estéril. Este trabajo fue el comienzo de las aplicaciones informáticas a la optimización de explotaciones a cielo abierto siendo,el artículo que mayor incidencia ha tenido en esta temática aplicada a la industria minera. Con todo, su uso no está todavía universalmente aceptado, probablemente por las siguientes razones (Dowd y Onur, 1993) 1)

Complejidad

del

método

en

términos de

comprensión

y

programación, aunque la complejidad se suele utilizar corno razón para evitar su uso, este argumento no siempre es válido, pues los técnicos que llevan a cabo el diseño de la explotación no tienen, necesariamente, que conocer el desarrollo matemático involucrado en la definición del algoritmo. 2) Tiempo requerido, en términos de ordenador, para la obtención del diseño: este hecho ha generado la creación de un gran número de algoritmos alternativos (por ejemplo el algoritmo Korobov –Korobov, 1974, que reducen el tiempo necesario para la optimización del diseño. Este problema aumenta si existe la necesidad de realizar un análisis de sensibilidad, que genera múltiples diseños en función de cambios en variables tales como costos, precios, leyes mínimas de explotación, etc. No obstante, la llegada en los últimos años de potentes máquinas a bajo costo ha minimizado notablemente esta problemática. 3) Dificultad para incorporar cambios en las pendientes de la explotación: este problema está aún en vías de solución.

4) El criterio de optimización se basa en el beneficio total, mientras que debería hacerla en el valor actual neto: esta dificultad es común en la mayor parte de los algoritmos existentes y tiene una difícil solución, pues, corno dice Whittle (1989): "el diseño de pit o corta con el valor actual neto más alto no puede ser determinado hasta que no se conozcan los valores de los bloques; éstos no se conocen hasta que no se establece una secuencia minera, y ésta no se puede determinar hasta que no se conozca el diseño de la explotación" con lo que se cierra el círculo del problema y no es posible una rápida solución El método trabaja de forma relativamente parecida al método anterior “cono móvil”, llegándose al final, a un diseño del pit o

corta que

cumple el condicionante anteriormente comentado. Seguidamente se presenta un ejemplo en 2-D, pudiéndose llevar a cabo en 3-D considerando los valores de los bloques mineralizados en secciones longitudinales y transversales, aunque el análisis en 3-D presenta una problemática

que,

posteriormente,

se

comentará.

Incluso

se

comercializa una versión en 4-D, en la que la cuarta dimensión viene definida por el análisis de sensibilidad y Últimamente, está en fase de experimentación una versión beta para análisis muItielemental. Lerchs y Grossman en 2-D El punto de partida para la operacionalizacion de este algoritmo, se da, una vez obtenida y conocida la matriz de bloques con las leyes de cada uno de los bloques, es una sección (cuadro. A) en la que se representa, para cada bloque los beneficios que se obtienen con su explotación. El parámetro seleccionado para la optimización también podría ser otro, como, por ejemplo el contenido en metal. En el caso de que la explotación de un bloque genere pérdidas, sólo se pone el costo asociado a su extracción. (en el ejemplo de la Cuadro A, correspondería a los bloques con valor -2 u.m.). El paso es semejante a la aplicación de una estricta ley mínima de corte con todos los bloques. Por debajo de esa ley mínima serán enviados, como estéril, a las

canchas de desmonte o escombreras. -2

-2

1

1

2

7

22

10

20

10

6

-2

-2

-2

-2

-2

1

6

20

10

14

29

14

10

-2

-2

-2

-2

-2

-2

8

13

29

80

43

18

9

-2

-2

-2

1

1

3

9

11

15

66

92

22

2

-2

-2

-2

1

1

-2

1

-2

9

6

30

6

-2

-2

-2

-2

1

10

1

-2

1

3

4

3

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

Cuadro A: Valores del beneficio neto para los diferentes bloques

A continuación se acumulan los valores por columnas y de arriba hacia abajo tal como se muestra en el cuadro B. Estos son los denominados valores de Lerchs y Grossmann, cuya símbolo

M

ij

denota el valor del bloque para una

fila i y una columna j. Posteriormente, se calcula, empezando por la izquierda y arriba, el valor

P

ij

para cada bloque, utilizando la siguiente fórmula.

P M ij

ij

 max( Pi  r

)

j 1

Asignando a r el valor -1, O y +1. El segundo término de esta ecuación define el valor mas grande de

P

ij

en los tres bloques más cercanos en la columna

a la izquierda del bloque que está siendo evaluado (definido por el valor, en ese momento de i y j. Una vez que se calcula ese valor, se le añade al correspondiente de

M

ij

de ese bloque.

Existe una pequeña modificación que es necesario Introducir para el cálculo de los bloques de la primera columna de la izquierda, pues dicha columna no posee, a su vez, bloques a su izquierda, por lo que no es posible aplicar la fórmula establecida. En este caso, se analizan los bloques que son necesarios quitar para sacar a la superficie el que se está estudiando. Así, en la cuadro C, para el bloque (1,1) no es necesario q uitar ninguno, por lo se el asigna el valor

-2. Para el bloque inmediatamente inferior (2,1) es necesario quitar un bloque (supuesto un ángulo de corta de 45º, es decir 1:1) asignándole, pues, un valor de -4 + (-2)= -6 (cuadro. C). El inmediatamente inferior requiere la extracción de 3 bloques, por lo que se le asigna un valor de -6 + (-6) = -12, y así sucesivamente

con el resto de los bloques de la primera columna de la

izquierda. -2

-2

1

1

2

7

22

10

20

10

6

-2

-2

-4

-4

-1

2

8

27

32

24

49

24

16

-4

-4

-6

-6

-3

0

16

40

61

104

92

42

25

-6

-6

-8

-5

-2

3

25

51

76

170

184

64

27

-8

-8

-10

-4

-1

1

26

49

85

176

214

70

25

-10

-10

-12

-3

9

2

24

50

88

180

217

68

23

-12

-12

-14

-1

7

0

22

48

86

178

215

66

21

-14

-14

Cuadro B. Valores acumulados por columnas de los beneficios netos (

1

Col . 1 Mi j -2 -4

M

ij

)

Col . 1Mi 2

2 2

j -2 -4 -6

Fig. 01. Método de calculo para la columna de la columna de al izquierda

Los otros bloques de la sección se calculan como se comentó anteriormente utilizando la fórmula correspondiente. En la figura 02, se muestra como se calcularían los valores de los bloques (4,7) y (3,8). En el primer caso, el valor más grande de los tres a analizar es 73, por lo que este valor se le añade al

valor de 76 (

M

ij

), para obtener el definitivo valor de

(

P

ij

) de 149. Para

el cálculo del bloque (3,8), el valor más alto es 149 el cual se le añade a 104 para obtener un

P

ij

de 253. De esta forma se obtiene la matriz final (cuadro

C ). En cada caso se dibuja una flecha del bloque que se esta evaluando al bloque que se toma corno valor más alto de los tres a considerar. En el cuadro C. se observa el resultado de dibujar todas las flechas correspondientes a los bloques analizados Siguiendo estas líneas se establece una serie de cortas optimizadas, cada una de ellas representando el diseño óptimo de la corta a la izquierda de la línea que se considere La explotación que maximiza la diferencia entre el valor total de la mineralización explotada y el coste tata! de la extracción del mineral y estéril, tal como se indicó al principio del método, es la que presenta el entorno que comienza por el valor de

P

ij

mas alto de la primera fila ( en el ejemplo de la figura F seria el

bloque (1.13) con un valor de 636)

Figura No. 02 Ejemplo del cálculo de valores de los bloques a la derecha de la primera columna

-2

-2

1

2

5

18

68

104

178

312

450

575

636

-6

-6

-3

3

11

46

94

158

302

444

577

638

643

-12

-12

-9

-3

19

62

134

253

420

561

642

647

641

-20

-17

-14

-6

22

73

149

328

519

617

653

645

639

-30

-24

-18

-13

20

71

158

335

553

626

651

643

635

-42

-33

-15

-13

11

70

159

339

556

624

649

639

631

-56

-43

-26

15

9

59

156

337

554

622

645

635

625

Cuadro C. Matriz final- Las flechas delimitan el pit final. A continuación se observa el resultado de

dibujar todas las flechas

correspondientes a los bloques analizados. Este delineamiento comienza por el valor de

P

ij

mas alto de la primera fila. Cuadro D

-2

-2

1

2

5

18

68

104

178

312

450

575

636

-6

-6

-3

3

11

46

94

158

302

444

577

638

643

-12

-12

-9

-3

19

62

134

253

420

561

642

647

641

-20

-17

-14

-6

22

73

149

328

519

617

653

645

639

-30

-24

-18

-13

20

71

158

335

553

626

651

643

635

-42

-33

-15

-13

11

70

159

339

556

624

649

639

631

-56

-43

-26

15

9

59

156

337

554

622

645

635

625

Cuadro D. Matriz final- Las flechas delimitan el pit final

A continuación se muestra el perfil del pit final del tajo, algoritmo de Lerch and Grossman.

con cálculos del

Perfil del pit final

The end